Β Γυμνασίου μαθηματικά όλη η εξεταστέα ύλη

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Κέντρο της κλάσης [α,β) ή κεντρική τιμή ονομάζεται ο αριθμός (α+β )/2 5ο Παράδειγμα Ζυγίστηκαν 30 φοιτητές και τα βάρη τους σε kg είναι:55 70 69 73 72 59 54 71 67 6260 54 63 52 80 73 74 70 63 6465 58 53 45 56 50 48 57 60 62 Nα ομαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις 1) Πόσες κλάσεις θα χρησιμοποιηθούν 2)Ποιό είναι το πλάτος κάθε κλάσης 3)Να κατασκευασθεί πίνακας συχνοτήτων με στήλες για τη συχνότητα , τη σχετική συχνότητα επί τοις 100, την αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις 100 και την κεντρική τιμή κάθε κλάσης Λύση 1) Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 30, οπότε θα τις χωρίσουμε σε κ=6 κλάσεις 2)Η μεγαλύτερη παρατήρηση είναι 80 και η μικρότερη 45,οπότε το εύρος R είναι ίσο με R=80-45=35 Άρα το πλάτος c κάθε είναι ίσο με c=R/κ = 35/6 =5,83 Eπομένως θα δημιουργήσουμε 6 κλάσεις

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΚλάσεις Κεντρικέςτιμές Συχνό/τα Σχετ.συχν%[ , ) xi νi fi% 45-51 48 3 10 51-57 54 6 20 57-63 60 7 23,33 63-69 66 5 16,67 69-75 72 8 26,67 75-81 78 1 3,33Σύνολο 30 100

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 9η Ερώτηση Τί είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων , και πώς κατασκευάζεται ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων; Απάντηση Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα. Κατασκευάζουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) καθένα από τα οποία έχει βάση με μήκος ίσο με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να είναι ίσο με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Επομένως στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις συχνότητες των κλάσεων Αν οι κλάσεις είναι ισοπλατείς το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσης Aν στον κατακόρυφο άξονα τοποθετήσουμε τις σχετικές συχνότητες ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες τότε παίρνουμε το ιστόγραμμα σχετικών ή αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 6o ΠαράδειγμαΝα κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων για τις παραπάνω παρατηρήσεις

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr Iστόγραμμα συχνοτήτων νi10 887 6 5643210 45-51 51-57 57-63 63-69 69-75 75-81 10η Ερώτηση Πώς βρίσκουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων; Απάντηση Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων,προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. 7o ΠαράδειγμαΟι βαθμολογίες δέκα μαθητών που συμμετείχαν σε διαγώνισμα των μαθηματικών είναι 10,12,13,15,17,10,14,19,18,20 α) Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των 10 μαθητών που συμμετείχαν στο διαγώνισμα Λύση

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr =μ 10 +12 +13 +15 +17 +10 +14 +19 +18 +=20 1=48 14,8 10 10 Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής 11η Ερώτηση Πώς βρίσκουμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής; Απάντηση Eπομένως, για να βρούμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής: Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα. Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων. 8o Παράδειγμα Ο διπλανός πίνακας δείχνει τον αριθμό των τερμάτων που πέτυχε μια ομάδα ποδοσφαίρου στους 15 πρώτους αγώνες πρωταθλήματος.α) Πόσα τέρματα έχει πετύχει συνολικά η ομάδα αυτή και στους 15 αγώνες; β) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός τερμάτων που πετυχαίνει η ομάδα αυτή σε κάθε αγώνα;

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.grΤέρματα Αγώνες 0 1 1 4 2 3 3 5 4 2 15ΣύνολοΣε 1 αγώνα έχει πετύχει 0 τέρματα, 1•0=0άρα σύνολοΣε 4 αγώνες έχει πετύχει 1 τέρμα, άρα 4•1=4σύνολοΣε 3 αγώνες έχει πετύχει 2 τέρματα, 3•2=6άρα σύνολοΣε 5 αγώνες έχει πετύχει 3 τέρματα, 5 • 3 = 15άρα σύνολοΣε 2 αγώνες έχει πετύχει 4 τέρματα, 4•2=8άρα σύνολο Οπότε, συνολικά έχει πετύχει:1 • 0 + 4 • 1 + 3 • 2 + 5 • 3 + 4 • 2 = 0 + 4 + 6 + 15 + 8 = 33 τέρματα.β) Αφού σε 15 αγώνες έχει πετύχει συνολικά 33 τέρματα, ο μέσος όρος για κάθε αγώνα είναι: μ=33/15 -> μ=2,2

Διαδικτυακό φροντιστήριο Μαθηματικών http://www.mathschool-online.gr 12η Ερώτηση Πώς ορίζεται η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων Απάντηση Η Διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως : α)Η μεσαία παρατήρηση όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός ήβ)Ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός 9o Παράδειγμα Να βρεθεί η διάμεσος για τις παρακάτω παρατηρήσεις α) 2,4,10,5,7,6 β) 10,11,4,4,8,9,9 Λύση α) ν=6 παρατηρήσεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 2,4,5,6,7,10 Άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων ης ης παρατηρήσεων της 3 και 4 στη σειρά Επομένως δ=(5+6)/2 =5,5 β)ν=7 παρατήρησεις . Διατάσω τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 4,4,8,9,9,10,11 η Άρα η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση , η 4 κατά σειρά δηλαδή δ=9

http://www.mathschoolonline.org Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών B΄ Γυμνασίου Άλγεβρα / Mεθοδολογία / Λυμένα παραδείγματα Κεφάλαιο 1ο 1.Η έννοια της μεταβλητής 2. Εξισώσεις α΄ βαθμού 3.Επίλυση τύπων4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 5. Ανισώσεις α΄ βαθμού Μεταβλητή Το γράμμα χ ή οποιοδήποτε άλλο που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό λέγεται μεταβλητή Π.χ, το 2χ , για χ=1 γίνεται 2.1=2 Ενώ για χ=1/2 γίνεται 2.(1/2)=1, κ.λ.π Αλγεβρικές παραστάσειςΜια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούςκαι μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Π.χ, 2χ+1-3y http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Επιμεριστική ιδιότητα (α+β).γ=α.γ+β.γ Π.χ, (2+χ).3=2.3+χ.3=6+3χ (α-β).γ=α.γ-β.γ Π.χ, (2-χ).3=2.3-χ.3=6-3χ Αναγωγή ομοίων όρωνΗ διαδικασία με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων. Π.χ, 2χ+3χ+1-6=5χ-5 Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων 1. Αν α=β τότε α+γ=β+γ . Π.χ, α=β →α+1=β+1 2. Αν α=β τότε α-γ=β-γ . Π.χ, α=β →α-1=β-1 3. Αν α=β τότε α.γ=β.γ . Π.χ, 1) α=β→ 3α=3β 2) α=β→ -3α=-3β 4. Αν α=β τότε α/γ=β/γ . Π.χ, α=β → α/4 = β/4 Εξισώσεις πρώτου βαθμούΓια να λύσουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ακολουθούμε την εξής διαδικασία : 1. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org2.Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων3.Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστουΠ.χ,1) 3χ+6=0→3χ=-6→3χ/3=-6/3→ x=-6/3→x=-22) 2x+x+3=0→3x+3=0→3x=-3→ 3x/3=-3/3→x=-1 Αδύνατη εξίσωση Αν η εξίσωση είναι της μορφής 0.χ=β , όπου το βείναι διάφορο του μηδενός,τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.Π.χ, 0.χ=2,αδύνατη, διότι ότι τιμή και να πάρει το χ όταν πολλαπλασιαστεί με το 0 δίνει 0 και δεν μπορεί το 0 να ισούται με 2 Ταυτότητα Αν η εξίσωση είναι της μορφής 0.χ=0 , τότε η εξίσωση ονομάζεται ταυτότητα διότι αληθεύει για όλα τα χ. Π.χ, χ+1=χ+6-5→χ-χ=-1+6-5→ 0.χ=5-5→0.χ=0 , ταυτότητα , αληθεύει για όλες τις τιμές του χ. Απαλοιφή παρονομαστών Εάν σε μια εξίσωση υπάρχουν παρονομαστές βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών, http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.orgπολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της εξίσωσης μεαυτό και απλοποιούμε τα κλάσματα για να γίνει ηαπαλοιφή.Π.χ,3 − 2=x+1 5-2x , E=KΠ 105 10 1010 3 − 10 2x+1 =10 5-2x →5 10 102.3 − (2x+1)=5-2x →6 − 2x-1=5-2x →−2x+2x=-6+1 + 5 →0.x=-5+5 →0.x=0, ταυτότηταΕπίλυση τύπωνΌταν έχουμε ένα τύπο της μορφής α.β= γ και θέλουμε να λύσουμε ως προς μια μεταβλητή , διαιρούμε και τα δύομέλη του τύπου με όλους τους άλλους παράγοντες αυτού ως προς το οποίο θέλω να επιλύσω.Π.χ, 1) έχω ακβ=γ και θέλω να λύσω ως προς β:διαιρώ με το ακ και τα δύο μέλη και έχω ακβ=γ→ακβ/ακ = γ/ακ→β=γ/ακ2) έχω L=2πρ και θέλω να λύσω ως προς ρ:διαιρώ με το 2π και έχω :L/2π=2πρ/2π→ L/2π=ρ/2πhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.orgΌταν έχω ένα τύπο της μορφής α+β=2γ και θέλω να λύσω ως προς β, μεταφέρω όλους τους άλλους όρους από την άλλη πλευρά. Π.χ, 1) έχω α+β =2γ και θέλω να λύσω ως προς β: α+β=2γ→ β=2γ-a 2) έχω α+β+d=2γ και θέλω να λύσω ως προς β: α+β+d=2γ→ β=2γ-a-d Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα , συνήθως το χ , για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του χ. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέχγουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.Π.χ, Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 2 είναι ίσο με 36. Να βρεθεί ο αριθμός. http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Λύση Έστω χ ο άγνωστος αριθμός Το διπλάσιο του είναι 2χ Αυξημένο κατά 2 : 2x+2 Είναι ίσο με 36 : 2x+2=36 Επομένως η εξίσωση είναι : 2x+2=36 Λύνω την εξίσωση 2x+2=36→2χ=36-2→2χ=34→2χ/2=34/2→χ=17 Ο ζητούμενος αριθμός είναι το 17. Ανισώσεις  Αν α>β τότε α+γ>β+γ και α<β τότε α+γ<β+γ .Π.χ, α>β→α+5>β+5 και α<β→α+5<β+5  Αν α>β τότε α-γ>β-γ και α<β τότε α-γ<β-γ .Π.χ, α>β→α-5>β-5 και α<β→α-5<β-5  Αν α>β και γ>0 τότε α.γ>β.γκαι α<β και γ>0 τότε α.γ<β.γ .Π.χ, γ=5>0 , α>β→α.5>β.5 και α<β→α.5<β.5  Αν Αν α>β και γ<0 τότε α.γ<β.γ http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org και α<β και γ<0 τότε α.γ>β.γ .Π.χ, γ=-5<0 , α>β→α.(-5)<β.(-5) και α<β→α.(-5)>β.(-5)  Αν Αν Αν α>β και γ<0 τότε α/γ<β/γ και α<β και γ<0 τότε α/γ>β/γ .Π.χ, γ=-5<0 , α>β→α/(-5)<β/(-5) και α<β→α/(-5)>β/(-5)  Αν α>β και γ>0 τότε α/γ>β/γκαι α<β και γ>0 τότε α/γ<β/γ .Π.χ, γ=5>0 , α>β→α/5>β/5 και α<β→α/5<β/5 Πως λύνω ανισώσεις α΄ βαθμού 1 .Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 2. Κάνω αναγωγή ομοίων όρων 3. Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου Προσοχή, όμως ! Αν ο συντελεστής είναι αρνητικός κατά τη διαίρεση αλλάζω τη φορά της ανισότητας Παράδειγμα 2χ-2-3χ-3 < 4χ+8+12→2χ-3χ-4χ < 2+3+8+12→ -5χ < 25→ -5χ/-5 > 25/-5→χ > -5 http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Πως παριστάνω τις λύσεις στην ευθεία των πραγματικών αριθμώνΚατασκευάζω την ευθεία χχ΄ των πραγματικών αριθμώντοποθετώ το 0 στο κέντρο και δεξιά – αριστερά τις τιμές που βρήκα. Αν η φορά της ανισότητας δείχνει προς ταδεξιά, > ,παριστάνω τις λύσεις με ένα βέλος προς τα δεξιά → Αν Αν η φορά της ανισότητας δείχνει προς τα αριστερά, < ,παριστάνω τις λύσεις με ένα βέλος προς τα αριστερά ← Π.χ, στο προηγούμενο παράδειγμα : 2χ-2-3χ-3 < 4χ+8+12→2χ-3χ-4χ < 2+3+8+12→ -5χ < 25→ -5χ/-5 > 25/-5→χ > -5 Δεύτερο παράδειγμα 2χ-6<-4χ+6→2χ+4χ<6+6→6χ<12→6χ/6<12/6→χ<2 http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Ανισώσεις που αληθεύουν για όλα τα χΗ ανίσωση της μορφής 0.χ<α , α>0 , αληθεύει για όλα τα χ. Π.χ, 0.χ<2 , αληθεύει για όλα τα χ, διότι το 0 είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό. Παράδειγμα (σελίδα 34 του σχολικού βιβλίου) 2(χ-1)-3χ(χ+2)<4(χ+1)-5(χ-2) Πρώτα κάνω επιμεριστικά τις πράξεις 2χ-2-3χ-6<4χ+4-5χ+10→2χ-3χ-4χ+5χ>2+6+4+10→ -5χ+5χ>22→0.χ>22, αληθεύει για όλα τα χ , διότι το αποτέλεσμα 0.χ είναι 0 και είναι μεγαλύτερο του 22. Αδύνατες ανισώσεις1.Η ανίσωση της μορφής 0.χ<α , α<0, είναι αδύνατη , διότι το 0 είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθμό.Π.χ, 0.χ<-22, αδύνατη, διότι το 0.χ ισούται με 0 και το 0 είναι μεγαλύτερο από τον αρνητικό αριθμό -22. Παράδειγμα χ+8<χ+1→χ-χ<-8+1→0.χ<-7, αδύνατη , διότι το 0.χ ισούται με 0 που δεν είναι μικρότερο του -7. http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.orgΤο 0 βρίσκεται δεξιότερα από κάθε αρνητικό αριθμό στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. 2. Η ανίσωση της μορφής 0.χ>α , α>0, είναι αδύνατη ,διότι το 0 δεν είναι μεγαλύτερο από κάθε θετικό αριθμό. Π.χ, 0.χ>22, αδύνατη, διότι το 0.χ ισούται με 0 και το 0 δεν είναι μεγαλύτερο από τον θετικό αριθμό 22. Παράδειγμα (σελ.35 του σχολικού βιβλίου) χ+2+2(χ-3)>3χ+4→χ+2+2χ-6>3χ+4→3χ-3χ>-2+6+4→0.χ>4+4→0.χ>8, αδύνατη, διότι 0.χ ισούται με 0 που δεν είναι μεγαλύτερο του 8 .Το 0 είναι μικρότερο του 8 (βρίσκεται αριστερότερα στην ευθεία των πραγματικών αριθμών) Διπλή ανίσωση Όταν έχω να λύσω μια διπλή ανίσωση , λύνω κάθε μία χωριστά και στη συνέχεια κατασκευάζω τον άξονα των http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.orgπραγματικών αριθμών για να δω που συναληθεύουν και αν συναληθεύουν. Παράδειγμα (σελ.35 του σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) 3χ-5<χ+3 και (2) 4<14+5χ (1) → 3x-5<x+3→ 3x-x<5+3→2x<8→2x<8/2→x<4 (2) → 4<14+5x→-5x<14-4→-5x<10→ -5x/-5>10/-5→x>-2 Βρήκα x<4 από τη μια ανίσωση και x>-2→-2<χ από την άλλη , και οι δυο συναληθεύουν για -2<χ<4 , δηλαδή όταν το χ παίρνει τιμές ανάμεσα στο -2 και το 4. Δεύτερο παράδειγμα Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) χ+3<0 και (2) χ-2>0 http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Έχω (1) χ+3<0 →χ<-3(2) x-2>0→x>2Σχεδιάζω γραφικά τις λύσειςΠαρατηρώ ότι δεν έχουν κοινές λύσεις ή όπωςαλλιώς λέμε, δεν συναληθεύουν. Επομένως τοσύστημα των δύο ανισώσεων δεν έχει λύση (είναιόπως λέμε αδύνατο).Αν υπάρχει οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε μετο mathschool-online !Καλή ανάγνωση ! http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Θεωρία και παραδείγματα υπό μορφή ερωτήσεων-απαντήσεωνΒ΄Γυμνασίου – Άλγεβρα- Μεθοδολογία / Λυμένα παραδείγματα Περιεχόμενα Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Η έννοια της συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Η ευθεία y=αx Ανάλογα ποσά Η ευθεία y = αx + β, β≠0; Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Η υπερβολή y = a , x ≠ 0 x 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Απάντηση Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικόςαριθμός x, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α.Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με a Δηλαδή Αν a ≥ 0 , a =x ↔ x2 =a http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 2η Ερώτηση Ποιές ιδιότητες ισχύουν; Απάντηση 2 a =a 0 =0 α= a ββ α.β = α. β 1ο Παράδειγμα 100 = 10 ,διότι 102=100 9 = 3,διότι 32=9 =4 =4 2 9 93 9.=16 9. =16 3=.4 12 3η Ερώτηση Τί ονομάζεται άρρητος αριθμός; ΑπάντησηΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός Π.χ, 2 = 1, 414..... 4η Ερώτηση Από τι αποτελούνται οι πραγματικοί αριθμοί; http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org ΑπάντησηΟι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους αριθμούς 5η Ερώτηση Τί ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών; Απάντηση Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικόαριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας. Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών Π.χ, 6η Ερώτηση Τί ονομάζουμε συνάρτηση ; ΑπάντησηΈστω δύο μεταβλητές x και y και μία σχέση f(x)=y που συνδέει τις μεταβλητές x και y. Μία σχέση f(x)=y όπου κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y λέγεται συνάρτηση 2ο Παράδειγμα Έστω η σχέση y=2x http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Να εξετασθεί αν είναι συνάρτηση Λύση Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών x0 1 2 y024 Παρατηρώ ότι σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή του y Η παραπάνω σχέση εκφράζει μία συνάρτηση 7η Ερώτηση Τί λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων; ΑπάντησηΈνα προσανατολισμένο σύστημα κάθετων αξόνων των οποίων οι μονάδες μέτρησης έχουν το ίδιο μήκος λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. 8η Ερώτηση Σε πόσα τεταρτημόρια χωρίζει το επίπεδο το σύστημα των αξόνων; ΑπάντησηΤο σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 3ο Παράδειγμα Έστω ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (-3,5/2)=(x,y) το x=-3 ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ και το y=5/2 ονομάζεται τεταγμένη του σημείου Μ Oι (-3,5/2)=(x,y) ονομάζονται συντεταγμένες του Μ ΠροσοχήΚάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 4ο ΠαράδειγμαΝα βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α,Β,Γ Λύση Η τετμημένη του σημείου Α είναι x=2 και η τεταγμένη του είναι y=6 Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (2,6) Η τετμημένη του σημείου Β είναι x=3 και η τεταγμένη του είναι y=1 Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (3,1) Η τετμημένη του σημείου Γ είναι x=-3 και η τεταγμένη του είναι y=2Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (-3,2) http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 9η ΕρώτησηΠοιά είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; ΑπάντησηΗ γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο (Ο,Ο) των αξόνων 5ο Παράδειγμα Na γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x και η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -x Λύση Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών για τη συνάρτησης y = x x0 1 2 y012 Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών για τη συνάρτησης y =- x x0 1 2 y 0 -1 -2 Σχεδιάζω τα σημεία Ο(Ο,Ο) , Α(1,1) και φέρνω την ευθεία http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org y=x που ενώνει τα δύο σημεία Ο και Α Στη συνέχεια σχεδιάζω τα σημεία Ο(Ο,Ο) , Β(1,-1) και φέρνω την ευθεία y = -x που ενώνει τα δύο σημεία Ο και Β 10η Ερώτηση Πώς λέγονται τα ποσά x και y στη σχέση y=αx; Τι συμβολίζει το α; Απάντηση Τα ποσά x και y στη σχέση y=αx ονομάζονται ανάλογα. Το ασυμβολίζει το συντελεστή αναλογίας ή διαφορετικά τη κλίση της ευθείας y=αx 6οΠαράδειγμα Έστω η σχέση y=2x http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμώνx0 123y 0246Παρατηρώ ότι ο λόγος y= 2= 4= 6= 2 είναι πάντα x 1 2 3σταθερός και ίσος με α=2Το α=2 ονομάζεται συντελεστής αναλογίας και εκφράζει τη κλίση της ευθείας y=2x 11η Ερώτηση Τί παριστάνει η εξίσωση y = αx + β, β≠0; ΑπάντησηΗ y = αx + β, β≠0 παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο(0, β) του άξονα y'y και είναι παράλληλη της ευθείας με εξίσωση y = αx, Παράδειγμα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org Δίνεται η εξίσωση y = 2x + 2 η οποία παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο Γ(0,2) και είναι παράλληλη στην y=2x 12η ΕρώτησηΔίνεται η σχέση y = a , x ≠ 0 . Πώς ονομάζονται τα ποσά x και y; x ΑπάντησηΤα ποσά x , x ≠ 0 και y ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα, διότιτο γινόμενο των αντιστοίχων τιμών τους a με α ≠ 0 είναι σταθερό 7ο Παράδειγμα Δίνεται η σχέση y = 2 x Σχηματίζω τον εξής πίνακα τιμών x 1 246 y 2 1 1/2 1/3 Παρατηρώ ότι y.x=2.1=1.2=(1/2).4=(1/3).6=2 Δηλαδή το γινόμενο y.x=2 είναι σταθερό και ίσο με α=2 http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.org 13η Ερώτηση Πώς λέγεται η γραφική παράσταση της y = a , x ≠ 0 ; x ΑπάντησηH γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a , x ≠ 0 ;λέγεται x υπερβολή 8ο ΠαράδειγμαΔίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτηση y = 2 ,x≠0 xΑν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschoo-online http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschoolonline.orghttp://www.mathschoolonline.org

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά Επαναληπτικά θέματα για εξάσκηση και οι απαντήσεις τους από το mathschool-online Β΄ Γυμνασίου-Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο Eξισώσεις-Ανισώσεις Κεφάλαιο 2ο Πραγματικοί αριθμοί Ι) Να γίνει η αναγωγή ομοίων όρων στις παρακάτω παραστάσεις: (α) 2x + 4x= , (β) 3α + 2α – 6α=, (γ) ω + 3ω + 4ω =II) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=(χ+1)-2χ+1 www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com για χ=-1 2.Ι) Να λυθούν οι εξισώσεις (α) 2χ=χ+1 (β) 2(χ+1)=0 ΙΙ) Ο τύπος του εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμου είναι Ε=β.υ Να λυθεί ο τύπος ως προς υ 3.Ι) Να λύσετε τις ανισώσεις και ναπαραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: (α) 2χ+2>2χ (β) 0<χ-1<14. I) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; II) Να υπολογισθούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com (α) 9 , (β) 16 , (γ) 36ΙΙΙ) Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου του παρακάτω σχήματος. 5. Ποιοι αριθμοί λέγονται άρρητοί; Δώστε ένα παράδειγμα άρρητου αριθμού. Απαντήσεις 1.Ι) (α) 2x + 4x= (2+4)χ=6χ (β) 3α + 2α – 6α=(3+2-6)α=-α (γ) ω + 3ω + 4ω =(1+3+4)ω=8ω II) Η Α=(χ+1)-2χ+1 για χ=-1 www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.comγίνεταιΑ=(-1+1)-2(-1)+1→Α=0+2+1→Α=32.Ι) (α) 2χ=χ+1→2χ-χ=1→Χ=1(β) 2(χ+1)=0→2χ+2=0→2χ=-2→2χ/2=-2/2→Χ=-1ΙΙ) Ε=β.υ →Ε = ββυβΕ =υβ3.Ι) (α) 2χ+2>2χ→2χ-2χ>-2→0χ>-2Επαληθεύεται για όλα τα χ στο R(β) 0<χ-1<1→ 0<X-1 (i)www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com 0+1<x → 1<x και x-1<1 (ii) x<1+1 → x<2 Eπομένως οι (i) και (ii) συναληθεύουν για 1<χ<24. I) Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, που συμβολίζεται με αλέγεται ένας θετικός αριθμός x ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α Δηλαδή www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com α =χ τέτοιος ώστε χ2 =α II) (α) 9 = 3 διότι 32=9 (β) 16 = 4 διότι 42=16 (γ) 36 = 6 διότι 62=36 ΙΙΙ)www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com Εφαρμόζω το Πυθαγώρειο Θεώρημα x2=32+42=9+16=25 → x2=25→ x= 25 → x=5 5. Kάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Π.χ 3 = 1,732050808...Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com Kaλή Ανάγνωση!www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.orgΘεωρία και παραδείγματα με μορφή ερωτήσεων -απαντήσεων Β΄ Γυμνασίου-Γεωμετρία / Mεθοδολογία / Λυμένα παραδείγματα Περιεχόμενα Εφαπτομένη οξείας γωνίας Ημήτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Μεταβολές ημητόνου,συνημιτόνου,εφαπτομένης Τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30,45,60 μοιρών Η έννοια του διανύσματος Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Ανάλυση διανύσματος σε δύο συνιστώσεις Εγγεγραμμένες γωνίες Κανονικά πολύγωνα Μήκος κύκλου-Μήκος τόξου Εμβαδό κυκλικού δίσκου 1η Ερώτηση Τι ονομάζουμε εφαπτομένη οξείας γωνίας; ΑπάντησηΕφαπτομένη οξείας γωνίας ω ονομάζουμε το σταθερό λόγο που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά τις γωνίας ω με την προσκείμενη κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΔηλαδή αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο και ω μια οξεία γωνία του τότεεφω = ΑΓ ΑΒ 2η Ερώτηση Τί ονομάζουμε κλίση μιας ευθείας y=αx ; AπάντησηΚλίση α μιας ευθείας με εξίσωση y = αx είναι η εφαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x'x α=εφωhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org 1ο Παράδειγμα Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = 75 cm και ΑΒ=100cm. Να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας θ Λύση=εφθ =απέναντι κάθετη πλευρά ΑΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά ΑΒ ε=φθ =75 0, 75 100 3η Ερώτηση Τί ονομάζουμε ημίτονο οξείας γωνίας; Απάντηση Ο σταθερός λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, λέγεται ημίτονο της γωνίας ω http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org ημω = απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα 4η Ερώτηση Τί ονομάζουμε συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ω; Απάντηση Ο σταθερός λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενόςορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, ε λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω συνω = προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα 2ο Παράδειγμα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΘεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρέςΑΒ = 8cm και ΑΓ = 15 cm. Να υπολογίσετε το ημίτονο , το συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας ω ΛύσηΥπολογίζω προηγουμένως τηνυποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Β=Γ2 ΑΒ2 + ΑΓ2ΒΓ2 =82 + 152 ↔ ΒΓ2 =64 + 225 ↔ΒΓ2 = 289 ↔ ΒΓ = 289 ↔ ΒΓ = 17Υπολογίζω το ημίτονο της οξείας γωνίας ωημω = απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα ημω = 15 17Υπολογίζω το συνιμήτονο της οξείας γωνίας ω συνω = προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org συνω = 8 17 Υπολογίζω την εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω=εφθ =απέναντι κάθετη πλευρά ΑΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά ΑΒ εφθ = 15 8 5η Ερώτηση Τί μεταβολή έχουμε στο ημίτονο ,το συνημίτονο και στην εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω όταν αυτή αυξάνεται; Απάντηση Όταν μια οξεία γωνία ω αυξάνεται, τότε: αυξάνεται το ημίτονό της, ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η εφαπτομένη της 6η Ερώτηση Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα οι γωνίες αυτές είναι ίσες; Απάντηση Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες Δηλαδή αν ημω=ημθ τότε ω=θ 7η Ερώτηση Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα οι γωνίες αυτές είναι ίσες; http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org ΑπάντησηΑν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες Δηλαδή αν συνω=συνθ τότε ω=θ 8η Ερώτηση Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτομένες οι γωνίες αυτές είναι ίσες; Απάντηση Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες Δηλαδή αν εφω=εφθ τότε ω=θ 3ο Παράδειγμα Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = 6 cm, OB = 8 cm και ΑΓ = 2 cm. Να υπολογίσετε την απόσταση ΒΔ Λύση Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ υπολογίζω το ημθ ημθ = ΑΓ ΟΑ http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΔ υπολογίζω το ημθ ημθ = ΒΔ ΟΒ Επομένως η=μθ Α=Γ η=μθ ΒΔ ΟΑ ΟΒ ΑΓ = ΒΔ ΟΑ ΟΒ2 = χ ↔ 2.8 = 6χ ↔ 16 = 6χ ↔ χ = 16 ↔ χ = 868 63 Άρα ΒΔ = 8 3 4ο ΠαράδειγμαΝα χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο) ημ12°<ημ15° Σ συν12°<συν15° Λ εφ12°<εφ15° Σ ημ17°>ημ15° Σ 5ο Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακαςhttp://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Να υπολογισθεί η παράσταση Α = ημ30° - συν60° - 2συν30° - συν45° + ημ45° Λύση Α = ημ30° - συν60° - 2συν30° - συν45° + ημ45° Α=(1/2)-(1/2)-2 3 - 2 + 2 222 Α= − 3 9η Ερώτηση  Ποιά στοιχεία έχει ένα διάνυσμα ΑΒ ; Απάντηση  Ένα διάνυσμα ΑΒ έχει τα εξής στοιχεία: α) Διεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή. β) Φορά, που καθορίζεται από την αρχή Α και το πέρας Βγ) Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμουτμήματος ΑΒ, το οποίο συμβολίζουμε με ΑΒ Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμός θετικός ή μηδέν. http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.orgΗ διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος 10η Ερώτηση   Πότε δύο διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ίσα; Απάντηση  Δύο διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα 11η Ερώτηση   Πότε δύο διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίθετα; http://www.mathschoolonline.org

http://www.mathschool-online.org Απάντηση  Δύο διανύσματα ΑΒ και ΓΔ είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά 6ο ΠαράδειγμαΣτο εξάγωνο του διπλανού σχήματος όλες οι πλευρές είναι ίσες.      Από τα διανύσματα ΑΒ,ΒΓ, ΔΓ, ΕΔ, ΕΖ ποια είναι ίσα και ποια αντίθετα; Λύση      ΑΒ =ΒΓ =ΕΖ =−ΔΓ =−ΕΔ 12η Ερώτηση http://www.mathschoolonline.org