Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης συναρτήσεις όρια συναρτήσεων παράγωγος συνάρτηση ολοκληρώματα

http://www.mathschool-online.gr/elearningΗ συνάρτηση f(x)=1-lnx είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεωνΕπιπλέον η f είναι φθίνουσα , επομένως το σύνολο τιμών ( ) ( )( )της είναι το f(Δ)=(limx→+∞ f x ,limx→0 f x )= −∞, +∞ 27ο ΠαράδειγμαΈστω f μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] Αν f (a) ≠ f (β)( )Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ α, β τέτοιο ώστε f (x0 ) = f (a) + f (β) 2 Λύση Τρόπος εργασίας Γράφουμε τη σχέση f (x0 ) = f (a) + f (β) 2 ως εξήςf=(x ) f(a) + f (β) ↔ f(x ) − f(a) + f (β) 0 22 =http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Θέτουμεh(x) =f (x ) − f (a) + f (β) , x ∈ a, β 2 ΕπομένωςΗ συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων επιπλέονh(α) =f (α) − f(a) + f (β) = 22f (α) − (f (α) + f (β)) f (α) − f (β) = 22 καιh(β) =f (β) − f(a) + f (β) = 2 2f (β) − (f (α) + f (β)) = 2 f(β) − f(α) f(α) − f(β) =− 22 Επομένως h(a).h(β)<0Άρα από το θεώρημα Bolzano , υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (a,β)http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Τέτοιο ώστε(h x0 ) =0 ↔ f (x0 ) − f (a) + f (β) =0 ↔ 2 (a) f (β) f (x0 ) = f + 2Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kaλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Διαφορικός λογισμόςΓ΄ΛυκείουΕρωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα1η ΕρώτησηΠότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; ΑπάντησηΜια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο( ) ( )limx→x0 f x − f x0 x − x0και είναι πραγματικός αριθμόςΤο παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x0),οπότε έχω( ) ( ) ( )limx→x0f x − f x0 = f′ x0 x − x02η ΕρώτησηΝα δείξετε ότι ( ) ( )fx0( )limh→0x0 + h − f = f′ x0 hhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 1

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση Θέτω στη σχέση ( ) ( ) ( )limx→x0f x − f x0 = f′ x0 x − x0 x=x0 + h (1), παρατηρώ ότι όταν x->x0 τότε(1)->x0= x0 + h->h=0 δηλαδή h->0 επομένως ( ) ( )f x0 ( )limh→0 x0 + h − f = f′ x0 h 1ο Παράδειγμα Να εξετασθεί αν η συνάρτρηση f με ( )fx = x2 − 3x, x < 0    x − 3, x ≥ 0  είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0 Λύση ( ) ( ) ( )f x − f 0lim = lim x2 − 3x = lim x x−3 = −3 x x x x x → 0− x−0 → 0− → 0−http://www.mathschool-online.gr/elearning 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning ( ) ( )f x − f 0 li=mx→0+ x − 3x− (−3)li=mx→0+ x − 0 lim x −3+ 3 = 1 x x → 0+ Παρατηρώ ότιlim f(x) − f(0) ≠ lim f(x) − f(0) x x → 0− x−0 → 0+ x−0Αυτό σημαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0 3η ΕρώτησηΤί εκφράζει γεωμετρικά ο πραγματικός αριθμός f΄(x0); ΑπάντησηΟ πραγματικός αριθμός f΄(x0) εκφράζει τον συντελεστήδιεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0))http://www.mathschool-online.gr/elearning 3

http://www.mathschool-online.gr/elearning 4η Ερώτηση Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0)); Απάντηση Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0)) είναι ( )( ) ( )y − f x0= f′ x0 x − x0 Όπου f′(x 0 ) = εφω και ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0)) με τον άξονα xx΄ 5η ΕρώτησηΑν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Εξετάστε αν ισχύει το αντίστροφο Απάντηση Το αντίστροφο δεν ισχύει http://www.mathschool-online.gr/elearning 4

http://www.mathschool-online.gr/elearning (Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα) Έστω η συνάρτηση f με f (x) = x Και έστω x0=0 έχω f(0)=0 και ( )limx=→0 f x li=mx→0 x 0 Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0=0 Αναπτύσω το τύπο της f  x, x > 0  −x,  f ( x ) = x < 0  0, x = 0 lim ( ) ( )f x − f 0 = lim −x − 0 = −1 (I) x x x → 0− x−0 → 0− ( ) ( )f x − f 0 li=mx→0+ x x− 0lim = 1 (II) x → 0+ x−0Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0 6η ΕρώτησηΤι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση της f;http://www.mathschool-online.gr/elearning 5

http://www.mathschool-online.gr/elearning Aπάντηση Έστω μια συνάρτηση f με f:A->B Αν η f παραγωγίζεται σε κάθε σημείο x0 ∈ A Τότε η συνάρτηση f΄ με f′ : A → f′(A) Όπου σε κάθε x0 ∈ A , απεικονίζει τον αριθμό f′(x0 ) ∈ f′(A) 7η Ερώτηση Πως ορίζεται η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης; Απάντηση Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(x0) τότε η συνάρτηση f  g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει ( )( ) ( )(f  g)′(x0) = f′ g x0 g′ x0 2οΠαράδειγμα Να βρεθεί η παράγωγος της f http://www.mathschool-online.gr/elearning 6

http://www.mathschool-online.gr/elearning με f (x) = ln(ημx) στο πεδίο ορισμού της Λύση ( )Η συνάρτηση f x = ln(ημx) είναι ορισμένη στο Δ ={x ∈ R : ημx > 0} = (0, π) Η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g με g(x)=ημx και h με h(x)=lnx Η h(x)=lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0,π) Η g(x)=ημx είναι παραγωγίσιμη στο h(0,π) Άρα και η f= h  g είναι παραγωγίσιμη στο (0,π) Επομένως έχω( )f=′ x (h  g=)′(x) [ln(ημ=x)]′ 1 (η=μx)′ σ=υνx σφx ημx ημx 3ο ΠαράδειγμαΈστω η περιττή συνάρτηση g η οποία παραγωγίσιμη στο R Να δειχτεί ότι 1)g(0)=0 2)Aν Α(x0,g(x0)) και Β(-x0,g(-x0)) http://www.mathschool-online.gr/elearning 7

http://www.mathschool-online.gr/elearning είναι σημεία της γραφικής παράστασης της g , να δειχτείότι οι εφαπτομένες της στα σημεία αυτά είναι παράλληλες Λύση 1)Η g είναι περιττή συνάρτηση ,αυτό σημαίνει ότι g (−x) =−g (x), για κάθε x ∈ R (I) Θέτω x=0 και έχω g(−0) =−g(0) ↔ g(0) =−g(0) ↔ g(0) + g(0) =0 ↔ 2g(0) =0 ↔ g(0) = 0 2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΑ στο σημείο Α(x0,g(x0)) είναι g΄(x0) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΒ στο σημείο Β(-x0,g(-x0)) είναι g΄(-x0) Για να δείξω ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες,αρκεί να δείξω ότι έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης,δηλαδή g΄(x0)= g΄(-x0) Παραγωγίζω τη σχέση (Ι) και έχω g′(−x) =[−g(x)]′ ↔ g′(−x) (−x)′ =−g′(x) ↔ −g′(−x) =−g′(x) ↔ g′(−x) =g′(x) http://www.mathschool-online.gr/elearning 8

http://www.mathschool-online.gr/elearning Δηλαδή =g′(−x) g′(x) , για κάθε x ∈ R Θέτω x=x0 και έχω g′(−x0 ) (=g′ x0 ) Άρα οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες 8η Ερώτηση Έστω δύο μεγέθη x και y τα οποία μεταβάλλονται με τη σχέση y=f(x).Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ; Απάντηση Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ο αριθμός f΄(x0) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο x0 4ο ΠαράδειγμαΈστω s(t) το διάστημα που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t Το s΄(t)=υ(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του διαστήματος s ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει τη ταχύτητα του κινητού Το υ΄(t) =α(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού http://www.mathschool-online.gr/elearning 9

http://www.mathschool-online.gr/elearning 9η Ερώτηση Πως διατυπώνεται το Θεώρημα του Rolle; Aπάντηση Έστω μια συνάρτηση f: aν η f είναι  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)  f(α)=f(β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α,β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = 0 10η Ερώτηση Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα του Rolle; Aπάντηση Το θεώρημα του Rolle εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄ http://www.mathschool-online.gr/elearning 10

http://www.mathschool-online.gr/elearning 5ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-1Na εξετάσετε εάν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [-1,1] Απάντηση Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο R ,επομένως και στο κλειστό διάστημα [-1,1] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-1,1) με ( )f′(x) = x2 − 1 ′ = 2x f(-1) =(−1)2 − 1=1-1=0 f=(1) (1)2 − 1=1-1=0 http://www.mathschool-online.gr/elearning 11

http://www.mathschool-online.gr/elearning Δηλαδή f(-1) = f (1)( )Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ −1,1 τέτοιο ώστεf′(ξ) = 0 ↔ 2ξ = 0 ↔ ξ = 011η ΕρώτησηΠώς διατυπώνεται το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;ΑπάντησηΈστω μια συνάρτηση f:aν η f είναι  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α,β)τέτοιο ώστεf′ (ξ) = f (β) − f(α) − β αhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 12

http://www.mathschool-online.gr/elearning 12η Ερώτηση Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού; Απάντηση Το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης τηςf στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ όπου Α(α,f(a)) και Β(β,f(β)) http://www.mathschool-online.gr/elearning 13

http://www.mathschool-online.gr/elearning 6ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με =f (x) ln x, x > 0 Να εξετάσετε αν ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β Λύση Η f είναι συνεχής στο R* ,επομένως είναι συνεχής και στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β Η f είναι παραγωγίσιμη στο R* ,επομένως είναι παραγωγίσιμη και στο διάστημα [α,β] με 1<α<β όπου f=′(x) (=ln x)′ 1 x Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] http://www.mathschool-online.gr/elearning 14

http://www.mathschool-online.gr/elearning ( )Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ α, β τέτοιο ώστε f′(ξ) = f (β) − f (α) β−α 13η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ είναι σταθερή; Aπάντηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ Και f΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είναι σταθερή σε όλο το Δ 14η Ερώτηση Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδίου ορισμού το Δ που είναι συνεχείς στο Δ Αν f΄(x)=g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Ποιά σχέση συνδέει τις δυο συναρτήσεων; Απάντηση Η σχέση που συνδέει τις δυο συναρτήσεις είναι f (x)=g (x)+c , για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ http://www.mathschool-online.gr/elearning 15

http://www.mathschool-online.gr/elearning 15η Ερώτηση Τί ισχύει για μια συνάρτηση f με f΄(x)=λf(x) ,για κάθε x∈R όπου λ ∈ R ; Απάντηση Ισχύει f(x)=ceλx 16η Ερώτηση Ποια σχέση συνδέει τη μονοτονία μιας συνάρτησης f με την παράγωγό της; ΑπάντησηΈστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ Αν f΄(x)>0 για κάθε x ∈ R τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν f΄(x)<0 για κάθε x ∈ R τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ 7ο Παράδειγμα Να εξετασθεί η συνάρτηση f με f(x)= 1 − ln x ως προς τη μονοτονία http://www.mathschool-online.gr/elearning 16

http://www.mathschool-online.gr/elearning Λύση Εύρεση πεδίου ορισμού της f(x)= 1 − ln x Για να ορίζεται η lnx ,πρέπει x>0 Επομένως D=f {x ∈ R : x > 0=} (0, +∞) Η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Η παράγωγος της f είναι f′(x) =(1 − ln x)′ =− 1 x ( )Παρατηρώ ότι f′(x) < 0, για κάθε x ∈ 0, +∞ Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x ∈ (0, +∞) http://www.mathschool-online.gr/elearning 17

http://www.mathschool-online.gr/elearning 17η Ερώτηση Πώς προσδιορίζονται τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β] η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 , στο οποίο όμως είναι συνεχής τότε  Aν f΄(x)>0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)<0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο της f  Aν f΄(x)<0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)>0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f 18η Ερώτηση Τί συμβαίνει αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (a, x0 ) ∪ (x0,β) Απάντηση Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (a, x0 ) ∪ (x0,β) τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (α,β) http://www.mathschool-online.gr/elearning 18

http://www.mathschool-online.gr/elearning 19η Ερώτηση Τι αναφέρει το θεώρημα του Fermat; Απάντηση 1)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και έστω x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο (x0, f(x0)) τότε f΄(x0)=0 20η Ερώτηση Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat; Απάντηση το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει. Δηλαδή εάν f΄(x0)=0 στο χ0 ∈ Δ Τότε δεν σημαίνει ότι το (x0, f(x0)) είναι σημείο τοπικού ακρότατου απαραίτητα. Σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω (15η ερώτηση-απάντηση) για να είναι το (x0, f(x0)) http://www.mathschool-online.gr/elearning 19

http://www.mathschool-online.gr/elearning Σημείο τοπικού ακροτάτου πρέπει η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0 8ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με ( )f =x ax2 − x4 Να προσδιορισθεί το a ∈ R ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει στο x0= 1 τοπικό ακρότατο ΛύσηΗ συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πολυωνυμική)στο R και παραγωγίσιμη με ( )f′ x = (ax2 − x4)′ = 2ax − 4x3 Επειδή παρουσιάζει στο x0=1 τοπικό ακρότατο σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat f΄(x0)=0-> f΄(1)=0 2a.1 − 4.13 = 0 ↔ 2a − 4 = 0 ↔ 2(a − 2) = 0 ↔ a = 2 Όμως η συνθήκη f΄(x0)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανήώστε να εμφανίζει η f τοπικό ακρότατο στο x0 ,επομένως πρέπει να εξετάσω http://www.mathschool-online.gr/elearning 20

http://www.mathschool-online.gr/elearning αν η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0=1 Για α=2 η f γίνεται ( )f =x 2x2 − x4 Επομένως( )( ) ( ) ( )f′ x = (2x2 − x4)′= 4x − 4x3 = 4x 1 − x2 = 4x 1 − x 1 + x Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄ http://www.mathschool-online.gr/elearning 21

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απο το παραπάvω πίνακα παρατηρώ ότι πράγματι η f παρουσιάζει στο σημείο (1,f(1))=(1,1) τοπικό μέγιστο 9ο Παράδειγμα Να δειχτεί ότι ex ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R Απόδειξη Τρόπος δράσης Θεωρώ τη συνάρτηση f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1 και στη συνέχεια με τη βοήθεια της μονοτονίας ή των ακροτάτων θα αποδείξω τη σχέση ex ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R Eπομένως H f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1 είναι συνεχής για κάθε x ∈ R Παραγωγίζω την f και έχω ( )( ) ( )f′ x = ex − x − 1 ′ = ex. x ′ − 1 + 0 = ex − 1 Βρίσω το σημείο που μηδενίζεται η f΄( )f′ x =0 ↔ ex − 1 =0 ↔ ex =1 ↔ ex =e0 ↔ x =0 Βρίσκω το πρόσημο της f΄ «γύρω» από το μηδέν http://www.mathschool-online.gr/elearning 22

http://www.mathschool-online.gr/elearning( )f′ x > 0 ↔ ex − 1 > 0 ↔ ex > 1 ↔ ex > e0 ↔ x > 0( )f′ x < 0 ↔ ex − 1 < 0 ↔ ex < 1 ↔ ex < e0 ↔ x < 0 Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄ Παρατηρώ ότι για χ=0 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ( ) ( )Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x ∈ R , f x ≥ f 0 http://www.mathschool-online.gr/elearning 23

http://www.mathschool-online.gr/elearning Δηλαδή για κάθε x∈Rex − x − 1 ≥ e0 − 0 − 1 ↔ ex − x − 1 ≥ 0 ↔ ex ≥ x + 1 Τα παραπάνω φαίνονται και στη γραφική παράσταση της f(x)= ex-x-1 21η ΕρώτησηΠώς γίνεται η μελέτη ως προς τα κοίλα και τα κυρτά μιας συνάρτησης f; Απάντηση Έστω μια συνάρτση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ http://www.mathschool-online.gr/elearning 24

http://www.mathschool-online.gr/elearning Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κυρτή στο Δ Αν f΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κοίλη στο Δ 22η Ερώτηση Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f παρουσιάζει σημείο καμπής; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β) ή αντίστροφα και η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0,f(x0)) τότε το σημείο Α(x0,f(x0)) λέγεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και το x0 λέγεται θέση του σημείου καμπής http://www.mathschool-online.gr/elearning 25

http://www.mathschool-online.gr/elearning 23η Ερώτηση Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ; Απάντηση οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η f΄΄ 10ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με ( )f =x ax4 − x3 Αν το σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α Απάντηση Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R Υπολογίζω τη πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f ( ) ( )f′ x = ax4 − x3 ′ = 4ax3 − 3x2 ( )f′′ x = (4ax3 − 3x2)′ = 12ax2 − 6x Tο σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f http://www.mathschool-online.gr/elearning 26

http://www.mathschool-online.gr/elearning Υπολογίζω την f΄΄(1) ( )f′′ 1 = 12a.12 − 6.1 = 12a − 6 Λύνω την εξίσωση f′′(1) = 0 12a − 6 = 0 ↔ 12a = 6 ↔ a = 6 ↔ a = 1 12 2 Επειδή η συνθήκη f′′(1) = 0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , θα δείξουμε ότι για α=1/2 η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο Α(1,f(1)) Για α=1/2 η f γίνεται ( )f=x 1 x4 − x3 2 Για x=1 ( )f 1 = 1 .14 − 13 = 1 − 1 = 1 − 2 = − 1 2 2 22 2 ( )f′ x = ( 1 x4 − x3)′ = 4 1 x3 − 3x2 = 2x3 − 3x2 22 ( )f′′ x =(2x3 − 3x2)′ =6x2 − 6x http://www.mathschool-online.gr/elearning 27

http://www.mathschool-online.gr/elearning( ) ( )f′′ x = 0x = 0 ↔ 6x2 − 6x = 0 ↔ 6x x −1 = 0 ↔  =   x 1  Aπό το πίνακα επιβεβαιώνεται ότι το σημείο Α(1,f(1))=Α(1,-1/2) είναι σημείο καμπής της Cfhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 28

http://www.mathschool-online.gr/elearning 24η ΕρώτησηΠοια ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf; Απάντηση Αν( ) ( )lim x = x→ x0− f x = ±∞ ή lim → x0+ f ±∞ xΤότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf 25η ΕρώτησηΠου αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες ; ΑπάντησηΚατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η f δεν ορίζεται ή στα σημεία που η f δεν είναι συνεχής 110 Παράδειγμα( )Έστω η συνάρτηση f με f x =1 x−2Να εξετασθεί αν έχει ασύμπτωτες ΛύσηΤο πεδίο ορισμού της f είναι το R-{2} Εξετάζω το όριο της f στο x=2http://www.mathschool-online.gr/elearning 29

http://www.mathschool-online.gr/elearning( )limx→2− fx = lim →2− 1 = −∞ x x−2( )limx→2+ fx = lim →2+ x 1 = +∞ x −2Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της f 26η Ερώτηση Πότε η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞ ΑπάντησηΗ ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞http://www.mathschool-online.gr/elearning 30

http://www.mathschool-online.gr/elearning αν limx→+∞[f(x) − (λx + β)] =0 ή αντίστοιχα limx→−∞[f(x) − (λx + β)] =0 27η Ερώτηση Με ποιό τρόπο μπορούμε να εξετάσουμε αν μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞ Απάντηση Μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞ Αν f(x) limx→+∞ x =λ ∈ R και limx→+∞ f(x) − λx =β ∈ R Ή αντίστοιχα f(x) limx→−∞ x =λ ∈ R και limx→−∞ f(x) − λx =β ∈ R 28η ΕρώτησηΠου αναζητούνται ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f; Aπάντηση Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f http://www.mathschool-online.gr/elearning 31

http://www.mathschool-online.gr/elearning αναζητούνται :  Στα σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται  Στα σημεία στα οποία η f ορίζεται αλλά δεν είναι συνεχής  Στο +∞ και στο −∞ εφόσον η f είναι ορισμένη σε ( ) ( )διαστήματα της μορφής a, +∞ και −∞, β αντίστοιχα 120 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=1/x Nα βρεθούν οι ασύμπτωτές της Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι το (−∞, 0) ∪ (0, +∞)Εξετάζω το όριο της f στο x=0( )lim0−fx = lim → 0− 1 = −∞ x→ x x0+( )limfx = lim → 0+ 1 = +∞ x→ x xAυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cfhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 32

http://www.mathschool-online.gr/elearning Στη συνέχεια εξετάζω αν η C f έχει ασύμπτωτη την ευθεία y=λx+β στο +∞ και στο −∞ f(x) limx→+∞ x =λ ∈ R και limx→+∞ f(x) − λx =β ∈ R 1 limx→+∞ 1 =0 και limx→+∞ 1 − 0.=x limx→+∞=x1 0limx→+∞=xx x2    x Ομοίως 1 limx→−∞ 1 =0 και limx→−∞ 1 − 0.=x limx→−∞=x1 0limx→−∞=xx x2    x EπομένωςΗ ευθεία y=0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ και στο −∞http://www.mathschool-online.gr/elearning 33

http://www.mathschool-online.gr/elearning και η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf 29η Ερώτηση Να διατυπωθεί ο κανόνας του de l’ Hopital Απάντηση ( ) ( )1=.Aν limx→x0 f x 0=και limx→x0 g x 0 { }όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞ και υπάρχει το όριο f′ ( x ) ( )limx→x0 g′ x είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο τότε f (x) f′(x) ( ) ( )limx→x0 g x = limx→x0 g′ x ( ) ( )2.Aν limx→x0 f x = ±∞ και limx→x0 g x = ±∞ { }όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞ και υπάρχει το όριο f′ ( x ) ( )limx→x0 g′ x http://www.mathschool-online.gr/elearning 34

http://www.mathschool-online.gr/elearning είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο,τότε f (x) f′(x) ( ) ( )limx→x0 g x = limx→x0 g′ x130 ΠαράδειγμαNa υπολογισθεί το lim → 0+ x2 ln x x ΛύσηΤο πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g(x)=x2lnx είναι το (0, +∞)Επίσης γνωρίζω ότιlim → 0+ ln x = −∞ xόπως φαίνεται και στη γραφική παράσταση της f(x)= lnxhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 35

http://www.mathschool-online.gr/elearning Eπομένωςlim → 0+ x2 ln x= 0(−∞) , απροσδιόριστη μορφή xΆρση της απροσδιοριστίας με τη βοήθεια του θεωρήματος του de l’hospitallimx=→0+ x2 ln x li=mx→0+ ln1x  −∞  , απρ.μορφή x2    +∞  1 Οι συναρτήσεις lnx και x2 είναι παραγωγίσιμες στο (0, +∞) Επομένωςlimx=→0+ x2 ln x li=mx→0+ ln1x (ln x)′ x2 limx=→0+  1 ′    x2  1 x=3 2xlim → 0+ x= lim → 0+ − lim 0+ − 1 x=2 0 x −2 x x→ 2 x3 30η ΕρώτησηΠοια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;http://www.mathschool-online.gr/elearning 36

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση 1.Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f 2.Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της 3.Υπολογίζουμε τις f΄ και f΄΄, τις ρίζες τους, και σχηματίζουμε τους πίνακες των προσήμων τους 4.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄ βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f 5.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής 6.Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄ 7.Μελετάμε τη «συμπεριφορά» της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της (δηλ τις οριακές τιμές) 8.Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν 9.Τέλος σχηματίζουμε ένα πίνακα μεταβολών της f με τις παραπάνω πληροφορίες με τη βοήθεια του οποίου κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της f 140 Παράδειγμα Na μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f με http://www.mathschool-online.gr/elearning 37

http://www.mathschool-online.gr/elearning f (x=) x3 − 12x Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι το R Η f με f (x=) x3 − 12x , είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Υπολογίζω την f΄ ( )( )f′ x =x3 − 12x ′ =3x2 − 12 ( )f′ x = 0 ↔ 3x2 − 12 = 0 ↔ 3x2 = 12 ↔ x2 = 4 ↔ x = ±2 Σχηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄ με τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f http://www.mathschool-online.gr/elearning 38

http://www.mathschool-online.gr/elearning Υπολογίζω την f΄΄ ( )f′′ x = (3x2 − 12)′ = 6x f′′(x) = 0 ↔ 6x = 0 ↔ x = 0 Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄ Θέτω στην f (x=) x3 − 12x x=0 και έχω f(0) = 0 Θέτω στην f (x=) x3 − 12x http://www.mathschool-online.gr/elearning 39

http://www.mathschool-online.gr/elearning y=0 και έχω( )0 =x3 − 12x ↔ x x2 − 12 =0 ↔ x=0 = x =12 2 3  x =− 12 =−2 3  Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ στα ( ) ( )σημεία A 2 3, 0 , B −2 3, 0 και τον yy΄ στο σημείο Κ(0,0)δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η γραφ. παράσταση της f (x=) x3 − 12xhttp://www.mathschool-online.gr/elearning 40

http://www.mathschool-online.gr/elearning Ο πίνακας μεταβολών της f Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kαλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.gr/elearning 41

http://www.mathschool-online.gr«Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης» Γ΄Λυκείου Ολοκληρωτικός λογισμός Ερωτήσεις –Απαντήσεις Αναλυτικά παραδείγματα 1η Ερώτηση Ποιά ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ Παράγουσα της f ονομάζεται κάθε παραγωγίσιμη στο Δ συνάρτηση G της μορφής G=F+c , c ∈ R για την οποία ισχύει G′(x=) (F(x) + c=)′ F′(x=) f (x), ∀ × ∈ Δ 2η ΕρώτησηΤί ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ; Απάντηση Αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημαΔ ονομάζεται το σύνολο όλων των παραγουσών της f στο ∫ ( )Δ και συμβολίζεται με f x dx http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Δηλαδή ∫ f (x)dx =F(x) + c , c ∈ Rόπου η F είναι μια παράγουσα της f,δηλαδή, F(x)΄=f(x) 3η ΕρώτησηΤί προκύπτει από το προηγούμενο ορισμό;ΑπάντησηΑν f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ τότε ∫ f′(x)dx = f (x) + c , c ∈ R1ο ΠαράδειγμαΝα υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα∫ 1 dx xΤί συμπέρασμα βγάζετε σχετικά με τον υπολογισμό του αορίστου ολοκληρώματος;ΛύσηΓνωρίζω ότι(ln x)′ = 1 , x>0 xΕπομένωςhttp://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr∫ 1 dx = ∫ (ln x)′dx x Όμως λόγω της∫ f′(x)dx = f (x) + c , c ∈ R το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται ∫ x1dx =∫ (ln x)′dx =ln x + c , c ∈ R Συμπέρασμα Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης 4η Ερώτηση Ποιές είναι οι ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος; ΑπάντησηΑν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα συνάτησης σε ένα διάστημα Δ τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες∫ (af (x) + βg(x))dx = α∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx , α,β ∈ R∫ (af (x) − βg(x))dx = α∫ f (x)dx − β∫ g(x)dx , α,β ∈ R(∫ f(x)dx)′ = f(x)http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 5η ΕρώτησηΠοιοί είναι οι βασικοί τύποι υπολογισμού αορίστων ολοκληρωμάτων; Απάντηση ∫ 0dx = c ∫ dx = c ∫ exd=x ex + c ∫ συνχ=dx ημχ + c ∫ ημχdx =−συνχ + c ∫ 1=dx ln x + c χ ∫ xadx = xa+1 + c , a ≠ -1 a+1 ∫ axdx = ax + c , a > 0 ln a∫ 1 dx =εφχ + c , a > 0 συν2χ∫ 1 dx =−σφχ + c , a > 0 ημ2χhttp://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 2ο Παράδειγμα Na υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα ∫ x4 − 2x3dx x Λύση Όταν υπάρχει ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο από το βαθμό του παρονομαστήπροκειμένου να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή Επομένως ∫ ∫ ∫x4 − 2x3dx =( x4 − 2x3 )dx =(x3 − 2x2)dx = x xx ∫ x3dx − ∫ 2x2dx =1 x4 − 2 1 x3 +=c 1 x4 − 2 x3 + c ,c ∈ R43 43 3ο Παράδειγμα( )Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού 0, +∞( )και με παράγωγο f′ x= 1 +x x Αν f(1) = 0http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Να βρεθεί η f Λύση Ολοκληρώνω τη σχέση f′ ( x=) 1 + x x και έχω∫ f′ ( x ) dx =∫ ( 1 + x)dx ↔ xf (x) + c1= ∫ ( 1 + x)dx ↔ xf (x) + =c1 ∫ 1 dx + ∫ xdx ↔ x( )f x + c1 = ln x + x2 + c2 ↔ 2 ( )f x = ln x + x2 + c2 − c1 2 Θέτω c2 − c1 =c Επομένως ( )f x = ln x + x2 + c 2Θα προσδιορίσω τη σταθερά c για να βρω το τύπο της fhttp://www.mathschool-online.gr