3. Bahan Ajar Kapita Selekta WS MN_PGRI SMA -2021

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Perhatikan Δ ∼ Δ , sehingga = . Akibatnya = ⋅ = ⋅ = 2. Perhatikan Δ ∼ Δ , sehingga = . Akibatnya = ⋅ = √ ⋅ = √2. = − = 3√2 − √2 = 2√2. Segitiga siku-siku di , maka = √ + = √2 + 9 = √11. Dengan sebagai alas, maka = ⋅ ⋅ = ⋅ 2√2 ⋅ 3 = 3√2. Sementara itu, jika sebagai alas, diperoleh = ⋅ ⋅ = √11 ⋅ . Dari kedua hubungan di atas, berlaku √11 ⋅ = 3√2 ⇒ = √ = √22. √ Jadi jarak ke bidang adalah √22. h. Sudut dalam Dimensi Tiga Dalam geometri bidang, sudut dapat dipandang sebagai bukaan antara dua sinar yang pangkalnya bersekutu. Dengan demikian, pada dua garis yang berpotongan akan terdapat empat sudut. Untuk menghindari kekeliruan persepsi tentang sudut antara dua garis berpotongan, dibuatlah kesepakatan bahwa sudut antara dua yang berpotongan adalah sudut yang kecil. Gb. 1 Sudut Sudut antara dua garis bersilangan antara dua garis Sudut antara dua garis bersilangan dan adalah sudut antara garis berpotongan ′ dan dengan ′ sejajar . Jika sudut antara dua garis besarnya 90 maka dikatakan bahwa kedua garis tersebut bersilangan tegak lurus. Gb. 2 Sudut dua garis bersilangan Sudut antara garis dan bidang Jika garis tidak tegak lurus bidang , maka sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang terbentuk oleh garis dan proyeksinya pada bidang . 45

Kapita Selekta Matematika SMA Sudut antara Garis dan Bidang Titik pada garis . Garis ’ merupakan proyeksi terhadap bidang . Titik merupakan proyeksi pada garis ’. Dengan demikian tegak lurus ’ dan ℎ. Sudut antara dengan bidang adalah sudut . Sudut bukan sudut antara garis dan bidang (mengapa?). Catatan: Sudut antara garis dengan bidang dapat ditulis dengan ∠( , ). Misalkan garis terletak atau sejajar bidang , maka ∠( , ) = 0°. Sudut antara bidang dengan bidang Manakah di antara sudut , , yang “layak” untuk mewakili sudut antara dua bidang dan ? Perhatikan bahwa besar sudut akan berubah jika titik berpindah sepanjang garis meskipun besar bukaan kedua bidang tetap. Demikian juga untuk sudut , besar sudut akan berubah jika panjang berubah. Sudut antara dua bidang Dari ilustrasi di atas, diperlukan kesepakatan sudut mana yang menjadi wakil dari sudut antara dua bidang. Untuk membahas sudut antara dua bidang, perlu diketahui terlebih dahulu ketentuan tentang bidang tumpuan. Bidang Tumpuan Bidang tumpuan dari dua bidang berpotongan adalah bidang yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut. Pada gambar, bidang tumpuan 46

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA memotong bidang dan menurut dua garis berpotongan ( , ) dan ( , ). Sudut yang dibentuk oleh ( , ) dan ( , )merupakan sudut antara bidang dan . Contoh 1, sudut antara dua garis bersilangan Diberikan kubus . dengan panjang rusuk 1 satuan. Tentukan sudut antara a. dan b. dan c. dan d. dan Penyelesaian: a. Sudut antara dan . Perhatikan sejajar , sehingga sudut antara dan sama dengan sudut antara dan yaitu 90°. b. Sudut antara dan . Perhatikan sejajar , sehingga besar sudut antara dan sama dengan besar sudut yaitu 45°. c. Sudut antara dan . Perhatikan, sejajar . Misalkan besar sudut antara dan adalah , maka = ∠ . Ruas garis , , merupakan diagonal sisi yang sama panjang, akibatnya Δ sama sisi. Dengan demikian ∠ = 60°. Jadi besar sudut antara dan adalah 60°. d. Sudut dan . Perhatikan sejajar , dan ⊥ , akibatnya sudut antara dan adalah 90°. Contoh 2, sudut antara garis dan bidang: Diketahui bidang empat beraturan . dengan rusuk 4 cm. Titik pada pertengahan . Sudut antara dengan bidang alas adalah . Tentukan nilai tan . Alternatif penyelesaian: 47

Kapita Selekta Matematika SMA Sudut antara dengan bidang alas diperoleh dengan memproyeksikan titik ke bidang alas, diperoleh titik ′. Karena panjang setiap rusuk limas . adalah 4, akibatnya ’ merupakan titik berat segitiga sama sisi . Sudut antara dengan bidang alas diwakili oleh ∠ ′. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dapat ditentukan == − = √16 − 4 = √12 = 2√3 Misalkan ’ = , maka ’ = √12 − . Segitiga ’ dan ’ siku-siku di ’ akibatnya − =−. 4 − √12 − = √12 − Dengan manipulasi aljabar, dari persamaan di atas akan diperoleh = = √ √ Selanjutnya dalam segitiga ’ , berlaku = − = √12 2 = 4 32 = 4√2 = 4√6 − 12 − 3 = 3 √3 3 √3 Dengan demikian 4√6 4√6 3 2√3 ⋅ √2 3 2√3 √3 tan = = 3 = ⋅ = = 2√2 2√3 3 Contoh 3: Diketahui kubus . memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukanlah : a. jarak antara titik ke bidang . b. sudut antara bidang ACF dan ABCD dan besarnya. 48

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Alternatif Penyelesaian (petunjuk): a. Bidang ⊥ (mengapa?). Misalkan dan berpotongan di , perhatikan bahwa segitiga siku-siku di . Misalkan proyeksi pada bidang adalah , maka merupakan jarak titik ke bidang . Dengan menggunakan teoremaPythagoras diperoleh = 6√2 , = 3√2 dan = 3√6. Gunakan perbandingan-perbandingan pada segitiga siku-siku , akan diperolah = 2√3. Jadi jarak ke bidang adalah 2√3. b. Bidang ACF dan ABCD berpotongan di garis AC. Bidang tumpuan untuk mencari sudut antara kedua bidang tersebut adalah bidang yang tegak lurus dengan AC, yaitu BFHD. Bidang BFHD memotong bidang ACF di garis QF, sedangkan BFHD memotong ABCD di garis QB. Dengan demikian, sudut yang dicari adalah sudut antara QF dan QB, yaitu ∠ . Besar ∠ dapat ditentukan dari tan = = = √2. Jadi ∠ = tan √2. √ Contoh 4. Diberikan kubus . , tentukan besar sudut antara dan . Alternatif penyelesaian: Geser (translasikan) garis sehingga memotong garis , diperoleh garis . Sudut antara diwakili oleh sudut antara dan . Karena segitiga sama sisi, maka ∠ = 60°. Jadi besar sudut antara dan adalah 60°. 49

Kapita Selekta Matematika SMA Contoh 5. Diberikan kubus . , tentukan besar sudut antara dan . Alternatif penyelesaian. Translasikan ke ’, sudut antara dan diwakili oleh sudut antara ’ dan , yaitu ∠ ′. Misal panjang rusuk kubus 1 satuan. = √2 = √3 = + = 1 + 2 = √5 Perhatikan bahwa antara ’, ’ dan memenuhi = + . Sesuai dengan konvers teorema Pythagoras, maka ∠ ′ siku-siku. Jadi besar sudut antara dan adalah 90°. Contoh 6 Pada limas . diketahui sama sisi, tegak lurus . Panjang = 1 dan ∠ = 30°. Tentukan sudut antara bidang dengan . (gunakan kalkulator). Alternatif penyelesaian. Untuk mencari sudut antara dua bidang, harus ditentukan terlebih dahulu bidang tumpuan. Selanjutnya, sudut antara dua bidang diwakili oleh sudut antara garis-garis potong antara bidang tumpuan dengan kedua bidang berpotongan. 50

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Bidang berpotongan dengan di garis . Ambil titik di tengah dan . Δ sama sisi, sehingga ⊥ (1). Pada Δ dan Δ , karena = , ∠ = ∠ = 90°, dan = , maka Δ ≅ Δ . Akibatnya = . Dengan demikian Δ sama kaki. Karena titik tengah , maka ⊥ (2). Dari (1) dan (2), dapat disimpulkan bidang tegak lurus , sehingga sudut antara bidang dan dapat diwakili oleh sudut . Segitiga siku-siku di , sehingga 11 =2 = sin 30° ⇒ = 2 ⇒ 11 = √3 = tan 30° ⇒ = ⇒ √3 Oleh karena = = = √3, dan titik tengah , maka = √ . Segitiga siku-siku di , berlaku = √ − , sehingga = . Perhatikan segitiga . tan = 12 = 3=3 Jadi sudut antara bidang Contoh 7. 2 2 = arctan 3 ≈ 33,6901° dan adalah 33,6901°. Diketahui kubus . dengan rusuk 4 satuan. Titik pada perpanjangan sehingga = . Jika sudut antara dan bidang adalah , tentukan nilai tan . Alternatif penyelesaian. Pandang limas . sebagai limas . . Panjang = , maka proyeksi garis pada bidang melalui titik tengah . 51

Kapita Selekta Matematika SMA Garis tegak lurus bidang , maka tegak lurus . Akibatnya segitiga siku-siku di . Sudut antara garis dan bidang diwakili oleh sudut antara dengan . Dengan teorema Pythagoras, = 2 + 2 = 2 + 2 = 2√2 Pada segitiga , Nilai tan = = √ = √2. Contoh 8 Diberikan bidang empat . . Panjang = = 5, T = 2, = = 4 dan = 6. Tentukan besar sudut antara dan bidang . (gunakan kalkulator). Alternatif penyelesaian Panjang = , akibatnya proyeksi ke bidang melalui titik tengah . Sudut antara ke bidang diwakili oleh sudut antara dengan . Segitiga siku-siku di , = √ − = √4 − 3 = √7. Segitiga siku-siku di P, maka = √ − = √5 − 3 = 4. = + −2⋅ ⋅ ⋅ cos 7 = 16 + 4 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ cos 16 cos = 13 cos 13 = 16 13 = arccos 16 ≈ 35,6591° Jadi sudut antara TC dan bidang TAB adalah 35,6591°. 52

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 4. Transformasi Geometri a. Matriks Transformasi Misalkan matriks persegi = 3 −2 dan matriks kolom = 2 dikalikan seperti contoh berikut. −1 1 −3 = 3 −2 2 = 12 −1 1 −3 −5 Jika 2 dipandang sebagai vektor posisi yang merepresentasikan titik (2, −3), −3 maka matriks memindahkan titik (2, −3) ke titik (12, −5). Selain titik (2,-3), matriks juga memindahkan seluruh titik di bidang koordinat ke titik baru. Dalam hal transformasi , dapat dituliskan sebagai : → ′ . ′ Transformasi memetakan titik ( , ) ke bayangannya yaitu ( , ). Dengan menggunakan matriks di atas, maka dapat dituliskan sebagai berikut. ′ = 3 −2 ′ −1 1 Catatan : Penulisan transformasi dapat dilakukan dengan bentuk yang lain seperti : =3 −2 , =− + . : ( , ) ↦ (3 − 2 , − + ). ( , ) = (3 − 2 , − + ). b. Titik Invarian Titik invarian (atau titik tetap) merupakan titik yang dipetakan ke dirinya sendiri. Garis invarian (atau garis tetap) adalah garis dimana semua bayangan titik pada garis juga terletak pada garis tersebut. Titik dan garis invarian menjadi kunci dalam menentukan jenis transformasi. Contoh. Tentukan titik-titik invarian dari transformasi yang didefinisikan oleh a. = 1 − 2 , = 2 − 3 53

Kapita Selekta Matematika SMA b. = Alternatif penyelesaian. a. Untuk titik-titik invarian, berlaku = dan = ′. Akibatnya = 1 − 2 dan = 2 − 3. Dengan substitusi diperoleh = 1 − 2(2 − 3) ⇒ =1−4 +6⇒5 =7⇒ 7 =5 Jika disubstitusikan ke y = 2x − 3 diperoleh y = 2 ⋅ − 3 = − . Jadi titik invarian transformasi di atas adalah , − . b. Untuk titik invarian = , = . 21 8 5 5 = 8 9 55 21 8 89 = 5 +5 dan = 5 + 5 5 = 21 + 8 5 =8 +9 −8 = 16 −4 =8 = −2 = −2 Semua titik di garis = −2 adalah invarian. c. Transformasi Isometri Translasi Translasi merupakan transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah yang sama dan jarak yang sama pula. Jika Δ ’ ’ ’ merupakan bayangan dari Δ pada suatu translasi, maka ’ = ’ = ’. Pada suatu translasi, diperlukan ruas garis berarah yang dinamakan sebagai vektor translasi. Pada sistem koordinat Kartesius, gerakan mendatar sejauh , dan vertikal sejauh dinyatakan dengan vektor . 54

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Sebagai ilustrasi pada gambar di atas, vektor translasi = 3 mentranslasikan obyek 1 dengan arah pergeseran 3 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas. Pada vektor translasi pergeseran vertikal naik atau horisontal ke kanan dinyatakan dengan bilangan positif, sedangkan gerakan vertikal turun atau horisontal kiri dinyatakan dengan bilangan negatif. Translasi dengan vektor translasi dapat dipandang sebagai suatu fungsi ( ) = ’ dengan =+ Catatan: Notasi yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut. :( , )↦ ( + , + ) ( , )=( + , + ) ( , )=( + , + ) ( , ) ⎯⎯⎯ ( + , + ) Secara umum, jika titik P( , )ditranslasikan oleh = ke P’( ’, ’), maka diperoleh hubungan ’= + ′= + Dalam bentuk matriks, persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai ′ = + ′ Contoh 1. Tentukan bayangan titik-titik (2, 1), (4, −2), dan (−1, 2) oleh translasi dengan vektor translasi = −2 . 3 Alternatif penyelesaian. Misal bayangan titik , , dan adalah ’, ’ dan ’. 55

Kapita Selekta Matematika SMA =+ ′ = 2 + −2 = 0 ′ 1 3 4 ′ = 4 + −2 = 2 ′ −2 3 1 ′ = −1 + −2 = −3 ′ 2 3 5 Jadi bayangan , , dan oleh translasi dengan vektor adalah ′(0, 4), ′(2, 1) dan ′(−3, 5). Contoh 2. Tentukan vektor translasi = yang memetakan titik (3, −1) ke titik ′(−2, 4). Alternatif penyelesaian =+ −2 = 3 + ⇒ −2 − 3 = ⇒ = −2 − 3 = −5 4 −1 4 −1 4+1 5 Jadi vektor translasi yang memetakan (3, -1) ke ’(−2, 4) adalah = −5 . 5 Contoh 3. Tentukan persamaan bayangan kurva = + − 1 oleh translasi 1 . −2 Alternatif penyelesaian (bantuan): Misalkan ( , ) pada kurva = + − 1, titik akan dipetakan ke ’( ’, ’) dengan persamaan = + 1 dan = + (−2). Bentuk dapat diubah menjadi = − 1 dan = + 2. Substitusikan kedua persamaan ini ke = + − 1, diperoleh bentuk + 2 = ( − 1) + ( ′ − 1) − 1. Jika disederhanakan diperoleh = ′ − ′ − 3. Karena ( , ) tempat kedudukan titik-titik pada bayangan, maka persamaan bayangan yang dimaksud adalah = − − 3. Contoh 4. Tentukan vektor translasi yang memetakan garis dengan persamaan = 2 + 1 ke garis = 2 − 3. 56

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Alternatif penyelesaian. Sebelum menentukan penyelesaian permasalahan di atas, perhatikan ilustrasi berikut. Karena translasi memiliki sifat tidak merubah arah garis, maka vektor = 1 , = −2 2 , = 3 dan masih ada tak hingga vektor lain yang bisa memetakan garis =2 + 0 2 1 ke = 2 − 3. Oleh karena itu, penyelesaian harus dalam bentuk umum dengan memisalkan vektor translasi = yang akan memetakan = 2 + 1 ke = 2 − 3. Ambil titik ( , ) di garis = 2 + 1, maka = +. Akibatnya = + dan = + , atau = − dan = − . Jika disubstitusikan ke = 2 + 1 diperoleh − = 2( − ) + 1 atau ′=2 + −2 +1 Persamaan ini tidak lain adalah garis = 2 − 3, sehingga − 2 + 1 = −3. Akibatnya =2 −4 Jadi vektor yang mentranslasikan = 2 + 1 ke = 2 − 3 adalah = 2 − 4 , dengan bilangan real. Rotasi (Perputaran) 1) Rotasi dengan pusat (0, 0) Rotasi dengan pusat (0, 0), dengan sudut rotasi dinotasikan sebagai , . Rotasi dengan pusat sudut rotasi merupakan suatu transformasi yang memenuhi: i. Untuk setiap titik ≠ , maka = ′ dan ∠ = . 57

Kapita Selekta Matematika SMA ii. Bayangan pusat rotasi adalah sendiri. Rotasi berpusat di (0,0), Misalkan sudut antara sumbu- positif sudut rotasi dan adalah , maka pada titik berlaku hubungan = ⋅ cos …… (1) = ⋅ sin ……. (2) Pada rotasi dengan pusat (0, 0) dan sudut rotasi bayangan titik adalah ’( ’, ’) dangan = ⋅ cos( + ) = ⋅ sin( + ). Akibatnya, = ⋅ cos cos − ⋅ sin sin … (3) = ⋅ sin cos + ⋅ cos sin … (4) Dengan mensubstitusikan (1) ke (3) dan (2) ke (4), diperoleh = cos − sin = sin + cos Dalam bentuk matriks, dapat dituliskan sebagai ′ = cos − sin ′ sin cos 2) Rotasi dengan pusat ( , ) Sampai saat ini, Anda telah mengenal cara merotasikan dengan pusat rotasi (0,0). Untuk rotasi berpusat di ( , ) maka harus dibawa terlebih dahulu sehingga berpusat di menggunakan translasi, dirotasikan, baru kemudian dikembalikan lagi sehingga pusat rotasi kembali ke titik . Perhatikan bahwa langkah-langkah mulai dari gambar ke-dua sampai keempat menghasilkan bayangan yang sama dengan gambar pertama. i. Translasikan obyek dengan vektor translasi = − sehingga diperoleh − bayangan − =− 58

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Rotasi Berpusat di P Translasi ke Rotasi , Translasi kembali ke i. Rotasikan bayangan di atas dengan pusat O, sudut rotasi . Diperoleh bayangan = cos − sin sin cos = cos − sin − sin cos −. ii. Translasikan bayangan di atas dengan vektor translasi . = + = cos − sin − sin cos −+ Contoh 1: Tentukan rotasi titik (3,1) dengan pusat (−1, 2) dan sudut rotasi 30°. 59

Kapita Selekta Matematika SMA Alternatif penyelesaian: i. Translasikan obyek dengan vektor translasi = 1 sehingga diperoleh −2 bayangan ( , ) = 3+1 = 4 1−2 −1 ii. Rotasikan terhadap pusat (0,0) dengan sudut rotasi 30°. Diperoleh bayangan ( , ). = cos 30° − sin 30° 4 sin 30° cos 30° −1 √ − 4 √ ⋅ 4 − ⋅ (−1) √ . −1 = √ = √ ⋅ 4 + √ ⋅ (−1) iii. Translasikan bayangan di atas dengan vektor translasi . √√ 2,9641 −1 3,134 = += √ + 2 = √ ≈ . Jadi bayangan titik (3,1) oleh rotasi berpusat di (−1, 2) dan sudut rotasi 30° adalah √ , √ ≈ ′(2,96, 3,13). Contoh 2. dan bayangan hasil rotasi. Tentukan pusat rotasi, Diberikan segitiga Alternatif penyelesaian. Dalam suatu rotasi, jika ’ adalah bayangan rotasi dari dengan pusat , maka berlaku = . Dengan demikian ’ membentuk segitiga sama kaki, yang salah satu sifatnya adalah terletak pada garis bagi tegak lurus ’. Hal yang sama berlaku 60

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA untuk titik-titik sudut yang lain. Berdasarkan sifat ini, maka untuk menentukan pusat rotasi: i. Buat ruas garis ’ dan ’. ii. Buat garis bagi tegak lurus ’ dan ’. iii. Tentukan titik potong kedua garis (titik ). Titik ini merupakan pusat rotasi. Contoh 3. Tentukan persamaan bayangan garis = 2 + 1 oleh rotasi 45° berpusat di (0,0). Alternatif penyelesaian: Misalkan titik ( , ) titik pada garis = 2 + 1. Titik ini akan dipetakan ke ( , ) dengan persamaan = cos 45° − sin 45° dan = sin 45° + cos 45°. Jika disederhanakan diperoleh = √2 ⋅ − √2 ⋅ dan = √2 ⋅ + √2 ⋅ . Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh = √2( ′ + ′) dan = − √2( ′ − ′). Selanjutnya kedua persamaan ini disubstitusikan ke = 2 + 1, diperoleh = −3 − √2. Karena ( ’, ’) bayangan titik ( , ), maka persamaan bayangan yang dimaksud adalah = −3 − √2. Refleksi (Pencerminan) Refleksi terhadap garis merupakan transformasi pada bidang sedemikian sehingga: i. Jika titik tidak pada , maka bayangan dari , yaitu ’ dengan sebagai garis bagi tegak lurus . Refleksi (Foto: Eko W. http://bulbr.wordpress.com/) 61

Kapita Selekta Matematika SMA ii. Jika titik pada , maka bayangan adalah dirinya sendiri. 1) Refleksi terhadap sumbu- Misalkan ( , )merupakan bayangan dari ( , ), dari gambar di atas didapat hubungan: ’ = dan ’ = − , sehingga: ’ = ⇔ ’ = 1. + 0. ’ = − ⇔ ’ = 0. − 1. Jika diubah ke bentuk persamaan matriks, Refleksi terhadap sumbu- diperoleh bentuk: ′ = 1 0 . ′ 0 −1 Matriks = 1 0 dinamakan matriks pencerminan terhadap sumbu- . 0 −1 2) Refleksi terhadap sumbu- Misalkan ( , ) merupakan bayangan dari ( , ), dari gambar di samping didapat hubungan: ’ = − dan ’ = , sehingga ’ = − ⇔ = −1 ⋅ + 0 ⋅ ’= ⇔ = 0⋅ +1⋅ . Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai: Refleksi terhadap sumbu- ′ = −1 0 . ′ 0 1 Selanjutnya, = −1 0 disebut matriks pencerminan terhadap sumbu- . 0 1 3) Refleksi terhadap garis = 62

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Misalkan ( , ) merupakan bayangan dari ( , ), dari gambar di samping didapat hubungan: ’ = dan ’ = , sehingga ’=  =0⋅ +1⋅ ’=  = 1⋅ +0⋅ . Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Refleksi terhadap garis = ′ = 0 1 ′ 1 0 Matriks = 0 1 merupakan matriks pencerminan terhadap garis =. 1 0 Catatan: Trik untuk mengingat matriks transformasi. Untuk transformasi-transformasi yang sederhana, pencerminan terhadap sumbu-x dan sumbu-y, garis = , rotasi berpusat di O sudut rotasi 90°, 180°, 270°, ada trik untuk mengingat matriks transformasinya. Perhatikan gambar berikut. Misal kita ingin mengingat matriks pencerminan terhadap garis = − . Alurnya sebagai berikut. Tentukan (1, 0) dan (0,1), kemudian tentukan bayangannya. = (0, −1) ; susun bayangan ini menjadi sebuah matriks 0 −1 . = (−1, 0) −1 0 Perhatikan bahwa koordinat bayangan titik menjadi elemen baris pertama, sedangkan koordinat bayangan titik menjadi elemen baris kedua. Sekarang dicoba dicari matriks untuk pencerminan terhadap garis = , maka dari (1,0) dan (0,1) diperoleh bayangan: 63

Kapita Selekta Matematika SMA = (0, 1) ; susun bayangan ini menjadi sebuah matriks 0 1 . = (1, 0) 1 0 Dengan cara yang sama, matriks untuk rotasi berpusat di , sudut rotasi 90° diperoleh dengan = (0, 1) ; susun bayangan ini menjadi sebuah matriks 0 1 . = (−1, 0) −1 0 Cobalah mencari matriks transformasi untuk transformasi sederhana yang lain. 4) Refleksi terhadap garis = Sebelum mempelajari refleksi terhadap garis = , ada baiknya kita mengingat kembali konsep gradien suatu garis dan kaitannya terhadap perbandingan trigonometri. Perhatikan grafik garis dengan persamaan = −3 . Untuk melukis grafik tersebut, dapat dicari beberapa koordinat titik yang dilalui, kemudian menghubungkannya. 036 9… = 0 1 2 …… Koordinat (0,0) (1,3) (2,6) (… , … ) … Catatan: untuk keperluan praktis, karena grafik = membentuk garis lurus, maka untuk melukisnya cukup dicari 2 titik berbeda. Untuk setiap dua titik berbeda ( , ) dan ( , ) selalui diperoleh nilai yang bernilai tetap. Nilai ini dinamakan sebagai gradien. Sebagai contoh, pada garis = , == = , maka dikatakan garis = memiliki gradien . Dalam kaitannya dengan fungsi trigonometri, jika adalah sudut antara garis dengan garis horisontal, maka = tan . 64

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Perhatikan gambar di bawah, titik ( , ) direfleksikan terhadap garis = , dengan = tan . Misalkan sudut yang dibentuk oleh dengan sumbu- positif adalah , maka = ⋅ cos dan = ⋅ sin …... **). Sudut yang dibentuk oleh sumbu- positif dengan ’ adalah 2 − (mengapa?). Misalkan bayangan adalah ’( ’, ’), maka = ⋅ cos(2 − ) ′ = cos 2 cos + sin 2 sin = ⋅ (2 − ) 2 ′= 2 − Refleksi terhadap garis = Dengan mensubstitusi **) ke kedua persamaan di atas, diperoleh = cos 2 + sin 2 = sin 2 − cos 2 . Dalam bentuk matriks, dapat dituliskan sebagai ′ = cos 2 sin 2 . ′ sin 2 − cos 2 5) Refleksi terhadap garis = + + dapat Serupa dengan rotasi dengan pusat ( , ), refleksi terhadap garis = dilakukan dengan sedikit manipulasi. i. Translasikan obyek dengan suatu vektor translasi dimana suatu vektor yang mentranslasikan = + berimpit dengan garis = . Sebagai latihan, silakan dicari vektor . 65

Kapita Selekta Matematika SMA ii. Refleksikan bayangan yang terjadi terhadap garis = . iii. Translasikan bayangan yang terjadi dengan vektor translasi − . 6) Refleksi terhadap titik Ilustrasi pada gambar di samping jenis refleksi Refleksi Terhadap Titik yang lain, yaitu pencerminan terhadap sebuah titik. Segitiga ’ ’ ’ merupakan bayangan segitiga pada pencerminan terhadap titik . Perhatikan bahwa merupakan titik tengah ruas garis ’, ’ dan ’. Refleksi terhadap titik merupakan transformasi pada bidang yang memenuhi: i. Jika titik tidak berimpit dengan , maka bayangan adalah ′ sehingga merupakan titik tengah . ii. Titik merupakan bayangan dari dirinya sendiri. Misalkan ( , ) merupakan bayangan dari ( , ), dari ilustrasi didapat hubungan: ′ = − dan ’ = − , sehingga ’ = − ⇔ = −1 ⋅ + 0 ⋅ = ⇔ =0⋅ −1⋅ . Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Refleksi terhadap titik ′ = −1 0 . ′ 0 −1 Matriks = −1 0 adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan 0 −1 terhadap titik (0, 0). Contoh 1: Tentukan bayangan titik A(3, 1) oleh pencerminan terhadap a. Sumbu- b. Sumbu- c. Garis = 5 66

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA d. Garis = e. Garis = 2 + 1 f. Titik (−1, 2) Alternatif penyelesaian Untuk permasalahan yang sederhana, selain menggunakan matriks, anda bisa menyelesaikan langsung melalui sketsa pada koordinat kartesius. Pada gambar di bawah, , , , dan berturut-turut merupakan bayangan pencerminan titik terhadap sumbu- , sumbu- , garis = 5, dan garis = . Hal yang sama juga berlaku untuk pencerminan terhadap titik (−1,2). Untuk pertanyaan butir e tentang pencerminan terhadap garis = 2 + 1, langkah- langkahnya adalah sebagai berikut. i. Translasikan garis sehingga melalui titik (0,0). Terdapat tak hingga vektor yang dapat mentranslasikan garis = 2 + 1 menjadi = 2 . Salah satu yang sederhana adalah vektor 0 . Ambil vektor translasi = 0 . Sehingga −1 −1 diperoleh garis = 2 . ii. Titik (3,1) juga harus ditranslasikan dengan vektor translasi yang sama untuk mendapatkan ( , ). = 3 + 0 = 3 1 −1 0 iii. Selanjutnya (3, 0) dicerminkan terhadap garis = 2 untuk mendapatkan ( , ). Matriks refleksi terhadap garis =2 adalah cos 2 sin 2 sin 2 − cos 2 dengan tan = 2. 67

Kapita Selekta Matematika SMA Akibatnya 21 4 sin 2 = 2 sin cos = 2 ⋅ √5 ⋅ √5 = 5 12 3 cos 2 = cos − sin = − = −5 √5 √5 Sehingga = cos 2 sin 2 = −3/5 4/5 3 = −9/5 sin 2 − cos 2 4/5 3/5 0 12/5 iv. Terakhir, titik −, ditranslasikan dengan vektor − = 0 untuk 1 mendapatkan titik ′( , ) = + 0 = −9/5 + 0 = −9/5 = −1,8 1 12/5 1 17/5 3,4 Jadi bayangan (3, 1) oleh pencerminan terhadap garis = 2 + 1 adalah − , . Ilustrasi dari proses di atas dapat dilihat di gambar berikut. Contoh 2: 68

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Diberikan segitiga ABC beserta dengan hasil pencerminannya terhadap sebuah garis. Tentukan garis cermin tersebut. Alternatif penyelesaian. Pencerminan memiliki sifat, jika ’ merupakan cermin dari terhadap garis , maka ’ ⊥ dan membagi dua sama panjang ’. Akibatnya salah satu cara mencari garis refleksi adalah buat ruas garis CC’ dan DD’, kemudian tentukan titik tengahnya dan tarik garis melalui kedua titik tengah tersebut Contoh 3: Buktikan bahwa refleksi terhadap garis = adalah suatu isometri. Alternatif penyelesaian. Ambil sebarang titik ( , ), ( , ). Cerminkan kedua titik ini terhadap = sehingga diperoleh bayangannya yaitu ′( , ) dan ′( , ). Akan ditunjukkan bahwa = ′ ′. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, jarak ke adalah = ( − ) +( − ) Selanjutnya dicari koordinat ’ dan ’. = 0 1 = 1 0 Sehingga ′ memiliki koordinat ( , ). Dengan cara yang sama maka koordinat adalah ( , ). Dengan teorema Pythagoras 69

Kapita Selekta Matematika SMA = ( − ) +( − ) = ( − ) +( − ) = ( − ) +( − ) = Dari hasil di atas maka diperoleh = sehingga pencerminan terhadap garis = di atas merupakan isometri. Contoh 4: Tentukan persamaan bayangan kurva = yang direfleksikan terhadap garis = √3 + 1. Alternatif Penyelesaian (bantuan): Langkah 1: Garis dan parabola ditranslasikan dengan vektor translasi 0 agar −1 garis melalui (0, 0). Persamaan garis dan parabola hasil translasi berturut-turut = √3 ... (1) dan + 1 = ... (2). Langkah 2: Parabola (2) direfleksikan terhadap garis (1) dengan = tan = √3, = 60°. Misal ( , ) bayangan titik ( , ) pada parabola (2), maka dipenuhi = cos 2 + sin 2 dan = sin 2 − cos 2 . Dengan substitusi nilai diperoleh ′ = − + √ ... (4) dan = √ + ... (5). Dari kedua persamaan terakhir diperoleh √3 √3 = − 2 + 2 dan = 2 + 2 Substitusikan hasil terakhir ke persamaan 2, diperoleh 11 11 3 2 + 2 √3 ⋅ + 1 = 4 ⋅ − 2 ⋅ √3 ⋅ + 4 ⋅ . Dari sini diperoleh persamaan hasil refleksi terhadap garis (1) 11 11 3 2 + 2 √3 ⋅ + 1 = 4 ⋅ − 2 √3 ⋅ + 4 . Langkah 3: translasikan kembali dengan vektor translasi 0 , diperoleh 1 1( − 1) + 1 √3 ⋅ 1 13 2 2 +1 =4⋅ − 2 √3 ⋅ ( − 1) + 4 ( − 1) . Jika disederhanakan, diperoleh hasil refleksi = terhadap garis = √3 + 1 adalah 70

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 11 3 1 4 − 2 √3 ⋅ + 4 − 2 + 4 = 0. d. Dilatasi Terdapat beberapa bentuk transformasi non isometri seperti strech (peregangan), shear (gusuran/pelingsiran), dilatasi, dan sebagainya. Pada modul ini hanya akan dibahas salah satu jenis yaitu dilatasi (dalam beberapa sumber lain menggunakan istilah dilasi). Segitiga ’ ’ ’ di samping merupakan peta dari segitiga pada dilatasi dengan pusat dilatasi titik (0, 0) dan faktor dilatasi 3 . Pada gambar di samping, kedua segitiga sebangun dan berlaku = = = 3. Nilai ini dinamakan sebagai faktor dilatasi, sedangkan disebut pusat dilatasi. 71

Kapita Selekta Matematika SMA Definisi: Dilatasi dengan faktor dilatasi dan pusat , merupakan transformasi pada bidang sedemikian sehingga: i. Bayangan titik , pusat dilatasi, adalah sendiri. ii. Jika positif dan bayangan adalah ’, maka ⃗ dan ⃗ terletak pada sinar yang sama sehingga ’ = ⋅ . iii. Jika negatif, bayangan adalah ’, maka ⃗ dan ⃗′ merupakan dua sinar yang bertolak belakang, dan ’ = − ⋅ . a. Dilatasi dengan pusat dilatasi titik (0,0) Dilatasi dengan pusat , faktor dilatasi , maka = dan = . Jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi = = ⋅ +0⋅ , sehingga 0⋅ + ⋅ =0 0 . b. Dilatasi dengan pusat ( , ), faktor dilatasi Untuk menentukan persamaan matriks dilatasi yang pusatnya bukan langkah- langkah yang diperlukan adalah: 1) Translasikan obyek dengan vektor translasi − sehingga peta pusat dilatasi − berimpit di titik O dan peta ( , ) menjadi ( , ) dengan = + − = − . − − 2) Dilatasikan ( , ) dengan pusat , faktor dilatasi =0 0 =0 0 − −. 3) Translasikan kembali obyek ( , ) dengan vektor translasi ′ = + =0 0 − ′ −+ . Contoh 1. 72

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Segitiga dengan (1, 0), (−2, −1) dan (−1, 3) didilatasi dengan pusat (−3, 1) dan faktor dilatasi 2. Tentukan bayangan segitiga ABC dan buatlah sketsanya dalam koordinat kartesius. Alternatif penyelesaian. Untuk menghemat pengerjaan, titik-titik , , dan dan bayangannya dapat disajikan dalam satu matriks. i. Translasikan dengan vektor translasi = 3 untuk memindahkan pusat −1 dilatasi ke (0, 0). Misal ( , ), ( , ), ( , ) adalah bayangan , , oleh translasi maka = 1 −2 −1 + 3 3 3 = 4 1 2 0 −1 3 −1 −1 −1 −1 −2 2 ii. Dilatasikan , , dengan faktor dilatasi 2. = 2 0 4 1 2 = 8 2 4 0 2 −1 −2 2 −2 −4 4 iii. Translasikan kembali dengan vektor translasi − = −3 . 1 = 8 2 4 + −3 −3 −3 = 4 1 2 −2 −4 4 1 1 1 −1 −2 2 Sketsa: Contoh 2. Kurva dengan = + didilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor dilatasi 2. Tentukan persamaan bayangan dan sketsanya. Alternatif penyelesaian. 73

Kapita Selekta Matematika SMA Ambil sebarang titik ( , ) pada kurva, dan misalkan ′( , ) merupakan bayangannya. = 2 0 = 2⋅ 0 2 2⋅ Dari kesamaan di atas, diperoleh = 2 → = dan = 2 → = Hasil di atas disubstitusikan ke = + , diperoleh hasil 2= 2 + 2 ⇒2=4+2⇒ =2+ Dengan demikian persamaan hasil dilatasi = + dengan pusat dilatasi O dan faktor dilatasi 2 adalah = + . Contoh 3. Diberikan segitiga dan bayangannya oleh Alternatif penyelesaian. sebuah dilatasi yaitu segitiga ′ ′. Tentukan pusat dilatasi bangun di bawah, kemudian jelaskan bagaimana proses mendapatkan faktor dilatasi. 74

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Untuk mendapatkan pusat dilatasi, cukup dibuat garis melalui ’ dan garis melalui ’. Perpotongan kedua garis ini merupakan pusat dilatasi. Misal pusat ini dinamakan titik , maka faktor dilatasi diperoleh dengan membandingkan ’ dengan . Faktor dilatasi = . Contoh 4. Pada dilatasi berpusat di O(0, 0), faktor dilatasi 2 titik A dan B dipetakan ke titik A’ dan B’. Buktikan bahwa jarak ’ ke ’ dua kali jarak ke . Alternatif pembuktian. Untuk menunjukkan bahwa suatu dilatasi bukan isometri, cukup menunjukkan ambil sebarang dua titik dan yang tidak berimpit di objek asli, kemudian diperiksa apakah ≠ ′ ′, dengan ′ dan ′ bayangan titik dan . Misalkan ( , ) dan ( , ) didilatasi dengan pusat (0, 0) faktor dilatasi 2. Akibatnya koordinat ’ dan ’ berturut-turut (2 , 2 ) dan (2 , 2 ). = ( − ) +( − ) = ( − ) + ( − ) = (2 − 2 ) + (2 − 2 ) = 4 ⋅ (( − ) + ( − ) ) = 2 ⋅ ( − ) + ( − ) ′ ′=2⋅ Karena ada titik dan sehingga ≠ ′ ′, maka dilatasi bukan suatu isometri. 5. Trigonometri Trigonometri berasal dari istilah Yunani ”trigonom” (segitiga) dan “metron” (mengukur). Dalam sejarah perkembangannya, sampai dengan abad ke-16 pembahasan utama trigonometri berkisar pada menentukan nilai unsur-unsur yang belum diketahui pada segitiga (atau bangun-bangun yang dapat dipotong menjadi segitiga-segitiga) jika unsur-unsur yang lain diberikan. Sebagai contoh, jika panjang 75

Kapita Selekta Matematika SMA dua sisi suatu segitiga dan sudut yang mengapit keduanya diketahui, maka sisi ketiga dan dua sudut yang lain dapat ditentukan. Dalam perkembangan berikutnya trigonometri dipelajari sebagai fungsi yang ditentukan oleh besar sudut beserta dengan aplikasi-aplikasinya. a. Pengukuran Sudut Sudut Sebuah sudut terbentuk oleh dua buah sinar garis yang bersekutu di titik pangkal. Titik persekutuan ini dinamakan titik sudut, sedangkan dua sinar garis disebut sebagai kaki-kaki sudut atau sisi-sisi sudut. Pada gambar di bawah, titik , sinar , dan sinar berturut-turut merupakan titik sudut dan kaki-kaki sudutnya. Sudut dapat ditulis sebagai ∠ . Sudut dapat pula dipandang sebagai perputaran sinar mengelilingi dan berakhir di sinar . Dengan memandang sudut sebagai perputaran sinar, maka dimungkinkan membeda- kan besar sudut negatif dan positif. Suatu sudut bernilai positif jika perputarannya berlawanan arah jarum jam dan negatif jika searah jarum jam. Simulasi dengan media GeoGebra dapat diakses di https://www.geogebra.org/m/b3dcqddn. 76

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Kedudukan Sudut dalam posisi baku Sudut dikatakan terletak pada kedudukan baku jika titik sudut dihimpitkan dengan titik pangkal pada koordinat kartesius dan salah satu sisinya diimpitkan dengan sumbu- positif. Sisi disebut sisi permulaan (initial side) sedangkan sisi disebut sebagai sisi batas (terminal side). Berdasarkan posisi terminal side sudut dalam posisi baku, maka besar suatu sudut dapat dibagi ke dalam empat kelompok yang disebut kuadran a. Kuadran I, jika terminal side berada di rentang 0 < < 90° b. Kuadran II, jika terminal side berada di rentang 90° < < 180° c. Kuadran III, jika terminal side berada di rentang 180° < < 270° d. Kuadran IV, jika terminal side berada di rentang 270° < < 360° Sudut-sudut pada posisi baku yang besarnya 0°, 90°, 180°, 360° dinamakan sebagai sudut kuadrantal (quadrantal angle) Aktivitas daring untuk eksplorasi sudut dalam posisi baku bisa diakses di tautan https://www.geogebra.org/m/fr5mf4dz. 77

Kapita Selekta Matematika SMA b. Ukuran Sudut dalam Derajat (Sexagesimal) Dalam satuan derajat, besar sudut yang dibentuk oleh satu putaran penuh adalah 360 derajat atau ditulis 360°. Definisi: Satu derajat (1°) adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran keliling lingkaran. Ukuran sudut yang lebih kecil, 1° = 60′ (dibaca 60 menit) dan 1 = 60′′ (dibaca 60 detik). Simulasi pengukuran sudut menggunakan busur derajat dapat diakses di https://www.geogebra.org/m/qqdvwmax. c. Ukuran Sudut dalam Radian Misalkan titik dan pada lingkaran yang berpusat di , maka besar sudut dalam radian ditentukan oleh . Sudut 1 radian terbentuk jika panjang busur sama panjangnya dengan jari-jari. Definisi: Satu radian adalah besar sudut pusat lingkaran yang panjang busurnya sama dengan panjang jari-jarinya. 78

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Dengan menggunakan definisi ini misalkan diberikan lingkaran berjari-jari , maka Besar sudut satu putaran adalah = rad = rad = 2 rad Berdasarkan definisi, maka untuk menentukan besar suatu sudut dalam radian, dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran dan mistar. Simulasi pada tautan https://www.geogebra.org/m/zyzj8ebn dapat digunakan untuk menentukan besar sudut dalam radian. d. Ukuran sudut dalam grade (Centecimal ) Ketika bangsa Perancis mengadopsi sistim metrik, mereka mencoba meninggalkan sistim pembagian lingkaran ke dalam 360 bagian agar sistim pengukuran sudut konsisten dengan ukuran metrik yang lain. Mereka membagi sudut siku-siku menjadi 100 bagian yang sama. Konsekuensinya adalah, satu putaran penuh dibagi menjadi 400 bagian. Satuan pengukuran sudut seperti ini dinamakan grade. Satuan ini sering juga disebut dengan new degree, neugrad, gradian, atau gon. 79

Kapita Selekta Matematika SMA Dengan demikian besar sudut siku-siku adalah 100 grade (ditulis 100 ) Untuk satuan yang lebih kecil, 1 = 100 (dibaca 100 new minutes atau 100 menit baru) 1 = 100 (dibaca 100 new seconds atau 100 detik baru) e. Hubungan antara satuan-satuan sudut Berdasar tiga penjelasan di atas, diperoleh hubungan antar satuan sudut 360° = 2 rad 360° = 400 400 = 2 rad f. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Enam Perbandingan Trigonometri Diberikan segitiga siku-siku di dengan = , = , = , dan ∠ = 90°. Sisi (sisi terpanjang) dinamakan sisi miring (hipotenusa) sedangkan sisi dan masing-masing disebut sebagai sisi siku-siku. Perhatikan posisi sisi-sisi segitiga terhadap titik sudut. a. Terhadap titik sudut 1) Sisi adalah sisi siku-siku yang terletak di depan sudut . 2) Sisi adalah sisi siku-siku yang berdekatan dengan sudut atau di samping sudut . 3) Sisi adalah sisi miring. b. Terhadap titik sudut 1) Sisi adalah sisi siku-siku yang berdekatan dengan sudut atau di samping sudut . 2) Sisi adalah sisi siku-siku yang terletak di depan sudut . 3) Sisi adalah sisi miring. Dengan menggunakan segitiga siku-siku di atas, didefinisikan: 80

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA sinus sudut = atau ditulis sin = cosinus sudut = atau ditulis cos = tangen sudut = atau ditulis tan = cotangen sudut = atau ditulis cot = secan sudut = atau ditulis sec = cosecan sudut = atau ditulis csc = Teorema: i. csc = ii. sec = iii. cot = Latihan: Buktikan ketiga teorema di atas. Perbandingan trigonometri dalam lingkaran satuan Pada diagram di bawah, besar sudut α adalah 48. Dengan menggunakan skala pada gambar, dan kalkulator untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri, a. Tentukan panjang dan , kemudian cocokkan dengan nilai sin 48° dan cos 48°. b. Tentukan panjang dan , cocokkan dengan nilai tan 48° dan sec 48°. c. Tentukan panjang dan , cocokkan dengan nilai cot 48° dan csc 48° 81

Kapita Selekta Matematika SMA Ulangi langkah di atas dengan membuat sudut α yang berbeda-beda, kemudian cocokkan panjang ruas-ruas garis yang bersesuaian dengan enam perbandingan trigonometri sudut tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan? Latihan: Tunjukkan bahwa panjang ruas garis , , , , , dan menyatakan enam nilai perbandingan trigonometri sudut α. Aktivitas berkaitan dengan enam perbandingan trigonometri ini dapat diakses di tautan https://www.geogebra.org/m/esj4rddz. Anda bisa memanfaatkan untuk membuat aktivitas daring dengan klik pada “Create Class” dan kemudian memantau progress aktivitas yang dilakukan setiap siswa. Perbandingan Trigonometri Sudut °, °, °. Nilai eksak perbandingan trigonometri untuk beberapa sudut tertentu dapat dicari tanpa menggunakan tabel atau kalkulator. Perhatikan segitiga samasisi dengan panjang sisi . Segitiga tersebut memiliki panjang sisi yang sama dan besar sudut yang sama juga. Tarik garis tinggi melalui , diperoleh potongan segitiga siku-siku 82

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA dengan sudut siku-siku di . Dengan menggunakan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang . Pada segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-siku dan sudut siku-siku, maka sudut yang diapit oleh sisi siku-siku dan besarnya 45. Dengan teorema Pythagoras dapat dicari panjang sisi miring yaitu √2. Dari ilustrasi di atas diperoleh Sudut ( ) 30 45 60 Perb. trig. sin √2 √3 cos √3 √2 tan √3 1 √3 cot √3 1 √3 sec … … … csc … … … Latihan: Lengkapi tabel di atas. g. Perbandingan Trigonometri sudut berrelasi Perbandingan trigonometri dengan menggunakan segitiga siku-siku, hanya memungkinkan untuk membahas sudut antara 0° sampai 90°. Sementara itu, dengan memandang sudut sebagai sebagai perputaran sinar mengelilingi terhadap , dimungkinkan terbentuknya sudut 0°, 90°, lebih besar dari 90° atau besar sudut yang negatif. 83

Kapita Selekta Matematika SMA Perhatikan gambar di samping, sudut berada pada posisi baku. Sudut bernilai positif jika perputarannya berlawanan arah jarum jam dan bernilai negatif jika perputarannya searah dengan arah jarum jam. Dengan memanfaatkan kondisi ini, perbandingan trigonometri diperluas sehingga dapat mencakup sudut 0°, 90°, sudut negatif, dan sudut yang lebih besar dari 90°. Definisi: Misalkan suatu sudut dalam posisi baku dengan ( , ) suatu titik pada sisi batas (terminal side) dan = , maka: sin = = sec = = , ≠0 cos = = csc = = , ≠0 tan = = , ≠0 cot = = , ≠0 Berdasarkan definisi di atas, untuk = 0°, diperoleh sin 0° = = 0, cos 0° = = 1, sin 90° = = 1, cos 90° = = 0. Sementara itu, tan 90° = (tidak terdefinisi). Pada gambar berikut, sudut merupakan sudut dalam posisi baku, dan selanjutnya dilukis sudut-sudut yang besarnya berrelasi dengan di kuadran II, III, dan IV. 84

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri untuk sudut , berlaku: sin = cos = tan = , ≠ 0 Pandang ∠ = − , berdasarkan definisi perbandingan trigonometri, maka sin(− ) = = = − sin , sehingga sin(− ) = − sin cos(− ) = = = cos , sehingga cos(− ) = cos tan(− ) = = = − tan , sehingga tan(− ) = − tan Pandang ∠ = 90° − , dan ( , ) maka sin(90° − ) = = = cos , sehingga sin(90° − ) = cos cos(90° − ) = sin cos(90° − ) = = = sin , sehingga tan(90° − ) = cot tan(90° − ) = = = cot , sehingga Dengan cara seperti di atas, maka perbandingan trigonometri untuk sudut berelasi yang lain adalah: sin(90° + ) = cos sin(180° − ) = sin cos(90° + ) = − sin cos(180° − ) = − cos tan(90° + ) = −cot tan(180° − ) = − tan sin(270° − ) = −cos sin(180° + ) = − sin cos(270° − ) = −sin cos(180° + ) = − cos tan(270° − ) = cot tan(180° + ) = tan sin(270° + ) = −cos cos(270° + ) = sin tan(270° + ) = −cot Aktivitas daring untuk eksplorasi fungsi trigonometri sudut berelasi dapat diakses di tautan https://www.geogebra.org/m/nfnc4gs7. 85

Kapita Selekta Matematika SMA Latihan: i. Bagaimana cara membuktikan rumus-rumus di atas dan berilah contoh- contoh soalnya? ii. Bagaimana mengingat rumus di atas setelah siswa memahami cara mendapatkannya? h. Perhitungan pada segitiga Siku-siku Selesaikan permasalahan-permasalahan berikut, gunakan kalkulator jika diperlukan: 1. Sebuah petunjuk keselamatan operasional mobil tangga pemadam kebakaran menyatakan bahwa sudut elevasi maksimum tangga adalah 72. Jika panjang maksimum tangga pada mobil tersebut adalah 30 meter, berapakah batas aman ketinggian yang dapat dicapai? 2. Pada jarak 200 kaki dari dasar sebuah gedung, sudut elevasi bagian bawah cerobong asap adalah 35, sementara itu sudut elevasi bagian puncaknya adalah 53 seperti terlihat pada gambar. Tentukan tinggi cerobong asap tersebut dihitung dari puncak gedung (s). 86

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA i. Identitas Trigonometri Identitas merupakan kesamaan yang menghubungkan dua ekspresi. Suatu identitas akan benar jika untuk setiap nilai pengganti untuk peubahnya, ruas kiri bernilai sama dengan ruas kanan. Identitas trigonometri merupakan identitas yang memuat perbandingan atau fungsi trigonometri. 1. Identitas fundamental dan identitas Pythagoras csc = sin + cos = 1 sec = tan + 1 = sec tan = 1 + cot = csc cot = Bukti untuk sin + cos = 1. Pandang sudut dalam posisi baku, titik di sumbu- positif dan koordinat titik adalah ( , ). Sesuai dengan definisi, maka sin = , cos = dengan = + , yang merupakan jarak dari titik ke titik pangkal koordinat (0, 0). Akibatnya sin + cos = + = + = + = =1 Sehingga diperoleh sin + cos = 1. Terbukti. Bukti identitas yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. 2. Langkah-langkah pembuktian a. Ubah salah satu sisi (ruas), biasanya ruas yang memiliki bentuk lebih kompleks sampai diperoleh sisi yang lain. b. Untuk sekedar membantu, kedua sisi sehingga diperoleh ekspresi yang sama. Selanjutnya untuk bukti formal dipilih salah satu arah dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya. 3. Strategi Pembuktian a. Ubah semua ekspresi ke sinus atau cosinus 87

Kapita Selekta Matematika SMA b. Ubah ekspresi menjadi bentuk yang sesederhana mungkin c. Kalikan dengan ekspresi yang bernilai 1. d. Tambahkan dengan ekspresi yang bernilai nol. e. Pergunakan identitas fundamental dan identitas pythagoras serta perbandingan trigonometri sudut yang berrelasi. Contoh soal: Buktikan bahwa 1 + cos = ( ) . Bukti: Ruas kiri diuraikan 1 + cos = (1 + cos ) × dengan cos ≠ 1 =( ) =( ) terbukti. j. Grafik fungsi Trigonometri Langkah-langkah melukis dengan bantuan tabel: 1. Susun tabel nilai untuk beberapa nilai pada rentang yang diminta, kemudian tentukan nilai yang bersesuaian (bisa dengan memilih sudut-sudut istimewa, atau bebas dan nilai dicari dengan bantuan kalkulator atau lingkaran satuan) 2. Tentukan titik-titik yang bersesuaian. 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus. Contoh: 1. Grafik = sin dan = cos untuk 0 ≤ ≤ 360° Untuk grafik = sin , lengkapi tabel di bawah, 0° 30° 45° 60° 90° … … … … 360° …0 = sin 0 1 √2 √3 1 √3 √2 1 2 2≈ 2≈ 2≈ 2≈ 2 0,71 0,87 0,87 0,71 88

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Setelah nilai dan yang bersesuaian pada tabel di atas dipindahkan ke sistem koordinat kartesius dan dihubungkan dengan kurva mulus, diperoleh grafik = sin . Untuk grafik = cos (lengkapi tabel di bawah) 0° 30° 45° 60° 90° … … … … 360° = cos √3 √2 1 1 1 √2 √3 … 0 1 2≈ 2≈ 2 −2 −2 ≈ −2 ≈ 0,87 0,71 −0,71 −0,87 2. Grafik = 4 sin untuk 0 ≤ ≤ 360° Tabel nilai-nilai y untuk beberapa nilai x adalah sebagai berikut. Dari tabel di atas, diperoleh grafik 89

Kapita Selekta Matematika SMA 3. Dengan cara serupa dengan cara memperoleh grafik di atas, grafik = tan dan = cot adalah seperti gambar berikut. Grafik ( ) = tan dan ( ) = cot Bagaimana pengaruh nilai , , dan pada grafik fungsi trigonometri ( ) = sin( + ) + jika dibandingkan dengan ( ) = sin ? Silakan eksplorasi tautan https://www.geogebra.org/m/hz3wCGr9, kemudian beri kesimpulan (untuk .dalam derajat). Selidiki juga untuk fungsi cosinus dan tangen. 90

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Nilai-nilai y pada grafik fungsi trigonometri dapat juga ditentukan dengan menggunakan lingkaran satuan. Applet interaktif pada tautan https://www.geogebra.org/m/r7pkbtqs menggambarkan proses pembentukan kurva sinus melalui lingkaran satuan. 91

Kapita Selekta Matematika SMA Applet untuk mengonstruksi kurva cosinus dan tangent menggunakan lingkaran satuan dapat diakses di https://www.geogebra.org/m/rfbqmghw https://www.geogebra.org/m/y6xu9vuz. Tugas: Buatlah sketsa untuk dua grafik berikut: 1. Grafik = sec untuk 0 ≤ ≤ 2 2. Grafik = csc untuk 0 ≤ ≤ 2 92

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA k. Persamaan Trigonometri Sederhana Misalkan diberikan persamaan sin = . Visualisasi dari persamaan ini tampak seperti gambar di atas yang terdiri dari dua bagian yaitu grafik = sin dan = 1/2. Perhatikan bahwa pada interval 0 ≤ ≤ 2 , kedua grafik berpotongan di = , dan = = − . Perpotongan ini akan terus berulang pada setiap penambahan 2 . Sehingga penyelesaian persamaan di atas adalah = + ⋅ 2 atau = + ⋅ 2 , dengan bilangan bulat. Secara umum, penyelesaian persamaan trigonometri yang sederhana adalah sebagai berikut: 1. Bentuk sin = sin maka = + ∙ 2 atau = ( − ) + ∙ 2 2. Bentuk cos = cos maka = ± + ∙ 2 3. Bentuk tan = tan maka = + ∙ 4. Bentuk sin = , cos = , dan tan = maka nilai harus diubah menjadi bentuk perbandingan trigonometri yang sesuai terlebih dahulu. Dengan bilangan bulat. l. Koordinat Kutub Dalam sistem koordinat Kartesius, posisi suatu titik dinyatakan dengan pasangan berurutan ( , ) dengan dan berturut-turut menyatakan jarak titik terhadap sumbu- dan sumbu- . Alternatif lain untuk menyatakan posisi suatu titik adalah menggunakan koordinat kutub (polar). Perhatikan 93

Kapita Selekta Matematika SMA gambar di samping, lokasi titik dinyatakan dalam ( , ) dimana menyatakan jarak terhadap titik , dan menyatakan sudut yang dibentuk oleh terhadap sinar . Dalam beberapa bidang, penggunaan sistim koordinat kutub lebih menguntungkan dibandingkan koordinat kartesius. Contoh: Tentukan posisi titik-titik berikut pada sistem koordinat kutub i. (4, 45°), (6, 45°), (7, 240°), (3, −75°) ii. (8, ), 5, , (7, ), (9, ) Mengubah koordinat kutub ke koordinat kartesius dan sebaliknya. Pada gambar di bawah, perhatikan posisi titik . Jika panjang = , maka berlaku hubungan: Dengan demikian 94