3. Bahan Ajar Kapita Selekta WS MN_PGRI SMA -2021

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Aktivitas 3 Selidiki grafik fungsi berikut. Apakah lim ( ) = 0? Apakah limit kiri sama dengan limit kanan? Jelaskan → Petunjuk: Cermati kembali pendefinisian limit fungsi dan Aktivitas 4 Berkaitan dengan ketakhinggaan limit, ada dua pengertian yang sering kita dengar yaitu limit tak hingga (infinite limits) dan limit di tak hingga (limits at infinity). Jelaskan perbedaan dan persamaan kedua pengertian tersebut dan berikan penjelasan bagaimana cara menulis hasil limit fungsi berikut. (i) lim → (ii) lim → (iii) lim → Petunjuk: Lihat lagi ketidakadaan limit, limit tak hingga dan limit di tak hingga Aktivitas 5 Pada limit fungsi trigonometri, apakah benar bahwa lim( cos ) = 1° 1° → = 0,9998° (bukan bilangan)? Jelaskan dan berikan pengerjaan yang benar jika cara tersebut salah. Petunjuk: Lihat lagi penjelasan limit fungsi trigonometri berkaitan satuan variabelnya 145

Kapita Selekta Matematika SMA Aktivitas 6 Perhatikan pengerjaan menentukan hasil limit menggunakan sifat limit sebagai berikut. Apakah pengerjaan tersebut benar? Mengapa? Jelaskan Petunjuk: Cermati kembali sifat-sifat limit Aktivitas 7 Dalam menyelesaikan lim √ , bolehkah kita “pandang” → √16 − 2 + − 5 sebagai √16 saja ( dengan menghilangkan suku −2 + − 5 di bawah akar) sehingga pengerjaan menjadi lebih sederhana? Selidiki dan jelaskan. Petunjuk: Jadikan penyebut dalam bentuk akar, selanjutnya bandingkan hasilnya jika hanya menggunakan pangkat tertinggi saja Aktivitas 8 Jawaban Penjelasan Lengkapi tabel berikut Selalu horisontal ………………….. Pernyataan Garis singgung kurva pada Tidak harus harus titik belok horisontal Pada gambar berikutgaris bukan garis singgung kurva Ya, karena ………………….. memotong kurva Tidak, tetap garis singgung 146

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA di titik Petunjuk: Cermati kembali pendefinisian garis singgung Aktivitas 9 Cermati pengerjaan dua orang yang berusaha menyelesaikan persoalan berikut Orang 1: Tentukan kasil dari ∫ √ + 1 . Jawab: Misalkan = , maka = 2 dan = sehingga +1 = 1 +1⋅ 1 =2 +1 2√ 1 =2 +1 1 =2 + tidak bisa melanjutkan. Orang 2: 147

Kapita Selekta Matematika SMA Tentukan hasil dari ∫ √ + 1 . Jawab: Misalkan = + 1, maka = 3 sehingga +1 = 1 √ .3 1 =3 √ 1 =3 2 =9 + Jadi ∫ √ + 1 = ∫ √ = + = ( + 1) + Mengapa orang 1 tidak mampu menyelesaikan soal tetapi orang 2 mampu menyelesaikannya? Berikan penjelasan. Petunjuk: Cermati kembali strategi penyelesaian integral Aktivitas 10 Kerjakan soal berikut. (i) ∫(sin + ) (ii) ∫ (sin + ) Selanjutnya, jelaskan apa yang membedakan hasil (i) dan (ii). Petunjuk: Selidiki jenis hasil pengintegralan Aktivitas 11 Jawaban Penjelasan Lengkapi tabel berikut Pernyataan 148

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Untuk menghitung ∫ Ya, bisa dengan hasil ………………….. dapat dilakukan dengan 5 Tidak, tidak boleh =2 dilakukan Untuk menghitung ∫ Ya, bisa dengan hasil ………………….. dapat dilakukan dengan Tidak, tidak boleh dilakukan =2 Petunjuk: Sudah jelas Aktivitas 12 Perhatikan luasan berikut. Apakah luas daerah tersebut dapat dihitung secara langsung dengan ∫ [ ( ) − ( )] dengan dan absis titik potongnya? Jelaskan Petunjuk: Lihat kembali penjelasan pada uraian materi. 149

Kapita Selekta Matematika SMA Aktivitas 13 Karena hasil dari ∫ = 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva , garis = −2, garis = 2 dan sumbu- adalah 0. Setujukah Anda dengan pernyataan tersebut. Berikan penjelasan. Petunjuk: Cermati kembali pengertian integral tertentu dan luas daerah E. RANGKUMAN Pengertian limit fungsi dapat diungkapkan dengan bahasa sederhana yaitu lim ( ) = dikatakan sebagai ( ) akan mendekati nilai apabila → mendekati . Sedangkan penyajian dengan bahasa formal lim ( ) = adalah → untuk setiap  > 0 , terdapat  > 0 sedemikian hingga | ( ) – | <  untuk setiap 0 < | – | < . Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisi limit, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat- sifat limit. Berkaitan turunan, gradien garis singgung kurva di titik ( , ( )) namakan didefinisikan sebagai = lim ( +∆ )− ( ) ∆→ ∆ jika nilai limitnya ada. Untuk sembarang nilai pada domainnya maka formula di atas dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi yang dilambangkan dengan ′( ) dimana ′( ) = lim ( + ℎ) − ( ) → ℎ jika limitnya ada. Bentuk terakhir inilah yang dinamakan turunan dari fungsi pada domainnya. Sementara itu berkaitan integral, suatu fungsi dinamakan suatu antiturunan dari pada interval jika ( ) = ( ) untuk setiap yang berada dalam interval . Kata “suatu” disini amat penting, karena kata “suatu” itu menunjuk 150

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk menentukan semua anti turunan ( ) ditulis dengan simbol integral ” ʃ “. Jadi penyelesaian proses ini dituliskan sebagai ∫ ( ) = ( )+ . Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan maka dapat dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan. Suatu hal yang penting disini adalah Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) yang diantaranya menyatakan bahwa ( ) = ( )− ( ) dimana ( ) adalah anti turunan dari ( ). Berkaitan dengan penulisan, banyak orang menggunakan ( )| untuk mengganti ( ) − ( ). F. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK Setelah mempelajari modul ini Saudara diharapkan sudah mampu memahami kalkulus yang meliputi limit, turunan dan integral serta mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait. Sebagai refleksi berikan tanda check () pada kolom yang sesuai dengan kriteria. SB : Sangat Baik B : Baik R : Ragu-ragu K : Kurang SK : Sangat Kurang Kriteria Bagian / Pembahasan SK K R B SB Pengertian limit fungsi Limit kiri dan limit kanan Limit tak hingga dan limit di tak hingga Strategi penyelesaian masalah limit fungsi 151

Kapita Selekta Matematika SMA Pemanfaatan sifat-sifat limit fugsi Pengertian turunan fungsi Pengertian gradien garis singgung kurva Pengertian integral Strategi menyelesaikan masalah integral Menentukan luas daerah Penyelesaian pengerjaan aktivitas dalam modul Jika tanda check () berada di dua kolom sebelah kanan pada kriteria, berarti Saudara sudah memahami modul kalkulus dengan baik. Langkah selanjutnya lakukan pengembangan diri dengan mendalami lebih lanjut secara mandiri maupun dengan teman sejawat. Jika tanda check () berada di tengah atau berada di dua kolom sebelah kiri pada kriteria, Saudara perlu mempelajari kembali bagian yang belum dipahami secara mandiri maupun bersama teman sejawat. G. EVALUASI 1. Seorang siswa menuliskan hasil terkait limit fungsi sebagai berikut . A. Penulisan tersebut salah karena tidak memakai tanda “=” B. Penulisan siswa tersebut salah, harusnya siswa menulis lim = ∞ → C. Siswa tersebut benar karena lim tanpa ada tanda “=” → D. Siswa tersebut benar karena lim = , hanya perlu ditambah → tanda “=” 152

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 2. Perhatikan pengerjaan limit fungsi trigonometri berikut. A. Pengerjaan tersebut dibenarkan karena telah menggunakan sifat limit fungsi B. Pengerjaan tersebut benar karena hasilnya 15 C. Terjadi kesalahan karena mencampur ukuran derajat dengan bilangan dalam limit D. Terjadi kesalahan pada hasil akhir, seharusnya 15 tanpa derajat 3. Untuk menentukan lim , kita dapat menggunakan identitas yang sudah ada → yaitu lim = 1. Pengerjaan umum yang dilakukan adalah → Namun jika dicermati bukankah ada perbedaan? A. lim = karena lim = lim = 1 yaitu mengeluarkan 2 dari → → → sin 2 B. lim = 1 karena → 0 mengakibatkan 2 → 0 sehingga 2 pada → sin 2 diganti yang berakibat lim = lim = 1 → → 153

Kapita Selekta Matematika SMA C. lim = karena untuk → 0 mengakibatkan 2 → 0 sehingga → menentukan lim sama dengan menentukan lim → → D. lim sebenarnya tidak bisa ditentukan dengan hanya diketahui → lim = 1 → 4. Perhatikan gambar berikut. Diketahui bahwa (1) = 0 dan garis horisontal melalui . Pernyataan yang benar terkait gambar tersebut adalah .... A. Pada fungsi tersebut (0) = 0 (1) B. Garis bukan garis singgung kurva di titik karena garis tersebut memotong kurva C. Garis merupakan garis singgung kurva di titik karena gradiennya D. Pada fungsi tersebut, − negatif 5. Pernyataan yang benar terkait gambar berikut adalah .... 154

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA A. Gradien garis bernilai negatif sebab titik berada di bawah sumbu- B. Jika absis dari titik A maka ′( ) positif C. Jika absis dari titik maka ′′( ) positif D. Gradien garis singgung kurva bernilai positif hanya untuk titik-titik yang berabsis positif 6. Perhatikan penyelesaian integral berikut ini (i) ∫ 0 = 0 ∫ 1 = 0 (ii) ∫ √ = (∫ ) ∙ ∫ √ = ∙ =+ (iii) ∫ = − + (iv) ∫ =∫ 1+ = − ln|cos | + Pengerjaan yang benar adalah …. A. (i), (ii), (iii) B. (i), (iii) C. (ii), (iv) D. (iv) 7. Perhatikan pengerjaan integral berikut. Cara 1: sin 2 1 (2 ) = 2 sin 2 1 = − 2 cos 2 + Cara 2: sin 2 = 2 sin cos = 2 sin (sin ) = sin + Pengerjaan yang benar adalah …. A. Cara 1 saja B. Cara 2 saja C. Cara 1 dan cara 2 D. Kedua pengerjaan salah 155

Kapita Selekta Matematika SMA DAFTAR PUSTAKA [1] Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: Key Curriculum Press [2] Robert Wrede & Murray Spiegel. 2010. Advanced Calculus 3rd. New York: McGraw-Hill Companies [3] Ron Larson. 2006. Calculus 3rd. California: Key Curriculum Press [4] -----------. 2006. Discovering Advanced Algebra: An Investigation Approach. California: Key Curriculum Press 156

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA KEGIATAN PEMBELAJARAN 4 STATISTIKA (3 JP) A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN Ukuran pemusatan data yang akan dibahas di dalam kegiatan pembelajaran ini adalah membaca sajian data dn menentukan ukuran pemusatan data, yaitu mean, modus, dan median. Setelah mengikuti kegiatan pembelajaran ini diharapkan pembaca mampu menentukan ukuran pemusatan mean, modus, dan median, baik untuk data tunggal maupun data berkelompok serta menggunakannnya dalam menyelesaikan masalah. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan kegiatan pembelajaran ini adalah pembaca mampu menentukan ukuran pemusatan data yaitu mean, modus dan median, baik untuk data tunggal maupun data berkelompok serta menggunakannnya dalam menyelesaikan masalah dan pengembangan keterampilan berpikir tingkat tinggi yang berbasis PISA dan TIMMS C. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada bagian ini, pembaca diharapkan dapat menanamkan nilai-nilai karakter dan mampu 1. Menentukan ukuran pemusatan yang tepat untuk mewakili suatu populasi. 2. Menentukan mean pada data tunggal dan data berkelompok. 3. Menentukan modus pada data tunggal dan data berkelompok. 4. Menentukan median pada data tunggal dan data berkelompok. 5. Menggunakan konsep ukuran pemusatan dalam penyelesaian masalah. 6. Merancang pembelajaran dengan aktivitas berpikir tingkat tinggi dan merancang soal-soal berbasis PISA dan TIMMS D. URAIAN MATERI Ada beberapa perhitungan mean atau rerata atau rata-rata di dalam pembahasan statistika. Berikut ini akan dibahas rataan hitung beserta contoh-contoh perhitungannya, baik perhitungan rataan hitung langsung maupun menggunakan rataan sementara. 157

Kapita Selekta Matematika SMA 1. Membaca sajian data Menurut fungsinya, statistika dibedakan menjadi dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif (inferensial). Statistika deskriptif merupakan metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna (Walpole, 1997). Pengumpulan data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai urutan data atau kelompok data, sehingga pengguna data dapat mengenalinya dengan mudah. Penyajian data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai data atau kelompok data dalam bentuk table, diagram, atau gambar. Penyajian data dapat pula dilakukan dengan menyatakan kelompok data tersebut dengan konstanta yang mewakilinya dan gambaran mengenai letaknya, misalnya rataan dan kuartil. Bila membicarakan statistika, maka tidak lepas dengan apa yang disebut data. Data dapat diartikan sebagai keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah. Data dapat disajikan dalam berbagai bentuk seperti tabel, diagram dan grafik. Pada era digital seperti saat ini, hampir semua bidang kehidupan tidak terlepas dari penggunaan angka, data dan fakta. Jika data dan angka tersebut terbatas hanya menjadi fakta, mungkin sangat sulit difahami, tetapi jika diolah, dianalisis, dan disajikan dengan baik serta menarik akan lebih mudah dipahami. Kita memerlukan suatu perangkat (tool) untuk dapat memanfaatkan fakta menjadi informasi yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan. Perangkat itu disebut dengan ilmu statistika. Gambar 1. Data Mentah Nilai Ujian Sekolah Penyajian data dalam kehidupan nyata banyak digunakan dalam bidang pendidikan. Perhatikan data mentah nilai hasil ujian suuatu mata pelajaran yang terdiri sekumpulan angka-angka pada Gambar 1 di atas. Tentu sulit bagi kita untuk 158

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA memahami, apalagi untuk memanfaatkannya sebagai sumber informasi dalam mengambil keputusan. Bandingkan dengan Gambar 2 yang menyajikan data dalam bentuk histogram. Dengan mudah kita dapat melihat berapa jumlah peserta ujian, pada rentang nilai berapa sebagian besar nilai siswa berada, dan lebih lanjut bisa dihitung berapa rata-ratanya, nilai tengahnya, standar deviasinya, dan sebagainya. Gambar 2. Contoh Histogram Nilai Ujian Sumber: http://www.nafiun.com Selain bidang pendidikan, bidang komunikasi dan informasi sangat berhubunggan dengan penyajian data. Data yang akan dipublikasikan kepada masyarakat harus sederhana, informatif dan mudah dipahami. Misalnya pemerintah akan menyajikan betapa berbahayanya merokok dengan menunjukkan banyaknya korban meninggal akibat merokok. Jika hanya dinarasikan dalam bentuk kalimat, akan tidak menarik dan bahkan mungkin tidak dibaca oleh masyarkat. Berbeda halnya kalau informasi disajikan dalam bentuk grafik yang menarik seperti gambar di bawah ini. 159

Kapita Selekta Matematika SMA Gambar 3. Contoh Info Grafis Bahaya Merokok Sumber: http://www.portak-statistik.com Dengan melihat data yang disajikan dalam gambar tersebut, pembaca akan mengetahui betapa besarnya bahaya merokok bagi kesehatan manusia. Contoh: 1. Soal PISA Tahun 2012 USB Drive adalah perangkat penyimpanan komputer portabel. Ivan memiliki USB Drive yang menyimpan musik dan foto. USB Drive Ivan file kapasitas 1 GB (1000 MB). Grafik di bawah ini menunjukkan status USB Drive Ivan saat ini. Status Kapasitas USB Drive 15% Musik (650 MB) 20% Foto (198 MB) Ruang Kosong (152 MB) 65% Gambar 4. Kapasitas USB Drive 160

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Pertanyaan 1: Ivan ingin memindahkan album foto dengan kapasitas 350 MB ke USB Drive, tetapi kapasitas USB Drive yang dimiliki Ivan tidak mencukupi. Sementara Ivan tidak ingin menghapus semua foto yang ada, dia dengan senang hati akan menghapus hingga dua album musik. USB Drive Ivan memiliki album musik yang tersimpan di dalamnya dengan ukuran sebagai berikut; Album Ukuran Album 1 100 MB Album 2 Album 3 75 Album 4 80 Album 5 55 Album 6 60 Album 7 80 Album 8 75 125 Apakah dengan menghapus paling banyak dua album musik, Ivan memiliki cukup ruang untuk menambahkan album foto? Lingkari “Ya” atau “Tidak” dan tunjukkan penghitungan untuk mendukung jawaban Anda. Jawaba : Ya / Tidak Analisis Soal 1. Diskripsi : Membandingkan dan menghitung nilai dengan kriteria yang diberikan 2. Konteks : Pribadi 3. Penskoran : Skor 1 dengan jawaban ya, diberikan contoh kombinasi keduanya album musik yang akan dihapus agar yang menggunakan ruang 198 MB atau lebih. Ivan perlu menghapus 198 MB (350-152) agar foto 350 MB bisa dimasukkan ke USB Drive. Ivan bisa menghapus Album 7 dan Album 8 161

Kapita Selekta Matematika SMA sehingga ruang yang tersedia adalah 152+75+125 = 352 MB. Ivan juga bisa menghapus Album 1 dan Album 8. Skor 0 dengan jawaban tidak. Penjelasan soal Untuk menyelesaikan soal ini siswa diajak untuk menganalisis kapastitas USB Drive yang dimiliki Ivan dan membandingkannya dengan dua buah album musik yang akan dihapus. Pertanyaan 2: Seminggu-kemudian, Ivan menghapus beberapa foto dan musik, tetapi juga menambahkan yang baru file foto dan musik. Status USB Drive yang baru ditunjukkan pada tabel di bawah ini: Kakak Ivan memberinya USB Drive baru dengan kapasitas 2GB (2000 MB) yang benar-benar kosong. Ivan mentransfer konten USB Drive lamanya ke yang baru. Manakah dari grafik berikut yang mewakili status USB Drive baru? Lingkaran A, B, C atau D AB Musik Foto Ruang Kosong Musik Foto Ruang Kosong 162

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA CD Musik Foto Ruang Kosong Musik Foto Ruang Kosong Analisis Soal 1. Diskripsi : Memahami hubungan antara bahasa masalah dan bahasa simbolis dan formal yang dibutuhkan untuk merepresentasikannya secara matematis. 2. Konteks : Pribadi 3. Penskoran : Benar skor 1 salah 0 Analisis Soal Untuk menyelesaikan soal ini siswa diajak untuk menganalisis kapastitas USB Drive yang dimiliki Ivan dan membandingkannya kapasitas yang ada di dalamnya. 2. Di Desa Warna Sari terdapat 8 kelompok peternak. Kelompok peternak memelihara sapi dengan tujuan penggemukan dan untuk dijual pada saatnya. Jumlah sapi, biaya pakan dan perawatan hewan-hewan tersebut serta hasil penjualan pupuk kotoran hewan (kohe) dalam 6 (enam) bulan dapat dilihat pada tabel berikut: 163

Kapita Selekta Matematika SMA Tabel 1. Biaya Pakan dan Perawatan serta Hasil Penjualan Pupuk Kotoran Hewan (kohe) Jika dengan asumsi bahwa setiap ekor sapi di jual dengan harga yang sama dan dijual secara bersamaan, maka; a. Tentukan peternak yang paling besar memperolah keutungan dan jelaskan jawaban Anda. b. Tentukan harga penjualan minimal perekor sapi agar peternak tidak sampai merugi. 3. Investasi emas merupakan investasi yang menguntungkan jika dilakukan dalam jangka panjang, sehingga investasi emas merupakan salah satu yang paling banyak diminati oleh sebagian masyarakat. Grafik di bawah ini adalah harga emas pada Bulan Mei 2019. 164

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Gambar 5. Grafik Harga Emas Berdasarkan grafik di atas, maka a. Harga emas selalu meningkat pada bulan Mei 2019 (Benar/Salah) b. Membeli emas pada awal minggu pertama Bulan Mei lebih murah dibandingkan dengan membeli emas pada minggu terakhir Bulan Mei (Benar/Salah) c. Laju kenaikan harga emas pada tanggal 28 Mei sampai dengan 30 Mei adalah yang tertinggi (Benar/Salah) Sumber : https://hasilun.puspendik.kemdikbud.go.id/akm/akm/soal?j=1&l=5&s=80 2. Distribusi Frekuensi Pembahasan mengenai Distribusi Frekuensi ini mencakup: Distribusi Frekuensi Data Tunggal, Distribusi Frekuensi Data Berkelompok, Distribusi Frekuensi Kumulatif, Histogram, dan Poligon Frekuensi dan Ogif. Pembahasan tentang distribusi frekuensi disini berupa pengertian dan pendefinisian istilah-istilah tertentu serta teknis penjabarannya. Pembelajaran untuk materi ini 165

Kapita Selekta Matematika SMA dapat berupa penjelasan dan pengerjaan contoh-contohnya oleh siswa atau bisa juga berupa diskusi kelompok dimana siswa mencari informasi (statistika) dari sumber yang sudah disediakan atau sumber lain sebagai pelengkap, dengan beberapa petunjuk pengerjaan yang diberikan oleh guru. Untuk memudahkan pembahasan lebih lanjut tentang Materi Distribusi Frekuensi, akan digunakan contoh Lembar Aktifitas Siswa (LAS), seperti berikut ini. LAS I 1. Distribusi Data Tunggal a. Jika ada 8 kelompok di kelas, seorang siswa dari kelompok 1 mewakili kelompoknya mencari data 20 siswa di kelompok 2, 3, … , 8. Seorang siswa dari kelompok 2 mencari data 20 siswa di kelompok 3, 4, … , 8, 1. Demikian pula bagi kelompok 3, 4, 5, dst. Anggota kelompok yang lain diam di tempat siap memberikan data banyaknya saudara kandungnya. b. Bila data banyaknya saudara kandung siswa sudah diperoleh, masukkanlah data tersebut ke dalam tabel berikut ini. Banyak Saudara Kandung (x) Banyak Siswa (f) Jumlah 2. Distribusi Frekuensi Data Berkelompok Perhatikan tabel persen penjualan harian (perbandingan antara banyaknya produk yang terjual dengan banyaknya persediaan awal) selama 50 hari untuk sejumlah produk makanan yang dijual di koperasi sekolah. Setiap kelompok mengambil dan menggunakan satu tabel sebagai sumber datanya, dan dengan menggunakan sumber referensi yang ada, jawablah pertanyaan berikut ini. a. Apa yang dimaksud dengan Jangkauan Data (J) dan tentukan nilainya! 166

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA b. Apa yang dimaksud dengan kelas dalam data berkelompok? Bagaimana cara menghitung banyak kelas dengan menggunakan aturan Sturges? Hitunglah banyaknya kelas dengan menggunakan aturan ini! c. Apa yang dimaksud dengan panjang interval kelas? Bagaimana cara menghitung panjang interval kelas, jika banyaknya kelas diketahui? Hitunglah panjang interval kelas dari data yang ada di kelompokmu! d. Bagaimana menentukan batas bawah kelas dan batas atas kelas? Bagaimana menentukan batas bawah untuk kelas pertama? Tentukanlah batas bawah kelas dan batas atas kelas untuk salah satu kelas yang ada. e. Bagaimana menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas? Tentukanlah tepi bawah kelas dan tepi atas kelas untuk salah satu kelas yang ada. f. Bagaimana cara menentukan panjang interval kelas jika diketahui tepi bawah kelas dan tepi atas kelas? Tentukanlah panjang interval kelas dengan cara ini! g. Bagaimana cara menentukan titik tengah kelas? Tentukanlah titik tengah kelas untuk salah satu kelas yang ada. h. Buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok untuk data persen penjualan harian produk makanan di atas. 3. Tabel distribusi frekuensi kumulatif Bagaimana cara membuat tabel distribusi kumulatif? Dari tabel distribusi frekuensi data berkelompok di atas, buat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari 4. Histogram dan Poligon Frekuensi Apa yang dimaksud dengan Histogram? Apa yang dimaksud dengan Poligon Frekuensi? Untuk data persen penjualan harian, buatlah Histogram dan Poligon Frekuensinya! 5. Ogif Apa yang dimaksud dengan Ogif? Untuk data persen penjualan harian di atas, buatlah Ogif positif dan Ogif Negatifnya! 167

Kapita Selekta Matematika SMA 3. Rataan Hitung atau Mean a. Rataan Hitung (Mean) untuk Data Tunggal Untuk data tunggal, mudah untuk menghitung nilai Rataan Hitung (Mean), yaitu: ̅= ⋯ atau ̅= ∑ Keterangan: ̅= ℎ = −1 = −2 ⋮ = − = Contoh: 1) Nilai rata-rata ulangan Fisika dari 10 murid adalah 62. Jika digabungkan dengan nilai 5 murid yang lain ternyata nilai rata-ratanya menjadi 54. Nilai rata-rata dari 5 murid tersebut sama dengan .... Penyelesaian: 62 = + +⋯+ 10 Jumlah total = 620. Misalkan nilai rata-rata 5 murid adalah x, maka : 620 + 5 54 = 15 620 + 5 = 810 5 = 190 = 38 2) Nilai rata-rata ulangan matemtaika di kelas XII IPA 1 adalah 65. Jika nilai rata-rata murid pria adalah 58 sedangkan nilai rata-rata murid wanita adalah 68, maka perbandingan jumlah pria dan wanita di kelas tersebut adalah ..... Penyelesaian: Misalkan banyaknya jumlah pria p dan jumlah wanita w, ̅ = 65, ̅ = 58, ̅ = 68 ̅+ ̅ ̅= + 58 + 68 65 = + 168

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 65 + 65 = 58 + 68 7 =3 3 =7 3) Di kelas XII IPS 1 terdapat 40 siswa. Nilai rata-rata ujian bahasa mereka 60. Jika dua siswa yang paling rendah nilainya tidak dikutsertakan maka rata-ratanya adalah 61,5 maka nilai terendah di kelas tersebut adalah .... Penyelesaian: 60 = + +⋯+ Jumlah total = 2400 40 Anggaplah nilai kedua siswa yang terendah itu sama, misalkan nilai tersebut sama dengan x. Ketika nilai terendah tidak diikutsertakan, maka : 2400 − 2 61,5 = 38 2400 − 2 = 2337 2 = 63 = 31.5 4) Seorang siswa menghitung rata-rata sekelompok bilangan dan hasilnya 60. Ketika dihitung ulang oleh temannya hasilnya 62. Setelah diselediki ternyata ada satu bilangan yang sebenarnya 80 tetapi terbaca 60 oleh siswa yang pertama. Banyak bilangan dalam kelompok tersebut adalah .... Penyelesaian: Jika banyaknya bilangan kita misalkan sebagai n dan awalnya diperoleh rata-rata 60, maka : + +⋯+ 60 = Jumlah total = 60 n Karena ternyata ada bilangan yang salah baca, yaitu 80 terbaca 60, maka jumlah data yang sebenarnya harus ditambah 20. Jadi jumlah data = 60n + 20. 60 + 20 62 = 62 = 60 + 20 2 = 20 = 10 Jadi, banyak bilangannya adalah 10. 169

Kapita Selekta Matematika SMA b. Rataan Hitung (Mean) untuk Data Berbobot Perhatikan contoh berikut! Hasil ulangan matematika 40 siswa sebagai berikut, 3 orang mendapat nilai 4, 4 orang mendapat nilai 5, 6 orang mendapat nilai 5,5, 8 orang mendapat nilai 6, 7 orang mendapat nilai 7, 10 orang mendapat nilai 8, dan 2 orang mendapat nilai 9 Rataan hitung nilai matematika siswa adalah: 3(4) + 4(5) + 6(5,5) + 8(6) + 7(7) + 10(8) + 2(9) 260 40 = 40 = 6,5 Jadi, Rataan Hitungnya adalah 6,5 Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x1, x2, …, xk (terdapat k buah datum) dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, fk maka rataan hitung ( ̅) ditentukan oleh rumus berikut. ̅ = ⋯ atau ∑ ⋯ ̅= ∑ Keterangan: ̅= − ℎ = c. Rataan Hitung (Mean) untuk Data Kelompok Cara menghitung Mean untuk data berkelompok sama dengan menghitung mean untuk data berbobot, namun perlu terlebih dahulu mencari titik tengahnya. Contoh: Tentukan rataan dari data berikut ini. Berat Badan (kg) Frekuensi 40-44 1 45-49 6 50-54 10 55-59 2 60-64 1 170

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Penyelesaian: Jadi, rataannya adalah 51. d. Mean Menggunakan Rata-rata Sementara Konsep perumusan mean untuk data berkelompok dapat menggunakan rata-rata sementara, dimana uraiannya adalah sebagai berikut. Menghitung mean dengan rata-rata sementara menggunakan rumus ∑. ̄= + ∑ Keterangan : A = rata-rata sementara d = simpangan Tabel ditambah kolom titik tengah (x), simpangan (d), dan kolom fd. Nilai Frekuensi Titik tengah (x) Simpangan d = x - A fd (f) 39 – 47 3 43 - 27 -81 48 – 56 2 52 - 18 -36 57 – 65 6 61 - 9 -54 66 –74 13 70= A 00 75 – 83 11 79 9 99 84 – 92 10 88 18 180 93 –101 5 97 27 135 171

Kapita Selekta Matematika SMA = 50 = 243 Dengan menggunakan rata-rata sementara A = 70 maka: ∑ 243 ̅ = + ∑ = 70 + 50 = 70 + 4,86 = 74,86 Jadi nilai rata-rata adalah 74,86. Untuk memudahkan pembahasan lebih lanjut tentang penghitungan rataan, akan digunakan contoh Lembar Aktifitas Siswa (LAS), seperti berikut ini. LAS II 1). Mean data tunggal Perhatikan gambar berikut: Gambar 6. Grafik Jumlah Pengunjung http://blog.ub.ac.id/aguswahyuprasetyo/files/2012/03/1.jpg Hitunglah rataan jumlah pengunjung dari data tersebut (dibolehkan menggunakan kalkulator)! 2). Mean dari data berbobot (data tunggal berfrekuensi) 172

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Kamu tentu sudah mengetahui konsep dasar mean (mean untuk data tunggal), yaitu jumlah total seluruh data dibagi banyaknya data, atau secara matematika ditulis = ∑ Jika data yang akan dihitung mean-nya adalah data banyaknya saudara kandung yang sudah kamu buat tabelnya di LAS I no 1b, bagaimanakah cara menghitungnya? Berapa nilai meannya? Bagaimana penulisan rumusnya? 3). Mean dari data berkelompok a. Sekarang perhatikan tabel disribusi frekuensi untuk data berkelompok tentang penjualan harian (dalam persen) dari penjualan produk makanan di bawah ini. Bagaimana menentukan nilai meannya? Persen Frekuensi (f) Penjualan 3 39 – 47 2 48 – 56 6 57 – 65 13 66 –74 11 75 – 83 10 84 – 92 5 93 – 101 = 50 b. Jika kamu masih mengalami kesulitan untuk menentukan nilai meannya, cobalah perhatikan jawabanmu pada poin 1 di LAS II ini, bukankah kamu melakukan perkalian antara nilai frekuensi dengan nilai datum sebelum kamu menjumlahkannya? Demikian pula pada data berkelompok ini, kamu juga perlu menentukan sebuah datum (di dalam interval kelas) yang akan dikalikan dengan frekuensi. Bagaimana menentukan datum tersebut? Apakah datum tersebut adalah nilai batas bawah atau batas atas dari setiap kelas? Jelaskanlah jawabanmu! Datum yang harus dipilih adalah yang dapat mewakili semua datum yang ada di dalam kelasnya, sehingga datum tersebut adalah datum yang terletak di tengah kelas, datum ini disebut titik tengah (kelas). Selanjutnya, buatlah satu 173

Kapita Selekta Matematika SMA kolom tambahan pada tabel distribusi frekuensi persen penjualan di atas, berisi titik-titik tengah kelas. Dan buatlah satu kolom tambahan lagi berisi hasil perkalian antara titik tengah dengan frekuensi. Sekarang hitunglah nilai meannya. c. Tulislah rumus menghitung mean untuk data berkelompok! Apakah rumusnya sama dengan rumus menghitung mean untuk data berbobot? Apa perbedaannya? Apa yang mungkin dikerjakan siswa di dalam LAS II di atas dan penjelasan tambahan yang perlu diberikan kepada siswa oleh guru dapat dilihat di dalam uraian berikut: 1) Perhitungan ini sangat mudah, dengan menggunakan rumus rataan data tunggal siswa dapat menemukan nilai rataannya. 2) Mean dari data berbobot Dalam pengerjaannya, siswa mungkin ada yang mengerjakan dengan cara manual yaitu menjumlahkan satu per satu datum yang ada kemudian menghitung nilai meannya. Akan tetapi, mungkin juga ada yang mengerjakan dengan cara seperti di bawah ini. Contoh: Nilai rata-rata banyak saudara kandung dari 20 siswa yang telah disajikan dalam tabel berikut ini. Saudara Kandung (x) Banyak Siswa (f) 01 13 28 35 43 Jumlah 20 Tabel distribusi frekuensi ditambah satu kolom lagi untuk kolom fx. Saudara Kandung (x) Frekuensi (f) fx 0 1 0 1 3 3 2 8 16 3 5 15 4 3 12 20 46 Jumlah 174

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Mean = = 2,3 Jadi banyak saudara kandung rata-rata adalah 2,3 orang, dibulatkan menjadi 3 orang. Jika jumlah frekuensi adalah ∑ , dan jumlah hasil perkalian antara nilai datum dengan nilai frekuensi adalah ∑ maka ∑ Mean = ̅ = ∑ 3) Mean dari data berkelompok Langkah-langkah bertahap yang disajikan di LAS II di atas diharapkan dapat mempermudah siswa memahami konsep menghitung mean dari data berkelompok. Langkah-langkah yang dikerjakan siswa adalah sebagai berikut: Penentuan nilai mean dari data persen penjualan harian selama 50 hari untuk penjualan produk makanan yang sudah dikelompokkan seperti berikut. Persen Penjualan Frekuensi (f) 39 – 47 3 48 – 56 2 57 – 65 6 66 –74 13 75 – 83 11 84 – 92 10 93 – 101 5 50 Jumlah Tabel ditambah dua kolom, yaitu kolom titik tengah (x), dan kolom fx. Persen Frekuensi(f) Titik tengah(x) fx Keuntungan 3 43 129 39 – 47 2 52 104 48 – 56 6 61 366 57 – 65 13 70 910 66 –74 11 79 869 75 – 83 10 88 880 84 – 92 5 97 485 93 –101 50 3743 Jumlah 175

Kapita Selekta Matematika SMA Mean = = 74,86. Jadi nilai mean adalah 74,86. Jika jumlah frekuensi adalah ∑ , dan jumlah hasil kali titik tengah dengan frekuensi adalah ∑ maka x   fx f Rumus menghitung mean untuk data berkelompok sama dengan rumus mean untuk data berbobot. Perbedaannya, pada data berkelompok datum x adalah titik tengah kelas. Demikian kira-kira yang dikerjakan peserta didik. 4. Modus Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Suatu data, jika mempunyai satu modus maka disebut unimodal dan bila mempunyai dua modus disebut bimodal. Untuk data tunggal, mencari nilai modus sangat mudah. Untuk data kelompok, mencari nilai modus menggunakan rumus = ++ LMod= tepi bawah kelas modus i = lebar kelas (lebar kelas) d1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Contoh: 1. Tentukan modus dari tabel di bawah ini Nilai Frekuensi 50-54 2 55-59 4 60-64 6 65-69 18 70-74 9 75-79 15 80-84 6 176

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Penyelesaian: Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 – 69, LMod= 64,5, d1 = 18 – 6 = 12, d2 = 18 – 9 = 9, dan i = 69,5 – 64,5 = 5. Mod = ++ 12 = 64,5 + 12 + 9 5 = 67,36 2. Perhatikan tabel di bawah ini, Modus dari data tersebut adalah .... Nilai 41-50 51-60 61-70 71-80 Frekuensi 8 16 4 12 Dari tabel di atas diketahui bahwa modus berada pada kelas interval kedua yaitu pada rentang 51 – 60. LMod = 51 − 0,5 = 50,5 d1 = 16 − 8 = 8 d2 = 16 − 4 = 12 i=5 Mod = ++ 8 = 50,5 + 8 + 12 5 = 50,5 + 2 = 52,5 Untuk memahami lebih mendalam terkait Modus, perhatikan contoh pembelajaran konsep Modus berikut ini: Contoh Pembelajaran Konsep Modus: Mengamati Guru menayangkan/memperlihatkan histogram kepada siswa untuk dicermati. Perhatikan histogram berikut. 10 88 66 2 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5 85,5 90,5 Menanyakan Guru menanyakan kepada siswa: 177

Kapita Selekta Matematika SMA Di dalam frekuensi (interval) yang mana, nilai modus diduga terdapat didalamnya? Dapatkah siswa menentukan, berapa nilai modus pada data tersebut? Mencoba dan Menalar Diharapkan siswa dapat menentukan frekuensi yang diduga terdapat nilai modus di dalamnya, yaitu frekuensi terbesar yang nilainya 10. Diharapkan pula siswa dapat memperkirakan bahwa nilai modus terletak pada pertengahan nilai antara 75,5 sampai dengan 80,5. Jika mereka dapat memberikan jawaban seperti ini, guru perlu menanyakan bagaimana alasannya. Jika siswa masih mengalami kesulitan, guru dapat memberikan penjelasan tambahan bahwa pada data berkelompok, posisi modus memang tidak dapat diketahui secara pasti, tetapi kita dapat menetapkannya dengan perhitungan tertentu dan menganggapnya benar pada suatu titik tertentu. Kemudian guru memberikan pertanyaan pancingan kepada siswa berupa: “dengan kondisi frekuensi-frekensi yang seperti ini, pada titik mana pada kelas modus, yang dapat mewakili semua titik pada kelas modus tersebut, menjadi/sebagai modus”? Dari sini diharapkan siswa dapat mengamati bahwa besar kedua frekuensi sebelum dan sesudah frekuensi kelas modus tersebut adalah sama, selanjutnya guru membimbing siswa hingga mereka dapat memahami bahwa posisi modus yang dianggap tepat, berada di pertengahan antara nilai 75,5 dengan 80,5 sehingga nilai modusnya adalah 75,5 + , , = 78 Guru meminta siswa untuk membentuk kelompok yang terdiri atas kira-kira 4 orang dan lakukan kerja kelompok membehas Lembar Aktivitas Siswa (LAS) di bawah ini. Guru meminta siswa agar mengerjakan perintah-perintahnya dan menjawab pertanyaan-pertanyaannya poin-demi poin secara berurut. Pada pembelajaran berikut ini guru juga berusaha menanamkan sikap toleransi, kerjasama, kerja keras, dan cermat. 178

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA LAS III Perhatikan histogram berikut. 12 10 8 6 2 2 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5 85,5 90,5 1. Untuk histogram yang kedua ini, apakah posisi modus ada di pertengahan antara 75,5 dan 80,5? Jika kamu menjawab ‘tidak’, dimanakah posisinya, bisakah kamu menentukan nilai modusnya? 2. Jika belum bisa, cobalah kembali ke histogram sebelumnya dan perhatikanlah, jika frekuensi sebelum frekuensi terbesar nilainya sama dengan frekuensi sesudah frekuensi kelas modus, maka penetapan yang paling tepat adalah nilai modus terletak di pertengahan antara tepi bawah dan tepi atas dari frekuensi kelas modus. Bagaimana jika frekuensi sebelum dan sesudah frekuensi terbesar tidak sama nilainya? Bukankah perlu perbandingan? 3. Apakah perbandingan tersebut adalah antara nilai frekuensi sebelum frekuensi kelas modus dengan nilai frekuensi sesudah frekuensi kelas modus? Coba jelaskan alasanmu! 4. Ataukah perbandingan tersebut adalah selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya dan selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya? Dengan perbandingan ini, dapatkah kamu menentukan posisi modus di dalam kelas modus dan nilai modusnya? 5. Jika kamu masih mengalami kesulitan, maka lakukanlah dan jawablah pertanyaan berikut ini: a. Hitunglah selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya. b. Hitunglah pula selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya. c. Berapakah lebar interval dengan frekuensi kelas modus? d. Perhatikan gambar di bawah ini 179

Kapita Selekta Matematika SMA 10 d1 12 6 d2 8 22 60,5 65,5 70,5 Mod 85,5 90,5 75,5 80,5 x i-x e. Berdasarkan nalar kecenderungan frekuensi sebelum dan frekuensi sesudah frekuensi modus terhadap frekuensi modus, dapat dibuat persamaan perbandingan yaitu d1 dibanding d2 sama dengan x dibanding (I-x). Selanjutnya, definisikanlah variabel x dalam d1, d2 dan I, kemudian hitunglah nilainya! Apa makna hasil perhitungan ini? f. Berapakah nilai tepi bawah kelas modus? g. Berapakah nilai modusnya? h. Cobalah temukan rumus modus untuk data berkelompok, jika: d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = lebar interval LMod = tepi bawah frekuensi kelas modus Mod = Modus Setelah siswa selesai mengerjakan LAS III tersebut beberapa kelompok tampil mengkomunikasikan hasil kerjanya, misalnya satu kelompok mempresentasikan satu poin atau lebih. Guru memberikan bimbingan, melengkapi dan memberikan penjelasan agar pembelajaran yang berlangsung dapat mencapai kompetensi yang diinginkan. Setelah poin demi poin dari LAS dibahas dan diselesaikan, guru menyimpulkan bersama siswa khususnya terkait pembelajaran modus untuk data berkelompok, bahwasanya modus merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang bisa dicari pada data berkelompok dengan menggunakan perbandingan antara selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya dan selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya. 180

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Dari contoh pembelajaran konsep Modus tersebut, apa yang mungkin dikerjakan siswa di dalam LAS III di atas dan penjelasan tambahan yang perlu diberikan kepada siswa oleh guru dapat dilihat di dalam uraian berikut: Proses berfikir siswa Pada saat proses mengamati, siswa mengamati histogram dengan bentuk normal dan besarnya frekuensi pada setiap kelasnya. Dengan pemahaman tentang modus di data tunggal tentu siswa akan mudah dapat memperkirakan bahwa modus untuk data berkelompok akan terdapat pada kelas yang frekuensinya paling besar. Akan tetapi, ketika siswa diminta untuk menentukan nilai modusnya, siswa akan melakukan proses berpikir untuk menemukan jawabannya. Boleh jadi mereka akan segera menemukan bahwa nilai modus berada di posisi pertengahan antara 75,5 sampai 80,5. Hal ini mereka dapatkan karena posisi di tengah kelas dapat mewakili seluruh titik di dalam kelas, yang memungkinkan sebagai modus (dengan ukuran frekuensi yang sama antara sebelum dan sesudah frekuensi terbesar, mungkin belum terpikir oleh mereka bahwa ukuran kedua frekuensi tersebut akan mempengaruhi posisi modus di dalam kelasnya). Akan tetapi boleh jadi pula mereka mengalami kebingungan untuk menentukan posisi modusnya. Ketika siswa mengalami kesulitan untuk dapat menjawab pertanyaan berikutnya, guru memberikan bantuan secara tidak langsung atau melakukan bimbingan agar siswa dapat mengoptimalkan kemampuan daya pikirnya di dalam memahami konsep modus. Untuk kegiatan mencoba atau praktik yang perlu dilakukan siswa, guru memberikan histogram lain yang ukuran frekuensi sebelum dan sesudah frekuensi kelas modusnya tidak sama tetapi dengan perbandingan yang sederhana (agar siswa tidak terlalu sulit menemukan modusnya dan dapat lebih mudah memahami konsep dasar modus data kelompok). Diharapkan, siswa akan berpikir mencari posisi modus dengan memperhatikan perbandingan antara frekuensi sebelum dan sesudah frekuensi kelas modus. Namun, untuk menentukan nilai modus pada histogram yang kedua ini, tidaklah mudah bagi siswa (kecuali mungkin bagi siswa yang ekstra cerdas). Untuk itu tahap-tahap bimbingan untuk mencapainya perlu dilakukan. Tahap-tahap ini harus dilalui siswa secara berurut sehingga siswa akan lebih mudah memahami konsep secara utuh. Ketika memasuki konsep perbandingan, pembahasan tidak langsung pada perbandingan yang tepat atau yang diinginkan, melainkan siswa diajak dulu untuk berorientasi pada perbandingan yang lain. Hal ini penting untuk menguatkan konsep 181

Kapita Selekta Matematika SMA modus yang harus dipahami siswa. Untuk poin 3, terkait dengan perbandingan yang lain tersebut, jika siswa masih mengalami kesulitan/kebingungan atau menjawab ‘tidak’ dengan atau tanpa alasan, mereka bisa langsung masuk ke poin 4. Namun, jika siswa berhasil menentukan modus dengan menggunakan perbandingan ini, kemungkinan yang terjadi adalah sebagai berikut: 10 12 8 6 2 2 fb fs 60,5 65,5 70,5 Mod 85,5 90,5 75,5 80,5 x i-x Dari gambar di atas ini, perbandingan yang terbentuk adalah = Atau jika variabel x disatukan akan menjadi = fb = frekuensi sebelum frekuensi kelas modus = sehingga fs = frekuensi frekuensi sesudah kelas modus. Bila nilai-nilai yang ada dimasukkan maka hasilnya akan menjadi = 2,2. Posisi modus di dalam kelas modus adalah 2,2 satuan dari tepi bawah kelas modus. Sehingga nilai modusnya adalah + = 75,5 + 2,2 = 77,7. Jika langkah seperti ini yang dipahami siswa, maka guru perlu menjelaskan bahwa penggunaan perhitungan perbandingan untuk menentukan posisi modus dengan cara seperti ini sulit untuk dapat diterima, sebab untuk menentukan posisi modus yang harus dibandingkan adalah kecenderungan frekuensi sebelum frekuensi kelas modus terhadap frekuensi kelas modus dengan kecenderungan frekuensi sesudah kelas modus terhadap frekuensi kelas modus, dan bukan perbandingan antara frekuensi sebelum frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudah frekuensi kelas modus. Pada poin 4 siswa diajak untuk mempertimbangkan perbandingan yang berbeda, diharapkan siswa dapat menemukan argumentasi yang lebih kuat di dalam menentukan nilai modus. 182

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Selanjutnya perhitungan yang dilakukan siswa adalah = 12 − 10 = 2 dan = 12 − 8 = 4 Lebar interval i = 80,5 – 75,5 = 5 sehingga = =+ 2 = 2 + 4 (5) = 1,67 Posisi modus di dalam kelas modus adalah 1,67 satuan dari tepi bawah kelas modus. Tepi bawah kelas modus = 75,5 dan nilai modusnya adalah75,5 + 1,67 = 77,17. Nilai modus pada poin 4 ini berbeda dengan nilai modus pada poin 3, nilai modus pada poin 4 inilah yang tepat. Dengan notasi yang telah didefinisikan, diharapkan siswa dapat merumuskan perhitungan penentuan nilai modus berupa Mod = + Demikian kira-kira pengalaman belajar yang dialami peserta didik. 5. Median Untuk data tunggal, , , … , dengan ≤ ≤ ⋯ ≤ nilai mediannya adalah;  Untuk n ganjil, ( ) = 12( +1)  Untuk n genap, Contoh: ( ) = 1 ( (2) + 12( +1)) 2 Tentukan median dari data berikut. 67 86 77 92 75 70 63 79 89 72 83 74 75 103 81 95 72 63 66 78 88 87 85 67 72 96 78 93 82 71 Penyelesaian: Dengan mengurutkan data, diperoleh 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103 ( )= 1 = 78 + 2 (78 − 78) = 78 Untuk data kelompok, rumus yang diigunakan adalah = + Me = Median, LMe = Tepi bawah kelas Median, fK = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median, fMe = Frekuensi kelas median dan i = interval kelas Contoh: 183

Kapita Selekta Matematika SMA Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. Nilai f 31-35 1 36-40 2 41-45 3 46-50 7 51-55 12 56-60 10 61-65 5 Penyelesaian: Nilai f fK 31-35 1 1 36-40 2 3 41-45 3 6 46-50 7 13 51-55 12 25 56-60 10 35 61-65 5 40 Karena cacah datanya adalah 40, maka median terletak diantara data ke-20 dan data ke-21. Diperoleh kelas yang mengandung median adalah 51 – 55. Dengan demikian LMe= 50,5; i= 5; fK= 13; fMe= 12. 20 − 13 = 50,5 + 5 12 = 53,42 E. AKTIVITAS PEMBELAJARAN Aktivitas 1: Diskusikan dalam kelompok untuk meyelesaikan masalah di bawah ini. Jika sudah selesai, satu atau beberapa kelompok mempresentasikan dan mendiskusikannya secara klasikal. 1. Jika 30 siswa kelas XI A1 mempunyai nilai rata-rata 6,5; 25 siswa kelas XI A2 mempunyai nilai rata-rata 7; dan 20 siswa kelas XI A3 mempunyai nilai rata-rata 8, tentukan rata-rata nilai tujuh puluh lima siswa kelas XI tersebut. 184

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 2. Pada suatu ujian matematika, nilai rataan hitung 38 siswa adalah 51. Jika nilai Rahman digabungkan maka nilai rataan hitungnya menjadi 52. Tentukan nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman. 3. Nilai ujian psikotest peserta seleksi pegawai di suatu BUMN diperlihatkan dalam tabel berikut. Jika peserta yang dinyatakan lulus hanya peserta yang nilainya lebih besar sama dengan nilai rata-rata, maka banyak peserta yang lulus adalah .... Nilai Ujian Frekuensi 44 52 66 78 8 18 9 12 Aktivitas 2: Pada suatu perusahaan, diketahui gaji sepuluh orang karyawannya adalah sebagai berikut: Karyawan Gaji (Rp) A 20.000.000 B 7.500.000 C 7.500.000 D 7.000.000 E 7.000.000 F 6.500.000 G 6.500.000 H 6.000.000 I 6.000.000 J 6.000.000 Tentukan mean, modus, dan median dari gaji karyawan tersebut. Selanjutnya tentukan ukuran pemusatan yang paling tepat untuk menggambarkan gaji karyawan perusahaan tersebut. Jelaskan alasan Anda. 185

Kapita Selekta Matematika SMA Aktivitas 3: Diskusikan dalam kelompok tiga masalah berikut ini: 1. Empat bilangan ganjil diketahui mempunyai mean 8, modus 13, dan median 11. Tentukan keempat bilangan ganjil tersebut. 2. Buatlah sekelompok data yang mempunyai median dan modus sama, sedangkan nilai mean adalah 7 lebihnya dari masing-masing median dan modus. 3. Buatlah sekelompok data yang mempunyai modus 5, nilai median lebih besar dari modus, dan nilai mean adalah yang terbesar diantara median dan modus. Aktivitas 4: Berikan penjelasan tentang pengertian nilai pencilan (outlier). Apakah mean atau median yang merupakan ukuran pemusatan yang lebih tepat untuk sekelompok data yang memuat nilai pencilan? Jelaskan dengan memberikan contoh kasus. Aktivitas 5: Berikan contoh sekelompok data sedemikian hingga mean bukan merupakan ukuran pemusatan yang tepat untuk sekelompok data tersebut. Jelaskan alasan Anda. Aktivitas 6: Tentukan nilai mean dan median dari lima bilangan cacah berurutan. Apakah kesimpulan yang dapat Anda buat? Apakah kesimpulan tersebut juga berlaku untuk situasi enam bilangan cacah berurutan? Jelaskan alasan Anda. F. RANGKUMAN Ukuran pemusatan terdiri atas Mean (Rataan, Rerata, Rata-rata), Modus (nilai yang paling sering muncul) dan Median (nilai tengah). Cara lain untuk menghitung nilai Mean adalah dengan menggunakan rata-rata sementara. Penghitungan Mean, Modus dan Median untuk data tunggal berbeda dengan penghitungan Mean, Modus dan Median untuk data kelompok. 186

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA G. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK Pada bagian ini, Anda harus lebih banyak bertanya pada diri sendiri mengenai berbagai hal yang sudah Anda dapatkan selama mengikuti kegiatan dalam modul ini dan juga di kelas, antara lain:  Apa yang sudah saya pelajari?  Materi apa yang belum saya pahami?  Apakah semua materi sudah saya pahami dengan baik?  Kesulitan terbesar apa yang saya alami untuk memahami materi?  Apakah semua aktivitas sudah saya lakukan?  Apakah semua aktivitas dan tugas dapat saya selesaikan?  Apakah manfaat pengetahuan dan keterampilan yang sudah saya dapatkan? Terhadap pemahaman materi, Anda dapat kembali merujuk pada apa yang telah diuraikan pada bagian Uraian Materi. Anda dapat meminta bantuan rekan sejawat Anda untuk mengoreksi dan memberikan penilaian pada jawaban aktivitas Anda. Jika Anda masih kesulitan memahami materi pada kegiatan pembelajaran ini, jangan menyerah dan teruslah memperbanyak membaca referensi. Silahkan mengidentifikasi kesulitan Anda kemudian mencari penyelesaiannya dengan membaca ulang modul ini, bertanya kepada fasilitator dan rekan sejawat di sekolah. DAFTAR PUSTAKA Hirsch, Christian R., James T. Fey, Eric W. Hart, dkk, 2008, Core Plus Mathematics: Contemporary Mathematics in Context, Columbus, OH: McGraw-Hill Companies Inc. Kemdikbud, 2019, Pendidikan di Indinesia Belajar dari PISA 2018, Jakarta: Kemdikbud Lynch, Chicha, Eugene Olmsted, dan Kenneth De Forest-Davis, 2006, MathMatters: An Integrated Program, Columbus, OH: McGraw-Hill Companies Inc. OECD. (2018). PISA 2021 Mathematics Frame Work. OECD Sapon Suryopurnomo, 2018, Modul Pelatihan Mata Pelajaran Ganda Jenjang Matematika SMA: Statistika, Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Sapon Suryopurnomo dan Pradnyo Wijayanti, 2018, Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA: Kombinatorika, Peluang, dan Statistika, Yogyakarta: PPPPTK Matematika. 187

Kapita Selekta Matematika SMA Siagian , D., & Sugiarto. (2000). Metode Statistika : untuk Bisnis dan Ekonomi . Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Walpole, R. (1997). Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Weiss, Neil A., 2012, Introductory Statistics, Boston, MA: Pearson Education Inc. 188

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 189