Γ Γυμνασίου άλγεβρα 124 σελίδες με λυμένες ασκήσεις

http://www.mathschool-online.comΕπιμεριστική του α(β+γ)=αβ+αγπολλαπλασιασμού ως προς τηπρόσθεσηπαράδειγμα 2(1+3)=2.1+2.3=8 www.mathschool-online.com Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο τουπολλαπλασιασμού,δηλαδή για κάθε πραγματικό α ισχύει : 0.α=α.0=0 Π.χ : 1.0=0.1=0 Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις: Πρώτα οι δυνάμεις Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις Προσοχή! Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) 2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) = 2+8 = 10 Παράδειγμα 2o (Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = -7 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή ,α ν = α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ ....αν φορέςΟ αριθμός α λέγεται βάση της ν-οστής δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης. Παράδειγμα Για α=2 και ν=3 έχω: 23=2.2.2=83 φορές το 2 επί τον εαυτό του ! Ορίζουμεα1=α , α0=1 , α-ν=1/αν . Π.χ, 21=2 , 20=1 ,2-2=1/22=1/4Ιδιότητες των δυνάμεωνακ.αλ=ακ+λ,π.χ, 22.23=22+3=25 ακ:αλ=ακ-λ,π.χ, 22:23=22-3= 2-1=1/2 ακ.βκ=(αβ)κ,π.χ, 22.32=(2.3)2=36 ακ:βκ=(α:β)κ,π.χ, 22:32=(2:3)2=4:9 (ακ)λ=ακλ,π.χ, (22)2=22.2=24=16 www.mathschool- online.comhttp://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 1.α) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) 2-5.28=2-5+8=23=2.2.2=8 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 1.δ) σελ.19 του σχολικού βιβλίου) (5-2)-4=5(-2).(-4)=58=5.5.5.5.5.5.5.5=390625 Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού χ, είναι ο θετικός αριθμός α που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον χ.Η τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού χ συμβολίζεται με x . Επομένως σύμφωνα με τον ορισμό έχω: x =α <-> α2=χ =Π.χ, 16 4=, διότι 42 16 Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας α. β= α.βΠ.χ, 2. 3= 2.3 = 6 α= α ββhttp://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, 5= 5 = 1 10 10 2  2 α =α 2Π.χ, 3 =3Πώς μετατρέπω κλάσμα που έχει άρρητο παρονομαστή σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.Παράδειγμα 1ο (Πρδ.3,σελ.21 του σχολικού βιβλίο Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 5 , με τον άρρητο αριθμό 3 3 =5 5=. 3 5=. 3 5. 3 3 3. 3 ( 3)2 3 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 6.α ,σελ. 24 του σχολικού βιβλίου) Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος 1 , με τον άρρητο αριθμό 2 2=1 1=. 2 =1. 2 2 2 2. 2 ( 2)2 2 Αλγεβρική παράστασηΑλγεβρική παράσταση είναι μια έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές. Π.χ, 2χ+3χ2: y +1http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Ακέραια αλγεβρική παράσταση Ακέραια αλγεβρική παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση που μεταξύ των μεταβλητών τηςσημειώνεται μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί. Π.χ, 2χ+3χ2+1 Αριθμητική τιμή μιας παράστασης Αριθμητική τιμή μιας παράστασης είναι ο αριθμόςπου προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές της με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις. Π.χ, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α=2χ-2 , για χ=1 Λύση Α=2.1-2=2-2=0 Επομένως η αριθμητική τιμή της παράστασης Α για χ=1 είναι Α=0 ΜονώνυμοΜονώνυμο λέγεται μια ακέραια αλγεβρική παράστασηστην οποία μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητώντης σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Π.χ, -2χ2y Συντελεστής του μονωνύμου Συντελεστής του μονωνύμου ονομάζεται το αριθμητικό μέρος του μονωνύμου. Π.χ, τo -2 ονομάζεται συντελεστής του μονονύμου http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Κύριο μέρος του μονωνύμου Κύριο μέρος του μονωνύμου ονομάζεται το τμήμα που δεν περιλαμβάνει το αριθμητικό μέρος . Π.χ, το χ2y ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου Όμοια μονώνυμα Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Π.χ, -2χ2y , 3χ2y , (7/2) χ2y , - χ2y Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης μιας μεταβλητής.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 ως προς χ είναι 3ου βαθμού και ως προς y είναι 2ου βαθμού. Βαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητέςΒαθμός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα εκθετών των μεταβλητών του.Π.χ, Το μονώνυμο 2χ3y2 είναι 5ου βαθμού και ως προς χ και y Σταθερό μονώνυμοΟι αριθμοί θεωρούνται ως σταθερά μονώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο 2 μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Μηδενικό μονώνυμοΤο μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό Πρόσθεση μονωνύμωνΒασική προυπόθεση για να προσθέσω μονώνυμα είναι να είναι όμοια.Το μονώνυμο που προκύπτει είναι όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ, 2χ2y- χ2y+5 χ2y= (2-1+5).χ2y=6χ2y Αναγωγή ομοίων όρων Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η αντικατάσταση των όμοιων μονωνύμων με το άθροισμά τους. Π.χ, 2χ2y-χy+xy- χ2y+4xy= (2-1)x2y+(-1+4)xy = x2y + 3xy Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση μονωνύμων Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μονωνύμων γίνονται είτε τα μονόνυμα είναι όμοια είτε όχι. Γινόμενο μονωνύνων Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο μεσυντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριομέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους, με εκθέτη καθεμιάς μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών τους. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, 3χ2y.(-2)xy = 3.(-2)x2+1y1+1 = -6x3y2Πηλίκο δύο μονωνύμωνΠηλίκο δυο μονωνύμων είναι η αλγεβρική παράσταση που είναι γινόμενο του διαιρετέου με τον αντίστροφο του διαιρέτη.Π.χ, 14χ2y : 7xy = 14χ2y 1 = 2x2-1 = 2x, o 14χ2y 7xy 1είναι ο διαιρετέος , ο 7xy είναι ο διαιρέτης και ο 7xyείναι ο αντίστροφος του διαιρέτη.ΠολυώνυμοΠολυώνυμο λέγεται το άθροισμα των μονωνύμων που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια. Π.χ, 4χy2+2xy+2Τα μονώνυμα 4χy2,2xy,2 λέγονται όροι του πολυωνύμου. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής.Π.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 2ου βαθμού ως προς x και 3ου βαθμού ως προς y http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές τουΒαθμός πολυωνύμου ως προς περισσότερες μεταβλητές του ονομάζεται το άθροισμα των μεγαλύτερων εκθετών των μεταβλητών του.Π.χ, το πολυώνυμο 2x2y +3xy3 είναι 5ου βαθμού ως προς x και Y Σταθερό πολυώνυμο Οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν εκτός από σταθεράμονώνυμα και ως σταθερά πολυώνυμα μηδενικού βαθμού. Π.χ, ο -2 μπορεί να θεωρηθεί και ως σταθερό πολυώνυμο μηδενικού βαθμού Μηδενικό πολυώνυμο Το μηδέν μπορεί να θεωρηθεί εκτός από σταθερό μονώνυμο και ως μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό. Πρόσθεση – Αφαίρεση πολυωνύμων Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται με την αναγωγή ομοίων όρων (αφού βγάλω πρώτα τις παρενθέσεις,όπου υπάρχουν). Παράδειγμα 1ο 2x2+3y-x2+y=2x2-x2 +3y+y = (2-1)x2+(3+1)y=x2+4y http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 2ο Λύση της άσκησης 5.α σελ.37 του σχολικού βιβλίου(2χ2-χ)-(χ3-5χ2+χ-1)= 2χ2-χ- χ3+5χ2-χ+1 = 7χ2-2χ-χ3+1 Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, 3χ2(2χ3+6χ)= 3χ2.2χ3+3χ2.6χ=6χ5+18χ3 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο,πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πολυωνύμου με κάθε όροτου άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Π.χ, (χ+2).(2χ2+1)=χ.2χ2+χ.1+2.2χ2+2.1=2χ3+χ+4χ2+2 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Ανάπτυγμα τετραγώνου (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 1.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2=4+4χ+χ2 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 1.γ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2ω+1)2=(2ω)2+2.2ω.1+12=22.ω2+4ω+1=4ω2+4ω+1 Τετράγωνο διαφοράς (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο (2-χ)2=22-2.2.χ+χ2=4-4χ+χ2 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 2.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-3)2=χ2-2.3χ+32=χ2-6χ+9 Παράδειγμα 3ο(Λύση της άσκησης 2.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2κ-λ)2=(2κ)2-2.2κ.λ+λ2=22.κ2-4κλ+λ2=4κ2-4κλ+λ2 Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά ή αλλιώς διαφορά τετραγώνων (α+β)(α-β)=α2-β2 ή (α-β)(α+β)=α2-β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 6.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ-1)(χ+1)=χ2-12=χ2-1 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 6.δ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+4)(χ-4)=χ2-42=χ2-16 Παράδειγμα 3ο (Λύση της άσκησης 2.ζ σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (2χ+7y)(2x-7y)=(2x)2-(7y)2=22x2-72y2=4x2-49y2 Κύβος αθροίσματος (α+β)3=α3+3α 2β+3αβ2+β3 Κύβος διαφοράς (α-β)3=α3-3α 2β+3αβ2-β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 5.α σελ.49 του σχολικού βιβλίου) (χ+1)3=χ3+3χ 2.1+3χ.12+13= χ3+3χ 2+3χ+1 Παράδειγμα 2ο (χ-1)3=χ3-3χ 2.1+3χ.12-13= χ3-3χ 2+3χ-1 Διαφορά κύβων (α-β)(α2+αβ+β2)= α3-β3 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 10.α σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com (χ-3)(χ2+3χ+9)= (χ-3)(χ2+3χ+32)=χ3-33 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α-β)(α2+αβ+β2) = (χ-3)(χ2+3χ+32) Άθροισμα κύβων (α+β)(α2-αβ+β2)= α3+β3 Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 10.β σελ. 50 του σχολικού βιβλίου) (y+2)(y2-2y+4)=(y+2)(y2-2y+22)=y3-23 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή (α+β)(α2-αβ+β2) = (y+2)(y2-2y+22) Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεωνΠαραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία με την οποίαμια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από άθροισμα όρων μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Π.χ, 22+2.2χ+χ2=(2+χ)(2+χ)=(2+χ)2 Από άθροισμα που ήταν 22+2.2χ+χ2 μετατράπηκε σε γινόμενο παραγόντων (2+χ)(2+χ) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com με τη βοήθεια της ταυτότητας (2+χ)2=22+2.2.χ+χ2 Μέθοδοι παραγοντοποίησης Κοινός παράγοντας Παράδειγμα 1ο 3α+3β+3γ =3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης 3α+3β+3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το 3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το 3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=3 Παράδειγμα 2ο -3α-3β-3γ =-3(α+β+γ)Σε όλους τους όρους της παράστασης -3α-3β-3γ υπάρχει κοινός παράγοντας το -3. Επομένως βγάζω έξω από τη παρένθεση το -3 και μέσα στη παρένθεση γράφω το άθροισμα των άλλων όρων, σύμφωνα με το κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας : Αα+Αβ+Αγ=Α(α+β+γ) όπου Α=-3 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com ΕπεξήγησηΟυσιαστικά κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου-3( α+β+γ) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -3α-3β-3γ με τον κοινό παράγοντα -3: -3a/-3=a -3β/-3=β -3γ/-3=γ Παράδειγμα 3ο -2α+2β-2γ =2(-α+β-γ) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 2( -α+β-γ)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -2α+2β-2γ με τον κοινό παράγοντα 2: -2a/2=-a 2β/2=β -2γ/2=-γ Παράδειγμα 4ο -χα+α =α(-χ+1) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Επεξήγηση Κάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένουα( -χ+1) είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης -χα+α με τον κοινό παράγοντα α: -χa/α=-χ α/α=1 Παράδειγμα 5ο (Λύση της άσκησης1.α σελ.60 του σχολικού βιβλίου) 3α+6β=3(α+2β) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου 3(α+2β)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης 3α+6β με τον κοινό παράγοντα 3: 3α/3=α 6β/3=2β Κοινός παράγοντας κατά ομάδες (ομαδοποίηση) aχ+βχ+αy+βy=χ(α+β)+y(a+β) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com‘Βγάζω’ κοινό παράγοντα από τους δυο πρώτους το χ και από τους δυο επόμενους το y Στη συνέχεια ‘βγάζω’ κοινό παράγοντα το (α+β) χ(α+β)+y(a+β)= (α+β)(χ+y) ΕπεξήγησηΚάθε όρος μέσα στη παρένθεση του γινομένου (α+β)(χ+y)είναι το πηλίκο της διαίρεσης των αντίστοιχων όρων της παράστασης χ(α+β)+y(a+β) με τον κοινό παράγοντα (α+β) χ(α+β)/ (α+β) =χ y(a+β)/ (α+β)=y Διαφορά τετραγώνων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α2-β2=(α+β)(α-β) Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 8.α σελ.61 του σχολικού βιβλίου) χ2-9=χ2-32=(χ+3)(χ-3) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= χ2-32 Παράδειγμα 2ο (Λύση της άσκησης 8.β σελ.61 του σχολικού βιβλίου) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com 16χ2-1=16χ2-12=(4χ)2-12=(4χ+1)(4χ-1) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-β2= (4χ)2-12 Διαφορά τετραγώνου Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α-β)2=α2-2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 15.α σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) χ2-2χ+1= χ2-2χ.1+12=(χ-1)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2-2αβ+β2 = χ2-2χ.1+12 Ανάπτυγμα τετραγώνου Στηριζόμαστε στη ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2 Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 15.β σελ. 62 του σχολικού βιβλίου) Y2+4y+4=y2+2.2y+22=(y+2)2 Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α2+2αβ+β2 = y2+2.2y+22 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής χ2+(α+β)χ+αβΤο τριώνυμο της μορφής χ2+(α+β)χ+αβ παραγοντοποιείται ως εξής χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.57 του σχολικού βιβλίου) χ2-8χ+12= Αναζητώ δυο αρνητικούς αριθμούς που να έχουν άθροισμα το -8 και γινόμενο το +12 Επομένως χ2-8χ+12 = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6)=(χ-2)(χ-6) όπου -8=(-2)+(-6) και 12=(-2).(-6) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω το τριώνυμο στη μορφή χ2+(α+β)χ+αβ = χ2+[(-2)+(-6)]χ+(-2).(-6) Διαφορά κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(α), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3-27=χ3-33=(χ-3)(χ2+3χ+32)= (χ-3)(χ2+3χ+9) Επεξήγηση : Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3-β3= χ3-33 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Άθροισμα κύβων Στηριζόμαστε στη ταυτότητα α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2) Παράδειγμα 1ο (Πρδγ.(β), σελ.56 του σχολικού βιβλίου) χ3+64=χ3+43=(χ+4)(χ2-4χ+42)= (χ+4)(χ2-4χ+16) Επεξήγηση Στόχος είναι να φέρω την αλγεβρική παράσταση στη μορφή : α3+β3= χ3+43Επίλυση εξισώσεων με τη βοήθεια της παραγοντοποίησης Παράδειγμα 1ο (Λύση της άσκησης 11.α σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) x2-49=0 Παραγοντοποιώ εφαρμόζοντας τη διαφορά τετραγώνων (δες παραπάνω) : x2-49=0→x2-72=0→(χ+7)(χ-7)=0 Επομένως έχω να λύσω την εξίσωση (χ+7)(χ-7)=0→χ+7=0 ή χ-7=0 χ+7=0→χ=-7 ή χ-7=0→χ=7 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠαράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 11.β σελ. 61 του σχολικού βιβλίου) 9χ3-4χ=0Παραγοντοποιώ εφαρμόζωντας τη μέθοδο του κοινού παράγοντα (δες παραπάνω):9χ3-4χ=0→χ(9χ2-4)=0→χ=0 ή 9χ2-4=0, χ=0 ή 9χ2-4=0→9χ2=4→9χ2/9=4/9→ χ2=4/9→χ= =4 =4 2 9 93Επομένωςχ=0 ή χ=2/3Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online.comΚαλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄Γυμνασίου - Άλγεβρα – Κεφάλαιο 1ο- Ενότητα2η Περιεχόμενα 1.Διαίρεση πολυωνύμων 2.ΕΚΠ-ΜΚΔ ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων 3.Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 4.Πράξεις ρητών παραστάσεων Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(χ)(διαιρετέος) καιδ(χ)(διαιρέτης) με δ(χ) διάφορο του μηδενός και κάνουμε τη διαίρεση Δ(χ):δ(χ) Τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων π(χ) και υ(χ) ,για τα οποία ισχύει: Δ(χ)=δ(χ).π(χ)+υ(χ),όπου το υ(χ) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(χ) Η παραπάνω ταυτότητα ονομάζεται ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Παράδειγμαθέλω να διαιρέσω το πολυώνυμο Δ(χ)= 2χ45χ3+2χ2+8χ-4 με το δ(χ) = χ2-χ. http://www.mathschool-online.com 1

http://www.mathschool-online.com Ακολουθώ τα παρακάτω βήματα 1ο Γράφω το Δ(χ) και το δ(χ) κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του χ.2ο Διαιρώ το 2χ4 με το χ2 και το αποτέλεσμα 2χ2 είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου2χ4-5χ3+2χ2+8χ-4 χ2-χ 2χ2www.mathschool-online.com3ο Πολλαπλασιάζουμε το 2χ2 με το χ2-χ και το αποτέλεσμα +2χ4-2χ3 το αφαιρώ από το Δ(χ)=2χ4-5χ3+2χ2+8χ-4 και έτσι βρίσκω το πρώτο μερικό υπόλοιπο -3χ3+2χ2+8χ-42χ4-5χ3+2χ2+8χ-4 χ2-χ-2χ4+2χ3 2χ2-3χ -3χ3+2χ2+8χ-4www.mathschool-online.comhttp://www.mathschool-online.com 2

http://www.mathschool-online.com 4ο Στη συνέχεια διαιρούμε το -3χ3 με το χ2 και το αποτέλεσμα -3χ είναι ο δεύτερος όρος του πηλίκου5ο Πολλαπλασιάζουμε το -3χ με το χ2-χ και το γινόμενο - 3χ3+3χ2 το αφαιρούμε από το -3χ3+2χ2+8χ-4 και βρίσκουμε το δεύτερο μερικό υπόλοιπο -χ2+8χ-42χ4-5χ3+2χ2+8χ-4 χ2-χ-2χ4+2χ3 2χ2-3χ -3χ3+2χ2+8χ-4 3χ3-3χ2 0 -χ2+8χ-4www.mathschool-online.com6ο Διαιρώ το –χ2 με το χ2 και το αποτέλεσμα 1 είναι ο τρίτος όρος του πηλίκου.7ο Πολλαπλασιάζουμε το 1 με το χ2-χ και το γινόμενοχ2+χ το αφαιρούμε από το -χ2+8χ-4 και βρίσκουμε το υπόλοιπο 7χ-4. Η διαδικασία σταματά εδώ καθώς ο βαθμός τουυπολοίπου 7χ-4 είναι μικρότερος από του διαιρέτη χ2-χ http://www.mathschool-online.com 3

http://www.mathschool-online.com2χ4-5χ3+2χ2+8χ-4 χ2-χ-2χ4+2χ3 2χ2-3χ -1 -3χ3+2χ2+8χ-4 3χ3-3χ2 0 -χ2+8χ-4 χ2-χ0 +7χ-4www.mathschool-online.comΕπομένως η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι Δ(χ)=δ(χ).π(χ)+υ(χ) 2χ45χ3+2χ2+8χ-4= (χ2-χ).(2χ2-3χ -1)+ 7χ-4 Παρατήρηση Το άθροισμα των βαθμών διαιρέτη και πηλίκου είναι ίσο με το βαθμό του διαιρετέου Π.χ, στο παραπάνω παράδειγμα 2χ45χ3+2χ2+8χ-4= (χ2-χ).(2χ2-3χ -1)+ 7χ-4Βαθμός διαιρέτη και βαθμός πηλίκου = βαθμός διαιρετέου 2+2=4http://www.mathschool-online.com 4

http://www.mathschool-online.com Διαιρέτης (παράγοντας) ενός πολυωνύμου Δ Ένα πολυώνυμο δ είναι διαιρέτης (παράγοντας) ενόςπολυωνύμου Δ αν η διαίρεση Δ:δ είναι τέλεια , δηλαδή αν υπάρχει πολυώνυμο π τέτοιο ώστε να ισχύει : Δ=δ.π Παράδειγμα (Πρδγ 1α σελ.65 του σχολικού βιβλίου)Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου Δ(χ)=4χ4+3χ2-1 με το πολυώνυμο δ(χ)=2χ-1 1ο Γράφω το Δ(χ) και το δ(χ) κατά τις φθίνουσεςδυνάμεις του χ και επειδή δεν υπάρχει το μονώνυμο 3ου βαθμού αφήνω τη θέση κενή2ο Διαιρώ το 4χ4 με το 2χ και το αποτέλεσμα 2χ3 είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου4χ4 +3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3www.mathschool-online.com3ο Πολλαπλασιάζω το 2χ3 με το 2χ-1 και το αποτέλεσματου γινομένου 4χ4-2χ3 το αφαιρώ από το 4χ4 +3χ2-1 και έτσι βρίσκω το πρώτο μερικό υπόλοιπο 2χ3+3χ2-1 http://www.mathschool-online.com 5

http://www.mathschool-online.com4χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3 0+2χ3+3χ2-1www.mathschool-online.com 4ο Στη συνέχεια διαιρώ το 2χ3 με το 2χ και τοαποτέλεσμα χ2 είναι ο δεύτερος όρος του πηλίκου4χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3+χ2 0+2χ3+3χ2-1www.mathschool-online.com5ο Πολλαπλασιάζω το χ2 με το 2χ-1 και το αποτέλεσματου γινομένου 2χ3-χ2 το αφαιρώ από το 2χ3+3χ2-1 και βρίσκω το δεύτερο μερικό υπόλοιπο 4χ2-14χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3+χ2 0+2χ3+3χ2-1 -2χ3+χ20+4χ2-1www.mathschool-online.comhttp://www.mathschool-online.com 6

http://www.mathschool-online.com6ο Διαιρώ το 4χ2 με το 2χ και το αποτέλεσμα 2χ είναι ο τρίτος όρος του πηλίκου4χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3+χ2+2χ 0+2χ3+3χ2-1 -2χ3+χ2 0+4χ2-1www.mathschool-online.com7ο Πολλαπλασιάζω το 2χ με το 2χ-1 και το αποτέλεσμα του γινομένου 4χ2-2χ το αφαιρώ από το 4χ2-1 και βρίσκω το τρίτο μερικό υπόλοιπο 2χ-14χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3+χ2+2χ 0+2χ3+3χ2-1 -2χ3+χ2 0+4χ2-1 -4χ2+2χ0 + 2χ-1www.mathschool-online.com8ο Διαιρώ το 2χ με το 2χ και το αποτέλεσμα 1 είναι ο http://www.mathschool-online.com 7

http://www.mathschool-online.com τέταρτος όρος του πηλίκου.9ο Πολλαπλασιάζω το 1 με το 2χ-1 και το αποτέλεσμα του γινομένου 2χ-1 το αφαιρώ από το 2χ-1 και βρίσκω το υπόλοιπο 0.4χ4+0χ3+3χ2-1 2χ-1-4χ4+2χ3 2χ3+χ2+2χ+1 0+2χ3+3χ2-1 -2χ3+χ2 0+4χ2-1 -4χ2+2χ0 + 2χ-1-2x+10+0www.mathschool-online.com Η διαδικασία σταματά εδώ καθώς το υπόλοιπο είναι μηδέν. Επομένως η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι 4χ4+0χ3+3χ2-1=(2χ-1).( 2χ3+χ2+2χ+1)+0→ Δ(χ)=δ(χ).π(χ)Σε αυτή τη περίπτωση λέμε ότι το πολυώνυμο δ(χ)=2χ-1 είναι διαιρέτης (παράγοντας) του πολυωνύμουhttp://www.mathschool-online.com 8

http://www.mathschool-online.com Δ(χ)=4χ4+3χ2-1 , διότι η διαίρεση Δ:δ είναι τέλεια , δηλαδή , ισχύει : Δ(χ)=δ(χ).π(χ) Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων (ΕΚΠ) Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερωναλγεβρικών παραστάσεων (ΕΚΠ) που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων,ονομάζεται το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παργόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. Παράδειγμα 1ο Να βρεθεί το ΕΚΠ των πολυωνύμων 3(χ-y)(x+y) , 18(x-y)2 , 9(x-y) Λύση Οι συντελεστές 3, 18 και 9 έχουν ΕΚΠ το 18. Το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παργόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του είναι το (x-y)2(x+y) Επομένως το ΕΚΠ είναι το 18(x-y)2(x+y) Παράδειγμα 2ο (Πρδγ.1,σελ.69 του σχολικού βιβλίου) Να βρεθεί το ΕΚΠ των πολυωνύμων http://www.mathschool-online.com 9

http://www.mathschool-online.com Α=12χ2-12 ,Β=18χ2-36χ+18 και Γ=9χ2-9χ Βήμα 1ο Αναλύουμε τα πολυώνυμα σε γινόμενο πρώτων παραγόντων :  Α=12χ2-12=12(χ2-1), διαφορά τετραγώνων, Α=12χ2-12=12(χ2-1)=12(χ-1)(χ+1)  Β=18χ2-36χ+18=18(χ2-2χ+1), διαφορά τετραγώνου, Β=18χ2-36χ+18=18(χ2-2χ+1)=18(χ2-2χ.1+12)=18(χ-1)2  Γ=9χ2-9χ=9χ(χ-1) . Επομένως Α=12(χ-1)(χ+1) , Β= 18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) Βήμα 2οΥπολογίζω το ΕΚΠ των αριθμητικών παραγόντων 12,18,9 Οι αριθμητικοί παράγοντες 12,18,9 έχουν ΕΚΠ = 36 Επεξήγηση του τρόπου υπολογισμού του ΕΚΠ=36 Για να υπολογίσω το ΕΚΠ , επιλέγω το μεγαλύτερο που είναι το 18 .Επειδή το 18 δεν διαιρείται ακριβώς με το 12,το διπλασιάζω και γίνεται 36.Το 12 και το 9 διαιρούν ακριβώς το 36 επομένως το 36 είναι το ΕΚΠ. Βήμα 3ο Βρίσκω το ΕΚΠ των πολυωνύμων http://www.mathschool-online.com 10

http://www.mathschool-online.com Α=12(χ-1)(χ+1) , Β=18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) :Το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παργόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του είναι το χ(x-1)2(x+1) Επομένως το ΕΚΠ των πολυωνύμων Α=12(χ-1)(χ+1) , Β= 18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) είναι το 36χ(x-1)2(x+1)Μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων Μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσοτέρωναλγεβρικών παραστάσεων πο έχουν αναλυθεί σε γινόμενοπρώτων παραγόντων ονομάζεται το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. Παράδειγμα 1ο Να βρεθεί ο ΜΚΔ των πολυωνύμων 3(χ-y)(x+y) , 18(x-y)2 , 9(x-y) ΛύσηΟι συντελεστές 3, 18 και 9 έχουν ΜΚΔ το 3. Το γινόμενο των κοινών παργόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του είναι το http://www.mathschool-online.com 11

http://www.mathschool-online.com (x-y) . Επομένως ο ΜΚΔ είναι ο 3(x-y) Παράδειγμα 2ο (Πρδγ.1,σελ.69 του σχολικού βιβλίου) Να βρεθεί ο ΜΚΔ των πολυωνύμων Α=12χ2-12 ,Β=18χ2-36χ+18 και Γ=9χ2-9χ Βήμα 1ο Αναλύουμε τα πολυώνυμα σε γινόμενο πρώτων παραγόντων :  Α=12χ2-12=12(χ2-1), διαφορά τετραγώνων, Α=12χ2-12=12(χ2-1)=12(χ-1)(χ+1)  Β=18χ2-36χ+18=18(χ2-2χ+1), διαφορά τετραγώνου, Β=18χ2-36χ+18=18(χ2-2χ+1)=18(χ2-2χ.1+12)=18(χ-1)2  Γ=9χ2-9χ=9χ(χ-1) . Επομένως Α=12(χ-1)(χ+1) , Β= 18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) Βήμα 2οΥπολογίζω το ΜΚΔ των αριθμητικών παραγόντων 12,18,9 Οι αριθμητικοί παράγοντες 12,18,9 έχουν ΜΚΔ το 3 Επεξήγηση του τρόπου υπολογισμού του ΜΚΔ=3 http://www.mathschool-online.com 12

http://www.mathschool-online.com Για να υπολογίσω το ΜΚΔ , βρίσκω το μικρότερο από τους κοινούς διαιρέτες των 12,18,9Επειδή το 3 είναι ο μικρότερος κοινός διαιρέτης ( διαιρεί ακριβώς το 12,το 18 και το 9 ) είναι και ο ΜΚΔ. Επομένως ΜΚΔ(12,18,9)=3 Βήμα 3ο Βρίσκω το ΜΚΔ των πολυωνύμων Α=12(χ-1)(χ+1) , Β= 18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) : Το γινόμενο των κοινών παργόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του είναι το 3(x-1) Επομένως ο ΜΚΔ των πολυωνύμων Α=12(χ-1)(χ+1) , Β= 18(χ-1)2, Γ=9χ(χ-1) είναι ο 3(x-1) Ρητές αλγεβρικές παραστάσειςΡητή αλγεβρική παραστάση λέγεται η παράσταση που είναι κλάσμα και οι όροι της είναι πολυώνυμα. Π.χ, οι αλγεβρικές παραστάσεις 2x2-3 , x+2x3 , 6xy x-1 2x-1 x+3 ονομάζονται ρητές αλγεβρικές παραστάσεις http://www.mathschool-online.com 13

http://www.mathschool-online.com ΠροσοχήΓια να ορίζεται η αλγεβρική παράσταση πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Παράδειγμα 1οΓια να ορίζονται οι αλγεβρικές παραστάσεις 2x2-3 , x+2x3 , 6xy x-1 2x-1 x+3πρέπει ο παρονομαστής τους να είναι διάφορος του μηδενός. Επομένως πρέπειΧ-1≠0 , 2χ-1≠0 , χ+3≠0 αντίστοιχα Δηλαδή πρέπειΧ-1≠0 →χ≠1 , 2χ-1≠0→2χ≠1→χ≠1/2 και χ+3≠0→χ≠-3 αντίστοιχαΠαράδειγμα 2ο (Πρδγ 1, σελ.72 του σχολικού βιβλίου)Για ποιες τιμές των μεταβλητών τους ορίζονται οιπαραστάσεις : a) x2 +7x+2 , β) χ2 +6 , γ) χ2 +y2 x χ+2 x-y Λύσηa) x2 +7x+2 , β) χ2 +6 , x χ+2πρέπει χ ≠ 0 πρέπει χ+2 ≠ 0 → χ ≠ -2http://www.mathschool-online.com 14

http://www.mathschool-online.comγ) χ2 +y2 , x-yπρέπει χ-y ≠ 0 → x ≠ y,δηλαδή πρέπειτα χ , y να πέρνουν μεταξύ τους διαφορετικές τιμές Aπλοποίηση παραστάσεωνΑν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μιας ρητής παράστασηςείναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα τότε η παράσταση μπορεί να απλοποιήθεί. Παράδειγμα 1ο Να απλοποιηθεί η ρητή παράσταση 6χy 3xy Έχω : 6χ y =2 3x y Παράδειγμα 2ο(Πρδγ 2, σελ.72 του σχολικού βιβλίου) Να απλοποιηθούν οι παραστάσειςa) 12x3yω2 , β) 3χ2 -3 ,γ) χ2 -2χy+y2 8χy3 6χ2 -6χ x3 -y3 Λύσηa=) 12x3yω2 3=x3-1 y1−3ω2 3 χ2 y−2ω2 =3xy22ω2 8 χy3 2 2http://www.mathschool-online.com 15

http://www.mathschool-online.comβ) 3χ2 -3 , 'βγάζω' κοινό παράγοντα 6χ2 -6χ( )3χ2-36χ2 -6χ = 3 χ2-1 διαφορά τετραγώνων , 6χ(χ-1)( )=3χ2-3 3 (χ-1) (χ+1) 1(χ+1) 3 χ2-1 = =6χ2-6χ 6χ(χ-1) 6χ (χ-1) 2χγ) χ2 -2χy+y2 , διαφορά τετραγώνου x3 -y3( )χ2-2χy+y2 = χ-y 2 διαφορά κύβων x3-y3 , x3 -y3( ) ( )χ2-2χ=y+y2 χ-y 2 = ( ) ( )x3-y3 x3 -y3 χ-y 2 = χ-y x2 +xy+y2 (χ-y)( )= x2 +xy+y2Πολλαπλασιασμός ρητών αλγεβρικών παραστάσεων Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ρητές αλγεβρικές παραστάσεις ακολουθούμε τον εξής κανόνα: a . γ =a.γ β δ β.δ Παράδειγμα 1ο Για α=3χ, β=χ+1, γ=χ, δ=χ-1, έχω : http://www.mathschool-online.com 16

http://www.mathschool-online.com=a . γ α.γ → 3x . x= ( χ+31 )χ..(χχ-1=) β δ β.δ x+1 x-1= 3χ2 , στο τέλος εφάρμοσα και τη χ2 -1διαφορά τετραγώνων Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 1β,σελ.77 του σχολικού βιβλίου) 9=χ . 1 =9x.1 9 x = 3 4y 3x 4y.3x 12 x y 4y Διαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεωνΓια να διαιρέσουμε δυο ρητές αλγεβρικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε τον παρακάτω κανόνα : a : γ = α . δ = αδ β δ β γ βγ Παράδειγμα 1ο Για α=χ, β=2χ, γ=y , δ=χy , έχω : a : γ = α . δ = αδ → β δ β γ βγ χ : Y = χ . xy = x. x y = x 2χ xy 2χ y 2 x . y 2 Παράδειγμα 2ο(Λύση της άσκησης 2β,σελ.77 του σχολικού βιβλίου)http://www.mathschool-online.com 17

http://www.mathschool-online.com1 :(- 3 )= 1 -y =1y2 y y2 . 3y 3 Παράδειγμα 3ο(Λύση της άσκησης 4a,σελ.77 του σχολικού βιβλίου)( )x=+4 : 15 x=+4 . x+4 x+4 2 5 x+4 5 15 75Πρόσθεση-αφαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν κοινό παρονομαστήΓια να προσθέσουμε-αφαιρέσουμε ρητές αλγεβρικές παραστάσειςπου έχουν κοινό παρονομαστή χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες αντίστοιχα: 1) a + γ =αβ+γ β β 2) a - γ = α-γ β β β Παράδειγμα 1οΓια α=3χ, β=χ-2, γ=2χ-1 , έχω :1=) βa + βγ α+γ → χ3-χ2=+ 2χχ--21 3χ+=χ(2-2χ-1) β3χ+2χ-1 = 5χ-1 χ-2 χ-2http://www.mathschool-online.com 18

http://www.mathschool-online.com2=) βa - βγ α-γ → χ3-χ2=- 2χχ--21 3χ-=χ(2-2χ-1) β3χ-2χ+1 = χ+1 χ-2 χ-2Πρόσθεση-αφαίρεση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων που δεν έχουν κοινό παρονομαστή Για να προσθέσουμε-αφαιρέσουμε ρητές αλγεβρικές παραστάσειςπου έχουν δεν έχουν κοινό παρονομαστήβρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών, μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα και τις μετατρέπουμε σε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή. Παράδειγμα 1ο(Λύση της άσκησης 1a,σελ.80 του σχολικού βιβλίου)1 + 1 , με χ ≠ 0 και y ≠ 0, ΕΚΠ=χyχy y x 1+ 1= χy y + x = y+x xy xy xyΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kαλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.com 19

http://www.mathschool-online.grΔιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικώνθέματακαι απαντήσεις για εξάσκησηΓ΄ Γυμνασίου-Άλγεβρα Κεφάλαιο 2οΕξισώσεις-Ανισώσεις1. Να λυθούν οι εξισώσειςΑ) 2(χ+1)=2χ Β) χ2=4Γ) 4 - 3 =1 x x22. Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση Α) 6χ2-5χ+2=03.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.grΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2βΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωσηx- 3x+1 > 3 24Απαντήσεις4. Α) 2(χ+1)=2χ→2χ+2.1=2χ→2χ-2χ=-2→0.χ=-2 Αδύνατη(ότι τιμή και να πάρει το χ πάντα οχ=ο και πάντα 0≠-2 Β) χ2=4→ χ=±√4 → χ=±2Γ) 4 - 3 =1 x x2http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr ΕΚΠ = χ2 ≠ 0 → χ≠0 Επομένως χ2. (4/χ) –χ2.(3/χ2)=χ2.1 → 4χ-3=χ2→ -χ2+4χ-3=0→ Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού Βρίσκω τη διακρίνουσα Δ, Δ=β2-4αγ α = -1 , β = 4 , γ = -3 Δ=β2-4αγ= 42-4.(-1).(-3)= 16-12=4>0 Επομένωςhttp://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr=x1,x2 -β± Δ=→ x1,x2 -4± 4 2α 2.(-1)  x1 =-4-2+2 =--22 =1   x1,x2 = -4±2 →   -2    x2 =-4-2 =-6 =3 -2 -2  2. Α) 6χ2-5χ+2=0 Δ=β2-4αγ α=6 , β=-5, γ=2 Δ=β2-4αγ=(-5)2-4.6.2=25-48<0 Επομένως η εξίσωση 6χ2-5χ+2=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες3.Ι) Αν α>β,να δείξετε ότι 2α-2>2β-2 έχω: α>β → http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.grπολλαπλασιάζω με το θετικό αριθμό 2 και τα δύο μέλη της aνισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α>2β→αφαιρώ το θετικό αριθμό 2 και από τα δύο μέλη της ανισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά Eπομένως: 2α-2>2β-2 Γενικά όταν προσθέτω και αφαιρώ δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας ΙΙ) Αν α<β , να δικαιολογήσετε γιατί -2α>-2β Έχω: α<β → http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr πολλαπλασιάζω με τον αρνητικό αριθμό 2και τα δύο μέλη της ανισότητας και αλλάζει η φορά. Eπομένως: -2α>-2βΙΙΙ) Να λυθεί η ανίσωση x- 3x+1 > 3 24 ΕΚΠ=4( )x- 3x+1 > 3 → 4x-4 3x+1 >4 3 →24 24( )4x-2 3x+1 >3 → 4x-2.3x-2.1>3 →4x-6x-2>3 → -2x>2+3 → -2x>5διαιρώ με τον αρνητικό -2 καιαλλάζει η φορά της ανισότητας-2x < 5 → x<- 5-2 -2 2http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online ! Kaλή Ανάγνωση!http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου – Άλγεβρα - Κεφάλαιο 1ο Ενότητα 1η Ρητοί αριθμοί Ρητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της μορφής α/β , όπου οι α,β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β είναι διαφορετικός από το μηδέν. Π.χ, οι -4/5 , 4/6 , 1=1/1 , 2 =2/1 , -3=-3/1 είναι ρητοί αριθμοίΆρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ, π,√2 , √5, κ.λ.π Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών. Π.χ, οι αριθμοί 1,-3,3/2,-1/2,√2 ,π είναι πραγματικοίΙδιότητες των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών : Ιδιότητες της πρόθεσηςΙδιότητα ΠρόσθεσηΑντιμεταθετική α+β=β+απαράδειγμα 2+3=3+2=5Προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γπαράδειγμα 2+(1+3)=(2+1)+3=6Ουδέτερο στοιχείο α+0=0+α=απαράδειγμα 1+0=0+1=1http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.grΑντίθετος αριθμού α+(-α)=(-α)+α=0παράδειγμα 1+(-1)=(-1)+1=0 www.mathschool-online.com Ιδιότητες του πολλαπλασιασμούΙδιότητα ΠολλαπλασιασμόςΑντιμεταθετική α.β=β.απαράδειγμα 2.3=3.2=6Προσεταιριστική Α.(β.γ)=(α.β).γπαράδειγμα 2.(1.3)=(2.1).3=6Ουδέτερο στοιχείο α.1=1.α=απαράδειγμα 1.2=2.1=2 1 1Αντίστροφος αριθμού α ������ = ������ α = 1, α≠0παράδειγμα 2.(1/2)=(1/2).1=1Επιμεριστική του α(β+γ)=αβ+αγπολλαπλασιασμού ωςπρος τη πρόσθεσηπαράδειγμα 2(1+3)=2.1+2.3=8 www.mathschool-online.com Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο τουπολλαπλασιασμού,δηλαδή για κάθε πραγματικό α ισχύει : 0.α=α.0=0 Π.χ : 1.0=0.1=0http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr Σειρά πού εκτελούμε τις πράξεις: Πρώτα οι δυνάμεις Έπειτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις Τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις Προσοχή! Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται Παράδειγμα 1o (Λύση της άσκησης 1.β,σελ.15 του σχολικού βιβλίου) 2+3.(4-12) : (-4+1) = 2+3.(-8) : (-3)=2-24 : (-3) = 2+8 = 10 Παράδειγμα 2o (Λύση της άσκησης 1.γ,σελ.15 του σχολικού βιβλίου)-3.(-2)-5+4 : (-2)-6 = +6-5-2-6 = 6-6-5-2 = 0-5-2 = - 7 Δυνάμεις των φυσικών αριθμών Νιοστή δύναμη του φυσικού αριθμού α ονομαζουμε το γινόμενο του α επί τον εαυτό του ν φορές. Δηλαδή , α ν = α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ ....α ν φορές http://www.mathschool-online.gr