العاشر

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪2   3 cos x – 1 = 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪3 cos x = 3‬‬ ‫بإضاف ِة ‪ 1‬إلى الطرف ْي ِن ‬ ‫‪cos x = 1‬‬ ‫بقسم ِة طر َف ِي المعادل ِة على ‪3‬‬ ‫‪x = cos –1 (1) = 0º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫لهذ ِه المعادل ِة َح ّل ِن ضم َن الفتر ِة المعطا ِة في المسأل ِة‪ ،‬هما‪َ ،0º :‬و ‪.360º‬‬ ‫ ‪a)  2 cos x = √3‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪b)  2 tan x + 3 = 1‬‬ ‫يتط َّل ُب َح ُّل بع ِض المعادلا ِت مزي ًدا م َن التبسي ِط والمعالج ِة قب َل استعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن ‪:‬‬ ‫‪1   2 (tan x – 3) + 4 = 12 , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫باستعما ِل الخاصي ِة التوزيعي ِ ة‬ ‫‪2 tan x – 6 + 4 = 12‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪2 tan x = 14‬‬ ‫‪tan x = 7‬‬ ‫بقسم ِة طر َف ِي المعادل ِة على ‪2‬‬ ‫)‪x = tan–1 (7‬‬ ‫تعري ُف معكو ِس الظ ِّ ل‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪x = 81.9º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫الزاوي ُة المرجعي ُة ه َي الزاوي ُة‬ ‫ولأ َّن الظ َّل يكو ُن أي ًضا موج ًبا في الرب ِع الثال ِث؛ فإ َّن ُه يوج ُد َح ٌّل آخ ُر للمعادل ِة ه َو‪:‬‬ ‫المحصور ُة بي َن ضل ِع انتها ِء‬ ‫الزاويــ ِة ‪ θ‬المرســوم ِة في‬ ‫‪180º + 81.9º = 261.9º‬‬ ‫الوض ِع القياســ ِّي والمحو ِر‬ ‫إذ ْن‪ ،‬لهذ ِه المعادل ِة َح ّل ِن ضم َن الفتر ِة المعطا ِة في المسأل ِة‪ ،‬هما‪َ ،81.9º :‬و ‪261.9º‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪101‬‬

‫‪2   1 + 4 sin (3x) = 2.5 , 0º ≤ x ≤ 90º‬‬ ‫‪4 sin (3x) = 2.5 – 1‬‬ ‫بطر ِح ‪ 1‬م َن الطرف ْي ِن ‬ ‫بقسم ِة طر َف ِي المعادل ِة على ‪4‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪(3x‬‬ ‫=‬ ‫‪1.5‬‬ ‫باستعما ِل الرم ِز ‪ ������‬بد ًل م ْن ‪ ، 3x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حي ُث‪ 0° ≤ θ ≤ 270° :‬‬ ‫معلوم ٌة أساسي ٌة‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪������‬‬ ‫=‬ ‫‪1.5‬‬ ‫=‬ ‫‪0.375‬‬ ‫إذا كا َن ْت ‪،0°≤ x ≤90°‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فإ َّن ‪0°≤ 3x ≤270°‬‬ ‫)‪������ = sin–1(0.375‬‬ ‫تعري ُف معكو ِس الجي ِب ‬ ‫‪������ = 22º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪22º = 3x  ⇒  x = 7.3º‬‬ ‫ ‬ ‫ولأ َّن الجي َب يكو ُن أي ًضا موج ًبا في الرب ِع الثاني؛ فإ َّن ُه يوج ُد َح ٌّل آخ ُر للمعادل ِة ه َو‪:‬‬ ‫‪180º – 22º = 158º‬‬ ‫الزاوي ُة في الرب ِع الثان ي‬ ‫‪������ = 3x = 158º‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫‪x ≈ 52.7º‬‬ ‫بقسم ِة طر َف ِي المعادل ِة على ‪ 3‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬للمعادلــ ِة ‪َ 1+ 4 sin (3x) = 2.5‬حــ ّا ِن ضمــ َن الفتــر ِة المعطا ِة في المســأل ِة‪ ،‬هما‪:‬‬ ‫‪َ ،7.3º‬و ‪52.7º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪a)  3 (sin x + 2) = 3 – sin x , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪b)  3 cos (2x) – 1 = 0 , 0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫ُيم ِك ُن َح ُّل المعــادلا ِت المثلثي ِة التربيعي ِة بطرائ َق مشــابه ٍة لطرائ ِق َح ِّل المعــادلا ِت التربيعي ِة‬ ‫الجبري ِة‪ ،‬أبر ُزها‪ :‬إيجا ُد العام ِل المشــتر ِك‪ ،‬والتحلي ُل إلى نات ِج ضر ِب قوســ ْي ِن‪ ،‬وغي ُر ذل َك م َن‬ ‫الطرائ ِق التي تع َّر ْفناها ساب ًقا‪.‬‬ ‫‪102‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫أ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x < 360º‬‬ ‫‪1   3 sin x cos x – 2 sin x = 0‬‬ ‫ ‬ ‫تحوي هذ ِه المعادل ُة نســبت ْي ِن مثلثت ْي ِن‪ ،‬و ُيلا َح ُظ أ َّن ‪ sin x‬تك َّر َر في َح َّد ِي المعادل ِة‪ ،‬ما يعني أ َّنها‬ ‫ُت ْشبِ ُه المعادل َة ‪3yz – 2y = 0‬؛ لذا ُيم ِك ُن تحلي ُلها بإخرا ِج عام ٍل مشتر ٍك‪:‬‬ ‫‪sin x (3 cos x – 2) = 0‬‬ ‫بإخرا ِج العام ِل المشتر ِك ‪s in x‬‬ ‫‪3 cos x – 2 = 0 , sin x = 0‬‬ ‫خاصي ُة الضر ِب الصفر ِّ ي‬ ‫وبذل َك َأتو َّص ُل إلى معادلت ْي ِن بسيطت ْي ِن‪ ،‬ث َّم َأ ُح ُّل ك َّل معادل ٍة على ِح َد ٍة‪:‬‬ ‫‪sin x = 0‬‬ ‫المعادل ُة الأولى ‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ ،‬أ ْو جدو ِل الزوايا الخاص ِة ‪x = 0°, x = 180°‬‬ ‫‪3 cos x – 2 = 0‬‬ ‫المعادل ُة الثاني ُة ‬ ‫‪3 cos x = 2‬‬ ‫بإضاف ِة ‪ 2‬إلى الطرف ْي ِن ‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تعري ُف معكو ِس جي ِب التما ِ م‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪cos –1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪x = 48.2º‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫يكــو ُن جي ُب تمــا ِم الزاوي ِة‬ ‫ولأ َّن جي َب التما ِم يكو ُن أي ًضا موج ًبا في الرب ِع الراب ِع؛ فإ َّن ُه يوج ُد َح ٌّل آخ ُر للمعادل ِة ه َو‪:‬‬ ‫‪x =360º – 48.2º = 311.8º‬‬ ‫موج ًبا في الربع ْي ِن‪ :‬الأو ِل‪ ،‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬حلو ُل هذ ِه المعادل ِة ه َي‪0º, 180º, 48.2º, 311.8º :‬‬ ‫والراب ِع‪.‬‬ ‫‪2   3 sin2 x = 2 sin x + 1‬‬ ‫ ‬ ‫أجع ُل الطر َف الأيم َن م َن المعادل ِة صف ًرا بطر ِح (‪ )2 sin x +1‬م َن الطرف ْي ِن‪:‬‬ ‫‪3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0‬‬ ‫هذ ِه المعادل ُة ُت ْشبِ ُه المعادل َة الجبري َة ‪3y2 – 2y – 1 = 0‬؛ لذا ُيم ِك ُن َح ُّلها بالتحلي ِل إلى العوام ِل‪:‬‬ ‫‪(3sin x +1)(sin x –1) = 0‬‬ ‫بالتحلي ِل إلى العوام ِل ‬ ‫‪3 sin x +1 = 0 , sin x – 1 = 0‬‬ ‫خاصي ُة الضر ِب الصفر ِّ ي‬ ‫‪103‬‬

‫‪3 sin x + 1 = 0‬‬ ‫المعادل ُة الأولى ‬ ‫‪3 sin x = –1‬‬ ‫بطر ِح ‪ 1‬م َن الطرف ْي ِ ن‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ 3‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تعري ُف معكو ِس الجي ِب ‬ ‫‪1‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ ،‬وتجاه ِل الإشار ِة السالب ِ ة‬ ‫–‪x = sin –1 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x = 19.5º‬‬ ‫ُيم ِّث ُل ما ســب َق الزاوي َة المرجعي َة لل َح ِّل‪ ،‬لا ال َح َّل نف َس ُه؛ لأ َّن الجي َب سال ٌب في الربع ْي ِن‪ :‬الثال ِث‪،‬‬ ‫والراب ِع‪.‬‬ ‫َح ُّل هذ ِه المعادل ِة في الرب ِع الثال ِث ه َو‪180º + 19.5º = 199.5º :‬‬ ‫و َح ُّلها في الرب ِع الراب ِع ه َو‪360º – 19.5º = 340.5º :‬‬ ‫‪sin x = 1‬‬ ‫والآ َن‪َ ،‬أ ُح ُّل المعادل َة ‪:sin x –1 = 0‬‬ ‫(‪x = sin –1 )1‬‬ ‫بإضاف ِة ‪ 1‬إلى الطرف ْي ِن ‬ ‫ ‪x = 90º‬‬ ‫تعري ُف معكو ِس الجي ِب ‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ ،‬أ ْو جدو ِل الزوايا الخاص ِ ة‬ ‫إذ ْن‪ ،‬حلو ُل هذ ِه المعادل ِة ه َي‪90º, 199.5º, 340.5º :‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪a)  4 sin x tan x + 3 tan x = 0‬‬ ‫‪b)  2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ِم ْدفـ ُع هـوا ٍء يميـ ُل عـ ِن الأر ِض بزاويـ ٍة قيا ُسـها ‪ .������‬انطلـ َق مـ ْن ُف َّوهتِـ ِه بالـو ٌن مملـو ٌء بالما ِء‬ ‫بسـرع ٍة ابتدائيـ ٍة مقدا ُرهـا ‪ ،12 m/s‬فسـق َط علـى ُب ْعـ ِد ‪ 9 m‬مـ َن ال ِم ْدفـ ِع‪ .‬إذا كا َنـ ِت العلاقـ ُة‬ ‫التي ُتم ِّث ُل المساف َة الأفقي َة ‪ d‬التي يقط ُعها البالو ُن ه َي‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫حي ُث ‪ v‬سرع ُة البالو ِن الابتدائي ُة‪ ،‬فما قيم ُة ‪ُ ،θ‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب ُع ْش ِر درج ٍة؟‬ ‫‪104‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :1‬أع ِّو ُض القي َم المعطا َة في المســأل ِة في المعادل ِة المعطا ِة‪ ،‬ث َّم َأ ُح ُّلها لإيجا ِد قيم ِة ‪.θ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(12)2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫المعادل ِة‪:‬‬ ‫إلى‬ ‫أتو َّص ُل‬ ‫المعطا ِة‪،‬‬ ‫القي ِم‬ ‫تعوي ِض‬ ‫عن َد‬ ‫‪10‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :2‬لتسهي ِل الحسابا ِت‪َ ،‬أفتر ُض أ َّن ‪ ، x = 2θ‬ث َّم َأ ُح ُّل المعادل َة‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(12)2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المعادل ُ ة‬ ‫‪10‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪ ،10‬والتبسي ِ ط‬ ‫‪90 = 144 sin x‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪1 44‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪90‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin –1‬‬ ‫‪90‬‬ ‫=‬ ‫‪38.7º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ ،‬والتقري ِب إلى أقر ِب ُع ْش ٍ ر‬ ‫‪144‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :3‬أ ِج ُد ال َح َّل الآخ َر في الرب ِع الثاني‪ ،‬وه َو‪180º – 38.7º = 141.3º :‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :4‬أ ِج ُد الآ َن قيم َة ‪:θ‬‬ ‫‪x = 2θ‬‬ ‫العلاق ُة بي َن ‪َ x‬و ‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪38.7º‬‬ ‫=‬ ‫ ‪19.4º‬‬ ‫ أو‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪141.3º‬‬ ‫=‬ ‫‪70.7º‬‬ ‫بالقسم ِة على ‪ ،2‬والتعوي ِ ض‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬يصن ُع ال ِم ْدف ُع م َع الأر ِض زاوي ًة قيا ُسها ‪ ،19.4º‬أ ْو ‪ 70.7º‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫الكهربا ُء موجود ٌة في جســ ِم‬ ‫فيزيا ُء‪ :‬فــر ُق الجه ِد ‪( E‬بالفولت) في دار ٍة كهربائي ٍة ُيعطــى بالعلاق ِة‪، E = 20 cos (180t) :‬‬ ‫الإنســا ِن أي ًضــا؛ فعضلا ُت‬ ‫حي ُث ‪ t‬الزم ُن (بالثواني)‪:‬‬ ‫القل ِب مثــ ًا تنقبــ ُض بتأثي ِر‬ ‫تيارا ٍت كهربائيــ ٍة تص ُل إليها‬ ‫‪َ   (a‬أفتــر ُض أ َّن ‪ ، x = 180 t‬و َأ ُحــ ُّل المعادلــ َة ‪ ، 12 = 20 cos x‬عل ًمــا بــأ َّن‬ ‫عبــ َر ال ُعقــ ِد والوصــا ِت‬ ‫‪.0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫العصبي ِة‪.‬‬ ‫‪َ   (b‬أ ِجــ ُد الزمــ َن ‪( t‬حي ُث ‪ ) 0 ≤ t ≤ 2‬عندما يكو ُن فر ُق الجهــ ِد ‪ُ ،12 volt‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى‬ ‫أقر ِب جز ٍء م ْن مئ ٍة م َن الثاني ِة‪.‬‬ ‫‪105‬‬

‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪1  sin x = 1‬‬ ‫‪2  tan x = 1‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الآتي َة‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪3  cos x = √3‬‬ ‫‪4   7 + 9 cos x = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7   5 – 2 cos (4x) = 4‬‬ ‫‪5   2 sin x + 1 = 0‬‬ ‫‪6   1 – 2 tan x = 5‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الآتي َة‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 90º‬‬ ‫‪8   3 + 4 tan (2x) = 6‬‬ ‫‪9   13 sin (3x) + 1 = 6‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الآتي َة‪ُ ،‬مفت ِر ًضا أ َّن قيا َس الزاوي ِة المجهول ِة يق ُع في الفتر ِة [‪:]0º, 360º‬‬ ‫‪10   2 (sin x – 2) + 1 = 3 sin x‬‬ ‫‪11  tan x – 3 (2 tan x – 1) = 10‬‬ ‫‪12   15 tan x – 7 = 5 tan x – 3‬‬ ‫‪13   5 (cos x –1) = 6 + cos x‬‬ ‫‪14  tan2 x – 9 tan x + 20 = 0‬‬ ‫‪15   2 cos2 x – cos x = 0‬‬ ‫‪16   4 sin2 x – 3 sin x = 1‬‬ ‫‪17   2 sin2 x – 1 = 0‬‬ ‫‪18   4 cos2 x – 4 = 15 cos x‬‬ ‫‪19  cos x = sin x‬‬ ‫‪C 90º-θ‬‬ ‫‪  20‬ساعا ٌت‪َ :‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ِ   21‬سباح ٌة‪ :‬سب َح حام ٌد مساف َة ‪ 90 m‬م َن النقط ِة ‪ A‬على الضف ِة‬ ‫‪B‬‬ ‫الشــمالي ِة لنه ٍر إلى النقط ِة ‪ B‬على الضف ِة المقابل ِة‪ ،‬ث َّم دا َر ‪θ A‬‬ ‫بزاوي ٍة قائم ٍة‪ ،‬وســب َح مســاف َة ‪ 60 m‬إلــى نقط ٍة ُأخرى ‪C‬‬ ‫على الضف ِة الشــمالي ِة‪ .‬إذا كا َن قيا ُس الزاوي ِة ‪ CAB‬ه َو ‪،θ‬‬ ‫وقيا ُس الزاوي ِة ‪ ACB‬ه َو)‪ ، (90º – θ‬وطو ُل العمو ِد م َن ‪B‬‬ ‫إلى ‪ CA‬يساوي عر َض النه ِر ‪ ،d‬ف ُأع ِّب ُر ع ْن ‪ d‬بدلال ِة ‪ θ‬م َّر ًة‪،‬‬ ‫وبدلال ِة )‪ (90º – θ‬م َّر ًة ُأخــرى‪ ،‬ث َّم َأكت ُب معادل ًة و َأ ُح ُّلها‬ ‫لإيجا ِد قيم ِة ‪ ،θ‬ث َّم َأ ِج ُد عر َض النه ِر‪.‬‬ ‫‪106‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪  22‬دولا ٌب‪ُ :‬يعطــى ارتفــا ُع الراك ِب ع ِن الأر ِض فــي دولا ٍب د ّوا ٍر بالمعادلــ ِة‪ ، h = 27 - 25cos θ :‬حي ُث ‪ h‬الارتفا ُع‬ ‫بالأمتا ِر‪َ ،‬و ‪ θ‬قيا ُس الزاوي ِة التي دا َرها الدولا ُب‪ .‬متى يكو ُن ارتفا ُع الراك ِب ع ِن الأر ِض ‪49 m‬؟‬ ‫‪  23‬حرك ُةمقذوفا ٍت‪:‬المساف ُةالأفقي ُةالتيتقط ُعهامقذوف ٌةفيالهوا ِء(م ْندو ِنافترا ِضوجو ٍدلمقاوم ِةالهوا ِء) ُتعطىبالمعادل ِة‪:‬‬ ‫الأرضي ِة‬ ‫الجاذبي ِة‬ ‫تسا ُر ُع‬ ‫‪g‬‬ ‫َو‬ ‫المقذوف ُة‪،‬‬ ‫بها‬ ‫ُتط َل ُق‬ ‫التي‬ ‫الزاوي ُة‬ ‫‪θ‬‬ ‫َو‬ ‫الابتدائي ُة‪،‬‬ ‫الســرع ُة‬ ‫‪v0‬‬ ‫حي ُث‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫ ‪v02‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪(2θ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‪ .)9.8 m/s2‬إذا ُق ِذ َف ْت كر ُة بيسبول بسرع ٍة ابتدائي ٍة مقدا ُرها ‪ ،40 m/s‬فما الزاوي ُة التي ُتو َّج ُه بها الرمي ُة لك ْي تقط َع الكر ُة‬ ‫مســاف ًة أفقي ًة مقدا ُرها ‪ 110 m‬قب َل سقو ِطها على الأر ِض؟ ما أبع ُد نقط ٍة ُيم ِك ُن أ ْن تص َلها الكر ُة إذا ُق ِذ َف ْت بهذ ِه السرع ِة‬ ‫الابتدائي ِة؟‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  24‬أكتش ُف الخط َأ‪َ :‬ح َّل ك ٌّل م ْن سعي ٍد وعل ٍّي المعادل َة‪ ،2sin x cos x = sin x :‬حي ُث‪:0º ≤ x < 360º :‬‬ ‫عل ٌّي‪:‬‬ ‫سعي ٌد‪:‬‬ ‫ال َح ّل ِن هما‪60º, 300º :‬‬ ‫الحلو ُل ه َي‪0º, 60º, 180º, 300º :‬‬ ‫‪2sin x cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫لأ َّن‪:‬‬ ‫لأ َّن‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin x (2 cos x – 1) = 0‬‬ ‫‪2 cos x = 1‬‬ ‫‪sin x = 0‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x = 0° , 180°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x = 60° , 300°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 60° , 300°‬‬ ‫ ‬ ‫أ ُّي ُهما إجاب ُت ُه صحيح ٌة؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  25‬تح ٍّد‪َ :‬أ ُح ُّل المعادل َة‪ ،2 sin x cos x + sin x + 2 cos x + 1 = 0 :‬عل ًما بأ َّن ‪.0º≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪  26‬تح ٍّد‪ُ :‬أح ِّد ُد عد َد حلو ِل المعادل ِة‪ ،cos x – sin x – 1 = 0 :‬حي ُث‪.0º≤ x < 360º :‬‬ ‫‪107‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫ َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة للزاوي ِة ‪ x‬المرسوم ِة في الوض ِع‬ ‫َأض ُع دائر ًة حو َل رم ِز الإجاب ِة الصحيح ِة في ما يأتي‪:‬‬ ‫القياســ ِّي‪ ،‬التي يقط ُع ضل ُع انتهائِها دائر َة الوحد ِة عن َد ك ٍّل م َن‬ ‫‪  1‬إذا كا َن ‪ ،cos θ = – 0.5‬فــإ َّن ضل َع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬في‬ ‫النقا ِط الآتي ِة‪:‬‬ ‫الوض ِع القياس ِّي يق ُع في‪:‬‬ ‫)‪6   (0.6, 0.8‬‬ ‫  ‪( )7‬‬‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–12‬‬ ‫‪ )b‬الربع ْي ِن‪ :‬الثاني‪ ،‬والثال ِث‪.‬‬ ‫‪ )a‬الرب ِع الثاني‪.‬‬ ‫)‪8   (–1, 0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪( )9   –1 , –1‬‬ ‫‪ )d‬الربع ْي ِن‪ :‬الثاني‪ ،‬والراب ِع‪.‬‬ ‫‪ )c‬الرب ِع الراب ِع‪.‬‬ ‫‪√2 √2‬‬ ‫)‪10   (0, 1‬‬ ‫)‪11   (–0.96, 0.28‬‬ ‫‪  2‬إذا قط َع ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي دائر َة‬ ‫ُيب ِّي ُن الشــك ُل التالي جــز ًءا م َن التمثي ِل البيانــ ِّي للاقترا ِن‬ ‫ه َي‪( ):‬‬‫‪sin‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫قيم َة‬ ‫فإ َّن‬ ‫‪،P‬‬ ‫‪– 4401‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫الوحد ِة في النقط ِة‬ ‫‪41‬‬ ‫المثلث ِّي ‪ y = cos x‬الذي يقط ُع ُه المســتقي ُم ‪ y = 0.5‬في‬ ‫‪a) – 4410‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪9‬‬ ‫النقطت ْي ِن ‪َ B‬و ‪:C‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪َ   12‬أ ِج ُد إحداثيا ِت النقط ِة ‪.A‬‬ ‫‪c) – 491‬‬ ‫ )‪d‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪َ   13‬أ ِج ُد إحدثيا ِت النقطت ْي ِن‪َ ،B :‬و ‪.C‬‬ ‫‪  3‬قيا ُس الزاوي ِة المرجعي ِة للزاوي ِة ‪ 230º‬ه َو‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 y = cos x‬‬ ‫‪a) 130º‬‬ ‫‪b) 40º‬‬ ‫‪B y = 0.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c) 50º‬‬ ‫‪d) 140º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫فإ َّن‬ ‫‪،sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫وكا َن‬ ‫<‪،90º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪180º‬‬ ‫كا َنــ ْت‬ ‫ إذا‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫قيم َة ‪ tan x‬ه َي‪:‬‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة ال ُمتب ِّقي َة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪a) – 185‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪270º‬‬ ‫≤‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪360º‬‬ ‫ )‪c‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪d) – 185‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪َ   5‬ح ُّل المعادل ِة )‪ x = sin–1 (-1‬ه َو‪:‬‬ ‫‪15  cos x = 0.4 , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪16  tan x = 3 , 180º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪a) 0º‬‬ ‫‪b) 90º‬‬ ‫‪17  sin x = – cos x , 0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪c) 270º‬‬ ‫‪d) 360º‬‬ ‫‪108‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫‪  32‬خصائ ُص الضو ِء‪ :‬في تجرب ِة علو ٍم لاكتشا ِف خصائ ِص‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫الضو ِء‪ُ ،‬و ِض َع مصد ٌر ضوئــ ٌّي ليزر ٌّي على ُب ْع ِد ‪35 cm‬‬ ‫م ْن قر ٍص دائر ٍّي مثقو ٍب م ْن مرك ِز ِه‪ ،‬وكا َن طو ُل نص ِف‬ ‫‪18  sin 140º 19  cos 173º‬‬ ‫ُق ْط ِر ِه ‪ 10 cm‬كما في الشك ِل الآتي‪َ .‬أ ِج ُد زاوي َة الشعا ِع‬ ‫ ‪20  tan 219º‬‬ ‫‪21  sin 320º‬‬ ‫الذي يم ُّر خلا َل ثق ِب مرك ِز هذا القر ِص‪.‬‬ ‫‪22   2sin 150° + tan 135º‬‬ ‫‪35cm‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪23  sin2 150º + cos2 150º‬‬ ‫َأ ِج ُد َح َّل المعادلا ِت الآتي ِة‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪24   3 cos2 x – 1 = 0‬‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪25  sin x = –1.3212 cos x‬‬ ‫‪  33‬لاســتغلا ِل طاقــ ِة الريــا ِح‪ ،‬وخف ِض اســتهلا ِك وقو ِد‬ ‫‪26   4 + 5 sin2 x = 9 sin x‬‬ ‫الديز ِل‪ُ ،‬تر َب ُط أشــرع ٌة طائر ٌة بالســفين ِة ترتف ُع ‪150 m‬‬ ‫فو َق مستوى ظه ِر الســفين ِة‪ .‬يج ُب أ ْن يكو َن طو ُل حب ِل‬ ‫‪27  tan x = 4 sin x‬‬ ‫الشــرا ِع الطائ ِر تقري ًبا لك ْي يسح َب السفين َة بزاوي ِة ‪،58º‬‬ ‫‪28   3 tan2 x cos x = 3 tan2 x‬‬ ‫ويكو َن على ارتفا ٍع رأس ٍّي مقدا ُر ُه ‪ 150 m‬كما ه َو ُمب َّي ٌن‬ ‫في الشك ِل الآتي‪:‬‬ ‫‪  29‬إذا كا َنــ ْت ‪ x‬زاويــ ًة فــي الربــ ِع الأو ِل‪ ،‬وكا َن‬ ‫‪ sin x + sin (180º – x) = 1.4444‬ف َأ ِجــ ُد قيــا َس‬ ‫الزاوي ِة ‪.x‬‬ ‫‪  30‬لعب ُة ِمدف ٍع‪ُ :‬يط ِل ُق ِمدف ُع قذائ َف بالونا ٍت مائي ًة في مسابق ٍة‬ ‫للتسلي ِة‪ .‬إذا كا َن ال ُب ْع ُد الأفق ُّي لقذيف ٍة ُأط ِل َق ْت م َن ال ِمدف ِع‬ ‫اﳊﺒﻞ‬ ‫‪150 m‬‬ ‫بزاوي ٍة قيا ُسها ‪ x‬م َع المستوى الأفق ِّي‪ ،‬وبسرع ٍة ابتدائي ٍة‬ ‫˚‪58‬‬ ‫مقدا ُرها ‪ُ ،7 m/s‬يعطى بالأمتا ِر حس َب العلاق ِة‪:‬‬ ‫قط َع ْتها) (‬ ‫‪3x‬‬ ‫التي‬ ‫الأفقي ُة‬ ‫‪ ، d = 7 + 2 sin‬فما المساف ُة‬ ‫‪5‬‬ ‫ُأط ِل َق ْت بزاوي ٍة مقدا ُرها ‪50º‬؟‬ ‫قذيف ٌة‬ ‫‪a)  177 m‬‬ ‫‪b)  283 m‬‬ ‫‪َ   31‬أ ِج ُد أصفــا َر الاقتــرا ِن ‪ ،y = 4(sin x)2 – 3‬عل ًما بأ َّن‬ ‫‪c)  160 m‬‬ ‫‪.0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪d)  244 m‬‬ ‫‪109‬‬

‫تطبيقا ُت المثلثا ِت‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Triangle Applications‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ما أهمي ُة‬ ‫هذ ِه الوحد ِة؟‬ ‫للنســ ِب المثلثي ِة استعمالا ٌت‬ ‫كثيــر ٌة فــي العلو ِم‪ ،‬والهندســ ِة‪،‬‬ ‫والإلكترونيــا ِت‪ ،‬مثــ ُل حســا ِب‬ ‫ارتفاعا ِت قم ِم الجبــا ِل والمباني‪،‬‬ ‫وتحديــ ِد اتجاهــا ِت تحليــ ِق‬ ‫الطائرا ِت على الخريط ِة وغي ِرها‪.‬‬ ‫س َأتع َّل ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا‪:‬‬ ‫✔إيجا َد النســ ِب المثلثي ِة (الجي ُب‪ ،‬جي ُب التما ِم‪ ،‬الظ ُّل)‬ ‫◂تفســي َر الاتجا ِه م َن الشــما ِل‪ ،‬وإيجا َد ُه لنقط ٍة ما‬ ‫بالنسب ِة إلى نقط ٍة ُمع َّين ٍة‪.‬‬ ‫في الأربا ِع الأربع ِة‪.‬‬ ‫✔اســتخدا َم العلاق ِة‪ cos2 θ + sin2 θ = 1 :‬في َح ِّل‬ ‫◂ َح َّل المثل ِث باستخدا ِم قانو َن ِي الجيو ِب‪ ،‬وجيو ِب‬ ‫مسأل ٍة ع ْن مثل ٍث قائ ِم الزاوي ِة‪.‬‬ ‫التما ِم‪.‬‬ ‫✔نمذج َة مسائ َل حياتي ٍة باستعما ِل مثلثا ٍت قائم ِة الزاوي ِة‪،‬‬ ‫◂استعما َل جي ِب الزاوي ِة لإيجا ِد مساح ِة المثل ِث‪.‬‬ ‫تتض َّم ُن قياسا ِت الزوايا والأطوا ِل لأضلا ٍع مجهول ٍة‪.‬‬ ‫◂إيجا َد أطوا ٍل وزوايا مجهول ٍة في أشــكا ٍل ثلاثي ِة‬ ‫‪110‬‬ ‫الأبعا ِد‪.‬‬

‫مشرو ُع‬ ‫صن ُع كلينومت ٍر واستعمالُ ُه‬ ‫الوحد ِة‬ ‫  فكر ُة المشرو ِع  صن ُع جها ٍز بسي ٍط لإيجا ِد قياسا ِت زوايا الارتفا ِع والانخفا ِض‪ ،‬ث َّم استعما ُل ُه‪.‬‬ ‫  الموا ُّد والأدوا ُت  ما َّص ُة شرا ٍب‪ ،‬منقل ٌة‪ ،‬خي ٌط‪ ،‬كتل ٌة (مفتا ٌح‪ ،‬أ ْو ممحا ٌة)‪ ،‬لاص ٌق ش ّفا ٌف‪ ،‬شري ُط قيا ٍس‪.‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪ :‬ﻻﺻ ﹲﻖ‬ ‫‪180 180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  1‬صن ُع الكلينومت ِر‪ُ :‬أث ِّب ُت ما َّص َة الشــرا ِب على الحاف ِة المستقيم ِة للمنقل ِة‬ ‫‪0‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪20‬‬ ‫باســتعما ِل لاص ٍق شــ ّفا ٍف‪ ،‬ث َّم ُأث ِّب ُت طر َف الخي ِط فــي مرك ِز المنقل ِة‪ ،‬ﻣﺎ ﱠﺻ ﹸﺔ ﴍا ﹴب‬ ‫‪20‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪1404015030‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪6012050130‬‬ ‫‪50130 120‬‬‫‪150 14040‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫ﺧﻴ ﹲﻂ ﻣﻨﻘﻠ ﹲﺔ‬ ‫وأرب ُط بطرفِ ِه الآخ ِر كتل ًة صغير ًة‪ ،‬مث َل‪ :‬المفتا ِح‪ ،‬أ ِو المشاب ِك المعدني ِة؛‬ ‫على أ ْن تتد ّلى رأس ًّيا إلى أسف َل مث ِل خ ِّط الشاقو ِل‪ .‬ﻛﺘﻠ ﹲﺔ‬ ‫‪  2‬اســتعما ُل الكلينومت ِر‪ :‬أستعم ُل أنا وأفرا ُد مجموعتي الكلينومت َر لإيجا ِد‬ ‫ارتفا ِع بناي ٍة أ ْو شجر ٍة با ِّتبا ِع الخطوا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫ أختا ُر شي ًئا لأقي َس ارتفا َع ُه‪ ،‬وليك ْن شجر ًة‪.‬‬‫‪180‬‬‫‪0‬‬ ‫ أق ُف على مساف ٍة م ْن قاعد ِة الشجر ِة‪ُ ،‬مم ِس ًكا بما َّص ِة الشرا ِب‪x .‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ أنظ ُر م ْن فتح ِة ما َّص ِة الشرا ِب إلى ق َّم ِة الشجر ِة‪ ،‬ث َّم أطل ُب إلى زميلي‬‫‪170‬‬ ‫أ ْن يقر َأ الزاوي َة ‪ x‬التي يشي ُر إل ْيها الخي ُط‪ُ ،‬ملا ِح ًظا أ َّن هذ ِه الزاوي َة تق ُع‬ ‫بي َن خ ِّط النظ ِر والخ ِّط الرأســ ِّي‪ .‬وبذل َك‪ ،‬تكــو ُن زاوي ُة ارتفا ِع ق َّم ِة‬‫‪20‬‬ ‫‪160‬‬ ‫الشجر ِة‪.(90º – x) :‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120 11070‬‬ ‫‪17010‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪3015020160‬‬ ‫‪80100‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫ أقي ُس المساف َة بي َن المكا ِن الذي أق ُف عن َد ُه وقاعد ِة الشجر ِة‪h .‬‬ ‫ أســتعم ُل القياسا ِت التي د َّو ْن ُتها لإيجا ِد ارتفا ِع الشجر ِة فو َق مستوى‬ ‫عيني‪ ،‬باستعما ِل العلاق ِة الآتي ِة‪d :‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪(90º‬‬ ‫–‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫⇒‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪l tan‬‬ ‫– ‪(90º‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫  ُأضي ُف المساف َة بي َن الأر ِض ومستوى عيني إلى القيم ِة التي تو َّص ْل ُت إل ْيها لإيجا ِد ارتفا ِع الشجر ِة فو َق سط ِح الأر ِض‪.‬‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫أكت ُب م َع أفرا ِد مجموعتي تقري ًرا يتض َّم ُن ما يأتي‪:‬‬ ‫ صور ٌة لجها ِز الكلينومت ِر المصنو ِع‪.‬‬ ‫  صو ٌر لجمي ِع الأشيا ِء التي قي َس ْت ارتفاعا ُتها‪ ،‬وتدوي ُن الحسابا ِت التي ت َّم ْت في أثنا ِء القيا ِس بجان ِب ك ٍّل منْها‪.‬‬ ‫‪111‬‬

‫الاتجا ُه م َن الشما ِل‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Bearing‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  تفســي ُر الاتجا ِه م َن الشما ِل‪ ،‬وإيجا ُد ُه لنقط ٍة ما بالنسب ِة إلى نقط ٍة ُأخرى بالرس ِم‪ ،‬والقيا ِس‪ ،‬والحسا ِب‬ ‫باستعما ِل العلاقا ِت بي َن الزوايا‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الاتجا ُه م َن الشما ِل‪.‬‬ ‫ ح َّل َق ْت طائر ٌة م ْن ع ّما َن إلى العقب ِة‪ ،‬وق ْد صن َع مســا ُرها المستقي ُم‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫زاوي ًة قيا ُسها ‪ 200º‬م َع خ ِّط الشما ِل الجغراف ِّي‪ .‬ما قيا ُس الزاوي ِة‬ ‫بي َن مسا ِر عود ِة الطائر ِة إلى ع ّما َن وخ ِّط الشما ِل الجغراف ِّي؟‬ ‫الاتجا ُه م َن الشما ِل )‪ (bearing‬للنقط ِة ‪ B‬م َن النقط ِة ‪ A‬ه ُو قيا ُس الزاوي ِة التي ضل ُع ابتدا ِئها خ ُّط‬ ‫الشــما ِل الجغراف ِّي المرسو ِم م َن النقط ِة ‪ ،A‬وضل ُع انتها ِئها المســتقي ُم ‪ ،AB‬وذل َك عن َد قيا ِس‬ ‫الزاوي ِة في اتجا ِه حرك ِة عقار ِب الســاع ِة‪ُ .‬يك َت ُب الاتجا ُه م َن الشــما ِل باستعما ِل عد ٍد م ْن ثلاث ِة‬ ‫أرقا ٍم (مناز ُل) بي َن ‪َ 000º‬و ‪ .360º‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫ُيب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر أ َّن الاتجا َه م َن الشما ِل للنقط ِة ‪ B‬م َن النقط ِة ‪60º B A‬‬ ‫ه َو ‪.060º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل ‪H‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪110º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ُيستخ َد ُم الاتجا ُه م َن الشما ِل‬ ‫‪330º‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪48º‬‬ ‫كثيــ ًرا فــي تحديــ ِد خطو ِط‬ ‫الاتجا ُه م َن الشما ِل للنقط ِة‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫الملاح ِة البحري ِة والجوي ِة‪.‬‬ ‫‪ H‬م َن النقط ِة ‪G‬‬ ‫الاتجا ُه م َن الشما ِل للنقط ِة ‪F‬‬ ‫الاتجا ُه م َن الشما ِل للنقط ِة‬ ‫م َن النقط ِة ‪E‬‬ ‫ه َو ‪.330º‬‬ ‫‪ D‬م َن النقط ِة ‪C‬‬ ‫ه َو ‪.110º‬‬ ‫ه َو ‪.048º‬‬ ‫‪112‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫توج ُد أربع ُة اتجاها ٍت رئيس ٍة يج ُب تذ ُّك ُرها دائ ًما‪ ،‬ه َي‪:‬‬ ‫اعتمــ َد الإنســا ُن قدي ًما على‬ ‫‪  1‬الشما ُل (‪ ،)N‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)000º‬‬ ‫الشم ِس والقم ِر والنجو ِم في‬ ‫‪  2‬الشر ُق (‪ ،)E‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)090º‬‬ ‫‪  3‬الجنو ُب (‪ ،)S‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)180º‬‬ ‫معرف ِة الاتجاهــا ِت‪ ،‬ث َّم أخ َذ‬ ‫‪  4‬الغر ُب (‪ ،)W‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)270º‬‬ ‫يعتمــ ُد اليو َم علــى البوصل ِة‬ ‫التــي ُتح ِّد ُد اتجا َه الشــما ِل‪،‬‬ ‫‪000º‬‬ ‫ومنْ ُه ُتح َّد ُد بقي ُة الاتجاها ِت‪.‬‬ ‫‪315º N‬‬ ‫‪NW NE‬‬ ‫‪045º‬‬ ‫‪270º W‬‬ ‫‪E 090º‬‬ ‫‪SW‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SE‬‬ ‫‪225º‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪135º‬‬ ‫توج ُد أربع ُة اتجاها ٍت ُأخرى مشهور ٍة بد ًءا م َن الشما ِل يج ُب تذ ُّك ُرها دائ ًما‪ ،‬ه َي‪:‬‬ ‫‪  1‬الشما ُل الشرق ُّي (‪ ،)NE‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)045º‬‬ ‫‪  2‬الجنو ُب الشرق ُّي (‪ ،)SE‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)135º‬‬ ‫‪  3‬الجنو ُب الغرب ُّي (‪ ،)SW‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)225º‬‬ ‫‪  4‬الشما ُل الغرب ُّي (‪ ،)NW‬واتجا ُه ُه م ْن مرك ِز البوصل ِة ه َو (‪.)315º‬‬ ‫مثال ‪ 1‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪115º 70º‬‬ ‫ُيم ِّثـ ُل الشـك ُل المجـاو ُر موقـ َع ثـا ِث مـد ٍن‪ ،‬هـ َي‪B ،A :‬‬ ‫َأتع َّل ُم‬ ‫‪A‬‬ ‫َو‪َ ،B‬و‪َ .C‬أكتــ ُب اتجــا َه المدينــ ِة ‪ B‬مــ َن المدينــ ِة ‪،A‬‬ ‫سنســتعم ُل في بقي ِة الدر ِس‬ ‫‪C‬‬ ‫واتجـا َه المدينـ ِة ‪ C‬مـ َن المدينـ ِة ‪.A‬‬ ‫كلمــ َة (اتجــا ٌه) وح َدهــا‬ ‫مقيا ُس الرس ِم‪ :‬ك ُّل ‪ُ 1 cm‬يم ِّث ُل ‪10 km‬‬ ‫للدلالــ ِة على الاتجــا ِه م َن‬ ‫اتجــا ُه المدين ِة ‪ B‬مــ َن المدينــ ِة ‪ A‬هــ َو ‪ ،070º‬واتجا ُه اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫الشما ِل‪.‬‬ ‫المدين ِة ‪ C‬م َن المدين ِة ‪ A‬ه َو ‪360º – 115º = 245º‬‬ ‫‪75º‬‬ ‫أتحقق من فهمي   ‪G‬‬ ‫‪E 100º‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر موق َع ثلا ِث ســف ٍن‪ ،‬ه َي‪َ ،E :‬و ‪،F‬‬ ‫َو ‪َ .G‬أكت ُب اتجا َه السفين ِة ‪ G‬م َن السفين ِة ‪ ،E‬واتجا َه السفين ِة‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ F‬م َن السفين ِة ‪.E‬‬ ‫‬ ‫‪113‬‬

‫إذا ُع ِل َم اتجا ُه النقط ِة ‪ S‬م َن النقط ِة ‪ ،R‬ف ُيم ِك ُن حسا ُب اتجا ِه النقط ِة ‪ R‬م َن النقط ِة ‪. S‬‬ ‫  مثال ‪N 2‬‬ ‫َأ ِج ُد اتجا َه النقط ِة ‪ R‬م َن النقط ِة ‪ S‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫الطريق ُة الأولى‪ :‬استعما ُل الرس ِم‪R .‬‬ ‫‪240º‬‬ ‫أرس ُم خ ًّطا رأســ ًّيا ُيب ِّي ُن اتجا َه الشما ِل الجغراف ِّي ‪S‬‬ ‫عن َد النقط ِة ‪ ،S‬ث َّم أستعم ُل منقل ًة لأقي َس الزاوي َة‬ ‫‪N‬‬ ‫التي رأ ُســها ‪ ،S‬وضلعاها خ ُّط الشــما ِل (‪N )SN‬‬ ‫والمستقي ُم ‪.SR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫سأج ُد أ َّن قيا َس هذ ِه الزاوي ِة ه ُو ‪ ،60º‬إذ ْن‪ ،‬اتجا ُه‬ ‫‪240º‬‬ ‫النقط ِة ‪ R‬م َن النقط ِة ‪ S‬ه َو ‪S .060º‬‬ ‫الطريق ُة الثاني ُة‪ :‬استعما ُل الجب ِر‪.‬‬ ‫مري ُم الجيل ُّي المعروف ُة بمري َم‬ ‫ُيم ِك ُن إيجا ُد اتجا ِه النقط ِة ‪ R‬م َن النقط ِة ‪ S‬باستعما ِل العلاقا ِت بي َن الزوايا‪.‬‬ ‫الأســطرلابي ِة هــ َي عالِمــ ُة‬ ‫رياضيــا ٍت و َفل ٍك ُم ْســ ِلم ٌة‪،‬‬ ‫‪m ∠ NRS = 360º – 240º = 120º‬‬ ‫مجمو ُع قيا ِس الزوايا حو َل نقط ٍة ‬ ‫اختر َعــ ِت الأســطرلا َب‬ ‫‪m ∠ NSR = 180º – 120º = 60º‬‬ ‫ه َو ‪360º‬‬ ‫ال ُمع َّق َد؛ وه َو آل ٌة فلكي ٌة ُمه ِّم ٌة‬ ‫خ ّطا الشما ِل متوازيا ِن؛ لذا‪ ،‬‬ ‫ُبنِ َي ْت عل ْيهــا آلي ُة عم ِل أنظم ِة‬ ‫فالزاويتا ِن الداخليتا ِ ن‬ ‫الملاح ِة الحديث ِة (‪.)GPS‬‬ ‫‪َ ، NRS‬و ‪ NSR‬متكاملتا ِ ن‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫إذا كا َن اتجا ُه النقط ِة ‪ X‬م َن النقط ِة ‪ Z‬ه َو ‪ ،295º‬فما اتجا ُه النقط ِة ‪ Z‬م َن النقط ِة ‪X‬؟‬ ‫‪114‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫ﻋﲈ‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫ُت َع ُّد مدين ُة القد ِس واحد ًة م ْن‬ ‫اﻟﺸﲈل‬ ‫َأســتعم ُل الخريط َة المجاور َة لتحدي ِد اتجا ِه العاصم ِة ع ّما َن م ْن‬ ‫أقد ِم مد ِن العا َلــ ِم؛ فتاري ُخها‬ ‫يرجــ ُع إلى أكث َر م ْن خمســ ِة‬ ‫مدين ِة القد ِس الشري ِف‪.‬‬ ‫آلا ٍف ســن ٍة‪ .‬وللقد ِس أسما ٌء‬ ‫الخطو ُة ‪:1‬أرس ُم قطع ًة مســتقيم ًة بي َن مدين َت ِي القد ِس الشري ِف‬ ‫عديد ٌة‪ ،‬منْها‪ :‬بي ُت المقد ِس‪،‬‬ ‫وع ّما َن‪.‬‬ ‫و ُأولــى ال ِقبلت ْيــ ِن‪ ،‬والقد ُس‬ ‫الخطو ُة ‪  :2‬أرس ُم خ ًّطا رأس ًّيا ُيب ِّي ُن اتجا َه الشما ِل الجغراف َّي عن َد‬ ‫الشري ُف‪.‬‬ ‫مدين ِة القد ِس الشري ِف‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ  :3‬أســتعم ُل المنقل َة لإيجا ِد قيــا ِس الزاوي ِة بي َن خ ِّط‬ ‫الشما ِل الجغراف ِّي والقطع ِة المســتقيم ِة الواصل ِة‬ ‫بي َن المدينت ْي ِن باتجا ِه حرك ِة عقار ِب الساع ِة‪ .‬س َأ ِج ُد‬ ‫أ َّن قيا َس هذ ِه الزاوي ِة ه َو ‪78º‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬اتجــا ُه العاصمــ ِة ع ّمــا َن مــ ْن مدين ِة القد ِس الشــري ِف‬ ‫ه َو ‪.078º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أستعم ُل الخريط َة في المثا ِل الساب ِق لتحدي ِد اتجا ِه مدين ِة حيفا م ْن مدين ِة القد ِس الشري ِف‪.‬‬ ‫‪ G‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪A‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪M‬‬ ‫‪E‬‬ ‫َأ ِج ُد ك ًّل م َن الاتجاها ِت الآتي ِة باستعما ِل المنقل ِة‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪  1‬اتجا ُه النقط ِة ‪ D‬م َن النقط ِة ‪.E‬‬ ‫‪  2‬اتجا ُه النقط ِة ‪ G‬م َن النقط ِة ‪.A‬‬ ‫‪  3‬اتجاه النقط ُة ‪ M‬م َن النقط ِة ‪.D‬‬ ‫‪115‬‬

‫‪  5‬اتجا ُه النقط ِة ‪ B‬م َن النقط ِة ‪ W‬ه َو ‪.310º‬‬ ‫أرس ُم شك ًل ُيو ِّض ُح ك َّل موق ٍف م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪  4‬اتجا ُه النقط ِة ‪ C‬م َن النقط ِة ‪ H‬ه َو ‪.170º‬‬ ‫أرس ُم شك ًل ل َح ِّل المسائ ِل الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  7‬اتجا ُه ‪ X‬م ْن ‪ Y‬ه َو ‪َ .324º‬أ ِج ُد اتجا َه ‪ Y‬م ْن ‪.X‬‬ ‫‪  6‬اتجا ُه ‪ A‬م ْن ‪ B‬ه َو ‪َ .070º‬أ ِج ُد اتجا َه ‪ B‬م ْن ‪.A‬‬ ‫‪  8‬تق ُع النقط ُة ‪ A‬شمال َّي النقط ِة ‪ ،C‬وتق ُع النقط ُة ‪ B‬شرق َّي النقط ِة ‪ ،A‬واتجا ُه النقط ِة ‪ B‬م َن النقط ِة ‪ C‬ه َو ‪ .045º‬أرس ُم شك ًل‬ ‫ُيب ِّي ُن مواق َع النقا ِط الثلا ِث‪.‬‬ ‫ملاح ٌة بحري ٌة‪ :‬أبح َر قار ٌب حو َل الأضلا ِع الأربع ِة لمر َّب ٍع مساح ُت ُه كيلو مت ٍر مر َّب ٌع واح ٌد‪:‬‬ ‫‪  9‬إذا بد َأ الإبحا َر في اتجا ِه الشــما ِل‪ ،‬فما الاتجاها ُت الثلاث ُة التالي ُة التي ســل َكها ح ّتى أكمــ َل رحل َت ُه حو َل المر َّب ِع باتجا ِه‬ ‫حرك ِة عقار ِب الساع ِة؟‬ ‫‪  10‬إذا بد َأ الإبحا َر في اتجا ِه ‪ ،090º‬فما الاتجاها ُت الثلاث ُة التالي ُة التي سل َكها ح ّتى أكم َل رحل َت ُه حو َل المر َّب ِع بعك ِس اتجا ِه‬ ‫حرك ِة عقار ِب الساع ِة؟‬ ‫‪  11‬خرائــ ُط‪ُ :‬تب ِّي ُن الخريط ُة الآتي ُة رحل َة قار ٍب حو َل إحــدى ال ُجز ِر‪ ،‬بد َأ ْت م َن الموق ِع ‪ ، S‬وانت َه ْت عن َد ُه‪ .‬إذا كا َن ك ُّل ‪1 cm‬‬ ‫على الخريط ِة ُيم ِّث ُل ‪ ،20 km‬فما طو ُل ك ِّل مرحل ٍة م ْن مراح ِل الرحل ِة واتجا ُهها؟ أنس ُخ الجدو َل الآت َي‪ ،‬ث َّم ُأك ِم ُل ُه‪:‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪3‬‬ ‫المرحل ُة المساف ُة الحقيقي ُة الاتجا ُه‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪4‬‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪5‬‬ ‫اﳌﺮﺣﻠ ﹸﺔ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ P‬والمرفأِءْي ِن ‪َ X‬و ‪ Y‬على السا ِءح ِل‪:‬‬ ‫موان ُئ‪ُ :‬يب ِّي ُن ال ُمخ َّط ُط المجاو ُر المينا َء‬ ‫إلى المرفا ‪ .X‬ما اتجــا ُه المرفا ‪ X‬م َن‬ ‫‪  12‬أبحــ َر قار ُب صي ٍد م َن المينــا ِء ‪P‬‬ ‫ﺑﺤ ﹲﺮ‬ ‫‪ P‬ﻳﺎﺑﺴ ﹲﺔ‬ ‫‪P‬؟‬ ‫المينا ِء‬ ‫م َن‬ ‫‪Y‬‬ ‫ِء‬ ‫اتجا ُه‬ ‫ما‬ ‫‪.Y‬‬ ‫ِء‬ ‫إلى‬ ‫‪P‬‬ ‫المينا ِء‬ ‫م َن‬ ‫المينا ِء ‪P‬؟‬ ‫‪13‬‬ ‫ أبح َر يخ ٌت‬ ‫المرفا‬ ‫المرفا‬ ‫‪116‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫مقيا ُس الرس ِم‪ :‬ك ُّل ‪ُ 1 cm‬يم ِّث ُل ‪200 m‬‬ ‫مواق ُع جغرافي ٌة‪ُ :‬يب ِّي ُن ال ُمخ َّط ُط المجاو ُر موق َع بي ِت أري َج عن َد النقط ِة ‪H‬‬ ‫والناد َي الرياض َّي الذي ترتا ُد ُه عن َد النقط ِة ‪:C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪َ   14‬أستعم ُل مقيا َس الرس ِم المعطى لإيجا ِد الﻣمﻘﻴﺎساﹸفس ِةاﻟالﺮﺳح ﹺقﻢي‪:‬قي ِة‪ m‬بي‪َ00‬ن‪2‬بي=ِت‪ 1 cm‬اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫أري َج والنادي الرياض ِّي‪H .‬‬ ‫‪  15‬أستعم ُل منقل ًة لإيجا ِد اتجا ِه النادي م ْن بي ِت أري َج‪.‬‬ ‫‪  16‬يبع ُد الســو ُق التجار ُّي ‪ S‬مســاف َة ‪ 600 m‬ع ْن بي ِت أري َج‪ ،‬وباتجا ِه ‪ 150º‬م ْن بيتِ ِها‪ُ .‬أع ِّي ُن موق َع السو ِق التجار ِّي ‪ S‬على‬ ‫نسخ ٍة م َن ال ُمخ َّط ِط‪.‬‬ ‫‪  17‬ملاحــ ٌة جوي ٌة‪ :‬في أثنا ِء تحلي ِق طائر ٍة باتجا ِه ‪ُ ،072º‬ط ِل َب إلى قائ ِدها التو ُّج ُه إلى مطا ٍر صو َب الجنو ِب‪ .‬ما الزاوي ُة التي‬ ‫سيستدي ُر بها؟‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  18‬خرائ ُط‪ُ :‬تم ِّث ُل ‪َ A‬و ‪َ B‬و ‪ C‬ثلا َث ق ًرى تق ُع على رؤو ِس مر َّب ٍع في خلي ٍج ما‪ .‬إذا ‪C‬‬ ‫كا َن اتجا ُه القري ِة ‪ B‬م َن القري ِة ‪ A‬ه َو ‪ ،030º‬فما اتجا ُه القري ِة ‪ A‬م َن القري ِة ‪C‬؟ ‪A‬‬ ‫‪َ   19‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  20‬مســأل ٌة مفتوح ٌة‪ :‬أرس ُم مثل ًثا ذا قاعد ٍة أفقي ٍة ُأســ ّمي ِه ‪ ،ABC‬ث َّم أقي ُس زوايا ُه‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد اتجا َه ‪ A‬م ْن ‪ ،B‬واتجا َه ‪ C‬م ْن ‪،A‬‬ ‫واتجا َه ‪ C‬م ْن ‪.B‬‬ ‫تح ٍّد‪:‬أبح َر ْت ســفين ٌة م َن المينا ِء ‪ P‬مساف َة ‪ 57 km‬باتجا ِه الشما ِل‪ ،‬ث َّم تح َّو َل ْت إلى اتجا ِه ‪ ،045º‬وقط َع ْت مساف َة ‪ .38 km‬إذا‬ ‫كا َن موق ُع السفين ِة الحال ُّي ه َو ‪ ،S‬ف َأ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪.SP  21‬‬ ‫‪  22‬اتجا َه موق ِع السفين ِة م َن المينا ِء ‪.P‬‬ ‫‪117‬‬

‫قانو ُن الجيو ِب‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Law of Sines‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ استعما ُل قانو ِن الجيو ِب لإيجا ِد طو ِل ضل ٍع‪ ،‬أ ْو قيا ِس زاوي ٍة في مثل ٍث‪ُ ،‬ع ِل َم في ِه ضلعا ِن وزاوي ٌة مقابل ٌة‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫لأح ِد ِهما‪ ،‬أ ْو زاويتا ِن وضل ٌع بينَ ُهما‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت‬ ‫إرﺑ ﹸﺪ‬ ‫  َح ُّل المثل ِث‪ ،‬قانو ُن الجيو ِب‪ .‬إرﺑﺪ‬ ‫ﻋﺠﻠﻮن‬ ‫ﺟﺮش‬ ‫اﳌﻔﺮق‬ ‫ إذا كا َنــ ْت جــر ُش والزرقا ُء ومأدبـاﳌـﻔاﺮ ُﹸتقشــ ِّك ُل رؤو َس مثل ٍث على‬ ‫الخريط ِة‪ ،‬والمســاف ُة بي َن مدين َت ِي الزرقا ِء وجر َش ‪ ،44 km‬وقيا ُس‬ ‫ﻋﺠﻠﻮ ﹸن‬ ‫الزاوي ِة التي تق ُع عن َد رأ ِسها مدين ُة جر َش ‪ ،52º‬وقيا ُس الزاوي ِة االﻟتﺰريﻗﺎ ﹸء‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫ﺟﺮ ﹸش‬ ‫تق ُع عن َد رأ ِســها مدين ُة الزرقا ِء ‪ ،93º‬فهــ ْل ُيم ِك ُن بهذ ِه المعلوما ِت‬ ‫اﻟﺴﻠﻂ‬ ‫اﻟﺰرﻗﺎء‬ ‫حسا ُب المساف ِة بي َن مدين َت ْي جر َش ومأدبا؟‬ ‫اﻟﺒﻠﻘﺎ ﹸء‬ ‫ﻋﲈن‬ ‫ﻣﺎدﺑﺎ‬ ‫ﻋ ﹼﲈ ﹸن ﻣﺄدﺑﺎ‬ ‫يوج ُد في أ ِّي مثل ٍث ســت ُة قياســا ٍت‪ ،‬ه َي‪ :‬ثلاث ُة أضلا ٍع‪ ،‬وثلا ُث زوايا‪ .‬وإيجا ُد هذ ِه الاﻟﻜقﺮيكاسا ِت‬ ‫اﻟﻜﺮ ﹸك‬ ‫المثلثا ِت‬ ‫على‬ ‫الزوايا‬ ‫قياسا ُت‬ ‫تساع ُد‬ ‫إ ْذ‬ ‫‪(solving‬؛‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪triangle‬‬ ‫المثل ِث‬ ‫َح ِّل‬ ‫باس ِم‬ ‫ُيع َر ُف‬ ‫َح ِّل‬ ‫في حا ِل كا َن ْت بع ُض قياســاتِها معروف ًة‪ ،‬وذلك باســتعما ِل نســب ِة الجي ِب لإيجا ِد علاقا اﻟﻄٍﻔﻴﻠاتﺔﻟبﻄيﻔﻴ َﻠن ﹸﺔ‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫‪A‬‬ ‫أطوا ِل الأضلا ِع‪.‬‬ ‫تشــي ُر الأحــر ُف الكبيــر ُة‬ ‫‪ A, B, C‬إلــى رؤو ِس‬ ‫ﻣﻌﺎ ﹸن‬ ‫المثلــ ِث وزوايــا ُه‪ ،‬فــي‬ ‫حي ِن تشــي ُر الصغيــر ُة منْها‬ ‫‪c‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ففــي المثلــ ِث ‪ ABC‬المرســو ِم جان ًبــا‪ُ ،‬يم ِّث ُل ‪h‬‬ ‫‪ a, b, c‬إلــى أطــوا ِل‬ ‫الارتفــا َع م َن النقطــ ِة ‪ A‬؛ لذا فه َو عمــود ٌّي على‬ ‫الأضــا ِع‪ .‬فمثــ ًا‪ ،‬طو ُل‬ ‫ﻣﻌﺎن‬ ‫الضلــ ِع المقابــ ِل للزاوي ِة‬ ‫‪ A‬يشــا ُر إل ْيــ ِه بالحر ِف ‪،a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪aD C‬‬ ‫القاعد ِة ‪.BC‬‬ ‫وهكذا‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻘﺒ ﹸﺔ‬ ‫ُيم ِك ُن الاستفاد ُة م ْن تعري ِف الجي ِب في استنتا ِج بع ِض العلاقا ِت كما يأتي‪:‬‬ ‫‪118‬‬ ‫اﻟﻌﻘﺒﺔ‬ ‫= ‪sin B‬‬ ‫‪h‬‬ ‫تعري ُف الجي ِ ب‬ ‫‪c‬‬ ‫‪h = csin B‬‬ ‫بالضر ِب التبادل ِّي ‬ ‫= ‪sin C‬‬ ‫‪h‬‬ ‫تعري ُف الجي ِب ‬ ‫‪b‬‬ ‫بالضر ِب التبادل ِّي ‬ ‫‪h = bsin C‬‬ ‫بالمساوا ِة ‪ h = h‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ ،sin B‬ث َّم على ‪s in C‬‬ ‫‪csin B = bsin C‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫وبالمث ِل‪ُ ،‬يم ِك ُن استنتا ُج العلاقت ْي ِن الآتيت ْي ِن عن َد رس ِم ارتفا ِع ‪A‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫΄‪h‬‬ ‫المثل ِث م َن النقط ِة ‪ B‬بشــك ٍل عمود ٍّي على ‪ ، AC‬أ ْو رســ ِم‬ ‫‪B aC‬‬ ‫ارتفا ِع ِه م َن النقط ِة ‪ C‬عمود ًّيا على ‪.AB‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫عن َد دم ِج هذ ِه العلاقا ِت الثلا ِث م ًعا‪ ،‬ينت ُج قانو ُن الجيو ِب )‪.(law of sines‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫توج ُد صيغ ٌة ُأخرى لقانو ِن‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫الجيو ِب ه َي‪:‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ُيســتع َم ُل قانو ُن الجيو ِب ل َح ِّل المثل ِث الذي ُع ِل َم ْت ثلاث ٌة من قياساتِ ِه‪ ،‬وذل َك في الحالت ْي ِن‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫ُأف ِّك ُر‬ ‫الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫لماذا يتعــ َّذ ُر َح ُّل المثل ِث‬ ‫‪  1‬ضل ٌع واح ٌد وزاويتا ِن (‪ ،ASA‬أ ْو ‪.)SAA‬‬ ‫‪ -‬الحــر ُف ‪ S‬هــ َو اختصا ٌر‬ ‫الذي ُع ِل َم ْت فق ْط قياسا ُت‬ ‫‪  2‬ضلعا ِن وزاوي ٌة مقابل ٌة لأح ِد ِهما (‪.)SSA‬‬ ‫لكلمــ ِة ‪ ،Side‬وتعنــي‬ ‫زوايا ُه جمي ًعا؟‬ ‫ُيب ِّي ُن الشك ُل الآتي هات ْي ِن الحالت ْي ِن‪:‬‬ ‫الضل َع‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SA‬‬ ‫‪ -‬الحــر ُف ‪ A‬هــ َو اختصا ٌر‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫لكلمــ ِة ‪ ،Angle‬وتعنــي‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪SAA 1‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪ASA 1‬‬ ‫الزاوي َة‪.‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪SSA 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪.ABC‬‬ ‫‪84º‬‬ ‫‪25 cm‬‬ ‫‪B 47º‬‬ ‫‪x cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫قانو ُن الجيو ِب ‬ ‫‪Rx‬‬ ‫‪sin 84º‬‬ ‫‪sin 47º‬‬ ‫‪75º S‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪ sin 84º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪25 sin 84º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪45‬‬ ‫‪sin 47º‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪≈ 34 cm‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪T‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪ RST‬ال ُمب َّي ِن جان ًبا‪.‬‬ ‫‪119‬‬

‫ُيم ِك ُن أي ًضا استعما ُل قانو ِن الجيو ِب لإيجا ِد قيا ِس زاوي ٍة مجهول ٍة في المثل ِث‪.‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪.ABC‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫قانو ُن الجيو ِب ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪ 7‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪7sin 40º‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪≈ 0.7499‬‬ ‫ ‬ ‫)‪x = sin–1 (0.7499‬‬ ‫معكو ُس الجي ِب ‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪≈ 48.6º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪12‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪.RST‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ُيم ِك ُن نمذج ُة كثي ٍر م َن المواق ِف الحياتي ِة باســتعما ِل المثلثا ِت‪ ،‬ث َّم إيجا ُد قياسا ٍت مجهول ٍة فيها‬ ‫باستعما ِل قانو ِن الجيو ِب‪.‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪A‬‬ ‫يقـ ُع بـر ٌج ارتفا ُعـ ُه ‪ h‬متـ ٌر علـى ت َّلـ ٍة‪ ،‬وقـ ْد ُر ِصـ َد ْت ق َّمـ ُة البـر ِج ‪ A‬مـ َن النقطـ ِة ‪ B‬التـي‬ ‫‪B 50º‬‬ ‫‪25 m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫تبعـ ُد عـ ْن قاعـد ِة البـر ِج ‪ 25 m‬فـكا َن قيـا ُس زاويـ ِة ارتفا ِعهـا ‪ ، 50º‬ثـ َّم ُر ِصـ َد ْت ق َّمـ ُة‬ ‫‪D‬‬ ‫الت َّلـ ِة مـ َن النقطـ ِة ‪ B‬نف ِسـها فـكا َن قيـا ُس زاويـ ِة ارتفا ِعهـا ‪ .20º‬مـا ارتفـا ُع البـر ِج ‪h‬؟‬ ‫‪20º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫َأ ِج ُد أو ًل قيا َس الزاوي ِة ‪:ABC‬‬ ‫معلوم ٌة أساسي ٌة‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪m∠ABC = 50º – 20º = 30º‬‬ ‫ُتســ ّمى الزاوي ُة المحصور ُة‬ ‫‪h‬‬ ‫ث َّم َأ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪:BAD‬‬ ‫بي َن خــ ِّط البصــ ِر والخ ِّط‬ ‫‪25 m C‬‬ ‫الأفق ِّي الما ِّر بعيــ ِن الناظ ِر‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪m∠BAC = 180º – 90º – 50º = 40º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫زاوي َة الارتفا ِع‪.‬‬ ‫ارتفــا ُع البر ِج ه َو طــو ُل الضل ِع ‪ AC‬في المثل ِث ‪َ .BAC‬أســتعم ُل قانــو َن الجيو ِب ل َح ِّل هذا‬ ‫المثل ِث‪.‬‬ ‫‪120‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫بع َد ذل َك َأستعم ُل قانو َن الجيو ِب في المثل ِث ‪ BAC‬لإيجا ِد ارتفا ِع البر ِج‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫قانو ُن الجيو ِب ‬ ‫‪sin 30º‬‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪ sin30º‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪25 sin30º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪sin 40º‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬ارتفا ُع البر ِج ه َو‪ 19.45 m :‬‬ ‫‪h ≈ 19.45 m‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪20 m‬‬ ‫رص َد لي ٌث زاوي َة ق َّم ِة بناي ٍة م َن النقط ِة ‪ ،A‬فكا َن ْت ‪ ،37º‬ث َّم ســا َر مساف َة ‪ 20 m‬باتجا ِه البناي ِة ح ّتى‬ ‫‪h‬‬ ‫النقط ِة ‪ ،C‬ث َّم رص َد زاوي َة ق َّم ِة البناي ِة‪ ،‬فكا َن ْت ‪َ .67º‬أ ِج ُد ارتفا َع البناي ِة‪.‬‬ ‫‪67º‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫التق َط ْت مح َّطتا خف ِر الســواح ِل ‪َ A‬و ‪ B‬ندا َء اســتغاث ٍة م ْن ســفين ٍة عن َد النقط ِة ‪ C‬في البح ِر‪ ،‬وق ْد‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫ح َّد َد ِت المح َّط ُة ‪ A‬اتجا َه الســفين ِة عن َد ‪ ،040º‬وح َّد َد ِت المح َّط ُة ‪ B‬اتجا َه السفين ِة عن َد ‪ .330º‬إذا‬ ‫‪40º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫كا َن ِت ‪ B‬شرق َّي ‪ A‬وكان ِت المساف ُة بي َن المح َّطت ْي ِن ‪ ،120 km‬فك ْم تبع ُد السفين ُة ع ِن المح َّط ِة ‪A‬؟‬ ‫‪330º‬‬ ‫‪ A 120 km‬يج ُب أو ًل إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة ‪:C‬‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة ‪ BAC‬ه َو ‪( 50º‬لأ َّنها ُمت ِّمم ٌة للزاوي ِة التي قيا ُسها ‪.)40º‬‬ ‫وقيا ُس الزاوي ِة ‪ ABC‬ه َو ‪( 60º‬لأ َّن ‪ .)330º – 270º = 60º‬إذ ْن‪:‬‬ ‫‪m∠ACB = 180º – 60º – 50º = 70º‬‬ ‫ث َّم استعما ُل قانو ِن الجيو ِب‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫قانو ُن الجيو ِ ب‬ ‫‪sin B‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫‪sin 60º‬‬ ‫‪sin 70º‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪s in 60º‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫× ‪120‬‬ ‫‪sin 60º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪≈ 110.59 km‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد ُب ْع َد السفين ِة ع ِن المح َّط ِة ‪ B‬في المثا ِل الساب ِق‪.‬‬ ‫‪121‬‬

‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في ك ٍّل م َن المثلثا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2  B‬‬ ‫‪41º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3  B x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪85º x‬‬ ‫‪45º C‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x 102º‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32 37º‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4  B‬‬ ‫‪5  B‬‬ ‫‪32º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪58º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪17 x C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪43º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪َ   7‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة المنفرج ِة ‪ CBA‬في الشك ِل المجاو ِر‪10 .‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  8‬خرائ ُط‪َ :‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪G .‬‬ ‫‪29.7º 41.2º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  9‬بِحا ٌر‪ :‬ترص ُد ســفينتا ِن في البح ِر ق َّم َة جب ٍل كما في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫إذا كا َن ِت المســاف ُة بي َن الســفينت ْي ِن ‪ ،1473 m‬فما ارتفا ُع الجب ِل م ْن‬ ‫مستوى سط ِح البح ِر؟‬ ‫‪15.9º‬‬ ‫‪  10‬أبرا ُج إرســا ٍل‪ :‬رص َد معا ٌذ ارتفا َع مبنًى‪ ،‬وارتفا َع بر ِج إرسا ٍل فو َق ُه كما في‬ ‫الشك ِل المجاو ِر‪َ .‬أ ِج ُد ارتفا َع بر ِج الإرسا ِل‪.‬‬ ‫‪23.6º‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪200 m‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪  11‬عل ُم ال َفل ِك‪ :‬رص َد عام ٌر وهشا ٌم م ْن منزل ْي ِهما نج ًما في السما ِء في اللحظ ِة نف ِسها‪ .‬إذا كا َن ْت‬ ‫‪49.8974º‬‬ ‫زاوي ُة رص ِد هشــا ٍم للنج ِم ‪ ،49.8974º‬وزاوي ُة رص ِد عام ٍر ل ُه ‪ ،49.9312º‬والمســاف ُة بي َن‬ ‫‪300 km 49.9312º‬‬ ‫منزل ْي ِهما ‪ ،300 km‬ف ُأق ِّد ُر ُب ْع َد النج ِم ع ِن الأر ِض‪.‬‬ ‫ﻋﺎﻣ ﹲﺮ ﻫﺸﺎ ﹲم‬ ‫ﺳﻠﻤﻰ‬ ‫‪  12‬مدين ُة الألعا ِب‪ :‬في مدين ِة الألعا ِب‪ ،‬جل َســ ْت سلمى وره ُف على مقعد ْي ِن منفصل ْي ِن‬ ‫في لعب ِة الدولا ِب الد ّوا ِر كما في الشك ِل المجاو ِر‪َ .‬أ ِج ُد المساف َة ‪ x‬بينَ ُهما‪.‬‬ ‫‪4.8 m x‬‬ ‫رﻫ ﹸﻒ ‪58º‬‬ ‫‪  13‬رياض ُة التز ُّل ِج‪ :‬يتك َّو ُن مسا ُر تز ُّل ٍج م ْن جز ٍء مائ ٍل‪ ،‬وآخ َر مستقي ٍم‪ .‬إذا تز َّل َج محمو ٌد م َن النقط ِة ‪ Q‬إلى النقط ِة ‪ ،P‬ث َّم وص َل‬ ‫خــ َّط النهاي ِة عن َد النقط ِة ‪ ،R‬وكا َن ْت زاوي ُة ارتفا ِع مســا ِر التز ُّل ِج ع ِن الأر ِض ‪ ،25º‬والمســاف ُة بي َن النقطت ْي ِن ‪َ P‬و ‪ R‬ه َي‬ ‫‪ ،500 m‬وزاوي ُة ر ْص ِد ال َح َك ِم م ْن نقط ِة النهاي ِة لل ُمتز ِّل ِج الذي يق ُف عن َد نقط ِة البداي ِة ‪ ،15º‬فما طو ُل مسا ِر التز ُّل ِج ‪QP‬؟‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪25º P‬‬ ‫‪15º R‬‬ ‫‪D 500 m‬‬ ‫‪َ   14‬أ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في الشك ِل الآتي‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب جز ٍء م ْن عشر ٍة‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪15º‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪123‬‬

‫‪40º‬‬ ‫‪100 m‬‬ ‫‪35º‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪  15‬تبري ٌر‪ :‬أطل َق قنّاصا ِن النا َر على هد ٍف ُمتح ِّر ٍك في الســما ِء في‬ ‫لحظ ٍة ما‪ .‬إذا كا َن ْت زاوي ُة إطــا ِق الأو ِل ‪ ،40º‬وزاوي ُة إطلا ِق‬ ‫الثاني ‪ ،35º‬والمساف ُة بينَ ُهما ‪ ،100 m‬فأ ُّي ُهما سيصي ُب الهد َف‬ ‫أو ًل؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪250 m‬‬ ‫‪  16‬تح ٍّد‪ :‬م َّر قار ٌب أســف َل جســ ٍر طو ُل ُه ‪ 250‬مت ًرا‪ .‬وق ْد رص َد الشــخ ُص الذي في‬ ‫‪69.2º 65.5º‬‬ ‫القار ِب الزاويت ْي ِن اللت ْي ِن تقعا ِن عن َد طر َف ِي الجس ِر‪ ،‬فكا َنتا ‪َ 69.2º‬و ‪َ ،65.5º‬أ ِج ُد‬ ‫‪h‬‬ ‫ارتفا َع الجس ِر ع ِن القار ِب‪.‬‬ ‫زاوي ِة‬ ‫في‬ ‫ٍء‬ ‫وجو َد‬ ‫الط ّيا ُر‬ ‫أدر َك‬ ‫‪50‬‬ ‫‪km‬‬ ‫مســاف َة‬ ‫قط َع ْت‬ ‫أ ْن‬ ‫وبع َد‬ ‫‪،Q‬‬ ‫المدين ِة‬ ‫إلى‬ ‫‪P‬‬ ‫المدين ِة‬ ‫م َن‬ ‫طائر ٌة‬ ‫تو َّج َه ْت‬ ‫ تبري ٌر‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫خطا‬ ‫الانطلا ِق مقدا ُر ُه ‪ ،10º‬فاســتدا َر في الحا ِل‪ ،‬وقط َع ِت الطائر ُة مساف َة ‪ 70 km‬ح ّتى وص َل ِت المدين َة ‪ .Q‬إذا كا َن ْت سرع ُة‬ ‫الطائر ِة بمقدا ٍر ثاب ٍت ه َي ‪ ،250 km/h‬فما الوق ُت الإضاف ُّي الذي استغر َق ُه الط ّيا ُر بسب ِب خط ِئ ِه في زاوي ِة الانطلا ِق؟‬ ‫‪10°‬‬ ‫‪70 km Q‬‬ ‫‪P 50 km R‬‬ ‫‪124‬‬

‫قانو ُن جيو ِب التما ِم‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Law of Cosines‬‬ ‫‪3‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  استعما ُل قانو ِن جيو ِب التما ِم لإيجا ِد طو ِل ضل ٍع‪ ،‬أ ْو قيا ِس زاوي ٍة في مثل ٍث‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  قانو ُن جيو ِب التما ِم‪.‬‬ ‫ انطل َق ْت حافلتا ِن م ْن مح َّط ٍة واحد ٍة في الوق ِت نف ِســ ِه‪ ،‬وق ِد ا َّتج َه ِت‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫الأولى شر ًقا بســرع ِة ‪ ، 60 km/h‬وانطل َق ِت الثاني ُة في مسا ٍر َيصن ُع‬ ‫زاوي َة ‪ 30º‬م َع مســا ِر الحافل ِة الأولى بسرع ِة ‪ .50 km/h‬ه ْل ُيم ِك ُن‬ ‫حسا ُب المساف ِة بي َن الحافلت ْي ِن بع َد ُم ِض ِّي ‪ 3‬ساعا ٍت على انطلا ِق ِهما؟‬ ‫تع َّر ْف ُت في الدر ِس الســاب ِق قانو َن الجيو ِب‪ ،‬وكي َف ُيستع َم ُل ل َح ِّل مثلثا ٍت ُع ِل َم فيها ضل ٌع واح ٌد‬ ‫وزاويتا ِن (‪ ،ASA‬أ ْو ‪ ،)SAA‬أ ْو ضلعا ِن وزاوي ٌة مقابل ٌة لأح ِد ِهما (‪.)SSA‬‬ ‫ُتستع َم ُل أي ًضا نسب ُة جي ِب التما ِم لإيجا ِد علاقا ٍت ُأخرى بي َن أطوا ِل الأضلا ِع وقياسا ِت الزوايا؛‬ ‫ما يساع ُد على َح ِّل بع ِض المثلثا ِت التي لا ُيم ِك ُن َح ُّلها باستعما ِل قانو ِن الجيو ِب‪.‬‬ ‫ففي الشــك ِل المجاو ِر‪ُ ،‬يم ِّث ُل ‪ h‬الارتفا َع المرسو َم م ْن ‪ B‬عمود ًّيا على ‪ .AC‬وباستعما ِل نظري ِة‬ ‫‪B‬‬ ‫فيثاغورس وتعري ِف جي ِب التما ِم‪ُ ،‬يم ِك ُن استنتا ُج بع ِض العلاقا ِت على النح ِو الآتي‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ha‬‬ ‫‪h2 = c2 – x2‬‬ ‫‪ A‬باستعما ِل نظري ِة فيثاغورس في المثل ِث ‪A DB‬‬ ‫‪xD‬‬ ‫‪b b–x‬‬ ‫‪h2 = a2 – (b – x)2‬‬ ‫باستعما ِل نظري ِة فيثاغورس في المثل ِث ‪ BDC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c2 – x2 = a2 – (b – x)2‬‬ ‫بمساوا ِة المعادلت ْي ِن ‪ h2 = h2‬‬ ‫‪c2 – x2 = a2 – b2 + 2 xb – x2‬‬ ‫بف ِّك القو ِ س‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 xb‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫لإدخا ِل جي ِب التما ِم في المعادل ِة‪ ، a2 = b2 + c2 – 2 xb :‬فإ َّننا نكت ُب ‪ x‬بدلال ِة ‪:cos A‬‬ ‫‪cos A = cx‬‬ ‫تعري ُف جي ِب التما ِ م‬ ‫‪x = c × cos A‬‬ ‫بالضر ِب التبادل ِّي ‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x‬في المعادل ِ ة‬ ‫‪125‬‬

‫وبذل َك‪ ،‬نتو َّص ُل إلى العلاق ِة الآتي ِة بي َن أطوا ِل أضلا ِع المثل ِث وقياسا ِت زوايا ُه باستعما ِل جي ِب‬ ‫َأتع َّل ُم‬ ‫ُيم ِك ُن كتابــ ُة قانو ِن جيو ِب‬ ‫التما ِم‪:‬‬ ‫التما ِم كما يأتي‪:‬‬ ‫‪a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A‬‬ ‫وبطريق ٍة مشابه ٍة‪ُ ،‬يم ِك ُن التو ُّص ُل إلى العلاقت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪b2 = a2 + c2 – 2ac cos B‬‬ ‫‪c2 = a2 + b2 – 2ab cos C‬‬ ‫ُتس ّمى هذ ِه العلاقا ُت الثلا ُث قانو َن جيو ِب التما ِم )‪ ،(Law of Cosines‬و ُيستع َم ُل هذا القانو ُن‬ ‫ل َح ِّل أ ِّي مثل ٍث ُع ِل َم ْت ثلاث ٌة من قياساتِ ِه في الحالت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪  1‬ضلعا ِن وزاوي ٌة محصور ٌة بينَ ُهما (‪.)SAS‬‬ ‫‪  2‬ثلاث ُة أضلا ٍع (‪.)SSS‬‬ ‫‪SS‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪b2‬‬ ‫– ‪+ c 2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪2bc‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ ‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ c 2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪2ac‬‬ ‫اﳊﺎﻟ ﹸﺔ‪1‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ b 2‬‬ ‫‪c 2‬‬ ‫‪SAS‬‬ ‫‪2ab‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 = 62 +102 – 2 × 6 × 10 cos 80º‬‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِم ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 = 115.16‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x = 10.7 cm‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِن ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪َ A 65º 8‬أ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث المجاو ِر‪.‬‬ ‫ُيستع َم ُل قانو ُن جيو ِب التما ِم أي ًضا لإيجا ِد قيا ِس زاوي ٍة مجهول ٍة في المثل ِث‪.‬‬ ‫‪126‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪82 = 52 +72 – 2 × 5 × 7 cos x‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪ RST‬المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪52‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72 –82‬‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِ م‬ ‫‪R8‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5×7‬‬ ‫بكتاب ِة ‪ cos x‬موضو ِع القانو ِن ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪cos x = 0.1428‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫معكو ُس جي ِب التما ِ م‬ ‫‪x = 81.8º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في المثل ِث ‪ ABC‬المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪Bx‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ق ْد نحتا ُج في بع ِض المســائ ِل إلى اســتعما ِل قانو َنــ ِي الجيو ِب وجيو ِب التمــام م ًعا لإيجا ِد‬ ‫القياسا ِت المطلوب ِة‪.‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫شـو ِه َد ْت طائـر ٌة مروحيـ ٌة ُتح ِّلـ ُق فـي السـما ِء مـ َن القريت ْيـ ِن ‪َ X‬و ‪ Y‬فـي اللحظـ ِة نف ِسـها‪ .‬إذا‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫كا َن ُب ْعـ ُد الطائـر ِة عـ ِن القريـ ِة ‪ X‬هـ َو ‪ ،8.5 km‬وعـ ِن القريـ ِة ‪ Y‬هـ َو ‪ ،12 km‬وكا َنـ ِت القريتـا ِن‬ ‫‪12‬‬ ‫‪X‬‬ ‫فـي مسـت ًوى أفقـ ٍّي واحـ ٍد‪ ،‬وزاويـ ُة ارتفـا ِع الطائـر ِة مـ َن القريـ ِة ‪ Y‬هـ َي ‪ ،43º‬فمـا المسـاف ُة‬ ‫‪43º‬‬ ‫بيـ َن هات ْيـ ِن القريت ْيـ ِن؟‬ ‫لإيجا ِد المســاف ِة بي َن القريت ْي ِن‪ ،‬يج ُب معرف ُة قيا ِس الزاوي ِة بيــ َن الضلع ْي ِن اللذ ْي ِن ُيم ِّثلا ِن ُب ْع َد ِي‬ ‫الطائر ِة ع ِن القريت ْي ِن كما يأتي‪:‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :1‬استعما ُل قانو ِن الجيو ِب لإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة ‪ X‬في المثل ِث ‪.HYX‬‬ ‫‪sin 43º‬‬ ‫=‬ ‫‪sin X‬‬ ‫قانو ُن الجيو ِب ‬ ‫‪8.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪ 12‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪sin 43º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪8.5‬‬ ‫‪sin X ≈ 0.963‬‬ ‫‪X = sin–1 0.963‬‬ ‫معكو ُس ‪ sin‬‬ ‫‪≈ 74.3º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫الخطو ُة ‪ :2‬إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة ‪.H‬‬ ‫‪127‬‬

‫‪.180º – 43º – 74.3º = 62.7º‬‬ ‫مجمو ُع قيا ِس زوايا المثل ِث ‪ 180º‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :3‬استعما ُل قانو ِن جيو ِب التما ِم لإيجا ِد المساف ِة بي َن القريت ْي ِن‪.‬‬ ‫‪(XY)2 = 122 + 8.52 − 2 (12) (8.5) cos 62.7º‬‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِم ‬ ‫‪(XY)2 = 122.7‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪XY = √1  22.7 = 11.1‬‬ ‫بحسا ِب الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِ ن‬ ‫إذ ْن‪ ،‬المساف ُة بي َن المدينت ْي ِن ‪ 11.1 km‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ســف ٌن‪ :‬أبح َر ْت ســفين ٌة م َن المينا ِء ‪ A‬باتجا ِه الشما ِل‪ ،‬فقط َع ْت مســاف َة ‪ ،240 km‬ث َّم انحر َف ْت‬ ‫بزاوي ِة ‪ ،50º‬وقط َع ْت مســاف َة ‪ 160 km‬ح ّتى وص َل ْت إلى المينا ِء ‪ .B‬ما المســاف ُة بي َن المينا ِء ‪A‬‬ ‫والمينا ِء ‪B‬؟‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫‪N1‬‬ ‫‪100º N2‬‬ ‫أقل َعـ ْت طائـر ٌة بزاويـ ِة ‪ 100º‬عـ ِن الشـما ِل مـ َن المدينـ ِة ‪ ،A‬فقط َعـ ْت مسـاف َة ‪ ،400 km‬ثـ َّم‬ ‫انعط َفــ ْت يمينًــا‪ ،‬فأصب َحــ ِت الزاويــ ُة بيــ َن خــ ِّط مســا ِرها الجديــ ِد والشــما ِل ‪ ،170º‬ثــ َّم‬ ‫‪A 400‬‬ ‫قط َعــ ْت مســاف َة ‪ 500 km‬لتصــ َل إلــى المدينــ ِة ‪ .B‬مــا المســاف ُة بيــ َن هات ْيــ ِن المدينت ْيــ ِن؟‬ ‫‪M 170º‬‬ ‫ُيم ِك ُن حســا ُب المســاف ِة بي َن المدينت ْي ِن (طو ُل القطع ِة المســتقيم ِة ‪ )AB‬بإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة‬ ‫‪500‬‬ ‫‪.AMB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫م َن ال ُملا َح ِظ أ َّن الزاوي َة ‪ُ AMN2‬مك ِّمل ٌة للزاوي ِة ‪ ،MAN1‬وه َي تساوي ‪.80º‬‬ ‫‪m∠AMB = 360º − (80º + 170º) = 110º‬‬ ‫مجمو ُع الزوايا حو َل نقط ٍ ة‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِ م ‪(AB)2 = (400)2 + (500)2 − 2 × 400 × 500 cos 110º‬‬ ‫‪(AB)2 = 546808.0573‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪AB = √5  46808.0573 ≈ 739.5‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّ ي‬ ‫إذ ْن‪ ،‬المساف ُة بي َن المدينت ْي ِن ‪ 739.5 km‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ســا َر قطا ٌر م َن المح َّط ِة ‪ A‬في اتجا ِه ‪ 080º‬إلى المح َّط ِة ‪ B‬التي تبع ُد عنْها ‪ ،120 km‬ث َّم َتح َّو َل إلى‬ ‫اتجا ِه‪ ،070º‬وسا َر مساف َة‪ 90 km‬إلى المح َّط ِة‪ .C‬ما المساف ُة بي َن المح َّط ِة‪ A‬والمح َّط ِة‪C‬؟‬ ‫‪128‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في ك ٍّل م َن المثلثا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪1  B‬‬ ‫‪2   B 15 C‬‬ ‫‪3  B x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪102º‬‬ ‫‪32 45‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪22 x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4  B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪6  B‬‬ ‫‪5   B x 12‬‬ ‫‪7 10‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪Ax 9‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪50 x C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪50‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪  7‬ملاح ٌة جوي ٌة‪ :‬أبح َر ْت ســفين ٌة م ْن أح ِد الموان ِىء مســاف َة ‪ 50 km‬في‬ ‫اتجا ِه ‪ ، 050º‬ث َّم غ َّي َر القبطا ُن خ َّط ســي ِرها إلى اتجا ِه ‪ 150º‬وقط َع ْت‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪T 150º‬‬ ‫مســاف َة ‪ ،40 km‬ث َّم تو َّق َف ْت بســب ِب إصاب ِة أح ِد أفــرا ِد الطاق ِم‪ .‬ما‬ ‫‪P‬‬ ‫‪40‬‬ ‫المساف ُة التي ستقط ُعها مروحي ُة الإنقا ِذ م َن المينا ِء لتص َل إلى السفين ِة‬ ‫في أقص ِر وق ٍت ُمم ِك ٍن؟ ‪S‬‬ ‫‪  8‬كر ُة قد ٍم‪ُ :‬يب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر موقع لاع َب كر ِة قد ٍم يرك ُل الكر َة نح َو مر ًمى‬ ‫عر ُض ُه ‪َ .5 m‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة التي يســتطي ُع منْهــا اللاع ُب أ ْن يرك َل الكر َة‬ ‫اﳌﺮﻣﻰ‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫لتسدي ِد هد ٍف‪ ،‬عل ًما بأ َّن ُه يبع ُد ع ْن طر َف ِي المرمى مساف َة ‪َ 26 m‬و ‪.23 m‬‬ ‫ﻣﻮﻗ ﹸﻊ اﻟﻼﻋ ﹺﺐ‬ ‫‪129‬‬

‫‪50º‬‬ ‫‪km‬‬ ‫ خرائ ُط طيــرا ٍن‪ :‬أقل َع ْت طائر ٌة م َن المدين ِة ‪ A‬في اتجا ِه ‪ 000º‬مســاف َة ‪ ،150 km‬ث َّم اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ا َّتج َه ْت إلى‪ ،050 º‬وســا َر ْت مســاف َة ‪ 100 km‬ح ّتى وص َلــ ِت المدين َة ‪ C‬كما في‬ ‫اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪B‬‬ ‫الشــك ِل المجاو ِر‪ .‬ما أقص ُر مســاف ٍة ممكن ٍة بي َن المدينت ْي ِن إذا كا َن مسمو ًحا للطائر ِة‬ ‫‪150 km‬‬ ‫ا ِّتخا ُذ المسا ِر الذي تري ُد؟‬ ‫اﳌﺪﻳﻨ ﹸﺔ ‪A‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪  10‬مروحيــ ُة إنقا ٍذ‪ُ :‬أر ِســ َل ْت مروحي ُة إنقا ٍذ م َن القاعد ِة ‪ A‬لإســعا ِف رجــ ٍل على جب ٍل عن َد‬ ‫النقط ِة ‪ M‬إلى الشــما ِل م ْن هذ ِه القاعد ِة‪ ،‬ث َّم أوص َل ْت ُه إلى المستشــفى ‪ H‬الذي يبع ُد ع ِن‬ ‫‪M 145º‬‬ ‫القاعد ِة مســاف َة ‪ 38 km‬كما يظه ُر في الشــك ِل المجاو ِر‪َ .‬أ ِج ُد المســاف َة م َن الجب ِل إلى‬ ‫‪A 103º‬‬ ‫المستشفى‪ ‬بطريقت ْي ِن‪H .‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪  11‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد قيا َس أصغ ِر زاوي ٍة في مثل ٍث أطوا ُل أضلا ِع ِه ‪ ، 3a, 5a, 7a‬حي ُث ‪ a‬عد ٌد حقيق ٌّي موج ٌب‪.‬‬ ‫‪D 7.2 A‬‬ ‫‪100º 6.7‬‬ ‫‪  12‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد طو َل الضل ِع ‪ CD‬في شب ِه المنحر ِف المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪C 9.3 B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪  13‬تح ٍّد‪ُ :‬يم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر حق َل النخي ِل ‪ ABCD‬الذي يري ُد مالِ ُك ُه إحاط َة سيا ٍج ب ِه‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل السيا ِج‪.‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪  14‬ساعا ٌت‪ :‬طو ُل عقر َب ْي ساع ٍة ‪َ ،3 cm‬و ‪َ .4 cm‬أ ِج ُد المساف َة بي َن رأ َس ِي العقرب ْي ِن عندما‬ ‫‪30‬‬ ‫يشيرا ِن إلى الساع ِة ‪ 4‬تما ًما‪.‬‬ ‫‪80º‬‬ ‫‪D 50 C‬‬ ‫‪500 m‬‬ ‫‪  15‬أبرا ٌج‪ :‬يرتف ُع بر ٌج ‪ 500 m‬على ت َّل ٍة تمي ُل بزاوي ِة ‪ 5º‬ع ِن المستوى الأفق ِّي كما في الشك ِل‬ ‫المجاو ِر‪ .‬أرا َد ِت المهندســ ُة صفا ُء تثبي َت البر ِج بســلك ْي ِن م ْن ق َّمتِــ ِه إلى نقطت ْي ِن على‬ ‫‪100 m‬‬ ‫‪100 m‬‬ ‫‪5º‬‬ ‫الأر ِض‪ ،‬تبع ُد ك ٌّل منْ ُهما مساف َة ‪ 100 m‬ع ْن قاعد ِة البر ِج‪َ .‬أ ِج ُد طو َل السلك ْي ِن‪.‬‬ ‫‪130‬‬

‫استعما ُل جي ِب الزاوي ِة لإيجا ِد مساح ِة المثل ِث‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Using Sine to Find the Area of a Triangle‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  إيجا ُد مساح ِة مثل ٍث ُع ِل َم في ِه طولا ضلع ْي ِن‪ ،‬وقيا ُس الزاوي ِة المحصور ِة بينَ ُهما‪.‬‬ ‫ لدى ُمزا ِر ٍع قطع ُة أر ٍض مثلث ُة الشــك ِل‪ ،‬طو ُل أح ِد أضلا ِعها ‪،84 m‬‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫وطو ُل ضل ٍع آخ َر ‪ ،110 m‬وقيا ُس الزاوي ِة المحصور ِة بينَ ُهما ‪،145º‬‬ ‫وقــ ْد أرا َد زراع َتها بالبطاطــا‪ ،‬ف َل ِز َم ُه ‪ 0.15 kg‬مــ ْن درنا ِت البطاطا‬ ‫لك ِّل مت ٍر مر َّب ٍع‪ .‬كي َف يســتطي ُع ال ُمزا ِر ُع حسا َب كمي ِة درنا ِت البطاطا‬ ‫اللازم ِة لزراع ِة أر ِض ِه؟‬ ‫تع َّل ْم ُت ســاب ًقا كيفي َة حسا ِب مســاحة ِالمثل ِث بضر ِب نص ِف طو ِل قاعدت ِه في ارتفاع ِه‪ ،‬غي َر أ َّن ُه‬ ‫يتع َّذ ُر اســتعما ُل هذ ِه الطريق ِة إذا كا َن الارتفا ُع مجهو ًل؛ لذا ُيم ِك ُن اســتخدا ُم النس ِب المثلثي ِة‬ ‫في إيجا ِد قانو ٍن آخ َر لحسا ِب مساح ِة المث ِلث باستعما ِل أطوا ِل أضلا ِع ِه وقياسا ِت زوايا ُه‪ .‬ففي‬ ‫الشــك ِل المجاو ِر‪ُ ،‬نلا ِح ُظ أ َّن ‪ BD‬ه َو ارتفا ُع المثل ِث ‪ ،ABC‬وأ َّن ُه عمود ٌّي على القاعد ِة ‪.AC‬‬ ‫فإذا كا َن ‪َ ، AC = b‬و ‪ ،BD = h‬فإ َّن مساح َة هذا المثل ِث ه َي‪:‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AC × BD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bh‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ha‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ُنلا ِح ُظ أي ًضا م َن المثل ِث ‪ BDC‬ما يأتي‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= ‪sin C‬‬ ‫‪h‬‬ ‫تعري ُف جي ِب الزاوي ِة ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪h = a sin C‬‬ ‫بضر ِب طر َف ِي المعادل ِة في ‪ a‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫) ‪C‬‬ ‫بالتعوي ِض ع ْن ‪ h‬في قانو ِن مساح ِة المثل ِث بِـ ‪ a sin C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُيم ِك ُن رســ ُم العمو ِد م َن الرأ ِس ‪ A‬إلــى الضل ِع الذي يقاب ُل ُه ‪ ،BC‬وم َن الــرأ ِس ‪ C‬إلى الضل ِع‬ ‫أي ًضا‬ ‫تســاوي‬ ‫وأ َّنها‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫تســاوي‬ ‫المثل ِث‬ ‫هذا‬ ‫مســاح َة‬ ‫أ َن‬ ‫لبيا ِن‬ ‫‪،AB‬‬ ‫يقاب ُل ُه‬ ‫الذي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪sin A‬‬ ‫‪131‬‬

‫مفهو ٌم أساس ٌي‬ ‫مساح ُة المثل ِث تساوي نص َف نات ِج ضر ِب طو َل ْي أ ِّي ضلع ْي ِن في ِه مضرو ًبا في جي ِب الزاوي ِة‬ ‫المحصور ِة بينَ ُهما‪:‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bc sin‬‬ ‫   ‪A‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫= ‪B  K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫َأ ِج ُد مساح َة المثل ِث ‪ ABC‬بالوحدا ِت المربع ِة في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪C‬‬ ‫قانو ُنمساح ِة المثل ِ ث‬ ‫‪2‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫‪B‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C 38º 7‬‬ ‫َأ ِج ُد مساح َة المثل ِث بالوحدا ِت المربع ِة في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫تع َّل ْم ُت في المثا ِل الســاب ِق كي َف َأ ِج ُد مســاح َة مثل ٍث ُع ِل َم فيه طولا ضلع ْيــ ِن‪ ،‬وقيا ُس الزاوي ِة‬ ‫المحصور ِة بينَ ُهما‪ ،‬وسأتع َّل ُم الآ َن كيفي َة حسا ِب مساح ِة مثل ٍث ُع ِل َم ْت في ِه أطوا ُل أضلا ِع ِه‪ ‬الثلاث ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬ ‫َأ ِج ُد مساح َة المثل ِث ‪ ABC‬بالوحدا ِت المربع ِة في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪A 19‬‬ ‫‪C‬‬ ‫يتع َّي ُن أو ًل إيجا ُد قيا ِس إحدى الزوايا باستعما ِل قانو ِن جيو ِب التما ِم‪ ،‬ث َّم حسا ُب المساح ِة‪.‬‬ ‫إذ ْن‪َ ،‬أستعم ُل قانو َن جيو ِب التما ِم لإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة ‪:C‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ b2‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِ م‬ ‫‪2ab‬‬ ‫=‬ ‫‪132 + 192 – 82‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪2 × 13 × 19‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪= 0.9433‬‬ ‫معكو ُس ‪ ، cos‬واستعما ُل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪C = cos–1 0.9433 = 19.4º‬‬ ‫‪132‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫=‪K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin C‬‬ ‫ُأط ِّب ُق قانو َن المساح ِة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قانو ُنمساح ِة المثل ِ ث‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× 13‬‬ ‫‪× 19 × sin 19.4º‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪2‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪= 41.0 cm2‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد مساح َة المثل ِث ‪ ، DEF‬عل ًما بأ َّن ‪َ ،DE = 10 cm‬و ‪َ ،DF = 12 cm‬و ‪.EF = 9 cm‬‬ ‫اﻟﻤﻔﺮ ﹸق ‪B‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪70‬‬ ‫‪98‬‬ ‫المســاف ُة بيــ َن ع ّمــا َن والأزر ِق ‪ ،103 km‬وبيــ َن ع ّمــا َن‬ ‫التخزي ُن في ذاكر ِة الآل ِة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ C‬اﻷزر ﹸق‬ ‫والمفــر ِق ‪ ،70 km‬وبيــ َن المفــر ِق والأزر ِق ‪.98 km‬‬ ‫الحاسب ِة‬ ‫ﻋ ﹼﻤﺎ ﹸن‬ ‫َأ ِجـ ُد مسـاح َة المثلـ ِث الـذي تقـ ُع عنـ َد رؤو ِسـ ِه هـذ ِه‬ ‫أســتعم ُل الآلــ َة الحاســب َة‬ ‫‪103‬‬ ‫المــد ُن الثــا ُث‪.‬‬ ‫لإيجــا ِد قيــا ِس الزاويــ ِة‬ ‫‪ B‬فــي هــذا الســؤا ِل‪ ،‬ثــ َّم‬ ‫الخطو ُة ‪ :1‬إيجا ُد قيا ِس إحدى الزوايا‪ ،‬ولتك ْن ‪ ، B‬باستعما ِل قانو ِن جيو ِب التما ِم‪.‬‬ ‫أضغــ ُط علــى الأزرا ِر‬ ‫(بالترتيــ ِب مــ َن اليســا ِر)‪:‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪a2‬‬ ‫– ‪+ c 2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫قانو ُن جيو ِب التما ِ م‬ ‫‪2ac‬‬ ‫‪SHIFT→RCL→B‬‬ ‫=‬ ‫‪982‬‬ ‫‪+‬‬ ‫– ‪702‬‬ ‫‪1032‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫ف ُتح َف ُظ الزاوي ُة في الذاكر ِة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫× ‪98‬‬ ‫‪70‬‬ ‫ولاســتعمالِها في حســا ِب‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪= 0.2839‬‬ ‫معكو ُس جي ِب التما ِم‪ ،‬واستعما ُل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫مساح ِة المثل ِث‪ُ ،‬أد ِخ ُل‪:‬‬ ‫‪B = cos–1 (0.2839) = 73.5º‬‬ ‫ث َّم أض×غ ُ‪0‬ط‪7‬عل×ى ا‪8‬ل‪9‬أز×را ِر‪:21‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :2‬تطبي ُق قانو ِن المساح ِة‪.‬‬ ‫ = ‪، sin → ALPHA → B→ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قانو ُنمساح ِة المثل ِ ث‬ ‫فتظه ُر النتيج ُة‪3288.8 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪98‬‬ ‫×‬ ‫‪70‬‬ ‫×‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪73.5º‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪= 3288.8 km2‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫قطع ُة رخا ٍم مثلث ُة الشك ِل‪ ،‬أبعا ُدها‪َ ،50 cm :‬و ‪َ ،85 cm‬و ‪ .70 cm‬ما مساح ُتها؟‬ ‫‪133‬‬

‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ِج ُد مساح َة ك ٍّل م َن المثلثا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  1‬المثل ُث ‪ ABC‬الذي في ِه ‪َ ، BC = 7 cm‬و ‪ ، AC = 8 cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ ACB‬في ِه ‪. 59º‬‬ ‫‪  2‬المثل ُث ‪ ABC‬الذي قيا ُس الزاوي ِة ‪ BAC‬في ِه ‪َ ، 85º‬و ‪َ ، AC = 6.7 cm‬و ‪. AB = 8 cm‬‬ ‫‪  3‬المثل ُث ‪ PQR‬الذي في ِه ‪َ ، QR = 27 cm‬و ‪ ، PR = 19 cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ QRP‬في ِه ‪. 109º‬‬ ‫‪  4‬المثل ُث ‪ XYZ‬الذي في ِه ‪َ ، XY = 231 cm‬و ‪ ، XZ = 191 cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ YXZ‬في ِه ‪. 73º‬‬ ‫‪  5‬المثل ُث ‪ LMN‬الذي في ِه ‪َ ، LN = 63 cm‬و ‪ ، LM = 39 cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ NLM‬في ِه ‪. 85º‬‬ ‫‪  6‬إذا كا َن ْت مساح ُة المثل ِث ‪ ABC‬ه َي ‪َ ، 27 cm2‬و ‪ ، BC = 14 cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ BCA‬في ِه ‪ ،115º‬فما طو ُل ‪AC‬؟‬ ‫‪  7‬إذا كا َن ْت مســاح ُة المثل ِث ‪ LMN‬ه َي ‪َ ، 133 cm2‬و ‪َ ، LM = 16 cm‬و ‪ ، MN =21 cm‬والزاوي ُة ‪ LMN‬حا َّد ًة‪ ،‬فما‬ ‫قيا ُس ك ٍّل م َن الزاويت ْي ِن‪َ ، LMN :‬و ‪MNL‬؟‬ ‫‪  9‬لوح ٌة على شك ِل مثل ٍث‪ ،‬أطوا ُل أضلا ِع ِه‪َ ، 60 cm :‬و ‪َ ،70 cm‬و ‪َ .80 cm‬أ ِج ُد مساح َة اللوح ِة‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪  10‬دائرتــا ِن‪ ،‬مرك ُز إحدا ُهما ‪ P‬ومرك ُز الأُخــرى ‪ ، Q‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِر إحدا ُهما ‪6 cm‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪Q 9P‬‬ ‫والأخرى ‪ .7 cm‬إذا تقاط َعتا في النقطت ْي ِن ‪َ X‬و ‪ ،Y‬وكا َن ‪ ،PQ = 9 cm‬فما مســاح ُة‬ ‫المثل ِث ‪PXQ‬؟‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪  11‬طائر ٌة ورقي ٌة‪ :‬صن َع ســلي ٌم طائر ًة ورقي ًة كما في الشــك ِل المجاو ِر‪َ .‬أ ِج ُد مســاح َة الماد ِة‬ ‫اللازم ِة لصن ِع الطائر ِة بالوحدا ِت المربع ِة‪.‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ُ   12‬متن َّز ٌه وطن ٌّي‪ :‬يرا ُد إنشــا ُء ُمتنــ َّز ٍه وطن ٍّي على قطع ِة أر ٍض مثلث ِة الشــك ِل ‪ . ABC‬إذا كا َن ِت‬ ‫‪B‬‬ ‫النقطــ ُة ‪ B‬في اتجا ِه ‪ 324º‬م َن النقط ِة ‪ ، A‬والنقط ُة ‪ C‬فــي اتجا ِه ‪ 042º‬م َن النقط ِة ‪ ، A‬فما‬ ‫‪21.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مساح ُة ال ُمتن َّز ِه بالوحدا ِت المربع ِة؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫‪134‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪B 35 m C‬‬ ‫‪42 m‬‬ ‫حقو ٌل‪ُ :‬يم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر أبعا َد حق ٍل رباع ِّي الأضلا ِع‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ُ   13‬أثبِ ُت أ َّن طو َل ‪ BD‬ه َو ‪ُ ، 66 m‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب مت ٍر‪.‬‬ ‫‪25 m‬‬ ‫‪73 m‬‬ ‫‪65º‬‬ ‫‪َ   14‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪.C‬‬ ‫‪  15‬أح ُس ُب مساح َة الحق ِل‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪َ   16‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫‪  17‬المثل ُث ‪ ABC‬قائ ُم الزاوي ِة‪ ،‬والمثل ُث ‪ُ DEF‬متطابِ ُق الأضلا ِع وللمثلث ْي ِن المحي ُط نف ُس ُه‪َ .‬أ ِج ُد مساح َة المثل ِث ‪.DEF‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B 12‬‬ ‫  ‬ ‫‪  18‬جغرافيا‪ :‬برمودا منطق ٌة مثلث ُة الشــك ِل‪ ،‬تق ُع في الجز ِء الغرب ِّي م َن المحي ِط الأطلســ ِّي‪ ،‬رؤو ُسها مدين ُة ميامي‪ ،‬وبرمودا‪،‬‬ ‫وسان خوان‪ .‬وق ْد شــه َد مثل ُث برمودا وقو َع عد ٍد م ْن حواد ِث اختفا ِء السف ِن والطائرا ِت‪ .‬إذا كا َن ِت المساف ُة بي َن ميامي‬ ‫وسان خوان ‪ 1674 km‬تقري ًبا‪ ،‬وبي َن ميامي وبرمودا نح َو ‪ ،1645 km‬وبي َن سان خوان وبرمودا قراب َة ‪ ،1544 km‬فما‬ ‫مساح ُة مثل ِث برمودا م ْن دو ِن اعتبا ٍر لتق ُّو ِس الأر ِض؟‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  19‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد مســاح َة المثل ِث ‪ ABC‬الذي قيا ُس الزاوي ِة ‪ A‬في ِه ‪ ،70º‬وقيا ُس الزاويــ ِة ‪ B‬في ِه ‪ ،60º‬وطو ُل الضل ِع ‪ AB‬في ِه‬ ‫‪.4 cm‬‬ ‫‪  20‬أكتشــ ُف الخط َأ‪ ABC :‬مثل ٌث في ِه ‪ ،AB = 9cm ،BC = 8cm‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ A‬في ِه ‪ . 30º‬أرا َد ْت نو ُر إيجا َد مساحتِ ِه‬ ‫إلى أقر ِب ُع ْش ٍر‪ ،‬فكا َن َح ُّلها كما يأتي‪:‬‬ ‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×8×9‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 18 cm2‬‬ ‫أكتش ُف الخط َأ في َح ِّل نو َر‪ ،‬ث َّم ُأص ِّح ُح ُه‪.‬‬ ‫‪135‬‬

‫َح ُّل مسائ َل ثلاثي ِة الأبعا ِد‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Solving Problems in Three Dimensions‬‬ ‫‪5‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  إيجا ُد أطوا ٍل وقياسا ٍت لزوايا مجهول ٍة في أشكا ٍل ثلاثي ِة الأبعا ِد باستعما ِل نظري ِة فيثاغورس والنس ِب‬ ‫المثلثي ِة‪.‬‬ ‫  ُش ِّي ُد الهر ُم الأكب ُر في مدين ِة الجيز ِة بمص َر عا َم ‪ 2500‬قب َل الميلا ِد‪ ،‬و ُتم ِّث ُل‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫قاعد ُتــ ُه مر َّب ًعا طو ُل ضل ِع ِه ‪ ،232.6 m‬وطــو ُل الضل ِع الواص ِل بي َن ق َّم ِة‬ ‫الهر ِم وأ ٍّي م ْن رؤو ِس المر َّب ِع ‪َ .221.2 m‬أ ِج ُد ارتفا َع هذا الهر ِم‪.‬‬ ‫تشــتم ُل المســائ ُل ثلاثي ُة الأبعا ِد (في الفضا ِء) على ثلاث ِة مســتويا ٍت؛ أفق ٍّي‪ ،‬ورأس ٍّي‪ ،‬ومائ ٍل‪.‬‬ ‫ويتط َّل ُب َح ُّل هذ ِه المســائ ِل رس َم ُمخ َّط ٍط ُيو ِّض ُح المسأل َة‪ ،‬و ُيم ِّث ُل المعلوما ِت المعطا َة فيها‪ ،‬ث َّم‬ ‫البح َث ع ْن مثلثا ٍت قائم ِة الزاوي ِة فيها‪ .‬وإذا ل ْم توج ْد هذ ِه المثلثا ُت‪ ،‬فإ َّننا نرســ ُم بع َضها‪ ،‬بحي ُث‬ ‫تكو ُن بع ُض عناص ِرها معلوم ًة‪ ،‬فض ًل ع ْن تحدي ِد العنص ِر المطلو ِب إيجا ُد ُه فيها؛ على أ ْن نرس َم‬ ‫ك ًّل منْها بمنأى ع ِن ال ُمخ َّط ِط المذكو ِر آن ًفا‪ ،‬ليسه َل عل ْينا معرف ُة العلاق ِة التي نستخد ُمها في ال َح ِّل‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ُيم ِّثــ ُل الشــك ُل المجــاو ُر متــوازي مســتطيلا ٍت‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪7‬‬ ‫َأ ِجــ ُد قيــا َس الزاويــ ِة ‪ُ ،AHF‬مق ِّر ًبــا إجابتــي إلــى‬ ‫‪E 12‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H5‬‬ ‫أقــر ِب منزلــ ٍة عشــري ٍة واحــد ٍة‪.‬‬ ‫المثل ُث ‪ AFH‬قائ ُم الزاوي ِة فــي ‪ ،F‬ومعلو ٌم في ِه طو ُل ‪AF‬؛ لذا يج ُب معرف ُة عنص ٍر آخ َر لإيجا ِد‬ ‫القيا ِس المطلو ِب‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :1‬إيجا ُد طو ِل ‪ FH‬م َن المثل ِث قائ ِم الزاوي ِة ‪ FEH‬؛ المرسو ِم وح َد ُه جان ًبا‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(FH)2 = (EF)2 + (EH)2‬‬ ‫نظري ُةفيثاغور س‬ ‫‪E 12‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪= 52 + 122‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪136‬‬ ‫‪(FH)2 = 169‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫بحساب الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِن ‬ ‫‪FH = √1  69 = 13‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫الخطو ُة ‪:2‬رس ُم المثل ِث ‪ AFH‬وح َد ُه‪ ،‬ث َّم استعما ُل الظ ِّل )‪ (tan‬لإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة ‪.AHF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪0.5384‬‬ ‫ ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫بالتقري ِب إلى منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍ ة‬ ‫‪F‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ = tan–1 (0.5384) = 28.3º‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪H‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد ‪ ،BE‬وقيا َس الزاوي ِة ‪ EBG‬في المثا ِل الساب ِق‪.‬‬ ‫عندما أنظ ُر إلى طائر ٍة في السما ِء‪ ،‬فإ َّن الزاوي َة المحصور َة بي َن الخ ِّط الواص ِل بي َن عيني والطائر ِة‬ ‫وخ ِّط نظري أفق ًّيا ُتســ ّمى زاوي َة الارتفا ِع‪ .‬وإذا وق ْف ُت على َت َّل ٍة ســاحلي ٍة‪ ،‬ث َّم نظ ْر ُت إلى قار ٍب‬ ‫أســف َل منّي‪ ،‬فإ َّن الزاوي َة المحصور َة بي َن الخ ِّط الواص ِل بيــ َن عيني والقار ِب وخ ِّط نظري أفق ًّيا‬ ‫ُتســ ّمى زاوي َة الانخفا ِض‪ .‬ولهات ْي ِن الزاويت ْي ِن أهمي ٌة كبير ٌة عن َد َح ِّل المسائ ِل الحياتي ِة باستعما ِل‬ ‫النس ِب المثلثي ِة‪.‬‬ ‫ﺧ ﱡﻂ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫ﹸأﻓ ﹺﻘ ﱞﻲ‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻻﻧﺨﻔﺎ ﹺض‬ ‫زاوﻳ ﹸﺔ اﻻرﺗﻔﺎ ﹺع‬ ‫ﺧ ﱡﻂ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ‬ ‫ﹸأﻓ ﹺﻘ ﱞﻲ‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫تقـ ُع النقـا ُط ‪َ ،A‬و ‪َ ،B‬و ‪ C‬فـي مسـت ًوى أفقـ ٍّي واحـ ٍد علـى الأر ِض‪ ،‬وتقـ ُع النقطـ ُة ‪ C‬علـى‬ ‫ُب ْعـ ِد ‪ 50 km‬شـرق َّي النقطـ ِة ‪ B‬التـي تقـ ُع شـمال َّي النقطـ ِة ‪ ،A‬وتقـ ُع النقطـ ُة ‪ C‬فـي اتجـا ِه‬ ‫‪ 050º‬مـ َن النقطـ ِة ‪ُ .A‬ر ِصـ َد ْت مـ َن النقطـ ِة ‪ A‬حركـ ُة طائـر ٍة فـي موقع ْيـ ِن مختلف ْيـ ِن علـى‬ ‫الارتفـا ِع نفسـ ِه عـ ِن الأر ِض؛ الأو ِل‪ :‬عندمـا كا َنـ ْت فـو َق النقطـ ِة ‪ B‬مباشـر ًة‪ ،‬وكا َنـ ْت زاوي ُة‬ ‫ارتفا ِعهـا ‪ .12º‬والثانـي‪ :‬عندمـا كا َنـ ْت فـو َق النقطـ ِة ‪َ .C‬أ ِجـ ُد زاويـ َة ارتفـا ِع الطائـر ِة عندمـا‬ ‫كا َنـ ْت فـو َق النقطـ ِة ‪.C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫الخطو ُة ‪:1‬أرســ ُم ُمخ َّط ًطا ُيم ِّثــ ُل المعلوما ِت ‪Y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪50 km‬‬ ‫المعطا َة‪C .‬‬ ‫الخطو ُة ‪:2‬أرســ ُم المثل َث قائ َم الزاوي ِة ‪،ABC‬‬ ‫‪12º‬‬ ‫ث َّم أستخد ُم ُه في إيجا ِد ‪َ ،AB‬و ‪.AC‬‬ ‫‪50º θ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪137‬‬

‫= ‪tan 50º‬‬ ‫‪50‬‬ ‫تعري ُف ظ ِّل الزاوي ِ ة‬ ‫‪B 50 km C‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪41.95‬‬ ‫‪km‬‬ ‫تعري ُف جي ِب الزاوي ِ ة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪tan 50º‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫= ‪sin 50º‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 65.27 km‬‬ ‫‪sin 50º‬‬ ‫الخطو ُة ‪:3‬أرســ ُم المثل َث قائ َم الزاوي ِة ‪ ، ABX‬ث َّم أستخد ُم ُه في إيجا ِد ‪ ،BX‬ومنْ ُه ُيم ِك ُن إيجا ُد‬ ‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ،CY‬فهما متساويا ِن؛ لأ َّن الشك َل ‪ BXYC‬مستطي ٌل‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12º‬‬ ‫‪41.95 km‬‬ ‫تعري ُف ظ ِّل الزاوي ِ ة‬ ‫= ‪tan 12º‬‬ ‫‪BX‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ة‬ ‫‪41.95‬‬ ‫‪BX = 41.95 tan 12º = 8.917 km‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :4‬أستعم ُل المثل َث قائ َم الزاوي ِة ‪ ACY‬لإيجا ِد زاوي ِة الارتفا ِع ‪.������‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ A‬تعري ُف ظ ِّل الزاوي ِ ة‬ ‫‪65.27 km‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪8.917‬‬ ‫‪= 0.1366‬‬ ‫‪8.917 km‬‬ ‫‪65.27‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪θ = tan–1 0.1366 = 7.8º‬‬ ‫معكو ُسالظ ِّ ل‬ ‫إذ ْن‪ ،‬زاوي ُة ارتفا ِع الطائر ِة عندما كا َن ْت فو َق النقط ِة ‪ C‬ه َي‪ُ ،7.8º :‬مق َّرب ًة إلى منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪67 m‬‬ ‫رص َد أحم ُد ق َّم َة مئذن ٍة م ْن نقط ٍة على الأر ِض تق ُع جنو َب المئذن ِة‪ ،‬فكا َن ْت زاوي ُة ارتفا ِعها ‪،38.4º‬‬ ‫‪38.4° B‬‬ ‫ث َّم سا َر شر ًقا مساف َة ‪ ،85 m‬ورص َد ق َّم َة المئذن ِة م َّر ًة ُأخرى‪ .‬إذا كا َن ارتفا ُع المئذن ِة ‪َ ،67 m‬أ ِج ُد‬ ‫‪C‬‬ ‫زاوي َة ارتفا ِع ق َّم ِة المئذن ِة في الم َّر ِة الثاني ِة‪.‬‬ ‫‪85 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫ُر ِصـ َد المنـز ُل ‪ A‬فـي اتجـا ِه الشـر ِق مـ ْن ق َّمـ ِة بـر ٍج يرتفـ ُع ‪ ،80 m‬وكذلـ َك المنـز ُل ‪ B‬فـي‬ ‫اتجــا ِه الجنــو ِب‪ .‬إذا كا َنــ ْت زاويــ ُة انخفــا ِض المنــز ِل ‪ A‬مــ ْن ق َّمــ ِة البــر ِج ‪ ،37º‬وزاويــ ُة‬ ‫‪D‬‬ ‫انخفا ِض المنز ِل ‪ B‬م ْن ق َّمتِ ِه ‪ ،25º‬فما المساف ُة بي َن المنزل ْي ِن؟‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪25º C‬‬ ‫‪80 m‬‬ ‫الخطو ُة ‪:1‬أرســ ُم ُمخ َّط ًطا‪ ،‬عل ًما بأ َّن البر َج ‪َ DC‬يصن ُع زاوي ًة‬ ‫قائمــ ًة مــ َع الأر ِض‪ ،‬وأ َّن اتجا َه ك ٍّل م َن الشــر ِق‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫والجنو ِب َيصنعا ِن م ًعا زاوي ًة قائم ًة‪B .‬‬ ‫‪138‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫بما أ َّن زاوي َة انخفا ِض المنز ِل ‪ A‬ه َي ‪ ،37º‬فإ َّن الزاوي َة ‪ DAC‬ه َي ‪ ،37º‬وبما أ َّن زاوي َة انخفا ِض‬ ‫المنز ِل ‪ B‬ه َي ‪ ،25º‬فإ َّن الزاوي َة ‪ DBC‬ه َي ‪. 25º‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :2‬أستعم ُل المثل َث قائ َم الزاوي ِة ‪ ABC‬لإيجا ِد ‪ ،AB‬وهذا ُيح ِّت ُم معرف َة ‪َ ،AC‬و ‪.BC‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :3‬أرس ُم المثل َث ‪ . ADC‬ولإيجا ِد ‪ ،AC‬أستعم ُل ظ َّل الزاوي ِة ‪.37º‬‬ ‫= ‪tan 37º‬‬ ‫‪80‬‬ ‫تعري ُف ظ ِّل الزاوي ِ ة‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪80 m‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪C‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪tan 37º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AC = 106.2 m‬‬ ‫‪80 m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :4‬أرس ُم المثل َث ‪ .BCD‬ولإيجا ِد ‪ ،BC‬أستعم ُل ظ َّل الزاوي ِة ‪.25º‬‬ ‫= ‪tan 25º‬‬ ‫‪80‬‬ ‫تعري ُف ظ ِّل الزاوي ِ ة‬ ‫‪BC‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫‪80‬‬ ‫باستعما ِلالآل ِةالحاسب ِ ة‬ ‫‪B‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪tan 25º‬‬ ‫‪BC = 171.6 m‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :5‬أستعم ُل نظري َة فيثاغورس في المثل ِث ‪ ACB‬لإيجا ِد ‪.AB‬‬ ‫‪C 106.2 m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(AB)2 = (AC)2 + (BC)2‬‬ ‫نظري ُةفيثاغور س‬ ‫‪171.6 m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪= (106.2)2 + (171.6)2 = 40725‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪AB = √4  0725 = 201.8‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّي ‬ ‫إذ ْن‪ ،‬المساف ُة بي َن المنزل ْي ِن ه َي‪ُ ،201.8 m :‬مق َّرب ًة إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أبح َر ِت الســفينتا ِن ‪َ A‬و ‪ B‬مــ َن المينا ِء ‪ P‬في اتجاه ْي ِن ُمتعا ِمد ْي ِن‪ .‬وقــ ْد رص َد ْت طائر ٌة عمودي ٌة‬ ‫ُتح ِّل ُق فو َق المينا ِء هات ْي ِن الســفينت ْي ِن في اللحظ ِة نف ِســها‪ ،‬فكا َن ْت زاوي ُة انخفا ِض السفين ِة ‪ A‬ه َي‬ ‫‪ ،40º‬وزاوي ُة انخفا ِض السفين ِة ‪ B‬ه َي ‪ .54º‬إذا كا َن ارتفا ُع الطائر ِة ع ْن سط ِح البح ِر ‪ ،600 m‬فما‬ ‫المساف ُة بي َن السفينت ْي ِن لحظ َة رص ِد ِهما؟‬ ‫‪P‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪6m‬‬ ‫‪10 m‬‬ ‫‪  1‬ساري ُة ال َع َل ِم‪ُ :‬ن ِص َب ْت ساري ُة َع َل ٍم عمود ًّيا عن َد ُرك ِن ساح ٍة مستطيل ِة الشك ِل ‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪8m‬‬ ‫‪َ .ABCD‬أ ِج ُد زاوي َة ارتفا ِع ق َّم ِة الساري ِة ‪ P‬م َن النقط ِة ‪.C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪V‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر هر ًما قاعد ُت ُه ‪ ABCD‬مستطيل ُة الشك ِل‪ُ ،‬ب ْعداها‪،20 cm :‬‬ ‫‪24 cm‬‬ ‫َو ‪ .15 cm‬إذا كا َن طو ُل ك ٍّل م َن الأحر ِف الواصل ِة بي َن ق َّم ِة الهر ِم ورؤو ِس القاعد ِة‬ ‫‪ ،24 cm‬وكا َن ِت الق َّم ُة ‪ V‬تق ُع رأس ًّيا فو َق مرك ِز القاعد ِة المستطيل ِة‪ ،‬ف َأ ِج ُد‪C :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪15 cm‬‬ ‫‪  2‬طو َل ال ُق ْط ِر ‪.AC‬‬ ‫‪  3‬قيا َس الزاوي ِة ‪.VAC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪20 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  4‬ارتفا َع الهر ِم‪.‬‬ ‫‪  5‬منار ٌة‪ :‬شــاه َد ص ّيا ٌد م ْن قاربِ ِه قاعد َة َمنار ٍة على‬ ‫حافــ ٍة صخري ٍة بزاويــ ٍة ارتفا ُع قيا ِســها ‪50m .34º‬‬ ‫إذا كا َن ارتفا ُع قاعد ِة ال َمنار ِة ع ْن مستوى عينَ ِي‬ ‫الص ّيــا ِد ‪ ،150 m‬فك ْم يبع ُد الص ّيــا ُد ع ْن هذ ِه ‪150m‬‬ ‫القاعد ِة؟ ‪34º‬‬ ‫‪  6‬إذا كا َن ارتفا ُع ال َمنار ِة ‪ ،50 m‬فما زاوي ُة ارتفا ِع‬ ‫نظ ِر الص ّيا ِد نح َو ق َّم ِة ال َمنار ِة؟‬ ‫ُيم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر سق َف بناي ٍة‪ ،‬قاعد ُت ُه المســتطي ُل الأفق ُّي ‪ ABCD‬الذي ُب ْعداه‪َ ،7 m :‬و ‪ .4 m‬و ُتم ِّث ُل نهايتا السق ِف مثلث ْي ِ‪m‬ن‪41.95 k‬‬ ‫متطاب َق ِي الأضلا ِع‪ ،‬في حي ِن ُيم ِّث ُل ك ٌّل م ْن جان َب ِي الســق ِف شــب َه منحر ٍف ‪F‬‬ ‫متطاب َق الساق ْي ِن‪ .‬إذا كا َن طو ُل الحاف ِة العلوي ِة ‪ EF‬ه َو ‪ ،5 m‬ف َأ ِج ُد‪5 :‬‬ ‫‪  7‬طو َل ‪ ،EM‬حي ُث ‪ M‬نقط ُة منتص ِف ‪.AB‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪  8‬قيا َس الزاوي ِة ‪C .EBC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪  9‬قيا َس الزاوي ِة بي َن ‪ EM‬والقاعد ِة ‪.ABCD‬‬ ‫‪ ABCD‬مســتطي ٌل رأســ ٌّي‪َ ،‬و ‪ EDC‬مثل ٌث أفقــ ٌّي‪ .‬إذا كا َن قيا ُس الزاوي ِة ‪7‬‬ ‫‪ CDE‬هــ َو ‪َ ،90º‬و ‪َ ،AB = 10 cm‬و ‪َ ،BC = 4 cm‬و ‪B ،ED = 9 cm‬‬ ‫‪A 10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ف َأ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  10‬قيا َس الزاوي ِة ‪.AED‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪  11‬قيا َس الزاوي ِة ‪.DEC‬‬ ‫‪  12‬طو َل ‪.EC‬‬ ‫‪  13‬قيا َس الزاوي ِة ‪.BEC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪140‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ُ   14‬يم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر الهر َم ‪ XABCD‬الذي ل ُه قاعد ٌة مستطيل ُة الشك ِل‪.‬‬ ‫‪18 A‬‬ ‫َأ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة بي َن الحاف ِة ‪ XD‬و ُق ْط ِر القاعد ِة ‪.DB‬‬ ‫‪D 20‬‬ ‫‪َ   15‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪B .‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  16‬أكتشــ ُف الخط َأ‪ :‬يق ُف بلا ٌل على ُب ْع ِد ‪ 14 m‬شرق َّي شجر ٍة‪ ،‬زاوي ُة ارتفا ِع ق َّمتِها بالنسب ِة إل ْي ِه ‪ ،30º‬ويق ُف جما ٌل على ُب ْع ِد‬ ‫‪ 28 m‬غرب َّي الشــجر ِة‪ ،‬وه َو يرى أ َّن زاوي َة ارتفا ِع ق َّم ِة الشــجر ِة بالنسب ِة إل ْي ِه يج ُب أ ْن تكو َن ‪15º‬؛ لأ َّن ُه يبع ُد ع ِن الشجر ِة‬ ‫ِم ْث َل ِي المساف ِة التي يبع ُدها بلا ٌل‪ .‬ه ْل رأ ُي جما ٍل صحي ٌح؟ إذا ل ْم يك ْن رأ ُي ُه صحي ًحا‪ ،‬فما زاوي ُة الارتفا ِع؟‬ ‫‪ 30º‬ﺑﻼ ﹲل‬ ‫?‬ ‫ﲨﺎ ﹲل‬ ‫‪14 m‬‬ ‫‪28 m‬‬ ‫‪  17‬تح ٍّد‪ُ :‬ر ِص َد القاربا ِن ‪َ A‬و ‪ B‬في البح ِر م ْن ق َّم ِة َمنار ٍة على الشــاط ِىء‪ ،‬ارتفا ُعها ‪ ،44 m‬في اللحظ ِة نف ِســها‪ ،‬فكا َن ْت زاوي ُة‬ ‫انخفــا ِض القار ِب ‪ A‬ه َي ‪ ،53º‬وزاوي ُة انخفا ِض القار ِب ‪ B‬ه َي ‪ ،37º‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ AMB‬ه َو ‪ ،120º‬حي ُث ‪ M‬قاعد ُة‬ ‫ال َمنار ِة‪َ .‬أ ِج ُد المساف َة بي َن القارب ْي ِن‪.‬‬ ‫‪37º 53º‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪141‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫‪  4‬إحدى الصي ِغ الآتي ِة ُتســتع َم ُل لإيجا ِد مساح ِة المثل ِث‬ ‫َأض ُع دائر ًة حو َل رم ِز الإجاب ِة الصحيح ِة في ما يأتي‪:‬‬ ‫‪:ABC‬‬ ‫‪ُ   1‬يم ِك ُن َح ُّل المثل ِث إذا ُع ِل َم ْت جمي ُع زوايا ُه باستعما ِل‪:‬‬ ‫‪ (a‬قانو ِن الجيو ِب فق ْط‪ (b .‬قانو ِن جيو ِب التما ِم‬ ‫ )‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bc sin C‬‬ ‫   )‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فق ْط‪.‬‬ ‫   )‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin  A‬‬ ‫   )‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ab sin B‬‬ ‫‪  (d‬لا ُيم ِك ُن َح ُّل المثل ِث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫في هذ ِه الحال ِة‪.‬‬ ‫‪ (c‬قانو َن ِي الجيو ِب‬ ‫‪  5‬إِذا كا َن اتجــا ُه النقط ِة ‪ R‬م َن النقطــ ِة ‪ Z‬ه َو ‪ ،070º‬فإ َّن‬ ‫وجيو ِب التما ِم م ًعا‪.‬‬ ‫اتجا َه النقط ِة ‪ Z‬م َن النقط ِة ‪ R‬ه َو‪:‬‬ ‫‪ُ   2‬يم ِك ُن َح ُّل المثل ِث إذا ُع ِل َم ْت جمي ُع أضلا ِع ِه باستعما ِل‪:‬‬ ‫‪a)  070º‬‬ ‫‪b)  110º‬‬ ‫‪ (a‬قانو ِن الجيو ِب فق ْط‪  (b .‬قانو ِن جيو ِب التما ِم‬ ‫‪c)  250º‬‬ ‫‪d)  290º‬‬ ‫فق ْط‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في ك ٍّل م َن المثلثا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪ (d‬لا ُيم ِك ُن َح ُّل المثل ِث‬ ‫‪  (c‬قانو َن ِي الجيو ِب‬ ‫في هذ ِه الحال ِة‪.‬‬ ‫وجيو ِب التما ِم م ًعا‪.‬‬ ‫‪6  B‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪A 65º‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  3‬إذا كا َن اتجا ُه النقط ِة ‪ H‬م َن النقط ِة ‪ G‬في الشــك ِل الآتي‬ ‫ه َو ‪ ،045º‬واتجا ُه النقط ِة ‪ J‬م َن النقط ِة ‪ H‬ه َو ‪ ،164º‬فإ َّن‬ ‫‪7  B‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪20‬‬ ‫قيا َس الزاوي ِة ‪ GHJ‬ه َو‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪16‬‬ ‫‪H‬‬ ‫اﻟﺸﲈ ﹸل‬ ‫‪A‬‬ ‫‪8  B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a)  16º‬‬ ‫‪b)  045º‬‬ ‫‪84º‬‬ ‫‪c)  29º‬‬ ‫‪d)  61º‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪37º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪142‬‬

‫‪  16‬موان ُئ‪ :‬أبح َر ْت ســفين ٌة مــ َن المينا ِء ‪ P‬باتجــا ِه الغر ِب‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫مســاف َة ‪ ،16 km‬ثــ َّم تح َّو َلــ ْت إلى اتجــا ِه الجنو ِب‪،‬‬ ‫وقط َع ْت مســاف َة ‪ 9 km‬ح ّتى وص َل ِت المينــا َء ‪َ .S‬أ ِج ُد‬ ‫‪  9‬يبع ُد منز ُل نســري َن ع ِن المدرس ِة مساف َة ‪ ،400 m‬ويبع ُد‬ ‫منز ُل هب َة ع ِن المدرســ ِة نف ِسها مساف َة ‪ ،500 m‬كما في‬ ‫اتجا َه المينا ِء ‪ S‬م َن المينا ِء ‪.P‬‬ ‫‪  17‬رادا ٌر‪َ :‬رصــ َد رادا ٌر شــاحن ًة بعــ َد ثاني ٍة مــ ْن مرو ِرها‬ ‫الشك ِل الآتي‪َ .‬أ ِج ُد المساف َة بي َن منزل ْي ِهما‪.‬‬ ‫بمحاذاتِ ِه‪ ،‬فصن َع الخ ُّط الواص ُل بي َن الرادا ِر والشــاحن ِة‬ ‫وحافــ ِة الطري ِق زاويــ ًة مقدا ُرها ‪ 15º‬كما في الشــك ِل‬ ‫ﻣﻨﺰ ﹸل ﻫﺒ ﹶﺔ‬ ‫‪500‬‬ ‫الآتي‪َ .‬أ ِج ُد سرع َة الشاحن ِة بوحد ِة ‪.km/h‬‬ ‫‪ 40º‬ﻣﺪرﺳ ﹲﺔ‬ ‫‪1 15‬ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪9m‬‬ ‫ﻣﻨﺰ ﹸل ﻧﴪﻳ ﹶﻦ ‪400‬‬ ‫‪  18‬عواص ُف بحري ٌة‪ :‬أبح َر ْت ســفين ٌة م َن المينا ِء ‪ A‬بسرع ِة‬ ‫‪َ   10‬أ ِجــ ُد قيا َس الزاوي ِة بي َن الحافــ ِة ‪ XD‬وقاعد ِة الهر ِم في‬ ‫‪ُ 28 km/h‬متو ِّجهــ ًة إلى المينا ِء ‪ B‬على ُب ْع ِد ‪1100 km‬‬ ‫الشك ِل الآتي‪.‬‬ ‫شر َق المينا ِء ‪ .A‬ولتجنُّ ِب العواص ِف الشديد ِة التي ه َّب ْت‬ ‫عن َد انطلا ِق السفين ِة؛ فق ْد سل َك القبطا ُن مسا ًرا ينحر ُف‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 20º‬جنو ًبا ع ْن خ ِّط الملاح ِة المباشــ ِر بيــ َن الميناء ْي ِن‬ ‫ح ّتى هد َأ ِت العواص ُف بع َد إبحا ٍر اســتم َّر ‪ 10‬ساعا ٍت‪.‬‬ ‫‪18 A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ك ْم تبع ُد الســفين ُة ع ِن المينــا ِء ‪ B‬بع َد هــذ ِه الم َّد ِة م َن‬ ‫‪D 20‬‬ ‫الإبحا ِر؟ ما قيا ُس الزاوي ِة الذي سيجع ُل السفين َة تتو َّج ُه‬ ‫‪16‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مباشر ًة إلى المينا ِء ‪B‬؟‬ ‫‪  11‬إذا كا َن ْت مســاح ُة المثل ِث ‪ PQR‬ه َي ‪ ،68 cm2‬وكا َن‬ ‫‪143‬‬ ‫‪ ،PQ = 18 cm, RQ = 15 cm‬فمــا قيــا ُس الزاوي ِة‬ ‫الحا َّد ِة ‪PQR‬؟‬ ‫مستعينًا بالشك ِل الآتي‪َ ،‬أ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪A5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪D 32º‬‬ ‫‪48º C‬‬ ‫‪  13‬قيا َس الزاوي ِة ‪. DBC‬‬ ‫‪  12‬طو َل ‪.DB‬‬ ‫‪  15‬مساح َة الشك ِل الرباع ِّي‬ ‫‪  14‬طو َل ‪.CD‬‬ ‫‪.ABCD‬‬

‫‪  23‬ملاح ٌة بحريــ ٌة‪ :‬تبع ُد ســفين ٌة ع ْن قاعد ِة َمنار ٍة مســاف َة‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫‪ ،80 km‬وق ْد رص َد قبطا ُن السفين ِة ق َّم َة ال َمنار ِة‪ ،‬فكا َن ْت‬ ‫زاوي ُة ارتفا ِعها ‪ ،60º‬ث َّم ســا َر ِت السفين ُة بخ ٍّط مستقي ٍم‬ ‫بــر ُج بيزا‪ :‬طو ُل بر ِج بيزا المائ ِل نحــ َو ‪ ،55 m‬وزاوي ُة ارتفا ِع‬ ‫في اتجا ِه الشر ِق‪ ،‬فوج َد أ َّن زاوي َة ارتفا ِع ق َّم ِة ال َمنار ِة ه َي‬ ‫أعلى البر ِج م ْن نقط ٍة على ُب ْع ِد ‪ 37 m‬ه َي ‪ 60º‬كما في الشك ِل‬ ‫‪َ .45º‬أ ِج ُد المساف َة التي قط َع ْتها السفين ُة‪.‬‬ ‫المجاو ِر‪َ .‬أ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪55 m‬‬ ‫ركب شــخ ٌص طائر ًة عمودي ًة ترتف ُع ‪ 700 m‬ع ْن ســط ِح‬ ‫‪P‬‬ ‫‪37 m‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫البح ِر‪ ،‬فشاه َد السفينت ْي ِن ‪َ A‬و ‪ .B‬إذا كا َن ْت زاوي ُة انخفا ِض‬ ‫‪  19‬قيا َس الزاوي ِة ‪.RPQ‬‬ ‫السفين ِة ‪ A‬ه َي ‪ ،45º‬وزاوي ُة انخفا ِض السفين ِة ‪ B‬ه َي ‪،40º‬‬ ‫‪  20‬ارتفا َع ق َّم ِة البر ِج ‪ R‬ع ِن الأر ِض‪.‬‬ ‫ف ُأجي ُب ع ِن الأسئل ِة‪.26 ،25 ،24 :‬‬ ‫‪  21‬ملاح ٌة بحريــ ٌة‪ :‬انطل َق قار ٌب م َن النقطــ ِة ‪ A‬م َن المينا ِء‬ ‫نح َو سفين ٍة ُمتو ِّقف ٍة في ُع ْر ِض البح ِر باتجا ِه ‪ ،030º‬وتبع ُد‬ ‫‪  24‬اعتما ًدا على زوايا الانخفا ِض‪ ،‬أختا ُر العبار َة الصحيح َة‪:‬‬ ‫مســاف َة ‪ 2 km‬ع ْن نقط ِة الانطلا ِق ‪ ،A‬ث َّم تح َّر َك القار ُب‬ ‫إلى النقط ِة ‪ B‬التي تق ُع باتجا ِه ‪ 000º‬ع ْن نقط ِة الانطلا ِق‬ ‫‪  (a‬موق ُع السفين ِة ‪ A‬بالنسب ِة إلى الطائر ِة أبع ُد منْ ُه م َن‬ ‫‪ ،A‬وكا َن ِت المساف ُة بينَ ُهما ‪َ .3 km‬أ ِج ُد ُب ْع َد السفين ِة ع ِن‬ ‫السفين ِة ‪.B‬‬ ‫النقط ِة ‪.B‬‬ ‫‪  (b‬موق ُع السفين ِة ‪ B‬بالنسب ِة إلى الطائر ِة أبع ُد منْ ُه م َن‬ ‫السفين ِة ‪.A‬‬ ‫‪  22‬زراع ٌة‪ :‬لتقدي ِر مســاح ِة حق ٍل م َن القم ِح‪ ،‬رســ َم خال ٌد‬ ‫ُمض َّل ًعا خماســ ًّيا حو َل ُه‪ ،‬ثــ َّم ح َّد َد قياســاتِ ِه ال ُمب َّين َة في‬ ‫‪ُ   (c‬ب ْع ُد السفينت ْي ِن ع ِن الطائر ِة متسا ٍو‪.‬‬ ‫‪  (d‬لا ُيم ِك ُن معرف ُة أ ُّي السفينت ْي ِن أبع ُد م ْن زوايا الانخفا ِض‪.‬‬ ‫الشك ِل الآتي‪ .‬ما مساح ُة الحق ِل التقريبي ُة؟‬ ‫‪  25‬المساف ُة بي َن السفينت ْي ِن ‪َ A‬و ‪ُ B‬مق َّرب ًة إلى أقر ِب مت ٍر ه َي‪:‬‬ ‫ ‪a)  134‬‬ ‫‪b)  700‬‬ ‫ ‪c) 834‬‬ ‫‪d)  1534‬‬ ‫‪ُ   26‬أو ِّض ُح كي َف أج ْب ُت ع ِن السؤا ِل ‪.24‬‬ ‫‪100m‬‬ ‫‪70m 100º‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫‪50m‬‬ ‫‪125m‬‬ ‫‪50m‬‬ ‫‪144‬‬