الرياضيات أسرارها و تاريخها و علمائها

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻃﺎﻟﺒﺎت�اﳌﺴﺘﻮى�اﻟﺮا�ﻊ‬ ‫ﻣﺪارس�دار�اﻟ��ﺑﻴﺔ�ا��ﺪﻳﺜﺔ‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ�اﻟﺪرا����اﻟﺜﺎ�ﻲ�ﻟﻠﻌﺎم�‪��1441-1440‬ه‬ ‫اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت‬ ‫أﺳﺮار�ﺎ�و�ﻋﻠﻤﺎء�ﺎ�‬ ‫و�ﺗﺎر�ﺨ�ﺎ‬ ‫ﻓﻜﺮة�و�إﺧﺮاج�اﳌﻌﻠﻤﺔ�‬ ‫�ﻨﺪ�اﻟﻌﺪﻳ���‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﳌﻘﺪﻣﺔ‬ ‫أﺻﺪم��ﺴﺆال�ﻳﺘﻜﺮر�ﻋ���ﻣﺴﻤ����ﻞ�ﻋﺎم�و�ﺼﺪر�ﻋﻦ�ﻣﺨﺘﻠﻒ�اﻷﺟﻴﺎل�ﻣﻊ�اﺧﺘﻼف�ﻣﺴﺘﻮ�ﺎت�ذ�ﺎ��ﻢ�ﺣ���‬ ‫اﻟﻌﺎﻟﻴﺔ�ﻣ��ﺎ�و�ﻮ‪»�:‬ﳌﺎذا�ﻧﺘﻌﻠﻢ�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت؟!�وﺧﺼﻮﺻﺎ�اﻟﻄﻠﺒﺔ�ﻧﺤﻦ�ﻧﺘﺪرب�ﻋ���ﺣﻞ�اﻟﺘﻤﺎر�ﻦ�واﳌﺴﺎﺋﻞ�‬ ‫ورﺳﻢ�اﻟ�ﻨﺪﺳﺔ‪�...‬أﻳﻦ�ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ�ﺗﻄﺒﻴﻘ�ﺎ؟�وأﻳﻦ��ﺴﺘﺨﺪﻣ�ﺎ����اﳌ��ل‪����،‬اﻟﻄﺮ�ﻖ‪����،‬ا��ﺪﻳﻘﺔ‪�،‬ﻋﻨﺪ�اﻟﻠﻌﺐ؟�ﻣﺎ�‬ ‫ﻓﺎﺋﺪة�ﻛﺬا�وﻛﺬا�وﻛﺬا‪...‬؟‪».‬‬ ‫ﳌﺎذا�ﻧﺪرس�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت؟�ﻣﺎذا��ﺴﺘﻔﻴﺪ�ﻣﻦ�ﺟﻴﺐ�اﻟﺘﻤﺎم‪�،‬واﻟﺘ�ﺎﻣﻞ‪�،‬واﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‪�،‬وا����‪�،‬واﻟ�ﻨﺪﺳﺔ����ﺣﻴﺎﺗﻨﺎ�‬ ‫ﻻﺣ ًﻘﺎ؟‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ�أن�ﻳ�ﻮن�اﻟﺴ�ﺐ����ذﻟﻚ�أن��ﻞ��اﻟﺬي�ﻧﺮﻛﺰ�ﻋﻠﻴﮫ�����ﻌﻠﻴﻢ�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت‪��،‬ﺎن�ﻋﺒﺎرة�ﻋﻦ�ﺗ�ﺸﻴﻂ�ذ����‬ ‫ﻟﻠﺘﻼﻣﻴﺬ�ﺑﺎﻟﺘﺪر�ﺐ�اﳌﺴﺘﻤﺮ�ﻋ���اﻟﺘﻤﺎر�ﻦ�اﻟﺬ�ﻨﻴﺔ‪�،‬وﻃﺮق�اﻻﺳﺘﺪﻻل‪�،‬واﻟﺘﺤﻠﻴﻞ�اﻻﺳﺘ�ﺘﺎ���ﻟ��ﻞ�ﻣﻊ�اﻟﺪﻗﺔ�‬ ‫اﻟﺪاﺋﻤﺔ�رﻏﻢ�وﺟﻮد�اﻷﻣﺜﻠﺔ�ﻣﻦ�واﻗﻊ�ا��ﻴﺎة�����ﻞ�درس�و�رﻏﻢ�ﻣﺤﺎوﻻ�ﻲ�اﳌﺴﺘﻤﺮة����ﺑﺪاﻳﺔ��ﻞ�درس�ﺑﺮ�ﻂ�‬ ‫�ﺬا�اﻟﺪرس�ﺑﺤﻴﺎة�اﻟﻄﺎﻟﺒﺎت�ﺣ����ﺸﻌﺮ�اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﺑﺄ�ﻤﻴﺔ���ﺬﻩ�اﻟﺪروس����ﺣﻴﺎ��ﺎ�‪.‬‬ ‫ﻣﻦ�ﺧﻼل�ﺗﺠﺮ�������اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ�وﺟﺪت�أن�وﺻﻮل�اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﻟﻠﻤﻌﻠﻮﻣﺔ�ﺑﻨﻔﺴ�ﺎ�ﻳﺠﻌﻠ�ﺎ�أﻛ���ﻋﻤﻘ ًﺎ����ﻋﻘﻠ�ﺎ�ﻟﺬﻟﻚ�‬ ‫�ﺎﻧﺖ�ﻓﻜﺮة�ﻣﺸﺮو���ﻟﻄﺎﻟﺒﺎ�ﻲ����اﳌﺴﺘﻮى�اﻟﺮا�ﻊ�ﻟﻠﻌﺎم�اﻟﺪرا����‪�1441�/�1440‬ه�����ﺬا�اﻟﻜﺘ�ﺐ�اﻟﺬي�‬ ‫ﺣﺮﺻﺖ�ﻣﻦ�ﺧﻼﻟﮫ�أن�ﺗﺒﺤﺚ�اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﺑﻨﻔﺴ�ﺎ�ﻋﻦ�أﺳﺮار�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت�ﻟﺘﻜ�ﺸﻒ�ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت�ﺟﻤﻴﻠﺔ�ﻗﺪ�ﻻﻳﺘﻄﺮق�‬ ‫إﻟ��ﺎ�اﻟﺒﻌﺾ�ﻋﻨﺪ�ﺷﺮح�اﻟﺪروس��وأن�ﺗﺘﻌﺮف�ﻋﻠﻤﺎ��ﺎ�و�ﻣﺎﻗﺪﻣﻮﻩ�ﻣﻦ�أﻋﻤﺎل�ﻣﺎزاﻟﺖ�ﺗﺨﺪم�اﻟ�ﺸﺮ�ﺔ�ﻋ���ﻣﺮ�‬ ‫اﻟﻌﺼﻮر�و�أن��ﺴﺘﻜﺸﻒ�ﺗﺎر�ﺨ�ﺎ�و��ﺸﺄ��ﺎ�ﻟﺘﺼﻞ�ﻟﻘﻨﺎﻋﺔ��ﺎﻣﻠﺔ�ﺑﺄ�ﻤﻴ��ﺎ�و�ﺗﺘﻌﺮف�ﻋ���اﻟﻜﺜ���ﻣﻦ�اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت�‬ ‫اﻟ���ﻗﺪ�ﻳﺠ�ﻠ�ﺎ�ﺣ���ﻣﻌﻠ���و�ﻣﻌﻠﻤﺎت�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت�أﻧﻔﺴ�ﻢ�و�ﻳﻘﻔﻮا�ﻋﺎﺟﺰ�ﻦ�ﻋﻦ�اﻹﺟﺎﺑﺔ�ﻋ����ﻌﺾ�أﺳﺌﻠﺔ�‬ ‫اﻟﻄﻼب�و�اﻟﻄﺎﻟﺒﺎت�ﻋﻦ��ﺬا�اﻟﺘﺎر�ﺦ�‪.‬‬ ‫و�رﻏﺒﺔ�ﻣ������أن��ﻌﻢ�اﻟﻔﺎﺋﺪة�و�ﺗﺼﻞ��ﺬﻩ�اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت�ﻟﻠﻤﻌﻠﻤ�ن�و�اﳌﻌﻠﻤﺎت�و�اﻟﻄﻼب�و�اﻟﻄﺎﻟﺒﺎت�ﻓﻘﺪ�‬ ‫ﺟﻤﻌﺖ��ﻞ�ﺗﻘﺎر�ﺮ�ﻃﺎﻟﺒ�������ﺬا�اﻟﻜﺘ�ﺐ�ﻛﻤﺎ�ﺗﻢ�إرﻓﺎق�ﻣﻘﻄﻊ�ﻣﺮ�ﻲ�ﺗﻮﺿﻴ���)�ﻓﻴﺪﻳﻮ�(�ﻟ�ﻞ�ﻣﻮﺿﻮع�ﻳﻤﻜﻦ�‬ ‫ﻣﺘﺎ�ﻌﺘﮫ��ﺴ�ﻮﻟﺔ�ﻣﻦ�ﺧﻼل�اﻟﻀﻐﻂ�ﻋ���اﻟﺮاﺑﻂ�أو�ﻣ���اﻟﺒﺎر�ﻮد�‪.‬ﺗﻤﻨﻴﺎ�ﻲ�ﻟ��ﻤﻴﻊ�ﺑﻤﺘﺎ�ﻌﺔ�ﻣﻤﺘﻌﺔ��‬ ‫�����������������������������������������������ﻣﻌﻠﻤﺔ�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت�ﺑﻤﺪارس�دار�اﻟ��ﺑﻴﺔ�ا��ﺪﻳﺜﺔ�أ‪��.‬ﻨﺪ�اﻟﻌﺪﻳ��‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أﺳﺮار�اﻟﺮ�ﺎﺿﻴﺎت‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﳌﺎذا�اﻟﻘﺴﻤﺔ�ﻋ���ﺻﻔﺮ�ﻏ���ﻣﻌﺮﻓﺔ�‬ ‫اﻟﺻﻔر‪ :‬ان اﻟﺻﻔر ھو اﺧر اﻻﻋداد اﻟﻣﺿﺎﻓﺔ ﻓﻲ اﻧظﻣﺔ اﻟﻌدد ﺣﯾث ادﺧل اﻟﻰ ﺑﻐداد ﻣن ﻗﺑل ﻋﺎﻟم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫ﻣﺣﻣد ﺑن ﻣوﺳﻰ اﻟﺧوارزﻣﻲ ﻓﻲ ﻋﺎم ‪850‬م ﺑﻌد ان ﻛﺎن اﻟرﻗم واﺣد ھو ﺑداﯾﺔ اﻟﻌدد وﯾﻌﺑر ﻣﻔﮭوم اﻟرﻗم ﻋن‬ ‫اﻟذي ﯾﺄﺗﻲ ﻗﺑل اﻟرﻗم واﺣد وﺟﻣﯾﻊ اﻻﻋداد اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ اﻟﻣوﺟﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻠﯾﮫ واﻟذي ﯾﺄﺗﻲ ﺑﻌد اﻟرﻗم ﺳﺎﻟب واﺣد‬ ‫وﺟﻣﯾﻊ اﻻﻋداد اﻟطﺑﯾﻌﺔ اﻟﺳﺎﻟﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻠﯾﮫ وﻛﺎن ﯾﻌﺑر ﻋﻧﮫ ﻗدﯾﻣﺎ ﺑﻣﺳﺎﻓﺔ ﻓﺎرﻏﺔ او رﻣز ﻋن ﺑﺎﻗﻲ اﻻﻋداد‬ ‫ﯾﻌﺑر ﻣﻔﮭوم اﻟﻘﺳﻣﺔ ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻋن ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺗﻘﺳﯾم ﺷﺊ ﻣﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺎت او ﻟﻌدة اﺟزاء ﺑﺷﻛل ﻣﺗﺳﺎوي‬ ‫ﻣﺛ ًﻼ اذا ﻗﺳﻣﻧﺎ ﻋﺷرﯾن ﺗﻔﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ارﺑﻌﺔ اطﻔﺎل ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺟراء ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﻘﺳﻣﺔ وھﻲ ان ﯾﺣﺻل ﻛل واﺣد ﻣﻧﮭم‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻣس ﺗﻔﺎﺣﺎت وﻟﻛن ﻻﯾﻣﻛن ﺗﻘﺳﯾم ﻋﺷرﯾن ﺗﻔﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻣن اﻻطﻔﺎل ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر ﯾﺑدوا اﻟﺳؤال‬ ‫وذﻟك ﻻﻧﮫ ﻻ ﯾﻣﻛن ﻗﺳﻣﺔ ﻋدد ﻋﻠﻰ ﺻﻔر ﻻﻧﮫ ﻻﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺿرب ﺑﻌد اﺟراء ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﻘﺳﻣﺔ‬ ‫ﻟﻤﺎذا ﻻ ﯾﺠﻮز اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ؟ و ﻛﺬﻟﻚ ﻟﻤﺎذا ﯾﻜﻮن ﻧﺎﺗﺞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ ھﻮ ﻣﺎ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ‬ ‫ﺗﺴﺎءﻟﻨﺎ ﻛﺜﯿ ًﺮا ﻓﻲ ﺻﻐﺮﻧﺎ ﻋﻦ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﺮ ﻓﮭﻞ ﻛﺎﻧﻮا ﺻﺎدﻗﯿﻦ ﺣﯿﻨﻤﺎ أﺧﺒﺮوﻧﺎ أن اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ ﻟﯿﺲ‬ ‫ﻟﮭﺎ ﻣﻌﻨﻰ؟ وﻟﻜﻦ ﻟﻤﺎذا أﺧﺒﺮوﻧﺎ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ أن اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻛﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ ُﻣﻌ ّﺮﻓﺔ؟‬ ‫ﻻ ﺷﻚ أن اﻟﻌﺪد ﺻﻔﺮ ھﻮ أﺣﺪ اﻟﺮﻣﻮز اﻟ ُﻤﻘﺪﺳﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت؛ ﻓﮭﻮ ذو طﺒﯿﻌﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ﺑﺎﻗﻲ اﻷرﻗﺎم‪،‬‬ ‫وﯾﻨﺒﻐﻲ أﺧﺬ اﻟﺤﺬر ﻣﻌﮫ ﻛﺜﯿ ًﺮا‪ .‬ﻓﻜﯿﻒ ﺳﯿﻜﻮن اﻟﺤﺎل ﻣﻊ اﻟ ِﻘﺴﻤﺔ؟ ﻟﻤﺎذا ﻻ ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﺮ؟ وﻟﻤﺎذا ﻻ‬ ‫ﯾﻜﻮن اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺑﺒﺴﺎطﺔ ھﻮ ∞؟‬ ‫‪.‬ﻓﻲ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ ﻟﯿﺲ اﻷﻣﺮ ﺑﮭﺬه اﻟﺴﮭﻮﻟﺔ وﺳﻨﻮﺿﺢ ذﻟﻚ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺒﺪاﯾﺔ ﯾﻨﺒﻐﻲ ُﻣﺮاﺟﻌﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻔﺎھﯿﻢ‪ ،‬ﻓﻤﺜ ًﻼ اﻟﻀﺮب ھﻮ ﻓﻲ ﺣﻘﯿﻘﺘﮫ ﻋﻤﻠﯿﺎت ﺟﻤﻊ‪ .‬ﻓﺤﯿﻨﻤﺎ ﻧﻘﻮل ﻣﺜ ًﻼ ‪5×10‬‬ ‫ﻓﻨﺤﻦ ﺑﺎﻟﻀﺮورة ﻧﻌﻨﻲ أﻧﻨﺎ ﻧﺠﻤﻊ اﻟﺨﻤﺴﺔ ‪10‬ﻣﺮات ﻣﻊ ﻧﻔﺴﮭﺎ‬ ‫‪«5+5+5+5 +5+5+5+5+ 5+5».‬‬ ‫ﺑﯿﻨﻤﺎ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﯿﺾ؛ ﻓﮭﻲ ﻓﻲ ﺣﻘﯿﻘﺘﮭﺎ ﻋﻤﻠﯿﺎت طﺮح‪ .‬ﻓﻤﺜ ًﻼ ﺣﯿﻨﻤﺎ ﻧﻘﻮل ‪ 20/4‬ﻓﻨﺤﻦ ﺑﺎﻟﻀﺮورة أﯾ ًﻀﺎ‬ ‫ﻧﻌﻨﻲ أﻧﻨﺎ ﻧﻄﺮح ‪ 4‬ﻣﻦ اﻟﻌﺪد ‪ 20‬ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﺮة‬ ‫‪20 − 4 = 16 , 16 − 4 = 12 , 12 − 4 = 8‬‬ ‫‪8−4=4 , 4−4=0‬‬ ‫ﻧﻘﻮم ﺑﺬﻟﻚ ‪ 5‬ﻣﺮات وﻣﻦ ھﻨﺎ ﯾﻜﻮن ﻧﺎﺗﺞ ‪ .20/4= 5‬وﻟﻜﻦ إذا ﻗﺴﻤﻨﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﺮ ﻓﮭﺬا ﯾﻌﻨﻲ ِطﺒ ًﻘﺎ ﻟﻤﺎ ذُ ِﻛ َﺮ أﻧﻨﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﺮة ﻧﻄﺮح ﺻﻔ ًﺮا ﻣﻦ اﻟﻌﺪد‪ .‬ﻣﺮة أﺧﺮى =‪20/0‬‬ ‫‪20 − 0 = 20 , 20 − 40 = 20 , 20 − 0 = 20‬‬ ‫وﻧﺴﺘﻤﺮ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﺤﺎل ﻛﻠﻤﺎ طﺮﺣﻨﺎ ‪ 0‬ﻣﻦ اﻟﻌﺪد ‪ 20‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻣﺮةً أُﺧﺮى‪ .‬إذًا ﯾﻤﻜﻦ ﻣﻦ ھﻨﺎ اﺳﺘﻨﺘﺎج‬ ‫أن اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ∞ وھﺬا ھﻮ ﻣﺎ ﻗﺪ ﯾﺘﺒﺎدر إﻟﻰ اﻷذھﺎن‪.‬‬ ‫وﻟﻜﻦ ھﺬه ﻟﯿﺴﺖ اﻟﻘﺼﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔً‪ .‬ﯾﺠﺐ ھﻨﺎ اﻟﺘﻨﺒﯿﮫ ﻋﻠﻰ أن ∞ ﻟﯿﺴﺖ ﺑﺤﺪ ذاﺗﮭﺎ رﻗ ًﻤﺎ؛ ﻓﻼ ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﮭﺎ ﻣﻦ ھﺬا‬ ‫اﻟﻤﻨﻄﻠﻖ‪ ،‬وإﻧﻤﺎ ∞ ھﻲ ﻓﻜﺮة‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫وﻟﻠﺘﻮﺿﯿﺢ ﺳﻨﺄﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ ﻛﻞ ﻗﯿﻢ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮة ﻟﻤﻘﻠﻮب ‪ ، x‬وﺑﺈﯾﺠﺎد اﻟﻨﮭﺎﯾﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻘﺘﺮب ‪ x‬ﻣﻦ ال ‪0‬‬ ‫ﺗﺴﺎوي ∞ إذا ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ اﺳﺘﻨﺘﺎج أن ‪. ∞ = 0/1‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪ ،‬ﻧﺠﺪ أن‬ ‫‪x0 x‬‬ ‫وﻟﻜﻦ ھﺬه ﻟﯿﺴﺖ ﻛﻞ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ‪ .‬ﻓﺈذا َﻣﺜﱠﻠﻨﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿًﺎ وﺑﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‪ ،‬و ﻣﻘﻠﻮب ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺼﺎدي‪ ،‬ﻓﻌﻨﺪﻣﺎ ﻧﻘﺘﺮب ﻣﻦ ﻗﯿﻤﺔ ال ‪ 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‪ ،‬ﺗﺰﯾﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ﺣﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫أن ﻧﻘﻮل أﻧﮭﺎ ﺗﺴﺎوي ∞‪ .‬وﻟﻜﻦ ھﺬا ﻓﻘﻂ ﺻﺤﯿﺢ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ x‬ﺗﻘﺘﺮب ﻣﻦ ‪ 0‬ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿﺔ اﻷﻋﺪاد‬ ‫اﻟ ُﻤﻮﺟﺒﺔ‪ .‬أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‪ ،‬وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻘﺘﺮب ﻣﻦ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‪ ،‬ﻧﺠﺪ أن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ﯾﻤﻜﻦ أن ﻧﻘﻮل أﻧﮭﺎ ﺗﺴﺎوي )∞‪ .(-‬رﯾﺎﺿﯿﺎ ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ اﻟﺘﻌﺒﯿ ٍﺮ ﻋﻦ ﻛﻞ اﻟﺬي ﺳﺒﻖ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت ﻛﺎﻻﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪lim 1   lim 1  ‬‬ ‫‪xx0‬‬ ‫‪xx0‬‬ ‫وﻣﻦ ھﻨﺎ ﻧﺠﺪ أﻧﮫ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ واﺣﺪة ؤﻟﻠﻨﮭﺎﯾﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ؛ وﻟﮭﺬا ﻓﺈن ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫اﻟﻘﺴﻤﺔ داﺋ ًﻤﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ‪.‬‬ ‫راﺑط و ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=ddk5wc-‬‬ ‫‪jZUQ&t=6s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬دﻳﻤﺎ�اﻷزوري‬ ‫‪6‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﳌﺎذا�إذا�ﺿﺮ�ﻨﺎ�ﻋﺪدﻳﻦ�ﺳﺎﻟﺒ�ن�ﻓﺈن�اﻟﻨﺎﺗﺞ�ﻳ�ﻮن�ﻋﺪ ًدا�ﻣﻮﺟ ًﺒﺎ؟‬ ‫ﯾﺷﻛك اﻟﺑﻌض ﻓﻲ ﻛون ﻧﺎﺗﺞ ﺿرب ﻋددﯾن ﺳﺎﻟﺑﯾن ﻣوﺟ ًﺑﺎ داﺋ ًﻣﺎ ‪ ،‬وﺳﯾﺗم إﺛﺑﺎت ذﻟك ﻣن ﺧﻼل ﻋدة طرق ‪:‬‬ ‫‪ ‬اﻟﻣﻘﺎرﺑﺔ اﻟﻣﻧطﻘﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻣﺛ ًﻼ ﻓﻲ اﻟﻌﺑﺎرات ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﺑﺎرة )ﻟم أﺧﺑرك ﻋن ﺷﻲء( ﻓﺗﻌطﻲ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﺳﻠﺑﯾﺔ ‪ ،‬ﻓﻧﻔﻲ ھذه اﻟﻌﺑﺎرة اﻟﻣﻧﻔﯾﺔ‬ ‫أﺻﻼ ﯾﻛون )وﻻ ﻣرة ﻟم أﺧﺑرك ﻋن ﺷﻲء( ﻓﺗﻌطﻲ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﺑﻣﻌﻧﻰ إﯾﺟﺎﺑﻲ وھذا ﻣﻘﺎرب ﻣﻧطﻘﯾًﺎ ﻟﻔﻛرة ﺿرب‬ ‫ﻋددﯾن ﺳﺎﻟﺑﯾن واﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣوﺟﺑﺔ‪.‬‬ ‫اﻗﺗرح اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎﺗﯾﯾن طرق ﻟﺗﺻور ﻣﺎذا ﯾﺣدث ﻋﻧدﻣﺎ ﻧﺿرب رﻗم ﺳﺎﻟب ﻓﻲ رﻗم ﺳﺎﻟب آﺧر‪،‬‬ ‫ﻟﺗﺑﺳﯾط اﻟﻔﻛرة وﻣﻌرﻓﺔ ﻟﻣﺎذا ﯾﺣدث ھذا رﯾﺎﺿﯾًﺎ‪ .‬ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﺗﺻوﯾر اﻷﻣر ﻟﯾس ﺳﮭ ًﻼ ﻟﻛﻧﻧﺎ ﺳﻧﺣﺎول ﺗﺑﺳﯾط اﻟﻔﻛرة‬ ‫أﻓﺿل طرق ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺳﺎﻟب )اﻟطرح( ھو اﻟدﯾن‪ .‬ﻓﻠﻧﻔﺗرض أﻧك ﻣدﯾون ﻟﻠﺑﻧك‪ ،‬وﻋﻠﯾك دﻓﻊ ﻛل ﺷﮭر‬ ‫‪ 100‬دوﻻر ﻟﻣدة ﺳﺗﺔ أﺷﮭر‪ .‬ﻓﺑﻌد اﻟﺳﺗﺔ أﺷﮭر ﻛم ﺳﯾﺻﺑﺢ ﻣﺎ ﻣﻌك ﻣن ﻣﺎل؟ ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﺳﺗﺿرب ﻋدد اﻷﺷﮭر‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﺳﯾﺗم طرﺣﮫ ﻣﻧك ﻛل ﺷﮭر‪(-100).‬‬ ‫‪ ) -100* 6 = -600‬ﺳﺎﻟب ‪ ،600‬أي ﺳﯾﻧﻘص ﻣﺎﻟك ﻣﺎ ﻗﯾﻣﺗﮫ ‪ 600‬دوﻻر‪(.‬‬ ‫ﻟﻛن ﻟﻧﻔﺗرض أن )ﻟم( ﺗدﻓﻊ ﻟﺛﻼﺛﺔ أﺷﮭر ﺑﺳﺑب ھدﯾﺔ ﻣن اﻟﺑﻧك‪ .‬أي ﺳﺗﺻﺑﺢ اﻷﺷﮭر ﺳﺎﻟﺑﺔ )ﻟم( ﺗﻘم ﻓﯾﮭﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻣﻠﯾﺔ‪ .‬ﻓﺗﺻﺑﺢ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ‪-100 * -3‬‬ ‫ﻟن ﻧﺿﻊ اﻟﻧﺎﺗﺞ‪ ،‬ﻓﻛر اﻧت ﺑﮫ‪ ،‬ﻟم ﯾﺗم ﺧﺻم ﻣﻧك ‪ 100‬دوﻻر ﻓﻲ ‪ 3‬أﺷﮭر ﻓﮭل ﺳﯾﻛون ھﻧﺎك ﻓﺎﺋض؟ ﻧﻌم ﺑﺎﻟطﺑﻊ‪،‬‬ ‫ﻟذا ﻓﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ﺳﺗﻛون ﻣوﺟﺑﺔ‬ ‫‪ ‬اﻟﻣﻘﺎرﺑﺔ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ)اﻟﺟﺑرﯾﺔ(‪:‬‬ ‫ﻟﻺﺛﺑﺎت ﺑﮭذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﯾﺟب ﻋﻠﯾﻧﺎ أﺧذ ﺧﺎﺻﯾﺗﯾن ﻣن ﺧﺻﺎﺋص اﻷﻋداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﺑﻌﯾن اﻻﻋﺗﺑﺎر‪:‬‬ ‫أوﻻً‪ :‬أن ﻧﺎﺗﺞ ﺿرب أي ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻓﻲ اﻟﻌدد ﺻﻔر ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﯾﺎ‪ :‬أن أي ﻋدد زاﺋد ﻧظﯾره اﻟﺟﻣﻌﻲ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫وﻹﺛﺑﺎت أن ﺳﺎﻟب ﺿرب ﺳﺎﻟب ﻣوﺟب ‪:‬‬ ‫? = ‪- 2 × - 100‬‬ ‫‪+ 2 × (100 - 100) = 0‬‬ ‫‪(-2 × 100) + (-2× −100)= 0‬‬ ‫‪-200 + (- 2 × −100) = 0‬‬ ‫‪- 200 + 200 = 0‬‬ ‫إ ًذا ﻓﺈن ﺿرب أي ﻋددﯾن ﺳﺎﻟﺑﯾن ﯾﺟب أن ﯾﻛون ﻋد ًدا ﻣوﺟﺑًﺎ‬ ‫‪7‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪ ‬ﻣﻘﺎرﺑﺔ اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ‪:‬‬ ‫)‪ : (-2)×(-3‬ﻧﻔرض أن اﻟﻌدد )‪ (- 2‬ھو اﻟﻌدد اﻟذي ﯾﺳﯾر ﺑﮫ اﻟﺷﺧص ﻓﻲ اﻟﺧطوة اﻟواﺣدة ‪ ،‬أﻣﺎ اﻟﻌدد‬ ‫)‪ (-3‬ﻓﮭو ﻋدد اﻟﺧطوات اﻟﺗﻲ ﺳوف ﯾﺳﯾرھﺎ اﻟﺷﺧص‬ ‫ﻓﺈذا ﺳﯾﺳﯾر اﻟﺷﺧص ﺧطواﺗﮫ ﺑﺎﺗﺟﺎه اﻷﻋداد اﻟﺳﺎﻟﺑﺔ ﺑﺧطوة طوﻟﮭﺎ ‪ 2‬ﻟﻠﺧﻠف ﺛﻼث ﻣرات‪.‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=lVvX-‬‬ ‫‪jH_Mmo&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=16‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﻏﻼ�اﻟﺼﺒ��‬ ‫‪8‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﳌﺎذا�أي�ﻋﺪد�ﺑﺎﺳﺘ�ﻨﺎء�اﻟﺼﻔﺮ�ﻣﺮﻓﻮع�ﻟﻸس�ﺻﻔﺮ�ﻳ�ﻮن�اﻟﻨﺎﺗﺞ��ﺴﺎوي�‪1‬‬ ‫ھﻲ ﻗﺎﻋدة ﻧﺣﻔظﮭﺎ ﻓﻘط وﻻ ﻧﻌرف ﻣﺻدرھﺎ‪ ،‬ﻟذا ﺳﺄﺷرﺣﮭﺎ اﻟﯾوم ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﺑﺳطﺔ‪.‬‬ ‫ﺑﻣﻌﻧﻰ أن أي ﻋدد أس ‪ m‬ﻋﻠﻰ اﻟﻌدد ﻧﻔﺳﮫ أس ‪n‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xnm‬‬ ‫ﻋودةً إﻟﻰ ﻗﺎﻋدة اﻟﻘوى اﻟﻛﺳرﯾﺔ‪ ،‬ﺣﯾث‬ ‫‪xm‬‬ ‫ﯾﺳﺎوي اﻟﻌدد أس ‪ .m-n‬وھﻲ ﻗﺎﻋدة ﺻﺣﯾﺣﺔ وﻣﻧطﻘﯾﺔ إن ﻗﻣت ﺑﻔك اﻷﺳس وﺗﺟرﺑﺗﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻧﻧﺗﻘل اﻵن إﻟﻰ اﻟﻧﻘطﺔ اﻷﺧرى‪ ،‬ﺣﯾﻧﻣﺎ ﻧُﻌطﻰ ﻛﺳ ًرا ﻣﺗﺳﺎوي اﻟﺑﺳط واﻟﻣﻘﺎم‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‪ ،9/9 :‬ﻓﮭو‬ ‫ﯾﺳﺎوي ‪ !1‬وﻟﻛن‪ ..‬أﻻ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺑدال اﻟﺗﺳﻌﺔ ﺑـ‪3^2‬؟ إذا ﺳﯾﺻﺑﺢ اﻟﻛﺳر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪ ،3^2 / 3^2 :‬وﺣﯾﻧﻣﺎ ﻧﺣﻠﮫ‬ ‫ﺑﻘﺎﻋدة اﻟﻘوى اﻟﻛﺳرﯾﺔ ﺳﻧُﻌطﻰ اﻟﻧﺎﺗﺞ اﻟﺗﺎﻟﻲ‪ 3^0 :‬وھو ﻣﺎ ﺳﯾﻌطﯾﻧﺎ اﻟﻧﺎﺗﺞ واﺣد أﺧﯾ ًرا‪.‬‬ ‫ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ ﺑﮭذا‪ ،‬أن أي ﻋدد ﻣرﻓو ًﻋﺎ ﻟﻸس ﺻﻔر‪ ،‬ھو أﺳﺎ ًس ﻣﻘﺳوم ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺳﮫ ﺑﺄﺳس ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪.‬‬ ‫وﻟﻛن‪ ،‬ﻟﻛل ﻗﺎﻋدة ﺷواذ‪ ،‬وھﻧﺎك إﺳﺗﺛﻧﺎء ﻟﮭذه اﻟﻘﺎﻋدة؛ ﻓﺎﻟﺻﺑر ﻣرﻓو ًﻋﺎ ﻟﻸس ﺻﻔر ﻻ ﯾﺳﺎوي اﻟواﺣد‪ ،‬ﻟ َم؟‬ ‫ﻷﻧﮫ ﺣﯾﻧﻣﺎ ﻧﻘوم ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺳﺎﺑﻖ )‪ (a^m / a^m‬ﺳﻧﺟد أن ﻟدﯾﻧﺎ ﺻﻔ ًرا ﻓﻲ اﻟﻣﻘﺎم‪،‬‬ ‫وﻛﻣﺎ ﻧﻌرف‪ ،‬ﯾﺻﺑﺢ اﻟﻛﺳر ﻏﯾر ﻣﻌر ًﻓﺎ ﺣﯾﻧﻣﺎ ﯾﻛون ﻣﻘﺎﻣﮫ ﻣﺳﺎوﯾًﺎ ﻟﻠﺻﻔر‪.‬‬ ‫‪x0 xnn xn  xn xxnn 1‬‬ ‫وﺑﮭذا ﺳﻧدرك أن أي ﻋدد أس ﺻﻔر ﯾﺳﺎوي اﻟواﺣد‪ ،‬إﻻ اﻟﺻﻔر ﻓﺳﯾﻛون ﻏﯾر‬ ‫ﻣﻌر ًﻓﺎ‪.‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=FABUP6qwU_0&list=PLmD‬‬ ‫‪Mx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-7qf4LbF&index=6‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﺟ���اﻟﺸﻴ��‬ ‫‪9‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﻦ�أﻳﻦ�ﺟﺎءت��اﻟﺼﻴﻐﺔ�اﻟ��ﺑﻴﻌﻴﺔ�؟����))�‪( Quadratic Formula‬‬ ‫ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫طور اﻟﺑﺎﺑﻠﯾون ﻧﮭ ًﺟﺎ ﺣﺳﺎﺑﯾ�ﺎ ﺑﺳﯾ ًطﺎ ﻟﺣل اﻟﻣﺷﻛﻼت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗواﺟﮭﮭم ﻋن طرﯾﻖ ﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ دون دراﯾ ٍﺔ ﻣﻧﮭم ﺑﮭذه اﻟﻣﻌﺎدﻻت‪ .‬وﻓﻲ ﺣواﻟﻲ ‪ 300‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد ﺗﻣﻛن اﻗﻠﯾدس ﻣن ﺗطوﯾر ﻣﻧﮭ ٍﺞ‬ ‫اﻟﮭﻧدي ﺑراھﻣﺎﻏوﺑﺗﺎ أول ﻣن‬ ‫اﻟﻌﺎﻟم‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‪ ،‬وﻛﺎن‬ ‫ﺣﻠو ٍل‬ ‫أھﻧﻋﺎددﺳھّﻲٍﯾﻛﻣﻠﻛﺔ انﻟاﻟطﻌرﻠﻣقﺎءاﻟﺑﻣﺎﺑﻠنﯾﺑﺔﻌﻟدﯾهﻘدﻣمن إﺻﯾﯾﻐﺟﺎﺔًد‬ ‫ﺑن ﻣوﺳﻰ اﻟﺧوارزﻣﻲ اﻟذي‬ ‫ﻣﺣﻣد‬ ‫ﻟﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﯾﺄﺗﻲ ﺑﻌد ذﻟك‬ ‫ﺣدﯾﺛﺔً‬ ‫ھذه‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ٍﺔ‬ ‫ﻛل‬ ‫ﺣل‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫ﻷﻧواعٍ ﻣﺧﺗﻠﻔ ٍﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺻﯾﻎ‬ ‫ﺗﻣﻛن ﻣن ﺗطوﯾر طرﯾﻘﺗﮫ وﺗﻘدﯾم‬ ‫ﻓﻲ ﻋﺎﻟم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪.‬‬ ‫ﺟدﯾدةٌ‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻻت ﻟﺗﺑدأ ﺑﻌد ذﻟك ﻣرﺣﻠﺔٌ‬ ‫ﻣﺎھﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫ھﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔٌ ﺟﺑرﯾﺔٌ ﺛﻼﺛﯾﺔ اﻟﺣدود ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ واﻟﺷﻛل اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ﯾﺗﻣﺛل ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ ،=ax2 + bx + c0‬ﺑﺣﯾث ‪ a b c‬ھﻲ أﻋداد ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﺛﺎﺑﺗﺔ وﺑﺷرط ‪ a‬ﻣﺗﻐﯾر ﻻﯾﺳﺎوي اﻟﺻﻔر وإﻻ ﺗﺣوﻟت‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ إﻟﻰ ﺧطﯾ ٍﺔ‬ ‫ﻣﺎھﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ؟‬ ‫ھﻲ طرﯾﻘﺔ أو ﺻﯾﻐﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻹﯾﺟﺎد ﺟذور ﻟﻠدوال واﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ )ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ( وﺗﻌطﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﺎھﻲ طرﯾﻘﺔ إﻛﻣﺎل اﻟﻣرﺑﻊ وﻋﻼﻗﺗﮭﺎ ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ؟‬ ‫ﺷﻛل أي داﻟﺔ ﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ھو ‪ ������(������) = ������������� + ������������ + ������ :‬وﻋﻧدﻣﺎ ﻧﻘوم ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺳوف ﺗﺻﺑﺢ ﺑﮭذا‬ ‫اﻟﺷﻛل ‪ ������������� + ������������ = −������‬وﻟﻧﻘوم ﺑﺗرﺟﻣﺗﮭﺎ ﺑﺷﻛل ھﻧدﺳﻲ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻧﻘﺳم ﺟﻣﯾﻊ ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻷطراف ﻋﻠﻰ ‪ a‬ﻟﻧﺗﺄﻛد أن �‪ ������‬ھﻲ ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻟﻣرﺑﻊ طول ﺿﻠﻌﮫ ‪x‬‬ ‫‪��������‬ھ��ﻲ‪ −‬ﻣ‪+‬ھﺳﺎﻲ�‪���‬ﺣ‪���‬ﻣﺔﺳﺎﻣﺣرﺑﺔﻊﻣﺳطﺗوطلﯾلﺿﺑﻠﻐﻌﮫض‪X‬اﻟﻧ‪.‬ظور‪������‬ﻋ��ن‬ ‫�‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫�‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺑﮭذا اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫وﺗﺻﺑﺢ‬ ‫�‪������‬‬ ‫وﻟﻧﺣول‬ ‫ھﻲ ﻣﺳﺎﺣﺔ‬ ‫ھذه اﻟﺻﯾﻐﺔ ھﻧدﺳﯾﺎ ﻧﻌﺗﺑر أن‬ ‫ﻣﺳﺗطﯾل‬ ‫‪(2‬‬ ‫أطوال‬ ‫و‬ ‫أطوال أﺿﻼﻋﮫ ھﻲ ‪ x‬و�� ‪.‬‬ ‫أﺿﻼﻋﮫ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﻘوم ﺑدﻣﺞ اﻟﻣرﺑﻊ واﻟﻣﺳﺗطﯾل ﺣﯾث ﻧﻘﺳم اﻟﻣﺳﺗطﯾل إﻟﻰ ﻣﺳﺗطﯾﻠﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن وﻧدﻣﺟﮭم ﺑﺎﻟﻣرﺑﻊ‪،‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل )‪ (1‬وھو ﺷﻛل ﯾﺷﺑﮫ اﻟﻣرﺑﻊ وﻟﻛﻧﮫ ﻟﯾس ﻣرﺑﻊ ﻣﺗﻛﺎﻣل‪.‬‬ ‫��‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ‬ ‫ﺗﺳﻣﯾﺔ‬ ‫ﺳﺑب‬ ‫ھو‬ ‫وھذا‬ ‫��‬ ‫ﻣﺳﺎﺣﺗﮫ‬ ‫أي‬ ‫�‬ ‫ﻟذا ﺳوف ﻧﺿﯾف ﻣرﺑﻊ آﺧر طول ﺿﻠﻌﮫ‬ ‫‪(4‬‬ ‫��‬ ‫‪10‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪ (5‬ﺑـ ) إﻛﻣﺎل اﻟﻣرﺑﻊ (‪ .‬وﺑﻣﺎ أﻧﮫ ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﺄي ﻋدد ﻧﺿﯾﻔﮫ ﻟطرف ﯾﺟب أن ﻧﺿﯾﻔﮫ ﻟﻠطرف اﻵﺧر‬ ‫�‬ ‫��‬ ‫�‬ ‫��‬ ‫ﻓﺗﺻﺑﺢ ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫�‬ ‫���‬ ‫�‬ ‫���‬ ‫�‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫وھذا اﻟﻛﺳر ﯾﻣﺛل ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل اﻟذي ﻋﻠﻰ‬ ‫������‬ ‫ﯾﺳﺎوي‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫اﻷﯾﻣن‬ ‫اﻟطرف‬ ‫‪(6‬‬ ‫���‬ ‫اﻟﯾﻣﯾن‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟطرف اﻷﯾﻣن = ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟطرف اﻷﯾﺳر‬ ‫= �)��� ‪(������ +‬‬ ‫������‬ ‫���‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ‬ ‫‪ (7‬ﺑﻌدﻣﺎ ﻛﺗﺑﻧﺎ اﻟطرف اﻷﯾﺳر ﺑﺷﻛل ﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻧﺷﻛل ﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن ﺧطﯾﺗﯾن ﺑﻣﺳﺎواة اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠطرف‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�‬ ‫=‬ ‫����������‪±‬‬ ‫اﻷﯾﻣن‪.‬‬ ‫ﻟﻠطرف‬ ‫واﻟﺳﺎﻟب‬ ‫اﻟﻣوﺟب‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫ﺑﺎﻟﺟذر‬ ‫اﻷﯾﺳر‬ ‫��‬ ‫�‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﺳﻧﺣﺻل‬ ‫اﻵﺧر‬ ‫ﻟﻠطرف‬ ‫��‬ ‫ال‬ ‫وﻧﻘﻠﻧﺎ‬ ‫اﻟﺟذر‬ ‫ﺑﺗﺑﺳﯾط‬ ‫ﻗﻣﻧﺎ‬ ‫وإذا‬ ‫‪x  b  b2  4ac‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫راﺑط و ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪��:‬ﻟﻴﺎن�اﻟﺒﺪري ‪https://www.youtube.com/watch?v=myLSPGpU73Q‬‬ ‫‪&t=346s‬‬ ‫‪11‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﻦ�أﻳﻦ�ﺟﺎء�ﻗﺎﻧﻮن�ﻣﺴﺎﺣﺔ�اﻟﺪاﺋﺮة�؟‬ ‫ﺗﻌرﯾف اﻟداﺋرة‬ ‫ھﻲ ﻣﻧﺣﻧﻰ ﯾﺗﺄ ّﻟف ﻣن ﻋد ٍد ﺛﺎﺑ ٍت ﻣن اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﻲ ﺗﺑﻌد ﻣﺳﺎﻓﺔً ﺛﺎﺑﺗﺔً ﻋن ﻧﻘط ٍﺔ ﻣﻌ ّﯾﻧ ٍﺔ ﺗدﻋﻰ ﻣرﻛز اﻟداﺋرة‪ ،‬ھذه‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺛّﺎﺑﺗﺔ ﺗﺳ ّﻣﻰ ﻧﺻف اﻟﻘطر؛ وﻣﺣﯾط اﻟ ّداﺋرة ھو ﻣﺟﻣوع ھذه اﻟﻧﻘﺎط‪ ،‬إ ّن أطول ﺧ ٍّط ﻣﺳﺗﻘﯾ ٍم ﯾﻣ ﱡر ﻋﺑر‬ ‫ﻣرﻛز اﻟداﺋرة ھو ﻗطر اﻟ ّداﺋرة‪ ،‬وھو ﺿﻌف ﻧﺻف اﻟﻘطر‪ ،‬أ ّﻣﺎ اﻟﻘطﺎع اﻟداﺋر ﱡي ﻓﮭو اﻟﻘﺳم ﻣن اﻟداﺋرة‬ ‫اﻟﻣﺣﺻور ﺑﻧﺻﻔ ّﻲ ﻗط ٍر ﻣﺣد ًدا زاوﯾﺔً ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﺗدﻋﻰ زاوﯾﺔ اﻟﻘطﺎع‪ ،‬وﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﺣﯾﺎﺗﯾّﺔ ﻟﮭﺎ اﻹطﺎرات واﻟﺣﻘل‬ ‫اﻟداﺋر ّي واﻟﻣﻘﻼة وﻏﯾرھﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟداﺋرة‬ ‫ھﻲ اﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺷﻐﻠﮭﺎ اﻟداﺋرة ﻓﻲ ﻣﺳﺗوى ﺛﻧﺎﺋ ّﻲ اﻷﺑﻌﺎد‪،‬‬ ‫أو اﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻣﻐ ّطﺎة ﺑدورةٍ ﻛﺎﻣﻠ ٍﺔ ﻟﻧﺻف اﻟﻘطر ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗوى ﺛﻧﺎﺋ ّﻲ اﻷﺑﻌﺎد‪،‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪّاﺋﺮة ﺑﻄﺮﯾﻘﺘﯿﻦ‪:‬‬ ‫اﺳﺗﻧﺗﺎج ﻗﺎﻧون ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟ ّداﺋرة ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل‪:‬‬ ‫ﺗﻘوم ﺑﺗﻘﺳﯾم اﻟداﺋّرة ﻟﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻗطﺎﻋﺎ ٍت ﻣﺗﺳﺎو ّﯾ ٍﺔ‪ ،‬ﺛم ﻧرﺗّب ھذه اﻟﻘطﺎﻋﺎت ﺑﺟﺎﻧب ﺑﻌﺿﮭﺎ ﺑﺷﻛ ٍل ﻣﺗﻌﺎﻛ ٍس وﻣﺗﺗﺎﻟ ّﻲٍ‬ ‫ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‪ ،‬ﻓﺗﺷ ّﻛل ﻣﺎ ﯾﺷﺑﮫ ﻣﺗوازي اﻷﺿﻼع‪ ،‬وﻟﻛن ﻟﯾس ﻣﺳﺗطﯾ ًﻼ‪ ،‬ارﺗﻔﺎﻋﮫ ھو ﻧﺻف ﻗطر اﻟداﺋرة‪،‬‬ ‫وﺑﺗﻘﺳﯾم اﻟ ّداﺋرة إﻟﻰ ﻣزﯾ ٍد ﻣن اﻟﻘطﺎﻋﺎت ﺗﺻﻐر ھذه اﻟﻘطﺎﻋﺎت أﻛﺛر ﻓﺄﻛﺛر‪ ،‬وﯾﺻﺑﺢ اﻟﺷﻛل ﻣﺷﺎﺑ ًﮭﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل‬ ‫أﻛﺛر ﻓﺄﻛﺛر‪ ،‬وﺑﺎﺳﺗﻣرار اﻟﺗﻘﺳﯾم إﻟﻰ ﻋد ٍد ﻻ ﻣﺗﻧﺎ ٍه ﻣن اﻟﻘ ّطﺎﻋﺎت ﯾﺻﺑﺢ اﻟﺷﻛل ﻣﺳﺗطﯾ ًﻼ ﻓﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬ارﺗﻔﺎﻋﮫ‬ ‫ھو ﻧﺻف اﻟﻘطر‪ ،‬وﻗﺎﻋدﺗﮫ ھﻲ ﻧﺻف ﻣﺣﯾط اﻟ ّداﺋرة‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗّﺎﻟﻲ‪:.‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﺳﺗﻧﺗﺎج ﻗﺎﻧون ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟداﺋرة ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺛﻠّث‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ رﺑط ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟداﺋرة ﺑﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺛﻠث‪ ،‬وذﻟك ﻋﺑر ﺗﺣوﯾل اﻟداﺋرة إﻟﻰ ﻣﺛﻠ ٍث ﻣن ﺧﻼل‬ ‫ﺗﻘﺳﯾم اﻟداﺋرة ذات ﻧﺻف اﻟﻘطر ‪ r‬إﻟﻰ دواﺋ َر أﺧرى ﺑﻧﻔس اﻟﻣرﻛز وﺗﺧﺗﻠف ﺑﻧﺻف اﻟﻘطر‪ ،‬وﻗطﻊ ھذه اﻟدواﺋر‬ ‫وﻓﻖ اﻟﺧط ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‪ ،‬وﺑذﻟك ﺗﻛون ﻣﻌﻧﺎ ﻣﺛﻠث ﻗﺎﻋدﺗﮫ ھﻲ ﻣﺣﯾط اﻟ ّداﺋرة وارﺗﻔﺎﻋﮫ ھو ﻧﺻف ﻗطر‬ ‫اﻟداﺋرة‪ ، r‬وﺑﺎﻟﺗّﺎﻟﻲ ﺑﺗطﺑﯾﻖ ﻗﺎﻧون ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺛ ّﻠث ﯾﻛون‪:‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=GMY8pu_Z‬‬ ‫‪TJ4&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=15‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪��:‬ا��ﻮدي�اﻟﺴﻠﻴﻤﺎ�ﻲ‬ ‫‪13‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﻦ�أﻳﻦ�ﺟﺎء�‪�π‬؟‬ ‫)‪(?Where did π come from‬؟‬ ‫ﺗﺎرﯾﺦ ﺑﺎي ‪:������‬‬ ‫ﻋرف اﻟﺑﺎي ‪ Pi‬ﻣﻧذ ﻣﺎ ﯾﻘرب ﻣن ‪ 4000‬ﺳﻧﺔ واﻛﺗﺷﻔﮭﺎ اﻟﺑﺎﺑﻠﯾون اﻟﻘدﻣﺎء‪ .‬ﻗرص ﻣن ﻣﻛﺎن ﻣﺎ ﺑﯾن ‪-1900‬‬ ‫‪ 1680‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد‪ .‬وﺟد ﺑﮫ اﻟﺑﺎي وﻛﺎن ﯾﺳﺎوي ﻋﻧدھم ‪ .3.125‬ﻛﺎن اﻟﻣﺻرﯾون اﻟﻘدﻣﺎء ﯾﺣﻘﻘون اﻛﺗﺷﺎﻓﺎت‬ ‫ﻣﻣﺎﺛﻠﺔ ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ﺑردﯾﺔ ‪ Rhind‬ﻣن ﻋﺎم ‪ 1650‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟوﺛﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﻗﺎم اﻟﻣﺻرﯾون‬ ‫ﺑﺣﺳﺎب ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟداﺋرة ﺑواﺳطﺔ ﺻﯾﻐﺔ ﺗﻌطﻲ ‪ pi‬ﻗﯾﻣﺔ ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ﺗﺳﺎوي ‪3.1605‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺣﺳﺎب ﺗم ﺗﻧﻔﯾذھﺎ ﺑواﺳطﺔ أرﺧﻣﯾدس ﻣن ﺳﯾراﻛﯾوز )‪ 212-287‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد(‪ .‬واﺣد ﻣن‬ ‫أﻋظم ﻋﻠﻣﺎء اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ اﻟﻌﺎﻟم ‪ ،‬اﺳﺗﺧدم أرﺧﻣﯾدس ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ ﻣﻧﺎطﻖ ﻣن ﻣﺿﻠﻌﯾن‪.‬‬ ‫ﯾﻘﺎرن أرﺧﻣﯾدس ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟداﺋرة ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﻣﻧﺗظم داﺧل اﻟداﺋرة وﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‬ ‫اﻟذي ﻛﺎﻧت اﻟداﺋرة ﻣﻘﯾدة ﻓﯾﮫ‪ .‬أﻋطت اﻟﻣﺿﻠﻌﺎت ‪ ،‬ﻛﻣﺎ رﺳﻣﮭﺎ أرﺧﻣﯾدس ‪ ،‬اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ واﻟدﻧﯾﺎ ﻟﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫اﻟداﺋرة ‪ ،‬وﻛﺎن ﯾﻘﺗرب ﻣن أن ‪ pi‬ﺑﯾن ‪ 7/1 3‬و ‪71/10 3‬‬ ‫ﺑدأ ﺑﺎي ﯾرﻣز إﻟﻰ رﻣز )‪ (π‬ﻓﻲ ﻋﺎم ‪ 1706‬ﺑواﺳطﺔ ﻋﺎﻟم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻟﺑرﯾطﺎﻧﻲ وﻟﯾﺎم ﺟوﻧز‪ .‬اﺳﺗﺧدم ﺟوﻧز‬ ‫‪ 3.14159‬ﻛﺣﺳﺎب ﻟﺑﺎي ‪.‬‬ ‫‪) Pi r squared‬ﺑﺎي × ﻣرﺑﻊ ﻧﺻف اﻟﻘطر(‬ ‫ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ‪ ،‬ﯾﺳﺗﺧدم ‪ pi‬ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻣﻧطﻘﺔ وﻣﺣﯾط اﻟداﺋرة‪ .‬ﯾﺳﺗﺧدم ‪ Pi‬ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫ﺑﺿرب ﻧﺻف ﻗطر ﻣرﺑﻊ ‪ .pi‬ﻟذﻟك ‪ ،‬ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ داﺋرة ﻧﺻف ﻗطرھﺎ ‪ 3‬ﺳم ‪π32 = ،‬‬ ‫‪ 28.27‬ﺳم‪ .‬ﻧظ ًرا ﻷن اﻟدواﺋر ﺗﺣدث ﺑطﺑﯾﻌﺗﮭﺎ‪ ،‬وﻛﺛﯾراً ﻣﺎ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻻت رﯾﺎﺿﯾﺔ أﺧرى ‪ ،‬ﻓﺈن ‪ pi‬ﻓﻲ‬ ‫ﻛل ﻣﻛﺎن ﺣوﻟﻧﺎ وﯾﺗم اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑﺷﻛل ﻣﺳﺗﻣر‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ھو اﻟﻌدد ﺑﺎي ‪������‬؟‬ ‫وﯾﻣﺛل‬ ‫‪،‬‬ ‫�‬ ‫ﻛﺳر‬ ‫ﺻورة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻛﺗﺎﺑﺗﮫ‬ ‫ﯾﻣﻛن‬ ‫ﻻ‬ ‫أﻧﮫ‬ ‫أي‬ ‫ﺛﺎﺑت‬ ‫ﻧﺳﺑﻲ‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫ﻋدد‬ ‫ھو‬ ‫ﺑﺎي‬ ‫�‬ ‫ﺑﺎي اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﻣﺣﯾط اﻟداﺋرة وﻗطرھﺎ وﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋن ﺣﺟم اﻟداﺋرة‪ ،‬ﺳﯾﻛون داﺋ ًﻣﺎ‬ ‫ﻧﻔس اﻟرﻗم وھو ‪ 3.14‬ﺗﻘرﯾﺑﺎً‪ .‬وذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻰ اﻟدواﺋر أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻓﺈن‬ ‫ﺑﺎي ھﻲ زاوﯾﺔ ﺗﺳﺎوي ‪ 180°‬ﺗﻘرﯾﺑﺎً ﻋﻧد اﻟﺣﺳﺎب ﺑﺎﻟرادﯾﺎن‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟﻌدد ﺑﺎي ‪ ������‬ﻓﻲ ﻣﺧﺗﻠف اﻟﻣﺟﺎﻻت‪:‬‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﺑﺎي ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫ﯾظﮭر اﻟﻌدد ﺑﺎي ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ﻣﺳﺎﺣﺎت وأﺣﺟﺎم اﻷﺷﻛﺎل اﻟﮭﻧدﺳﯾﺔ اﻟﻣﻌﺗﻣدة ﻋﻠﻰ اﻟداﺋرة ﻛﺎﻟﻘطﻊ اﻟﻧﺎﻗص واﻟﻛرة‬ ‫واﻟﻣﺧروط واﻟطﺎرة‪.‬‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﺑﺎي ﻓﻲ اﻟﻔﯾزﯾﺎء‬ ‫ﯾظﮭر اﻟﻌدد ﺑﺎي ﻓﻲ اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﻘواﻧﯾن اﻟﻔﯾزﯾﺎﺋﯾﺔ وﻣن اھﻣﮭﺎ‪ :‬اﻟﺛﺎﺑت اﻟﻛوﻧﻲ‪ ،‬ﻗواﻧﯾن ﻛﺑﻠر‪ ،‬اﻟﻧﻔﺎذﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﻐﻧﺎطﯾﺳﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻔراغ‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﺑﺎي ﻓﻲ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت واﻹﺣﺻﺎء‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺎﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻟﻼﻧﺣراف اﻟﻐﺎوﺳﻲ‪.‬‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﺑﺎي ﻓﻲ اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء‬ ‫ﺣﺳﺎب ﻛﻣﯾﺔ اﻟﮭﯾدروﺟﯾن اﻟﺗﻲ ﺗﺗواﻓر ﻓﻲ اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﻛﯾﻣﯾﺎﺋﯾﺔ واﻟﺑﯾوﻟوﺟﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=SX5qGaPx8‬‬ ‫‪sY&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=10‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪��:‬ﻟﻴﺎن�اﻟﻌﻤﺮي‬ ‫‪15‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﻦ�أﻳﻦ�ﺟﺎء�ﻗﺎﻧﻮن���ﻢ�اﻟﻜﺮة�؟‬ ‫ﺗﻌﺮف اﻟﻜﺮة اﻧﮭﺎ ﻧﻤﻮذج ﺛﻼﺛﻲ اﻻﺑﻌﺎد ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة‪،‬‬ ‫وﻟﻜﻲ ﻧﻔﮭﻢ ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪-1‬اﻟﻘﻄﺮ‪ :‬ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﺑﺄﻧﮫ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺗﺼﻞ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺸﻜﻞ وﺗﻤﺘﻠﻚ ﻛﻞ ﻛﺮة ﻋﺪدا ﻻ ﻧﮭﺎﺋﯿﺎ ﻣﻦ اﻷﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫‪-2‬ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ‪ :r‬ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ﻋﻠﻰ اﻧﮫ اﻟﻘﻄﺮ ﻣﻘﺴﻮﻣﺎ ﻋﻠﻰ ‪2‬او‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة وﻣﺤﯿﻄﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﻟﯿﺎ ﺳﻨﺤﺘﺎج ﻟﻔﮭﻢ ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم ﺑﻤﺎ ان ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﮭﺮم واﻟﻜﺮة ﻧﻤﻮذﺟﺎن ﺛﻼﺛﯿﺎ اﻻﺑﻌﺎد ﻓﻨﺴﺘﻄﯿﻊ اﺳﺘﻨﺘﺎج‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم‪ ،‬ﻓﯿﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺨﯿﻞ اﻟﻜﺮة ﻛﻌﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻻھﺮاﻣﺎت‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم‪ :‬ﻓﻠﻨﺘﺨﯿﻞ ﻣﻜﻌﺒﺎ ﺗﻢ ﺗﻘﺴﯿﻤﮫ ﻣﻦ اﻗﻄﺎره ﺳﻮف ﯾﺘﻜﻮن ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪6‬اھﺮاﻣﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﺴﻨﻼﺣﻆ ان‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﻞ ھﺮم ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﻌﺐ وﯾﺘﻢ ﺣﺴﺎﺑﮭﺎ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪=B‬اﻟﻄﻮل ‪× L‬اﻟﻌﺮض ‪W‬أي ‪������ × ������ = ������‬‬ ‫‪h‬ھﻮ ارﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم و ‪H‬ھﻮ ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻛﺎﻣﻼ أي ‪������ = 2ℎ‬‬ ‫وﻗﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ ھﻮ ‪������ × ������ × ������‬او ‪������ × ������‬او ‪������ × 2ℎ‬‬ ‫وﺑﻤﺎ ان ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة = ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻻھﺮاﻣﺎت ﻓﯿﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑﮭﺬا اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﯾﻤﻜﻦ أﯾﻀﺎً اﺷﺘﻘﺎق اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻣﻦ ﻋﻼﻗﺔ ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﺑﺤﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮ ّﺿﺢ ﻓﻲ اﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ= ‪) × 3‬ﺣﺠﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة(‪.‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = ‪ .������������� × ℎ‬ﻋﻠﻤﺎً ﺑﺄن ‪ = ℎ ، ������ = 3.14‬اﻹرﺗﻔﺎع‪ = ������،‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮة‪ ،‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪ × 1/2) × 3 = ������������� × ℎ‬ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة(‪.‬‬ ‫‪ × 3/2 = ������������� × ℎ‬ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة‪ .‬وﺑﻀﺮب طﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑﻤﻘﻠﻮب اﻟﻜﺴﺮ‪ ،2/3‬ﯾﻨﺘﺞ أ ّن‪:‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪.ℎ = 2������‬‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة‬ ‫=‬ ‫�‬ ‫�‪������������‬‬ ‫×‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫�‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة‬ ‫=‬ ‫�‬ ‫�‪������������‬‬ ‫×‬ ‫‪2������‬‬ ‫�‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة‬ ‫=‬ ‫�‬ ‫�‪������������‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫�‬ ‫وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻘﯿﺎم ﺑﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ‪ ،‬ﺗﻮ ّﺿﺢ اﻟﻘﺎﻧﻮن ﺑﻄﺮﯾﻘﺔ ﻋﻤﻠﯿّﺔ‪ ،‬وﺗﺒﯿّﻦ ﻋﻼﻗﺔ ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﺑﺎﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻋﻦ طﺮﯾﻖ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﺘﻢ اﺗﺒﺎﻋﮭﺎ‪ ،‬واﻟﺘﻲ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﮭﺎ ﯾﺘﻢ اﻟﻮﺻﻮل ﻟﻘﺎﻧﻮن ﺣﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﺑﻤﻨﺘﮭﻰ‬ ‫اﻟﻤﺮوﻧﺔ واﻟﺒﺴﺎطﺔ‪ ،‬واﻟﺨﻄﻮات ھﻲ‪:‬‬ ‫إﺣﻀﺎر ُﻣﺠ ّﺴﻢ أﺳﻄﻮاﻧﻲ وﻛﺮة ﻣﻔﺮﻏﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ أ ّن ارﺗﻔﺎع اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = ‪ 2‬ﻧﻖ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﻮﺟﻮدة‬ ‫)ﺿﻌﻔﻲ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮة(‪ ،‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮة = ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻘﺴﯿﻢ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﻔﺮﻏﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ إﻟﻰ ﻧﺼﻔﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ ﺗﻤﺎﻣﺎً‪.‬‬ ‫إﺣﻀﺎر ﻛﻤﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﻣﻞ واﻟﺒﺪء ﺑﺘﻌﺒﺌﺔ اﻟﺮﻣﻞ ﻓﻲ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة‪ ،‬وإﻓﺮاغ ﻛﻤﯿﺔ اﻟﺮﻣﻞ ﻓﻲ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ‪ ،‬وإﻋﺎدة ھﺬه‬ ‫اﻟﺨﻄﻮة ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﻞ ﺑﺸﻜﻞ ﻛﺎﻣﻞ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ إﻧﮭﺎء ھﺬه اﻟﺨﻄﻮة ﺳﯿﺘﻢ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج ﺑﺄ ّن اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻣﺘﻸت ﺑﻌﺪ ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﻦ ﻣﻠﺊ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة؛ أي أ ّن‬ ‫اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﺣﺘﺎﺟﺖ إﻟﻰ ﺛﻼﺛﺔ أﺿﻌﺎف ﻛﻤﯿﺔ اﻟﺮﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻮدة ﺑﻨﺼﻒ اﻟﻜﺮة ﺣﺘﻰ ﺗﻤﺘﻠﺊ‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=Qcx18Gzccf‬‬ ‫‪A&list=PLmDMx5QvmddmrQr4-ttbO_tVU-‬‬ ‫‪7qf4LbF&index=11‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﻣﺮ�ﻢ��ﻮﺛﺮ�‬ ‫‪17‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﳌﺎذا�ﻣ���ﻨﺔ�ﻓﻴﺘﺎﻏﻮرس���ﻴﺤﺔ�و�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴ��ﺎ��؟‬ ‫ﻟﻣﺣﺔ ﺗﺎرﯾﺧﯾﺔ ﻋن اﻟﻧظرﯾﺔ و أھﻣﯾﺗﮭﺎ ‪:‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻘد اﻟﺑﻌض أن أول ﻣن اﺳﺗﺧدم ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ھو اﻟﻌﺎﻟم ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻧﻔﺳﮫ‪ ،‬ﻟﻛن اﻟوﺛﺎﺋﻖ اﻟﺗﺎرﯾﺧﯾﺔ ﺗﺷﯾر‬ ‫إﻟﻰ اﺳﺗﺧدام ﻣﺛﻠﺛﺎت ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﺄﺿﻼع أطواﻟﮭﺎ أﻋداد ﺻﺣﯾﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺻور اﻟﺣﺟرﯾﺔ‪ ،‬وﻟﻠﻣﻔﺎرﻗﺔ ﺗم ﺗﺄﻛﯾد‬ ‫اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻋﻧد اﻟﺑﺎﺑﻠﯾﯾن ﻗﺑل ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﺑﺄﻛﺛر ﻣن ‪ 1000‬ﺳﻧﺔ أي ﺣواﻟﻲ ﺳﻧﺔ ‪ 1800‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد‪.‬‬ ‫ﻛﻣﺎ أن اﻟﻣﺻرﯾﯾن اﻟﻘدﻣﺎء ﻛﺎﻧوا ﯾﺳﺗﺧدﻣون ﺣﺑﺎﻻً ذات ﺛﻼث ﻋﺷرة ﻋﻘدة أﺛﻧﺎء ﻋﻣﻠﯾﺎت اﻟﺑﻧﺎء وﺗﻘﺳﯾم‬ ‫اﻷراﺿﻲ اﻟزراﻋﯾﺔ ﺑﻐﯾﺔ اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن اﻟﻣﺳﺎﻓﺎت اﻹﺛﻧﺗﻲ ﻋﺷرة اﻟﻣوﺟودة ﺑﯾن اﻟﻌﻘد ﻓﻲ إﻧﺷﺎء ﻣﺛﻠث ﻗﺎﺋم‬ ‫أطوال أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺛل ) ‪ 5‬و ‪ 4‬و ‪ ( 3‬وﯾﺣﻘﻖ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس وﺗﻣت ﺗﺳﻣﯾﺗﮫ ﺑﺎﻟﻣﺛﻠث اﻟذھﺑﻲ وﻟﻛن ﻟم ﯾﺗم‬ ‫ﺗﻌﻣﯾم ھذه اﻟﻧظرﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ‪.‬‬ ‫وﯾﻌود اﻟﻔﺿل ﻓﻲ إﺛﺑﺎت ھذه اﻟﻧظرﯾﺔ ﺑﺷﻛل ﺗﺟرﯾﺑﻲ وﺗﻌﻣﯾﻣﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ذات اﻷطوال‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ إﻟﻰ اﻟﻌﺎﻟم ﻓﯾﺛﺎﻏورس اﻟذي وﻟد ﻓﻲ اﻟﯾوﻧﺎن ﻓﻲ ﺟزﯾرة ﺳﺎﻣوس ﻓﻲ ﺑﺣر إﯾﺟﮫ وذﻟك ﻋﺎم ‪ 569‬ﻗﺑل‬ ‫اﻟﻣﯾﻼد‪..‬‬ ‫وﻛﺎﻧت ﺟزﯾرة ﺳﺎﻣوس إﺣدى أھم اﻟﻣراﻛز اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ واﻟﺛﻘﺎﻓﯾﺔ ﻓﻲ ذﻟك اﻟوﻗت‪ ،‬ﻣﻣﺎ أﺗﺎح ﻟﻔﯾﺛﺎﻏورس أن ﯾﻧﺷﺄ‬ ‫ﻓﻲ أﻓﺿل ظروف ﺗﻌﻠﯾﻣﯾﺔ ﻣﺗﺎﺣﺔ ﻓﻲ ذﻟك اﻟوﻗت ﺧﺎﺻﺔ أﻧﮫ اﺑن أﺣد أﻏﻧﯾﺎء اﻟﺟزﯾرة‪ ،‬وﺣﯾن ﺑﻠﻎ ﻓﯾﺛﺎﻏورس‬ ‫اﻟﺳﺎدﺳﺔ ﻋﺷر ﻣن ﻋﻣره ﺑدأ ﯾظﮭر ﻧﺑوﻏﮫ وﺗﻔوﻗﮫ ﺣﺗﻰ ﻋﺟز أﺳﺎﺗذﺗﮫ ﻋن اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌض أﺳﺋﻠﺗﮫ‪ ،‬ﻟذا اﻧﺗﻘل‬ ‫ﻟﻠدراﺳﺔ ﻋﻠﻰ ﯾد اﻷﺳﺗﺎذ طﺎﻟﯾس اﻟﻣﻠطﻲ‪ ،‬واﻟذي ﯾﻌد أول ﯾوﻧﺎﻧﻲ أﺟرى دراﺳﺔ ﻋﻣﻠﯾﺔ ﻟﻸﻋداد‪.‬‬ ‫ﻗﺎم ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻓﻲ ﺷﺑﺎﺑﮫ ﺑرﺣﻠﺔ إﻟﻰ ﺑﻼد ﻣﺎ ﺑﯾن اﻟﻧﮭرﯾن واﻟﺗﻲ ﺗﺗﺄﻟف ﺣﺎﻟﯾﺎً ﻣن ﺳورﯾﺎ واﻟﻌراق ﺛم ﻏﺎدرإﻟﻰ‬ ‫ﻣﺻر وأﻗﺎم ﻓﯾﮭﺎ ﻋدة ﺳﻧوات اطﻠﻊ ﻓﯾﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺑل ذو اﻟﺛﻼث ﻋﻘد واﺳﺗﻔﺎد ﻣن اﻟﻣﻌﺎرف اﻟذي اﻛﺗﺳﺑﮭﺎ‬ ‫اﻟﻣ ّﺳﺎﺣون اﻟﻣﺻرﯾون ﺣول ھذا اﻟﺣﺑل واﻟﻣﺛﻠث اﻟذھﺑﻲ اﻟذي ﯾﺷﻛﻠﮫ‪ ،‬وﺑﻌد ﺣواﻟﻲ ‪ 17‬ﺳﻧﺔ ﻣن اﻟﺗرﺣﺎل‬ ‫وطﻠب اﻟﻌﻠم ﺗﻣﻛن ﻓﯾﺛﺎﻏوراس ﻣن ﺟﻣﻊ واﻛﺗﺳﺎب أﻏﻠب اﻟﻣﻌﺎرف واﻟﻧظرﯾﺎت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ ﻣن ﻣﺧﺗﻠف‬ ‫اﻟﺣﺿﺎرات اﻟﻣﻌروﻓﺔ آﻧذاك‪.‬‬ ‫ﻋﺎد ﻓﯾﺛﺎﻏورس إﻟﻰ ﻣﺳﻘط رأﺳﮫ ﻓﻲ ﺟزﯾرة ﺳﺎﻣوس وﻣﺎ إن ﻟﺑث ﻓﯾﮭﺎ ﻗﻠﯾﻼً ﺣﺗﻰ اﺿطر إﻟﻰ ﻣﻐﺎدرﺗﮭﺎ ﺑﺳﺑب‬ ‫ﻣﻌﺎرﺿﺗﮫ ﻟﺳﯾﺎﺳﺔ ﺑوﻟﯾﻛراﺗس وﺗﻐﯾراﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﻧظﺎم اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﻲ اﻟﺗﻲ ﺟرت ﺣواﻟﻲ ﻋﺎم ‪ 520‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد‪،‬‬ ‫ﻟﯾﺳﺗﻘر ﺑﻌد ھذا ﻓﻲ ﻣدﯾﻧﺔ ﻛروﺗوﻧﻲ وھﻲ ﻣﺳﺗﻌﻣرة ﯾوﻧﺎﻧﯾﺔ ﻓﻲ ﺟﻧوب إﯾطﺎﻟﯾﺎ ﻟﯾﺗﻌرف إﻟﻰ أﺣد أﻏﻧﯾﺎء وأﻗوﯾﺎء‬ ‫ھذه اﻟﻣدﯾﻧﺔ واﻟﻣدﻋو ﻣﯾﻼن‪ ..‬واﻟذي ﺣﻘﻖ رﻗﻣﺎً ﻗﯾﺎﺳﯾﺎً ﺑﺗﺳﺟﯾﻠﮫ ‪ 12‬إﻧﺗﺻﺎراً ﻓﻲ اﻷﻟﻌﺎب اﻷوﻟوﻣﺑﯾﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﻛﺎﻧت ﺗﻌﻘد دورﯾﺎً ﻛل ﻋﺎم ﺑﻣﺷﺎرﻛﺔ ﻋدد ﻣن ﻣﻣﺛﻠﻲ ﻣدن اﻟﯾوﻧﺎن اﻟﻘدﯾﻣﺔ‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﯾﻼن ﻣوﻟﻌﺎً ﺑﺎﻟﻔﻠﺳﻔﺔ‬ ‫واﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت واﻟرﯾﺎﺿﺔ ﻓﻘﺎم ﺑﻣﺳﺎﻋدة ﻓﯾﺛﺎﻏورس ودﻋﻣﮫ ﻣﺎدﯾﺎً ﻟﯾﻛﻣل ﻣﺳﯾرﺗﮫ اﻟﻌﻠﻣﯾﺔ ﺣﺗﻰ أﻧﮫ وﺿﻊ ﻗﺳﻣﺎً‬ ‫ﻣن ﺑﯾﺗﮫ ﺗﺣت ﺗﺻرف ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻟﯾﻔﺗﺗﺢ ﻓﯾﮭﺎ ﻣدرﺳﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ‬ ‫‪18‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أھﻣﯾﺔ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻓﻲ اﻟﺑﻧﺎء‬ ‫ﺗﺳﻣﺢ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﺑﺣﺳﺎب طول اﻟﻘطر اﻟواﺻل ﺑﯾن ﺧطﯾّن ُﻣﺳﺗﻘﯾﻣﯾن؛ وﯾُﺳﺗﺧدم اﻟﺗطﺑﯾﻖ اﻟﻣرﻓﻖ ﻟﮭذه‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺗﻛرار ﻓﻲ اﻟﺑﻧﺎء واﻷﻋﻣﺎل اﻟﺧﺷﺑ ّﯾﺔ أو ﻣﺷﺎرﯾﻊ اﻷﺑﻧﯾﺔ اﻟﻣﺎد ّﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟ ّرﻏﺑﺔ‬ ‫ﺑﺑﻧﺎء ﺳطﺢ ﻣﺎﺋل ﯾُﻣﻛن ﺗوظﯾف اﻟ ّﻧظرﯾﺔ ﻹﯾﺟﺎد طول اﻟوﺗر ﻟﮭذا اﻟ ّﺳﻘف ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻣﺗﻼك اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻛﺎﻓﯾﺔ‬ ‫ﻟﻣﻌرﻓﺔ ارﺗﻔﺎع اﻟﺳﻘف وطول ﻏطﺎﺋﮫ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﯾُﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ھذه اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻟﻘطﻊ اﻟﻌﻣود اﻟ ّداﻋم ﻟﮭذا اﻟ ّﺳﻘف‬ ‫ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬أو ﺣﺳﺎب ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟ ّﺳﻘف اﻟذي ﯾﺣﺗﺎج ﻟﻸﻟواح اﻟﺧﺷﺑﯾّﺔ‪ [٧]،‬وﻗد ﻻ ﺗﻛون ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس‬ ‫ﻣﮭ ّﻣﺔ ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺟﺎل ﻟو ﻛﺎﻧت ﺟﻣﯾﻊ اﻷﺑﻧﯾﺔ ﺣول اﻟﻌﺎﻟم ﺗﺗﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﻣوازي ﻟﺧ ٍط ﻣﺎ أو اﻟﻌﻣود ّي‪ ،‬وﻟﻛن ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻘﯾﻘﺔ اﻷﻣر ﯾﺗم ﺑﻧﺎء اﻟﺟدران اﻟﺣﻘﯾﻘ ّﯾﺔ وأﻧواع اﻷﺑﻧﯾﺔ اﻷﺧرى ﻣﻊ ﻗﻠﯾ ًﻼ ﻣن اﻟزواﯾﺎ؛ أي أﻧّﮭﺎ ﻟﯾﺳت ﻣوازﯾّﺔ أو‬ ‫ﻋﻣودﯾﺔ ﻟﺧ ٍط ﻣﺎ‪ ،‬وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻻ ﺑُد ﻣن اﺳﺗﺧدام اﻟﻧظرﯾﺔ‪.‬‬ ‫أھﻣﯾﺔ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻓﻲ اﻟﻣﻼﺣﺔ‬ ‫ﺗﺳﮭم ھذه اﻟﻧظرﯾﺔ ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﻣﻼﺣﺔ أو اﻟﺗﻧ ّﻘل ﺑﯾن ﻣﺳﺎﻓﺗﯾن ﻓﻲ اﻟﻧظﺎم ﺛﻧﺎﺋ ّﻲ اﻷﺑﻌﺎد؛ ﺣﯾث ﯾُﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب أﻗﺻر ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ ﺑﯾن ﻧﻘطﺗﯾن‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﺷﺧص ﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﺣر ﻋﻠﻰ ﻣﺗن ﺳﻔﯾﻧﺔ واﻟ ّرﻏﺑﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟوﺻول إﻟﻰ ﻧﻘطﺔ ﺗﺑﻌد ‪ 300‬ﻣﯾ ًﻼ ﻋن اﻟﺟﮭﺔ اﻟﺷﻣﺎﻟﯾّﺔ و‪ 400‬ﻣﯾ ًﻼ ﻋن اﻟﺟﮭﺔ اﻟﻐرﺑ ّﯾﺔ ﻓﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام‬ ‫اﻟﻧظر ّﯾﺔ ﻟﻠﺗﻣ ّﻛن ﻣن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺑﯾن اﻟﺳﻔﯾﻧﺔ وﺗﻠك اﻟﻧﻘطﺔ وأﯾ ًﺿﺎ ﺣﺳﺎب درﺟﺎت اﻟ ّزاوﯾﺔ اﻟﻼزم‬ ‫ﻣﻌرﻓﺗﮭﺎ ﻟﻠﺗﻣ ّﻛن ﻣن اﻟوﺻول إﻟﯾﮭﺎ‪ ،‬وذﻟك ﻋن طرﯾﻖ اﻟﺗﺻ ّور ﺑﺄ ّن اﻟﻣﺳﺎﻓﺎت ﻟﻠﺷﻣﺎل واﻟﻐرب ھﻲ إﺣدى‬ ‫ﺟﮭﺎت اﻟﻣﺛﻠث وإ ّن أﻗﺻر ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻟﻠوﺻول ھﻲ ﻗطر اﻟﻣﺛﻠث‪ ،‬وﯾُﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ھذا اﻟﻣﺑدأ ﻓﻲ اﻟﻣﻼﺣﺔ اﻟﺟو ّﯾﺔ‬ ‫أﯾ ًﺿﺎ؛ ﺣﯾث ﯾُﻣﻛن أن ﺗﺳﺗﺧدم اﻟطﺎﺋرات ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ﻋن ﺳطﺢ اﻷرض واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾﻧﮭﺎ وﺑﯾن ﺟﮭﺔ اﻟوﺻول ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻣطﺎر ﻟﻠﺗﻣ ّﻛن ﻣن ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﻼﺣﺔ إﻟﻰ اﻟﻧﻘطﺔ اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻣطﺎر‬ ‫أھﻣﯾﺔ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻓﻲ ﻣﺳﺢ اﻷراﺿﻲ‬ ‫ﯾُﺷﯾر ﻣﻔﮭوم ﻣﺳﺢ اﻷراﺿﻲ إﻟﻰ اﻟﻌﻣﻠﯾّﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘوم ﺑﮭﺎ رﺳﺎﻣو اﻟﺧراﺋط ﻟﻠﺗﻣ ّﻛن ﻣن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺳﺎﻓﺎت‬ ‫واﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟرﻗﻣ ّﯾﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺑﯾن ﻧﻘﺎ ٍط ﻣﺧﺗﻠﻔ ٍﺔ ﻗﺑل اﻟﺑدء ﻓﻲ رﺳم اﻟﺧرﯾطﺔ‪ ،‬وﯾﻠﺟﺄ اﻟرﺳﺎﻣون ﻹﯾﺟﺎد اﻟطرق‬ ‫اﻟﺗﻲ ﺗﺟﻌل اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت اﻟﺧﺎ ّﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺳﺎﻓﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻧظﺎم ﻣﻌﯾّن ﺑﺳﺑب ﻋدم ﺗﺳﺎوي اﻟﺗّﺿﺎرﯾس ﻓﻲ أﻏﻠب‬ ‫اﻷوﻗﺎت‪ ،‬وﺗُﺳﺗﺧدم اﻟﻧظرﯾّﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣدارات اﻟﺧﺎ ّﺻﺔ ﺑﻣﯾﻼن اﻟﮭﺿﺎب أو اﻟﺟﺑﺎل؛ ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم اﻟرﺳﺎﻣون‬ ‫اﻟﻣﻘراب ﻟﻠﻧظر إﻟﻰ ﻋﺻﺎ اﻟﻘﯾﺎس اﻟواﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﻓﺔ ﺛﺎﺑﺗﺔ ﺑﺣﯾث ﯾُﺷ ّﻛل ﺧط رؤﯾﺔ اﻟﻣﻘراب وﻋﺻﺎ اﻟﻘﯾﺎس‬ ‫زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻣﺔ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗّﺎﻟﻲ ﯾﺗﻣﻛﻧون ﻣن ﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﯾل اﻟﺗﻲ ﺗُﻐ ّطﻲ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺛ ّم ﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣدار ﻧﺗﯾﺟﺔً ﻟﻠﻣﻌطﯾﺎت‬ ‫اﻟﻣوﺟودة وھﻲ ارﺗﻔﺎع ﻋﺻﺎ اﻟﻘﯾﺎس واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻷﻓﻘﯾّﺔ ﻟﮭذه اﻟﻌﺻﺎ ﻣن اﻟﻣﻘراب اﻟﻣﺳﺗﺧدم؛ اﻷﻣر اﻟذي ﯾُﻣ ّﻛن‬ ‫اﺳﺗﺧدام ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻧظر ّﯾﺔ ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻟﺻﺣﯾﺢ وﺗطﺑﯾﻖ اﻷرﻗﺎم اﻟﻣوﺟودة‬ ‫أھﻣﯾﺔ ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﻓﻲ وﺳﺎﺋل اﻟ ّﻧﻘل‬ ‫ﺗﺳﮭم اﻟﻧظر ّﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻣ ّﻛن ﻣن إﯾﺟﺎد طول اﻟوﺗر أو اﻟﺟﮭﺔ اﻷطول ﻣن اﻟﻣﺛﻠث ﻗﺎﺋم اﻟ ّزاوﯾﺔ‪ ،‬اﻷﻣر اﻟذي ﯾُﻌ ّد ﻓﻲ‬ ‫ﻏﺎﯾﺔ اﻷھﻣﯾﺔ ﻓﻲ ھﺑوط اﻟطﺎﺋرات؛ ﺣﯾث ﺗُﻣﻛﻧﻧﺎ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺧﺎ ّﺻﺔ ﺑﺎﻟﻧظر ّﯾﺔ ﻣن ﺣﺳﺎب أو ﺗو ّﻗﻊ اﻟ ّدرﺟﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺳﺗﮭﺑط ﻋﻧدھﺎ اﻟطﺎﺋرات‪ ،‬وﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﻣﺳﺎھﻣﺔ اﻟﻧظر ّﯾﺔ ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟطﯾران ﻓﺈﻧّﮭﺎ ﺗﻌ ّد ﻣﮭ ّﻣﺔ أﯾ ًﺿﺎ ﻟﺣﺳﺎب‬ ‫‪19‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺣﺑﺎل اﻟﻼزﻣﺔ ﻟرﺑط اﻟﻌرﺑﺎت اﻟﻣﺗﻧﻘّﻠﺔ ﻣن اﻟﻧﻘطﺔ أ إﻟﻰ اﻟﻧﻘطﺔ ب‪ ،‬ﻛﻣﺎ أ ّﻧﮭﺎ ﺗﺳﮭم ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎﻓظﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻷرواح ﻧﺗﯾﺟﺔً ﻟﻘدرﺗﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻧﻊ اﻟﮭﯾﺎﻛل ﻣن اﻻﻧﮭﯾﺎر ﻋن طرﯾﻖ ﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺗر وﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺣﺑﺎل‬ ‫اﻟﻼزم اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻟﻧﻘل اﻟﮭﯾﺎﻛل ﻓﻲ اﻟﺷﺎﺣﻧﺎت ﻣن إﺣدى اﻟ ّﻧﻘﺎط إﻟﻰ اﻷﺧرى دون أن ﺗﻧﮭﺎر أﺛﻧﺎء ﻋﻣﻠ ّﯾﺔ اﻟﻧﻘل‪،‬‬ ‫وﺧﺎ ّﺻﺔً إذا ﻛﺎﻧت ھذه اﻟﮭﯾﺎﻛل ﺿﺧﻣﺔ اﻟﺑﻧﯾﺔ؛ ﺣﯾث إ ّن ﻋدم ﺗﺣ ّري اﻟ ّدﻗﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻠﮭﺎ ُﺳﺳﺑب ﺣدوث اﻟﻌدﯾد ﻣن‬ ‫اﻹﺻﺎﺑﺎت واﻟﺿﺣﺎﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﻛﯿﻔﻒ اﺛﺒﺖ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﺻﺤﺔ ﻧﻈﺮﯾﺘﮫ؟‬ ‫ﻻﺣﻆ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس أن ﻋﺪد ﻛﺒﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺗﺘﺄﻟﻒ ﻣﻦ أﺿﻼع أطﻮاﻟﮭﺎ ‪ 3‬و ‪ 4‬و ‪ 5‬أو ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺗﮭﺎ ﻛﻤﺜﻞ‬ ‫‪ 6‬و ‪ 8‬و ‪ 10‬وﻣﺜﻞ ‪ 9‬و ‪ 12‬و ‪ 15‬إﻟﺦ‪ ،‬وﻣﻦ ھﻨﺎ وﺿﻊ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس أول طﺮح ﻟﻨﻈﺮﯾﺘﮫ وھﻮ أن أطﻮال‬ ‫‪.‬أﺿﻼع أي ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ھﻲ ‪ 3‬و ‪ 4‬و ‪ 5‬أو ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺗﮭﺎ‬ ‫اﺳﺗﻧﺗﺞ ﻓﯾﺛﺎﻏورس أن ﻣرﺑﻊ طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻛﺑﯾرة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠزاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺛﻠث ذو أطوال اﻷﺿﻼع ‪ 3‬و‬ ‫‪ 4‬و ‪ 5‬ﺗﺳﺎوي ‪ 25‬وھو ﻧﻔس اﻟﻌدد اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋن ﺟﻣﻊ ﻣرﺑﻌﻲ طوﻟﻲ اﻟﺿﻠﻌﯾن اﻟﺑﺎﻗﯾﺗﯾن أي أن ‪25= 16 + 9‬‬ ‫ﻋﻛس ﻧظرﯾﺔ ﻓﻔﯾﺛﺎﻏورس‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس‪:‬‬ ‫ﻣرﺑﻊ اﻟوﺗر = ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﻲ ﺿﻠﻌﻲ اﻟﻘﺎﺋم‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=_4yKY9VJiW8‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﳌﻰ�اﻷزوري�‬ ‫‪20‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ�اﳌﻘﺼﻮد�ﺑﺎﳌﺎﻻ��ﺎﻳﺔ��؟‬ ‫ﻣﺎ اﻟﻣﻘﺻود ﺑﺎﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ؟‬ ‫ھو ﻣﻔﮭوم ﯾدل ﻋﻠﻰ \"ﻣﺎ ﻻ ﺣدود ﻟﮫ \" و \" اﻟﻼﻣﻧﺗﮭﻲ\" أو \"ﻏﯾر اﻟﻣﺣدود\" وھذ اﻟﻣﻔﮭوم ﺣﯾر اﻟﻌﻠﻣﺎء و‬ ‫اﻟﻔﻼﺳﻔﺔ ﻣﻧذ ﻗدﯾم اﻟزﻣﺎن ‪ ،‬وﻗد ﯾﻌود اﻟﺳﺑب ﻟﻛوﻧﮫ ﻣﻔﮭوم ﺻﻌب اﻟﻌﺛور ﻋﻠﯾﮫ ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة اﻟواﻗﻌﯾﺔ ﺑﺳﮭوﻟﺔ ‪،‬‬ ‫وﻟﻛن أﺻﺑﺢ ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﻣن اﻟﻣﺳﻠﻣﺎت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ و اﻟﻔﻠﺳﻔﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻌﻠ ًﯾﺎ‪ ،‬ﻧﺣﻣل ﺟﻣﯾﻌﻧﺎ ﻓﻛرة ﻋن ﻣﺎھﯾﺔ اﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬إﻧﮭﺎ ﺻﻔﺔ ﻟﻸﺷﯾﺎء ﻏﯾر اﻟﻣﻧﺗﮭﯾﺔ‪ ،‬ﻛون ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ‪ ،‬أو ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻻ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬ﻛﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ ‪ ... ،4 ،3 ،2 ،1‬ﻻ ﯾﮭم ﻣﺎ ﻣدى ﻋدك‪ ،‬ﻓﺄﻧت ﻟن ﺗﺻل ﻟﻠﻧﮭﺎﯾﺔ أﺑ ًدا‪ ،‬ﻛﻣﺎ‬ ‫أﻧﮫ ﻣن اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أن ﺗﺻل إﻟﻰ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻛون ﺣﺗﻰ ﻟو ﺳﺎﻓرت ﺑواﺳطﺔ أﺳرع ﻣرﻛﺑﺔ ﻓﺿﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬وھذا اﻟﻧوع ﻣن‬ ‫اﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺎت ھو ﻣﺎ ﺳ ّﻣﺎه اﻟﻌﺎﻟم اﻟرﯾﺎﺿﻲ اﻹﻏرﯾﻘﻲ أرﺳطو )‪ (Aristotle‬ﺑﺎﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‪ :‬ھذه اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ‬ ‫ﻣوﺟودة ﻓﻌ ًﻼ‪ ،‬ﻟﻛن ﻣن اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أن ﺗﺻل إﻟﯾﮫ ‪.‬‬ ‫وأ ّول ﻣن اﺳﺗﻌﻣل اﻟرﻣز اﻟﻣﻌروف اﻵن )∞( ﻟﮭذا اﻟﺗﻌﺑﯾر‪ ،‬ﻛﺎن ﺟون واﻟﯾس ﺳﻧﺔ ‪ . 1655‬وﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪،‬‬ ‫اﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﻌدد ﺗﻘﺎس ﺑﮫ ﻛﻣﯾﺔ ﻏﯾر ﻣﺣدودة‪ ،‬وﺑرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟﺣرف )∞(‪ .‬وھو ﻛﯾﺎن ﻣﺧﺗﻠف ﻋن أي‬ ‫ﻛﯾﺎن ﻋددي آﺧر ﻓﻲ ﺧﺎﺻﯾﺎﺗﮫ وﺳﻠوﻛﮫ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ﯾﺑﺳط اﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﻓﻲ اﻟواﻗﻊ ‪:‬‬ ‫اﻓﺗرض أن ﻓﯾﺻل ﯾرﯾد أن ﯾﻠﺣﻖ ﺑﺣﺎﻓﻠﺔ ﻣﺗوﻗﻔﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌد ‪ 1‬ﻣﺗر ﻣﻧﮫ‪ .‬ﻗﺑل أن ﯾﺳﺗطﯾﻊ اﻟوﺻول إﻟﻰ ھﻧﺎك‪،‬‬ ‫ﻓﻌﻠﯾﮫ أن ﯾﺻل إﻟﻰ ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ) واﺣد ﻋﻠﻰ اﺛﻧﺎن ( ‪ .‬وﻗﺑل أن ﯾﺳﺗطﯾﻊ اﻟوﺻول ﻟﻣﻧﺗﺻف اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ‪،‬‬ ‫ﻋﻠﯾﮫ أن ﯾﺻل إﻟﻰ رﺑﻊ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ‪ .‬وﻗﺑل اﻟوﺻول إﻟﻰ رﺑﻊ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ) واﺣد ﻋﻠﻰ أرﺑﻌﺔ ( ‪ ،‬ﻋﻠﯾﮫ أن ﯾﺻل إﻟﻰ‬ ‫ﺛﻣن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ؛ وﻗﺑل اﻟﺛﻣن‪ ،‬واﺣد ﻋﻠﻰ ﺳﺗﺔ ﻋﺷر؛ وھﻛذا ﺳﺗﺳﺗﻣر اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﺎﻻﻧﻘﺳﺎم ﻟﻣرات ﻻ ﻣﺣدودة‪ ،‬ﻟذا‬ ‫ﺣﺗﻰ ﯾﺳﺗطﯾﻊ ﻓﯾﺻل ﻗطﻊ ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻣﺗر واﺣد ﯾﺟب ﻋﻠﯾﮫ ﻗطﻊ ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ .‬وھذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻌد‬ ‫اﻷﺑﺳط و اﻷﺳﮭل ﻋﻠﻰ اﻻطﻼق‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﺣول رﻣز إﻧﻔﻧﺗﻲ”‪“Infinity‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻌﻧﻰ “إﻧﻔﻧﺗﻲ” أو اﻟﻼ ﻧﮭﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬ﻓﮭﻲ ﺗﻌﻧﻲ اﻟﻌدد اﻟﻐﯾر ﻣﻧﺗﮭﻲ ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‪ ،‬أو ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﯾزﯾﺎء ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺗم وﺻف ﻛﻣﯾﺔ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻟﮭﺎ‪ ،‬وھﻲ ﻛﻠﻣﺔ ﺗم اﺷﺗﻘﺎﻗﮭﺎ ﻣن اﻟﻼﺗﯾﻧﯾﺔ ”‪ “infinitas‬واﻟﺗﻲ ﺗﻌﻧﻲ‬ ‫“اﻟﻼ ﻣﺣدود‪”.‬‬ ‫ﻣﺎ ھو رﻣز إﻧﻔﻧﺗﻲ؟‬ ‫رﻣز إﻧﻔﻧﺗﻲ ھو “∞”‪ ،‬وﯾُطﻠَﻖ ﻋﻠﯾﮫ اﺳﻣﮫ اﻟﺧﺎص وھو “‪ ،”lemniscate‬وﻗد ﺗم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻷول ﻣ ّرة ﻣن‬ ‫ﻗِﺑل ﻋﺎ ِﻟم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻹﻧﺟﻠﯾزي ‪ ،John Wallis‬وھﻧﺎك ﻣﻘوﻟﺔ ﺗر ّﺟﺢ اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﮫ ُﻣﺳﺗو َﺣﻰ ﻣن اﻟرﻗم‬ ‫‪ 1000‬واﻟذي ﻛﺎن ﻋﺎدةً ﻣﺎ ﯾﺗم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻛﺛرة ﻓﻲ اﻟروﻣﺎﻧﯾّﺔ‬ ‫‪21‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﺧواص اﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ) رﯾﺎﺿﯾًﺎ ( ‪:‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺟﻣﻊ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺗﯾن ﻣوﺟﺑﺗﯾن أو أﻛﺛر ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣوﺟﺑﺔ∞ = ∞ ‪: ∞ +‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺟﻣﻊ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺗﯾن ﺳﺎﻟﺑﺗﯾن أو أﻛﺛر ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ∞‪: -∞ + -∞ = -‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺿرب ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺗﯾن ﻣوﺟﺑﺗﯾن أو أﻛﺛر ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣوﺟﺑﺔ∞ = ∞ × ∞ ‪:‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺿرب ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣوﺟﺑﺔ ﻓﻲ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ∞‪: -∞ × ∞ = -‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺿرب ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﻲ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣوﺟﺑﺔ∞ = ∞‪: -∞ × -‬‬ ‫ﺣﺎﺻل ﺿرب ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ وﻋدد ﻻ ﺻﻔري ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ‪ × ∞ :‬أ∞ =‬ ‫ﺣﺎﺻل ﻗﺳﻣﺔ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻻ ﺻﻔري ﯾﺳﺎوي ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ÷ ∞ :‬أ∞ =‬ ‫ﺣﺎﺻل ﻗﺳﻣﺔ ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻋﻠﻰ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر )ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﻧﮭﺎﯾﺎت ﻓﻘط( ‪ :‬أ ÷ ∞ = ‪0‬‬ ‫اﺳﺗﺧداﻣﺎت اﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ ) رﯾﺎﺿﯾًﺎ ( ‪:‬‬ ‫اﻟرﻣز أو اﻟﺣرف اﻟﻣﻌﺑر ﻋن ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬ﯾﺳﺗﺧدم ﺑﺷﻛل ﺧﺎص ﻓﻲ‪:‬‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‬ ‫أﻋداد أﻟﯾف ‪ -‬ﻣﻔﺎرﻗﺔ راﺳل ‪ -‬اﻷﻋداد اﻟﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ اﻟﻛﺑﯾرة ‪Large Cardinal‬‬ ‫اﻟﺻﻔوف ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺎت ‪.‬‬ ‫ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻧﮭﺎﯾﺔ‪-‬دﯾدﯾﻛﺎﯾﻧد‪Dedekind-infinite‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=C8eSD4XGdZU‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬اﺑ�ﺴﺎم�اﻟﻌ�ﺴﺎ�ﻲ�‬ ‫‪22‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ��ﻮ�ﻋﺪد�أو�ﻠﺮ��؟‬ ‫ﻋدد أوﯾﻠر‪:‬‬ ‫ھو ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻏﯾر ﺟذري وﻏﯾر ﻧﺳﺑﻲ ﯾﺳﺎوي ‪ 2.718‬ﯾﺣﻣل أھﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت واﻟﻔﯾزﯾﺎء‪ .‬ﯾﺳﻣﻰ‬ ‫ﺑﻌدد أوﯾﻠر ﻧﺳﺑﺔً إﻟﻰ اﻟﻌﺎﻟم ﻟﯾوﻧﮭﺎرد أوﯾﻠر ‪ ،‬وﯾطﻠﻖ ﻋﻠﯾﮫ أﯾ ًﺿﺎ اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ﻧﺳﺑﺔً إﻟﻰ اﻟﻌﺎﻟم ﺟون ﻧﯾﺑﯾر‪.‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺛﯾ ًرا ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﻣﻌﻘدة اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻧﻣو‪ .‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﻟﻛوﻧﮫ أﺳﺎس اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﺎت اﻟطﺑﯾﻌﯾّﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗظﮭر ﺧﻼل دراﺳﺔ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪ .‬ﻛذﻟك ﯾﻣﺛل أﻋﻠﻰ ﻧﺳﺑﺔ ﻓﺎﺋدة ﻣﺎﻟﯾﺔ ‪ ،‬ﻟذﻟك ﯾﺳﺗﺧدم ﻓﻲ اﻟﺗﺟﺎرة‬ ‫واﻻﻗﺗﺻﺎد‪.‬‬ ‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻋدد أوﯾﻠر ﻣن ﺧﻼل طرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻘد اﻟﻛﺛﯾر ﺑﺄن أﺻل اﻟﻌدد ﻣﺟﮭول ‪ ،‬وﻛذﻟك اﻟﺗﺳﻣﯾﺔ ‪ ،‬وﻟﻛن ﻋدد ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء ﻗد اﻗﺗرﺑوا ﻣن اﻛﺗﺷﺎﻓﮫ ﺑﻌدة‬ ‫طرق ‪ ،‬ﻓﻣﻧﮭم ﻣﺛ ًﻼ ﻣن اھﺗم ﺑﺎﻟﺟﺎﻧب اﻟﺑﻧﻛﻲ ﻣﻧﮫ واﻟذي ﯾﺧص اﻟﻔﺎﺋدة ‪ ،‬وﻣﻧﮭم ﻣن أﺳس اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗم اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪،‬‬ ‫وﻣﻧﮭم ﻣن ﺣﺳب اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‪ .‬وﻟﻛن ﯾﺗﻔﻖ اﻷﻏﻠب ﺑﺄن اﻟﻣﻛﺗﺷف ھو ﻟﯾوﻧﮭﺎرد أوﯾﻠر‪.‬‬ ‫اﻛﺗﺷﺎف اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ‪:‬‬ ‫ﺑدأت ﻓﻛرة اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ﻋﺎم ‪1618‬م ﻋﻧدﻣﺎ وﺿﻊ اﻟﻌﺎﻟم ﻧﺎﺑﯾر ﺟدوﻻً ﯾو ّﺿﺢ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﺎت اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﻋداد‪ ،‬ﻋﻠﻰ اﻟرﻏم ﻣن ﻋدم ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻠوﻏرﯾﺗﻣﺎت ﻗدﯾﻣﺎً واﻟﺗﻔﻛﯾر ﺑﮭﺎ ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﻣﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠوﻗت‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﻲ‪ ،‬وﻓﻌﻠﯾﺎً ﺑدأ اﻟﻌﻠﻣﺎء اﻟﺗو ّﺻل إﻟﻰ ﻣﻔﮭوم اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ﻋﻧدﻣﺎ ﺣﺳب ﺳﺎﻧت ﻓﻧﺳﻧت ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫اﻟواﻗﻌﺔ أﺳﻔل اﻟﻘطﻊ اﻟزاﺋد اﻟﻘﺎﺋم‪ ،‬إﻻ أﻧﮫ ﻟم ﯾﺗوﺻل إﻟﻰ ﻣﻔﮭوم اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑري ﺑﺷﻛل ﺻرﯾﺢ‪ ،‬وﻓﻲ ﻋﺎم‬ ‫‪1961‬م ﻓﮭم ھﯾﺟﻧز )‪ (Huygens‬اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﺎت‪ ،‬واﻟﻘطﻊ اﻟزاﺋد اﻟﻘﺎﺋم‪ ،‬ﺣﯾث و ّﺿﺢ أن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ‬ ‫أﺳﻔل اﻟﻘطﻊ اﻟزاﺋد ﻓﻲ اﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗراوح ﺑﯾن ‪ 1‬إﻟﻰ ھـ‪ ،‬ﺗﻌﺎدل اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ ،1‬وھﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﻟﺗﻲ ﺟﻌﻠت ﻣن‬ ‫اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري أﺳﺎس اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗم اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﯾﻣﺎ ﺑﻌد‪ ،‬واﻟﺗﻲ ﻟم ﯾﺗوﺻل إﻟﯾﮭﺎ اﻟﻌﻠﻣﺎء ﻓﻲ ذﻟك اﻟوﻗت‬ ‫ﻓﻲ ﻋﺎم ‪1668‬م اﺳﺗﺧدم ﻧﯾﻛوﻻس ﻣرﻛﺎﺗور )‪ (Nicolaus Mercator‬ﻣﻔﮭوم اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗم اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻷول‬ ‫ﻣرة‪ ،‬وﻋ ّرﻓﮫ ﺑﺄ ّﻧﮫ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗم اﻟذي أﺳﺎﺳﮫ ھو اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري )ھـ(‪ ،‬وﻟﻛﻧﮫ وﻓﻲ اﻟوﻗت ﻧﻔﺳﮫ ﻓﺷل ﻓﻲ ﺗﺣدﯾد‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت ھـ‪ ،‬وﻓﻲ ﻋﺎم ‪1683‬م ﺣﺎول اﻟﻌﺎﻟم ﯾﺎﻛوب ﺑرﻧوﻟﻲ )‪ (Jacob Bernoulli‬ﺣ ّل ﻣﺳﺄﻟﺔ ﻣﺗﻌﻠﻘﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻔﺎﺋدة اﻟﻣرﻛﺑﺔ ﻛﻣﺎ ﺣﺎول ﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ ﻧﮭﺎﯾﺔ )‪/1)+1‬ن(ن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻘﺗرب ن ﻣن اﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬ﺑﺎﺳﺗﺧدم ﻣﺑرھﻧﺔ‬ ‫ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﺣد)‪ ، ( Binomial theorem‬ﻟﯾﺗوﺻل إﻟﻰ أ ّن ﻗﯾﻣﺔ ھذه اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ ﺗﺗراوح ﺑﯾن اﻟﻌددﯾن ‪ ،2‬و‪،3‬‬ ‫‪23‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫وھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ھـ‪ ،‬وﺑذﻟك ﯾظﮭر أ ّن ﺗﺣدﯾد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري )ھـ( ﻷول ﻣرة ﻟم ﺗﻛن ﻋن طرﯾﻖ‬ ‫اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﺎت‪ ،‬وإﻧﻣﺎ ﻋن طرﯾﻖ ﺣﺳﺎب اﻟﻔﺎﺋدة اﻟﻣر ّﻛﺑﺔ‬ ‫ظﮭر اﻟﺛﺎﺑت ھـ ﺑﻘﯾﻣﺗﮫ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻷول ﻣرة ﻋﺎم ‪1960‬م ﻋﻧدﻣﺎ ﻛﺗب اﻟﻌﺎﻟم ﻻﯾﺑﻧﺗز رﺳﺎﻟﺔ إﻟﻰ ھﯾﺟﻧز‪ ،‬وذﻛر‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﯾﻘﺔ ﻟﻠﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري ﻓﯾﮭﺎ‪ ،‬وﻟﻛﻧﮫ ﻟم ﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز )ھـ( أو )‪ (e‬ﺑﺎﻹﻧﺟﻠﯾزﯾﺔ‪ ،‬وإﻧﻣﺎ رﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز‬ ‫)‪ ،(b‬وﺑﻌد ذﻟك ﺗم اﺳﺗﺧدام اﻟرﻣز )‪ (e‬أو ھـ ﻟﻠﻌدد اﻟﻧﯾﺑري ﻷول ﻣرة ﻓﻲ رﺳﺎﻟﺔ ﻛﺗﺑﮭﺎ أوﯾﻠر إﻟﻰ ﻏوﻟدﺑﺎج‬ ‫ﻋﺎم ‪1731‬م‪ ،‬واﻟذي ﻗﺎم ﺑﻌد ذﻟك ﺑﺎﻟﻌدﯾد ﻣن اﻻﻛﺗﺷﺎﻓﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑﮫ ﺧﻼل اﻟﺳﻧوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪ ،‬وﻓﻲ ﻋﺎم‬ ‫‪1748‬م ﻧﺷر أوﯾﻠر ﺑﺣﺛﺎً ﻋﻠﻣﯾﺎً‪ ،‬واﺳﺗﻌرض ﻓﯾﮫ ﻣﻔﮭوم اﻟﻌدد اﻟﻧﯾﺑﯾري‪ ،‬وﻗﯾﻣﺗﮫ ﺑﺎﻟﺿﺑط؛ ﺣﯾث و ّﺿﺢ أ ّن ﻗﯾﻣﺗﮫ‬ ‫ﺗﺳﺎوي ﻗﯾﻣﺔ ﻧﮭﺎ )ن‪(1+1/‬ن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻘﺗرب ن ﻣن اﻟﻣﺎﻻﻧﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬وﻗ ّرب أوﯾﻠر ھذا اﻟﻌدد إﻟﻰ ‪ 18‬ﻣﻧزﻟﺔ ﻋﺷرﯾﺔ‪،‬‬ ‫ﻟﺗﻘدر ﻗﯾﻣﺗﮫ ﻣﻧذ ذﻟك اﻟوﻗت ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ‪2.718281828459045235 :‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=WD1_HixNQ44&t=116s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﺳﻤﺎء���ﻴ���‬ ‫‪24‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ����اﻟﺪوال�و�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴ��ﺎ���؟‬ ‫ﻣﺎھﻲ اﻟدوال ‪:‬‬ ‫ﺗﺗﻌدد اﻟﺗﻌرﯾﻔﺎت اﻟﺗﻲ ﺣددت ﻟﻠدوال ﻟﻛﻧﮭﺎ ﻛﻠﮭﺎ ﺗﺻب ﻓﻲ واد واﺣد وھو ان اﻟداﻟﺔ ﻛود رﯾﺎﺿﻲ ﯾﻣﺛل ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺗرﺑط ﺑﯾن ﻛل ﻋﻧﺻر ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ “‪ ”x‬ﺑﻌﻧﺻر واﺣد وواﺣد ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺛر ﻓﻲ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ “‪ ،”y‬ﺑﺣﯾث ﯾﺳﻣﻰ‬ ‫ﻛل ﺗﺎﺑﻊ ﻧطﺎق “‪ ، ”x‬و ﯾﺳﻣﻰ ﻛل ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺳﺗﻘر او ﻣراﻓﻖ “‪ ،”y‬وﻻ ﯾﻣﻛن ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣﻧطﻠﻖ ‪ x‬ان ﺗرﺗﺑط اﻻ‬ ‫ﺑﻌﻧﺻر وﺣﯾد ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣواﻓﻖ “‪ ، ”y‬ﻟﻛن ﯾﻣﻛن ان ﯾرﺗﺑط ﺑﻌﻧﺻر واﺣد ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘر “‪”y‬‬ ‫ﺑﻌﻧﺻر او اﻛﺛر ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻻﻧطﻼق “‪.”x‬‬ ‫ھﻧﺎك ﺣﺎﻻت ﻋدﯾدة ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ أن ﻧﻘول ﻓﯾﮭﺎ أن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻣﻌﯾن ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗﻐﯾر آﺧر‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﯾﻌﺗﻣد إﺟﻣﺎﻟﻲ اﻟﺳﻌر اﻟذي ﺳﺗدﻓﻌﮫ ﻟﻠﺗﻔﺎح اﻟذي ﯾُﺑﺎع ﺑﺳﻌر ‪ 15‬﷼‪/‬ﻛﺟم‪ ،‬ﻋﻠﻰ إﺟﻣﺎﻟﻲ‬ ‫وزن اﻟﺗﻔﺎح اﻟذي ﺳﺗﺷﺗرﯾﮫ‪ .‬ﯾﻣﻛن أن ﻧرﻣز ﻟوزن اﻟﺗﻔﺎح ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x‬واﻟﺳﻌر اﻟذي ﯾﺟب أن ﻧدﻓﻌﮫ ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر‪y.‬‬ ‫ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘول أن اﻟﺳﻌر ‪ y‬اﻟذي ﯾﺟب أن ﻧدﻓﻌﮫ ﻟﻠﺗﻔﺎح ھو داﻟﺔ ﻓﻲ وزن اﻟﺗﻔﺎح‬ ‫وﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﻛﺗﺎﺑﺔ ھذه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪������ = 15������‬‬ ‫ﺑﺷﻛل ﻋﺎم‪ ،‬اﻟداﻟﺔ ھﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺗﻌﻧﻲ أن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻣﻌﯾن ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗﻐﯾر آﺧر أو أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر‪ .‬ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل أﻋﻼه ﺗﻌﺗﻣد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ y‬ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x,‬وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ y‬أﻛﺑر ﻣن ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x‬ﺑــ ‪ 15‬ﻣرة‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن أن ﻧﻧظر اﻟﻰ اﻟداﻟﺔ ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ آﻟﺔ ﺗُدﺧل ﻓﯾﮭﺎ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ أﺣد ﻧﮭﺎﯾﺗﯾﮭﺎ وﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾر آﺧر ﻣن اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ اﻷﺧرى ﻟﻶﻟﺔ‪ .‬اﻟداﻟﺔ ھﻲ اﻟﺗﻲ ﺗﺣدد ﻣﺎ ﺗﻔﻌﻠﮫ \"اﻵﻟﺔ\" ﻣﻊ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟذي ﺗﺗﻠﻘﺎه‪.‬‬ ‫ھذه اﻟداﻟﺔ )اﻟﻘﺎﻋدة( ﺗﻧُص ﻋﻠﻰ أن ﻗﯾﻣﺔ ‪ y‬ﺳﺗﻛون أﻛﺑر ﻣن ﻗﯾﻣﺔ ‪ x‬ﺑــ ‪.2‬‬ ‫إذا وﺿﻌﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x=3‬ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ‪,‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ اﺳﺗﺑدﻟﻧﺎ ‪ x‬ﺑﺎﻟﻌدد ‪ 3‬ﻓﻲ ﺗﻌﺑﯾر اﻟداﻟﺔ‪ ,‬وﻣن ﺛم ﺳﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر‬ ‫‪ y‬ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪������ = ������ + 2 = 3 + 2 = 5‬‬ ‫‪25‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟدوال‬ ‫ﺗوﺟد اﻟدوال ﻓﻲ اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﺳﯾﺎﻗﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬وھﻧﺎ ﺑﻌض اﻷﻣﺛﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟدوال‪.‬‬ ‫اﻟراﺗب اﻟذي ﺗﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺳﺎرة ﻓﻲ ﻋﻣﻠﮭﺎ اﻹﺿﺎﻓﻲ ﺣﯾث ﺗﺗﻘﺎﺿﻰ أﺟرھﺎ ﺑﺎﻟﺳﺎﻋﺔ ﯾُﻌﺗﺑر داﻟﺔ ﻓﻲ ﻋدد‬ ‫اﻟﺳﺎﻋﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻌﻣﻠﮭﺎ‪ .‬ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر أن ﻣﺣﯾط اﻟداﺋرة داﻟﺔ ﻓﻲ ﻧﺻف ﻗطر اﻟداﺋرة‪.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﺳﻌر اﻟﺗﻔﺎح ﺑﺎﻟﻛﯾﻠو ﻓﺳﯾﻛون ﺳﻌر اﻟﺑﯾﻊ داﻟﺔ ﻓﻲ وزن اﻟﺗﻔﺎح‪.‬‬ ‫ارﺗﻔﺎع ﻗذﯾﻔﺔ اﻟﻣدﻓﻊ ﻋن اﻷرض ﻋﺑﺎرة ﻋن داﻟﺔ ﻓﻲ اﻟزﻣن اﻟﻣﻧﻘﺿﻲ ﻣﻧذ ﻟﺣظﺔ ﻗذﻓﮭﺎ ﻣن اﻟﻣدﻓﻊ‬ ‫ھل ﻛل ﻣﻌﺎدﻟﺔ داﻟﺔ؟‬ ‫ﻟﯾس ﻛل ﻣﻌﺎدﻟﺔ ھﻲ داﻟﺔ ﻷﻧﮫ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺷﺗراك ﻋﻧﺻر واﺣد ﻣن اﻟﻣدﺧﻼت ﺑﺄﻛﺛر ﻣن ﻋﻧﺻر ﻣن اﻟﻣﺧرﺟﺎت‬ ‫ﻧﺎﻓت ﺷروط اﻟدوال وأﺻﺑﺣت ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻘط‬ ‫ﻣﺎھﻲ ﺧﺻﺎﺋص اﻟدوال‪:‬‬ ‫ﺑﻌض اﻟدوال ﻗد ﯾﻛون أﻛﺛر ﻣن ﻋﻧﺻر ﻣن اﻟﻣدﺧﻼت ﯾرﺗﺑط ﺑﻌﻧﺻر ﻣن اﻟﻣﺧرﺟﺎت وﻟﯾس ﺑﺎﻟﻌﻛس‪ ،‬وﺗﻣﺛل‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ او ھﻧدﺳﯾﺎ أي ﺑﺎﻟرﺳم‪ .‬وﺗﻛﺗب اﻟدوال اﻣﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ‪ y= …X.‬ﺣﯾث ان ال ‪ y‬ھﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻌﺗﻣد‬ ‫ﻋﻠﻲ ﻗﯾم ‪ X‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ‪ X‬ھﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل او ﻋﻠﻰ ﺷﻛل )‪f(X‬‬ ‫ﻣﺎ اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺎل واﻟﻣدى‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل ھو اﻟذي ﯾﺣدد ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل اﻣﺎ اﻟﻣدى ﻓﮭﻲ ﺑﺑﺳﺎطﺔ ھﻲ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل )اﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل( ﺑطرﯾﻘﺔ أﺧرى ﻗﯾم ‪) X‬اﻟﻣدﺧﻼت( ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺟﺎل وﻗﯾم ‪) y‬اﻟﻣﺧرﺟﺎت( ﺗﻣﺛل اﻟﻣدى‬ ‫اھﻣﯾﺔ اﻟدوال‪:‬‬ ‫ﺗﻛﻣن أﺳﺎﺳﺎ ﻟﻌﻠوم أﺧرى ﻣﺛل اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪ ،‬وﻛذﻟك أﺷﯾﺎء ﻛﺛﯾرة ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة اﻟﺗﻲ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬ ‫وﻋﻼﻗﺗﮭﻣﺎ ﻣﻊ ﺑﻌض ﻛﻣﺛﺎل ﺗﺄﺛﯾر اﻟدواء ﻋﻠﻰ اﻟﻣرﺿﻰ‪.‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=WD1_HixNQ44&t=116s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﺟﻮﻧﺔ�ﺳ�ﺒﻞ��‬ ‫‪26‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ����اﳌﺘﺠ�ﺎت�و�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴ��ﺎ���‬ ‫؟‬ ‫وﺻﻔﻧﺎ ﻟﻠظواھر اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺋﺔ ﻣن ﺣوﻟﻧﺎ ﻟﮫ أھﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﻲ ﺗطور ﺣﯾﺎﺗﻧﺎ‪ .‬واﻟذي ﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ﻓﮭم ووﺻف‬ ‫ھذه اﻟظواھر ھو اﻟﻛﻣﯾﺎت ﻣﺛل‪ :‬اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ واﻹزاﺣﺔ أو اﻟﺳرﻋﺔ واﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ وﻏﯾرھﺎ ﻣن اﻟﻛﻣﯾﺎت‪.‬‬ ‫وھذه اﻟﻛﻣﯾﺎت ﯾﻣﻛن ﺗﺻﻧﯾﻔﮭﺎ إﻟﻰ ﻧوﻋﯾن ﻣن اﻟﻛﻣﯾﺎت‪ :‬اﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ واﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ‪ .‬وﯾﻛﻣن اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫اﻟﺟوھري ﺑﯾن ھذﯾن اﻟﻧوﻋﯾن ﻓﻲ ﻛون اﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ ھﻲ ﻛﻣﯾﺎت ﯾﺟب أن ﺗوﺻف ﺑﺎﻟﻣﻘدار واﻻﺗﺟﺎه‪ ،‬أﻣﺎ‬ ‫اﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ﻓﮭﻲ ﻛﻣﯾﺎت ﺗُوﺻف ﻓﻘط ﺑﺎﻟﻣﻘدار‪ ،‬وھذا اﻟﺗﺻﻧﯾف ﻟﻠﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن وﺻف‬ ‫ظواھر اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﺑدﻗﮫ ﻋﺎﻟﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻣﺛﻼً اﻟﻘوة ﺗﻌﺗﺑر ﻛﻣﯾﺔ ﻣﺗﺟﮭﺔ‪ ،‬وﻋﻧد وﺻف أي ﻗوة ﻣﺗﺳﺑﺑﺔ ﻓﻲ ظﺎھرة ﻣﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﺑدﻗﺔ ﻛﻘوة اﻟرﯾﺎح ﻧﺣﺗﺎج ﻟﺗﺣدﯾد ﻛﻼً ﻣن ﻣﻘدار ھذه اﻟﻘوة واﻻﺗﺟﺎه اﻟذي ﺗؤﺛر ﻓﯾﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ ‪ :‬ﻟﺷرح ﻣﻌﻧﻰ اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ ﺑﺷﻛل أﻋﻣﻖ ﻟﻧﺿرب ﻣﺛﺎل ﺑﺳﯾطﺎً‪ .‬ﻟﻧﻔﺗرض أﻧﮫ ﻣﻌﻠﻣك‬ ‫أﺧﺑرك ﻋن وﺟود ﺣﻘﯾﺑﺔ ﻣن اﻟذھب ﻋﻠﻰ ﺑﻌد ‪ ٢٠‬ﻣﺗر‪ ،‬ھذا ﺳﯾﺟﻌﻠك ﺗﻔﻛر ﺑﺎﻟﺑﺣث ﻋن اﻟﺣﻘﯾﺑﺔ‪ ،‬وﻟﻛن ﺳﺗدرك‬ ‫ﻋﻧد ﺗﻔﻛﯾرك ﻓﻲ اﻷﻣر أﻧك ﻻ ﺗﻣﻠك ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﺎﻓﯾﺔ ﺗﻣﻛﻧك ﻣن اﻟوﺻول إﻟﻰ ﻣوﻗﻊ اﻟﺣﻘﯾﺑﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﺄﻧت ﺑﺣﺎﺟﺔ إﻟﻰ ﻣﻌرﻓﺔ اﻹزاﺣﺔ؛ اﻟﺗﻲ ﺗﺑﯾن ﻟك ﻛﻼً ﻣن ﻣﻘدار اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ واﺗﺟﺎھﮭﺎ ﻟﻠوﺻول اﻟﻰ اﻟﺣﻘﯾﺑﺔ‪ .‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﻧﻔﺗرض أن ﻣﻌﻠﻣك اﺧﺑرك اﻧﮫ ﯾوﺟد ﺣﻘﯾﺑﺔ ذھب ﺧﺎرج اﻟﻔﺻل‪ ،‬وﻹﯾﺟﺎدھﺎ ﯾﺟب أن ﺗﺗﺣرك ﻣن‬ ‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺻل ﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ ٢٠‬ﻣﺗر ﺑﺎﺗﺟﺎه زاوﯾﺔ ﻣﻘدارھﺎ ‪ ٣٠‬درﺟﺔ ﻣن اﻟﺷﻣﺎل ﻟﻠﻐرﺑﻲ‪ .‬ﻋﻧدھﺎ ﺗﻛون ﻗد ُزوﯾد‬ ‫ﺑﻛﺎﻓﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧك ﻣن اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺣﻘﯾﺑﺔ ﻓﻛل ﻣﺎ ﻋﻠﯾك ھو اﻟﺗﺣرك ﻟﻠوﺻول اﻟﯾﮭﺎ‪ ،‬ﻓﺄﻧت ﺗﻌﻠم‬ ‫ﻛل اﻟﺗﻔﺎﺻﯾل ﻟﻣﺗﺟﮫ ازاﺣﺗك )اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ ٢٠‬ﻣﺗر واﻻﺗﺟﺎه ‪ ٣٠‬درﺟﺔ ﻣن اﻟﺷﻣﺎل اﻟﻐرﺑﻲ وﻧﻘطﺔ اﻟﺑداﯾﺔ ھﻲ‬ ‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺻل(‪ .‬ﻓﺎﻟﻛﻣﯾﺎت اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ ﺗﻌ ّرف وﺗوﺻف ﺑﺎﻟﻣﻘدار واﻻﺗﺟﺎه وﻧﻘطﺔ اﻟﻣرﺟﻊ‬ ‫ﺗﻣﺛﯾل اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت‬ ‫ﻏﺎﻟﺑﺎً ﻣﺎ ﺗًﻣﺛل اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳوم ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‪ ،‬ﺑﺣﯾث ﯾُرﺳم اﻟﻣﺗﺟﮫ ﻓﯾﮭﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺳﮭم ﯾﺷﯾر إﻟﻰ اﺗﺟﺎه اﻟﻛﻣﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﮭﺔ‪ ،‬وطول اﻟﺳﮭم ﯾﻣﺛل ﻣﻘدار اﻟﻛﻣﯾﺔ‪) .‬اﻧظر اﻟﺻورة‪.(١-‬‬ ‫ﺗﻣﺛﯾل ﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺑﻛﻣﯾﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه إذا ﺗﺳﺎءﻟﻧﺎ ﻋن ﺳﺑب‬ ‫اﺳﺗﺧدام ھذه اﻟرﺳوم ﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎً ﻓﺳﻧﺟد اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋن ھذا‬ ‫اﻟﺳؤال ﻓﻲ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻣﯾز ﺑﮭﺎ وھﻲ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﺗﺿﻣن ھذه اﻟرﺳوم ﻣﺣﺎور ﻟﻠﻘﯾﺎس )ﻣﺣور أﻓﻘﻲ وآﺧر ﻋﺎﻣودي(‬ ‫ﻣدرﺟﺔ ﺑﺷﻛل واﺿﺢ‪.‬‬ ‫ﯾُﻌﺑر ﻋن اﻟﻣﺗﺟﮫ ﻓﯾﮭﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺳﮭم ﻟﮫ رأس وذﯾل وﯾﺷﯾر رأس اﻟﺳﮭم‬ ‫إﻟﻰ اﺗﺟﺎه ﻣﺣدد واﻟذﯾﻠل إﻟﻰ ﻧﻘطﺔ اﻟﻣرﺟﻊ‪ .‬ﺗُﻣ ّﻛن ﻣن إﯾﺿﺎح ﻛﻼً ﻣن‬ ‫اﻟﻣﻘدار واﺗﺟﺎه اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺗﺟﮫ‬ ‫‪27‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أھﻣﯾﺔ اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ‪ :‬ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﻓﻲ ﻣﺟﻼت ﻛﺛﯾرة ﻧذﻛر ﻣﻧﮭﺎ‪:-‬‬ ‫ﺳﯾﺎرات اﻟﺳﺑﺎق ‪ :‬ﻓرﯾﻖ ﺳﺑﺎق اﻟﺳﯾﺎرات داﺋﻣﺎ ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﻔﯾزﯾﺎء واﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻟﺗﺳﺎﻋدھم ﻟﺻﻧﻊ ﺳﯾﺎرات‬ ‫ﻣﺛﺎﻟﯾﺔ ﻓﺎﻟدﯾﻧﺎﻣﯾﻛﺎ اﻟﮭواﺋﯾﺔ ھﻲ دراﺳﺔ ﺣرﻛﺔ اﻟﮭواء‪ .‬وھذا ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻓﯾزﯾﺎء وﺑﻣﺎ أن اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﯾﻣﻛﻧﮭﺎ أن‬ ‫ﺗﺻف اﻟﺣرﻛﺔ واﻟﻘوى ﻓﺈﻧﮭم ﯾرﻛﺑون ﻓﻲ ﻗﻠب اﻟﺳﯾﺎرة‪.‬‬ ‫رﺑﺎن اﻟﺳﻔن ‪ :‬اﻟﺑﺣﺎرة ﻋﻠﯾﮭم أن ﯾﺿﻌوا ﻓﻲ اﻹﻋﺗﺑﺎرﺗﯾﺎرات اﻟﻣﺎء واﻟرﯾﺢ ﻋﻧد اﻟﺗﺧطﯾط ﻟﺑراﻣﺞ رﺣﻼﺗﮭم‬ ‫وذﻟك ﻻﺧﺗﯾﺎر اﻟﻣﺳﺎر اﻻﻓﺿل وﻟﺗﻔﺎدى اﻻﻣواج اﻟﻌﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اﻻرﺻﺎد اﻟﺟوي‪ :‬ﺧﺑراء اﻷرﺻﺎد اﻟﺟوﯾﺔ ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﻟﻠﺗﺧطﯾط ﻷﺣوال اﻟطﻘس‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‬ ‫‪ ،‬ﺳرﻋﺔ اﻟرﯾﺢ ﯾﻣﻛن رﺳﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺑﺄطوال ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻺﺷﺎرة إﻟﻰ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻟرﯾﺢ وﻋﻠﻲ ﺿوء ذﻟك ﯾﻘرر‬ ‫اﻗﻼع اﻟطﺎﺋرة ﻣن ﻋدﻣﮫ‬ ‫ﺑرﻣﺟﺔ اﻻﻟﻌﺎب ‪ :‬ﺑرﻣﺟﺔ اﻻﻟﻌﺎب ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ طرق ﻟﺗﻣﺛﯾل ﺑﻌض اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﻔﯾزﯾﺎﺋﯾﺔ ﻣﺛل اﻟﺣرﻛﺔ و اﻟﺳرﻋﺔ و‬ ‫اﻹزاﺣﺔ ﻟذﻟك ﺗﻌﺗﻣد ﻓﻲ ذﻟك ﻋﻠﻲ إﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت‬ ‫إﻧﺷﺎء ﺻور رﻗﻣﯾﺔ ذات ﺟودة ﻏﯾر ﻣﺣدودة ‪ :‬اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺗﻌﺗﻣد ﺑﺷﻛل أﺳﺎﺳﻲ ﻋﻠﻰ اﺗﺟﺎھﺎت اﻟﺻورة وﻓﻖ‬ ‫ﻣﺣﺎور اﻟرﺳم)‪ (x , y‬إذا ﻗﻣﻧﺎ ﺑﺗﻘرﯾب أي ﻧﻘطﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﺻورة ﻓﺈﻧﮭﺎ ﺗﺣﺎﻓظ ﻋﻠﻰ دﻗﺗﮭﺎ دون أي ﻣﺷﺎﻛل‪.‬‬ ‫ﻋرض اﻟرﺳوم ﻋﻠﻰ ﺷﺑﻛﺔ اﻻﻧﺗرﻧت‪ :‬ﯾﺗم ﻋرض اﻟرﺳوم ﻋﺑر ﺗﻘﻧﯾﺔ ﺧﺎﺻﮫ ﺗﻌرف ﺑﺎﻟرﺳوﻣﺎت اﻟﻣﺗﺟﮭﯾﺔ‬ ‫ﻣﺗﻐﯾرة اﻟﺣﺟم)‪ (SVG‬وھﻲ إﺧﺗﺻﺎر ل)‪(Scalable Vector Graphics‬‬ ‫ﺻﻧﺎﻋﺔ اﻻﺳﻠﺣﺔ ‪ :‬وذﻟك ﻓﻲ ﺣرﻛﺔ اﻟطﻠﻘﺔ اﻟﻣﻧدﻓﻌﺔ ﺑﻘوة ﻧﺣو اﻟﮭدف‬ ‫ﺟﻣﻊ اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺟﻣﻊ اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﻋن طرﯾﻖ ﺟﻣﻊ ﻣرﻛﺑﺎت اﻟﻣﺗﺟﮫ ﻣﻌﺎ اي اﻟﺳﯾﻧﯾﮫ واﻟﺻﺎدﯾﮫ ﺣﺗﻰ ﯾرﺳم ﺳﮭم ﻣن ذﯾل‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﮫ اﻻول اﻟﻰ رأس اﻻﺧﯾر وﯾﻛون اﻻﺧﯾر ھو ﻧﺎﺗﺞ ﺣﺎﺻل اﻟﺟﻣﻊ وﯾﺳﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﺗﺟﮫ اﻟﻣﺣﺻل ‪ .‬وﯾﻣﻛن‬ ‫اﺳﺗﻌﻣﺎﻟﮫ ﻟﻠﺧﺎﺻﯾﺗﯾن اﻟﺗﺑدﯾﻠﯾﮫ واﻟﺗراﺑطﯾﮫ ﻟﺟﻣﻊ اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت‪.‬‬ ‫طرح اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ‪:‬‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﮫ اﻟطرح ھﻲ ﻧﻔﺳﮭﺎ ﻋﻣﻠﯾﮫ اﻟﺟﻣﻊ وﻟﻛن ﺑدل ﺟﻣﻊ ﻣﺗﺟﮭﯾن ﻓﺈﻧﮫ ﺗﺗم اﺿﺎﻓﮫ اﻟﻣﺗﺟﮫ اﻻول اﻟﻰ ﺳﺎﻟب اﻟﻣﺗﺟﮫ‬ ‫اﻟﺛﺎﻧﻲ) اي اﺿﺎﻓﮫ اﻟﻣﺗﺟﮫ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﺑﻌد ﻋﻛس اﺗﺟﺎھﮫ ( ‪.‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=BWD-FlL8Skc‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﻣﻨﻴﺔ�ﺑﺎﻗ�ﺲ�‬ ‫‪28‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ����اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت�و�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴ��ﺎ���‬ ‫اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ‪ :‬؟‬ ‫ھﻲ ﺗﺗﺎﺑﻊ ﻣن اﻟﻛﻣﯾﺎت ﺗدﻋﻰ اﻟﺣدود ‪ ،‬ﺣﯾث اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻛل ﺣد واﻟذي ﯾﻠﯾﮫ ﺗﻛون ذاﺗﮭﺎ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﺣدود اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ‪.‬‬ ‫وﺗﻧﻘﺳم ﻟﻘﺳﻣﯾن‪:‬‬ ‫‪.1‬اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‪:‬‬ ‫ھﻲ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﯾﻧﺗﺞ ﻛل ﺣد ﻣﻧﮭﺎ ﻋن إﺿﺎﻓﺔ ﻣﻘدار ﺛﺎﺑت ﻟﻠﺣد اﻟذي ﯾﺳﺑﻘﮫ ﻣﺛﻼً ‪ ... ، 15 ، 11 ، 7 ، 3‬اﻟﺦ ‪.‬‬ ‫‪.2‬اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﮭﻧدﺳﯾﺔ‪:‬‬ ‫ھﻲ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﻘدار ﺛﺎﺑت ﯾﺿرب ﻓﻲ ﻛل ﺣد ﻣن ﺣدودھﺎ ﻣﺛل ‪ ...,3,6,9,11‬اﻟﺦ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣظﺔ‪ :‬ﺗﻛون اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﮭﻧدﺳﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺧﺎﻟف ﻗدر ﻧﺳﺑﺗﮭﺎ ﺻﻔرا وواﺣدا وﻧﺎﻗص واﺣد ﻓﻲ ﻧﻣو أﺳﻲ‪ ،‬ﺑﺧﻼف‬ ‫اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ ﻓﻧﻣوھﺎ ﯾﻛون ﺧطﯾﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت اﻟﻣطردة‪:‬‬ ‫ﻧﻘول ﻋن اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻌددﯾﺔ إﻧﮭﺎ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣطردة إذا ﻛﺎﻧت إﻣﺎ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺔ أو ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ ﺗﻣﺎﻣﺎ أو‬ ‫ﺗﻧﺎزﻟﯾﺔ ﺗﻣﺎﻣﺎ‬ ‫ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ وﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻋن ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﺎ أﻧﮭﺎ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ إذا ﻛﺎن ﻛل ﺣد أﻛﺑر ﻣن اﻟﺣد اﻟذي ﯾﺳﺑﻘﮫ أو ﯾﺳﺎوﯾﮫ‪ .‬وﯾﻘﺎل ﻋﻧﮭﺎ أﻧﮭﺎ‬ ‫ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ ﺗﻣﺎﻣﺎً إذا ﻛﺎن ﻛل ﺣد أﻛﺑر ﺗﻣﺎﻣﺎً ﻣن اﻟﺣد اﻟذي ﯾﺳﺑﻘﮫ‪ .‬وﯾﻘﺎل ﻋن ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﺎ أﻧﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺔ إذا ﻛﺎن ﻛل‬ ‫ﺣد أﺻﻐر ﻣن اﻟﺣد اﻟذي ﯾﺳﺑﻘﮫ أو ﯾﺳﺎوﯾﮫ‪ .‬وﯾﻘﺎل ﻋﻧﮭﺎ أﻧﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺔ ﺗﻣﺎﻣﺎً إذا ﻛﺎن ﻛل ﺣد أﺻﻐر ﺗﻣﺎﻣﺎً ﻣن‬ ‫اﻟﺣد اﻟذي ﯾﺳﺑﻘﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت اﻟﺟزﺋﯾﺔ‪:‬‬ ‫ھﻲ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﻧﺗﺎﺟﮭﺎ ﻣن ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ أﺧرى ﺑﺣذف ﺑﻌض ﻋﻧﺎﺻر ﻓﯾﮭﺎ دون ﺗﻐﯾﯾر ﺗرﺗﯾب اﻟﻌﻧﺎﺻر‬ ‫اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت أﺧرى ﻣن اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟرﯾﺎﺿﻲ ‪:‬‬ ‫دراﺳﺔ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗﻔﺎﺿﻠﯾﺔ ‪ :‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺣﻠول ھذه اﻟﻣﻌﺎدﻻت ﻓﻲ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﻧﮭﺎﯾﺎت ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت‬ ‫ﺗﻘرﺑﻧﺎ ﺷﯾﺋﺎ ﻓﺷﯾﺋﺎ ﻣن اﻟﺣل اﻟدﻗﯾﻖ‪.‬‬ ‫اﻟﺣﺳﺎب )أو اﻟﺗﺣﻠﯾل( اﻟﻌددي ‪ :‬اﻟﺗﻘرﯾﺑﺎت وﺗﻘدﯾرات اﻷﺧطﺎء ﺗﺗم ﻋﻣوﻣﺎ ﻋﺑر اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت‪.‬‬ ‫‪29‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ﻣﻔﺎھﯾم رﯾﺎﺿﯾﺔ أﺧرى ‪ :‬اﻻﻧﺗﻘﺎل ﻣﺛﻼ ﻣن ﺗﻌرﯾف ﻣﻔﮭوم اﻟﻣﻛﺎﻣﻠﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺟﺎل ﺣﻘﯾﻘﻲ‬ ‫وﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء ﻣﺟرد‪.‬‬ ‫وﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟﺗﻲ ﻧﺟدھﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺎت أﻧﮭﺎ ﺗﻣﻛن ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟدوال اﻟﻣﺄﻟوﻓﺔ ﻣﺛل ‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻻﺳﯾﺔ – اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ﺟب – اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ﺗﺟب – اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ظل – اﻟداﻟﺔ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﯾﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﺣﺎﺳوب ‪:‬‬ ‫ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﻧﺗﮭﯾﺔ ﻣن اﻟﺣروف ﺗﺳﻣﻰ ﺳﻠﺳﻠﺔ‬ ‫ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ وﺗﻘﺎرﺑﮭﺎ‪:‬‬ ‫ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻋددﯾﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻣﺗﻘﺎرﺑﺔ ‪ -‬ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﺗﺑﺎﻋدة – ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻛوﺷﻲ‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�ﺟﻮد�اﻟﺮ����‬ ‫‪30‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻛﻴﻒ�ﻧﺠﻤﻊ�‪�١٠٠‬رﻗﻢ����ﺛﻮا�ﻲ؟‬ ‫‪ -١‬ﺣدد اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺧﺎص ﺑﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﻸﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ‪ .‬ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد ن ﻛﺄﻛﺑر ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ اﻟﺟﻣﻊ‪ ،‬ﻋوض ﺑﮭذا‬ ‫اﻟرﻗم ﻓﻲ ﻗﺎﻧون ﺟﻣﻊ اﻷﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﻛﺎن ن‪ :‬ن × )ن‪2 ÷ (1+‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﻧت ﺗﺟﻣﻊ أول ‪ 100‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬ﺿﻊ ‪ 100‬ﻣﻛﺎن ن ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون ﻟﯾﺻﺑﺢ ‪.2 ÷ (1 + 100) × 100‬‬ ‫إذا ﻛﻧت ﺗﺟﻣﻊ أول ‪ 20‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬اﺳﺗﺧدم ‪ 20‬ﻛﻘﯾﻣﺔ ن‪ .‬اﺣﺳب ‪ 2 ÷ (1 + 20) × 20‬ﻟﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ .2 ÷ 420‬اﻟﻧﺎﺗﺞ ھو ‪210‬‬ ‫‪ -٢‬اﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺧﺎص ﺑﺣﺳﺎب اﻷﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟزوﺟﯾﺔ‪ .‬إذا طﻠﺑت ﻣﻧك اﻟﻣﺳﺄﻟﺔ أن ﺗﺣﺳب ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻷﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟزوﺟﯾﺔ ﻓﻘط ﻓﻲ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺑدأ ﺑـ ‪ ،1‬ﺳﺗﺣﺗﺎج إﻟﻰ اﺳﺗﺧدام ﻗﺎﻧون ﻣﺧﺗﻠف‪ .‬ﻋ ّوض ﺑﺄﻋﻠﻰ ﻋدد‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻣﻛﺎن ن‪ :‬اﻟﻣﺟﻣوع = ن × )ن ‪4 ÷ ( 2 +‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‪ :‬إذا طﻠﺑت ﻣﻧك اﻟﻣﺳﺄﻟﺔ ﺣﺳﺎب ﻣﺟﻣوع اﻷﻋداد اﻟزوﺟﯾﺔ ﻣن ‪ 1‬إﻟﻰ ‪ ،20‬اﺳﺗﺧدم ‪ 20‬ﻣﻛﺎن ن‪ .‬ﺗﺻﺑﺢ‬ ‫اﻟﻣﺳﺄﻟﺔ ﺑﻌد اﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون ھﻲ ‪4 ÷ 22 × 20‬‬ ‫‪ -٣‬اﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون ﻟﺣﺳﺎب ﻣﺟﻣوع اﻷﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟﻔردﯾﺔ‪ .‬إذا طﻠﺑت ﻣﻧك اﻟﻣﺳﺎﺋل أن ﺗوﺟد ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻷﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟﻔردﯾﺔ ﻓﻘط‪ ،‬ﯾﺟب أو ًﻻ أن ﺗﺣدد ن‪ .‬اﻋرف ن ﻣن ﺧﻼل ﺟﻣﻊ ‪ 1‬ﻣﻊ أﻛﺑر رﻗم ﻓﻲ اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ‪،‬‬ ‫ﺛم اﺳﺗﺧدم ھذه اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ‪ :‬اﻟﻣﺟﻣوع = )ن‪)×(1+‬ن‪4 ÷ (1+‬‬ ‫‪ -٤‬ﺧﺻص اﻟﻘﺎﻧون اﻟذي ﺗﺳﺗﺧدﻣﮫ ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻣﺟﻣوع ﻋﻠﻰ ﺣﺳب ﻧوع اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ‪ .‬ﺑﻌد اﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون ﻋن‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ ن‪ ،‬اﺿرب اﻟﻌدد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻧﻔﺳﮫ ﻣﺟﻣو ًﻋﺎ ﻣﻊ ‪ 1‬أو ‪ 2‬أو ‪ 4‬ﻋﻠﻰ ﺣﺳب ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ اﻷﻋداد‪ ،‬ﺛم اﻗﺳم‬ ‫اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬أو ‪ 4‬ﻟﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻧﮭﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ ﺳﻠﺳﻠﺔ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻷﻋداد ﺣﺗﻰ ‪:100‬‬ ‫‪ ،2 ÷ 101 × 100‬ﯾﻌﻧﻲ ھذا أﻧك ﺳﺗﺿرب اﻟـ ‪ 100‬ﻓﻲ ‪ 101‬وﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﺗﺞ ‪،10100‬‬ ‫ﺛم ﺗﻘﺳم ھذا اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻟﯾﺻﺑﺢ اﻟﻧﺎﺗﺞ ‪505‬‬ ‫‪31‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ أﻋداد زوﺟﯾﺔ ﺣﺗﻰ ‪:20‬‬ ‫‪ ،4 ÷ 22 × 20‬ﺿرﺑﻧﺎ ھﻧﺎ ‪ 20‬ﻓﻲ ‪ 22‬وأﺻﺑﺢ اﻟﻧﺎﺗﺞ ‪ ،440‬ﺛم ﻗﺳﻣﻧﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬واﻟﻧﺎﺗﺞ ھو‬ ‫اﻛﺗﺷﺎف ﻗﺎﻧون ﻣﺟﻣوع ﻣﺗﺳﻠﺳﻠﺔ ﺣﺳﺎﺑﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ھذه اﻟﻘﺻﮫ ﺣدﺛت ﻓﻲ أﺣد اﻟﻘرون اﻟوﺳطﻰ ﺗﻘرﯾﺑﺎً ﻓﻲ اﻟﻘرن اﻟﺳﺎدس ﻋﺷر وﺑﺎﻟﺗﺣدﯾد ﻓﻲ اﺣدى اﻟﻘرى‬ ‫اﻷﻟﻣﺎﻧﯾﮫ‪...‬‬ ‫ﻛﺎن ھﻧﺎك طﻔل ﯾدﻋﻰ ))ﺟﺎوس(( وﻛﺎن ﺟﺎوس طﺎﻟﺑﺎً ذﻛﯾﺎً وذﻛﺎﺋﮫ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺧﺎرق ﻟﻠﻣﺄﻟوف ‪ ..‬وﻛﺎن ﻛﻠﻣﺎ‬ ‫ﺳﺄل ﻣدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﺳؤاﻻً ﻛﺎن ﺟﺎوس ھو اﻟﺳﺑﺎق ﻟﻺﺟﺎﺑﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺳؤال ‪ ..‬ﻓﯾﺣرم ﺑذﻟك زﻣﻼﺋﮫ ﻓﻲ اﻟﺻف‬ ‫ﻣن ﻓرﺻﺔ اﻟﺗﻔﻛﯾر ﻓﻲ اﻹﺟﺎﺑﮫ وﻓﻲ أﺣد اﻟﻣرات ﺳﺄل اﻟﻣدرس ﺳؤاﻻً ﺻﻌﺑﺎً ‪ ..‬ﻓﺄﺟﺎب ﻋﻠﯾﮫ ﺟﺎوس ‪ ..‬ﺑﺷﻛل‬ ‫ﺳرﯾﻊ !! ﻣﻣﺎ أﻏﺿب ﻣدرﺳﮫ ‪ ..‬ﻓﺄﻋطﺎه اﻟﻣدرس ﻣﺳﺄﻟﮫ ﺣﺳﺎﺑﯾﮫ‪ ..‬وﻗﺎل ‪ :‬أوﺟد ﻟﻲ ﻧﺎﺗﺞ ﺟﻣﻊ اﻷﻋداد ﻣن ‪1‬‬ ‫إﻟﻰ ‪ !!100‬طﺑﻌﺎً ﻛﻲ ﯾﻠﮭﯾﮫ ﻋن اﻟدرس وﯾﻔﺳﺢ اﻟﻣﺟﺎل ﻟﻶﺧرﯾن ‪ ..‬ﺑﻌد ‪ 5‬دﻗﺎﺋﻖ ﻗﺎل ﺟﺎوس ﺑﺻوت ﻣﻧﻔﻌل‬ ‫‪ 5050‬ﻓﺻﻔﻌﮫ اﻟﻣدرس ﺻﻔﻌﮫ ﻗوﯾﮫ ‪ ..‬وﻗﺎل ‪ :‬ھل ﺗﻣزح ؟؟!! أﯾن ﺣﺳﺎﺑﺎﺗك ؟؟‬ ‫ﻓﻘﺎل ﺟﺎوس ‪ :‬اﻛﺗﺷﻔت أن ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﮫ ﺑﯾن ‪ 1,99‬وﻣﺟﻣوﻋﮭﺎ = ‪ 100‬وأﯾﺿﺎً ‪ 2,98‬ﺗﺳﺎوي ‪100‬‬ ‫و ‪ 3,97‬ﺗﺳﺎوي ‪ 100‬وھﻛذا إﻟﻰ ‪ !!49,51‬واﻛﺗﺷﻔت ﺑﺄﻧﻲ ﺣﺻﻠت ‪ 50‬زوﺟﺎً ﻣن اﻷﻋداد‬ ‫وأﺻﺑﺢ اﻟﻧﺎﺗﺞ ‪5050‬‬ ‫)���(�‬ ‫وﺑذﻟك أﻟﻔت ﻗﺎﻧوﻧﺎً ﻋﺎﻣﺎً ﻟﺣﺳﺎب ھذه اﻟﻣﺳﺄﻟﮫ وھو‬ ‫�‬ ‫ﻓﺎﻧدھش اﻟﻣدرس ﻣن ھذه اﻟﻌﺑﻘرﯾﮫ!!!!!‬ ‫وﻟم ﯾﻌﻠم أﻧﮫ ﺻﻔﻊ ﻓﻲ ﺗﻠك اﻟﻠﺣظﮫ ‪ ..‬اﻟﻌــــﺎﻟم اﻟﻛﺑــــﯾر ﻓرﯾدرﯾﺗش ﺟﺎوس أﺣد أﺷﮭر ﺛﻼﺛﺔ ﻋﻠﻣﺎء رﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺗﺎرﯾﺦ‪...‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=IxPZgVxlhDc‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﳌﻰ�اﻟﺰاﻳﺪي�‬ ‫‪32‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ�أ�ﻤﻴﺔ�ﻋﻠﻢ�اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ�و�اﻟﺘ�ﺎﻣﻞ�؟‬ ‫ﺗﻌرﯾف اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪:‬‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل أﯾ ًﺿﺎ ﺑﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻼﻧﮭﺎﺋﻲ‪ ،‬واﻟذي ﯾﻌﻧﻲ اﻟدراﺳﺔ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ ﻟﻠﺗﻐﯾر‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻣر‪ ،‬ﻓﺎﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ھو ﻓرع ﻣن اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﯾدرس اﻟﻣﺗﻐﯾرات وﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗﻐﯾرھﺎ ﻣن ﺧﻼل اﻟﻧظر إﻟﯾﮭﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﻗطﻊ ﺻﻐﯾرة ﻻ ﺣﺻر ﻟﮭﺎ أي ﻻ ﻧﮭﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬وﯾﻘﺳم ھذا اﻟﻌﻠم إﻟﻰ ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل اﻟذي ﯾدرس ﻣﻌدﻻت اﻟﺗﻐﯾر‬ ‫وﻣﯾل اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت‪ ،‬وﻋﻠم اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟذي ﯾدرس ﺗراﻛم اﻟﻛﻣﯾﺎت‪ ،‬واﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﺳﺗوﯾﺎت واﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت واﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﻛون ﺑﯾﻧﮭﺎ أﯾ ًﺿﺎ‪ ،‬وﯾرﺗﺑط ھذان اﻟﻔرﻋﺎن ﻣﻊ ﺑﻌﺿﮭﻣﺎ اﻟﺑﻌض ﻣن ﺧﻼل اﻟﻧظرﯾﺔ اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل‬ ‫واﻟﺗﻛﺎﻣل‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺑرھﻧﺔ اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪:‬‬ ‫اﻟﺟزء اﻷول ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ ﯾﻧص ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﺣدد ﯾﻣﻛن ﻋﻛﺳﮫ ﺑﺎﻟﺗﻔﺎﺿل‪ .‬اﻟﺟزء اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺷﺧص ﻣن ﺣﺳﺎب ﺗﻛﺎﻣل ﻣﺣدد ﻟداﻟﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام أﺣد اﺷﺗﻘﺎﻗﺎﺗﮭﺎ اﻟﻌﻛﺳﯾﺔ ﻏﯾر اﻟﻣﺣدودة ﻛﺛرة‪ .‬ھذا اﻟﺟزء‬ ‫ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ ﻟﮫُ أھﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻋﻣﻠﯾﺎً ﻷﻧﮫ ﯾﺳﮭل ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛﺎﻣﻼت اﻟﻣﺣددة ﺑﺷﻛل ﻛﺑﯾر‪.‬‬ ‫ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ‪:‬‬ ‫ﺗم ﺗطوﯾر ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﺣدﯾث ﻓﻲ أوروﺑﺎ ﻓﻲ اﻟﻘرن اﻟﺳﺎﺑﻊ ﻋﺷر ﻣن ﻗﺑل إﺳﺣﻖ ﻧﯾﺗون ﻣن‬ ‫إﻧﺟﻠﺗرا‪ ،‬وﺟوﺗﻔرﯾد ﻓﯾﻠﮭﻠم ﻟﯾﺑﻧﯾز ﻣن أﻟﻣﺎﻧﯾﺎ‪ ،‬وﻗد اﻛﺗﺷف ﻛ ٌل ﻣﻧﮭم ھذا اﻟﻌﻠم ﺑﺷﻛل ﻣﺳﺗﻘل‪ ،‬وﻧُﺷر ﻷول ﻣرة‬ ‫ﺑﻧﻔس اﻟوﻗت ﺗﻘرﯾ ًﺑﺎ‪ ،‬ﻟﻛن ظﮭرت أﺟزاء ﻣن ھذا اﻟﻌﻠم ﻗﺑل ذﻟك‪ ،‬ﺣﯾث ﺑدأ ظﮭوره ﻓﻲ اﻟﺣﺿﺎرة اﻟﯾوﻧﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﻘدﯾﻣﺔ‪ ،‬وﺑﻌدھﺎ ﻓﻲ اﻟﺻﯾن وﻓﻲ اﻟﺷرق اﻷوﺳط وﻣن ﺛم أوروﺑﺎ واﻟﮭﻧد‪ ،‬ﻓﻔﻲ اﻟﻌﺻور‬ ‫اﻟﻘدﯾﻣﺔ‪ ،‬ﻗُدﻣت ﺑﻌض اﻷﻓﻛﺎر اﻟﺗﻲ ﻗﺎدت ﻟﻌﻠم اﻟﺗﻛﺎﻣل‪ ،‬ﻟﻛن ﻟم ﯾﻛن ھﻧﺎك أي ﻋﻼﻣﺔ ﻋﻠﻰ وﺟود طرﯾﻘﺔ ﻟﺗطوﯾر‬ ‫ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﻣﻧﮭﺟﺔ‪ ،‬ﺣﯾث اﻛﺗﺷﻔت ﺑﻌض ﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت واﻟﺣﺟوم ‪ -‬اﻟﺗﻲ ﺗُﻌد إﺣدى اﺳﺗﺧداﻣﺎت‬ ‫ﻋﻠم اﻟﺗﻛﺎﻣل ‪ -‬ﻓﻲ ﺑﻌض أوراق اﻟﺑردى اﻟﻣﺻرﯾﺔ ﻣﻧذ ﻋﺎم ‪ 1820‬ﻗﺑل اﻟﻣﯾﻼد‪ ،‬ﻟﻛن اﻟﺻﯾﻐﺔ ﻛﺎﻧت ﺑداﺋﯾﺔ ﺟ ًدا‬ ‫ﺑﺗﻌﻠﯾﻣﺎت ﺑﺳﯾطﺔ‪ ،‬وﺑدون أي إﺷﺎرة إﻟﻰ اﻟطرﯾﻘﺔ‪ .‬ﻛﺎن ﻟﻠﻌدﯾد ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء ﻋﻠﻰ ﻣر اﻟﻌﺻور دور ﻓﻲ ﺗطوﯾر‬ ‫ھذا اﻟﻌﻠم ﻣﺛل أرﺧﻣﯾدس‪ ،‬وﻣن اﻟﺷرق اﻷوﺳط ﻛﺎن اﻟﺣﺳن اﺑن اﻟﮭﯾﺛم أﺣد أھم اﻟﻣؤﺳﺳﯾن‪ ،‬ﺣﯾث اﺷﺗﻖ ﺻﯾﻎ‬ ‫ﺗﺻل ﻟﻸس رﻗم أرﺑﻌﺔ‪ ،‬وﻗﺎده ھذا إﻟﻰ ﻋﻠم ﺗﻛﺎﻣل اﻻﻗﺗراﻧﺎت‪ ،‬ﻓﻣﻛﻧﮫ إﯾﺟﺎد ﻣﺟﻣوع ﺻﯾﻎ اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻸس‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ واﻷس رﻗم أرﺑﻌﺔ إﻟﻰ ﺣﺳﺎب ﺣﺟم اﻟﻘطﻊ اﻟﻣﻛﺎﻓﺊ‪ ،‬وﻗد ﻗﺎم اﻟﻌﺎﻟﻣﺎن ﻧﯾوﺗن وﻟﯾﺑﻧﯾز ﻓﻲ اﻟﻘرن اﻟﺳﺎﺑﻊ‬ ‫ﻋﺷر ﺑﺎﻟﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﺗوﺻﻠت إﻟﯾﮫ اﻟدراﺳﺎت ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺟﺎل ﻓﻲ ﻛ ٍل ﻣن اﻟﯾوﻧﺎن واﻟﺻﯾن واﻟﮭﻧد واﻟﻌراق‬ ‫وﺑﻼد ﻓﺎرس واﻟﯾﺎﺑﺎن‬ ‫‪ .‬أھﻣﯾﺔ ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل اﻵن ھو ﻧﻘطﺔ اﻟدﺧول اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻷي ﺷﺧص ﯾرﻏب ﺑدراﺳﺔ اﻟﻔﯾزﯾﺎء واﻟﻛﯾﻣﯾﺎء‬ ‫وﻋﻠم اﻷﺣﯾﺎء واﻹﻗﺗﺻﺎد واﻟﺗﻣوﯾل وﻋﻠم اﻟﮭﻧدﺳﺔ واﻟطب واﻟدﯾﻣوﻏراﻓﯾﺎ‪ ،‬وﻗد ﻗﺎم ھذا اﻟﻌﻠم ﺑﺣل ﻛﺛﯾر ﻣن‬ ‫‪33‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﻟﻣﺷﻛﻼت ﻣﺛل ﺗﺗﺑﻊ ﻣوﻗﻊ ﻣﻛوك ﻓﺿﺎﺋﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء‪ ،‬أو اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﺎﻟﺿﻐط اﻟﻣﺗراﻛم ﺧﻠف ﺳد ﻣﻊ ارﺗﻔﺎع اﻟﻣﺎء‬ ‫ﻓﯾﮫ‪ ،‬واﻵن ﻣﻊ وﺟود ﺟﮭﺎز اﻟﺣﺎﺳوب أﺻﺑﺢ ﻣن اﻟﺳﮭل ﺣ ّل ﺑﻌض ﻣﺷﺎﻛل اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﺗﻲ ﻛﺎﻧت‬ ‫ﺻﻌﺑﺔ ﺑل وﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ] وﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻓﺈ ّن ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾدﺧل ﻓﻲ أي ﻣﺟﺎل ﯾﻣﻛن أن ﺗُﺣ ﱠول ﻣﺷﺎﻛﻠﮫ إﻟﻰ‬ ‫ﻧﻣوذج رﯾﺎﺿﻲ وﯾﻛون اﻟﺣل اﻷﻣﺛل ھو اﻟﻣطﻠوب‪ ،‬وﻓﯾﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ ﺑﻌض ﻣن ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪.‬‬ ‫اﻟﻔﯾزﯾﺎء‪ :‬ﻓﻲ اﻟﻔﯾزﯾﺎء ﺗرﺗﺑط ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﻔﺎھﯾم ﻓﻲ اﻟﻣﯾﻛﺎﻧﯾﻛﺎ اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﯾﺔ واﻟﻛﮭروﻣﻐﻧﺎطﯾﺳﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﺣﺳﺎب‬ ‫اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪ ،‬وﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺗﺧدام ھذا اﻟﻌﻠم ھو اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ ﻗﺎﻧون ﻧﯾوﺗن اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻠﺣرﻛﺔ‪ ،‬ﺣﯾث‬ ‫إﻧّﮫ ﺗﺎرﯾﺧ ًﯾﺎ ﺗم ذﻛر ﻛﻠﻣﺔ \" ﺗﻐﯾر اﻟﺣرﻛﺔ \" اﻟﺗﻲ ﺗﺷﯾر إﻟﻰ أ ّن اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ زﺧم اﻟﺟﺳم ﯾﺳﺎوي اﻟﻘوة اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ‬ ‫اﻟﻣؤﺛرة ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺳم ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه‪ ،‬واﻟﺗﻲ ﯾﻌﺑر ﻋﻧﮭﺎ ﺣﺎﻟﯾًﺎ ﺑﺄ ّن اﻟﻘوة اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ﺗﺳﺎوي ﻛﺗﻠﺔ اﻟﺟﺳم ﺿرب‬ ‫ﺗﺳﺎرﻋﮫ‪ ،‬وﯾﺗم اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن ﻗواﻧﯾن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ ﻵﯾﻧﯾﺷﺗﺎﯾن وﻧظرﯾﺔ ﻣﺎﻛﺳوﯾل ﻟﻠﻣﺟﺎﻻت اﻟﻛﮭروﻣﻐﻧﺎطﯾﺳﯾﺔ‬ ‫ﺑﻠﻐﺔ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪ .‬اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء‪:‬ﻟﺗﺣدﯾد ﻣﻌدﻻت اﻟﺗﻔﺎﻋل واﻻﻧﺣﻼل اﻹﺷﻌﺎﻋﻲ‪.‬‬ ‫اﻷﺣﯾﺎء‪ :‬ﯾﺳﺗﺧدم ﺗﺣدﯾ ًدا ﻓﻲ دﯾﻧﺎﻣﯾﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻟﺳﻛﺎن ﺣﯾث ﺗﺑدأ ﺑﻣﻌدﻻت اﻟوﻻدة واﻟوﻓﯾﺎت وﺻو ًﻻ ﻟﻣﻌدﻻت ﺗﻐﯾر‬ ‫اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻟﺳﻛﺎﻧﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟطب‪ :‬ﯾﺳﺗﺧدم ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ اﻟزاوﯾﺔ اﻟﻣﺗﻔرﻋﺔ اﻷﻣﺛل ﻟﻸوﻋﯾﺔ اﻟدﻣوﯾﺔ وذﻟك ﻟزﯾﺎدة اﻟﺗدﻓﻖ‪ ،‬وأﯾ ًﺿﺎ ﻓﻲ ﻗواﻧﯾن‬ ‫اﻻﺿﻣﺣﻼل ﻹزاﻟﺔ دواء ﻣﻌﯾن ﻣن ﺟﺳم اﻟﻣرﯾض‪ ،‬أﻣﺎ ﻓﻲ اﻟطب اﻟﻧووي ﻓﯾﺳﺗﺧدم ﻟﺑﻧﺎء ﻧﻣﺎذج ﻟﻧﻘل اﻹﺷﻌﺎع‬ ‫ﻟﻌﻼج اﻷورام اﻟﻣﺳﺗﮭدﻓﺔ‪.‬‬ ‫اﻻﻗﺗﺻﺎد‪ :‬ﻟﺗﺣدﯾد أﻗﺻﻰ رﺑﺢ ﺧﻼل ﺗوﻓﯾر وﺳﯾﻠﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛﻠﻔﺔ اﻟﺣدﯾﺔ واﻹﯾرادات اﻟﺣدﯾﺔ ﺑﺳﮭوﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺟﺎﻻت اﺳﺗﺧدام ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل واﺳﻌﺔ ﺟداً )ﻋﻠﻰ ﻋﻛس ﻣﺎ ﯾﺣﺎول اﻟطﻼب إﻗﻧﺎع أﻧﻔﺳﮭم ﺑﮫ (‪ ،‬ﻓﮭو‬ ‫ﯾدﺧل ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت ﻣﺗﻌددة وﻟﯾﺳت ﻗﺎﺻرة ﻋﻠﻰ أﺷﺧﺎص ﺑﻌﯾﻧﮭم أو ﻋﻠﻰ ﻣن ﯾﺳﺗﺧدﻣوﻧﮫ ﻓﻘط ‪ ..‬ﺑل ﻋﻠﻰ ﻛل‬ ‫اﻟﺑﺷر ﺗﻘرﯾﺑﺎً وإﻟﯾك ﺑﻌض اﻷﻣﺛﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻓواﺋده‪ :‬ﻣﺎذا ﻧﻔﻌل إذا إردﻧﺎ أن ﻧﺣﺳب ﺣﺟم اﻟﻣﯾﺎه اﻟﻣرادة ﻟﻣلء ﺣﻣﺎم‬ ‫ﺳﺑﺎﺣﺔ ﻛﺑﯾر؟ ‪ -‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ھﻲ ﺗﺣدﯾد ﺷﻛل )ﻗﺎﻟب( ﺣﻣﺎم اﻟﺳﺑﺎﺣﺔ وإﯾﺟﺎد ﺣﺟﻣﮫ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻧﺟد ﺣﺟم اﻟﻣﯾﺎه اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺳﺗﻣﻠؤه ‪ ..‬ﻓﺈن ﻛﺎن ﻣﻛﻌب اﻟﺷﻛل أو ﻛﺎن ﻣﺗوزاي ﻣﺳﺗطﯾﻼت ‪ ..‬أو ‪ ..‬أو ‪ ..‬ﻓﺈن إﯾﺟﺎد ﺣﺟﻣﮫ ﻟﯾس ﺻﻌﺑﺎً ﺑﺄي‬ ‫ﺣﺎل ﻣن اﻷﺣوال ﻷن ھذه أﺷﻛﺎل ھﻧدﺳﯾﺔ ﻣﻧﺗظﻣﺔ ﻟن ﯾﺣﺗﺎج اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﺎه إﻻ طﺎﻟب ﻓﻲ اﻻﺑﺗداﺋﯾﺔ ﻣﺎذا ﻟو ﻛﺎن‬ ‫ﺣﻣﺎم اﻟﺳﺑﺎﺣﺔ ﻟﯾس ﺷﻛﻼ ھﻧدﺳﯾﺎ ﻣﻧﺗظﻣﺎ ھل ﻣن اﻟﺳﮭل ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ اﯾﺟﺎد ﺣﺟم اﻟﻣﯾﺎه اﻟﺗﻲ ﺗﻛﻔﻲ ﻟﻣﻠﻰء ھذا‬ ‫اﻟﺣﻣﺎم ھﻧﺎ ﯾﺑرز ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=gclPpmM-jwY&t=3s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﻟﻴﺎن�ا��ﺎزﻣﻲ�‬ ‫‪34‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ����اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴﺘﮫ��؟‬ ‫ﻣﺎھو اﻟﺗﻔﺎﺿل ؟‬ ‫ﯾُطﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل اﺳم اﻟﻛﺎﻟﻛوﻟس و ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾﻔﮫ ﻋﻠﻰ أﻧﮫ أﺣد ﻓروع اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻟذي ﯾﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ‬ ‫إﯾﺟﺎد اﻟﻣﺷﺗﻘﺎت ﺑطرق ﺗرﺗﻛز ﻋﻠﻰ ﺟﻣﻊ ﻧواﺗﺞ طرح ﻻﻧﮭﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻌﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل ﯾﺣﺳب ﻣﻌدل ﺗﻐﯾر اﻟﻛﻣﯾﺎت‪ ،‬ﻣﺛل‬ ‫ﺣﺳﺎب ﻣﻌدل ﺗﻐﯾر اﻟﻣﯾول واﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت وﯾرﺗﺑط ﺗطوره ﺑﺷﻛ ٍل وﺛﯾ ٍﻖ ﺑﺗطور اﻟﺗﻛﺎﻣل‪ ،‬إذ ﯾﺷﻛل ھذا اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﻣ ًﻌﺎ‬ ‫ﻗﺎﻋدة اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟرﯾﺎﺿﻲ اﻟذي ﯾﻌد أﻣ ًرا ﻣﮭ ًﻣﺎ ﻟﻠﻐﺎﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ واﻟﺗﻛﻧوﻟوﺟﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﯾﻌود اﻛﺗﺷﺎف ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل و اﻟﺗﻛﺎﻣل إﻟﻰ ﻛل ﻣن إﺳﺣﺎق ﻧﯾوﺗن وﻏوﺗﻔرﯾد ﻻﯾﺑﻧﺗزﻓﻲ ﻧﮭﺎﯾﺎت اﻟﻘرن اﻟﺳﺎﺑﻊ‬ ‫ﻋﺷر‪ ،‬واﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟرﻣوز اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل ﺗرﺟﻊ إﻟﻰ ﻻﯾﺑﻧﺗز وﻟﻛن ﻟم ﯾﺗم إدﺧﺎل ﻣﻔﮭوم‬ ‫اﻟﻧﮭﺎﯾﺎت ﺣﺗﻰ أواﺋل اﻟﻘرن اﻟﺗﺎﺳﻊ ﻋﺷر ﻣن ﻗﺑل اﻟﻌﺎﻟم ﻛوﺷﻲ‪ .‬وﺑذﻟك ﻓﻘد أطﻠﻖ اﻟﺗﺄﺳﯾﺎس ﻟﻌﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل‬ ‫واﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑداﯾﺔ ﻟﻣرﺣﻠ ٍﺔ زﻣﻧﯾ ٍﺔ ﺟدﯾدةٍ ﻣن اﻟﺗطور اﻟﺳرﯾﻊ ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت واﻟﺗﺧﺻﺻﺎت اﻟﺗطﺑﯾﻘﯾﺔ ذات اﻟﺻﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﺗﻌرف ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗﻔﺎﺿﻠﯾﺔ واﻟﻣﺷﺗﻘﺎت وﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟﻣﺷﺗﻘﺎت‪ .‬ﯾﺗم ﺗﻌرﯾف ﻣﺷﺗﻖ‬ ‫اﻟداﻟﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻷي ﻗﯾﻣ ٍﺔ ﻣﻌﯾﻧ ٍﺔ ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻣﻌدل ﺗﻐﯾر اﻟدوال ﻓﯾﻣﺎ ﯾﺗﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﻣﺣددة‪ ،‬ﻓﺎﻟﺗﻔﺎﺿل ھﻲ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﺗﻲ ﻧوﺟد ﻓﯾﮭﺎ اﻟﻣﺷﺗﻖ ﻣن داﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻌ ّرف اﻟﻣﺷﺗﻖ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎً ﺑﺄﻧﮫ ﻣﯾل اﻟظل اﻟذي ﯾﻠﺗﻘﻲ ﻋﻧد ﻧﻘط ٍﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أو اﻟذي ﯾﻌطﻲ اﻟﻣﺷﺗﻖ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﯾﻠﺗﻘﻲ ﻓﯾﮭﺎ اﻟظل ﺑﺎﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‪ .‬ﻟﻠﺗﻔﺎﺿل اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻓﻲ ﻣﺧﺗﻠف اﻟﻣﺟﺎﻻت‪ ،‬ﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﺷﺎﺋﻌﺔ ﻓﺣص‬ ‫ﻣﻌدل اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ درﺟﺔ ﺣرارة اﻟﻐﻼف اﻟﺟوي أو اﺷﺗﻘﺎق ﻣﻌﺎدﻻ ٍت ﻓﯾزﯾﺎﺋﯾ ٍﺔ ﻣﻌﺗﻣد ٍة ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﺎس واﻟوﺣدات‬ ‫…‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻟﮫ اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة‪،‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم اﻟطﺑﯾﺔ‪:‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻋﻠﻣﺎء اﻷﺣﯾﺎء ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻣن أﺟل ﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل اﻟدﻗﯾﻖ ﻟﻧﻣو ﻣﺳﺗﻌﻣرات اﻟﺑﻛﺗﯾرﯾﺎ ﻋﻧد ﺗﻐﯾﯾر‬ ‫ﻣﺗﻐﯾرا ٍت ﻣﺧﺗﻠﻔ ٍﺔ ﻣﺛل درﺟﺔ اﻟﺣرارة وﻣﺻدر اﻟﻐذاء‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﯾزﯾﺎء‪ :‬ھﻧﺎك ﺣﺎﺟﺔٌ ﻣﺎﺳﺔٌ إﻟﻰ اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﻓﻲ اﻟﻔﯾزﯾﺎء‪ ،‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺣﺗﺎﺟﮫ ﻟﺣﺳﺎب ﻣرﻛز‬ ‫اﻟﻛﺗﻠﺔ وﻣرﻛز اﻟﺟﺎذﺑﯾﺔ وﻟﺣﺳﺎب ﻋزم اﻟﻘﺻور اﻟذاﺗﻲ ﻣﺛ ًﻼ ﻟﺳﯾﺎر ٍة رﯾﺎﺿﯾ ٍﺔ‪ .‬ﯾﺳﺗﻌﻣل أﯾ ًﺿﺎ ﻟﺣﺳﺎب ﺳرﻋﺔ‬ ‫وﻣﺳﺎر ﺟﺳ ٍم ﻣﻌﯾ ٍن‪ ،‬أو ﻣن أﺟل اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﻣوﻗﻊ اﻟﻛواﻛب أو ﻟﻔﮭم اﻟﻛﮭروﻣﻐﻧﺎطﯾﺳﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻹﺣﺻﺎء‪:‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدﻣﮫ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾون ﻟﺗﻘﯾﯾم ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟدراﺳﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﻣن أﺟل اﻟﻣﺳﺎﻋدة ﻓﻲ ﺗطوﯾر ﺧطط اﻟﻌﻣل ﻟﺷرﻛﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬ﻧظ ًرا ﻷن اﻻﺳﺗﺑﯾﺎن ﯾﺗﺿﻣن اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻷﺳﺋﻠﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﻊ ﻣﺟﻣوﻋ ٍﺔ ﻣن اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﻣﺣﺗﻣﻠﺔ‪ ،‬وﻟذﻟك‬ ‫ﻓﺈن ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﺳﻣﺢ ﺑﺗﻧﺑ ٍؤ أﻛﺛر دﻗﺔً ﻟﻺﺟراء اﻟﻣﻧﺎﺳب‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﺣوث‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺣﻠﻠو أﺑﺣﺎث اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﻋﻧد ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻲ اﻟﺷرﻛﺎت‬ ‫اﻟﺻﻧﺎﻋﯾﺔ‪ .‬ﯾﻣﻛن أن ﯾﺳﺎﻋد ھذا اﻷﻣر اﻟﺷرﻛﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺣﺳﯾن ﻛﻔﺎءة اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت وزﯾﺎدة اﻹﻧﺗﺎج وزﯾﺎدة اﻷرﺑﺎح ﻣن‬ ‫ﺧﻼل دراﺳﺔ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟرﺳوﻣﺎت‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻓﻧﺎن اﻟرﺳوﻣﺎت ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺗﺣدﯾد ﺳﻠوﻛﯾﺔ اﻟﻧﻣﺎذج ﺛﻼﺛﯾﺔ اﻷﺑﻌﺎد اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻋﻧد‬ ‫ﺗﻌرﺿﮭﺎ ﻟظرو ٍف ﺳرﯾﻌﺔ اﻟﺗﻐﯾر‪ ،‬إذ ﯾﻣﻛن ﻟﻠﻔﻧﺎن أن ﯾﺧﻠﻖ ﺑﯾﺋﺔً واﻗﻌﯾﺔً ﻟﻸﻓﻼم أو أﻟﻌﺎب اﻟﻔﯾدﯾو‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء‬ ‫ﯾﺗم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﺗﺣدﯾد ﻣﻌدل اﻟﺗﻔﺎﻋل اﻟﻛﯾﻣﯾﺎﺋﻲ وﺗﺣدﯾد ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺿرورﯾﺔ ﻟﺗﻔﺎﻋل اﻟﺗﻼﺷﻲ اﻹﺷﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﻣﺛ ًﻼ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﮭﻧدﺳﺔ‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﮭﻧدﺳو رﺣﻼت اﻟﻔﺿﺎء ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ﻛﺛﯾ ًرا ﻋﻧد اﻟﺗﺧطﯾط ﻟﻣﮭﺎ ٍم طوﯾﻠ ٍﺔ‪ ،‬ﯾﺟب ﻋﻠﯾﮭم‬ ‫ﻣﺛ ًﻼ ﻹطﻼق ﻣﺳﺑﺎر اﺳﺗﻛﺷﺎﻓﻲ أن ﯾراﻋوا ﺳرﻋﺎت اﻟدوران اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻸرض واﻟﻛوﻛب اﻟذي ﯾﺳﺗﮭدﻓﮫ‬ ‫اﻟﻣﺳﺑﺎر‪ ،‬وﻛذﻟك ﺗﺄﺛﯾرات اﻟﺟﺎذﺑﯾﺔ اﻷﺧرى ﻣﺛل اﻟﺷﻣس واﻟﻘﻣر‪.‬‬ ‫ﯾﺗم اﺳﺗﺧدام ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻓﻲ اﻟﮭﻧدﺳﺔ اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ ﻟﺗﺣدﯾد طول ﻛﺑل اﻟطﺎﻗﺔ اﻟﻼزم ﻟﺗوﺻﯾل ﻣﺣطﺗﯾن‬ ‫ﻓرﻋﯾﺗﯾن ﻋﻠﻰ ﺑﻌد أﻣﯾﺎ ٍل ﻋن ﺑﻌﺿﮭﻣﺎ اﻟﺑﻌض‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=p5OWA4mDJSY‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ود�ا��ﺎزﻣﻲ�‬ ‫‪36‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ����اﻟﺘ�ﺎﻣﻞ�و�ﻣﺎ�أ�ﻤﻴﺘﮫ���‬ ‫ﻣﺎ ھو اﻟﺗﻛﺎﻣل؟ ؟‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﯾﺎت داﻟﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ‪ .‬وﯾﻌد اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻋﻛس اﻟﺗﻔﺎﺿل وﯾﺷﺎر اﻟﯾﮭﻣﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻧظرﯾﺔ اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل‪ .‬ﺑدأ اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻣن ﻓﻛرة اﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻻﺷﻛﺎل ﻏﯾر‬ ‫اﻟﻣﻧﺗظﻣﺔ ﻣن ﺧﻼل اﺳﺗﺧدام اﻻﺷﻛﺎل اﻟﻣﻧﺗظﻣﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﺳﺎﺣﺔ وأﻓﺿل اﻻﺷﻛﺎل ھو اﻟﻣﺳﺗطﯾل‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺑر ﻋن ﻋرض اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﺑـ ‪ ������������‬وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ادق ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﺳﺎﺣﺔ ﯾﺟب ﻋﻠﻰ ‪������������‬‬ ‫ان ﺗؤول اﻟﻰ اﻟﺻﻔر‪ .‬وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ ھذا ﻋن طرﯾﻖ اﻟﻌﺑﺎرة ‪ ������������‬ﻓﺑذﻟك ﯾﺻﺑﺢ ﻋرض ﻛل‬ ‫اﻟﻣﺳﺗطﯾﻼت ﯾؤول اﻟﻰ اﻟﺻﻔر‪ .‬وﯾﻌﺑر ﻋن طول اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم ﺑﺎﻟداﻟﺔ )‪ ������(������‬وﺗﺧﺗﻠف ﺑﺣﺳب‬ ‫اﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﺎ ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﻛﯾف ﯾﻌﺑر ﻋن اﻟﺗﻛﺎﻣل رﯾﺎﺿﯾﺎ؟‬ ‫ﯾوﺟد ھﻧﺎك ﻧوﻋﯾن ﻟﻠﺗﻛﺎﻣل‪ :‬ﺗﻛﺎﻣل ﻣﺣدد وﺗﻛﺎﻣل ﻏﯾر ﻣﺣدد‬ ‫اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻐﯾر ﻣﺣدد‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﺣدد‪:‬‬ ‫ﻻ ﯾﻛون ﻟﮫ ﺣدود وﯾﺿﺎف ﻟﻠﻧﺎﺗﺞ ﺛﺎﺑت ‪c‬‬ ‫ﯾﻛون ﻟﮫ ﺣدود ﺑداﯾﺔ وﻧﮭﺎﯾﺔ وﯾﻌﺑر ﻋﻧﮫ ﺑﮭذه‬ ‫ﻟﺗﻌوﯾض اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﺗﺟذف ﻋﻧد اﻻﺷﺗﻘﺎق‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ‪ .‬وﯾﺗم اﻟﺗﻌوﯾض ﺑﺎﻟﺣد اﻷﺻﻐر ﻓﻲ ‪a‬‬ ‫)اﺷﺗﻘﺎق اﻟﺛواﺑت ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر(‪.‬‬ ‫واﻟﺣد اﻷﻛﺑر ﻓﻲ ‪.b‬‬ ‫‪� ������(������)������������‬‬ ‫�‬ ‫‪������ = � ������(������)������������‬‬ ‫�‬ ‫وﺗوﺟد ﻋدة ﻗواﻧﯾن ﻟﺣل اﻟﺗﻛﺎﻣل وھذه ﺑﻌض ﻣﻧﮭﺎ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫�‪������‬‬ ‫‪������������‬‬ ‫=‬ ‫���‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪∫ ������������������������ = − ������������������ ������ + ������‬‬ ‫∫‬ ‫‪������������‬‬ ‫=‬ ‫‪������������|������| + ������‬‬ ‫‪������ + 1‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪∫ ������������������ ������ ������������ = ������������������ ������ + ������‬‬ ‫∫‬ ‫‪������������‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪������������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪������‬‬ ‫|‬ ‫‪∫ ������� ������������ = ������� + ������‬‬ ‫�‪������� − ������‬‬ ‫‪2������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪37‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﻌﻣﺎل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻏﯾر اﻟﻣﺣد ٍد ﻟﺣﺳﺎب اﻹزاﺣﺔ ﻣن اﻟﺳرﻋﺔ واﻟﺳرﻋﺔ ﻣن اﻟﺗﺳﺎرع‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﺗوﺟد أﯾ ًﺿﺎ‬ ‫ﺑﻌض اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺳﺗﻌﻣل ﺑﮭﺎ ھذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟﺗﻛﺎﻣل‪.‬‬ ‫طرﯾﻘﺔ ﻗﯾﺎس ﺣﺟم اﻟﻣﺟﺳم اﻟدوراﻧﻲ‪ :‬ﺗﺷرح ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ ﺣﺟم ﻣﺟﺳ ٍم ذي‬ ‫ﺟواﻧب ﻣﻧﺣﻧﯾﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑراﻣﯾل اﻟﻧﺑﯾذ‪.‬‬ ‫إﯾﺟﺎد اﻟﻧﻘطﺔ اﻟوﺳطﻰ ﻣن ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ‪ :‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠﻌﺛور ﻋﻠﻰ اﻟﻧﻘطﺔ اﻟوﺳطﻰ ﻣن ﻣﺳﺎﺣ ٍﺔ‬ ‫ﻣﻌﯾﻧ ٍﺔ ذات ﺟﺎﻧﺑﯾن ﻣﻧﺣﻧﯾﯾن‪.‬‬ ‫إﯾﺟﺎد ﻋزم اﻟﻌطﺎﻟﺔ‪ :‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﺟﺳم اﻟدوار‪ ،‬إذ ﯾﺗم اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺷﻛل‬ ‫ﻣﻧﺣﻧ ًﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﺟﮭد اﻟﻣﺳﺑب ﺑﺎﻟﻘوة اﻟﻣﺗﻐﯾرة‪ :‬ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺟﮭد اﻟﻣﻧﺟز ﻋﻠﻰ ﺟﺳ ٍم ﻣﺎ ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫ﺗﻛون اﻟﻘوة ﻏﯾر ﺛﺎﺑﺗ ٍﺔ‪ ،‬وﯾﺗﺿﻣن ھذا اﻟﺗطﺑﯾﻖ ﻟﻠﺗﻛﺎﻣل ﻗﺎﻧون ھوك اﻟﻣﺗﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻧواﺑض‪.‬‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﺟﮭد اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋﻧد ﻓﺻل اﻟﺷﺣﻧﺎت اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ ﻋن ﺑﻌﺿﮭﺎ‪ :‬ﺗوﺟد ﻗوةٌ ﺑﯾن اﻟﺷﺣﻧﺎت اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ ﺗﺧﺗﻠف‬ ‫ﺑﺎﺧﺗﻼف ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺷﺣﻧﺔ واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟﺷﺣﻧﺎت‪ ،‬وﻧﻘوم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻌﻣل اﻟﻣﻧﺟز ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺗم ﻓﺻل‬ ‫ھذه اﻟﺷﺣﻧﺎت ﻋن ﺑﻌﺿﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل‪.‬‬ ‫ﻣﻌﯾﺎر إﺻﺎﺑﺎت اﻟرأس‪ :‬ھو ﺗطﺑﯾ ٌﻖ ﻟﻠﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ وﯾﺳﺗﺧدم ﻓﻲ أﺑﺣﺎث اﻟﺳﻼﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟطرق‪.‬‬ ‫ﺣﺳﺎب ﻗوة ﺿﻐط اﻟﺳﺎﺋل‪ :‬ﺗﺧﺗﻠف ﺗﺑﻌًﺎ ﻟﺷﻛل اﻟﺟﺳم وﻋﻣﻘﮫ‪ ،‬وﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﺣﺳﺎب ھذه اﻟﻘوة‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=BsDljmhyV1c&t=244s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﳌﺎر�ا��ﻠ���‬ ‫‪38‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﻣﺎ�أ�ﻤﻴﺔ�اﻷﻋﺪاد�اﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ�و�اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ�؟‬ ‫ﺗوﺿﯾﺢ ﻣﻔﮭوم اﻻﻋداد ‪:‬‬ ‫ﻋﻧﺎﺻر رﯾﺎﺿﯾﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻟﻌد اﻷﺷﯾﺎء ﻣﻔﮭوم ﺧﺎطﺊ ﻗدﯾم ﻋن اﻻﻋداد ﻷن اﻻﻋداد ﻻ ﺗُﺳﺗﺧدم ﻟﻠﻌد ﻓﻘط و ﻣﺛﺎل‬ ‫ذﻟك اﻟﺻﻔر و اﻻﻋداد اﻟﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﺑﺎﻟرﻏم ﻣن ﻛووھﺎ أﻋداد ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ إﻻ أﻧﮭﺎ ﻻ ﺗُﺳﺗﺧدم ﻟﻠﻌد ﺑﺻورة ﻣﺑﺎﺷرة ‪.‬أن‬ ‫ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻟﻣرﻛﺑﺔ أوﺟدت ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻟﻠﺗوﺳﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﺛﻠﻣﺎ ﻛﺎﻧت ﻣﺟﻣوﻋﺔ‬ ‫اﻷﻋداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﺗوﺳﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ) اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ ( وھﻛذا‪.‬‬ ‫ﻣن اﺧﺗرع أو اﺑﺗﻛر اﻟﻌدد اﻟﻣرﻛب‪:‬‬ ‫أن اﻟرﯾﺎﺿﯾﯾن ﺗﻌﺎﻣﻠوا ﻣﻊ ھذا اﻟﻌدد أول ﻣرة ﺧﻼل اﻟﻘرن اﻟﺳﺎدس ﻋﺷر اﻟﻣﯾﻼدي ‪ ،‬وﺑﻌد ﻗرﻧﯾن ﺗوﺳﻊ‬ ‫اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﮫ ﻋﻠﻰ أﯾدي رﯾﺎﺿﯾﯾن ﻣﺛل أوﯾﻠر وﺑرﻧوﻟﻲ و دﯾﻣواﻓر ‪ ،‬واﺳﺗﺧدﻣت اﻷﻋداد اﻟﻣرﻛﺑﺔ ﻓﻲ ھذه اﻟﻔﺗرة‬ ‫ﻓﻲ ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻣﮭﻣﺔ ﻣﺛل اﻟﺟﺑر وﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎدﻻت وﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل واﻟﮭﻧدﺳﺔ ‪ ،‬وأول ﻣن وﺿﻊ‬ ‫ﻟﮫ أﺳﺎس ﻣﻧطﻘﻲ ﻓﮭو ‪ :‬ﺟﺎوس وھﺎﻣﻠﺗون ‪.‬‬ ‫ﻻ ادرى ﻣن اﯾن اﺑدأ‪ ،‬وﻻ ﺗﻌﺟب اذا ﻗﻠت ﻟك ﻟوﻻ اﻷﻋداد اﻟﻌﻘدﯾﺔ ﻟﻣﺎ ﺷﺎھدت ھذا اﻟﺗطﮭور اﻟﮭﺎﺋل ﻓﻰ‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻟﺣدﯾﺛﺔ ‪ ..‬ﻵﺧذك اﻵن اﻟﻰ ﻣﻧﺣﻰ ﺑﻌﯾداً ﻟﻛﻧﻧﺎ اذا ﺗﺄﻣﻠﻧﺎ ﻓﯾﮫ ﺟﯾداً ﺗﺟده ﻗرﯾب ﻛل اﻟﻘرب ‪ ..‬اﻟﺳؤال‬ ‫ھو‪ :‬ھل ﯾﻘود اﻟﺧﯾﺎل اﺣﯾﺎﻧﺎً اﻟﻰ اﻟﻰ ﺗﺻور اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ؟ ھذا ﺳؤال ﻟﯾس ﻣﺟرد ﺳؤال ﺗﺎﻓﮫ ﻓﺣﺳب ﻟﻛﻧﮫ‬ ‫ﯾﺳﺗﻠزم ﻗﺿﯾﺔ ھﺎﻣﺔ ﺟدا ً ﻓﻰ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت وھﻰ اﻹﻧﺗﻘﺎل ﻣن اﻟﺧﯾﺎل اﻟﻌﻠﻣﻰ اﻟﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﻟﻌﻠﻣﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﺈذا ﺗطرﻗﻧﺎ اﻟﻰ اﻟﺧﯾﺎل اﻟﻌﻠﻣﻰ ﺑﺈﻋﺗﺑﺎره ھﻣزة اﻟوﺻل ﺑﯾن اﻟﻼﺣﻘﯾﻘﻰ واﻟﺣﻘﯾﻘﻰ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﺑﻼ ﺷك ﻧدرك اﻧﮫ‬ ‫ﺑدون اﻟﺧﯾﺎل اﻟﻌﻠﻣﻰ ﻟﻣﺎ ﺗوﺻﻠﻧﺎ اﻟﻰ ھذه اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ! اﻵن اذا طﻠﺑت ﻣﻧك ﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ :‬س‪0 = 1 + ²‬‬ ‫ﺳﺗﻘوﻟﻰ ان س‪ 0 = 1 + ²‬ﺗﻘﺗﺿﻰ ان ‪:‬س‪ 1- = ²‬ﺗﻘﺗﺿﻰ ان س =‪±‬ﺟذر)‪(-1‬‬ ‫اﻵن ‪ :‬ﻻ ﯾوﺟد ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻰ اذا رﺑﻌﺗﮫ ﺗﻛون اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﺳﺎﻟﺑﺔ ‪ ..‬ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ وﻣﺑﺎﺷرةً ان ﺟذر)‪ (1-‬ﻻ ﺗﻧﺗﻣﻰ‬ ‫اﻟﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪ ..‬اﻧت اﻣﺎم اﻣر ﻣن اﻣرﯾن اﻣﺎ ﺗﻘول ان اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻓﺎى ‪ ..‬او ان ﺗوﺳﻊ‬ ‫ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷﻋداد ﻟﺗﻛون اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻓﻰ ﺗﻠك اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ‪ ،‬وﺗﺳﻣﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺔ‬ ‫اﻷﻋداد اﻟﻌﻘدﯾﺔ‪ ،‬وھﻰ ﺗﺗﺄﻟف ﻣن ﺟزﺋﯾن ﺟزء ﺣﻘﯾﻘﻰ‪ ،‬وﺟزء ﺗﺧﯾﻠﻰ ‪ ::‬ﻣﺛل ‪2 + 1‬ت‬ ‫ھﻧﺎ اﻟﺟزء اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ‪ ، 1‬واﻟﺟزء اﻟﺗﺧﯾﻠﻰ ‪ 2‬ﺣﯾث ت وﺣدة ﺗﺧﯾﻠﯾﺔ = ﺟذر)‪(-1‬‬ ‫ھذا اﻟﻌدد ﯾﺗﻣﯾز ﺑﺄن ﻣرﺑﻌﮫ ﻋدد ﺳﺎﻟب‪ .‬ت = ﺟذر)‪ ، (1-‬ت‪ ، 1- = ²‬ت‪- = ³‬ت ‪ ،‬ت^‪1 = 4‬‬ ‫اﻵن ‪ :‬س‪ 0 = 1 + ²‬ﻓﺈن ‪ :‬س‪ ، 1- = ²‬وﻣﻧﮭﺎ س = ‪±‬ﺟذر)‪± = (1-‬ت‬ ‫‪39‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أھﻣﯾﺔ اﻻﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪ .‬أھﻣﯾﺔ اﻷﻋداد اﻟﻣرﻛﺑﺔ ‪ :‬اﻷﻋداد اﻟﻌﻘدﯾﺔ أو اﻟﻣرﻛﺑﺔ ذات أھﻣﯾﺔ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﺻورھﺎ و ﺧﺻوﺻﺎً ﻓﻲ ﻣﺟﺎل‬ ‫اﻟﮭﻧدﺳﺔ اﻻﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ و اﻻﺗﺻﺎﻻت ﺣﯾث أﻧﮫ ﻓﻲ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣواﺿﯾﻊ اﻟﮭﻧدﺳﯾﺔ ﻟدﯾﻧﺎ ﻧﻣﺛل اﻟﻣﻘﺎدﯾر اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ‬ ‫ﺑﺷﻛل ﻋﻘدي و ﻧﺣﺻل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻟذﻟك ﻋﻠﻰ ﺣﺳﺎﺑﺎت ﺳﮭﻠﺔ ﻟﻣواﺿﯾﻊ ﻣﻌﻘدة ﺑﺎﻷﺳﺎﻟﯾب اﻟﻌﺎدﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﺳﮭﻠت اﻻﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ أﯾ ًﺿﺎ اﻟﻛﺛﯾر ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻠﻣﺎء اﺑﺗداء ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣوﺟﺎت ) ﻛﺎﻟﺻوت و اﻟﺻوت‬ ‫واﻟﺿوء وﺻوﻻ ﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟدوال اﻟﻣوﺟﯾﺔ و اﻟدورﯾﺔ و رﺑط اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯾن ﻋدة ﻋواﻣل ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟدرات‬ ‫اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻛون ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺗﯾﺎر ﻣﺗرددا ( ‪.‬‬ ‫وﻛذﻟك دور اﻷﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻣﯾﻛﺎﻧﯾك اﻟﻛم وﻣﻌﺎدﻻﺗﮭﺎ ‪ ,‬وﻛﺎن ذﻟك ﺑﺈدﺧﺎل اﻷﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻛوﯾﺗﯾرﯾﻧون وﻣﻊ ﻋﻠم اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‪ ،‬ﻓﯾﻣﻛن ﺑذﻟك ﺿﺑط أﻣور ﻛدوارن اﻹﻟﻛﺗرون ‪ ،‬ھذا ﻋدا ﻋن وﺟوده ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻌﺎﻻت ﺷرودﻧﺟر ‪.‬‬ ‫ﻛذﻟك أھﻣﯾﺔ اﻷﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ واﻟﻌﻘدﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻛﻧﻠوﺟﯾﺎ ﻣن ﺧﻼل ﺗﺣوﯾل ﻓورﯾﯾﮫ واﻟذي ﺗم ذﻛره ﻓﻲ اﻟﻔﯾدﯾو‬ ‫اﺳﺗﺧداﻣﺎ واﺣدا ﻣن اﺳﺗﺧداﻣﺎﺗﮫ اﻟﻛﺛﯾرة وھﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣوﺟﺎت اﻟﺻوﺗﯾﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﺑدو ﻓﻲ اﻟﺑراﻣﺞ اﻟﻣﺷﻐﻠﺔ‬ ‫ﻟﻠﺻوﺗﯾﺎت واﻟﻣوﺳﯾﻘﻰ ‪.‬‬ ‫وأﺧﯾرا‪ ،‬دور اﻷﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ واﻟﻌﻘدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻌﯾد اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻧﻔﺳﮭﺎ ﻣن ﺧﻼل ﺗﻘدﯾم ﺣل ﻷﯾﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺣﻠول‬ ‫ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ وﺗﺧﯾﻠﯾﺔ ﺑﻧﻔس اﻟوﻗت‪ ،‬و إﻋداد اﻟﺛورة اﻟﻛﺑرى ﻓﻲ ﻓرع اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت او ﻓﻲ اﻟﻣﺗﺟﺎھت ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺗﻔﺎﺿل واﻟﺗﻛﺎﻣل ‪ :‬وذﻟك ﻣن ﺧﻼل ﺗﻘدﯾم طرق أﺳﮭل ﻟﻠﺗﺣﻛم ﺑﺎﻟﺧﺻﺎﺋص ﻷي ﻋﻧﺎﺻر رﯾﺎﺿﯾﺔ ﺑﺎﻟﻌﻣوم ﻟﯾس‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﮭﺎت ﺗﺣدﯾدا ﺑل أي ﺷﻲء ) ﻛﻣﺛﺎل اﻹﻟﻛﺗرون ‪. ( . . .‬‬ ‫إذا ﻓﻛرة اﻷﻋداد اﻟﺗﺧﯾﻠﯾﺔ ﺗﻛﻣن ﺑﺈدﺧﺎل آﻟﯾﺔ ﺟدﯾدة ﻟﻠﺗﺣﻛم ﺑﺎﻟﻌﻧﺎﺻر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ ﻋﻣوﻣﺎ‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=VGOITnbFAPI&list=RD‬‬ ‫‪CMUC7XAja7c9O8UPonwAno1sKw&index=9‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﺟﻮان�اﺑﻮ�اﻟﻨﻮر‬ ‫‪40‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أ�ﻤﻴﺔ�ﻋﻠﻢ�ﺣﺴﺎب�اﳌﺜﻠﺜﺎت‬ ‫ﻣﺎھو ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ؟‬ ‫ﻋﻠم ﻣن ﻋﻠوم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﯾدرس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن أﺿﻼع اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت وزواﯾﺎھم و اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟزواﯾﺎ وﺟواﻧب‬ ‫اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت‪ ،‬وﯾﻣﻛن ﺗطﺑﯾﻘﮫ ﻋﻣﻠﯾﺎ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ارﺗﻔﺎع اﻟﻣﺑﺎﻧﻲ وﻏﯾرھﺎ ﻣن اﻷﻣور اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﺣﯾﺎﺗﻧﺎ اﻟواﻗﻌﯾﺔ‪،‬‬ ‫وﯾﺗﻌﻠﻖ ﻋﻠم ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﺑﺎﻟداﻻت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟزواﯾﺎ‪ ،‬ﻣﺛل اﻟﺟﯾب‪ ،‬وﺟﯾب اﻟﺗﻣﺎم‪ ،‬واﻟظل‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣﺛﻠث ﻗﺎﺋم اﻟزاوﯾﺔ أﻛﺛر ﻣﺛﻠث ﻣﮭم ﻓﻲ ﻋﻠم ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﻠزاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ذات اﻟﻘﯾﺎس ‪90‬‬ ‫ﺑِﻣرﺑﻊ ﺻﻐﯾر ﻋﻠﻰ اﻟزاوﯾﺔ وذﻟك ﻟﺗﻣﯾﯾزھﺎ ﻋن اﻟزاوﯾﺗﯾن اﻷﺧرﺗﯾن ‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﺗﻠك اﻟزاوﯾﺗﯾن ﺑﺎﻟرﻣز ‪. θ‬‬ ‫وﯾﺣﺗوي اﻟﻣﺛﻠث ﻋﻠﻰ ﺛﻼث أﺿﻼع وھﻲ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور )‪ : (Adjacent‬ھو اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻘرﯾب ﻣن اﻟزاوﯾﺔ ‪.θ‬‬ ‫‪ .2‬اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل )‪ : (Opposite‬ھو اﻟﺿﻠﻊ اﻟذي ﯾﻘﻊ ﻣﻘﺎﺑل اﻟزاوﯾﺔ ‪.θ‬‬ ‫‪ .3‬اﻟوﺗر )‪ : (Hypotenuse‬ھو اﻟﺿﻠﻊ اﻷطول ﻓﻲ اﻟﻣﺛﻠث‪.‬‬ ‫ﺗﺎرﯾﺦ ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ‪:‬‬ ‫ﺑدأ ﺗﺎرﯾﺦ ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻗﺑل أﻛﺛر ﻣن أﻟﻔﻲ ﻋﺎم‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺑداﯾﺔ‪ ،‬ﻛﺎن ﻣرﺗﺑطﺎ ﺣدوﺛﮫ ﻣﻊ ﺿرورة ﺗﺣدﯾد زواﯾﺎ‬ ‫اﻟﻣﺛﻠث وﻧﺳﺑﺔ اﻻرﺗﻔﺎع‪ .‬ﺧﻼل اﻟﺑﺣث اﺗﺿﺢ أن اﻟﺗﻌﺑﯾر اﻟرﯾﺎﺿﻲ ﻟﮭذه اﻟﻌﻼﻗﺎت ﯾﺗطﻠب إدﺧﺎل اﻟدوال اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ‪ ،‬اﻟﺗﻲ ﻗدﻣت أﺻﻼ ﻛﺟدول اﻟﻌددي‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻠوم اﻟﻣﺗﺣﺎﻟﻔﺔ ﻣﻊ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت زﺧﻣﺎ ﻟﺗطوﯾر ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ھو ﺑﺎﻟﺿﺑط اﻟﺗﺎرﯾﺦ‪ .‬وﺣدة‬ ‫اﻷﺻل ﻗﯾﺎس زاوﯾﺔ )درﺟﺔ( اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﻋﻠﻣﺎء اﻟﺑﺣوث ﺑﺎﺑل اﻟﻘدﯾﻣﺔ‪ ،‬وﯾﺳﺗﻧد ﻋﻠﻰ اﻟﻧظﺎم اﻟﺳﺗﯾﻧﻲ ﻣن اﻟﺣﺳﺎب‪،‬‬ ‫واﻟﺗﻲ أدت إﻟﻰ اﻟﺣدﯾث ﻋﺷري‪ ،‬وﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﻌﻠوم اﻟﺗطﺑﯾﻘﯾﺔ‪.‬‬ ‫وﻣن اﻟﻣﻔﺗرض أن ﻛﺎﻧت ﻣوﺟودة أﺻﻼ ﻛﺟزء ﻣن ﻋﻠم اﻟﻔﻠك وﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت‪ .‬ﺛم ﺑدأت ﻻﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﮭﻧدﺳﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﻣﺎرﯾﺔ‪ .‬وﺑﻣرور اﻟوﻗت‪ ،‬ﻟم ﯾﻛن ھﻧﺎك ﻓﺎﺋدة ﻣن ھذا اﻟﻌﻠم ﻓﻲ ﻣﺧﺗﻠف ﻣﺟﺎﻻت اﻟﻧﺷﺎط اﻟﺑﺷري‪ .‬ھذا‪ ،‬وﻻ‬ ‫ﺳﯾﻣﺎ ﻋﻠم اﻟﻔﻠك واﻟﺑﺣرﯾﺔ واﻟﺟوﯾﺔ واﻟﻣﻼﺣﺔ واﻟﺻوﺗﯾﺎت واﻟﺑﺻرﯾﺎت واﻹﻟﻛﺗروﻧﯾﺎت واﻟﮭﻧدﺳﺔ اﻟﻣﻌﻣﺎرﯾﺔ‬ ‫وﻏﯾرھﺎ‪.‬‬ ‫ﺑدأ ﺗﺎرﯾﺦ ﻧﺷﺄة ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻛﻔرع ﻣﺳﺗﻘل ﻣن اﻟﺗدرﯾﺑﺎت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺻور اﻟوﺳطﻰ‪ .‬وذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫اﺳﺗﺑدل اﻟﻌﻠﻣﺎء اﻟﺟﯾوب وﺗر‪ .‬ھذا اﻻﻛﺗﺷﺎف ﯾﺳﻣﺢ ﻟدﺧول اﻟﻣﮭﺎم اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن اﻟدراﺳﺎت وزواﯾﺎ ﻣﺛﻠث‬ ‫ﻗﺎﺋم اﻟزاوﯾﺔ ‪.‬وھذا ھو‪ ،‬ﻛﺎن ﻓﻲ ذﻟك اﻟﺣﯾن ﺑداﯾﺔ ﻓﺻل ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻣن ﻋﻠم اﻟﻔﻠك‪ ،‬وأﺻﺑﺣت ﻓرع ﻣن‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬ ‫‪41‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫أول أطروﺣﺔ ﻣﺗﺧﺻﺻﺔ ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ظﮭرت ﻓﻲ اﻟﻘرن اﻟﻌﺎﺷر واﻟﺣﺎدي ﻋﺷر‪ .‬ﻛﺎن ﺻﺎﺣﺑﮫ وﺳط‬ ‫ﻋﺎﻟم اﻵﺳﯾوﯾﺔ اﻟﺑﯾروﻧﻲ‪ .‬وﻗﺎل ﻣﻘدم اﻟﺑﻼغ ﻓﻲ اﻟﻘرون اﻟوﺳطﻰ أﻛﺛر ﺗﻌﻣﻖ ﻓﻲ ﻋﻣﻠﮫ اﻟرﺋﯾﺳﻲ \"ﻓﻲ ﻛﺎﻧون‬ ‫ﻣﺳﻌود\" )اﻟﻛﺗﺎب اﻟﺛﺎﻟث(‪ ،‬ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت‪ ،‬ﺟدول اﻟﺟﯾوب )ﻓﻲ اﻟزﯾﺎدات ﻣن ‪ (' 15‬وﺟدول اﻟظﻼل‬ ‫)ﺑزﯾﺎدات ﻣن ‪ 1‬درﺟﺔ( ﻓﻲ اﻟﻌﺻر اﻟﺣدﯾث‪ ،‬أﺻﺑﺢ ﻣﻌظم اﻟﻌﻠﻣﺎء ﻋﻠﻰ ﺑﯾﻧﺔ ﻣن اﻷھﻣﯾﺔ اﻟﺣﺎﺳﻣﺔ ﻟﻌﻠم‬ ‫اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻟﯾس ﻓﻘط ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﻔﻠك واﻟﺗﻧﺟﯾم‪ ،‬وﻟﻛن أﯾﺿﺎ ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت أﺧرى ﻣن اﻟﺣﯾﺎة‪ .‬ھو‪ ،‬أوﻻ وﻗﺑل ﻛل‬ ‫ﺷﻲء‪ ،‬واﻟﻣدﻓﻌﯾﺔ‪ ،‬واﻟﺑﺻرﯾﺎت واﻟﻣﻼﺣﺔ ﻓﻲ رﺣﻼت ﺑﺣرﯾﺔ طوﯾﻠﺔ‪ .‬ﻟذﻟك‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﻧﺻف اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﻘرن‬ ‫اﻟﺳﺎدس ﻋﺷر‪ ،‬واﻟﻣﮭﺗﻣﺔ ﺑﮭذا اﻟﻣوﺿوع ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻧﺎس اﻟﺑﺎرزﯾن ﻓﻲ ذﻟك اﻟوﻗت‪ ،‬ﺑﻣﺎ ﻓﻲ ذﻟك‬ ‫‪ ،Ioganna Keplera ،Nikolaya KOPERNIKA‬ﻓراﻧﺳوا ﻓﯾﯾﺗﺎ‪ .‬ﺗوﻟﻰ ﻛوﺑرﻧﯾﻛوس ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻋدة‬ ‫ﻓﺻول ﺑﺣﺛﮫ \"ﻋﻠﻰ اﻟﺛورات ﻣن اﻟﻣﺟﺎﻻت اﻟﺳﻣﺎوﯾﺔ\" )‪ .(1543‬وﻓﻲ وﻗت ﻻﺣﻖ‪ ،‬ﻓﻲ ‪s 60‬ﻣن اﻟﻘرن‬ ‫اﻟﺳﺎدس ﻋﺷر‪ ،‬رﯾﺗك ‪ -‬ﺗﻠﻣﯾذ ﻛوﺑرﻧﯾﻛوس ‪ -‬ﻣﻣﺎ أدى ﻓﻲ ﻛﺗﺎﺑﮫ \"اﻟﺟزء اﻟﺑﺻري ﻟﻌﻠم اﻟﻔﻠك \"‬ ‫‪ pyatnadtsatiznachnye‬اﻟﺟداول اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت‬ ‫ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻟﯾﺳت ذات اﻟﺻﻠﺔ ﺑﺎﻟﻌﻠوم اﻟﺗطﺑﯾﻘﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة اﻟﯾوﻣﯾﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻧﺎدرا ﻣﺎ ﯾﺗم اﺳﺗﺧداﻣﮫ اﻟﻣﮭﺎم‪.‬‬ ‫وﻣﻊ ذﻟك‪ ،‬ھذا اﻟواﻗﻊ ﻻ ﯾﻘﻠل ﻣن أھﻣﯾﺗﮫ‪ .‬ﻣن اﻟﻣﮭم ﺟدا‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‪ ،‬وھﻲ ﺗﻘﻧﯾﺔ اﻟﺗﺛﻠﯾث اﻟذي ﯾﺳﻣﺢ‬ ‫ﻟﻠﻔﻠﻛﯾﯾن ﻟﻘﯾﺎس ﺑدﻗﺔ ﺟدا اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﻧﺟوم اﻟﺗﻔﻛﯾر ورﺻد ﺳواﺗل اﻟﻣﻼﺣﺔ‪.‬أﯾﺿﺎ‪ ،‬ﯾﺗم اﺳﺗﺧدام ﺣﺳﺎب‬ ‫اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﻼﺣﺔ‪ ،‬وﻧظرﯾﺔ اﻟﻣوﺳﯾﻘﻰ واﻟﺻوﺗﯾﺎت واﻟﺑﺻرﯾﺎت‪ ،‬وﺗﺣﻠﯾل اﻷﺳواق اﻟﻣﺎﻟﯾﺔ‪ ،‬واﻻﻟﻛﺗروﻧﯾﺎت‪،‬‬ ‫وﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت واﻹﺣﺻﺎءات‪ ،‬وﻋﻠم اﻷﺣﯾﺎء واﻟطب )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‪ ،‬ﻓﻲ ﻓك رﻣوز اﻟﻣوﺟﺎت ﻓوق‬ ‫اﻟﺻوﺗﯾﺔ اﻟﻣوﺟﺎت ﻓوق اﻟﺻوﺗﯾﺔ واﻟﺗﺻوﯾر اﻟﻣﻘطﻌﻲ(‪ ،‬اﻟﺻﯾدﻟﺔ‪ ،‬واﻟﻛﯾﻣﯾﺎء‪ ،‬وﻧظرﯾﺔ اﻷﻋداد‪ ،‬وﻋﻠم اﻟزﻻزل‬ ‫واﻷرﺻﺎد اﻟﺟوﯾﺔ وﻋﻠم اﻟﻣﺣﯾطﺎت ورﺳم اﻟﺧراﺋط‪ ،‬واﻟﻔﯾزﯾﺎء‪ ،‬واﻟطوﺑوﻏراﻓﯾﺎ واﻟﺟﯾودﯾﺳﯾﺎ‪ ،‬واﻟﮭﻧدﺳﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﻣﺎرﯾﺔ‪ ،‬ﻋﻠم اﻷﺻوات‪ ،‬واﻻﻗﺗﺻﺎد‪ ،‬واﻟﮭﻧدﺳﺔ اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ‪ ،‬واﻟﮭﻧدﺳﺔ اﻟﻣﯾﻛﺎﻧﯾﻛﯾﺔ‪ ،‬رﺳوﻣﺎت اﻟﺣﺎﺳوب‪،‬‬ ‫اﻟﺑﻠورات‪ ،‬وھﻠم ﺟرا‪ .‬د ﻣﻧﺎطﻖ ﻋدﯾدة‪ .‬إن ﺗﺎرﯾﺦ ﻋﻠم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت ودورھﺎ ﻓﻲ اﻟدراﺳﺔ ودرس اﻟﻌﻠوم اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫واﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ ﺣﺗﻰ ﯾوﻣﻧﺎ ھذا‪ .‬رﺑﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑل‪ ،‬وﺗطﺑﯾﻘﺎﺗﮭﺎ ﯾﻛون أﻛﺑر‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=1QI0ZYyViQg‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ﻟﻴﺎن�ﻛﺪاف�‬ ‫‪42‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﻟﺴﺪا����ا��ﺎرق�ﻟﻠ�ﺴﺐ�اﳌﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻣﺎ ھﻲ اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ھﻲ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﺧﺎﺻﺔ ﻟﻠﻣﺛﻠث اﻟﻘﺎﺋم‪ ،‬وﺗﺳﺗﺧدم ﻹﯾﺟﺎد ﺿﻠﻊ ﻣﺟﮭول أو زاوﯾﺔ ﻣﺟﮭوﻟﺔ‪ ،‬أو ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ‬ ‫اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت اﻟﻣﺗﺷﺎﺑﮭﺔ ﻓﺈذا ﻋﻠﻣﻧﺎ أن ﻣﺛﻠﺛﯾن ﻣﺗﺷﺎﺑﮭﯾن ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ أﯾﺟﺎد أطوال اﻷﺿﻼع‬ ‫اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ إذا ﻋﻠﻣﻧﺎ طول ﺿﻠﻊ واﺣد ﻓﻘط ﻣن اﻟﺛﻼﺛﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪ ،‬اﻟﻣﺗطﺎﺑﻘﺎت اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺗﺎج ﻟﺣﻔظﮭﺎ ﻹﺛﺑﺎت ﺻﺣﺔ ﻣﺗطﺎﺑﻘﺎت ﻣﺛﻠﺛﯾﺔ او إﯾﺟﺎد ﻧﺳب ﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫ﻣﺟﮭوﻟﺔ أو ﻟﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ و ھﻲ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺎت ﺗﺗﺄﻟف ﻣن دوال ﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‪ ,‬وھﻲ ﻧوع ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟدوال اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ )‪ (tan ،cos ،sin‬أو ﻣﻘﻠوﺑﺎﺗﮭﺎ ﺑﺣﯾث ﺗﻛون اﺣدى زواﯾﺎ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺟﮭوﻟﺔ‬ ‫وﺗﺣل ھذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت ﻛﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺟﺑرﯾﺔ اﻟﻌﺎدﯾﺔ وﺑطرق اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣﻌروﻓﺔ‬ ‫ھﻧﺎك اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯾن اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ ﻟذﻟك ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ھذا اﻟﺳداﺳﻲ ﻟﺗﺳﮭﯾل ﺣﻔظ ھذه اﻟﻌﻼﻗﺎت‪.‬‬ ‫طرﯾﻘﺔ رﺳم اﻟﺳداﺳﻲ اﻟﺧﺎرق‪:‬‬ ‫‪Sin Cos‬‬ ‫‪ -1‬ﻧرﺳم اﻟﺷﻛل اﻟﺳداﺳﻲ ﺛم ﻧﺻل ﺑﯾن ﻛل رأﺳﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﯾن‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻧﺿﻊ اﻟرﻗم واﺣد ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻧظﻠل اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﻛون رأﺳﮭﺎ ﻟﻸﺳﻔل وﻗﺎﻋدﺗﮭﺎ ﻟﻸﻋﻠﻰ وھﻲ ‪ 3‬ﻣﺛﻠﺛﺎت‪Tan 1 Cot .‬‬ ‫‪ -4‬ﻧرﺳم ‪ 3‬أﺳﮭم ﺑﺎﻻﺗﺟﺎه ﻣن اﻟﯾﻣﯾن إﻟﻰ اﻟﯾﺳﺎر أو ﻣن اﻟﯾﺳﺎر إﻟﻰ اﻟﯾﻣﯾن‬ ‫ﻛﻼھﻣﺎ ﺻﺣﯾﺢ ﻷﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑﻛﻼ اﻟﺟﮭﺗﯾن‪.‬‬ ‫‪Sec Cosec‬‬ ‫‪ -5‬ﻧﺑدأ ﺑوﺿﻊ اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ اﺑﺗدا ًء ﻣن ‪ Tan‬ﺛم ‪ Sin‬ﺛم ‪Cos‬‬ ‫‪������������������������‬‬ ‫=‬ ‫����‬ ‫اﺳﺗﻧﺎ ًدا ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫����‬ ‫‪ -6‬ﻧﺿﻊ أﻣﺎم ‪ Tan‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻌﻛﺳﯾﺔ ﻟﮭﺎ وھﻲ ‪ Cot‬وﻧﺟﻌل ﻛل اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺑدأ ﺑﺣرف اﻟـ ‪ C‬ﻓﻲ اﻟﺟﮭﺔ‬ ‫اﻟﯾﻣﻧﻰ ﻟﻠﺳداﺳﻲ ﻓﯾﺗﺑﻘﻰ ﻟﻧﺎ اﻟداﻟﺔ ‪ Sec‬ﻧﺿﻌﮭﺎ ﻋﻧد اﻟرأس اﻟﻣﺗﺑﻘﻲ ﻟﻠﺳداﺳﻲ )ﺑطرﯾﻘﺔ أﺧرى ﻧﺿﻊ ﻛل داﻟﺔ‬ ‫ﻋﻛﺳﯾﺔ ﻣﻘﺎﺑل داﻟﺗﮭﺎ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ(‪.‬‬ ‫ﻓﯾظﮭر ﻟﻧﺎ اﻟﺳداﺳﻲ ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﺑﺎﻷﻋﻠﻰ‪.‬‬ ‫اﺳﺗﻧﺗﺎج اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯾن اﻟدوال ﻋن طرﯾﻖ اﻟﺳداﺳﻲ اﻟﺧﺎرق‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻛل ‪ 3‬ﻧﺳب ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺳداﺳﻲ ﺗﻛون اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﻓﯾﮭﺎ ﺗﺳﺎوي ﺣﺎﺻل ﻗﺳﻣﺔ اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪(������������������������‬‬ ‫=‬ ‫����‬ ‫)ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫اﻟﺳﺎﻋﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎرب‬ ‫ﻋﻛس‬ ‫أو‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺳواء‬ ‫اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫����‬ ‫‪ -2‬ﻛل ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺳداﺳﻲ ﺗﺳﺎوي ﺣﺎﺻل ﺿرب اﻟﻧﺳﺑﺗﯾن اﻟﻣﺟﺎورﺗﯾن ﻟﮭﺎ واﺣدة ﻣن اﻟﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﻧﻰ‬ ‫واﻷﺧرى ﻣن اﻟﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳرى )ﻣﺛﺎل‪(������������������������ = ������������������������. ������������������������������������ :‬‬ ‫‪43‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪ -3‬ﻟﻧﺳﺗﺧدم اﻟرﻗم ‪ 1‬اﻟﻣوﺟود ﻓﻲ ﻣﻧﺗﺻف اﻟﺳداﺳﻲ‪ ،‬ﻛل ﻧﺳﺑﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﺗﯾن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻘطر ﺗﻛون‬ ‫�‬ ‫‪������������������������‬‬ ‫=‬ ‫����‬ ‫)ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﯾﻛون‬ ‫ﺿرﺑﮭﻣﺎ‬ ‫ﺣﺎﺻل‬ ‫ﻟذﻟك‬ ‫اﻷﺧرى‬ ‫ﻣﻘﻠوب‬ ‫إﺣداھﻣﺎ‬ ‫أو‪( ������������������������. ������������������������ = 1‬‬ ‫‪ -4‬ﻟﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻣﺛﻠﺛﺎت اﻟﻣظﻠﻠﺔ‪ ،‬ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﻲ ﻣﺎ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋدة اﻟﻣﺛﻠث ﯾﺳﺎوي ﻣرﺑﻊ ﻣﺎ ﻋﻠﻰ رأﺳﮫ )ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫�‪(������������������������� + ������������������������� = 1‬‬ ‫‪ -5‬ﻛل ﻧﺳﺑﺔ ﺗﺳﺎوي اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻷﺳﮭم اﻟزرﻗﺎء ﻣﺿروﺑﺔ ﻓﻲ )‪) (90° − ������‬ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫)‪( ������������������������ = ������������������������(90° − ������‬‬ ‫ﺗوﺿﯾﺢ ‪:‬‬ ‫*ﺟﯾب اﻟزاوﯾﺔ ‪ (sin Θ):‬ﺣﺎﺻل طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ﻣﻘﺳوﻣﺎً‬ ‫ﻋﻠﻰ طول اﻟوﺗر ﻓﻲ ﻣﺛﻠث ذي زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻣﺔ‪.‬‬ ‫*ﺗﺟب اﻟزاوﯾﺔ أو ﺟﯾب اﻟﺗﻣﺎم ‪ (cos Θ):‬ﺣﺎﺻل طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور‬ ‫ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ﻣﻘﺳوﻣﺎً ﻋﻠﻰ طول اﻟوﺗر ﻓﻲ ﻣﺛﻠث ذي زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻣﺔ‪.‬‬ ‫*ظل اﻟزاوﯾﺔ ‪ (tan Θ):‬ﺣﺎﺻل ﻗﺳﻣﺔ ﺟﯾب اﻟزاوﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺟب اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫أو طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ﻣﻘﺳوﻣﺎً ﻋﻠﻰ طول اﻟﻣﺟﺎور‪.‬‬ ‫*ﺗظل اﻟزاوﯾﺔ أو ظل اﻟﺗﻣﺎم ‪ (cot Θ):‬ﺣﺎﺻل ﻗﺳﻣﺔ ﺗﺟب اﻟزاوﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺟب اﻟزاوﯾﺔ أو ﻣﻘﻠوب ظل اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫أو طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور ﻣﻘﺳوﻣﺎً ﻋﻠﻰ طول اﻟﻣﻘﺎﺑل‪.‬‬ ‫*ﻗﺎطﻊ اﻟزاوﯾﺔ أو اﻟﺗﻣﺎم ‪ (sec Θ):‬ﻣﻘﻠوب ﺗﺟب اﻟزاوﯾﺔ أو ﻧﺳﺑﺔ طول اﻟوﺗر إﻟﻰ اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور ﻟﻠزاوﯾﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺛﻠث ﻗﺎﺋم‪.‬‬ ‫* ﻗﺎطﻊ ﺗﻣﺎم اﻟزاوﯾﺔ )‪ :(cosec Θ‬ﻣﻘﻠوب ﺟب اﻟزاوﯾﺔ أو ﻧﺳﺑﺔ طول اﻟوﺗر إﻟﻰ اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﻠزاوﯾﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺛﻠث ﻗﺎﺋم‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫‪https://www.youtube.com/watch?v=79LISck6MZI&t=47s‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬رزان�اﻟﺒﻮق‬ ‫‪44‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﻟﺪوال�اﳌﺜﻠﺜﻴﺔ�اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ���؟‬ ‫‪45‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫ﺑﺎرﻛود ﻓﯾدﯾو ﻋن اﻟﻣوﺿوع‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬آﻳﺔ��ﺎﻣﻞ�‬ ‫‪https://youtu.be/fq3cjrD8pNY‬‬ ‫‪46‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪47‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪48‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫‪49‬‬

‫ﻣﺸﺮوع�ﻣﺎدة�ر�ﺎﺿﻴﺎت�‪4‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ�‪�:‬ر�ﻒ�اﻟﺮو���‬ ‫‪50‬‬