TRIKS & TIP JITU MATEMATIKA MA-SMA

1

KATA PENGANTAR Puji syukur kami haturkan ke hadirat Allah SWT atas limpahan rahmat serta hidayah- Nya sehingga penulis di beri kesempatan, kemauan dan kemampuan merampungkan tulisan yang berisi tentang koleksi berbagai tips dan trik jitu dalam menyelesaikan soal- soal ujian nasional bidang studi matematika. Motivasi yang mendorong penulis untuk memperkaya khasanah keilmuan dalam menaklukkan soal-soal ujian nasional, di ilhami oleh keprihatinan akan reaksi yang berlebihan atas di jadikannya hasil ujian nasional sebagai salah satu prasyarat kelulusan siswa. Tidaklah sepatutnya ujian nasional perlu ditakuti. Dalam buku ini, penulis ingin menunjukkan bahwa soal-soal ujian nasional bisa diselesaikan dengan mudah, cepat dan tidak membutuhkan proses yang bertele-tele. Seperti kata pepatah “tak ada gading yang tak retak”, penulis menyadari penulisan buku ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik dari pembaca akan kami terima dengan tangan terbuka. Penyusun 2

DAFTAR ISI HALAMAN 1 NO MATERI 7 1 Persamaan Kuadrat 9 2 Pertidaksamaan kuadrat 15 3 Eksponen & Akar 19 4 Logaritma 23 5 Fungsi Kuadrat 28 6 Fungsi Komposisi dan Invers 32 7 Sistem Persamaan Linier 36 8 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung 41 9 Suku Banyak 47 10 Logika 53 11 Statistika 60 12 Peluang 71 13 Trigonometri 80 14 Dimensi Tiga 86 15 Limit 95 16 Turunan 108 17 Integral 115 18 Program Linier 122 19 Matriks 130 20 Vektor 137 21 Transformasi Geometri 22 Barisan dan Deret 3

1. PERSAMAAN KUADRAT A. PENGERTIAN Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum: ax2 + bx + c = 0, dengan a, b dan c adalah konstanta dan a  0. B. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT Ada tiga cara, yaitu: 1. Faktorisasi 2. Melengkapkan kuadrat 3. Rumus abc C. DISKRIMINAN (D) D = b2 – 4ac Kegunaan nilai Diskriminan (D) untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat 1. Jika D > 0 maka kedua akar persamaan kuadratnya bilangan real dan berlainan (x1 ≠ x2) 2. Jika D < 0 maka kedua akar persamaan kuadratnya bilangan imajiner 3. Jika D = 0 maka kedua akar persamaan kuadratnya bilangan real & sama (x1 = x2) D. RUMUS –RUMUS Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2 + bx + c = 0, maka berlaku: 1. x1 + x2 = - b 6. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1 x2 a c 7. x12 - x22 = (x1 + x2) (x1 - x2) 2. x1 · x2 = a 3. x1 - x2 =  D 8. x1 - x2 = m → D = (am)2 a 4. 1  1  D 9. x1 = nx2 → nb2 = (n + 1)2 ac x1 x2 c 5. 1  1  x1  x2 x1 x2 x1x2 E. JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT No Uraian Keterangan Akar Syarat 1 Kedua akar positif x1  0, x2  0 Jumlah Hasil Kali Diskriminan x1  0, x2  0 2 Kedua akar negatif x1  0, x2  0 atau x1  x2  0 x1.x2  0 D  0 x1  0, x2  0 x1  x2  0 x1.x2  0 D  0 3 Kedua akar - x1.x2  0 D  0 berlainan tanda 4 Kedua akar x1  x2 x1  x2  0 x1.x2  0 D  0 berlawanan, b = 0 5 Kedua akar x1  1 - x1.x2  1 D  0 berkebalikan, a = c x2 4

F. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT 1. Jika diketahui akar-akar suatu persamaan kuadrat (misalnya x1 & x2), maka bentuk persamaan kuadratnya bisa dicari dengan cara: a. (x - x1) (x - x2) = 0 b. x2 – (x1 + x2)x + x1· x2 = 0 2. Cara praktis menyusun persaman kuadrat baru Pedoman : invers-kan akar-akarnya ” + ” invers-nya ” - ” ” - ” invers-nya ” + ” ” x ” invers-nya ” : ” Misalnya, Akar-akar persamaan kuadrat (PK) lama adalah x1 & x2. Akar-akar persamaan kuadrat (PK) baru adalah  &  . No Keterangan Akar-akar PK baru Invers PK baru 1 k kurangnya  = x1 – k,  = x2 – k x+k 2 k lebihnya  = x1 + k ,  = x2 + k x–k a (x + k)2 + b (x + k) + c = 0 3 p kalinya  = px1 ,  = px2 a (x – k)2 + b(x – k) + c = 0 x 4 berkebalikan = 1 ,  = 1 p a  x  2 + bx + c = 0 atau x1 x2 p p 5 kuadratnya - 6 Gabungan p  = x12 ,  = x22 a x2 + bp x + cp2 = 0  = px1 – k, kalinya & k  = px2 – k c x2 + b x + a = 0 kurangnya  = px1 + k, - a2 x2 - (b2 - 2ac) x + c2 = 0 7 Gabungan p  = px2 + k kalinya & k xk  x  k  2  x  k  lebihnya p p p a + b +c=0 atau a (x + k)2 + bp (x + k) + cp2 = 0 xk  x  k  2  x  k  p p p a + b +c=0 atau a (x - k)2 + bp (x - k) + cp2 = 0 Contoh 1. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2  5x  3  0 adalah …. (UN D-12 2008-2009) a. -1 dan 3 b. 1 dan -3 c.  1 dan 3 d. 1 dan -3 e.  1 dan -3 2 2 2 Jawabannya 2x2  5x  3  0 2 ∙ -3 = - 6 -6 ∙ 1 = -6 -6 1 -6 + 1 = -5 5

x1 =  6 = -3 & x2 = 1 ( D ) 22 2. Akar-akar persamaan 2x2 – 6x + 2m -1 = 0 adalah  dan  .Jika  = 2  , maka nilai m adalah……. (UN D-10 2008 – 2009) a. 3 b. 5 c. 3 d. 2 e. 1 22 32 Jawaban Rumus: x1 = nx2 → nb2 = (n + 1)2 ac 2x2 – 6x + 2m -1 = 0  =2 a = 2; b = -6; c = 2m – 1 n=2 2(-6)2 = (2 + 1)2 ∙ 2(2m – 1) 2 ∙ 36 = 9 ∙ 2(2m – 1) 4 = 2m – 1 m= 5 (B) 2 3. Batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat x2 + mx + (m + 3) = 0 mempunyai akar real adalah …….. (UN P5 2002/ 2003) a. –2  m  6 b. –6  m  2 c. m  6 atau m  -2 d. m  2 atau m  -6 e. m  -6 atau m  -2 Jawaban b2 – 4ac ≥ 0 x2 + mx + (m + 3) = 0 m2 - 4∙1∙(m + 3) ≥ 0 m2 - 4m - 12 ≥ 0 a = 1; b = m; c = m + 3 (m – 6) (m + 2) = 0 akar real → D ≥ 0 m = 6 atau m = -2 Oleh karena tanda pertidaksamaannya “≥ “ maka batas nilai m-nya adalah m  6 atau m  -2 ( C ) 4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2  2x 1  0 adalah  dan  . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 3 adalah …. (UN D.11 2007/2008) a. x2  2x  3  0 b. x2  3x  2  0 c. x2  2x  3  0 d. x2  2x  3  0 e. x2  3x  2  0 Jawaban → p=3 Rumus: ap0x2 + bp1x + cp2 = 0 Perhatikan, angka 3 dari 3 dan 3 3x2  2x 1  0 30∙3x2 - 31∙2x + 32∙1 = 0 3x2 - 6x + 9 = 0 x2 - 2x + 3 = 0 ( A ) 5. Jika p dan q adalah kar-akar persamaan x2  5x 1  0 , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 p 1 dan 2q 1 adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. x2 10x 11  0 b. x2 10x  7  0 c. x2 10x 11  0 d. x2 12x  7  0 e. x2 12x  7  0 6

Jawaban Rumus: ap0 (x - k)2 + bp1 (x - k) + cp2 = 0 Akar-akarnya ditulis: 2x + 1 Invers dari 2x + 1 adalah x 1 → k = 1; p = 2 2 x2  5x 1  0 20(x - 1)2 - 5∙21 (x - 1) - 1∙22 = 0 x2 – 2x + 1 – 10x + 10 – 4 = 0 x2 – 12x + 7 = 0 ( D ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. AKAR-AKAR PERSAMAAN e. 2x2 - 2x – 1 = 0 KUADRAT 2. Jika x dan x adalah akar-akar persamaan 1. Persamaan 2x2 + 2x + (q – 1) = 0 kuadrat 3x2 – x – 5 = 0, persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4 maka nilai q = ….. (UN P3 2001/ baru yang akar-akarnya 3x1 + 1 dan 3x2 + 2002) 1 adalah ……. (UN D10 2004/ 2005) a. 2 b. –5 c. 4 d. –3 e. –2 a. x2 + x – 15 = 0 b. x2 - x + 15 = 0 2. Akar-akar persamaan kuadrat c. x2 + 3x + 13 = 0 d. x2 - 3x + 13 = 0 2x2  mx 16  0 adalah  dan  . Jika e. x2 - 3x – 13 = 0  = 2  dan  ,  positif, maka nilai m 3. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) x2 – x + 2 = 0, persamaan kuadrat baru a. -12 b. -6 c. 6 d. 8 e. 12 3. Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2x1 - 2dan 2x2 – 2 x2  (a 1)x  2  0 adalah  dan  . adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 A paket Jika  = 2  dan a > 0 maka nilai a = …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 16) a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8 4. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + a. 8x2 + 2x + 1 = 0 b. x2 + 8x + 2 = 0 16 = 0 adalah  dan  . Jika  = 2  dan  positif, maka nilai m = … (UN D10 c. x2 + 2x + 8 = 0 d. 8x2 - 8x - 2 = 0 2011 paket 12) A. - 12 B. - 6 C. 6 D. 8 E.12 e. x2 - 2x + 8 = 0 B. DISKRIMINAN 4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu 1. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat kurangnya dari akar-akar persamaan x2 – 3x – 5 = 0 adalah ……. (UN D9 2006/ 2x2 – 9x + c = 0 ialah 121, maka nilai c sama dengan ……… (UN P3 2001/ 2002) 2007 B paket 49) b. x2 – x – 1 = 0 a. –8 b. –5 c. 2 d. 5 e. 8 a. x2 – 5x – 7 = 0 d. x2 – x – 7 = 0 c. x2 – 5x – 3 = 0 C. MENYUSUN PERSAMAAN e. x2 – 5x – 1 = 0 KUADRAT 5. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua 1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (1 - kali akar-akar persamaan 5x2 – 2x – 1 = 0 3 ) dan (1 + 3 ) adalah …… (UN P3 adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 paket 2003/ 2004) 71) b. 5x2 – 4x + 4= 0 a. x2 + 2x – 2 = 0 b. x2 - 2x – 2 = 0 a. 5x2 – 4x – 4= 0 d. 5x2 + 4x – 4= 0 c. x2 - 2x + 2 = 0 d. 2x2 + 2x – 1 = 0 c. 5x2 + 4x + 4= 0 e. 5x2 + 4x – 1= 0 6. Persamaan kuadrat x2 - 3x - 2 = 0 akar- akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah …. (UN D10 2011 paket 46) A. x2 - 11 x - 8 = 0 B. x2 – l1 x - 26 = 0 C. x2 - 9x - 8 = 0 7

D. x2 + 9x - 8 = 0 E. x2 - 9x - 26 = 0 7. Akar-akar persamaan 3x2 – 12x + 2 = 0 adalah  dan  . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan (  + 2) adalah….. (UN D10 2011 paket 12) A. 3x2 – 24x + 38 = 0 B. 3x2 + 24x + 38 = 0 C. 3x2 – 24x – 38 = 0 D. 3x2 – 24x + 24 = 0 E. 3x2 – 24x – 24 = 0 D. SOAL CERITA 1. Sebuah hiasan dinding yang berbingkai mempunyai ukuran luar bingkai 45 cm x 36 cm. Jika luas hiasan dinding 1.036 cm2 dan lebar bingkai sama, maka lebar bingkai itu adalah …… (UN P3 2005/ 2006) a. 2 cm b. 3 cm c. 4 cm d. 5 cm e. 6 cm 2. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2. Jika perbandingan panjang dan lebarnya sama dengan 5 berbanding 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah … (UN P11 2005/ 2006) a. 9 m b. 3 41 m c. 6 41 m d. 9 41 m e. 81 m 3. Suatu area berbentuk persegi panjang, ditengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m. Disekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut adalah …… (UN P11 2005/ 2006) a. 24 m2 b. 54 m2 c. 68 m2 d. 108 m2 e. 124 m2 5

2. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN d. Jika a > 0 maka a·b > 0 b a. Jika a > b > 0 maka 1 < 1 ab e. Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d f. Jika a > b dan b > c, maka a > c b. Jika a < 0 maka a·b < 0 b c. Jika a > b, maka : a + c > b + c dan a – c > b – c a·p > b·p, untuk p > 0 a·p < b·p, untuk p < 0 B. PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK 1. Definisi harga mutlak: x, untuk x ≥ 0 |x| -x, untuk x < 0 2. Sifat-sifat c. | x + y | ≤ | x | + | y | a. | x |∙| y | = | x ∙ y | x x d. | x - y | ≥ | x | - | y | b. = yy 3. Penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak a. | x | < a  -a < x < a b. | x | > a  x < - a atau x > a c. | x | < k | y | x Harga mutlak di buat “ + ” dan “ – “ d. < k (x + ky) (x – ky) < 0 y e. x < k y Untuk tanda “ > “ pada bagian c, d, dan e mengikuti tanda “ < “ C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT + a. Bentuk umum 1. ax2 + bx + c > 0 atau ax2 + bx + c > 0 2. ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c < 0 b. Langkah penyelesaian 1. ax2 + bx + c > 0; syarat → a > 0 (x – p) (x – q) = 0 p p• - • Pengingat: anak kalau sudah besar ( > ) diumbar q q Himpunan penyelesaiannya adalah x < p atau x > q 2. ax2 + bx + c < 0; syarat → a > 0 (x – p) (x – q) = 0 6

p p• -q • Pengingat: anak kalau masih kecil ( < ) dikempit q Himpunan penyelesaiannya adalah p < x < q E. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR 1. Bentuk umum: a. f (x) < a b. f (x) > a 2. Langkah penyelesaian a. f(x) ≥ 0 b. Kuadratkan kedua ruas lalu cari penyelesaiannya c. Himpunan penyelesaiannya ádalah irisan dari langkah ke-1 dan ke-2 Contoh 1. Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0, x Є R adalah …. (UN D-11 2008/2009) a. {x | x < 3 atau x > 7 ; x Є R} b. {x | x < -7 atau x > 3 ; x Є R} c. {x | -7 < x < 3 ; x Є R} d. {x | -3 < x < 7 ; x Є R} e. {x | 3 < x < 7 ; x Є R} Jawaban x2 – 10x + 21 < 0 ( x – 7 ) ( x – 3) = 0 x = 7 atau x = 3 Oleh karena lambang pertidaksamaannya ”<”, maka Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 3 < x < 7 ; x Є R} ( E ) 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 12 – x – x2 < 0 adalah……….. (UN D-12 2009/ 2010 B) a. x x  4 atau x  3 b. x x  3 atau x  4 c. x x  4 atau x  3 d. x  3  x  4 e. x  4  x  3 Jawaban 12 – x – x2 < 0 ruas kiri-kanan di kali dengan -1 x2 + x – 12 > 0 (x + 4) (x – 3) = 0 x = -4 atau x = 3 Oleh karena lambang pertidaksamaannya ”>”, maka Himpunan penyelesaiannya adalah x x  4 atau x  3 ( A ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT e.  6  x  2 1. Nilai x yang memenuhi 2. Penyelesaian dari x2  7x 10  0 adalah x2  4x 12  0 adalah …. (UN D.11 ...... (UN D.12 2007/2008) 2007/008) a. x x  5 atau x  2  a. x  2 atau x  6 b. x x  2 atau x  5  b. x  6 atau x  2 c. x x  2 atau x  5  c.  2  x  6 d. 2  x  6 7

d. x  5  x  2  e. x 2  x  5  3. Himpunan penyelesaian dari x2  2x  8  0 adalah …. (UN D-12 2008-2009) a. {x | x  -4 atau x  2} b. {x | x  2 atau x  2} c. {x | -4  x  2} d. {x | -2  x  4} e. {x | 2  x  4} 4. Himpunan penyelesaian dari x2 10x  21  0, x  R adalah…. (UN D- 11 2009 – 2010 A) a. x x  3 ataux  7 : x  R b. x x  -7 ataux  3 : x  R c. x  7  x  3 : x  R d. x  3  x  7 : x  R e. x 3  x  7 : x  R 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 + 3x – 40 < 0 adalah….. (UN D-12 2009/ 2010 A) a. x  8  x  5 b. x  8  x  5 c. x  5  x  8 d. x x  5ataux  8 e. x x  8ataux  5 B. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR 1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > x  6 , x R adalah …… (UN P3 2001/ 2002) a. {x  -2 < x < 3, x R} b. {x  x < -3 atau x > 2, x R} c. {x  -6 < x < -2 atau x > 3, x R} d. {x  x < -2 atau x > 3, x R} e. {x  x < -6 atau -2 < x < 3, x R} 8

3. PANGKAT & AKAR A. PANGKAT RASIONAL a) Pengertian pangkat : an = a x a x a x … x a n faktor ● n  Bilangan Bulat Positif dimana: ● a  Bilangan Riil, b) Notasi pangkat: ● c adalah hasil perpangkatan an = c dimana: ● a adalah bilangan pokok (basis) ● n adalah pangkat/ eksponen c) Sifat-sifat pangkat rasional 6. a-n = 1 1. am x an = am+n an 2. am : an = am-n 7. a0 = 1 ; a  0 3. (am)n = amn 8. 00 = tidak terdefinisi 4. (apbq)m = apmbqm 9. 0m = 0 ; m > 0 5.  a p m  a pm 10. a = tidak terdefinisi b q bqm 0 B. BENTUK AKAR (RADIKAL) 1. Pengertian akar : m b. n an  a , a ≥ 0 a. a n  n am , a ≥ 0 2. Operasional Aljabar pada bentuk akar a. Penjumlahan & pengurangan. a c  b c  (a  b) c b. Perkalian  p m a  qm b  pqm ab ● ( a  b)( a  b)  a  b  ax a  a c. Pembagian  ma = a m mb b d. Merasionalkan Penyebut. Jika pada bagian penyebut ada bentuk akar maka harus dirasionalkan, cara merasionalkan, yaitu:  Bentuk a b a  a x ba ba b b bb b b  Bentuk a b c 9

a  a x b  c  a(b  c) b  c b  c b  c b2  c  Bentuk a b c  a  a x b  c  a b  c b  c b  c b  c bc 3. Bentuk khusus  a. a  b 2 = a  2 ab + b b. a  b  (a  b)  2 a.b , dengan a b C. PERSAMAAN EKSPONEN a. Penyelesaian persamaan eksponen No Bentuk Penyelesaian 1 af(x) = ap f(x) = p 2 (f(x))p = ap f(x) = a 3 af(x) = ag(x) f(x) = g(x) 4 af(x) = bf(x) f(x) = 0 5 af(x) = ag(x) f(x) ∙ log a = g(x) ∙ log b 6 f(x)g(x) = f(x)h(x) Gabungan dari: 1) g(x) = h(x) 2) f(x) = 1 3) f(x) = -1 Syarat: g(x) & h(x) sama-sama bernilai genap atau ganjil 4) f(x) = 0 Syarat: g(x) & h(x) sama-sama bernilai positip b. Rumus praktis  a(px) 2 + b(px) + c = 0 p x1x2 = c a  Am-x + An+x = K x1 + x2 = m - n D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN Jika af(x) > ag(x) maka 1) f(x) > g(x), untuk a > 1 2) f(x) < g(x), untuk 0 < a < 1 Contoh 1. Bentuk sederhana dari  27a 5b 3  1 adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) 35 a 7b5 a. (3ab)2 b. 3(ab)2 c. 9(ab)2 d. 3 e. 9 (ab) 2 (ab) 2 Jawaban 10

 27a 5b 3  1 =  33 a 5b 3  1 35 a 7b5 35 a 7b 5  = 3 a b35 5(7) 3(5) 1  = 32 a2b2 1 = 9 (E) (ab) 2   2. Bentuk sederhana dari 7 1 2 1 2 adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) 3 2 a.  3  3 b.  3  2 c. 3  2 d. 7 2  21 e. 21 7 2 Jawaban   7 1 2 1 2 = 71 2 ∙ 3  2 3 2 3 2 3 2 =  21 7 2 92 = 3 2 ( B) 3. Bentuk sederhana dari 125 - ( 48 - 80 - 12 ) = …. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. 5 - 6 3 b. 5 - 2 3 c. 9 5 - 2 3 d. 9 5 - 6 3 e. 9 5 + 2 3 Jawaban Perhatikan jawaban, bentuk akar yang sering muncul adalah 5 dan 3. 125 : 5 = 25 48 : 3 = 16 80 : 5 = 16 12 : 3 = 4 125 - ( 48 - 80 - 12 ) = 25x5 - ( 16x3 - 16x5 - 4x3 ) = 5 5 - (4 3 - 4 5 - 2 3 ) = 5-2 3 (B) 4. Akar-akar persamaan 234x - 2032x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ……. (UN P11 2005/ 2006) a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Jawaban p→ x1x2 = c Rumus: a(px) 2 + b(px) + c = 0 a 234x - 2032x + 18 = 0 2(3 2x) 2 - 20(32x) + 18 = 0 2(9x) 2 - 20(9x) + 18 = 0 9x1x2 = 18 2 x1 + x2 = 1 ( B ) 5. Jumlah akar-akar persamaan  1 32xx2 = 27 x24x5 adalah ……. (UN D9 2006/ 2007 B 3 paket 49) 11

a. 6 b. 5 c. 0 d. –1 e. –5 Jawaban Rumus: x1 + x2 =  b a  1 32xx2 = 27 x2 4x5 3 3 = 332xx2 3x2 12x15 -3 – 2x + x2 = 3x2 – 12x – 15 2x2 – 10x – 12 = 0 x1 + x2 =  (10) = 5 ( B ) 2 6. Akar-akar persamaan 5x+1 + 52-x = 30 adalah α dan β, maka α + β = …. (UN D-10 2009 – 2010) a. 6 b. 5 c. 4 d. 1 e. 0 Jawaban → x1 + x2 = m - n Rumus: Am-x + An+x = K 5x+1 + 52-x = 30 52-x + 51+ x = 30 m = 2; n = 1 α+β=2–1=1(D) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. SIFAT-SIFAT EKSPONEN D. 4bc7 E. 4c7 a5 a3b 57 1. Bentuk sederhana dari 361212 adalah …. 21 6324 B. MERASIONALKAN PENYEBUT (UN D-10 2009 – 2010 A) BENTUK AKAR 133 1. Bentuk sederhana dari 24 adalah a. 6 4 b. 6 4 c. 6 2 3 7 3 3 ……. (UN P3 2005/ 2006) d.  2  4 e.  3  4 a. –18 - 24 7 b. –18 - 6 7 3 2 7x3 y 4 z 6 = ….. c. 12 + 4 7 d. 18 + 6 7 84x 7 y 1 z 4 2. Bentuk sederhana dari e. 36 + 12 7 (UN D10 2011 paket 12) 2. Bentuk sederhana dari 4(2  3)(2  3) (3  5) x10 z10 z2 A. B. 12x 4 y3 adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 12 y 3 x10 z 5 y3z2 x10 a.  (3  5) b.  1 (3  5) C. D. E. 12 y 3 z 2 4 12z 2 12x 4 c. 1 (3  5) 4 24a 7b2c d. (3  5) 3. Bentuk sederhana dari 6a 2b3c6 adalah e. (3  5) …. (UN D10 2011 paket 46) A. 4c 5 B. 4b C. 4b a3c5 a5c5 a3c 12

3. Bentuk sederhana 5  2 3 (UN D10 1. Bila x1 dan x2 adalah penyelesaian dari 53 3 persamaan 32x+1 – 3x+3 + 7 = 3x – 2 nilai 2011 paket 12) x1 + x2 = …….. (UN P3 2001/ 2002) a. –3 b. –1 c. 1 d. 2 e. 3 A. 20  5 15 B. 23  5 15 2. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 22 22 5 =x2 5x2 1 ; dan x1 > x2, maka nilai C. 20  5 15 D. 20  5 15 25  22  22 dari x1 - x2 = …….. (UN P5 2002/ E. 23  5 15  22 2003) 4. Bentuk sederhana dari 3  3 2  …. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 36 2 3. Penyelesaian dari persamaan 3x+2 + 9x+1 = 810 adalah …… (UN P3 2003/ 2004) a. x = 2 b. x = 3 c. x = 9 (UN D10 2011 paket 46) d. x = -10 atau x = 9 A.  1 (13  3 6) e. x = -9 atau x = 10 23 4. Himpunan penyelesaian dari persamaan B.  1 (13  3 6) 52x+1 – 6 . 5x + 1 = 0 adalah ……… (UN 23 D10 2004/ 2005) C.  1 (11 6) 23 a. {-1, 0} b. {-1, 1 } c. { 1 , 1} 55 d. {-1} e. {1} D.  1 (11 3 6) 5. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 23 9x - 10 3x + 1 = 0. Nilai x1 + x2 = ……. E. 1 (13  3 6) 3 23 (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) C. OPERASI ALJABAR BENTUK a. 2 b. 3 c. 1 d. 0 e. –2 AKAR 2 1. Bentuk sederhana dari 8 + 75 - ( 32 6. Diketahui m dan n adalah akar-akar + 243 ) adalah …. (UN D9 2006/ 2007 persamaan 2x = 12 – 25 – x, dan m > n. A paket 16) Nilai 2m – n = ……. (UN D9 2006/ 2007 a. 2 2 + 14 3 b. -2 2 - 4 3 paket 71) e. -8 a. 4 b. 1 c. –2 d. –4 c. -2 2 + 14 3 d. -2 2 + 4 3 7. Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 22x  6  2x1  32  0 dengan e. 2 2 4 3 x1  x2 , maka nilai dari 2. Bentuk sederhana ( 75 - 50 ) – ( 12 - 2x1  x2  .... (UN D.10 2007/008) 32 ) = …. (UN D9 2006/ 2007 B paket a. 1 b. 1 c. 4 d. 8 e. 16 49) 42 a. 7 3 - 9 2 b. 7 3 - 2 c. 3 3 + 9 2 d. 3 3 - 9 2 E. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN 1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan e. 3 3 - 2 9x2 5x7  (27)x + 1 adalah ……. (UN P3 3. Bentuk 3 24  2 3( 32  2 18) dapat 2005/ 2006) disederhanakan menjadi …. (UN D.10 a. {x -5,5  x  -1} 2007/ 2008) b. {x 1  x  5,5} c. {x 0,5  x  11} a. 6 b. 2 6 c. 4 6 d. {x x  -11 atau x  - 1 } d. 6 6 e. 9 6 2 e. {x x  1 atau x  5,5} D. PERSAMAAN EKSPONEN 13

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen : 92x4   1  x2 4 adalah …. (UN D.10  27  2007/008) a. x  2  x  10  3 b. x  10  x  2  3 c. x x   10 ataux  2   3 d. x x  2ataux  10   3 e. x  10  x  2   3 14

4. LOGARITMA A. LOGARITMA SEBAGAI INVERS DARI PERPANGKATAN a log b  x  b = ax dimana, ● b adalah bilangan yang dilogkan/ numerous, ● a > 0, a ≠ 1, & b > 0, ● c adalah hasil logaritma ● a adalah bilangan pokok / basis, B. SIFAT-SIFAT LOGARITMA Jika a, x & y bilangan real positif dan a  1, maka : 1. a log x + a log y = a log x.y 5. an log am = m 2. a log x - a log y = a log x n y 6. a log x = 1  k log x  0, k 1 x log a k log a , k 3. a log xn = n. a log x 7. a log x . x log y = a log y 4. an log xm = m . a log x 8. (a) a logx = x n C. PERSAMAAN LOGARITMA a. Penyelesaian persamaan logaritma No Bentuk Penyelesaian Syarat 1 a log f (x) a log g(x) f (x)  g(x) f (x)  0, g(x)  0 2 f (x) log p g(x) log p f (x)  g(x) f (x)  0, g(x)  0 f (x)  1, g(x)  1 b. Rumus praktis  a (plog x)2 + b (plog x) + c = 0 b x1 ∙ x2 = p a D. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Jika a log f (x) a log g(x) maka 1) f(x) > g(x), a> 1 2) f(x) < g(x), 0 < a < 1 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 Contoh 1. Jika 2log5 = a dan 5log3 = b, maka 20log45 = …. (UN D-12 2008-2009) a. a  2b b. a  2ab c. 2ab d. 1  2ab e. a  2ab 2a 2a 2a 2a 2a Jawaban Perhatikan 2log5 = a dan 5log3 = b, diantara angka 2, 3, dan 5 yang sering muncul adalah 5 Angka 5 dijadikan pedoman dalam penyederhanaan 15

20log45 = 5 log 45 ; ( 45 : 5 = 9 & 20 : 5 = 4 ) 5 log 20 = 5 log 5  32 5 log 5  22 = 5 log 55 log 32 = 1  2b ( ingat: 5log2 = 1 karena 2log5 = a ) 5 log 55 log 22 1  2 a a = a  2ab ( B ) a2 1 1 + 325 log5 = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) 2. Hasil dari 5 log 625 + 64 log 16 4 19 b. 3 1 c. 4 2 d. 5 1 e. 59 1 333 3 a.  4 24 Jawaban log 4log 51 52 log 53 5 log 625 + 64 log 1 325 log5 51 4 43 42 16 +4 = + + = 4 5 log 5 + 43 log 42 + 452 log 53 1 =-4+ 2+ 3 3 42 = 10  3 1 ( B ) 33 3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …. (UN P11 2005/ 2006) a. 2log 3 b. 3log 2 c. log 2 d. –1 atau 3 e. 8 atau 1 3 2 Jawaban 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x 2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x 2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x 2log (2x+1 + 3) = 2x 22x = 2x+1 + 3 (2 x) 2 – 2(2x) – 3 = 0 (2 x – 3) (2 x + 1) = 0 2 x = 3 atau 2 x = - 1 (tidak terdefinisi) x = 2log 3 4. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log (x + 1) = log (x + 4) + log 4 adalah …….. (UN P5 2002/ 2003) a. x = 5 atau x = -3 b. x = -5 atau x = 3 c. x = 3 d. x = 5 e. x = -5 Jawaban Perhatikan jawaban, angka-angkanya adalah -3, -5, 3, & 5 Pilih mana yang memenuhi persamaannya 16

2 log (x + 1) = log (x + 4) + log 4 log (x + 1)2 = log 4(x + 4) Pilih, x = -3 x=5 log (-3 + 1)2 = log 4(-3 + 4) log (5 + 1)2 = log 4(5 + 4) log 4 = log 4 ( betul) log 36 = log 36 (A) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA 9. Nilai dari 3 log 6 = …. 1. Jika 2log 3 = a, maka 12log 54 = …… (UN (3 log18)2  (3 log 2)2 P3 2003/ 2004) (UN D-10 2009 – 2010 A) a. a  2 b. a  1 c. 3a  2 3a  1 3a  2 a 1 a. 1 b. 1 c. 1 d. 2 e. 8 82 d. 3a  1 e. 3a  2 a2 a4 2. Jika 2log 3 = a, maka 3log 8 = …… (UN B. PERSAMAAN LOGARITMA 1. Diketahui 2 log (a – b) = log a + log b. D10 2004/ 2005) a. a – 3 b. a + 3 c. 3a d. a e. 3 Nilai a = ………. (UN P3 2001/ 2002) 3 a b 3. Jika diketahui alog b = m dan blog c = n a. 1 (3 + 5 ) b. 1 (3 + 3 ) 2 2 maka ablog bc = …. (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) c. 1 (3 + 5 ) d. 1 (3 - 3 ) 4 2 a. m + n b. m . n c. m(1  n) 1 m e. 1 (3 - 5 ) 4 d. n(1  m) e. 1 mn 1 n 1 m 2. Diketahui persamaan xlog (x – 14) – 5 xlog 4. Diketahui 5log 4 = p dan 3log 5 = q maka 2 + 1 = 0, dengan x  1 dan x > 0. Nilai 3log 80 = …. (UN D9 2006/ 2007 B 4x yang memenuhi adalah ……. (UN P3 paket 49) 2005/ 2006) a. 4 b. 8 c. 16 d. 32 e. 64 a. p2 q b. p2 + q c. 2  p pq 3. Akar-akar persamaan d. q(2p + 1) e. pq 2 log2 x  6.2 log x  82 log1adalah 2 p x1 dan x2 . Nilai x1  x2  .... (UN D.10 5. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 75log 2007/2008) a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 20 24 = …. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. 2  b b. 3  a c. 2ab  a 4. Diketahui 2log 12x  4 = 3 Nilai 3x 3ab  b 2ab  a 3a adalah……… (UN D-10 2009 – 2010) d. 2a  b e. 3ab  b a. 15 b. 5 c. 5 d. 3 e. 1 3a 2b 35 5 6. Diketahui 2 log 7  a dan 2 log 3  b , maka 5. Nilai x yang memenuhi persamaan 1 log 2 nilai dari 6 log14 adalah …. (UN D.10 (x2 – 3) - 1 log x = -1 adalah … (UN D10 2 2007/ 2008) 2011 paket 12) a. a b. a  1 c. a 1 A. x = –1 atau x = 3 B.x =1 atau x = -3 ab b 1 a(1  b) C. x = 1 atau x = 3 D. x = 1 saja d. a  1 e. a ab a(1  b) E. x = 3 saja 6. Nilai x yang memenuhi persamaan 21og2 (2x - 2) - 21og (2x - 2) = 2 adalah …. (UN D10 2011 paket 46) 17

A. x = 6 atau x = 2 1 2 B. x = 6 atau x = 3 C. x = 3 atau x = 4 D. x = 3 atau x = 1 1 4 E. x = 4 atau x = 6 C. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: 3log (x2 + 2x – 3)  3log (2x + 1) adalah ……… (UN P3 2003/ 2004) a. {x  -2  x  2} b. {x  x  -2 atau x  2} c. {x  x  -2 atau x > 3} d. {x  x  2} e. {x  x > 3} 2. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …. (UN P11 2005/ 2006) a. x > 6 b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. –8 < x < 6 e. 6 < x < 8 18

5. FUNGSI KUADRAT A. PENGERTIAN: Fungsi yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi 2. Ada dua macam fungsi kuadrat, yaitu: 1. yang bentuk umumnya: f(x) = ax2 + bx + c 2. yang bentuk umumnya: f(y) = ay2 + by + c Secara geometris kurvanya berupa parabola. Y P (xe, ye) Misalnya, persamaan kurvanya y = ax2 + bx + c ye P(xe, ye) : Titik balik/ Puncak x1 x2 X x = xe : sumbu simetri X = xe xe =  b 2a ye : Nilai maksimum/ Minimum ye =  D    4a  x1 dan x2 : titik potong terhadap sumbu-X B. CIRI-CIRI KURVA FUNGSI KUADRAT : 1. Jika a > 0, maka kurva menghadap keatas Jika a < 0, maka kurva menghadap kebawah 2. Tanda b dikaitkan dengan tanda a Tanda b sama dengan tanda a, maka puncak disebelah kiri sumbu-Y Tanda b berbeda dengan tanda a, maka puncak disebelah kanan sumbu-Y 3. Jika c > 0, maka kurva memotong sumbu-Y positip Jika c < 0, maka kurva memotong sumbu-Y negatip Jika c = 0, maka kurva melalui titik (0, 0) 4. Jika D = 0, maka kurva menyinggung sumbu-X Jika D > 0, maka kurva memotong sumbu-X di dua titik Jika D < 0, maka kurva diatas/ dibawah sumbu-X C. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat dapat menggunakan ketentuan berikut: No Rumus yang digunakan Bila diketahui 1 y = ax2 + bx + c 3 titik yang dilalui 2 y = a(x – x1 ) (x – x2 ) x1 & x2 (absis titik potong dengan sumbu-X) dan 1 titik lain 3 y = a (x – p)2 + q Titik balik/ puncak (p, q) dan 1 titik lain D. HUBUNGAN PARABOLA DAN GARIS LURUS a. Ilustrasi: x1 x2 Ada tiga kemungkinan hubungan antara parábola dan garis, 1. Berpotongan 19

2. Menyinggung 3. Tidak berpotongan b. Penggunaan nilai diskriminan (D) untuk mengetahui hubungan parábola dan garis Persamaan parabola: yp = ax2 + bx + c & Persamaan garis lurus: yg = mx + n Dengan hubungan: yp = yg diperoleh ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0 D = (b – m)2 – 4a(c – n) Sehingga untuk: 1. D > 0, mempunyai dua titik potong 2. D = 0, bersinggungan 3. D < 0, tidak berpotongan/ bersinggungan Contoh 1. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. y  x2  2x 1 b. y  x2  2x  3 c. y  x2  2x 1 d. y  x2  2x 1 e. y  x2  2x  3 Jawaban Rumus: y = a (x – p)2 + q (p, q) → titik puncak/ titik balik Titik balik → (1, 2) y = 1(x – 1)2 + 2 Melalui titik → (2, 3) y  x2  2x  3 (B) 3 = a(2 – 1)2 + 2 a=1 2. Perhatikan gambar berikut! Y -4 0 X (-2, -4) Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah adalah …. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) d. y = x2 + 4x e. y = x2 + x a. y = x2 + 4x – 4 b. y = x2 - 4x – 4 c. y = x2 - 4x Jawaban x1 & x2 → absis titik potong dengan sumbu-X Rumus: y = a(x – x1 ) (x – x2 ) y = 1(x – (-4)) (x – 0 ) x1 = -4; x2 = 0 y = x2 + 4x ( D ) Melalui titik → (-2, -4) -4 = a(-2 – (-4)) (-2 – 0) -4 = a(2) (-2) a=1 20

3. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/ detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 100 + 40t – 4t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah …. (UN P11 2005/ 2006) a. 160 m b. 200 m c. 340 m d. 400 m e. 800 m Jawaban Nilai maksimum = D = b2  4ac  4a  4a h(t) = 100 + 40t – 4t2 a = -4; b = 40; c = 100 402  4  (4) 100 Tinggi maksimum peluru =  4  (4) = 1600 1600 = 200 ( B ) 16 4. Grafik fungsi kuadrat f (x)  x2  bx  4 menyinggung garis y  3x  4 . Nilai b yang memenuhi adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. –4 b. –3 c. 0 d. 3 e. 4 Jawaban Rumus: D = (b – m)2 – 4a(c – n) f (x)  x2  bx  4 y  3x  4 a = 1; b = b; c = 4 m = 3; n = 4 Menyinggung → D = 0 (b – 3)2 – 4∙1(4 – 4) = 0 (b – 3)2 = 0 b =3 (D) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT 2. DIKETAHUI TITIK PUNCAK Persamaan parabola pada gambar di atas adalah (UN P3 2003/ 2004) 1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai a.y2 + 8y + 8x + 32 = 0 minimum –2 untuk x = 3 dan untuk b. y2 + 8y + 8x - 32 = 0 c. y2 + 8y - 8x + 32 = 0 x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat d. y2 - 8y + 8x - 32 = 0 itu adalah ….. (UN P3 2001/ 2002) e. y2 - 8y - 8x + 32 = 0 a. f(x) = x2 + 6x + 8 4. Perhatikan gambar! b. f(x) = x2 - 6x + 8 c. f(x) = 2x2 + 12 + 16 d. f(x) = 2x2 - 12x + 16 e. f(x) = 2x2 - 12x – 16 21

Y C. TITIK PUNCAK / TITIK BALIK / NILAI MAKSIMUM / MINIMUM 4 3 1. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + 6x + (a + 4) melalui titik (0, 5). Nilai balik 01 X minimumnya adalah …. (UN P5 2002/ 2003) Persamaan grafik fungsi kuadrat pada a. –4 b.  1 c. 1 d. 4 e. 16 gambar adalah adalah …. (UN D9 2006/ 44 2007 A paket 16) 2. Biaya produksi pada pembuatan x barang a. y = -2x2 + 4x + 3 b. y = -2x2 + 4x + 2 dinyatakan oleh fungsi C(x) = x2 – 10x + c. y = -x2 + 2x + 3 d. y = -2x2 + 4x + 6 80 dalam ribuan rupiah. Biaya minimum e. y = -x2 + 2x - 5 produk tersebut adalah ….. (UN P3 2003/ 2004) B. MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT a. Rp. 80.000,00 b. Rp. 55.000,00 DIKETAHUI TITIK POTONG c. Rp. 25.000,00 d. Rp. 10.000,00 DENGAN SUMBU-X e. Rp. 5.000,00 1. Perhatikan gambar berikut ini. D. HUBUNGAN PARABOLA DAN GARIS Y 1. Jika grafik fungsi f(x) = x2 + px + 5 -3 -2 0 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0 -1/2 X Maka nilai p yang memenuhi adalah…….. (UN D-10 2008 – 2009) Grafik fungsi pada gambar mempunyai a. – 6 b. – 4 c. – 2 d. 2 e. 4 persamaan ……. (UN P3 2005/ 2006) a. y = 2 – 2x + 1 x2 E. PERPOTONGAN PARABOLA DENGAN SUMBU-X DAN SUMBU-Y 2 b. y = 2 + 2x - 1 x2 1. Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + 2 2 x + (a - 1), a ≠ 0 memotong sumbu X di dua 2 titik berbeda. Batas-batas nilai a yang c. y = 2 – 2x - 1 x2 memenuhi adalah …. (UN D10 2011 paket 46) 2 A. a < -1 atau a > 2 d. y = - 1 x2 + 2x - 2 B. a < -2 atau a > 1 C. -1 < a < 2 2 D. -2 < a < 1 e. y = - 1 x2 - 2x - 2 E. -2 < a < -1 2 2. Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4 2. Perhatikan gambar! memotong sumbu X di dua titik. Batas- batas nilai p yang memenuhi adalah … Y (UN D10 2011 paket 12) A. p < -2 atau p >  2 2 5 B. p < 2 atau p > 2 -1 0 2 5 X C. p < 2 atau p > 10 D. 2 < p < 2 Persamaan grafik fungsi kuadrat pada 5 gambar adalah adalah …. (UN D9 2006/ E. 2 < p < 10 2007 B paket 49) b. y = x2 + x + 2 a. y = 2 + x – x2 d. y = x2 - x + 2 c. y = 2 - x – x2 e. y = x2 - x - 2 22

6. FUNGSI KOMPOSISI/ INVERS A. PENGERTIAN DAN NOTASI FUNGSI a. f : A → B adalah suatu fungsi yang memetakan elemen pada himpunan A tepat satu pada himpunan B. b. y = f(x); dibaca y merupakan fungsi dari x. B. FUNGSI KOMPOSISI Jika diketahui fungsi f(x) dan g(x), maka dapat disusun fungsi baru, yaitu: a. (f ○ g) (x) = f(g(x)) b. (g ○ f) (x) = g(f(x)) C. FUNGSI INVERS Jika y = f(x) dan x = g(y), maka g merupakan invers dari f dan f invers dari g. Invers dari f(x) ditulis dengan f –1 (x). D. SIFAT-SIFAT KOMPOSISI FUNGSI INVERS: a. (f -1(x)) -1 = f(x) b. (g ○ f)-1(x) = f -1(x) ○ g –1(x) c. (f ○ g) –1(x) = g –1(x) ○ f -1(x) E. BEBERAPA RUMUS PRAKTIS No. Fungsi Awal (f(x)) Inversnya (f -1(x)) 1. x - a 2. ax + b x+a xb 3. ax2 +bx + c a 4. axn + b 1 (x  D)  b a a 2a 1  x  b  n a 5. ax  b , dengan x   d  dx  b dengan x  a cx  d c cx  a c 6. amx 1 a log x m 7. a log x ax F. RUMUS PRAKTIS 1. f(g(x)) = h(x) f(x) = h(g-1(x)) 2. f(x) = a f-1(a) = x 3. f-1(x) = a f(a) = x 23

Contoh 1. Diketahui f (x)  4x  7 ; x  5 invers dari f adalah f 1(x)  .... (UN D.11 2007/2008) 3x  5 3 a.  5x  7 ; x  4 b. 5x  7 ; x  4 c.  5x  7 ; x   4 d. 5x  7 ; x  3 3x  4 3 3x  4 3 3x  4 3 4x  3 4 e. 7x  5 ; x   3 4x  3 4 Jawaban Rumus: ax  b inversnya  dx  b cx  d cx  a f (x)  4x  7 ; x  5 3x  5 3 f 1(x) = 5x  7 ; x  4 ( angka 4 dan 5 pindah posisi & ganti tanda +/- ) ( B ) 3x  4 3 2. Diketahui fungsi f (x)  3x 1 dan g(x)  2x2  3 . Nilai dari komposisi fungsi (gof )(1) = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 7 b. 9 c. 11 d. 14 e. 17 Jawaban (gof )(1) = g(f(1)) = g(3∙1 – 1) = 2∙22 + 3 = 11 ( C ) 3. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini ! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 1 e. y   1 log x 2 a. y 2 log x b. y  2 log x c. y  2log x d. y 2 log x Jawaban 1 Rumus: amx inversnya a log xm y = 2-x y-1 = 2 log x1 ( D ) 3. Suatu pemetaan f : R R; g: R  R didefinisikan dengan (f  g)(x) = x2 – 14x + 53 dan g(x) = x – 6. Fungsi f(x) adalah …… (UN D10 2004/ 2005). a. f(x) = x2 - 2x – 5 b. f(x) = x2 - 2x + 10 c. f(x) = x2 - 2x – 10 d. f(x) = x2 - 2x + 5 e. f(x) = x2 + 2x + 5 Jawaban Rumus: f(g(x)) = h(x) → f(x) = h(g-1(x)) (f  g)(x) = x2 – 14x + 53 g(x) = x – 6 → g-1(x) = x + 6 24

f(x) = (x + 6)2 – 14 (x + 6) + 53 = x2 + 12x + 36 – 14x – 84 + 53 = x2 – 2x + 5 ( D ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. KOMPOSISI FUNGSI C. 2x  2 x  - 4 D. 7x  18 x  - 4 1. Diketahui fungsi f(x) = x + 6 dan g(x) = x2 x4 x4 – 1, maka (f  g)(x) = ……….. (UN P5 E. 7x  22 x  - 4 x4 2002/ 2003). a. x2 + 5 b. x2 + 7 c. x2 + 35 8. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R d. x2 + 12x + 35 e. x2 + 12x + 7 yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan 2. Diketahui f: R  R, g: R  R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika g(x) = 2x , x ≠ –1. Rumus (g o f) (x) (f  g)(x) = -4, nilai x = ….. (UN D9 2006/ x 1 2007 A paket 16). adalah … (UN D10 2011 paket 46) a. –6 b. –3 c. 3 d. 3 atau –3 e. 6 atau –6 A. 6x , x ≠ –6 B. 5x  5 , x ≠ –1 3. Diketahui f(x) = x2 + 2x – 5 dan g(x) = x – x 6 x 1 2. Bila (f  g)(x) = 3, maka nilai x = ….. C. 6x  10 , x ≠ –2 D. 6x  5 , x ≠ –2 (UN D9 2006/ 2007 B paket 49). 3x  6 3x  6 a. 2 dan 4 b. 2 dan 6 c. –2 dan 4 d. –4 dan –2 e. –4 dan 2 E. 5x  5 , x ≠ –2 3x  6 4. Diketahui f : R R; g : R R dengan rumus f(x) = x – 3 dan g(x) = 2x2 – 5x + B. INVERS FUNGSI 2. Jika (f  g)(x) = -3, maka nilai x = 1. Diketahui f(x) = 2x + 4; g(x) = 2x  5 , dan ……… (UN D9 2006/ 2007 paket 71). x4 a. 1 atau 2 b. –1 atau 2 c. –1 atau –2 h(x) = (g  f -1) (x). dimana f –1 adalah d.  1 atau 2 e. 1 atau 2 22 invers fungsi f. Jika h-1 adalah invers 5. Diketahui f(x) = x2 + 4x - 5 dan g(x) =2x-1. fungsi h, maka rumus fungsi h-1(x) adalah …… (UN P3 2001/ 2002). Hasil dari fungsi komposisi (g of) (x) adalah ………. (UN D-10 2008 – 2009) a. 12x  2 b. 6x  2 c. 12x  2 a. 2x2 + 8x -11 b. 2x2 +8x – 6 x2 x2 x2 c. 2x2 +8x – 9 d. 2x2 + 4x - 6 e. 2x2 + 4x - 9 d. 12x  2 e. 6x  2 x2 x2 6. Diketahui fungsi f (x)  3x  5 dan 2. Diketahui fungsi f(x) = 4x  2 , x  1 , g(x)  4x  2 , x  3 , Nilai komposisi  3x 1 3 6  4x 2 dan f -1 adalah invers dar fungsi f. Nilai fungsi (gof) (2) adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) f -1(-4) = ………….. (UN P5 2002/ 2003) a. 1 b. 1 c. 0 d. 1 e. 8 a.  1 b.  1 c. 1 d. 1 e. 3 42 8 44 8 8 7. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x 1 , x 3. Invers dari fungsi x4 f (x)  3x  2 , x   8 adalah  - 4, maka (f o g)(x) = …. (UN D10 2011 5x  8 5 paket 12) f 1(x)  .... (UN D.10 2007/2008) A. 7x  2 , x  - 4 B. 2x  3 x  - 4 a.  8x  2 b. 8x  2 c. 8x  2 x4 x4 5x  3 5x  3 3  5x d. 8x  2 e.  8  2 3  5x 3  5x 4. Perhatikan grafik fungsi eksponen : 25

Persamaan grafik fungsi invers pada A. y  3x B. y  1 x gambar adalah …. (UN D-10 2008 – 3 2009) 1 D. y  1 x 2 C. y  3 x E. y  2x 9. Perhatikan gambar! a. 2 log x b. -2 log x c. 2log x d. ½log x e. 1 log x 2 5. Diketahui f (x)  9x  4 , x  5 dan fungsi Persamaan grafik fungsi invers pada 6x  5 6 gambar adalah… (UN D10 2011 paket 46) invers dari f(x) adalah f-1(x). Nilai f-1(-2) = …. (UN D-10 2009 – 2010 A) a. 14 b. 17 c. 6 A. y = 3x 1 3 14 21 B. y = 3 log x d.  17 e.  14 C. y = (- 1) x D. y = (- 3)x 14 3 3 6. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen. E. y = (3)-x Persamaan grafik fungsi invers dari grafik C. MENENTUKAN FUNGSI f JIKA fungsi pada gambar adalah …. (UN D-10 FUNGSI g DAN (f ○ g) DIKETAHUI 2009 – 2010 A) 1. Suatu pemetaan f: R  R; g: R  R a. y  log 2x b. y  2log x dengan (g  f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = c. y 2 log x d. y 2 log 2x 2x + 3, maka f(x) = ….. (UN P3 2003/ e. y  22 log 2x 2004) 7. Jika f-1 (x) adalah invers dari fungsi a. x2 + 2x + 1 b. x2 + 2x + 2 c. 2x2 + x + 2 d. 2x2 + 4x + 2 f (x)  2x  4 , x  3, maka nilai f-1 (4) = e. 2x2 + 4x + 1 x3 2. Diketahui (f  g)(x) = 4x3 + 8x2 – 20. Jika g(x) = x3 + 2x2, maka f(x + 8) = …… (UN …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 0 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 P3 2005/ 2006) 8. Perhatikan gambar! a. 4x – 12 b. 4x – 3 c. 4x + 3 Persamaan grafik fungsi inversnya adalah….. (UN D10 2011 paket 12) d. 4x + 12 e. 4x + 27 26

7. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. GRADIEN Gradien adalah arah kemiringan dari suatu garis lurus. Dinotasikan dengan huruf “m” dan besarnya didapat dari nilai tangen sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan sumbu-X positip. Dalam suatu persamaan garis lurus, nilai gradien bisa didapat sebagai berikut: 1. y = mx + c; gradiennya m 2. ax + by + c = 0; gradiennya  a b B. PENGERTIAN PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang mempunyai variabel (peubah) berpangkat satu. No Keterangan Persamaan 3 Melalui (x1, y1) dan bergradien m y  m(x  x1)  y1 4 Melalui (x1, y1) dan (x2, y2) y  y1  x  x1 y2  y1 x2  x1 5 Melalui (a, 0) dan (0, b) bx  ay  ab 6 Melalui (x1, y1) dan sejajar garis ax + by + c = 0 ax + by = ax1 + by1 7 Melalui (x1, y1) dan tegak lurus garis ax + by + c = 0 bx – ay = bx1 - ay1 C. SUDUT ANTARA DUA GARIS y1  m1x  c1 & y2  m2 x  c2 ( sudut antara garis y1 dan y2 sebesar  ) tan  m1  m2 1  m1.m2 D. JARAK TITIK KE GARIS g  ax  by  c  0 & A(x1,y1) Jarak titik A ke garis g adalah d  ax1  by1  c a2  b2 E. JARAK ANTARA DUA TITIK x2  x1 2  y2  y1 2 A(x1, y1) & B(x2, y2) Jarak titik A ke titik B adalah dAB = F. JARAK ANTARA DUA GARIS SEJAJAR ax + by + c1 = 0 d d = c1  c2 ax + by + c2 = 0 a2  b2 27

G. HUBUNGAN DUA BUAH GARIS h  a1x  b1 y  c1  0 atau y1  m1x  c1 g  a2 x  b2 y  c2  0 y2  m2 x  c2 No Hubungan Syarat Penyelesaian 1 Berpotongan Satu 2 Berimpit a1  a2 m1  m2 3 Sejajar b1 b2 Banyak 4 Tegak lurus Tidak ada a1  b1  c1 m1  m2 a2 b2 c2 Satu a1  b1  c1 m1  m2 a2 b2 c2 a1   b2 m1   1 b1 a2 m2 H. SISTEM PERSAMAAN LINIER Dua persamaan linier atau lebih yang disajikan secara bersamaan disebut sistem persamaan linier. No Keterangan Dua Peubah Tiga Peubah 1. System ax1  by1  c1 ax1  by1  c1z  d1 ax2  by2  c2 ax2  by2  c2 z  d2 persamaan ax3  by3  c3 z  d3 bentuk umum a. Grafik b. Substitusi a. Substitusi 2 Cara c. Eliminasi b. Eliminasi penyelesaian d. Campuran eliminasi dan c. Campuran eliminasi dan substitusi substitusi e. Determinan d. Determinan Contoh 1. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6. hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. umur Ali sekarang adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. 30 tahun b. 35 tahun c. 36 tahun d. 38 tahun e. 42 tahun Jawaban A ∙ B = 1512 6 tahun yang lalu → A  6 = 5 B6 6 Perhatikan jawaban, kisaran angkanya sekitar 30-an dan 40-an Yang memenuhi perbandingan 5 adalah 30 (A = 36 & B = 42) 6 36 36 ∙ 42 = 1512 ( C ) 2. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. Sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) 28

a. 4 tahun b. 6 tahun c. 9 tahun d. 12 tahun e. 15 tahun Jawaban Dua tahun mendatang Tiga tahun lalu A – 3 = 2(B – 3) 4(A + 2) = (B + 2) + 36 A = 2B – 3 4A + 8 = B + 38 A = 2B – 3 B = 4A – 30 = 2(4A – 30) – 3 = 8A – 63 7A = 63 A=9 (C) 3. Sistem persamaan linear : x  2y  0 3y  2z  1 2x  3z  1 mempunyai himpunan penyelesaian x, y, z . Nilai dari 3x  4z  …. (UN D.12 007/2008) a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 10 Jawaban x  2 y  0.............1 3y  2z  1..........2 2x  3z  1...............3 Pilih persamaan 1 : x + 2y = 0 → x = -2y Substitusi ke persamaan 3 2x – 3z = 1 2(-2y) – 3z = 1 -4y – 3z = 1 ………… 4 Persamaan 2 dan 4 di eliminasi Pers. 2 di kali 3 & pers. 4 dikali 2 9y + 6z = -3 -8y -6z = 2 y = -1 x=2 z=1 Nilai dari 3x  4z  2 ( D ) 4. Penyelesaian dari system persamaan c. x = -3, y = 4, dan z = 1 3x + 7y + 2z = 8 4x + 2y – 5z = -19 6y – 4z = 14 adalah ……………. (UN P3 2003/ 2004) a. x = 5, y = 3, dan z = 1 b. x = 4, y = -5, dan z = 1 d. x = -5, y = 3, dan z = 2 e. x = -5, y = 3, dan z = 1 Jawaban 29

Ambil persamaan yang ketiga: 6y – 4z = 14 Perhatikan jawaban, pilih nilai y dan z yang memenuhi persamaan diatas, yaitu y = 3; & z = 1 6 ∙ 3 – 4 ∙ 1 = 14 14 = 14 (betul) Substitusikan nilai y = 3; & z = 1 ke persamaan yang pertama: 3x + 7y + 2z = 8 3x + 7 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 8 x = -5 ( E ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA adalah {(p0, q0, r0)}. Nilai q0 – r0 = ……… VARIABEL (UN D10 2004/ 2005) a. –3 b. –2 c. –1 d. 1 e. 3 1. Sepuluh tahun yang lalu umur John dua 3. Jika(x0, y0, z0) memenuhi system kali umur Amir, sedangkan dua tahun yang persamaan: akan datang umur John 5 umur Amir, x + 2y = -12 4 x + y + z = -1 3x + 2y – 2z = -16 maka perbandingan umur John dan Amir maka nilai z0 adalah …………….. (UN sepuluh tahun yang akan datang adalah …. P3 2005/ 2006) (UN D-12 2008-2009) a. –6 b. –4 c. 4 d. 6 e. 8 a. 5 : 4 b. 6 : 5 c. 7 : 6 d. 7 : 5 4. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg e. 7 : 4 anggur adalah Rp. 70.000,00, dan harga 1 2. Umur Ago dan adiknya berselisih 3 tahun. kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur Hasil kali umur mereka = 70. Jumlah umur adalah Rp. 90.000,00. Jika 2 kg mangga, 2 mereka = …. (UN D-12 2008-2009) kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp. 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah ……… (UN a. 15 b. 17 c. 19 d. 21 e. 23 P11 2005/ 2006) 3. Harga tiket masuk ke ruangan pameran a. Rp. 5.000,00 b. Rp. 7.500,00 c. Rp. 10.000,00 d. Rp. 12.000,00 untuk balita Rp. 2.000,00 dan untuk e. Rp. 15.000,00 dewasa Rp. 3.000,00. Pada hari minggu 5. Ali,Budi, Cici dan Dedi pergi ke took terjual 540 tiket dengan hasil penjualan koperasi membeli buku tulis, pena, dan Rp. 1.260.000,00. Masing-masing tiket pensil dengan merk yang sama. Ali masuk balita dan dewasa terjual berturut- membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil turut adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 A) dengan harga Rp. 11.000,00. Budi a. 140 dan 400 b. 180 dan 360 membeli 2 buku tulis, 3 pena dan 1 pensil c. 240 dan 300 d. 360 dan 180 dengan harga Rp. 14.000,00. Cici membeli e. 400 dan 140 1buku tulis, 2 pena dan 3 pensil dengan harga Rp. 11.000,00. Dedi membeli 2 buku B. SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA tulis, 1 pena dan 1 pensil. Berapa rupiah VARIABEL Dedi harus membayar? (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) 1. Jika {x1, y1, z1} ialah himpunan a. Rp. 6.000,00 b. Rp. 7.000,00 penyelesaian dari system persamaan linear c. Rp. 8.000,00 d. Rp. 9.000,00 x+y+z=5 e. Rp. 10.000,00 2x + y = 2 6. A membeli 3 kg mangga, 1 kg jeruk, dan 2 x + 3z = 1, kg jambu seharga Rp 62.000,00 maka nilai x1+ y1+ z1 sama dengan B membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 ………… (UN P3 2001/ 2002) kg jambu seharga Rp 48.000,00 a. –2 b. 1 c. 5 d. 6 e. 8 2. Himpunan penyelesaian system persamaan p + 2q – 3r = -7 2p – q + r = 5 3p – q + 2r = 8 30

C membeli 2 kg mangga, 1 kg jeruk, dan 1 hasil panen PakAhmad adalah…… (UN kg jambu seharga Rp 42.000,00 D10 2011 paket 12) Jika A, B, dan C membeli di toko buah A. 90 kg B. 80 kg C. 75 kg yang sama, maka harga 1 kg jeruk adalah D. 70 kg E.60 kg ……. (UN D9 2006/ 2007 B paket 49) 11. Suatu perusahaan pakaian dapat a. Rp. 8.000,00 b. Rp. 10.000,00 menghasilkan 4.000 buah pada awal c. Rp. 14.000,00 d. Rp. 14.000,00 produksi. Pada bulan berikutnya produksi e. Rp. 16.000,00 dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila 7. Amir, Basir, dan Cici pergi ke took buku kemajuan tetap, maka jumlah produksi “Bahagia” membeli pensil, karet dalam 1 tahun ada …. (UN D10 2011 penghapus dan pulpen dengan merk yang paket 46) sama. Amir membeli 2 pensil, 2 karet A. 45.500 buah B.48.000 buah penghapus, dan 3 pulpen dengan harga Rp C. 50.500 buah D. 51.300 buah 25.000,00. Basir membeli 3 pensil, 1 karet E. 55.500 buah penghapus dan 2 pulpen dengan harga Rp 12. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg 21.000,00 dan Cici membeli 1 pensil, 3 anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 karet penghapus dan 1 pulpen dengan kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur harga Rp 14.000,00. Jika Dasa membeli 3 adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg pensil, 2 karet penghapus dan 1 pulpen mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp dengan merk sama, dan dia membayar Rp 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah 50.000,00, maka uang kembaliannya … (UN D10 2011 paket 46) adalah …. (UN D9 2006/ 2007 paket 71) A. Rp 5.000,00 B. Rp 7.500,00 C. Rp 10.000,00 D. Rp 12.000,00 a. Rp. 18.000,00 b. Rp. 22.000,00 E. Rp 15.000,00 c. Rp. 23.000,00 d. Rp. 28.000,00 e. Rp. 32.000,00 8. Pada toko buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp. 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 2 pulpen dan 1 pensil dngan harga Rp. 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.500,00. jika Dina membli 2 pulpen dan pensil, maka ia harus membayar …. (UN D.10 2007/2008) a. Rp. 5000,00 d. Rp. 11.000,00 b. Rp. 6.500,00 e. Rp. 12.000,00 c. Rp. 10.000,00 9. Uang Adinda Rp 40.000 lebih banyak dari uang Binary ditambah dua kali uang Cindy. Jumlah uang Adinda, Binary dan Cindy Rp 200.000,00 selisih uang Binary dan Cindy Rp 10.000,00 Jumlah uang Adinda dan Binary adalah………(UN D- 10 2009 – 2010) a. Rp 122.000,00 b. Rp 126.000,00 c. Rp 156.000,00 d. Rp 162.000,00 e. Rp 172.000,00 10. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka 31

8. PERSAMAAN LINGKARAN & GARIS SINGGUNG A. PENGERTIAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap suatu titik tertentu selalu konstan. Titik tertentu tersebut adalah titik pusat lingkaran dan jarak yang konstan tersebut adalah jari-jari. B. PERSAMAAN LINGKARAN No Persamaan lingkaran Pusat lingkaran Jari-jari lingkaran 1 x2 + y2 = R2 (0, 0) R 2 (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (a, b) R 3 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ( 1 A, 1B) 1 A2  1 B2  C 22 44 C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DENGAN LINGKARAN a. Ilustrasi: Ada tiga kemungkinan hubungan antara lingkaran dan garis, 1. Berpotongan 2. Menyinggung 3. Tidak berpotongan b. Penggunaan nilai diskriminan (D) untuk mengetahui hubungan lingkaran dan garis. Persamaan garis disubstitusikan ke persamaan lingkaran, kemudian dicari nilai diskriminannya (D). Selanjutnya selidiki jika: 1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada dua titik 2. D = 0 maka garis menyinggung lingkaran 3. D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN a. Di titik (x1, y1) No Persamaan lingkaran Persamaan garis singgung 1 x2 + y2 = R2 x1 x + y1 y = R2 2 (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = R2 3 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 11 x1 x + y1 y + A (x1 + x) + B (y1 + y) + C = 0 22 b. Ber-gradien m No Persamaan lingkaran Persamaan garis singgung 1 x2 + y2 = R2 y = mx ± R 1 m2 32

2 (x - a)2 + (y - b)2 = R2 y – b = m (x – a) ± R 1 m2 (a, b) pusat lingkaran 3 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y – b = m (x – a) ± R 1 m2 (a, b) pusat lingkaran E. RUMUS PRAKTIS Persamaan lingkaran yang berpusat di(a, b) menyinggung sumbu-X, yaitu: x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 = 0 Persamaan lingkaran yang berpusat di(a, b) menyinggung sumbu-Y, yaitu: x2 + y2 – 2ax – 2by + b2 = 0 Contoh 1. Diketahui lingkaran L dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0. Persamaan lingkaran yang pusatnya sama dengan lingkaran L dan jari-jarinya sama dengan 2 kali panjang jari-jari lingkaran L adalah ……. (UN P3 2005/ 2006) a. x2 + y2 – 4x + 8y - 61 = 0 b. x2 + y2 – 4x + 8y - 16 = 0 c. x2 + y2 – 4x + 8y + 2 = 0 d. x2 + y2 – 4x + 8y + 22 = 0 e. x2 + y2 – 4x + 8y + 44 = 0 Jawaban Rumus: r = 1 A2  1 B2  C 44 L1: x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0 Pusat L1 → (2, -4) Jari-jari L1 → 22  (4)2 11 = 3 Pusat L2 = Pusat L1 Jari-jari L2 = 2 ∙ Jari-jari L1 =2∙3=6 = (2, -4) 22 + (-4)2 – C = 36 C = -16 Persamaan Lingkaran L2: x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0 ( B ) 2. Persamaan garis singgung yang melalui titik (3, 1) pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0 adalah ……. (UN D10 2004/ 2005). a. 4x – 3y – 9 = 0 b. 4x – 3y – 8 = 0 c. 4x – 3y –1 = 0 d. 5x – 7y – 10 = 0 e. 5x – 7y + 6 = 0 Jawaban Rumus: x1 x + y1 y + 1 A (x1 + x) + 1 B (y1 + y) + C = 0 22 x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0 diuraikan sebagai berikut xx + yy + 2 (x + x) - 8 (y + y) – 8 = 0 ; Tiap pasangan variabel x dan y –nya (salah satu 22 nilai x & y-nya) diganti dengan x = 3; & y = 1) 3x + 1y + 1(3 + x) – 4(1 + y) – 8 = 0 3x + 1y + 3 + x – 4 - 4y – 8 = 0 4x – 3y – 9 = 0 ( A ) 33

3. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 51 = 0 yang tegak lurus garis 4x + 3y – 12 = 0 adalah ….. (UN D9 2006/ 2007 B paket 49) a. 3x – 4y + 22 = 0 b. 3x – 4y – 28 = 0 c. 3x + 4y – 34 = 0 d. 3x + 4y + 46 = 0 e. 3x + 4y – 58 = 0 Jawaban x2 + y2 – 4x + 6y – 51 = 0 P(2, -3) → a = 2; b = -3 Rumus: y – b = mPGS (x – a) ± r m2 1 4x + 3y – 12 = 0 m =  4 → mPGS = 3 ( m ∙ mPGS = -1 ) 34 r = 22  (3)2  (51) = 8 y – (-3) = 3 (x – 2) ± 8  3 2  1 4 4 y + 3 = 3 x – 6 ± 8 25 44 16 y + 3 = 3 x – 6 ± 10 (dikalikan 4) 44 4y + 12 = 3x – 6 ± 40 3x – 4y + 22 = 0 atau 3x – 4y - 58 = 0 ( A ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DI 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -1) SUATU TITIK serta melalui titik (5, 2) adalah …. (UN P3 1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2001/ 2002). x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang a. x2 + y2 + 4x + 2y – 13 = 0 berabsis 5 adalah ……. (UN P11 2005/ b. x2 + y2 - 4x + 2y – 13 = 0 c. x2 + y2 + 4x - 2y – 13 = 0 2006) b. 4x – y + 4 = 0 d. x2 + y2 + 4x + 2y – 18 = 0 a. 4x – y – 18 = 0 d. 4x + y – 4 = 0 e. x2 + y2 - 4x + 2y – 18 = 0 c. 4x – y + 10 = 0 2. Jari –jari lingkaran dengan persamaan e. 4x + y – 15 = 0 x2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0 merupakan salah satu akar persamaan suku banyak x3 2. Persamaan garis singgung lingkaran – 2x2 – ax + 6 = 0. Nilai a adalah ….. (UN x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, -5) adalah … (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) P5 2002/ 2003). a. –5 b. –1 c. 1 d. 5 e. 5 a. 4x – 3y = 43 b. 4x + 3y = 23 c. 3x – 4y = 41 d. 10x + 3y = 55 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya e. 4x – 5y = 53 terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta 3. Persamaan garis singgung melalui titik menyinggung sumbu X negative dan sumbu Y negative adalah …… (UN P11 A(-2,-1) pada lingkaran 2005/ 2006). x2  y2 12x  6y 13  0 adalah …. (UN a. x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0 D.10 2007/2008) b. x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0 c. x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0 a.  2x  y  5  0 b. 3x  2y  4  0 d. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 e. x2 + y2 - 2x - 2y + 4 = 0 b. x  y 1  0 e. 2x  y  3  0 c. x  2y  4  0 4. Lingkaran L : (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara 34

lingkaran dan garis tersebut e. 2x - 3y + 5 13 = 0 adalah…….(UN D-10 2008 – 2009) 9 a. x = 2 dan x = - 4 b. x = 2 dan x = - 2 c. x = - 2 dan x = 4 d. x = - 2 dan x = - 4 4. Salah satu persamaan garis singgung e. x = 8 dan x = - 10 lingkaran x2  y2  6x  4y  7  0 yang 5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + tegak lurus garis y = 7 - 2x adalah …. y2– 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah (UN D-10 2009 – 2010 A) …. (UN D10 2011 paket 12) a. 2x  y 17  0 b. 2x  y 12  0 A. 3x – 4y – 41 = 0 B. 4x + 3y – 55 = 0 c. x  2y  3  0 d. x  2y  3  0 C. 4x – 5y – 53 = 0 D. 4x + 3y-31 = 0 e. x  2y  0 E. 4x – 3y – 40 = 0 6. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 5. Persamaan garis singgung lingkaran – 6x + 4y + 11 = 0 di titik (2,-1) adalah …. (x  3)2  ( y  5)2  80 yang sejajar (UN D10 2011 paket 46) dengan garis y  2x  5  0 adalah …. A. x – y – 12 = 0 (UN D-10 2009 – 2010 B) B. x – y – 4 = 0 a. y  2x 11 ± 20 b. y  2x  8 ± 20 C. x – y – 3 = 0 D. x + y – 3 = 0 c. y  2x  6 ± 15 d. y  2x  8 ± 15 E. x + y + 3 =0 e. y  2x  6 ± 25 C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG BER-GRADIEN m 1. Diketahui lingkaran L dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari 5. Salah satu persamaan garis singgung pada L dengan gradien 3 adalah …….. (UN P5 2002/ 2003) a. y = 3x + 5 4 b. y = 3x + 5 10 c. y = 3x - 5 4 d. y = 3x - 10 e. y = 3x - 25 10 2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah ….. (UN P3 2003/ 2004). a. 2x – y + 3 = 0 b. 2x – y + 5 = 0 c. 2x – y + 7 = 0 d. 2x – y + 13 = 0 e. 2x – y + 25 = 0 3. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 3x – 2y = 6 adalah …… (UN D9 2006/ 2007 paket 71) a. 2x + 3y - 5 13 = 0 9 b. 2x + 3y - 5 13 = 0 c. 2x + 3y + 5 13 = 0 9 d. 2x - 3y - 5 13 = 0 35

9. SUKU BANYAK A. PENGERTIAN Bentuk an xn + an-1 xn-1 + … + ax + a0 x0 dinamakan suku banyak (polinom) dalam x yang berderajat n, dimana n adalah bilangan cacah dan an ≠ 0. B. NILAI SUKU BANYAK Jika F(x)  an xn  an1xn1  an2 xn2  .....a2 x2  ax  a0 maka f (x) untuk x = k dinyatakan dengan f (k) . Ada 2 cara menentukan nilai suku banyak a. Cara Substitusi Misal : F(x)  ax3  bx2  cx  d maka f (x) untuk x = k adalah f (k) dengan F(k)  ak 3  bk 2  ck  d b. Cara Skematik (Horner) Misal : F(x)  ax3  bx2  cx  d maka untuk x = k adalah F(k) ka b c d Tanda berarti ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck + kalikan dengan k a ak + b ak2+bk + c ak3 + bk2 + ck + d  F(k)  ak 3  bk 2  ck  d C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK Jika F(x) suatu suku banyak, dibagi dengan P(x) sehingga menghasilkan H(x) sebagai hasil bagi ditambah sisa S(x), maka pembagian tersebut dapat disusun sebagai berikut: F(x) = H(x) · P(x) + S(x) Sifat-sifat: 1) Derajat suku banyak F(x) adalah n 2) Derajat pembagi P(x) adalah p (p < n) 3) Derajat hasil bagi H(x) adalah n – p 4) Derajat sisa S(x) adalah p – 1 Beberapa macam pembagian suku banyak: a. Metode langsung (pembagian berekor) b. Metode horner D. TEOREMA SISA a. Teorema atau Dalil Sisa: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a), maka sisanya adalah S = F(a) b. Hubungan antara pembagi P(x) dan sisa S(x) No Pembagi: P(x) Sisa: S(x) 1 ax + b F  b  2 ax2 + bx + c  a 3 (x – a)(x – b) px + q px + q, dimana 36

3 ax3 + bx2 + cx + d p = f (a)  f (b) ; dan ab q = a  f (b)  b  f (a) ab px2 + qx + r E. TEOREMA FAKTOR Teorema faktor: 1. Jika F(x) merupakan suatu suku banyak & (x – a) merupakan faktor dari F(x) jika dan hanya jika F(a) = 0. 2. Jika F(x) merupakan suatu suku banyak & I(x) merupakan faktor dari F(x) jika dan hanya jika sisa pembagian F(x) oleh I(x) adalah 0. F. MENENTUKAN AKAR – AKAR RASIONAL BULAT PERSAMAAN SUKU BANYAK Pedoman untuk menentukan akar 1. Jika jumlah koefisien-koefisien f (x) =0 maka x 1 merupakan akar f (x) 2. Jika jumlah koefisien-koefisien peubah berpangkat ganjil sama dengan jumlah koefisien- koefisien peubah berpangkat genap, maka x  1 merupakan akar f (x) 3. Tentukan faktor-faktor dari a0 / konstanta, untuk a0  0 Lakukan cara coba-coba G. RUMUS AKAR-AKAR SUKU BANYAK 1. Berderajad 3: ax3  bx2  cx  d  0 Misanya, akar-akarnya adalah x1, x2 & x3 berlaku sifat-sifat berikut:  x1  x2  x3  b a  x1x2  x1x3  x2 x3  c a  x1  x2  x3  d a  x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 – 2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3)  x13 + x23 + x33 = (x1 + x2 + x3)3 – 3 x1 x2 x3 ((x1 + x2 + x3) 2. Berderajad 4: ax4  bx3  cx2  dx  e  0 Misanya, akar-akarnya adalah x1, x2 , x3 & x4 berlaku sifat-sifat berikut:  x1 + x2 + x3 + x4 =  b a  x1 x2 + x1 x3 + x1 x4+ x2 x3+ x2 x4+ x3 x4 = c a  x1 x2 x3 + x1 x2 x4+ x1 x3 x4 + x2 x3 x4 =  d a  x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = e a 37

Contoh 1. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …… (UN D10 2004/ 2005) a. –6x + 5 b. –6x – 5 c. 6x + 5 d. 6x – 5 e. 6x – 6 Jawaban x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) P1(x) = x – 2 ; P2(x) = x + 1 x = 2; x = -1 x4 x3 x2 x1 x0 1 -4 3 -2 1 2 2 -4 -2 -8 1 -2 -1 -4 -7 → S1(x) x3 x2 x1 x0 1 -2 -1 -4 -1 -1 3 -2 1 -3 2 -6 → S2(x) S(x) = P1(x) ∙ S2(x) + S1(x) = (x – 2) ∙ (-6) + (-7) = -6x + 5 ( A ) 2. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah …… (UN D9 2006/ 2007 A paket 16) a. –2x + 8 b. –2x + 12 c. –x + 4 d. –5x + 5 e. –5x + 15 Jawaban Rumus: f(x) = (x - a) (x -b) H(x) + px + q p = f (a)  f (b) ; & q = a  f (b)  b  f (a) ab ab f(x) = (x + 1) H1(x) + 10 f(-1) = 10 f(x) = (2x -3) H2(x) + 5 f( 3 2 ) = 5 f(x) = (2x2 – x – 3) H3(x) + (px + q) f(x) = (x + 1) (2x -3) H3(x) + px + q f (1)  f ( 3) 1 f ( 3)  3  f (1) p= 2 q= 2 2 1 3 1 3 2 2 = 10  5 = -2 1 5  3 10 5 = 2 =8 2 5 2 Jadi, S(x) = -2x + 8 ( A ) 38

3. Salah satu faktor suku banyak P(x)  x4 15x2 10x  n adalah (x  2) . Faktor lainnya adalah …. (UN D.10 2007/2008) a. x  4 b. x  4 c. x  6 d. x  6 e. x  8 Jawab: P(x)  x4 15x2 10x  n (x + 2) faktor dari P(x) → P(-2) = 0 (-2)4 – 15(-2)2 – 10(-2) + n = 0 16 – 60 + 20 + n = 0 n = 24 x4 x3 x2 x1 x0 1 0 -15 -10 24 -2 -2 4 22 -24 1 -2 -11 12 0 H1(x) : x3 - 2x2 - 11x + 12 Perhatikan koefisiennya, jika dijumlahkan 1 + (-2) + (-11) + 12 = 0, maka x-1 faktor dari P(x) & H1(x) x0 x3 x2 x1 1 -2 -11 12 1 1 -1 -12 1 -1 -12 0 H2(x) = x2 - x - 12 H2(x) = (x – 4) (x + 3) ( A ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. TEOREMA PEMBAGIAN sisanya adalah …… (UN D9 2006/ 2007 B 1. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi paket 49) oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = a. –9x – 8 b. –9 + 8 c. –9x + 10 …… (UN P3 2001/ 2002). d. 9x – 10 e. 9x + 10 a. –1 b. –2 c. 2 d. 9 e. 12 2. Suku banyak f(x) dibagi (x - 1) sisanya 3 2. Hasil bagi dan sisa pada pembagian suku dan jika dibagi (2x – 3) sisanya -4. Jika banyak 2x3 + x2 – 7x + 8 dengan 2x – 1 suku banyak f(x) dibagi (2x2 – 5x + 3), adalah ….. (UN P5 2002/ 2003) sisanya adalah …… (UN D9 2006/ 2007 a. x2 + x + 3 dan –5 b. x2 + x – 3 dan –5 c. x2 - x + 3 dan 5 d. x2 + x + 3 dan 5 paket 71) e. x2 + x - 3 dan 5 a. 14x – 17 b. -14x + 17 c. 7 x + 17 3. Suku banyak ( x3 – 2x2 – 4x + 4) dibagi oleh 2 (x2 – 3x + 2), sisanya adalah ……… (UN d. –14 – 17 e. - 7 + 17 P3 2003/ 2004) 2 a. –3x + 2 b. –2x – 2 c. –2x – 6 d. 2x – 6 e. 2x + 2 3. Suku banyak f (x) dibagi (x - 2) sisa 1, dibagi (x + 3) sisa – 8. B. TEOREMA SISA Suku banyak g (x) dibagi (x - 2) sisa 9, 1. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 1 dibagi (x + 3) sisa 2 dan jika dibagi (3x + 2) sisanya -2. Jika suku banyak f(x) dibagi (3x2 + 5x + 2), Jika h (x) = f (x) . g (x) ,maka sisa pembagian h(x) dibagi x2 + x - 6 adalah ………(UN D-10 2008 – 2009) 39

a. 7x – 1 b. 6x - 1 c. 5x – 1 d. 4x – 1 e. 3x - 1 4. Suku banyak (2x3  5x2  ax  b) dibagi (x 1) sisanya 1 dan jika dibagi (x  2) sisanya 43. Nilai dari a  b  …. (UN D- 10 2009 – 2010 A) a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 5. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa –1, maka nilai 2a + b = …… (UN D10 2011 paket 12) A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E,6 6. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah…. (UN D10 2011 paket 46) A. - 8 B. - 2 C. 2 D. 3 E. 8 C. TEOREMA FAKTOR 1. Akar-akar persamaan 2x4 + tx3 – 7x2 + nx + 6 = 0 adalah –2, 1,  dan . Nilai 2 + 2 = …. (UN P3 2005/ 2006) a. –2 b. –1 c. 0 d. 2 e. 3 2. Diketahui (x-2) adalah faktor suku banyak f (x)  2x3  ax2  bx  2 . Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah - 50. Nilai (a + b) = …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. 10 b. 4 c. -6 d. -11 e. -13 3. Faktor-faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = .. (UN D10 2011 paket 46) A. –7 B. –5 C. –4 D. 4 E.7 4. Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah faktor- faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 —13x + b. Jika-akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, dan x3, untuk x1 > x2 > x3 maka nilai x1– x2 - x3 =...... (UN D10 2011 paket 12) A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 E. – 4 40

10. LOGIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYA a. Klasifikasi kalimat secara sistematis Ada dua jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup 1. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang masih terdapat peubah / variable, sehingga belum dapat dinilai benar atau salah. 2. Kalimat Tertutup / Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat dinilai benar atau salah. b. Ingkaran / negasi dari suatu pernyataan Ingkaran / negasi dari suatu pernyataan p ditulis \"~ p\" atau \" p\" dibaca “Negasi p” atau “Bukan p” atau “Non p”. Tabel kebenaran P ~P BS SB B. OPERASI PERNYATAAN 1. Kalimat majemuk Adalah dua atau lebih kalimat tunggal yang digabung dengan menggunakan kata penghubung. 2. Kata penghubung dalam logika matematika 1 Konjungsi dan  2 Disjungsi atau v 3 Implikasi jika, maka → 4 Biimplikasi jika dan hanya jika ↔ 3. Tabel kebenaran kalimat majemuk p q pq pvq p→ p↔ q q BB B B BS S B B B SB S B S S SS S S B S B B 4. Tautologi, Kontradiksi dan Ekuivalen a. Tautologi adalah : suatu proposisi majemuk yang selalu mempunyai nilai logika benar b. Kontradiksi adalah : suatu proposisi majemuk yang selalu mempunyai nilai logika salah c. Pernyataan majemuk yang ekuivalen adalah pernyataan majemuk yang mempunyai nilai logika sama. Dilambangkan : \"\". Contoh: ◦ p  q ≡ ~ p → q ◦p→q≡~p  q ≡~q→~p C. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK 1. ~ ( p  q) ~ p v ~ q 3. ~ ( p  q)  p ~ q 2. ~ ( p v q) ~ p  ~ q 4. ~ ( p  q)  p ↔ ~ q ≡ ~ p ↔ q 41

D. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI Implikasi ≡ kontraposisi Invers ≡ konvers 1. Konvers dari p  q adalah q  p 2. Invers dari p  q adalah ~ p   q 3. Kontraposisi dari p  q adalah ~ q  ~ p E. PENARIKAN KESIMPULAN / KONKLUSI YANG SAH Modus Ponens Modus Tollens Silogisme pq pq pq pq r p Premis 1  r q Premis 2 p  q qr Konklusi q  ~p  pr F. PERNYATAAN BERKUANTOR No Macam Lambang Ingkaran 1 Universal  ~ (x) p(x)  (x) ~ p(x) (Semua / seluruh /setiap)  ~ (x) p(x)  (x) ~ p(x) 2 Eksistensial (Beberapa / ada/ Sebagian) Contoh 1. Negasi dari pernyataan “ Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan” adalah …. (UN D.11 2007/2008) a. Matematika mengasyikan atau membosankan. b. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan. c. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan. d. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan. e. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan. Jawaban Rumus: ~ ( p v q) ~ p  ~ q ~p : Matematika tidak mengasyikkan q : Matematika membosankan ~ (~p v q)  p  ~ q Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan ( C ) 2. Ingkaran dari pernyataan : “Jika cuaca cerah maka hujan tidak turun.” Adalah …. (UN D-12 2008-2009) a. Jika hujan tidak turun maka cuaca cerah b. Cuaca tidak cerah dan hujan tidak turun c. Cuaca cerah tetapi hujan turun d. Tidak benar cuaca cerah dan hujan tidak turun e. Jika cuaca tidak cerah maka hujan turun 42

Jawaban Rumus: ~ ( p  q)  p ~ q Jika cuaca cerah maka hujan tidak turun p : cuaca cerah ~q : hujan tidak turun ~(p → ~q) ≡ p  ~(~q) atau p  q Ingkaran : cuaca cerah dan hujan turun atau cuaca cerah tetapi hujan turun ( C ) 3. Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “ jika ibu pergi maka adik menangis” adalah….. (UN D-12 2009/ 2010 A) a. Jika ibu tidak pergi maka adik menangis. b. Jika ibu pergi maka adik tidak menangis. c. Jika ibu tidak pergi maka adik tidak menangis. d. Jika adik menangis maka ibu pergi. e. Jika adik tidak menangis maka ibu tidak pergi Jawaban Rumus: p → q ≡ ~ q  ~ p p : ibu pergi q : adik menangis Ekuivalen : jika adik tidak menangis maka ibu tidak pergi ( E ) 4. Perhatikan premis-premis berikut ini ! 1. Jika adi murid rajin, maka Adi murid pandai 2. Jika Adi murid pandai, maka ia lulus ujian Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah …. (UN D-10 2009 – 2010 B) a. Jika Adi murid rajin, maka ia tidak lulus ujian b. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian c. Adi bukan murid rajin atau ia lulus ujian d. Jika Adi bukan murid rajin, maka ia tidak lulus ujian e. Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian Jawaban pq Rumus: q  r  pr p : Adi murid rajin q : Adi murid pandai r : ia lulus ujian Kesimpulan : Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian ~(p → q) ≡ p  ~q Ingkaran : Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian ( B ) 5. Negasi dari pernyataan \"Semua siswa masuk dan berpakaian seragam.\" Adalah….. (UN D-12 2009/ 2010 B) a. Semua siswa tidak masuk dan berpakaian tidak seragam. b. Ada siswa tidak masuk dan berpakaian tidak seragam. c. Ada siswa tidak masuk atau berpakaian tidak seragam. d. Semua siswa masuk atau berpakaian seragam. e. Semua siswa masuk tetapi berpakaian tidak seragam. 43

Jawaban Rumus: ~ (x) p(x)  (x) ~ p(x) ~ ( p  q) ~ p v ~ q p : Siswa masuk q : Siswa berpakaian seragam ~ {  (p  q)} =  ( ~ p  ~ q) Ada siswa tidak masuk dan berpakaian tidak seragam ( B ) SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL A. IMPLIKASI G. PENARIKAN KESIMPULAN 1. Negasi dari pernyataan “jika ayah 1. Diberikan pernyataan sebagai berikut: (1) Ani tidak rajin belajar atau disayang merantau, maka ia membawa guru cinderamata”, adalah … (UN P3 2003/ (2) Jika Ani tidak lulus ujian, maka Ani 2004) tidak disayang guru a. Jika ayah merantau, maka ia tidak Dari kedua pernyataan diatas, dapat disimpulkan bahwa …. (UN P5 2002/ membawa cinderamata 2003) b. Jika ayah tidak membawa a. Jika Ani tidak rajin belajar, maka Ani tidak disayang guru cinderamata, maka ia tidak merantau b. Jika Ani rajin belajar, maka Ani lulus c. Jika ayah tidak merantau, sehingga ujian c. Jika Ani tidak lulus ujian, maka Ani tidak membawa cinderamata disayang guru d. Ayah merantau tetapi ia tidak d. Ani rajin belajar tetapi tidak lulus ujian membawa cinderamata e. Ani rajin belajar dan disayang guru e. Ayah merantau tetapi membawa 2. Diketahui bukan cinderamata (1) p  q (2) q  p q q  r E. BI-IMPLIKASI  p p  r 1. Ingkaran dari 14 < 4 jika dan hanya jika sin 450 < sin 600 equivalen dengan (3) p  q pernyataan …. (UN P3 2001/ 2002) r a. 14  7 jika dan hanya jika sin 450 < sin 600 q Argumentasi yang sah adalah …. (UN P3 b. 14 < 4 jika dan hanya jika sin 450  sin 600 2003/ 2004) c. 14  4 jika dan hanya jika sin 450 > a. (1), (2), dan (3) b. (1) dan (2) saja sin 600 c. (1) dan (3) saja d. (2) dan (3) saja d. 14 > 4 jika dan hanya jika sin 450  sin 600 e. (2) saja e. 14 > 4 jika dan hanya jika sin 450 > 3. Diketahui argumentasi: sin 600 (1) p  q (2) p  q (3) p  q F. KONVERS 1. Konvers dari (p  q)  (p  q) adalah p p q ….. (UN D10 2004/ 2005)  p  q  p a. (p  q)  (p  q) b. (p  q)  (p  q) (4) p  q (5) p  q c. (p  q)  (p  q) q qr d. (p  q)  (p  q) e. (p  q)  (p  q) p p  r 44

Argumentasi yang sah adalah …. (UN (3) Jika Dinda lulus ujian, maka ia bahagia D10 2004/ 2005) Kesimpulan yang sah adalah …. (UN D9 a. (2) dan (4) saja b. (3) dan (5) saja 2006/ 2007 paket 71) a. Jika Dinda rajin belajar, maka ia c. (1), dan (2), dan (4) saja tidak bahagia d. (2), (4) dan (5) saja b. Jika Dinda rajin belajar, maka ia e. (3), (4), dan (5) saja bahagia c. Jika Dinda menjadi pandai, maka ia 4. Diketahui argumentasi: rajin belajar 1. p  q 2. p  ~q 3. p  q d. Jika Dinda tidak rajin belajar, maka ~q ~q  r q r ia tidak bahagia e. Jika Dinda tidak menjadi pandai,  ~ p  p  r  ~p  r Argumentasi yang sah adalah …….. maka ia rajin belajar 8. Diketakui premis-premis (UN P3 2005 2006) (1) Jika Badu rajin belajar dan patuh a. 1, 2, dan 3 b. 1 dan 2 saja pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket. c. 1 dan 3 saja d. 2 dan 3 saja (2) Ayah tidak membelikan bola basket. e. 2 saja Kesimpulan yang sah adalah …. (UN D.10 2007/2008) 5. Diketahui premis-premis berikut: a. Badu rajin belajar dan badu patuh Premis 1: Jika Dodi rajin belajar, maka ia terhadap orang tua b. Badu tidak rajin belajar dan badu naik kelas tidak patuh terhadap orang tua. Premis 2: Jika Dodi naik kelas, maka ia c. Badu tidak rajin belajar atau badu akan dibelikan baju tidak patuh terhadap orang tua. Kesimpulan yang sah adalah …. (UN D9 d. Badu tidak rajin belajar dan badu 2006/ 2007 A paket 16) patuh terhadap orang tua e. Badu rajin belajar atau badu tidak a. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan patuh terhadap orang tua dibelikan baju 9. Perhatikan premis-premis berikut ! b. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan 1) Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara dibelikan baju 2) Jika saya bisa meraih juara maka c. Dodi rajin belajar atau ia akan saya boleh ikut bertanding dibelikan baju Ingkaran dari kesimpulan kedua permis diatas adalah ……. (UN D-10 2009 – d. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan 2010) a. Saya giat belajar dan Saya tidak boleh dibelikan baju ikut bertanding e. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan b. Saya giat belajar atau saya tidak boleh dibelikan baju ikut bertanding c. Saya giat belajar maka saya bisa 6. Diketahui premis-premis: meraih juara 1. Jika saya pergi ke sekolah, saya tidak d. Saya giat belajar dan saya boleh ikut dapat membersihkan rumah bertanding e. Saya ikut bertanding maka saya giat 2. Saya membersihkan rumah atau saya belajar bekerja 10. Diketahui premis-premis berikut : 3. Saya pergi ke sekolah a. Jika sebuah segitiga siku-siku maka Kesimpulan yang sah adalah …. (UN D9 salah satu sudutnya 90o. 2006/ 2007 B paket 49) a. saya tidak bekerja b. Saya membersihkan rumah c. Saya membersihkan sekolah d. saya bekerja e. Saya tidak membersihkan rumah dan saya tidak bekerja 7. Diketahui premis-premis: (1) Jika Dinda rajin belajar, maka ia menjadi pandai (2) Jika Dinda menjadi pandai, maka ia lulus ujian 45

b. Jika salah satu sudut segitiga 90o, a. Semua bilangan prima adalah bilangan maka berlaku theoremaPhytagoras. genap. Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada b. Semua bilangan prima bukan bilangan premis-premis di atas adalah …. (UN D- genap. 10 2009 – 2010 A) a. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka c. Beberapa bilangan prima bukan berlaku theorema Phytagoras. bilangan genap. b. Jika sebuah segitiga bukan siku-siku, maka berlaku theorema Phytagoras. d. Beberapa bilangan genap bukan c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak bilangan prima. berlaku theorema Phytagoras d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak e. Beberapa bilangan genap adalah berlaku heorema Phytagoras bilangan prima. e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku teorema Phytagoras 11. Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. (2) Ibu tidak memakai payung. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-prernis tersebut adalah ….. (UN D10 2011 paket 12) A. Hari tidak hujan B. Hari hujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung 12. Diketahui Premis 1: Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian. Premis 2: Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN. Penarikan kesimpulan dari premis-prernis tersebut adalah ... (UN D10 2011 paket 46) A. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN. B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN. C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN. D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian. E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN. H. PERNYATAAN BERKUANTOR 1. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah …. (UN D.10 2007/2008) 46

11. STATISTIK A. PENGERTIAN Statistik adalah hasil-hasil dari pengolahan dan analisis data. Statistik dapat berupa mean, modus, median dan sebagainya. B. PENYAJIAN DATA 4. dengan diagram lingkaran 1. dengan daftar atau tabel 5. dengan diagram garis 2. dengan lambang atau gambar 3. dengan diagram batang C. DISTRIBUSI FREKUENSI Untuk memudahkan penghitungan frekuensi tiap nilai (skor) dan untuk memperlihatkan seringnya suatu angka muncul dalam kelompok data dilakukan dengan melidi suatu daftar yang disebut dengan tabel frekuensi atau distribusi frekuensi. Beberapa istilah pada distribusi frekuensi adalah 1. Kelas interval ( data dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk a – b ) 2. Frekuensi ( banyak data pada tiap kelas interval ) 3. Batas kelas ( batas bawah adalah nilai di sebelah kiri kelas interval. Batas atas adalah nlai di sebelah kanan kelas interval ) 4. Tepi kelas Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 5. Panjang kelas (interval kelas) ( tepi atas - tepi bawah ) 6. Titik tengah kelas ( 1 (batas bawah kelas + batas atas kelas) 2 D. PEMUSATAN DATA * Xi = titik tengah kelas ke-i a. Rata - Rata * Σfi = jumlah frekuensi X = Xi  fi  fi dimana, * X = rata-rata hitung * fi = frekuensi kelas ke-i b. Rataan Hitung Gabungan Dua kelompok data (atau lebih) yang diketahui nilai rata-rata dan frekuensinya)jika digabung maka rata-rata gabungannya adalah: X Gab = X1  f1  X 2  f 2 f1  f2 dimana, * X 1 = rata – rata kelompok data ke-1 * f1 = frekuensi kelompok data ke-1 * X 2 = rata – rata kelompok data ke-2 * f2 = frekuensi kelompok data ke-2 c. Modus (Mo) Modus adalah data yang sering muncul MO = TBMo +  d1  c d1  d2 47