หน่วย2_เมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ ความหมายของเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ หมายถงึ การนาจานวนจริงหรือจานวนเชงิ ซ้อน มาเขียนในรูปแถวและหลัก ซึง่ ถกู ล้อมรอบด้วย ( ) หรือ [ ] แตล่ ะจานวนในเมทริกซ์ เรียกวา่ สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ สมาชิกของ เมทริกซ์ ทเี่ รยี งกนั อยตู่ ามแนวนอน เรยี กว่าสมาชิกทอี่ ยใู่ นแถว (row) และแนวตง้ั เรียกวา่ สมาชิกที่อยใู่ นหลกั (column) ของเมทรกิ ซ์ ตามลาดบั

ระบบสมการเชงิ เส้นและเมทริกซ์ บทนยิ าม 1 สาหรับแต่ละจานวนเตม็ บวก m และ n ใดๆ ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์ ซงึ่ มี m แถว n หลัก กลา่ ววา่ A เป็น m x n เมทริกซ์ และกลา่ ววา่ A มีมติ ิ (dimension) เท่ากบั m x n โดยทวั่ ไป เราจะเขยี นสญั ลกั ษณ์ A = [aij]m x n โดยท่ี aij แทนสมาชกิ ของเมทริกซ์ A ในแถวที่ i หลักท่ี j a11 a12 a1n แถวท่ี 1 (R1) 1 23 a21 a22 a2n แถวที่ 2 (R2) ตวั อย่าง เชน่ A = 2 32 am1 am2 amn แถวที่ m (Rm) 5 0 7 3x3 หลกั ที่ 1 (C1) หลกั ท่ี 2 (C2) หลกั ที่ n (Cn)

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ ขอ้ ตกลงเบอื้ งต้นเก่ยี วกับเมทริกซ์ 1 นิยมใช้อกั ษร A, B, C, … เปน็ ช่อื ของเมทริกซ์ 2 แต่ละจานวนในเมทริกซ์ เรยี กวา่ สมาชกิ ของเมทริกซ์

ระบบสมการเชงิ เส้นและเมทริกซ์ ขอ้ ตกลงเบอ้ื งต้นเก่ยี วกบั เมทรกิ ซ์ 3 สมาชกิ ที่เรียงกนั ในแนวนอนแตล่ ะแนว เรยี กว่า แถว (Row) สมาชิกที่เรยี งกนั ในแนวตัง้ แต่ละแนว เรยี กวา่ หลกั (Column) หลักท่ี 2 หลกั ที่ 1 หลกั ที่ 3 1 23 แถวที่ 1 เชน่ A = 2 3 2 แถวท่ี 2 แถวที่ 3 507

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ ข้อตกลงเบือ้ งตน้ เกี่ยวกับเมทริกซ์ 4 เราจะใช้ aij แทนสมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ในแถวท่ี i หลกั ที่ j 1 23 a11 = ……1 … a13 = ……3… จาก A = 2 3 2 a22 = …-…3… a31 = ……5… 507

ระบบสมการเชงิ เส้นและเมทรกิ ซ์ ข้อตกลงเบ้อื งต้นเกยี่ วกับเมทรกิ ซ์ 5 รปู แบบการคูณ แถว x หลกั หรอื m x n เรียกว่า มติ ิของเมทรกิ ซ์ 1 2 -1 0 มี 3 แถว 4 หลกั B= 3 1 1 4 ดังน้ัน มติ ิของเมทรกิ ซ์ B คือ 3 × 4 0 4 2 -5 1 2 -1 0 B= 3 1 1 4 0 4 2 -5 3 × 4

แบบฝึกหดั ท่ี 1 1. จงบอกมิตขิ องเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปนี้

แบบฝกึ หัดที่ 1 1. 1. จงบอกมติ ขิ องเมทรกิ ซ์ต่อไปน้ี

แบบฝกึ หดั ท่ี 1 1. 2. จงบอกสมาชิกของเมทริกซ์ A = [aij]m x n

แบบฝกึ หดั ที่ 1 1. 3. จงบอกจานวนสมาชิกของ

แบบฝึกหัดที่ 1 1. 4. จงเขียนเมทริกซแ์ บบแจกแจงสมาชกิ จากเงอื่ นไขตอ่ ไปน้ี 1) ถา้ A = [aij]3 x 3 กาหนดว่า ถ้า i + j เป็นเลขค่ี แล้ว aij = 3 และถา้ i + j เปน็ เลขคู่ แลว้ aij = -1

แบบฝึกหดั ที่ 1 1. 4. จงเขยี นเมทริกซแ์ บบแจกแจงสมาชกิ จากเงอื่ นไขต่อไปน้ี 0 ;i<j 2) ถา้ A = [aij]3 x 3 โดยท่ี aij = −1 ; i = j 1 ;i>j

แบบฝกึ หดั ท่ี 1 1. 4. จงเขยี นเมทริกซแ์ บบแจกแจงสมาชิกจากเงอ่ื นไขตอ่ ไปน้ี 3) B = [bij]3 x 2 โดยที่ bij = 2i - 2j

แบบฝึกหัดที่ 1 1. 4. จงเขยี นเมทรกิ ซแ์ บบแจกแจงสมาชิกจากเงอื่ นไขตอ่ ไปน้ี 4) C = [cij]4 x 4 โดยท่ี cij = 1 เมื่อ i = j และ cij = 0 เมอ่ื i ≠ j

แบบฝกึ หัดท่ี 1 1. 1) 2a12 + b31 - 5c22 2) (a13 + c23) × (-b31) 3) (b11 - b31) - (a11 - c21)

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ 1. การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์ บทนยิ าม 2 ให้ A = [aij]m x n และ B = [bij]m x n A = B ก็ต่อเมือ่ A และ B มมี ิติเท่ากัน และ aij = bij นั่นคอื เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากัน ก็ตอ่ เมื่อ A และ B มมี ติ เิ ท่ากัน และสมาชิกในตาแหน่งเดียวกนั มคี ่าเทา่ กันทกุ ตวั

แบบฝกึ หัดท่ี 2 1. 1. เมทรกิ ซ์ต่อไปนี้มีเมทรกิ ซ์ใดบา้ งท่ีเทา่ กัน

แบบฝกึ หัดท่ี 2 1. 2. จงหาค่าของตวั แปรท่ที าใหก้ ารเท่ากันของเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ

แบบฝึกหดั ท่ี 2 1.

แบบฝึกหดั ท่ี 2 1.

แบบฝึกหดั ท่ี 2 1.

แบบฝึกหดั ท่ี 2 1.

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทรกิ ซ์ เมทริกซ์เฉพาะบางเมทรกิ ซ์ 1. เมทริกซแ์ ถว (Row matrix) คือ เมทริกซ์ทมี่ เี พยี งแถวเดยี ว 2. เมทรกิ ซห์ ลกั (Column matrix) คอื เมทริกซ์ทม่ี เี พียงหลักเดยี ว

ระบบสมการเชงิ เสน้ และเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์เฉพาะบางเมทรกิ ซ์ 3. เมทรกิ ซศ์ นู ย์ (Zero matrix) คอื เมทรกิ ซ์ที่มสี มาชิกทกุ ตวั เป็นศนู ย์

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทริกซ์ เมทรกิ ซ์เฉพาะบางเมทริกซ์ 4. เมทรกิ ซ์จตั รุ ัส (Square matrix) คือ เมทริกซท์ ีม่ จี านวนแถวและจานวนหลักเทา่ กัน ในเรอื่ งเมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั มสี าระเพมิ่ เตมิ ดงั น้ี 1) สมาชกิ ในแนวทแยงมมุ หลกั ของเมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั

ระบบสมการเชงิ เสน้ และเมทริกซ์ เมทรกิ ซ์เฉพาะบางเมทริกซ์ 2) เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซจ์ ตั รุ ัสท่มี สี มาชกิ ในแนว ทแยงมุมหลกั เปน็ 1 ตลอด โดยทสี่ มาชกิ ตัวอนื่ ๆ เป็นศูนย์ท้งั หมด ใชส้ ญั ลกั ษณ์ In แทนเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณม์ ิติ n × n

โจทยเ์ สรมิ ประสบการณ์ 1 การเทา่ กนั ของเมทริกซ์ 1. 1. 2. 3. 4. จงตรวจสอบวา่ A = B หรอื ไม่ 5.

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทรกิ ซ์ เมทริกซ์ท่มี ีสมบัตพิ เิ ศษ 1. เมทริกซส์ มมาตรและเมทริกซเ์ สมอื นสมมาตร 1.1 เมทรกิ ซส์ มมาตร (Symetric Matrix) เมทรกิ ซ์จตั ุรัส A ใด ๆ เรยี กว่าเมทริกซ์สมมาตร กต็ อ่ เมอ่ื At = A พบว่า At = A เรียกเมทรกิ ซ์ A วา่ เมทริกซส์ มมาตร

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทรกิ ซ์ สมบัตขิ องเมทริกซส์ มมาตร ⋄ ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใด ๆ จะได้วา่ 1. A + At เปน็ เมทรกิ ซ์สมมาตร 2. AAt และ AtA เปน็ เมทรกิ ซ์สมมาตร ⋄ ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซ์สมมาตรใด ๆ จะได้วา่ 1. kA เปน็ เมทริกซ์สมมาตร สาหรับจานวนจริง k ใด ๆ 2. AAt = AtA 3. A2 เป็นเมทรกิ ซ์สมมาตร

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ทม่ี ีสมบัติพิเศษ 1. เมทริกซส์ มมาตรและเมทรกิ ซเ์ สมอื นสมมาตร 1.2 เมทริกซเ์ สมือนสมมาตร (Skew-Symetric Matrix) เมทรกิ ซ์จตั ุรัส A ใด ๆ เรียกว่าเมทริกซ์เสมอื นสมมาตร กต็ อ่ เมอ่ื At = -A พบวา่ At = -A เรียกเมทรกิ ซ์ A ว่า เมทริกซเ์ สมอื นสมมาตร

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ สมบตั ิของเมทริกซเ์ สมอื นสมมาตร ⋄ ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรัสใด ๆ จะได้ว่า 1. A - At เป็นเมทรกิ ซ์เสมือนสมมาตร ⋄ ถ้า A เปน็ เมทริกซ์เสมือนสมมาตรใด ๆ จะไดว้ ่า 1. kA เปน็ เมทริกซเ์ สมอื นสมมาตร สาหรับจานวนจริง k ใด ๆ 2. AAt = AtA

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ เมทริกซ์ท่มี สี มบตั ิพิเศษ 2. เมทริกซเ์ ชงิ แทยงมมุ และเมทรกิ ซเ์ ชงิ สามเหลย่ี ม 2.1 เมทรกิ ซ์เชิงแทยงมมุ - เมทริกซ์จตั รุ ัสท่สี มาชกิ ของเมทริกซ์ท่ีอยเู่ หนอื และใต้ของทแยงมมุ หลกั เปน็ ศูนย์ เรียกเมทริกซ์จัตรุ ัสนี้ว่า เมทริกซเ์ ชงิ แทยงมมุ เช่น

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทรกิ ซ์ - ถา้ เมทริกซ์เชิงแทยงมุมบางเมทรกิ ซ์ มสี มาชิกบนทแยงมมุ หลกั เท่ากันทกุ ตัว เรยี กเมทรกิ ซเ์ ชิงแทยงมุมนว้ี า่ สเกลารเ์ มทรกิ ซ์ เชน่ - ถา้ สมาชิกบนทแยงมุมหลกั เป็น 1 ทุกตัว เรียกว่า เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ทีม่ สี มบัตพิ เิ ศษ 2. เมทรกิ ซเ์ ชงิ แทยงมมุ และเมทรกิ ซเ์ ชิงสามเหลย่ี ม 2.2 เมทรกิ ซเ์ ชงิ สามเหล่ียม เมทริกซ์เชงิ สามเหลีย่ มมสี องชนดิ คอื - เมทริกซ์เชิงสามเหล่ยี มบน (upper triangular matrix) และ - เมทรกิ ซ์เชงิ สามเหลยี่ มล่าง (lower triangular matrix)

ระบบสมการเชงิ เสน้ และเมทรกิ ซ์ - เมทริกซ์จตั ุรสั A ใด ๆ เรียกว่า เมทรกิ ซเ์ ชงิ สามเหลย่ี มบน กต็ ่อเมื่อ aij = 0 สาหรับ i และ j ทุกตวั ท่ี i > j “จะได้วา่ สมาชกิ ทุกตวั ทอ่ี ยู่ใต้ทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ เรยี กว่า เมทริกซเ์ ชงิ สามเหลยี่ มบน”

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ - เมทรกิ ซ์จัตุรัส A ใด ๆ เรียกว่า เมทรกิ ซเ์ ชิงสามเหลย่ี มลา่ ง กต็ อ่ เมอ่ื aij = 0 สาหรับ i และ j ทกุ ตัวที่ i < j “จะได้ว่าสมาชกิ ทกุ ตวั ท่อี ยเู่ หนือทแยงมุมหลกั เป็นศูนย์ เรียกว่า เมทรกิ ซเ์ ชิงสามเหลย่ี มลา่ ง”

ระบบสมการเชงิ เสน้ และเมทรกิ ซ์ 5. ดเี ทอรม์ แิ นนต์ (Determinant) ดีเทอรม์ แิ นนต์ (Determinant) คือฟังกช์ นั หนึ่งที่ใหผ้ ลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ซ่ึงข้ึนอยู่กับคา่ ของ n ในมิติ n × n ของเมทรกิ ซจ์ ตั ุรัส A 5.1 ดีเทอรม์ แิ นนต์ (Determinant) ของเมทรกิ ซม์ ติ ิ 2 × 2

ระบบสมการเชงิ เส้นและเมทรกิ ซ์ 5. ดเี ทอร์มิแนนต์ (Determinant) ab det(A) = c d = ad - bc จะเห็นไดว้ ่า det(A) หาได้จากการนาผลคณู ของจานวนตามเสน้ ทึบในแนวทแยง ลบด้วยผลคูณของจานวนตามเสน้ ประในแนวทแยง

ระบบสมการเชงิ เสน้ และเมทรกิ ซ์ 5. ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant) 10 = 0 1 = (1)(1) – (0)(0) = 1 12 = 3 4 = (1)(4) – (3)(2) = 4 – 6 = -2

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ 5. ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant) 5.2 ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant) ของเมทรกิ ซม์ ติ ิ 3 × 3

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ 5. ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant) หรือกลา่ วได้ว่า ให้เขยี นหลักท่ี 1 และ 2 ตอ่ ไปอีก 2 หลกั แลว้ ใช้การคณู ทแยงลง นามาบวกกัน ลบกับจานวนท่ีคณู ทแยงขนึ้ ดงั นี้ det(A) = a b c a b def de ghi gh = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ 5. ดเี ทอรม์ ิแนนต์ (Determinant) 1 2 31 2 = 0 + (-2) + 0 – (-12) – (-2) - 0 det(A) = 0 4 1 0 4 = -2 + 12 + 2 -1 -2 0 -1 -2 = 12

ระบบสมการเชงิ เส้นและเมทรกิ ซ์ 5. 1 y y1 y = 1 + y3 + y3 - y2 - y2 - y2 det(A) = y 1 y y 1 = 2y3 - 3y2 + 1 y y 1y y จะได้ 2y3 - 3y2 + 1 = 0 (2y + 1)(y – 1)(y – 1) = 0 1 ดงั น้นั y = 1, -2

สมบตั ขิ องดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ ให้ A, B เปน็ เมทรกิ ซ์มติ ิ n × n และ k, p เปน็ จานวนจรงิ 1. ถา้ det(A) = det(B) ไมจ่ าเป็นวา่ A = B 2. det(A ± B) ≠ det(A) ± det(B) A = B → det(A) = det(B) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(kA) = kndet(A) 5. det(Ap) = (det(A))p

สมบตั ิของดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์ 6. det(At) = det(A) 7. det(A−1) = 1 det( A ) 8. det(In) = 1 9. det(0) = 0

สมบตั ิของดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ 10. ถ้า A มแี ถวใดแถวหนึง่ (หรือหลักใดหลกั หนึ่ง) เป็น 0 ท้งั แถว (หรอื ทั้งหลกั ) จะได้ det(A) = 0 015 เชน่ 0 2 4 = 0 077 11. ถา้ A มสี องแถว (หรือสองหลัก) ใด ๆ เทา่ กัน จะได้วา่ det(A) = 0 -1 1 5 เชน่ 3 0 3 = 0 -1 1 5

สมบตั ขิ องดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ 12. ถ้า B เกดิ จาก A โดยการสลับแถวคใู่ ดคู่หน่ึง (หรอื หลกั คูใ่ ดคหู่ นึ่ง) จะได้ det(B) = -det(A) -1 2 3 -1 2 3 เช่น A = 4 1 4 , B = 3 6 7 จะได้ det(B) = -det(A) 3 67 4 14

สมบัตขิ องดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์ 13. ถ้า B เกิดจาก A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลกั หน่งึ ) ดว้ ยค่าคงตัว k จะได้ว่า det(B) = kdet(A) เช่น จะได้ det(B) = kdet(A) ka11 ka12 ka1n ขอ้ 4 ka21 ka22 จาก det(kA) = ka2n = k∙k∙k∙…∙kdet(A) = kndet(A) kan1 kan2 kann n ตวั

สมบัตขิ องดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ 14. ถ้า A มแี ถวใดแถวหนึ่ง (หรอื หลักใดหลักหนงึ่ ) เท่ากบั ผลบวกของแถว (หรือหลกั ) ท่เี หลอื ของ A จะได้ว่า det(A) = 0 abc -1 0 1 เช่น d e f = 0 , 3 3 0 = 0 ad be cf -5 9 14 15. ถ้า A = [aij]n x n เป็นเมทรซิ ์สามเหลย่ี ม แลว้ det(A) = a11 a22 a33 ... ann (ผลคณู ของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก) -1 0 0 -2 0 0 เชน่ 3 3 0 = -1 × 3 × 14 = -42 , 0 3 0 = -18 -5 9 14 0 03

สมบตั ิของดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ 16. ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซน์ อนซงิ กลู าร์ (เมทรกิ ซไ์ ม่เอกฐาน) ก็ตอ่ เมือ่ det(A) ≠ 0 ซง่ึ A เป็นเมทริกซ์ท่ีหาอินเวอรส์ การคณู ได้ และถ้า A เป็นเมทรกิ ซซ์ งิ กลู าร์ (เมทรกิ ซเ์ อกฐาน) ก็ตอ่ เมื่อ det(A) = 0 ซ่ึง A เปน็ เมทรกิ ซ์ทหี่ าอนิ เวอรส์ การคณู ไมไ่ ด้