Materi Cerdik SBMPTN

• Disesuaikan dengan KTSP SMA. • Cocok untuk Persiapan UN dan SNMPTN. 1. Matematika 2. Fisika 3. Kimia 4. Biologi 5. Bahasa Indonesia 6. Bahasa Inggris

Program IPA Matematika BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA A. EKSPONEN 2. Persamaan Eksponen Definisi a. a f (x) = ag(x) ⇒ f (x) = g(x) Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan b. a f (x) = b f (x) ⇒ f (x) = 0 bulat positif (bilangan asli), maka: c. f ( x )g(x) = f ( x )h(x) maka: an = a × a × a × a ×...× a n g(x) = h(x) Dengan: n f(x) = 1 a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/ 1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif ganjil Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a,b∈R , n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif maka: a. am × an = am+n 3. Pertidaksamaan Eksponen b. am : an = am−n ,a ≠ 0 Jika a f (x) > ag(x) maka berlaku: n f(x) > g(x) , untuk a > 1 n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1 ( )c. am n = amn B. BENTUK AKAR Sifat-sifat Bentuk Akar d. (ambn )p = ampbnp e.  am p = amp , b ≠ 0 a. n an = a  bnp  bn  b. a ⋅ b = a ⋅ b  a a f. a0 = 1 , a ≠ 0 c. b= b g. a−n 1 , a≠0 d. n am a m = an n = e. 11 a1 a a= a× a =a 2 [email protected]

C. LOGARITMA e. a log b = p log b , dengan 0 < p<1 ∨ p>1 p loga Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu 1 mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga f. a log b = b loga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. g. a a log b = b a log b = c ⇔ ac = b Di mana: h. a log b ⋅ b log c ⋅ c logd = a logd 1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau 2. Persamaan Logaritma a > 1, a log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x) 2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0, 3. c dinamakan hasil logaritma. 1. Sifat-Sifat Logaritma 3. Pertidaksamaan Logaritma Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut. Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku: a. a log b = c ⇔ ac = b I. Syarat Basis: b. a log b + a log c = a log bc 1. Untuk 0 < a < 1 f (x) ≥ g(x) c. a log b − a log c = a log b 2. Untuk a > 1 c f (x) ≤ g(x) II. Syarat Numerus: d. an log bm = m ⋅ a log b 1. f (x) > 0 n 2. g(x) > 0 BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT A. PERSAMAAN KUADRAT x1 + x2 = −b x1 ⋅ x2 = c x1 − x2 = D Bentuk umum persamaan kuadrat adalah a a a ax2 + bx + c = 0 x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2x1 ⋅ x2 dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 . x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) 1. Jenis-jenis Akar Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai: x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 ) 1. akar real jika D ≥ 0 , 2. akar real berlainan jika D > 0 , 1 + 1 = x1 + x2 3. akar real kembar jika D = 0 , x1 x2 x1 ⋅ x2 4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 , dengan D = b2 − 4ac . 3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 de- 2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar ngan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui: Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan 1. Kedua akarnya positif, jika: kuadrat ax2 + bx + c = 0 , maka: x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0 [email protected] 3

2. Kedua akarnya negatif, jika: dua titik. x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0 ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x. iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x. 3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika: x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0 2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat 4. Kedua akarnya berlawanan, jika: Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c mempunyai: x1 + x2 = 0 1. Sumbu simetri: x = −b 5. Kedua akarnya berkebalikan, jika: 2a x1 ⋅ x2 = 1 2. Nilai ekstrem: D = b2 − 4ac −4a −4a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. 4. Menentukan Persamaan Kuadrat θ Nilai ekstrem minimum jika a > 0. Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan adalah 3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat x2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0 a. Diketahui titik puncak (xp ,yp ) dan titik lain y = a(x − xp )2 + yp B. FUNGSI KUADRAT b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan (x2 ,0) serta titik lain Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax2 + bx + c di mana a,b,c ∈R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai y = a(x − x1)(x − x2) fungsi kuadrat. c. Diketahui tiga titik pada parabola 1. Hubungan a, b, c, dan D y = ax2 + bx + c Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c didapat hubungan: a. “a” menentukan keterbukaan kurva. 4. Definit a. Definit Positif i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas. ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah. Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif. a>0 a<0 Syarat: D < 0 dan a > 0 b. Jika a ⋅ b > 0 maka puncak berada di sebelah kiri b. Definit Negatif sumbu y. Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk semua x disebut definit negatif. Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah Syarat: kanan sumbu y. D < 0 dan a < 0 c. “c” menentukan titik potong dengan sumbu y. i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif. ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0). iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif. d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan sumbu x. i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di 4 [email protected]

BAB 3 PERTIDAKSAMAAN A. SIFAT UMUM C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, Langkah penyelesaian: dan d ∈ R adalah sebagai berikut. 1. Kuadratkan kedua ruas. 1. a > b maka a + c > b + c 2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0. 2. a > b, c > d maka a + c > b + d 3. a > b, b > c maka a > c D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI 4. a > b, c > 0 maka a c > b c MUTLAK 5. a > b, c < 0 maka a c < b c Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan: 6. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2 7. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2 x = ïïìíïîïïïïï-0xxjjiijkkikaaaxxx=><000 8. a > 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0 b B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak: n Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan 1. x £ a Û -a £ x £ a tanda pada ruas yang paling kanan. 2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a n Pangkat genap memiliki tanda yang sama. n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan. 3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x)-g(x)) £ 0 4. f (x) £k Û ( f (x)- k ×g(x))( f (x) + k ×g(x)) £ 0 g(x) BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA A. DEFINISI B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN n Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang p q ~p p∧q p∨q pÞq pÛq bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus BB S B B B B benar dan salah. BS S S B S S SB B S B B S n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat SS B S S B B variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan C. NEGASI/INGKARAN semestanya. Beberapa operator yang digunakan dalam logika. No Operator Arti No Pernyataan Negasi/Ingkaran 1 pÙq  pÚ  q Nama Lambang 1 Negasi ~ Tidak, bukan 2 pÚq  pÙ  q 3 pÞq 2 Konjungsi Ù dan, tetapi 4 pÛq pÙ  q pÙ  q pÚ q pÙ q q 3 Disjungsi ∨ atau 4 Implikasi Þ jika...maka 5 Biimplikasi Û jika dan hanya jika [email protected] 5

D. EKUIVALENSI F. PENARIKAN KESIMPULAN Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama. Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q pÞq (B) p Þ q (B) p Þ q (B) p (B)  q (B) q Þ r (B) E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI \\  p (B) \\ p Þ r (B) \\q (B) n Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p n Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q n Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS A. SISTEM PERSAMAAN n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan: n Metode eliminasi m1 × m2 = -1 n Metode substitusi n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut n Metode campuran sebesar a dengan B. PERSAMAAN GARIS tana = m1 - m2 1. Melalui titik (x1, y1) dengan gradien m, berlaku: 1 + m1 × m2 y − y1 = m(x − x1) 2. Garis yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2) , berlaku: y − y1 = x − x1 y2 − y1 x2 − x1 3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku: y ax + by = a.b a x b C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS Diketahui garis g : y = m1x + c1 dan garis h : y = m2x + c2 maka n Garis g dan h sejajar jika m1 = m2 6 [email protected]

BAB 6 STATISTIKA DAN PELUANG A. STATISTIKA Data kelompok: 1. Rata-rata/mean ( x ) ∑Me = Q2 = tb +  1 n − f Data tunggal:  2 fk c   n n = banyak data, tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2 ixi==1d, a2t,a3k,e…-i,,n. ∑x xi ∑ f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me = x1 + x2 + ... + xn = n i =1 fk = frekuensi kelas yang memuat Me n Data kelompok: 4. Kuartil n Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian. ∑∑x fi xi fi = banyak data xi, Data kelompok: = f1x1 + f2x2 + ... + fn xn = i =1 fi n = f1 + f2 + ... + fn . f1 + f2 + ... + fn n (∑ )Q1  1 n − f i =1 = tb1  4 1 c Kuartil bawah (Q1): +   f1   2. Modus (Mo) Kuartil atas (Q3): (∑ )Q3  3 n − f Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak = tb3  4 3 c atau data yang paling sering muncul. +   n Data tunggal: f3   Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7. Dengan: Modus dari data tersebut adalah 7. n Data kelompok: tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3 (∑ ) (∑ )f1f / f3 =1 /f = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3 frekuen3si kelas yang memuat Q1/Q3 d1 Mo = tb +  d1 + d2  c 5. Jangkauan (J)   n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:   J = xmax − xmin stdbe1 b==etlsueepmliisnbihyaawfraehkukeenlassi modus dengan kelas kelas modus n Jangkauan antarkuartil (H): H = Q3 − Q1 d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya n Jangkauan semi antarkuartil (Qd): c = panjang kelas 3. Median (Me/Q2) Qd = 1 (Q3 − Q1) Median adalah nilai tengah dari data yang telah 2 diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau 6. Simpangan rata-rata (SR) Data kelompok: Data tunggal: kuartil tengah. Data tunggal: n n Jika n ganjil maka: Me = xn+1 ∑|xi − x | ∑ fi |xi − x | 2 SR = i=1 n SR = i=1 n xn + xn +1 ∑ fi Jika n genap maka: Me = 2 2 i =1 2 [email protected] 7

7. Ragam/variansi (R) Data kelompok: A1 × A2 × A3 × ... × In Data tunggal: Notasi Faktorial n n n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n 1! = 0! = 1 ∑|xi − x |2 ∑ fi |xi − x |2 dengan n bilangan asli R = S2 = i=1 n R = S2 = i=1 n ∑ fi i =1 8. Simpangan baku/deviasi standar (S) 1. Permutasi Data tunggal: Data kelompok: n Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah n n cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA) ∑|xi − x | ∑ fi |xi − x | S= i =1 S= i =1 n Rumus dan notasi yang digunakan dalam n permutasi adalah: n - Banyaknya permutasi n unsur yang diambil ∑ fi dari n unsur adalah P(n, r) = n! i =1 - Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: 9. Perubahan data P(n, r) = (n n! − r)! Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku n Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan l unsur yang sama Perubahan Ukuran Ukuran adalah: data pemusatan penyebaran ++ TETAP k! cara m!⋅ n!⋅ l! -- TETAP xx x :: : n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah Catatan: (n – 1)! - Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo, Me, Q1 . - Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H, Qd, S, R. 2. Kombinasi B. PELUANG n Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa Aturan Perkalian memperhatikan urutan-nya (AB = BA). n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan: n BdeannygaaknnnyCak atau C(n, k) . yang diambil dari n n Ape1 rtaadmalaa.h banyak cara untuk mengisi tempat kombinasi k unsur n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat unsur adalah kedua setelah tempat pertama terisi. n sAe3taedlaahlathebmapnaytapkecratraamuantduaknmkeendguiasitteermisip. at ketiga C(n, k) = (n n! − k)!k!  3. Peluang Kejadian n Asentaedlaahlathembapnaytapkerctaarma au,nkteudkuma,e.n..g, iksei tempat ke-n Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan (n – 1) terisi. rumus: Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia P(A) n(A) n(S) = banyaknya anggota semesta n(S) n(A) = banyaknya anggota A secara keseluruhan adalah: = P(A) = peluang kejadian A 8 [email protected]

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian b. Kejadian Saling Lepas Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling P(Ac ) = 1 − P(A) lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga 5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) adalah c. Kejadian Saling Bebas FH(A) = n × P(A) A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian 6. Peluang Kejadian Majemuk lainnya. a. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) BAB 7 TRIGONOMETRI Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan: sin(90o -a) = cosa sin(180o -a) = sina sin(90o + a) = cosa sin(180o + a) = -sina A b cos(90o -a) = sina cos(180o -a) = -cosa c cos(90o + a) = -sina cos(180o + a) = -cosa sin x = tan(90o -a) = cota tan(180o -a) = -tana tan(90o + a) = -cota tan(180o + a) = tana c cos x = a b c sin(270o -a) = -cosa sin(360o -a) = -sina sin(270o + a) = -cosa sin(360o + a) = sina x C tan x = b cos(270o -a) = -sina cos(360o -a) = cosa Ba a cos(270o + a) = sina cos(360o + a) = cosa tan(270o -a) = cota tan(360o -a) = -tana A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA tan(270o + a) = -cota tan(360o + a) = tana 0o 30o 45o 60o 90o ½3 1 Sin 0 ½ ½2 0 ½ Cos 1 ½ 3 ½ 2 ~ 3 Tan 0 13 3 1 B. SUDUT-SUDUT BERELASI 90o y C. IDENTITAS TRIGONOMETRI Kuadran II Kuadran I Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat: Semua positif Sin, Cosec 1. sin x = tan x 4. tan2 x +1 = sec2 x 180o positif 0o cos x 1 Kuadran III Kuadran IV 2. sin2 x + cos2 x = 1 5. cos x = sec x Tan, Cot Cos, Sec 3. 1 = cosec x 6. 1 + cot2 x = cosec2x Positif Positif sin x 360o [email protected] 9

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS 2sinx cos y = sin(x + y) + sin(x - y) 2cos x siny = sin(x + y)-sin(x - y) C Pada setiap segitiga sembarang 2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y) ABC berlaku aturan sinus, yaitu: -2sinx siny = cos(x + y)-cos(x - y) ba a b c sin A sinB sinC A c B = = Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN cosinus, yaitu: TRIGONOMETRI a. Sinus a2 = b2 + c2 -2bccos A sinx = sinα b2 = a2 + c2 -2accosB c2 = a2 + b2 -2abcosC x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α) + k.360o b. Cosinus cos x = cosα E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA x = ±α + k.360o Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan c. Tan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan: tanx = tanα C L = 1 bc sin A x = α + k.180o ba 2 k = ..., –1, 0, 1, 2, … A cB 1 L = 2 ac sinB L = 1 absinC 2 F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT sin(A + B) = sinAcosB + cos AsinB sin2x = 2sinx cos x sin(A − B) = sinAcosB − cos AsinB cos2x = cos2 x − sin2 x cos(A + B) = cos AcosB − sinAsinB = 2cos2 x − 1 cos(A − B) = cos AcosB + sinAsinB = 1 − 2sin2 x tan (A + B) = tanA + tanB tan2x = 2tan x 1 − tanA ⋅ tanB 1 − tan2 x tan (A − B) = tanA − tanB 1 + tanA ⋅ tanB G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS sin A + sinB = 2sin 1 (A + B)cos 1 (A − B) 2 2 sin A − sinB = 2cos 1 (A + B)sin 1 (A − B) 2 2 cos A + cos B = 2cos 1 (A + B)cos 1 (A − B) 2 2 cos A − cos B = −2sin 1 (A + B)sin 1 (A − B) 2 2 10 [email protected]

BAB 8 DIMENSI TIGA A. JARAK B. SUDUT n Jarak Antara Dua Titik n Sudut Dua Garis Bersilangan Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara kedua titik itu. melukis sudut antara garis g dan h adalah: - lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h, AB - sudutnya = sudut antara garis g’ dan h. Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara n Sudut Antara Garis g dan Bidang V titik A dan titik B. Langkah: n Jarak Titik ke Garis - proyeksikan garis g ke bidang V, sebut Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis. hasilnya g’, - sudutnya = sudut antara garis g dan g’. A n Sudut Antara Dua Bidang g Langkah: - tentukan perpotongan antara bidang V dan B W sebut l, - lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g, AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g - lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h, yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak - sudutnya = sudut antara garis g dan h. lurus g. n Jarak antara Titik dengan Bidang Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang. Jarak antara P dan bidang ditun- jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang. BAB 9 LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari- berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. jari = r. y ( x − a)2 + (y − b)2 = r2 A. PERSAMAAN LINGKARAN (a, b) r n Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari jari = r. y x2 + y2 = r2 (0, 0) x r x n Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan (0, 0) menyinggung sumbu x: [email protected] 11

y ( x − a)2 + (y − b)2 = b2 B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA (0, b) r LINGKARAN x 1. Diketahui titik singgungnya ( x1 ,y1 ) n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan n Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + menyinggung sumbu y: y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus: y x1x + y1y = r2 ( x − a)2 + (y − b)2 = a2 n Persamaan garis singgung pada lingkaran (a, 0) r ( x − a)2 + (y − b)2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus: x ( x − a)( x1 − a) + (y − b)(y1 − b) = r2 n Persamaan garis singgung di +ti2tibkyP+(xc1,=y10). pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax Rumus: n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan x1x + y1y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0 menyinggung garis px + qy + r = 0. y 2. Diketahui gradien m px + qy + r = 0 n Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) (a, b) d ( x − a)2 + (y − b)2 = d2 dan jari–jari r. Rumus: x Dengan d = ap + bq + r . Jari-jari lingkaran y = mx ± r 1 + m2 adalah d. p2 + q2 n Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus: y − b = m( x − a) ± r 1 + m2 1. Persamaan Umum Lingkaran C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Diberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran: Pusat  − A , − B  dan jari-jari r = A2 + B2 −C  2 2  4 4 L ≡ x2 + y2 = r2 . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara: 2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran n Substitusi garis g ke L. n Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi, Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan yaitu: L: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dtaenrhsaedbaupahlintgitkikarAa(nx1L, 1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada ay1d)a. lKaehd: udukan titik A(x1, y1) dua titik, K = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c 2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada n K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar satu titik (garis menyinggung lingkaran), lingkaran. 3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran. n K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam lingkaran. 1 23 n K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran. 12 [email protected]

BAB 10 SUKU BANYAK Bentuk umum: n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0, sisanya = f( b ). adm0eadnsigisnaegnbpuaetnuk≠ob0eafh,isn(ivebanri-liakaonbegeafli)nsxiecynaacsnaughk.muabenar,unapynaa-1kk, adanna-r2k,iomn.s.a.tsa,innatg1a-, a r(keoanl sdtaanntaa).n ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap n Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x) maka f(a) = 0. D. TEOREMA FAKTOR A. NILAI SUKU BANYAK n Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor Nilai dari f(k) dapat dicari dengan: dari suku banyak f(k). 1. Cara Substitusi n Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b) = 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b). Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak n Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah tersebut untuk x = 1 adalah akar dari f(x). f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5 2. Metode Horner Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK f(h) diperoleh cara sebagai berikut. ha b c d n Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0 ah ah2 + bh ah3 + bh2 + ch + 1. x1 + x2 + x3 b =−a a ah + b ah2 + bh + c ah3 + bh2 + ch + d c Berarti kalikan dengan h 2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK 3. x1 .x2 .x3 = − d a Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka n Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x), secara matematis pembagian ini dapat ditulis: 1. x1 + x2 + x3 + x3 = b −a f(x) = h(x) g(x) + s(x) 2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = c a Keterangan: 3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = d −a f(x) = yang dibagi à berderajat n g(x) = pembagi à berderajat k 4. x1.x2.x3.x4 = e h(x) = hasil bagi à berderajat (n – k) a s(x) = sisa à berderajat (k – 1) Catatan: k < n C. TEOREMA SISA n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka sisanya = f(a). n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka sisanya = f(–a). [email protected] 13

BAB 11 FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika f ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut x f(x) daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau f-1 range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan AB setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis f : A → B . Sehingga jika f(x) = y maka f-1 (y) = x. Fungsi invers berlaku: A. FUNGSI KOMPOSISI f (a) = b ⇔ f -1(b) = a f g Rumus, x f(x) g(f(x)) f (x) = ax +b Þ f -1 (x) = -dx + b cx +d cx -a AB C C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI gof fg (g f )(x) = f ( f (x)) Sifat-sifat fungsi komposisi: x f(x) g(f(x)) n f  g ≠ g  f AB C n f  (g  h) = ( f  g)  h = f  g  h gof n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka (gof)-1 berlaku I  f = f  I dan f  f −1 = f −1  f = I Sifat: B. FUNGSI INVERS ( )(g  f )−1 ( x ) = f −1  g−1 ( x ) Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x) dinotasikan f −1(x) . BAB 12 LIMIT A. TEOREMA LIMIT n lim k. f(x) = k. lim f(x), k konstanta x→a x→a Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, dengan k konstanta, n lim { f(x). g(x)} = lim f(x). lim g(x) k dan a∈ real x→a n n n x→a f (x) lim f (x) x→a x→a g(x) g(x) , lim lim = x→a g(x) ≠ 0 x→a n x→a lim { }n Jika f(x) = x, maka lim f(x) = a x→a f (x) n x→a lim{ f (x)}n = lim lim { f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x) x→a x→a x→a x→a x→a 14 [email protected]

B. LIMIT ALJABAR C. LIMIT TRIGONOMETRI 1. Bentuk 0 lim sin x = 1 lim sin mx = m 0 x x→0 nx n x→0 a. Dengan pemfaktoran. lim x 1 lim sin m(x − a) m b. Dengan aturan L’Hospital diperoleh: sin x = n(x − a) = n x→0 x→a F(x) F '(x) F '(a) lim G(x) = lim G '(x) = G '(a) lim tanx =1 x→0 x x→a x→a 2. Bentuk tak tentu ∞ lim x x =1 ∞ x→0 tan lim ax n + bxn−1 + ... + c =L Beberapa rumus bantu: px m + qxm−1 + ... + r x→∞ 1. sin 2 x + cos 2 x = 1 2. sin 2x = 2 sin x cos x n Untuk n =m ⇒ L = a p 3. cos 2x = cos 2 x – sin 2 x n Untuk n > m ⇒ L = ∞ 4. 1 – cos 2x = 2 sin 2 x 5. 1 + cos 2x = 2cos 2 x n Untuk n < m ⇒ L = 0 3. Bentuk tak tentu ∞ − ∞ Rumus cepat: ( )lim ax2 + bx + c - px2 + qx + r = b-q (Jika a = p) x®¥ 2a = (Jika a > p) = -  (Jika a < p) BAB 13 TURUNAN A. DEFINISI 3. Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi. Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x) y' f '(x) = lim f (x + h) − f (x) = h→0 h 4. Turunan perkalian fungsi. Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x) B. RUMUS DASAR 5. Turunan pembagian fungsi. 1. Turunan suatu konstanta c. Jika y = u(x) maka y ' = u '(x).v(x) − u(x).v '(x) Jika y = c maka y’ = 0 v(x) v2 (x) 2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta. Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x) 6. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai). Jika y = f(g(x)) adalah dy = dy . dg dx dg dx [email protected] 15

7. Turunan fungsi pangkat. Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1. Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n−1 m =f ’(x1) Turunan Trigonometri Persamaan garis singgungnya: n f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax n f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax y − y1 = m(x − x1) n f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec 2 ax n Interval fungsi naik dan interval fungsi turun Kurva naik jika: f’(x) > 0 Kurva turun jika: f’(x) < 0 C. PENERAPAN TURUNAN n Keadaan stasioner n Gradien (m) garis singgung di titik ( x1 ,y1 ) pada Bila keadaan stasioner terjadi di titik (x1 ,y1) maka kurva f(x) f’(x1) = 0. y1 = f (x1) disebut nilai stasioner. ( x1 ,y1 ) m = f’(x) Jadi nilai maksimal/minimum adalah . (x1 , f (x1 )) f(x) Catatan: Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/ titik balik. BAB 14 INTEGRAL C. INTEGRAL PARSIAL Integral adalah anti turunan. ∫UdV = UV − ∫VdU ∫ f ′(x)dx = f (x) + C D. LUAS DAERAH A. RUMUS DASAR b 1. ∫a dx = ax + C ∫ ( )L = yatas − ybawah dx 1 a ∫2. x n dx = n + 1 x n+1 + C, syarat n ≠ −1 b L = ∫(y2 − y1 )dx a 3. ∫ 1 dx = ln x + C x d 4. ∫sinx dx = −cos x + C ∫ ( )L = xkanan − xkiri dy c 5. cos x dx = sinx + C d ∫∫6. 1 sinm x c os xdx = m+ 1s inm+1 x + C L = ∫( x2 − x1 )dy c ∫ 7. cosm x sinx dx = −1 cosm+1 x + C m+1 [email protected] 8. ∫( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫g(x) dx B. INTEGRAL SUBSTITUSI ∫f '(x)⋅( f (x))ndx = ( f (x))n+1 +C n+1 16

E. VOLUME BENDA PUTAR Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r ≤ x ≤ s , maka Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p ≤ x ≤ q , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2 terhadap sumbu y. volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila diputar terhadap sumbu x. q ∫V = π (y2)2 − (y1)2  dx p q ∫V = π (y jauh )2 − (ydekat )2  dx p s ∫V = π (x2)2 − (x1)2  dy r s ∫V = π (x jauh )2 − (xdekat )2  dy r s BAB 15 PROGRAM LINEAR Program linear adalah salah satu bagian dari B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matematika Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian (maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentu- optimum). kan dengan: n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model  Penggunaan Garis Selidik matematika kendala/syarat/masalah berupa sis- Jika fungsi objektif f (x,y) = Ax + By + C , maka tem pertidaksamaan linear. garis selidiknya adalah Ax + By + C = k . n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis dahulu membuat model matematika. Sasaran pro- gram berupa sebuah fungsi linier yang disebut batas paling kanan yang dilintasi garis selidik. fungsi sasaran/tujuan/objektif. n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.  Pengujian Titik Pojok Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan Jika fungsi objektif f (x,y) = Ax + By + C disubstitusi sebagai berikut. dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif. yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum n Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah pe- dari fungsi objektif tersebut. nyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 . n Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 . [email protected] 17

BAB 16 BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMATIKA n Suku pertama = U1 = a Barisan dengan selisih di antara dua suku yang n Rasio ⇒ r = U2 = U3 = ... = Un berurutan besarnya sama. n Suku ke-n U1 U2 Un−1 Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2. Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada Un = a ⋅ r n−1 barisan aritmatika maka: n Jumlah n suku pertama (Sn ) n Suku pertama = U1 = a ( ) ( )Sn a 1 − rn a rn −1 n Beda ⇒ b = U2 − U1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1 = 1−r atau Sn = r −1 n Suku ke-n Un = a + (n − 1)b C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA n Jumlah n suku pertama (Sn ) n Rumus jumlah deret geometri tak hingga: Sn = n (2a + (n − 1)b) atau Sn = n (a + Un ) S∞ = a r 2 2 1− n Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil: B. BARISAN GEOMETRI Sganjil = a 1 − r2 Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama. n Jumlah tak hingga dari suku-suku genap: Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2 Sgenap = ar Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada 1 − r2 barisan geometri, maka: n Rasio deret geometri tak hingga: Sgenap r = Sganjil Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 . BAB 17 MATRIKS Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan disusun dalam baris dan kolom. banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m × n, dan ditulis Amn. Contoh: Kesamaan Matriks  a11  a1n    Dua buah matriks dikatakan sama jika: A =      1. ordonya sama am1  amn 2. anggota yang seletak harus sama Dengan: a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1 amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n 18 [email protected]

Contoh: Determinan matriks B: – –– A  a1 a2 a3  B  b1 b2 b3  =  a4 a5  =  b4 b5  abc abc  a6   b6  det B = B = d e f d e f Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, gh i gh i a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6 +++ Transpose Matriks = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb) Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu C. INVERS matriks baru yang disebut transpose matriks. n Suatu matriks mempunyai invers jika Transpose matriks A = At = AT determinannya tidak nol. A =  a b ⇒ A−1 = 1 d −b   c  −   B. DETERMINAN  d  ad bc  −c a  Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi. n Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0 n Matriks 2 × 2: A =  a b ( )n A−1 −1 = A  c   d  n A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I 1 0 0 1 Determinan matriks A: det A = A = ad − bc Dengan: I2×2 =  1 0 I3 x 3 =  0 0 0  , I = matriks  0   0 1   1  a b c identitas. n Matriks 3 × 3: B =  d e f   g h i  BAB 18 VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan 2. Panjang vektor a dinotasikan sebagai arah. Notasi vektor: a, b, c , dan seterusnya. a = a12 + a22 + a32 a dibaca “vektor a”. B(x2 ,y2 ,z2 ) 3. Jika a = (a1 ,a2 ,a3 ) dan b = (b1 ,b2 ,b3 ) maka A(x1 ,y1 ,z1) a + b = (a1 + b1 ,a2 + b2 ,a3 + b3 ) AB = B − A = ( x2 − x1 ,y2 − y1 ,z2 − z1 ) 4. Jika k adalah skalar, dan a = (a1 ,a2 ,a3 ) maka ka = (ka1 ,ka2 ,ka3 ) Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat. Vektor Satuan Vektor posisi dari titik A adalah OA = a . n Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu Sehingga dari definisi vektor posisi AB = b − a . satuan. Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. n Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0) A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR dan vektor satuan searah sumbu y adalah  a1  j = (0, 1, 0) dan vektor satuan searah sumbu z   adalah k = (0, 0, 1) . 1. a = a1i + a2 j + a3k = ( a1 , a2 ,a3 ) =  a2  a3 n Vektor satuan dari a adalah a . a [email protected] 19

Rumus Pembagian Ruas Garis C. PROYEKSI Jika p adalah vektor posisi dari titik P yang membagi garis a b c AB dengan perbandingan θ a b c AP : PB = m : n , maka a b c p = m.b + n.a Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka: m + n n Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ): B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT) c = a cosθ = ab.b n Diketahui a = (a1 ,a2 ,a3 ) dan b = (b1 ,b2 ,b3 ) maka n Vektor c proyeksi vektor a pada b : a.b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 c =  a.b  .b  b 2  ( )n Diketahui a , b dan ∠ a,b = α maka   a.b = a . b .cosθ ⇔ cos θ = aa..bb   BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks B. REFLEKSI/PENCERMINAN MT = a b maka P(x,y) MT→P'(x',y') dengan n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x  c d  menghasilkan bayangan P’(x, –y).  x ' =  a b x P(x,y) sumbu x→P'(x,−y)  y '   c d  y  1 0 Matriks transformasinya adalah  −1   0 A. TRANSLASI n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek menghasilkan bayangan P’(–x, y). sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. P(x,y) sumbu y→P'(−x,y) Matriks transformasinya adalah  −1 0    0 1  n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x menghasilkan bayangan P’(y, x). P(x,y) garisy=x→P '(y, x) Matriks transformasinya adalah 0 1   Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T  1 0  = a , maka  x' =  x  +  a . Jadi P '(x + a,y + b) .  b     y   b   y '     20 [email protected]

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x n Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α menghasilkan bayangan P’(–y, –x) P(x,y) garisy=−x→P'(−y,−x) Matriks transformasinya adalah 0 −1     −1 0  n Matriks refleksi terhadap garis y = x + k  x '  =  0 1   y x k  +  0   x '− a   cosα −sinα  x − a   y '   1 0   −   k   y '− b   sinα            =   n Matriks refleksi terhadap y = –x + k cosα  y − b   x '  =  0 −1  y x k  +  0   y '   −1 0  −   k         D. DILATASI n Refleksi terhadap garis x = h P(x,y) x=h→P'(2h − x,k) Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu n Refleksi terhadap garis y = k bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang P(x,y) y=k→P'(x,2k − y) bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor dilatasi (faktor skala). n Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k P(x,y) x=h,y=k→P'(2h − x,2k − y) adalah n Pencerminan terhadap dua garis yang saling berpotongan k 0  0 k  Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yaitu garis y1 = m1x + c1 dan y2 = m2 x + c2 n Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k akan menghasilkan rotasi dengan: a. pusat di titik potong dua garis,  x'   k 0 x  y'   0 k  y  b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat = sudut antara kedua garis, n Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k c. arah rotasi sama dengan arah dari garis x '− a k 0 x −a y '− b 0 k  y − b  pertama ke garis kedua.   =     Jika α sudut yang dibentuk antara garis y1 = m1x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka tanα = m1 − m2 . E. KOMPOSISI TRANSFORMASI 1 + m1 ⋅ m2 Jika transformasi T1 bersesuaian dengan matriks M1 C. ROTASI dan transformasi T2 bersesuaian dengan matriks M2 , maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis T2 T1 Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 . oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya. n Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α  x '  =  cosα −sinα  x   y '   sinα cosα  y  [email protected] 21

Program IPA Fisika BAB 1 BESARAN Besaran adalah sesuatu yang memiliki nilai dan dapat B. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR diukur. Menurut penyusunnya besaran dibagi menjadi - Besaran skalar: besaran yang hanya memiliki nilai dua, yaitu besaran pokok dan turunan. Sedang menurut arahnya terbagi menjadi 2, yaitu besaran skalar dan tetapi tidak memiliki arah, contoh: massa dan vektor. waktu. - Besaran vektor: besaran yang memiliki nilai dan arah, contoh: kecepatan, perpindahan, momentum. A. BESARAN POKOK DAN BESARAN TURUNAN n Dua Vektor Berpadu - Besaran pokok: besaran yang satuannya telah Resultan: R = F1 + F2 = (F1 )2 + (F2 )2 + 2F1F2 cosθ ditentukan terlebih dahulu. - Besaran turunan: besaran yang diturunkan dari Selisih: F1 − F2 = (F1 )2 + (F2 )2 − 2F1F2 cosθ besaran pokok. n Resultan dari Dua Vektor dengan Sudut Tertentu Satuan dan Dimensi Besaran Pokok Besaran Pokok Satuan Dimensi R = (F1 )2 + (F2 )2 R = F1 − F2 R = F1 + F2 panjang m [L] massa kg [M] n Uraian Vektor waktu s [T] A [I] kuat arus listrik K [q] y suhu cd [J] mol [N] F1 F intensitas cahaya jumlah zat Contoh Besaran Turunan Fx = F cosα dan Fy = F sinα Besaran Turunan Satuan Dimensi ∑∑Arah: tanα = Fy Percepatan (a) m/s2 LT-2 Fx Gaya (F) MLT-2 Momentum (p) kg m/s2 = newton a x Energi/usaha kg m/s ML T-1 F2 Daya (P) ML2 T-2 kg (m/s)2 = joule ML2 T-3 kg m2/s3 22 [email protected]

C. PENGUKURAN Ketelitian e. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk Alat ukur 1 mm tempat titik desimal adalah bukan angka penting. Mistar 1 mm Rol meter 0,1 mm Contoh: 0,0075 memiliki 2 angka penting. n Aturan Penjumlahan atau Pengurangan Jangka sorong 0,01 mm Mikrometer sekrup Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mengandung satu angka taksiran (angka terakhir D. ATURAN ANGKA PENTING dari suatu bilangan penting). Contoh: 4,461 → 1 adalah angka taksiran a. Semua angka bukan nol adalah angka penting. 1,07 + → 7 adalah angka taksiran 5,531 → ada dua angka taksiran b. Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan Sehingga dibulatkan menjadi 5,53; karena hanya boleh mengandung satu angka taksiran. nol termasuk angka penting. Contoh: 3,002 memiliki 4 angka penting. c. Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir n Aturan Perkalian atau Pembagian dari angka-angka yang ditulis di belakang koma Hasil operasi perkalian atau pembagian hanya desimal termasuk angka penting. boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan Contoh: 0,03600 memiliki 4 angka penting. yang angka pentingnya paling sedikit. Contoh: 2,42 → 3 angka penting 2,30 memiliki 3 angka penting. 1,2 ´ → 2 angka penting d. Dalam notasi ilmiah, semua angka sebelum orde 2,904 → 4 angka penting termasuk angka penting. Contoh: 2,6´ 104 memiliki dua angka penting. Dibulatkan menjadi 2,9 (2 angka penting). 9,60´ 104 memiliki tiga angka penting. BAB 2 KINEMATIKA GERAK LURUS Suatu benda dikatakan bergerak jika ia berpindah Penerapan dari GLBB posisi ditinjau dari suatu titik acuan dalam selang waktu tertentu. 1. Gerak jatuh bebas kecepa tan perpindahan besaran vektor ♦ a = g (percepatan gravitasi) waktu = ⇒ ♦ VVt0 =0 ♦ ht lintasan h =gt waktu ♦ laju = ⇒ besaran skalar = 1 g.t 2 2 Konsep: Gerak Lurus, dibagi menjadi 2; GLB (a = 0) 2. Gerak benda dilempar vertikal ke atas dan GLBB (a≠0). A. GERAK LURUS BERATURAN (GLB) ♦ a = –g ♦ Ketinggian maksimum: ♦ Percepatan, a = 0 vo2 ♦ SVt==VVt0 hmaks hmax = 2.g ♦ ♦ Waktu sampai puncak: vo B. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN (GLBB) tpuncak = g ♦ a ≠ 0 ♦ Vt = Vo + at SVtt2==VV0 t02++12/a2sa t2 ♦ ♦ [email protected] 23

C. PERPADUAN DUA GERAK LURUS n Percepatan: a = dv dt 1. GLB dengan GLB ( ) besar (|a|): a = (ax )2 + ay 2 vP vS vR = (vP )2 + (vS )2 v = ∆r r2 − r1 vR n Kecepatan rata-rata: ∆t = ∆t 2. GLBB dengan GLB Percepatan rata-rata: a = ∆v v2 − v1 ∆t ∆t Benda diluncurkan horizontal dari ketinggian h n = dengan kecepatan v. v ♦ Waktu sampai di tanah: E. GERAK MELINGKAR t= 2h Konsep: g Rumus gerak melingkar beraturan (GMB) identik h dengan GLB, dan gerak melingkar berubah beraturan ♦ Jarak mendatar maksimum: (GMBB) identik dengan GLBB. Xmaks Xmaks = v 2h g 3. Gerak parabola Hubungan gerak rotasi dan gerak lurus Ymaks S =q.R a = α. R V = w. R w = 2 π f = 2 π/T vo 1. Sifat dari sistem roda sederhana a Xmaks Dua roda Bersinggungan Dihubungkan sepusat tali n Kecepatan: arah X: vvyx = vvooscionsaa– g.t A AB AB arah Y: = Posisi: n arah X = (vocosa).t dan ωA = ωB vA = vB vA = vB arah Y = (vosina)t – 1 g.t2 tp = v0 sinα Waktu sampai ke g 2 . Gerak Melingkar Beraturan (GMB , α = 0) 2 puncak: Tinggi maksimum: Ymax = v02 sin2 α θ = ω.t Fs = m V2 , as = V2 2g Gaya sentripetal: R R Jarak mendatar maksimum: 3. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB, α = konstan) Xmax = 2.v02 sinα cosα = v02 sin(2α) g g wt = wo + a.t V2 V2 qt = wo.t + ½ a.t2 Fs m R , as R D. PERSAMAAN GERAK LURUS wt2 = wo2 + 2 a.qt = = ∫n Posisi benda: r(t) = x(t)i + y(t) j atau r(t) = v.dt + r0 a total = at2 + as2 besar (|r|): r = ( x )2 + (y )2 Kecepatan: v dr atau v(t ) a.dt + v0 ∫n = dt = ( ) besar (|v|): v = (vx )2 + vy 2 24 [email protected]

BAB 3 GAYA Gaya adalah tarikan atau dorongan. a = wA − wB ; a = wA ; a = w A − wB.sinθ mA + mB mA + mB mA + mB ∑F = m.a m = massa benda (kg) a = percepatan sistem (massa A dan massa B) a = percepatan benda (m/s2) Konsep: T = tegangan tali ; TA = TB = T Resultan gaya ⇒ gaya yang searah dijumlahkan, dan mNm AB = massa B yang berlawanan arah dikurangkan. = massa A 1. Hukum Newton n Hukum Newton I = gaya normal ∑F = 0 , a = 0, benda diam atau GLB 4. Gaya pada Gerak Melingkar n Hukum Newton II Gaya sentripetal: ∑F = m.a , a ≠ 0, benda ber-GLBB Fs = m v2 = mω2R R n Hukum Newton III F aksi = –F reaksi Percepatan sentripetal: 2. Gaya Gesek Arah Fs: ke pusat ingkaran. as = v2 = ω2R Gaya gesek adalah gaya yang timbul akibat gesekan R dua benda. n Tali berputar vertikal Di titik tertinggi (B): W FS Di titik terenFdsa=h T+w T (A): Di titik C: Fs = T – w Fs = T – w.cosq w = berat benda T = tegangan tali Fx = gaya searah perpindahan n Tali berputar horizontal (menyebabkan pergeseran) FS Fs = T = tegangan tali fgesek = gaya gesek = koefisien gesek statis ms = koefisien gesek kinetis mk n Pada luar bidang melingkar Benda dari keadaan diam, maka N Di titik tertinggi (A): (i) Jika Fx ≤ µsN ⇒ benda diam ⇒ fgesek = Fx N FS Fs = w – N (ii) Jika Fx > µsN ⇒ benda bergerak dengan FS W Di titik B: percepatan a ⇒ fgesek = µkN W Fs = w.cosq – N N adalah gaya normal benda, yaitu gaya yang diberikan N = gaya normal bidang pada benda, tegak lurus dengan bidang. n Pada dalam bidang melingkar Di titik tertinggi (B): 3. Kasus pada Sistem Katrol Licin WN Fs = N + w FS Di titik terendah (A): Fs = N – w WB WA WA WA [email protected] 25

5. Pada Kasus Tikungan v = laju maksimum kendaraan mRs==jakorie-jfaisriiepnugtaersaenkajanlasnta tis ant ara rod a dengan jalan q = sudut kemiringan jalan terhadap horizontal g = percepatan gravitasi Ketika suatu kendaraan membelok di tikungan, bisa 6. Kasus pada Tong Stan Laju minimum putaran motor: didekati sebagai gerak melingkar agar tidak terjadi selip g.R µs maka: vmin = n Tikungan Datar: v2 = µs R.g n Tikungan Miring: v2 = µs + tanθ R.g 1− µs tanθ BAB 4 USAHA DAN ENERGI A. USAHA sehingga: Usaha adalah kerja atau aktivitas yang menyebabkan suatu perubahan, dalam mekanika, kuantitas dari n Laju benda berubah: suatu kerja atau usaha diberikan sebagai berikut. W = Ekakhir − Ekawal = 1 mv22 − 1 mv12 F cosθ 2 2 n Posisi tinggi benda berubah: W = Epakhir − Epawal = mg(∆h) Jika sebuah benda ditarik dengan gaya sebesar F dan Hukum Kekekalan Energi Mekanik benda berpindah sejauh S , maka usaha yang dilakukan gaya terhadap benda adalah: Pada sistem yang konservatif (hanya gaya gravitasi saja yang diperhitungkan) berlaku kekekalan energi W = F . S . cos θ mekanik, yaitu energi mekanik di setiap kedudukan adalah sama besar. Contoh-contohnya: untuk q = 0o, maka W =F.S B. ENERGI Energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha EMA = EMB = EMC atau kerja. Dari hukum kekekalan energi mekanik pada kasus n Energi Kinetik: Ek = 1 m.v2 gambar-gambar di atas, untuk puncak dan dasar 2 berlaku: n Energi Potensial Gravitasi: Ep = m.g.h n Energi Mekanik: EM = Ek + Ep vA = 2.ghB atau hB = v 2 A 2.g Usaha dapat merubah energi yang dimiliki benda 26 [email protected]

Sebuah Bandul Diputar Vertikal Usaha dan Energi Potensial Pegas Dari penerapan hukum kekekalan energi mekanik, Energi potensial pegas: EP = 1 k.x 2 maka syarat agar bandul bergerak 1 lingkaran penuh 2 adalah: Usaha: W ∆EP 1 k.x22 1 k.x12 = = 2 − 2 Laju di titik tertinggi (B): vB = g.R Jika simpangan di mulai dari titik setimbang, maka: Laju di titik terendah (A): W = EP = 1 k.x2 k = konstanta pegas (N/m), VA vB = 5g.R 2 x = simpangan pegas (m). Energi pada Gerak Harmonis n Energi potensial: Energi pada Gerak Parabola EP = 1 k.A2 sin2 θ 2 Di dasar: )2 k = konstanta pegas, A = amplitudo, q = sudut fase. n Energi kinetik: EP = 0 dan EK = 1 m.(vo 2 Di puncak: EK = 1 k.A2 cos2 θ 2 EP = 1 m.(vo )2 . sin2 α k = m.w2; m = massa; w = 2pf 2 n Energi mekanik: EK = 1 m.(vo )2 .cos2 α EM = EP + EK 2 Energi Potensial Gravitasi EP = −G M.m R G = konstanta gravitasi R = jarak 2 massa BAB 5 GAYA GRAVITASI DAN PEGAS A. GAYA GRAVITASI 2. Hukum Keppler a. Hukum Keppler I F = G M1 .M2 “Lintasan planet berbentuk elips dan R2 matahari di salah satu titik fokusnya”. Aphelium: titik terjauh, Perihelium: titik F = gaya tarik-menarik a=n6t,a6r7a3M×11d0a-1n1 MNm2 2/kg2 terdekat. G = konstanta gravitasi b. Hukum Keppler II “Garis yang menghubungkan planet dan 1. Kuat Medan Gravitasi (Percepatan Gravitasi) matahari akan menyapu luas juring dan dalam waktu yang sama”. Medan gravitasi: tempat di mana gaya gravitasi terjadi. I II g G M III R2 = [email protected] 27

Jika: 2. Gerak Harmonik pada Pegas luasan I = luasan II = luasan III ⇒ tAB = tCD = n Simpangan tEF tAB = waktu dari A ke B y = Asinθ ϕ θ q = wt + qo c. Hukum Keppler III = 2π “Perbandingan kuadrat periode revolusi y : simpangan getar (m) planet (T2) terhadap jari-jari rata-rata planet A : amplitudo (simpangan maksimum) (m) pangkat tiga (R3) selalu tetap untuk setiap q : sudut fase planet.” w : frekuensi sudut (rad/s) q0 : sudut fase awal Dirumuskan: n Kecepatan getar  TA 2 =  RA 3  TB  RB       v = ω.Acosθ = ω A2 − y2   v: kecepatan getar B. ELASTISITAS y: simpangan getar A: amplitudo (simpangan maksimum) 1. Tegangan 3. Modulus Young n Frekuensi sudut (rad/s) τ = F Y = τ = F.L A ε A.∆L 2π ω = T = 2π f F : gaya A : Luas penampang f = frekuensi getaran (Hz) 2. Regangan T = periode getaran (s) ∆L n Percepatan getar L ε = a = −ω2.Asinθ = −ω2y y : simpangan getar A : amplitudo (simpangan maksimum) DL : perubahan panjang L : panjang mula-mula C. PEGAS n Frekuensi dan periode pada pegas dan bandul sederhana 1. Gaya Pada Pegas Jika pegas diberi gaya akan mengalami perubahan f = 1 k T = 1 panjang yang dirumuskan: 2π m f F = k.x k = konstanta pegas F : gaya yang menarik/ Sedangkan untuk ayunan bandul sederhana mendorong pegas frekuensi diberikan: k : konstanta pegas (N/m) f = 1 g x : perubahan panjang (m) 2π l f = 1 gg : percepatan gravitasi 2π l : panjang tali 28 [email protected]

BAB 6 IMPULS DAN MOMENTUM A. IMPULS DAN MOMENTUM B. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM 1. Impuls (I) Pada proses tumbukan/ledakan berlaku kekekalan Gaya bekerja pada suatu benda dalam selang waktu momentum. Dt adalah Impuls (I). n Untuk gaya F tetap ∑ psebelum = ∑ psesudah m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ I = F.∆t C. TUMBUKAN n Untuk gaya F = f(t) Kelentingan suatu tumbukan ditentukan dengan koefisien restitusi (e). ∫I = tt12F.dt e = − (v1′ − v2′ ) n Untuk grafik (F - t), impuls I dinyatakan oleh − v2 luas di bawah grafik. v1 F 1. Lenting Sempurna: Koefisien restitusi e = 1 2. Lenting Sebagian: Koefisien restitusi 0 < e < 1 3. Tidak Lenting Sama sekali: Koefisien restitusi e = 0 t D. BENDA DIJATUHKAN DAN MEMANTUL I = luas daerah yang diarsir Benda yang jatuh kemudian memantul, maka besarnya Impuls juga merupakan perubahan hukum koefisien restitusi dirumuskan dengan: momentum. Dapat ditulis: e v1 ' h2 I = ∆p = pakhir − pawal v1 h1 = − = 2. Momentum (p) p = mv Berlaku: p = momentum (kgms-1), besaran vektor e= hn+1 m = massa (kg) hn v = kecepatan (ms-1) Dengan hn adalah tinggi pantulan ke-n (n = 0, 1, 2). [email protected] 29

BAB 7 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR A. DINAMIKA ROTASI n Hukum Dinamika Rotasi: Gerak Lurus Gerak Rotasi Hubungan ∑τ = I.α Keduanya Kita dapat meninjau suatu kasus benda yang θ θ = S menggelinding (berotasi dan bertranslasi) seperti R gambar di bawah ini. R: jari-jari Dinamika lurus: ... (1) putarannya F – fgesek = m.a v = dS ω = dθ ω = v dt dt R Dinamika rotasi: a = dv α = dω α a dt dt = R t = I.a M= omeFn Momen gaya τ = R.F.sinθ ffggeesseekk(=R) k=.mk..ma .R2 ( a ) ∑Gaya R Gaya== ∑τ q: sudut antara F ... (2) dengan R I = k.m.R2 Persamaan (2) disubtitusikan ke (1) akan didapat: k = konstanta Massa = m Momen Untuk satu partikel k = konstanta pada rumus momen inersia: silinder pejal Inersia = I k=1 k= 1 ; bola pejal k = 2 ; dan seterusnya. 2 5 n Momen Inersia Untuk beberapa kasus seperti gambar dapat diberikan Besaran yang analog dengan massa untuk gerak percepatannya adalah: rotasi. a = g.sinθ a = (1 g k ) l = k . m . R2 1+k + dengan k = konstanta. Untuk benda yang sudah baku diberikan tabel sebagai berikut. No Bentuk Benda Momen Inersia 1 Benda berupa titik I = mR2 2 Benda panjang, homogen, I= 1 ml2 a = mA wA − wB a = mA + wA k.Mkatrol a = wA − wB sinθ diputar di salah satu ujung 3 + mB + k.Mkatrol mB + mA + mB + k.Mkatrol 3 Benda panjang, homogen, I= 1 ml2 diputar tepat di tengah 12 n Energi Kinetik 4 Bola berongga I= 2 mR2 Untuk benda menggelinding (rotasi & translasi) 3 1 5 Bola pejal Ektranslasi = 2 .m.v 2 I= 2 mR2 5 6 Silinder berongga tipis I = mR2 Ekrotasi = 1 .I.ω 2 = 1 .(kmR2 )(Rv )2 = 1 .km.v 2 2 2 2 7 Silinder pejal I= 1 mR2 Ektotal = Ektranslasi + Ekrotasi = 1 mv 2 (1 + k) 2 2 8 Silinder berongga tidak tipis I= 1 m(R12 + R22) 2 30 [email protected]

Ektotal = 1 m.v 2 (1 + k ) ; m.gh = 1 m.v2 (1 + k ) n Kesetimbangan Rotasi 2 2 Setimbang rotasi jika di setiap titik tumpu: jumlah momen gaya = 0 ⇒ ∑τ = 0 - Jika terdapat gaya w, F, dan T bekerja pada batang seperti gambar: vA = 2g.h ;vA = laju di dasar (1 + k) n Momentum Sudut L = I.ω ∑ ∑Lsebelum = Lsesudah - Jika sistem tetap dalam keadaan setimbang rotasi maka: n Usaha dan Daya pada Gerak Rotasi ∑τ = 0 Usaha: W = τ .θ Daya: P = W t ⇔ (w) (RW ) . sinθW + (F) (RF ) . sin θF - (T)(RT ) sinθT = 0 ⇔ (w) (RW ) . sinθW + (F) (RF ) . sinθF = (T) (RT ) sinθT B. KESETIMBANGAN BENDA TEGAR n Titik Berat a. Titik berat benda pejal homogen Benda dikatakan setimbang jika benda tidak bergerak (percepatan = 0) baik secara translasi atau secara rotasi. No Bentuk Benda Titik Berat n Secara Translasi 1 Silinder pejal yo = ½ t - Gaya-gaya dalam arah mendatar haruslah = 0 2 Bola pejal yo = R 3 Limas pejal yo = ¼ t ∑Fx = 0 4 Kerucut pejal yo = ¼ t 5 Setengah bola pejal yo = 3/8 R - Gaya-gaya dalam arah vertikal haruslah = 0 b. Titik berat benda homogen berbentuk garis ∑Fy = 0 No Bentuk Benda Titik Berat Sehingga jika diberikan kasus setimbang di bawah: θ 1. Garis lurus y0 = 1 l 2 2. Busur lingkaran y0 = R = AB AB Busur setengah 3. lingkaran y0 = 2 R π 4. Segitiga siku-siku x0 = 1 x ; y0 = 1 y 3 3 ∑Fx = 0 ⇒ w2 – Tcosq = 0 ⇒ w2 = Tcosq ∑Fy = 0 ⇒ w1 – Tsinq = 0 ⇒ w1 = Tsinq c. Titik berat benda berbentuk luasan (selimut bangun ruang) n Setimbang oleh 3 Buah Gaya Berlaku: No Bentuk Benda Titik Berat 1. Kulit kerucut y0 = 1 l 3 2. Kulit limas y0 = 1 t 3 F1 F2 F3 sinθ1 = sinθ2 = sinθ3 3. Kulit setengah bola y0 = 1 R 2 4. Kulit silinder y0 = 1 t 2 Titik berat gabungan dari benda-benda teratur yang mempunyai berat W1, W2, W3, … dan seterusnya. [email protected] 31

∑∑xo =wn xn = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 + ... w (berat) ~ m (massa) ~ V (Volum) ~ A (luas) ~ L wn w1 + w2 + w3 + ... (panjang) ∑∑yo =wnyn w1 y1 + w2y2 + w3y3 + ... ⇒ rumus di atas bisa diganti dengan besaran- wn w1 + w2 + w3 + ... besaran di atas. = w = berat benda BAB 8 GELOMBANG A. GELOMBANG MEKANIK Gelombang adalah getaran yang merambat/energi Perut yang menjalar. Setiap gelombang memiliki cepat rambat: v = l. f = l T n Persamaan Gelombang v = cepat rambat gelombang (m/s) 1. Gelombang berjalan l = panjang gelombang (m) f = frekuensi gelombang (Hz) = jumlah gelombang tiap + awal gelombang merambat ke atas waktu Y = ±Asin(wt + kx + qo) T = periode gelombang (s) = waktu untuk terjadi satu – awal gelombang merambat ke bawah gelombang Jarak tempuh gelombang: s = v´t dan t = waktu (s) n Beberapa Bentuk Gelombang Sudut fase: q = (wt ± kx + qo) Fase: j = q = q 2p 3600 2. Gelombang stasioner – Ujung terikat Ujung Y = 2Asin(kx)cos(wt - k) – Ujung bebas Ujung Y = 2Acos(kx)sin(wt - k) A : amplitudo gelombang transversal w : frekuensi sudut: w = 2p. f = 2p Û f = w T 2p f : frekuensi dan T: periode k : bilangan gelombang: k= 2p Û l = 2p l : panjang gelombang l k x : posisi dan t : waktu l : panjang tali 32 [email protected]

Cepat rambat gelombang dapat juga dirumuskan: n Frekuensi pada Dawai dan Pipa organa v = l.f = w – Frekuensi Getaran Dalam Dawai: k fn = (n + 1) ´v 2L n Percobaan Melde – Frekuensi Pipa Organa Terbuka: fn = (n + 1) ´v 2L – Frekuensi Pipa Organa Tertutup: fn = (2n + 1) ´v 4L Didapat cepat rambat gelombang pada dawai: n = 0, 1, 2, 3, .... v= F m n = 0 Þ nada dasar n = 1 Þ nada atas I F = gaya tegangan tali (N) n = 2 Þ nada atas II m = massa dawai sepanjang L (kg) n Efek Doppler L = panjang dawai (m) – Jika sumber bunyi dan pendengar relatif mendekat, maka frekuensi terdengar lebih m = massa per satuan panjang dawai (kg m s–1), tinggi ( fp > fs ) . m dengan m = L – Jika sumber bunyi dan pendengar relatif menjauh, maka frekuensi terdengar lebih B. GELOMBANG BUNYI rendah ( fp < fs ) . n Jenis bunyi berdasarkan frekuensinya – Jika sumber bunyi dan pendengar relatif diam, 1. Infrasonik; frekuensi < 20 Hz, dapat didengar oleh jangkrik dan anjing. maka freku-ensi terdengar sama ( fp = fs ) . 2. Audiosonik; frekuensi antara 20 Hz-20.000 Hz, dapat didengar oleh manusia. v ± vp v ± vs 3. Ultrasonik; frekuensi > 20.000 Hz, dapat fp = ´ fs didengar oleh lumba-lumba dan kelelawar. Bunyi dengan frekuensi teratur disebut nada, vp (+): pendengar mendekat sumber bunyi. tinggi rendahnya nada ditentukan oleh frekuensi vs (+): sumber bunyi menjauh pendengar. bunyi. n Cepat Rambat Bunyi n Energi Bunyi dan Daya – Cepat rambat bunyi dalam gas. Energi Gelombang: Berdasarkan Hukum Laplace: v = g RT E = 1 mA2w2 = 2p2m. f 2 .A2 M 2 R = konstanta gas umum = 8,31 x 10 3 J mol–1 K–1 Daya: P = E T = suhu mutlak t M = berat molekul (kg mol–1) g = konstanta Laplace, bergantung jenis gas – Cepat rambat bunyi dalam zat cair: v = B n Intensitas Bunyi (Daya tiap satu-satuan luas) r B = modulus Bulk, (N m-2) I = P = E r = massa jenis zat cair, (kg m-3) A A.t – Cepat rambat bunyi dalam zat padat: v= E Untuk luasan bola: I = P 2 ρ 4pr E = modulus Young zat padat, (N m-2) Taraf intensitas bunyi adalah tingkat/derajat kebisingan bunyi. Batas kebisingan bagi telinga r = masa jenis zat padat, (kg m-3) manusia: 10-12 watt.m-2 sampai 1 watt.m-2. [email protected] 33

Taraf Intensitas Bunyi diberikan: n Kuat Medan Listrik dan Kuat Medan Magnetik Persamaan medan listrik dan magnetik masing- TI = 10log I (desi Bell atau dB) masing: I0 E = Emaks cos(kx - wt) Perbedaan taraf intensitas bunyi terjadi karena B = Bmaks cos(kx - wt) perbedaan jarak. Sumber bunyi I2 Maka akan diperoleh hubungan: I1 r1 TI2 = TI1 + 10log Emaks E w TI1 Bmaks B k =- = =c r2 makin jauh TI TIn = TI1 + 10log n Emaks = amplitudo medan listrik , (N/C) TI2 semakin kecil Bmaks = amplitudo medan magnetik, (Wb/m2) Taraf intensitas bunyi n kali sumber Þ makin C = laju gelombang elektromagnetik dalam vakum banyak makin besar. n Intensitas (laju energi tiap luasan) Gelombang Elektromagnetik TTII1n : taraf intensitas 1 sumber bunyi Intensitas gelombang elektromagnetik (laju energi : taraf intensitas n kali sumber bunyi per m2) disebut juga Poynting (lambang S), yang nilai rata-ratanya: C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK Kecepatan rambat gelombang elektromagnetik dalam S =I = P = Em .Bm = Em2 = c.Bm2 vakum memenuhi hubungan: A 2mo 2mo .c 2mo C= 1 n Rapat Energi Rata-rata mo eo mo = permeabilitas vakum (4p x 10-7 Wb/A.m) u = S eo = permitivitas vakum (8,85 x 10-12 C2/N.m2) c n Sifat-sifat Gelombang Elektromagnetik c = laju GEM dalam vakum Berdasarkan hasil percobaan H.R.Hertz, gelom- bang elektromagnetik memiliki sifat-sifat sebagai D. OPTIK FISIS berikut. n Warna Cahaya – Merupakan gelombang transversal. – Cahaya polikromatik: cahaya yang dapat terurai menjadi beberapa macam warna. – Dapat merambat dalam ruang hampa. – Cahaya monokromatik: hanya terdiri dari satu warna. – Dapat mengalami refleksi, refraksi, difraksi. – 1 warna: memiliki satu kisaran panjang – Dapat mengalami interferensi. gelombang. – Dapat mengalami polarisasi. – Tidak dibelokkan oleh medan listrik maupun n Dispersi Sinar Putih – Dispersi adalah penguraian cahaya menjadi magnet. komponen-komponen warna dasarnya. – Sinar putih dapat terurai menjadi beberapa n Spektrum Gelombang Elektromagnetik warna. Penguraian sinar putih dapat menggunakan prisma. Dari percobaan Urutan spektrum gelombang elektromagnetik didapat deviasi minimum berurutan dari kecil ke besar: merah - jingga - kuning - hijau - biru mulai dari frekuensi terkecil ke frekuensi terbesar: - nila - ungu. – Sudut dispersi (j) adalah beda sudut deviasi minimum ungu dengan sudut deviasi a gelombang radio minimum merah. a gelombang televisi merah – frekuensi a gelombang radar jingga membesar a sinar inframerah kuning – panjang a cahaya tampak hijau gelombang a sinar ultraviolet biru mengecil a sinar X nila a sinar gamma ungu 34 [email protected]

j = Du -Dm Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku = (nu -1)-(nm -1)b pendekatan: = (nu - nm )b sinq @ yn = tanq L nnbmu === indeks bias sinar ungu n Difraksi pada Kisi (Celah Banyak) indeks bias sinar merah Jika N menyatakan banyaknya garis (celah) per sudut prisma satuan panjang dan d adalah jarak antar kisi, maka: DDmu = deviasi minimum ungu = deviasi minimum merah n Percobaan Interferensi Thomas Young d = 1 Dengan membangkitkan sumber sinar koheren N dengan meng-gunakan celah ganda. Hasil – Interferensi maksimum (terang) terjadi: d sinq = m.l perpaduan (interferensi) berkas sinar adalah pola garis gelap terang pada layar. m = 0, 1, 2, ... – Interferensi minimum terjadi jika: terang pusat d sinq = èççæçm - 21ø÷ö÷÷l m = 1, 2, 3, ... – Interferensi maksimum (terang) terjadi: Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku d sinq = m.l pendekatan: – Interferensi minimum (gelap) terjadi: d sinq = çæççèm - 21÷ø÷÷öl sinq @ yn = tanq m = 1, 2, 3, .... L dengan: n Jarak Terang/Gelap Berurutan d : jarak antar celah q : sudut antara terang pusat dengan terang Dy = L ´l d ke-n λ : panjang gelombang cahaya n Perhitungan Difraksi pada Daya Urai Suatu Lensa Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku pendekatan: qm = sudut pemisah (sudut resolusi minimum) yn sinq @ L = tanq Agar dua benda titik masih dapat dipisahkan secara tepat berlaku: yLn = jarak antara terang pusat dengan terang ke- n sinqm = 1,22 l = jarak antara celah dan layar D n Difraksi Celah Tunggal Karena sudut qm sangat kecil, maka berlaku Difraksi celah tunggal terjadi jika cahaya dirintangi dm , sehingga persamaan L oleh celah yang sempit. msineqnmjadiq:m = tanqm = – Interferensi maksimum terjadi jika: d sinθ =  m + 1  λ l.L 2 D qm .L = dm = 1,22 m = 1, 2, 3, ... – Interferensi minimum terjadi jika: d sinq = m.l m = 1, 2, 3, ... dengan d = lebar celah. [email protected] 35

n Interferensi pada Lapisan Tipis tan ip = n2 n1 – Interferensi maksimum: 2nd cosr = (m - 1 )l n1 = indeks bias medium 1 m= 1, 2, ... 2 n2 = indeks bias medium 2 – Interferensi minimum: n Polarisasi Karena Pembiasan Ganda 2nd cosr = ml Polarisasi yang terjadi jika sinar dilewatkan pada sebuah bahan yang an-isotropik (arah perjalanan m = 0, 1, 2, ... cahaya di setiap titik di dalam bahan tersebut tidak sama). n = indeks bias lapisan tipis n Cincin Newton – Interferensi maksimum (lingkaran terang) n Polarisasi Karena Penyerapan Selektif – Proses ini menggunakan dua lensa, pola- terjadi jika risator, dan analisator. n.rt2 = (m - 12).l.R – Mula-mula cahaya dilewatkan polarisator sehingga terpolarisasi. Untuk melihat bahwa m = 1, 2, 3, ... cahaya tersebut terpolarisasi maka digunakan rt = jari-jari lingkaran terang ke-m keping yang sama sebagai analisator. Dengan n = indeks bias medium memutar analisator pada sumbu antara kedua – Interferensi minimum (lingkaran gelap) keping dapat teramati penurunan intensitas terjadi jika: karena telah terjadi penyerapan. n.rg2 = m.l.R m = 0, 1, 2, 3, .... nrg = jari-jari lingkaran gelap ke-m = indeks bias medium E. POLARISASI CAHAYA I = 1 I0 cos2 q 2 – Polarisasi adalah proses penyerapan sebagian arah getar gelombang transversal. I= intensitas cahaya setelah melalui analisator – Akibat polarisasi, cahaya merambat dengan arah getar tertentu saja, sedang arah getar lain terserap I0= intensitas cahaya setelah atau terkurangi. melalui polarisator q= sudut antara analisator dan polarisator n Polarisasi Karena Pemantulan n Polarisasi Karena Hamburan – Polarisasi juga dapat terjadi ketika cahaya Sudut sinar datang yang menyebabkan cahaya tak terpolarisasi dilewatkan pada bahan, terpolarisasi seperti pada gambar adalah 57°. kemudian cahaya tersebut dihamburkan. n Polarisasi Karena Pembiasan dan Pemantulan – a dan c: cahaya terpolarisasi sebagian – b: cahaya terpolarisasi seluruhnya – Polarisasi dapat terjadi antara sudut sinar bias – Contoh: cahaya matahari dihamburkan oleh dan sinar pantul siku-siku = 90°. molekul-molekul di atmosfer, hingga langit terlihat biru, karena cahaya biru paling banyak – Sudut datang yang menjadi sinar ini dihamburkan. terpolarisasi disebut sudut Brewster (iP). 36 [email protected]

BAB 9 LISTRIK STATIS A. HUKUM COULOMB ® Besar gaya: q = sudut antara E dan garis normal luasan q1 .q2 åq = muatan total yang dilingkupi oleh permukaan r2 tertutup F = k. 2. Energi Potensial Listrik EP = k q.q ' r 3. Potensial Listrik Jika tidak dalam ruang hampa, maka: V = EP Û EP = q.V q k = 1 Potensial oleh muatan titik potensial: 4per .eo V = k q r eeor = permitivitas listrik dalam hampa = permitivitas relatif bahan (di hampa er =1 ) V = potensial listrik pada jarak r dari muatan sumber (V) q = muatan sumber (C) B. MEDAN LISTRIK DAN KUAT MEDAN LISTRIK r = jarak titik terhadap muatan sumber (m) Medan Listrik: daerah dimana gaya listrik masih terjadi. r2 Kuat medan: E = F atau Gaya listrik: F = q.E Potensial listrik di titik P yang ditimbulkan oleh 4 q muatan sumber q1, q2, q3 dan q4 ditulis: E : kuat medan listrik, merupakan besaran vektor. ® VP = V1 +V2 +V3 +V4 Medan listrik merupakan vektor, arah E menjauhi = k q1 +k q2 -k q3 -k q4 muatan sumber positif dan menuju muatan negatif. r1 r2 r3 r4 4. Usaha Untuk Memindahkan Muatan WPQ = q(V2 -V1) = q.DV 1. Hukum Gauss 5. Medan dan Potensial Listrik Beberapa Keadaan Fluks listrik total yang menembus suatu permukaan n Pada konduktor keping sejajar tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan-muatan – Rapat muatannya: listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu q A dibagi dengan permitivitas udara e0. s = F = EAcos q = Sq – Kuat medan listrik antara keping: e0 s E = kuat medan listrik, (N/C) E = e0 A = luas permukaan tertutup, (m2) F = fluks listrik – Kuat medan di luar keping: E = 0 [email protected] 37

n Susunan Kapasitor – Potensial listrik di antara kedua keping – Seri ( 0 < r ≥ d ): V = E.r Beda potensial totalnya adalah: – Potensial listrik di luar keping ( r > d ): V = E.d V = V1 +V2 +V3 n Pada konduktor bola logam berongga V = çèçççæ 1 + 1 + 1 ÷ö÷÷÷ø.Q Bila konduktor bola berongga dimuati, maka C1 C2 C3 muatan pada konduktor bola berongga akan menyebar di permukaan bola, sedang di dalam Dengan demikian pada rangkaian seri berlaku bola tidak ada muatan. perbandingan tegangan: Kuat medan listrik: – di dalam bola (r < R): E = 0 V1 : V2 : V3 = 1 : 1 : 1 C1 C2 C3 r≥R – di luar bola serta kulit (r ≥ R): q E = k r2 Dan didapat Kapasitas ekivalennya adalah: R = jari-jari bola 1 = 1 + 1 + 1 C C1 C2 C3 Potensial listrik: – Paralel – di dalam bola: V =k q – di R luar bola serta di kulit: V = k q r C. KAPASITOR Dengan demikian muatan totalnya adalah: Perbandingan antara Q dan V disebut Q = Q1 + Q2 + Q3 +... + Qn kapasitansi kapasitor, yang diberi Q = (C1 + C2 + C3 +... + Cn ).V lambang C. Q Kapasitas ekivalennya adalah:­ C = V Q C = V = C1 + C2 + C3 Q = besar muatan pada tiap-tiap keping (C) V = beda potensial antara kedua keping (V) n Energi yang Tersimpan dalam Kapasitor Salah satu fungsi kapasitor adalah untuk n Kapasitas Kapasitor menyimpan energi: Co = er eo A W = 1 C .V 2 d 2 A = luas tiap keping, (m2) Karena Q = CV maka: W = 1 QV = 1 Q2 2 2 C d = jarak antar keping, (m) eo = permitivitas listrik dalam vakum/udara n Rapat Energi dalam Medan Listrik er = permitivitas relatif bahan n Untuk Bola Beda potensial diberikan: DV = V1 -V2 = kQæçççè 1 - 1 öø÷÷÷÷ R1 R2 C = R2R1 = 4peoR2R1 Hasil bagi antara W dan V disebut rapat energi R2 - R1 k (R2 -R1 ) listrik ue. Jadi: W V Untuk yang hanya terdiri 1 bola konduktor saja, ue = = 1 eo E 2 maka bisa dianggap R2 = ¥ . 2 ue = rapat energi listrik (J/m3) ( )C2 eo = peritivitas listrik dalam vakum Nm2 E = kuat medan listrik (N/C) 38 [email protected]

BAB 10 LISTRIK DC Arus listrik adalah aliran dari elektron-elektron bebas n Susunan Penghambat dari suatu potensial rendah ke tinggi (dapat juga aliran – Susunan Seri muatan). I = DQ t I = kuat arus (A) RS = R1 + R2 + R3 DQ = besar perubahan muatan (C) t = waktu (s) – Arah aliran muatan negatif berlawanan dengan Sifat: arah arus listrik yang ditimbulkan. Arus: Itotal = I1 = I2 = I3 – Arah aliran muatan positif searah dengan arah arus listrik yang ditimbulkan. Hambatan: Vtotal = V1 = V2 = V3 Rtotal R1 R2 R3 Dari percobaan oleh Ohm bahwa perbandingan antara Beda potensial: Vtotal = e = V1 +V2 +V3 beda potensial dengan kuat arus listrik nilainya selalu – Susunan Paralel konstan, nilai tersebut disebut hambatan: R = V ÛV =I .R 1 = 1 + 1 + 1 I Rp R1 R2 R3 V = beda potensial listrik (V) Sifat: I = kuat arus listrik (A) R = hambatan (W) Arus= Itotal = I1 + I2 + I3 : I3 = 1 : 1 : 1 Perbandingan arus= I1 : I2 R1 R2 R3 Secara fisiknya hambatan dapat dicari, perhatikan Beda potensial gambar penghantar kawat homogen berikut ini. L A Ej Vtotal = e = V1 = V2 = V3 a ib (Itotal )(Rtotal ) = I1R1 = I2R2 = I3R3 Untuk penghantar kawat homogen dan berpenampang n Susunan Jembatan Wheatstone lintang sama, besaran r L disebut hambatan peng- hantar. Jadi: A R = r L A r = hambatan jenis bahan logam ­(W m), Cara menentukan hambatan ekivalen pada L = panjang penghantar (m), susunan (rangkaian) jembatan Wheatstone. A = luas penampang lintang penghantar (m2), JdiikhailRan1.gRk4a=nR),2.R3, maka R5 tidak berfungsi (dapat R = hambatan penghantar (W). Nilai hambatan penghantar logam dapat berubah dikarenakan perubahan suhu: Rt = Ro (1 + a.DT) [email protected] 39

dJiakapaRt1d.Ris4e¹lesaRi2k.aRn3, maka hambatan ekivalennya dengan transformasi D (delta) menjadi Y (star) sebagai berikut. I2 = (e1 - e2)R3 + (e3 - e2)R1 R1.R2 + R2.R3 + R1.R3 Dengan nilai-nilai Ra, Rb dan Rc sebagai berikut. n Alat Ukur Listrik R1 .R3 R1 .R5 R3 .R5 1. Amperemeter + R3 + + R3 + + R3 + Ra = R1 R5 ; Rb = R1 R5 ; Rc = R1 R5 Batas ukur amperemeter dapat diperbesar n kali dengan menambahkan suatu hambatan n Hukum Kirchhoff paralel, disebut hambatan Shunt. 1. Hukum I Kirchhoff “Jumlah aljabar kuat arus listrik yang melalui Rsh = 1 .RA RA = hambatan dalam titik cabang sama dengan nol.” amperemeter (n -1) Rsh = hambatan shunt 2. Voltmeter Batas ukur voltmeter dapat diperbesar de- ngan menambahkan suatu hambatan secara seri, disebut hambatan depan. RD = (n -1)Rv Rv = hambatan dalam voltmeter Tanda positif (+) jika arah arus listrik menuju nRD = hambatan depan ke titik cabang. = pengali (kelipatan) Tanda negatif (–) jika arah arus listrik meninggalkan titik cabang yang sama. n Energi dan Daya Listrik - Energi Listrik åI = 0 I -I1 -I2 -I3 = 0 W= V.I.t = I2 .R.t = V2 ´t I = I1 + I2 + I3 R V : beda potensial , (v) 2. Hukum 2 Kirchhoff I : kuat arus listrik, (A) “Dalam rangkaian tertutup (loop) jumlah aljabar GGL (e) dan jumlah penurunan R : hambatan listrik, (W) potensial (IR) sama dengan nol.” t : waktu, (s) - Daya Listrik åIR + åe = 0 P = W =V.I = V2 = I2.R t R Ketentuan tanda untuk e dan I: Untuk alat dengan spesifikasi Pt watt, V¹t volt, e = (+), jika gerak mengikuti arah loop bertemu yang dipasang pada tegangan V (V Vt), maka daya yang diserap alat: dengan kutub (+) sumber tegangan terlebih dahulu. P = èçççæçVVt ÷ø÷ö÷÷2 .Pt e = (-), jika gerak mengikuti arah loop bertemu dengan kutub (-) sumber tegangan terlebih P = daya listrik yang diserap dahulu. V = tegangan yang dipakai I = (+), jika arah loop searah dengan arah arus. Vt = tegangan tertulis I = (-), jika arah loop berlawanan dengan arah Pt = daya tertulis arus. Untuk rangkaian berikut dapat juga digunakan aturan loop, namun perhitungan akan panjang sehingga dapat juga digunakan rumus praktis untuk mencari arus. 40 [email protected]

BAB 11 MEDAN MAGNET A. MEDAN MAGNET Solenoida adalah kumparan yang cukup n Medan Magnet di sekitar Kawat Berarus Listrik panjang. Kuat medan induksi magnet adalah: Di pusat solenoida: Di salah satu ujung: Gunakan kaidah tangan kanan I seperti digambarkan di bawah: B = m0 .I.N B = m0 .I.N kawat L 2L berarus listrik I I N : jumlah lilitan solenoida B L : panjang solenoid B – Kuat Medan Induksi Magnet pada Toroida n Kuat Medan Magnet Toroida adalah solenoida yang dibengkokkan hingga membentuk lingkaran. Kuat medan – Kawat Berarus Listrik yang Panjangnya Tak magnet dalam toroida yang berjarak r dari Berhingga pusat lingkaran adalah: I B = m0 .I.N a 2pr p B. GAYA LORENTZ Bp = m0 .I mo = 4p × 10–7 Tm/A n Gaya Lorentz pada Kawat Berarus 2pa FL = B.I.L sin q – Kawat Berarus Listrik yang Panjangnya q = sudut antara B dan I Berhingga n Gaya Lorentz pada Partikel Bermuatan – q1 a q1 FL = q.v.Bsin q q2 p q2 q = sudut antara B dan arah gerak q Bp = m0 .I (cos q1 + cos q2 ) I Arah gaya Lorentz 4p.a B diatur pakai kaidah tangan kanan II. Kuat Medan Magnet oleh Kawat Melingkar F Di pusat lingkaran (titik O) BO = m0 .I n Gaya Lorentz pada Dua Kawat Lurus Sejajar 2a I1 I2 Di titik P (sepanjang sumbu lingkaran) BP = m0 .I sin3 q 2a – Kuat Medan Magnet oleh Solenoida F = m0 .I1 .I2 L 2.p.a [email protected] 41

n Gerak melingkar muatan pada medan magnet R = 1 2.m.(DV ) homogen B q Bila partikel bermuatan bergerak dalam medan magnet homogen secara tegak lurus, maka yang n Gerak lurus muatan pada medan magnet dan terjadi partikel akan bergerak dengan lintasan listrik saling tegak lurus melingkar. Jari-jari lintasan diberikan: R= m.v v = E q.B B Jika muatan dipercepat dengan beda potensial DV maka: BAB 12 INDUKSI ELEKTROMAGNETIK A. FLUKS MAGNETIK C. PENERAPAN HUKUM FARADAY DAN HUKUM LENZ Fluks magnetik adalah banyaknya garis-garis magnet n Perubahan luas pada kawat segiempat yang menembus secara tegak lurus pada suatu luasan. Bila kawat PQ digeser ke kanan, maka luasan Fm = B.A = B.A.cos(q) segiempat akan berubah (bertambah besar/ berkurang) ® Fluks juga berubah ® timbul A = luas permukaan, GGL: a = sudut antara vektor B dengan garis normal A. e = -.B.v B. HUKUM FARADAY DAN HUKUM LENZ B = kuat medan magnet (T), l = panjang kawat PQ, Hukum Imbas Faraday v = laju gerak kawat PQ (m/s). Gaya gerak listrik (GGL) dalam sebuah rangkaian Untuk menentukan arah arus dapat diatur dengan sebanding dengan laju perubahan fluks yang melalui kaidah tangan kanan II rangkaian tersebut. n Kawat diputar sejajar bidang yang tegak lurus B e = -N dF dt Untuk GGL rata-rata: e = -N DF Dt N: banyaknya lilitan Tanda negatif (–) menujukkan fluks yang muncul melawan perubahan. Seperti dijelaskan pada hukum Lenz. Hukum Lenz “Arus imbas akan muncul di dalam arah yang sedemikian rupa sehingga arah tersebut menentang perubahan yang menghasilkannya.” 42 [email protected]

Bila kawat OP diputar maka luasan juring OPQ W = 1 L.I2 2 akan berubah ® Fluks juga berubah ® timbul GGL. Besarnya: n Induktansi Bersama/Silang B.p.2 e = T l = panjang kawat OP (jari-jari) mpGrGaimLupeyur/ansnesgekuktunimnddeberurld(eips2)eaadbkauitbkaut mifnlupdkausrkapsnai dsapirlkaiumnmgepr aa(rteaa1un) T = periode ( waktu 1 kali putar) n Generator AC Pembuatan generator AC didasari pada konsep perubahan fluks magnetik akibat perubahan sudut. e = NBA(w)sin(wt) induksi timbal balik. Besarnya GGL maksimum: e = NBAw Besarnya GGL induksi adalah: w = laju putaran sudut n Transformator – Di kumparan 1: e1 = -N1 dF12 = -M12 dI2 dt dt – Di kumparan 2: VS = NS e2 = -N2 dF21 = -M21 dI1 VP NP dt dt – NdaPndsaenkuNnSd=erj,umlah lilitan pada kumparan primer N1 = jumlah lilitan di kumparan 1, – VP dan VS = Tegangan primer dan sekunder. kdNuF2m 12p=a=rjaupnme1rlua, bhalihliatannflduikks,utmimpbarualnol2e,h kumparan 2 di dkuFm21pa=rapne2ru, bahan fluks, timbul oleh kumparan 1 di Efisiensi trafo diberikan: dI1 = perubahan arus di kumparan 1 (A), dMkuI21m2 p==aripanendruu2k,btaahnasni baerrussadmiakudmarpi akruamnp2a(rAan), 1 terhadap h = PS = VS .IS M21 = induktansi bersama dari kumparan 2 terhadap PP VP .IP kumparan 1. PP = daya kumparan primer (watt), PS = daya kumparan sekunder (watt). n Induktansi Diri eind = -L dI atau eind = -L DI Besar induktansi bersama: dt Dt M12 = N1 .F12 = moN1 .N2 .A1 L = induktansi diri (henry), I2 2 1 henry = 1 volt.detik/ampere. M21 = N2 .F21 = moN1 .N2 .A2 Untuk solenoida atau toroida: I1 1 L = mr m0 N2 A  D. ARUS AC N = jumlah lilitan solenoida atau toroida, n Sumber arus dan tegangan AC A = luas penampang solenoida atau toroida (m2), e = NBAw sin(wt) = emax .sin(wt) atau lebih sering l = panjang solenoida atau keliling toroida (m), ditulis: hmar mp=a)p.ermeabilitas relatif bahan ; mr = 1 (untuk V = Vmax .sin(wt) I = Imax .sin(wt) Energi yang tersimpan dalam solenoida atau toroida adalah: [email protected] 43

n Nilai rata-rata arus dan tegangan bolak-balik – XC reaktansi kapasitif (nilai hambatan pada induktor) Ir = 2.Imaks dan Vr = 2.Vmaks p p 1 XC = w.C n Nilai efektif arus dan tegangan bolak-balik Ieff = Imaks dan Veff = Vmaks – Z = Impedansi (nilai hambatan total) 2 2 Z = R2 +(XL - XC )2 n Rangkaian seri R, L, dan C – Fasa antara arus dan tegangannya adalah: cosq = RZ Ketika XL = XC hal ini disebut keadaan “RESONANSI”, yang terjadi ketika frekuensi (f) tegangan AC adalah: VR = VR-max sin(wt -q) f = 1 1 VL = VL-max sin(wt -q + 90o ) 2p LC VC = VC-max sin(wt -q -90o ) V= VR2 +(VL -VC )2 n Daya pada rangkaian arus bolak-balik Karena pada rangkaian seri ® arus sama besar – Daya sesaat: maka: P = Vmaks Imaks çççæècos q sin2 wt + 1 sinq sin2wt ÷÷öø÷ 2 I.Z = (I.R)2 +((I.XL )-(I.XC ))2 – Daya Rata-rata: – XL reaktansi induktif (nilai hambatan pada P = 1 VmaksImaks cos q atau P = Veff .Ieff cos q induktor) 2 XL = w.L cos q = faktor daya. BAB 13 MEKANIKA FLUIDA A. TEKANAN Tekanan pada dasar bejana yang disebabkan oleh berat zat cair yang diam di atasnya dinamakan 1. Pengertian Tekanan tekanan hidrostatik, yang dirumuskan: P = F ph = w = r.g.h A A F = besar gaya yang tegak lurus bidang tekanan (N), ρ = massa jenis zat cair (kg/m3), A = luas bidang tekanan (m2), g = percepatan gravitasi bumi (m/s2), h = kedalaman zat cair dari permukaannya(m), P = tekanan (N/m2). ph = tekanan hidrostatik pada kedalaman h (N/m2). Satuan tekanan: atmosfer (atm) atau Pa (pascal) = N/m2 (SI). Tekanan mutlak (total) pada kedalaman h dari permukaan zat cair adalah: 1 Bar = 106 Pa dan 1 atm = 76 cmHg = 1,01 × 105 Pa pM = po + r.g.h pO = tekanan atmosfer 2. Tekanan Hidrostatis 44 [email protected]

n Hukum Pokok Hidrostatis Keterangan: F = gaya permukaan (N), P1 = P2 l = panjang permukaan (m), r1 ×g × h1 = r2 ×g × h2 g = tegangan permukaan (N/m). r1 × h1 = r2 × h2 Peristiwa terkait tegangan permukaan: – Permukaan zat cair cenderung mempunyai rhrhamma = massa jenis minyak (kg/m3) = massa jenis air (kg/m3) luas yang sekecil-kecilnya. Contoh: Tetesan air = ketinggian minyak (m) hujan cenderung berbentuk bola. = beda tinggi kaki kiri dan kanan – Permukaan zat cair cenderung mirip kulit elastis yang liat. Contoh: Nyamuk dapat 3. Hukum Pascal hinggap di permukaan air. “Tekanan yang diberikan pada suatu zat cair yang 6. Kapilaritas ada di dalam ruang tertutup diteruskan ke segala Kapilaritas adalah gejala naik turunnya permukaan zat cair di dalam pembuluh yang arah dengan sama besar.” sempit (pipa kapiler). P2 = P1 F2 = F1 A2 A1 4. Hukum Archimedes y = 2g cos q rgr “Sebuah benda yang tercelup ke dalam zat cair (fluida) mengalami gaya apung yang Keterangan: besarnya sama dengan berat zat cair yang y = selisih tinggi permukaan zat cair (m), g = tegangan permukaan (Nm –1), dipindahkannya.” r = massa jenis zat cair (kg/m –3), g = percepatan gravitasi (m s –2), Fa = r.g.V r = jari-jari pipa kapiler (m). r = massa jenis air (kg/m3), B. FLUIDA g = percepatan gravitasi bumi (m/s2), V = volume benda yang tercelup (m3), 1. Fluida Bergerak V = volume (m3) Fa = gaya apung = gaya Archimedes (N). v = laju aliran (m/s) Q = debit (m3/s) Akibatnya berat benda di dalam zat cair lebih Q = V = A.v t = waktu (sekon) kecil daripada beratnya di udara. t A = luas (m2) w f = w -Fa w = berat benda di udara 2. Persamaan Kontinuitas wf = berat benda di dalam zat cair Fa = gaya apung Q1 = Q2 A1.v1 = A2.v2 – Benda akan tmeenlgagyealnagm, ,jijkikaarrbebnednada=>rrzatzactaicrair – Benda akan – Benda akan terapung, jika r benda < r zat cair 3. Persamaan Bernoulli Pada kasus terapung berlaku: rbenda .Vbenda = rcair .Vcelup 5. Tegangan Permukaan g = F  [email protected] 45

Berlaku: hvv21=== kecepatan zat cair yang melewati AAU21 (m/s), kecepatan zat cair yang melewati (m/s), P + 1 r.v2 + r.g.h = kons tan selisih tinggi zat cair di dalam pipa (m), 2 P1 + 1 rv12 + rgh1 = P2 + 1 rv22 + rgh2 g = percepatan gravitasi (m/s2), 2 2 r = massa jenis zat cair di dalam tabung aliran (kg/m3). Penggunaan Persamaan Bernoulli Pada venturimeter dengan manometer 1. Pipa mendatar r = massa jenis zat cair di dalam pipa U, (sering pakai Hg) (kg/m3). Untuk mencari v1 dapat digunakan rumus: A1.v1 = A2.v2 Karena vd1e<ngva3 n< Lvu2 bmanagkaAblierarlnaku: P1 > P3 > P2. 4. Tabung Pitot Bejana Tabung Pitot adalah alat untuk mengukur laju 2. aliran gas. Ditunjukkan gambar berikut ini. (1) v2 = 2g(h1 - h2 ) GA (2) v2 = 2.g.h h h1 = h2 x = 2 h(h2) 3. Venturimeter v1 = 2.g.h(r ¢) Digunalan untuk mengukur laju aliran fluida. r Ada 2 jenis venturimeter, yaitu: a. Venturimeter tanpa manometer rv1 = laju gas dalam pipa aliran (ms–1), = massa jenis gas (kgm–3), Laju aliran fluida di r’ = massa jenis air raksa (kgm–3), bagian pipa besar: g = percepatan gravitasi (ms–2), h = selisih tinggi permukaan air raksa (m). 2.g.h 5. Gaya Angkat Sayap Pesawat Terbang v1 = çççèæççêëéê A1 úùúû2 1÷÷÷öø÷÷÷ A2 - b. Venturimeter dengan manometer Haruslah berlaku: (1) (2) Gaya angkat sva1ya>pv:2 dan P1 < P2 v y=h F = (P2 - P1 ).A = ( 1 rv12 - 1 rv22 ).A h h1 = h2 2 2 F = gaya angkat sayap pesawat terbang (N), v1 = 2.g.h(r¢ -r) APP12=== tekanan di bawah sayap (Nm–2), tekanan di atas sayap (Nm–2), rçççèæçç êêéë A1 ûúùú2 - 1øö÷÷÷÷÷÷ luas total bidang di bawah sayap (m2). A2 AA12 = luas penampang tabung (1) (m2), (2) = luas penampang tabung pada bagian (m2), 46 [email protected]

BAB 14 ZAT DAN KALOR A. SUHU Setelah suhu naik DT, luasnya menjadi: A = Ao + DA Hubungan antara skala termometer yang satu dengan lainnya diberikan: 3. Pemuaian Volume DV = g.Vo.DT DVoV = volume mula-mula (m3), = perubahan volume (m3), DT = perubahan suhu (Co), g = koefisien muai volume ( /Co), g = 3 a. X - X0 Y -Y0 Xt -X0 = Yt -Y0 Setelah suhu naik DT, luasnya menjadi: V = Vo + DV – X : suhu yang ditunjukkan termometer X, Hukum pada Pemuaian Gas – Y : suhu yang ditunjukkan termometer Y. Untuk skala Celcius, Fahrenheit, Reamur, dan Kelvin Hukum Boyle–Gay Lussac hubungannya adalah sebagai berikut: “Perbandingan antara hasil kali tekanan dan volume gas dengan suhu mutlaknya (satuan Kelvin) adalah konstan.” P.V = tetap T Jika pada suhu TT12 volume gas VV12 dan tekanannya PP12 dan pada suhu volume gas dan tekanannya maka berlaku: C : R : (F – 32) = 5 : 4 : 9 K = 273 + C B. PEMUAIAN P1 .V1 = P2 .V2 T1 T2 Kebanyakan zat memuai jika dipanaskan dan menyusut ketika didinginkan. Memuai berarti bertambah pan- C. KALOR jang, bertambah luas, dan bertambah volume. 1. Pemuaian Panjang 1. Kalor Menaikkan/Menurunkan Suhu DL = a.Lo. DT Q = m.c.DT DLL0 = panjang mula-mula, (m) m = massa benda (kg, gr), = perubahan panjang, (m) c = kalor jenis benda (J/kg K; kal/gr K), DT = perubahan suhu. DT = perubahan suhu, (K atau Co) suhu naik → kalor diserap/diterima a = koefisien muai panjang, (/K atau /Co) suhu turun → kalor dilepas Setelah suhu naik DT, panjangnya menjadi: 2. Kalor Perubahan Wujud L = Lo + DL Q = m.L 2. Pemuaian Luas m = massa benda (kg, gr), L = kalor Laten/kalor lebur/kalor uap (J/kg; kal/gr). DA = b.Ao.DT Mencair , menguap → kalor diserap DAoA = luas mula-mula (m2), Membeku , mengembun → kalor dilepas = perubahan luas (m2), b = koefisien muai luas ( /K atau /Co), b = 2a. [email protected] 47

3. Asas Black 2. Laju Perpindahan Kalor secara Konveksi å åQ = Q Q = h. A.DT lepas t diserap D. PERPINDAHAN KALOR Q/t : laju kalor secara konveksi (J/s atau W), A : luas permukaan benda yang kontak dengan fluida Ada 3 cara perpindahan kalor, yaitu: (m2), 1. Konduksi (hantaran/rambatan) → biasa pada zat DT : beda suhu antara benda dan fluida (Co atau K), h : koefisien konveksi (J/s m2K). padat. 2. Konveksi (aliran → biasa pada zat cair dan gas. 3. Laju Perpindahan Kalor secara Radiasi 3. Radiasi (pancaran) → tanpa zat perantara. Q P = t = es AT 4 1. Laju Perpindahan Kalor secara Konduksi P : daya (laju) radiasi energi ( J/s atau W ), e : emisivitas permukaan, H = Q = k A.DT s : konstanta Stefan-Boltzmann (s = 5,67 × 10-8 W/ t L m2K4), A : luas permukaan benda (m2) Q/t : laju kalor secara konduksi (J/s), k : Konduktivitas (koefisien konduksi) termal zat, (W/m T : suhu mutlak benda (K), K ), A : luas penampang lintang (m2), Jika sebuah benda berada dalam kesetimbangan DT : selisih suhu antara ujung-ujung zat padat (K), termis dengan sekitarnya, T =radTsi,asdi apnadbaenladjua L : panjang (tebal) zat padat (m). memancarkan serta menyerap yang sama, maka laju total radiasi sebuah benda Pada persambungan 2 konduktor berlaku laju pada suhu T dengan lingkungan pada suhu Ts adalah: rambatan kalor sama TX T TY Ptotal = e s A (T4 – Ts4) X Y hX = hY kX AX .(TX -T ) = kY AY .(T -TY ) LX LY 48 [email protected]

BAB 15 TEORI KINETIK GAS DAN TERMODINAMIKA A. TEORI KINETIK GAS N = jumlah molekul v 2 = rata-rata kuadrat kecepatan (m2/s2) 1. Gas Ideal mo = massa sebuah partikel (molekul) (kg) V = volume gas (m3) Sifat-sifat gas ideal: 1. Gas ideal terdiri dari partikel-partikel yang Karena mo.v 2 = 2Ek (2 kali energi kinetik rata- rata), maka: tersebar merata dalam ruang dengan jumlah sangat banyak. P = 2 N.E k 2. Partikel gas ideal bergerak secara acak. 3 V 3. Gerak partikel gas ideal menuruti hukum Newton tentang gerak. 3. Temperatur Menurut Teori Kinetik Gas 4. Ukuran partikel gas ideal jauh lebih kecil daripada jarak antara partikel-partikelnya. Ek = 3 kT 5. Tidak ada gaya luar yang bekerja pada partikel 2 gas, kecuali bila terjadi tumbukan. 6. Bila ada tumbukan antar partikel atau partikel T = temperatur gas (Kelvin), dengan dinding, sifatnya lenting sempurna. Ek = energi kinetik rata-rata, Rumus: k = tetapan Boltzmann = 1,38 × 10-23 J/K. p.V = nRT atau p.V = NkT p = tekanan gas (Pa) 4. Kecepatan Efektif Partikel Gas V = volume gas (m3) vr.m.s = 3k.T = 3R.T = 3P m0 M r n = jumlah mol (gr/mol) = n = m = N T = suhu mutlak (K) Mr NA T = suhu mutlak gas, R = tetapan gas umum = 8,31 J.mol – 1 . K –1 RM r = berat molekul gas (kg/mol), N = jumlah partikel gas = tetapan suhu umum (8,314 J/mol K), k = konstanta Bolzmann = k = 1,38 . 10-23 J.K-1 P = tekanan gas (Pa), m = massa gas r = massa jenis gas, k = tetapan Boltzmann, Mr = berat molekul gas R = k . NA m0 = massa satu molekul gas. NA = 6,02 . 10 23 molekul/mol 5. Derajat Kebebasan p1 .V1 = p2 .V2 N1 .T1 N2 .T2 Derajat kebebasan adalah banyaknya bentuk energi yang dimiliki oleh molekul gas sesuai Dengan N  m  n. dengan jenis dan arah gerak. Derajat kebebasan Bila jumlah zat sudah tertentu/ zat tidak ada ada tiga jenis. tambah dan kurang/ zat ada di ruang tertutup, – Derajat Kebebasan Translasi (X, Y, Z). berlakulah: N1 = N2. Jadi, – Derajat Kebebasan Rotasi (Rotasi terhadap p1 .V1 p2 .V2 sumbu X, Y, Z). T1 T2 = – Derajat Kebebasan Vibrasi. Prinsip ekuipartisi energi menyatakan bahwa tiap derajat kebe-basan dalam molekul gas 2. Tekanan Gas Menurut Teori Kinetik memberikan kontribusi (sumbangan) energi pada gas sebesar ( 1 kT). 2 1 N.mo P = 3 V v 2 P = tekanan gas (Pa) [email protected] 49

n Untuk gas monoatomik: derajat kebebasan: f = 3 Catatan: Energi kinetik: Ek = f çççèæ 1 kT ø÷÷ö÷ = 3 kT Proses terjadi perubahan volume, dan suhu 2 2 mutlak gas, berlaku: V1 = V2 T1 T2 Energi dalam: b. Proses isokhorik (Proses iso-volume, Ek = f æççèç21 NkT÷÷ø÷ö = 3 NkT = 3 nRT 2 2 Volume: V = konstan) n Gas diatomik suhu rendah ( ± 250 K): f = 3 W=0 Energi kinetik: Ek = 3 kT Diagram P – V pada proses isokhorik 2 P Energi dalam: Ek = 3 NkT = 3 nRT P2 C 2 2 2 n Gas diatomik suhu sedang ( ± 500 K): f = 5 P1 1 V 5 Energi kinetik: Ek = 2 kT 5 5 Untuk 2 keadaan yang berbeda berlaku: 2 2 Energi dalam: Ek = NkT = nRT P1 = P2 T1 T2 n Gas diatomik suhu tinggi ( ± 1000 K): f = 7 7 Energi kinetik: Ek = 2 kT c. Proses isotermis (Suhu mutlak: T = konstan) Energi dalam: Ek = 7 NkT = 7 nRT W = nRT n V2 atau W = nRT n P1 2 2 V1 P2 n Gas poliatomik: f = 9 d. Proses adiabatik adalah proses yang berlangsung tanpa adanya kalor yang masuk B. TERMODINAMIKA ke sistem atau keluar dari sistem Q = 0. Di bawah adalah diagram p – V pada proses 1. Usaha oleh Gas Ideal adiabatik dan isotermik. V2 P : tekanan gas (Pa) P1 Proses Adiabatik V : volume gas (m3) P2 C Proses Isotermik òW = P.dV P1 2 T1 V1 V1 T2 Sehingga jika diberikan perubahan tekanan V2 V terhadap volume (grafik P – V), maka: PA Proses adiabatik berlaku juga: C BV P1 (V1 )g = P2 (V2 )g Cp Usaha dari B ke C: dengan g = Cv . UWsBaCh=aLduaarsiaAn segiempat xCBy ke B: γ = tetapan Laplace (gas monoatomik g = 1,4; gas WUsAaBh=aLusiakslauns trapesium AByx Luasan segitiga ABC diatomik suhu sedang g = 1,67), = netto = WABCA = Cp = kapasitas kalor jenis gas pada tekanan tetap, 2. Usaha dalam berbagai Proses CV = kapasitas kalor jenis gas pada volume tetap. a. Proses isobarik (Tekanan: P = konstan) Usaha dirumuskan: W = P(V2 -V1 ) W = g 1 1 (p1V1 - p2V2 ) atau W = nR (T1 -T2 ) - g -1 50 [email protected]