Β Γυμνασίου μαθηματικά όλη η εξεταστέα ύλη

http://www.mathschool-online.orgΜε ποιές μεθόδους βρίσκουμε το άθροισμα διανυσμάτων; Απάντηση Έχουμε δύο μεθόδους, για να βρίσκουμε το άθροισμα διανυσμάτων: Η μέθοδος του πολυγώνουΜεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε ναπροσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων α, β, γ θα είναι το διάνυσμα δ πουέχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας τουτελευταίουΗ μέθοδος του παραλληλογράμμου Μεταφέρουμε τα διανύσματα α, β , έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε τοδπιαανρύασλμλαητλαόγαρακμαμι οβπου έχει πλευρές τα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Η διαγώνιος δ του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων α και β 13η Έρωτηση  Πώς ορίζεται η διαφορά δύο διανυσμάτων ΑΒ και ΓΔ ; Απάντηση    Η διαφορά δύο διανυσμάτων ΑΒ και ΓΔ συμβολίζεται με ΑΒ - ΓΔκαι ορίζεται ως το άθροισμα του ΑΒ με τοαντίθετο διάνυσμα του, ΓΔ δηλαδή με το ΔΓ     ΑΒ − ΓΔ= ΑΒ + (−ΓΔ=) ΑΒ + ΔΓ 14η Ερώτηση  Ποιά είναι η διαφορά δύο διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ με κοινή αρχή; Απάντηση   Η διαφορά ΟΑ − ΟΒδύο διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ με κοινή αρχή Ο,είναι ένα διάνυσμα ΒΑ με αρχή το πέρας του δευτέρου και πέρας το πέρας του πρώτου 7ο ΠαράδειγμαΔίνεται το παραλληλόγραμμοhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org   Τί ισχύει για τις διαγώνιους ΟΓ, ΒΑ; Λύση   Για τις διαγωνίους ΟΓ, ΒΑ του παραπάνω παραλληλογράμμου ισχύει:    ΟΓ = ΟΑ + ΑΓ ↔    ΟΓ= α + β    ΒΑ = ΒΓ + ΓΑ ↔    ΒΑ= α − β 15η Ερώτηση  Πώς γίνεται η ανάλυση ενός διανύσματος F στις δύο κάθετες συνιστώσες του; Απάντηση Η ανάλυση του διανύσματος F στις δύο κάθετες συνιστώσες του, F1 και F2 , γίνεται ως εξής:  Στην αρχή Α του διανύσματος AB = F σχηματίζουμε δύο κάθετες ευθείες x΄x και y΄y, όπως φαίνεται στο σχήμα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΑπό το πέρας Β φέρνουμε δύο κάθετες: τη ΒΓ στη x΄x και τη ΒΔ στη y΄y.Τότε το ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο, επομένως:       AB = AΓ + ΓΒ ↔ AB = AΓ + ΑΔ και επιπλέον   ΑΓ = F1   AΔ = F2 Επομένως    ΑΒ = F1 + F2 ↔    F= F1 + F2 16η Ερώτηση  Με τί είναι ίσα τα μέτρα Fοριζ και Fκαθ των κάθετων συνιστωσών   Fοριζ και Fκαθ μιας δύναμης F ; Απάντησηhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org   Fοριζ = F συνθ   Fκαθ = F ημθ 8ο Παράδειγμα   Αν F = 12Nt και θˆ = 300 να υπολογισθούν τα Fοριζ και Fκαθ Λύση   12 3 = 6 3 NtFοριζ = F συνθ ↔ Fοριζ = 2 =   = 12 1 = 6 NtFκαθ F ημθ ↔ Fκαθ 2 17η ΕρώτησηΠοια γωνία ονομάζεται εγγεγραμένη σε ένα κύκλο (Ο,ρ); ΑπάντησηΜια γωνία xAˆy που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) καιοι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ)http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΠ.χ η γωνία xAˆy είναι εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ) διότιη κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα 18η ΕρώτησηΠώς ονομάζεται το τόξο του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία Απάντηση Το τόξο του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΠ.χ , η εγγεγραμμένη γωνία xAˆy βαίνει στο τόξο  ΒΓ 19η ΕρώτησηΠοιές είναι οι ιδιότητες μιας εγγεγραμένης γωνίας; Απάντηση Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθήΠ.χ , η εγγεγραμμένη γωνία ΑΜˆΒ βαίνει σε ημικύκλιο,επομένως ΑΜˆ Β = 900  Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΠ.χ, τα τόξα ΑΒ και ΓΔ επομένως οι εγγεγραμμένες γωνίες ΑΚˆΒ και ΓΛˆΔ είναι ίσες  Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της Π.χ, =ΒΑˆΓ 1=000 500 2  Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο Π.χ, Α=Μˆ Β 5=00 250 2 20η Ερώτηση http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Ποιες από τις παρακάτω γωνίες είναι εγγεγραμμένες και ποιες επίκεντρες; Απάντηση Οι γωνία αˆ είναι εγγεγραμμένη γιατί η κορυφή της ανήκει στο κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο Ομοίως η γωνία ηˆ είναι εγγεγραμμένηΗ γωνία γˆ είναι επίκεντρη γιατί έχει ως κορυφή το κέντρο Ο του κύκλου και οι πλευράς της τέμνουν το κύκλο Ομοίως οι γωνίες εˆ και θˆ είναι επίκεντρες 21η Ερώτηση Ποιό πολύγωνο λέγεται κανονικό; Απάντηση Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες Παραδείγματα κανονικών πολυγώνων http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org 22η Ερώτηση Ποιά είναι η διαδικασία κατασκευής κανονικού πολυγώνου πλευράς ν; ΑπάντησηΗ διαδικασία κατασκευής ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο βήμα: Υπολογίζουμε τη γωνία ωˆ = 3600 ν 2ο βήμα: Σχηματίζουμε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες ω, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. 3ο βήμα: Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων 9ο Παράδειγμα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Να κατασκευασθεί το κανονικό εξάγωνο Λύση 1ο βήμα=: ωˆ 3=600 3=600 600 ν62ο βήμα: Σχηματίζουμε διαδοχικά 6 επίκεντρες γωνίες ω=600, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε 6 ίσα τόξα 3ο βήμα: Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων 23η Έρωτηση Τί ονομάζουμε κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου; Απάντηση Η επίκεντρη γωνία ενός κανονικού πολυγώνου που είναιεγγεγραμμένο σε κύκλο ονομάζεται κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου Π.χ, η γωνία ω=600 είναι η κεντρική γωνία του κανονικού εξαγώνου 24η Ερώτηση Με τι ισούται η κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου; http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Απάντηση Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με ωˆ = 3600 ν 25η Ερώτηση Τί ονομάζουμε γωνία κανονικού ν-γωνου; ΑπάντησηΣε ένα εγγεγραμμένο κανονικό ν-γωνο οι εγγεγραμμένες γωνίες του ονομάζονται γωνίες του κανονικού ν-γώνου και είναι ίσες μεταξύ τους Π.χ η γωνία φ είναι η γωνία του κανονικού πολυγώνου του σχήματος http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org 26η Ερώτηση Ποιά σχέση συνδέει την γωνία φ κανονικού ν-γώνου με την επίκεντρη γωνία του ω; ΑπάντησηΗ γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου Δηλαδή φˆ + ωˆ =1800 10ο ΠαράδειγμαΝα βρεθούν η γωνία φ κανονικού πενταγώνου και η επίκεντρη γωνία του ω Λύση Το κανονικό πολύγωνο είναι πεντάγωνο,επομένως ν=5 Άρα ωˆ = 3600 ν http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org =ωˆ 3=600 720 5 Γνωρίζω ότιη γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου Επομένως 720 + =φˆ 1800 ↔ =φˆ 1800 − 72=0 1080 φˆ = 1080 27η Ερώτηση Με τι ισούται το μήκος κύκλου; Απάντηση Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση: L=2πρ 11ο Παράδειγμα Ένας κύκλος έχει μήκος L = 16 cm. Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Λύση L=2πρ 16=2πρ16= 2πρ ↔ 8= ρ2π 2π πρ = 2, 54cm28η ΕρώτησηΜε τί ισουται το μήκος λ τόξου μ μοιρών; Απάντησητο μήκος λ τόξου μ μοιρών είναι ίσο μελ = 2πρ μ 36029η ΕρώτησηΠοιά είναι η σχέση που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια ενός τόξου; Απάντηση μ =α 180 π12ο ΠαράδειγμαΝα συμπληρώσετε το παρακάτω πίνακα Λύσηhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Γνωρίζω ότι μ = α (ι) 180 π Θέτω στη σχέση (ι) , α=π/3 και έχωπμ =α ↔ μ =3 ↔ μ =π ↔ μ =1 ↔ 3μ =1800 ↔ μ =1800180 π 180 π 180 3π 180 3 31 μ = 600 Θέτω στη σχέση (ι) , μ=150 και έχωμ = α ↔ 15 = α ↔ 5 = α ↔ 5π = 36α ↔ α = 5π180 π 180 π 36 π 36 α = 5π 36Με παρόμοιο τρόπο λύνονται και τα επόμενα.Προσπάθησε να τα βρείς και αν έχεις απορία επικοινώνησε με το mathschool-online 30η ΕρώτησηΜε τι ισούται το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ; ΑπάντησηΤο εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ2 13ο Παράδειγμαhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΑν το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 25π cm, να βρείτε την ακτίνα του Λύση Γνωρίζω ότι το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ2 Επομένως 25π=πρ2 ρ2 = 25π ↔ ρ2 = 25 ↔ ρ = 25 ↔ ρ = 5 cm π Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kαλή ανάγνωση http://www.mathschoolonline.org