mablits math

И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ) Учебное пособие Омск – 2010

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (В ФОРМУЛАХ, ТАБЛИЦАХ, РИСУНКАХ) Учебное пособие Издание 2-е, исправленное и дополненное Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям: 190600 «Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования»,140500 «Энергомашиностроение», 140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии» Омск СибАДИ 2010

УДК 51(083) ББК 22.1я 2 Б 12 Рецензенты: А.К. Гуц, д-р физ.-мат. наук, профессор, декан факультета компьютерных наук, заведующий кафедрой кибернетики Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского; Л.Г. Кузнецова, д-р пед. наук Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей. Бабичева И.В., Болдовская Т.Е. Б 12 Справочник по математике (в формулах, таблицах, рисунках): учебное пособие / И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская. – 2-е изд., исп. и доп. – Омск: СибАДИ, 2010. – 148 с. ISBN 978-5-93204-540-4 Содержит основные понятия, определения, формулы элементарной и высшей математики, знание которых необходимо как при ознакомлении с курсом высшей математики, так и при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин. Материал справочника иллюстрирован большим количеством рисунков, таблиц и схем. Адресован студентам инженерных специальностей. ISBN 978-5-93204-540-4 © ГОУ «СибАДИ», 2010

СОДЕРЖАНИЕ Условные обозначения . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..6 Раздел 1. АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7 Действия с дробями (7). Пропорции (7). Квадратное уравнение (7). Разложение квадратного трехчлена на множители (7). Формулы сокращенного умножения (8). Действия со степенями и корнями (8). Логарифмы (8). Прогрессии (9). Проценты (9). Средние величины (9). Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..10 Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов (10). Тригонометрические функции и их знаки (10). Значения тригонометрических функций некоторых углов (11). Тригонометрические тождества (12). Формулы приведения (13). Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...14 Площади фигур (14). Площади поверхностей и объемы тел (16). Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..17 Определители (17). Виды матриц (18). Действия над матрицами (19). Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (20). Обратная матрица и ее нахождение (21). Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение (24). Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25 Векторы и координаты (26). Линейные операции над векторами (27). Нелинейные операции над векторами (28). Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. . . . . . . . . . ... 29 Системы координат (29). Метод координат (30). Уравнения прямой на плоскости (31). Взаимное расположение прямых (32). Кривые второго порядка (33). Замечательные кривые (35). Раздел 7. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . ..36 Системы координат в пространстве (36). Уравнения плоскости (37). Частные случаи положения плоскости в пространстве (38). Взаимное расположение плоскостей (39). Уравнения прямой в пространстве (40). Взаимное расположение прямых в пространстве (41). Взаимное расположение прямой и плоскости (42). Поверхности второго порядка (43). Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ . . . . . . . . . . . .. . . . ...45 Числовые множества (45). Функция, способы ее задания и свойства (45). Графики основных элементарных функций (47). Правила построения графиков функций сдвигами и деформациями графиков известных функций (50). Предел функции(51). Правила вычисления пределов (51). Непрерывность функции (53). Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..54 Понятие производной (54). Основные правила дифференцирования (54). Таблица производных (55). Дифференцирование различных функций (56). Дифференциал функции (56). Правило Лопиталя (56). Исследование функций и построение графиков (57).

Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...62 Векторная функция скалярного аргумента (62). Числовые характеристики кривой (63). Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..64 Частные производные функции и их нахождение (64). Дифференцирование различных функций (65). Дифференциал и его приложения (65). Исследование функции двух переменных на экстремум (66). Раздел 12. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ...67 Понятие комплексного числа (67). Формы записи и операции над комплексными числами (68). Основная теорема алгебры (68). Иллюстративные примеры (69). Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................70 Неопределенный интеграл и его свойства (70). Таблица простейших интегралов (70) . Методы интегрирования (71). Интегрирование различных функций (72). Определенный интеграл, его свойства и вычисление (76). Несобственные интегралы (77). Геометрические приложения определенного интеграла (78). Примеры задач на геометрические приложения определенного интеграла (80). Раздел 14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Интегралы от скалярной функции (81). Физические приложения двойных и тройных интегралов (82). Вычисление двойного интеграла (83). Вычисление тройного интеграла (84). Физические приложения интегралов I рода (86). Вычисление криволинейного интеграла I рода (87). Вычисление поверхностного интеграла I рода (87). Криволинейные и поверхностные интегралы II рода (по координатам) (88). Теоремы о связи между интегралами (89). Вычисление криволинейного интеграла II рода (90). Вычисление поверхностного интеграла II рода (91). Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Скалярное поле (92). Векторное поле (93). Классификация векторных полей (95). Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ)....96 Основные понятия (96). Интегрирование ДУ первого порядка (97). Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка (98). Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка (98). Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (99). Интегрирование линейных неоднородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (99). Раздел 17. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов (101). Приближенные методы решения уравнений вида f (x)  0 (102). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (103).

Раздел 18. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Числовые ряды. Основные понятия (104). Признаки сходимости (105). Степенные ряды. Основные понятия (107). Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (108). Ряды Фурье (109). Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. . . . . .. . . . . . . . . ..111 Волновое уравнение (111). Уравнение теплопроводности (111). Уравнение Лапласа (112). Задача Дирихле для круга (112). Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...113 Множества. Свойства и операции над ними (113). Бинарные отношения (114). Правила и формулы комбинаторики (115). Основные понятия теории графов (116). Виды графов (117). Типы графов (118). Операции над графами (118). Способы задания графов (119). Раздел 21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. . . . . . .. . . . . . . . 120 Операции над высказываниями (120). Булевы функции (121). Основные законы математической логики (121). Формы представления булевых функций (122). Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...123 Случайные события и действия над ними (123). Вероятность события (124) Теоремы сложения и умножения вероятностей (124). Последовательность независимых испытаний (125). Формы закона распределения случайной величины (126). Числовые характеристики случайной величины (127). Основные законы распределения вероятностей (128). Закон больших чисел (129). Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 130 Выборки (130). Статистические оценки параметров распределения (130). Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности (132). ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...134 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...135 Приложение 1. Значения функции (x)  1  x2 2 e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 135 Приложение 2. Интеграл вероятностей Ф(x)  1 x z2  e 2 dz . . . . . . . . . . ...136 2 0 Приложение 3. Квантили t – распределения Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . ...137 Приложение 4. Квантили  2 ,k распределения  2 . . . . . . . . . . . . . . . .... . .. . ..138  k Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...139

Я слышу и забываю, Я вижу и запоминаю, Я делаю и понимаю. Конфуций Условные обозначения Математика – наука формализованная. В течение веков выкристаллизовывались ее язык, ее символика, способствующие компактности изложения материала. 1.  – принадлежать,  – не принадлежать. 2.  – объединение,  – пересечение. 3.  – логическое следствие. 3.  – логическая эквивалентность (тогда и только тогда). 4.  – квантор всеобщности (для любого, для всякого). 5.  – квантор существования. n 6.  – сумма: a1  a2  ...  an   ai . i 1 7. || – параллельность (прямых), коллинеарность (векторов). 8.  – перпендикулярность (прямых, векторов). 9.  – сонаправленность (векторов),  – противоположная направленность (векторов). 10. = – равно,  – не равно. 11.  – приближенно равно. 12. > – больше, < – меньше. 13.  – больше или равно,  – меньше или равно. 14. % – процент (сотая доля).

Раздел 1. АЛГЕБРА Действия с дробями a  c  ad  bc , a  c  ac , a  c  a  d  ad . b d bd b d bd b d b c bc Пропорции Пропорцией называется равенство двух отношений: a  c или bd a : b  c : d . Основное свойство пропорции: ad  bc . Перестановка членов пропорции a:b  c:d c:d a:b d :b  c:a b:d a:c a:c b:d c:a  d :b d :c  b:a b:ad :c Квадратное уравнение Вид уравнения Корни уравнения ax2  bx  c  0 x1,2   b  b2  4ac ax2  c  0 2a ax2  bx  xax  b  0 x1,2   c a x2  px  q  0 x1  0, x2   b a Т. Виета x1  x2   p, x1  x2  q Разложение квадратного трёхчлена на множители ax2  bx  c  ax  x1x  x2 , x2  px  q  x  x1x  x2 .

Формулы сокращённого умножения a  b2  a2  2ab  b2 , a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 , a2  b2  a  ba  b,  a3  b3  a  b a2  ab  b2 ,  am  bm  a  b am1  am2b  ...  abm2  bm1 . Действия со степенями и корнями an  а  а ... а, n   a0  1, a  0 n n an  am  anm am  m an n ab  n a  n b abn  an  bn an  anm am n m a  nm a  an m  anm  a n  an an  1 n a  n a   bn an b n b b Логарифмы loga b  x  a x  b, a  0, a  1. aloga b  b − основное логарифмическое тождество. Десятичный логарифм – log10 N  lg N , натуральный логарифм – loge N  ln N , где e  lim1  1 n  2,718281828459045... n  n  loga 1  0 loga a  1 log a b  logc b log a b  1 a log c a logb loga u  loga v  loga u  v log a u  log a v  log a  u   v  n loga b  loga bn  , a  1 loga 0   , a  1

Прогрессии Арифметическая прогрессия − Геометрическая прогрессия − числовая последовательность, в числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же числом умноженному на одно и то же число d ( d − разность арифметической q ( q − знаменатель геометрической прогрессии a1, a2, a3,...,an ,...) прогрессии u1, u2,u3,...,un ,...) q  1 − прогрессия возрастающая; d  0 − прогрессия возрастающая; q  1 − прогрессия убывающая; d  0 − прогрессия убывающая q  0 − прогрессия знакопеременная Общий член прогрессии: an  a1  (n  1)d un  u1qn1 Сумма n первых членов прогрессии: Sn  (a1  an )  n Sn  u1  un  q , (q  1) . 2 1 q или Если q  1, то S  u1 − сумма 1 q Sn  2a1  d(n  1) n 2 бесконечно убывающей прогрессии Проценты Процент – сотая часть числа. a  0,01a – 1 % от числа а; a  x  0,01ax – x % от числа а; 100% 100% a  x  x  100a – a составляет x % от b. b 100 b Средние величины 1. Среднее арифметическое n чисел: ma  a1  a2  a3  ... an . n 2. Среднее геометрическое n чисел: mg  a1  a2  a3 ... an . 3. Среднее гармоническое n чисел: mh  1 1 n 1 . 1   ... an a1 a2 a3

Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ Сравнительная таблица градусной и радианной мер углов 1 радиан =1800  5701745; 10   радиана  0,017453 радиана;  180 1   радиана  0,000291радиана. 180  60 Углы в градусах Углы в радианах Углы в градусах Углы в радианах 0 0 150 5  6 30 180  6 5  4 4 45 225 3 3 4 2  5 3 60 240 2 3  90 270 2 2 120 300 3 3 135 360 4 Тригонометрические функции и их знаки B ca Функция и ее Аргумент  название  =А  =В AС а/с b/c sin (синус) b/с a/c b cos (косинус) a/b b/a tg  (тангенс) b/a a/b ctg (котангенс) c/b c/a sec (секанс) c/a c/b cosec (косеканс)

 ctg Y 2 IIч Iч (вторая (первая четверть) четверть)  sin  tg 0  0 cos 2 X IIIч IVч (третья (четвертая четверть) четверть) 3 2 Четверть sin cos tg ctg I + + ++ II + - - - III - - + + IV - + - - Значения тригонометрических функций некоторых углов  3 х0 2 2 2 4 3 6 sin x 0 1 2 3 1 0 -1 0 2 22 cos x 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 tg x 0 3 1 3 0  0 3 ctg x  3 1 3 0  0  3

Тригонометрические тождества Операции над Тождества тригонометрическими sin2   cos2   1 – основное функциями тригонометрическое тождество; Соотношения между тригонометрическими tg  sin  ; ctg  cos ; tg  ctg  1; cos  sin  функциями sec  1 ; cosec  1 ; Формулы для суммы и cos  sin  разности углов sec2   1  tg2 ; Формулы двойного угла cos2   1  sin2   1  1 2  1 ctg 2 ; tg  ctg2 Формулы понижения степени sin 2   1  cos2   1  1 2  1 tg 2 Формулы ctg  tg2 преобразования суммы sin(   )  sin  cos   cos sin  ; и разности в произведение cos(   )  cos cos   sin  sin  ; тригонометрических tg(   )  tg  tg функций 1  tg tg cos 2  cos2   sin 2   1  tg 2  1  2 sin2  1  tg 2 sin 2  2 sin  cos  2tg ; 1  tg2 tg2  2tg 1  tg2 sin2   1  cos 2 ; cos2   1  cos 2 22 sin  sin   2sin    cos    ; 22 sin  sin   2 cos    sin    ; 22 cos  cos   2cos    cos    ; 22

Окончание таблицы cos  cos      sin   ; 2sin 22 tg  tg  sin(   ) cos cos  Формулы sin sin   1 (cos(   )  cos(   )) ; преобразования произведения 2 тригонометрических cos cos   1 (cos(   )  cos(   )) ; функций 2 в сумму и разность sin cos   1 (sin(   )  sin(   )) ; 2 tg tg  tg  tg ctg  ctg Формулы приведения  sin cos tg ctg  tg   sin  cos   ctg  ctg  cos  sin     sin   cos  tg  tg 2  cos  sin     sin  cos  ctg   ctg 3   2  tg  tg 2    ctg Правило получения формул приведения. 1) Если угол откладывается от горизонтальной оси (для углов   ; 2   ), название исходной функции сохраняется. Если угол откладывается от вертикальной оси (для углов   ; 3   ), 22 название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). 2) В правой части формулы ставится тот же знак, который имеет левая часть при условии 0     . 2 П р и м е р. sin(   )   cos (синус во второй четверти 2 положителен, угол откладывается от вертикальной оси).

Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ Площади фигур  c  Прямоугольный треугольник b а, b – катеты, c – гипотенуза, a 900 ,  – острые углы, S  ab , a c 2  hb  c 2  a 2  b 2 – теорема Пифагора. b Произвольный треугольник S  сb sin  bhb , 22 p  a  b  c – полупериметр, 2 r – радиус вписанной окружности, S  pr  p( p  a)( p  b)( p  c) . Прямоугольник d a – длина (основание),  b b – ширина (высота), a d – диагональ, S  ab  d2 sin . 2 a Трапеция  h – высота, d1 d2 a, b – основания, h S  a  b h  d1d2 sin . b 22 14

Ромб a а – сторона, d1 d1, d 2 – диагонали, h d2 h – высота, S  ah  d1d 2 . r d 2 r Окружность и круг  d – диаметр окружности r (круга), r – радиус окружности (круга), длина окружности: C  d  2r , площадь круга: S  d 2   r2  rC . 42 Круговой сектор r – радиус, l – длина дуги,   – градусная мера дуги, l  2 r  , 3600 S   r2  . 360 Круговое кольцо d D а D – большой диаметр, d – малый диаметр, a – ширина кольца, S   (D2  d 2 ). 4 15

Площади поверхностей и объемы тел cd Прямоугольный параллелепипед d − диагональ параллелепипеда, a b d  a2  b2  c , R S  2(ab  ac  bc) , h V  abc . Цилиндр (прямой круговой) S боковой  2Rh , S полной  2R(h  R) , V  R 2h . lh Конус (прямой круговой) R l – образующая конуса, D l  R2  h2 , R S боковой  Rl , S полной  R(R  l) , V  1 R 2h . 3 Сфера и шар S – площадь сферы, S  4R 2  D 2 , V – объем шара, V  4 R 3 . 3 16

Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определители Обозначение Правило вычисления Схема вычисления 2  a11  a22  a12  a21 Определитель     2-го порядка    2  a11 a12 a21 a22 Определитель Правило треугольников 3-го порядка 3  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a11 a12 a13  a13  a21  a32  a13a22a31  3  a21 a22 a23  a12  a21  a33  a11  a23  a32 a31 a32 a33 Определитель Разложение определителя Получение минора n-го порядка по элементам i -й строки к элементу aij n  ai1 Ai1  ai2 Ai2  a11 ... a1n  ...   n ... ...  ... n  a21 ... a2n  ... aij  ... ... ...  ...  ain Ain   aik Aik ,  ...   an1 ... ann k 1 2 41 где Aij − алгебраическое дополнение к элементу aij : Aij   1i j M ij , M ij – минор к элементу aij − определитель (n-1)-го порядка, получаемый из определителя n вычёр- киванием i-й строки и j-го столбца П р и м е р. Вычислить определитель 3  1 3 5 . 8 2 6 Решение Разложение по элементам первой строки Вычисление по правилу треугольников  3 5 1 5 1 3 3 2 4 1  3  2 3 6  (1)  (2) 1 4 5 8   2 68 68 2 8 31 2 5 (2)  4  (1)  6  218  2  28  4  (46) 1 (22)  218 17

Виды матриц  a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  A... ... ... ...   aij m,n – матрица размерности mn,    am1 am3 ... amn   где m − число строк; n − число столбцов. Виды матриц Пример  a11 a12 ... a1n  a 21 a22 ... a2n  Квадратная An   ... ... ...  a n1 an2 ... ...  Аn,n  An  m  n  a nn  Единичная 1 0 0 E3  0 1 0 En  ( ij )   ij  1, i  j, 0, i j 0 0 1 Нулевая 0 0 0 On  (aij)  aij  0, i, j O3  0 0 0 Диагональная 0 0 0 Dn  (dij )  dij  0, i  j  a11 0 0  Верхняя треугольная D3   0 a22 0  Tn  (tij )  tij  0 при i  j  0 0 a33  Нижняя треугольная Tn  (tij )  tij  0 при i  j  a11 a12 a13  T3   0 a22 a23  Симметричная матрица  0 0 a33   S  sij  sij  s ji при i  j  a11 0 0  T3   a21 a22 0   a31 a32 a33   s11 a b  S   a s22 c   b c s33  Действия над матрицами 18

Операция Определение Пример Сложение Cm,n  Am,n  Bm,n  a11 a12    b11 b12   (вычитание) a21 a22 b21 b22 сij  aij  bij матриц   a11  b11 a12  b12  С  АВ a21  b21 a22  b22 Умножение Cm,n  Am,n   a11 a12    a11  a12  матрицы на число a21 a22 a21  a22 cij  aij С  А Умножение Cm,n  Am,l  Bl,n  a11 a12    b11 b12   матриц a21 a22 b21 b22 С  АВ l   a11b11  a12b21 a11b12  a12b22  сij  aik  bkj a21b11  a22b21 a21b12  a22b22 k 1 Операция Cm,n  An, T A   a11 a12   AT   a11 a21  транспонирования m  a21 a22   a12 a22  матрицы  C  aij Т  (a ji ) С  АТ 1. Перемена местами двух 1. A   a11 a12  ~  a21 a22  строк a21 a22 a11 a12 (столбцов); 2. Умножение 2. A   a11 a12  ~ aa2111 a12  строки (столбца) a21 a22 a22 Элементарные на число, преобразования отличное от 3. A   a11 a12  ~ нуля; a21 a22 матрицы 3. Прибавление к элементам одной строки ~  a11  a21 a12  a22  (столбца) соот- a21 a22 ветствующих элементов дру- гой строки (столбца) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 19

Основные понятия  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1,  a21x1  a22 x2  ...  a2n xn  b2 ,  Общий вид  ............................................. Матрица системы СЛАУ в матричной форме am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm , Решение СЛАУ где aij − коэффициенты системы; b1,b2 ,...,bm − свободные члены; х1, х2 ,..., хn – неизвестные  a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  A   ... ... ... ...    am1 am2 ... amn   x1   x2  A X  B, где X  − матрица-  ...   xn   b1  b2 столбец из неизвестных xi . B   ...  −  bm    матрица-столбец из свободных членов bi ____ Совокупность чисел xi  i , i  1, n , которые обращают все уравнения системы в тождества. Каждое решение СЛАУ – частное решение. Совокупность всех частных решений – общее решение Разновидности СЛАУ 20

Признак Название Определение По Совместная количеству Несовместная Имеет хотя бы одно решение. решений Определенная Неопределенная Не имеет решений. По виду Однородная правой части Имеет одно решение. Имеет бесконечно много решений В=0 (все bi  0 ). Всегда совместна, так как нулевое (тривиальное) решение (т.е. x1  x2  ...  xn  0 ) является решением однородной системы Неоднородная В0 Вырожденная a11 a12 ... a1n По значению A    a21 a22 ... a2n  0 А для случая m  n ... ... ... ... an1 an2 ... ann Невырожденная А  0 Обратная матрица и ее нахождение  A1 A  A1  A1  A  E . − обратная матрица к A aij , если n,n Этапы решения Пример Вычислить Если A   a11 a12  , то определитель матрицы. Если a21 a22 A  0 , то A1 не существует A  a11 a12 = a11  a22  a12  a21 a 21 a 22 Составить матрицу  A~ Aij=  a22  a21   a12 a11  A~  Aij , где Aij − алгебраические дополнения элементов aij матрицы A Транспонировать A~  A~TAij T =  a22  a12   a21 a11 Записать обратную матрицу  A1 1A~ T= 1  a22  a12   A1  1 A~ T A a11 a 22  a12 a21  a21 a11 A Методы решения СЛАУ 21

Метод решения Пример Решение невырожденной СЛАУ  x  2 y  3z  6, 4x  5 y  6z  9, по формулам Крамера (m=n)  7x  8 y  6. x1  1 , x2  2 , ..., xn  n , 123    где  – определитель СЛАУ   0;   4 5 6  27, i − определитель, полученный из 780 определителя системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов 6 23  x  9 5 6  54, 6 8 0 163  y  4 9 6  27 , 7 6 0 12 6  z  4 5 9  54, 7 8 6 x   54  2, y  27  1, z  54  2 27 27 27 Решение невырожденной СЛАУ  x  2 y  3z  6, матричным способом (m=n) 4x  5y  6z  9, AX  B  X  A1  B  7x  8y  6.  1 2 3  6  A  4 5 6, B   9   7 8 0   6 A 1  1   48 24  3 27   42  21 6   3  3 6  x    16 / 9 8 / 9  1/ 9 6    2  y    14 / 9  7 / 9 2 / 9  9    1   z   1/ 9 2 / 9  1/ 9  6  2  Метод решения Окончание таблицы Решение СЛАУ методом Гаусса Пример 22

(метод последовательного исключения  x  2 y  3z  6, 4x  5y  6z  9, неизвестных) (m  т)  7x  8y  6. Расширенную матрицу системы (матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных  a11 a12 ... a1n b1   1 2 3 6  a21 a22 ... a2n b2  А 4 5 6 членов) A   ... ... ... ...  9 ~  am1 am2 ... amn   ...  7 8 0  6 bm с помощью элементарных преобразований, 1 2 3 6  проводимых только над строками, ~ 0  3  6 15  ~ приводят к ступенчатому виду 0  6  21  48  а11 ... а1k2 ... a1kr ... a1n b1   0 ... a2 k2 ... a2kr ... a2 n b2  ... ... ... ...  ... ... ... ... arn ...  1 2 3 6   ... arkr ... 0  5 ... 0 br  ~0 1 2  0 ... 0 ... ... ... ...  0 ... 0 ... 0 br 1  0 0  9 18  ... 0   ... ... ... ...  Получена СЛАУ вида    0 ... 0 bm  После выполнения элементарных преобразований можно получить 0 эквивалентную матрицу следующего типа: Система Эквивалентная СЛАУ: совместна и 0 определенна x  2y  3z  6 x  2 (имеет  2z  5  1   единственное  y   y решение). 9z  18 z  2 Система совместна и неопределенна Ответ: x  2 ; y  1; z  2 0 (имеет множество решений). Система несовместна 0 (решений нет) 0= 1 Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение Пусть А – квадратная матрица порядка n. 23

 a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  A ... ... ... ...   aij .  an1 an3 ... a nn    n,n Рассмотрим уравнение АХ  Х , где Х – неизвестный числовой вектор высотой n. Уравнение АХ  Х эквивалентно уравнению А  EX  0 . Данное матричное уравнение соответствует однородной системе уравнений, которая имеет ненулевые решения, если А  Е  0 . Уравнение А  Е  0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Значения  , при которых уравнение имеет нетривиальные решения ( Х  0) , называют собственными значениями матрицы А. Решения Х уравнения при таких  – собственные векторы матрицы. Этапы решения Пример Записать харак-  3 2  4 1 теристическое урав- А  нение матрицы А  Е  0 А  Е  3 2 0 4 1 «Раскрыв» оп- 2  4  5  0 , получаем 1  5, 2  1 ределитель, полу- чить n собственных значений Найти собст- Подпространство собственных векторов, венные векторы, со- соответствующих 1  5 , есть множество ответствующие соб- ственным значениям решений системы уравнений А  Е Х  0 : из векторного урав-  2х1  2х2  0;  4х1  4х2  0. нения А  Е Х  0  L1  (1,1),   R . Для 2  1 подпространство собственных векторов L2  (1,2) 24

Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Основные понятия Геометрическое изображение ____ Вектор AB ( а ) − направленный прямолинейный В отрезок, A − начало вектора, B − конец вектора. а A ____ BA (– а ) − вектор, противоположный к вектору ____ ____ ____ AB ( а ). AB   BA ( a  a ) а и b – коллинеарные векторы ( а ││ b ), если они лежат bа a b на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными ( a   b ) или противоположно направленными ( а  b ) a − длина или модуль вектора. Если a  0 , то a  0 − нулевой вектор, если a  1, то a  e − единичный а вектор. 0 − орт вектора а , если a   а и a  1. 0 a a  a  b , а d  b, а и b – равные векторы ( a  b ), если  db ac (a  c) a  b. с а , b и с – компланарные, если они лежат в одной аb с плоскости или в параллельных плоскостях Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b,c с образует правую (левую) тройку, если с конца вектора с аb кратчайший поворот от а к b виден совершающимся Правая тройка против часовой стрелки (по часовой стрелке) Базис на плоскос- Линейная комбинация векторов a1, a2,...,an имеет вид ти (в R2) образу- ют два неколли- 1a1  2 a2  3 a3  ...  n an , где 1, 2, ...,n – коэффици- неарных вектора a1 и a2 , в R3 – енты разложения. Система векторов a1, a2,...,an – линейно три некомпла- нарных вектора независима, если 1 a1  ...  n an  0  1...  т  0 . Система n линейно независимых векторов образует базис a1, a2 и a3 в n-мерном пространстве 25

Векторы и координаты Основные Рисунок Определения и понятия свойства а Ортогональная  _____ проекция  A1B 1 , а  OX прx а пр x а   вектора на ось  _____ Ортонормиро- X  A1B 1 , а  OX ванный базис  M2 Y  i; j;k Ортогональная Направляю- проекция щие косинусы соs , cos  , cos прх а  а сos  ax ; Координаты прx (а  b)  вектора а в  прx а  прx b ;  базисе i; j;k прx а  прx а Разложение i, j, k – орты вектора по координатных осей  базису i; j;k Z i  j  k i  j  k 1 Длина вектора M3 Свойство cos2   cos2    cos2   1 A M ax  прх а  a cos, а ay  прy a  a cos , B az  прz a  a cos .  а  ОМ1 ОМ2  ОМ3   ахi  ay j  az k  k jj M1 a  ax2  ay2  az2 X Координаты A(x1, y1, z1 ) ; вектора B(x2 , y2 , z2 ) ; AB  (x2  x1, y2  y1, z2  z1). Линейные операции над векторами 26

Операция Определение и Выражение в свойства координатах: a  axi  ay j  az k b  bx i  by j  bz k c  cxi  cy j  cz k Сложение a  b Равенство векторов: Правило aaxy  bx , параллелограмма  by , a  b  аb с  аb; az  bz. а a  b  b  a; c  а  b  (ax  bx )i  (a  b)  с  a  (b  c) ; b  (a y  by ) j  (az  bz )k , a  b  0  a  b Правило сx  ax  bx , треугольника т.е. cy  ay  by , b cz  az  bz аb а Вычитание a – b c  a  b  (ax  bx )i  a –b  (ay  by ) j  (az  bz )k , а с  а  b  а  (b) сx  ax  bx , b т.е. cy  ay  by , cz  az  bz Умножение на  а  c : с || a, c  а  (ax )i  (ay ) j  (az )k , с  a при   0; число a  с x  ax , с  a при   0. c y  ay , аа т.е.   a  a ; а а cz  az , 0 (a)  ()a ;  0 (a  b)  a  b ;  коллинеарность векторов: (  )a  a  a a || b  ax  ay  az bx by bz Нелинейные операции над векторами 27

Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Определение и обозначение   a,b,c  a,b  c    a,b  a  b  a b cos a ,b  a  b  c  Пусть d  a, b ,  a  b  a прa b  b прb a  c  a b sin   d  c  d  пр c  S  (H ) ,  d  c  a, c  b, а  а , b , c правая тройка где S – площадь  параллелограмма; H –  прb a b высота параллелепипеда а с d Hс прa b  b   b b а а Алгебраические свойства ab ba; a  b  b  a ; (a  b)c  ac  bc ; (a)b  (ab)    (a  b)  c  a  c  b  c ;    (a)  b  (a  b) a,b,c   b,a,c ; a,b,c   a,b,c cos  a  b ; a  aa; Геометрические свойства  Vпараллелепипеда  a,b,c ab Sпараллелограмма  a  b a,b, c – правая (левая) тройка, если (a, b, c)  0 пр b  a  b ab ( (a, b, c)  0) aa Sтреугольника  2 Физические свойства Работа постоянной силы Момент силы относительно AFS точки O: M  ____ – OA  F Условие равенства нулю  a, b, c  0  a, b, c – ab0 ab a || b  a  b  0 компланарны Выражение в декартовых координатах a  b  axbx  ayby  azbz i jk ax ay az a  b  ax ay az  a,b,c  bx by bz bx by bz cx cy cz 28

Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Системы координат Название системы и способ задания Связь между координатами Декартова (прямоугольная) система YM координат (ДСК) py O − начало координат; OX − ось абсцисс; OY − ось ординат Ox X  Y y M (x, y) x  r cos,  O xX  y  r sin . x, y − декартовы координаты точки  M ; х – абсцисса, y – ордината  Полярная система координат (ПСК) r  x2  y2 , O − полюс; O − полярная ось  y, M (r,) sin   x2  y2  x. cos   x2  y2 r В частности, tg  y , где x  0 . x   O   arctg y  n, n  Z . При x r, − полярные координаты точки M ;  − полярный угол,       (или определении значения полярного угла  нужно установить (по 0    2 ); знакам x и y ) четверть, в которой r  OM − полярный радиус; 0  r   лежит искомый угол П р и м е р.  Дана точка M 1, 3 . Найти полярные координаты точки M . Р е ш е н и е. r  1  3  2 , tg   3   3 . Отсюда      n, n  Z . 13  Так как точка M 1, 3 лежит в 4-й четверти, то     3 25

Метод координат Основные Поясняющий рисунок Расчетная формула задачи Y M 1x1, y1  d  x2  x1 2  y2  y1 2 Расстояние y1 между точками M (x, y) y2 Расстояние от точки до M 2 x2 , y2  начала координат O x1 x2 X dM  x2  y2 Координаты М1(x1, y1) M 1M  MM 2 или точки, деля- щей отрезок в M1M   ; данном отно- MM 2 шении  xM  x1   x2 , Координаты 1  середины отрезка yM  y1   y2 1  M (x, y) M1M  MM2 ,   1, M 2 (x2 , y2 ) xM  x1  x2 , 2 yM  y1  y2 2 M1(x1, y1, z1) Координаты С xС  x1  x2  x3 , центра тяже- 3 сти треуголь- M 3(x3, y3, z3) M 2 (x2 , y2 , z2 ) ника (С – y1  y2  y3 точка пересе- yС  3 чения медиан треугольника) 26

Уравнения прямой на плоскости Название Вид уравнения Рисунок уравнения Ax  By  C  0, n Общее где n( A, B) − нормаль уравнение к прямой, A2  B2  0 прямой Уравнение x  y 1 b прямой ab a «в отрезках»  Уравнение y  kx  b, k  tg p прямой  с угловым коэффициентом k Уравнения y  y0  kx  x0  пучка прямых , проходящих через точку x0, y0  Уравнение x  x1  y  y1 x2  x1 y2  y1 прямой, проходящей через точки x1, y1, x2 , y2  Нормальное x cos  y sin  p  0 уравнение прямой 27

Взаимное расположение прямых Условия расположения прямых по способу задания Расположение прямых y  k1x  b1 A1x  B1y  C1  0 Параллельность y  k2 x  b2 A2 x  B2 y  C2  0  k1  k2 A1  B1 ; A2 B2 Перпендикулярность если прямые совпадают, то A1  B1  С1 A2 B2 С2 k1  k2  1 A1 A2  B1 B2  0 Пересечение tg   k2  k1 tg  A1B2  A2 B1 1  k1k2 A1 A2  B1B2  или соs  n1  n2 n1  n2 Нахождение общих точек y  k1x  b1;  A1x  B2 y  C1  0; прямых y  k2x  b2  A2 x  B2 y  C2 0  Расстояние от точки M0 x0 , y0  до прямой Ax  By  C  0 : _______ M0  d  Ax0  By0  C d A2  B2 d  прn M 0M M 28

Кривые второго порядка Определение Рисунок Уравнение кривой Эллипс – гео- Каноническое уравнение: метрическое Y x2  y2 1, место точек bM a2 b2 плоскости, для где а 2  с 2  b 2 ; a – боль- каждой из ко- a шая полуось, b – малая торых сумма полуось. расстояний до F2 с F1 X двух фиксиро- Уравнение эллипса со ванных точек смещенным центром (фокусов) F1 , F1(c,0) , F2 (c,0) – С(x0, y0 ): фокусы; c – половина F2 есть вели- x  x0 2  y  y0 2 1 расстояния между чина постоян- a2 b2 ная (равная фокусами;   c  a2  b2 – 2a ), большая M − произвольная точка aa чем расстояние эллипса, тогда между фоку- эксцентриситет эллипса, сами F1M  F2M  2a  2c ; характеризующий степень сжатия кривой, 0    1 С(0,0) – центр эллипса Параметрические уравнения эллипса с центром С (0,0): x  a cos t, 0  t  2   b sin t,  y Окружность Каноническое уравнение: − частный случай эллипса Y x2  y 2  R2 , С(0,0). (a  b) y0 R Уравнение окружности со смещенным центром С(x0, y0 ): x  x0 2  y  y0 2  R2 Уравнение окружности в O x0 X полярных координатах: С(x0 , y0 ) – центр 1) С(0,0)  r  R , окружности, R – радиус 2) С (R,0)  r  2R cos ; окружности 3) С (0, R)  r  2R sin  . Параметрические уравнения окружности с центром С(0,0): x  R cos t, 0  t  2   R sin t,  y 29

Окончание таблицы Гипербола – Каноническое геометричес- b M (x, y) уравнение: x2  y2  1, кое место то- a2 b2 чек плоскости, для каждой из где с 2  а 2  b 2 ; a – которых абсо- F2 a F1 действительная полуось лютная вели- c полуось, b – мнимая чина разности полуось. расстояний до Каноническое уравне- двух фиксиро- F1(c,0) , F2 (c,0) – фокусы; ние сопряженной гипер- ванных точек болы (изображена на рис. (фокусов) F1 , c – половина расстояния штриховой линией): F2 есть вели- между фокусами; M − y2 x2 b2  a2  1 чина постоян- произвольная точка эллипса, ная (равная тогда Уравнение гиперболы с центром в точке С(x0 , y0 ): 2a ), меньшая, F1M  F2M  2a  2c чем расстояние x  x0 2  y  y0 2 1 между фоку- a2 b2 сами Эксцентриситет гиперболы:   c  a2  b2 1 aa Уравнения асимптот гиперболы: y   b x a Парабола – M (x, y) Если F ( p ;0) , то геометричес- 2 кое место то- AO F чек плоскости, каноническое уравнение для каждой из  параболы: y 2  2 px ; которых рас- стояние до AF  p – параметр параболы, уравнение директрисы точки (фокуса) F ( p ;0) – фокус, тогда параболы: x   p F равно рас- стоянию до 2 2 некоторой Если F (0; р ) , то фиксирован- MF  MN , ной прямой – AN – директриса 2 директрисы каноническое уравнение параболы: x 2  2 py ; уравнение директрисы параболы: x   p 2 30

a  В ПРОСТРАНСТВЕ  b Системы координат в пространстве прba Название системы и способ задания Уравнения связи между координатами Декартова (прямоугольная) система координат (ДСК) Z O − начало коор- динат; O z M x, y, z OX − ось абсцисс; yY OY − ось ординат; x OZ − ось аппликат; x, y, z − коор- X динаты точки M Цилиндрическая система координат Z r − длина радиуса- M r,, z вектора проекции x  r cos, z точки M на  y  r sin , O  r Y плоскость XOY ;   z  z − угол, образован- ный радиус-век- r  0, 0    2 , z  R тором проекции X точки M с осью OX ; z − аппликата точки M ; r, , z − координаты точки M Сферическая система координат Z M r,,  O − начало координат; x  r cos sin ,  r z r − длина радиуса-  y  r sin  sin  ,  Y вектора точки M ;  − O  z  r cos  угол, образованный радиус-вектором проекции точки M с осью OX ;  − угол r  0, 0    2, 0      X отклонения радиуса- ____ вектора OM от оси OZ ; r,,  − координаты точки M 25

Уравнения плоскости Способ задания Вид уравнения Уравнение плоскости, про- Ax  x0   By  y0  Cz  z0   0 ходящей через точку  N M0 x0 , y0 , z0 , перпендику- A, B,C  лярно вектору N  A, B,C. M0 Вектор N  A, B,C − нормальный вектор плоскости Общее уравнение плоскости Ax  By  Cz  D  0 , где Уравнение плоскости A2  B2  C2  0 «в отрезках» x  y  z  1, где a, b, c  0 abc Z c bY a X Уравнение плоскости, x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 проходящей через три данные x3  x1 y3  y1 z3  z1 точки M1x1, y1, z1 , M3 M 2x2, y2, z2 , M 3x3, y3, z3  M2 M M1 Уравнение плоскости, x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 проходящей через точки ax ay az M1x1, y1, z1 , M 2x2, y2, z2 , параллельно вектору а  (ах , ay , az ) 26

Частные случаи положения плоскости в пространстве Положение плоскости и Поясняющий рисунок вид общего уравнения Z Плоскость параллельна Y координатной оси X OX : By  Cz  D  0 ( A  0 ) By  Cz  D  0 OY : Ax  Cz  D  0( B  0 ) OZ: Ax  By  D  0 (C  0) Z Плоскость проходит через начало Y координат X Ax  By  Cz  0 ( D  0 ) Z Плоскость параллельна Y координатным осям X OX и OY: Cz  D  0 ( A  B  0 ) Cz  D  0 OX и OZ: By  D  0 ( A  C  0 ) OY и OZ: Ax  D  0 ( B  C  0 ) Z Плоскость проходит через ось Y X OX: By  Cz  0 ( A  D  0 ) OY: Ax  Cz  0 ( B  D  0 ) By  Cz  0 OZ: Ax  By  0 (C  D  0 ) Z Уравнения координатных плоскостей Y X XOY: z  0 ( A  B  D  0 ) XOZ: y  0 ( A  C  D  0) z0 YOZ: x  0 ( B  C  D  0) 27

Взаимное расположение плоскостей Расположение плоскостей Условия расположения плоскостей Параллельность N2 A1x  B1 y  C1z  D1  0 A2x  B2 y  C2z  D2  0 N1 N1  ( A1, B1,C1) , N2  ( A2, B2,C2 ) Перпендикулярность N1 || N2  A1  B1  C1 . A2 B2 C2 В частности, если плоскости совпадают, то A1  B1  C1  D1 . A2 B2 C2 D2 N2 N1  N2  A1A2  B1B2  C1C2  0 N1 Пересечение под углом  A1A2  B1B2  C1C2  0  cos   N1  N2  N1  N2  A1A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 Расстояние от точки x0 , y0 , z0  до плоскости Ax  By  Cz  D  0 : d  Ax0  By0  Cz0  D . A2  B2  C2 28

Уравнения прямой в пространстве Способ задания прямой Вид уравнения Векторное уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно заданному вектору s . M0 s r  r0  t  s M O s – направляющий вектор прямой s ||M 0M  M 0M  t  s , где t – скалярный множитель (параметр) Канонические уравнения прямой, x  x0  y  y0  z  z0 mn p проходящей через точку M 0x0, y0, z0  и параллельно вектору s  m, n, p Параметрические уравнения прямой, x  x0  mt,  проходящей через точку x0, y0, z0   y  y0  nt, параллельно вектору s  m, n, p z  z0  pt Прямая как линия пересечения двух A1x  B1 y  C1z  D1  0, непараллельных плоскостей (общие уравнения прямой)  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0,  2 где N 1  N 2  0 1 точки x  x1  y  y1  z  z1 l l  1  2 x2  x1 y2  y1 z2  z1 Уравнение прямой через две M1x1, y1, z1 и M 2x2, y2, z2  29

Взаимное расположение прямых в пространстве Расположение прямых Условия расположения прямых: в пространстве x  x1  y  y1  z  z1 ; Параллельность m1 n1 p1 x  x2  y  y2  z  z2 m2 n2 p2 s1 s1 || s2  m1  n1  p1 s2 m2 n2 p2 Перпендикулярность s2 s1  s2  m1m2  n1n2  p1 p2  0 s1 cos  S1  S2  m1m2  n1n2  p1 p2 Пересечение s1 S1 S2 m12  n12  p12 m22  n22  p22  M1( x1, y1, z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) s2  _______ , s1, s2   0   Скрещивание M1M 2  M1 s1 x2  x1 y2  y1 z2  z1 M2 s2 m1 n1 p1  0 m2 n2 p2 30

Взаимное расположение прямой и плоскости Расположение прямой и Условия расположения плоскости прямой x  x0  y  y0  z  z0 Параллельность mn p и плоскости Ax  By  Cz  D  0 s N  s  Ns 0  N Am  Bn  Cp  0 Перпендикулярность N  s  0 A  B  C mn p s N Пересечение sin  Am  Bn  Cp N A2  B2  C2 m2  n2  p2  Условие принадлежности  Am  Bn  Cp  0, прямой плоскости   Ax0  By0  Cz0  D  0 Точка пересечения прямой с плоскостью Ax  By  Cz  D  0,  x  x0  mt,  y  y0  nt,   z  z0  pt. Если прямая и плоскость не параллельны, то находят значение параметра t и затем определяют искомые координаты 31

Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением второй степени относительно текущих координат x , y и z . Эллипсоид Конус x2  y2  z2  1. x2  y2  z2  0. a2 b2 c2 a2 b2 c2 Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид x2  y2  z2 1 a2 b2 c2 x2  y2  z2  1 a2 b2 c2 32

Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид x2  y2  2z . x2  y2  2z . a2 b2 a2 b2 Эллиптический цилиндр Параболический цилиндр y2  2 px . x2  y2  1. a2 b2 Гиперболический цилиндр x2  y2  1. a2 b2 33

Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Числовые множества N  1,2,3,... – множество натуральных чисел; Z  0,1,2,3,... – множество целых чисел; Q   m  – множество рациональных  n    чисел, где m  Z, n  N ; R  X – множество действительных чисел (множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей), где   X  . x  x, если х  0, – абсолютная величина действительного  х, если х 0 числа х (модуль числа х). х  а означает расстояние между точками х и а.  – окрестность точки а есть интервал вида (а   , а   ) , где   0 задает радиус окрестности. Если x  (а   , а   ) (или x O (a) ), то a    x  a   (или х  а   ).  а  a x а X Функция, способы ее задания и свойства Если каждому элементу множества Х (х  Х ) ставится в соответствие вполне определенный элемент y ( y Y ) , то говорят, что на множестве Х задана функция y  f (x) . Переменная х – независимая переменная или аргумент. Множество Х – область определения функции ( D( f ) ), множество Y – область значений функции ( E( f ) ). Способы задания Определение Пример функции В виде формулы y  lg(x  3), Аналитический х x1 x2 … xn y y1 y2 … yn D( f )  x : x  3 Табличный х 1 2… y 4 9… 25

Графический В виде графика – Окончание таблицы множества точек (х, y) Y y=f(x) плоскости, абсциссы которых M(x,f(x)) есть значения аргумента х, а X ординаты – соответствующие x им значения функции y f (x) Пусть для х1, х2  D( f )  f (x1 )  f (x2 ). Тогда для y  E( f )  одно значение x  g( y)  D( f ) : y  f (x). Функция x  f 1( y)  g( y) , определенная на E( f ) , называется обратной для функции y  f (x) . Y yx Обозначим аргумент обратной y  x2 функции через х, а функцию через y : y  g(x). Графики взаимно-обратных y x функций y  f (x) и y  g(x) симметричны относительно прямой y  x . X П р и м е р. y  x 2 имеет обратную 0 функцию y  x при x  0 . Свойства Определение Если  x  X  f (x)  f (x) , то f (x) четная и ее Четность график симметричен относительно оси OY, если f (x)   f (x) , то f (x) нечетная и ее график симметричен относительно О(0,0) Монотонность Если  x1  x2  X  f (x1 )  f (x2 )( f (x1 )  f (x2 )) , то f (x) строго возрастает (строго убывает) на Х Ограниченность Если  М  0 :  x  X  f (x)  M , то f (x) ограничена на Х. Если  x  X  f (x  T )  f (x) , то f (x) периодическая Периодичность с периодом Т 26

Графики основных элементарных функций Линейная функция y  kx  b Y Y k 0 k 0 X k 0 b 0 yb X 0 Степенная функция y  x n а) n – натуральное число Y y  x3 Y y  x2 X X 0 0 б) n – целое отрицательное число Y Y y1 y  1 x x2 X X 0 0 27

в) дробно-рациональные значения n Y Y y x y3 x X X 0 0 Показательная функция Логарифмическая функция y  ax y  log a x Y Y a 1 X 0 a 1 a 1 0 X 0 a1 Тригонометрические функции и обратные к ним функции Y y=sinx y=cosx 1  X  2 2 28

Y y=arcsinx Y y=arccosx   2 2 X X 1 1 Y y=ctgx y=tgx 1 X  2 y=arctgx Y y=arcctgx Y   2 X  0 2 X 29

Правила построения графиков функций сдвигами и деформациями графиков известных функций Правила построения Пример Y y  x2 y  (x  2)2 y  f (x  a) – сдвиг графика y  f (x) на a единиц вдоль оси X 02 ОХ (вправо, если a  0 , и влево, если a  0) y  x2  2 Y y  f (x)  b – сдвиг графика y  f (x) на b единиц вдоль оси y  x2 ОY (вверх, если b  0 , и вниз, если b  0) 2 X y | x3 | y  f (x) − зеркальное 0 Y отражение графика y  f (x) от оси ОХ для x  0 X 0 y  kf (x) – растяжение (сжатие) y=2cos(x) графика y  f (x) вдоль оси OY в k Y раз ( 1 раз )при k  1 (при 0  k  1) 2 y=cos(x) k 1X y  f (mx) – сжатие (растяжение) Y y=cos(2x) графика по оси ОХ в m раз (1/m раз) 1 y=cos(x) при m  1 (при 0  m  1 ) X 30