Ψηφιακό βιβλίο Β Λυκείου Διανύσματα

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔίνονται τα διανύσματα u  (1, 2), v  (4, 2)και w  (6, 0) και θέλω να υπολογίσω το| (u  v)w |, όμως u  v  8. Επομένως | (u  v)w |8w  8 w | (u  v)w | 8 w , w  62  0  6Επομένως | (u  v)w | 8.6  | (u  v)w | 48.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤέλος θέλω να υπολογίσω το εσωτερικό γινόμενο(| u | v)  w. Επειδή το μέτρο | u | εκφράζει ένανπραγματικό αριθμό μπορώ να το βγάλω έξω απότο εσωτερικό γινόμενο. Επομένως (| u | v)  w | u | (v  w)  5  24  24 5  (| u | v)  w  24 5

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔίνονται τα διανύσματα   (1, 0) και   (1,1)Τα διανύσματα  και    είναι κάθετα. Αυτόσημαίνει ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναιμηδέν, δηλαδή  (   )  0  . .  0    2       0. Όμως  2   2 = 12  0 = 1 και     1.1 0.1  1. Επομένως  2       0 11  0    1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΤα διανύσματα  και    είναι κάθετα αυτό ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣσημαίνει ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν, δηλαδή .     0  .  .  0.  .  0  .   2  0. 'Ομως .  1 212 12  2. Επομένως και  2   2 .   2  0  1 2  0  2  1    1 2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Έστω   x, y το διάνυσμα που είναι κάθετο στο u  (3, 2) και έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα. Αυτό σημαίνει ότι .u  0  και   1.    3x  2 y  0  3x  2y  0   x2  y2  1  x2  y2  1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΔίνονται |  | 2,|  | 3 και   π (,  ) 3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΖητώ το πραγματικό αριθμό κ ώστε ταδιανύσματα u  3   και v    2να είναι κάθετα , δηλαδή το εσωτερικότους γινόμενο να είναι μηδέν, u.v  0 3   .  2   0

u.v  0  3   .  2   0 3 .   3 .2   .   .2   03 .   3.2.   .   2..   0 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   3 2  6 .  .  2 2  0 . Όμως 2   2  22  4 και  2   2  32  9 .  .   .    2.3συν π 61 3 συν(,  ) 32

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕπομένως η σχέση   3 2  6 .  .  2 2  0 γίνεται3 4  6.3   3  2.9  0  12  3 18 18  09  0    0Άρα u.v  0    0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΔίνονται τα διανύσματα   (,1) και   (4,3)i Zητώ το  έτσι ώστε τα  και  να είναι κά- ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣθετα, Δηλαδή     0. Όμως      4 1.3 4  3.Επομένως 4  3  0  4  3    3 4ii Zητώ το  έτσι ώστε  )  π , έχω (,  4    .     .  συν π   .  2 συν(,  ) 42

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  ( ,1) και   (4,3) και      .  2 24  3   2 12 . 42  32 2  2  4  3   2 12 42  32 2  24  3   2 116  9 2  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ4  3   2 116  9 2  4  3  2 25 2 1 2  5  2 1 2  4  3 22Πολ/ζω και τα δύο μέλη της ισότητας με το 2για να φύγει ο παρονομαστής5 2 2 1  24  3  5 2 2 1  8  6Υψώνω και τα δύο μέλη της σχέσης στη δεύτερηδύναμη για να φύγει η ρίζα

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2   5 2  2 1  8  62  25.2  2 1  8 2 2.8.6  62  50  2 1  64 2 16.6  36 50 2  50  64 2  96  36  50 2  64 2  96 50  36  0  14 2  96 14  0  7 2  48  7 0. Επομένως έχω να λύσω την τριωνυμική εξίσω-ση 7 2  48  7  0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β  7,   48,  7. Βρίσκω τη Διακρίνουσα   2  4 , όπου Δ>0 και κατόπιν τις ρίζες ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ1 ,  2       1  1 2  7 2  7iii)Τέλος θέλω  / / ισοδύναμα x1 y1  0  y2 x2 1  0  3  4  0    443 3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΔίνονται |  ||  | 1 και  )  2 , ζητώ να υ- (,  3πολογίσω τη γωνία των διανυσμάτων u  2  4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣκαι v  a  . Έστω  η γωνία των διανυσμάτων uκαι v. Γνωρίζω ότι u.v  u . v συν  συν  u.v u .vΘα υπολογίσω πρώτα το συν και κατόπιν τη γωνία    u.v  2  4 . a    2 2  2.  4.a  4 2   u.v  2  2  2 .  4 .  4  2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΌμως .   .  συν 2 . Θα προσπαθήσω να ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3εκφράσω το συν 2 με το συνημίτονο γνωστής α- 3 πό τον τριγωνομετρικό κύ3κλο γωνίας.συν 2  συν  3     συν      συν       3 3 3 3 3 1 . Διότι τα παραπληρωματικά τόξα έχουν αντί- 2θετο συνημίτονο.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β.   .  συν 2  1.1.  1    1. Επομένως ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ 2  2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3   η σχέση u.v  2  2  2 .  4 .  4  2  u.v  2  2  2 . 2 γίνεται u.v  2.1 4 2   1   4.1  2  2  4  2 1  4  u.v  3  2  2Τέλος πρέπει να υπολογίσω τα u και v .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β   u 2  u2  2 2 2  4 2 2  2.2.4  4  u 2  4 2 16 . 16 2  4  2 16   1   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  2  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ16  2  4.1 16 16.1  4  8 16  u 2  12  2u  12  3.4  3. 4  u  2 3   v 2  a   2  a2  2a.   2  a 2  2 a.  2  1  2   1   1  1 2 1 2 1  v 2 3  2  2v 3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΕπομένως συν  u.v = 3  3  3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  u . v 2 2.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 233 2 3συν   1  συν  συν  =συν     , Διότι 2  3 3τα παραπληρωματικά τόξα έχουν αντίθετα συνημί-τονα. Επομένως συν  συν 2    2 33

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέλω να δείξω ότι   (   )  συν         Ξεκινώ από την   (   )  και με διπλή συνε- παγωγή θα καταλήξω στην συν           .(   )  0   2 .  0   2   .  συν    0       συν    0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΌμως από την υπόθεση   0    0. Επομένως    συν    0    συν    συν     

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β Θέλω να δείξω ότι τα διανύσματα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ u | |   |  |  και v | |   |  |  είναι κάθετα.Αρκεί να δείξω ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.Δηλαδή u.v  0    u.v  | |   |  |  . | |   |  |  I  Πρόκειται για τη ταυτότητα της διαφοράςτετραγώνων a   .      2   2.Επομένως    u.v  | |   |  |  . | |   |  |  2   | | 2 =  2 . 2  |  |2 . 2  |  |   2. 2   2. 2   2. 2  2. 2  0 u.v  0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω να δείξω ότι τα μη μηδενικά διανύσματαv   2   (   )   και  είναι κάθετα. Αρκεί να δείξω ότι v.  0 Έχω v.   2   (   )   .   2   (   )   .   2 .  (   )  .     2 .  (   ). 2   2 .  (   )  2   2 .   2 (   )  0  v.  0

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΔίνονται τα σημεία (3, 2), (6, 4), (1,5)(1, 2) και θέλω να υπολογίσω το εσωτερικό ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ γινόμενο . Πρέπει προηγουμένως να υ- πολογήσω τις συντεταγμένες των  και . Γενικά εάν Α  x1, y1  και Β x2, y2  τότε   x2  x1, y2  y1 . Επομένως    6  3, 4   2    3, 4  2  3, 2 και   11, 2  5 2, 3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  3, 2 =  1, y1  και   2, 3 =  2, y2 Επομένως .  1.2  y1.y2  3.2  2.3  6  6 .  0. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα  και  είναι κάθετα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΒy Γx΄ Α 0,0 Δ x ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     AB.     AB.  AB.    AB.Παρατηρώντας το σχήμα μπορώ να θεωρήσωτο σημείο Α ως σημείο αναφοράς, δηλαδή ωςτην αρχή των νοητών αξόνων xx΄ και yy΄. Επο-μένως οι συντεταγμένες των σημείων Α ,Β, Δέχουν ως εξής Α 0,0, 3, 4,  5,0.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β Βy Γx΄ Α0,0 Δx ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Επομένως AB  3  0, 4  0  3, 4 και    5  0, 0  0  5, 0. Άρα AB.  3.5  4.0  AB.  15

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω να εξετάσω πότε ισχύει i |    ||  |  |  |Υψώνω τη σχέση στο τετράγωνο για να φύγει το   απόλυτο στο πρώτο μέρος |    | 2  |  |  |  | 2    2   2  2  .    2   2  2.   2  2  2  .    2  εφάρμοσα τη ταυτότητα   2   2  2   2 και στα δύο μέλη τηςσχέσης.    2  2.   2   2  2  .    22.  2  .   .   . 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ,    00  i.   .    .  συν ,    .     .  συν ,   .      συν ,   1 . .    συν ,   συν0  ,   00    

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.ΒΘέλω να εξετάσω πότε ισχύει ii |  |  |  | |    | ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Υψώνω τη σχέση στο τετράγωνο 2 | || |  2     |   | 2   2 |  |2  |  |2 2 |  | |  |  2   2  2   |  |2  |  |2 2 |  | |  ||  |2  |  |2 2   2 |  | |  | 2     |  | |  |    

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 14.ΣΕΛ.47 ΣΧ.Β   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  ,     1800 O     |  | |  ||  | |  | συν ,   συν ,   1     συν ,   συν  ,       

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ   1.i AB   , Λ , διότι τα AB,  είναι αντίρροπα και επομένως δεν είναι ίσα.B ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  ii AB   , Λ , διότι η πλευρά του ρόμβου δεν  ισούται με τη διαγώνιο επομένως τα AB,  δεν έ- χουν το ίδιο μέτρο, άρα δεν είναι ίσα.   iii AB  ,  , διότι τα AB,  έχουν το ίδιο μέ- τρο, την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά.   v AB   , Λ , διότι τα AB,  είναι αντίρροπα.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  B  1.iv AB  ΔΓ , Σ , διότι οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες άρα τα μέτρα των AB, ΔΓ είναι ίσα. vi AB = ΒΓ , Σ , διότι οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες άρα τα μέτρα των AB, ΒΓ είναι ίσα.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ  2. i  . Τα διανύσματα ,  είναιδιαδοχικά επομένως το άθροισμά τους είναιτο διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Γ, δηλ. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     ii  . Το   συμβολίζει το αντίρρο-  πο του  δηλαδή το . Επομένως   =        iii      , iv         

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ    2.v            ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗvi          ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   vii          viii          ix             

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ     B 3.i 2            ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    ως απέναντι πλευρές παραλ/μου     άρα        , επομένως   2     ii 1   1            22   iii              2 

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 52 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ     B 3.iv 2   2   2   2                 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ   ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   , όμως λόγω του παραλ/μου       , επομένως           , άρα iv 2   2     v                                   2 

  ΄,   ΄΄,   ΄΄΄,    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈστω ένα σημείο A  x, y,το συμμετρικό του ως προς xx΄είναι το Α΄ x,  y, το συμμετρικό του ως προς yy΄ είναιτο Α΄΄x, y, το συμμετρικό του ως προς την αρχή Οείναι το Α΄΄΄x,  y, το συμμετρικό του ως προς τη δι- χοτόμο δ της xOy είναι το Β y, x.

  ΄,   ΄΄, ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ   ΄΄΄,    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   Έστω το σημείο A 3, 2,το συμμετρικό του ως προς xx΄είναι το Α΄3,  2  Α΄3, 2, το συμμετρικό του ωςπρος yy΄ είναι το Α΄΄3, 2  Α΄΄3, 2, το συμμετρι-κό του ως προς την αρχή Ο είναι το Α΄΄΄3, 2 Α΄΄΄3, 2, το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο δ της xOy είναι το Β2, 3.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ6. Δίνονται τα σημεία Α 3,1, 6,5, 6  3,5 1  3, 4 Α 3,1,  4, 2,  4  3, 2 1   7, 3 Α 3,1, Ε 3,5, 3  3,5 1  6, 4 Α 3,1,  3, 3,  3  3, 3 1   0, 4 6,5, Ε 3,5, 3  6,5  5   9,0

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ x1, y1  =A 3, 2,  x2, y2  =B4,5, Έστω Μ  x, yτο μέσο του ΑΒx  x1  x2  3  4   1 , ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2 22y  y1  y2  2  5  7 , επομένως Μ  x, y   Μ   1 , 7  2 22  2 2 Β x1, y1   B4,5,   x2, y2    3, 2, Έστω Ν  x, yτο μέσο του ΒΓx  x1  x2  4  3   7 2 22y  y1  y2  5  2  3 , επομένως Ν  x, y     7 , 3  2 2  2 2  2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΟμοίως έστω  3, 2,  3, 4 και Κ  x, yτο μέσο του ΓΔ τότε x  3  3  0  0 22y  2  4  6   3, επομένως Κ 0, 3 223, 2,  3, 2 και Λ  x, y το μέσο του ΑΓx  3  3  0  0 22y  2  2  0  0, επομένως Λ 0, 0 22

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥi Δίνονται Α 4, 1, 2,7,  0,3,  1,5     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ 3, 2 , 1., 2. , 3., 4. , 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠαρατηρώ ότι  1   2 , 5  7    2, 2   1  3, 2   3, 2ii Παρατηρώ ότι   6, 4  23, 2  2  2 . Αυτό σημαίνει ότι  / / και μάλιστα  

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ a   B AB.  AB .  συν900  ..0  0 aa   a  ii AB.  AB .  συν450 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     2   2  2 2   2  2 2 2 22 1 2 2 επομένως AB.  .  .    2 2 1  AB  2  AB.   2   iii OA.OB  0, διότι OA  OB

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ a B iv   διότι  OA.   OA .  , OA   aa  2 2 2      a  OA.   .     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 22 4 4  2 .2    2  OA .  42    v .   .  , διότι   , δηλ. έχουν παράλ/λες διευθύνσεις και την ίδια φορά     vi .    .  , διότι   , δηλ. έχουν παράλ/λες διευθύνσεις και αντίθετη φορά

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ1800 00 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Η γωνία  u, v δύο διανυσμάτων u, v είναι η κυρτή γωνία AOB, δηλαδή η γωνία που πέρνει τιμές στο διάστημα 00,1800  , δηλαδή 00   u, v  1800

900  συν 00 300 450 600 900 1800 00 1 0 11800   3 2 2 1 2 2 1 1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣO προσανατολισμένος κύκλος ,1 του σχήματοςλέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Ο οριζόντιος άξο-νας είναι ο άξονας των συνημιτόνων και ο κάθετοςτων ημιτόνων. Επειδή στο κεφάλαιο αυτό ανάφερό-μαστε στο συνημίτονο της κυρτής γωνίας δύο διανυ-σμάτων περιοριζόμαστε στον οριζόντιο άξονα καιστο διάστημα 00,1800 .

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ10. u  2, v  3,i u.v  u . v συν00  u . v .1 u.v  6, ii u.v  u . v συν300  6 3  3 3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2iii u.v  u . v συν600  6 1  3 2 iv u, v   900. Άρα u  v  u.v  0 v u.v  u . v συν1200, συν1200  συν 1800  600συν1200  συν600, διότι οι παραπληρωματικέςγωνίες έχουν αντίθετο συνημίτονο , επομένως , u.v   1  3u .v συν600  6   2  

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 53 ΣΧ.ΒΙΒΛΙΟΥ 10.vi u.v  u . v συν1500, συν1500  συν 1800  300 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣσυν1500   συν300, διότι οι παραπληρωματικέςγωνίες έχουν αντίθετο συνημίτονο , επομένως , u.v  u . v συν1500  u . v συν300  6   3  2  u.v  3 3, vii u, v   1800  u  v  u.v  u . v  u.v  6

11. u.v  u.w  u.v  u.w  0  u.v  w  0  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗv  w  0, εφόσον u  0, οπότε v  w  0  A. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ vw1800 00 Η γωνία  u, v δύο διανυσμάτων u, v είναι η κυρτή γωνία AOB, δηλαδή η γωνία που πέρνει τιμές στο διάστημα 00,1800  , δηλαδή , 00   u, v  1800

 x1x2  y1 y212. συν  u, v   x12  y12 . x22  y22  7.1  5.21. u 7,5, v 1, 2, συν  u, v   72  52 . 12  22  7 10  3 1  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣσυν  u, v   49  25. 1 4 74.5 0<συν  u, v   1 και εφόσον η  u, v  είναι από τον ορισμό της κυρτή, έχω ότι 00   u, v   900   u, v  οξεία