العاشر

‫الزوايا في الدائر ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Angles in a Circle‬‬ ‫‪3‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  معرف ُة العلاقا ِت بي َن الزوايا في الدائر ِة‪ ،‬وتوظي ُفها في إيجا ِد زوايا مجهول ٍة و َح ِّل مسائ َل حياتي ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الزاوي ُة المركزي ُة‪ ،‬الزاوي ُة المحيطي ُة‪ ،‬القو ُس المقاب ُل‪ ،‬الزاوي ُة ال ُمقابِل ُة ل ُق ْط ِر الدائر ِة‪ ،‬الرباع ُّي الدائر ُّي‪،‬‬ ‫الزاوي ُة المماسي ُة‪.‬‬ ‫  ُيم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر تصمي ًما ُمك َّو ًنا م ْن نجم ٍة خماســي ٍة منتظم ٍة محاط ٍة‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫بدائر ٍة يحي ُط بها مر َّب ٌع‪ .‬ماذا ُتســ ّمى الزوايا عن ِد رؤو ِس النجم ِة؟ كي َف نج ُد‬ ‫قيا َس ك ٍّل منْها؟‬ ‫ُتس ّمى الزاوي ُة التي يكو ُن رأ ُسها في مرك ِز الدائر ِة‪ ،‬وضلعاها نص َف ْي ُق ْطر ْي ِن للدائر ِة زاوي ًة مركزي ًة‬ ‫ُيس ّمى ‪ AB‬القو َس الأصغ َر‪،‬‬ ‫)‪ .(central angle‬ففــي الشــك ِل الآتي‪ AOB ،‬زاويــ ٌة مركزي ٌة في الدائــر ِة التي مرك ُزها ‪،O‬‬ ‫و ُيســ ّمى ‪ ACB‬القــو َس‬ ‫و ُيس ّمى القو ُس‪ AB‬القو َس المقاب َل )‪.(subtended arc‬‬ ‫الأكب َر‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ُتســ ّمى الزاوي ُة التي يق ُع رأ ُســها على الدائر ِة‪ ،‬ويكو ُن ضلعاها وتر ْي ِن في الدائر ِة زاوي ًة محيطي ًة‬ ‫)‪ .(inscribed angle‬ففي الشك ِل الســاب ِق‪ ،‬الزاوي ُة ‪ ACB‬محيطي ٌة‪ ،‬والزاوي ُة ‪ AOB‬مركزي ٌة‪،‬‬ ‫وهما مرســومتا ِن على نف ِس القو ِس ‪ .AB‬وعن َد قيا ِس هات ْي ِن الزاويت ْي ِن سنج ُد أ َّن قيا َس الزاوي ِة‬ ‫المركزي ِة ‪ AOB‬يساوي ِم ْث َل ْي قيا ِس الزاوي ِة المحيطي ِة ‪.ACB‬‬ ‫نظري ٌة‬ ‫نقيفـ ِـساِه‪ُ:‬س الزاوي ِة المركزي ِة يســاوي ِم ْث َل ْي قيا ِس الزاوي ِة المحيطي ِة المرســوم ِة على القو ِس‬ ‫‪m∠ AOB = 2m∠ ACB‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫إذا رســ ْمنا زوايا محيطي ًة ُأخرى ُمقابِل ًة للقو ِس ‪ AB‬سنج ُد أ َّن‬ ‫لها القيا َس نف َس ُه‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x C3‬‬ ‫‪C1 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫نظري ٌة ‪B‬‬ ‫جمي ُع الزوايا المحيطي ِة المرسوم ِة على قو ٍس واح ٍد في دائر ٍة لها القيا ُس نف ُس ُه‪:‬‬ ‫‪m∠ ACB = m∠ AC1B = m∠ AC2B = m∠ AC3B‬‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشك ِل المجاو ِر ‪،‬‬ ‫‪b‬‬ ‫فما قيا ُس الزاويت ْي ِن المشا ِر إل ْي ِهما بالحرف ْي ِن ‪َ a‬و ‪b‬؟‬ ‫المثل ُث ‪ُ OPQ‬متطابِ ُق الضلع ْيــ ِن؛ لأ َّن ‪َ OQ‬و ‪ OP‬نصفا ُق ْطر ْي ِن‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪25º a‬‬ ‫في الدائر ِة ومجمو ُع قياسا ِت زوايا المثل ِث ه َو ‪ .180º‬إذ ْن‪Q :‬‬ ‫‪ُ m∠POQ + m∠OQP + m∠OPQ = 180º‬نع ِّو ُض قياسا ِت الزوايا المعلوم ِة‪:‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫زاويتا قاعد ِة المثل ِث ُمتطابِ ِق‬ ‫‪a + 25º + 25º = 180º‬‬ ‫في المثل ِث ُمتطابِ ِق الضلع ْي ِن تتطاب ُق زاويتا القاعد ِ ة‬ ‫الضلع ْيــ ِن متســاويتا ِن في‬ ‫‪a + 50º = 180º‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫القيا ِس‪.‬‬ ‫‪a + 50º – 50º = 180º – 50º‬‬ ‫بطر ِح ‪ 50º‬م َن الطرف ْي ِن ‬ ‫‪57º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪a = 130º‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪b = 130º ÷ 2‬‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة المركزي ِة يساوي ِم ْث َل ْي قيا ِس ‬ ‫‪x‬‬ ‫الزاوي ِة المحيطي ِة المشترك ِة م َعها في القو ِس نف ِس ِ ه‬ ‫‪52‬‬ ‫‪= 65º‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬فما قيم ُة ك ٍّل م ْن ‪َ x‬و ‪y‬؟‬ ‫‪D‬‬ ‫قــ ْد يكو ُن قيــا ُس الزاويــ ِة المركزي ِة أكبــ َر م ْن ‪ .180º‬ففي الشــك ِل‬ ‫‪A‬‬ ‫المجاو ِر‪ ،‬الزاوي ُة ‪ُ AOB‬مقابِل ٌة للقو ِس ‪ ،ADB‬وقيا ُســها ‪ ،190º‬وه َو‬ ‫‪O 190º‬‬ ‫ضع ُف قيا ِس الزاوي ِة المحيطي ِة ‪.ACB‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫‪R 72º‬‬ ‫•  قيا ُس الزاوي ِة المستقيم ِة‬ ‫‪ab‬‬ ‫إذا كا َنــ ِت النقطــ ُة ‪ O‬هــ َي مركــ َز الدائــر ِة فــي الشــك ِل‬ ‫‪T‬‬ ‫‪O‬‬ ‫المجـاو ِر‪ ،‬والنقـا ُط ‪ P , Q , R‬علـى اسـتقام ٍة واحـد ٍة‪ ،‬فمـا‬ ‫ه َو‪.180º‬‬ ‫•  مجمو ُع قياسا ِت الزوايا‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة ‪a‬؟‬ ‫حو َلنقط ٍةه َو‪.360º‬‬ ‫الزاويتا ِن ‪ُ PQT, RQT‬تش ِّكلا ِن زاوي ًة مستقيم ًة ‪m∠ PQT = 180º – 72º =108º‬‬ ‫‪a + b = 360º‬‬ ‫مجمو ُع قياسا ِت الزوايا حو َل نقط ٍة ه َو ‪3 60º‬‬ ‫‪b = 2 × 108º = 216º‬‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة المركزي ِة يساوي ِم ْث َل ْي قيا ِس ‬ ‫الزاوي ِة المحيطي ِة المرسوم ِة على القو ِس نف ِس ِه‬ ‫‪a + 216º = 360º‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪b‬‬ ‫‪a = 360º – 216º = 144º‬‬ ‫بطر ِح ‪ 216º‬م َن الطرف ْي ِن ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪OD‬‬ ‫‪140º‬‬ ‫إذا كا َنــ ِت النقطــ ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشــك ِل المجاو ِر‪ ،‬والنقا ُط ‪ A,B, C‬على اســتقام ٍة‬ ‫واحد ٍة‪ ،‬فما قيم ُة ‪x‬؟‬ ‫‪x‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫إذا وق َع ْت رؤو ُس ُمض َّل ٍع رباع ٍّي على دائر ٍة‪ ،‬فإ َّن ُه ُيس ّمى رباع ًّيا دائر ًّيا )‪.(cyclic quadrilateral‬‬ ‫وإذا ح َس ْبنا مجمو َع قيا َس ْي ك ِّل زاويت ْي ِن متقابلت ْي ِن في ِه‪ ،‬فإ َّن ُه يكو ُن ‪.180º‬‬ ‫نظري ٌة‬ ‫مجمو ُع قيا َســ ْي ك ِّل زاويت ْيــ ِن متقابلت ْي ِن فــي ال ُمض َّل ِع الرباع ِّي ‪b‬‬ ‫الدائر ِّي ه َو ‪a :180º‬‬ ‫‪dc‬‬ ‫‪b + d = 180º , a + c = 180º‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬فما قيم ُة ك ٍّل م ْن ‪َ x‬و‪y‬؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Bx y‬‬ ‫‪m∠ ACO = 43º‬‬ ‫المثل ُث ‪ُ ACO‬متطابِ ُق الضلع ْي ِ ن‬ ‫‪D‬‬ ‫‪y + m∠ ACO = 90º‬‬ ‫الزاوي ُة ‪ ACD‬محيطي ٌة مشترك ٌة م َع الزاوي ِ ة‬ ‫‪A 43º O‬‬ ‫المركزي ِة ‪ AOD‬بالقو ِس نف ِس ِ ه‬ ‫‪y + 43º = 90º‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫‪53‬‬

‫‪y = 90º – 43º‬‬ ‫بطر ِح ‪ 43º‬م َن الطرف ْي ِ ن‬ ‫‪C‬‬ ‫‪= 47º‬‬ ‫‪O 54º D‬‬ ‫ ‬ ‫‪x + m∠ ADC = 180º‬‬ ‫‪m∠ ADC = y = 47º‬‬ ‫الشك ُل ‪ ABCD‬رباع ٌّي دائر ٌّي ‬ ‫‪x + 47º = 180º‬‬ ‫المثل ُث ‪ُ OCD‬متطابِ ُق الضلع ْي ِ ن‬ ‫‪x = 180º – 47º‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ y‬‬ ‫بطر ِح ‪ 47º‬م َن الطرف ْي ِ ن‬ ‫‪= 133º‬‬ ‫ ‬ ‫‪Bx‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬فما قيم ُة ك ٍّل م ْن ‪َ x‬و ‪y‬؟‬ ‫فــي الشــك ِل المجــاو ِر‪⟷PQ ،‬هــ َو ممــا ٌّس للدائــر ِة عنــ َد النقطــ ِة ‪َ ،T‬و ‪ TA‬هــ َو وتــ ٌر‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫للدائــر ِة‪ُ .‬تســ ّمى الزاويــ ُة المحصــور ُة بيــ َن الممــا ِّس والوتــ ِر المــا ِّر بنقطــ ِة ال َّتمــا ِّس‬ ‫‪P‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الزاويــ َة المما ِّســي َة )‪ .(angle between a tangent and a chord‬وهــذ ِه الزاويــ ُة تحص ُر‬ ‫القــو َس ‪ ، TA‬و ُيم ِكــ ُن ملاحظ ُة أ َّن قيا َس الزاوي ِة المما ِّســي ِة ‪ PTA‬يســاوي قيــا َس الزاوي ِة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪TQ‬‬ ‫‪ ABT‬المحيطيــ ِة المرســوم ِة على القو ِس ‪ TA‬نف ِســ ِه‪.‬‬ ‫نظري ٌة‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة المما ِّسي ِة يساوي قيا َس الزاوي ِة المحيطي ِة المشترك ِة م َعها في القو ِس‪:‬‬ ‫‪m∠ ATP = m∠ ABT‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫فيالشك ِلالمجاو ِر‪⟷AB،‬مما ٌّسللدائر ِةفي‪َ .T‬أ ِج ُدقيا َسك ٍّلم َنالزاويت ْي ِن‪َ ATS‬و‪.TSR ‬‬ ‫‪70º‬‬ ‫‪m∠ ATS = m∠ TRS = 80º‬‬ ‫زاويتا ِن (مما ِّسي ٌة‪ ،‬ومحيطي ٌة) مشتركتا ِن في القو ِ س‬ ‫‪A‬‬ ‫‪80º R‬‬ ‫‪m∠ TSR = m∠ BTR = 70º‬‬ ‫زاويتا ِن (مما ِّسي ٌة‪ ،‬ومحيطي ٌة) مشتركتا ِن في القو ِ س‬ ‫‪S‬‬ ‫‪P‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪x‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪⟷AB ،‬مما ٌّس للدائر ِة في ‪.T‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪Qy‬‬ ‫َأ ِج ُد قيا َس ك ٍّل م َن الزوايا‪َ ،TQP :‬و ‪َ ،TPQ‬و ‪.QTP‬‬ ‫‪65º 69º‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪B‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪2  x‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪1  x‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪3   60º‬‬ ‫‪210º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬ف َأ ِج ُد ك ًّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪4   m∠EGF.‬‬ ‫‪ 5   m∠DEG.‬‬ ‫‪ 6   m∠EDF.‬‬ ‫‪D 37º‬‬ ‫‪18º F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫إذا كا َن ِت النقط ُة ‪ O‬ه َي مرك َز الدائر ِة‪ ،‬ف َأ ِج ُد قيا َس الزوايا المشا ِر إل ْيها بالحرف ْي ِن ‪َ x‬و ‪ y‬في ك ٍّل م َن الدوائ ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪7  x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ ‪9‬‬ ‫‪150º‬‬ ‫‪xO‬‬ ‫‪31º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪25º‬‬ ‫‪140º O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر دائر ٌة مرك ُزها ‪ ،O‬وقيا ُس الزاوي ِة ‪ ABO‬ه َو ‪، xº‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫وقيا ُس الزاوي ِة ‪ CBO‬ه َو ‪:yº‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪َ   10‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪.BAO‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪َ   11‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪.AOD‬‬ ‫‪ُ   12‬أثبِ ُت أ َّن قيا َس الزاوي ِة المركزي ِة يساوي ِم ْث َل ْي قيا ِس‬ ‫‪DC‬‬ ‫الزاوي ِة المحيطي ِة المرسوم ِة على القو ِس نف ِس ِه‪.‬‬ ‫‪55‬‬

‫َأ ِج ُد قيا َس الزوايا المشا ِر إل ْيها بأحر ٍف في ك ٍّل م َن الدوائ ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪13   85º‬‬ ‫‪14   d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪15   x‬‬ ‫‪130º‬‬ ‫‪f 70º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪85º‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪40º‬‬ ‫في الشك ِل الرباع ِّي الدائر ِّي ‪ ، PQRT‬قيا ُس الزاوي ِة ‪ ROQ‬ه َو ‪ ،38º‬حي ُث ‪ O‬مرك ُز الدائر ِة‪َ ،‬و‪ُ POT‬ق ْط ٌر فيها يوازي ‪َ .QR‬أ ِج ُد‬ ‫قيا َس ك ٍّل م َن الزوايا الآتي ِة‪:‬‬ ‫ ‪16   ROT.‬‬ ‫ ‪17   QRT.‬‬ ‫‪18   QPT.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشك ُل المجاو ُر دائر ًة مرك ُزها ‪:O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  19‬لماذا ‪3x – 30º = 180º‬؟‬ ‫‪Dy‬‬ ‫‪O 30º B‬‬ ‫‪َ   20‬أ ِج ُد قيا َس الزاوي ِة ‪ CDO‬المشا ِر إل ْيها بالحر ِف ‪ُ ،y‬مب ِّر ًرا ك َّل خطو ٍة في َح ّلي‪.‬‬ ‫‪2x – 30º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ُ   21‬يم ِّث ُل الشــك ُل المجاو ُر ‪ ABCE‬متــواز َي أضلا ٍع‪ُ .‬أب ِّي ُن أ َّن قيــا َس الزاوي ِة ‪AED‬‬ ‫يساوي قيا َس الزاوي ِة ‪ُ ،ADE‬مب ِّر ًرا ك َّل خطو ٍة في َح ّلي‪.‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪C‬‬ ‫َأ ِج ُد قيا َس الزوايا المشا ِر إل ْيها بأحر ٍف في ك ٍّل م َن الدوائ ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫  ‪22‬‬ ‫‪23   y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪O 38º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪z 32º‬‬ ‫‪42º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AT‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪56‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في ك ٍّل م َن الشكل ْي ِن الآتي ْي ِن‪:‬‬ ‫‪24   x 2x‬‬ ‫‪25   x-30º x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ُ   26‬تم ِّث ُل النقط ُة ‪ O‬مرك َز الدائر ِة في الشــك ِل الآتي‪ ،‬و ُيم ِّث ُل ‪B ⟷XY‬‬ ‫مما ًّســا للدائر ِة عن َد ‪ . A‬إذا كا َن ِت النقــا ُط ‪َ B‬و ‪َ C‬و ‪ُ X‬تم ِّث ُل‬ ‫‪32º‬‬ ‫‪X‬‬ ‫خ ًّطا على اســتقام ٍة واحد ٍة‪ ،‬ف ُأثبِ ُت أ َّن المثل َث ‪ُ ACX‬متطابِ ُق ‪O‬‬ ‫الضلع ْي ِن‪ُ ،‬مب ِّر ًرا إجابتي‪64º .‬‬ ‫‪AY‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  27‬تبريــ ٌر‪ :‬قا َلــ ْت فاتــ ُن إ َّن الزاويــ َة المحيطي َة المرســوم َة على ُق ْط ِر الدائــر ِة زاوي ٌة قائمــ ٌة‪ .‬ه ْل قو ُل فاتــ َن صحي ٌح؟‬ ‫ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  28‬تبري ٌر‪ :‬في الشــك ِل المجاو ِر‪⟷PT ،‬مما ٌّس لدائــر ٍة مرك ُزها ‪ .O‬إذا كا َن قيا ُس ‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الزاوي ِة ‪ PBA‬ه َو ‪ ، xº‬ف ُأثبِ ُت أ َّن قيا َس الزاوي ِة ‪ APT‬يســاوي قيا َس الزاوي ِة‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ُ ، ABP‬مب ِّر ًرا خطوا ِت ال َح ِّل‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪  29‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد قيم َة ‪ x‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪5x 3x‬‬ ‫‪57‬‬

‫معادل ُة الدائر ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Equation of a Circle‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  كتاب ُة معادل ِة الدائر ِة‪ ،‬وإيجا ُد المرك ِز ونص ِف ال ُق ْط ِر م ْن معادل ِة دائر ٍة معلوم ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  معادل ُة الدائر ِة‪ ،‬الصور ُة القياسي ُة‪ ،‬الصور ُة العام ُة‪.‬‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم   ُتم ِّثــ ُل النقط ُة (‪ )7, 4‬موق َع محط ِة إذاع ٍة ُيلت َقــ ُط ب ُّثها في دائر ٍة نص ُف ُق ْط ِرها‬ ‫‪ .224 km‬إذا كا َن فــ ّوا ٌز يقي ُم في بي ٍت ُتم ِّث ُل ُه النقط ُة (‪ )–75, 95‬على مســت ًوى إحداث ٍّي وحد ُت ُه‬ ‫‪ ،1 km‬فكي َف يستطي ُع معرف َة إ ْن كا َن ب ُّث هذ ِه الإذاع ِة يص ُل بي َت ُه أ ْم لا؟‬ ‫معادلــ ُة الدائر ِة )‪ (equation of the circle‬ه َي العلاق ُة التي ترب ُط بي َن الإحداث ِّي ‪ x‬والإحداث ِّي‬ ‫‪ y‬لــك ِّل نقط ٍة واقع ٍة على الدائر ِة‪ .‬فإذا ُع ِّو َض إحداثيا نقطــ ٍة في المعادل ِة‪ ،‬وكا َن ِت النتيج ُة عبار ًة‬ ‫صحيح ًة‪ ،‬فهذا يعني أ َّن تل َك النقط َة تق ُع على الدائر ِة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشــك ُل المجــاو ُر دائر ًة مرك ُزهــا النقط ُة‬ ‫(‪ ،)a, b‬وطــو ُل نصــ ِف ُق ْط ِرهــا ‪ .r‬والنقطــ ُة )‪y (x,y‬‬ ‫)‪ (x, y‬تق ُع على الدائر ِة‪ُ .‬ألا ِح ُظ أ َّن ُه ُيم ِك ُن تكوي ُن ‪r y-b‬‬ ‫‪b x-a‬‬ ‫المثلــ ِث قائ ِم الزاوي ِة الذي طــو ُل ضل ِع ِه الأفق ِّي‬ ‫‪0a‬‬ ‫(‪ ،)x – a‬وطو ُل ضل ِع ِه الرأس ِّي (‪ ،)y – b‬وطو ُل ‪x x‬‬ ‫وت ِر ِه ‪ .r‬وبتطبي ِق نظري ِة فيثاغورس تنت ُج المعادل ُة‬ ‫‪ (x – a)2 + (y – b)2 = r2‬التي ُتســ ّمى الصور َة‬ ‫القياسي َة )‪ (standard form‬لمعادل ِة الدائر ِة‪.‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌي‬ ‫‪  1‬الصور ُة القياســي ُة لمعادل ِة الدائر ِة التي مرك ُزها النقط ُة (‪ ،)a, b‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها‬ ‫‪ ، r‬ه َي‪.(x – a)2 + (y – b)2 = r2 :‬‬ ‫‪  2‬معادل ُة الدائر ِة التي مرك ُزها نقط ُة الأص ِل (‪ ،)0, 0‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ ،r‬ه َي‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = r2‬‬ ‫‪58‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫َأكت ُب معادل َة الدائر ِة في ك ٍّل م َن الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  1‬المرك ُز ه َو النقط ُة (‪ ،)–2, 7‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ‪ 6‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬‬ ‫الصور ُة القياسي ُة لمعادل ِة الدائر ِ ة‬ ‫‪(x – (–2))2 + (y -7)2 = 62‬‬ ‫‪( a, b) = (–2, 7), r = 6‬‬ ‫‪(x + 2)2 + (y – 7)2 = 36‬‬ ‫ ‬ ‫‪x2 + y2 = r2‬‬ ‫‪  2‬المرك ُز ه َو نقط ُة الأص ِل‪ ،‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ‪ 5‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫الصور ُة القياسي ُة لمعادل ِة الدائرة التي مرك ُزها نقط ُة الأص ِ ل‬ ‫‪x2 + y2 = 52‬‬ ‫بتعوي ِض ‪r = 5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 25‬‬ ‫ ‬ ‫‪  3‬الدائر ُة المرسوم ُة في المستوى الإحداث ِّي المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫عنــ َد النظ ِر إلى الدائر ِة َيتب َّيــ ُن أ َّن مرك َزها النقطــ ُة (‪ ،)5, –3‬وأ َّن طو َل نص ِف ُق ْط ِرها ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪-2 0 2 4 6‬‬ ‫‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬‬ ‫الصور ُة القياسي ُة لمعادل ِة الدائر ِ ة‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪(x – 5)2 + (y – (–3))2 = 42‬‬ ‫‪( a, b) = (5, –3), r = 4‬‬ ‫‪(x – 5)2 + (y + 3)2 = 16‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأكت ُب معادل َة الدائر ِة في الحالت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪  (a‬المرك ُز ه َو النقط ُة (‪ ،)0, 4‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ‪ 9‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪  (b‬المرك ُز ه َو نقط ُة الأص ِل‪ ،‬وطو ُل ال ُق ْط ِر ‪ 8‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫إذا ُع ِل َم مرك ُز الدائر ِة ونقط ٌة واقع ٌة عل ْيها‪ ،‬فإ َّن ُه ُيم ِك ُن إيجا ُد طو ِل نص ِف ال ُق ْط ِر باســتعما ِل قانو ِن‬ ‫المساف ِة بي َن نقطت ْي ِن‪ ،‬ث َّم كتاب ُة معادل ِة الدائر ِة‪.‬‬ ‫مراجع ُة المفهو ِم‬ ‫‪d‬‬ ‫ه َو‬ ‫‪،B(x2,‬‬ ‫)‪y2‬‬ ‫َو‬ ‫‪،A(x1,‬‬ ‫)‪y1‬‬ ‫النقطت ْيــ ِن‬ ‫بي َن‬ ‫الواصل ِة‬ ‫المســتقيم ِة‬ ‫القطع ِة‬ ‫طو ُل‬ ‫إذا كا َن‬ ‫فإ َّن‪:‬‬ ‫‪d 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2‬‬ ‫‪59‬‬

‫مثال ‪2‬‬ ‫َأ ِج ُد معادل َة الدائر ِة التي مرك ُزها النقط ُة (‪ ،)–7, 13‬وتم ُّر بالنقط ِة (‪.)5, 4‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل نص ِف ال ُق ْط ِر باستعما ِل قانو ِن المساف ِة بي َن نقطت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪d 2 = (x2 – x1)2 + (y 2 – y1)2‬‬ ‫قانو ُن المساف ِة بي َن نقطتي ِ ن‬ ‫‪r2 = (5 – (–7))2 + (4 – 13)2‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪= 144 + 81‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪= 225‬‬ ‫ ‬ ‫‪r = √2  25 = 15‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّ ي‬ ‫والآ َن‪ُ ،‬أع ِّو ُض إحداث َّي ِي المرك ِز وقيم َة ‪ r2‬في الصور ِة القياسي ِة لمعادل ِة الدائر ِة‪ ،‬ف َأ ِج ُد أ َّن معادل َة‬ ‫هذ ِه الدائر ِة ه َي‪:‬‬ ‫‪.(x + 7)2 + (y – 13)2 = 225‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد معادل َة الدائر ِة التي مرك ُزها النقط ُة (‪ ،)4, –3‬وتم ُّر بالنقط ِة (‪.)2, 0‬‬ ‫إذا عل ْمنا معادل َة دائر ٍة بالصور ِة القياسي ِة ‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬فإ َّن ُه ُيم ِك ُن ف ُّك الأقوا ِس‬ ‫وإعاد ُة الترتي ِب‪ ،‬فتنت ُج المعادل ُة‪.x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 :‬‬ ‫ُيم ِك ُن أي ًضا كتاب ُة هذ ِه المعادل ِة بالصور ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪x 2 + y 2 + 2fx + 2gy + c = 0‬‬ ‫حي ُث‪ ، f = – a , g = – b, c = a2 + b2 – r2 :‬وه َي ُتســ ّمى الصور َة العام َة )‪(general form‬‬ ‫لمعادل ِة الدائر ِة‪.‬‬ ‫إذا عل ْمنــا الصــور َة العام َة لمعادلــ ِة أ ِّي دائــر ٍة‪ ،‬فإ َّن ُه ُيم ِكــ ُن تحوي ُلها إلى الصور ِة القياســي ِة‬ ‫‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬وذل َك بإكما ِل المر َّب ِع‪.‬‬ ‫مراجع ُة المفهو ِم‬ ‫‪ ،‬ث َّم ُيطــ َر ُح‪ ،‬فينت ُج مر َّب ٌع كام ٌل ه َو) (‬‫‪a‬‬ ‫لإكما ِل المر َّبــ ِع للح َّد ْي ِن ‪ ، x2 + ax‬يضا ُف ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ) ( ).‬‬‫‪+‬‬‫‪a‬‬‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إلى‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫يتح َّو ُل‬ ‫وبذل َك‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫–‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪60‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫َأ ِج ُد إحداثيا ِت المرك ِز‪ ،‬وطو َل نص ِف ال ُق ْط ِر للدائر ِة ‪. x2 + y2 – 8 x + 6y – 56 = 0‬‬ ‫بإكمــا ِل المر َّب ِع للحدو ِد التي تحــوي ‪ x‬ينتــ ُج‪ ، x2 – 8x = (x – 4)2 – 16 :‬وبإكما ِل المر َّب ِع‬ ‫للحدو ِد التي تحوي ‪ y‬ينت ُج‪.y2 + 6y = (y + 3)2 – 9 :‬‬ ‫وبذل َك ُيم ِك ُن تحوي ُل المعادل ِة ‪ x2 + y2 – 8 x + 6 y – 56 = 0‬إلى‪:‬‬ ‫‪(x – 4)2 – 16 + (y + 3)2 – 9 – 56 = 0‬‬ ‫‪.(x – 4)2 + (y + 3)2 = 81‬‬ ‫بمقارن ِة هذ ِه المعادل ِة بالصور ِة القياسي ِة ‪ ،(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬نج ُد أ َّن‪:‬‬ ‫‪. a = 4 , b = – 3, r = 9‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬مرك ُز هذ ِه الدائر ِة ه َو النقط ُة (‪ ،)4, –3‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 9‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد إحداثيا ِت المرك ِز‪ ،‬وطو َل نص ِف ال ُق ْط ِر للدائر ِة ‪. x2 + y2 + 2 x – 10 y – 10 = 0‬‬ ‫تع َّل ْم ُت في در ٍس ســاب ٍق أ َّن مما َّس الدائر ِة يشتر ُك م َع الدائر ِة في نقط ٍة واحد ٍة فق ْط‪ ،‬وأ َّن ُه يتعام ُد‬ ‫م َع نص ِف ال ُق ْط ِر الما ِّر بنقط ِة ال َّتما ِّس‪ .‬وهذا يفي ُد في التح ُّق ِق م ْن أ َّن مســتقي ًما مع ًطى ه ُو مما ٌّس‬ ‫لدائر ٍة معطا ٍة‪ ،‬وحسا ِب طو ِل قطع ٍة مما ِّسي ٍة كما في المثال ْي ِن الآتي ْي ِن‪.‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل المما ِّس المرسو ِم م َن النقط ِة )‪ ،P (6, –6‬الذي يم ُّس الدائر َة التي معادل ُتها‬ ‫‪.(x + 5)2 + (y – 4)2 = 25‬‬ ‫‪X‬‬ ‫َأرس ُم ُمخ َّط ًطا‪ ،‬ولتك ِن النقط ُة ‪ X‬مرك َز الدائر ِة‪َ ،‬و‪ T‬نقط َة ال َّتما ِّس‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫لحسا ِب طو ِل المما ِّس ‪ُ ،PT‬ثم ُأط ِّب ُق نظري َة فيثاغورس على المثل ِث القائ ِم ‪ ،XTP‬الذي ُيم ِك ُن‬ ‫‪P‬‬ ‫إيجا ُد طو َل ْي ضلع ْي ِن في ِه‪ ،‬هما‪ :‬نص ُف ال ُق ْط ِر ‪ ،XT‬والوت ُر ‪.XP‬‬ ‫طــو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر ‪ XT‬ه َو ‪ .5‬ولحســا ِب ‪َ ،XP‬أ ِج ُد المســاف َة بي َن مركــ ِز الدائر ِة )‪X (– 5, 4‬‬ ‫والنقط ِة )‪ P (6, –6‬باستعما ِل قانو ِن المساف ِة بي َن نقطت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪.(XP)2 = (6- (–5))2 + (–6 – 4)2 = (11)2 + (–10)2 = 221‬‬ ‫وبتطبي ِق نظري ِة فيثاغورس على المثل ِث‪: XTP‬‬ ‫‪(PT)2 = (XP)2 – (XT)2‬‬ ‫نظري ُةفيثاغور س‬ ‫‪61‬‬

‫‪= 221 – 25‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪=196‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪PT = √1  96 = 14‬‬ ‫بأخ ِذالجذ ِرالتربيع ِّيللطرف ْي ِ ن‬ ‫إذ ْن‪ ،‬طو ُل المما ِّس ‪ 14‬وحد ًة‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد طو َل المما ِّس المرسو ِم م َن النقط ِة )‪ ،P (7, 4‬الذي يم ُّس الدائر َة التي معادل ُتها‬ ‫‪. (x + 4)2 + (y – 1)2 = 81‬‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫ُأثبِ ُت أ َّن المستقي َم ‪ y = 2x + 3‬ه َو مما ٌّس للدائر ِة التي معادل ُتها‬ ‫‪.(x – 10)2 +(y – 8)2 = 45‬‬ ‫َأ ُح ُّل النظا َم ال ُمك َّو ُن م َن المعادلت ْي ِن‪َ ،y = 2x + 3 :‬و ‪(x – 10)2 + (y – 8)2 = 45‬؛ لإيجا ِد عد ِد‬ ‫نقا ِط تقاط ِع المســتقي ِم والدائر ِة‪ .‬فإذا كا َن عد ُد نقا ِط التقاط ِع واح ًدا فق ْط‪ ،‬فإ َّن المستقي َم يكو ُن‬ ‫مما ًّسا للدائر ِة‪.‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ y = 2x + 3‬في معادل ِة الدائر ِ ة ‪(x – 10)2 + (2x + 3 – 8)2 = 45‬‬ ‫‪(x – 10)2 + (2x – 5)2 = 45‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫‪x2 – 20 x + 100 + 4x2 – 20x + 25 = 45‬‬ ‫بف ِّك الأقوا ِ س‬ ‫‪5 x2 – 40 x + 80 = 0‬‬ ‫بجم ِع الحدو ِد المتشابه ِة ‪،‬‬ ‫وجع ِل الطر ِف الأيم ِن صف ًر ا‬ ‫‪x2 – 8 x + 16 = 0‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ 5‬‬ ‫‪(x – 4)2 = 0‬‬ ‫بالتحلي ِ ل‬ ‫‪x=4‬‬ ‫ ‬ ‫‪y = 2(4) + 3 = 11‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ x‬في إحدى المعادلت ْي ِن لإيجا ِد قيم ِة ‪ y‬‬ ‫بما أ َّن هذا المستقي َم يقط ُع الدائر َة في نقط ٍة واحد ٍة فق ْط ه َي (‪ ،)4, 11‬فإ َّن ُه مما ٌّس للدائر ِة‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ُأثبِ ُت أ َّن المستقي َم ‪ y = 4x - 5‬ه َو مما ٌّس للدائر ِة التي معادل ُتها‬ ‫‪.(x + 5)2 +(y – 9)2 = 68‬‬ ‫‪62‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫َأكت ُب معادل َة الدائر ِة في ك ٍّل م َن الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  1‬المرك ُز ه َو نقط ُة الأص ِل‪ ،‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 7‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪  2‬المرك ُز ه َو النقط ُة )‪ ،(–1, 3‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 5‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪  3‬المرك ُز ه َو النقط ُة )‪ ،(–3, –2‬وطو ُل ُق ْط ِرها ‪ 10‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد معادل َة الدائر ِة ال ُمعطى مرك ُزها وإحداث ّيا نقط ٍة تم ُّر بها في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪  4‬المرك ُز )‪ ،(–1, 2‬وتم ُّر بالنقط ِة )‪.(3, 5‬‬ ‫‪  5‬المرك ُز نقط ُة الأص ِل‪ ،‬وتم ُّر بالنقط ِة )‪.(–9, – 4‬‬ ‫َأ ِج ُد إحداث َّي ِي المرك ِز‪ ،‬وطو َل نص ِف ال ُق ْط ِر لك ٍّل م َن الدوائ ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪6  (x + 5)2 + (y – 8)2 = 36‬‬ ‫‪7  (x – 19)2 + (y – 33)2 = 400‬‬ ‫‪8   x2 + (y + 4)2 = 45‬‬ ‫‪9  (x – 3)2 + (y + 10)2 = 28‬‬ ‫َأ ِج ُد إحداث َّي ِي المرك ِز‪ ،‬وطو َل نص ِف ال ُق ْط ِر لك ٍّل م َن الدوائ ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪10   x2 + y2 – 18x + 14y = 14‬‬ ‫‪11   x2 + y2 + 8x = 9‬‬ ‫‪12  2x2 + 2y2 + 20x + 36y + 158 = 0‬‬ ‫‪13  4x2 + 4y2 + 120x + 855 = 24y‬‬ ‫أكتــ ُب معادلــ َة الدائر ِة بالصورت ْيــ ِن‪ ، x2 + y2 + 2fx + 2gy + c = 0 , (x – a)2 + (y – b)2 = r2 :‬حي ُث‪َ ، f :‬و‪َ ، g‬و ‪c‬‬ ‫أعدا ٌد صحيح ٌة في الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  14‬المرك ُز (‪ ،)–11, –1‬وطو ُل ال ُق ْط ِر ‪ 26‬وحد ًة‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪  15‬المرك ُز (‪ ،)3, 0‬وطو ُل نص ِف ال ُق ْط ِر  ‪ 4√3‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪  16‬المرك ُز (‪ ،)– 4, 7‬وتم ُّر بالنقط ِة (‪.)1, 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪َ   17‬أ ِج ُد معادل َة الدائر ِة ال ُمب َّين ِة في الرس ِم البيان ِّي المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪َ   18‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2 3 4 xx‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪63‬‬

‫‪  19‬أج ُد إحداث َّي ِي المرك ِز وطو َل نص ِف ُق ْط ِر الدائر ِة التي معادل ُتها‪.(2x – 4)2 + (2y + 6)2 = 100 :‬‬ ‫‪  20‬دائــر ٌة معادل ُتها ‪ ، x2 + y2 + px + 6y = 96‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها ‪ 11‬وحــد ًة‪َ ،‬و‪ p‬عد ٌد ثاب ٌت موج ٌب‪َ .‬أ ِج ُد ُب ْع َد مرك ِز‬ ‫الدائر ِة ع ْن نقط ِة الأص ِل‪.‬‬ ‫‪  21‬ممــ ٌّر‪ :‬مم ٌّر دائر ٌّي محصو ٌر بي َن دائرت ْي ِن ل ُهما المرك ُز نف ُســ ُه‪ ،‬وهــ َو النقط ُة (‪ .)7, 3‬إذا كا َنــ ِت الدائر ُة الكبرى تم ُّس‬ ‫المحــو َر ‪ ،y‬والصغرى تم ُّس المحو َر ‪ ،x‬ف َأكت ُب معادل َت ِي الدائرت ْي ِن اللت ْي ِن ُتشــ ِّكلا ِن المحيــ َط الخارج َّي والمحي َط‬ ‫الداخل َّي للمم ِّر‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد مساح َة المم ِّر بالوحدا ِت المر َّبع ِة‪.‬‬ ‫ُتم ِّث ُل النقطتا ِن )‪َ ،D (2, 9‬و )‪ E (14, –7‬نهاي َت ْي ُق ْط ٍر لدائر ٍة مرك ُزها ‪:C‬‬ ‫‪َ   22‬أ ِج ُد إحداث َّي ِي المرك ِز ‪.C‬‬ ‫‪َ   23‬أ ِج ُد طو َل نص ِف ال ُق ْط ِر‪.‬‬ ‫‪َ   24‬أكت ُب معادل َة الدائر ِة‪.‬‬ ‫‪ُ   25‬أثبِ ُت أ َّن المستقي َم ‪ y = 3x – 2‬ه َو مما ٌّس للدائر ِة التي معادل ُتها‪.x2 + y2 + 4x – 24y + 108 = 0 :‬‬ ‫‪ُ   26‬ر ِس َم مما ٌّس م َن النقط ِة )‪ P (8, 5‬للدائر ِة التي معادل ُتها‪َ . x2 + y2 + 8x – 6y – 75 = 0 :‬أ ِج ُد طو َل القطع ِة المستقيم ِة‬ ‫التي تص ُل النقط َة ‪ P‬بنقط ِة ال َّتما ِّس‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  27‬تبري ٌر‪ :‬قا َل عب ُد الرحم ِن إ َّن ‪ x2 + y2 – 14x + 6y + 59 = 0‬لي َس ْت معادل َة دائر ٍة‪ .‬ه ْل قو ُل عب ِد الرحم ِن صحي ٌح؟‬ ‫ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  28‬تح ٍّد‪ُ :‬ر ِس َم م َن النقط ِة )‪ A (8, 21‬مما ّسا ِن للدائر ِة التي مرك ُزها ‪ ،C‬فم ّساها عن َد النقطت ْي ِن ‪َ ،D‬و ‪ .B‬إذا كا َن ْت معادل ُة‬ ‫الدائر ِة ه َي ‪ ،(x – 9)2 + (y + 4)2 = 49‬فما مساح ُة الشك ِل الرباع ِّي ‪ABCD‬؟‬ ‫‪  29‬تح ٍّد‪َ :‬أكت ُب الصور َة القياسي َة لمعادل ِة الدائر ِة ‪ x2 + y2 + 8x – 10y + 24 = 0‬م ْن دو ِن استعما ِل طريق ِة‬ ‫إكما ِل المر َّب ِع‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫استكشا ُف الدوائ ِر المتما َّس ِة‬ ‫معم ُل‬ ‫‪Exploring Tangent Circles‬‬ ‫برمجي ِة‬ ‫جيوجبرا‬ ‫ُيم ِكنُني استعما ُل برمجي ِة جيوجبرا (‪ )GeoGebra‬لرس ِم دائرت ْي ِن‪ ،‬أنصا ُف أقطا ِر ِهما ُمح َّدد ٌة‪ ،‬وإيجا ِد ال ُب ْع ِد بي َن مركزيهما‪.‬‬ ‫نشاط ‪  1‬أرس ُم الشك َل الآت َي باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد ‪.AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ م ْن شري ِط الأدوا ِت‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :1‬أختا ُر أيقون َة  ‬ ‫الخطو ُة ‪:2‬أنق ُر ز َّر الفأر ِة الأيس َرم َع السح ِب لرس ِم دائر ٍة مرك ُزها ‪ .A‬ستظه ُر معادل ُة الدائر ِة بالصور ِة القياسي ِة في شري ِط الإدخا ِل‪،‬‬ ‫وسيظه ُر مرك ُزها على شك ِل زو ٍج مرت ٍب‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أك ِّر ُر الخطوت ْي ِن (‪َ )1‬و(‪ )2‬لرس ِم دائر ٍة مرك ُزها ‪ ،C‬وإيجا ِد نص ِف ُق ْط ِرها‪.‬‬ ‫ م ْن شــري ِط الأدوا ِت‪ ،‬ثــ َّم أنق ُر على المرك ِز‪،A‬‬ ‫الخطو ُة ‪ :4‬لأَ ِجــ َد ال ُب ْع َد بي َن مرك ِز ك ٍّل م َن الدائرت ْي ِن‪ ،‬أختا ُر  ‬ ‫ث َّم المرك ِز ‪ ،C‬وأقر ُأ ال ُب ْع َد بي َن المركز ْي ِن م ْن شري ِط الإدخا ِل‪.‬‬ ‫ُيم ِك ُن استعما ُل برمجي ِة جيوجبرا لاستكشا ِف العلاق ِة بي َن نص َف ْي ُق ْط َر ِي الدائرت ْي ِن‪ ،‬وموق ِع ك ٍّل منْ ُهما بالنسب ِة إلى الأُخرى‪.‬‬ ‫نشاط ‪  2‬‬ ‫‪  1‬أرس ُم ك ًّل من الدوائ ِر ال ُمب َّين ِة في الجدو ِل الآتي باستعما ِل برمجي ِة جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪  2‬إذا كا َن طــو ُل نص ِف ُق ْطــ ِر الدائر ِة الكبير ِة ‪ ، r1‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِر الدائر ِة الصغير ِة ‪ ،r2‬فأســتعم ُل برمجي َة جيوجبرا لأُك ِم َل‬ ‫الجدو َل الآت َي‪.‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪ُ   3‬أقار ُن بي َن قي ِم ‪َ ،r2 + r1‬و ‪َ r2 ‒ r1‬و ‪ ،AC‬ث َّم أستنت ُج العلاق َة بينَها وبي َن وض ِع الدائرت ْي ِن بالنسب ِة إلى بع ِض ِهما‪.‬‬ ‫الاستنتا ُج‬ ‫‪r1 + r2 r1 ‒ r2 AC‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫وض ُع الدائرت ْي ِن‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫أتدرب‬ ‫ُأح ِّد ُد وض َع الدائرت ْي ِن بالنسب ِة إلى بع ِض ِهما في ك ٍّل م َن الحالا ِت الآتي ِة دو َن رس ِم ِهما‪:‬‬ ‫‪1  r1 = 9, r2 = 5 , AC = 3‬‬ ‫‪2  r1 = 11, r2 = 5 , AC = 6‬‬ ‫‪3  r1 = 6, r2 = 3 , AC = 17‬‬ ‫‪4  r1 = 8, r2 = 5 , AC = 3‬‬ ‫‪66‬‬

‫الدوائ ُر المتما َّس ُة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Tangent Circles‬‬ ‫‪5‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  استنتا ُج العلاق ِة بي َن دائرت ْي ِن‪ ،‬وتع ُّر ُف المما ّسا ِت المشترك ِة‪ ،‬وتوظي ُف ذل َك في َح ِّل مسائ َل حياتي ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الدائرتا ِن المتما َّستا ِن‪ ،‬المما ُّس المشتر ُك الخارج ُّي‪ ،‬المما ُّس المشتر ُك الداخل ُّي‪.‬‬ ‫ يدو ُر حزا ٌم م ّطاط ٌّي حو َل بكرت ْي ِن دائريت ْي ِن‪ ،‬طو ُل نص َف ْي ُق ْط َر ْي ِهما‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫‪َ ،8 cm‬و‪ 3 cm ‬على التوالــي‪ .‬إذا كا َن طو ُل الحزا ِم بي َن نقط َت ِي‬ ‫ال َّتما ِّس م َع البكرت ْي ِن ‪ ،25 cm‬فما المساف ُة بي َن مرك َز ِي البكرت ْي ِن؟‬ ‫ُيم ِك ُن أ ْن تتقاط َع الدائرتا ِن المرســومتا ِن في مست ًوى واح ٍد في نقط ٍة واحد ٍة‪ ،‬أ ْو نقطت ْي ِن‪ ،‬وق ْد لا تتقاطعا ِن أب ًدا‪ .‬و ُتس ّمى الدائرتا ِن‬ ‫ال ُمتقاطِعتا ِن في نقط ٍة واحد ٍة فق ْط دائرت ْي ِن متما َّست ْي ِن )‪.)tangent circles‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌّي‬ ‫إذا ُر ِســ َم ْت دائرتا ِن في مســت ًوى واح ٍد‪ ،‬فإ َّن وض َع ُهما بالنســب ِة إلى بع ِض ِهما ينحص ُر في‬ ‫الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪  4‬إُمَّنصهشوـمـراتت ِارمتِنكت‪:‬ماا َِّنسـفـتيا نِنق‪.‬ط ٍوةلهواذاحادل ٍةو؛ أض ْ ِيع‬ ‫‪ُ   1‬متبا ِعدتا ِن‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪ُ   2‬متقاطِعتا ِن في نقطت ْي ِن‪.‬‬ ‫متما َّستا ِن م َن الخار ِج‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪  3‬إحدا ُهما داخ َل الأُخرى‪.‬‬ ‫متما َّستا ِن م َن الداخ ِل‪.‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫‪67‬‬

‫إذا كا َن المســتقي ُم مما ًّسا لك ٍّل م ْن دائرت ْي ِن‪ ،‬فإ َّن ُه ُيس ّمى مما ًّسا مشتر ًكا )‪.(common tangent‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫وإذا قط َع المما ُّس المشــتر ُك القطع َة المســتقيم َة الواصل َة بي َن مرك َز ِي الدائرت ْي ِن‪ ،‬فإ َّن ُه ُيســ ّمى‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫الممــا َّس المشــتر َك الداخلــ َّي )‪ ،(common internal tangent‬وإ ّل فإ َّن ُه ُيســ ّمى المما َّس‬ ‫‪D‬‬ ‫المشــتر َك الخارج َّي )‪ .(common external tangent‬ففي الشــك ِل المجاو ِر‪⟷AB ،‬مما ٌّس‬ ‫مشتر ٌك خارج ٌّي‪َ ،‬و ‪⟷CD‬مما ٌّس مشتر ٌك داخل ٌّي‪.‬‬ ‫ُيم ِك ُن رســ ُم مما ٍّس واح ٍد فق ْط للدائر ِة عن َد نقط ٍة عل ْيها‪ ،‬و ُيم ِك ُن أي ًضا رس ُم مما َّس ْي ِن للدائر ِة م ْن‬ ‫نقط ٍة خار َجها‪ ،‬فما عد ُد المما ّسا ِت المشــترك ِة التي ُيم ِك ُن رس ُمها للدائرت ْي ِن؟تعتم ُد إجاب ُة هذا‬ ‫السؤا ِل على وض ِع الدائرت ْي ِن بالنسب ِة إلى بع ِض ِهما‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫كــ ْم مما ًّســا ُمشــت َر ًكا ُيمكِــ ُن رســ ُم ُه للدائرت ْيــ ِن فــي‬ ‫الشــك ِل الآتــي؟ أرســ ُم المما ّســا ِت‪ ،‬ثــ َّم ُأص ِنّ ُفهــا إلــى‬ ‫خارجيــ ٍة وداخليــ ٍة‪.‬‬ ‫أرســ ُم القطعــ َة المســتقيم َة الواصل َة بيــ َن مرك َز ِي‬ ‫الدائرت ْي ِن‪ ،‬ث َّم أرســ ُم المما ّســا ِت التي تقط ُعها بلو ٍن‬ ‫أحم َر‪ ،‬والمما ّسا ِت التي لا تقط ُعها بلو ٍن أزر َق‪.‬‬ ‫ُألا ِح ُظ أ َّن ُه يوج ُد للدائرت ْي ِن مما ّسا ِن داخليا ِن‪ ،‬وآخرا ِن خارجيا ِن‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ك ْم مما ًّسا ُمشت َر ًكا ُيمكِ ُن رس ُم ُه للدائرت ْي ِن في الشك ِل الآتي؟ أرس ُم المما ّسا ِت‪ ،‬ث َّم ُأص ِّن ُفها إلى‬ ‫خارجي ٍة وداخلي ٍة‪.‬‬ ‫ )‪a)  b‬‬ ‫‪68‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫ُيم ِك ُن حســا ُب طو ِل المما ِّس المشتر ِك (المســاف ُة بي َن نقط َت ِي ال َّتما ِّس على الدائرت ْي ِن) بطريق ٍة‬ ‫ُمماثِل ٍة لحسا ِب طو ِل المما ِّس المرسو ِم م ْن نقط ٍة خار َج الدائر ِة إلى نقط ٍة عل ْيها‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل ‪ AB‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28 cm‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10 cm‬‬ ‫أم ُّد ‪ MA‬على اســتقامتِ ِه‪ ،‬ث َّم أرس ُم م ْن ‪ N‬عمو ًدا‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪N‬‬ ‫على امتدا ِد ‪ ، MA‬ث َّم ُأســ ّمي نقط َة تقاط ِع العمو ِد‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28 cm‬‬ ‫م َعها ‪.C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪m ∠ NBA =m ∠ BAC = 90º‬‬ ‫المما ُّس عمود ٌّي على نص ِ ف‬ ‫ال ُق ْط ِر الما ِّر بنقط ِة ال َّتما ِّ س‬ ‫‪m ∠ ACN = 90º‬‬ ‫‪m ∠ BNC = 90º‬‬ ‫‪ NC‬عمود ٌّي على ‪M A‬‬ ‫مجمو ُع قياسا ِت زوايا الشك ِل الرباع ِّي ‪ 360º‬‬ ‫‪AB = NC‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬الشك ُل الرباع ُّي ‪ ACNB‬مستطي ٌل؛ لأ َّن زوايا ُه الأرب َع قوائ ُم‪.‬‬ ‫ضلعا ِن ُمتقابِلا ِنفيالمستطي ِ ل‬ ‫والآ َن‪ُ ،‬أط ِّب ُق نظري َة فيثاغورس على المثل ِث قائ ِم الزاوي ِة ‪ MCN‬لأَ ِج َد ‪:CN‬‬ ‫‪(CN)2 = (MN)2 – (MC)2‬‬ ‫نظري ُةفيثاغور س‬ ‫‪= 282 – ( 6 + 10)2‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪(CN)2 = 784 – 256 = 528‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫بأخ ِذالجذ ِرالتربيع ِّيللطرف ْي ِ ن‬ ‫‪CN = √5  28 ≈ 23‬‬ ‫‪AB = CN ≈ 23 cm‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪O‬‬ ‫َأ ِج ُد طو َل المما ِّس المشتر ِك ‪ ST‬في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬عل ًما بأ َّن‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪PT = 12 cm, OS = 4 cm, PO = 34 cm‬‬ ‫‪69‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫‪12‬‬ ‫د ّراجا ٌت‪ :‬تلتــ ُّف في د ّراج ٍة هوائي ٍة سلســل ٌة معدني ٌة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫على عجلت ْي ِن ُمسنَّنت ْي ِن دائريت ْي ِن‪ ،‬نص ُف ُق ْط ِر الصغرى‬ ‫‪M 55‬‬ ‫‪ ،4 cm‬ونص ُف ُق ْط ِر الكبرى ‪ ،12 cm‬والمساف ُة بي َن‬ ‫مركز ْي ِهما ‪َ .55 cm‬أ ِج ُد طو َل السلســل ِة بي َن نقط َت ْي‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫لركو ِب الد ّراجــ ِة الهوائي ِة فوائ ُد‬ ‫‪F12‬‬ ‫تما ِّسها م َع ال ُمس َّننت ْي ِن‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫صحي ٌة وبيئي ٌة كثيــر ٌة‪ ،‬منْها‪ :‬تقوي ُة‬ ‫‪M 55‬‬ ‫المطلو ُب ه َو حسا ُب طو ِل ‪.DE‬‬ ‫عضلا ِت الجســ ِم‪ ،‬والتقلي ُل م َن‬ ‫أرســ ُم م ْن ‪ M‬عمو ًدا علــى ‪ ،NE‬ث َّم ُأســ ّمي نقط َة‬ ‫التلــ ُّو ِث الناج ِم ع ِن اســتعما ِل‬ ‫تقاط ِع ِه م َعها ‪ F‬كما في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫وسائ ِل النق ِل التقليدي ِة‪.‬‬ ‫‪m ∠ NED =m ∠ MDE = 90º‬‬ ‫المما ُّس يتعام ُد م َع نص ِ ف‬ ‫ال ُق ْط ِر الما ِّر بنقط ِة ال َّتما ِّس ‬ ‫‪m ∠ MFE = 90º‬‬ ‫‪m ∠ DMF = 90º‬‬ ‫‪ MF‬عمود ٌّي على ‪N E‬‬ ‫مجمو ُع قياسا ِت زوايا الشك ِل الرباع ِّي ‪ 360º‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬الشك ُل الرباع ُّي ‪ MDEF‬مستطي ٌل؛ لأ َّن زوايا ُه الأرب َع قوائ ُم‪.‬‬ ‫والآ َن‪ُ ،‬أط ِّب ُق نظري َة فيثاغورس على المثل ِث قائ ِم الزاوي ِة ‪ MFN‬لأَ ِج َد طو َل ‪:MF‬‬ ‫‪(MF)2 = (MN)2 – (FN)2‬‬ ‫نظري ُةفيثاغور س‬ ‫‪= 552 – ( 12 – 4)2‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪(MF)2 = 3025 – 64 = 2961‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫بأخ ِذالجذ ِرالتربيع ِّيللطرف ْي ِ ن‬ ‫‪MF = √2  961 = 54.4‬‬ ‫‪DE = MF = 54.4 cm‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد طو َل نص ِف ُق ْط ِر العجل ِة ال ُمســنَّن ِة الكبرى في د ّراج ٍة‪ ،‬عل ًما بأ َّن طو َل السلســل ِة بي َن نقط َت ْي‬ ‫تما ِّسها م َع ال ُمســ َنّنت ْي ِن ‪ ،40 cm‬وطو َل نص ِف ُق ْط ِر العجل ِة ال ُمسنَّن ِة الصغرى ‪ ،5 cm‬والمساف َة‬ ‫بي َن مرك َز ِي العجلت ْي ِن ال ُمس ّنَنت ْي ِن ‪.41 cm‬‬ ‫‪70‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫ ‪1‬‬ ‫ُأح ِّد ُد إذا كا َن المما ُّس داخل ًّيا أ ْم خارج ًّيا في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪2  3‬‬ ‫ك ْم مما ًّسا مشتر ًكا ُيمكِ ُن رس ُم ُه لك ٍّل م ْن أزوا ِج الدوائ ِر الآتي ِة؟ أرس ُمها‪ ،‬ث َّم ُأص ّنِ ُفها إلى خارجي ٍة وداخلي ٍة‪.‬‬ ‫ ‪4  5  6‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ُ   7‬يب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر مما َّســ ْي ِن مــ َن النقطــ ِة ‪ A‬لدائرت ْي ِن‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪O‬‬ ‫متما َّســت ْي ِن م َن الخار ِج‪َ .‬أ ِج ُد طو َل ‪ CB‬باستعما ِل القياسا ِت‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ال ُمب َّين ِة في الشك ِل‪A .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ُ   8‬يب ِّي ُن الشك ُل المجاو ُر دائرت ْي ِن متما َّست ْي ِن م َن الخار ِج‪ ،‬والمما ّسا ِت‪َ ،AB :‬و ‪،AC‬‬ ‫َو‪ .AD ‬إذا كا َن ‪َ ، AC = 2 x + 5‬و ‪ ،AB = 3 x – 2‬فما قيم ُة ‪x‬؟‬ ‫‪T‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪CS‬‬ ‫‪71‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪َ   9‬أ ِج ُد طو َل ‪ AB‬باستعما ِل القياسا ِت ال ُمب َّين ِة في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M 17‬‬ ‫‪  10‬حــزا ٌم ناق ٌل‪ :‬يم ُّر حزا ٌم حو َل دولاب ْي ِن دائري ْي ِن‪ ،‬نص ُف ُق ْط ِر الصغي ِر منْ ُهما ‪ ،15 cm‬ونص ُف ُق ْط ِر الكبي ِر ‪ .25 cm‬إذا كا َن‬ ‫طو ُل الحزا ِم بي َن نقط َت ِي ال َّتما ِّس م َع الدولاب ْي ِن ‪ ،2 m‬فما المساف ُة بي َن مرك َز ِي الدولاب ْي ِن؟‬ ‫‪ُ   11‬أح ِّد ُد وض َع الدائرت ْي ِن بالنسب ِة إلى بع ِض ِهما إذا كا َن ْت معادلتا ُهما‪. x2 + y2 – 6x + 8y – 11 =0, x2 + y2 = 25 :‬‬ ‫‪E y –1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪15 – x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪َ   12‬أ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م َن ‪َ x‬و ‪ y‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C 3y – 17‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  13‬تحــ ٍّد‪ُ :‬يم ِّث ُل الشــكلا ِن الآتيا ِن طريقت ْي ِن لرســ ِم دائر ٍة ُتلا ِمــ ُس ك ًّل م َن الدائــر ِة الزرقا ِء‪ ،‬والخضــرا ِء‪ ،‬والحمرا ِء‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد ‪ 6‬طرائ َق ُأخرى لرس ِم هذ ِه الدائر ِة‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪  14‬برهــا ٌن‪ُ :‬تم ِّث ُل ‪ RS‬في الشــك ِل المجاو ِر مما ًّســا‬ ‫‪A‬‬ ‫داخل ًّيا مشــتر ًكا لدائرت ْي ِن مركزا ُهما ‪َ ،A‬و ‪ B‬على ‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. RC‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫التوالي‪ُ .‬أثبِ ُت أ َّن‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪SC‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪  4‬طو ُل القو ِس الأصغ ِر ‪ AB‬بدلال ِة ‪ π‬في الشــك ِل الآتي‬ ‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫ه َو‪:‬‬ ‫َأض ُع دائر ًة حو َل رم ِز الإجاب ِة الصحيح ِة في ما يأتي‪:‬‬ ‫‪َ AB  1‬و ‪ CB‬في الشك ِل الآتي وترا ِن في دائر ٍة مرك ُزها ‪.O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫إذا كا َن ‪َ ،AS = 4 cm‬و ‪ ،OT = 3 cm‬فــإ َّن طو َل ‪BC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫بالسنتيمترا ِت ه َو‪:‬‬ ‫‪45º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ )‪a‬‬ ‫‪9π‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ )‪c‬‬ ‫‪9π‬‬ ‫ )‪d‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) 6 b) 7‬‬ ‫‪c) 8 d) 10‬‬ ‫‪  5‬قيم ُة ‪ x‬في الشك ِل الآتي ه َي‪:‬‬ ‫‪  2‬اعتما ًدا على الشك ِل الآتي‪ ،‬فإ َّن طو َل ‪ LM‬ه َو‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪95º‬‬ ‫‪D2 3 C‬‬ ‫‪61º‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪a) 61º‬‬ ‫‪b) 24º‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪c) 34º‬‬ ‫‪d) 95º‬‬ ‫‪a) 5 b) 8‬‬ ‫‪  6‬قيا ُس الزاوي ِة ‪ DCA‬في الشك ِل الآتي ه َو‪:‬‬ ‫‪c) 10‬‬ ‫‪d) 13‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  3‬اعتما ًدا على الشك ِل الآتي‪ ،‬فإ َّن طو َل نص ِف ُق ْط ِر الدائر ِة‬ ‫‪O 58º B‬‬ ‫ه َو‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪T 16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪23º‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x8‬‬ ‫‪Ox‬‬ ‫‪a) 41º‬‬ ‫‪a) 55º‬‬ ‫‪c) 45º‬‬ ‫‪b) 35º‬‬ ‫‪a) 5.75‬‬ ‫‪b) 12‬‬ ‫‪c) 4‬‬ ‫‪d) 8‬‬ ‫‪73‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫َأ ِج ُد المساح َة والمحي َط لك ٍّل م َن القطاع ْي ِن الآتي ْي ِن‪:‬‬ ‫‪  7‬النقطــ ُة التي لا تقــ ُع علــى الدائــر ِة التــي معادل ُتها‬ ‫‪ (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25‬ه َي‪:‬‬ ‫  ‪12   13‬‬ ‫)‪a)  (–2, –1‬‬ ‫)‪b)  (1, 8‬‬ ‫‪11 8‬‬ ‫‪50º‬‬ ‫)‪c)  (3, 4‬‬ ‫)‪d)  (0, 5‬‬ ‫‪  14‬أقما ٌر صناعيــ ٌة‪ :‬يرتف ُع قم ٌر صناع ٌّي مســاف َة ‪640 km‬‬ ‫‪  8‬عد ُد المما ّسا ِت المشترك ِة التي ُيم ِك ُن رس ُمها لدائرت ْي ِن‬ ‫ع ْن ســط ِح الأر ِض التــي نص ُف ُق ْط ِرهــا ‪،6360 km‬‬ ‫متما َّست ْي ِن م َن الداخ ِل ه َو‪:‬‬ ‫و ُيم ِك ُن منْ ُه مشاهد ُة المنطق ِة الواقع ِة بي َن المما َّس ْي ِن ‪⟷SB‬‬ ‫َو ‪⟷SA‬م ْن سط ِح الأر ِض‪ .‬ما المساف ُة بي َن القم ِر الصناع ِّي‬ ‫‪a) 3 b) 2‬‬ ‫وأبع ِد نقط ٍة ُيم ِك ُن مشاهد ُتها منْ ُه على سط ِح الأر ِض؟‬ ‫‪c) 1 d) 0‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪  9‬أكت ُب معادل َة الدائر ِة التــي ُتم ِّث ُل النقطتا ِن )‪،A( 4, – 3‬‬ ‫َو )‪ B( 6, 9‬طرفا ُق ْط ٍر فيها‪.‬‬ ‫‪640‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ُيم ِّث ُل الشــك ُل التالي قطاع ْي ِن دائري ْي ِن م ْن دائرت ْي ِن ل ُهما المرك ُز‬ ‫نف ُســ ُه ‪ .O‬إذا كا َن نص ُف ُق ْط ِر الدائــر ِة الصغرى ‪ ،2x‬ونص ُف‬ ‫‪6360‬‬ ‫ُق ْطــ ِر الدائر ِة الكبــرى ‪ ،3x‬وقيا ُس الزاويــ ِة ‪ AOB‬ه َو ‪،43º‬‬ ‫ومساح ُة المنطق ِة ‪ ABCD‬ه َي ‪ ،30 cm2‬ف َأ ِج ُد‪:‬‬ ‫‪  10‬قيم َة ‪.x‬‬ ‫‪  11‬الفر َق بي َن طو َل ِي القوس ْي ِن ‪َ ،CD‬و‪.AB‬‬ ‫‪  15‬حــزا ٌم م ّطاط ٌّي‪ :‬يــدو ُر حــزا ٌم م ّطاط ٌّي حــو َل بكرت ْي ِن‬ ‫‪2x A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫دائريت ْي ِن‪ ،‬طو ُل نص َفــ ْي ُق ْط َر ْي ِهما ‪َ ،8 cm‬و ‪ 3 cm‬على‬ ‫‪O 43º‬‬ ‫‪C‬‬ ‫التوالــي‪ .‬إذا كا َن طو ُل الحزا ِم بيــ َن نقط َت ِي ال َّتما ِّس م َع‬ ‫‪3x B‬‬ ‫البكرت ْي ِن ‪ ،25 cm‬فما المساف ُة بي َن مرك َز ِي البكرت ْي ِن؟‬ ‫‪74‬‬

‫اختبا ُر نهاي ِة الوحد ِة‬ ‫‪ُ   18‬يم ِّث ُل الشك ُل الآتي دائرت ْي ِن متما َّست ْي ِن م َن الخار ِج‪ُ ،‬ر ِس َم‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫ل ُهما مما ٌّس مشتر ٌك م َن النقط ِة ‪ A‬الواقع ِة على المستقي ِم‬ ‫‪  16‬تتقاطــ ُع دائرتــا ِن مركزا ُهمــا ‪ A, D‬فــي النقطت ْيــ ِن‬ ‫الما ِّر بالمركز ْي ِن ‪َ N‬و ‪ .M‬إذا كا َن نصفا ُق ْط َر ِي الدائرت ْي ِن‬ ‫‪َ E‬و ‪ .C‬إذا كا َن ‪ ،AB = EC = 10 cm‬فمــا طو ُل ‪BD‬‬ ‫‪ 4‬وحدا ٍت َو ‪ 9‬وحدا ٍت‪ ،‬فأ ُّي العبارا ِت التالي ِة صحيح ٌة‪:‬‬ ‫بالسنتيمترا ِت؟‬ ‫‪MN‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  )a‬طو ُل ‪ AN‬يساوي طو َل ‪. AC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  )b‬طو ُل ‪ BC‬يساوي ‪ 13‬وحد ًة‪.‬‬ ‫ ‪a) 5√2‬‬ ‫ ‪c) 10√2‬‬ ‫ ‪b) 10√3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪AC‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‪AB‬‬ ‫‪)c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪d) 5√3‬‬ ‫= ‪.AC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪AB‬‬ ‫‪)d‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪  17‬النقطتا ِن ‪َ N‬و ‪ M‬هما مركزا الدائرت ْي ِن في الشك ِل الآتي‪.‬‬ ‫‪َ   19‬أ ِج ُد طو َل ‪ AM‬في السؤا ِل الساب ِق ُمب ِّينًا خطوا ِت ال َح ِّل‪.‬‬ ‫إذا كا َن ْت مســاح ُة المنطق ِة ال ُمظ َّلل ِة في الدائر ِة الكبرى‬ ‫‪ 9‬وحدا ٍت مر َّبع ٍة‪ ،‬فما مســاح ُة المنطقــ ِة ال ُمظ َّلل ِة في‬ ‫‪ُ   20‬يم ِّث ُل الشك ُل الآتي مضما ًرا للجر ِي م ْن ثماني ِة مسار َب‪،‬‬ ‫ك ٌّل منْها يتك َّو ُن م ْن جزأ ْي ِن مستقيم ْي ِن متوازي ْي ِن‪ ،‬ونص َف ْي‬ ‫الدائر ِة الصغرى بالوحدا ِت المر َّبع ِة؟‬ ‫دائرت ْيــ ِن متصلت ْيــ ِن ب ِهما‪ .‬إذا كا َن عر ُض ك ِّل مســر ٍب‬ ‫‪M aº‬‬ ‫‪N aº‬‬ ‫‪ ،1 m‬فبك ْم يزيــ ُد طو ُل الح ِّد الداخل ِّي م َن المســر ِب‬ ‫الثال ِث على طو ِل الح ِّد الداخل ِّي م َن المسر ِب الأو ِل؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪a) 3 b) 4‬‬ ‫‪c) 5 d) 7‬‬ ‫‪75‬‬

‫حسا ُب المثلثا ِت‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Trigonometry‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ما أهمي ُة هذ ِه‬ ‫الوحد ِة؟‬ ‫ُت َع ُّد دراســ ُة العلاقا ِت بي َن أطوا ِل أضلا ِع‬ ‫المثل ِث وقياســا ِت زوايا ُه (أ ْو ما ُيس ّمى عل َم‬ ‫المثلثا ِت) أح َد أه ِّم فرو ِع الرياضيا ِت وأقد ِمها؛‬ ‫إ ْذ ســاع َد هذا العلــ ُم قدمــا َء المصريي َن على‬ ‫بنا ِء الأهراما ِت ودراســ ِة ال َفل ِك‪ ،‬وق ِد استم َّر‬ ‫الاهتما ُم ب ِه ح ّتى اليو ِم؛ فكا َن أسا ًســا لكثي ٍر‬ ‫م َن العلو ِم الأُخرى‪.‬‬ ‫س َأتع َّل ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا‪:‬‬ ‫✔مفهو َم جي ِب الزاوي ِة الحا َّد ِة‪ ،‬وجي َب تما ِمها‪ ،‬وظ ِّلها‬ ‫◂ماهي َة دائر ِة الوحد ِة‪ ،‬ووض َع الزاوي ِة القياس َّي‪.‬‬ ‫◂إيجا َد النس ِب المثلثي ِة للزوايا ضم َن الدور ِة الواحد ِة‪.‬‬ ‫بوص ِفها نس ًبا بي َن أضلا ِع المثل ِث قائ ِم الزاوي ِة‪.‬‬ ‫◂تمثي َل الاقترانا ِت المثلثي ِة في المســتوى الإحداث ِّي‪،‬‬ ‫✔اســتخدا َم العلاق ِة ‪ cos2 θ + sin2 θ = 1‬في َح ِّل‬ ‫واستنتا َج خصا ِئصها‪.‬‬ ‫مسأل ٍة ع ْن مثل ٍث قائ ِم الزاوي ِة‪.‬‬ ‫◂ َح َّل معــادلا ٍت مثلثي ٍة‪ ،‬بحي ُث تكو ُن مجموع ُة ال َح ِّل‬ ‫✔ َحــ َّل معادلا ٍت خ ِّطيــ ٍة وتربيعي ٍة ضمــ َن مجموع ِة‬ ‫ضم َن الدور ِة الواحد ِة‪.‬‬ ‫الأعدا ِد الحقيقي ِة‪.‬‬ ‫‪76‬‬

‫مشرو ُع‬ ‫إنشا ُء نظا ٍم إحداث ٍّي جدي ٍد‬ ‫الوحد ِة‬ ‫  فكر ُة المشرو ِع  إنشا ُء نظا ٍم إحداث ٍّي جدي ٍد‪ ،‬يعتم ُد ال ُب ْع َد ع ْن نقط ٍة مرجعي ٍة‪ ،‬وقيا َس زاوي ِة المي ِل على الخ ِّط الأفق ِّي‪.‬‬ ‫  الموا ُّد والأدوا ُت  أورا ٌق‪ ،‬مسطر ٌة‪ ،‬منقل ٌة‪ ،‬فرجا ٌر‪ ،‬آل ٌة حاسب ٌة‪.‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫نظــا ُم الإحداثيا ِت القطبي ِة‪ُ :‬يم ِك ُن تحدي ُد موق ِع أ ِّي نقط ٍة في المســتوى باســتعما ِل‬ ‫‪150°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫الزو ِج ال ُمر َّت ِب )‪ ،(r, θ‬حي ُث‪:‬‬ ‫‪A 30°‬‬ ‫‪ُ :r‬ب ْع ُد النقط ِة ع ْن نقط ٍة مرجعي ٍة ُتس ّمى القط َب‪.‬‬ ‫‪ :θ‬الزاوي ُة بي َن الشــعا ِع الما ِّر بالنقطــ ِة والقط ِب‪ ،‬والمحو ِر القطب ِّي‪ ،‬وه َو الشــعا ُع‬ ‫‪180°‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 0°‬‬ ‫الأفقــ ُّي م َن القط ِب باتجا ِه اليمي ِن‪ُ .‬يلا َح ُظ م َن الشــك ِل المجاو ِر أ َّن إحداث َّي ِي النقط ِة‬ ‫‪210°‬‬ ‫‪330°‬‬ ‫‪ A‬هما‪ُ .(6, 30º) :‬تس ّمى هذ ِه الطريق ُة نظا َم الإحداثيا ِت القطبي ِة‪.‬‬ ‫‪240°‬‬ ‫‪300°‬‬ ‫تحوي ُل الإحداثيا ِت القطبي ِة إلى إحداثيا ٍت ديكارتيــ ٍة‪ :‬لتحوي ِل الإحداثيا ِت القطبي ِة‬ ‫‪270°‬‬ ‫إلى إحداثيا ٍت ديكارتي ٍة‪ ،‬أرســ ُم عمو ًدا م َن النقط ِة التي ُيــرا ُد تحوي ُل إحداثيَّيْها إلى‬ ‫‪90° y‬‬ ‫)‪P (x,y‬‬ ‫المحو ِر الأفق ِّي‪ ،‬ث َّم أستعم ُل النس َب المثلثي َة لحسا ِب طو َل ْي ضل َع ِي المثل ِث النات ِج‪،‬‬ ‫)‪P (r,ϴ‬‬ ‫كما في الشــك ِل المجاو ِر‪ ،‬للحصو ِل على الإحداثي ْي ِن ‪َ x‬و ‪ y‬لتل َك النقط ِة‪ .‬للتحوي ِل‬ ‫‪r‬‬ ‫مــ َن النظا ِم الديكارت ِّي إلى النظا ِم القطب ِّي‪َ ،‬أ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ْن ‪َ r‬و ‪ θ‬بطريق ٍة عكســي ٍة‪،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ϴ‬‬ ‫وذل َك باستعما ِل النس ِب المثلثي ِة‪.‬‬ ‫اﳌﺤﻮ ﹸر اﻟﻘﻄﺒ ﱡﻲ‬ ‫‪0x‬‬ ‫‪x 0°‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪:‬‬ ‫‪  1‬أســتعم ُل مسطر ًة وفرجا ًرا لرس ِم نسخ ٍة ُمك َّبر ٍة للمســتوى القطب ِي أعلا ُه‪ُ ،‬مح ِّد ًدا عل ْي ِه مواق َع ‪ 6‬نقا ٍط تمث ُل رؤو َس ُسداس ٍّي‬ ‫منتظ ٍم‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد إحداثياتِها القطبي ِة )‪ ،(r, θ‬والديكارتي ِة )‪.(x, y‬‬ ‫‪َ   2‬أ ِص ُل بي َن النقا ِط الست ِة بلو ٍن مختل ٍف‪ ،‬ث َّم أستعم ُل قانو َن المساف ِة بي َن نقطت ْي ِن لإيجا ِد محي ِط الشك ِل السداس ِّي‪.‬‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫ُأص ِّم ُم م َع أفرا ِد مجموعتي مجل ًة أ ْو لوح ًة تتض َّم ُن ما يأتي‪:‬‬ ‫ خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع ُمو َّضح ًة بالصو ِر والرسو ِم‪.‬‬ ‫ وص ٌف لتطبي ٍق حيات ٍّي ُتستع َم ُل في ِه الإحداثيا ُت القطبي ُة‪.‬‬ ‫‪77‬‬

‫النس ُب المثلثي ُة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Trigonometric Ratios‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ تع ُّر ُف الوض ِع القياســ ِّي للزاوي ِة‪ ،‬ورب ُط النســ ِب المثلثي ِة بدائر ِة الوحــد ِة‪ ،‬وإيجا ُدها للزوايا الربعي ِة‪،‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫وإيجا ُد النســبت ْي ِن المثلثت ْي ِن الأساســيت ْي ِن الباقيت ْي ِن في حا ِل معرف ِة إحدى النســ ِب المثلثي ِة الأساسي ِة‬ ‫للزاوي ِة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  ضل ُع الابتــدا ِء‪ ،‬ضل ُع الانتها ِء‪ ،‬الوض ُع القياســ ُّي‪ ،‬دائــر ُة الوحد ِة‪،‬‬ ‫الزاوي ُة الربعي ُة‪120º .‬‬ ‫ تع َّل ْم ُت ســاب ًقا إيجا َد النســ ِب المثلثي ِة لزوايا حا َّد ٍة‪ ،‬مث ِل النس ِب بي َن‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫أطوا ِل أضــا ِع المثل ِث قائــ ِم الزاوي ِة‪ .‬ولك ْن‪ ،‬كيــ َف ُيم ِك ُن إيجا ُد‬ ‫النس ِب المثلثي ِة لزاوي ٍة أكب َر م ْن ‪ ،90º‬مث ِل الزاوي ِة بي َن شفرا ِت مروح ِة‬ ‫تولي ِد الطاق ِة الكهربائي ِة؟‬ ‫الزاويــ ُة ه َي اتحا ُد شــعاع ْي ِن ل ُهمــا نقط ُة البداي ِة نف ُســها‪ .‬والنقط ُة المشــترك ُة ُتعــ َر ُف برأ ِس‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫ا ِّتجا ُه حرك ِة‬ ‫الزاوي ِة‪ ،‬أ ّما الشــعاعا ِن ف ُيســ ّمى أح ُد ُهما ضل َع الابتدا ِء )‪ ،(initial side‬والآخ ُر ضل َع الانتها ِء‬ ‫عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫)‪ .(terminal side‬يوج ُد قياسا ِن لأ ِّي زاوي ٍة؛ أح ُد ُهما موج ٌب عندما يدو ُر ضل ُع الابتدا ِء عك َس‬ ‫اتجا ِه حرك ِة عقار ِب الســاع ِة‪ ،‬والآخ ُر سال ٌب حي َن يدو ُر ضل ُع الابتدا ِء م َع اتجا ِه حرك ِة عقار ِب‬ ‫عك ُس حرك ِة‬ ‫عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫الساع ِة‪.‬‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﻧﺘﻬﺎ ﹺء‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹲس ﺳﺎﻟ ﹲﺐ‬ ‫ﻗﻴﺎ ﹲس ﻣﻮﺟ ﹲﺐ‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫ﺿﻠ ﹸﻊ اﻻﺑﺘﺪا ﹺء‬ ‫  ‬ ‫تكو ُن الزاوي ُة المرســوم ُة في المستوى الإحداث ِّي في الوض ِع القياس ِّي (‪)standard position‬‬ ‫إذا كا َن رأ ُسها عن َد نقط ِة الأص ِل (‪ ،)0, 0‬وضل ُع ابتدا ِئها ُمنطبِ ًقا على محو ِر ‪ x‬الموج ِب‪.‬‬ ‫‪78‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻻﻧﺿﺘﻠﻬ ﹸﺎﻊ ﹺء‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻻﺑﺿﺘﻠﺪ ﹸاﻊ ﹺء‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ ﻏ ﹺﲑ اﻟﻘﻴﺎ ﱢﳼ‪.‬‬ ‫زاوﻳ ﹲﺔ ﰲ اﻟﻮﺿ ﹺﻊ اﻟﻘﻴﺎ ﱢﳼ‪.‬‬ ‫  ‬ ‫  مثال ‪1‬‬ ‫ُأح ِّد ُد إذا كا َن ِت الزاويتا ِن الآتيتا ِن في وض ٍع قياس ٍّي أ ْم لا‪ُ ،‬مب ِّي ًنا السب َب‪:‬‬ ‫‪1  y‬‬ ‫ ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Ax‬‬ ‫الزاويــ ُة ‪ AOB‬لي َســ ْت في وض ٍع قياســ ٍّي؛‬ ‫‪O‬‬ ‫لأ َّن ضلــ َع ابتدا ِئها لا ينطبــ ُق على محو ِر ‪x‬‬ ‫الموج ِب‪.‬‬ ‫‪2  y‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الزاوي ُة ‪ COD‬في وض ٍع قياســ ٍّي؛ لأ َّن ضل َع‬ ‫ابتدا ِئهــا ينطب ُق علــى محــو ِر ‪ x‬الموج ِب‪،‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ورأ ُسها على نقط ِة الأص ِل ‪.O‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫ُأح ِّد ُد إذا كا َن ِت الزاويتا ِن الآتيتا ِن في وض ٍع قياس ٍّي أ ْم لا‪ُ ،‬مب ِّينًا السب َب‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫           ‪2‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪79‬‬

‫إذا دا َر ضل ُع زاوي ٍة في الوض ِع القياســ ِّي دور ًة كامل ًة عك َس اتجا ِه حرك ِة عقار ِب الســاع ِة‪ ،‬فإ َّن ُه‬ ‫يصن ُع زوايا قياســا ُتها بي َن ‪َ 0º‬و ‪ .360º‬وإذا استم َّر في دورانِ ِه‪ ،‬فإ َّن ُه يصن ُع زوايا قياسا ُتها أكب ُر م ْن‬ ‫‪.360º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪490º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫أرس ُم في الوض ِع القياس ِّي الزاوي َة المعطى قيا ُسها في ما يأتي‪ُ ،‬مح ِّد ًدا مكا َنها‪:‬‬ ‫‪1   130º‬‬ ‫أرس ُم المحور ْي ِن الإحداثي ْي ِن‪ ،‬وم ْن نقط ِة الأص ِل أرس ُم ضل َع الابتدا ِء‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫ُمنطبِ ًقــا على محو ِر ‪ x‬الموج ِب‪ ،‬ث َّم أض ُع مركــ َز المنقل ِة على نقط ِة‬ ‫المنقل ُة ذا ُت شــك ِل نص ِف‬ ‫‪y‬‬ ‫الأص ِل‪ ،‬وتدري َج المنقل ِة ‪ 0º‬على ضل ِع الابتدا ِء‪ ،‬ث َّم ُأع ِّي ُن نقط ًة مقاب َل‬ ‫الدائــر ِة لهــا تدريجــا ِن‬ ‫التدري ِج ‪ .130º‬بع َد ذل َك أرســ ُم ضل َع الانتها ِء م ْن نقط ِة الأص ِل إلى‬ ‫متعاكســا ِن‪ ،‬يبد ُأ ك ٌّل منْ ُهما‬ ‫‪130º‬‬ ‫النقط ِة التي ع َّينْ ُتها‪ ،‬ف َأ ِج ُد أ َّن ضل َع انتها ِء الزاوي ِة يق ُع في الرب ِع الثاني‪.‬‬ ‫م ْن ‪ ،0º‬وينتهي عن َد ‪180º‬؛‬ ‫‪x‬‬ ‫لــذا يجــ ُب دائ ًمــا وض ُع‬ ‫‪2   580º‬‬ ‫بمــا أ َّن ‪ ،580º = 360º + 220º‬فإ َّن ضلــ َع انتها ِء الزاوي ِة ‪ 580º‬ه َو‬ ‫نف ُس ُه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪ 220º‬الذي يق ُع في الرب ِع الثال ِث‪.‬‬ ‫التدري ِج على ضل ِع ابتدا ِء‬ ‫‪y‬‬ ‫الزاوي ِة عن َد قيا ِسها‪ ،‬أ ْو‬ ‫‪x‬‬ ‫‪580º‬‬ ‫رس ِمها‪.‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أرس ُم زاوي ًة قيا ُسها ‪ 460º‬في الوض ِع القياس ِّي‪ُ ،‬مح ِّد ًدا مكا َنها‪.‬‬ ‫‪80‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫دائر ُة الوحد ِة )‪ (unit circle‬ه َي دائر ٌة مرك ُزها نقط ُة الأص ِل‪ ،‬وطو ُل نص ِف ُق ْط ِرها وحد ٌة واحد ٌة‪.‬‬ ‫إذا ُر ِس َم ِتالزاوي ُة‪������‬فيالوض ِعالقياس ِّي‪،‬فإ َّنضل َعانتها ِئهايقط ُعدائر َةالوحد ِةفينقط ٍةوحيد ٍةه َي‬ ‫)‪ .P(x, y‬وم َع تغ ُّي ِر قيا ِس الزاوي ِة يتغ َّي ُر موق ُع النقط ِة ‪ P‬على الدائر ِة‪ ،‬ويتغ َّي ُر إحداث ّياها‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(x,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ُيم ِك ُن تعري ُف النس ِب المثلثي ِة الأساسي ِة للزاوي ِة ‪ ������‬بدلال ِة إحداث َّي ْي ‪ P‬كما يأتي‪:‬‬ ‫رمو ٌز رياضي ٌة‬ ‫يد ُّل الرم ُز ‪ sin θ‬على نسب ِة‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫ال ُمقابِ َل‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫المجاو َر‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫جيــ ِب الزاويــ ِة ‪ ،θ‬والرم ُز‬ ‫الوت ِر‬ ‫‪1‬‬ ‫الوت ِر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ cos θ‬علــى نســب ِة جي ِب‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫ال ُمقابِ َل‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,x≠0‬‬ ‫التمــا ِم‪ ،‬والرم ُز ‪ tan θ‬على‬ ‫المجاو ِر‬ ‫‪x‬‬ ‫نسب ِة ظ ِّل الزاوي ِة ‪.θ‬‬ ‫  مثال ‪3‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة للزاوي ِة ‪ θ‬المرسوم ِة في الوض ِع القياس ِّي‪ ،‬التي يقط ُع ضل ُع انتهائِها‬ ‫النســ ُب المثلثي ُة الأساسي ُة‬ ‫دائر َة الوحد ِة في النقط ِة الوارد ِة في ما يأتي‪:‬‬ ‫للزاويــ ِة ‪ ������‬هــ َي‪،sin ������ :‬‬ ‫)‪1   P (– 0.6, 0.8‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫َو ‪َ ، cos ������‬و ‪.tan ������‬‬ ‫‪– 0.6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫  ‪sin θ = y = 0.8,‬‬ ‫= ‪cos θ = x = – 0.6,  tan θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪P‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪– 1132‬‬ ‫‪13‬‬ ‫= ‪sin θ = y = – 1123,  cos θ = x = 153,  tan θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪–12/13‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5/13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة للزاوي ِة ‪ θ‬المرسوم ِة في الوض ِع القياس ِّي‪ ،‬التي يقط ُع ضل ُع انتهائِها‬ ‫‪.P‬‬ ‫–‪‬‬ ‫‪√22,‬‬ ‫–‬ ‫‪√2‬‬ ‫النقط ِة‬ ‫عن َد‬ ‫الوحد ِة‬ ‫دائر َة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪81‬‬

‫عن َد رســ ِم الزاوي ِة ‪ ������‬في الوض ِع القياســ ِّي‪ ،‬ق ْد يق ُع ضلــ ُع انتها ِئها في أح ِد الأربــا ِع الأربع ِة‪،‬‬ ‫فيقــا ُل عندئ ٍذ إ َّن الزاوي َة ‪ ������‬واقع ٌة في الرب ِع كذا‪ ،‬وقــ ْد ينطب ُق ضل ُع انتها ِئها على أح ِد المحور ْي ِن‬ ‫الإحداثي ْي ِن‪ ،‬ف ُتس ّمى الزاوي ُة ‪ ������‬في هذ ِه الحال ِة زاوي ًة ربعي ًة )‪.(quadrantal angle‬‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌّي‬ ‫الزوايا الربعي ُة في دائر ِة الوحد ِة‪:‬‬ ‫‪������ = 0º‬‬ ‫‪������ = 90º‬‬ ‫‪������ = 180º‬‬ ‫‪������ = 270º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪Ox‬‬ ‫‪θx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(1, 0‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪(-1, 0) O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(0, -1‬‬ ‫ُيم ِكــ ُن تحديــ ُد النســ ِب المثلثيــ ِة للزوايــا الربعي ِة مــ ْن إحداثيــا ِت نقــا ِط تقاطــ ِع دائر ِة‬ ‫ُأف ِّك ُر‬ ‫الوحــد ِة مــ َع المحور ْيــ ِن الإحداثي ْيــ ِن‪ .‬فمثــ ًا‪ ،‬يتقاطــ ُع ضلــ ُع انتهــا ِء الزاويــ ِة ‪ 90º‬في‬ ‫الوض ِع القياســ ِّي مــ َع دائر ِة الوحــد ِة في النقطــ ِة )‪ .P(0, 1‬وبذلــ َك‪ ،‬فــإ َّن‪،sin 90º = 1 :‬‬ ‫هــ ْل ســيتغ َّي ُر ‪ sin 90º‬ل ْو‬ ‫ُر ِســ َم ِت الزاوي ُة فــي دائر ٍة‬ ‫‪ ،cos 90º = 0‬ويكو ُن ‪ tan 90º‬غي َر ُمع َّر ٍف لأ َّن ُه لا تجو ُز القسم ُة على صف ٍر‪.‬‬ ‫طــو ُل نصــ ِف ُق ْط ِرهــا لا‬ ‫  مثال ‪4‬‬ ‫يساوي وحد ًة واحد ًة؟‬ ‫أي َن يقط ُع ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة التي قيا ُســها ‪ 180º‬دائر َة الوحد ِة إذا ُر ِس َم ْت في الوض ِع القياس ِّي؟‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة لها‪.‬‬ ‫يقط ُع ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة التي قيا ُسها ‪ 180º‬دائر َة الوحد ِة في النقط ِة )‪ ،C(–1, 0‬إذ ْن‪:‬‬ ‫ ‪sin 180º = y = 0,‬‬ ‫ ‪cos 180º = x = – 1,‬‬ ‫= ‪tan 180º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪– 1‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة للزاويت ْي ِن اللت ْي ِن قيا ُس ك ٍّل م ْن ُهما ‪َ ،270º‬و‪ 360º ‬على الترتي ِب‪.‬‬ ‫‪82‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫إذا كا َن ْت ‪ θ‬زاوي ًة حا َّد ًة‪ ،‬فإ َّن ُه ُي ْم ِك ُن رس ُم مثل ٍث قائ ِم الزاوي ِة تكو ُن ‪ θ‬إحدى زوايا ُه‪.‬‬ ‫‪(AB)2 + (BC)2 = (AC)2‬‬ ‫نظري ُة فيثاغورس ‬ ‫‪(BC)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(AB)2‬‬ ‫=‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ (AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫‪(AC)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫بتطبي ِق قواني ِن الأس ِ س‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪(cos θ)2 +(sin θ)2 =1‬‬ ‫بالتعوي ِض ‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫تظ ُّل هذ ِه النتيج ُة صحيح ًة بقط ِع النظ ِر ع ْن قيا ِس الزاوي ِة ‪ ،θ‬وه َي ُتستع َم ُل لإيجا ِد إحدى هات ْي ِن‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫النسبت ْي ِن إذا ُع ِل َم ِت الأُخرى ولكن يج ُب مراعا ُة إشارا ِت النس ِب المثلثي ِة؛ فه َي تختل ُف بحس ِب‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫الرب ِع الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة في الوض ِع القياس ِّي كما ه َو ُمو َّض ٌح في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑ ُﻊ اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫  مثال ‪5‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة النسبت ْي ِن الأساسيت ْي ِن الباقيت ْي ِن إذا كا َن‪:‬‬ ‫– = ‪ ، sin θ‬ووق َع ضل ُع انتها ِء ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي في الرب ِع الثال ِث‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫نتيج ًة لنظري ِة فيثاغورس ‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪–12‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪s in θ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫الطرف ْي ِن ‬ ‫م َن‬ ‫‪1‬‬ ‫بطر ِح‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√24‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِن ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪√24‬‬ ‫في الرب ِع الثال ِث يكو ُن ‪ cos θ‬سال ًب ا‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪������‬‬ ‫=‬ ‫‪–1/5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪–√24‬‬ ‫‪√24‬‬ ‫‪/5‬‬ ‫‪83‬‬

‫‪ ، tan θ = –3.5  2‬ووق َع ضل ُع انتها ِء ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي في الرب ِع الثاني‪.‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪������‬‬ ‫ ‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪������‬‬ ‫بالتعوي ِ ض‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪������‬‬ ‫=‬ ‫‪– 3.5‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪������‬‬ ‫بضر ِب الطرف ْي ِن في ‪c os θ‬‬ ‫نتيج ًة لنظري ِة فيثاغور س‬ ‫‪sin θ = – 3.5 cos θ‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ sin θ‬‬ ‫‪cos2 θ + sin2 θ = 1‬‬ ‫‪cos2 θ + (– 3.5 cos θ)2 = 1‬‬ ‫بر َع عالِ ُم ال َفل ِك والرياضيا ِت‬ ‫ال ُم ْس ِل ُم محم ُدب ُن جاب ٍر البتان ُّي‬ ‫‪cos2 θ + 12.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫بالتربي ِ ع‬ ‫في عل ِم المثلثا ِت‪ ،‬واكتش َف‬ ‫‪13.25 cos2 θ = 1‬‬ ‫بالتبسي ِ ط‬ ‫العدي َد م َن العلاقا ِت ال ُمه َّم ِة‬ ‫‪cos2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫بقسم ِة الطرف ْي ِن على ‪ 13.25‬‬ ‫ع ِن النس ِب المثلثي ِة‪ ،‬مث َل‪:‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪cos θ = ± √ 131.25 ≈ ± 0.2747‬‬ ‫بأخ ِذ الجذ ِر التربيع ِّي للطرف ْي ِن ‪،‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪������‬‬ ‫واستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫‪cos θ = – 0.2747‬‬ ‫في الرب ِع الثاني يكو ُن ‪ cos θ‬سال ًب ا‬ ‫‪sin θ = – 3.5 × – 0.2747‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪ cos θ‬‬ ‫‪= 0.96145 ≈ 0.96‬‬ ‫ ‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ْن ‪َ sin θ‬و ‪ tan θ‬إذا كا َن ‪ ،cos θ = 0.8‬ووق َع ضل ُع انتها ِء ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي‬ ‫في الرب ِع الراب ِع‪.‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫أرس ُم الزوايا الآتي َة في الوض ِع القياس ِّي‪:‬‬ ‫‪1  225º‬‬ ‫‪2  160º‬‬ ‫‪3  330º‬‬ ‫‪4  240º‬‬ ‫‪5  285º‬‬ ‫ُأح ِّد ُد الرب َع الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء ك ِّل زاوي ٍة م ّما يأتي إذا ُر ِس َم ْت في الوض ِع القياس ِّي‪:‬‬ ‫‪6  75º‬‬ ‫‪7  100º‬‬ ‫‪8  265º‬‬ ‫‪84‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫ُأح ِّد ُد الرب َع (أ ِو الأربا َع) الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي إذا كا َن‪:‬‬ ‫‪9   sin ������ > 0‬‬ ‫‪10   cos ������ > 0‬‬ ‫‪11   tan ������ < 0‬‬ ‫‪ cos ������ < 0‬و ‪12   sin ������ < 0‬‬ ‫‪13   sin ������ = – 0.7‬‬ ‫ُأح ِّد ُد الرب َع (أ ِو الأربا َع) الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬في الوض ِع القياس ِّي إذا كا َن‪:‬‬ ‫‪17   cos ������ = 0.45‬‬ ‫‪14   tan ������ = 2‬‬ ‫– = ‪15   cos ������‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16   tan ������ = – 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪18   sin ������ = 0.55‬‬ ‫‪19   sin ������ = 0.3, cos < 0 20   tan ������ = – 4, sin ������ > 0‬‬ ‫َأ ِج ُد النس َب المثلثي َة الأساسي َة للزاوي ِة ‪ ������‬إذا قط َع ضل ُع انتهائِها في الوض ِع القياس ِّي دائر َة الوحد ِة في النقا ِط الآتي ِة‪:‬‬ ‫)‪21   P(0, –1‬‬ ‫)‪22   P(0.5, 0.5√3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ ‬ ‫‪P‬‬ ‫‪–8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ ‬ ‫‪P20‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–21‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪29‬‬ ‫= ‪25   sin ������‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫  ‪,‬‬ ‫‪90º < ������ < 180º‬‬ ‫َأ ِج ُد النسبت ْي ِن المثلثت ْي ِن الأساسيت ْي ِن الباقيت ْي ِن في الحالا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪26   tan ������ = 0.78 ,   –1 < sin ������ < 0‬‬ ‫‪27   cos ������ = –0.75 ,   tan ������ < 0‬‬ ‫‪28   sin ������ = – 0.87 ,   270º < ������ < 360º‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  29‬تبري ٌر‪ :‬ما أكب ُر قيم ٍة لجي ِب الزاوي ِة؟ ما أصغ ُر قيم ٍة ل ُه؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  30‬أكتشــ ُف الخط َأ‪َ :‬ح َّل ك ٌّل م ْن أمج َد وزين ٍة المســأل َة الآتي َة‪ .‬إذا كا َن ‪ ، tan x = 0.75‬وكا َن ْت ‪ x‬بي َن ‪َ 180º‬و ‪ ،360º‬فما‬ ‫قيم ُة ‪sin x + cos x‬؟‬ ‫زين ُة‪:‬‬ ‫أمج ُد‪:‬‬ ‫‪sin x + cos x = – 1.4‬‬ ‫‪sin x + cos x = 0.2‬‬ ‫ُأح ِّد ُد أ ُّي ُهما كا َن ْت إجاب ُت ُه صحيح ًة‪ُ ،‬مب ِّر ًرا إجابتي‪.‬‬ ‫‪  31‬تح ٍّد‪َ :‬أ ِج ُد مجموع َة قي ِم ‪ θ‬التي تجع ُل المتباين َة الآتي َة صحيح ًة‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:90º < ������ < 180º‬‬ ‫‪cos ������ + sin ������ < 0‬‬ ‫‪85‬‬

‫النس ُب المثلثي ُة للزوايا ضم َن الدور ِة الواحد ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Trigonometric Ratios for Angles‬‬ ‫‪between 0º and 360º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس  إيجا ُد النســ ِب المثلثي ِة الأساســي ِة لأ ِّي زاوي ٍة بي َن ‪َ 0º‬و‪ ،360º‬وإيجا ُد الزاوي ِة إذا ُع ِر َف ْت إحدى نسبِها‬ ‫المثلثي ِة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  المصطلحا ُت  الزاوي ُة المرجعي ُة‪ ،‬معكو ُس النسب ِة المثلثي ِة‪.‬‬ ‫‪–1 150º 60º‬‬ ‫ دا َر ضلــ ُع انتهــا ِء زاوي ٍة قيا ُســها ‪ 60º‬في الوض ِع القياســ ِّي‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫بزاوي ِة ‪ 150º‬عك َس اتجا ِه حرك ِة عقار ِب الســاع ِة‪ .‬كي َف نج ُد‬ ‫‪1‬‬ ‫إحداث َّيــ ْي نقط ِة تقاط ِع ضلــ ِع الانتها ِء م َع دائــر ِة الوحد ِة في‬ ‫‪–1‬‬ ‫موق ِع ِه الجدي ِد؟‬ ‫تع َّر ْفنا في الدر ِس الســاب ِق كيفي َة إيجا ِد النســ ِب المثلثي ِة لزاوي ٍة مرســوم ٍة في الوض ِع القياس ِّي‬ ‫باستعما ِل إحداث َّي ْي نقط ِة تقاط ِع ضل ِع انتها ِئها م َع دائر ِة الوحد ِة‪ ،‬وسنتع َّر ُف في هذا الدر ِس كي َف‬ ‫نج ُد النس َب المثلثي َة إذا ُع ِل َم قيا ُس الزاوي ِة بالدرجا ِت‪.‬‬ ‫إذا وقــ َع ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬في الرب ِع الأو ِل (أ ْي كا َنــ ْت ‪ ،)0º < θ < 90º‬فإ َّن ُه ُيم ِك ُن إيجا ُد‬ ‫النســ ِب المثلثي ِة لهذ ِه الزاوي ِة باستعما ِل الآل ِة الحاســب ِة‪ ،‬أ ْو بما نحف ُظ ُه م ْن نس ٍب مثلثي ٍة للزوايا‬ ‫الخاص ِة‪.)30º, 45º, 60º( :‬‬ ‫مراجع ُة المفاهي ِم‬ ‫النس ُب المثلثي ُة للزوايا الخاص ِة‪:‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪0º‬‬ ‫‪30º 45º 60º 90º‬‬ ‫‪sin ������‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos ������‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 √3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan ������‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√2 2‬‬ ‫‪√3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 √2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫غي ُر ُمع َّر ٍف ‪√3‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪86‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أ ّماإذاوق َعضل ُعانتها ِءالزاوي ِة‪θ‬المرسوم ِةفيالوض ِعالقياس ِّيفيأ ٍّيم َنالأربا ِعالثلاث ِةالأُخرى‪،‬‬ ‫فإ َّن نســ َبها المثلثي َة تكو ُن ُمرتبِط ًة بالنس ِب المثلثي ِة للزاوي ِة المرجعي ِة )‪، θʹ (reference angle‬‬ ‫وه َي الزاوي ُة الحا َّد ُة المحصور ُة بي َن ضل ِع انتها ِء الزاوي ِة ‪ θ‬والمحو ِر ‪.x‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫مفهو ٌم أساس ٌي‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫‪y‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ʹ‪θ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪θʹ = θ‬‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻟﺮاﺑ ﹸﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θʹ O‬‬ ‫ʹ‪O θ‬‬ ‫‪θʹ = θ – 180º‬‬ ‫‪θʹ = 360º – θ‬‬ ‫النســ ُب المثلثي ُة للزاوي ِة ‪ θ‬تساوي النســ َب المثلثي َة لزاويتِها المرجعي ِة ʹ‪ θ‬م َع اختلا ِف الإشار ِة‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫أحيا ًنا بحس ِب الرب ِع الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة ‪.θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹸﻊ اﻷو ﹸل‬ ‫لإيجا ِد النس ِب المثلثي ِة لأ ِّي زاوي ٍة ‪ ،θ‬فإ َّننا ن َّتب ُع الخطوا ِت الثلا َث الآتي َة‪:‬‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﲏ‬ ‫الخطو ُة ‪ :1‬إيجا ُد الزاوي ِة المرجعي ِة ʹ‪.θ‬‬ ‫الخطو ُة ‪:2‬إيجا ُد النسب ِة المثلثي ِة للزاوي ِة المرجعي ِة ʹ‪.θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الخطو ُة ‪:3‬تحدي ُد إشار ِة النسب ِة المثلثي ِة للزاوي ِة ‪ θ‬بحس ِب الرب ِع الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِئها‪.‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫‪tan θ‬‬ ‫اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑ ُﻊ اﻟ ﹸﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‬ ‫‪87‬‬

‫مثال ‪1‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪1   sin 150º.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫يق ُع ضل ُع الانتها ِء للزاوي ِة ‪ 150º‬في الرب ِع الثاني؛ لذا َأستعم ُل زاوي َتها المرجعي َة‪:‬‬ ‫‪θ = 150º‬‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة المرجعي ِة ‬ ‫‪Ox‬‬ ‫‪= 180º – 150º‬‬ ‫‪ θ = 150º‬‬ ‫‪θʹ = 30º‬‬ ‫‪= 30º‬‬ ‫ ‬ ‫‪sin 150º = sin 30º = 0.5‬‬ ‫الجي ُب موج ٌب في الرب ِع الثان ي‬ ‫‪2   cos 225º.‬‬ ‫يق ُع ضل ُع الانتها ِء للزاوي ِة ‪ 225º‬في الرب ِع الثال ِث؛ لذا نستعم ُل زاوي َتها المرجعي َة‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪θ = 225º‬‬ ‫‪θ ʹ = θ – 180º‬‬ ‫إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة المرجعي ِ ة‬ ‫‪= 225º – 180º‬‬ ‫‪ θ = 255º‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= 45º‬‬ ‫ ‬ ‫‪θʹ= 45º‬‬ ‫‪cos 225º = – cos  45º‬‬ ‫جي ُب التما ِم سال ٌب في الرب ِع الثال ِث ‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪√2‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3   tan 300º.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫يق ُع ضل ُع الانتها ِء للزاوي ِة ‪ 300º‬في الرب ِع الراب ِع؛ لذا نستعم ُل زاوي َتها المرجعي َة‪:‬‬ ‫‪θ = 300º‬‬ ‫‪θʹ = 360º – θ‬‬ ‫إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة المرجعي ِة ‬ ‫‪O‬‬ ‫‪θʹ = 360º – 300º‬‬ ‫‪ θ = 300º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θʹ= 60º‬‬ ‫‪= 60º‬‬ ‫ ‬ ‫‪tan 300º = – tan 60º‬‬ ‫الظ ُّل سال ٌب في الرب ِع الراب ِ ع‬ ‫ ‪= – √3‬‬ ‫ ‬ ‫‪88‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪a)  sin 120º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫‪c)  cos 315º‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪b)  tan 240º‬‬ ‫‪d)  sin 210º‬‬ ‫جمي ُع الزوايا في المثا ِل الساب ِق ُمرتبِط ٌة بزوايا مرجعي ٍة مألوف ٍة‪ ،‬مث ِل‪ ،30º :‬أ ْو ‪ ،45º‬أ ْو ‪ ،60º‬وه َي‬ ‫انتب ْه‬ ‫زوايا خاص ٌة عر ْفنا قي َم النس ِب المثلثي ِة لها‪ .‬ولك ْن‪ ،‬كي َف نج ُد النس َب المثلثي َة لأ ِّي زوايا ُأخرى؟‬ ‫يج ُب ضب ُط الآل ِة الحاســب ِة‬ ‫ُيم ِك ُن إيجا ُد النســب ِة المثلثي ِة للزاوي ِة المرجعي ِة باســتعما ِل الآل ِة الحاســب ِة‪ ،‬ث َّم تحدي ِد الإشار ِة‬ ‫علــى خيــا ِر درجــا ٍت‬ ‫المناسب ِة تب ًعا للرب ِع الذي يق ُع في ِه ضل ُع انتها ِء الزاوي ِة‪.‬‬ ‫)‪ (DEGREES‬قبــ َل‬ ‫استعمالِها‪ .‬أسأ ُل ُمع ِّلمي‪.‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪1   sin 255º‬‬ ‫يق ُع ضل ُع الانتها ِء للزاوي ِة ‪ 255º‬في الرب ِع الثال ِث؛ لذا أستعم ُل زاوي َتها المرجعي َة‪:‬‬ ‫‪θʹ = θ – 180º‬‬ ‫إيجا ُد قيا ِس الزاوي ِة المرجعي ِة ‬ ‫‪θʹ = 255º – 180º‬‬ ‫‪ θ = 255º‬‬ ‫‪= 75º‬‬ ‫ ‬ ‫‪sin 255º = – sin 75º‬‬ ‫الجي ُب سال ٌب في الرب ِع الثال ِث ‬ ‫والآ َن‪ ،‬أستعم ُل الآل َة الحاسب َة لإيجا ِد ‪ sin 75º‬كما يأتي‪:‬‬ ‫أضغ= ُط عل‪5‬ى مفتا‪ِ 7‬ح ‪ ، sin‬ث َّم ُأد ِخ ُل القيم َة ‪ ،75‬ث َّم أضغ ُط على مفتا ِح = ‪ ،‬فت‪5‬ظه ُر ا‪7‬لنتيج‪ُn‬ة‪s:i‬‬ ‫= ‪sin 7 5‬‬ ‫بالتقري ِب إلى ثلا ِث مناز َل عشري ٍة‪ ،‬تكو ُن النتيج ُة‪0.966 :‬‬ ‫إذ ْن‪sin 255º ≈ – 0.966 ،‬‬ ‫‪89‬‬

‫ُيم ِك ُن أي ًضا إيجا ُد ‪ sin 255º‬مباشــر ًة باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة م ْن دو ِن إيجا ِد الزاوي ِة المرجعي ِة‬ ‫على النح ِو الآتي‪:‬‬ ‫=أضغ‪ُ 5‬ط عل‪5‬ى مفتا‪ِ 2‬ح ‪ ، sin‬ث َّم ُأد ِخ ُل القيم َة ‪ ، 255‬ث َّم أضغ ُط على مفتا ِح = ‪ ،‬فت‪5‬ظه ُر ا‪5‬لنتيج‪ُ2‬ة‪sin :‬‬ ‫= ‪sin 2 5 5‬‬ ‫بالتقري ِب إلى ثلا ِث مناز َل عشــري ٍة‪ ،‬تكو ُن النتيج ُة ‪ ، – 0.966‬وه َي النتيج ُة نف ُسها التي تو َّص ْل ُت‬ ‫إل ْيها آن ًفا‪.‬‬ ‫‪2   tan 168º.‬‬ ‫=أضغ‪ُ 8‬ط عل‪6‬ى مفتا‪ِ 1‬ح ‪ ، tan‬ث َّم ُأد ِخ ُل القيم َة ‪ ،168‬ث َّم أضغ ُط على مفتا ِح = ‪ ،‬فت‪5‬ظه ُر ا‪5‬لنتيج‪ُ2‬ة‪sin :‬‬ ‫= ‪tan 1 6 8‬‬ ‫بالتقري ِب إلى ثلا ِث مناز َل عشري ٍة‪ ،‬تكو ُن النتيج ُة‪– 0.213 :‬‬ ‫إذ ْن‪tan 168º ≈ – 0.213 ،‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪:‬‬ ‫‪a)  sin 320º‬‬ ‫‪b)  cos 175º‬‬ ‫‪c)  tan 245º‬‬ ‫ُيم ِك ُن اســتعما ُل الآل ِة الحاســب ِة لإيجا ِد قيا ِس أ ِّي زاوي ٍة حا َّد ٍة (في الرب ِع الأو ِل) ُع ِل َم ْت إحدى‬ ‫لغ ُة الرياضيا ِت‬ ‫نسبِها المثلثي ِة‪ ،‬وذل َك باستعما ِل معكو ِس النسب ِة المثلثي ِة )‪.(inverse trigonometric ratio‬‬ ‫‪ -‬نقر ُأ معكو َس الجي ِب‬ ‫فإذا ُع ِل َم جي ُب الزاوي ِة اس ُتع ِم َل معكو ُس الجي ِب )‪ ،(sin –1‬وإذا ُع ِل َم جي ُب تما َم الزاوي ِة اس ُتع ِم َل‬ ‫معكو ُس جي ِب التمــا ِم )‪ ،(cos –1‬وإذا ُع ِل َم ظ ُّل الزاوي ِة اســ ُتع ِم َل معكــو ُس الظ ِّل )‪. (tan–1‬‬ ‫‪.sine inverse‬‬ ‫وبالطريق ِة نف ِســها‪ُ ،‬يم ِك ُن إيجا ُد قيــا ِس أ ِّي زاوي ٍة في الأربا ِع الثلاث ِة الباقي ِة باســتعما ِل مفهو ِم‬ ‫‪ -‬نقر ُأ معكو َس جي ِب التما ِم‬ ‫الزاوي ِة المرجعي ِة وإشارا ِت النس ِب المثلثي ِة في الأربا ِع الأربع ِة‪.‬‬ ‫‪.cosine inverse‬‬ ‫‪ -‬نقر ُأ معكو َس الظ ِّ ل‬ ‫‪.tan inverse‬‬ ‫‪90‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة (أ ْو قي َم) ‪ θ‬في ما يأتي‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ θ ≤ 360º‬‬ ‫‪1   sin θ = 0.98‬‬ ‫)‪θ = sin –1 (0.98‬‬ ‫‪ θ‬ه َي الزاوي ُة التي نسب ُة الجي ِب لها ‪ 0.98‬‬ ‫والآ َن‪ ،‬أستعم ُل الآل َة الحاسب َة لإيجا ِد )‪ sin –1 (0.98‬كما يأتي‪:‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫بعــ ُض الآلا ِت الحاســب ِة‬ ‫= ‪SHIFT sin 0 . 9 8‬‬ ‫تحوي المفتا َح ‪ 2ND‬بد َل‬ ‫وبالتقري ِب إلى منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪ ،‬تكو ُن النتيج ُة‪ ،78.5º :‬وه َي زاوي ٌة مرجعي ٌة لزاوي ٍة ُأخرى؛‬ ‫المفتا ِح ‪. SHIFT‬‬ ‫لأ َّنها تق ُع في الرب ِع الأو ِل‪ .‬وبما أ َّن الجي َب موج ٌب في ربع ْي ِن (الأو ُل والثاني فق ْط)‪ ،‬فإ َّن الزاوي َة‬ ‫الأُخرى ‪ θ‬تكو ُن في الرب ِع الثاني‪ ،‬و ُيم ِك ُن إيجا ُدها باســتعما ِل العلاقــ ِة بي َن الزاوي ِة المرجعي ِة‬ ‫والزاوي ِة المناظر ِة في الرب ِع الثاني التي تع َّر ْف ُتها آن ًفا‪.‬‬ ‫‪θʹ = 180º – θ‬‬ ‫العلاق ُة بي َن الزاوي ِة المرجعي ِة والزاوي ِ ة‬ ‫المناظر ِة في الرب ِع الثاني‬ ‫‪θʹ = 78.5º‬‬ ‫ ‬ ‫‪78.5º = 180º – θ‬‬ ‫ ‬ ‫‪θ = 101.5º‬‬ ‫ب َح ِّل المعادل ِ ة‬ ‫إذ ْن‪ ،θ = 78.5º ،‬أ ْو ‪θ = 101.5º‬‬ ‫‪2   tan θ = –1.2‬‬ ‫‪ θ‬ه َي الزاوي ُة التي نسب ُة الظ ِّل لها تساوي ‪– 1.2‬‬ ‫)‪θ = tan –1 (–1.2‬‬ ‫والآ َن‪ ،‬أستعم ُل الآل َة الحاسب َة لإيجا ِد )‪ tan –1 (–1.2‬كما يأتي‪:‬‬ ‫ُأف ِّك ُر‬ ‫أتجاه ُل الإشــار َة السالب َة‪.‬‬ ‫= ‪SHIFT tan 1 . 2‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫وبالتقري ِب إلى منزل ٍة عشري ٍة واحد ٍة‪ ،‬تكو ُن النتيج ُة‪50.2º :‬؛ ولأ َّن الظ َّل يكو ُن سال ًبا في ربع ْي ِن‬ ‫فق ْط (الثاني والراب ُع)؛ فإ َّن الزاوي َة ‪ 50.2º‬لي َس ْت م َن الحلو ِل‪ ،‬وإ َّنما زاوي ٌة مرجعي ٌة لها‪.‬‬ ‫‪91‬‬

‫إذا اســتعم ْلنا العلاق َة بي َن الزاوي ِة المرجعي ِة والزوايا المناظر ِة فــي الربع ْي ِن الثاني والراب ِع‪ ،‬فإ َّننا‬ ‫سنج ُد هات ْي ِن الزاويت ْي ِن‪:‬‬ ‫ زاوي ُة الرب ِع الثاني‪180º – 50.2º = 129.8º :‬‬ ‫ زاوي ُة الرب ِع الراب ِع‪360º – 50.2º = 309.8º :‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة (أ ْو قي َم) ‪ θ‬في ك ٍّل م ّما يأتي‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ θ ≤ 360º‬‬ ‫‪a)  cos θ = – 0.4‬‬ ‫‪b)  tan θ = 5.653‬‬ ‫‪c)  sin θ = – 0.5478‬‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ترفي ٌه‪ُ :‬يم ِّث ُل الشك ُل الآتي دولا ًبا د ّوا ًرا في مدين ِة ألعا ٍب يدو ُر بسرع ٍة ثابت ٍة‪ ،‬و ُتم ِّث ُل ‪ S‬في الشك ِل‬ ‫نقطــ َة صعو ِد الراك ِب الذي موق ُع ُه الآ َن عن َد النقط ِة ‪ ،A‬في حي ِن ُتم ِّث ُل النقط ُة ‪ O‬مرك َز الدولا ِب‪.‬‬ ‫إذا دا َر الــدولا ُب بزاوي ِة ‪ ،θ‬فــإ َّن ارتفا َع الراك ِب عــ ِن الأر ِض (‪ )h‬بالأمتــا ِر ُيعطى بالعلاق ِة‪:‬‬ ‫‪َ .h = 67.5 – 67.5 cos θ‬أ ِج ُد طو َل ُق ْط ِر الدولا ِب‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ُص ِّمــ َم أو ُل دولا ٍب د ّوا ٍر في‬ ‫‪θ‬‬ ‫مدين ِة شيكاغو الأمريكي ِة عا َم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1893‬م‪ ،‬وقــ ْد ُســ ِّم َي عجل َة‬ ‫‪   S‬‬ ‫فيريس‪.‬‬ ‫عندما يص ُل الراك ُب إلى النقط ِة الواقع ِة فو َق ‪ S‬مباشــر ًة‪ ،‬فإ َّن ارتفا َع ُه ع ِن الأر ِض يساوي طو َل‬ ‫ُق ْط ِر الدولا ِب‪ ،‬وإ َّن ‪ θ‬في تل َك اللحظ ِة تساوي ‪:180º‬‬ ‫‪h = 67.5 – 67.5 cos 180º‬‬ ‫بتعوي ِض قيم ِة ‪θ‬‬ ‫)‪= 67.5 – 67.5 (–1‬‬ ‫‪ cos 180º = –1‬‬ ‫‪= 67.5 + 67.5 = 135‬‬ ‫بالتبسي ِط ‬ ‫إذ ْن‪ ،‬طو ُل ُق ْط ِر الدولا ِب ه َو‪135 m :‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫َأ ِج ُد ارتفا َع الراك ِب ع ِن الأر ِض عندما ‪θ = 235º‬‬ ‫‪92‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪1   sin 130º‬‬ ‫‪2   sin 325º‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪3   cos 270º‬‬ ‫‪4   tan 120º‬‬ ‫‪5   cos 250º‬‬ ‫‪6   tan 315º‬‬ ‫َأ ِج ُد في ما يأتي زاوي ًة ثاني ًة بي َن ‪َ 0º‬و ‪ ،360º‬لها نسب ُة الجي ِب نف ُسها‪ ،‬مث َل الزاوي ِة المعطا ِة‪:‬‬ ‫‪7  325º‬‬ ‫‪8  84º‬‬ ‫‪9  245º‬‬ ‫َأ ِج ُد في ما يأتي زاوي ًة ثاني ًة بي َن ‪َ 0º‬و ‪ ،360º‬لها نسب ُة جي ِب التما ِم نف ُسها‪ ،‬مث َل الزاوي ِة المعطا ِة‪:‬‬ ‫‪10  280º‬‬ ‫‪11  150º‬‬ ‫‪12  215º‬‬ ‫َأ ِج ُد في ما يأتي زاوي ًة ثاني ًة بي َن ‪َ 0º‬و ‪ ،360º‬لها نسب ُة الظ ِّل نف ُسها‪ ،‬مث َل الزاوي ِة المعطا ِة‪:‬‬ ‫‪13  75º‬‬ ‫‪14  300º‬‬ ‫‪15  235º‬‬ ‫‪16   sin ������ = 0.55‬‬ ‫َأ ِج ُد في ما يأتي قيم َة (أ ْو قي َم) ‪ ،θ‬عل ًما بـأ َّن ‪:0º ≤ θ ≤ 360º‬‬ ‫‪17   cos ������ = – 0.05‬‬ ‫‪18   tan ������ = 0‬‬ ‫‪  19‬أنها ٌر‪ :‬يتغ َّي ُر عم ُق الما ِء ‪ y‬بالأمتا ِر في نه ِر بســب ِب الم ِّد والج ْز ِر البحر ِّي تب ًعا للســاع ِة ‪ x‬م َن اليــو ِم‪ .‬إذا كا َن ِت العلاق ُة‬ ‫‪ُ y = 3 sin ((x – 4)30º) +8‬تم ِّثــ ُل عمــ َق المــا ِء في النه ِر يو ًما مــا‪ ،‬حيــ ُث‪ ،x = 0,1, 2, 3, ..., 24 :‬و ُتم ِّث ُل القيم ُة‬ ‫‪ x = 0‬الساع َة الثاني َة عشر َة منتص َف اللي ِل‪َ ،‬والقيم ُة ‪ x = 5‬الساع َة الخامس َة فج ًرا‪َ ،‬والقيم ُة ‪ x = 13‬الساع َة الواحد َة بع َد‬ ‫الظه ِر‪ ،‬وهكذا‪ ،‬فما أقصى عم ٍق للنه ِر؟ في أ ِّي ساع ٍة يحد ُث ذل َك؟‬ ‫‪َ   20‬أ ُح ُّل المسأل َة الوارد َة في بداي ِة الدر ِس‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  21‬أكتش ُف الخط َأ‪ :‬حس َب ْت سند ُس نسب َة جي ِب إحدى الزوايا في الرب ِع الثاني‪ ،‬فكا َن ْت قيم ُتها ‪1.4527‬‬ ‫ه ْل إجاب ُة سند َس صحيح ٌة؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪  22‬تبري ٌر‪َ :‬أ ِج ُد قيم َة ما يأتي‪ُ ،‬مب ِّر ًرا إجابتي‪:‬‬ ‫‪cos 1º + cos 2º + cos 3º+ …… + cos 357º+ cos 358º + cos 359º‬‬ ‫‪93‬‬

‫تمثي ُل الاقترانا ِت المثلثي ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Graphing Trigonometric Functions‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ تمثي ُل اقترانا ٍت مثلثي ٍة مجا ُلها الفتر ُة ]‪ [0º, 360º‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫ يرتب ُط عم ُق الما ِء عن َد نقط ٍة ُمع َّين ٍة في أح ِد الموانىِءبالزم ِن حس َب العلاق ِة‪:‬‬ ‫‪y = sin x, x ≥ 0‬‬ ‫حي ُث‪ y :‬عم ُق الما ِء بالأمتا ِر‪َ ،‬و ‪ x‬الزم ُن بالساعا ِت بع َد منتص ِف‬ ‫اللي ِل‪ .‬ه ْل ُيم ِك ُن رس ُم منحنى ُيب ِّي ُن تغ ُّي َر عم ِق الما ِء في المينا ِء م َع‬ ‫مرو ِر الوق ِت؟‬ ‫ُتســتخ َد ُم الاقترانا ُت المثلثي ُة في تمثي ِل مواق َف حياتي ٍة مرتبط ٍة بالحرك ِة الدوري ِة‪ ،‬مث ِل‪ :‬موجا ِت‬ ‫الصو ِت‪ ،‬وضغ ِط الد ِم في جســ ِم الإنسا ِن‪ ،‬وارتفا ِع مقع ٍد في دولا ٍب د ّوا ٍر‪ ،‬وتغ ُّي ِر عد ِد ساعا ِت‬ ‫النها ِر خلا َل عا ٍم‪ ،‬وغي ِر ذل َك‪ .‬ولك ْن‪ ،‬ه ْل ُيم ِك ُن رســ ُم منحنــى اقترا ٍن ُيب ِّي ُن كي َف تبدو الحرك ُة‬ ‫الدوري ُة التي ُتم ِّث ُلها هذ ِه الاقترانا ُت؟‬ ‫تع َّل ْم ُت ســاب ًقا كيفي َة تمثي ِل اقترانا ٍت خ ِّطي ٍة وتربيعي ٍة في المستوى الإحداث ِّي بإنشا ِء جدو ِل قي ٍم‬ ‫لل ُمتغ ِّير ْي ِن ‪َ x‬و‪ ،y‬وتمثي ِل ك ِّل زو ٍج (‪ )x, y‬بنقط ٍة في المســتوى‪ ،‬ث َّم رســ ِم المنحنى الذي يص ُل‬ ‫هذ ِه النقا َط ببع ِضها‪ .‬وفي هذا السيا ِق‪ُ ،‬يم ِك ُن ا ِّتبا ُع الطريق ِة نف ِسها لتمثي ِل الاقترانا ِت المثلثي ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫أرس ُم منحنى ك ٍّل م َن الاقتران ْي ِن الآتي ْي ِن ثم َأ ِص ُف ُه‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪1   y = sin x.‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :1‬أك ِّو ُن جدو ًل أكت ُب في ِه زوايا شائع ًة‪ ،‬نســ ُبها المثلثي ُة معروف ٌة‪ ،‬مث َل‪ :‬الزوايا الربعي ِة‪،‬‬ ‫والزوايا التي زاوي ُتها المرجعي ُة ‪.30º‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :2‬أ ِج ُد قيم َة ‪ sin x‬لك ِّل زاوي ٍة ‪ ، x‬ث َّم َأكت ُبها في الجدو ِل‪:‬‬ ‫‪94‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪x 0º 30º 90º 150º 180º 210º 270º 330º 360º‬‬ ‫‪y = sin x 0 0.5 1 0.5 0 – 0.5 –1 – 0.5 0‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أع ِّي ُن الأزوا َج ال ُمر َّتب َة‪(0º, 0), (30º, 0.5), (90º, 1), ……(360º, 0) :‬‬ ‫في المستوى الإحداث ِّي‪y .‬‬ ‫ُأف ِّك ُر‬ ‫ما العلاق ُة بي َن منحنى اقترا ِن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ : 4‬أ ِصــ ُل بمنحنًى أملــ َس بي َن‬ ‫الجيــ ِب والزوايا المرجعي ِة‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪90º 150º 210º 270º 330º 360º‬‬ ‫النقا ِط‪ ،‬فينت ُج رســ ٌم كما في‬ ‫التــي تع َّل ْم ُتها فــي الدر ِس‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫الساب ِق؟‬ ‫‪30º‬‬ ‫م َن التمثي ِل البيان ِّي لاقترا ِن ‪ُ ،sin x‬ألا ِح ُظ‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫ُيم ِكــ ُن اســتعما ُل برمجي ِة‬ ‫‪–1‬‬ ‫جيوجبرا لتمثيــ ِل الاقترا ِن‬ ‫‪ ، x cos‬وملاحظ ِة أكب ِر قيم ٍة‬ ‫أ َّن‪:‬‬ ‫ل ُه‪ ،‬وأصغ ِر قيم ٍة ل ُه أي ًضا‪.‬‬ ‫•  أكب َر قيم ٍة للاقترا ِن ‪ sin x‬ه َي ‪ ،1‬وأصغ َر قيم ٍة ل ُه ه َي ‪–1‬‬ ‫•  ‪ sin x‬يكــو ُن موج ًبــا إذا كا َنــ ْت ‪ ،0º < x < 180º‬وســال ًبا إذا كا َنــ ْت‬ ‫‪.180º < x < 360º‬‬ ‫‪2   y = cos x.‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :1‬أك ِّو ُن جدو ًل َأكت ُب في ِه زوايا شائع ًة‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :2‬أ ِج ُد قيم َة ‪ cos x‬لك ِّل زاوي ٍة ‪ ، x‬ث َّم َأكت ُبها في الجدو ِل‪:‬‬ ‫‪x 0º 60º 90º 120º 180º 240º 270º 300º 360º‬‬ ‫‪y = cos x 1 0.5 0 – 0.5 –1 – 0.5 0 0.5 1‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أع ِّيــ ُن الأزوا َج ال ُمر َّتبــ َة‪ (0º, 1), (60º, 0.5), (90º, 0),……(360º, 1) :‬فــي‬ ‫المستوى الإحداث ِّي‪ ،‬و َأ ِص ُل بي َن النقا ِط بمنحنًى أمل َس‪.‬‬ ‫مــ َن التمثيــ ِل البيان ِّي لاقتــرا ِن ‪y ،cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُألا ِح ُظ أ َّن‪:‬‬ ‫‪0.5 270º‬‬ ‫•  أكبــ َر قيم ٍة للاقتــرا ِن ‪ cos x‬ه َي ‪،1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وأصغ َر قيم ٍة ل ُه ه َي ‪–1‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪60º 90º 120º 180º 240º 300º 360º‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪y = cos x‬‬ ‫‪95‬‬

‫•  ‪ cos x‬يكــو ُن موج ًبــا إذا كا َن ْت ‪َ ،0º < x < 90º‬و ‪ ،270º < x < 360º‬وســال ًبا إذا كا َن ْت‬ ‫‪.90º < x < 270º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أرســ ُم منحنى الاقترا ِن ‪ ، y = sin x‬عل ًما بأ َّن ‪ُ ،90º ≤ x ≤ 360º‬مســتع ِم ًل زوايا مختلف ًة ع ْن‬ ‫تل َك التي في الجدو ِل الساب ِق‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد قي َم الجي ِب لهذ ِه الزوايا باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪.‬‬ ‫تع َّر ْف ُت أ َّن ُه توج ُد زوايا أكب ُر م ْن ‪ .360º‬فإذا دا َر ضل ُع ابتدا ِء الزاوي ِة (في الوض ِع القياســ ِّي) أكث َر‬ ‫مــ ْن دور ٍة واحد ٍة عك َس اتجا ِه عقار ِب الســاع ِة‪ ،‬فإ َّن ُه ُيك ِّو ُن زوايا أكبــ َر من ‪ ،360º‬وإذا دا َر م َع‬ ‫اتجا ِه عقار ِب الســاع ِة‪ ،‬فإ َّن ُه ُيك ِّو ُن زوايا قيا ُســها ســال ٌب؛ ولهذا‪ ،‬فق ْد يكو ُن قيا ُس الزاوي ِة أ َّي‬ ‫عد ٍد حقيق ٍّي‪ ،‬عل ًما بأ َّن ُه ُيم ِك ُن تمثي ُل الاقترانا ِت المثلثي ِة للأعدا ِد الحقيقي ِة جمي ِعها‪ ،‬ولي َس فق ْط‬ ‫للزوايا الواقع ُة بي َن ‪َ 0º‬و ‪ُ ،360º‬ألا ِح ُظ منحنى اقترا ِن الجي ِب الآتي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪- 180º‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪90º 270º‬‬ ‫‪450º‬‬ ‫كاش ُف الاهتزا ِز (الأوسيليسكو ُب)‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫ه َو جها ٌز يرســ ُم ُج ْه َد الإشــارا ِت‬ ‫‪0‬‬ ‫الإلكتروني ِة على شك ِل ُمخ َّط ٍط ُي ْشبِ ُه‬ ‫‪- 90º –0.5‬‬ ‫التمثيــ َل البيان َّي لاقتــرا ِن الجي ِب‪،‬‬ ‫و ُيســتع َم ُل لاكتشــا ِف أعطــا ِل‬ ‫‪–1‬‬ ‫الأجهز ِة الكهربائي ِة‪.‬‬ ‫والآ َن‪ ،‬سأرس ُم منحنى الاقترا ِن ‪ُ ،y = tan x‬ملا ِح ًظا الفر َق بينَ ُه وبي َن منحن َي ِي الاقتران ْي ِن ‪،sin x‬‬ ‫َو ‪.cos x‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫أرس ُم منحنى الاقترا ِن‪ ، y = tan x‬ث َّم َأ ِص ُف ُه عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :1‬أك ِّو ُن جدو ًل‪ ،‬ث َّم َأكت ُب في ِه زوايا شائع ًة‪.‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :2‬أ ِج ُد قيم َة ‪ tan x‬لك ٍّل زاوي ٍة ‪ ، x‬ث َّم َأكت ُبها في الجدو ِل‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0º 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪tan x‬‬ ‫‪ –1 0‬غي ُر ُمع َّر ٍف ‪ –1 0 1‬غي ُر ُمع َّر ٍف ‪0 1‬‬ ‫‪96‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أع ِّي ُن النقا َط في المستوى الإحداث ِّي‪ُ ،‬ملا ِح ًظا صعوب َة التوصي ِل بي َن النقا ِط بمنحنًى‬ ‫واح ٍد؛ لأ َّن قيم َة ‪ tan x‬غيــ ُر ُمع َّرف ٍة للزاويت ْي ِن ‪َ 90º‬و ‪270º‬؛ لــذا َأ ِص ُل النقا َط قب َل‬ ‫الزاويــ ِة ‪ 90º‬ببع ِضها‪ ،‬والنقــا َط بي َن الزاويت ْيــ ِن ‪َ 90º‬و ‪ 270º‬ببع ِضها‪ ،‬والنقا َط بع َد‬ ‫الزاوي ِة ‪ 270º‬ببع ِضها‪ ،‬فينت ُج رس ٌم كما في الشك ِل الآتي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫َأتع َّل ُم‬ ‫‪y = tan x‬‬ ‫ُيس ّمى ك ٌّل م َن المستقيم ْي ِن‬ ‫‪6‬‬ ‫‪َ x = 90º‬و ‪ x = 270º‬خ َّط‬ ‫تقــار ِب رأســ ِّي لمنحنى‬ ‫‪4‬‬ ‫‪tan x‬؛ لأ َّن المنحنــى‬ ‫يقتر ُب كثي ًرا منْ ُهما‪ ،‬لكنَّ ُه‬ ‫‪2‬‬ ‫لا يقط ُع ُهما‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪–6‬‬ ‫ُيب ِّي ُن الشــك ُل أ َّن منحنى ‪ tan x‬غيــ ُر متص ٍل؛ فه َو ُمك َّو ٌن م ْن ِع َّد ِة قطــ ٍع‪ ،‬وأ َّن الظ َّل موج ٌب بي َن‬ ‫الزاويت ْي ِن ‪َ 0º‬و ‪ ،90º‬وبي َن الزاويت ْي ِن ‪َ 180º‬و ‪ ،270º‬وأ َّن ُه يكو ُن سال ًبا بي َن الزاويت ْي ِن ‪َ 90º‬و ‪،180º‬‬ ‫وبي َن الزاويت ْي ِن ‪َ 270º‬و ‪.360º‬‬ ‫أتحقق من فهمي  ‬ ‫أرس ُم منحنى الاقترا ِن ‪ ، y = tan x‬عل ًما بأ َّن ‪ُ ،90º < x < 270º‬مستع ِم ًل زوايا مختلف ًة ع ْن‬ ‫تل َك التي في الجدو ِل الساب ِق‪ ،‬ث َّم َأ ِج ُد قي َم الظ ِّل لهذ ِه الزوايا باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪.‬‬ ‫‪1   y = sin x  0º ≤ x ≤ 270º‬‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫‪3   y = sin x  0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫أرس ُم منحنى الاقترا ِن لك ٍّل م ّما يأتي في الفتر ِة المعطا ِة‪ ،‬ث َّم َأ ِص ُف ُه‪:‬‬ ‫‪2   y = cos x  0º ≤ x ≤ 180º‬‬ ‫‪4   y = tan x  0º ≤ x ≤180º‬‬ ‫‪97‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ُ   5‬يب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر جز ًءا م َن التمثيــ ِل البيان ِّي للاقترا ِن‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪ .y = cos x‬بنا ًء على هذا الشك ِل‪ُ ،‬أق ِّد ُر قيمت ْي ِن لل ُمتغ ِّي ِر ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = cos x‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫يكو ُن عن َد ُهما ‪cos x = – 0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ُ   6‬يب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر جز ًءا م َن التمثيــ ِل البيان ِّي للاقترا ِن‬ ‫‪ .y = sin x‬بنا ًء على هذا الشــك ِل‪ُ ،‬أق ِّد ُر قيمت ْي ِن لل ُمتغ ِّي ِر ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫يكو ُن عن َد ُهما ‪sin x = – 0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أستعم ُل التمثيلا ِت البياني َة الآتي َة لأَ ِج َد قي َم‪.a, b, c, d, e, f, g, h :‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪8  y‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫‪7   y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪90º 180º 270º 360º‬‬ ‫‪0º 90º 180º 270º 360º‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪sin 0º = sin aº = sin bº‬‬ ‫‪tan 0º = tan eº = tan f º‬‬ ‫‪sin 30º = sin cº‬‬ ‫‪tan 45º = tan gº‬‬ ‫‪sin 60º = sin d º‬‬ ‫‪tan 60º = tan hº‬‬ ‫‪sin 210º = sin e º‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ُيب ِّي ُن الشــك ُل المجاو ُر جز ًءا م َن التمثي ِل البيان ِّي للاقترا ِن ‪ y = cos x‬الذي ‪y = cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫يقط ُع ُه المستقي ُم ‪ y = – 0.5‬في النقطت ْي ِن ‪:B, C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪َ   9‬أ ِج ُد إحداثيا ِت النقط ِة ‪.A‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪َ   10‬أ ِج ُد إحدثيا ِت النقطت ْي ِن ‪ B, C‬باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C y = – 0.5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪98‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫َأ ِج ُد إحداثيا ِت النقطت ْي ِن ‪ A‬و ‪ B‬في ك ِّل شك ٍل م ّما يأتي باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪:‬‬ ‫  ‪11‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = sin x‬‬ ‫  ‪12‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪180º‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫‪y = cos x‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪ُ   13‬يب ِّي ُن الشــك ُل الآتي جز ًءا م َن التمثي ِل البيان ِّي للاقترا ِن ‪ ،y = tan x‬حي ُث يقط ُع المســتقي ُم ‪ y = 1‬منحنى ‪ y = tan x‬في‬ ‫النقطت ْي ِن‪َ ،P :‬و‪َ .Q‬أكت ُب الإحداث َّي ‪ x‬لك ٍّل م َن النقطت ْي ِن‪َ ،P :‬و‪.Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = tan x‬‬ ‫‪y=1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0º‬‬ ‫‪90º‬‬ ‫‪180º 270º‬‬ ‫‪360º‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪  14‬تح ٍّد‪ :‬أرســ ُم منحن َي ِي الاقتران ْي ِن ‪َ y = cos x‬و ‪ f = 2 cos x‬في المستوى الإحداث ِّي نف ِس ِه‪ ،‬في الفتر ِة ‪،0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫ث َّم ُأقا ِر ُن بينَ ُهما‪.‬‬ ‫‪  15‬أكت ُب‪ :‬ما الفر ُق بي َن منحن َي ِي الجي ِب وجي ِب التما ِم؟‬ ‫‪99‬‬

‫َح ُّل المعادلا ِت المثلثي ِة‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪Solving Trigonometric Equations‬‬ ‫‪4‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس   َح ُّل معادلا ٍت تتض َّم ُن النس َب المثلثي َة الأساسي َة‪ ،‬وتكو ُن فيها مجموع ُة ال َح ِّل ضم َن دور ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫  المصطلحا ُت  المعادل ُة المثلثي ُة‪.‬‬ ‫ ســاع ُة حائ ٍط كبيــر ٌة ُمع َّلق ٌة على جدا ِر غرفــ ٍة‪ .‬إذا كا َن طو ُل عقر ِب‬ ‫  مسأل ُة اليو ِم‬ ‫الســاعا ِت فيها ‪ ،16 cm‬و ُب ْع ُد رأ ِس العقر ِب ع ْن سق ِف الغرف ِة ُيم َّث ُل‬ ‫دائ ًمــا بالعلاقــ ِة‪ ، d = – 16 cos (30x) + 110 :‬حي ُث‪ d :‬ال ُب ْع ُد‬ ‫بالســنتيمت ِر‪َ ،‬و ‪ x‬الوق ُت بالساعا ِت‪ ،‬فما الوق ُت الذي يبع ُد في ِه رأ ُس‬ ‫عقر ِب الساعا ِت ‪ 118 cm‬ع ِن السق ِف؟‬ ‫المعادل ُة المثلثيــ ُة )‪ (trigonometric equation‬هــ َي معادل ٌة ُمتغ ِّيرا ُتها نســ ٌب مثلثي ٌة لزاوي ٍة‬ ‫مجهولــ ٍة‪ .‬و َح ُّل المعادل ِة المثلثيــ ِة يعني إيجا َد الزاوي ِة (أ ِو الزوايا) التــي ُتح ِّق ُق هذ ِه المعادل َة‪،‬‬ ‫وتجع ُل منْها عبار ًة صحيح ًة‪.‬‬ ‫م َن الأمثل ِة على المعادلا ِت المثلثي ِة‪:‬‬ ‫‪sin x = 0.5 ,  tan x = 2.435 ,  2 + cos x = 3 – 2 cos x ,  2 sin2x = 3‬‬ ‫ُيم ِك ُن َح ُّل بع ِض المعادلا ِت‪ ،‬مث ِل‪َ ، sin x = a :‬و ‪ ،cos x = a‬باســتعما ِل الآل ِة الحاسب ِة‪ ،‬أ ِو‬ ‫استعما ِل ما نتذ َّك ُر ُه م ْن نس ِب الزوايا الخاص ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫َأ ُح ُّل المعادلت ْي ِن الآتيت ْي ِن‪ ،‬عل ًما بأ َّن ‪:0º ≤ x ≤ 360º‬‬ ‫‪1   2 sin x = 1‬‬ ‫ ‬ ‫َأتذ َّك ُر‬ ‫يكو ُن جي ُب الزاوي ِة موج ًبا‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بقسم ِة طر َف ِي المعادل ِة على ‪ 2‬‬ ‫فــي الربع ْيــ ِن‪ :‬الأو ِل‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫باستعما ِل الآل ِة الحاسب ِ ة‬ ‫والثاني‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin –1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪30º‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ولأ َّن الجي َب يكو ُن أي ًضا موج ًبا في الرب ِع الثاني؛ فإ َّن ُه يوج ُد َح ٌّل آخ ُر للمعادل ِة ه َو‪:‬‬ ‫‪180º – 30º = 150º‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬لهذ ِه المعادل ِة َح ّل ِن ضم َن الفتر ِة المعطا ِة في المسأل ِة‪ ،‬هما‪َ ،30º :‬و ‪.150º‬‬