Γ Γυμνασίου άλγεβρα 124 σελίδες με λυμένες ασκήσεις

http://www.mathschool-online.grΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης. Παράδειγμα Για α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=8 3 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Ορίζουμε α1=α , α0=1 , α-ν=1/αν . Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2- 2=1/22=1/4Ιδιότητες των δυνάμεων ακ.αλ=ακ+λ,π.χ, ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22- 22.23=22+3=25 3=ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 2-1=1/222.32=(2.3)2=36 ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, (ακ)λ=ακλ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9(22)2=22.2=24=16 www.mathschool- online.com Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου)2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) (5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625 Tα παραπάνω αποτελούν ένα μικρό δείγμαAν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online http://www.mathschool-online.gr

www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΓενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Γ΄ Γυμνασίου Αλγεβρικές παραστάσεις-Εξισώσεις- Ανισώσεις 1.Ι) Τι ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση; Tι ονομάζουμε μονώνυμο και τι πολυώνυμο; Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; II) Να γίνουν οι πράξεις Α) 2x2y+4x2y-x2y= Β) 2χ2+χ+3χ2+4χ= Γ) 2χ2y.(-xy)= Δ) 6x4y :3xy= Ε) χ.(χ2+1)= Στ) (χ+1).(χ-2)= www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com 2.Ι) Να γράψετε τις ταυτότητες Α) του τετραγώνου του αθροίσματος Β) του τετραγώνου της διαφοράς Γ) της διαφοράς των τετραγώνων ΙΙ) Να εφαρμόσετε τις ταυτότητες Α) (χ+1)2= Β) (χ-2)2= Γ) χ2-22=3.Ι) Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις Α) αχ+βχ= Β) 2χ+2y+4x+4y= Γ) χ2-42= Δ) χ2+(α+β)χ+αβ= 4. Να λυθούν οι εξισώσεις Α) 2(χ+1)=2χ www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Β) χ2=4Γ) 4 - 3 =1 x x25. Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση Α) 6χ2-5χ+2=06.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2ΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2βΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωσηx- 3x+1 > 3 24Απαντήσεις1.Ι) Aλγεβρική παράσταση είναι μιαέκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές. Π.χ 2χy-3x2+5 Μονώνυμο ονομάζουμε μια αλγεβρικήπαράσταση όπου μεταξύ των αριθμών και www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com των μεταβλητών σημειώνεται μόνο ο πλλαπλασιασμός. Π.χ -2χ2y Πολυώνυμο λέγεται το άθροισμαμονωνύμων,που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια Π.χ -2χ2y+3xyΌμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν τοίδιο κύριο μέρος, (κύριο μέρος:το τμήμα που περιέχει τις μεταβλητές μόνο) Π.χ -2χ2y, 3x2y II) Α) 2x2y+4x2y-x2y=(2+4-1)χ2y =5 χ2y Β) 2χ2+χ+3χ2+4χ= 2χ2+3χ2+χ+4χ= (2+3)x2+(1+4)x= 5x2+5x www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Γ) 2χ2y.(-xy)= 2.(-1)x2+1y1+1 =-2x3y2 Δ) 6x4y :3xy= 6x4 y  2x4-1y1-1 =2x3y0 3xy =2x3.1=2x3 γνωρίζω ότι (y0  1) Ε) χ.(χ2+1)=x.x2+x.1= X1+2+x=x3+xΣτ) (χ+1).(χ-2)=x.x-1.2x+1.x-1.2= x2-2x+x-2= x2-x-2 2.Ι) H ταυτότητaΑ) του τετραγώνου του αθροίσματος (a+β)2=α2+2αβ+β2 Β) του τετραγώνου της διαφοράς (a-β)2=α2-2αβ+β2 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Γ) της διαφοράς των τετραγώνων α2-β2=(α-β).(α+β) ΙΙ) Α) (χ+1)2=χ2+2χ.1+12= χ2+2χ+12= Β) (χ-2)2= χ2-2χ.1+12= χ2-2χ+12= Γ) χ2-22=(χ-2).(χ+2) 3.Ι) Α) αχ+βχ=χ(α+β)Β) 2χ+2y+4x+4y=2χ+4x + 2y+4y= 2χ(1+2) + 2y(1+2)= Γ) χ2-42=(x-4)(x+4) Δ) χ2+(α+β)χ+αβ=(x+a).(x+β) 4. Α) 2(χ+1)=2χ→ 2χ+2.1=2χ→ 2χ-2χ=-2→ 0.χ=-2 Αδύνατη www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com(ότι τιμή και να πάρει το χ πάντα 0χ=0 και πάντα 0≠-2 Β) χ2=4→ χ=±√4 → χ=±2Γ) 4 - 3 =1 x x2ΕΚΠ = χ2 ≠ 0 → χ≠0 Επομένωςχ2. (4/χ) –χ2.(3/χ2)=χ2.1 →4χ-3=χ2→-χ2+4χ-3=0→Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμούΒρίσκω τη διακρίνουσα Δ Δ=β2-4αγwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com α = -1 , β = 4 , γ = -3 Δ=β2-4αγ= 42-4.(-1).(-3)= 16-12=4>0 Επομένως x1,x2 =( -β± Δ )/2α x1,x2 = -4± 4  2.(-1)  x1 = -4+2 = -2 =1   -2 -2  -4±2  x1,x2 = -2    = -4-2 = -6  x2 -2 -2 =3 5. Α) 6χ2-5χ+2=0 Δ=β2-4αγ α=6 , β=-5, γ=2Δ=β2-4αγ=(-5)2-4.6.2=25-48<0www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Επομένως η εξίσωση 6χ2-5χ+2=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες 6.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2 Έχω: α>β →πολλαπλασιάζω με το θετικό αριθμό 2 και τα δύο μέλη της aνισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α>2β→αφαιρώ το θετικό αριθμό 2 και από τα δύο μέλη της ανισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α-2>2β-2 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΌταν προσθέτω και αφαιρώ δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας ΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2β Έχω: α<β → πολλαπλασιάζω με τον αρνητικό αριθμό 2και τα δύο μέλη της ανισότητας και αλλάζει η φορά. Eπομένως: -2α>-2β ΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωση x- 3x+1 > 3 24 ΕΚΠ=8 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comx- 3x+1 > 3  24 3x+1 >8 3 8x-8 248x-43x+1>2.3 8x-4.3x-4.1>6 8x-12x-4>6 8x-12x>4+6 -4x>10διαιρώ με αρνητικόκαι αλλάζει η φορά-4x < 10 -4 -4x<- 5 2Kaλή Ανάγνωση!http://mathschool-online.pblogs.grwww.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.gr/elearning Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Τριγωνομετρία Γ΄Γυμνασίου ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 10 Πώς ορίζονται με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ένα σημείο Μ(χ,y) στο ορθοκανονικό σύστημασυντεταγμένων χΟy και έστω ΜΟχ η γωνία που σχηματίζεται από την ΟΜ και τον άξονα χχ΄ Ορίζω ημχ=y/ΟΜ συνχ=χ/ΟΜ εφχ=y/χ ΘΕΜΑ 20 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ένα Σωστό ή Λάθος http://www.mathschool-online.gr/elearning 1

http://www.mathschool-online.gr/elearning Α) Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣωστόΒ) Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σωστό Γ) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy παίρνουμε το σημείοΜ(-4, 3). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω = XôΜ είναι 1)ημω=3/5 2)συνω=4/5 3)εφω=3/4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1)Σ,2)Λ,3)Λ Δ) Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º − ω ισχύουν: 1)ημ(180-ω)=ημω 2)συν(180-ω)=-συνω 3)εφ(180-ω)=-εφω ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1)Σ,2)Σ,3)Σ http://www.mathschool-online.gr/elearning 2

http://www.mathschool-online.gr/elearning ΘΕΜΑ 30 Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = συν120º + ημ120º + συν120º ΥπόδειξηΝα γίνει χρήση της ιδιότητας των παραπληρωματικών αριθμών ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α=συν(1800-600)+ ημ(1800-600)+συν(1800-600) Α=-συν600+ ημ600- συν600 Α=-2συν600+ ημ600 Γνωρίζω όμως ότι Επομένως Α=-2.(1/2)+ (√������/2) Α=-1+(√3/2) ΘΕΜΑ 40 1)Να γράψετε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες http://www.mathschool-online.gr/elearning 3

http://www.mathschool-online.gr/elearning 2) Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω =4/5 , τότε ναυπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 3) Να αποδείξετε ότι:(ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2 = 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1) ημ2ω+συν2ω=1 εφω =ημω/συνω2)Θέτω στη σχέση ημ2ω+συν2ω=1 , ημω =4/5 Οπότε έχω(4/5)2+ συν2ω=1-> συν2ω=1-(4/5)2-> συν2ω=1-(16/25)-> συν2ω=(25/25)-(16/25)-> συν2ω=(9/25)-> συνω=3/5Θέτω στη σχέση εφω =ημω/συνω ημω =4/5 και συνω=3/5 Επομένως 4εφω =5 =4 → εφω =4 3 3 3 5http://www.mathschool-online.gr/elearning 4

http://www.mathschool-online.gr/elearning 2) Κάνω τις πράξεις στο 1ο μέλος και έχω (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2= ημ2ω+2 ημω.συνω + συν2ω + ημ2ω-2 ημω.συνω + συν2ω= 2 ημ2ω + 2 συν2ω=2(ημ2ω + συν2ω)=2.1=2 Επομένως (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2=2Περισσότερα επαναληπτικά θέματα θα βρεις στην εκπαιδευτική πλατφόρμα του : http://www.mathschool-online.gr/elearning Καλή επιτυχία ! http://www.mathschool-online.gr/elearning 5

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschoolonline.orgΕπαναληπτικό διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο της Γεωμετρίας της Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 1ο Σύνολο : 6 μονάδες1) Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίωντριγώνων (3 μονάδες)2) Δίνονται τα τρίγωναΑΒΓ και ΔΒΓ με ΑΒ=ΒΔΝα αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα(3 μονάδες) Θέμα 2ο Σύνολο : 8 μονάδες

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschoolonline.org1)Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α,γ είναι ανάλογα προς ταευθύγραμμα τμήματα β,δ(2 μονάδες)2)Να αναφέρετε το θεώρημα του Θαλή (χωρίς τηναπόδειξη)(2 μονάδες)3) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=16 , ΑΕ=2, ΕΓ=6.Αν ΔΕ//ΒΓ να υπολογιστεί το τμήμα ΑΔ(4 μονάδες) Θέμα 3ο Σύνολο : 6 μονάδες1) Πότε δύο πολύγωνα ονομάζονται όμοια; (1 μονάδα)

Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών http://www.mathschoolonline.org2) Mε τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων; (1 μονάδα)3) Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. Να υπολογισθεί ο λόγος των εμβαδών τους (4 μονάδες) Καλή επιτυχία !

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Τυπολόγιο Μαθηματικών Γ΄Γυμνασίου-Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο Αλγεβρικές παραστάσεις Κεφάλαιο 2ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Αλγεβρική παράσταση Είναι μία έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές,π.χ, 2x2 − 4xy + 2 Μονώνυμο Η αλγεβρική παράσταση όπου μεταξύ τωναριθμών και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο ο πολλαπλασιασμός,π.χ, −2xy2. Το -2 λέγεται συντελεστής και το xy2 κύριο μέρος. Όμοια ΜονώνυμαΤα Μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος,π.χ −3x2y, 8x2y, x2y http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Πολυώνυμο Το άθροισμα μονωνύμων που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια, π.χ,-3xy2 +2x-3y3 Βαθμός πολυωνύμουΩς προς μία μεταβλητή του είναι ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής,π.χ,οβαθμός του πολυωνύμου 2x5 -3x3+4x ώς προς χ είναι 5. Δηλαδή το πολυώνυμο είναι 5ου βαθμού Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ (x)=δ(x) π (x)+υ(x) ( )Το υπόλοιπο υ x έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του πολ/μου Δ (x). Αν υ(χ)=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και τα δ(χ),π(χ),λέγονται διαιρέτες ή παράγοντες του Δ(χ) Ταυτότητες ( )α+β 2 =α2+2αβ+β2 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com ( )α-β 2 =α2-2αβ+β2 ( α-β ) ( α+β ) =α2 -β2 ( )α+β 3 =α3+3α2β+3αβ2+β3 ( )α-β 3 =α3-3α2β+3αβ2-β3 Tα παραπάνω αποτελούν δείγμαΑν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online http://www.mathschool-online.com