Γ Γυμνασίου άλγεβρα 124 σελίδες με λυμένες ασκήσεις

http://www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Τυπολόγιο Μαθηματικών Γ΄Γυμνασίου-Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο Αλγεβρικές παραστάσεις Κεφάλαιο 2ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Αλγεβρική παράσταση Είναι μία έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές,π.χ 2x2 − 4xy + 2 Μονώνυμο Η αλγεβρική παράσταση όπου μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο ο http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com πολλαπλασιασμός,π.χ −2xy2. Το -2 λέγεται συντελεστής και το xy2 κύριο μέρος. Όμοια ΜονώνυμαΤα Μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος,π.χ −3x2y, 8x2y, x2y Πολυώνυμο Το άθροισμα μονωνύμων που δύοτουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια, π.χ,-3xy2 +2x-3y3 Βαθμός πολυωνύμου Ως προς μία μεταβλητή του είναι ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής,π.χ,ο βαθμός τουhttp://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.com πολυωνύμου 2x5-3x3+4x ώς προς χείναι 5. Δηλαδή το πολυώνυμο είναι 5ου βαθμού Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ (x)=δ(x) π (x)+υ(x) ( )Το υπόλοιπο υ x έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του πολ/μου Δ (x). Αν υ(χ)=0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και τα δ(χ),π(χ),λέγονται διαιρέτες ή παράγοντες του Δ(χ) Ταυτότητες ( )α+β 2 =α2+2αβ+β2 ( )α-β 2 =α2-2αβ+β2 http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com ( α-β ) ( α+β ) =α2 -β2 ( )α+β 3 =α3+3α2β+3αβ2 +β3 ( )α-β 3 =α3-3α2β+3αβ2-β3 ΠαραγοντοποίησηΚοινός παράγοντας σε όλους τους όρους αx+βx+γx=x (α+β+γ) Κοινός παράγοντας σε ομάδες όρων ax+ay+βx+βy=a (x+y) +β (x+y) <-> ax+ay+βx+βy = (x+y)(α+β) Διαφορά τετραγώνων α2-β2= (α-β)(α+β) Ανάπτυγμα τετραγώνου ( )α2+2αβ+β2= α+β 2 http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com ( )α2-2αβ+β2= α-β 2 Τριώνυμο της μορφής ( )x2+ a+β x+αβ= (x+α)(x+β) Εξισώσεις-ΑνισώσειςΛύση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης αχ+β=0Αν a ≠ 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την x= -β αΠ.χ , 2x+3=0 ⇔ x=- 3 2Αν α=0 η εξίσωση γίνεται 0.χ=βΑνβ≠0http://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com η εξίσωση 0.χ=β είναι αδύνατη. Π.χ, η 0.χ=2 είναι αδύνατη Αν β=0 η εξίσωση 0.χ=β είναι ταυτότητα. Π.χ, η 0.χ=0 είναι Ταυτότητα Λύση της πρωτοβάθμιας ανίσωσης αχ+β>0 Αν α>0 τότε αx+β>0 ⇔ αx>-β ⇔ x> -β α Π.χ, 2x+3>0 ⇔ x>- 3 2http://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com Αν α<0 τότε αx+β>0 ⇔ αx>-β ⇔ x< -β α Π.χ, -2x+3>0 ⇔ x< -3 -2 ⇔ x< 3 2Αν α=0 τότε η αχ+β>0 γίνεται 0.χ>-β Αν β>0 η ανίσωση 0.χ>-β αληθεύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς χ. Π.χ, 0.x > -2,αληθεύει για όλα τα χ ∈ R Aν β<0 η αχ+β>0 γίνεται 0.χ>-β που http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com είναι αδύνατη ( )Π.χ, 0.x>- -2 ⇔ 0.x>2 αδύνατη Αν β=0 η αχ+β>0 γίνεται 0.χ+0>0 → 0.χ>0 που είναι αδύνατηΛύση της δευτεροβάθμιαςεξίσωσης αx2+βx+γ=0Αν Δ>0 η εξίσωση έχει δύορίζες πραγματικέςκαι άνισες, τις=x1 -β2+α=Δ ,x2 -β- Δ 2αΑν Δ=0 η εξίσωση έχειhttp://www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.comμία διπλή ρίζα (δύο ρίζες πραγματικές ίσες),τηx1 =χ2 =-β 2αΑν Δ<0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες Η εξίσωση x2=α Αν a>0 τότε χ2=α ⇔ χ=± α, π.χ, χ2=4 ⇔ χ=± 4 ⇔ χ=±2 Αν a<0 τότε χ2=α , αδύνατη, π.χ, χ2=-4, αδύνατη Αν a=0 τότε χ2=0 ⇔ χ=0, διπλήhttp://www.mathschool-online.com 9

http://www.mathschool-online.com Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online.com Kaλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.com 10

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου – Άλγεβρα - Κεφάλαιο 1ο – Ενότητα 1η Περιεχόμενα 1.Πραγματικοί αριθμοί-Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 2.Μονώνυμο-Πράξεις με μονώνυμα 3.Πολυώνυμα-Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων-Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο-Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο 4.Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5.Παραγοντιποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 6. Λύση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησηςΡητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της μορφής α/β ,όπου οι α,β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β είναιδιαφορετικός από το μηδέν. Π.χ, οι -4/5 , 4/6 , 1=1/1 , 2 =2/1 , -3=-3/1 είναι ρητοί αριθμοί http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΆρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ, π,√2 , √5, κ.λ.π Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών. Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοί Ιδιότητες των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών : Ιδιότητες της πρόθεσηςΙδιότητα ΠρόσθεσηΑντιμεταθετική α+β=β+απαράδειγμα 2+3=3+2=5Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γπαράδειγμα 2+(1+3)=(2+1)+3=6Ουδέτερο στοιχείο α+0=0+α=απαράδειγμα 1+0=0+1=1Αντίθετος αριθμού α+(-α)=(-α)+α=0παράδειγμα 1+(-1)=(-1)+1=0 www.mathschool-online.com http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Ιδιότητες του πολλαπλασιασμούΙδιότητα ΠολλαπλασιασμόςΑντιμεταθετική α.β=β.απαράδειγμα 2.3=3.2=6Προσεταιριστική Α.(β.γ)=(α.β).γπαράδειγμα 2.(1.3)=(2.1).3=6Ουδέτερο στοιχείο α.1=1.α=απαράδειγμα 1.2=2.1=2Αντίστροφος αριθμού α 1 = 1 α = 1, α≠0παράδειγμα ������ ������ 2.(1/2)=(1/2).1=1Επιμεριστική του α(β+γ)=αβ+αγπολλαπλασιασμού ωςπρος τη πρόσθεσηπαράδειγμα 2(1+3)=2.1+2.3=8 www.mathschool-online.com Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο τουπολλαπλασιασμού,δηλαδή για κάθε πραγματικό α ισχύει : 0.α=α.0=0 Π.χ : 1.0=0.1=0 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις: Πρώτα οι δυνάμεις Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις Προσοχή! Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) 2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) = 2+8 = 10 Παράδειγμα 2o (Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου)-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = -7 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή , α ν = α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ ....α ν φορές http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης.ΠαράδειγμαΓια α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=83 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Ορίζουμεα1=α , α0=1 , α-ν=1/αν . Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2-2=1/22=1/4Ιδιότητες των δυνάμεωνακ.αλ=ακ+λ,π.χ, 22.23=22+3=25 ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22-3= 2-1=1/2 ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 22.32=(2.3)2=36 ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9 (ακ)λ=ακλ,π.χ, (22)2=22.2=24=16 www.mathschool- online.comΠαράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) 2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) (5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού χ, είναι ο θετικός αριθμός α που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον χ.Η τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού χ συμβολίζεται με x . Επομένως σύμφωνα με τον ορισμό έχω: x =α <-> α2=χ =Π.χ, 16 4=, διότι 42 16 Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας α. β= α.βΠ.χ, 2. 3= 2.3 = 6  α= α ββΠ.χ, 5= 5 = 1 10 10 2  2 α =α 2Π.χ, 3 =3Πώς μετατρέπω κλάσμα που έχει άρρητο παρονομαστή σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠαράδειγμα 1ο (Πρδ.3,σελ.21 του σχολικού βιβλίο Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 5 , με τον άρρητο αριθμό 3 3 =5 5=. 3 5=. 3 5. 3 3 3. 3 ( 3)2 3 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 6.α ,σελ. 24 του σχολικού βιβλίου) Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 1 , με τον άρρητο αριθμό 2 2 =1 1=. 2 =1. 2 2 2 2. 2 ( 2)2 2 Αλγεβρική παράσταση Αλγεβρική παράσταση είναι μια έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές. Π.χ, 2χ+3χ2: y +1 Ακέραια αλγεβρική παράσταση Ακέραια αλγεβρική παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση που μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνεται μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί. Π.χ, 2χ+3χ2+1 Αριθμητική τιμή μιας παράστασης http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Αριθμητική τιμή μιας παράστασης είναι ο αριθμός που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές της με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις. Π.χ, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α=2χ-2 , για χ=1 Λύση Α=2.1-2=2-2=0 Επομένως η αριθμητική τιμή της παράστασης Α για χ=1 είναι Α=0 Μονώνυμο Μονώνυμο λέγεται μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών της σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Π.χ, -2χ2y Συντελεστής του μονωνύμου Συντελεστής του μονωνύμου ονομάζεται το αριθμητικό μέρος του μονωνύμου. Π.χ, τo -2 ονομάζεται συντελεστής του μονονύμου Κύριο μέρος του μονωνύμου Κύριο μέρος του μονωνύμου ονομάζεται το τμήμα που δεν περιλαμβάνει το αριθμητικό μέρος . Π.χ, το χ2y ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου Όμοια μονώνυμαΌμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Π.χ, -2χ2y , 3χ2y , (7/2) χ2y , - χ2y Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης μιας μεταβλητής.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 ως προς χ είναι 3ου βαθμού και ως προς y είναι 2ου βαθμού. Βαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητέςΒαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα εκθετών των μεταβλητών του.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 είναι 5ου βαθμού και ως προς χ και y Σταθερό μονώνυμοΟι αριθμοί θεωρούνται ως σταθερά μονώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο 2 μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού Μηδενικό μονώνυμοΤο μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό Πρόσθεση μονωνύμωνΒασική προυπόθεση για να προσθέσω μονώνυμα είναι να είναι όμοια. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΤο μονώνυμο που προκύπτει είναι όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ, 2χ2y- χ2y+5 χ2y= (2-1+5).χ2y=6χ2y Αναγωγή ομοίων όρων Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η αντικατάσταση των όμοιων μονωνύμων με το άθροισμά τους. Π.χ, 2χ2y-χy+xy- χ2y+4xy= (2-1)x2y+(-1+4)xy = x2y + 3xy Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση μονωνύμων Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μονωνύμων γίνονται είτε τα μονόνυμα είναι όμοια είτε όχι. Γινόμενο μονωνύνων Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο μεσυντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριομέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους, με εκθέτη καθεμιάς μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών τους. Π.χ, 3χ2y.(-2)xy = 3.(-2)x2+1y1+1 = -6x3y2 Πηλίκο δύο μονωνύμωνΠηλίκο δυο μονωνύμων είναι η αλγεβρική παράσταση που είναι γινόμενο του διαιρετέου με τον αντίστροφο του διαιρέτη. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, 14χ2y : 7xy = 14χ2y 1 = 2x2-1 = 2x, o 14χ2y 7xy 1είναι ο διαιρετέος , ο 7xy είναι ο διαιρέτης και ο 7xyείναι ο αντίστροφος του διαιρέτη.ΠολυώνυμοΠολυώνυμο λέγεται το άθροισμα των μονωνύμων που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια. Π.χ, 4χy2+2xy+2Τα μονώνυμα 4χy2,2xy,2 λέγονται όροι του πολυωνύμου. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής.Π.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 2ου βαθμού ως προς x και 3ου βαθμού ως προς yΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές τουΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές του ονομάζεται το άθροισμα των μεγαλύτερων εκθετών των μεταβλητών του. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 5ου βαθμού ως προς x και Y Σταθερό πολυώνυμο Οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν εκτός από σταθεράμονώνυμα και ως σταθερά πολυώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο -2 μπορεί να θεωρηθεί και ως σταθερό πολυώνυμο μηδενικού βαθμού Μηδενικό πολυώνυμο Το μηδέν μπορεί να θεωρηθεί εκτός από σταθερό μονώνυμο και ως μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό. Πρόσθεση – Αφαίρεση πολυωνύμων Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται με την αναγωγή ομοίων όρων (αφού βγάλω πρώτα τις παρενθέσεις,όπου υπάρχουν). Παράδειγμα 1ο 2x2+3y-x2+y=2x2-x2 +3y+y = (2-1)x2+(3+1)y=x2+4y Παράδειγμα 2ο Λύση της άσκησης 5.α σελ.37 του σχολικού βιβλίου(2χ2-χ)-(χ3-5χ2+χ-1)= 2χ2-χ- χ3+5χ2-χ+1 = 7χ2-2χ-χ3+1 Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, 3χ2(2χ3+6χ)= 3χ2.2χ3+3χ2.6χ=6χ5+18χ3 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο,πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πολυωνύμου με κάθε όροτου άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, (χ+2).(2χ2+1)=χ.2χ2+χ.1+2.2χ2+2.1=2χ3+χ+4χ2+2 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Ανάπτυγμα τετραγώνου (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 1.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2=4+4χ+χ2 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.γ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2ω+1)2=(2ω)2+2.2ω.1+12=22.ω2+4ω+1=4ω2+4ω+1 Τετράγωνο διαφοράς http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (2-χ)2=22-2.2.χ+χ2=4-4χ+χ2 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 2.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-3)2=χ2-2.3χ+32=χ2-6χ+9 Παράδειγμα 3ο(Λύση της άσκησης 2.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2κ-λ)2=(2κ)2-2.2κ.λ+λ2=22.κ2-4κλ+λ2=4κ2-4κλ+λ2 Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά ή αλλιώς διαφορά τετραγώνων (α+β)(α-β)=α2-β2 ή (α-β)(α+β)=α2-β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 6.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-1)(χ+1)=χ2-12=χ2-1 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 6.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+4)(χ-4)=χ2-42=χ2-16 Παράδειγμα 3ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (Λύση της άσκησης 2.ζ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2χ+7y)(2x-7y)=(2x)2-(7y)2=22x2-72y2=4x2-49y2 Κύβος αθροίσματος (α+β)3=α3+3α 2β+3αβ2+β3 Κύβος διαφοράς (α-β)3=α3-3α 2β+3αβ2-β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 5.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+1)3=χ3+3χ 2.1+3χ.12+13= χ3+3χ 2+3χ+1 Παράδειγμα 2ο (χ-1)3=χ3-3χ 2.1+3χ.12-13= χ3-3χ 2+3χ-1 Διαφορά κύβων (α-β)(α2+αβ+β2)= α3-β3 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 10.α σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) (χ-3)(χ2+3χ+9)= (χ-3)(χ2+3χ+32)=χ3-33 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α-β)(α2+αβ+β2) = (χ-3)(χ2+3χ+32) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Άθροισμα κύβων (α+β)(α2-αβ+β2)= α3+β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 10.β σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) (y+2)(y2-2y+4)=(y+2)(y2-2y+22)=y3-23 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α+β)(α2-αβ+β2) = (y+2)(y2-2y+22) Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεωνΠαραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία με την οποίαμια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από άθροισμα όρων μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Π.χ, 22+2.2χ+χ2=(2+χ)(2+χ)=(2+χ)2 Από άθροισμα που ήταν 22+2.2χ+χ2 μετατράπηκε σε γινόμενο παραγόντων (2+χ)(2+χ) με τη βοήθεια της ταυτότητας (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2 Μέθοδοι παραγοντοποίησης Κοινός παράγοντας Παράδειγμα 1ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com 3α+3β+3γ =3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης 3α+3β+3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το 3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το 3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=3 Παράδειγμα 2ο -3α-3β-3γ =-3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης -3α-3β-3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το -3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το -3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=-3 ΕπεξήγησηΟυσιαστικά κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου-3( α+β+γ) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -3α-3β-3γ με τον κοινό παράγοντα -3: http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com -3a/-3=a -3β/-3=β -3γ/-3=γ Παράδειγμα 3ο -2α+2β-2γ =2(-α+β-γ) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 2( -α+β-γ)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -2α+2β-2γ με τον κοινό παράγοντα 2: -2a/2=-a 2β/2=β -2γ/2=-γ Παράδειγμα 4ο -χα+α =α(-χ+1) Επεξήγηση Κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου α( -χ+1) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -χα+α με τον κοινό http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com παράγοντα α: -χa/α=-χ α/α=1 Παράδειγμα 5ο (Λύση της άσκησης1.α σελ.60 του σχολικού βιβλίου) 3α+6β=3(α+2β) Επεξήγηση Κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 3(α+2β)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης 3α+6β με τον κοινό παράγοντα 3: 3α/3=α 6β/3=2β Κοινός παράγοντας κατά ομάδες (ομαδοποίηση) aχ+βχ+αy+βy=χ(α+β)+y(a+β)‘Βγάζω’ κοινό παράγοντα από τους δυο πρώτους το χ και από τους δυο επόμενους το y Στη συνέχεια ‘βγάζω’ κοινό παράγοντα το (α+β) χ(α+β)+y(a+β)= (α+β)(χ+y) Επεξήγηση http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου (α+β)(χ+y)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης χ(α+β)+y(a+β) με τον κοινό παράγοντα (α+β) χ(α+β)/ (α+β) =χ y(a+β)/ (α+β)=y Διαφορά τετραγώνων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α2-β2=(α+β)(α-β) Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 8.α σελ.61 του σχολικού βιβλίου) χ2-9=χ2-32=(χ+3)(χ-3) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= χ2-32 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 8.β σελ.61 του σχολικού βιβλίου) 16χ2-1=16χ2-12=(4χ)2-12=(4χ+1)(4χ-1) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= (4χ)2-12 Διαφορά τετραγώνου http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 15.α σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) χ2-2χ+1= χ2-2χ.1+12=(χ-1)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-2αβ+β2 = χ2-2χ.1+12 Ανάπτυγμα τετραγώνου Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 15.β σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) Y2+4y+4=y2+2.2y+22=(y+2)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2+2αβ+β2 = y2+2.2y+22 Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής χ2+(α+β)χ+αβΤο τριώνυμο της μορφής χ2+(α+β)χ+αβ παραγοντοποιείται ως εξής χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.57 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com χ2-8χ+12= Αναζητώ δυο αρνητικούς αριθμούς που να έχουν άθροισμα το -8 και γινόμενο το +12 Επομένως χ2-8χ+12 = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6)=(χ-2)(χ-6) όπου -8=(-2)+(-6) και 12=(-2).(-6) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω το τριώνυμο στη μορφή χ2+(α+β)χ+αβ = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6) Διαφορά κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3-27=χ3-33=(χ-3)(χ2+3χ+32)= (χ-3)(χ2+3χ+9) Επεξήγηση : Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3-β3= χ3-33 Άθροισμα κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(β), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3+64=χ3+43=(χ+4)(χ2-4χ+42)= (χ+4)(χ2-4χ+16) Επεξήγηση http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3+β3= χ3+43Επίλυση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 11.α σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) x2-49=0 Παραγοντοποιώ εφαρμόζοντας τη διαφορά τετραγώνων (δες παραπάνω) : x2-49=0→x2-72=0→(χ+7)(χ-7)=0 Επομένως έχω να λύσω την εξίσωση (χ+7)(χ-7)=0→χ+7=0 ή χ-7=0 χ+7=0→χ=-7 ή χ-7=0→χ=7 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 11.β σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) 9χ3-4χ=0 Παραγοντοποιώ εφαρμόζωντας τη μέθοδο του κοινού παράγοντα (δες παραπάνω): http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com9χ3-4χ=0→χ(9χ2-4)=0→χ=0 ή 9χ2-4=0, χ=0 ή 9χ2-4=0→9χ2=4→9χ2/9=4/9→ χ2=4/9→χ= =4 =4 2 9 93Επομένωςχ=0 ή χ=2/3Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online.comΚαλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.gr Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοί Πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις: Πρώτα οι δυνάμεις Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις Προσοχή! Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού βιβλίου)2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) = 2+8 = 10 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = - 7 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή , α ν = α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ ....α ν φορέςΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης. Παράδειγμα Για α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=8 3 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Ορίζουμε α1=α , α0=1 , α-ν=1/αν Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2-2=1/22=1/4 http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.grΙδιότητες των δυνάμεων ακ.αλ=ακ+λ,π.χ, ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22- 22.23=22+3=25 3=ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 2-1=1/222.32=(2.3)2=36 ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, (ακ)λ=ακλ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9(22)2=22.2=24=16 www.mathschool- online.com Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) 2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) (5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625Aν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kαλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.gr

www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών Γενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις για εξάσκηση Γ΄ Γυμνασίου-Άλγεβρα Kεφάλαιο 1ο Αλγεβρικές παραστάσεις Κεφάλαιο 2ο Εξισώσεις-Ανισώσεις 1.Ι) Τι ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση;Tι ονομάζουμε μονώνυμο και τι πολυώνυμο; Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; II) Να γίνουν οι πράξεις Α) 2x2y+4x2y-x2y= Β) 2χ2+χ+3χ2+4χ= Γ) 2χ2y.(-xy)= Δ) 6x4y :3xy= www.mathschool-online.com 1

www.mathschool-online.com Ε) χ.(χ2+1)= Στ) (χ+1).(χ-2)= 2.Ι) Να γράψετε τις ταυτότητες Α) του τετραγώνου του αθροίσματος Β) του τετραγώνου της διαφοράς Γ) της διαφοράς των τετραγώνων ΙΙ) Να εφαρμόσετε τις ταυτότητες Α) (χ+1)2= Β) (χ-2)2= Γ) χ2-22=3.Ι) Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις Α) αχ+βχ= Β) 2χ+2y+4x+4y= Γ) χ2-42= Δ) χ2+(α+β)χ+αβ= www.mathschool-online.com 2

www.mathschool-online.com4. Να λυθούν οι εξισώσεις Α) 2(χ+1)=2χ Β) χ2=4Γ) 4 - 3 =1 x x25. Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση Α) 6χ2-5χ+2=06.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2ΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2βΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωσηx- 3x+1 > 3 24Απαντήσεις1.Ι) Aλγεβρική παράσταση είναι μιαέκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές.www.mathschool-online.com 3

www.mathschool-online.com Π.χ , 2χy-3x2+5 Μονώνυμο ονομάζουμε μια αλγεβρική παράσταση όπου μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο ο πλλαπλασιασμός. Π.χ , -2χ2y Πολυώνυμο λέγεται το άθροισμαμονωνύμων,που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια Π.χ , a) -2χ2y+3xy β) -χ2+3yΌμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν τοίδιο κύριο μέρος, (κύριο μέρος:το τμήμα που περιέχει τις μεταβλητές μόνο) Π.χ, -2χ2y, 3x2y II) Α) 2x2y+4x2y-x2y=(2+4-1)χ2y =5 χ2y www.mathschool-online.com 4

www.mathschool-online.com Β) 2χ2+χ+3χ2+4χ= 2χ2+3χ2+χ+4χ= (2+3)x2+(1+4)x= 5x2+5x Γ) 2χ2y.(-xy)= 2.(-1)x2+1y1+1 =-2x3y2  6x4y :=3xy 6=x4y 2x4-1y1-1 =2x3y0 3xyΔ) =2x3.1=2x3, γνωρίζω ότι y0 = 1 Ε) χ.(χ2+1)=x.x2+x.1= X1+2+x=x3+x Στ) (χ+1).(χ-2)=x.x-1.2x+1.x-1.2= x2-2x+x-2= x2-x-2 2.Ι) H ταυτότητa Α) του τετραγώνου του αθροίσματος (a+β)2=α2+2αβ+β2 www.mathschool-online.com 5

www.mathschool-online.com Β) του τετραγώνου της διαφοράς (a-β)2=α2-2αβ+β2 Γ) της διαφοράς των τετραγώνων α2-β2=(α-β).(α+β) ΙΙ) Α) (χ+1)2=χ2+2χ.1+12= χ2+2χ+12= Β) (χ-2)2= χ2-2χ.1+12= χ2-2χ+12= Γ) χ2-22=(χ-2).(χ+2) 3.Ι) Α) αχ+βχ=χ(α+β)Β) 2χ+2y+4x+4y=2χ+4x + 2y+4y= 6x+6y=6(x+y) Γ) χ2-42=(x-4)(x+4) Δ) χ2+(α+β)χ+αβ=(x+a).(x+β) 4. Α) 2(χ+1)=2χ→ 2χ+2.1=2χ→ www.mathschool-online.com 6

www.mathschool-online.com2χ-2χ=-2→0.χ=-2 Αδύνατη(ότι τιμή και να πάρει το χ πάντα οχ=ο και πάντα 0≠-2 Β) χ2=4→ χ=±√4 → χ=±2Γ) 4 - 3 =1 x x2ΕΚΠ = χ2 ≠ 0 → χ≠0 Επομένως χ2. (4/χ) –χ2.(3/χ2)=χ2.1 → 4χ-3=χ2→ -χ2+4χ-3=0→Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμούΒρίσκω τη διακρίνουσα Δ,www.mathschool-online.com 7

www.mathschool-online.com Δ=β2-4αγ α = -1 , β = 4 , γ = -3 Δ=β2-4αγ= 42-4.(-1).(-3)= 16-12=4>0 Επομένως=x1,x2 -β± Δ=→ x1,x2 -4± 4 2α 2.(-1)  x1 = -4+2 = -2 =1   -2 -2  -4±2  x1 ,x2 = -2 →   =-4-2 =-6  x2 -2 -2 =3  5. Α) 6χ2-5χ+2=0 Δ=β2-4αγ α=6 , β=-5, γ=2Δ=β2-4αγ=(-5)2-4.6.2=25-48<0www.mathschool-online.com 8

www.mathschool-online.com Επομένως η εξίσωση 6χ2-5χ+2=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες 6.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2 έχω: α>β →πολλαπλασιάζω με το θετικό αριθμό 2 και τα δύο μέλη της aνισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α>2β→αφαιρώ το θετικό αριθμό 2 και από τα δύο μέλη της ανισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α-2>2β-2 www.mathschool-online.com 9

www.mathschool-online.com Γενικά όταν προσθέτω και αφαιρώ δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας ΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2β Έχω: α<β → πολλαπλασιάζω με τον αρνητικό αριθμό 2και τα δύο μέλη της ανισότητας και αλλάζει η φορά. Eπομένως: -2α>-2β ΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωση x- 3x+1 > 3 24 ΕΚΠ=4 www.mathschool-online.com 10

www.mathschool-online.com( )x- 3x+1 > 3 → 4x-4 3x+1 >4 3 →24 24( )4x-2 3x+1 >3 → 4x-2.3x-2.1>3 →4x-6x-2>3 → -2x>2+3 → -2x>5διαιρώ με τον αρνητικό -2 καιαλλάζει η φορά της ανισότητας-2x < 5 → x<- 5-2 -2 2Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kaλή Ανάγνωση!www.mathschool-online.com 11

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνΓ΄ Γυμνασίου – Άλγεβρα - Κεφάλαιο 1ο – Ενότητα 1η Περιεχόμενα 1.Πραγματικοί αριθμοί-Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 2.Μονώνυμο-Πράξεις με μονώνυμα 3.Πολυώνυμα-Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων- Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο- Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο 4.Αξιοσημείωτες ταυτότητες 5.Παραγοντιποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 6. Λύση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών. Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοί Ρητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της μορφής α/β , όπου οια,β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β είναι διαφορετικός από το μηδέν. Π.χ, οι -4/5 , 4/6 , 1=1/1 , 2 =2/1 , -3=-3/1 είναι ρητοί αριθμοί http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΆρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ, π,√2 , √5, κ.λ.π Ιδιότητες των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών : Ιδιότητες της πρόθεσηςΙδιότητα ΠρόσθεσηΑντιμεταθετική α+β=β+απαράδειγμα 2+3=3+2=5Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γπαράδειγμα 2+(1+3)=(2+1)+3=6Ουδέτερο στοιχείο α+0=0+α=απαράδειγμα 1+0=0+1=1Αντίθετος αριθμού α+(-α)=(-α)+α=0παράδειγμα 1+(-1)=(-1)+1=0 www.mathschool-online.com Ιδιότητες του πολλαπλασιασμούΙδιότητα ΠολλαπλασιασμόςΑντιμεταθετική α.β=β.απαράδειγμα 2.3=3.2=6Προσεταιριστική Α.(β.γ)=(α.β).γπαράδειγμα 2.(1.3)=(2.1).3=6Ουδέτερο στοιχείο α.1=1.α=απαράδειγμα 1.2=2.1=2Αντίστροφος αριθμού 11παράδειγμα α ������ = ������ α = 1, α≠0 2.(1/2)=(1/2).1=1 http://www.mathschool-online.com