Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης συναρτήσεις όρια συναρτήσεων παράγωγος συνάρτηση ολοκληρώματα

http://www.mathschool-online.grΓνωρίζω από την υπόθεση ότι f (1) = 0( )Θέτω στηνfx = ln x + x2 + c 2x=1 και έχω( )f 1 = ln1 + 12 + c ↔ 0= ln1 + 12 + c ↔ 220 =0 + 12 + c ↔ 0 =1 + c ↔ c =− 122 2Eπομένως( )f x = ln x + x2 − 1 22Ορισμένο ολοκλήρωμα6η ΕρώτησηAν f είναι μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] με f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ a, βτι εκφράζει το ορισμένο ολοκλήρωμαβ∫ f(x)dx ;αΑπάντησηΤο ορισμένο ολοκλήρωμαhttp://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr β ∫ f(x)dx αεκφράζει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τηγραφική παράσταση της f τις ευθείες x=a και x=β και τον άξονα xx΄ 7η Ερώτηση Να αναφέρετε τρείς ιδιότητες που ισχύουν στο ορισμένο ολοκλήρωμα Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] a ∫ f (x)dx = 0 a βα ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx aβ http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr β ∫ c=dx c (β − α) a Αν γ ∈ α,β τότε β γβ ∫=f(x)dx ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx α αγ Αν f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ a, β τότε β ∫ f (x)dx ≥ 0 a 4ο Παράδειγμα 6 Αν ∫ f (x)dx = 12 2 και 6 ∫ f (x)dx = 6 3 Να υπολογισθεί το 3 ∫ f(x)dx 2http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Λύση 6 36 ∫=f(x)dx ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx 2 23 3 =12 ∫ f (x)dx + 6 ↔ 2 3 1=2 − 6 ∫ f (x)dx ↔ 2 3 ∫ f (x)dx = 6 2 5ο Παράδειγμα Aν a > 0 α x+2 α 1x dx − xdx =0 1 ∫ ∫και Να υπολογισθεί το α Λύση∫ ∫ ∫α x + 2 dx − α xdx =0 → a x + 2 − xdx =0 →1x 1 1x∫ ∫a2+dx =0 a 1 dx =0 → 2[ln x ]1a =0x x1 →2 1 2[ln x ]1a =0 → 2 ln a − ln1 =0 → http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr2 ln a − 0 = 0 → 2ln a = 0 → ln a = 0 → e0 = a → a = 1 8η ΕρώτησηΈστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] ,τι x ∫ ( )παριστάνει η συνάρτηση F(x) = f t dt α Aπάντηση x( )∫Η συνάρτηση F(x) = f t dt αΠαριστάνει μία παράγουσα της f , δηλαδή ισχύει ( ) ( ) x ′=F′(x) =∫α f t dt  f x , για κάθε x ∈ α, β 9η Ερώτηση g(x) Αν F(x) = ∫ f (t)dt αμε τι ισούται η παράγουσα F′(x) ; Απάντηση g(x) ′( )( ) ( ) ( )=F′(x) =∫α f t dt g′ x f g xhttp://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 6ο Παράδειγμα  x3 ′( ) ( )=F′(x) =∫α συνtdt x=3 ′ συνx3 3x2συνx3 10η ΕρώτησηΈστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [a,β] και F μια παράγουσα της f στο [a,β].Με τι ισούται το β ∫ f(x)dx a Απάντηση β ∫ f (x=)dx [F(x=)] αβ F (β) − F(α) a 7ο Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 1 11 15 ∫ ∫ ∫x2=xdx x2=.x2dx =x2dx 000 5 +1 1  7 1  7 1 2  x  = x2  = 2. x2  = 2 (1 − 0) = 2 5 +1     7  7 2 0  7  0 7  2 0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 11η ΕρώτησηΈστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] ,τι παριστάνει γεωμετρικά το ορισμένο ολοκλήρωμα β Ω = ∫ f (x)dx α Απάντηση β ∫ ( )Το ορισμένο ολοκλήρωμα Ω = f x dx α παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f τις ευθείες x=α και x=β και τον άξονα xx΄ 12η ΕρώτησηΠοιά βήματα ακολουθούμε προκειμένου να υπολογίσουμε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα xx΄ ΑπάντησηΛύνω την εξίσωση f(x)=0 για να βρω τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx΄ Βρίσκω το πρόσημο της f(x)(δηλαδή πότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτωή πάνω από τον άξονα xx΄) στα διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες της f(x)=0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Eπομένως x4 x2 x3 x4( ) ( ) ( )Ω =∫ f(x)dx =− ∫ f x dx + ∫ f x dx − ∫ f x dx x1 x1 x2 x3 8ο Παράδειγμα 2 ∫ ( )Na υπολογισθεί το εμβαδό Ω = f x dx 0 με f(x)=-x2 Λύση 2 ∫Το ορισμένο ολοκλήρωμα Ω = f(x) dx 0 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τηγραφική παράσταση της f τις ευθείες x=0 και x=2 και τον άξονα xx΄ f(x)<0 για x ∈ 0, 2 επομένως 22Ω = ∫ f(x)dx = −∫ f (x) dx 00 2 −x2dx 2 x2dx  x3 2 =8∫ ∫Ω = 3  3=− = 0  0 0http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 13η ΕρώτησηΠοιά βήματα ακολουθούμε προκειμένου να υπολογίσουμε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων f και g ΑπάντησηΛύνω την εξίσωση f(x)=g(x) και με το τρόπο αυτό βρίσκω τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g Bρίσκω το πρόσημο της διαφοράς f(x)-g(x) σταδιαστήματα που ορίζουν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g Eκφράζω το εμβαδό Ε ως άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους χωρίων ( ) ( )x3 ∫E = E1 + E2 → f x − g x dx = x1 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr ( ) ( )x2 x3 ∫ (f x − g x )dx + ∫ (g(x) − f(x))dx = x1 x2 ( ) ( )x2 x3 ∫ (f x − g x )dx − ∫ (f(x) − g(x))dx = x1 x2 9ο ΠαράδειγμαΝα βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x2 και της ευθείας g(x)=x+2 Λύση Βρίσκω τα σημεία τομής της Cf με την Cg για το σκοπό αυτό λύνω την εξίσωση f(x)=g(x)->x2=x+2-> x2-x-2=0->(x+1)(x-2)=0 άρα τα σημεία τομής της Cf με την Cg http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr είναι τα σημεία Α και Β με τετμημένες x=-1 και x=2Βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς f(x)-g(x) στο διάστημα [-1,2]x -1 2(x+1) - 0 + +(x-2) - - - 0f(x)-g(x) + 0 - 0 Επομένως f(x)-g(x)<0 στο διάστημα [-1,2] Αρα 22 2Ε= ∫ f (x) − g(x)dx= ∫ (g(x) − f(x))dx= ∫ (x + 2 − x2)dx → −1 −1 −1 2 22 Ε = ∫ xdx + ∫ 2dx + ∫ x2dx → −1 −1 −1 Ε = [ x2 ]−12 + 2[x] 2 +[ x3 ]−12 → 2 −1 3 Ε = 4 − 1 + 2(2 + 1) + 8 − −1 → 22 33Ε= 3 + 6+ 9 = 9 + 36 + 18 = 63 = 21 → Ε = 10, 5 2 3 66 6 6 2 http://www.mathschool-online.gr