Ψηφιακό βιβλίο Β Λυκείου Διανύσματα

ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.Έχω a0  1 a. Η απόλυτη τιμή του , δηλ.το  aεκφράζει ένα θετικό πραγματικό αριθμό, (διότι η ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣαπόλυτη τιμή είναι πάντα ένας θετικός πραγματι-κός αριθμός). Επομένως και το 1 είναι ένας θε- τικός πραγματικός αριθμός ,έστω . Δηλ., 1  , όπου   0.Επομένως η παραπάνω σχέση γράφε-ται a0  a.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΗ σχέση a0  a εκφράζει τη συνθήκη παραλληλίαςτων διανυσμάτων a0 και a. Αυτό σημαίνει ότι το διά-νυσμα a0 είναι συγγραμμικό ή παράλληλο με το διά-νυσμα a, ότι το μέτρο του a0 είναι  φορές το μέτροτου a και επιπλέον η φορά του διανύσματος a0 είναιίδια με τη φορά του διανύσματος a εφόσον το   1 είναι θετικό.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ i 1  x  a  1 x   . Επειδή ισχύουν οι αλγε- 23βρικές πράξεις που γνωρίζουμε και στο χώροτων διανυσμάτων η παραπάνω σχέση γράφεται1  x  a   1  x  a . Πολλαπλασιάζω με το23  6 για να φύγουν οι παρονομαστές6 1 x  a  61x  a  3x  a  2x  a  233x  3a  2x  2a  3x  2x  2a  3a  x  a

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΜε τον ίδιο τρόπο ακριβώς λύνεται και η2.ii) σελ.26 σχ.β.Αν έχεις δυσκολία επικοινώνησε μαζί μου.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. Υπόθεσηx    2 Συμπέρασμα  x  1   2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Από την Υπόθεση έχω   2  Εκφράζω τα διανύσματα  και  ως συνάρτηση των διανυσμάτων θέσης , ,  μεσημείο αναφοράς το σημείο Α. Επομένως       και     .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.x   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Από τις παραπάνω σχέσεις έχω   2      2      x    2  x      x    2  2x  x  2x  2    3x  2   x  1 2   . 3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση  2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   2,   ,     2,   Συμπέρασμα α Να εκφράσετε τα διανύσματα , , , ,  συναρτήσει των διανυσμάτων  και . β Από τις εκφράσεις των  και  τι συμπέ-ρασμα προκύπτει για τα σημεία Α, Ε, Γ.

 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  2   i Από το σχήμα παρατηρώ ότι           . Από το σχήμα παρατηρώ επίσης ότι      . Επομένως     λόγω της        η     γίνεται       .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   Από την Υπόθεση όμως   2 .  Επομένως η σχέση         2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ γίνεται ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ                2      2       3       1     3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   2    Θέλω να υπολογίσω το . Θεωρώ το σημείο Δ  ως σημείο αναφοράς οπότε    , όμως   βρήκα ότι     .Επομένως η      γίνεται             2     .

  2   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘέλω να υπολογίσω το . Θεωρώ το σημείο Δ ως  σημείο αναφοράς οπότε    . Από την Υ-   πόθεση   2 , επομένως   2 . Όμως  1   1        και   , άρα  2    33

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   2     1  21 21   2           3 33   2 1   3   2 1     1   2 1  33 3  33  1   3 2   .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  2   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέλω να υπολογίσω το . Θεωρώ το σημείο Δ  ως σημείο αναφοράς οπότε     . Όμως   1     και   2 2  2    21   33 Επομένως 2 2 1      3

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  2 1  2 1  1     2      2  2 3 33   2  21  21   2.3   2  21  1 3 3 1.3 3 3    6  2 21  4 21  33 3 3 3   1   2 3 2  

  2   1 και  2 1 . Από ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     2    2   33 τις εκφράσεις των  και  παρατηρώ ότι   2 . Δηλαδ ικανοποιούν τη συνθήκηπαραλληλίας.Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσμα- τα  και  βρίσκονται στην ίδια ευθεία.Επομένως τα σημεία Α,Ε,Γ είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   3 3  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΘέλω να αποδείξω ότι τα σημεία Α,Γ,Ε είναι συν- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ευθειακά. Αρκεί να δείξω ότι τα διανύσματα  και  βρίσκονται στην ίδια ευθεία, δηλαδή ότιέχουν την ίδια διεύθυνση, με άλλα λόγια ότι ικα- νοποιείται η συνθήκη παραλληλίας    

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5. ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   3  3   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ      3  3  3             Από τις παραπάνω σχέσεις έχω ότι   3  Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα  και βρίσκονται στην ίδια ευθεία και επομένως τασημεία Α,Γ,Ε είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    Δίνεται η σχέση  3 2    3θέλω να δείξω ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευ-θειακά. Aρκεί να θεωρήσω ένα από τα σημείαΚ,Λ,Μ ως σημείο αναφοράς, έστω το Κ και να δείξω ότι τα διανύσματα θέσης  ,  ικανο- ποιούν τη συνθήκη παραλληλίας     .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. Για να δείξω ότι     πρέπει να διαμορ-   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣφώσω τη σχέση  3 2    3 κατάλληλα ώστε να καταλήξω στην      Εκφράζω τα διανύσματα , ,  συναρτήσει  του σημείου αναφοράς Κ και έχω    ,      ,    .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.    Επομένως η  3 2   3 γίνεται   3   2         3      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ     ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ                3 2 2    3 3        3 2  2   3   3      3  3   3

    3  3   3 . Τα διανύ-  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣσματα  και  είναι αντίθετα. Επομένως το ά-θροισμά τους είναι το μηδενικό διάνυσμα , δηλαδή     . Ομοίως τα  και  είναι αντίθετα.Επομένως 3   3   3        =  . Άρα       3.      η σχέση γίνεται   +3 3   3        3   3      3

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣA Υπόθεση M ΑΜ = ΜΒ Συμπέρασμα  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣOB      2Θεωρώ το σημείο Ο ως σημείο αναφοράς οπότε       και    , από την  Υπόθεση όμως   , επομένως                 2            2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση   ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διάμεσοι του τριγ.ΑΒΓ Συμπέρασμα    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     Σε αυτή την άσκηση θα εφαρμόσω τη σχέση πουμας δίνει τη διανυσματική ακτίνα του Μέσου Τμή-ματος (δες και σελ.25 σχ.β.). Τα σημεία Δ, Ζ, Ε, εί-ναι τα μέσα των τμημάτων ΒΓ, ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   Υπόθεση ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διάμμε- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   σοιτου τριγ. ΑΒΓ Συμπέρασμα        Επομένως    , 2         ,      22

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   Υπόθεση ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διάμμε- σοιτου τριγ. ΑΒΓ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   Συμπέρασμα       Αθροίζω τις παραπάνω σχέσεις και έχω                  222          2

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   Υπόθεση ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διάμμε- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   σοιτου τριγ. ΑΒΓ Συμπέρασμα               2                          2        2     

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  K  Υπόθεση Κ,Λ,Μ τα μέσα των ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ  Συμπέρασμα     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣO        Η άσκηση μας δίνει τις διανυσματικές ακτίνες , ,  των Μέσων Κ, Λ, Μ των Τμημάτων ΒΓ, ΓΑ,ΑΒ επομένως μπόρω να γράψω τη σχέση που συνδέει  κάθεμιά από αυτές με τα διανύσματα , , 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση  Κ,Λ,Μ τα μέσα των ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ K Συμπέρασμα     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ O               ,          ,  2 22Αθροίζω κατά μέλη και έχω                   222

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση  Κ,Λ,Μ τα μέσα των ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ K Συμπέρασμα     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ O             2  2  2      2    2               2          

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση Μ,Ν τα μέσα των διαγωνίων  ΑΓ, ΒΔ , αντίστοιχα  Συμπέρασμα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ          4Σε αυτή την άσκηση θα ξεκινήσω από το πρώτο    μέλος της σχέσης      4 πουθέλω να αποδείξω. Γνωρίζω ότι τα αθροίσματα   και   συνδέονται με τη σχέση πουμας δίνει τη διανυσματική ακτίνα Μέσου Τμήματος

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  Επομένως     και     2  2 Προσθέτω τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη                22   2   

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   είναι διανυσματική ακτίνα του Μέσου του Τμήματος ΑΓ, επομένως    . Βρήκαμε 2  =   όμως ότι      2    και θέλω να    δείξω ότι      4

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 8.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΔιαμορφώνω τη σχέση     ανάλογα  = 2    γιατί στη σχέση      4  που θέλω να αποδείξω, είναι εκφρασμένο το  και όχι το  .Επομένως για να αλάξω τη φορά του βέλους στο διάνυ-σμα βάζω ένα μείον μπροστά στο πρώτο ΚΑΙ στο δεύ-τερο μέλος της 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΕπομένως η    , γίνεται  = 2          =         22                 22 2   

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 9.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   Βρήκαμε όμως ότι        2    και ότι 2     . Από τις σχέσεις αυτές έχω         2 2           4

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση        και     Συμπέρασμα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   1Επειδή θέλω τη διαφορά   , αφαιρώ τις σχέσεις     και     κατά μέλη και έχω                Όμως α-  πότο σχήμα έχω    . Επομένως από την                1      1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   κ   Σχεδιάζω τα διανύσματα κ    και   = και στη συνέχεια τα προσθέτω με τη μέθοδο του παραλ/ ληλογράμμου για να βρώ το άθροισμα κ    που θα μου δώσει το διάνυσμα .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  κ        =  Με τη μέθοδο του  παραλ/μου   κ      

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Στη συνέχεια σχεδιάζω   τα διανύσματα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ       και  κ        κ     

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.          ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   κ    Με τη μέθοδο του  παραλ/μου     κ    

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10 ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.  Υπόθεση   κ   ,              , κ    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    κ          κ    Συμπέρασμα   / / 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέλω να δείξω ότι / / . Αρκεί να δείξω ότι τα διανύσματα  και  ικανοποιούν τη συν- θήκη της παραλληλίας, δηλαδή     όπουτο  είναι πραγματικός αριθμός. Θεωρώ το ση- μείο Α ως σημείο αναφοράς και εκφράζω το  με τη βοήθεια των διανυσμάτων θέσης  και   . Επομένως    .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.      κ    και κ        ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣεπομένως η      γίνεται      κ     κ                    κ  κ         κ      κ       κ           

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.      κ           ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΤο Α είναι σημείο αναφοράς και τα ,   διανύσματα θέσης . Επομένως      Άρα     κ . Θέλω όμως    Πρέπει να αλάξω τη φορά του διανύσματος  για να μου δώσει το .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 10.ΣΕΛ.26 ΣΧ.Β.Επομένως     κ       κ        ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ   ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ      Όμως,     Άρα   κ          , όπου   κ   .

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1.4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. yx x΄2 2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ y΄Αναζητώ τα σημεία Μ  x, y του επιπέδου για ταοποία ισχύει x  2  x  2. χεδιάζω το καρ-τεσιανό σύστημα συντεταγμένων με τον οριζόντιοάξονα xx΄ και τον κάθετο yy΄. Τα σημεία που ανα-ζητώ βρίσκονται πάνω στις ευθείες x  2 και x  2και οι ευθείες αυτές είναι παράλληλες στον yy΄.

ΠΡΟΣΟΧΗ y yx΄ O x x΄ O x a a  y΄ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ y΄Οι ευθείες της μορφής x  a είναι παράλληλεςστον κάθετο άξονα yy΄, και επαληθεύονται για όλατα y, ενώ οι ευθείες της μορφής y   είναιπαράλληλες στον xx΄ και επαληθεύονται για όλατα x.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.39 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  y x΄  x 2 2  y΄ii) x  2  2  x  2. Επομένως το x παίρνειτιμές στο διάστημα 2, 2. χεδιάζω το καρτε-σιανό σύστημα συντεταγμένων με τον οριζόντιοάξονα xx΄ και τον κάθετο yy΄.Τα σημεία M(x, y)που αναζητώ βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείεςx  2 και x  2 ,δηλαδή, ανάμεσα στις παράλ-ληλες στον yy΄ ευθείες x  2 και x  2