العاشر

‫‪ NationalCenter‬الريا�ضيات‬ ‫‪for Curriculum Development‬‬ ‫الف�صل الدرا�سي ا ألول‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫‪10‬‬ ‫فريـق التأليـف‬ ‫د‪ .‬عمر محمد أبوغليون (رئي ًسا)‬ ‫يوسف سليمان جرادات إبراهيـم عقـله القادري هيثـم زهيــر مرشـود‬ ‫نڤين أحمـــد جوهـــر (منس ًقا)‬ ‫إضافة إلى جهود فريق التأليف‪ ،‬فقد جاء هذا الكتاب ثمرة جهود وطنية مشتركة من لجان مراجعة وتقييم علمية وتربوية ولغوية‪ ،‬ومجموعات‬ ‫ُمر َّكزة من المع ِّلمين والمشرفين التربويين‪ ،‬وملاحظات مجتمعية من وسائل التواصل الاجتماعي‪ ،‬وإسهامات أساسية دقيقة من اللجنة الاستشارية‬ ‫والمجلس التنفيذي والمجلس الأعلى في المركز‪ ،‬ومجلس التربية والتعليم ولجانه المتخ ِّصصة‪.‬‬ ‫الناشر‬ ‫المركز الوطني لتطوير المناهج‬ ‫يسر المركز الوطني لتطوير المناهج‪ ،‬ووزارة التربية والتعليم ‪ -‬إدارة المناهج والكتب المدرسية‪ ،‬استقبال آرائكم وملحوظاتكم على هذا الكتاب‬ ‫عن طريق العناوين الآتية‪ :‬هاتف‪ ،4617304/5-8 :‬فاكس‪ ،4637569 :‬ص‪ .‬ب‪ ،1930 :‬الرمز البريدي‪،11118 :‬‬ ‫أو بوساطة البريد الإلكتروني‪[email protected] :‬‬

‫ بنـا ًء على قـرار المجلس الأعلى‬،‫قـ َّررت وزارة التربيـة والتعليـم تدريـس هذا الكتـاب في مدارس المملكـة الأردنية الهاشـمية جميعها‬ )2020/56( ‫ وقرار مجلس التربيـة والتعليم رقـم‬،‫ م‬2020/6/11 ‫ تاريـخ‬،)2020/4( ‫للمركـز الوطنـي لتطويـر المناهج في جلسـته رقـم‬ .‫ م‬2021 / 2020 ‫م بـد ًءا مـن العام الـدراسي‬ 2020/6/24 ‫تاريـخ‬ © Harper Collins Publishers Limited 2020. - Prepared Originally in English for the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan - Translated to Arabic, adapted, customised and published by the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan ISBN: 978 - 9923 - 41 - 045 - 5 ‫المملكة الأردنية الهاشمية‬ ‫رقم الإيداع لدى دائرة المكتبة الوطنية‬ )2020/8/2970( 373,19 ‫ المركز الوطني لتطوير المناهج‬.‫الأردن‬ 2020 ،‫ المركز‬:‫ عمان‬-.‫ المركز الوطني لتطوير المناهج‬/)‫ كتاب الطالب (الصف العاشر‬:‫الرياضيات‬ .‫) ص‬144(1‫ج‬ 2020/8/2970 :.‫إ‬.‫ر‬ /‫المناهج‬//‫التعليم الاعدادي‬//‫الرياضيات‬/ :‫الواصفات‬ .‫يتحمل المؤلف كامل المسؤولية القانونية عن محتوى مصنفه ولا يع ّبر هذا المصنف عن رأي دائرة المكتبية الوطنية‬ All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, sorted in retrieval system, or transmitted in any form by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise , without the prior written permission of the publisher or a license permitting restricted copying in the United Kingdom issued by the Copyright Lecensing Agency Ltd, Barnard›s Inn, 86 Fetter Lane, London, EC4A 1EN. British Library Cataloguing -in- Publication Data A catalogue record for this publication is available from the Library. ‫ م‬2020 - ‫ هـ‬1441 ) ‫الطبعة الأولى (التجريبية‬

‫المقدمة‬ ‫ انطلا ًقا من إيمان المملكة الأردنية الهاشــمية الراســخ بأهمية تنمية قدرات الإنسان الأردني‪ ،‬وتسليحه بالعلم‬ ‫والمعرفة؛ سعى المركز الوطني لتطوير المناهج‪ ،‬بالتعاون مع وزارة التربية والتعليم‪ ،‬إلى تحديث المناهج الدراسية‬ ‫وتطويرها‪ ،‬لتكون معينًا للطلبة على الارتقاء بمستواهم المعرفي‪ ،‬ومجاراة أقرانهم في الدول المتق ِّدمة‪ .‬ول ّما كانت‬ ‫الرياضيات إحدى أه ِّم المواد الدراسية التي تن ّمي لدى الطلبة مهارات التفكير و َح ِّل المشكلات‪ ،‬فقد أولى المركز‬ ‫هــذا المبحث عناي ًة كبير ًة‪ ،‬وحرص على إعداد كتب الرياضيات وفق أفضل الطرائق ال ُم َّتبَعة عالم ًّيا على يد خبراء‬ ‫أردنيين؛ لضمان انسجامها مع القيم الوطنية الراسخة‪ ،‬وتلبيتها لاحتياجات أبنائنا الطلبة وال ُمع ِّلمين‪.‬‬ ‫ روعي في إعداد كتب الرياضيات تقديم المحتوى بصورة سلســة‪ ،‬ضمن ســياقات حياتية شائقة‪ ،‬تزيد رغبة‬ ‫الطلبة في التع ُّلم‪ ،‬و ُو ِّظفت فيها التكنولوجيا ل ُتســ ِه َم في جعل الطلبة أكثر تفاع ًل مع المفاهيم ال ُمق َّدمة لهم‪ .‬وقد‬ ‫احتوت الكتب على مشــروع لكل وحدة؛ لتعزيز تع ُّلم الطلبة للمفاهيــم والمهارات الواردة فيها وإثرائها‪ .‬ولأ َّن‬ ‫التد ُّرب المك َّثف على َح ِّل المســائل ُي َع ُّد إحدى أه ِّم طرائق ترسيخ المفاهيم الرياضية وزيادة الطلاقة الإجرائية‬ ‫لدى الطلبة؛ فقد ُأ ِع َّد كتاب التمارين على نح ٍو ُيق ِّدم للطلبة ورقة عمل في كل درس‪ُ ،‬ت َح ُّل بوصفها واج ًبا منزل ًّيا‪،‬‬ ‫أو داخل الغرفة الصفية إ ْن توافر الوقت الكافي‪ .‬ولأ َّننا ندرك جي ًدا حرص المع ِّلم الأردني على تقديم أفضل ما‬ ‫لديه للطلبة؛ فقد جاء كتاب التمارين أدا ًة مساعد ًة ُتو ِّفر عليه جهد إعداد أوراق العمل وطباعتها‪.‬‬ ‫ من المعلوم أ َّن الأرقام العربية ُتســتخ َدم في معظم مصادر تعليم الرياضيات العالمية‪ ،‬ولا س َّيما على شبكة‬ ‫الإنترنــت‪ ،‬التي أصبحت أدا ًة تعليمي ًة ُم ِه َّم ًة؛ لما تزخر به من صفحات ُتقــ ِّدم محت ًوى تعليم ًّيا تفاعل ًّيا ذا فائدة‬ ‫كبيرة‪ .‬وحر ًصا منّا على أ ّل يفوت أبناءنا الطلبة أ ُّي فرصة‪ ،‬فقد استعملنا في هذا الكتاب الأرقام العربية؛ ل َجسر‬ ‫ال ُه َّوة بين طلبتنا والمحتوى الرقمي العلمي‪ ،‬الذي ينمو بتســارع فــي عا َلم يخطو نحو التعليم الرقمي بوتيرة‬ ‫متسارعة‪.‬‬ ‫ ونحن إذ ُنق ِّدم الطبعة الأولى (التجريبية) من هذا الكتاب‪ ،‬نأمل أ ْن تنال إعجاب أبنائنا الطلبة ومع ِّلميهم‪،‬‬ ‫وتجعل تعليم الرياضيات وتع ُّلمها أكثر متع ًة وسهول ًة‪ ،‬ونعدهم بأ ْن نستم َّر في تحسين هذا الكتاب في ضوء‬ ‫ما يصلنا من ملاحظات‪.‬‬ ‫المركز الوطني لتطوير المناهج‬

‫قائم ُة المحتويا ِت‬ ‫الوحد ُة   ‪  1‬الأس ُس والمعادلا ُت ������������������������������������������������������������‪6‬‬ ‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬أنظم ُة المعادلا ِت في حياتِنا������������������������������������������������������‪7‬‬ ‫معم ُل برمجي ِة جيوجبرا‪َ :‬ح ُّل أنظم ِة المعادلا ِت بيان ًّيا ���������������������������������������������‪8‬‬ ‫الدر ُس ‪َ   1‬ح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادل ٍة خ ِّطي ٍة ومعادل ٍة تربيعي ٍة �����������������������������������‪10‬‬ ‫الدر ُس ‪َ   2‬ح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن ����������������������������������������������‪17‬‬ ‫الدر ُس ‪  3‬تبسي ُط المقادي ِر الأُ ِّس َّي ِة ��������������������������������������������������������������‪23‬‬ ‫الدر ُس ‪َ   4‬ح ُّل المعادل ِة الأُ ِّس َّي ِة ����������������������������������������������������������������‪29‬‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة ����������������������������������������������������������������������������‪35‬‬ ‫الوحد ُة   ‪  2‬الدائر ُة ������������������������������������������������������������������������‪36‬‬ ‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬استعمالا ٌت علمي ٌة لخصائ ِص الدائر ِة ������������������������������������������‪37‬‬ ‫الدر ُس ‪  1‬أوتا ُر الدائر ِة‪ ،‬وأقطا ُرها‪ ،‬ومما ّسا ُتها �������������������������������������������������‪38‬‬ ‫الدر ُس ‪  2‬الأقوا ُس والقطاعا ُت الدائري ُة �������������������������������������������������������‪45‬‬ ‫الدر ُس ‪  3‬الزوايا في الدائر ِة �������������������������������������������������������������������‪51‬‬ ‫الدر ُس ‪  4‬معادل ُة الدائر ِة ����������������������������������������������������������������������‪58‬‬ ‫معم ُل برمجي ِة جيوجبرا‪ :‬استكشا ُف الدوائ ِر المتما َّس ِة �������������������������������������������‪65‬‬ ‫الدر ُس ‪  5‬الدوائ ُر المتما َّس ُة �������������������������������������������������������������������‪67‬‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة ����������������������������������������������������������������������������‪73‬‬ ‫‪4‬‬

‫قائم ُة المحتويا ِت‬ ‫الوحد ُة   ‪  3‬حسا ُب المثلثا ِت ��������������������������������������������������������������‪76‬‬ ‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬إنشا ُء نظا ٍم إحداث ٍّي جدي ٍد ������������������������������������������������������‪77‬‬ ‫الدر ُس ‪  1‬النس ُب المثلثي ُة ���������������������������������������������������������������������‪78‬‬ ‫الدر ُس ‪  2‬النس ُب المثلثي ُة للزوايا ضم َن الدور ِة الواحد ِة ���������������������������������������‪86‬‬ ‫الدر ُس ‪  3‬تمثي ُل الاقترانا ِت المثلثي ِة �����������������������������������������������������������‪94‬‬ ‫الدر ُس ‪َ   4‬ح ُّل المعادلا ِت المثلثي ِة �����������������������������������������������������������‪100‬‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة ��������������������������������������������������������������������������‪108‬‬ ‫الوحد ُة   ‪  4‬تطبيقا ُت المثلثا ِت����������������������������������������������������������‪110‬‬ ‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬صن ُع كلينومت ٍر واستعما ُل ُه ����������������������������������������������������‪111‬‬ ‫الدر ُس ‪  1‬الاتجا ُه م َن الشما ِل ���������������������������������������������������������������‪112‬‬ ‫الدر ُس ‪  2‬قانو ُن الجيو ِب �������������������������������������������������������������������‪118‬‬ ‫الدر ُس ‪  3‬قانو ُن جيو ِب التما ِم ���������������������������������������������������������������‪125‬‬ ‫الدر ُس ‪  4‬استعما ُل جي ِب الزاوي ِة لإيجا ِد مساح ِة المثل ِث �������������������������������������‪131‬‬ ‫الدر ُس ‪َ   5‬ح ُّل مسائ َل ثلاثي ِة الأبعا ِد ���������������������������������������������������������‪136‬‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة ��������������������������������������������������������������������������‪142‬‬ ‫‪5‬‬

‫الأس ُس والمعادلا ُت‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Exponents and Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ما أهمي ُة هذ ِه‬ ‫الوحد ِة؟‬ ‫ُتســتخ َد ُم أنظمــ ُة المعادلا ِت فــي كثي ٍر م ْن‬ ‫مجالا ِت الحيــا ِة‪ .‬فخبــرا ُء الأرصــا ِد الجوي ِة‬ ‫‪ -‬مث ًل‪ُ -‬يع ِّبــرو َن ع ِن العلاق ِة بيــ َن درج ِة الحرار ِة‪،‬‬ ‫وسرع ِة الريا ِح‪ ،‬والضغ ِط الجو ِّي‪ ،‬ومعد ِل الهط ِل‪،‬‬ ‫باستخدا ِم نظا ِم معادلا ٍت غي ِر خ ِّط ٍّي؛ ذل َك أ َّن أ َّي‬ ‫تغ ُّي ٍر في أحــ ِد هذ ِه العوام ِل يؤ ّدي إلى تغ ُّي ٍر في‬ ‫العوام ِل الأُخرى‪.‬‬ ‫س َأتع َّل ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا‪:‬‬ ‫✔ َح َّل معادلا ٍت تربيعي ٍة باستعما ِل التحلي ِل‪.‬‬ ‫◂ َح َّل نظا ٍم ُمكــ َّو ٍن م ْن معادل ٍة خ ِّطيــ ٍة‪ ،‬و ُأخرى‬ ‫✔ َح َّل معادلا ٍت تربيعي ٍة باستعما ِل القانو ِن العا ِّم‪.‬‬ ‫تربيعي ٍة‪.‬‬ ‫✔ َحــ َّل أنظم ِة معادلا ٍت تتض َّمــ ُن معادلت ْي ِن خ ِّطيت ْي ِن‬ ‫◂ َح َّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن‪.‬‬ ‫ب ُمتغ ِّير ْي ِن‪.‬‬ ‫✔ قواع َد الأس ِس الصحيح ِة‪.‬‬ ‫◂ الأس َس النسبي َة‪ ،‬وخصائ َصها‪.‬‬ ‫◂ َح َّل أنظم ِة معادلا ٍت ُأ ِّس َّي ٍة‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫مشرو ُع‬ ‫أنظم ُة المعادلا ِت في حياتِنا‬ ‫الوحد ِة‬ ‫  فكر ُة المشرو ِع  البح ُث ع ْن أنظم ِة معادلا ٍت في نماذ َج حياتي ٍة‪.‬‬ ‫  الموا ُّد والأدوا ُت  شبك ُة الإنترن ْت‪ ،‬برمجي ُة جيوجبرا‪.‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪:‬‬ ‫‪  1‬أبح ُث م َع أفرا ِد مجموعتي في شــبك ِة الإنترن ْت ع ْن صو ٍر لنماذ َج حياتي ٍة تظه ُر فيها منحنيا ٌت ومستقيما ٌت متقاطع ٌة (مث ُل‪:‬‬ ‫الجسو ِر‪ ،‬ونوافي ِر الميا ِه‪ ،‬وخرائ ِط الطر ِق)‪ ،‬أ ْو ألتق ُط صو ًرا لذل َك‪ ،‬ث َّم أحف ُظها في مل ٍّف على جها ِز الحاسو ِب‪.‬‬ ‫‪  2‬أستعم ُل برمجي َة جيوجبرا لإيجا ِد معادل ِة ك ٍّل م َن المنحنيا ِت المتقاطع ِة التي تظه ُر في الصو ِر باتبا ِع الخطوا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫م ْن شري ِط الأدوا ِت‪ ،‬ث َّم أختا ُر الصور َة التي حفظ ُتها‪12 .‬‬ ‫ أنق ُر على أيقون ِة‬ ‫‪11‬‬ ‫  ُأع ِّد ُل موق َع الصور ِة‪ ،‬وأختا ُر مقا ًسا مناس ًبا لها بتحري ِك النقطت ْي ِن ‪َ A‬و ‪ B‬اللت ْي ِن تظهرا ِن عل ْي ‪90‬ه‪1‬ا‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫  َأ ِج ُد معادلــ َة أح ِد المنحنيــا ِت التي تظه ُر في الصــور ِة‪ ،‬وذل َك‬ ‫‪6‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪HI‬‬ ‫‪5‬‬ ‫م ْن شــري ِط‬ ‫بتحدي ِد بع ِض النقا ِط عل ْي ِه باســتعما ِل أيقون ِة‬ ‫‪4‬‬ ‫الأدوا ِت‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D K1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13‬‬ ‫‪–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0‬‬ ‫‪C l–1‬‬ ‫ أكت ُب الصيغ َة )‪FitPoly ({C, D, E, F, G, H, I, J, K, L},n‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–5‬‬ ‫ليظه َر منحنًى فو َق الصور ِة‪،‬‬ ‫في شــري ِط الإدخا ِل‪ ،‬ث َّم أنق ُر‬ ‫‪–6‬‬ ‫‪–7‬‬ ‫ومعادل ٌة في شري ِط الإدخا ِل‪.‬‬ ‫‪–8‬‬ ‫‪–9‬‬ ‫ أســتعم ُل ال ُمؤ ِّشــ َر فو َق المعادل ِة لضب ِط المنحنى الظاه ِر‪،‬‬ ‫بحي ُث ينطب ُق تما ًما على المنحنى الذي في الصور ِة‪.‬‬ ‫  ُأك ِّر ُر الخطوا ِت السابق َة لتحدي ِد معادلا ِت المنحنيا ِت الأُخرى التي تظه ُر في الصور ِة‪.‬‬ ‫‪  3‬أكتــ ُب مع أفرا ِد مجموعتي نظا َم معادلا ٍت ُيم ِّث ُل منحني ْي ِن متقاطع ْي ِن فــي ك ِّل صور ٍة‪ ،‬ث َّم نختا ُر إحدى هذ ِه الأنظم ِة لن ُح َّلها‬ ‫جبر ًّيا‪ ،‬ث َّم نتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل بإظها ِر نقا ِط تقاط ِع المنحني ْي ِن في برمجي ِة جيوجبرا‪.‬‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫ُأ ِع ُّد م َع أفرا ِد مجموعتي عر ًضا تقديم ًّيا ُنب ِّي ُن في ِه ما يأتي‪:‬‬ ‫ خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع ُمو َّضح ًة بالصو ِر (نستعم ُل خاصي َة طباع ِة الشاش ِة)‪.‬‬ ‫ بع ُض الصعوبا ِت التي واج ْهناها في أثنا ِء العم ِل بالمشرو ِع‪ ،‬ومعلوم ٌة جديد ٌة تع َّر ْفناها في أثنا ِء العم ِل بالمشرو ِع‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫َح ُّل أنظم ِة المعادلا ِت بيان ّيًا‬ ‫معم ُل‬ ‫‪Solving Systems of Equations Graphically‬‬ ‫برمجي ِة‬ ‫جيوجبرا‬ ‫ُيم ِكنُني استعما ُل برمجي ِة جيوجبرا )‪ (GeoGebra‬لتمثي ِل أنظم ِة المعادلا ِت‪ ،‬و َح ِّلها بيان ًّيا‪.‬‬ ‫أستعم ُل الراب َط ‪ www.geogebra.org/download‬لتثبي ِت نسخ ِة ‪ GeoGebra Classic 6‬م ْن هذ ِه البرمجي ِة على جها ِز‬ ‫الحاســو ِب‪ُ .‬يم ِكنُني أي ًضا استعما ُل النسخ ِة المتوافر ِة في شــبك ِة الإنترن ْت م ْن دو ِن حاج ٍة إلى تثبيتِها في جها ِز الحاسو ِب ع ْن‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫طري ِق الراب ِط الإلكترون ِّي‪www.geogebra.org/classic :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫نشا ٌط   َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت التربيعي ِة الآت َي بيان ًّيا باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪eq1 3‬‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫‪x2 – y = 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :1‬أم ِّث ُل بيان ًّيا المعادل َة التربيعي َة‪. x2 + y2 = 13 :‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ُأد ِخ ُل المعادل َة في حاسب ِة جيوجبرا‪ ،‬بالنق ِر على المفاتي ِح الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :2‬أم ِّث ُل بيان ًّيا المعادل َة التربيعي َة‪. x2 – y = 7 :‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ُأد ِخ ُل المعادل َة في حاسب ِة جيوجبرا‪ ،‬بالنق ِر على المفاتي ِح الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-96‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪eq1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-8 -6 -4 -2 0‬‬ ‫‪2 4 6 8 10‬‬ ‫ُألا ِحــ ُظ أ َّن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن يتقاطعا ِن في أرب ِع نقــا ٍط؛ ما يعني وجو َد أربع ِة حلو ٍل ‪-2‬‬ ‫لنظا ِم المعادلا ِت‪-4 .‬‬ ‫‪e-6q2‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪8-10‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫ م ْن شــري ِط الأدوا ِت‪ ،‬ث َّم أنق ُر‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أحــ ِّد ُد إحداثيا ِت نقا ِط التقاط ِع بي َن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن‪ .‬أختا ُر  ‬ ‫على منحن َي ِي المعادلت ْي ِن‪ ،‬فتظه ُر إحداثيا ُت نقا ِط التقاط ِع‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪A 22‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪–5 –4 –3 –2 –1 00‬‬ ‫‪11 22 33 44 55‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪––11‬‬ ‫‪––22‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D ––33‬‬ ‫‪––44‬‬ ‫‪––55‬‬ ‫‪––66‬‬ ‫‪––77‬‬ ‫إحداثيا ُت نقا ِط التقاط ِع ه َي‪(-3, 2), (3, 2), (2, -3), (-2, -3) :‬؛ ما يعني أن حلو َل نظا َم المعادلا ِت ه َي‪:‬‬ ‫ال َح ُّل الثاني‪x = 3, y = 2  :‬‬ ‫ال َح ُّل الأو ُل‪ x = – 3, y = 2  :‬‬ ‫ال َح ُّل الراب ُع‪x = –2, y = –3  :‬‬ ‫ال َح ُّل الثال ُث‪ x = 2 , y = –3  :‬‬ ‫أتدرب‬ ‫َأ ُح ُّل ك َّل نظا ِم معادلا ٍت م ّما يأتي بيان ًّيا باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪:‬‬ ‫‪1  y= x – 4‬‬ ‫‪2  y = x2‬‬ ‫‪3  x + y = 16‬‬ ‫‪2x2 + 3y2 = 12‬‬ ‫‪x2 + 2y2 = 34‬‬ ‫‪x2 – y2 = 20‬‬ ‫‪4  3x + 4y = 1‬‬ ‫‪5  y = 6x‬‬ ‫‪6  x = 7 + y‬‬ ‫‪y = x2 + 5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪y = 3x2 – 2‬‬ ‫‪9‬‬

‫َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادل ٍة خطِّي ٍة ومعادل ٍة تربيعي ٍة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Solving a System of Linear and Quadratic Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس   َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادل ٍة خ ِّطي ٍة ومعادل ٍة تربيعي ٍة‪.‬‬ ‫  ُتم ِّث ُل المعادل ُة ‪ y = x - 3‬طري ًقا مستقي ًما داخ َل إحدى المد ِن‪،‬‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫في حي ِن ُتم ِّث ُل المعادل ُة ‪ y = x2 - 3x -10‬طري ًقا آخ َر منحن ًيا‬ ‫داخ َل المدين ِة نف ِسها‪ .‬ه ْل يتقاط ُع هذا ِن الطريقا ِن أ ْم لا؟‬ ‫ُيم ِكنُني َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادل ٍة خ ِّطي ٍة و ُأخرى تربيعي ٍة باســتعما ِل طريق ِة التعوي ِض‪ ،‬وذل َك‬ ‫بكتابــ ِة أح ِد ال ُمتغ ِّير ْي ِن في المعادلــ ِة الخ ِّطي ِة بدلال ِة الآخ ِر‪ ،‬ث َّم تعوي ِض ِه فــي المعادل ِة التربيعي ِة‬ ‫و َح ِّلها‪.‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 + y2 = 5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 5 2‬‬ ‫ُيم ِكنُني اســتعما ُل برمجي ِة جيوجبرا )‪ ،(GeoGebra‬أ ْو حاســب ٍة بياني ٍة‪ ،‬لتمثيــ ِل المعادلت ْي ِن بيان ًّيا‬ ‫على المستوى الإحداث ِّي نف ِس ِه كما في التمثي ِل البيان ِّي المجاو ِر‪ُ .‬ألا ِح ُظ أ َّن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن‬ ‫‪1‬‬ ‫يتقاطعــا ِن في نقطت ْي ِن؛ ما يعنــي أ َّن للنظا ِم َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا باســتعما ِل‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫طريق ِة التعوي ِض‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُ ة‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫بكتاب ِة ‪ y‬بدلال ِة ‪ x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y‬في المعادل ِة التربيعي ِ ة‬ ‫‪x2 + (x – 1) 2 = 5‬‬ ‫‪x2 + x2 – 2x + 1 = 5‬‬ ‫بف ِّك القوس ْي ِن ‬ ‫‪2x2 – 2x – 4 = 0‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪x2 – x – 2 = 0‬‬ ‫بالقسم ِة على ‪ 2‬‬ ‫لِ َح ِّل المعادل ِة باستعما ِل القانو ِن العا ِّم‪ُ ،‬أح ِّد ُد قي َم المعاملا ِت‪:a = 1, b = –1, c = –2  :‬‬ ‫‪10‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√b2 – 4ac‬‬ ‫القانو ُن العا ُّم ‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪2a‬‬ ‫توج ُد طرائــ ُق ِعــ َّد ٌة لِ َح ِّل‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫معادلــ ٍة تربيعيــ ٍة‪ ،‬منْهــا‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪–(–1‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√(–1)2‬‬ ‫–‬ ‫)‪4(1)(– 2‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫التحليــ ُل إلــى العوامــ ِل‪،‬‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫الحال ُة الأولى‪ :‬عندما ‪: x = –1‬‬ ‫والقانو ُن العا ُّم‪.‬‬ ‫‪x = –1 , x = 2‬‬ ‫ ‬ ‫بتعوي ِض ‪ x = – 1‬في المعادل ِة الخ ِّطي ِة ‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫يج ُب تعوي ُض ال َح ِّل في كلتا‬ ‫‪y = –1 –1 = −2‬‬ ‫معادل َت ِي النظا ِم؛ لكيلا يكو َن‬ ‫ال َح ُّل غيــ َر صحي ٍح‪ ،‬بحي ُث‬ ‫ال َح ُّل الأو ُل‪. )x, y( = )− 1, − 2( :‬‬ ‫ُيح ِّق ُق إحدى المعادلت ْي ِن م ْن‬ ‫لِلتح ُّق ِق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل الأو ِّل‪ُ ،‬أع ِّو ُض الزو َج ال ُمر َّت َب )‪ (−1, −2‬في ك ٍّل م َن المعادل ِة الخ ِّطي ِة‬ ‫دو ِن الأُخرى‪.‬‬ ‫والتربيعي ِة‪:‬‬ ‫✓  ‪x − y = − 1 − (− 2) = 1‬‬ ‫بالتعوي ِض في المعادل ِة الخ ِّطي ِ ة‬ ‫بالتعوي ِض في المعادل ِة التربيعي ِ ة ✓  ‪x2 + y2 = (− 1) 2 + (− 2) 2 = 1 + 4 = 5‬‬ ‫‪y=2–1=1‬‬ ‫الحال ُة الثاني ُة‪ :‬عندما ‪: x = 2‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ x = 2‬في المعادل ِة الخ ِّطي ِ ة‬ ‫ال َح ُّل الثاني‪. (x, y) = (2, 1) :‬‬ ‫لِلتح ُّقــ ِق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل الثانــي‪ُ ،‬أع ِّو ُض الزو َج ال ُمر َّت َب (‪ )2,1‬فــي ك ٍّل م َن المعادل ِة الخ ِّطي ِة‬ ‫والتربيعي ِة‪:‬‬ ‫✓  ‪x − y = 2 − 1 = 1‬‬ ‫بالتعوي ِض في المعادل ِة الخ ِّطي ِ ة‬ ‫✓  ‪x2 + y2 = (2) 2 + (1) 2 = 4 + 1 = 5‬‬ ‫بالتعوي ِض في المعادل ِة التربيعي ِة ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪2x + y = 12‬‬ ‫‪y = x2 + 5x − 6‬‬ ‫يوجــ ُد َح ّل ِن لنظا ِم المعادلا ِت في المثا ِل الســاب ِق‪ .‬ولك ْن‪ ،‬ه ْل يوج ُد نظــا ُم معادلا ٍت ل ُه َح ٌّل‬ ‫واح ٌد؟ لمعرف ِة الإجاب ِة‪َ ،‬أدر ُس المثا َل الآت َي‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫‪y = 3 − 2x − x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫عن َد تمثي ِل معادل َت ِي النظا ِم على المســتوى الإحداث ِّي نف ِس ِه‪ُ ،‬يلا َح ُظ وجو ُد نقط ِة تقاط ٍع واحد ٍة‬ ‫كمــا في التمثي ِل البيان ِّي المجاو ِر؛ ما يعني أ َّن للنظا ِم َح ًّل واحــ ًدا فق ْط‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا‬ ‫‪3‬‬ ‫باستعما ِل طريق ِة التعوي ِض‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 3 – 2x – x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫بالقسم ِة على ‪ 2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪4 = 3 − 2x − x2‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y‬في المعادل ِة التربيعي ِ ة‬ ‫‪x2 + 2x + 1 = 0‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫َأ ُح ُّل المعادل َة باستعما ِل طريق ِة التحلي ِل إلى العوام ِل‪ .‬ه ْل توج ُد طريق ٌة ُأخرى؟‬ ‫‪(x + 1)(x + 1) = 0‬‬ ‫بالتحلي ِل ‬ ‫‪x+1=0‬‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫خاصي ُة الضر ِب الصفر ِّ ي‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫‪y = 3 − 2x − x2‬‬ ‫‪y = 3 − 2(−1) − (−1) 2‬‬ ‫ُأع ِّو ُض قيم َة ‪ x‬لإيجا ِد قيم ِة ‪: y‬‬ ‫المعادل ُة التربيعي ُ ة‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪x‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 =?  3 − 2(−1) − (−1) 2‬‬ ‫إذ ْن‪َ ،‬ح ُّل النظا ِم ه َو الزو ُج ال ُمر َّت ُب (‪. )− 1, 4‬‬ ‫لِلتح ُّق ِق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫ ‬ ‫✓ ‪4=4‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪y = x2 − 2‬‬ ‫‪y+2=0‬‬ ‫‪12‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫لاح ْظ ُت في المثال ْي ِن السابق ْي ِن وجو َد َح ٍّل أ ْو َح َّل ْي ِن لنظا ِم المعادلا ِت‪ .‬ولك ْن‪ ،‬ه ْل توج ُد أنظم ُة‬ ‫معادلا ٍت لي َس لها َح ٌّل؟ لمعرف ِة الإجاب ِة‪َ ،‬أدر ُس المثا َل الآت َي‪.‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫َيتب َّي ُن م َن التمثي ِل البيان ِّي المجاو ِر أ َّن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن لا يتقاطعا ِن في أ ِّي نقط ٍة؛ ما يعني عد َم‬ ‫‪4‬‬ ‫وجو ِد َح ٍّل لنظا ِم المعادلا ِت‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا باستعما ِل طريق ِة التعوي ِض‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9 3‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُة ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫بكتاب ِة ‪ x‬بدلال ِة ‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=5−y‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x‬في المعادل ِة التربيعي ِ ة‬ ‫‪12345 x‬‬ ‫‪(5−y) 2 + y2 = 9‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪25 − 10y + y2 + y2 = 9‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2y2 − 10y + 16 = 0‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫لِ َحــ ِّل المعادلــ ِة التربيعيــ ِة الناتجــ ِة باســتعما ِل القانــو ِن العا ِّم‪ُ ،‬أحــ ِّد ُد قيــ َم المعاملا ِت‪:‬‬ ‫‪: a = 2, b = –10, c = 16‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√b2‬‬ ‫–‬ ‫‪4ac‬‬ ‫القانو ُن العا ُّم ‬ ‫‪2a‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫)‪–(–10) ± √(–10)2 – 4(2)(16‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫)‪2(2‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪± √–28‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪2‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫ُألا ِح ُظ أ َّن ُه عن َد تعوي ِض قي ِم ‪َ ،a‬و ‪َ ،b‬و ‪ c‬في القانو ِن العا ِّم‪ ،‬ينت ُج جذ ٌر تربيع ٌّي لعد ٍد سال ٍب‪.‬‬ ‫لا يوج ُد عد ٌد حقيق ٌّي مر َّب ُع ُه‬ ‫إذ ْن‪ ،‬لا يوج ُد َح ٌّل لهذا النظا ِم‪.‬‬ ‫عد ٌد سال ٌب‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪x−y=0‬‬ ‫‪y = x2 + 3x + 2‬‬ ‫‪13‬‬

‫نتيج ٌة‬ ‫لأ ِّي نظــا ٍم يتك َّو ُن م ْن معادلــ ٍة خ ِّطي ٍة و ُأخرى تربيعي ٍة‪ ،‬تكو ُن واحد ٌة مــ َن العبارا ِت الآتي ِة‬ ‫صحيح ًة‪:‬‬ ‫‪  1‬وجو ُد َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪  2   .‬وجو ُد َح ٍّل واح ٍد فق ْط‪  3   .‬عد ُم وجو ِد َح ٍّل‪.‬‬ ‫توج ُد تطبيقا ٌت حياتي ٌة كثير ٌة لِ َح ِّل الأنظم ِة التي تتك َّو ُن م ْن معادل ٍة خ ِّطي ٍة و ُأخرى تربيعي ٍة‪.‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫َســ ّجاد ٌة مصنوعــ ٌة يدو ًّيــا‪ ،‬مجمــو ُع ُب ْع َد ْيهــا ‪ ،7 m‬وطــو ُل ُق ْط ِرهــا ‪َ .5 m‬أ ِجــ ُد ُك ًّل مــ ْن‬ ‫طولِها‪ ،‬وعر ِضها‪.‬‬ ‫لإيجا ِد ُب ْع َد ِي ال َّس ّجاد ِة‪َ ،‬أكت ُب نظا َم معادلا ٍت ُيم ِّث ُل المسأل َة‪ ،‬ث َّم َأ ُح ُّل ُه‪.‬‬ ‫َأفتر ُض أ َّن طو َل ال َّســ ّجاد ِة ه َو ‪ ، x‬وأ َّن عر َضهــا ه َو ‪ ، y‬وبما أ َّن مجمو َع ُب ْع َد ِي ال َّســ ّجاد ِة ه َو‬ ‫‪ ،7 m‬فإ َّن‪ ، x + y = 7 :‬وبما أ َّن ُق ْط َر ال َّســ ّجاد ِة ه َو ‪ ،5 m‬فإ َّن (باستعما ِل نظري ِة فيثاغورس)‪:‬‬ ‫‪ ، x2+ y2= 25‬إذ ْن‪ ،‬أصب َح لد ْينا نظا ٌم يتك َّو ُن م ْن معادل ٍة خ ِّطي ٍة و ُأخرى تربيعي ٍة‪.‬‬ ‫‪y+x=7‬‬ ‫‪x2 + y2 = 25‬‬ ‫ق ْد تســتغر ُق صناع ُة ال َّس ّجاد ِة‬ ‫والآ َن‪ ،‬س َأ ُح ُّل النظا َم باستعما ِل طريق ِة التعوي ِض‪:‬‬ ‫اليدوي ِة الصغير ِة ‪ 4‬أشــه ٍر م َن‬ ‫‪x+y=7‬‬ ‫المعادل ُة الخ ِّطي ُ ة‬ ‫العم ِل ال ُمتوا ِص ِل‪.‬‬ ‫‪y=7−x‬‬ ‫بكتاب ِة ‪ y‬بدلال ِة ‪ x‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪x2 + (7 − x) 2 = 25‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y‬في المعادل ِة التربيعي ِة ‬ ‫َأ َتح َّق ُق مــ ْن ِص َّح ِة التحلي ِل‬ ‫‪2x2 − 14x + 24 = 0‬‬ ‫باستعما ِل خاصي ِة التوزي ِع‪.‬‬ ‫‪x2 − 7x + 12 = 0‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫بالقسم ِة على ‪2‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادل َة التربيعي َة بالتحلي ِل إلى العوام ِل‪:‬‬ ‫‪(x − 4)(x − 3) = 0‬‬ ‫بالتحلي ِ ل‬ ‫‪  x − 3 = 0‬او  ‪x − 4 = 0‬‬ ‫خاصي ُة الضر ِب الصفر ِّ ي‬ ‫‪  x = 3‬او  ‪x = 4‬‬ ‫ب َح ِّل ك ِّل معادل ٍ ة‬ ‫‪14‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫‪y=7−3‬‬ ‫ُأع ِّو ُض قي َم ‪ x‬في المعادل ِة الخ ِّطي ِة لإيجا ِد قي ِم ‪:y‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x = 3‬في المعادل ِة الخ ِّطي ِة ‬ ‫‪y=4‬‬ ‫قيم ُة ‪ y‬الأول ى‬ ‫‪y=7−4‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x = 4‬في المعادل ِة الخ ِّطي ِة ‬ ‫‪y=3‬‬ ‫قيم ُة ‪ y‬الثاني ُة ‬ ‫إذن‪َ ،‬ح ُّل النظا ِم ه َو‪َ )4, 3( :‬و (‪.)3, 4‬‬ ‫بما أ َّن طو َل ال َّس ّجاد ِة أكب ُر م ْن عر ِضها‪ ،‬فإ َّن الطو َل ه َو ‪ ،4 m‬والعر َض ه َو ‪3 m‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫مزرع ٌة مستطيل ُة الشك ِل‪ ،‬طو ُل ُق ْط ِرها ‪ ،50 m‬ومحي ُطها ‪َ .140 m‬أ ِج ُد ُب ْع َد ِي المزرع ِة‪.‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ُح ُّل ك ًّل م ْن أنظم ِة المعادلا ِت الآتي ِة‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪1  y = x2 + 6x − 3‬‬ ‫‪2  y = x2 + 4x – 2‬‬ ‫‪3  y = x2 + 4‬‬ ‫‪y = 2x – 3‬‬ ‫‪y + 6 = 0‬‬ ‫‪x − y = –1‬‬ ‫‪4  y =x2 + 5x − 1‬‬ ‫‪5  y = x2 + 4x + 7‬‬ ‫‪6  y = x2 − 2x + 4‬‬ ‫‪2x + 3y = 1‬‬ ‫‪y–3=0‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪7  x2 +y2 = 8‬‬ ‫‪8  y = x2 + 2x + 1‬‬ ‫‪9  x2 + y2 = 4‬‬ ‫‪2x + 3y = 7‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x+y=5‬‬ ‫‪10  x2 +y2 = 10‬‬ ‫‪11  x2 + (y – 1)2 = 17‬‬ ‫‪12  (x – 1)2 = 4‬‬ ‫‪x–y=2‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪y=5–x‬‬ ‫‪  13‬برك ٌة‪ :‬برك ُة ما ٍء قاعد ُتها مستطيل ُة الشك ِل‪ ،‬ومحي ُطها ‪ ،16 m‬والفر ُق بي َن مر َّب َع ْي ُب ْع َد ْيها ‪َ .16 m2‬أ ِج ُد ُب ْع َد ْيها‪.‬‬ ‫‪  14‬أعدا ٌد‪َ :‬أ ِج ُد العدد ْي ِن الموجب ْي ِن اللذ ْي ِن مجمو ُع ُهما ‪ ،12‬والفر ُق بي َن مر َّب َع ْي ِهما ‪24‬‬ ‫‪  15‬هندس ٌة‪ :‬دائرتا ِن مجمو ُع محي َط ْي ِهما ‪ ،12π cm‬ومجمو ُع مساح َت ْي ِهما ‪َ .20π cm2‬أ ِج ُد ُق ْط َر ك ٍّل منْ ُهما‪.‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪  16‬أعما ٌر‪ :‬قا َل ْت شــيما ُء‪ُ « :‬ع ْمري أكب ُر بأرب ِع ســنوا ٍت م ْن ُع ْم ِر أخي ر ّيا َن‪ ،‬ومجمو ُع ُمر َّب َعــ ْي ُع ْم َر ْينا ه َو ‪ .»346‬ما ُع ْم ُر‬ ‫شيما َء؟‬ ‫‪  17‬لوحــ ٌة‪ :‬لوح ٌة مســتطيل ُة الشــك ِل‪ ،‬طو ُلها يســاوي ِم ْث َل ْي‬ ‫عر ِضها‪ ،‬وطو ُل ُق ْط ِرها ‪ُ ، √1  .25 m‬أحي َط بها إطا ٌر‪ ،‬تكلف ُة‬ ‫المت ِر المرب ِع الواح ِد منْ ُه بالدينا ِر ‪َ . 2.25‬أ ِج ُد تكلف َة الإطا ِر‪.‬‬ ‫‪  18‬زراع ٌة‪ :‬ق َّس َم فيص ٌل ‪ 41m2‬م ْن مزرعتِ ِه إلى منطقت ْي ِن مر َّبع َت ِي الشك ِل‪ ،‬ث َّم زر َع ُهما بمحصو َل ِي الطماط ِم والبطاطا‪ .‬إذا زا َد‬ ‫ُب ْع ُد المنطق ِة المزروع ِة بالطماط ِم مت ًرا واح ًدا على ُب ْع ِد المنطق ِة المزروع ِة بالبطاطا‪ ،‬فما مساح ُة المنطق ِة المزروع ِة بك ِّل‬ ‫محصو ٍل؟‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  19‬تبري ٌر‪ُ :‬ص ِّم َم ْت نافور ٌة بصور ٍة يخر ُج منْها الما ُء بحس ِب العلاق ِة‪ ،y + x2 = 10 :‬إذا ُو ِض َع ْت وحد ُة إنار ٍة على المستقي ِم‬ ‫الذي معادل ُت ُه‪ ،y = 12 + x :‬فه ْل يص ُل ما ُء النافور ِة إلى وحد ِة الإنار ِة؟‬ ‫‪  20‬تح ٍّد‪ :‬إذا عل ْم ُت أ َّن المعادل َة الخ ِّطي َة‪ y = 3x + p :‬تقط ُع المنحنى‪ y = 2x2 + 3x −5 :‬في نقط ٍة واحد ٍة فق ْط‪ ،‬فما قيم ُة ‪p‬؟‬ ‫‪  21‬تح ٍّد‪ :‬أج ُد مجموع َة ح ِّل المتباين ِة‪ ،5x – 6 < 3x2 – 7x + 2 :‬بح ِّل نظا ِم المعادلا ِت الآتي‪:‬‬ ‫‪y = 3x2 – 7x + 2‬‬ ‫‪y = 5x – 6‬‬ ‫مسأل ٌة مفتوح ٌة‪َ :‬أكت ُب ثلا َث معادلا ٍت خ ِّطي ٍة ُتك ِّو ُن ك ٌّل م ْنها م َع المعادل ِة التربيعي ِة‪ y = x2 :‬نظا ًما ُيح ِّق ُق إحدى الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  22‬يوج ُد َح ّل ِن للنظا ِم‪.‬‬ ‫‪  23‬يوج ُد َح ٌّل واح ٌد للنظا ِم‪.‬‬ ‫‪  24‬لا يوج ُد َح ٌّل للنظا ِم‪.‬‬ ‫‪16‬‬

‫َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادلتيْ ِن تربيعيت ْي ِن‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Solving a System of Two Quadratic Equations‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس   َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن ب ُمتغ ِّير ْي ِن‪.‬‬ ‫ استعم َل خبي ُر تســوي ٍق المعادلت ْي ِن التربيعيت ْي ِن الآتيت ْي ِن لتمثي ِل مقدا ِر‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫ك ٍّل م َن العر ِض والطل ِب لســلع ٍة تجاري ٍة؛ ُب ْغ َي َة تحدي ِد نقا ِط التواز ِن‬ ‫التي يتســاوى عن َدها العر ُض م َع الطل ِب في الســو ِق‪ ،‬حي ُث ُيم ِّث ُل‬ ‫‪ x‬ســع َر الوحد ِة‪ ،‬و ُيم ِّث ُل ‪ y‬عــد َد الوحدا ِت المبيع ِة‪ .‬هــ ْل ُيم ِكنُني‬ ‫مساعد ُة الخبي ِر على تحدي ِد نقا ِط التواز ِن؟‬ ‫‪y = x2 + 6x‬‬ ‫‪y = –x2 + 24x‬‬ ‫لِ َحــ ِّل نظا ٍم يتك َّو ُن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن‪ُ ،‬تســاوى أو ًّل المعادلتــا ِن بع ُض ُهما ببع ٍض لتكوي ِن‬ ‫معادل ٍة تربيعي ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y = x2 + 4x – 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫عن َد تمثي ِل معادل َت ِي النظا ِم على المســتوى الإحداث ِّي نف ِس ِه‪ُ ،‬يلا َح ُظ أ َّن منحني ْي ِهما يتقاطعا ِن في‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪y = x2+ 4x – 3-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫نقطت ْي ِن كما في الشك ِل المجاو ِر؛ ما يعني أ َّن للنظا ِم َح َّل ْي ِن مختلف ْي ِن‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫بداي ًة‪ ،‬يج ُب مساوا ُة معادل َت ِي النظا ِم المعطى‪ ،‬ث َّم َح ُّل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة‪:‬‬ ‫‪-7 y = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪x2 + 4x – 3 = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫بمساوا ِة المعادلت ْي ِ ن‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪2x2 + 2x = 0‬‬ ‫بجم ِع الحدو ِد المتشابه ِة‪ ،‬والتبسي ِ ط‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫ُيم ِكنُنــي َحــ ُّل المعادلــ ِة‬ ‫َأ ُح ُّل المعادل َة التربيعي َة الناتج َة باستعما ِل التحلي ِل‪:‬‬ ‫التربيعي ِة الناتج ِة باستعما ِل‬ ‫‪2x (x + 1) = 0‬‬ ‫بتحلي ِل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة ‬ ‫القانو ِن العا ِّم أي ًضا‪.‬‬ ‫‪َ x = 0‬و ‪x = –1‬‬ ‫َح ّل المعادل ِ ة‬ ‫لإيجا ِد قيم ِة ‪ُ ، y‬أع ِّو ُض قيم َت ْي ‪ x‬في أ ٍّي م ْن معادل َت ِي النظا ِم‪:‬‬ ‫‪17‬‬

‫الحال ُة الأولى‪ :‬إذا كا َن ْت ‪:x = 0‬‬ ‫‪y = – (0) 2 + 2(0) – 3‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ x = 0‬في إحدى المعادلت ْي ِن ‬ ‫‪y = –3‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫إذ ْن‪ ،‬ال َح ُّل الأو ُل للمعادل ِة ه َو‪.(x, y) = (0, –3) :‬‬ ‫الحال ُة الثاني ُة‪ :‬إذا كا َن ْت ‪:x = –1‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ x = –1‬في إحدى المعادلت ْي ِن ‪y = –(–1) 2 + 2(–1) –3‬‬ ‫‪y = –6‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫لِلتح ُّق ِق م ْن ِص َّحــ ِة ال َح ِّل‪،‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬ال َح ُّل الثاني للمعادل ِة ه َو‪. (x, y) = (-1, –6) :‬‬ ‫ُأعــ ِّو ُض قيم َتــ ْي ‪َ x‬و ‪y‬‬ ‫في ك ٍّل م ْن معادل َت ِي النظا ِم‪.‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬ح ُّل النظا ِم ه َو‪.(–1 , –6) , (0 , –3) :‬‬ ‫ُتجرى سباقا ُت المراح ِل على‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫مــدا ِر أيا ٍم‪ ،‬وهــ َي تقا ُم على‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫مســارا ٍت متنوع ٍة م ْن حي ُث‬ ‫التضاريــ ُس‪ ،‬مثــ ِل‪ :‬الطر ِق‬ ‫‪y = -x2 –2x + 3‬‬ ‫ال ُمنب ِسط ِة‪ ،‬والطر ِق الجبلي ِة‪.‬‬ ‫‪y = x2 + 2x –3‬‬ ‫قــ ْد يتقاط ُع منحنيا معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن في نقط ٍة واحد ٍة فقــ ْط‪ ،‬وعندئ ٍذ يكو ُن لنظا ِم المعادلا ِت‬ ‫الذي ُتك ِّو ُن ُه هاتا ِن المعادلتا ِن َح ٌّل وا ِح ٌد‪.‬‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫سباقا ٌت‪ :‬في أح ِد ســباقا ِت المراح ِل‪ ،‬سل َك ُمتسابِ ٌق مســا ًرا ُتم ِّث ُل ُه المعادل ُة التربيعي ُة‪y = x2 :‬‬ ‫في حي ِن ســل َك ُمتسابِ ٌق آخ ُر مســا ًرا ُتم ِّث ُل ُه المعادل ُة‪َ .y = x2 + 3x –2 :‬أ ِج ُد نقط َة التقاط ِع بي َن‬ ‫مسا َر ِي ال ُمتسابِق ْي ِن‪.‬‬ ‫‪y = x2 + 3x – 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫عن َد تمثي ِل المعادلت ْي ِن بيان ًّيا كما في الشــك ِل‬ ‫المجــاو ِر‪ُ ،‬يلا َح ُظ وجو ُد نقط ِة تقاط ٍع واحد ٍة‬ ‫‪5 y = x2‬‬ ‫بي َن منحني ْي ِهما؛ ما يعني أ َّن لنظا ِم المعادلا ِت‬ ‫‪4‬‬ ‫َح ًّل واح ًدا‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بداي ًة‪ ،‬يج ُب مساوا ُة معادل َت ِي النظا ِم المعطى‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ث َّم َح ُّل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة‪:‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪18‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫‪x2 + 3x – 2 = x2‬‬ ‫بمساوا ِة المعادلت ْي ِن ‬ ‫‪x2 + 3x – 2 - x2 = 0‬‬ ‫بطر ِح ‪ x2‬م ْن كلا الطرف ْي ِن ‬ ‫‪3x – 2 = 0‬‬ ‫بجم ِع الحدو ِد المتشابه ِة‪ ،‬والتبسي ِط ‬ ‫‪x =   23‬‬ ‫ ‬ ‫بع َد ذل َك َأج ُد قيم َة ‪ ،y‬وذل َك بتعوي ِض قيم ِة ‪ x =   32‬في أ ٍّي م ْن معادل َت ِي النظا ِم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪( ) ( )y‬‬‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x =   32‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪ 4‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫نظــا ِم المعــادلا ِت‬ ‫هــ َي‪:‬‬ ‫تقاطــ ِع المنحني ْيــ ِن‬ ‫‪ ،x‬ونقطــ ُة‬ ‫=‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪ 9‬‬ ‫هــ َو‪:‬‬ ‫َحــ ُّل‬ ‫إذ ْن‪،‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫)‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫رياضــ ُة التز ُّل ِج هــ َي إحدى‬ ‫ُتم ِّثــ ُل المعادلــ ُة‪ y = x2 + 2x :‬مســا َر ُمتز ِّلــ ٍج علــى الجلي ِد‪ ،‬في حيــ ِن ُتم ِّثــ ُل المعادل ُة‪:‬‬ ‫أســر ِع ال ِّرياضا ِت غي ِر الآلي ِة؛‬ ‫‪ y = x2 – x + 5‬مسا َر ُمتز ِّل ٍج آخ َر‪َ .‬أبح ُث ع ْن جمي ِع النقا ِط التي ق ْد يصطد ُم عن َدها ال ُمتز ِّلجا ِن‬ ‫فق ْد تص ُل سرع ُة ال ُمتز ِّل ِج إلى‬ ‫إذا ل ْم يكونا حذر ْي ِن‪.‬‬ ‫‪200 km/h‬‬ ‫عر ْضنا في المثال ْي ِن السابق ْي ِن أنظم َة معادلا ٍت تربيعي ٍة لها َح ّل ِن َأ ْو َح ٌّل واح ٌد‪ .‬ولك ْن‪ ،‬ه ْل يوج ُد‬ ‫دائ ًما َح ٌّل للنظا ِم ال ُمك َّو ِن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن؟ َأدر ُس المثا َل الآت َي‪.‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪y = x2 + x + 2‬‬ ‫‪y = – x2 – x + 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫عن َد تمثيــ ِل المعادلت ْي ِن بيان ًّيا كما في الشــك ِل المجاو ِر‪ُ ،‬يلا َح ُظ عد ُم وجــو ِد نقا ِط تقاط ٍع بي َن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫منحني ْي ِهما؛ ما يعني عد َم وجو ِد َح ٍّل لنظا ِم المعادلا ِت‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بداي ًة‪ ،‬يج ُب مساوا ُة معادل َت ِي النظا ِم المعطى‪ ،‬ث َّم َح ُّل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة لإيجا ِد قيم ِة‪:x ‬‬ ‫‪2 y = x2 + x +2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 y = –x2 – x + 1‬‬ ‫‪x2 + x + 2 = –x2 – x + 1‬‬ ‫بمساوا ِة المعادلت ْي ِن ‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2x2 + 2x + 1 = 0‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪19‬‬

‫بع َد ذل َك َأ ِج ُد قيم َة ال ُمم َّي ِز ‪ ∆ = b2 – 4ac‬لتحدي ِد إذا كا َن للمعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة َح ٌّل أ ْم لا‪.‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫قي ُم المعاملا ِت هي‪ .a = 2, b = 2, c = 1 :‬وبالتعوي ِض في ال ُمم َّي ِز ينت ُج‪:‬‬ ‫يعتم ُد عد ُد جذو ِر المعادل ِة‬ ‫وأنوا ُعها علــى قيم ِة ال ُمم ِّي ِز‬ ‫‪∆ = (2)2 – 4(2)(1) = – 4‬‬ ‫قيم ُة ال ُمم َّي ِز سالب ٌة‪ .‬إذ ْن‪ ،‬لا يوج ُد َح ٌّل للمعادل ِة‪ .‬ومن ُه لا يوج ُد َح ٌّل لهذا النظا ِم‪.‬‬ ‫الذي ُير َم ُز إلي ِه بالرم ِز (∆)‪،‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫حي ُث‪:‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪∆ = b2 – 4ac‬‬ ‫‪y = x2 + 4‬‬ ‫‪y = – x2 + 2‬‬ ‫عر ْضنا في الأمثل ِة الســابق ِة أنظم ًة لها َح ّل ِن‪ ،‬أ ْو َح ٌّل واح ٌد‪ ،‬أ ْو لي َس لها َح ٌّل‪ .‬ولك ْن‪ ،‬ه ْل يوج ُد‬ ‫نظا ٌم ُمك َّو ٌن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن‪ ،‬ل ُه ثلاث ُة حلو ٍل‪ ،‬أ ْو أربع ٌة؟ َأدر ُس المثا َل الآت َي‪.‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت التربيعي ِة الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫‪x2 – y = 7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫عنــ َد تمثيــ ِل المعادلت ْي ِن بيان ًّيا كما في الشــك ِل المجــاو ِر‪ُ ،‬يلا َح ُظ وجو ُد ‪ 4‬نقــا ِط تقاط ٍع بي َن‬ ‫‪4 x2 + y2 = 13‬‬ ‫منحني ْي ِهما؛ ما يعني وجو َد أربع ِة حلو ٍل لنظا ِم المعادلت ْي ِن‪ .‬أ َتح َّق ُق م ْن ذل َك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫يظه ُر ال ُمتغ ِّي ُر ‪ x‬في كلتا المعادلت ْي ِن بالق َّو ِة نف ِســها؛ لذا ُيم ِكنُني استعما ُل الحذ ِف للتخ ُّل ِص م ْن‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪x‬‬ ‫هذا ال ُمتغ ِّي ِر‪ ،‬ث َّم َح ُّل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة التي تحوي ُمتغ ِّي ًرا واح ًدا ه َو ‪:y‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪(–) x2 – y = 7‬‬ ‫‪-5 x2 – y = 7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪y2 + y = 6‬‬ ‫بالطر ِح ‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪y2 + y – 6 = 0‬‬ ‫بطر ِح ‪ 6‬م ْن كلا الطرف ْي ِن ‬ ‫ُيم ِكنُني َح ُّل المعادل ِة التربيعي ِة الناتج ِة باستعما ِل القانو ِن العا ِّم‪ ،‬أ ِو التحلي ِل‪:‬‬ ‫‪(y + 3) (y – 2) = 0‬‬ ‫بالتحلي ِل ‬ ‫‪x2 = –3 + 7‬‬ ‫إذ ْن‪y = –3 , y = 2 :‬‬ ‫ُأع ِّو ُض قيم َت ْي ‪ y‬في إحدى معادل َت ِي النظا ِم لإيجا ِد قي ِم ‪:x‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y = –3‬‬ ‫‪20‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫‪x = ± 2‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫‪x2 = 2 + 7 = 9‬‬ ‫إذ ْن‪x = 2 , x = –2 ،‬‬ ‫‪x = ± 3‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y = 2‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫إذ ْن‪ ،‬توج ُد أربع ُة حلو ٍل للنظا ِم‪ ،‬ه َي‪َ ، )–2 , –3( :‬و(‪َ ،)2 , –3‬و (‪َ ، )3 , 2‬و(‪.)–3 , 2‬‬ ‫َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة هذ ِه الحلو ِل بتعوي ِضها في ك ٍّل م ْن معادل َت ِي النظا ِم‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت التربيعي ِة الآت َي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = 16‬‬ ‫‪3y – x2 = –12‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ُح ُّل ك ًّل م ْن أنظم ِة المعادلا ِت التربيعي ِة الآتي ِة‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة ال َح ِّل‪:‬‬ ‫‪1  y = 2x2 + x – 5‬‬ ‫‪2  y = x2 – 4x + 1‬‬ ‫‪3  y = x2 + 1‬‬ ‫‪y = –x2 – 2x – 5‬‬ ‫‪y = –2x2 – 4‬‬ ‫‪y = 2x2 – 3‬‬ ‫‪4  y = x2 + x + 1‬‬ ‫‪5  y = –x2 + 5x‬‬ ‫‪6  y = x2‬‬ ‫‪y = –x2 + x – 2‬‬ ‫‪y = x2 – 5x‬‬ ‫‪y = x2 + x + 6‬‬ ‫‪7  y = -x2 + 6x + 8‬‬ ‫‪8  x2 + y2 = 16‬‬ ‫‪9  5x2 – 2y2 = 18‬‬ ‫‪y = -x2 – 6x + 8‬‬ ‫‪y = x 2 – 5‬‬ ‫‪3x2 + 5y2 = 17‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪َ   10‬أ ِج ُد نقا َط التقاط ِع بي َن الدائرت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪x2 + (y – 2)2 = 4‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪  11‬عددا ِن‪ ،‬مجمو ُع مر َّب َع ْي ِهما ‪ ،89‬والفر ُق بي َن مر َّب َع ْي ِهما ‪ ،39‬ما هذا ِن العددا ِن؟‬

‫‪  12‬فيزيا ُء‪ُ :‬ق ِذ َف ْت كرتا ِن رأســ ًّيا في الوق ِت نف ِســ ِه م ْن موقع ْي ِن مختلف ْي ِن‪ .‬إذا كا َن ِت المعادل ُة‪ُ y = –2t2 + 12t + 10 :‬تم ِّث ُل‬ ‫ارتفا َع الكر ِة الأولى بالأمتا ِر بع َد مرو ِر ‪ t‬ثاني ٍة‪ ،‬وكا َن ِت المعادل ُة‪ُ y = –2t2 + 4t + 42 :‬تم ِّث ُل ارتفا َع الكر ِة الثاني ِة‪ ،‬ف َأ ِج ُد‬ ‫الزم َّن الذي يتساوى عن َد ُه ارتفا ُع ك ٍّل م َن الكرت ْي ِن‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد ارتفا َع ك ِّل كر ٍة في تل َك اللحظ ِة‪.‬‬ ‫‪  13‬ثقاف ٌة مالي ٌة‪ :‬بالعود ِة إلى مقدم ِة الدر ِس‪َ ،‬أســتعم ُل نظا َم المعادلا ِت المعطى لإيجا ِد نقا ِط التواز ِن التي يتســاوى عن َدها‬ ‫العر ُض والطل ُب‪.‬‬ ‫‪  14‬أرا ٍض‪ :‬قطع ُة أر ٍض على شك ِل مثل ٍث ُمتطابِ ِق الضلع ْي ِن‪ ،‬طو ُل ضل ِع ِه ال ُمتطابِ ِق ‪ ،50 m‬ومساح ُت ُه ‪َ .1200 m2‬أ ِج ُد طو َل‬ ‫قاعدتِ ِه‪ ،‬وارتفا َع ُه‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  15‬تبري ٌر‪ :‬قا َل ْت زين ُب إ َّن ُه لا يوج ُد َح ٌّل لنظا ِم المعادلا ِت الآتي‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = 4‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫ه ْل قو ُل زين َب صحي ٌح؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  16‬مسأل ٌة مفتوح ٌة‪َ :‬أكت ُب نظا ًما ُمك َّو ًنا م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن لي َس ل ُه َح ٌّل‪.‬‬ ‫‪  17‬تح ٍّد‪َ :‬أ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪x2 – 3xy + 2y2 = 0‬‬ ‫‪x2 + xy = 6‬‬ ‫‪  18‬مسأل ٌة مفتوح ٌة‪َ :‬أكت ُب نظا ًما م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن؛ على أ ْن تكو َن النقط ُة (‪ )5, 3‬أح َد حلولِ ِه‪.‬‬ ‫‪  19‬تح ٍّد‪ :‬قطع ٌة م ْن ور ٍق ُم َق ًوى مســتطيل ُة الشــك ِل‪ ،‬مســاح ُتها ‪ُ ،216 cm2‬ثن َي طولاها‪،‬‬ ‫و ُل ِصقا م ًعا‪ ،‬فتش َّك َل أنبو ٌب أسطوان ٌّي حج ُم ُه ‪َ .224 cm3‬أ ِج ُد ُب ْع َد ْي قطع ِة الور ِق‪.‬‬ ‫  ‬ ‫‪22‬‬

‫تبسي ُط المقادي ِر الأُ ِّس َّي ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Simplifying Exponential Expressions‬‬ ‫‪3‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  معرف ُة الأس ِس النسبي ِة وتبسي ُطها‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الأُ ُّس النسب ُّي‪.‬‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم  حديق ٌة مربع ُة الشك ِل‪ ،‬طو ُل نص ِف ضل ِعها ُمع ًطى بالح ِّد الجبر ِّي‬ ‫المر َّبع ِة؟‬ ‫بالوحدا ِت‬ ‫مساح ُتها‬ ‫ما‬ ‫‪،2x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪z4‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫مراجع ُة المفاهي ِم‬ ‫لأ ِّي عــد ٍد حقيقــ ٍّي ‪ ،a‬إذا كا َن ‪َ n‬و ‪ m‬عدد ْيــ ِن صحيح ْيــ ِن موجب ْيــ ِن )‪ ،(n > 1‬فــإ َّن‪:‬‬ ‫عد ًدا‬ ‫يكو ُن‬ ‫الجذ َر‬ ‫فإ َّن‬ ‫زوج ًّيا‪،‬‬ ‫عد ًدا‬ ‫‪n‬‬ ‫َو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫كا َن ْت‬ ‫إذا‬ ‫إ ّل‬ ‫‪،‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪√n am‬‬ ‫=‬ ‫‪(√n a)m‬‬ ‫‪a n‬‬ ‫غي َر حقيق ٍّي‪.‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪1   27  3‬‬ ‫‪( ) 1‬‬ ‫‪√3 2  7 1‬‬ ‫ ‬ ‫بكتاب ِة المقدا َر في صور ِة الجذ ِر الثال ِ ث‬ ‫= ‪27  3‬‬ ‫بتحلي ِل العد ِد ‪ 27‬إلى عوام ِل ِه الأولي ِة ‬ ‫‪= √3 3  ×3×3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫ ‬ ‫‪2   4  2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪√4  3‬‬ ‫بكتاب ِة المقدا ِر في صور ِة الجذ ِر التربيعي مرفو ًعا لل ُأ ِّس ‪3‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫=‬ ‫لأ ِّي عــد ٍد حقيقــ ٍّي ‪ ،a‬إذا كا َن‬ ‫‪4  2‬‬ ‫‪= √ 2  ×2 3‬‬ ‫بتحلي ِل العد ِد ‪ 4‬إلى عوام ِل ِه الأولي ِة ‬ ‫‪= (2)3‬‬ ‫ ‬ ‫‪ n‬عد ًدا صحي ًحــا موج ًبا‪ ،‬فإ َّن‪:‬‬ ‫)‪= (2 × 2 × 2‬‬ ‫تعري ُف الأس ِس ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪an‬‬ ‫=‬ ‫‪a×a×a×a×….×a‬‬ ‫‪ n‬مرة‬ ‫ ‪=8‬‬ ‫و ُيس ّمى ‪ a‬الأسا َس‪َ ،‬و‪ n‬الأُ َّس‪.‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫–‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 4‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُة ‬ ‫)‪(81‬‬ ‫بتحلي ِل العد ِد ‪ 81‬إلى عوام ِل ِه الأولي ِة ‬ ‫–‬ ‫‪ 5‬‬ ‫=‬ ‫‪∜8  1-5‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 4‬‬ ‫تعري ُف الأُ ِّس السال ِب ‬ ‫)‪(81‬‬ ‫تعري ُف الأس ِس ‬ ‫‪= ∜3  × 3 × 3 × 3-5‬‬ ‫ ‬ ‫‪= (3)–5‬‬ ‫ ‬ ‫الصور ُة الجذري ُ ة‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بتحلي ِل العد ِد ‪ –8‬إلى عوام ِل ِه الأولي ِة ‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪(3)5‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪(3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫)‪3‬‬ ‫ ‬ ‫لأ ِّي عــد ٍد حقيق ٍّي ‪،a ≠ 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ف‪a‬إ َّنم‪:‬رف‪n‬و‪ً a 1‬عا ل=ل‪n‬ق–َّ و ِة‪a‬‬ ‫‪ .‬وإذا كا َن‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫السالب ِة في‬ ‫‪243‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫=‬ ‫‪an‬‬ ‫فإ َّن‪:‬‬ ‫المقا ِم‪،‬‬ ‫‪ a –n‬‬ ‫‪4   (– 8)  3‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫=‬ ‫‪∛–  87‬‬ ‫‪(–8)  3‬‬ ‫‪= ∛–  2 × –2 × –27‬‬ ‫‪= (–2)7‬‬ ‫‪= –128‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪a)  32 5‬‬ ‫‪b)  9  2‬‬ ‫‪c)  (16)–  54‬‬ ‫مراجع ُة المفاهي ِم‬ ‫خصائ ُص ضر ِب القوى وقسمتِها‬ ‫لأ ِّي عدد ْي ِن حقيقي ْي ِن ‪َ a‬و ‪ b‬وعدد ْي ِن صحيح ْي ِن ‪َ m‬و ‪ ،n‬فإ َّن‪:‬‬ ‫‪1   an × am= an+m‬‬ ‫ضر ُب القو ى‬ ‫ق َّو ُة القوى ‬ ‫‪2   )an)m = an×m‬‬ ‫ق َّو ُة نات ِج الضر ِ ب‬ ‫‪3   )ab)n = an × bn‬‬ ‫قسم ُة القو ى‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪an‬‬ ‫=‬ ‫‪an–m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫ق َّو ُة نات ِج القسم ِ ة‬ ‫‪am‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪,a,b≠0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪24‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫تنطبــ ُق خصائــ ُص ضر ِب القوى وقســمتِها التي در ْســ ُتها ســاب ًقا للأســ ِس الصحيح ِة على‬ ‫الأس ِس النسبي ِة )‪ (rational exponents‬أي ًضا‪.‬‬ ‫–‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫  مثال ‪2‬‬ ‫‪  y y1‬‬‫‪ 2‬‬‫×‬ ‫‪ 2‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫–‪y y = y‬‬‫‪ 5‬‬‫×‬ ‫‪ 3‬‬ ‫–‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ضر ُب القو ى‬ ‫بجم ِع الأس ِ س‬ ‫‪= y–1‬‬ ‫تعري ُف الأُ ِّس السال ِ ب‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪ 4  1‬‬ ‫ ‬ ‫‪2   x 3  2‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُة ‬ ‫‪x = x 4  1‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫×‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ق َّو ُة نات ِج الضر ِ ب‬ ‫‪  3   2‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُ ة‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪= x 3‬‬ ‫‪= ∛x  2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3   a × b2 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪ 3‬‬ ‫=‬ ‫‪ 3‬‬ ‫×‬ ‫× ‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪b2  2‬‬ ‫‪a  2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪= √a3 × b3‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪z  8‬‬ ‫‪4    1‬‬ ‫‪z  8‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪z z= 8‬‬ ‫‪ 8‬‬ ‫‪ 8‬‬ ‫–‬ ‫قسم ُة القو ى‬ ‫‪ 1‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪z  8‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪ 6‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُ ة‬ ‫‪= z 8‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫َأتع َّل ُم‬ ‫‪= z 4‬‬ ‫تنقس ُم الجذو ُر بحس ِب دلي ِل‬ ‫الجــذ ِر إلى نوع ْيــ ِن‪ ،‬هما‪:‬‬ ‫‪= ∜z  3‬‬ ‫الجذو ُر الفردي ُة‪ ،‬والجذو ُر‬ ‫الزوجي ُة‪.‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪x4  4‬‬ ‫  ‪ 5‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫ ‬ ‫ق َّو ُة نات ِج القسم ِ ة‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 4  4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫ق َّو ُة القو ى‬ ‫= ‪yx xy 2‬‬ ‫× ‪4‬‬ ‫‪2 ×  43‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪y  2‬‬ ‫‪ x 3‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُ ة‬ ‫ ‬ ‫  ‪= √y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‬ ‫‪√5 x4‬‬ ‫‪√3 x2‬‬ ‫‪√5 x4‬‬ ‫=‬ ‫‪ 4‬‬ ‫تعري ُف الأُ ِّس النسب ِّ ي‬ ‫‪√3 x2‬‬ ‫‪x  5‬‬ ‫‪x   2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪= x 4‬‬ ‫–‬ ‫‪ 2‬‬ ‫قسم ُة القوى ‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُ ة‬ ‫‪= x 15‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪=  √1 5 x  2‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪  5‬‬‫–‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪c)  y × z 4‬‬ ‫‪a  3‬‬ ‫–‬ ‫ )‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b)  x 2‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫– ‪ x‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪√5 x 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪√7 x 3‬‬ ‫‪x  2‬‬ ‫‪e)  y2‬‬ ‫ )‪f‬‬ ‫ )‪d‬‬ ‫‪ 8‬‬ ‫‪x  5‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌّي‬ ‫تكو ُن العبار ُة الأُ ِّس َّي ُة في أبس ِط صور ٍة إذا‪:‬‬ ‫‪  1‬ظه َر الأسا ُس َم َّر ًة واحد ًة‪ ،‬وكا َن ِت الأس ُس جمي ُعها موجب ًة‪.‬‬ ‫‪  2‬ل ْم تتض َّم ِن العبار ُة ق َّو َة القوى‪.‬‬ ‫‪  3‬كا َن ِت الكسو ُر والجذو ُر جمي ُعها في أبس ِط صور ٍة‪.‬‬ ‫‪26‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫  مثال ‪3‬‬ ‫َأكت ُب ك ًّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪ ،‬عل ًما بأ َّن أ ًّيا م َن ال ُمتغ ِّيرا ِت لا يساوي صف ًرا‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪(6x‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫)‪) (y – 57‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫قسم ُة القوى ‬ ‫‪ –8  –2‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫) ‪(2x  3 ) (y  5‬‬ ‫الأُ ُّس السال ُب ‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫–‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪× 4‬‬ ‫‪ –8‬‬ ‫‪ –7‬‬ ‫‪ –2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪     x y6x‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫–‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x – 38 y – 52‬‬ ‫‪= 3x 4 y –1‬‬ ‫=‬ ‫‪3x4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 3  2‬‬ ‫‪(( ) () ( )) 2‬‬ ‫‪3xy  2 6y  5‬‬ ‫ ‬ ‫‪ –3‬‬ ‫‪x  y 5  4‬‬ ‫‪ 2  10‬‬ ‫‪9x  2‬‬ ‫‪ 3  2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y  3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪( ) ( )3xy  2 6y 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫ضر ُب القوى ‬ ‫‪ –3‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪x –3‬‬ ‫×‬ ‫ ‪y 1 40‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ) ( )9x  2‬‬ ‫‪x  y 5  4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 2  10‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 19‬‬ ‫‪y 10‬‬ ‫×‪=2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫ ‪y 1 40‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪= 2x y1–1‬‬ ‫ ‪ 19‬‬ ‫–‬ ‫‪ 4‬‬ ‫بقسم ِة القو ى‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫=‬ ‫‪2x0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫تعري ُف الأُ ِّس الصفر ِّ ي‬ ‫َأفه ُم‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪= 2√y  3‬‬ ‫الصور ُة الجذري ُة ‬ ‫إذا كا َن ْت ‪ n = m‬فإ َّن‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪3   √3 6  4x12y3‬‬ ‫ ‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪am‬‬ ‫=‬ ‫‪a n–n‬‬ ‫=‬ ‫‪aº‬‬ ‫صور ُة الأُ ِّس النسب ِّ ي‬ ‫‪ 1‬‬ ‫إذ ْن‪.aº =1 ،‬‬ ‫ق َّو ُة نات ِج الضر ِب ‬ ‫‪√3 6  4x12y3 = (64x12y3) 3‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪ 1  12  3‬‬ ‫‪= (64) 3 (x)  3 (y) 3‬‬ ‫‪= 4x4y‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأكت ُب ك ًّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪ ،‬عل ًما بأ َّن أ ًّيا م َن ال ُمتغ ِّيرا ِت لا يساوي صف ًرا‪:‬‬ ‫–‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪125y‬‬ ‫–‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪10xy 3 ‬‬ ‫‪9x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪c)  ∜1  6x18y22‬‬ ‫ )‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫–‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3x y 7‬‬ ‫‪–  53‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪27‬‬

‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫–‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1   512 9‬‬ ‫‪2   125 3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪4  (–243) 5‬‬ ‫‪5  (–25) 2‬‬ ‫‪6  (–8) 3‬‬ ‫‪7   z–   42 × z‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ (x‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫)‬ ‫‪ 5‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪9  (a3 × b) 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪√2 y3‬‬ ‫‪ 1  3‬‬ ‫‪x  3‬‬ ‫‪√6 y9‬‬ ‫‪k  2‬‬ ‫‪k  2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫‪12‬‬ ‫ ‬ ‫×‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪x  2‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫َأكت ُب ما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪ ،‬عل ًما بأ َّن أ ًّيا م َن ال ُمتغ ِّيرا ِت لا يساوي صف ًرا‪:‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫–‬ ‫‪ 7‬‬ ‫–‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫–‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪40x  4‬‬ ‫  ‪ 13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ ‬ ‫‪27x‬‬ ‫‪xz2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ ‬ ‫× ‪(a2b3)–2‬‬ ‫‪ab4‬‬ ‫–‪5x  y‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪–  1 36‬‬ ‫‪a–1b2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3x2y‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 3x‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪y–5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫)‪(x2y‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫)‪ (xy2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1  3‬‬ ‫‪(8p–6q3)  3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪(4x –1y  3 )  2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫  ‪16‬‬ ‫–‬ ‫‪ 1‬‬ ‫  ‪17‬‬ ‫‪ 2  2‬‬ ‫  ‪18‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪x  3 y  3‬‬ ‫‪27p3q‬‬ ‫‪(xy) 2‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  19‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد قيم َة العبار ِة الأُ ِّس َّي ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪(–5)43 + (− 1)43 + (5)43‬‬ ‫‪  20‬تبري ٌر‪ :‬تتضاع ُف ع ِّين ٌة في المختب ِر ‪َ 3‬م ّرا ٍت ك َّل أسبو ٍع‪ .‬إذا عل ْم ُت أ َّن فيها ‪ 7300‬خلي ٍة بكتيري ٍة‪ ،‬فك ْم خلي ًة سيصب ُح فيها بع َد‬ ‫مرو ِر ‪ 5‬أسابي َع؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫تح ٍّد‪َ :‬أكت ُب ما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪ ،‬عل ًما بأ َّن أ ًّيا م َن ال ُمتغ ِّيرا ِت لا يساوي صف ًرا‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ +‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫–‬ ‫– ‪  12‬‬ ‫–‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪1+x‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪r  2‬‬ ‫‪r  2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪+ x  2‬‬ ‫  ‪21‬‬ ‫  ‪22‬‬ ‫  ‪23‬‬ ‫‪r2 + r3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫–‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2x  2‬‬ ‫–‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪y  2‬‬ ‫ ‪2y‬‬ ‫‪  24‬تبري ٌر‪ُ :‬أقا ِر ُن بي َن العدد ْي ِن‪َ 2175 :‬و ‪ 575‬اعتما ًدا على خصائ ِص الأس ِس‪ ،‬م ْن دو ِن استعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ُ .‬أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫َح ُّل المعادل ِة الأُ ِّس َيّ ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Solving Exponential Equation‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس   َح ُّل معادلا ٍت ُأ ِّس َّي ٍة‪َ ،‬ح ُّل أنظم ِة معادلا ٍت ُأ ِّس َّي ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  المعادل ُة الأُ ِّس َّي ُة‪.‬‬ ‫ تســتغر ُق الزنبق ُة المائيــ ُة ‪ 26‬يو ًما لتنم َو بصور ٍة كاملــ ٍة‪ .‬إذا عل ْم ُت‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫أ َّن الزهر َة تنمو يوم ًّيا بمقدا ِر ال ِّض ْع ِف ع ِن اليو ِم الســاب ِق‪ ،‬فك ْم يو ًما‬ ‫َيلز ُمها لتص َل إلى نص ِف مرحل ِة النم ِّو؟‬ ‫المعادلــ ُة الأُ ِّســ َّي ُة )‪ (exponential equation‬هــ َي معادل ٌة تتض َّم ُن ق ًوى ُأس ُســها ُمتغ ِّيرا ٌت‪،‬‬ ‫ويتط َّل ُب َح ُّلها كتاب َة طر َف ِي المعادل ِة بصور ِة ق َّو ٍة للأسا ِس نف ِس ِه‪ ،‬ث َّم المقارن َة بي َن ُأ َّس ِي الطرف ْي ِن‪،‬‬ ‫َوف َق القاعد ِة التي ن ُّصها‪\" :‬إذا تسا َو ْت ق َّوتا ِن ل ُهما الأسا ُس نف ُس ُه‪ ،‬فإ َّن ُأ َّس ْي ِهما متساويا ِن‪\".‬‬ ‫‪1   5 3x+2 = 25 x–1‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الأُ ِّس َّي َة الآتي َة‪:‬‬ ‫‪53x+2 = (52)x–1‬‬ ‫)‪53x+2 = 52(x–1‬‬ ‫ ‬ ‫‪3x + 2 = 2x – 2‬‬ ‫‪5 2 = 25‬‬ ‫الأساسا ِن متساويا ِ ن‬ ‫‪x = – 4‬‬ ‫بمساوا ِة الأس ِس ‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِة ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪8x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫َأبحــ ُث‪ :‬قــ َّو ُة العــد ِد ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫أ ْو ‪ 2x‬مهمــ ٌة ج ًّدا فــي عل ِم‬ ‫‪(23)x = 2 × (2–1) x‬‬ ‫ ‬ ‫الحاسو ِب‪ ،‬لماذا؟‬ ‫‪23x = 2 × 2 –x‬‬ ‫ق َّو ُة القو ى‬ ‫‪23x = 2 –x+1‬‬ ‫ضر ُب القوى ‬ ‫بمساوا ِة الأس ِس ‬ ‫‪3x = –x + 1‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪49 x+1‬‬ ‫‪√7‬‬ ‫ ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫صور ُة الأُ ِّس النسب ِّ ي‬ ‫‪7  2‬‬ ‫= ‪(72)x+1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ق َّو ُة القو ى‬ ‫‪ 1‬‬ ‫قسم ُة القوى ‬ ‫‪7  2‬‬ ‫الأساسا ِن متساويا ِ ن‬ ‫= ‪72x+2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫بمساوا ِة الأس ِس ‬ ‫‪7 = 72x+2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫‪ 2‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪72x+2‬‬ ‫=‬ ‫–‪7‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الأُ ِّس َّي َة الآتي َة‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪c)  6252x + 1 = 5‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4a)  x – 5 = 322x + 1‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪9x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌّي‬ ‫الصيغــ ُة العامــ ُة للاقترا ِن الأُ ِّســ ِّي هــ َي‪ ، y = a(b)x :‬حيــ ُث ‪َ a‬و ‪ b‬عــددا ِن حقيقيا ِن‪،‬‬ ‫َو ‪a ≠ 0 , b ≠ 1, b > 0‬‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫ق ْد يحتوي ال ِغرا ُم الواح ُد م َن‬ ‫بد َأ ْت دعا ُء تجرب َتها في مختب ِر العلو ِم باســتعما ِل ‪ 5000‬خلي ٍة بكتيري ٍة‪ .‬وبع َد مرو ِر ‪ 3‬ســاعا ٍت‬ ‫الترب ِة علــى نح ِو ‪ 1010‬خلايا‬ ‫لاح َظ ْت أ َّن عد َد الخلايا البكتيري ِة ق ْد أصب َح ‪ 11000‬خلي ًة‪ ،‬وأ َّن عد َدها كا َن يتغ َّي ُر بالنسب ِة نف ِسها‬ ‫ك َّل ساع ٍة‪َ .‬أكت ُب اقترا ًنا ُأ ِّس ًّيا ُيم ِّث ُل عد َد الخلايا البكتيري ِة بع َد أ ِّي عد ٍد م َن الساعا ِت‪ ،‬ث َّم أستعم ُل ُه‬ ‫بكتيري ٍة مختلف ِة الأنوا ِع‪.‬‬ ‫لإيجا ِد عد ِد الخلايا البكتيري ِة بع َد ‪ 12‬ساع ًة‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫أو ًل‪َ :‬أ ِج ُد الاقترا َن الأُ ِّســ َّي الذي ُيم ِّث ُل عد َد الخلايا البكتيري ِة بع َد أ ِّي عد ٍد م َن الســاعا ِت‪ .‬في‬ ‫الصيغ ِة العام ِة للاقترا ِن الأُ ِّســ ِّي‪ ،‬يوج ُد ُمتغ ِّيرا ِن ‪ ،y , x‬وهما ُيم ِّثلا ِن الزم َن وعد َد الخلايا‬ ‫البكتيري ِة في تجرب ِة دعا َء‪َ .‬أفتر ُض أ َّن الزم َن ه َو ‪ ، x‬وأ َّن عد َد الخلايا البكتيري ِة ه َو ‪. y‬‬ ‫بد َأ ْت دعا ُء تجرب َتها عن َد الزم ِن ‪ُ ، x = 0‬مستع ِمل ًة ‪ 5000‬خلي ٍة بكتيري ٍة؛ أ ْي‪:‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫‪y = a (b)x‬‬ ‫الصيغ ُة العام ُة للاقترا ِن الأُ ِّس ِّ ي‬ ‫‪5000 = a(b)0‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ ،x = 0‬وقيم ِة ‪y = 5000‬‬ ‫‪a = 5000‬‬ ‫‪ b0 = 1‬‬ ‫‪y = 5000 (b)x‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪a‬‬ ‫عن َد الزم ِن ‪ x = 3‬أصب َح العد ُد ‪ 11000‬خلي ًة بكتيري ًة؛ أ ْي‪:‬‬ ‫‪11000 = 5000 (b)3‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫بقسم ِة كلا الطرف ْي ِن على ‪5 000‬‬ ‫‪11000‬‬ ‫=‬ ‫‪b3‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫الجذ ُر التكعيب ُّي للطرف ْي ِ ن‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪b = ∛1 51000000‬‬ ‫‪b ≈ 1.3‬‬ ‫َأتع َّل ُم‬ ‫لإيجــا ِد قيمــ ِة ‪(1.3)12‬‬ ‫إذ ْن‪ُ ،‬يم ِكنُني التعبي ُر ع ْن عد ِد الخلايا البكتيري ِة بع َد ‪ x‬م َن الساعا ِت بالاقترا ِن الأُ ِّس ِّي‪:‬‬ ‫باســتعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪،‬‬ ‫‪y = 5000 (1.3)x‬‬ ‫أضغ ُط على الأزرا ِر‪:‬‬ ‫ثان ًيا‪َ :‬أ ِج ُد عد َد الخلايا البكتيري ِة بع َد ‪ 12‬ساع ًة‪:‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪y = 5000 (1.3)12‬‬ ‫ُأع ِّو ُض ‪ x = 12‬في الاقترا ِن ‬ ‫‪y ≈ 116490‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫=‪^ 1 2‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫نما عد ُد ُمســتخ ِدمي المواق ِع‬ ‫بلــ َغ عد ُد الزائريــ َن لموق ٍع تع ُّلم ٍّي على شــبك ِة الإنترن ْت ‪ 579‬زائ ًرا في اليو ِم الأو ِل م ْن إنشــا ِء‬ ‫التعليمي ِة بما نسب ُت ُه ‪ 900%‬من ُذ‬ ‫الموق ِع‪ ،‬وفــي اليو ِم التالي زا َد العد ُد ليص َل إلى ‪ 1386‬زائ ًرا‪ .‬إذا كا َن عد ُد ال ُّز ّوا ِر يتغ َّي ُر بالنســب ِة‬ ‫نف ِسها ك َّل يو ٍم‪ ،‬ف َأكت ُب المعادل َة الأُ ِّس َّي َة التي ُتم ِّث ُل عد َد زائري الموق ِع بع َد أ ِّي عد ٍد م َن الأيا ِم‪ ،‬ث َّم‬ ‫عا ِم ‪2000‬م‪.‬‬ ‫أستعم ُلها لإيجا ِد عد ِد ِه ْم بع َد ‪ 10‬أيا ٍم‪.‬‬ ‫ُيســتع َم ُل القانو ُن ‪ A = p(1 + r)n‬لحسا ِب جمل ِة المبل ِغ (المبل ُغ بع َد استثما ِر ِه) في حال ِة الرب ِح‬ ‫ال ُمر َّك ِب‪ ،‬حي ُث ُيم ِّث ُل‪ A‬جمل َة المبل ِغ‪َ ،‬و ‪ p‬المبل َغ الحال َّي (المبل ُغ المرا ُد اســتثما ُر ُه)‪َ ،‬و‪ r‬نسب َة‬ ‫الرب ِح‪َ ،‬و‪ n‬الزم َن بالسنوا ِت‪.‬‬ ‫‪31‬‬

‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫اســتثم َر سليما ُن ‪ 6000‬دينا ٍر في شرك ٍة صناعي ٍة‪ ،‬بنســب ِة رب ٍح مقدا ُرها ‪ ،20%‬وق ْد أصب َح المبل ُغ‬ ‫‪A = p(1 + r)n‬‬ ‫بع َد ‪ n‬م َن السني َن ‪ 10368‬دينا ًرا‪َ .‬أ ِج ُد الزم َن ‪.n‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫قانو ُن جمل ِة المبل ِغ ‬ ‫‪10368 = 6000 (1 + 0.2)n‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫لتحويــ ِل ‪ 20%‬إلى كســ ٍر‬ ‫بالقسم ِة على ‪6 000‬‬ ‫عشر ٍّي‪َ ،‬أق ِس ُم على ‪،100‬‬ ‫‪216‬‬ ‫=‬ ‫‪(1.2)n‬‬ ‫‪125‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪3‬‬ ‫الأساسا ِن متساويا ِن ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪(1.2)n‬‬ ‫‪20%‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1.2)3 = (1.2)n‬‬ ‫‪n=3‬‬ ‫بمساوا ِة الأس ِس ‬ ‫إذ ْن‪ ،‬استثم َر سليما ُن المبل َغ م َّد َة ‪ 3‬سنوا ٍت‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫اشتر ْت غيدا ُء أســه ًما بمبل ِغ ‪ 50000‬دينا ٍر‪ ،‬بنسب ِة رب ٍح بل َغ ْت ‪ ،10%‬وق ْد أصب َح المبل ُغ ‪60500‬‬ ‫دينا ٍر بع َد ‪ n‬م َن السنوا ِت‪َ .‬أ ِج ُد الزم َن ‪.n‬‬ ‫ُيم ِكنُنــي َح ُّل نظا ٍم ُمك َّو ٍن م ْن معادلت ْي ِن ُأ ِّســ َّيت ْي ِن بكتاب ِة طر َف ِي المعادلــ ِة الأولى في صور ِة ق َّو ٍة‬ ‫للأسا ِس نف ِســ ِه‪ ،‬ث َّم مساوا ِة ُأ َّس ِي الطرف ْي ِن‪ ،‬ث َّم تكرا ِر ذل َك في المعادل ِة الثاني ِة‪ ،‬فيتك َّو ُن نظا ٌم م ْن‬ ‫معادلت ْي ِن‪.‬‬ ‫  مثال ‪4‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫‪42x × 2y = 64‬‬ ‫‪9x × 3y = 81‬‬ ‫‪42x × 2y = 64‬‬ ‫المعادل ُة الأُ ِّس َّي ُة الأول ى‬ ‫بتحلي ِل العدد ْي ِن ‪َ 4‬و‪ 64‬إلى عوام ِل ِهما الأولي ِة ‬ ‫‪(22) 2x × 2y = 26‬‬ ‫ق َّو ُة القوى ‬ ‫‪24x × 2y = 26‬‬ ‫‪24x+y = 26‬‬ ‫ضر ُب القو ى‬ ‫بمساوا ِة الأس ِس ‬ ‫‪4x + y = 6‬‬ ‫‪32‬‬

‫الوحد ُة ‪1‬‬ ‫بتطبي ِق الخطوا ِت نف ِسها على المعادل ِة الثاني ِة تنت ُج المعادل ُة الخ ِّطي ُة ‪2x + y = 4‬‬ ‫‪4x + y = 6‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الخ ِّط َّي النات َج بالحذ ِف‪:‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪(–) 2x + y = 4‬‬ ‫ ‬ ‫ُيم ِكنُنــي َحــ ُّل نظــا ِم‬ ‫‪2x = 2‬‬ ‫بطر ِح المعادلت ْي ِ ن‬ ‫المعــادلا ِت الخ ِّطــ ِّي‬ ‫بالقسم ِة على ‪x = 1 2‬‬ ‫بالحذ ِف‪ ،‬أ ِو التعوي ِض‪.‬‬ ‫‪4(1) + y = 6‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x‬في المعادل ِة الثاني ِ ة‬ ‫‪4+y=6‬‬ ‫ ‬ ‫‪y=2‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫إذ ْن‪َ ،‬ح ُّل نظا ِم المعادلا ِت ه َو‪x = 1 , y = 2 :‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪256y‬‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الآت َي‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪64‬‬ ‫‪32x × 9y = 243‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلا ِت الأُ ِّس َّي َة الآتي َة‪:‬‬ ‫‪1   64 = (32)3–x‬‬ ‫‪2  815x + 1 = 274x – 3‬‬ ‫‪3  128x – 5 = 2‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪  ( )11 3x + 1‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫  ‪( )  6‬‬ ‫‪4x + 5‬‬ ‫‪√28 7x – 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 647x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5   √11‬‬ ‫‪= 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪164x‬‬ ‫=    ‪√7‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7  9x2 × 27x2 = 243‬‬ ‫‪8   52x × 25x = 125‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 2x2‬‬ ‫×‬ ‫‪26x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫َأ ُح ُّل أنظم َة المعادلا ِت الآتي َة‪:‬‬ ‫‪10  5y = 25x–3‬‬ ‫‪11  3y = 32x+y‬‬ ‫‪12  52x × 25y = 125‬‬ ‫‪125y = 25x–1‬‬ ‫‪27y = 27x+3‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2y‬‬

‫‪13  92–x = 816y‬‬ ‫‪14  6146––3xx‬‬ ‫‪= 16–3y–3‬‬ ‫‪15  217 × 92–n = 3m2 - 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪–2x–3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2m2 × 2n = 64‬‬ ‫= ‪ 8 x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪= 363y‬‬ ‫‪2y + 1‬‬ ‫‪  16‬ثقاف ٌة مالي ٌة‪ :‬يتضاع ُف مبل ٌغ يســتثم ُر ُه عل ٌّي ‪ 3‬أضعا ٍف ك َّل شه ٍر‪ .‬إذا أصب َح المبل ُغ بع َد ‪ 4‬شهور ‪ 1701‬دينا ًرا‪ ،‬فك ْم دينا ًرا‬ ‫كا َن رأ ُس الما ِل؟‬ ‫‪  17‬سيار ٌة‪ :‬اشــترى سعي ٌد سيار ًة بمبل ِغ ‪ 15000‬دينا ٍر‪ .‬إذا َق َّل ْت قيم ُة السيار ِة بنسب ِة ‪ 20%‬سنو ًّيا‪ ،‬فبع َد ك ْم سن ٍة تصب ُح قيم ُتها‬ ‫‪ 6144‬دينا ًرا؟‬ ‫‪  18‬بكتيريا‪ُ :‬يم ِّث ُل المقدا ُر ‪ 3t–2‬عد َد الخلايا البكتيري ِة في تجرب ٍة مخبري ٍة بع َد مرو ِر ‪ t‬م َن الساعا ِت‪ .‬ما الزم ُن اللاز ُم ليصب َح‬ ‫عد ُد الخلايا البكتيري ِة ‪ 2187‬خلي ًة؟‬ ‫‪  19‬هندس ٌة‪َ :‬أكت ُب في أبس ِط صور ٍة عبار ًة ُأ ِّس َّي ًة ُتم ِّث ُل حج َم الشك ِل الآتي‪.‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪42x+1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪8x+1‬‬ ‫‪51+5x‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  20‬تبري ٌر‪ :‬ه ْل ُيم ِك ُن َح ُّل المعادل ِة الأُ ِّس َّي ِة الآتي ِة‪ 2 + 2x = 1 :‬؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪  21‬تبري ٌر‪َ :‬أ ُح ُّل المعادل َة الآتي َة‪ُ ،‬مب ِّر ًرا خطوا ِت ال َح ِّل‪.‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x  2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫– ‪x3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪36x – y + 1‬‬ ‫‪  22‬تح ٍّد‪ :‬ما قيم ُة ك ٍّل م ْن ‪َ x‬و ‪ y‬في المعادل ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪54x + y – 1‬‬ ‫‪= 48x + y‬‬ ‫‪  23‬تح ٍّد‪َ :‬أ ُح ُّل نظا َم المعادلا ِت الأُ ِّس َّي ِة الآت َي‪:‬‬ ‫‪2x + 3y = 10‬‬ ‫‪2x + 1 + 3y + 1 = 29‬‬ ‫‪34‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫َأ ُح ُّل ك ًّل م َن المعادلا ِت الأُ ِّس َّي ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫َأ ُح ُّل ك َّل نظا ِم معادلا ٍت م ّما يأتي‪ ،‬ث َّم َأ َتح َّق ُق م ْن ِص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ –‬ ‫‪1‬‬ ‫  – ‪1 c‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1  y = 4x‬‬ ‫‪2  y − x = 15‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 5 – x2‬‬ ‫‪x2 + y2 = 64‬‬ ‫‪14   5 2 = 52t –1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16  432 = 3x + 1 × 22x‬‬ ‫‪2   1‬‬‫‪–x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪17  500‬‬ ‫=‬ ‫‪52x‬‬ ‫‪3  y = x2 − 4x + 5‬‬ ‫‪4  y = −x2 − x + 12‬‬ ‫‪y = −x2 + 5‬‬ ‫‪y = x2 + 7x + 12‬‬ ‫َأ ُح ُّل ك َّل نظا ِم معادلا ٍت م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪18  36x + 4 = 6y‬‬ ‫‪19  52x + 4 = 5y – 3‬‬ ‫إذا كا َن ‪ c‬ثاب ًتا في نظا ِم المعادلا ِت الآتي‪ ،‬ف َأ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪36y = 36x + 6‬‬ ‫‪7y – x = 49‬‬ ‫‪3x − 2y = 7‬‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪x2 − y2 = c‬‬ ‫‪  20‬أ ُّي الأزوا ِج ال ُمر َّتب ِة الآتي ِة ُتم ِّث ُل َح ًّل لنظا ِم المعادلا ِت‪:‬‬ ‫‪َ   5‬ح َّل هذا النظا ِم‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪c = 8‬‬ ‫‪  6‬جمي َع قي ِم ‪ c‬الممكن ِة التي لا تجع ُل للنظا ِم أ َّي َح ٍّل‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 4‬‬ ‫‪3x + y = 6‬‬ ‫‪  7‬أج ُد مجموع َة ح ِّل المتباين ِة‪ 3 − 7y < 6x2 :‬بح ِّل نظا ِم‬ ‫المعادلا ِت الآتي‪:‬‬ ‫ )‪a) (1, 3‬‬ ‫)‪b) (0, 2‬‬ ‫‪y = 3 − 7x‬‬ ‫ )‪c) (2, 0‬‬ ‫)‪d) (−2, −2‬‬ ‫‪y = 6x2‬‬ ‫‪  21‬العبار ُة الجبري ُة التي يج ُب وض ُعها فــي المر َّب ِع الفار ِغ‬ ‫َأكت ُب ك ًّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ه َي‪:‬‬ ‫‪8x2 y3‬‬ ‫=‬ ‫‪2xy2‬‬ ‫للمعادل ِة‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫□‬ ‫‪23 × 2– 4‬‬ ‫‪(16p4‬‬ ‫)‪q–2‬‬ ‫–‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪(27a‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫–)‪b–6‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪a) 2x4y‬‬ ‫‪b) 4x4y2‬‬ ‫  ‪10‬‬ ‫–)‪(64p2q–1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫  ‪11‬‬ ‫–)‪(729a4b–2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪c) 2xy‬‬ ‫‪d)  x2y2‬‬ ‫‪َ   22‬أ ِج ُد جمي َع قي ِم ‪ p‬التــي تجع ُل منحنى المعادل ِة الخ ِّطي ِة‬ ‫تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ْن ‪َ a‬و ‪ b‬في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪ y =2x + p‬لا يقط ُع منحنى المعادل ِة‬ ‫= ‪12  3a x b‬‬ ‫‪27x‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ – x‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪= x a‬‬ ‫‪. y = x2 + 3x − 1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫  ‪13‬‬ ‫‪x – x 2‬‬ ‫‪x  2‬‬ ‫‪35‬‬

‫الدائر ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Circle‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ما أهمي ُة هذ ِه‬ ‫الوحد ِة؟‬ ‫ُت َع ُّد الدائر ُة أح َد أكث ِر الأشكا ِل ظهو ًرا‬ ‫على سط ِح الأر ِض‪ ،‬ب ْل في جمي ِع الكو ِن‪.‬‬ ‫فه َي تظه ُر جل ًّيا في صــو ِر الكواك ِب‪ ،‬وفي‬ ‫بؤب ِؤ العي ِن‪ ،‬وفي الفاكه ِة‪ ،‬وجذو ِع الأشجا ِر‪،‬‬ ‫وغي ِر ذل َك م َن المخلوقا ِت‪ .‬وق ِد اســتفا َد‬ ‫الإنســا ُن م َن الخصائــ ِص الفريد ِة لهذا‬ ‫الشــك ِل ال ُمع َّق ِد في مجالا ٍت ِع َّد ٍة‪،‬‬ ‫مث ِل‪ :‬الهندس ِة‪ ،‬والصناع ِة‪.‬‬ ‫س َأتع َّل ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا‪:‬‬ ‫✔ إيجا َد محي ِط الدائر ِة‪ ،‬ومساحتِها‪.‬‬ ‫◂حسا َب طو ِل القو ِس‪ ،‬ومساح ِة القطا ِع الدائر ِّي‪.‬‬ ‫✔ تميي َز حالا ِت تطا ُب ِق المثلثا ِت‪ ،‬وتشا ُب ِهها‪.‬‬ ‫◂العلاقا ِت بي َن الزوايا في الدائــر ِة‪ ،‬والإفاد َة منْها في‬ ‫✔إيجــا َد مجمو ِع قيــا ِس زوايا ك ٍّل مــ َن المثل ِث‪،‬‬ ‫إيجا ِد زوايا مجهول ٍة‪.‬‬ ‫والشك ِل الرباع ِّي‪.‬‬ ‫✔إيجــا َد المســاف ِة بيــ َن نقطت ْي ِن في المســتوى‬ ‫◂كتاب َة معادل ِة الدائر ِة‪ ،‬وإيجــا َد المرك ِز ونص ِف ال ُق ْط ِر‬ ‫م ْن معادل ِة دائر ٍة معلوم ٍة‪.‬‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫◂العلاق َةبي ْندائرت ْي ِن‪،‬وماهي َةالمما ّسا ِتالمشترك ِة‪.‬‬ ‫‪36‬‬

‫مشرو ُع‬ ‫استعمالا ٌت علمي ٌة لخصائ ِص الدائر ِة‬ ‫الوحد ِة‬ ‫  فكر ُة المشرو ِع  البح ُث ع ِن استعمالا ٍت علمي ٍة لخصائ ِص الدائر ِة‪ ،‬ووص ِفها‪ ،‬ونمذجتِها‪.‬‬ ‫  الموا ُّد والأدوا ُت  شبك ُة الإنترن ْت‪ ،‬برمجي ُة جيوجبرا‪.‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪:‬‬ ‫‪  1‬أبح ُث م َع أفرا ِد مجموعتي في مكتب ِة المدرســ ِة (أ ْو في شــبك ِة الإنترن ْت) ع ْن نموذ ٍج‬ ‫علم ٍّي أ ْو حيات ٍّي ُتستع َم ُل في ِه إحدى الخصائ ِص الآتي ِة للدائر ِة‪:‬‬ ‫ العلاق ُة بي َن الزوايا المركزي ِة والزوايا المحيطي ِة‪.‬‬ ‫ العلاق ُة بي َن الزاوي ِة المما ِّسي ِة والزاوي ِة المحيطي ِة ال ُمشت ِرك ِة م َعها في القو ِس نف ِس ِه‪.‬‬ ‫ الدوائ ُر ال ُمتما َّس ُة‪.‬‬ ‫ معادل ُة الدائر ِة‪.‬‬ ‫‪  2‬أكت ُب في مســتن ِد معال ِج النصو ِص (وورد) فقر ًة َأ ِص ُف فيها النمــوذ َج الحيات َّي أ ِو العلم َّي الذي اختر ْت ُه‪ُ ،‬مح ِّد ًدا خصائ َص‬ ‫الدائر ِة الموجود ِة في هذا النموذ ِج‪ ،‬ث َّم ُأف ِّس ُرها‪.‬‬ ‫‪ُ   3‬أضي ُف إلى المستن ِد صو ًرا توضيحي ًة للنموذ ِج‪ ،‬ذاك ًرا مصد َر المعلوما ِت والصو ِر‪.‬‬ ‫‪  4‬أســتعم ُل برمجي َة جيوجبرا لرســ ِم شك ٍل ُيو ِّض ُح اســتعما َل الخاصي ِة في النموذ ِج‪ ،‬وأض ُع عل ْي ِه قياســا ِت الزوايا وأطوا َل‬ ‫الأضلا ِع جمي َعها‪ .‬وهذ ِه بع ُض الإرشادا ِت التي ق ْد ُتسا ِع ُد على رس ِم الشك ِل التوضيح ِّي باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪:‬‬ ‫م ْن شري ِط الأدوا ِت‪.‬‬ ‫ لرس ِم دائر ٍة‪ ،‬أنق ُر على أيقون ِة‬ ‫‪ ،‬ث َّم على ضل ِع ابتدا ِء الزاوي ِة‪ ،‬وضل ِع انتها ِئها‪.‬‬ ‫ لإيجا ِد قيا ِس زاوي ٍة‪ ،‬أنق ُر على أيقون ِة‬ ‫‪ ،‬ث َّم على القطع ِة المستقيم ِة‪.‬‬ ‫ لإيجا ِد طو ِل قطع ٍة مستقيم ٍة‪ ،‬أنق ُر على أيقون ِة‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ،‬ث َّم أيقون ِة‬ ‫ لرس ِم مما ٍّس للدائر ِة م ْن نقط ٍة خار َجها‪ُ ،‬أح ِّد ُد أو ًل النقط َة بالنق ِر على أيقون ِة‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫ُأ ِع ُّد م َع أفرا ِد مجموعتي عر ًضا تقديم ًّيا ُنب ِّي ُن في ِه ما يأتي‪:‬‬ ‫ خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع ُمو َّضح ًة بالصو ِر والرسو ِم‪ ،‬بما في ذل َك صور ُة الشك ِل الذي ُر ِس َم باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪.‬‬ ‫ معلوم ٌة جديد ٌة تع َّر ْفناها في أثنا ِء العم ِل بالمشرو ِع‪ ،‬و ُمقت َر ٌح لتوسع ِة المشرو ِع‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫أوتا ُر الدائر ِة‪ ،‬وأقطا ُرها‪ ،‬ومما ّساتُها‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Chords, Diameters and Tangents of a Circle‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  معرف ُة الوتــ ِر‪ ،‬وال ُق ْط ِر‪ ،‬والممــا ِّس‪ ،‬وخصائ ِص ك ٍّل منْهــا‪ ،‬والعلاقا ِت التي تربــ ُط بع َضها ببع ٍض‪،‬‬ ‫وتوظي ُف ذل َك في إيجا ِد أطوا ِل وقياسا ِت زوايا مجهول ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الدائر ُة‪ ،‬المرك ُز‪ ،‬الوت ُر‪ ،‬القو ُس‪ ،‬ال ُق ْط ُر‪ ،‬نص ُف ال ُق ْط ِر‪ ،‬المما ُّس‪ ،‬نقط ُة ال َّتما ِّس‪ ،‬القاط ُع‪.‬‬ ‫ في حديق ِة منــز ِل عبي َر طاولــ ٌة دائري ٌة‪ ،‬وه َي تري ُد عمــ َل فتح ٍة عن َد‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫مرك ِزها لتثبيــ ِت عمو ٍد يحمل ِمظ َّل ٍة بها‪ .‬كيــ َف ُيم ِك ُن لعبي َر تحدي ُد‬ ‫مرك ِز الطاول ِة؟‬ ‫الدائر ُة )‪ (circle‬ه َي المح ُّل الهندس ُّي لنقط ٍة تتح َّر ُك في المستوى‪ ،‬بحي ُث تظ ُّل على ال ُب ْع ِد نف ِس ِه‬ ‫ع ْن نقط ٍة ُمح َّدد ٍة ُتســ ّمى مرك َز الدائر ِة )‪ .(center‬أ ّما الوت ُر )‪ (chord‬فه َو قطع ٌة مستقيم ٌة تص ُل‬ ‫بي َن نقطت ْي ِن على الدائر ِة‪ ،‬و ُيســ ّمى الوت ُر الذي يم ُّر بمرك ِز الدائــر ِة ال ُق ْط َر )‪ .(diameter‬و ُيط َل ُق‬ ‫على القطع ِة المستقيم ِة التي تص ُل مرك َز الدائر ِة بنقط ٍة عل ْيها اس ُم نص ِف ال ُق ْط ِر )‪.(radius‬‬ ‫القاط ُع )‪ (secant‬ه َو مســتقي ٌم يقط ُع الدائر َة في نقطت ْي ِن‪ ،‬ويحوي وت ًرا فيها‪ .‬أ ّما المستقي ُم الذي‬ ‫يشتر ُك م َع الدائر ِة في نقط ٍة واحد ٍة فق ْط ف ُيســ ّمى المما َّس )‪ .(tangent‬و ُيط َل ُق على نقط ِة التقا ِء‬ ‫المما ِّس بالدائر ِة اس ُم نقط ِة ال َّتما ِّس )‪.(point of tangency‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر دائر ًة مرك ُزها ‪ُ .O‬أس ّمي‪:‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ترم ُز ‪ LM‬إلى المســتقي ِم‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪  1‬مما ًّسا للدائر ِة‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪.LM‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫ترمــ ُز ‪ LM‬إلــى طــو ِل‬ ‫القطع ِة المســتقيم ِة‪ .‬أ ّما‬ ‫‪U‬‬ ‫‪  2‬أربع َة أنصا ِف أقطا ٍر‪.‬‬ ‫‪ LM‬فترم ُز إلــى القطع ِة‬ ‫‪OV , OT , OZ , OU‬‬ ‫المستقيم ِة نف ِسها‪.‬‬ ‫‪PL‬‬ ‫‪38‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪ُ   3‬ق ْط ًرا للدائر ِة‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ZT‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪  4‬وت ًرا للدائر ِة‪.‬‬ ‫‪SR , ZT‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ُيب ِّي ُن الشك ُل المجاو ُر دائر ًة مرك ُزها ‪ُ .O‬أس ّمي‪:‬‬ ‫‪  (a‬قاط ًعا للدائر ِة‪.‬‬ ‫‪  (b‬وت ًرا للدائر ِة‪.‬‬ ‫‪  (c‬مما ًّسا للدائر ِة‪.‬‬ ‫نظريا ٌت‬ ‫‪A‬‬ ‫‪  1‬الوترا ِن ال ُمتطابِقا ِن يبعدا ِن المســاف َة نف َسها ع ْن مرك ِز‬ ‫الدائر ِة‪ .‬والوترا ِن اللذا ِن يبعدا ِن المســاف َة نف َسها ع ْن‬ ‫‪O‬‬ ‫مرك ِز الدائر ِة ُمتطابِقا ِن‪D .‬‬ ‫‪M‬‬ ‫مثا ٌل‪ :‬بما أ َّن ‪ ،CD = AB‬فإ َّن ‪N .OM = ON‬‬ ‫وإذا كا َن ‪ ،OM = ON‬فإ َّن ‪B C .AB = CD‬‬ ‫‪  2‬ال ُمن ِّص ُف العمود ُّي لأ ِّي وت ٍر في الدائر ِة يم ُّر بمرك ِزها‪.‬‬ ‫مثا ٌل‪:‬في الشــك ِل المجاو ِر‪ ،‬يق ُع مركــ ُز الدائر ِة على‬ ‫الخ ِّط ال ُمتق ِّط ِع‪A .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  3‬ال ُق ْطــ ُر (أ ْو نصــ ُف ال ُق ْطــ ِر) العمــود ُّي ‪C‬‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫علــى وتــ ٍر فــي دائــر ٍة ُين ِّصــ ُف ذلــ َك الوت َر‪.‬‬ ‫يــد ُّل الرم ُز ⊥ علــى تعا ُم ِد‬ ‫مثا ٌل‪:‬بما أ َّن ‪ ،AB ⊥ CD‬فإ َّن ‪ .MC = MD‬وإذا ‪A O M B‬‬ ‫قطعت ْي ِن‪ ،‬أ ْو مستقيم ْي ِن‪.‬‬ ‫م َّر ال ُق ْط ُر بمنتص ِف وت ٍر فإ َّن ُه يعام ُد ُه‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪39‬‬

‫  مثال ‪E 2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪َ CD ،‬و ‪ EF‬وترا ِن في دائر ٍة مرك ُزها ‪ .O‬إذا كا َن‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪َ ، ON = OX‬و ‪ ،EF = 8 cm‬فما طو ُل ‪NC‬؟‬ ‫‪CN D‬‬ ‫‪َ ON‬و ‪ُ OX‬يم ِّثلا ِن ُب ْع َد ِي الوتر ْي ِن ‪َ CD‬و ‪ EF‬ع ْن مرك ِز الدائر ِة‪ ،‬وهما ُمتطابِقا ِن‪.‬‬ ‫‪ON = OX‬‬ ‫م ْن معطيا ِت السؤا ِ ل‬ ‫إذا تساوى ُب ْعدا وتر ْي ِن ع ْن مرك ِز الدائر ِة‪ ،‬فهما ُمتطابِقا ِن ‪CD = EF‬‬ ‫‪NC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫نص ُف ال ُق ْط ِر العمود ِّي على وت ٍر ُين ِّص ُف ُه ‬ ‫‪2‬‬ ‫الوترا ِن ‪َ CD‬و ‪ُ EF‬متطابِقا ِن ‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫=‬ ‫‪4 cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫فــي الشــك ِل المجــاو ِر‪َ AB ،‬و ‪ CD‬وترا ِن فــي دائــر ٍة مرك ُزهــا ‪ .O‬إذا كا َن ‪،OM = ON‬‬ ‫‪MB‬‬ ‫َو ‪ ،CN = 12 cm‬فما طو ُل ‪AB‬؟‬ ‫‪D‬‬ ‫نظريا ٌت‬ ‫‪  1‬مما ُّس الدائر ِة يكو ُن عمود ًّيا على نص ِف‬ ‫ال ُق ْط ِر المرسو ِم م ْن نقط ِة ال َّتما ِّس‪O .‬‬ ‫مثا ٌل‪:‬نص ُف ال ُق ْط ِر ‪ OX‬عمود ٌّي على‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫المما ِّس ‪.⟷AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫يــد ُّل ‪ PT‬علــى ممــا ِّس‬ ‫‪X‬‬ ‫الدائر ِة‪ .‬أ ّما ‪ PT‬فيد ُّل على‬ ‫⟷‬ ‫القطع ِة المستقيم ِة الواصل ِة‬ ‫‪OX‬‬ ‫⊥‬ ‫‪AB‬‬ ‫بيــ َن النقطــ ِة ‪ P‬ونقطــ ِة‬ ‫ال َّتما ِّس‪ ،‬ويــد ُّل الرم ُز ‪PT‬‬ ‫‪S‬‬ ‫على طو ِل هذ ِه القطع ِة‪.‬‬ ‫‪  2‬المما ّســا ِن المرســوما ِن للدائــر ِة مــ ْن نقط ٍة‬ ‫خار َجها ل ُهما الطو ُل نف ُس ُه‪P .‬‬ ‫مثا ٌل‪َ PS :‬و ‪ PT‬ل ُهما الطو ُل نف ُس ُه‪T . PS = PT:‬‬ ‫‪40‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫  مثال ‪3‬‬ ‫‪P 2x+3 T‬‬ ‫ج ْب ٌر‪ :‬في الشك ِل المجاو ِر‪َ ⟷TP ،‬و ‪⟷TQ‬مما ّسا ِن لدائر ٍة مرك ُزها ‪:O‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪4x–6‬‬ ‫‪َ   1‬أ ِج ُد قيم َة ‪. x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪TP = TQ‬‬ ‫مما ّسا ِن مرسوما ِن للدائر ِة م ْن نقط ٍة خار َجه ا‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪2x + 3 = 4x – 6‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫‪2x +3+ 6 – 2x = 4x – 6 + 6 – 2x‬‬ ‫يرمــ ُز الحــر ُف ‪ m‬فــي‬ ‫بإضاف ِة ‪ 6 – 2x‬إلى الطرف ْي ِ ن‬ ‫‪ m∠OQT‬إلــى قيــا ِس‬ ‫‪9 = 2x‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫الزاوي ِة ‪.OQT‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪QO‬‬ ‫‪َ   2‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪.POQ‬‬ ‫‪15 117º‬‬ ‫َأفتر ُض أ َّن قيا َس الزاوي ِة ‪ POQ‬ه َو ‪:y‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪m∠OQT = m∠OPT = 90º‬‬ ‫مما ُّس الدائر ِة يتعام ُد م َع نص ِ ف‬ ‫‪3x+2 P‬‬ ‫‪90º + 70º + 90º + y = 360º‬‬ ‫ال ُق ْط ِر في نقط ِة ال َّتما ِّ س‬ ‫مجمو ُع قيا ِس الزوايا الداخلي ِة ‬ ‫‪250º + y = 360º‬‬ ‫للشك ِل الرباع ِّي هو ‪ 360º‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫‪y = 360º – 250º = 110º‬‬ ‫بطر ِح ‪ 250º‬م َن الطرف ْي ِ ن‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪َ ⟷TP ،‬و ‪⟷TQ‬مما ّسا ِن لدائر ٍة مرك ُزها ‪:O‬‬ ‫‪َ  (a‬أ ِج ُد قيم َة ‪َ  (b  . x‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪. PTQ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫‪0.05 km‬‬ ‫أبرا ٌج‪ :‬يرتف ُع بر ُج مراقب ٍة ‪ 50 m‬ع ْن مستوى الأر ِض‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫مــا أبع ُد نقط ٍة علــى الأر ِض ُيمكِ ُن مشــاه َد ُتها م ْن ق َّمــ ِة البر ِج‪،‬‬ ‫بافترا ِض أ َّن الأر َض كر ٌة طو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 6400 km‬تقري ًبا؟‬ ‫‪C‬‬ ‫َأرس ُم ُمخ َّط ًطا ُيم ِّث ُل المسأل َة‪.‬‬ ‫‪6400 km‬‬ ‫‪41‬‬

‫الدائر ُة ُتم ِّثــ ُل الأر َض‪ ،‬والنقط ُة ‪ُ T‬تم ِّث ُل ق َّم َة البر ِج‪ ،‬والممــا ُّس ‪ُ ⟷TD‬يم ِّث ُل خ َّط البص ِر‪ ،‬ونقط ُة‬ ‫ال َّتما ِّس ‪ D‬ه َي أبع ُد نقط ٍة ُيم ِك ُن مشاه َد ُتها م ْن ق َّم ِة البر ِج‪ .‬ارتفا ُع البر ِج  ‪50 m = 0.05 km‬‬ ‫‪m∠TDC = 90º‬‬ ‫المما ُّس يتعام ُد م َع نص ِف ال ُق ْط ِر عن َد نقط ِة ال َّتما ِّ س‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(CT)2 = (TD)2 + (CD)2‬‬ ‫نظري ُة فيثاغور س‬ ‫‪C‬‬ ‫‪(6400 + 0.05)2 = (TD)2 + (6400)2‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪B‬‬ ‫‪40960640.0025 = (TD)2 + 40960000‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫نظري ُة فيثاغــورس‪ :‬إذا كا َن‬ ‫المثل ُث ‪ ABC‬قائ َم الزاوي ِة‬ ‫‪640.0025 = (TD)2‬‬ ‫بطر ِح ‪ 40960000‬م َن الطرف ْي ِن ‬ ‫‪25.3 ≈ TD‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِ ن‬ ‫في ‪ ،B‬فإ َّن‪:‬‬ ‫‪(AC )2 = (AB )2 + (BC )2‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬المســاف ُة التــي ُتم ِّثــ ُل أبع َد نقط ٍة علــى الأر ِض ُيم ِك ُن مشــاه َد ُتها م ْن ق َّمــ ِة البر ِج ه َي‪:‬‬ ‫‪ 25 km‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫بر ُج مراقب ٍة‪ :‬تبع ُد أقصى نقط ٍة ُيمكِ ُن مشاه َد ُتها م ْن ق َّم ِة بر ِج مراقب ٍة مساف َة ‪ 32 km‬ع ْن ُه‪ .‬ما ارتفا ُع‬ ‫ق َّم ِة البر ِج ع ْن سط ِح الأر ِض‪ ،‬عل ًما بأ َّن طو َل نص ِف ُق ْط ِر الأر ِض ‪ 6400 km‬تقري ًبا؟‬ ‫‪P‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪LR‬‬ ‫‪KO‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر دائر ًة مرك ُزها ‪ُ .O‬أس ّمي‪:‬‬ ‫‪MS‬‬ ‫‪  1‬نص َف ْي ُق ْطر ْي ِن‪.‬‬ ‫‪  2‬وتر ْي ِن‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪  3‬مما َّس ْي ِن‪.‬‬ ‫‪  4‬قاط ًعا‪.‬‬ ‫‪AOD‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪َ AB‬و ‪ CD‬وترا ِن ل ُهما الطو ُل نف ُس ُه في دائر ٍة مرك ُزها ‪:O‬‬ ‫‪  5‬ما نو ُع المثل ِث ‪AOB‬؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  6‬ه ِل المثلثا ِن ‪َ AOB‬و ‪ُ COD‬متطابِقا ِن؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  7‬إذا كا َن قيا ُس الزاوي ِة ‪ OAB‬ه َو ‪ ،65º‬فما قيا ُس الزاوي ِة ‪COD‬؟‬ ‫‪42‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪َ   8‬ج ْب ٌر‪ :‬في الشك ِل المجاو ِر‪َ AB ،‬و ‪ CB‬وترا ِن ُمتطابِقا ِن في دائر ٍة مرك ُزها ‪. O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫إذا كا َن ‪َ ، OE = x + 9‬و ‪ ،OD = 3x – 7‬فما قيم ُة ‪x‬؟‬ ‫‪DO‬‬ ‫‪C‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪ EF ،‬وت ٌر في دائر ٍة مرك ُزها ‪ ،O‬والنقط ُة ‪ M‬ه َي منتص ُف الوت ِر ‪:EF‬‬ ‫‪  9‬ه ِل المثلثا ِن ‪َ ،EOM‬و ‪ُ FOM‬متطابِقا ِن؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪  10‬ه ِل الزاوي ُة ‪ EMO‬قائم ٌة؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪EO‬‬ ‫‪  11‬إذا كا َن قيا ُس الزاوي ِة ‪ MOF‬ه َو ‪ ،72º‬فما قيا ُس الزاوي ِة ‪MEO‬؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪َ ⟷PX ،‬و ‪ ⟷PY‬مما ّسا ِن لدائر ٍة مرك ُزها ‪X :O‬‬ ‫‪PO‬‬ ‫‪  12‬ه ْل قيا ُس الزاوي ِة ‪ PXO‬ه َو ‪90º‬؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪ُ   13‬أب ِّي ُن أ َّن المثلث ْي ِن ‪َ XPO‬و ‪ُ YPO‬متطابِقا ِن‪Y .‬‬ ‫‪  14‬إذا كا َن قيا ُس الزاوي ِة ‪ XPO‬ه َو ‪ ،17º‬فما قيا ُس الزاوي ِة ‪XOY‬؟‬ ‫‪A CB‬‬ ‫‪  15‬في الشك ِل المجاو ِر‪ AB ،‬وت ٌر طو ُل ُه ‪ 6 cm‬في دائر ٍة مرك ُزها ‪ .O‬إذا كا َن قيا ُس‬ ‫‪O‬‬ ‫الزاوي ِة ‪ ACO‬ه َو ‪َ ،90º‬و ‪ ،OC = 4 cm‬فما طو ُل نص ِف ُق ْط ِر الدائر ِة؟‬ ‫‪َ   16‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪  17‬في الشك ِل المجاو ِر‪َ ⟷ZX ،‬و ‪⟷ZY‬مما ّسا ِن لدائر ٍة مرك ُزها ‪َ .O‬أ ِج ُد قيم َة ‪.a‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪80º Z‬‬ ‫‪aº‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪43‬‬

‫َيظه ُر في ك ٍّل م َن الشكل ْي ِن الآتي ْي ِن مما ٌّس لدائر ٍة مرك ُزها ‪َ .O‬أ ِج ُد قيم َة ‪َ x‬و ‪ y‬في ك ِّل حال ٍة‪.‬‬ ‫‪18   78º‬‬ ‫                 ‪19‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 50º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪yO‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪  20‬في الشــك ِل المجاو ِر‪⟷AB ،‬مما ٌّس لدائر ٍة مرك ُزهــا ‪ O‬في النقط ِة ‪.C‬‬ ‫‪64º‬‬ ‫لماذا ُي َع ُّد المثل ُث ‪ُ BCD‬متطابِ َق الضلع ْي ِن؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪32º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪OP N‬‬ ‫‪  21‬تح ٍّد‪ AB :‬وت ٌر مشــتر ٌك بي َن دائرت ْي ِن متقاطعت ْي ِن‪ ،‬وه َو عمود ٌّي على القطع ِة‬ ‫المســتقيم ِة ‪ ON‬الواصل ِة بي َن مركز ْي ِهما‪ .‬إذا كا َن ‪ ، AB = 14 cm‬فما طو ُل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ON‬؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  22‬برها ٌن‪َ ، AB :‬و ‪ CD‬وترا ِن متساويا ِن في دائر ٍة مرك ُزها ‪ُ .N‬أثبِ ُت أ َّن ل ُهما ال ُب ْع َد نف َس ُه ع ِن النقط ِة ‪.N‬‬ ‫‪  23‬تبري ٌر‪⟷AB :‬مما ٌّس لدائر ٍة مرك ُزها ‪ N‬في النقط ِة ‪ ،A‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪َ ،3 cm‬و‪ .BA = 5 cm‬قا َل ْت سار ُة‬ ‫إ َّن ‪BN = 4 cm‬؛ لأ َّن ‪ .)BN (2 = (BA)2 – (AN )2 = 16‬ه ْل قو ُل سار َة صحي ٌح؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪َ   24‬أكت ُب‪ :‬ك ْم مما ًّسا ُيم ِك ُن أ ْن ُير َس َم للدائر ِة م ْن نقط ٍة عل ْيها‪ ،‬وم ْن نقط ٍة خار َجها‪ ،‬وم ْن نقط ٍة داخ َلها؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪44‬‬

‫الأقوا ُس والقطاعا ُت الدائري ُة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Arcs and Sectors‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  حسا ُب طو ِل القو ِس‪ ،‬ومساح ِة القطا ِع الدائر ِّي‪ ،‬و َح ُّل مسائ َل تتع َّل ُق ب ِهما‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  القو ُس‪ ،‬القطا ُع‪.‬‬ ‫  َأ َع َّد ْت عفا ُف فطير َة بيتزا في وعا ٍء دائر ٍّي طو ُل ُق ْط ِر ِه ‪ .24 cm‬وبع َد‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫أ ْن خب َز ْتها أحد َث ْت فيها َش َّق ْي ِن م َن المرك ِز إلى الطر ِف‪ ،‬بحي ُث كا َن‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة بينَ ُهما ‪ .45º‬كي َف ُيم ِك ُن إيجا ُد مســاح ِة الجز ِء الذي‬ ‫قط َع ْت ُه عفا ُف م َن الفطير ِة؟‬ ‫القو ُس )‪ (arc‬ه َو جز ٌء م ْن الدائر ِة ُمح َّد ٌد بنقطت ْي ِن عل ْيها‪ .‬والقطا ُع )‪ (sector‬ه َو جز ٌء م َن الدائر ِة‬ ‫محصو ٌر بي َن قو ٍس منْها ونص َف ِي ال ُق ْطر ْي ِن اللذ ْي ِن يم ّرا ِن بطر َف ِي القو ِس‪.‬‬ ‫ُتم ِّث ُل الزاوي ُة ‪ AOB‬في الشــك ِل المجاو ِر زاوي َة القطا ِع الذي ﻗﻮ ﹲس‬ ‫ﻗﻄﺎ ﹲع‬ ‫‪A‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ُي َع ُّد كســ ًرا م َن الدائر ِة‪ .‬و ُيم ِك ُن اســتعما ُل قيا ِس زاوي ِة القطا ِع ‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫لكتاب ِة هذا الكســ ِر‪ ،‬وذل َك بقســم ِة قيا ِس الزاوي ِة على الدور ِة‬ ‫القطا ِع‪.‬‬ ‫زاوي ِة‬ ‫قيا ُس‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪،‬حي ُث‬ ‫‪θ‬‬ ‫أ ْي‪:‬‬ ‫الكامل ِة؛‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر قطا ًعا دائر ًّيا‪َ .‬أ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪12cm‬‬ ‫‪  1‬طو َل القو ِس ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪.)π‬‬ ‫طو َل‬ ‫‪ .‬وبما أ َّن‬ ‫‪60º‬‬ ‫=‬ ‫اُقلقْط ِرطاالُعداكئرس ِةــ ٌر‪m‬م‪َ c‬ن‪4‬ال‪،2‬دافئإر َِّةن‪،‬طووهَلذامالحيك ِطس ُهرا‪:‬ه َو‪c61m‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪24 × π‬‬ ‫‪= 24π‬‬ ‫‪60º‬‬ ‫‪12‬‬ ‫الدائر ِة؛‬ ‫محي ِط‬ ‫طو ِل‬ ‫‪1‬‬ ‫أ ْي ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫يساوي‬ ‫القو ِس‬ ‫طو ُل‬ ‫إذ ْن‪،‬‬ ‫‪24π ÷ 6 = 4π cm‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪  2‬مساح َة القطا ِع‪.‬‬ ‫مساح ُة الدائر ِة ه َي‪π × 122 = 144π cm2 :‬‬ ‫‪144π‬‬ ‫÷‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪24π‬‬ ‫‪cm2‬‬ ‫أ ْي‪:‬‬ ‫الدائر ِة؛‬ ‫مساح ِة‬ ‫‪1‬‬ ‫ِتساوي‬ ‫القطاع‬ ‫مساح ُة‬ ‫‪6‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪120º‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر قطا ًعا دائر ًّيا‪َ .‬أ ِج ُد طو َل القو ِس‪ ،‬ومساح َة القطا ِع الدائر ِّي‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫تع َّر ْفنا في المثا ِل الســاب ِق أ َّن القطا َع ه َو كس ٌر م َن الدائر ِة‪ ،‬وأ َّن ُه ُيم ِك ُن دائ ًما استعما ُل قيا ِس زاوي ِة‬ ‫القطا ِع لحسا ِب طو ِل القو ِس ومساح ِة القطا ِع الدائر ِّي‪.‬‬ ‫‪l‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌي‬ ‫‪rθ‬‬ ‫إذا كا َن قيــا ُس زاويــ ِة القطا ِع ‪ ،θº‬وطو ُل نص ِف ُق ْطــ ِر الدائر ِة ‪،r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫وطو ُل القو ِس ‪ ،l‬ومساح ُة القطا ِع ‪ ،A‬فإ َّن‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫  مثال ‪2‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل القو ِس ومساح َة القطا ِع في الشك ِل المجاو ِر‪5 .‬‬ ‫زاوي ُة القطا ِع ه َي ‪ ،28º‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ه َو ‪ 5‬وحدا ِت طو ٍل‪28º :‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫قانو ُن طو ِل القو ِ س‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪28º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫بتعوي ِض ‪θ = 28º, r = 5‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪≈ 2.4‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬طو ُل هذا القو ِس ُمق َّر ًبا إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة ه َو‪ 2.4 :‬وحد ِة طو ٍل‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫قانو ُن مساح ِة القطا ِع ‬ ‫‪360º‬‬ ‫=‬ ‫‪28º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪52‬‬ ‫بتعوي ِض ‪r = 5, θ = 28º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪≈ 6.1‬‬ ‫‪46‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬مساح ُة هذا القطا ِع ُمق َّرب ًة إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة ه َي‪ 6.1 :‬وحد ٍة مربع ٍة‪.‬‬ ‫‪125º‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد طو َل القو ِس ومساح َة القطا ِع في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫يرمــ ُز الحــر ُف ‪ l‬إلى طو ِل‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌي‬ ‫القو ِس‪ ،‬ويرمــ ُز الحر ُف ‪L‬‬ ‫‪l‬‬ ‫محي ُط القطا ِع الدائر ِّي (‪ )L‬ه َو المســاف ُة حو َل القطا ِع‪ ،‬وه َي تساوي‬ ‫إلى محي ِط القطا ِع‪.‬‬ ‫‪rθ‬‬ ‫طو َل قو ِس القطا ِع‪ ،‬مضا ًفا إل ْي ِه ِم ْثلا طو ِل نص ِف ُق ْط ِر الدائر ِة‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫  مثال ‪3‬‬ ‫َأ ِج ُد محي َط القطا ِع الدائر ِّي في الشــك ِل المجاو ِر‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى‬ ‫‪140º‬‬ ‫أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫‪15 15‬‬ ‫زاوي ُة القطا ِع ه َي ‪ ،140º‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ه َو ‪ 15‬وحد َة طو ٍل‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫قانو ُن محي ِط القطا ِ ع‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪= (316400ºº × 2 × π × 15) + 2 × 15‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ r = 15, θ = 140º‬‬ ‫‪≈ 66.6519‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫إذ ْن‪ ،‬محي ُط هذا القطا ِع ُمق َّر ًبا إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة ه َو‪ 66.7 :‬وحد ِة طو ٍل‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد محي َط قطــا ٍع دائر ٍّي زاوي ُت ُه ‪ ،225º‬في دائر ٍة طو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ُ ،50 cm‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى‬ ‫أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫‪135°‬‬ ‫حديقـ ُة منـز ٍل ُو ِضـ َع فـي أحـ ِد أطرافِهـا ِمـ َر ُّش للمـا ِء‪ ،‬يـدو ُر حـو َل الـرأ ِس بزاويـ ٍة‬ ‫‪5m‬‬ ‫مقدا ُرهـا ‪ ،135º‬فيصـ ُل المـا ُء إلـى مسـاف ِة ‪ 5 m‬مـ َن ال ِمـ َر ِّش‪َ .‬أ ِجـ ُد مسـاح َة المنطقـ ِة‬ ‫التـي سـيرويها هـذا ال ِمـ َر ُّش‪ُ ،‬مق ِّر ًبـا إجابتـي إلـى أقـر ِب منزلـ ٍة عشـري ٍة واحـد ٍة‪.‬‬ ‫‪47‬‬

‫ُتم ِّث ُل المنطق ُة التي سيرويها ال ِم َر ُّش قطا ًعا دائر ًّيا زاوي ُت ُه ‪ ،135º‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِر ِه ‪:5 m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪θ‬‬ ‫×‬ ‫‪π r2‬‬ ‫قانو ُن مساح ِة القطا ِع ‬ ‫‪360º‬‬ ‫بتعوي ِض ‪r = 5, θ = 135º‬‬ ‫=‬ ‫‪135º‬‬ ‫×‬ ‫‪π‬‬ ‫×‬ ‫‪52‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة ‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪≈ 29.5‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬مساح ُة هذ ِه المنطق ِة ُمق َّرب ًة إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة ه َي‪29.5 m2 :‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫طو ُل عقر ِب الدقائ ِق في ســاع ِة حائ ٍط ه َو ‪ .15 cm‬ما المســاف ُة التي يقط ُعها رأ ُس العقر ِب في‬ ‫حركتِ ِه م َن العد ِد ‪ 9‬إلى العد ِد ‪2‬؟‬ ‫‪8.4 8.4‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪72º‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر قطا ًعا دائر ًّيا‪:‬‬ ‫ ‪4‬‬ ‫‪ُ   1‬أع ِّب ُر بكس ٍر ع ِن الجز ِء الذي ُيم ِّث ُل ُه هذا القطا ُع م َن الدائر ِة‪.‬‬ ‫‪َ   2‬أ ِج ُد طو َل القو ِس‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫‪َ   3‬أ ِج ُد مساح َة القطا ِع‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل القو ِس ومساح َة القطا ِع في ك ٍّل م َن الأشكا ِل الآتي ِة ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪:)π‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ ‪6‬‬ ‫ ‪7‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪135º‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪َ   8‬أ ِج ُد مساح َة نص ِف الدائر ِة المجاور ِة‪ ،‬ث َّم ُأ ِج ُد محي َطها‪.‬‬ ‫‪48‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪َ   9‬أ ِج ُد مساح َة الجز ِء ال ُمظ َّل ِل في الشك ِل المجاو ِر ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪ُ .)π‬أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪40 70º‬‬ ‫‪َ   10‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر ‪ 3‬أنصا ِف دوائ َر‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪َ   11‬أ ِج ُد محي َط الشك ِل ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪.)π‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪َ   12‬أ ِج ُد مساح َة الشك ِل ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪.)π‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪ُ   13‬تم ِّث ُل النقط ُة ‪ O‬مرك َز دائر ٍة‪ ،‬طو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 12.5‬وحد ِة طو ٍل‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل القو ِس ‪.ACB‬‬ ‫‪A 160º B‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ُ   14‬يم ِّثــ ُل الشــك ُل المجــاو ُر رب َع دائــر ٍة‪َ .‬أ ِج ُد مســاح َة الجــز ِء ال ُمظ َّل ِل في الشــك ِل‬ ‫( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪.)π‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ُ   15‬يم ِّث ُل الشــك ُل المجــاو ُر المر َّب َع ‪ ABCD‬الذي طو ُل ضل ِعــ ِه ‪ ،8 cm‬و ُيم ِّث ُل ‪APC‬‬ ‫‪P‬‬ ‫َو ‪ AQC‬قوســ ْي ِن م ْن دائرت ْي ِن مركزا ُهما ‪َ D‬و ‪ B‬على التوالي‪َ .‬أ ِج ُد مســاح َة الجز ِء‬ ‫‪Q‬‬ ‫ال ُمظ َّل ِل ( َأكت ُب الإجاب َة بدلال ِة ‪.)π‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  16‬ص َّم َم مهند ٌس ِم َر َّش ميا ٍه لر ِّي منطق ٍة مساح ُتها ‪ 100 m2‬على هيئ ِة قطا ٍع دائر ٍّي طو ُل نص ِف ُق ْط ِر ِه ‪ .15 m‬ما زاوي ُة دورا ِن‬ ‫هذا ال ِم َر ِّش؟‬ ‫‪49‬‬

‫‪  17‬ســيارا ٌت‪ُ :‬يب ِّي ُن الشك ُل المجاو ُر ماســح َة الزجا ِج الأمام ِّي لسيار ٍة‪ .‬إذا كا َن ‪130º‬‬ ‫طو ُل شفر ِة الماســح ِة ‪ ،40 cm‬وطو ُل شفر ِة الماسح ِة م َع ذرا ِعها ‪،66 cm‬‬ ‫فما مســاح ُة الزجا ِج التي ُتن ِّظ ُفها الماســح ُة‪ُ ،‬مق َّرب ًة إلى أقر ِب منزل ٍة عشري ٍة‬ ‫واحد ٍة؟‬ ‫‪T‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪99‬‬ ‫تح ٍّد‪ُ :‬يم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر دائر ًة مرك ُزها ‪ ، O‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪.4 cm‬‬ ‫إذا كا َن ‪ ،TP = TQ = 9 cm‬ف َأ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪  18‬قيا َس الزاوي ِة ‪.θ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪θ4‬‬ ‫‪  19‬طو َل القو ِس ‪.PAQ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪  20‬مساح َة المنطق ِة ال ُمظ َّلل ِة في الشك ِل‪.‬‬ ‫‪  21‬مســأل ٌة مفتوح ٌة‪ :‬أرس ُم دائرت ْي ِن‪ ،‬نص ُف ُق ْط ِر الأولى مختل ٌف ع ْن نص ِف ُق ْط ِر الثاني ِة‪ ،‬ث َّم أرس ُم قطا ًعا دائر ًّيا في ك ِّل دائر ٍة‪،‬‬ ‫بحي ُث يكو ُن للقطاع ْي ِن المساح ُة نف ُسها‪.‬‬ ‫‪  22‬تح ٍّد‪ :‬اشــترى سعي ٌد فطير َة بيتزا دائري َة الشــك ِل طو ُل ُق ْط ِرها ‪ ،36 cm‬ث َّم ق َّس َمها إلى قط ٍع متساوي ٍة‪ .‬بع َد ذل َك أك َل منْها‬ ‫قطعت ْي ِن ُتم ِّثلا ِن م ًعا ‪ 180 cm2‬منْها‪َ .‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة لقطع ِة البيتزا الواحد ِة‪ُ ،‬مق ِّر ًبا إجابتي إلى أقر ِب عد ٍد كل ٍّي‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  23‬تح ٍّد‪ُ :‬يم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر مثل ًثا ُمتطابِ َق الأضلا ِع‪ ،‬طو ُل ضل ِع ِه ‪ .6 cm‬إذا كا َن ِت‬ ‫‪P‬‬ ‫النقطتا ِن ‪َ P‬و ‪ُ Q‬تن ِّصفــا ِن الضلع ْي ِن ‪َ AB‬و‪ AC‬على التوالــي‪ ،‬وكا َن ‪ APQ‬قطا ًعا‬ ‫‪AQ‬‬ ‫دائر ًّيا م ْن دائر ٍة مرك ُزها ‪ ،A‬ف َأ ِج ُد مساح َة الجز ِء ال ُمظ َّل ِل‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪50‬‬