Β Γυμνασίου μαθηματικά όλη η εξεταστέα ύλη

http://www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνTυπολόγιο Μαθηματικών Β Γυμνασίου-ΆλγεβραKεφάλαιο 1ο-Κεφάλαιο 2οΛύση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης αχ+β=0Αν α≠0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την x= -β α2x+3=0<-> 2x=-3Π.χ , <-> 2χ = -3 <->x=- 322 2Αν α=0 η εξίσωση αχ+β=0 γίνεται 0.χ=β Αν στην εξίσωση 0.χ=β το β δεν είναι μηδέν, δηλ.,http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com β≠0η εξίσωση 0.χ=β είναι αδύνατη. Π.χ, 0.x=2, αδύνατη Αν στην εξίσωση 0.χ=β το β=0 η εξίσωση 0.χ=β ονομάζεται ταυτότητα. Π.χ, η 0.χ=0 είναι ταυτότητα Λύση της πρωτοβάθμιας ανίσωσης αχ+β>0Αν α>0 τότε αx+β>0<->αx>-β<->x> -β αΠ.χ , 2x+3>0 <-> 2x>-3 <-> 2x > -3 <->x>- 3 22 2http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.comΑν α<0 τότε αx+β>0<->αx>-β<->x< -β , π.χ, α-2x+3>0<->-2x<-3<-> -2x > -3 <-> x< -3 -2 -2 -2<->x< 3 2Αν α=0 τότε αφού πάω το β στοδεύτερο μέλος και αλλάξω τοπρόσημο η αχ+β>0 γίνεται: 0.χ>-βΑν β>0 η ανίσωση 0.χ>-β αληθεύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς χ. Π.χ, 0.x > -2,αληθεύει για όλα τα χ ∈ Rhttp://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com Aν β<0 αφού πάω το β στο δεύτερο μέλος και αλλάξω το πρόσημο η αχ+β>0 γίνεται: 0.χ>-β που είναι αδύνατη ( )Π.χ, 0.x>- -2 <->0.x>2 αδύνατη Αν β=0 η αχ+β>0 γίνεται: αχ+0>0→0.χ>0 που είναι αδύνατη Τετραγωνική ρίζα Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ένας θετικός αριθμός x, ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον α. Δηλαδή, α =x<->x2 =a,a>0,x>0http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com Π.χ,=4 2=, διότι 22 4 Αν α=0 τότε √������=0Άρρητοι αριθμοίΆρρητοι αριθμοί ονομάζονται οιαριθμοί που δεν μπορούν ναγραφούν στη μορφήμ , οι μ,ν είναι ακέραιοι,με ν≠0νΠραγματικοί αριθμοίΟνομάζονται όλοι οι ρητοί καιόλοι οι άρρητοι αριθμοί. Π.χ,-2= -2 , 3 , 3, 2, 4= 4 12 1 Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool- onlinehttp://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών B΄ Γυμνασίου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο 1.Η έννοια της μεταβλητής 2. Εξισώσεις α΄ βαθμού 3.Επίλυση τύπων 4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 5. Ανισώσεις α΄ βαθμού ΜεταβλητήΤο γράμμα χ ή οποιοδήποτε άλλο που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό λέγεται μεταβλητή Π.χ, 2χ ,(1), για χ=1 η (1) γίνεται 2.1=2 για χ=1/2 η (1) γίνεται 2.(1/2)=1, κ.λ.π Αλγεβρικές παραστάσειςΜια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Π.χ, 2χ+1-3y Επιμεριστική ιδιότητα (α+β).γ=α.γ+β.γ http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com Π.χ, (2+χ).3=2.3+χ.3=6+3χ (α-β).γ=α.γ-β.γ Π.χ, (2-χ).3=2.3-χ.3=6-3χ Αναγωγή ομοίων όρωνΗ διαδικασία με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων. Π.χ, 2χ+3χ+1-6=5χ-5 Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων 1. Αν α=β τότε α+γ=β+γ . Π.χ, α=β →α+1=β+1 2. Αν α=β τότε α-γ=β-γ . Π.χ, α=β →α-1=β-1 3. Αν α=β τότε α.γ=β.γ . Π.χ, 1) α=β→ 3α=3β 2) α=β→ -3α=-3β 4. Αν α=β τότε α/γ=β/γ . Π.χ, α=β → α/4 = β/4 Εξισώσεις πρώτου βαθμούΓια να λύσουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ακολουθούμε την εξής διαδικασία : 1. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 2.Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 3.Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου Π.χ, 1) 3χ+6=0→3χ=-6→3χ/3=-6/3→ http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.comx=-6/3→x=-22) 2x+x+3=0→3x+3=0→3x=-3→3x/3=-3/3→x=-1 Αδύνατη εξίσωση Αν η εξίσωση είναι της μορφής 0.χ=β , όπου το βείναι διάφορο του μηδενός,τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.Π.χ, 0.χ=2,αδύνατη, διότι ότι τιμή και να πάρει το χ όταν πολλαπλασιαστεί με το 0 δίνει 0 και δεν μπορεί το 0 να ισούται με 2 Ταυτότητα Αν η εξίσωση είναι της μορφής 0.χ=0 , τότε η εξίσωση ονομάζεται ταυτότητα διότι αληθεύει για όλα τα χ. Π.χ, χ+1=χ+6-5→χ-χ=-1+6-5→ 0.χ=5-5→0.χ=0 , ταυτότητα , αληθεύει για όλες τις τιμές του χ. Απαλοιφή παρονομαστών Εάν σε μια εξίσωση υπάρχουν παρονομαστές βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών, πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της εξίσωσης με αυτό και απλοποιούμε τα κλάσματα για να γίνει η απαλοιφή. Π.χ, http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com3 − 2x + 1 =5 − 2x , EKΠ=105 10 1010 3 − 10 2x + 1 = 10 5 − 2x →5 10 102.3 − (2x + 1) =5 − 2x →6 − 2x − 1 = 5 − 2x →−2x + 2x =−6 + 1 + 5 →0.x =−5 + 5 →0.x = 0, ταυτότητα Επίλυση τύπων Όταν έχουμε ένα τύπο της μορφής α.β= γ καιθέλουμε να λύσουμε ως προς μια μεταβλητή ,διαιρούμε και τα δύο μέλη του τύπου με όλουςτους άλλους παράγοντες αυτού ως προς το οποίοθέλω να επιλύσω.Π.χ, 1) έχω ακβ=γ και θέλω να λύσω ως προς β:διαιρώ με το ακ και τα δύο μέλη και έχωακβ=γ→ακβ/ακ = γ/ακ→β=γ/ακ2) έχω L=2πρ και θέλω να λύσω ως προς ρ:διαιρώ με το 2π και έχω : L/2π=2πρ/2π→ L/2π=ρ/2π Όταν έχω ένα τύπο της μορφής α+β=2γ και θέλωνα λύσω ως προς β, μεταφέρω όλους τους άλλουςόρους από την άλλη πλευρά.Π.χ, 1) έχω α+β =2γ και θέλω να λύσω ως προς β:α+β=2γ→ β=2γ-a2) έχω α+β+d=2γ και θέλω να λύσω ως προς β:http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com α+β+d=2γ→ β=2γ-a-d Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα , συνήθως το χ , για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του χ. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέχγουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Π.χ, Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 2 είναι ίσο με 36. Να βρεθεί ο αριθμός. Λύση Έστω χ ο άγνωστος αριθμός Το διπλάσιο του είναι 2χ Αυξημένο κατά 2 : 2x+2 Είναι ίσο με 36 : 2x+2=36 Επομένως η εξίσωση είναι : 2x+2=36 http://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com Λύνω την εξίσωση 2x+2=36→2χ=36-2→2χ=34→2χ/2=34/2→χ=17 Ο ζητούμενος αριθμός είναι το 17. Ανισώσεις  Αν α>β τότε α+γ>β+γ και α<β τότε α+γ<β+γ .Π.χ, α>β→α+5>β+5 και α<β→α+5<β+5  Αν α>β τότε α-γ>β-γ και α<β τότε α-γ<β-γ .Π.χ, α>β→α-5>β-5 και α<β→α-5<β-5  Αν α>β και γ>0 τότε α.γ>β.γκαι α<β και γ>0 τότε α.γ<β.γ .Π.χ, γ=5>0 , α>β→α.5>β.5 και α<β→α.5<β.5  Αν Αν α>β και γ<0 τότε α.γ<β.γ και α<β και γ<0 τότε α.γ>β.γ .Π.χ, γ=-5<0 , α>β→α.(-5)<β.(-5) και α<β→α.(-5)>β.(-5)  Αν Αν Αν α>β και γ<0 τότε α/γ<β/γ και α<β και γ<0 τότε α/γ>β/γ .Π.χ, γ=-5<0 , http://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com α>β→α/(-5)<β/(-5) και α<β→α/(-5)>β/(-5)  Αν α>β και γ>0 τότε α/γ>β/γκαι α<β και γ>0 τότε α/γ<β/γ .Π.χ, γ=5>0 , α>β→α/5>β/5 και α<β→α/5<β/5 Πως λύνω ανισώσεις α΄ βαθμού 1 .Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 2. Κάνω αναγωγή ομοίων όρων 3. Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου Προσοχή, όμως ! Αν ο συντελεστής είναι αρνητικός κατά τη διαίρεση αλλάζω τη φορά της ανισότητας Παράδειγμα 2χ-2-3χ-3 < 4χ+8+12→2χ-3χ-4χ < 2+3+8+12→ -5χ < 25→ -5χ/-5 > 25/-5→χ > -5 http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.comΠως παριστάνω τις λύσεις στην ευθεία των πραγματικών αριθμώνΚατασκευάζω την ευθεία χχ΄ των πραγματικών αριθμώντοποθετώ το 0 στο κέντρο και δεξιά – αριστερά τις τιμές που βρήκα. Αν η φορά της ανισότητας δείχνει προς ταδεξιά, > ,παριστάνω τις λύσεις με ένα βέλος προς τα δεξιά → Αν Αν η φορά της ανισότητας δείχνει προς τα αριστερά, < ,παριστάνω τις λύσεις με ένα βέλος προς τα αριστερά ← Π.χ, στο προηγούμενο παράδειγμα : 2χ-2-3χ-3 < 4χ+8+12→2χ-3χ-4χ < 2+3+8+12→ -5χ < 25→ -5χ/-5 > 25/-5→χ > -5 Δεύτερο παράδειγμα 2χ-6<-4χ+6→2χ+4χ<6+6→6χ<12→6χ/6<12/6→χ<2 Ανισώσεις που αληθεύουν για όλα τα χΗ ανίσωση της μορφής 0.χ<α , α>0 , αληθεύει για όλα τα χ. Π.χ, 0.χ<2 , αληθεύει για όλα τα χ, διότι το 0 είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό. http://www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα (σελίδα 34 του σχολικού βιβλίου) 2(χ-1)-3χ(χ+2)<4(χ+1)-5(χ-2) Πρώτα κάνω επιμεριστικά τις πράξεις 2χ-2-3χ-6<4χ+4-5χ+10→2χ-3χ-4χ+5χ>2+6+4+10→ -5χ+5χ>22→0.χ>22, αληθεύει για όλα τα χ , διότι το αποτέλεσμα 0.χ είναι 0 και είναι μεγαλύτερο του 22. Αδύνατες ανισώσεις1.Η ανίσωση της μορφής 0.χ<α , α<0, είναι αδύνατη , διότι το 0 είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθμό.Π.χ, 0.χ<-22, αδύνατη, διότι το 0.χ ισούται με 0 και το 0 είναι μεγαλύτερο από τον αρνητικό αριθμό -22. Παράδειγμα χ+8<χ+1→χ-χ<-8+1→0.χ<-7, αδύνατη , διότι το 0.χ ισούται με 0 που δεν είναι μικρότερο του -7.Το 0 βρίσκεται δεξιότερα από κάθε αρνητικό αριθμό στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. 2. Η ανίσωση της μορφής 0.χ>α , α>0, είναι αδύνατη ,διότι το 0 δεν είναι μεγαλύτερο από κάθε θετικό αριθμό. Π.χ, 0.χ>22, αδύνατη, διότι το 0.χ ισούται με 0 και το 0 http://www.mathschool-online.com 9

http://www.mathschool-online.com δεν είναι μεγαλύτερο από τον θετικό αριθμό 22. Παράδειγμα (σελ.35 του σχολικού βιβλίου) χ+2+2(χ-3)>3χ+4→χ+2+2χ-6>3χ+4→3χ-3χ>-2+6+4→ 0.χ>4+4→0.χ>8, αδύνατη, διότι 0.χ ισούται με 0 που δεν είναι μεγαλύτερο του 8 .Το 0 είναι μικρότερο του 8 (βρίσκεται αριστερότερα στην ευθεία των πραγματικών αριθμών) Διπλή ανίσωση Όταν έχω να λύσω μια διπλή ανίσωση , λύνω κάθε μία χωριστά και στη συνέχεια κατασκευάζω τον άξονα τωνπραγματικών αριθμών για να δω που συναληθεύουν και αν συναληθεύουν. Παράδειγμα (σελ.35 του σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) 3χ-5<χ+3 και (2) 4<14+5χ (1) → 3x-5<x+3→ 3x-x<5+3→2x<8→2x<8/2→x<4 (2) → 4<14+5x→-5x<14-4→-5x<10→ -5x/-5>10/-5→x>-2 http://www.mathschool-online.com 10

http://www.mathschool-online.comΒρήκα x<4 από τη μια ανίσωση και x>-2→-2<χαπό την άλλη , και οι δυο συναληθεύουν για -2<χ<4 , δηλαδή όταν το χ παίρνει τιμές ανάμεσαστο -2 και το 4.Δεύτερο παράδειγμαΝα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων(1) χ+3<0 και (2) χ-2>0 Έχω (1) χ+3<0 →χ<-3(2) x-2>0→x>2Σχεδιάζω γραφικά τις λύσειςΠαρατηρώ ότι δεν έχουν κοινές λύσεις ή όπωςαλλιώς λέμε, δεν συναληθεύουν. Επομένως το http://www.mathschool-online.com 11

http://www.mathschool-online.comσύστημα των δύο ανισώσεων δεν έχει λύση (είναιόπως λέμε αδύνατο).Αν υπάρχει οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 12

http://www.mathschoolonline.org Θεωρία και παραδείγματα υπό μορφή ερωτήσεων-απαντήσεωνΒ΄Γυμνασίου – Άλγεβρα- Μεθοδολογία / Λυμένα παραδείγματα Περιεχόμενα Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Η έννοια της συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Η ευθεία y=αx Ανάλογα ποσά Η ευθεία y = αx + β, β≠0; Αντιστρόφως ανάλογα ποσά y a Η υπερβολή x , x  0 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Απάντηση Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικόςαριθμός x, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α.Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με a Δηλαδή Αν a  0, a  x  x2  a http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 2η Ερώτηση Ποιές ιδιότητες ισχύουν; Απάντηση 2 a a 0 0 α a ββ α.β  α. β 1ο Παράδειγμα 100  10,διότι 102=100 9  3,διότι 32=9 4  4 2 9 93 9.16  9. 16  3.4  12 3η Ερώτηση Τί ονομάζεται άρρητος αριθμός; ΑπάντησηΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός Π.χ, 2  1, 414..... 4η Ερώτηση Από τι αποτελούνται οι πραγματικοί αριθμοί; http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org ΑπάντησηΟι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους αριθμούς 5η Ερώτηση Τί ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών; Απάντηση Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικόαριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας. Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών Π.χ, 6η Ερώτηση Τί ονομάζουμε συνάρτηση ; ΑπάντησηΈστω δύο μεταβλητές x και y και μία σχέση f(x)=y που συνδέει τις μεταβλητές x και y. Μία σχέση f(x)=y όπου κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y λέγεται συνάρτηση 2ο Παράδειγμα Έστω η σχέση y=2x http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Να εξετασθεί αν είναι συνάρτηση Λύση Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών x0 1 2 y024 Παρατηρώ ότι σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή του y Η παραπάνω σχέση εκφράζει μία συνάρτηση 7η Ερώτηση Τί λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων; Απάντηση Ένα προσανατολισμένο σύστημα κάθετων αξόνων των οποίων οι μονάδες μέτρησης έχουν το ίδιο μήκος λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. 8η Ερώτηση Σε πόσα τεταρτημόρια χωρίζει το επίπεδο το σύστημα των αξόνων; ΑπάντησηΤο σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 3ο Παράδειγμα Έστω ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (-3,5/2)=(x,y) το x=-3 ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ και το y=5/2 ονομάζεται τεταγμένη του σημείου Μ Oι (-3,5/2)=(x,y) ονομάζονται συντεταγμένες του Μ ΠροσοχήΚάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 4ο ΠαράδειγμαΝα βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α,Β,Γ Λύση Η τετμημένη του σημείου Α είναι x=2 και η τεταγμένη του είναι y=6 Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (2,6) Η τετμημένη του σημείου Β είναι x=3 και η τεταγμένη του είναι y=1 Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (3,1) Η τετμημένη του σημείου Γ είναι x=-3 και η τεταγμένη του είναι y=2Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (-3,2) http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 9η ΕρώτησηΠοιά είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; ΑπάντησηΗ γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο (Ο,Ο) των αξόνων 5ο Παράδειγμα Na γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x και η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -x Λύση Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών για τη συνάρτησης y = x x0 1 2 y012 Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών για τη συνάρτησης y =- x x0 1 2 y 0 -1 -2 Σχεδιάζω τα σημεία Ο(Ο,Ο) , Α(1,1) και φέρνω την ευθεία http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org y=x που ενώνει τα δύο σημεία Ο και Α Στη συνέχεια σχεδιάζω τα σημεία Ο(Ο,Ο) , Β(1,-1) και φέρνω την ευθεία y = -x που ενώνει τα δύο σημεία Ο και Β 10η Ερώτηση Πώς λέγονται τα ποσά x και y στη σχέση y=αx; Τι συμβολίζει το α; Απάντηση Τα ποσά x και y στη σχέση y=αx ονομάζονται ανάλογα. Το ασυμβολίζει το συντελεστή αναλογίας ή διαφορετικά τη κλίση της ευθείας y=αx 6οΠαράδειγμα Έστω η σχέση y=2x http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών x0 123 y 0246 y 2 4  62 Παρατηρώ ότι ο λόγος x 1 2 3 είναι πάντα σταθερός και ίσος με α=2 Το α=2 ονομάζεται συντελεστής αναλογίας και εκφράζει τη κλίση της ευθείας y=2x 11η Ερώτηση Τί παριστάνει η εξίσωση y = αx + β, β≠0; ΑπάντησηΗ y = αx + β, β≠0 παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο(0, β) του άξονα y'y και είναι παράλληλη της ευθείας με εξίσωση y = αx, Παράδειγμα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Δίνεται η εξίσωση y = 2x + 2 η οποία παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο Γ(0,2) και είναι παράλληλη στην y=2x 12η Ερώτηση y aΔίνεται η σχέση x , x  0. Πώς ονομάζονται τα ποσά x και y; ΑπάντησηΤα ποσά x , x  0 και y ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα, διότιτο γινόμενο των αντιστοίχων τιμών τους a με α ≠ 0 είναι σταθερό 7ο Παράδειγμα y2 Δίνεται η σχέση x Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών x 1 246 y 2 1 1/2 1/3 Παρατηρώ ότι y.x=2.1=1.2=(1/2).4=(1/3).6=2 Δηλαδή το γινόμενο y.x=2 είναι σταθερό και ίσο με α=2 http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org13η Ερώτηση y aΠώς λέγεται η γραφική παράσταση της x , x  0;Απάντηση y aH γραφική παράσταση της συνάρτησης x , x  0;λέγεταιυπερβολή8ο Παράδειγμα y2Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτηση x , x  0Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε [email protected] http://www.mathschoolonline.org

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά Επαναληπτικά Θέματα για εξάσκηση και οι απαντήσεις τους Β΄ Γυμνασίου-Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο Eξισώσεις-Ανισώσεις Κεφάλαιο 2ο Πραγματικοί αριθμοί Ι) Να γίνει η αναγωγή ομοίων όρων στις παρακάτω παραστάσεις: (α) 2x + 4x= , (β) 3α + 2α – 6α=, (γ) ω + 3ω + 4ω =II) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=(χ+1)-2χ+1 για χ=-1 www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com 2.Ι) Να λυθούν οι εξισώσεις (α) 2χ=χ+1 (β) 2(χ+1)=0 ΙΙ) Ο τύπος του εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμου είναι Ε=β.υ Να λυθεί ο τύπος ως προς υ 3.Ι) Να λύσετε τις ανισώσεις και ναπαραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: (α) 2χ+2>2χ (β) 0<χ-1<14. I) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; II) Να υπολογισθούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες (α) 9 , (β) 16 , (γ) 36 www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.comΙΙΙ) Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου του παρακάτω σχήματος. 5. Ποιοι αριθμοί λέγονται άρρητοί; Δώστε ένα παράδειγμα άρρητου αριθμού. Απαντήσεις 1.Ι) (α) 2x + 4x= (2+4)χ=6χ (β) 3α + 2α – 6α=(3+2-6)α=-α (γ) ω + 3ω + 4ω =(1+3+4)ω=8ω II) Η Α=(χ+1)-2χ+1 για χ=-1 γίνεται Α=(-1+1)-2(-1)+1→ www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com Α=0+2+1→Α=3 2.Ι) (α) 2χ=χ+1→2χ-χ=1→Χ=1 (β) 2(χ+1)=0→2χ+2=0→2χ=-2→ 2χ/2=-2/2→Χ=-1 ΙΙ) Ε=β.υ → Ε =βυ ββ Ε =υ β3.Ι) (α) 2χ+2>2χ→2χ-2χ>-2→0χ>-2 Επαληθεύεται για όλα τα χ στο R (β) 0<χ-1<1→ 0<X-1 (i) 0+1<x → 1<x και www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com x-1<1 (ii) x<1+1 → x<2 Eπομένως οι (i) και (ii) συναληθεύουν για 1<χ<24. I) Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, που συμβολίζεται με αλέγεται ένας θετικός αριθμός x ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α Δηλαδή α =χ www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com τέτοιος ώστε χ2 =α II) (α) 9 = 3 διότι 32=9 (β) 16 = 4 διότι 42=16 (γ) 36 = 6 διότι 62=36 ΙΙΙ)Εφαρμόζω το Πυθαγώρειο Θεώρημα www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com x2=32+42=9+16=25 → x2=25→ x= 25 → x=5 5. Kάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Π.χ 3 = 1,732050808...Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kaλή Ανάγνωση! www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Β΄Γυμνασίου-Γεωμετρία Κεφάλαιο 1ο Περιεχόμενα 1.Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας 2.Μονάδες μέτρησης επιφανειών 3.Εμβαδά επίπεδων σχημάτων 4.Πυθαγώρειο θεώρημα 5.Αντίστροφο Πυθαγώρειου θεωρήματος Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειαςΤο εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι έναςθετικός αριθμός που εκφράζει την έκταση πουκαταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο.Οαριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησηςεπιφανειών που χρησιμοποιούμε.Μονάδα μέτρησης επιφανειώνΩς μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε τοτετραγωνικό μέτρο και συμβολίζεται με 1m2Υποδιαιρέσεις του m21m2=100dm2=10000cm2=1000000m http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com ΣημείωσηΓια να μετατρέψουμε ένα εμβαδό στην αμέσως μικρότερη μονάδα,πολλαπλασιάζουμε με το 100. Π.χ, για να μετατρέψω το εμβαδό 2m2 σε dm2 πολλαπλασιάζω με το 100. Επομένως εμβαδό 2m2 αντιστοιχεί σε 2.100=200dm2Για να μετατρέψουμε ένα εμβαδό στην αμέσως μεγαλύτερη μονάδα,διαιρούμε με το 100. Π.χ, για να μετατρέψω το εμβαδό 200dm2 σε m2 διαιρώ με το 100. Επομένως εμβαδό 200dm2 αντιστοιχεί σε 200/100=2m2 Εμβαδόν παραλληλογράμμου Ε=βάση.ύψος Ε=β.υ http://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, εάν η βάση είναι 2cm και το ύψος 3cm,το εμβαδόν είναι : Ε=β.υ→Ε=2.3→Ε=6cm2 Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου Ε=βάση.ύψος Ε=a.βΠ.χ, εαν η βάση είναι 5cm και το ύψος 4cm, το εμβαδό είναι Ε=a.β=5.4→E=20cm2 Εμβαδόν τετραγώνου http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com Ε=α.β, όμως στο τετράγωνο α=β, Ε=α.α → Ε=α2 Π.χ, εάν η πλευρά είναι α=2cm τότε το εμβαδόν είναι : Ε=α2→Ε=22→Ε=4cm2 Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου Ε= βάση.ύψος 2Π.χ, εάν η βάση είναι 6cm και το ύψοςείναι 3cm , το εμβαδόν είναι :Ε= βάση.ύψος 2Ε= 6.3 2Ε= 18 =9cm2 2http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου=Ε βάση.ύψος , όμως, 2το ύψος ισούται με γ .Επομένως , Ε=β.γ 2Π.χ, εάν το ύψος είναι 4cm και η βάση 3cm ,το εμβαδόν :Ε= =β.γ → Ε= 3.4 → Ε= 12 → Ε=6cm2 2 22Εμβαδόν τραπεζίουhttp://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com ( )Μεγ.βάση+μικρ.βάση .ύψος Ε= 2 (Β+β ) .υ Ε= 2Π.χ, εάν Β=6cm και β=2cm και υ=3cm ,το εμβαδόν είναι :Ε= ( )Μεγ.βάση+μικρ.βάση .ύψος( )=Ε 2 Β+β .υ (6+2=)3 2=4 12cm2 = 2 22 Πυθαγώρειο θεώρημα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσαςα2=β2 +γ2Π.χ, εάν οι κάθετες πλευρές β και γ είναι β=3cm και γ=4cm αντίστοιχα, να βρεθεί η υποτείνουσα α Έχουμε:http://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com α2=β2 +γ2 → α2=32 +42 → α2= 9+16=25 → α2=25 → α= 25 → α=5 Αντίστροφο του Πυθαγώρειου θεωρήματος Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων τωνδύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. Π.χ, εάν β=3,γ=4, α=5, έχω : α2=52=25 και β2 +γ2=32 +42 → β2+γ2= 9+16 =25 http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com Επομένως α2=β2 +γ2 Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η ορθή γωνία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά αΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com 8

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Στατιστική Β΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις – Απαντήσεις – Λυμένα παραδείγματα 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε πληθυσμό τί δείγμα και τί μεταβλητή ; Απάντηση Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μελετάμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, λέγεται πληθυσμός. Δείγμα ονομάζεται το υποσύνολο του πληθυσμού που θα μελετήσω Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός πληθυσμού, ονομάζεται μεταβλητή. 1ο Παράδειγμα Για να εκτιμήσουμε το αποτέλεσμα των ερχομένωνβουλευτικών εκλογών, ρωτήσαμε 30.000 φοιτητές για το κόμμα που θα ψηφίσουν. α) Ποιος είναι ο πληθυσμός και ποιο είναι το δείγμα; Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; β) Αν οι φοιτητές προτίμησαν τα κόμματα Α, Β με ποσοστά 20%, 5% αντίστοιχα,να βρείτε πόσοι από αυτούς προτίμησαν το Α κόμμα, πόσοι το Β και πόσοι το Γ; Απάντηση α) Ο πληθυσμός είναι όλοι οι Έλληνες ψηφοφόροι, ενώ το δείγμα είναι οι 30.000 φοιτητές.

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤο δείγμα αυτό δεν είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού,γιατί οι φοιτητές αποτελούν μια ειδική κατηγορία ψηφοφόρων . β) To κόμμα Α το προτίμησαν 3000=0 20 3=00.20 6000 100 Το κόμμα Β το προτίμησαν 30000=5 3=00.5 1500 100 2η Ερώτηση Τί ονομάζουμε συχνότητα ενός δείγματος; Απάντηση Συχνότητα νi ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ 2η Ερώτηση Tί ονομάζουμε σχετική συχνότητα μιας τιμής; Απάντηση Η σχετική συχνότητα fi μιας τιμής, είναι ο αριθμός που προκύπτει αν διαιρούμε τη συχνότητα της τιμής αυτής με το πλήθος όλων των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εκφράζουμε τον αριθμό αυτό ως ποσοστό επί τοις εκατό (%),fi%. 2ο Παράδειγμα Για ένα δείγμα 40 μαθητών μιάς σχολικής τάξης έχουμε τον

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grπαρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνο i Xi νi fi fi% 1 Μουσική 18 0,45 45 2 30 3 Τηλεόραση 12 0,3 12,5 4 7,5 5 Αθλητισμός 5 0,125 5Σύνολο Η/Υ 3 0,075 100 Ξένες 2 0,05 γλώσσες 40 1 www.mathschool-online.com Eπομένως ν1=18 μαθητές στον ελεύθερο χρόνο τουςασχολούνται με τη μουσική,ν2=12 «βλέπουν» τηλεόραση,κ.λ.πΆρα f1%=(ν1/ν)%=(18/40)%=45% των μαθητών ασχολείται με τη μουσική,30% παρακολουθεί τηλεόραση,κ.λπ Παρατηρούμε ότι: το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος,δηλαδή ν1+ν2+ν3+ν4+ν5=18+12+5+3+2=40 3η Ερώτηση Με τι ισούται το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ενός δείγματος;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Απάντηση Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος. Επίσης, παρατηρούμε ότι:το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων ισούται με 100. 4η ΕρώτησηΜε τι ισούται το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων % ενός δείγματος; ΑπάντησηΤο άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων % ισούται με 100 5η Ερώτηση Τί τιμές μπορεί να πάρει μια μεταβλητή; Απάντηση Οι τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή είναι ποιοτικές,δηλαδή όταν οι τιμές δεν είναι αριθμοί, π.χ απασχόληση των μαθητών μιας τάξης στον ελεύθερο χρόνοκαι ποσοτικές ,δηλαδή παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές, π.χ 1,2,3, κλπ ή παίρνουν τιμές σε ένα διάστημα π.χ, (2,6) 6η Ερώτηση Τί είναι το ραβδόγραμμα συχνοτήτων;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Απαντηση Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από ορθογώνιεςστήλες που οι βάσεις τους είναι ισομήκεις και βρίσκονται πάνωστον οριζόντιο άξονα ή τον κατακόρυφο ενώ το ύψος τους είναι ίσο με τη συχνότητα ήτη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική περάσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής 3ο Παράδειγμα Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων για το προηγούμενο παράδειγμα Λύση Ραβδόγραμμα συχνοτήτων20 18181614 1212108 5 36 Η/Υ4 22 Ξένες Γλώσσες0 Μουσική Τηλεόραση Αθλητισμός 7η Ερώτηση Τί είναι το κυκλικό διάγραμμα; Απάντηση

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤο κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς των οποίων τα εμβαδά ή ισοδύναμα τατόξα είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες fi των τιμών της μεταβλητής που μελετάμε 4ο ΠαράδειγμαΝα γίνει το κυκλικό διάγραμμα για το προηγούμενο παράδειγμα Λύση Αν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα έχουμεi xi fi% αi=3600fi1 Μουσική 1620 45 1080 4502 Τηλεόραση 270 30 180 36003 Αθλητισμός 12,54 Η/Υ 7,55 Ξένες Γλώσσες 5Σύνολο 100

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 8η ΕρώτησηΠοιά βήματα ακολουθούμε προκειμένου να ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις Απάντηση Για την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα : 1o Bρίσκουμε τον αριθμό κ των κλάσεων που θα χρησιμοποήσουμε. ο 2 Προσδιορίζουμε το πλάτος των κλάσεων χρησιμοποιώνταςτον τύπο c=R/κ όπου R είναι το εύρος του δείγματος δηλαδή η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος και κ ο αριθμός των κλάσεων Αν ο αριθμός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος τότε στρογγυλοποιούμε πάντα προς τα πάνω ο 3 Κατασκευάζουμε τις κλάσεις : Ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούςλόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθμό c δημιουργούμε τις κ κλάσεις ον 4 Κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων : Ονομάζουμε συχνότητα νi της κλάσης i ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xiτο πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση xi