Εξισώσεις & Ανισώσεις Α Λυκειου

Μαθηματικά Α΄Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΤΡΙΩΝΥΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Θέλω να λύσω τη δευτερο- βάθμια τριωνυμική εξίσωση i x2   x    0,   0. Eξετάζω το πρόσημο της διακρίνουσας    2  4 .ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

1 Αν   0 τότε ηi έχει δύο άνισεςπραγματικές ρίζες x1, x2     22 Αν   0 τότε ηi έχει μία διπλήρίζα τη x1, x2    0   2 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

3 Αν Δ<0 τότε η  x2   x    0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλ., δεν λύνεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

παραδείγματαΛύση της άσκησης 1.σελ.69,σχ.βii x2  6x  9  0  1Υπολογίζω τη διακρίνουσα   6  9   2  4ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1.,σελ.69,σχ.β   62  4.1.9    36  36  0  0 Επομένως έχει δύο πραγματικές ρίζες (λύσεις) ίσεςΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1.,σελ.69,σχ.βi 2x2 5x  3  0 a2    2  4    5  3   52  4.2.3   25  24    1  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1.,σελ.69,σχ.βΣυνεπώς η i 2x2  5x  3  0έχει δύο άνισες πραγματικέςρίζες (λύσεις). a3iii 3x2  4x  2  0   4   2  4  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1.,σελ.69,σχ.β   42  4.3.2    16  24    8  0 Συνεπώς ηiii3x2  4x  2  0 δεν έχει πραγματικές ρίζες (λύσεις).ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 2., σελ.69Eνδεικτικά θα λύσουμε τις παρακάτωiii) 3x2  27  0  3x2  0.x  27  0   2  4 a3  0  4.3.27  324  0   324  0   27ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 2.,σελ.69,σχ.β Συνεπώς η iii) 3x2  27  0 δεν έχει ρίζες πραγματικές δηλ. είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγ- ματικών αριθμών.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 2.,σελ.69,σχ.β 2 Τρόπος iii 3x2  27  3x2  27  33 x2  9 Αδύνατη, διότι x2  0, ενώ  9  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση και άλλων παρόμοιων ασκήσεων 1) x2  x  6  0 a 1    2  4    1   12  4.1.6   6    1 24  25  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1)x1, x2      x1, x2  1  25 2 2.1  x1  1 5  6  3  2 2x1, x2  1 5   2  15 4 x2  2  2  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 1) Συνεπώς οι πραγματικές και άνισες ρίζες της 1) x2  x  6  0 είναι οι x1  3 και x2  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση και άλλων παρόμοιων ασκήσεων 2) 2x  x  3  x2  6. Σε αυτές τις περιπτώσεις κάνω επιμεριστικά τις πράξεις: 2x2  2.3  x2  6. Στη συνέχεια χωρίζω γνωστούς από α- γνώστουςΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Συνέχεια της άσκησης 2) Επομένως 2x2  2.3  x2  6  2x2  x2  6  6  x2  0  x0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ασκήσεις για εξάσκηση Με τον ίδιο τρόπο προσπάθησε να λύσεις τις 1) 2x2  x 1  0 2)  2x2  6x  4  0 3)x2  6x  9  0 Aν έχεις δυσκολία επικοινώνησε μαζί μουΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 12.,σελ.70,σχ.β.  x 12  4. x 1  5  0 Σε αυτές τις ασκήσεις θέτω x 1  y , οπότε x 1 2  y2   x 12  y2 διότι x 1 2   x 12ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 12.,σελ.70,σχ.β. Επομένως y2  4 y  5  0 a  1,   4,  5,    2  4    42  4.1.5    16  20  36  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 12.,σελ.70,σχ.β.Άρα y1, y2      y1, y2  4  36 2 2.1 y1  4  6 1 2 y1, y2  4  6  2 y2  4  6  5 2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 12.,σελ.70,σχ.β.Επομένως x 1  y1  1  x 1  1  x 1  1 x 1  1  x  2x 1  1  x  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Εξισώσεις 2ου βαθού με απόλυτα Συνέχεια άσκ.1.i σελ.128 σχ.β. και x 1  y2  5  x 1  5 Αδύνατη, διότι x 1  0 ΠάνταΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις-Παράδειγμα 1) 4x  15  3 2x  4 Πρώτα από όλα σε όλες τις κλα- σματικές εξισώσεις θέτω το πε- ριορισμό ο παρονομαστής να μην είναι μηδέν.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις-Παράδειγμα Eπομένως πρέπει 2x  4  0  2x  4  x  4  2 x  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις-ΠαράδειγμαΔεύτερον παραγοντοποιώ τoν πα-ρονομαστή του όρου της κλασμα-τικής εξίσωσης 1) 4x  15  3 2x  4και έχω 4x  2  15 2  3 xΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις Τρίτον πολ/ζω με το ΕΚΠ = 2 x  2 των παρονομαστών όλους τους όρους της κλασμ. εξίσωσης και έχω:ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις1) 4x  2  15 2  3 , ΕΚΠ=2  x  2 1 x2x  2 4x  2  x  2 2 15 2  x 12 x  23  8x. x  2 15 6. x  2 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις 1) 8x. x  2 15  6. x  2  8x.x  8x.2 15  6x  6.2  8x2 16x 15  6x 12  8x2  16x  6x  12 15  8x2 10x  3  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσεις 1)Κατέληξα δηλαδή σε μία τρυωνυμική εξίσωση , την 8x2 10x  3  0,   8,   10,   3,    2  4    102  4.8.3  100  96 40ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κλασματικές εξισώσειςΕπομένωςx1, x2      10  4 2 2.8 10  2  x1  10  2 16   16x1, x2    10  2  x2 16 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Άρα οι λύσεις της 1) 4x  15  3 2x  4είναι οι  x1  2  1 και είναι  x2  16 8  12  3  16 4 δεκτές εφόσον είναι x1, x2  2ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Είδη εξισώσεων που ανάγονται σε 2ου β. 1)x4  3x2  2  0. Σε αυτές τις ασκήσεις θέτω x2  y οπότε y2  x2 και έχω 1) y2  3y  2  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Διτετράγωνες 1) y2  3y  2  0,   1   3,  2,    2  4    32  4.1.2  9  8   10ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Διτετράγωνεςy1, y2      3  1 2 2.1y1, y2  31  y1  31  4  2 2 y2 22  31  2 1 22ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Διτετράγωνες Επομένως έχω 1 x2  y1  2  x2  2 x 2 2 x2  y2  1  x2  1  x   1  1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Διτετράγωνες Παρατηρώ ότι έχω το πολύ τέσσερις λύσεις στις διτε- τράγωνες, αυτό συμβαίνει γιατί είναι 4 βαθμούΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Στη σελ. 70 του σχ.β. οι λύσεις των ασκήσεων 15.i), ii), iii) στηρίζονται στα παραπάνω.Aν συναντήσεις δυ- σκολία επικοινώνησε μαζί μου.ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Άθροισμα και γινόμενο ριζώνΘεωρώ τη δευτεροβάθμια εξίσωσηi x2   x    0,   0 με Δ  0τότε το άθροισμα των ριζών της είναιx1  x2   και το συμβολίζω με S S  x1  x2   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Άθροισμα και γινόμενο ριζώνΤο γινόμενο των ριζών της τριων.εξ. x2   x   0 είναι x1.x2   και συμβολίζεται με P  x1.x2  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠαράδειγμαΈστω x2  3x  2  0, όπουx1, x2 οι ρίζες της, επομένωςi x1  x2   και ii x1.x2    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Παράδειγμαx2  3x  2  0, a  1,   3,  2, i x1  x2    x1  x2  3  3, ii  x1.x2  1   2  2 1ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Μετασχηματισμός της  x2   x    0,   0,   0 με τη βοήθεια του S=   και του P=  . ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Περιγραφή της διαδικασίαςΔιαιρώ όλους τους όρους τηςax2   x    0 με το  και έχωx2   x    0 i το S      S   επομένως ηi γίνεται x2  S  x  P  0  x2  Sx  P  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 6.,σελ.70,σχ.β. i 'Εχω x1  2 και x2  3 Επομένως S  x1  x2  2  3  S  5 P  x1.x2  2.3  P  6.Επομένως η εξίσωση είναι η x2  Sx  P  0, δηλαδή η x2  5x  6  0ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λύση της άσκησης 6.,σελ.70,σχ.β.ii x1 1 και x2  1, S  x1  x2 2S  1 1  2  1  3 , P  x1.x2 2 2 2 2P  1. 1  1 22ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ