Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης συναρτήσεις όρια συναρτήσεων παράγωγος συνάρτηση ολοκληρώματα

http://www.mathschool-online.gr/elearning Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου –«Συναρτήσεις – Όρια συναρτήσεων» Τα βασικότερα σημεία της θεωρίας με αναλυτικά παραδείγματα Ερωτήσεις –Απαντήσεις-Παραδείγματα 1η Ερώτηση Τί ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του R Απάντηση Έστω A ⊆ RΠραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ονομάζουμε τη διαδικασία f με την οποίο κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y Το x ∈ A λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή Το y λέγεται τιμή της f στο x και γράφουμε y=f(x) http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 1o Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με f(x)=1/x με π.ο το A=R-{0} και π.τιμών το B ⊂ R π.χ ,για x1=-1,f(-1)=1/-1 =-1 για x2=2, f(2)=1/2 για x3=1, f(1)=1/11 =1 κ.λ.π Εύρεση π.ο συνάρτησης(0) Αν f(x)=P(x) ,δηλαδή αν η f είναι πολυωνυμική τότε το π.ο είναι το R (Ι)Aν f(x)=P(x)/Q(x) , δηλαδή αν η f είναι ρητήσυνάρτηση όπου τα P(x),Q(x) είναι πολυώνυμα του x το { }( )π.ο είναι το x ∈ R : Q x ≠ 0 http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning (ΙΙ)A=ν f (x) ν g (x) ,ν ≥ 2 { }Το π.ο της f είναι τα x ∈ R : g(x) ≥ 0 (=ΙΙΙ)Αν f (x) ln=g(x) ή f (x) log(g(x)) { }Το π.ο της f είναι τα x ∈ R : g(x)  0 2o Παράδειγμα Να βρεθεί το π.ο των παρακάτω συναρτήσεων 1)=f (x) x , 2) =f (x) ln(x − 1) x Λύση 1)f (x) = x x Σύμφωνα με τις (ΙΙ) και (Ι) πρέπει x > 0 και x ≠ 0Επομένως τα παραπάνω συναληθεύουν για x > 0 { }Άρα το π.ο της f είναι τα x ∈ R : x > 0 =R∗+ 2) =f (x) ln(x − 1) Σύμφωνα με τις (ΙΙ) και (ΙΙΙ) πρέπει ( )ln x − 1 > 0 ↔ ln x > ln1 ↔ x − 1 > 1 ↔ x > 2http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning και x−1> 0 ↔ x >1 Οι παραπάνω ανισώσεις συναληθεύουν για x>2 { }επομένως το π.ο της f είναι τα x ∈ R : x > 2 ( )δηλαδή το διάστημα 2, +∞ 2η Ερώτηση Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f; Aπάντηση Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με π.ο το Α,ονομάζουμε το σύνολο των σημείων Μ(χ,y) τουεπιπέδου τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση f(x)=y ,για κάθε χ που ανήκει στο π.ο Α της f 3ο Παράδειγμα Παραβολή f(x)=ax2,a>0 ,π.ο το R http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning4ο Παράδειγμα : Παραβολή f(x)=ax2,a<O,π.ο το R 5ο Παράδειγμα Λογαριθμική f(x)=lnx ,π.ο το R*+http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 6o Παράδειγμα Εκθετική συνάρτηση f(x)=ex , π.ο το R 3η Ερώτηση Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο π.ο Α ΚΑΙ για κάθε x ∈ A, f (x) =g(x)http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 7ο Παράδειγμα ( )x x4 − 1( ) ( )Έστω οι συναρτήσεις f x= x2 + 1 και g x= x3 − x x2 + 1 > 0 Δηλαδή x2 + 1 ≠ 0Eπομένως το π.ο της f είναι το R, επίσης το π.ο της g είναι το R Άρα οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο π.ο Α=R Επιπλέον για x ∈ A,εξετάζω αν f (x) =g (x) Έχω( )x x4 − 1 x (x2 − 1) (x2 + 1)x2 + 1 = x3 − x ↔ = x2 + 1( ) ( ) ( )x x2 − 1 ↔ x x2 − 1= x x2 − 1 ↔ f(x) = g(x) Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες 4η ΕρώτησηΈστω oι συναρτήσεις f και g με π.ο τα σύνολα Α και Β.http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Πού ορίζονται οι πράξεις f ± g, f g Απάντηση Το f ± g ορίζεται στη τομή A  B των Α και Β f Το πηλίκο g ορίζεται στο σύνολο {x : x ∈ A ∩ B με g(x) ≠ 0} 8ο Παράδειγμα ( )Δίνονται οι συναρτήσεις f x = x και g(x)=x f Να βρεθούν οι f+g και g Λύση { }Το π.ο της f είναι τα A =x ∈ R : x ≥ 0 Το π.ο της g είναι το Β=R Το π.ο της f+g είναι το A  B ={x ∈ R : x ≥ 0} Επομένως (f + g) (x) =f (x) + g(x) = x + xhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f To π.ο της g{ }Είναι τα x ∈ A  B : g (x) ≠ 0 ={x ∈ R : x 0} 5η Ερώτηση Πώς ορίζεται η σύνθεση συναρτήσεων; Aπάντηση Έστω f και g δύο συναρτήσεις με π.ο τα Α και Β αντίστοιχα Ορίζω ως σύνθεση της f με τη g τη συνάρτηση gf { }με π.ο το Γ= x ∈ A : f(x) ∈ B ≠ ∅ και τύπο (g  f) (x) = g(f (x))http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 9ο Παράδειγμα( ) ( )Δίνονται οι συναρτήσεις f x = x και g x = x + 1 Να βρεθεί η g  f Λύση { }Το π.ο της f είναι τα Α= x ∈ R : x ≥ 0 Το π.ο της g είναι το Β=R Για να ορίζεται η g  f πρέπει Γ= {x ∈ A : f(x) ∈ B} ≠ ∅ Όμως το { }Γ= x ∈ R : x ≥ 0 με x ∈ R ≠ ∅ Δηλαδή{ }Γ= x ∈ R : x ≥ 0= [0, +∞) ≠ ∅ Επομένως x + 1, x ≥ 0( )( )(g  f)= g f x = f(x) + 1= 10ο ΠαράδειγμαΔίνεται η συνάρτηση f με π.ο το Α=[0,2] Να βρεθεί το π.ο της f(x-2)http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ΛύσηΗ συνάρτηση f(x-2) είναι σύνθεση της g(x)=x-2 με την f Δηλαδή (f  g) (=x) f (g(x=)) f (x − 2) Για να ορίζεται η σύνθεση πρέπει ( )(x − 2) ∈ A → x − 2 ∈ 0,2 Ισοδύναμα 0≤ x−2≤2↔2≤ x≤ 4 ( )( )Επομένως το π.ο της (f  g) =x f g (x=) f (x − 2) Είναι το [2,4] 6η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f λέγεται «1-1»; Απάντηση Μια συνάρτηση f με π.ο Α είναι «1-1» όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ A ισχύει Αν f(x1)=f(x2) τότε x1=x2 Ή ισοδύναμα Αν x1 ≠ x2 τότε f(x1) ≠ f(x2) http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΈστω η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με π.ο το R Παρατηρώ ότι κάθε οριζόντια ευθεία , έστω η (ε) τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Α 11ο Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f (x) = x Να εξετασθεί αν είναι «1-1» Λύση Το π.ο της f είναι το [0, +∞) Έστω x1, x2 ∈ A με f(x1)=f(x2) Έχω http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ( ) ( )2 2x1 = x2 ↔ x1 = x2 ↔ x1= x2 Αυτό σημαίνει ότι η f είναι «1-1» 7η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f αντιστρέφεται ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f : A → R Aν η f είναι «1-1»( )τότε ορίζεται η συνάρτηση f−1 : f A → R η οποία έχειπ.ο το f(A) δηλαδή το σύνολο τιμών της f σύνολο τιμών το Α,δηλαδή το π.ο της f ( )και τύπο f−1 y = x Ισχύει δε η ισοδυναμίαf (x) =y ↔ f−1 (y) =xΔηλαδή η f αντιστοιχίζει το x στο y και η f-1 αντιστοιχίζει το y στο xhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Aν C και C΄ είναι οι γραφικές παραστάσειςτωνσυναρτήσεων f και f-1 αντίστοιχα τότε από την ισοδυναμία f (x) =y ↔ f−1 (y) =xΠροκύπτει ότι αν το σημείο Μ΄(α,β) ανήκει στη C τότε το Μ (β,α) ανήκει στη C ΄ και αντίστροφα .Δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f-1 είναισυμμετρικές ως προς την ευθεία y=x ,δηλαδή τη διχοτόμο των γωνιών xOˆy και x΄Oˆy΄ 12ο Παράδειγμα ( )Έστω η συνάρτηση f με f x= x − 2 1)Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f-1=g της f 2)Na γίνει η γραφική πaράσταση Cf της f με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης Cg της f-1=g Tί παρατηρείτε; Λύση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 1)Το π.ο της f (x=) x − 2 είναι το [2, +∞) Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y=f(x) και λύνουμε ως προς x Eπομένως f (x) = y ↔ x − 2 = y (i) Όμως [2, +∞) Άρα y ≥ 0 Δηλαδή το σύνολο τιμών της f είναι το [0, +∞) Υψώνω τη σχέση (i) στο τετράγωνο και έχω ( )2 x − 2 = y2 ↔ x − 2 = y2 ↔ x = y2 + 2 Επομένως ( ) ( )f−1 x= g x= x2 + 2, x ∈ [0, +∞) To πεδίο τιμών της f έγινε π.ο της f-1=g 2) H γραφική παράσταση της g είναι η παραβολή y=x2μετατοπισμένη κατά 2 μονάδες κατακόρυφα προς τα πάνω για x ∈ [0, +∞) http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΓνωρίζω ότι η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρικήτης γραφ.παράστασης της g ως προς τη διχοτόμο y=x των γωνιών xOˆy και x΄Oˆy΄Eπομένως τα συμμετρικά σημεία Μ΄(α,β) της Cf ως προς y=x είναι τα Μ (β,α) Π.χ το συμμετρικό Μ΄(1,3) ως προς y=x της γραφικής παράστασης της ( ) ( )f−1 x= g x= x2 + 2, x ∈ [0, +∞)( )είναι το Μ(3,1) της γραφ.παράστασης της f x= x − 2 Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήμα Όριο συνάρτησης στο x0 ∈ R 8η Ερώτηση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΈστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο (a, x0 ) ∪ (x0,β)Ποιά συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται για να υπάρχει το όριο της f στο x0 ; Απάντηση Για να υπάρχει το όριο της f στο x0πρέπει να υπάρχουν τα πλευρικά όρια και να είναι ίσα Δηλαδή,( )limx→x0 f x = l aν και μόνο αν( ) ( )li=mx→x+0 f x li=mx→x−0 f x l 13ο ΠαράδειγμαΈστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο (a, x0 ) ∪ (x0,β) με( )lim f x= λ2 − λ x→ x+0 και( )lim f x= λ −1 x→ x−0http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΝα βρεθεί το λ ώστενα υπάρχει το όριο της f στο x0 ΛύσηΓια να υπάρχει το όριο της f στο x0 πρέπει( ) ( )limf f x x→ x+0 x = lim → x−0 x Ισοδύναμαλ2 − λ = λ − 1 ↔ λ2 − λ − λ + 1 = 0 ↔( )λ2 − 2λ + 1 = 0 ↔ λ − 1 2 = 0 ↔ λ = 1 , διπλή Επομένως για λ=1( ) ( )li=mx→x+0 f x li=mx→x−0 f x 0 Άρα τοόριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ( )limx→x0 f x = 0 9η ΕρώτησηΠότε θα χρησιμοποιούμε τα πλευρικά όρια για την εύρεση του π.ο μιας συνάρτησης; Απάντησηhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΌταν η συνάρτηση εκφράζεται με πολλαπλό τύπο ή όταν εκφράζεται με απόλυτη τιμή τότε χρησιμοποιούμε τα πλευρικά όρια 14ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με ( )f x =  ax + β, αν x ≥ 0  −2αx − β, αν x  0 Να βρεθούν τα α και β ώστε ( )limx→1 f x = 16 Λύση Θέλω ( )limx→1 f x = 16 αυτό σημαίνει ότι ( ) ( )lim f f 16 ↔ x →1− x= lim →1+ x= xlim →1− ( −2ax − β) = lim →1+ ( αx + β) = 16 ↔ x x −2α − β =16 (Ι)    α + β =16 (ΙΙ)  (ΙΙ) → α = 16 − β Επομένως η (Ι) γίνεταιhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning -2(16-β)-β=16<->-32+2β-β=16<->-32+β=16<- >β=16+32=48<->β=48Άρα α=16-48=-32<->α=-32 15ο ΠαράδειγμαΔίνεται η συνάρτηση f με( )f x= x − 1 με π.ο το RΝα εξετασθεί αν υπάρχει το όριο της f στο x0=1 Λύση«βγάζω» το απόλυτο και έχω  x − 1, aν x > 1   f(x) =  0, aν x = 1  −x + 1, aν x<1( ) ( )limx→1− f=x lim →1− −x=+ 1 0 x( ) ( )lim x→1+=f x lim →1+ x=− 1 0 x Δηλαδή( ) ( )li=mx→1− f x li=mx→1+ f x 0Άρα υπάρχει το όριο της f στο x0=1και έναι το μηδένhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 10η Ερώτηση Να διατυπωθεί το κριτήριο της παρεμβολής Απάντηση Έστω οι συναρτήσεις f,g,h αν h(x) ≤ f (x) ≤ g (x) κοντά στο x0 ( ) ( )li=mx→x0 h x li=mx→x0 g x L Τότε ( )limx→x0 f x = L 16ο Παράδειγμα ( )Έστω η συνάρτηση f με f x − 1 ≤ x με x < 1 Να υπολογισθεί το όριο της f στο x0=0 ΛύσηΓνωρίζω από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών ότι x < 1 → −1 < x < 1 Επομένως x ∈ (−1,1) καιhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f(x) −1 ≤ x ↔ − x ≤ f(x) −1 ≤ x ↔ 1 − x ≤ f(x) ≤ x + 1( )Καλώ hx =1 − x =11+−xx,,−01 < x < 1 < x < 0( )και g x = x +1=  x + 1, 0 < x < 1  −x  + 1, −1 < x < 0  Επομένως έχω( )lim x→ 0− h=x lim → 0− 1=+ x 1 x( )lim 1=− x 1 x→ 0+ h=x lim → 0+ x Άρα lim h(x) = 1 (I) x→0 και( )lim − x→ 0− g=x lim → 0− x=+ 1 1 x( )lim 0+=x + 1 x→ 0+=g x lim → 1 x Άρα lim g (x) = 1 (II) x→0Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχωhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningli=m h(x) li=m g (x) 1x→0 x→0Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ( )limx→0 f x = 1Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεωνlimx→x0 ημχ = ημχ0limx→x0 συνχ = συνχ0 limx→0 ημχ = 1 χ Γενικά limx→0 ημαχ = α αχ limx→0 συνχ − 1 = 0 χ 17ο Παράδειγμα Να υπολογισθεί το lim → π συνx x x− π 2 2http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση συνx ημ( π − x) x− π 2lim π = lim π (I) x→ 2 x→  π  2 2 −  2 − x    Θέτω: π −x =y 2 επομένως Για x → π 2 Το y → 0 Άρα η (Ι) γίνεται(Ι)-> limx → π συνx =limy→0 η−μyy =−limy→0 ημyy =−1 x− π 2 Μη πεπερασμένο όριο στο x0 11η Eρώτηση( ) ( )Έστω μια συνάρτηση f με π.ο a, x0 ∪ x0, β Τι εκφράζει ο συμβολισμός ( )limx→x0 f x = +∞http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Απάντηση ( )Ο συμβολισμός limx→x0 f x = +∞ Εκφράζει το γεγονός ότι καθώς το x πλησιάζει απόοποιαδήποτε φορά προς το x0 , οι τιμές της συνάρτησης f αυξάνονται απεριόριστα Ιδιότητες των ορίων( ) ( )Aν limx→x0f x=±∞ 1 =0 τότε limx→x0 f x( )Aν limx→x0f x = 0 και>( )f x 1 = +∞ ( ) fx  0 κοντά στο x0 τότε limx→x0< 1 =  x −∞ ( ) ( )f x 0 κοντά στο x0 τότε limx→x0 fhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearninglimx→x0 f(x) = α>0 α>0 α<0 α<0 0 0 +∞ +∞ −∞ −∞limx→x0 g(x) = +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞? ?( )limx→x0 f x .g(x) +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞Το ερωτηματικό δηλώνει ότι είναι απροσδιόριστες μορφές( )limx→x0 f x = a ∈ R a ∈ R +∞ +∞ −∞ −∞( )limx→x0 g x = +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞limx→x0 (f (x) + g (x)) =+∞ −∞ +∞ ? ? −∞ 18ο Παράδειγμα Να βρείτε τις τιμές του a ∈ R ώστεlimx→0 x2 + 2x + 4=− a 2, x≠0 x Λύση Έχωlimx→0 x2 + 2x + 4 − a = 4 − a και limx→0 x = 0 Όμωςhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Αν x>0 τότε limx→0 1 = +∞ x Δηλαδή lim → 0+ 1 = +∞ x x Αν x<0 τότε limx→0 1 = −∞ x Δηλαδή limx→0− 1 = −∞ x Διακρίνω περιπτώσεις limx→0 x2 + 2x + 4 − a = 4 − a 1ον αν 4-α>0->-α>-4->α<4 Τότε x2 + 2x + 4 − a 1=( )lim x x x→0+ = lim 0+ x2 + 2x + 4 − a +∞ x→ x2 + 2x + 4 − a 1=( )lim x x x→0− = lim 0− x2 + 2x + 4 − a −∞ x→ 2ον αν 4-α<0->-α<-4->α>4http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Τότε x2 + 2x + 4 − a 1=( )lim x x x→0+ = lim 0+ x2 + 2x + 4 − a −∞ x→ x2 + 2x + 4 − a 1=( )lim x x x→0− = lim 0− x2 + 2x + 4 − a +∞ x→ 3ον αν 4-α=0->α=4 τότεlimx→0 x2 + 2x + 4 − a = 0 , απροσδιόριστη μορφή x 0 Θέτω ( )f x = x2 + 2x + 4 − a (I) x Για α=4 η (Ι) γίνεται f (x)= x2 + 2x + 4 − 4= x(x + 2) x+2 = xx Επομένως για α=4 ( )limx→0=f(x) limx→0 x=+ 2 2http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Όριο συνάρτησης στο άπειρο 12η Eρώτηση Έστω f μια συνάρτηση με π.ο το (a, +∞), a ∈ RΝα εκφράσετε με σχηματικά παραδείγματα (γεωμετρικά) τις ισότητες limx→+∞ = k limx→+∞ = +∞ limx→+∞ = −∞ Απάντηση limx→+∞ = k http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning limx→+∞ = +∞ limx→+∞ = −∞Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης στο +∞ ή -∞ Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση ( )f x = aνχν + αν−1χν−1 + ... + α0, αν ≠ 0 τότε ( )limx→+∞ f x = limx→+∞ aνχνhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning και ( )limx→−∞ f x = limx→−∞ aνχνΌριο ρητής συνάρτησης στο +∞ ή -∞ Έστω η ρήτη συνάρτησηf(x) aνχν + αν−1χν−1 + ... + α1χ + α0 , αν, βκ ≠ 0 βκχκ + βκ−1χκ−1 + ... + β1χ + β0 τότε ( )limx→+∞ f x = limx→+∞ aνχν βκχκ ( )limx→−∞ f x = limx→−∞ aνχν βκχκ 19ο Παράδειγμα Να υπολογισθεί το  x x2   x+ x+1 x−1  ( ) ( )limx→+∞ 1 − Λύση( ) ( ) ( )limx→+∞ x x2   x x − 1 − x2  x+ − x+1 x−1  =limx→+∞  x2 − 1  1http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearninglimx→+∞ =x2 x−2x−−1 x2  li=mx→+∞ x2−x− 1lim=x→+∞ x2 1−−x x12  li=mx→+∞ x 1 −1 x12  0Συνέχεια συνάρτησης !13η ΕρώτησηΠότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x0 ; ΑπάντησηΜια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x0 όταν Το x0 είναι σημείο του π.ο της f και ( ) ( )limx→0 f x = f x0 14η ΕρώτησηΠότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π.ο της;ΑπάντησηΜια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π.ο της όταν δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο xo ήhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning όταν ( ) ( )limx→x0 f x ≠ f x0Βασικές συνεχείς συναρτήσεις Πολυωνυμική limx→x0 P(x) = P(x0) Ρητή limx→x0 P(x) = P (x0 ) Q(x) Q (x0 )Τριγωνομετρικές συναρτήσεις limx→x0 ημχ = ημχ0 limx→x0 συνχ = συνχ0=limx→x0 εφχ li=mx→x0 σηυμνχχ ημχ0 , συνχ0 ≠ 0 συνχ0 Εκθετική συνάρτηση limx→x0 ax = ax0Λογαριθμική συνάρτηση limx→x0 loga x = loga x0http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Συναρτήσεις που προκύπτουν από συνεχείς συναρτήσειςΑν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα σημείο x0 του π.ο τους τότε είναι συνεχείς στο x0 και οι συναρτήσεις f+g, f.g, λ.f, λ ∈ R , f , f , k f, k ∈ N* g Mε την απαίτηση το x0 να είναι σημείο του π.ο τους Σύνθεση συναρτήσεων Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η g είναι συνεχής στο f(x0) τότε η σύνθεσή τους gf είναι συνεχής στο x0 15η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) Απάντηση Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 16η ΕρώτησηΠότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Απάντηση Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [α,β] και επιπλέον ισχύει( ) ( ) ( ) ( )=limx→a+ f x f=a και limx→β− f x f β 20ο ΠαράδειγμαΝα βρείτε τις τιμές του a ∈ R ώστε η συνάρτηση( )fx = x2 + 2a, x < 1    x + a, x ≥ 1  να είναι συνεχής Λύση Τρόπος δράσηςΘα μελετήσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης στα ανοικτά διαστήματα του π.ο της και κατόπιν θα μελετήσουμε τη συνέχεια στο άκρο του κλειστού διαστήματος(εκεί που αλλάζει τύπο) Επομένωςhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ( )Στο διάστημα −∞,1 ο τύπος της f είναι f (x=) x2 + 2a και είναι συνεχής ως πολυωνυμική συνάρτηση Στο διάστημα (1, +∞) ο τύπος της f είναι f (x=) x + aκαι είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων g (x)= x και h(x)= x + a Δηλαδή f (x) = (g  h) (x) = g(h(x)) = g(x + a) = x + a Για να είναι η f συνεχής πρέπει να είναι συνεχής σε όλο το π.ο της ,επομένως πρέπει να είναι συνεχής και στο x0=1 Δηλαδή πρέπει ( ) ( ) ( )li=mx→1+ f x li=mx→1− f x f 1 (I) Έχω f (1=) 1 + a και http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning( )lim f x= lim x+a = 1+a x x→1+ →1+( ) ( )lim x→1− f x =lim →1− x2 + 2a =1 + 2a x Επομένως η (Ι) γίνεται 1 + a ↔ 1 + 2a 2 = 2( )1 + 2a = 1+a ↔1 + 4a + 4a2 =1 + a ↔ 4a2 + 3a = 0 ↔( )a  a = 0    4a + 3 =0 ↔ a −3  = 4  Θεώρημα BolzanoΈστω η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] αν η f είναι συνεχής στο [α,β] Και f(a).f(β)<0τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (a, β) τέτοι ώστε f (x0 ) = 0 17η ΕρώτημαΤι προκύπτει από το Θεώρημα Bolzano;http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ΑπάντησηΑπό το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η ξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α,β) 18η Ερώτημα Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano; ΑπάντησηΗ γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f τέμνει τον άξονα xx΄ σε ένα τουλάχιστον σημείο x0 21ο ΠαράδειγμαΝα δείξετε ότι η εξίσωση 3συνx=x-1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,π) Λύση 3συνx=x-1->3συνx-x+1=0 Θεωρώ τη συνάρτηση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f(x)=3συνx-x+1 στο διάστημα [0,π] Η f είναι συνεχής συνάρτηση ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων f(0)=3συν0-0+1=3.1+1=4>0 f(π)=3συνπ-π+1=3(-1)-π+1=-3-π+1=-2-π=-(2+π)<0 Επομένως f(0). f(π)<0 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano ( ) ( )Υπάζρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ 0, π : f x0 =0( )f x 0 = 0 ↔ 3συνx0 − x0 + 1 = 0 ↔ 3συνx0 = x0 − 1Δηλαδή η εξίσωση 3συνx=x-1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (ο,π) 22ο Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 = 12+2x έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες Λύση Τρόπος δράσης Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f(x)=0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες αρκεί να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano σε δύο κατάλληλα διαστήματα http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Επομένως x3 = 12+2x-> x3 – 12-2x=0 ,π.ο R θέτω f(x)= x3 – 12-2x Επιλέγω μια ένωση διαστημάτων της μορφής [a, 0] ∪ [0, γ], α,β ∈ RΓια να εξετάσω εάν σε καθένα από τα διαστήματα αυτά εφαρμόζεται το θεωρ.Bolzano Επομένως Θεωρώ την ένωση διαστημάτων [−1, 0] ∪ [0,1] H f ως πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R ,επομένως και στο [−1, 0] ∪ [0,1] επιπλέον f(-1)= -1-12-2(-1)=-13+2=-11<0 f(0)=0-12-0=12>0 Δηλαδή f(-1). f(0)<0 ( )άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ −1, 0 http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning τέτοιο ώστε f(x0)=0-> x03 – 12-2x0=0-> x03 = 12+2x0 (I) Επίσης f(0)=0-12-0=12>0 f(1)=1-12-2=-13<0 Δηλαδή f(0). f(1)<0 ( )άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ 0,1 τέτοιο ώστε f(x0)=0-> x13 – 12-2x1=0-> x13 = 12+2x1 (II) επιπλεον x0 ≠ x1 Από (I)και(ΙΙ) συμπεραίνω ότι η f έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες 18η Ερώτηση Τι προκύπτει από το θεώρημα του Bolzano; Απάντηση Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:1) αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ καιδε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning x ϵ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ϵ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ2) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 23ο ΠαράδειγμαΝα βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f(x)=x3-6x2+9x Λύση Βρίσκουμε τις ρίζες της f(x)=0 επομένωςf(x)=x3-6x2+9x=0<->x(x2-2.3x+9)=x(x-3)2=0->x=0 ή x=3 διπλήΣχηματίζω το παρακάτω πίνακα Διάστημα (−∞, 0) ( 0, 3) (3, +∞)Επιλεγμένος -1 1 4 αριθμός x0 f(-1)=-16 f(1)=4 f(4)=4 f(x0)Πρόσημο της - + + f(x) 19η Eρώτηση Να διατυπωθεί το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών ΑπάντησηΈστω μια συνάρτηση f με π.ο ένα κλειστό διάστημα [α,β] Αν η f είναι συνεχής στο (α,β) και http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning f(a) ≠ f(β) τότεΓια κάθε αριθμό λ μεταξύ των f(a) και f(β) υπάρχει ένα ( )τουλάχιστον x0 ∈ a, β Τέτοιο ώστε f(x0)=λ ΠαρατήρησηΗ εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα 24ο Παράδειγμα Έστω η εξίσωση x4+1=3x Na εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών Λύση http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning Έστω η συνάρτηση f(x)= x4+1-3x η f έχει π.ο το R = (−∞, +∞)και ως πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο π.ο της επιπλέον ( )limx→−∞ f x = limx→−∞(x3 + 1 − 3x) = −∞ ( )limx→+∞ f x = limx→+∞(x3 + 1 − 3x) = +∞ Δηλαδή ( ) ( )limx→−∞ f x ≠ limx→+∞ f xΕπομένως σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών για κάθε αριθμό λ του πεδίου τιμών R = (−∞, +∞) ( )υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ −∞, +∞ Τέτοιο ώστε f(x0)=λ 20η ΕρώτησηΝα διατυπωθεί το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ΑπάντησηΑν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα Δ=[α,β], τότεη f έχει στο διάστημα [α,β] μια μέγιστη Μ και μια ελάχιστη τιμή μ Δηλαδή υπάρχουν x1, x2 ∈ [α, β] τέτοια ώστε f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) ↔ μ ≤ f (x) ≤ Μ Επιπλέον ισχύει f(Δ)=[μ,Μ] Δηλαδή η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα 25ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημx ορισμένη στο κλειστό διάστημα [0,π/2] http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΝα εξετάσετε εαν εφαρμόζεται το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Λύση Η f(x)=ημx ως τριγωνομετρική συνάρτηση είναι συνεχής στο R επομένως και στο [0,π/2] Γνωρίζω ότι στο διάστημα [0,π/2] 1 ≤ ημx ≤ 0 Δηλαδή 1 ≤ f(x) ≤ 0 Επομένως Μ=1 και μ=0 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x)=ημx παίρνει στο διάστημα [0,π/2] μια μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή μ. Άρα το το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής ικανοποιείται http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearningΣύνολο τιμών συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης Δ [α,β] (α,β) [α,β) (α,β]Αν f ↑ f(Δ) [f(α),f(β)] (Α,Β) [f(a),B) (A,f(β)] Aν f ↓ [f(β),f(α)] (Β,Α) (B,f(a)] [f(β),Α) f(Δ) Όπου ( )A = lim α+ f x x→ και ( )B = f lim →β− x xhttp://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning 26ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x)=1-lnx 1) Na βρεθεί το π.ο της f 2) Na βρεθούν τα όρια της f στα άκρα του π.ο της3)Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π.ο της 4)Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f Υπόδειξη: να δειχτεί προηγουμένως ότι είναι συνεχής Λύση 1)για να ορίζεται η lnx πρέπει x>0 , Eπομένως το π.ο της f(x)=1-lnx είναι Δ= {x ∈ R : x > 0} → Δ= (0, +∞) 2) f(x)=1-lnx http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning ( )limx→0 f x= limx→0(1 − ln x=) 1 − limx→0 ln x = 1 − (−∞) = +∞ ( )limx→+∞ f =x limx→+∞(1 − ln=x) 1 − limx→+∞ ln x = 1 − (+∞) = −∞ ( )3) έστω x1, x2 ∈ 0, +∞ με x1<x2 x1 < x2 → ln x1 < ln x2 → −ln x1 > −ln x2 → ( ) ( )1 − ln x1 > 1 − ln x2 → f x1 > f x2 → f ↓ ( )Eπομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, +∞4)Η συνάρτηση g(x)=lnx είναι συνεχής , η συνάρτηση h(x)=1 είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση http://www.mathschool-online.gr/elearning