الرياضيات أسرارها و تاريخها و علمائها

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫طالبات المستوى الرابع‬ ‫مدارس دارالتربية الحديثة‬ ‫الفصل الدراس ي الثاني للعام ‪ 1441-1440‬ه‬ ‫الرياضيات‬ ‫أسرارها و علماءها‬ ‫و تاريخها‬ ‫فكرة و إخراج المعلمة‬ ‫هند العديني‬ ‫‪1‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫المقدمة‬ ‫أصدم بسؤال يتكرر على مسمعي كل عام ويصدرعن مختلف الأجيال مع اختلاف مستويات ذكائهم حتى‬ ‫العالية منها وهو‪« :‬لماذا نتعلم الرياضيات؟! وخصوصا الطلبة نحن نتدرب على حل التمارين والمسائل‬ ‫ورسم الهندسة‪ ...‬أين يمكننا تطبيقها؟ وأين نستخدمها في المنزل‪ ،‬في الطريق‪ ،‬في الحديقة‪ ،‬عند اللعب؟ ما‬ ‫فائدة كذا وكذا وكذا‪...‬؟‪».‬‬ ‫لماذا ندرس الرياضيات؟ ماذا نستفيد من جيب التمام‪ ،‬والتكامل‪ ،‬والتفاضل‪ ،‬والجبر‪ ،‬والهندسة في حياتنا‬ ‫لاح ًقا؟‬ ‫يمكن أن يكون السبب في ذلك أن كل ما كنا نركزعليه في تعليم الرياضيات‪ ،‬كان عبارة عن تنشيط ذهني‬ ‫للتلاميذ بالتدريب المستمرعلى التمارين الذهنية‪ ،‬وطرق الاستدلال‪ ،‬والتحليل الاستنتاجي للحل مع الدقة‬ ‫الدائمة رغم وجود الأمثلة من واقع الحياة في كل درس و رغم محاولاتي المستمرة في بداية كل درس بربط‬ ‫هذا الدرس بحياة الطالبات حتى تشعرالطالبة بأهمية هذه الدروس في حياتها ‪.‬‬ ‫من خلال تجربتي في التعليم وجدت أن وصول الطالبة للمعلومة بنفسها يجعلها أكثرعمق ًا في عقلها لذلك‬ ‫كانت فكرة مشروعي لطالباتي في المستوى الرابع للعام الدراس ي ‪ 1441 / 1440‬ه هي هذا الكتيب الذي‬ ‫حرصت من خلاله أن تبحث الطالبة بنفسها عن أسرارالرياضيات لتكتشف معلومات جميلة قد لايتطرق‬ ‫إليها البعض عند شرح الدروس وأن تتعرف علماءها و ماقدموه من أعمال مازالت تخدم البشرية على مر‬ ‫العصور و أن تستكشف تاريخها و نشأتها لتصل لقناعة كاملة بأهميتها و تتعرف على الكثيرمن المعلومات‬ ‫التي قد يجهلها حتى معلمي و معلمات الرياضيات أنفسهم و يقفوا عاجزين عن الإجابة على بعض أسئلة‬ ‫الطلاب و الطالبات عن هذا التاريخ ‪.‬‬ ‫و رغبة مني في أن تعم الفائدة و تصل هذه المعلومات للمعلمين و المعلمات و الطلاب و الطالبات فقد‬ ‫جمعت كل تقارير طالبتي في هذا الكتيب كما تم إرفاق فيديو توضيحي لكل موضوع يمكن متابعته بسهولة‬ ‫من خلال الضغط على الرابط أو مسح الباركود ‪.‬تمنياتي للجميع بمتابعة ممتعة‬ ‫معلمة الرياضيات بمدارس دار التربية الحديثة أ‪ .‬هند العديني‬ ‫‪2‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أسرار الرياضيات‬ ‫‪3‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫لماذا القسمة على صفر غير معرفة‬ ‫الصفر‪ :‬ان الصفر هو اخر الاعداد المضافة في انظمة العدد حيث ادخل الى بغداد من قبل عالم الرياضيات‬ ‫محمد بن موسى الخوارزمي في عام ‪850‬م بعد ان كان الرقم واحد هو بداية العدد ويعبر مفهوم الرقم عن‬ ‫الذي يأتي قبل الرقم واحد وجميع الاعداد الطبيعية الموجبة التي تليه والذي يأتي بعد الرقم سالب واحد‬ ‫وجميع الاعداد الطبيعة السالبة التي تليه وكان يعبر عنه قديما بمسافة فارغة او رمز عن باقي الاعداد‬ ‫يعبر مفهوم القسمة في الرياضيات عن عملية تقسيم شئ ما على مجموعات او لعدة اجزاء بشكل متساوي‬ ‫مث اًل اذا قسمنا عشرين تفاحة على اربعة اطفال يمكننا اجراء عملية القسمة وهي ان يحصل كل واحد منهم‬ ‫على خمس تفاحات ولكن لايمكن تقسيم عشرين تفاحة على عدد من الاطفال يساوي صفر يبدوا السؤال‬ ‫وذلك لانه لا يمكن قسمة عدد على صفر لانه لايمكن استخدام عملية الضرب بعد اجراء عملية القسمة‬ ‫لماذا لا يجوز القسمة على صفر؟ و كذلك لماذا يكون ناتج القسمة على صفر هو ما لا نهاية‬ ‫تساءلنا كثي ًرا في صغرنا عن القسمة على الصفر فهل كانوا صادقين حينما أخبرونا أن القسمة على صفر ليس‬ ‫لها معنى؟ ولكن لماذا أخبرونا بعد ذلك أن الناتج هو كمية غير ُمعرفة؟‬ ‫لا شك أن العدد صفر هو أحد الرموز ال ُمقدسة في علم الرياضيات؛ فهو ذو طبيعة مختلفة عن باقي الأرقام‪،‬‬ ‫وينبغي أخذ الحذر معه كثي ًرا‪ .‬فكيف سيكون الحال مع ال ِقسمة؟ لماذا لا يمكننا القسمة على الصفر؟ ولماذا لا‬ ‫يكون الناتج ببساطة هو ∞؟‬ ‫‪.‬في الحقيقة ليس الأمر بهذه السهولة وسنوضح ذلك‬ ‫في البداية ينبغي ُمراجعة بعض المفاهيم‪ ،‬فمثًًل الضرب هو في حقيقته عمليات جمع‪ .‬فحينما نقول مثًًل ‪5×10‬‬ ‫فنحن بالضرورة نعني أننا نجمع الخمسة ‪10‬مرات مع نفسها‬ ‫‪«5+5+5+5 +5+5+5+5+ 5+5».‬‬ ‫بينما القسمة على النقيض؛ فهي في حقيقتها عمليات طرح‪ .‬فمثًًل حينما نقول ‪ 20/4‬فنحن بالضرورة أي ًضا‬ ‫نعني أننا نطرح ‪ 4‬من العدد ‪ 20‬في كل مرة‬ ‫‪20 − 4 = 16 , 16 − 4 = 12 , 12 − 4 = 8‬‬ ‫‪8−4=4 , 4−4=0‬‬ ‫نقوم بذلك ‪ 5‬مرات ومن هنا يكون ناتج ‪ .20/4=5‬ولكن إذا قسمنا على الصفر فهذا يعني ِطب ًقا لما ذُ ِك َر أننا في‬ ‫كل مرة نطرح صف ًرا من العدد‪ .‬مرة أخرى =‪20/0‬‬ ‫‪20 − 0 = 20 , 20 − 40 = 20 , 20 − 0 = 20‬‬ ‫ونستمر على هذا الحال كلما طرحنا ‪ 0‬من العدد ‪ 20‬نحصل على ‪ 20‬مرةً أُخرى‪ .‬إذًا يمكن من هنا استنتاج‬ ‫أن الناتج هو ∞ وهذا هو ما قد يتبادر إلى الأذهان‪.‬‬ ‫ولكن هذه ليست القصة كاملةً‪ .‬يجب هنا التنبيه على أن ∞ ليست بحد ذاتها رق ًما؛ فًل نتعامل معها من هذا‬ ‫المنطلق‪ ،‬وإنما ∞ هي فكرة‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫وللتوضيح سنأخذ الدالة التي تمثل كل قيم المتغيرة لمقلوب ‪ ، x‬وبإيجاد النهاية للدالة عندما تقترب ‪ x‬من ال ‪0‬‬ ‫تساوي ∞ إذا يمكننا استنتاج أن ‪. ∞ = 0/1‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪ ،‬نجد أن‬ ‫‪x→0 x‬‬ ‫ولكن هذه ليست كل الحقيقة‪ .‬فإذا َمثَّلنا الدالة بيان ًيا وبأخذ ‪ x‬على المحور السيني‪ ،‬و مقلوب ‪ x‬على المحور‬ ‫الصادي‪ ،‬فعندما نقترب من قيمة ال ‪ 0‬على المحور السيني‪ ،‬تزيد قيمة الدالة على المحور الصادي حتى يمكن‬ ‫أن نقول أنها تساوي ∞‪ .‬ولكن هذا فقط صحيح في حالة إذا كانت ‪ x‬تقترب من ‪ 0‬من ناحية الأعداد‬ ‫ال ُموجبة‪ .‬أما في حالة الأعداد السالبة‪ ،‬وعندما نقترب من ‪ 0‬على المحور السيني‪ ،‬نجد أن قيمة الدالة على‬ ‫المحور الصادي يمكن أن نقول أنها تساوي (∞‪ .)-‬رياضيا يمكننا التعبي ٍر عن كل الذي سبق باستخدام‬ ‫النهايات كالاتي‪:‬‬ ‫‪lim 1 =  lim 1 = −‬‬ ‫‪xx→0+‬‬ ‫‪xx→0−‬‬ ‫ومن هنا نجد أنه لا توجد قيمة واحدة ؤللنهاية عند نفس النقطة؛ ولهذا فإن ناتج‬ ‫القسمة دائ ًما غير معرف ‪.‬‬ ‫رابط و باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=ddk5wc-‬‬ ‫‪jZUQ&t=6s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ديما الأزوري‬ ‫‪5‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫لماذا إذا ضربنا عددين سالبين فإن الناتج يكون عد ًدا موج ًبا؟‬ ‫يشكك البعض في كون ناتج ضرب عددين سالبين موجباا دائ اما ‪ ،‬وسيتم إثبات ذلك من خًلل عدة طرق ‪:‬‬ ‫❖ المقاربة المنطقية ‪:‬‬ ‫فمث اًل في العبارات ‪ ،‬إذا كان لدينا عبارة (لم أخبرك عن شيء) فتعطي نتيجة سلبية ‪ ،‬فنفي هذه العبارة المنفية‬ ‫أصًل يكون (ولا مرة لم أخبرك عن شيء) فتعطي نتيجة بمعنى إيجابي وهذا مقارب منطق ايا لفكرة ضرب‬ ‫عددين سالبين والنتيجة موجبة‪.‬‬ ‫اقترح العديد من الرياضياتيين طرق لتصور ماذا يحدث عندما نضرب رقم سالب في رقم سالب آخر‪،‬‬ ‫لتبسيط الفكرة ومعرفة لماذا يحدث هذا رياضياا‪ .‬بالطبع تصوير الأمر ليس سه اًل لكننا سنحاول تبسيط الفكرة‬ ‫أفضل طرق لتمثيل عملية السالب (الطرح) هو الدين‪ .‬فلنفترض أنك مديون للبنك‪ ،‬وعليك دفع كل شهر‬ ‫‪ 100‬دولار لمدة ستة أشهر‪ .‬فبعد الستة أشهر كم سيصبح ما معك من مال؟ بالطبع ستضرب عدد الأشهر‬ ‫فيما سيتم طرحه منك كل شهر‪(-100).‬‬ ‫‪ ( -100* 6 = -600‬سالب ‪ ،600‬أي سينقص مالك ما قيمته ‪ 600‬دولار‪).‬‬ ‫لكن لنفترض أن (لم) تدفع لثًلثة أشهر بسبب هدية من البنك‪ .‬أي ستصبح الأشهر سالبة (لم) تقم فيها‬ ‫بالعملية‪ .‬فتصبح العملية‪-100 * -3‬‬ ‫لن نضع الناتج‪ ،‬فكر انت به‪ ،‬لم يتم خصم منك ‪ 100‬دولار في ‪ 3‬أشهر فهل سيكون هناك فائض؟ نعم بالطبع‪،‬‬ ‫لذا فالقيمة ستكون موجبة‬ ‫❖ المقاربة الرياضية(الجبرية)‪:‬‬ ‫للإثبات بهذه الطريقة يجب علينا أخذ خاصيتين من خصائص الأعداد الحقيقية بعين الاعتبار‪:‬‬ ‫أولاً‪ :‬أن ناتج ضرب أي عدد حقيقي في العدد صفر يساوي صفر‬ ‫ثانيًا‪ :‬أن أي عدد زائد نظيره الجمعي يساوي صفر‬ ‫ولإثبات أن سالب ضرب سالب موجب ‪:‬‬ ‫? = ‪- 2 × - 100‬‬ ‫‪+ 2 × (100 - 100) = 0‬‬ ‫‪(-2 × 100) + (-2× −100)= 0‬‬ ‫‪-200 + (- 2 × −100) = 0‬‬ ‫‪- 200 + 200 = 0‬‬ ‫إ اذا فإن ضرب أي عددين سالبين يجب أن يكون عد ادا موج ابا‬ ‫‪6‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫❖ مقاربة المتجهات ‪:‬‬ ‫)‪ : (-2)×(-3‬نفرض أن العدد )‪ (- 2‬هو العدد الذي يسير به الشخص في الخطوة الواحدة ‪ ،‬أما العدد‬ ‫)‪ (-3‬فهو عدد الخطوات التي سوف يسيرها الشخص‬ ‫فإذا سيسير الشخص خطواته باتجاه الأعداد السالبة بخطوة طولها ‪ 2‬للخلف ثًلث مرات‪.‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=lVvX-‬‬ ‫‪jH_Mmo&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=16‬‬ ‫الطالبة غلا الصبحي‬ ‫‪7‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫لماذا أي عدد باستثناء الصفر مرفوع للأس صفر يكون الناتج يساوي ‪1‬‬ ‫هي قاعدة نحفظها فقط ولا نعرف مصدرها‪ ،‬لذا سأشرحها اليوم بطريقة مبسطة‪.‬‬ ‫عودةا إلى قاعدة القوى الكسرية‪ ،‬حيث ‪ xn = xn−m‬بمعنى أن أي عدد أس ‪ m‬على العدد نفسه أس ‪n‬‬ ‫‪xm‬‬ ‫يساوي العدد أس ‪ .m-n‬وهي قاعدة صحيحة ومنطقية إن قمت بفك الأسس وتجربتها‪.‬‬ ‫لننتقل الآن إلى النقطة الأخرى‪ ،‬حينما نُعطى كس ارا متساوي البسط والمقام‪ ،‬على سبيل المثال‪ ،9/9 :‬فهو‬ ‫يساوي ‪ !1‬ولكن‪ ..‬ألا يمكننا استبدال التسعة بـ‪3^2‬؟ إذا سيصبح الكسر كالتالي‪ ،3^2 / 3^2 :‬وحينما نحله‬ ‫بقاعدة القوى الكسرية سنُعطى الناتج التالي‪ 3^0 :‬وهو ما سيعطينا الناتج واحد أخي ارا‪.‬‬ ‫نستنتج بهذا‪ ،‬أن أي عدد مرفو اعا للأس صفر‪ ،‬هو أسا اس مقسوم على نفسه بأسس متساوية‪.‬‬ ‫ولكن‪ ،‬لكل قاعدة شواذ‪ ،‬وهناك إستثناء لهذه القاعدة؛ فالصبر مرفو اعا للأس صفر لا يساوي الواحد‪ ،‬ل َم؟‬ ‫لأنه حينما نقوم بالتعويض بالصفر في القانون السابق (‪ )a^m / a^m‬سنجد أن لدينا صف ارا في المقام‪،‬‬ ‫وكما نعرف‪ ،‬يصبح الكسر غير معرفاا حينما يكون مقامه مساو ايا للصفر‪.‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪xn−n‬‬ ‫=‬ ‫‪xn  x−n‬‬ ‫=‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫وبهذا سندرك أن أي عدد أس صفر يساوي الواحد‪ ،‬إلا الصفر فسيكون غير‬ ‫معر افا‪.‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=FABUP6qwU_0&list=PLmD‬‬ ‫‪Mx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-7qf4LbF&index=6‬‬ ‫الطالبة جنى الشيخي‬ ‫‪8‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫من أين جاءت الصيغة التربيعية ؟ (( ‪( Quadratic Formula‬‬ ‫تاريخ المعادلات التربيعية‬ ‫طور البابليون نه اجا حساب ًيّا بسي اطا لحل المشكًلت الرياضية التي تواجههم عن طريق حل المعادلات‬ ‫التربيعية دون دراي ٍة منهم بهذه المعادلات‪ .‬وفي حوالي ‪ 300‬قبل الميًلد تمكن اقليدس من تطوير منهجٍ‬ ‫الهندي براهماغوبتا أول من‬ ‫العالم‬ ‫للمعادلات التربيعية‪ ،‬وكان‬ ‫حلو ٍل‬ ‫أهنعاددسهٍّيٍيكملكة انلالطعرلمقاءالبمابلنيبةعلديهقدممن إصييغجاةاد‬ ‫بن موسى الخوارزمي الذي‬ ‫محمد‬ ‫لحل المعادلة ليأتي بعد ذلك‬ ‫حديثةا‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫معادل ٍة‬ ‫كل‬ ‫حل‬ ‫مع‬ ‫التربيعية‬ ‫لأنواعٍ مختلف ٍة من المعادلات‬ ‫صيغ‬ ‫تمكن من تطوير طريقته وتقديم‬ ‫في عالم الرياضيات‪.‬‬ ‫جديدةٌ‬ ‫المعادلات لتبدأ بعد ذلك مرحلةٌ‬ ‫ماهي المعادلات التربيعية‬ ‫هي معادلةٌ جبريةٌ ثًلثية الحدود من الدرجة الثانية والشكل القياسي للمعادلة التربيعية يتمثل بالشكل الآتي‪:‬‬ ‫‪ ،=ax2 + bx + c0‬بحيث ‪ a b c‬هي أعداد حقيقية ثابتة وبشرط ‪ a‬متغير لايساوي الصفر وإلا تحولت‬ ‫المعادلة إلى خطي ٍة‬ ‫ماهي الصيغة التربيعية ؟‬ ‫هي طريقة أو صيغة تستخدم لإيجاد جذور للدوال والمعادلات التربيعية (من الدرجة الثانية) وتعطى بالعًلقة‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫ماهي طريقة إكمال المربع وعلاقتها بالصيغة التربيعية ؟‬ ‫شكل أي دالة تربيعية هو ‪ ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ :‬وعندما نقوم بترتيب المعادلة سوف تصبح بهذا‬ ‫الشكل ‪ ������������2 + ������������ = −������‬ولنقوم بترجمتها بشكل هندسي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬نقسم جميع معامًلت الأطراف على ‪ a‬لنتأكد أن ‪ ������2‬هي عبارة عن مساحة لمربع طول ضلعه ‪x‬‬ ‫وتصبح المعادلة بهذا الشكل ‪������2 + ������ ������ = − ������ :‬‬ ‫‪������ ������‬‬ ‫‪ )2‬ولنحول هذه الصيغة هندسيا نعتبر أن ‪ ������2‬هي مساحة مربع طول ضلعه ‪ . X‬و ‪ ������ ������‬هي مساحة‬ ‫‪������‬‬ ‫مستطيل أطوال أضًلعه هي ‪ x‬و‪ . ������‬و ‪ − ������‬هي مساحة مستطيل بغض النظر عن أطوال‬ ‫‪������ ������‬‬ ‫أضًلعه‪.‬‬ ‫‪ )3‬نقوم بدمج المربع والمستطيل حيث نقسم المستطيل إلى مستطيلين متساويين وندمجهم بالمربع‪،‬‬ ‫سوف نحصل على الشكل (‪ )1‬وهو شكل يشبه المربع ولكنه ليس مربع متكامل‪.‬‬ ‫‪ )4‬لذا سوف نضيف مربع آخر طول ضلعه ‪ ������‬أي مساحته ‪ ������ 2‬وهذا هو سبب تسمية الطريقة‬ ‫‪2������ 2������‬‬ ‫‪9‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫‪ )5‬بـ ( إكمال المربع )‪ .‬وبما أنه لدينا معادلة فأي عدد نضيفه لطرف يجب أن نضيفه للطرف الآخر‬ ‫فتصبح لدينا المعادلة ‪:‬‬ ‫‪������2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������2‬‬ ‫=‬ ‫‪− ������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������2‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪4������2‬‬ ‫‪4������2‬‬ ‫‪������‬‬ ‫وهذا الكسر يمثل مساحة المستطيل الذي على‬ ‫‪������2−4������������‬‬ ‫يساوي‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫الأيمن‬ ‫الطرف‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪4������2‬‬ ‫اليمين‪ .‬وبما أن مساحة الطرف الأيمن = مساحة الطرف الأيسر‬ ‫‪(������ + ������ )2‬‬ ‫=‬ ‫‪������2−4������������‬‬ ‫فإنه‬ ‫‪4������2‬‬ ‫‪2������‬‬ ‫‪ )7‬بعدما كتبنا الطرف الأيسر بشكل تربيعي نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫=‬ ‫‪±√������24−������42������������‬‬ ‫الأيمن‪.‬‬ ‫للطرف‬ ‫والسالب‬ ‫الموجب‬ ‫التربيعي‬ ‫بالجذر‬ ‫الأيسر‬ ‫‪2������‬‬ ‫وإذا قمنا بتبسيط الجذر ونقلنا ال ‪ ������‬للطرف الآخر فسنحصل على الصيغة التربيعية‪.‬‬ ‫‪2������‬‬ ‫‪x = −b  b2 − 4ac‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫رابط و باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫الطالبة ‪ :‬ليان البدري ‪https://www.youtube.com/watch?v=myLSPGpU73Q‬‬ ‫‪&t=346s‬‬ ‫‪10‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫من أين جاء قانون مساحة الدائرة ؟‬ ‫تعريف الدائرة‬ ‫هي منحنى يتأ ّلٍف من عد ٍد ثاب ٍت من النقاط التي تبعد مسافةا ثابتةا عن نقط ٍة معيٍّن ٍة تدعى مركز الدائرة‪ ،‬هذه‬ ‫المسافة الثٍّابتة تس ٍّمى نصف القطر؛ ومحيط ال ٍّدائرة هو مجموع هذه النقاط‪ ،‬إ ٍّن أطول خ ٍٍّط مستقي ٍم يم ُّر عبر‬ ‫مركز الدائرة هو قطر ال ٍّدائرة‪ ،‬وهو ضعف نصف القطر‪ ،‬أ ٍّما القطاع الدائر ُّي فهو القسم من الدائرة‬ ‫المحصور بنصف ٍّي قط ٍر محد ادا زاويةا بينهما تدعى زاوية القطاع‪ ،‬ومن الأمثلة الحيات ٍّية لها الإطارات والحقل‬ ‫الدائر ٍّي والمقًلة وغيرها‪.‬‬ ‫مساحة الدائرة‬ ‫هي المنطقة التي تشغلها الدائرة في مستوى ثنائ ٍّي الأبعاد‪،‬‬ ‫أو المنطقة المغ ٍّطاة بدورةٍ كامل ٍة لنصف القطر على مستوى ثنائ ٍّي الأبعاد‪،‬‬ ‫يمكن استنتاج قانون مساحة الدائرة بطريقتين‪:‬‬ ‫استنتاج قانون مساحة ال ّدائرة بطريقة المستطيل‪:‬‬ ‫تقوم بتقسيم الدائٍّرة لثمانية قطاعا ٍت متساو ٍّي ٍة‪ ،‬ثم نرتٍّب هذه القطاعات بجانب بعضها بشك ٍل متعاك ٍس ومتتال ٍّيٍ‬ ‫كما في الشكل‪ ،‬فتش ٍّكل ما يشبه متوازي الأضًلع‪ ،‬ولكن ليس مستطي اًل‪ ،‬ارتفاعه هو نصف قطر الدائرة‪،‬‬ ‫وبتقسيم ال ٍّدائرة إلى مزي ٍد من القطاعات تصغر هذه القطاعات أكثر فأكثر‪ ،‬ويصبح الشكل مشاب اها للمستطيل‬ ‫أكثر فأكثر‪ ،‬وباستمرار التقسيم إلى عد ٍد لا متنا ٍه من الق ٍّطاعات يصبح الشكل مستطي اًل في النهاية‪ ،‬ارتفاعه‬ ‫هو نصف القطر‪ ،‬وقاعدته هي نصف محيط ال ٍّدائرة‪ ،‬وبالتٍّالي‪:.‬‬ ‫‪11‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫استنتاج قانون مساحة الدائرة بطريقة المثلّث‪:‬‬ ‫تعتمد هذه الطريقة على ربط مساحة الدائرة بمساحة المثلث‪ ،‬وذلك عبر تحويل الدائرة إلى مثل ٍث من خًلل‬ ‫تقسيم الدائرة ذات نصف القطر ‪ r‬إلى دوائ َر أخرى بنفس المركز وتختلف بنصف القطر‪ ،‬وقطع هذه الدوائر‬ ‫وفق الخط كما في الشكل‪ ،‬وبذلك تكون معنا مثلث قاعدته هي محيط ال ٍّدائرة وارتفاعه هو نصف قطر‬ ‫الدائرة‪ ، r‬وبالتٍّالي بتطبيق قانون مساحة المثلٍّث يكون‪:‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=GMY8pu_Z‬‬ ‫‪TJ4&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=15‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬الجودي السليماني‬ ‫‪12‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫من أين جاء ‪ π‬؟‬ ‫(‪)?Where did π come from‬؟‬ ‫تاريخ باي ‪:������‬‬ ‫عرف الباي ‪ Pi‬منذ ما يقرب من ‪ 4000‬سنة واكتشفها البابليون القدماء‪ .‬قرص من مكان ما بين ‪-1900‬‬ ‫‪ 1680‬قبل الميًلد‪ .‬وجد به الباي وكان يساوي عندهم ‪ .3.125‬كان المصريون القدماء يحققون اكتشافات‬ ‫مماثلة ‪ ،‬كما يتضح من بردية ‪ Rhind‬من عام ‪ 1650‬قبل الميًلد‪ .‬في هذه الوثيقة ‪ ،‬قام المصريون‬ ‫بحساب مساحة الدائرة بواسطة صيغة تعطي ‪ pi‬قيمة تقريبية تساوي ‪3.1605‬‬ ‫الطريقة الأولى للحساب تم تنفيذها بواسطة أرخميدس من سيراكيوز (‪ 212-287‬قبل الميًلد)‪ .‬واحد من‬ ‫أعظم علماء الرياضيات في العالم ‪ ،‬استخدم أرخميدس نظرية فيثاغورس للعثور على مناطق من مضلعين‪.‬‬ ‫يقارن أرخميدس مساحة الدائرة على أساس مساحة المضلع المنتظم داخل الدائرة ومساحة المضلع المنتظم‬ ‫الذي كانت الدائرة مقيدة فيه‪ .‬أعطت المضلعات ‪ ،‬كما رسمها أرخميدس ‪ ،‬الحدود العليا والدنيا لمنطقة‬ ‫الدائرة ‪ ،‬وكان يقترب من أن ‪ pi‬بين ‪ 7/1 3‬و ‪71/10 3‬‬ ‫بدأ باي يرمز إلى رمز )‪ (π‬في عام ‪ 1706‬بواسطة عالم الرياضيات البريطاني وليام جونز‪ .‬استخدم جونز‬ ‫‪ 3.14159‬كحساب لباي ‪.‬‬ ‫‪( Pi r squared‬باي × مربع نصف القطر)‬ ‫في الرياضيات الأساسية ‪ ،‬يستخدم ‪ pi‬لإيجاد المنطقة ومحيط الدائرة‪ .‬يستخدم ‪ Pi‬للعثور على المنطقة‬ ‫بضرب نصف قطر مربع ‪ .pi‬لذلك ‪ ،‬في محاولة للعثور على مساحة دائرة نصف قطرها ‪ 3‬سم ‪π32 = ،‬‬ ‫‪ 28.27‬سم‪ .‬نظ ارا لأن الدوائر تحدث بطبيعتها‪ ،‬وكثيراا ما تستخدم في معادلات رياضية أخرى ‪ ،‬فإن ‪ pi‬في‬ ‫كل مكان حولنا ويتم استخدامها بشكل مستمر‪.‬‬ ‫ما هو العدد باي ‪������‬؟‬ ‫باي هو عدد غير نسبي ثابت أي أنه لا يمكن كتابته على صورة كسر ‪ ، ������‬ويمثل‬ ‫‪������‬‬ ‫باي النسبة بين محيط الدائرة وقطرها وبغض النظر عن حجم الدائرة‪ ،‬سيكون دائ اما‬ ‫نفس الرقم وهو ‪ 3.14‬تقريباا‪ .‬وذلك بالنسبة الى الدوائر أما في حساب المثلثات فإن‬ ‫باي هي زاوية تساوي ‪ 180°‬تقريباا عند الحساب بالراديان‪.‬‬ ‫‪13‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫تطبيقات العدد باي ‪ ������‬في مختلف المجالات‪:‬‬ ‫تطبيقات باي في الرياضيات‬ ‫يظهر العدد باي في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة‬ ‫والمخروط والطارة‪.‬‬ ‫تطبيقات باي في الفيزياء‬ ‫يظهر العدد باي في العديد من القوانين الفيزيائية ومن اهمها‪ :‬الثابت الكوني‪ ،‬قوانين كبلر‪ ،‬النفاذية‬ ‫المغناطيسية في الفراغ‬ ‫تطبيقات باي في الاحتمالات والإحصاء‬ ‫دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط والانحراف المعياري نتيجة لًلنحراف الغاوسي‪.‬‬ ‫تطبيقات باي في الكيمياء‬ ‫حساب كمية الهيدروجين التي تتوافر في العمليات الكيميائية والبيولوجية‪.‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=SX5qGaPx8‬‬ ‫‪sY&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=10‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ليان العمري‬ ‫‪14‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫من أين جاء قانون حجم الكرة ؟‬ ‫تعرف الكرة انها نموذج ثًلثي الابعاد من الدائرة‪،‬‬ ‫ولكي نفهم قانون حجم الكرة لابد من معرفة المصطلحات التالية‪:‬‬ ‫‪-1‬القطر‪ :‬يمكن تعريف القطر بأنه قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين‬ ‫متقابلتين تقعان على محيط الشكل وتمتلك كل كرة عددا لا نهائيا من الأقطار‪.‬‬ ‫‪-2‬نصف القطر ‪ :r‬يمكن تعريفه على انه القطر مقسوما على ‪2‬او‬ ‫المسافة بين مركز الدائرة ومحيطها‪.‬‬ ‫تاليا سنحتاج لفهم قانون حجم الهرم بما ان كًل من الهرم والكرة نموذجان ثًلثيا الابعاد فنستطيع استنتاج‬ ‫قانون حجم الكرة بالاعتماد على قانون حجم الهرم‪ ،‬فيمكننا تخيل الكرة كعدد لا نهائي من الاهرامات‪.‬‬ ‫قانون حجم الهرم‪ :‬فلنتخيل مكعبا تم تقسيمه من اقطاره سوف يتكون لدينا ‪6‬اهرامات متساوية فسنًلحظ ان‬ ‫مساحة قاعدة كل هرم هي مساحة قاعدة المكعب ويتم حسابها بالقانون التالي‪:‬‬ ‫قاعدة المكعب ‪=B‬الطول ‪× L‬العرض ‪W‬أي ‪������ × ������ = ������‬‬ ‫‪h‬هو ارتفاع الهرم و ‪H‬هو ارتفاع المكعب كامًل أي ‪������ = 2ℎ‬‬ ‫وقانون حجم المكعب هو ‪������ × ������ × ������‬او ‪������ × ������‬او ‪������ × 2ℎ‬‬ ‫وبما ان حجم الكرة = عدد لا نهائي من الاهرامات فيمكن كتابة المعادلة بهذا الشكل‪:‬‬ ‫‪15‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫كما يمكن أيضاً اشتقاق القانون من عًلقة حجم الكرة بحجم الأسطوانة كما هو موضح في الاشتقاق التالي‬ ‫حجم الأسطوانة= ‪( × 3‬حجم نصف الكرة)‪.‬‬ ‫وبما أن حجم الأسطوانة = ‪ .������������2 × ℎ‬علماً بأن ‪ = ℎ ، ������ = 3.14‬الإرتفاع‪ = ������،‬نصف قطر الكرة‪ ،‬فإن‪:‬‬ ‫‪ × 1/2( × 3 = ������������2 × ℎ‬حجم الكرة)‪.‬‬ ‫‪ × 3/2 = ������������2 × ℎ‬حجم الكرة‪ .‬وبضرب طرفي المعادلة بمقلوب الكسر‪ ،2/3‬ينتج أن‪:‬‬ ‫‪ = 2 ������������2 × ℎ‬حجم الكرة وبما أن ‪.ℎ = 2������‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ = 2 ������������2 × 2������‬حجم الكرة‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن‪ = 4 ������������3 :‬حجم الكرة‬ ‫‪3‬‬ ‫ويمكن القيام بتجربة بسيطة‪ ،‬توضح القانون بطريقة عملية‪ ،‬وتبين عًلقة حجم الكرة بالأسطوانة عن طريق‬ ‫مجموعة من الخطوات البسيطة التي يتم اتباعها‪ ،‬والتي من خًللها يتم الوصول لقانون حجم الكرة بمنتهى‬ ‫المرونة والبساطة‪ ،‬والخطوات هي‪:‬‬ ‫إحضار ُمجسم أسطواني وكرة مفرغة من الداخل‪ ،‬بحيث أن ارتفاع الأسطوانة = ‪ 2‬نق الكرة الموجودة‬ ‫(ضعفي نصف قطر الكرة)‪ ،‬ونصف قطر الكرة = نصف قطر قاعدة الاسطوانة الدائرية‪.‬‬ ‫تقسيم الكرة المفرغة من الداخل إلى نصفين متطابقين تماماً‪.‬‬ ‫إحضار كمية من الرمل والبدء بتعبئة الرمل في نصف الكرة‪ ،‬وإفراغ كمية الرمل في الاسطوانة‪ ،‬وإعادة هذه‬ ‫الخطوة حتى تمتلئ الأسطوانة بالرمل بشكل كامل‪.‬‬ ‫بعد إنهاء هذه الخطوة سيتم الاستنتاج بأن الأسطوانة امتلأت بعد ثًلث مرات من ملئ نصف الكرة؛ أي أن‬ ‫الاسطوانة احتاجت إلى ثًلثة أضعاف كمية الرمل الموجودة بنصف الكرة حتى تمتلئ‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=Qcx18Gzccf‬‬ ‫‪A&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=11‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬مريم كوثر‬ ‫‪16‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫لماذا مبرهنة فيتاغورس صحيحة و ما أهميتها ؟‬ ‫لمحة تاريخية عن النظرية و أهميتها ‪:‬‬ ‫يعتقد البعض أن أول من استخدم نظرية فيثاغورس هو العالم فيثاغورس نفسه‪ ،‬لكن الوثائق التاريخية تشير‬ ‫إلى استخدام مثلثات قائمة بأضًلع أطوالها أعداد صحيحة في العصور الحجرية‪ ،‬وللمفارقة تم تأكيد‬ ‫استخدامها عند البابليين قبل فيثاغورس بأكثر من ‪ 1000‬سنة أي حوالي سنة ‪ 1800‬قبل الميًلد‪.‬‬ ‫كما أن المصريين القدماء كانوا يستخدمون حبالاا ذات ثًلث عشرة عقدة أثناء عمليات البناء وتقسيم‬ ‫الأراضي الزراعية بغية الاستفادة من المسافات الإثنتي عشرة الموجودة بين العقد في إنشاء مثلث قائم‬ ‫أطوال أضًلعه مثل ( ‪ 5‬و ‪ 4‬و ‪ ) 3‬ويحقق نظرية فيثاغورس وتمت تسميته بالمثلث الذهبي ولكن لم يتم‬ ‫تعميم هذه النظرية على باقي المثلثات القائمة‪.‬‬ ‫ويعود الفضل في إثبات هذه النظرية بشكل تجريبي وتعميمها على جميع المثلثات القائمة ذات الأطوال‬ ‫الصحيحة إلى العالم فيثاغورس الذي ولد في اليونان في جزيرة ساموس في بحر إيجه وذلك عام ‪ 569‬قبل‬ ‫الميًلد‪..‬‬ ‫وكانت جزيرة ساموس إحدى أهم المراكز التجارية والثقافية في ذلك الوقت‪ ،‬مما أتاح لفيثاغورس أن ينشأ‬ ‫في أفضل ظروف تعليمية متاحة في ذلك الوقت خاصة أنه ابن أحد أغنياء الجزيرة‪ ،‬وحين بلغ فيثاغورس‬ ‫السادسة عشر من عمره بدأ يظهر نبوغه وتفوقه حتى عجز أساتذته عن الإجابة على بعض أسئلته‪ ،‬لذا انتقل‬ ‫للدراسة على يد الأستاذ طاليس الملطي‪ ،‬والذي يعد أول يوناني أجرى دراسة عملية للأعداد‪.‬‬ ‫قام فيثاغورس في شبابه برحلة إلى بًلد ما بين النهرين والتي تتألف حالياا من سوريا والعراق ثم غادرإلى‬ ‫مصر وأقام فيها عدة سنوات اطلع فيها على الحبل ذو الثًلث عقد واستفاد من المعارف الذي اكتسبها‬ ‫الم ٍّساحون المصريون حول هذا الحبل والمثلث الذهبي الذي يشكله‪ ،‬وبعد حوالي ‪ 17‬سنة من الترحال‬ ‫وطلب العلم تمكن فيثاغوراس من جمع واكتساب أغلب المعارف والنظريات الرياضية من مختلف‬ ‫الحضارات المعروفة آنذاك‪.‬‬ ‫عاد فيثاغورس إلى مسقط رأسه في جزيرة ساموس وما إن لبث فيها قليًلا حتى اضطر إلى مغادرتها بسبب‬ ‫معارضته لسياسة بوليكراتس وتغيراته في النظام الاجتماعي التي جرت حوالي عام ‪ 520‬قبل الميًلد‪،‬‬ ‫ليستقر بعد هذا في مدينة كروتوني وهي مستعمرة يونانية في جنوب إيطاليا ليتعرف إلى أحد أغنياء وأقوياء‬ ‫هذه المدينة والمدعو ميًلن‪ ..‬والذي حقق رقماا قياسياا بتسجيله ‪ 12‬إنتصاراا في الألعاب الأولومبية التي‬ ‫كانت تعقد دورياا كل عام بمشاركة عدد من ممثلي مدن اليونان القديمة‪ ،‬وكان ميًلن مولعاا بالفلسفة‬ ‫والرياضيات والرياضة فقام بمساعدة فيثاغورس ودعمه مادياا ليكمل مسيرته العلمية حتى أنه وضع قسماا‬ ‫من بيته تحت تصرف فيثاغورس ليفتتح فيها مدرسة خاصة به‬ ‫‪17‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أهمية نظرية فيثاغورس في البناء‬ ‫تسمح نظرية فيثاغورس بحساب طول القطر الواصل بين خط ٍّين ُمستقيمين؛ ويُستخدم التطبيق المرفق لهذه‬ ‫المعادلة بالتكرار في البناء والأعمال الخشب ٍيّة أو مشاريع الأبنية الماد ّيٍة‪ ،‬فعلى سبيل المثال في حالة ال ٍّرغبة‬ ‫ببناء سطح مائل يُمكن توظيف النٍّظرية لإيجاد طول الوتر لهذا ال ٍّسقف في حالة امتًلك المعلومات الكافية‬ ‫لمعرفة ارتفاع السقف وطول غطائه‪ ،‬كما يُمكن استخدام هذه المعلومات لقطع العمود ال ٍّداعم لهذا ال ٍّسقف‬ ‫بالشكل الصحيح‪ ،‬أو حساب مساحة ال ٍّسقف الذي يحتاج للألواح الخشبيٍّة‪ ]٧[،‬وقد لا تكون نظرية فيثاغورس‬ ‫مه ٍّمة في هذا المجال لو كانت جميع الأبنية حول العالم تتخذ الشكل الموازي لخ ٍط ما أو العمود ٍّي‪ ،‬ولكن في‬ ‫حقيقة الأمر يتم بناء الجدران الحقيق ٍيّة وأنواع الأبنية الأخرى مع قلي اًل من الزوايا؛ أي أنٍّها ليست مواز ّيٍة أو‬ ‫عمودية لخ ٍط ما‪ ،‬وفي هذه الحالة لا بُد من استخدام النظرية‪.‬‬ ‫أهمية نظرية فيثاغورس في الملاحة‬ ‫تسهم هذه النظرية في مجال المًلحة أو التن ٍقّل بين مسافتين في النظام ثنائ ٍّي الأبعاد؛ حيث يُمكن استخدامها‬ ‫لحساب أقصر مسافة ممكنة بين نقطتين‪ ،‬ففي حالة وجود شخص ما في البحر على متن سفينة وال ٍّرغبة في‬ ‫الوصول إلى نقطة تبعد ‪ 300‬مي اًل عن الجهة الشماليٍّة و‪ 400‬مي اًل عن الجهة الغرب ٍيّة فيمكن استخدام‬ ‫النظر ٍيّة للتم ٍّكن من حساب المسافة الواقعة بين السفينة وتلك النقطة وأي اضا حساب درجات ال ٍّزاوية الًلزم‬ ‫معرفتها للتم ٍّكن من الوصول إليها‪ ،‬وذلك عن طريق التص ٍّور بأ ٍّن المسافات للشمال والغرب هي إحدى‬ ‫جهات المثلث وإ ٍّن أقصر مسافة للوصول هي قطر المثلث‪ ،‬ويُمكن استخدام هذا المبدأ في المًلحة الجو ّيٍة‬ ‫أي اضا؛ حيث يُمكن أن تستخدم الطائرات ارتفاعها عن سطح الأرض والمسافة بينها وبين جهة الوصول في‬ ‫المطار للتم ٍّكن من معرفة المًلحة إلى النقطة الصحيحة في المطار‬ ‫أهمية نظرية فيثاغورس في مسح الأراضي‬ ‫يُشير مفهوم مسح الأراضي إلى العمل ٍيّة التي يقوم بها رسامو الخرائط للتم ٍّكن من حساب المسافات‬ ‫والارتفاعات الرقم ٍّية الواقعة بين نقا ٍط مختلف ٍة قبل البدء في رسم الخريطة‪ ،‬ويلجأ الرسامون لإيجاد الطرق‬ ‫التي تجعل القياسات الخا ٍّصة بالمسافات على شكل نظام مع ٍّين بسبب عدم تساوي التٍّضاريس في أغلب‬ ‫الأوقات‪ ،‬وتُستخدم النظريٍّة لحساب الانحدارات الخا ٍّصة بميًلن الهضاب أو الجبال؛ حيث يستخدم الرسامون‬ ‫المقراب للنظر إلى عصا القياس الواقعة على مسافة ثابتة بحيث يُش ٍّكل خط رؤية المقراب وعصا القياس‬ ‫زاوية قائمة‪ ،‬وبالتٍّالي يتمكنون من حساب قيمة الميل التي تُغ ٍّطي المسافة ث ٍّم حساب الانحدار نتيجةا للمعطيات‬ ‫الموجودة وهي ارتفاع عصا القياس والمسافة الأفق ٍّية لهذه العصا من المقراب المستخدم؛ الأمر الذي يُم ٍّكن‬ ‫استخدام معادلة النظر ٍيّة بالشكل الصحيح وتطبيق الأرقام الموجودة‬ ‫أهمية نظرية فيثاغورس في وسائل ال ّنقل‬ ‫تسهم النظر ٍيّة في التم ٍّكن من إيجاد طول الوتر أو الجهة الأطول من المثلث قائم ال ٍّزاوية‪ ،‬الأمر الذي يُع ٍّد في‬ ‫غاية الأهمية في هبوط الطائرات؛ حيث تُمكننا المعادلة الخا ٍّصة بالنظر ّيٍة من حساب أو توقٍّع ال ٍّدرجة التي‬ ‫ستهبط عندها الطائرات‪ ،‬وبالإضافة إلى مساهمة النظر ٍّية في مجال الطيران فإ ٍّنها تع ٍّد مه ٍّمة أي اضا لحساب‬ ‫‪18‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫كمية الحبال الًلزمة لربط العربات المتنقٍّلة من النقطة أ إلى النقطة ب‪ ،‬كما أنٍّها تسهم في المحافظة على‬ ‫الأرواح نتيجةا لقدرتها على منع الهياكل من الانهيار عن طريق حساب قيمة الوتر ومعرفة كمية الحبال‬ ‫الًلزم استخدامها لنقل الهياكل في الشاحنات من إحدى ال ٍّنقاط إلى الأخرى دون أن تنهار أثناء عمل ّيٍة النقل‪،‬‬ ‫وخا ٍّصةا إذا كانت هذه الهياكل ضخمة البنية؛ حيث إ ٍّن عدم تح ٍّري ال ٍّدقة في نقلها ُسسبب حدوث العديد من‬ ‫الإصابات والضحايا‪.‬‬ ‫كيفف اثبت فيثاغورس صحة نظريته؟‬ ‫لاحظ فيثاغورس أن عدد كبير من المثلثات القائمة تتألف من أضًلع أطوالها ‪ 3‬و ‪ 4‬و ‪ 5‬أو مضاعفاتها كمثل‬ ‫‪ 6‬و ‪ 8‬و ‪ 10‬ومثل ‪ 9‬و ‪ 12‬و ‪ 15‬إلخ‪ ،‬ومن هنا وضع فيثاغورس أول طرح لنظريته وهو أن أطوال‬ ‫‪.‬أضًلع أي مثلث قائم هي ‪ 3‬و ‪ 4‬و ‪ 5‬أو مضاعفاتها‬ ‫استنتج فيثاغورس أن مربع طول الضلع الكبيرة المقابلة للزاوية القائمة في المثلث ذو أطوال الأضًلع ‪ 3‬و‬ ‫‪ 4‬و ‪ 5‬تساوي ‪ 25‬وهو نفس العدد الناتج عن جمع مربعي طولي الضلعين الباقيتين أي أن ‪25= 16 + 9‬‬ ‫عكس نظرية ففيثاغورس‪:‬‬ ‫نظرية فيثاغورس‪:‬‬ ‫مربع الوتر = مجموع مربعي ضلعي القائم‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=_4yKY9VJiW8‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬لمى الأزوري‬ ‫‪19‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما المقصود بالمالانهاية ؟‬ ‫ما المقصود بالمالانهاية ؟‬ ‫هو مفهوم يدل على \"ما لا حدود له \" و \" الًلمنتهي\" أو \"غير المحدود\" وهذ المفهوم حير العلماء و‬ ‫الفًلسفة منذ قديم الزمان ‪ ،‬وقد يعود السبب لكونه مفهوم صعب العثور عليه في الحياة الواقعية بسهولة ‪،‬‬ ‫ولكن أصبح هذا المفهوم من المسلمات الرياضية و الفلسفية‪.‬‬ ‫فعل ايا‪ ،‬نحمل جميعنا فكرة عن ماهية الًلنهاية‪ ،‬إنها صفة للأشياء غير المنتهية‪ ،‬كون لا نهائي‪ ،‬أو قائمة لا‬ ‫نهائية‪ ،‬كمجموعة الأعداد الطبيعية ‪ ... ،4 ،3 ،2 ،1‬لا يهم ما مدى عدك‪ ،‬فأنت لن تصل للنهاية أب ادا‪ ،‬كما‬ ‫أنه من المستحيل أن تصل إلى نهاية الكون حتى لو سافرت بواسطة أسرع مركبة فضائية‪ ،‬وهذا النوع من‬ ‫الًلنهايات هو ما س ٍّماه العالم الرياضي الإغريقي أرسطو )‪ (Aristotle‬بالًلنهاية الممكنة‪ :‬هذه النهاية‬ ‫موجودة فع اًل‪ ،‬لكن من المستحيل أن تصل إليه ‪.‬‬ ‫وأ ٍّول من استعمل الرمز المعروف الآن (∞) لهذا التعبير‪ ،‬كان جون واليس سنة ‪ . 1655‬وفي الرياضيات‪،‬‬ ‫الًلنهاية تستخدم كعدد تقاس به كمية غير محدودة‪ ،‬وبرمز لها بالحرف (∞)‪ .‬وهو كيان مختلف عن أي‬ ‫كيان عددي آخر في خاصياته وسلوكه‪.‬‬ ‫مثال يبسط المالانهاية في الواقع ‪:‬‬ ‫افترض أن فيصل يريد أن يلحق بحافلة متوقفة على بعد ‪ 1‬متر منه‪ .‬قبل أن يستطيع الوصول إلى هناك‪،‬‬ ‫فعليه أن يصل إلى منتصف المسافة ( واحد على اثنان ) ‪ .‬وقبل أن يستطيع الوصول لمنتصف المسافة‪،‬‬ ‫عليه أن يصل إلى ربع المسافة‪ .‬وقبل الوصول إلى ربع المسافة ( واحد على أربعة ) ‪ ،‬عليه أن يصل إلى‬ ‫ثمن المسافة؛ وقبل الثمن‪ ،‬واحد على ستة عشر؛ وهكذا ستستمر المسافة بالانقسام لمرات لا محدودة‪ ،‬لذا‬ ‫حتى يستطيع فيصل قطع مسافة متر واحد يجب عليه قطع مسافة مالانهاية من المسافة ‪ .‬وهذا المثال يعد‬ ‫الأبسط و الأسهل على الاطًلق‪.‬‬ ‫معلومات حول رمز إنفنتي”‪“Infinity‬‬ ‫بالنسبة لمعنى “إنفنتي” أو الًل نهائية‪ ،‬فهي تعني العدد الغير منتهي في الرياضيات على سبيل المثال‪ ،‬أو في‬ ‫الفيزياء عندما يتم وصف كمية لا نهاية لها‪ ،‬وهي كلمة تم اشتقاقها من الًلتينية ”‪ “infinitas‬والتي تعني‬ ‫“الًل محدود‪”.‬‬ ‫ما هو رمز إنفنتي؟‬ ‫رمز إنفنتي هو “∞”‪ ،‬ويُطلَق عليه اسمه الخاص وهو “‪ ،”lemniscate‬وقد تم استخدامه لأول م ٍّرة من‬ ‫ِقبل عا ِلم الرياضيات الإنجليزي ‪ ،John Wallis‬وهناك مقولة تر ٍّجح استخدامه له ُمستو َحى من الرقم‬ ‫‪ 1000‬والذي كان عادةا ما يتم استخدامه للدلالة على الكثرة في الرومان ّيٍة‬ ‫‪20‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫خواص المالانهاية ( رياض ايا ) ‪:‬‬ ‫حاصل جمع لا نهايتين موجبتين أو أكثر يساوي لا نهاية موجبة∞ = ∞ ‪: ∞ +‬‬ ‫حاصل جمع لا نهايتين سالبتين أو أكثر يساوي لا نهاية سالبة∞‪: -∞ + -∞ = -‬‬ ‫حاصل ضرب لا نهايتين موجبتين أو أكثر يساوي لا نهاية موجبة∞ = ∞ × ∞ ‪:‬‬ ‫حاصل ضرب لانهاية موجبة في لانهاية سالبة يساوي لا نهاية سالبة∞‪: -∞ × ∞ = -‬‬ ‫حاصل ضرب لانهاية سالبة في لانهاية سالبة يساوي لا نهاية موجبة∞ = ∞‪: -∞ × -‬‬ ‫حاصل ضرب لانهاية وعدد لا صفري يساوي لا نهاية‪ × ∞ :‬أ∞ =‬ ‫حاصل قسمة لانهاية على عدد لا صفري يساوي لا نهاية‪ ÷ ∞ :‬أ∞ =‬ ‫حاصل قسمة عدد حقيقي على لانهاية يساوي صفر (في حساب النهايات فقط) ‪ :‬أ ÷ ∞ = ‪0‬‬ ‫استخدامات المالانهاية ( رياض ًيا ) ‪:‬‬ ‫الرمز أو الحرف المعبر عن لانهاية‪ ،‬يستخدم بشكل خاص في‪:‬‬ ‫حساب التفاضل والتكامل‬ ‫أعداد أليف ‪ -‬مفارقة راسل ‪ -‬الأعداد الترتيبية الكبيرة ‪Large Cardinal‬‬ ‫الصفوف في نظرية المجموعات ‪.‬‬ ‫مجموعة نهاية‪-‬ديديكايند‪Dedekind-infinite‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=C8eSD4XGdZU‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ابتسام العيسائي‬ ‫‪21‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هو عدد أويلر ؟‬ ‫عدد أويلر‪:‬‬ ‫هو عدد حقيقي غير جذري وغير نسبي يساوي ‪ 2.718‬يحمل أهمية كبيرة في الرياضيات والفيزياء‪ .‬يسمى‬ ‫بعدد أويلر نسبةا إلى العالم ليونهارد أويلر ‪ ،‬ويطلق عليه أي اضا العدد النيبيري نسبةا إلى العالم جون نيبير‪.‬‬ ‫يستخدم كثي ارا في المعادلات المعقدة الخاصة بالنمو‪ .‬بالإضافة لكونه أساس اللوغاريتمات الطبيع ّيٍة التي‬ ‫تظهر خًلل دراسة التفاضل والتكامل‪ .‬كذلك يمثل أعلى نسبة فائدة مالية ‪ ،‬لذلك يستخدم في التجارة‬ ‫والاقتصاد‪.‬‬ ‫يتم حساب عدد أويلر من خًلل طريقتين ‪:‬‬ ‫يعتقد الكثير بأن أصل العدد مجهول ‪ ،‬وكذلك التسمية ‪ ،‬ولكن عدد من العلماء قد اقتربوا من اكتشافه بعدة‬ ‫طرق ‪ ،‬فمنهم مث اًل من اهتم بالجانب البنكي منه والذي يخص الفائدة ‪ ،‬ومنهم من أسس اللوغاريتم الطبيعي ‪،‬‬ ‫ومنهم من حسب المساحة تحت المنحنى‪ .‬ولكن يتفق الأغلب بأن المكتشف هو ليونهارد أويلر‪.‬‬ ‫اكتشاف العدد النيبيري ‪:‬‬ ‫بدأت فكرة العدد النيبيري عام ‪1618‬م عندما وضع العالم نابير جدولاا يو ٍّضح اللوغاريتمات الطبيعية‬ ‫لمجموعة من الأعداد‪ ،‬على الرغم من عدم معرفة اللوغريتمات قديماا والتفكير بها بطريقة مماثلة للوقت‬ ‫الحالي‪ ،‬وفعلياا بدأ العلماء التو ٍّصل إلى مفهوم العدد النيبيري عندما حسب سانت فنسنت مساحة المنطقة‬ ‫الواقعة أسفل القطع الزائد القائم‪ ،‬إلا أنه لم يتوصل إلى مفهوم العدد النيبري بشكل صريح‪ ،‬وفي عام‬ ‫‪1961‬م فهم هيجنز )‪ (Huygens‬العًلقة بين اللوغاريتمات‪ ،‬والقطع الزائد القائم‪ ،‬حيث و ٍّضح أن المساحة‬ ‫أسفل القطع الزائد في المنطقة التي تتراوح بين ‪ 1‬إلى هـ‪ ،‬تعادل القيمة ‪ ،1‬وهي الحقيقة التي جعلت من‬ ‫العدد النيبيري أساس اللوغاريتم الطبيعي فيما بعد‪ ،‬والتي لم يتوصل إليها العلماء في ذلك الوقت‬ ‫في عام ‪1668‬م استخدم نيكولاس مركاتور )‪ (Nicolaus Mercator‬مفهوم اللوغاريتم الطبيعي لأول‬ ‫مرة‪ ،‬وع ٍّرفه بأ ٍّنه اللوغاريتم الذي أساسه هو العدد النيبيري (هـ)‪ ،‬ولكنه وفي الوقت نفسه فشل في تحديد‬ ‫قيمة الثابت هـ‪ ،‬وفي عام ‪1683‬م حاول العالم ياكوب برنولي )‪ (Jacob Bernoulli‬ح ٍّل مسألة متعلقة‬ ‫بالفائدة المركبة كما حاول حساب قيمة نهاية (‪/1(+1‬ن)ن عندما تقترب ن من المالانهاية‪ ،‬باستخدم مبرهنة‬ ‫ثنائي الحد)‪ ، ( Binomial theorem‬ليتوصل إلى أ ٍّن قيمة هذه النهاية تتراوح بين العددين ‪ ،2‬و‪،3‬‬ ‫‪22‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫وهي قيمة العدد النيبيري هـ‪ ،‬وبذلك يظهر أ ٍّن تحديد قيمة العدد النيبيري (هـ) لأول مرة لم تكن عن طريق‬ ‫اللوغاريتمات‪ ،‬وإنما عن طريق حساب الفائدة المر ٍّكبة‬ ‫ظهر الثابت هـ بقيمته الحقيقية لأول مرة عام ‪1960‬م عندما كتب العالم لايبنتز رسالة إلى هيجنز‪ ،‬وذكر‬ ‫القيمة الحقييقة للعدد النيبيري فيها‪ ،‬ولكنه لم يرمز له بالرمز (هـ) أو )‪ (e‬بالإنجليزية‪ ،‬وإنما رمز له بالرمز‬ ‫)‪ ،(b‬وبعد ذلك تم استخدام الرمز )‪ (e‬أو هـ للعدد النيبري لأول مرة في رسالة كتبها أويلر إلى غولدباج‬ ‫عام ‪1731‬م‪ ،‬والذي قام بعد ذلك بالعديد من الاكتشافات المتعلقة به خًلل السنوات التالية‪ ،‬وفي عام‬ ‫‪1748‬م نشر أويلر بحثاا علمياا‪ ،‬واستعرض فيه مفهوم العدد النيبيري‪ ،‬وقيمته بالضبط؛ حيث و ٍّضح أ ٍّن قيمته‬ ‫تساوي قيمة نها (ن‪)1+1/‬ن عندما تقترب ن من المالانهاية‪ ،‬وق ٍّرب أويلر هذا العدد إلى ‪ 18‬منزلة عشرية‪،‬‬ ‫لتقدر قيمته منذ ذلك الوقت بالقيمة‪2.718281828459045235 :‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=WD1_HixNQ44&t=116s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬سماء سجيني‬ ‫‪23‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هي الدوال و ما أهميتها ؟‬ ‫ماهي الدوال ‪:‬‬ ‫تتعدد التعريفات التي حددت للدوال لكنها كلها تصب في واد واحد وهو ان الدالة كود رياضي يمثل عًلقة‬ ‫تربط بين كل عنصر من مجموعة “‪ ”x‬بعنصر واحد وواحد على الاكثر في المجموعة “‪ ،”y‬بحيث يسمى‬ ‫كل تابع نطاق “‪ ، ”x‬و يسمى كل تابع مستقر او مرافق “‪ ،”y‬ولا يمكن لمجموعة المنطلق ‪ x‬ان ترتبط الا‬ ‫بعنصر وحيد من مجموعة موافق “‪ ، ”y‬لكن يمكن ان يرتبط بعنصر واحد من مجموعة المستقر “‪”y‬‬ ‫بعنصر او اكثر من مجموعة الانطًلق “‪.”x‬‬ ‫هناك حالات عديدة يمكننا أن نقول فيها أن قيمة متغير معين تعتمد على قيمة متغير آخر‪.‬‬ ‫على سبيل المثال قد يعتمد إجمالي السعر الذي ستدفعه للتفاح الذي يُباع بسعر ‪ 15‬ريال‪/‬كجم‪ ،‬على إجمالي‬ ‫وزن التفاح الذي ستشتريه‪ .‬يمكن أن نرمز لوزن التفاح بالمتغير ‪ x‬والسعر الذي يجب أن ندفعه بالمتغير‪y.‬‬ ‫في هذه الحالة نقول أن السعر ‪ y‬الذي يجب أن ندفعه للتفاح هو دالة في وزن التفاح‬ ‫ويمكننا كتابة هذه العًلقة على النحو التالي ‪������ = 15������‬‬ ‫بشكل عام‪ ،‬الدالة هي عًلقة تعني أن قيمة متغير معين تعتمد على قيمة متغير آخر أو أكثر من متغير‪ .‬لدينا‬ ‫في المثال أعًله تعتمد قيمة المتغير ‪ y‬على قيمة المتغير ‪ x,‬وفي هذه الحالة قيمة المتغير ‪ y‬أكبر من قيمة‬ ‫المتغير ‪ x‬بــ ‪ 15‬مرة‪.‬‬ ‫يمكن أن ننظر الى الدالة على أنها آلة تُدخل فيها قيمة متغير معينة في أحد نهايتيها وتحصل على قيمة معينة‬ ‫لمتغير آخر من النهاية الأخرى للآلة‪ .‬الدالة هي التي تحدد ما تفعله \"الآلة\" مع قيمة المتغير الذي تتلقاه‪.‬‬ ‫هذه الدالة (القاعدة) تنُص على أن قيمة ‪ y‬ستكون أكبر من قيمة ‪ x‬بــ ‪.2‬‬ ‫إذا وضعنا على سبيل المثال قيمة المتغير ‪ x=3‬في الدالة‪,‬‬ ‫بالتالي استبدلنا ‪ x‬بالعدد ‪ 3‬في تعبير الدالة‪ ,‬ومن ثم ستكون قيمة المتغير‬ ‫‪ y‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪������ = ������ + 2 = 3 + 2 = 5‬‬ ‫‪24‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أمثلة على الدوال‬ ‫توجد الدوال في العديد من السياقات المختلفة‪ .‬وهنا بعض الأمثلة على الدوال‪.‬‬ ‫الراتب الذي تحصل عليه سارة في عملها الإضافي حيث تتقاضى أجرها بالساعة يُعتبر دالة في عدد‬ ‫الساعات التي تعملها‪ .‬يمكن اعتبار أن محيط الدائرة دالة في نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫عندما يكون سعر التفاح بالكيلو فسيكون سعر البيع دالة في وزن التفاح‪.‬‬ ‫ارتفاع قذيفة المدفع عن الأرض عبارة عن دالة في الزمن المنقضي منذ لحظة قذفها من المدفع‬ ‫هل كل معادلة دالة؟‬ ‫ليس كل معادلة هي دالة لأنه في حالة اشتراك عنصر واحد من المدخًلت بأكثر من عنصر من المخرجات‬ ‫نافت شروط الدوال وأصبحت معادلة فقط‬ ‫ماهي خصائص الدوال‪:‬‬ ‫بعض الدوال قد يكون أكثر من عنصر من المدخًلت يرتبط بعنصر من المخرجات وليس بالعكس‪ ،‬وتمثل‬ ‫حسابيا او هندسيا أي بالرسم‪ .‬وتكتب الدوال اما على شكل ‪ y= …X.‬حيث ان ال ‪ y‬هي المتغير المعتمد‬ ‫علي قيم ‪ X‬بينما ‪ X‬هي المتغير المستقل او على شكل )‪f(X‬‬ ‫ما الفرق بين المجال والمدى‪:‬‬ ‫المجال هو الذي يحدد قيم المتغير المستقل اما المدى فهي ببساطة هي قيم المتغير الغير مستقل (المعتمد على‬ ‫قيم المتغير المستقل) بطريقة أخرى قيم ‪( X‬المدخًلت) تمثل المجال وقيم ‪( y‬المخرجات) تمثل المدى‬ ‫اهمية الدوال‪:‬‬ ‫تكمن أساسا لعلوم أخرى مثل التفاضل والتكامل‪ ،‬وكذلك أشياء كثيرة في الحياة التي تعتمد على المتغيرات‬ ‫وعًلقتهما مع بعض كمثال تأثير الدواء على المرضى‪.‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=WD1_HixNQ44&t=116s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬جونة سنبل‬ ‫‪25‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هي المتجهات و ما أهميتها‬ ‫؟‬ ‫وصفنا للظواهر الموجودة في البيئة من حولنا له أهمية كبيرة في تطور حياتنا‪ .‬والذي مكننا من فهم ووصف‬ ‫هذه الظواهر هو الكميات مثل‪ :‬المسافة والإزاحة أو السرعة والسرعة المتجهة وغيرها من الكميات‪.‬‬ ‫وهذه الكميات يمكن تصنيفها إلى نوعين من الكميات‪ :‬الكميات المتجهة والكميات القياسية‪ .‬ويكمن الاختًلف‬ ‫الجوهري بين هذين النوعين في كون الكميات المتجهة هي كميات يجب أن توصف بالمقدار والاتجاه‪ ،‬أما‬ ‫الكميات القياسية فهي كميات تُوصف فقط بالمقدار‪ ،‬وهذا التصنيف للكميات المختلفة يمكننا من وصف‬ ‫ظواهر الطبيعة بدقه عالية‪ ،‬فمثًلا القوة تعتبر كمية متجهة‪ ،‬وعند وصف أي قوة متسببة في ظاهرة معينة‬ ‫بدقة كقوة الرياح نحتاج لتحديد كًلا من مقدار هذه القوة والاتجاه الذي تؤثر فيه‪.‬‬ ‫الكميات المتجهة ‪ :‬لشرح معنى الكمية المتجهة بشكل أعمق لنضرب مثال بسيطاا‪ .‬لنفترض أنه معلمك‬ ‫أخبرك عن وجود حقيبة من الذهب على بعد ‪ ٢٠‬متر‪ ،‬هذا سيجعلك تفكر بالبحث عن الحقيبة‪ ،‬ولكن ستدرك‬ ‫عند تفكيرك في الأمر أنك لا تملك معلومات كافية تمكنك من الوصول إلى موقع الحقيبة‪.‬‬ ‫فأنت بحاجة إلى معرفة الإزاحة؛ التي تبين لك كًلا من مقدار المسافة واتجاهها للوصول الى الحقيبة‪ .‬في‬ ‫المقابل لنفترض أن معلمك اخبرك انه يوجد حقيبة ذهب خارج الفصل‪ ،‬ولإيجادها يجب أن تتحرك من‬ ‫مركز الفصل مسافة ‪ ٢٠‬متر باتجاه زاوية مقدارها ‪ ٣٠‬درجة من الشمال للغربي‪ .‬عندها تكون قد ُزويد‬ ‫بكافة المعلومات التي تمكنك من الوصول الى الحقيبة فكل ما عليك هو التحرك للوصول اليها‪ ،‬فأنت تعلم‬ ‫كل التفاصيل لمتجه ازاحتك (المسافة ‪ ٢٠‬متر والاتجاه ‪ ٣٠‬درجة من الشمال الغربي ونقطة البداية هي‬ ‫مركز الفصل)‪ .‬فالكميات المتجهة تع ٍّرف وتوصف بالمقدار والاتجاه ونقطة المرجع‬ ‫تمثيل المتجهات‬ ‫غالباا ما تامثل المتجهات باستخدام رسوم بيانية‪ ،‬بحيث يُرسم المتجه فيها باستخدام سهم يشير إلى اتجاه الكمية‬ ‫المتجهة‪ ،‬وطول السهم يمثل مقدار الكمية‪( .‬انظر الصورة‪.)١-‬‬ ‫تمثيل لمتجهات بكميات مختلفة لها نفس الاتجاه إذا تساءلنا عن سبب‬ ‫استخدام هذه الرسوم لتمثيل المتجهات بيانياا فسنجد الإجابة عن هذا‬ ‫السؤال في الخصائص التي تتميز بها وهي كالآتي‪:‬‬ ‫تتضمن هذه الرسوم محاور للقياس (محور أفقي وآخر عامودي)‬ ‫مدرجة بشكل واضح‪.‬‬ ‫يُعبر عن المتجه فيها باستخدام سهم له رأس وذيل ويشير رأس السهم‬ ‫إلى اتجاه محدد والذيلل إلى نقطة المرجع‪ .‬تُم ٍّكن من إيضاح كًلا من‬ ‫المقدار واتجاه الكمية المتجه‬ ‫‪26‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أهمية المتجهات ‪ :‬تستخدم المتجهات في مجًلت كثيرة نذكر منها‪:-‬‬ ‫سيارات السباق ‪ :‬فريق سباق السيارات دائما يستخدمون الفيزياء والرياضيات لتساعدهم لصنع سيارات‬ ‫مثالية فالديناميكا الهوائية هي دراسة حركة الهواء‪ .‬وهذا عبارة عن فيزياء وبما أن المتجهات يمكنها أن‬ ‫تصف الحركة والقوى فإنهم يركبون في قلب السيارة‪.‬‬ ‫ربان السفن ‪ :‬البحارة عليهم أن يضعوا في الإعتبارتيارات الماء والريح عند التخطيط لبرامج رحًلتهم‬ ‫وذلك لاختيار المسار الافضل ولتفادى الامواج العالية‬ ‫الارصاد الجوي‪ :‬خبراء الأرصاد الجوية يستخدمون المتجهات للتخطيط لأحوال الطقس‪ .‬على سبيل المثال‬ ‫‪ ،‬سرعة الريح يمكن رسمها بالمتجهات بأطوال مختلفة للإشارة إلى كثافة الريح وعلي ضوء ذلك يقرر‬ ‫اقًلع الطائرة من عدمه‬ ‫برمجة الالعاب ‪ :‬برمجة الالعاب نحتاج الى طرق لتمثيل بعض المفاهيم الفيزيائية مثل الحركة و السرعة و‬ ‫الإزاحة لذلك تعتمد في ذلك علي إستخدام المتجهات‬ ‫إنشاء صور رقمية ذات جودة غير محدودة ‪ :‬المتجهات تعتمد بشكل أساسي على اتجاهات الصورة وفق‬ ‫محاور الرسم)‪ (x , y‬إذا قمنا بتقريب أي نقطة معينة للصورة فإنها تحافظ على دقتها دون أي مشاكل‪.‬‬ ‫عرض الرسوم على شبكة الانترنت‪ :‬يتم عرض الرسوم عبر تقنية خاصه تعرف بالرسومات المتجهية‬ ‫متغيرة الحجم)‪ (SVG‬وهي إختصار ل)‪(Scalable Vector Graphics‬‬ ‫صناعة الاسلحة ‪ :‬وذلك في حركة الطلقة المندفعة بقوة نحو الهدف‬ ‫جمع المتجهات ‪:‬‬ ‫يمكن جمع المتجهات عن طريق جمع مركبات المتجه معا اي السينيه والصاديه حتى يرسم سهم من ذيل‬ ‫المتجه الاول الى رأس الاخير ويكون الاخير هو ناتج حاصل الجمع ويسمى بالمتجه المحصل ‪ .‬ويمكن‬ ‫استعماله للخاصيتين التبديليه والترابطيه لجمع المتجهات‪.‬‬ ‫طرح المتجهات ‪:‬‬ ‫عمليه الطرح هي نفسها عمليه الجمع ولكن بدل جمع متجهين فإنه تتم اضافه المتجه الاول الى سالب المتجه‬ ‫الثاني( اي اضافه المتجه الثاني بعد عكس اتجاهه ) ‪.‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=BWD-FlL8Skc‬‬ ‫الطالبة منية باقيس‬ ‫‪27‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هي المتتاليات و ما أهميتها‬ ‫المتتالية ‪ :‬؟‬ ‫هي تتابع من الكميات تدعى الحدود ‪ ،‬حيث العًلقة بين كل حد والذي يليه تكون ذاتها لجميع حدود المتتالية‪.‬‬ ‫وتنقسم لقسمين‪:‬‬ ‫‪.1‬المتتالية الحسابية‪:‬‬ ‫هي متتابعة ينتج كل حد منها عن إضافة مقدار ثابت للحد الذي يسبقه مثًلا ‪ ... ، 15 ، 11 ، 7 ، 3‬الخ ‪.‬‬ ‫‪.2‬المتتالية الهندسية‪:‬‬ ‫هي متتابعة لها مقدار ثابت يضرب في كل حد من حدودها مثل ‪ ...,3,6,9,11‬الخ‪.‬‬ ‫مًلحظة‪ :‬تكون المتتالية الهندسية التي يخالف قدر نسبتها صفرا وواحدا وناقص واحد في نمو أسي‪ ،‬بخًلف‬ ‫المتتالية الحسابية فنموها يكون خطيا‪.‬‬ ‫المتتاليات المطردة‪:‬‬ ‫نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو‬ ‫تنازلية تماما‬ ‫متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية‪:‬‬ ‫يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه‪ .‬ويقال عنها أنها‬ ‫تصاعدية تماماا إذا كان كل حد أكبر تماماا من الحد الذي يسبقه‪ .‬ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل‬ ‫حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه‪ .‬ويقال عنها أنها تنازلية تماماا إذا كان كل حد أصغر تماماا من‬ ‫الحد الذي يسبقه‪.‬‬ ‫المتتاليات الجزئية‪:‬‬ ‫هي متتالية يمكن استنتاجها من متتالية أخرى بحذف بعض عناصر فيها دون تغيير ترتيب العناصر‬ ‫المتتاليات في مجالات أخرى من الرياضيات ‪:‬‬ ‫التحليل الرياضي ‪:‬‬ ‫دراسة المعادلات التفاضلية ‪ :‬نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان نهايات متتاليات‬ ‫تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق‪.‬‬ ‫الحساب (أو التحليل) العددي ‪ :‬التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫تعريف مفاهيم رياضية أخرى ‪ :‬الانتقال مثًل من تعريف مفهوم المكاملة للدالة معرفة على مجال حقيقي‬ ‫وتأخذ قيمها في فضاء مجرد‪.‬‬ ‫ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف العديد من الدوال المألوفة مثل ‪:‬‬ ‫الدالة الاسية – الدالة المثلثية جب – الدالة المثلثية تجب – الدالة المثلثية ظل – الدالة اللوغاريتمية‬ ‫في علم الحاسوب ‪:‬‬ ‫متتالية منتهية من الحروف تسمى سلسلة‬ ‫نهاية المتتالية وتقاربها‪:‬‬ ‫متتالية عددية حقيقية متقاربة ‪ -‬متتالية متباعدة – متتالية كوشي‬ ‫الطالبة جود الريمي‬ ‫‪29‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫كيف نجمع ‪ ١٠٠‬رقم في ثواني؟‬ ‫‪ -١‬حدد القانون الخاص بمتتالية للأعداد الصحيحة‪ .‬بعد تحديد ن كأكبر عدد صحيح في الجمع‪ ،‬عوض بهذا‬ ‫الرقم في قانون جمع الأعداد الصحيحة المتتالية مكان ن‪ :‬ن × (ن‪2 ÷ )1+‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫إذا كنت تجمع أول ‪ 100‬عدد صحيح‪ ،‬ضع ‪ 100‬مكان ن في القانون ليصبح ‪.2 ÷ )1 + 100( × 100‬‬ ‫إذا كنت تجمع أول ‪ 20‬عدد صحيح‪ ،‬استخدم ‪ 20‬كقيمة ن‪ .‬احسب ‪ 2 ÷ )1 + 20( × 20‬لتحصل على‬ ‫‪ .2 ÷ 420‬الناتج هو ‪210‬‬ ‫‪ -٢‬استخدم القانون الخاص بحساب الأعداد الصحيحة الزوجية‪ .‬إذا طلبت منك المسألة أن تحسب مجموع‬ ‫الأعداد الصحيحة الزوجية فقط في متتالية تبدأ بـ ‪ ،1‬ستحتاج إلى استخدام قانون مختلف‪ .‬ع ٍّوض بأعلى عدد‬ ‫صحيح في القانون التالي مكان ن‪ :‬المجموع = ن × (ن ‪4 ÷ ) 2 +‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا طلبت منك المسألة حساب مجموع الأعداد الزوجية من ‪ 1‬إلى ‪ ،20‬استخدم ‪ 20‬مكان ن‪ .‬تصبح‬ ‫المسألة بعد التعويض في القانون هي ‪4 ÷ 22 × 20‬‬ ‫‪ -٣‬استخدم القانون لحساب مجموع الأعداد الصحيحة الفردية‪ .‬إذا طلبت منك المسائل أن توجد مجموع‬ ‫الأعداد الصحيحة الفردية فقط‪ ،‬يجب أولاا أن تحدد ن‪ .‬اعرف ن من خًلل جمع ‪ 1‬مع أكبر رقم في المتتالية‪،‬‬ ‫ثم استخدم هذه القيمة في القانون التالي‪ :‬المجموع = (ن‪(×)1+‬ن‪4 ÷ )1+‬‬ ‫‪ -٤‬خصص القانون الذي تستخدمه لإيجاد المجموع على حسب نوع المتتالية‪ .‬بعد التعويض في القانون عن‬ ‫قيمة ن‪ ،‬اضرب العدد الصحيح في نفسه مجمو اعا مع ‪ 1‬أو ‪ 2‬أو ‪ 4‬على حسب متتالية الأعداد‪ ،‬ثم اقسم‬ ‫الناتج على ‪ 2‬أو ‪ 4‬لتحصل على المجموع النهائي‪.‬‬ ‫مثال على سلسلة متتابعة من الأعداد حتى ‪:100‬‬ ‫‪ ،2 ÷ 101 × 100‬يعني هذا أنك ستضرب الـ ‪ 100‬في ‪ 101‬وتحصل على الناتج ‪،10100‬‬ ‫ثم تقسم هذا الناتج على ‪ 2‬ليصبح الناتج ‪505‬‬ ‫‪30‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫مثال على متتالية أعداد زوجية حتى ‪:20‬‬ ‫‪ ،4 ÷ 22 × 20‬ضربنا هنا ‪ 20‬في ‪ 22‬وأصبح الناتج ‪ ،440‬ثم قسمنا على ‪ 4‬والناتج هو‬ ‫اكتشاف قانون مجموع متسلسلة حسابية ‪:‬‬ ‫هذه القصه حدثت في أحد القرون الوسطى تقريباا في القرن السادس عشر وبالتحديد في احدى القرى‬ ‫الألمانيه‪...‬‬ ‫كان هناك طفل يدعى ((جاوس)) وكان جاوس طالباا ذكياا وذكائه من النوع الخارق للمألوف ‪ ..‬وكان كلما‬ ‫سأل مدرس الرياضيات سؤالاا كان جاوس هو السباق للإجابه على السؤال ‪ ..‬فيحرم بذلك زمًلئه في الصف‬ ‫من فرصة التفكير في الإجابه وفي أحد المرات سأل المدرس سؤالاا صعباا ‪ ..‬فأجاب عليه جاوس ‪ ..‬بشكل‬ ‫سريع !! مما أغضب مدرسه ‪ ..‬فأعطاه المدرس مسأله حسابيه‪ ..‬وقال ‪ :‬أوجد لي ناتج جمع الأعداد من ‪1‬‬ ‫إلى ‪ !!100‬طبعاا كي يلهيه عن الدرس ويفسح المجال للآخرين ‪ ..‬بعد ‪ 5‬دقائق قال جاوس بصوت منفعل‬ ‫‪ 5050‬فصفعه المدرس صفعه قويه ‪ ..‬وقال ‪ :‬هل تمزح ؟؟!! أين حساباتك ؟؟‬ ‫فقال جاوس ‪ :‬اكتشفت أن هناك عًلقه بين ‪ 1,99‬ومجموعها = ‪ 100‬وأيضاا ‪ 2,98‬تساوي ‪100‬‬ ‫و ‪ 3,97‬تساوي ‪ 100‬وهكذا إلى ‪ !!49,51‬واكتشفت بأني حصلت ‪ 50‬زوجاا من الأعداد‬ ‫وأصبح الناتج ‪5050‬‬ ‫)‪������(������+1‬‬ ‫وبذلك ألفت قانوناا عاماا لحساب هذه المسأله وهو‬ ‫‪2‬‬ ‫فاندهش المدرس من هذه العبقريه!!!!!‬ ‫ولم يعلم أنه صفع في تلك اللحظه ‪ ..‬العــــالم الكبــــير فريدريتش جاوس أحد أشهر ثًلثة علماء رياضيات‬ ‫في التاريخ‪...‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=IxPZgVxlhDc‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬لمى الزايدي‬ ‫‪31‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما أهمية علم التفاضل و التكامل ؟‬ ‫تعريف التفاضل والتكامل‪:‬‬ ‫يسمى التفاضل والتكامل أي اضا بحساب التفاضل والتكامل الًلنهائي‪ ،‬والذي يعني الدراسة الرياضية للتغير‬ ‫المستمر‪ ،‬فالتفاضل والتكامل هو فرع من الرياضيات يدرس المتغيرات وكيفية تغيرها من خًلل النظر إليها‬ ‫في قطع صغيرة لا حصر لها أي لا نهائية‪ ،‬ويقسم هذا العلم إلى علم التفاضل الذي يدرس معدلات التغير‬ ‫وميل المنحنيات‪ ،‬وعلم التكامل الذي يدرس تراكم الكميات‪ ،‬والمساحات تحت المستويات والمنحنيات والتي‬ ‫تكون بينها أي اضا‪ ،‬ويرتبط هذان الفرعان مع بعضهما البعض من خًلل النظرية الأساسية لحساب التفاضل‬ ‫والتكامل‪.‬‬ ‫المبرهنة الأساسية التفاضل والتكامل‪:‬‬ ‫الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل‪ .‬الجزء الثاني من النظرية‬ ‫يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة كثرة‪ .‬هذا الجزء‬ ‫من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياا لأنه يسهل حساب التكامًلت المحددة بشكل كبير‪.‬‬ ‫تاريخ التفاضل والتكامل ‪:‬‬ ‫تم تطوير علم التفاضل والتكامل الحديث في أوروبا في القرن السابع عشر من قبل إسحق نيتون من‬ ‫إنجلترا‪ ،‬وجوتفريد فيلهلم ليبنيز من ألمانيا‪ ،‬وقد اكتشف ك ٌل منهم هذا العلم بشكل مستقل‪ ،‬ونُشر لأول مرة‬ ‫بنفس الوقت تقري ابا‪ ،‬لكن ظهرت أجزاء من هذا العلم قبل ذلك‪ ،‬حيث بدأ ظهوره في الحضارة اليونانية‬ ‫القديمة‪ ،‬وبعدها في الصين وفي الشرق الأوسط ومن ثم أوروبا والهند‪ ،‬ففي العصور‬ ‫القديمة‪ ،‬قُدمت بعض الأفكار التي قادت لعلم التكامل‪ ،‬لكن لم يكن هناك أي عًلمة على وجود طريقة لتطوير‬ ‫هذا المفهوم بطريقة ممنهجة‪ ،‬حيث اكتشفت بعض حسابات المساحات والحجوم ‪ -‬التي تُعد إحدى استخدامات‬ ‫علم التكامل ‪ -‬في بعض أوراق البردى المصرية منذ عام ‪ 1820‬قبل الميًلد‪ ،‬لكن الصيغة كانت بدائية ج ادا‬ ‫بتعليمات بسيطة‪ ،‬وبدون أي إشارة إلى الطريقة‪ .‬كان للعديد من العلماء على مر العصور دور في تطوير‬ ‫هذا العلم مثل أرخميدس‪ ،‬ومن الشرق الأوسط كان الحسن ابن الهيثم أحد أهم المؤسسين‪ ،‬حيث اشتق صيغ‬ ‫تصل للأس رقم أربعة‪ ،‬وقاده هذا إلى علم تكامل الاقترانات‪ ،‬فمكنه إيجاد مجموع صيغ التكامل للأس‬ ‫التربيعي والأس رقم أربعة إلى حساب حجم القطع المكافئ‪ ،‬وقد قام العالمان نيوتن وليبنيز في القرن السابع‬ ‫عشر بالبناء على ما توصلت إليه الدراسات في هذا المجال في ك ٍل من اليونان والصين والهند والعراق‬ ‫وبًلد فارس واليابان‬ ‫‪ .‬أهمية علم التفاضل والتكامل‬ ‫حساب التفاضل والتكامل الآن هو نقطة الدخول الأساسية لأي شخص يرغب بدراسة الفيزياء والكيمياء‬ ‫وعلم الأحياء والإقتصاد والتمويل وعلم الهندسة والطب والديموغرافيا‪ ،‬وقد قام هذا العلم بحل كثير من‬ ‫‪32‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫المشكًلت مثل تتبع موقع مكوك فضائي في الفضاء‪ ،‬أو التنبؤ بالضغط المتراكم خلف سد مع ارتفاع الماء‬ ‫فيه‪ ،‬والآن مع وجود جهاز الحاسوب أصبح من السهل ح ٍّل بعض مشاكل التفاضل والتكامل التي كانت‬ ‫صعبة بل ومستحيلة[ وبشكل عام فإ ٍّن علم التفاضل والتكامل يدخل في أي مجال يمكن أن تُح َّول مشاكله إلى‬ ‫نموذج رياضي ويكون الحل الأمثل هو المطلوب‪ ،‬وفيما يأتي بعض من تطبيقات علم التفاضل والتكامل‪.‬‬ ‫الفيزياء‪ :‬في الفيزياء ترتبط جميع المفاهيم في الميكانيكا الكًلسيكية والكهرومغناطيسية من خًلل حساب‬ ‫التفاضل والتكامل‪ ،‬ومن الأمثلة على استخدام هذا العلم هو استخدامه في قانون نيوتن الثاني للحركة‪ ،‬حيث‬ ‫إنٍّه تاريخياا تم ذكر كلمة \" تغير الحركة \" التي تشير إلى أ ٍّن التغير في زخم الجسم يساوي القوة المحصلة‬ ‫المؤثرة على الجسم في نفس الاتجاه‪ ،‬والتي يعبر عنها حالياا بأ ٍّن القوة المحصلة تساوي كتلة الجسم ضرب‬ ‫تسارعه‪ ،‬ويتم التعبير عن قوانين النظرية النسبية لآينيشتاين ونظرية ماكسويل للمجالات الكهرومغناطيسية‬ ‫بلغة التفاضل والتكامل‪ .‬الكيمياء‪:‬لتحديد معدلات التفاعل والانحًلل الإشعاعي‪.‬‬ ‫الأحياء‪ :‬يستخدم تحدي ادا في دينامية كثافة السكان حيث تبدأ بمعدلات الولادة والوفيات وصولاا لمعدلات تغير‬ ‫الكثافة السكانية‪.‬‬ ‫الطب‪ :‬يستخدم للعثور على الزاوية المتفرعة الأمثل للأوعية الدموية وذلك لزيادة التدفق‪ ،‬وأي اضا في قوانين‬ ‫الاضمحًلل لإزالة دواء معين من جسم المريض‪ ،‬أما في الطب النووي فيستخدم لبناء نماذج لنقل الإشعاع‬ ‫لعًلج الأورام المستهدفة‪.‬‬ ‫الاقتصاد‪ :‬لتحديد أقصى ربح خًلل توفير وسيلة لحساب التكلفة الحدية والإيرادات الحدية بسهولة‪.‬‬ ‫مجالات استخدام علم التفاضل والتكامل واسعة جداا (على عكس ما يحاول الطًلب إقناع أنفسهم به )‪ ،‬فهو‬ ‫يدخل في مجالات متعددة وليست قاصرة على أشخاص بعينهم أو على من يستخدمونه فقط ‪ ..‬بل على كل‬ ‫البشر تقريباا وإليك بعض الأمثلة على فوائده‪ :‬ماذا نفعل إذا إردنا أن نحسب حجم المياه المرادة لملء حمام‬ ‫سباحة كبير؟ ‪ -‬الإجابة ‪ :‬هي تحديد شكل (قالب) حمام السباحة وإيجاد حجمه‪ ،‬وبالتالي نجد حجم المياه التي‬ ‫ستملؤه ‪ ..‬فإن كان مكعب الشكل أو كان متوزاي مستطيًلت ‪ ..‬أو ‪ ..‬أو ‪ ..‬فإن إيجاد حجمه ليس صعباا بأي‬ ‫حال من الأحوال لأن هذه أشكال هندسية منتظمة لن يحتاج التعامل معاه إلا طالب في الابتدائية ماذا لو كان‬ ‫حمام السباحة ليس شكًل هندسيا منتظما هل من السهل في هذه الحالة ايجاد حجم المياه التي تكفي لملىء هذا‬ ‫الحمام هنا يبرز علم التفاضل والتكامل‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=gclPpmM-jwY&t=3s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ليان الحازمي‬ ‫‪33‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هي التفاضل ما أهميته ؟‬ ‫ماهو التفاضل ؟‬ ‫يُطلق على علم التفاضل اسم الكالكولس و يمكن تعريفه على أنه أحد فروع الرياضيات الذي يتعامل مع‬ ‫إيجاد المشتقات بطرق ترتكز على جمع نواتج طرح لانهائية‪ ،‬فعلم التفاضل يحسب معدل تغير الكميات‪ ،‬مثل‬ ‫حساب معدل تغير الميول والمنحنيات ويرتبط تطوره بشك ٍل وثي ٍق بتطور التكامل‪ ،‬إذ يشكل هذا الثنائي معاا‬ ‫قاعدة التحليل الرياضي الذي يعد أم ارا مه اما للغاية في العلوم الطبيعية والتكنولوجيا‪.‬‬ ‫يعود اكتشاف علم التفاضل و التكامل إلى كل من إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتزفي نهايات القرن السابع‬ ‫عشر‪ ،‬والكثير من الرموز المستخدمة في حساب التفاضل ترجع إلى لايبنتز ولكن لم يتم إدخال مفهوم‬ ‫النهايات حتى أوائل القرن التاسع عشر من قبل العالم كوشي‪ .‬وبذلك فقد أطلق التأسياس لعلم التفاضل‬ ‫والتكامل بداية لمرحل ٍة زمني ٍة جديدةٍ من التطور السريع في الرياضيات والتخصصات التطبيقية ذات الصلة‪.‬‬ ‫نتعرف في حساب التفاضل على المعادلات التفاضلية والمشتقات وتطبيقات المشتقات‪ .‬يتم تعريف مشتق‬ ‫الدالة بالنسبة لأي قيم ٍة معين ٍة على أنه معدل تغير الدوال فيما يتعلق بالقيم المحددة‪ ،‬فالتفاضل هي العملية‬ ‫التي نوجد فيها المشتق من دالة‪.‬‬ ‫نع ٍّرف المشتق بيانياا بأنه ميل الظل الذي يلتقي عند نقط ٍة في المنحنى أو الذي يعطي المشتق عند النقطة التي‬ ‫يلتقي فيها الظل بالمنحنى‪ .‬للتفاضل العديد من التطبيقات في مختلف المجالات‪ ،‬من الأمثلة الشائعة فحص‬ ‫معدل التغير في درجة حرارة الغًلف الجوي أو اشتقاق معادلا ٍت فيزيائي ٍة معتمدةٍ على القياس والوحدات‬ ‫…‬ ‫حساب التفاضل له العديد من التطبيقات العملية في الحياة‪،‬‬ ‫في العلوم الطبية‪:‬‬ ‫يستخدم علماء الأحياء حساب التفاضل من أجل تحديد المعدل الدقيق لنمو مستعمرات البكتيريا عند تغيير‬ ‫متغيرا ٍت مختلف ٍة مثل درجة الحرارة ومصدر الغذاء‪.‬‬ ‫في الفيزياء‪ :‬هناك حاجةٌ ماسةٌ إلى التفاضل والتكامل في الفيزياء‪ ،‬فعلى سبيل المثال نحتاجه لحساب مركز‬ ‫الكتلة ومركز الجاذبية ولحساب عزم القصور الذاتي مث اًل لسيارةٍ رياضي ٍة‪ .‬يستعمل أي اضا لحساب سرعة‬ ‫ومسار جس ٍم معي ٍن‪ ،‬أو من أجل التنبؤ بموقع الكواكب أو لفهم الكهرومغناطيسية‪.‬‬ ‫في الإحصاء‪:‬‬ ‫يستخدمه الإحصائيون لتقييم بيانات الدراسات الإحصائية من أجل المساعدة في تطوير خطط العمل لشركات‬ ‫مختلفة‪ .‬نظ ارا لأن الاستبيان يتضمن العديد من الأسئلة المختلفة مع مجموع ٍة من الإجابات المحتملة‪ ،‬ولذلك‬ ‫فإن حساب التفاضل والتكامل يسمح بتنب ٍؤ أكثر دقةا للإجراء المناسب‪.‬‬ ‫‪34‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫في تحليل البحوث‬ ‫يستخدم محللو أبحاث العمليات حساب التفاضل والتكامل عند مراقبة العمليات المختلفة في الشركات‬ ‫الصناعية‪ .‬يمكن أن يساعد هذا الأمر الشركة على تحسين كفاءة العمليات وزيادة الإنتاج وزيادة الأرباح من‬ ‫خًلل دراسة قيم المتغيرات المختلفة‪.‬‬ ‫في الرسومات‬ ‫يستخدم فنان الرسومات حساب التفاضل والتكامل لتحديد سلوكية النماذج ثًلثية الأبعاد المختلفة عند‬ ‫تعرضها لظرو ٍف سريعة التغير‪ ،‬إذ يمكن للفنان أن يخلق بيئةا واقعيةا للأفًلم أو ألعاب الفيديو‪.‬‬ ‫في الكيمياء‬ ‫يتم استخدامه لتحديد معدل التفاعل الكيميائي وتحديد بعض المعلومات الضرورية لتفاعل التًلشي الإشعاعي‬ ‫مث اًل‪.‬‬ ‫في الهندسة‬ ‫يستخدم مهندسو رحًلت الفضاء حساب التفاضل والتكامل كثي ارا عند التخطيط لمها ٍم طويل ٍة‪ ،‬يجب عليهم‬ ‫مث اًل لإطًلق مسبار استكشافي أن يراعوا سرعات الدوران المختلفة للأرض والكوكب الذي يستهدفه‬ ‫المسبار‪ ،‬وكذلك تأثيرات الجاذبية الأخرى مثل الشمس والقمر‪.‬‬ ‫يتم استخدام حساب التفاضل في الهندسة الكهربائية لتحديد طول كبل الطاقة الًلزم لتوصيل محطتين‬ ‫فرعيتين على بعد أميا ٍل عن بعضهما البعض‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=p5OWA4mDJSY‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ود الحازمي‬ ‫‪35‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما هي التكامل و ما أهميته‬ ‫ما هو التكامل؟ ؟‬ ‫يستخدم التكامل لحساب المساحات تحت منحنيات دالة معينة‪ .‬ويعد التكامل عكس التفاضل ويشار اليهما‬ ‫بالنظرية الأساسية في علم التفاضل والتكامل‪ .‬بدأ التكامل من فكرة انه يمكننا حساب مساحة الاشكال غير‬ ‫المنتظمة من خًلل استخدام الاشكال المنتظمة للحصول على تقدير للمساحة وأفضل الاشكال هو المستطيل‪.‬‬ ‫يعبر عن عرض المستطيل بـ ‪ ������������‬وللحصول على ادق تقدير للمساحة يجب على ‪������������‬‬ ‫ان تؤول الى الصفر‪ .‬ويمكن كتابة هذا عن طريق العبارة ‪ ⅆ������‬فبذلك يصبح عرض كل‬ ‫المستطيًلت يؤول الى الصفر‪ .‬ويعبر عن طول المستقيم بالدالة )‪ ������(������‬وتختلف بحسب‬ ‫المنطقة التي يتم حسابها في الدالة‪.‬‬ ‫كيف يعبر عن التكامل رياضيا؟‬ ‫يوجد هناك نوعين للتكامل‪ :‬تكامل محدد وتكامل غير محدد‬ ‫التكامل الغير محدد‪:‬‬ ‫التكامل المحدد‪:‬‬ ‫لا يكون له حدود ويضاف للناتج ثابت ‪c‬‬ ‫يكون له حدود بداية ونهاية ويعبر عنه بهذه‬ ‫لتعويض القيم التي تجذف عند الاشتقاق‬ ‫الصيغة‪ .‬ويتم التعويض بالحد الأصغر في ‪a‬‬ ‫(اشتقاق الثوابت يساوي صفر)‪.‬‬ ‫والحد الأكبر في ‪.b‬‬ ‫‪∫ ������(������)ⅆ������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪������ = ∫ ������(������)ⅆ������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫وتوجد عدة قوانين لحل التكامل وهذه بعض منها‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪������������‬‬ ‫‪ⅆ������‬‬ ‫=‬ ‫‪������ ������+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪∫ ������������������������ = − ������������������ ������ + ������‬‬ ‫∫‬ ‫‪ⅆ������‬‬ ‫=‬ ‫‪������������|������| + ������‬‬ ‫‪������ + 1‬‬ ‫‪ⅆ������ 1 ������ − ������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪∫ ������������������ ������ ⅆ������ = ������������������ ������ + ������‬‬ ‫| ‪∫ ������2 − ������2 = 2������ ������������| ������ + ������‬‬ ‫‪∫ ������������ ⅆ������ = ������������ + ������‬‬ ‫‪36‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫تطبيقات التكامل في الحياة العملية‬ ‫يمكن استعمال التكامل غير المحد ٍد لحساب الإزاحة من السرعة والسرعة من التسارع‪ ،‬كما توجد أي اضا‬ ‫بعض التطبيقات الإلكترونية التي تستعمل بها هذا النوع من التكامل‪.‬‬ ‫طريقة قياس حجم المجسم الدوراني‪ :‬تشرح هذه الطريقة كيفية استخدام التكامل للعثور على حجم مجس ٍم ذي‬ ‫جوانب منحنية‪ ،‬على سبيل المثال براميل النبيذ‪.‬‬ ‫إيجاد النقطة الوسطى من مساحة معينة‪ :‬يمكن استخدام التكامل للعثور على النقطة الوسطى من مساح ٍة‬ ‫معين ٍة ذات جانبين منحنيين‪.‬‬ ‫إيجاد عزم العطالة‪ :‬يستخدم التكامل لحساب مقاومة الجسم الدوار‪ ،‬إذ يتم استخدام التكامل عندما يكون الشكل‬ ‫منحن ايا‪.‬‬ ‫حساب الجهد المسبب بالقوة المتغيرة‪ :‬يمكننا استخدام التكامل لحساب الجهد المنجز على جس ٍم ما عندما‬ ‫تكون القوة غير ثابت ٍة‪ ،‬ويتضمن هذا التطبيق للتكامل قانون هوك المتعلق بالنوابض‪.‬‬ ‫حساب الجهد الناتج عند فصل الشحنات الكهربائية عن بعضها‪ :‬توجد قوةٌ بين الشحنات الكهربائية تختلف‬ ‫باختًلف كمية الشحنة والمسافة بين الشحنات‪ ،‬ونقوم باستخدام التكامل لحساب العمل المنجز عندما يتم فصل‬ ‫هذه الشحنات عن بعضها‪.‬‬ ‫حساب متوسط قيمة المنحنى باستخدام التكامل‪.‬‬ ‫معيار إصابات الرأس‪ :‬هو تطبي ٌق للقيمة المتوسطة ويستخدم في أبحاث السًلمة على الطرق‪.‬‬ ‫حساب قوة ضغط السائل‪ :‬تختلف تب اعا لشكل الجسم وعمقه‪ ،‬ونستخدم التكامل لحساب هذه القوة‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=BsDljmhyV1c&t=244s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬لمار الجلس ي‬ ‫‪37‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫ما أهمية الأعداد التخيلية و العقدية ؟‬ ‫توضيح مفهوم الاعداد ‪:‬‬ ‫عناصر رياضية تستخدم لعد الأشياء مفهوم خاطئ قديم عن الاعداد لأن الاعداد لا تُستخدم للعد فقط و مثال‬ ‫ذلك الصفر و الاعداد السالبة فبالرغم من كووها أعداد حقيقية إلا أنها لا تُستخدم للعد بصورة مباشرة ‪.‬أن‬ ‫مجموعة الأعداد المركبة أوجدت نتيجة للتوسع الطبيعي لمجموعة الأعداد الحقيقية ‪ ،‬مثلما كانت مجموعة‬ ‫الأعداد الحقيقية توسع طبيعي لمجموعة الأعداد القياسية ( النسبية ) وهكذا‪.‬‬ ‫من اخترع أو ابتكر العدد المركب‪:‬‬ ‫أن الرياضيين تعاملوا مع هذا العدد أول مرة خًلل القرن السادس عشر الميًلدي ‪ ،‬وبعد قرنين توسع‬ ‫التعامل معه على أيدي رياضيين مثل أويلر وبرنولي و ديموافر ‪ ،‬واستخدمت الأعداد المركبة في هذه الفترة‬ ‫في تطبيقات مهمة مثل الجبر ونظرية المعادلات وفي حساب التفاضل والتكامل والهندسة ‪ ،‬وأول من وضع‬ ‫له أساس منطقي فهو ‪ :‬جاوس وهاملتون ‪.‬‬ ‫لا ادرى من اين ابدأ‪ ،‬ولا تعجب اذا قلت لك لولا الأعداد العقدية لما شاهدت هذا التطهور الهائل فى‬ ‫الرياضيات الحديثة ‪ ..‬لآخذك الآن الى منحى بعيداا لكننا اذا تأملنا فيه جيداا تجده قريب كل القرب ‪ ..‬السؤال‬ ‫هو‪ :‬هل يقود الخيال احياناا الى الى تصور الحقيقة ؟ هذا سؤال ليس مجرد سؤال تافه فحسب لكنه‬ ‫يستلزم قضية هامة جدا ا فى الرياضيات وهى الإنتقال من الخيال العلمى الى الحقيقة العلمية‪.‬‬ ‫فإذا تطرقنا الى الخيال العلمى بإعتباره همزة الوصل بين الًلحقيقى والحقيقى‪ ،‬فإننا بًل شك ندرك انه‬ ‫بدون الخيال العلمى لما توصلنا الى هذه الحقيقة! الآن اذا طلبت منك حل المعادلة ‪ :‬س‪0 = 1 + ²‬‬ ‫ستقولى ان س‪ 0 = 1 + ²‬تقتضى ان ‪:‬س‪ 1- = ²‬تقتضى ان س =‪±‬جذر)‪(-1‬‬ ‫الآن ‪ :‬لا يوجد عدد حقيقى اذا ربعته تكون النتيجة سالبة ‪ ..‬نستنتج ومباشرةا ان جذر(‪ )1-‬لا تنتمى‬ ‫الى مجموعة الأعداد الحقيقية ‪ ..‬انت امام امر من امرين اما تقول ان النتيجة فاى ‪ ..‬او ان توسع‬ ‫من مجموعة الأعداد لتكون المجموعة الحقيقية مجموعة جزئية فى تلك المجموعة ‪ ،‬وتسمى مجموعة‬ ‫الأعداد العقدية‪ ،‬وهى تتألف من جزئين جزء حقيقى‪ ،‬وجزء تخيلى ‪ ::‬مثل ‪2 + 1‬ت‬ ‫هنا الجزء الحقيقى ‪ ، 1‬والجزء التخيلى ‪ 2‬حيث ت وحدة تخيلية = جذر)‪(-1‬‬ ‫هذا العدد يتميز بأن مربعه عدد سالب‪ .‬ت = جذر(‪ ، )1-‬ت‪ ، 1- = ²‬ت‪- = ³‬ت ‪ ،‬ت^‪1 = 4‬‬ ‫الآن ‪ :‬س‪ 0 = 1 + ²‬فإن ‪ :‬س‪ ، 1- = ²‬ومنها س = ‪±‬جذر(‪± = )1-‬ت‬ ‫‪38‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أهمية الاعداد التخيلية‪:‬‬ ‫‪ .‬أهمية الأعداد المركبة ‪ :‬الأعداد العقدية أو المركبة ذات أهمية لا يمكن تصورها و خصوصاا في مجال‬ ‫الهندسة الالكترونية و الاتصالات حيث أنه في الكثير من المواضيع الهندسية لدينا نمثل المقادير الكهربائية‬ ‫بشكل عقدي و نحصل نتيجة لذلك على حسابات سهلة لمواضيع معقدة بالأساليب العادية ‪.‬‬ ‫كما سهلت الاعداد التخيلية أي اضا الكثير على العلماء ابتداء في تحليل الموجات ( كالصوت و الصوت‬ ‫والضوء وصولا لتحليل الدوال الموجية و الدورية و ربط العًلقات بين عدة عوامل كما في الدرات‬ ‫الكهربائية التي يكون فيها التيار مترددا ) ‪.‬‬ ‫وكذلك دور الأعداد التخيلية في ميكانيك الكم ومعادلاتها ‪ ,‬وكان ذلك بإدخال الأعداد التخيلية في‬ ‫الكويتيرينون ومع علم المصفوفات‪ ،‬فيمكن بذلك ضبط أمور كدوارن الإلكترون ‪ ،‬هذا عدا عن وجوده في‬ ‫معالات شرودنجر ‪.‬‬ ‫كذلك أهمية الأعداد التخيلية والعقدية في التكنلوجيا من خًلل تحويل فورييه والذي تم ذكره في الفيديو‬ ‫استخداما واحدا من استخداماته الكثيرة وهي تحليل الموجات الصوتية والتي تبدو في البرامج المشغلة‬ ‫للصوتيات والموسيقى ‪.‬‬ ‫وأخيرا‪ ،‬دور الأعداد التخيلية والعقدية على صعيد الرياضيات نفسها من خًلل تقديم حل لأية معادلة بحلول‬ ‫حقيقية وتخيلية بنفس الوقت‪ ،‬و إعداد الثورة الكبرى في فرع المتجهات في الرياضيات او في المتجاهت في‬ ‫التفاضل والتكامل ‪ :‬وذلك من خًلل تقديم طرق أسهل للتحكم بالخصائص لأي عناصر رياضية بالعموم ليس‬ ‫المتجهات تحديدا بل أي شيء ( كمثال الإلكترون ‪. ) . . .‬‬ ‫إذا فكرة الأعداد التخيلية تكمن بإدخال آلية جديدة للتحكم بالعناصر الرياضية عموما‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=VGOITnbFAPI&list=RD‬‬ ‫‪CMUC7XAja7c9O8UPonwAno1sKw&index=9‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬جوان ابو النور‬ ‫‪39‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أهمية علم حساب المثلثات‬ ‫ماهو علم المثلثات ؟‬ ‫علم من علوم الرياضيات يدرس العًلقة بين أضًلع المثلثات وزواياهم و العًلقة بين الزوايا وجوانب‬ ‫المثلثات‪ ،‬ويمكن تطبيقه عمليا في حساب ارتفاع المباني وغيرها من الأمور العملية في حياتنا الواقعية‪،‬‬ ‫ويتعلق علم حساب المثلثات بالدالات الخاصة بالزوايا‪ ،‬مثل الجيب‪ ،‬وجيب التمام‪ ،‬والظل‪.‬‬ ‫يعتبر المثلث قائم الزاوية أكثر مثلث مهم في علم حساب المثلثات‪ ،‬ويرمز للزاوية القائمة ذات القياس ‪90‬‬ ‫بِمربع صغير على الزاوية وذلك لتمييزها عن الزاويتين الأخرتين ‪ ،‬ويرمز لتلك الزاويتين بالرمز ‪. θ‬‬ ‫ويحتوي المثلث على ثًلث أضًلع وهي ‪:‬‬ ‫‪ .1‬الضلع المجاور )‪ : (Adjacent‬هو الضلع القريب من الزاوية ‪.θ‬‬ ‫‪ .2‬الضلع المقابل )‪ : (Opposite‬هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية ‪.θ‬‬ ‫‪ .3‬الوتر )‪ : (Hypotenuse‬هو الضلع الأطول في المثلث‪.‬‬ ‫تاريخ حساب المثلثات ‪:‬‬ ‫بدأ تاريخ حساب المثلثات قبل أكثر من ألفي عام‪ .‬في البداية‪ ،‬كان مرتبطا حدوثه مع ضرورة تحديد زوايا‬ ‫المثلث ونسبة الارتفاع‪ .‬خًلل البحث اتضح أن التعبير الرياضي لهذه العًلقات يتطلب إدخال الدوال المثلثية‬ ‫الخاصة‪ ،‬التي قدمت أصًل كجدول العددي‪.‬‬ ‫بالنسبة لكثير من العلوم المتحالفة مع الرياضيات زخما لتطوير علم المثلثات هو بالضبط التاريخ‪ .‬وحدة‬ ‫الأصل قياس زاوية (درجة) المرتبطة علماء البحوث بابل القديمة‪ ،‬ويستند على النظام الستيني من الحساب‪،‬‬ ‫والتي أدت إلى الحديث عشري‪ ،‬وتستخدم في العديد من العلوم التطبيقية‪.‬‬ ‫ومن المفترض أن كانت موجودة أصًل كجزء من علم الفلك وعلم المثلثات‪ .‬ثم بدأت لاستخدامها في الهندسة‬ ‫المعمارية‪ .‬وبمرور الوقت‪ ،‬لم يكن هناك فائدة من هذا العلم في مختلف مجالات النشاط البشري‪ .‬هذا‪ ،‬ولا‬ ‫سيما علم الفلك والبحرية والجوية والمًلحة والصوتيات والبصريات والإلكترونيات والهندسة المعمارية‬ ‫وغيرها‪.‬‬ ‫بدأ تاريخ نشأة علم المثلثات كفرع مستقل من التدريبات الرياضية في العصور الوسطى‪ .‬وذلك عندما‬ ‫استبدل العلماء الجيوب وتر‪ .‬هذا الاكتشاف يسمح لدخول المهام المتعلقة الجانبين الدراسات وزوايا مثلث‬ ‫قائم الزاوية ‪.‬وهذا هو‪ ،‬كان في ذلك الحين بداية فصل علم المثلثات من علم الفلك‪ ،‬وأصبحت فرع من‬ ‫الرياضيات‬ ‫‪40‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫أول أطروحة متخصصة في علم المثلثات ظهرت في القرن العاشر والحادي عشر‪ .‬كان صاحبه وسط‬ ‫عالم الآسيوية البيروني‪ .‬وقال مقدم البًلغ في القرون الوسطى أكثر تعمق في عمله الرئيسي \"في كانون‬ ‫مسعود\" (الكتاب الثالث)‪ ،‬في علم المثلثات‪ ،‬جدول الجيوب (في الزيادات من ‪ )' 15‬وجدول الظًلل‬ ‫(بزيادات من ‪ 1‬درجة) في العصر الحديث‪ ،‬أصبح معظم العلماء على بينة من الأهمية الحاسمة لعلم‬ ‫المثلثات ليس فقط في علم الفلك والتنجيم‪ ،‬ولكن أيضا في مجالات أخرى من الحياة‪ .‬هو‪ ،‬أولا وقبل كل‬ ‫شيء‪ ،‬والمدفعية‪ ،‬والبصريات والمًلحة في رحًلت بحرية طويلة‪ .‬لذلك‪ ،‬في النصف الثاني من القرن‬ ‫السادس عشر‪ ،‬والمهتمة بهذا الموضوع كثير من الناس البارزين في ذلك الوقت‪ ،‬بما في ذلك‬ ‫‪ ،Ioganna Keplera ،Nikolaya KOPERNIKA‬فرانسوا فييتا‪ .‬تولى كوبرنيكوس علم المثلثات عدة‬ ‫فصول بحثه \"على الثورات من المجالات السماوية\" (‪ .)1543‬وفي وقت لاحق‪ ،‬في ‪s 60‬من القرن‬ ‫السادس عشر‪ ،‬ريتك ‪ -‬تلميذ كوبرنيكوس ‪ -‬مما أدى في كتابه \"الجزء البصري لعلم الفلك \"‬ ‫‪ pyatnadtsatiznachnye‬الجداول المثلثية‬ ‫تطبيقات علم المثلثات‬ ‫علم المثلثات ليست ذات الصلة بالعلوم التطبيقية‪ ،‬في الحياة اليومية الحقيقية نادرا ما يتم استخدامه المهام‪.‬‬ ‫ومع ذلك‪ ،‬هذا الواقع لا يقلل من أهميته‪ .‬من المهم جدا‪ ،‬على سبيل المثال‪ ،‬وهي تقنية التثليث الذي يسمح‬ ‫للفلكيين لقياس بدقة جدا المسافة إلى النجوم التفكير ورصد سواتل المًلحة‪.‬أيضا‪ ،‬يتم استخدام حساب‬ ‫المثلثات في المًلحة‪ ،‬ونظرية الموسيقى والصوتيات والبصريات‪ ،‬وتحليل الأسواق المالية‪ ،‬والالكترونيات‪،‬‬ ‫ونظرية الاحتمالات والإحصاءات‪ ،‬وعلم الأحياء والطب (على سبيل المثال‪ ،‬في فك رموز الموجات فوق‬ ‫الصوتية الموجات فوق الصوتية والتصوير المقطعي)‪ ،‬الصيدلة‪ ،‬والكيمياء‪ ،‬ونظرية الأعداد‪ ،‬وعلم الزلازل‬ ‫والأرصاد الجوية وعلم المحيطات ورسم الخرائط‪ ،‬والفيزياء‪ ،‬والطوبوغرافيا والجيوديسيا‪ ،‬والهندسة‬ ‫المعمارية‪ ،‬علم الأصوات‪ ،‬والاقتصاد‪ ،‬والهندسة الإلكترونية‪ ،‬والهندسة الميكانيكية‪ ،‬رسومات الحاسوب‪،‬‬ ‫البلورات‪ ،‬وهلم جرا‪ .‬د مناطق عديدة‪ .‬إن تاريخ علم المثلثات ودورها في الدراسة ودرس العلوم الطبيعية‬ ‫والرياضية حتى يومنا هذا‪ .‬ربما في المستقبل‪ ،‬وتطبيقاتها يكون أكبر‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=1QI0ZYyViQg‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬ليان كداف‬ ‫‪41‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫السداس ي الخارق للنسب المثلثية‬ ‫ما هي النسب المثلثية ‪:‬‬ ‫النسب المثلثية هي مقاييس خاصة للمثلث القائم‪ ،‬وتستخدم لإيجاد ضلع مجهول أو زاوية مجهولة‪ ،‬أو يمكننا‬ ‫استخدامها للمقارنة بين المثلثات المتشابهة فإذا علمنا أن مثلثين متشابهين يمكننا أيجاد أطوال الأضًلع‬ ‫المجهولة إذا علمنا طول ضلع واحد فقط من الثًلثة‪.‬‬ ‫في الرياضيات‪ ،‬المتطابقات المثلثية التي نحتاج لحفظها لإثبات صحة متطابقات مثلثية او إيجاد نسب مثلثية‬ ‫مجهولة أو لحل المعادلات المثلثية و هي متساويات تتألف من دوال مثلثية‪ ,‬وهي نوع من المعادلات التي‬ ‫تحتوي على قيم الدوال المثلثية (‪ )tan ،cos ،sin‬أو مقلوباتها بحيث تكون احدى زوايا المعادلة مجهولة‬ ‫وتحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة‬ ‫هناك الكثير من العًلقات بين النسب المثلثية لذلك يمكننا استخدام هذا السداسي لتسهيل حفظ هذه العًلقات‪.‬‬ ‫طريقة رسم السداسي الخارق‪:‬‬ ‫‪Sin Cos‬‬ ‫‪ -1‬نرسم الشكل السداسي ثم نصل بين كل رأسين متقابلين‪.‬‬ ‫‪ -2‬نضع الرقم واحد في المنتصف‪.‬‬ ‫‪Tan‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬نظلل المثلثات التي يكون رأسها للأسفل وقاعدتها للأعلى وهي ‪ 3‬مثلثات‪Cot .‬‬ ‫‪ -4‬نرسم ‪ 3‬أسهم بالاتجاه من اليمين إلى اليسار أو من اليسار إلى اليمين‬ ‫كًلهما صحيح لأنه يمكننا استخدامها بكًل الجهتين‪.‬‬ ‫‪Sec Cosec‬‬ ‫‪ -5‬نبدأ بوضع النسب المثلثية ابتدا اء من ‪ Tan‬ثم ‪ Sin‬ثم ‪Cos‬‬ ‫استنا ادا على العًلقة ‪������������������������ = ������������������������‬‬ ‫‪������������������������‬‬ ‫‪ -6‬نضع أمام ‪ Tan‬الدالة العكسية لها وهي ‪ Cot‬ونجعل كل النسب المثلثية التي تبدأ بحرف الـ ‪ C‬في الجهة‬ ‫اليمنى للسداسي فيتبقى لنا الدالة ‪ Sec‬نضعها عند الرأس المتبقي للسداسي (بطريقة أخرى نضع كل دالة‬ ‫عكسية مقابل دالتها الرئيسية)‪.‬‬ ‫فيظهر لنا السداسي كما هو موضح بالأعلى‪.‬‬ ‫استنتاج العلاقات بين الدوال عن طريق السداسي الخارق‪:‬‬ ‫‪ -1‬كل ‪ 3‬نسب متتالية على السداسي تكون النسبة الأولى فيها تساوي حاصل قسمة النسبة الثانية على‬ ‫الثالثة سواء مع أو عكس عقارب الساعة (مثال‪)������������������������ = ������������������������ :‬‬ ‫‪������������������������‬‬ ‫‪ -2‬كل نسبة على السداسي تساوي حاصل ضرب النسبتين المجاورتين لها واحدة من الجهة اليمنى‬ ‫والأخرى من الجهة اليسرى (مثال‪)������������������������ = ������������������������. ������������������������������������ :‬‬ ‫‪42‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫‪ -3‬لنستخدم الرقم ‪ 1‬الموجود في منتصف السداسي‪ ،‬كل نسبتين متقابلتين على نفس القطر تكون‬ ‫إحداهما مقلوب الأخرى لذلك حاصل ضربهما يكون ‪( 1‬مثال‪������������������������ = 1 :‬‬ ‫‪������������������������‬‬ ‫أو‪) ������������������������. ������������������������ = 1‬‬ ‫‪ -4‬لنستخدم المثلثات المظللة‪ ،‬مجموع مربعي ما على قاعدة المثلث يساوي مربع ما على رأسه (مثال‪:‬‬ ‫‪)������������������2������ + ������������������2������ = 12‬‬ ‫‪ -5‬كل نسبة تساوي النسبة المقابلة لها بالأسهم الزرقاء مضروبة في )‪( (90° − ������‬مثال‪:‬‬ ‫)‪) ������������������������ = ������������������������(90° − ������‬‬ ‫توضيح ‪:‬‬ ‫*جيب الزاوية ‪ (sin Θ):‬حاصل طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوماا‬ ‫على طول الوتر في مثلث ذي زاوية قائمة‪.‬‬ ‫*تجب الزاوية أو جيب التمام ‪ (cos Θ):‬حاصل طول الضلع المجاور‬ ‫لهذه الزاوية مقسوماا على طول الوتر في مثلث ذي زاوية قائمة‪.‬‬ ‫*ظل الزاوية ‪ (tan Θ):‬حاصل قسمة جيب الزاوية على تجب الزاوية‬ ‫أو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوماا على طول المجاور‪.‬‬ ‫*تظل الزاوية أو ظل التمام ‪ (cot Θ):‬حاصل قسمة تجب الزاوية على جب الزاوية أو مقلوب ظل الزاوية‬ ‫أو طول الضلع المجاور مقسوماا على طول المقابل‪.‬‬ ‫*قاطع الزاوية أو التمام ‪ (sec Θ):‬مقلوب تجب الزاوية أو نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية‬ ‫في مثلث قائم‪.‬‬ ‫* قاطع تمام الزاوية (‪ :)cosec Θ‬مقلوب جب الزاوية أو نسبة طول الوتر إلى الضلع المقابل للزاوية في‬ ‫مثلث قائم‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=79LISck6MZI&t=47s‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬رزان البوق‬ ‫‪43‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫الدوال المثلثية الأساسية ؟‬ ‫‪44‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫باركود فيديو عن الموضوع‬ ‫الطالبة ‪ :‬آية كامل‬ ‫‪https://youtu.be/fq3cjrD8pNY‬‬ ‫‪45‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫‪46‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫‪47‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫‪48‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫الطالبة ‪ :‬رهف الروقي‬ ‫‪49‬‬

‫مشروع مادة رياضيات ‪4‬‬ ‫دوال التغير‬ ‫‪50‬‬