3. Bahan Ajar Kapita Selekta WS MN_PGRI SMA -2021

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 1. Jika diketahui koordinat kartesius titik adalah ( , ) maka koordinat kutub titik adalah ( , ) dengan = + dan tan = . 2. Jika diketahui koordinat kutub titik adalah ( , ) maka koordinat kartesius titik adalah ( , ) dengan = cos dan = sin . Contoh: Tentukan koordinat Kartesius titik-titik berikut: a. (6, 30°) b. (4, ) Penyelesaian a. Diketahui titik (6, 30°), maka = 6 dan = 30°. Sehingga = ⋅ cos = 6 ⋅ cos 30° = 6 ⋅ √3 = 3√3 = ⋅ sin = 6 ⋅ sin 30° = 6 ⋅ = 3 Jadi koordinat Kartesius titik P adalah (3√3, 3) b. Diketahui titik (4, ), maka = 4 dan = . Sehingga = ⋅ cos = 4 ⋅ cos = 4 ⋅ − = −2 = ⋅ sin = 4 ⋅ sin = 4 ⋅ √3 = 2√3 Jadi koordinat Kartesius titik adalah (−2, 2√3). Contoh: Tentukan koordinat Kutub dari titik-titik berikut: a. (3, 3√3) b. (−4, 3) Penyelesaian a. Diketahui (3, 3√3) maka = 3 dan = 3√3, sehingga = + = 3 + 3√3 = √36 = 6 tan = = √ = √3, sehingga = tan √3 , karena di kuadran I, diperoleh = 60°. Jadi, koordinat kutub titik A adalah (6, 60°) atau 6, . 95

Kapita Selekta Matematika SMA b. Diketahui (−4, 3) maka = −4 dan = 3, sehingga = + = (−4) + 3 = √25 = 5 tan = = − , sehingga tan = − tan 36,87° (gunakan kalkulator). Karena di kuadran II, diperoleh = 180° − 36,87° = 143,13°. Jadi, koordinat kutub titik adalah (5, 143,13°). Diskusikan: Gambar di samping merupakan grafik dengan persamaan = 1 + cos untuk 0 ≤ ≤ 2 . Bagaimana langkah-langkah melukis grafik tersebut? m. Aturan-aturan dalam Segitiga Luas Segitiga Diberikan segitiga ABC, dengan panjang sisi = , = , dan = , dan garis tinggi dari titik ke . Misalkan menyatakan luas segitiga , dengan memandang sebagai alas dan sebagai garis tinggi, maka =⋅ . Sementara itu dengan menggunakan definisi sinus pada segitiga siku-siku, dapat dinyatakan dalam dua cara, yaitu = ⋅ sin atau = ⋅ sin . Akibatnya ⋅ sin 1 = 2 = 2 sin Dengan cara yang sama, dapat diperoleh: 1 dan 1 = 2 sin = 2 sin 96

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Contoh: Diketahui sebuah segitiga ABC dengan = 6, dan = 8 . Jika luas segitiga adalah 12√3 , hitunglah besar sudut . Penyelesaian: 1 = 120° = 2 ⋅ sin 1 12√3 = 2 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ sin sin = √3 ⇒ = 60° atau Jadi besar sudut C adalah 60° atau 120°. Aturan Sinus Dari rumus luas segitiga diperoleh hubungan 111 2 sin = 2 sin = 2 sin Jika seluruhnya dikalikan dengan akan diperoleh sin sin sin == Atau dapat ditulis sebagai sin = sin = sin Aturan di atas dinamakan sebagai aturan sinus. Pandang segitiga ABC dengan lingkaran luarnya seperti pada gambar di samping. Misalkan adalah titik pusat lingkaran, maka ∠ = 2∠ . Perhatikan bahwa = , sehingga segitiga sama kaki dan ∠ = ∠ . Ambil titik tengah , akibatnya = 2 ⋅ dengan sisi di depan sudut , dan ∠ = ∠ (mengapa?). Dengan demikian pada segitiga siku-siku BOM berlaku 97

Kapita Selekta Matematika SMA = ⋅ sin(∠ ) = ⋅ sin . sin = sin = sin = 2 Diperoleh = ⋅ = 2 ⋅ = 2 , dengan jari-jari lingkaran luar segitiga . Terdapat beberapa macam pembuktian aturan sinus. Applet untuk aktivitas daring penurunan aturan sinus dapat diakses di tautan https://www.geogebra.org/m/GQMTtf5b. Contoh: Diberikan segitiga dengan = 2, panjang sisi = 1 dan ∠ = 30°. Tentukan a. Besar sudut . b. Besar sudut . c. Panjang sisi . Penyelesaian: = = 2, dan ∠ = 30°. Diketahui = = 1, a. Besar sudut dicari dengan =⇒ ° = ⇒ sin = ° ⇒ sin = Dengan bantuan kalkulator diperoleh besar sudut = arcsin = 14,48°. b. Besar ∠ dicari dengan sifat jumlah sudut segitiga adalah 180°. ∠ + ∠ + ∠ = 180° ⇒ ∠ + 30° + 14,48° = 180° ⇒ ∠ = 135,52° Jadi besar sudut A adalah 135,52° c. Panjang sisi BC dicari dengan = , Dengan demikian = ̇ ⋅ sin = (/) ⋅ sin 135,52° = 2 ⋅ 0,7 = 1,4. Jadi panjang sisi adalah 1,4. Aturan Cosinus 98

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Pandang segitiga , dengan sebagai alas dan garis tinggi dari titik . Pada segitiga , = cos dan = sin , akibatnya = − cos . Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh = + = sin + ( − cos ) = sin + + cos − 2 cos = + − 2 cos Dengan cara yang serupa, dapat ditemukan hubungan untuk sisi-sisi dan sudut- sudut yang lain sehingga pada setiap segitiga berlaku: a. = + − 2 cos b. = + − 2 cos c. = + − 2 cos Applet untuk penurunan aturan cosinus dapat diakses pada tautan https://www.geogebra.org/m/rnaatu5t. Contoh soal 7 Pada Δ diketahui panjang = 6, = 3 dan ∠ = 60°. Tentukan panjang sisi . 99

Kapita Selekta Matematika SMA Penyelesaian: Perhatikan ilustrasi di samping. = + − 2 cos = 6 + − 2 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ cos 60° = 36 + 9 − 18 = 27 = √27 = 3√3 Jadi panjang sisi c adalah 3√3 n. Perbandingan Trigonometri Jumlah dan selisih dua Sudut Perhatikan ilustrasi berikut: Segitiga kongruen dengan , kongruen dengan . Panjang = = 1, besar sudut dan berturut-turut dan . Panjang sisi , , , dan berturut-turut dapat dinyatakan dalam sin , cos , cos , sin . Dapat ditunjukkan juga bahwa ∠ = + . Dengan menggunakan rumus luas segitiga, diperoleh 1 ⋅ ⋅ sin( + ) = sin( + ) =2⋅2⋅ Selanjutnya segitiga-segitiga seperti gambar sebelah kiri digeser sehingga menjadi gambar kanan, maka diperoleh hubungan =+ Sehingga 100

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA sin( + ) = sin cos + cos sin . Terdapat beberapa cara membuktikan rumus jumlah dua sudut. Applet pada tautan https://www.geogebra.org/m/sdymthuf dapat digunakan untuk aktivitas interaktif daring membuktikan rumus tersebut. Dengan mengubah ( − ) = + (− ) dapat diturunkan rumus sin ( − ) = sin cos − sin cos Ingat kembali rumus sin(90° − ) = cos , maka cos( + ) = sin 90° − ( + ) = sin (90° − ) − = sin(90° − ) cos − cos(90° − ) cos Jadi cos( + ) = cos cos − sin sin Untuk rumus kosinus selisih dua sudut, cos( − ) = cos + (− ) = cos cos(− ) − sin( ) sin(− ) sehingga cos( − ) = cos cos + sin sin 101

Kapita Selekta Matematika SMA Rumus perbandingan trigonometri jumlah dan selisih dua sudut 1. sin( + ) = sin cos + sin cos 2. cos( + ) = cos cos − sin sin 3. tan( + ) = (bukti sebagai latihan). 4. sin( − ) = sin cos − sin cos 5. cos( − ) = cos cos + sin sin Latihan: i. Buktikan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut di atas. ii. Adakah syarat yang harus dipenuhi untuk masing-masing rumus di atas? iii. Buatlah rumus-rumus untuk perbandingan trigonometri sudut ganda. Contoh: Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator, tentukan nilai a. sin 75° b. cos 15° Penyelesaian: a. sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° 11 11 = 2 √2 ⋅ 2 √3 + 2 √2 ⋅ 2 11 1 = 4 ⋅ √6 + 4 ⋅ √2 = 4 √6 + √2 cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° b. 1 1 1 1 = 2 √2 ⋅ 2 √3 + 2 √2 ⋅ 2 11 1 = 4 ⋅ √6 + 4 ⋅ √2 = 4 √6 + √2 D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN Geometri 1. Diberikan kubus . . Manakah pernyataan berikut yang benar? a. tegak lurus . b. dan bersilangan c. tegak lurus bidang 102

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA d. Proyeksi pada bidang adalah . 2. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 6cm. Titik , , dan berturut-turut terletak pada pertengahan garis , , dan bidang . Tentukan a. Jarak dari titik ke titik . b. Jarak titik ke titik . 3. Seekor semut berjalan pada limas segiempat beraturan . dengan rusuk alas 40cm dan rusuk tegak 40cm. Ia memulai dari titik , berjalan lurus menuju titik di rusuk , dilanjutkan lagi ke titik di rusuk , di rusuk , dan berakhir di di rusuk . Tentukan jarak minimum yang ditempuh oleh semut. 103

Kapita Selekta Matematika SMA 4. Diberikan kubus . . Selidikilah apakah sebarang diagonal ruang kubus tegak lurus dengan diagonal sisi yang tidak berpotongan dengan diagonal ruang tersebut. Berapakah jarak antara diagonal ruang dan diagonal sisi tersebut? Catatan: Misalkan diagonal ruang yang diambil adalah , maka salah satu diagonal sisi yang tidak berpotongan dengan adalah . 5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 20 cm. Jika adalah sudut , tentukan nilai sin . antara bidang dan 104

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 6. Diberikan limas tegak . dengan persegi panjang. Jika = 15, = 8, dan tinggi limas 10. Dengan bantuan kalkulator untuk perhitungan, tentukan: a. Jarak ke bidang . b. Jarak ke titik berat segitiga . 7. Diberikan bidang empat . dengan segitiga sama sisi, = 12 cm. Jika tinggi bidang empat dari titik adalah 10 cm, dengan menggunakan kalkulator tentukan jarak: a. ke garis . b. ke . c. ke bidang . 8. Bidang tegak lurus bidang dan berpotongan di garis . Titik di bidang dan di bidang . membentuk sudut 30° terhadap dan 45° terhadap . Jika adalah sudut antara garis dan garis , tentukan nilai sin . 105

Kapita Selekta Matematika SMA 9. Susunlah soal tentang jarak dan sudut yang dapat digunakan untuk mengukur kemampuan pemecahan masalah. 10. Unduhlah aplikasi Wingeom di https://tinyurl.com/wingeom1, atau gunakan GeoGebra 3 dimensi kemudian gunakana untuk memeriksa kebenaran jawaban soal-soal yang telah dikerjakan. Buat garis melalui sejajar . Lukis garis melalui sejajar . Sudut antara dan diwakili oleh sudut antara dengan . ∠ = 30° maka = 1, = 1. ∠ = 45° maka = √2, = √2. Dengan teorema Pythagoras, = √3, = √3, akibatnya segitiga PQI sama kaki. Bidang PIK tegak lurus g dan IQ, akibatnya IQ tegak lurus PI. Karena ∠ = 90°, = , maka ∠ = 45°. Jadi = 45° dan sin = √3. Transformasi Geometri 1. Buktikan bahwa translasi merupakan transformasi isometri. (bantuan: ambil 2 titik sebarang ( , ), ( , ) ditranslasikan dengan vektor translasi sehingga diperoleh koordinat ′ dan ’. Tunjukkan bahwa = ). 2. Buktikan bahwa rotasi berpusat di (0,0) sudut rotasi 270° merupakan transformasi isometri. (bantuan: ambil 2 titik sebarang ( , ), ( , ) rotasikan dengan pusat O(0,0) sudut rotasi sehingga diperoleh koordinat ′ dan ’. Tunjukkan bahwa = ). 3. Buktikan bahwa refleksi terhadap garis = merupakan transformasi isometri. 106

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA (bantuan: ambil 2 titik sebarang ( , ), ( , ) refleksikan terhadap garis = sehingga diperoleh koordinat ′ dan ’. Tunjukkan bahwa = ). 4. Dengan contoh kontra, tunjukkan bahwa transformasi dengan matriks = 2 0 bukan merupakan isometri. 0 1 (bantuan: ambil dua titik misal (0,0), (2,1) transformasikan dengan matriks di atas hingga diperoleh titik ’ dan ’. Tunjukkan bahwa ≠ ′ ′. Karena ADA titik , sedemikian sehingga ≠ ′ ′ maka transformasi tersebut bukan isometri). 5. Tentukan bayangan poligon dengan titik-titik sudut (0,0), (4,2), (0,6) dan (−2,4) oleh transformasi dengan matriks transfomasi = 2 1 . Apakah 1 −1 transformasi tersebut merupakan transformasi isometri? 6. Selidikilah, segitiga dengan titik sudut (0,0), (2, 1) dan (3, 2) di translasikan oleh vektor = 1 , kemudian bayangannya ditranslasikan lagi oleh 2 vektor = 2 . Proses lebih dari satu transformasi ini dinamakan sebagai −3 komposisi transformasi. Bila dinyatakan dengan sebuah komposisi yang tunggal, transformasi apakah komposisi tranformasi translasi dilanjutkan dengan translasi? 7. Selidikilah, segitiga dengan titik sudut (0,0), (2, 1) dan (3, 2) di cerminkan terhadap garis = 3, kemudian bayangannya dicerminkan lagi oleh garis = 5. Bila dinyatakan dengan sebuah komposisi yang tunggal, transformasi apakah komposisi tranformasi dua kali refleksi dengan garis yang sejajar? 8. Buatlah sebarang segitiga , refleksikan terhadap garis = , kemudian lanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu- . Bila dinyatakan dalam sebuah tranformasi secara tunggal, buatlah sebuah dugaan transformasi apakah dua kali pencerminan terhadap garis berpotongan? 9. Tentukan persamaan bayangan kurva = jika direfleksikan terhadap garis 2 = . 107

Kapita Selekta Matematika SMA 10. Pada gambar di bawah, dan merupakan cermin. Sinar laser akan pancarkan di titik , dipantulkan ke cermin sehingga pantulannya melewati titik . a. Tentukan posisi titik di sehingga pantulan di melewati titik . (sinar sekali memantul di cermin ) b. Tentukan posisi titik di dan di sehingga sinar dari memantul di , kemudian memantul di dan akhirnya melewati titik . Trigonometri 11. (Soal Uraian, gunakan kalkulator) Jarak pada gambar hasil fotografi udara, ditentukan oleh Panjang focus lensa dan sudut kamera terhadap garis tegak lurus permukaan tanah. Pada kamera dengan panjang focus 12 in, memiliki jangkauan sudut 60°. Jika sebuah foto udara diambil dari ketinggian 5000 kaki, dengan sudut kamera 35°, tentukan jarak d dalam mil (lihat gambar). Catatan: 1 kaki = 12 inch, 1 mil =5280 kaki. 12. (Soal Uraian, gunakan kalkulator) Sebagai objek benda langit, jarak bumi-bulan relative dekat. Jika diamati dengan teleskop dari dua tempat yang berbeda pada waktu yang tepat sama, maka akan diperoleh dua sudut elevasi berbeda. Pada 29 April 1976, Ketika terjadi gerhana bulan di Bochum dan Donaueschingen 108

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA (Jerman) diperoleh sudut elevasi berturut-turut 52,6997° dan 52,7430°. Jika jarak kedua kota adalah 398km, hitunglah jarak bulan dari Bochum pada hari tersebut, bandingkan dengan jarak sebenarnya 406.000 km. 13. Rudi berdiri di sebelah selatan sebuah menara dan melihat puncak menara dengan sudut elevasi 60°. Selanjutnya ia berjalan ke arah barat sejauh 50 meter pada tanah yang rata. Di posisi ini ia kembali melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak Rudi di posisi awal ke menara. 109

Kapita Selekta Matematika SMA KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 KALKULUS (4 JP) A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN Kalkulus merupakan salah satu cabang bahasan dalam matematika. Perannya amat penting dalam matematika itu sendiri dan juga untuk digunakan dalam pengembangan teknologi. Misalnya, perhitungan terkait daya angkat sayap pesawat terbang maka perhitungannya akan memanfaatkan konsep dalam kalkulus yaitu integral. Konsep yang dibicarakan dalam kalkulus paling banyak tentang limit, turunan dan integral. Kalkulus merupakan bahasan yang relatif sulit, oleh karena itu pembahasan kalkulus pada kurikulum sekolah dipilih bagian yang sesuai dengan tingkat perkembangan belajar mereka, harapannya pembelajaran di kelas (sekolah) menjadi lebih lancar. Namun demikian tetap saja muncul miskonsepsi. Oleh karena itu dalam paparan ini akan dibahas terkait limit, turunan dan integral yang meliputi konsepnya dan penyelesaian masalah yang terkait serta kemungkinan miskonsepsi dan penjelasannya. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Kegiatan belajar ini bertujuan untuk memberikan pemahaman kepada peserta diklat ataupun pemerhati pendidikan berkaitan dengan pengertian limit fungsi serta strategi penyelesaian masalah limit fungsi, pengertian turunan, integral dan cara menyelesaikan integral tak tentu dan integral tertentu. Kegiatan yang dimaksud dapat dilakukan secara mandiri maupun dalam kegiatan diklat C. URAIAN MATERI Ada dua bagian yang akan disajikan dalam uraian materi ini. Bagian pertama terkait pengertian limit fungsi dan strategi penyelesaiannya, sedangkan pada bagian kedua membahas turunan dan integral serta strategi penyelesaiannya. Strategi yang dimaksud disini adalah cara sederhana dalam menyelesaikan permasalahan limit maupun integral. 110

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 1. Bagian I Limit Fungsi a. Pengertian limit fungsi Limit fungsi merupakan konsep yang amat penting dalam matematika. Tanpa pemahaman limit fungsi, pembahasan terkait turunan, integral dan topik-topik kalkukus lain tidak bisa jalan. Mengingat hal ini maka pemahaman yang benar perlu diketahui. Sebagai gambaran sederhana untuk pemahaman perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan ada seseorang yang mempunyai bayangan akibat adanya cahaya seperti pada gambar. Saat kepala orang mendekati A maka bayangan kepala akan mendekati B. Pengertian limit fungsi dalam matematika pun identik dengan ilustrasi tersebut. Untuk mempermudah kita mulai dari contoh. Diberikan fungsi ( ) = + 1. Penulisan lim ( + 1) = 5 ini sebenarnya hanya ingin mengungkapkan: → 2 ( + 1) 5. (catatan: ada sebagian referensi mengganti kata “mendekati” menjadi kata “menuju”). Kata “mendekati” ini amat penting dalam pendefinisian tersebut. Lihat aktivitas 1. Dengan demikian lim ( ) = → dimaknai sebagai jika mendekati maka ( ) mendekati . Kembali pada contoh sebelumnya, bilangan mana yang didekati ( + 1) ketika mendekati 2? Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. 1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,011 2,111 () 4,988009 4,992004 4,996001 ? 5,004001 5,044121 5,456321 = +1 Secara intuitif wajar orang akan menyimpulkan bahwa lim ( ) = 5 karena semakin → mendekati 2 maka nilai ( ) semakin mendekati 5. Demikian juga apabila disajikan dalam gambar. 111

Kapita Selekta Matematika SMA Namun apakah 5 benar-benar merupakan nilai limit fungsinya, tentu masih menjadi suatu pertanyaan. Bahasa sederhananya perlu bukti bahwa lim ( ) = 5. Inilah → perlunya pendefinisian formal. Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin- Louis Cauchy menyusun definisi tentang limit secara formal yang masih digunakan sampai sekarang sebagai berikut. Definisi : ( ) = secara formal didefinisikan sebagai: untuk setiap  > 0 , → terdapat  > 0 sedemikian hingga | ( ) – | <  untuk setiap < | – | < . Definisi ini sebenarnya sama dengan apa yang sudah dibahas sebelumnya yaitu sama saja mengatakan “ jika → maka ( ) → ”. Keunggulan dari definisi formal ini adalah untuk keperluan pembuktian. Sebagai contoh, perhatikan bukti limit berikut. lim ( + 1) = 5: → Bukti: Ambil sebarang ε > 0. Kita selidiki x di persekitaran 2. Untuk δ = 1 (yang berarti | − 2| < 1 maka | + 2| = | − 2 + 4| ≤ | − 2| + 4 < 1 + 4 = 5 . Untuk δ = maka | − 2| < . Selanjutnya, pilih δ = min {1, δ } maka akan berlaku |( + 1) − 5| = | − 4| = | − 2|| + 2| ε < 5.5 = ε 112

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Dengan demikian terbukti bahwa ( + ) = . → Pada bukti ini, haruskah selalu δ = 1 dan δ = ? Lihat aktivitas 2 Untuk tayangan interaktif berkaitan dengan limit fungsi, silakan dibuka link: https://www.geogebra.org/m/fnru97jx b. Limit kiri dan limit kanan Seperti yang sudah disinggung pada bagian sebelumnya, saat pembahasan lim ( ) = → maka yang dimaksud mendekati (ditulis: → ) adalah mendekati dari kiri ( → ) dan juga mendekati mendekati dari kanan ( → ). Sehingga lim ( ) = → benar jika untuk → maka ( ) → yang dinamakan sebagai limit kiri dan juga dipenuhi untuk → maka ( ) → yang dinamakan limit kanan. Syarat ini dikenal orang sebagai limit kiri harus sama dengan limit kanan. Selanjutnya perhatikan grafik fungsi ( ) pada gambar berikut. Dari gambar terlihat bahwa ( ) mendekati nilai 1 untuk menuju 0 dari kiri, sementara ( ) menuju nilai 3 untuk menuju 0 dari kanan.. Dengan demikian lim ( ) tidak ada. → Hal penting yang tidak boleh dilupakan dalam pengertian limit ini adalah domain dari fungsi tersebut. Misalkan akan ditentukan hasil lim √ . Domain fungsi ℎ( ) = √ → adalah = { ∈ | ≥ }. Jelas terlihat dari domain fungsi bahwa kita tidak akan berbicara mengenai limit kiri untuk kasus tersebut karena ℎ( ) tidak terdefinisi untuk < . Oleh karena itu penyelidikan hanya untuk limit kanan. Tampak bahwa lim √ = 0. → 113

Kapita Selekta Matematika SMA Dengan demikian lim √ = lim √ = 0. →→ Selanjutnya perhatikan grafik fungsi berikut. Apakah dapat dikatakan limit kirinya -1 dan limit kanannya 1? Lihat aktivitas 3 c. Limit tak hingga dan limit di tak hingga Penjelasan berkaitan limit tak hingga dan limit di tak hingga amat penting karena tidak jarang orang terbalik ketika membahas mengenai limit ini. Bahkan ada pula yang tidak membedakan antara limit tak hingga dengan limit di tak hingga. Limit tak hingga (infinity limits) Pada bagian sebelumnya telah disajikan mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi. Berikut akan disajikan ketidakadaan limit namun dengan cara pandang lain. Untuk mempermudah dimulai dari contoh. Perhatikan grafik ( ) = . 114

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Terlihat bahwa nilai ( ) akan menuju positif tak hingga saat menuju 2 dari arah kanan sementara nilai ( ) akan menuju negatif tak hingga saat menuju 2 dari arah kiri. Kondisi ini menandakan bahwa ( ) tidak menuju nilai tertentu jika menuju 2. Dengan kata lain lim tidak ada. → Bandingkan dengan grafik fungsi ( ) = ( ) berikut. Dengan melihat grafik jelas bahwa nilai ( ) akan menuju positif tak hingga baik menuju 2 dari arah kanan lim ( ) = ∞ maupun dari arah kiri lim ( ) =∞ . → → Ini berarti ( ) → ∞ saat → 2. Walaupun dalam hal ini ( ) tidak menuju pada nilai atau bilangan tertentu ketika menuju 2, namun dalam kasus ini ( ) dikatakn mempunyai limit tak hingga. Inilah sebenarnya pengertian limit tak hingga. Apabila dituliskan maka penyajiannya menjadi lim ( ) = ∞. Coba bandingkan cara → penulisann lim tidak ada dengan lim ( ) = ∞. Mana yang menggunakan tanda → → “=”? 115

Kapita Selekta Matematika SMA Pendefinisian formal untuk limit tak hingga dinyatakan sebagai berikut. Misalkan suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat (boleh juga tidak terdefinisi di ) maka yang dimaksud dengan lim ( ) = ∞ adalah untuk → setiap > 0 terdapat > 0 sehingga ( ) > untuk 0 < | − | < . Demikian pula untuk lim ( ) = −∞ pendefinisian formalnya adalah untuk setiap < → 0 terdapat > 0 sehingga ( ) < untuk 0 < | − | < Limit di tak hingga (limits at infinity) Limit di tak hingga sangat berbeda dengan limit tak hingga. Perbedaan utamanya terletak pada bilangan yang didekati dan hasil limitnya. Untuk limit tak hingga berkaitan dengan hasil limitnya ∞, sementara untuk limit di tak hingga variabel independennya yang mendekati tak hingga. Coba bandingkan. lim ( ) = ∞  disebut limit tak hingga → lim ( ) =  disebut limit di tak hingga → Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsi ( ) = berikut. Dengan mencermati grafik tersebut orang akan menyimpulkan bahwa ( ) → 1 apabila → ∞. Dalam hal ini ditulis dengan lim = 1. Sementara itu apabila → disajikan dalam tabel maka gambarannya sebagai berikut. 15 10 20 10.000 10.000 100.000 → ∞ ( ) 2 1,2 1,1 1,05 1,0001 1,0001 1,00001 → 1 Dengan melihat kecenderungan nilai yang ada dalam tabel maka dapat disimpulkan ( ) menuju 1 ketika menuju ∞. Dengan demikian lim = 1. Apabila dicermati → lebih lanjut, pernyataan menuju tak hingga ( → ∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip selalu ada nilai sehingga > . Demikian pula untuk menuju negatif tak hingga ( → −∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif selalu ada nilai sehingga < . Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut. ______________________________ Misalkan suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan lim ( ) = → 116

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA adalah untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga jika > berlaku | ( ) − | < . Demikian pula untuk lim ( ) = → artinya setiap > 0 terdapat < 0 sehingga jika < berlaku | ( ) − | < Berkaitan dengan ketakhinggan limit dan limit di tak hingga, apakah benar kita menulikan lim = ∞? Lihat aktivitas 4 → d. Limit fungsi trigonometri Pengertian limit fungsi trigonometri tidak ada beda dengan pengertian limit pada fungsi aljabar. Jadi lim ( ) = , pemaknaannya tetap sama yaitu jika mendekati → maka ( ) akan mendekati , demikian pula pada definisi secara formalnya. Sebagai contoh lim sin = 1, pemaknaannya adalah jika mendekati maka sin akan → mendekati 1. Perhatikan disini bahwa untuk limit fungsi trigonometri maka variabel independennya ( ) dalam satuan radian bukan dalam satuan derajat. Sehingga, misalkan diberikan ( ) = sin , maka penyajian yang benar lim ( sin ) = 1 .1 2 → 1 =2 Sedangkan penyajian yang salah adalah lim ( sin ) = 90 . 1 → = 90 Limit fungsi trigonometri khusus (special trigonometric function limits) yang paling sering dibahas dalam kurikulum sekolah adalah sin lim = 1 → Dari hasil ini dapat diturunkan berbagai hasil limit fungsi trigonometri yang lain, dengan menggunakan sifat-sifat dan teorema limit. Contoh: lim = lim 1 → sin → sin 117

Kapita Selekta Matematika SMA lim 1 → = lim sin → 1 =1 =1 Berkaitan dengan limit fungsi trigonometri, apakah benar bahwa lim( cos ) = 1° 1° → = 0,9998° (bukan bilangan)? Untuk lebih jelasnya lihat aktivitas 5 e. Sifat-sifat dan teorema limit Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, tidak harus kembali pada definisi limit, tetapi dapat memanfaatkan teorema atau sifat-sifat limit. Berikut ini beberapa sifat dan teorema terkait limit yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan limit. Misalkan c suatu konstanta dan lim ( ) serta lim ( ) dua-duanya ada maka →→ berlaku 1) lim [ ( ) + ( )] = lim ( ) + lim ( ) → →→ 2) lim [ ( ) − ( )] = lim ( ) − lim ( ) → →→ 3) lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( ) → →→ 4) lim ( ) = → () bila lim ( )≠0 ( ) → → ( ) → 5) lim ( ) = lim ( ) →→ 6) lim ( ) = lim ( ) →→ 7) lim [ ( )] = lim ( ) bila positif dan ruas kiri limitnya ada →→ 8) lim = → 9) lim ( ) = lim ( ), jika ( )dalam bentuk dan ( ) dan ( ) ada. → () → () () (Teorema L’Hopital) 10) Untuk ( ) suatu fungsi yang kontinu di maka lim ( ) = ( ) → Catatan penting: Hal penting yang harus diingat adalah lim ( ) ada dan lim ( ) juga ada. →→ 118

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Contoh penggunaan sifat-sifat limit. Contoh 1: Tentukan hasil lim[(2 + 1) + sin ] → Jawab: lim[(2 + 1) + sin ] = lim (2 + 1) + lim(sin ) → →→ =1+0 =1 Contoh 2: Tentukan hasil lim[2 − ] → Jawab: lim[2 − ] = lim 2 − lim → →→ =2−1 =1 Contoh 3: Tentukan nilai lim 5 ⋅ → Jawab: lim 5 ⋅ 1 = lim (5 ) ⋅ lim 1 +1 +1 → → → 1 = 20 ⋅ 5 =4 Hati-hati dalam menerapkan teorema limit. Perhatikan contoh berikut. lim 2 ⋅ = lim 2 ⋅ lim (memanfaatkan sifat 3) → →→ Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya 2 sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi. Mengapa demikian? Lihat di penjelasan bagian kemungkinan miskonsepsi dan penjelasannya Contoh 4: = 1, tentukan lim . Diketahui lim → → Jawab: 119

Kapita Selekta Matematika SMA lim = lim 1 → sin → sin lim 1 1 → = 1=1 = lim sin → Contoh 4: Tentukan nilai lim → Jawab: −4 −4 lim −2 = lim −2 → → = √4 =2 Apakah boleh menggunakan sifat perkalian limit seperti pengerjaan berikut? Untuk lebih jelasnya cermati aktivitas 6 f. Bentuk tak tentu , dan ∞ − ∞ Bentuk tak tentu ( ) adalah tipe ekspresi dalam matematika yang diperoleh setelah ada substitusi bilangan yang didekati oleh variabel (variabel independen) ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya. Sebagai contoh: (i) lim . Limit ini memuat bentuk tak tentu sebab dengan mengganti = 1 → maka akan menghasilkan bentuk = (ii) lim . Limit ini memuat bentuk tak tentu sebab dengan mengganti = → ∞ maka akan menghasilkan bentuk . = (iii) lim √ + 1 − ( − 1). Limit ini memuat bentuk tak tentu ∞ − ∞ sebab → dengan mengganti = ∞ maka akan menghasilkan bentuk √∞ + 1 − (∞ − 1) = ∞ − ∞ 120

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Perlu diperhatikan bahwa , dan ∞ − ∞ bukan suatu operasi pada bilangan melainkan hanya suatu bentuk (ekspresi). Dengan demikian tidak ada hasil pada bentuk itu. g. Strategi sederhana dalam menyelesaikan limit Untuk menyelesaikan masalah limit dapat digunakan beberapa cara. Diantaranya sebagai berikut: 1) Limit fungsi ( )untuk menuju nilai tertentu ( → , ∈ ) Substitusi langsung pada fungsinya. Misalkan ingin ditentukan hasil lim ( ). Jika ( ) tidak menemui hasil → “janggal” dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah ( ). Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuan fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya tidak kontinu maka cara ini tidak bisa digunakan. Contoh 1: lim = =5 → Contoh 2: − 2 2 − 2(2) lim +1 + −1 = 2 +1 +2−1 → 0 = 9+2−1 =1 Bedakan dengan contoh berikut. Diberikan fungsi ( ) = , ≠ 3. Tentukan lim =3 → 0, Jelas bahwa (3) = 0, tetapi lim = 6. → Jadi tidak berlaku lim = (3) walaupun (3) ada yaitu 0. → 121

Kapita Selekta Matematika SMA Substitusi memuat bentuk . Jika dengan substitusi langsung memuat bentuk maka dilakukan penyederhanaan sampai tidak memuat bentuk . Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang maupun di penyebut sehingga faktor yang sama ini dapat dihilangkan. Cara lain menggunakan teorema L’hopital apabila sudah dipelajari (lihat sifat limit). Untuk fungsi trigonometri, dapat digunakan identitas trigonometri yang sesuai. Contoh 1: lim − 27 = lim ( − 3)( + 3 + 9) → −3 → ( − 3)( + 3) = lim +3 +9 +3 → 9 =2 : − = ( − )( + + ) Contoh 2: lim memuat bentuk karena = . Penyelesaiannya dapat → menggunakan 2 cara yaitu: (i). lim = lim ( )( ) = lim ( )=6 → ( )( ) → () → (ii). lim = lim ( ) = lim =6 → → → Contoh 3: lim √ = lim √ )= lim √ = ( → → → √ Substitusi memuat bentuk ≠ 0. 122

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Apabila dengan substitusi memuat bentuk dalam satu suku maka limit fungsi tidak ada atau menjadi limit tak hingga (∞). Namun cara ini tetap perlu pencermatan lebih lanjut dan kejelian. Contoh:  lim tidak ada →  lim = ∞ → 2) Limit fungsi ( ) untuk menuju tak hingga (limits at infinity) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan dengan sekawannya Contoh 1: lim 2 − 4 − = lim 2 − 4 − 2 + √4 − ∙ →→ 2 + √4 − 4 − (4 −) = lim − → 2 + √4 1 = lim − ∙1 → 2 + √4 = lim → 2+ 4 − 1 = lim → 2+ 4−1 11 = 2 + √4 − 0 = 4 Contoh 2: lim √ + 7 − √ − = lim √ + 7 − √ − ∙√ √ √ → → √ = lim () √ →√ 123

Kapita Selekta Matematika SMA = lim √ →√ = lim [pembilang dan penyebut dibagi ] → = =4 √√ Limit fungsi yang memuat bentuk a). Limit fungsi yang memuat bentuk dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial, perlu memperhatikan  Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka limitnya ∞ atau−∞ Contoh. lim −2 + −5 = lim −2 + − 5 +1 → +1 → = lim → lim − lim 2 + lim 1 − lim 5 =→ →→ → lim 1 + lim 1 →→ =→ =∞  Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol Contoh. 2 + −5 2 +1− 5 lim +1 +1 = lim → → = lim = lim =0 → → 124

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA  Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut Contoh. 5 −2 + −5 5 −2 + − 5 lim 2 +1 2 +1 = lim → → = lim == → b). Limit fungsi yang memuat bentuk dengan pembilang atau penyebut bukan polinomial Cara penyelesaiannya sama dengan bagian a.) namun perlu kejelian lebih lanjut dalam menentukan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya. Contoh 1: lim √ = lim √ . = lim =√ = . → → → Perhatikan bahwa khusus untuk → ∞ maka √9 − 2 + − 5 dapat dipandang hanya √9 saja (menghilangkan suku −2 + − 5). Mengapa demikian? Lihat aktivitas 7. Apabila dibolehkan menghilangkan suku −2 + − 5 maka pengerjaan menjadi lebih sederhana, yaitu lim √ = lim √ = lim √ = √ = → →→ Contoh 2. Dengan mengingat contoh 1 maka lim = lim = = √2 →√ √ →√ Contoh 3. =0 lim = lim →→ 125

Kapita Selekta Matematika SMA [pangakat tertinggi pembilang kurang dari pangkat tertinggi penyebut] 2. Bagian II Turunan dan Integral a. Turunan fungsi 1) Pengertian turunan fungsi Jika berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Sementara itu turunan (secara definisi) adalah pengembangan dari konsep limit. Sebagai awal pembicaraan marilah kita memahami turunan sebagai gradien garis singgung. Untuk memulai pembahasan, perhatikan garis yang memotong kurva = ( ) (secant line) di dua titik yaitu titik ( , ( )) dan di titik + ∆ , ( + ∆ ) seperti gambar di bawah ini. Jelas bahwa gradien garis tersebut adalah = ∆ = ( ∆ ) ( ). Bagaimana untuk ∆ → 0? Perhatikan ilustrasi berikut. ∆∆ 126

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Perubahan ∆ dengan sendirinya berakibat pada perubahan ∆ . Tampak dalam ilustrasi bahwa untuk ∆ → 0 maka secant line akan berubah menjadi garis singgung. Penjelasan matematisnya adalah apabila ∆ → 0 akan mengakibatkan ∆ = ( ∆ ) ( ) menuju nilai tertentu, atau dengan kata lain ∆∆ lim ( ∆ ) ( ) ada (ingat kembali limit fungsi) maka secant line akan ∆→ ∆ berubah menjadi garis singgung. Misalkan hasil limit tersebut maka garis yang melalui titik ( , ( )) dan mempunyai gradien tersebut dinamakan garis singgung kurva di titik ( , ( )). Selanjutnya, misalkan sembarang pada domain fungsi dan = lim ( ∆ ) ( ) dijamin ada pada domain tersebut, maka merupakan ∆→ ∆ suatu fungsi yang dinamakan fungsi gradien garis singgung. Karena merupakan fungsi maka penulisannya disepakati sebagai ′( ). Dengan demikian ( ) = lim ( ) ( ). Bentuk terakhir inilah yang dinamakan → turunan dari fungsi pada domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka ′ (turunan fungsi ) dapat dikatakan sebagai fungsi gradien garis singgung (slope function) dari fungsi . Dalam hal notasi, ada sebagian literatur yang menuliskan ( ) sebagai [ ( )]′ atau ( ( ))′. Bahkan sering pula disajikan sebagai , , ( ( )), [ ]. Selanjutnya bandingkan grafik ( ) dan turunannya yaitu ′( ) di bawah ini. 127

Kapita Selekta Matematika SMA Perhatikan titik (4,2). Tampak bahwa (4) = 2 yang berarti gradien garis singgung kurva di titik (4, ) adalah 2. Contoh ini memperjelas bahwa turunan pertama merupakan fungsi gradien garis singgung. Dengan demikian garis yang melalui titik dan mempunyai gradien sama dengan turunan pertama dititik dinamakan garis singgung kurva di titik . Visualisasi interaktif dapat diakses pada tautan : https://www.geogebra.org/m/xnqpy2ru Untuk memperjelas, berikut beberapa contoh soal atau masalah terkait turunan fungsi. Contoh 1: Tentukan turunan dari ( ) = Jawab: ( ) = lim ( + ℎ) − ( ) → ℎ = lim ( + ℎ) − → ℎ = lim ( +2 ℎ+ℎ )− → ℎ = lim 2 ℎ+ℎ → ℎ = lim(2 + ℎ) → =2 128

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Contoh 2: Diketahui ( ) = , sementara garis menyinggung kurva di titik yang berabsis 1. Tentukan gradien garis . Jawab: Sesuai dengan contoh sebelumnya maka didapatkan ( ) = 2 . Dengan demikian gradien garis singgung adalah (1) = 2.1 = 2. Ilustrasi interaktif untuk memperkuat pemahaman turunan fungsi kaitannya dengan gradien garis singgung dapat diakses melalui tautan: https://www.geogebra.org/m/fux5nkjn Selidiki juga kemiringan garis apabila gradien negatif, gradien positif, atau gradien nol. 2) Sifat-sifat dan teorema turunan Ketika ingin menentukan turunan suatu fungsi, tentu saja tidak perlu harus kembali pada definisinya, tetapi dapat memanfaatkan teorema atau sifat-sifat pada turunan. Berikut ini beberapa sifat dan teorema terkait turunan serta beberapa hasil turunan yang sering digunakan. 1) [ ] = 2) [ ( )] = [ ( )] 3) [ ( ) ± ( )] = [ ( )]′ ± [ ( )] 4) [ ( ). ( )] = [ ( )] ( ) + ( )[ ( )] 129

Kapita Selekta Matematika SMA 5) () = [ ( )] ( ) ( )[ ( )] () [ ( )] 6) ( ) = ( ) . ′( ) 7) [ ] = 8) [ | |]′ = 9) [ ]′ = 10)[ ] = 11)[ ]′ = − 12)[ ] = sec Contoh Tentukan turunan dari ( ) = − Jawab: Dengan memanfaatkan sifat turunan diperoleh sin sin − 2 =[ ] − 2 =2 − 2 cos − 2 sin 4 Contoh Tentukan gradien garis singgung kurva ( ) = log di titik (10,1) Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukan melalui definisi (menggunakan limit) atau dengan cara menentukan fungsi turunannya terlebih dahulu. Misalnya digunakan cara menentukan fungsi turunannya terlebih dahulu, maka ( ) = [log ] = ln 11 1 ln 10 = ln 10 = ln 10 130

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Berarti (10) = . Jadi gradien garis singgung di titik (10,1) adalah b. Integral tak tentu (indefinite integral) 1) Pengertian integral tak tentu Mengapa ada kata tak tentu? Misalkan kita ingin mencari fungsi yang mempunyai turunan ( ) = 3 . Mungkin saja ada sebagian orang yang langsung menentukan ( ) = karena ( ) = 3 . Tetapi jika diperhatikan lagi, masih banyak fungsi yang turunannya 3 . Contoh ( ) = + 1 , ( ) = + 25 mempunyai hasil turunan ( ) = 3 dan ( ) = 3 . Tentu masih banyak lagi fungsi lain yang turunannya ( ) = 3 . Pengerjaan seperti ini dinamakan menemukan suatu antiturunan dari suatu fungsi. Proses menentukan fungsi ( ) sedemikaian hingga ( ) = ( ) dinamakan proses antiturunan atau pengintegralan tak tentu. Secara definisi dituliskan sebagai berikut. Fungsi dinamakan suatu antiturunan dari pada interval jika ( ) = ( ) untuk setiap yang berada dalam interval Perlu menjadi perhatian bahwa kata “suatu” pada definisi tersebut amat penting, karena kata “suatu” itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk menentukan semua anti turunan ( ) ditulis dengan simbol integral ” ʃ “. Jadi penyelesaian proses ini dituliskan sebagai ∫ ( ) = ( )+ . Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan maka dapat dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan. Contoh 1 Diberikan ( ) = , tentukan (i) suatu anti turunan dari ( ) (ii) hasil dari ∫ ( ) 131

Kapita Selekta Matematika SMA Jawab: (i) Karena yang diminta hanya menentukan suatu antiturunan, kita dapat dengan bebas memilih suatu fungsi yang turunannya , misalkan saja ambil fungsi ( ) = + 10 maka ( ) ini adalah suatu anti turunan dari ( ). (ii) Untuk pertanyaan kedua, sebenarnya kita diminta menentukan semua fungsi yang turunannya . Jadi hasilnya adalah ∫ ( ) = + dimana suatu konstanta Contoh 2 Tentukan hasil dari (i) ∫( + 1) (ii) ∫( + cos + sin ) Jawab: (i) ∫( + 1) = ∫( + ) =++ (ii) ∫( + cos + sin ) = + sin − cos + Untuk menentukan integral tak tentu kita dapat memanfaatkan teorema atau sifat-sifat pada integral. Berikut beberapa diantaranya. (i) ∫ ( ) = ∫ ( ) , ≠ 0 (ii) ∫[ ( ) ± ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( ) (iii) ∫ = + , ≠ −1 (iv) ∫ = | |+ (v) ∫ =+ (vi) ∫ =+ (vii) ∫ =− + (viii) ∫ =+ (ix) ∫ = | |+ (x) ∫ =+ (xi) ∫ =− + 132

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA (xii) ∫ = tan + (xiii) ∫ √ = + (xiv) ∫ = −∫ (integral parsial) 2) Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu Strategi yang dimaksud disini hanya sebatas cara sederhana untuk menandai jalan penyelesaian integral tak tentu. Oleh karena itu, bentuk-bentuk soal yang dapat diselesaikan harus memenuhi syarat yang ditentukan bahkan boleh jadi tidak dapat langsung ditemukan hasilnya. a). Fungsi polinomial. Untuk fungsi dalam bentuk polinomial, penyelesaiannya dapat memanfaatkan kombinasi (i), (ii) dan (iii), dan umumnya dapat diselesaikan relatif mudah. Contoh: (4 + −2 −1) 1 1 1 −+ =4∙4 +3 −2∙2 1 = +3 − − + b). Fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial. Fungsi rasional yang dibahas hanya untuk penyebut polinomial berderajat 1 dan berderajat 2. (1) Penyebut polinomial derajat 1 (dalam bentuk + .) Gunakan pemisalan pada bagian penyebut dengan = + , maka diperoleh = dan = . Setelah itu substitusi ke pembilang akan terbentuk fungsi dalam variabel . Fungsi terakhir ini selanjutnya dicari integralnya dalam . Setelah itu kembalikan lagi dalam variabel . Sebagai contoh kita ingin menentukan hasil dari ∫ , maka langkah pertama adalah membuat pemisalan = − 1. Dengan pemisalan ini diperoleh = + 1 dan = . Akibatnya, ( + 1) −1 = 133

Kapita Selekta Matematika SMA +2 +1 = 1 = +2+ 1 + 2 + ln| | + =2 1 = 2 ( − 1) + 2( − 1) + ln| − 1| + 1 + + ln| − 1| + 3 =2 −2 1 =2 + + ln| − 1| + (2) Penyebut polinomial derajat 2 (dalam bentuk + + .) (a). + + dapat difaktorkan. Jadikan fungsi sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya. Selanjutnya lakukan manipulasi aljabar pada pembilangnya Contoh: Tentukan hasil dari ∫ Karena penyebut dapat difaktorkan yaitu ( + 1)( − 4) maka fungsi perlu dijadikan penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya sebagai 5 −5 5 5 −3 −4= −3 −4 − −3 −4 = ( + 1) + ( − 4) − ( + 1) + ( − 4) Selanjutnya, tinggal menentukan nilai , , , dan melalui penyamaan penyebut. Hasil yang diperoleh = 1, = 4, = −1, = 1. Dengan demikian 5 −5 14 −1 1 −3 −4 = ( + 1) + ( − 4) − ( + 1) + ( − 4) 23 = +1+ −4 = 2 ln| + 1| + 2 ln| − 4| + (b). + + tidak dapat difaktorkan. 134

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Ubah bentuk + + menjadi bentuk + 1 dengan = . Misalkan dipunyai penyebut + 2 + 2, maka perlu diubah menjadi + 2 + 2 = ( + 2 + 1) + 1 = ( + 1) + 1 [ jelas bahwa ( + 1) = ] Selanjutnya tentukan integralnya dengan memanfaatkan (iv) dan (xii). Contoh: Tentukan hasil dari ∫ . Sesuai penjelasan maka penyebut diarahkan ke bentuk bentuk + 1. 1 = ( 1 +1 ( + 1) +2 +2 + 1) = arctan( + 1) + Cara ini sebenarnya tidak mudah karena perlu manipulasi aljabar (trick) sehingga permasalahan dapat diselesaikan. (3) Fungsi lain selain polinomial dan rasional. Untuk fungsi selain fungsi polinomial dan rasional, tidak ada cara khas dalam menyelesaikan integralnya. Cara berikut hanya kaidah umum yang belum tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah integral dalam bentuk ini. (a) Jika ada faktor yang bentuk aljabarnya relatif sederhana, hindari untuk pemisalan. Contoh: Tentukan ∫ √ + 7 Perhatikan bahwa bentuk aljabar lebih sederhana dari bentuk aljabar + 7. Oleh karena itu hindari pemisalan = . Gunakan pemisalan = + 7. Dengan pemisalan ini diperoleh 1 √3 +7 = √ 1 + =3 2 =9 135

Kapita Selekta Matematika SMA 2 ( + 7) + =9 Bagaimana jika pemisalannya terbalik? Lihat aktivitas 5 Catatan: Menghindari bentuk sederhana untuk pemisalan, belum menjamin kita dengan mudah menemukan hasilnya. Lihat aktivitas 6 (b) Metode Tabel Cara ini digunakan khusus untuk fungsi yang dapat dibuat campuran (kombinasi) perkalian dua fungsi lain dimana salah satu fungsi dapat diturunkan terus sampai menghasilkan 0 dan fungsi yang lain selalu dapat ditentukan integralnya. Cara tabel yang dimaksud dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh: Tentukan ∫ cos 2 . Jelas bahwa dapat diturunkan sampai hasil 0 sedangkan cos 2 dapat ditentukan integralnya dengan mudah. Pengerjaan sebagai berikut: Jadi, diperoleh ∫ cos 2 = ∙ sin 2 + 3 ∙ cos 2 − 6 ∙ sin 2 − 6 ∙ cos 2 + 136

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA = sin 2 + cos 2 − sin 2 − cos 2 + Cara ini sebenarnya hanya memanfaatkan cara integral parsial yang sudah sering digunakan yaitu memanfaatkan rumus ∫ = − ∫ Contoh 2: Tentukan hasil ∫( − 1) Cara 1: Jelas bahwa − 1 dapat diturunkan sampai 0 sedangkan dapat ditentukan integralnya. Langkah detailnya sebagai berikut. Dengan demikian diperoleh ( − 1) =( − 1). 1 1 1 4 + 2 . − 20 + 2. 120 11 1 1 = 4 − 4 − 10 + 60 + 15 − 6 + 1 1 = 60 −4 + 11 =6 −4 + Cara 2: Cara ini memenfaatkan fungsi polinomial ( − 1) =( − ) 11 =6 −4 + 137

Kapita Selekta Matematika SMA Untuk sekedar melakukan pengecekan hasil integral tak tentu, silakan buka tautan: https://www.geogebra.org/m/vvvnkzwc c. Integral Tertentu (Definite Integral) Sebenarnya cukup rumit untuk menjelaskan integral tertentu karena berkaitan dengan limit pada jumlah Riemann. Oleh karena itu penyajian akan dipaparkan secara ringkas pada pengertian pokoknya saja. Pandang fungsi kontinu ( ) pada interval tertutup [ , ] dan luasan dibawah kurva seperti gambar berikut. Perhatikan bahwa ∫ ( ) sejatinya merupakan “luasan” area yang diarsir. Mengapa dikatakan luasan? Karena masih memungkinkan untuk nilai negatif. Untuk menentukan nilainya digunakan partisi yang selanjutnya diperoleh limit jumlah Riemann. Misalkan limit tersebut maka bernilai positif jika berada di atas sumbu− dan bernilai negatif jika berada di bawah sumbu− . Sebagai catatan disini bahwa simbol “∫ ” berbeda makna dengan simbol “∫ ” pada antiturunan. Apa perbedaannya? Simbol “∫ ” pada integral tertentu menghasilkan bilangan, sedangkan simbol “∫ ” pada integral tak tentu menghasilkan keluarga fungsi. Untuk menentukan hasil dari ∫ ( ) tidak harus dengan partisi, bahkan penentuan nilai integral tertentu dengan partisi jarang digunakan karena sebenarnya jumlah Rieman bermain pada teoritis sehingga kemanfaatannya paling banyak pada ranah pembuktian dan terkait konsep lanjutan. Oleh 138

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA karena itu untuk keperluan praktis gunakan Teorema Fundamental Kalkulus yang sudah cukup dikenal yang mengaitkan integral tertentu dan integral tak tentu, yaitu ( ) = ( )− ( ) dimana ( ) adalah anti turunan dari fungsi kontinu ( ) pada interval [ . ]. Untuk aktivitas terkait jumlah Riemann, silakan buka link: https://www.geogebra.org/m/zdteg3rq Contoh: Untuk menentukan hasil dari ∫ , langkah pertama adalah menentukan anti turunan (primitive) dari ( ) = yaitu 1 ( )= 1 + 2 =4 Dengan memakai TFK maka diperoleh ( ) = (2) − (0) 1 1 = 42 + − 40 + =1 d. Menentukan luas daerah Untuk menentukan luas daerah khususnya daerah yang dibatasi oleh dua grafik dilakukan dengan menghitung integral tertentu masing-masing kurva. Proses ini dapat dilakukan jika integral tak tentu sudah diperoleh. Untuk itu, gunakan cara-cara untuk menentukan integral tak tentu yang sudah dibahas pada bagian sebelumnya. Jika dua grafik membentuk kurva tertutup sederhana (misalkan fungsi dan ) maka untuk menentukan luas daerah yang dimaksud adalah dengan menentukan integral tertentu − dengan batas integral titik-titik potongnya. Mengapa demikian? Uraian berikut akan memperjelas alasannya. 139

Kapita Selekta Matematika SMA kurva tertutup sederhana kurva tertutup tidak sederhana Diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini. Dengan memperhatikan grafik di atas jelas bahwa dapat ditentukan dengan = () − () 140

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA = ( )− ( ) Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untuk menghitung luas juga dilakukan pengurangan seperti cara sebelumnya? Apakah = ∫ ( ) − ( ) ? Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing-masing ditambah sehingga luasnya berada di atas sumbu- . Perhatikan bahwa menambahkan pada masing-masing fungsi tidak mengubah luas maupun absis titik potong kedua fungsi tersebut. Dengan demikian luas L adalah luas daerah dibawah kurva ( ) + dikurangi luas daerah dibawah kurva ( ) + dengan batas dan . Atau dalam bentuk integral dinyatakan dengan = ( ( )+ ) − ( ( )+ ) Akibatnya, 141

Kapita Selekta Matematika SMA = ( ( )+ ) − ( ( )+ ) = ( ( )+ )−( ( )+ ) = ( ( ) − ( )) Berarti luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana dimanapun letaknya dapat ditentukan dengan cara menghitung integral tertentu hasil pengurangan kurva pertama oleh kurva kedua (atau sebaliknya) dengan batas-batas titik potongnya. Sedangkan untuk kurva tertutup tidak sederhana, menentukan luas harus memperhatikan bagian-bagian luasannya Contoh a. Berapa luas daerah yang dibatasi oleh = 3 , = − + 4 dan sumbu-x ? Jawab: Untuk daerah I sangat mudah ditentukan luasnya yaitu =1 . Sedangkan daerah II dihitung dengan menggunakan integral =∫ − +4 =− + 4 142

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA =− 2 + 4(2) − − 1 + 4(1) =1 Sehingga, + =1 + 1 =3 b. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva ( ) = 4 − dan ( ) = +2 Jawab: Ditentukan terlebih dahulu titik potongnya (dalam hal ini adalah batas integralnya). 4− = +2 + −2=0 ( + 2)( − 1) = 0  titik potongnya (−2,0) dan (1,3). Luas daerah yang dimaksud adalah ( ) − ( ) = (4 − ) − ( + 2) 11 1 =−3 −2 +2 = 42 143

Kapita Selekta Matematika SMA D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN Aktivitas 1 Ada seorang siswa mencoba menyelesaikan soal limit dan soal persamaan sebagai berikut. (i) Soal tentang limit (ii) Soal tentang persamaan Cermati pekerjaan tersebut. Coba selidiki mengapa proses mencoret pada pengerjaan (i) boleh dilakukan tetapi proses mencoret pada pengerjaan (ii) tidak boleh dilakukan? Petunjuk: Cermati makna atau arti pencoretan dalam pengerjaan Aktivitas 2 + 1) = 5. Buktikan bahwa lim ( → Petunjuk: Bisa diambil pada persekitaran 2 dan pengambilan δ = , selanjutnya lakukan manipulasi aljabar pada pengambilan δ 144