الوحدات المقررة من كتاب الطالب رياضيات الصف التاسع الفصل الدراسي الثاني_watermark

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫‪٩‬‬ ‫الفصل الدراسي الثاني‬ ‫الطبعة التجريبية ‪ 1442‬هـ ‪ 2020 -‬م‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫يدج‬ ‫مطبعة جامعة كامبريدج‪ ،‬الرمز البريدي ‪ ،CB2 8BS‬المملكة المتحدة‪.‬‬ ‫تُش ِّكل مطبعة جامعة كامبريدج جز ًءا من الجامعة‪.‬‬ ‫وللمطبعة دور في تعزيز رسالة الجامعة من خلال نشر المعرفة‪ ،‬سع ًيا وراء‬ ‫تحقيق التعليم والتعلم وتوفير أدوات البحث على أعلى مستويات التميز العالمية‪.‬‬ ‫© مطبعة جامعة كامبريدج ووزارة التربية والتعليم في سلطنة ُعمان‪.‬‬ ‫يخضع هذا الكتاب لقانون حقوق الطباعة والنشر‪ ،‬ويخضع للاستثناء التشريعي‬ ‫المسموح به قانو ًنا ولأحكام التراخيص ذات الصلة‪.‬‬ ‫لا يجوز نسخ أي جزء من هذا الكتاب من دون الحصول على الإذن المكتوب من‬ ‫مطبعة جامعة كامبريدج ومن وزارة التربية والتعليم في سلطنة ُعمان‪.‬‬ ‫الطبعة التجريبية ‪ 2020‬م‪ُ ،‬طبعت في سلطنة ُعمان‬ ‫هذه نسخة ت َّمت مواءمتها من كتاب الطالب ‪ -‬الرياضيات للصف التاسع ‪ -‬من سلسلة‬ ‫كامبريدج للرياضيات الأساسية وال ُمو َّسعة ‪ IGCSE‬للمؤل َفين كارين مو ّريسون ونيك هامشاو‪.‬‬ ‫ت َّمت مواءمة هذا الكتاب بنا ًء على العقد ال ُمو َّقع بين وزارة التربية والتعليم ومطبعة‬ ‫جامعة كامبريدج رقم ‪. 2020 / 40‬‬ ‫لا تتح َّمل مطبعة جامعة كامبريدج المسؤولية تجاه تو ُّفر أو دقة المواقع الإلكترونية‬ ‫المستخدمة في هذا الكتاب‪ ،‬ولا تؤ ِّكد أن المحتوى الوارد على تلك المواقع دقيق‬ ‫وملائم‪ ،‬أو أنه سيبقى كذلك‪.‬‬ ‫ت َّمت مواءمة الكتاب‬ ‫بموجب القرار الوزاري رقم ‪ ٢٠١٩ / ٣٠٢‬واللجان المنبثقة عنه‬ ‫جميع حقوق الطبع والتأليف والنشر محفوظة لوزارة التربية والتعليم‬ ‫ولا يجوز طبع الكتاب أو تصويره أو إعادة نسخه كامل ًا أو مج ّز ًأ أو ترجمته‬ ‫أو تخزينه في نطاق استعادة المعلومات بهدف تجاري بأي شكل من الأشكال‬ ‫إلا بإذن كتابي مسبق من الوزارة‪ ،‬وفي حالة الاقتباس القصير يجب ذكر المصدر‪.‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫حضـرة صـاحب الجـلالـة‬ ‫المغفور لـه‬ ‫السلطان هيثم بن طارق ال ُمع َّظم‬ ‫السلطان قابوس بن سعيد ‪-‬ط ّيب ال ّله ثراه‪-‬‬

www.oman-edu.com

‫ﺳﻠﻄﻨــــــﺔ ﻋُﻤــــــﺎن‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 58°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 60°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 52°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 54°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 56°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫ﻣﻀـﯿﻖ ھﺮﻣﺰ‬ ‫اﻟﺠﻤﮭﻮرﯾﺔ اﻹﺳﻼﻣـﯿﺔ اﻹﯾــﺮاﻧﯿﺔ‬ ‫‪ 26°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫ﺧﺼﺐ‬ ‫‪ 26°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫! ! ﺑﺨﺎء‬ ‫اﻟﺨــــﻠــﯿـــــﺞ اﻟــﻌــــــــﺮﺑﻲ‬ ‫اﻹﻣﺎرات اﻟ‬ ‫دﺑﺎ !‬ ‫ﻣﺪﺣﺎء‬ ‫)ﺳﻠﻄﻨﺔ ﻋﻤﺎن( !‬ ‫ﻌﺮﺑﯿﺔ اﻟﻤﺘﺤﺪة‬ ‫ﺷﻨﺎص‬ ‫!‬ ‫ﻟﻮى(‬ ‫ﺻﺤﺎر‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء‬ ‫ﺑﺤـــــﺮ ُﻋـﻤـــــــﺎن‬ ‫ﻣﺤﻀﺔ !‬ ‫!‬ ‫ﺻﺤﺎر‬ ‫اﻟﺒﺮﯾﻤﻲ!‬ ‫‪r‬‬‫ﻣﻄﺎر ﺻﺤﺎر !‬ ‫‪r‬‬ ‫ﺻﺤﻢ‬ ‫‪ 24°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫!‬ ‫‪ 24°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫اﻟﺨﺎﺑﻮرة‬ ‫!(‬ ‫ﺟﺰر اﻟﺪﯾﻤﺎﻧﯿﺎت اﻟﺴﻮﯾﻖ‬ ‫ﻣﻄﺎر ﻣﺴـﻘﻂ اﻟﺪوﻟﻲ‬ ‫اﻟﺴﯿﺐ ﺑﺮﻛﺎاﻟءﻤﺼﻨﻌﺔ! !‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء اﻟﺴﻠﻄﺎن ﻗﺎﺑﻮس‬ ‫ﻣﻄﺮح‬ ‫ﯾﻨﻘﻞ! ﺿﻨﻚ!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﻋﺒﺮي‬ ‫وادي‬ ‫!‬ ‫‪!.‬‬ ‫ﻣﺴﻘﻂ‬ ‫اﻟ!ﻤﻌﺎول‬ ‫اﻟﺴﻨﯿﻨﺔ‬ ‫!‬ ‫ﺑﻮﺷﺮ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺮات!‬ ‫!‬ ‫!ﺑﺪﺑﺪ ! ﻧﺨﻞ‬ ‫ﻗﺮﯾﺎت !‬ ‫!ﺳﻤﺎﺋﻞ‬ ‫! اﻟﺮﺳﺘﺎق‬ ‫اﻟﻌﻮاﺑﻲ‬ ‫!اﻟﺤﻤﺮاء‬ ‫! ﺑﮭﻼء‬ ‫إزﻛﻲ!ﻧﺰوى !‬ ‫واﻟدﻄﻣﺎﺎﺋﯿءﯿﻦ!‬ ‫!‬ ‫! إﺑﺮاء‬ ‫ﺧﺎﻟﺪ‬ ‫ﺑﻨﻲ‬ ‫وادي‬ ‫ﺻﻮر‬ ‫!‬ ‫ﻣﻨﺢ‬ ‫!‬ ‫اﻟﻘﺎﺑﻞ‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫أدم‬ ‫اﻟﻤﻀﯿﺒﻲ‬ ‫! ﺑﺪﯾﺔ‬ ‫!‬ ‫‪ 22°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫! اﻟﻜﺎﻣﻞ واﻟﻮاﻓﻲ‬ ‫‪ 22°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫! ! ﺟﻌﻼن ﺑﻨﻲ ﺑﻮ ﺣﺴﻦ‬ ‫ﺟﻌﻼن ﺑﻨﻲ ﺑﻮ ﻋﻠﻲ‬ ‫اﻟﻤﻤﻠﻜـــــــﺔ‬ ‫اﻟﻌﺮﺑﯿــــﺔ اﻟﺴﻌﻮدﯾــــــﺔ‬ ‫ﻣﺤﻮت‬ ‫ﻣﺼﯿﺮة !‬ ‫!‬ ‫‪ 20°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫! ھﯿﻤﺎء‬ ‫‪ 20°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫ﻣﻘﺸﻦ‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء اﻟﺪﻗﻢ (‬ ‫!‬ ‫! اﻟﺪﻗﻢ‬ ‫ﻣﻄﺎر اﻟﺪﻗﻢ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!اﻟﺠﺎزر‬ ‫‪ 18°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫ﺑﺤـــــﺮ اﻟـﻌــــــﺮب‬ ‫!‬ ‫! ﺷﻠﯿﻢ وﺟﺰر‬ ‫‪ 18°‬ﺷﻤﺎﻻ‬ ‫اﻟﺤﻼﻧﯿﺎت‬ ‫اﻟﻤﺰﯾﻮﻧﺔ‬ ‫ﺟﺰر اﻟﺤﻼﻧﯿﺎت‬ ‫أﻧﺘﺠـــﺖ ﺑﺎﻟﮭﯿﺌــــﺔ اﻟﻮﻃﻨﯿـــﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣـــــﺔ ‪ ،‬وزارة اﻟﺪﻓـــــﺎع‪ ،‬ﺳﻠﻄﻨــــﺔ ُﻋﻤــــﺎن ‪ 2018‬م ‪.‬‬ ‫ﺛﻤﺮﯾﺖ !‬ ‫ﺣﻘﻮق اﻟﻄﺒﻊ © ﻣﺤﻔﻮﻇﺔ ﻟﻠﮭﯿﺌﺔ اﻟﻮﻃﻨﯿﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ‪ ،‬وزارة اﻟﺪﻓﺎع‪ ،‬ﺳﻠﻄﻨﺔ ُﻋﻤﺎن ‪ 2018‬م ‪.‬‬ ‫ﻻ ﯾﻌﺘﺪ ﺑﮭﺬه اﻟﺨﺮﯾﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿﺔ اﻟﺤﺪود اﻟﺪوﻟﯿﺔ ‪.‬‬ ‫ﺣﺒﺮوت‬ ‫ﻃﺮﯾﻖ ﻣﺮﺻﻮف‪(.......‬‬ ‫ﻋﺎﺻﻤﺔ ‪!. .................‬‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء ‪.....................‬‬ ‫اﻟﺠﻤﮭـﻮرﯾﺔ‬ ‫‪r‬‬‫ﺻﻼﻟﺔ (‬ ‫ﻃﺮﯾﻖ ﻣﻤـﮭﺪ ‪...........‬‬ ‫اﻟﯿﻤﻨﯿـــــﺔ‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﺳﺪح!‬ ‫ﻣﻄﺎر ‪.....................‬‬ ‫‪ 52°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫ﻃﺎﻗﻣﺔﻄﺎر ﺻﻼﻟﺔ‬ ‫!‬ ‫اﻟﺤﺪود اﻟﺪوﻟﯿﺔ‪.........‬‬ ‫ﻣﺮﺑﺎط‬ ‫‪0 50 100 150 200 Km‬‬ ‫!‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء ﺻﻼﻟﺔ‬ ‫رﺧﯿﻮتﺿﻠﻜﻮ!ت‬ ‫‪ 54°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 56°‬ﺷﺮﻗﺎ‬ ‫‪ 58°‬ﺷﺮﻗﺎ‬

www.oman-edu.com 2:29 PM

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫النَّ�شي ُد الْـ َو َط ِن ُّي‬ ‫َج����ا َل���� َة ال��� ُّ��س�� ْل��ط��ان‬ ‫ي��ا َر َّب�ن���ا ا ْح َف�� ْظ ل�ن����ا‬ ‫ِب����ا ْل���� ِع���� ِّز وا َلأم��������ان‬ ‫َوال�َّس�� ْع َب ف��ي ا َلأ ْوط���ان‬ ‫ع����ا ِه���� ًا ُم��� َم��� َّج��� ًدا‬ ‫َو ْل��� َي��������� ُد ْم م�� ُ� َؤو َّي������ ًدا‬ ‫ِب��ال�� ُّن��ف��و�� ِ�س ُي�� ْف�� َت��دى‬ ‫اأَ ْو ِف�ي�ا ُء ِم� ْن ِك�را ِم ا ْل َع َر ِب‬ ‫يا ُعما ُن َن ْح ُن ِم ْن َع ْه ِد ال َّنبي‬ ‫َوا ْم َل�ئ�يا ْل َك��� ْو َنال� ِّ�سي���اء‬ ‫ف��ا ْر َتق���ي ه�����ا َم ال�َّسم��اء‬ ‫َوا�ْس َعدي َوا ْن َعم�ي ِبال َّرخ��اء‬ ‫‪nasheed 2020 final.indd 1‬‬ ‫‪6/7/20 2:29 PM‬‬

www.oman-edu.com

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تقديم‬ ‫الحمد لله رب العالمين‪ ،‬والصلاة والسلام على خير المرسلين‪ ،‬س ّيدنا ُمح َّمد‪ ،‬وعلى آله وصحبه‬ ‫أجمعين‪ .‬وبعد‪:‬‬ ‫فقد حرصت وزارة التربية والتعليم على تطوير المنظومة التعليمية في جوانبها ومجالاتها المختلفة‬ ‫كافة؛ لتُل ّبي ُمتطلّبات المجتمع الحالية‪ ،‬وتطلُّعاته المستقبلية‪ ،‬ولتتواكب مع ال ُمستج ّدات العالمية في‬ ‫اقتصاد المعرفة‪ ،‬والعلوم الحياتية المختلفة؛ بما يؤ ّدي إلى تمكين المخرجات التعليمية من المشاركة‬ ‫في مجالات التنمية الشاملة للسلطنة‪.‬‬ ‫وقد حظيت المناهج الدراسية‪ ،‬باعتبارها مك ِّو ًنا أساس ًّيا من مك ّونات المنظومة التعليمية‪ ،‬بمراجعة‬ ‫مستمرة وتطوير شامل في نواحيها المختلفة؛ بد ًءا من المقررات الدراسية‪ ،‬وطرائق التدريس‪،‬‬ ‫وأساليب التقويم وغيرها؛ وذلك لتتناسب مع الرؤية المستقبلية للتعليم في السلطنة‪ ،‬ولتتوافق مع‬ ‫فلسفته وأهدافه‪.‬‬ ‫وقد أولت الوزارة مجال تدريس العلوم والرياضيات اهتما ًما كبي ًرا يتلاءم مع مستجدات التطور‬ ‫العلمي والتكنولوجي والمعرفي‪ .‬ومن هذا المنطلق ا َّتجهت إلى الاستفادة من الخبرات الدولية؛‬ ‫اتسا ًقا مع التط ُّور ال ُمتسارع في هذا المجال‪ ،‬من خلال تب ّني مشروع السلاسل العالمية في تدريس‬ ‫هاتَين الما ّدتَين وفق المعايير الدولية؛ من أجل تنمية مهارات البحث والتق ّصي والاستنتاج لدى‬ ‫الطلاب‪ ،‬وتعميق فهمهم للظواهر العلمية المختلفة‪ ،‬وتطوير قدراتهم التنا ُفسية في المسابقات‬ ‫العلمية والمعرفية‪ ،‬وتحقيق نتائج أفضل في الدراسات الدولية‪.‬‬ ‫إن هذا الكتاب‪ ،‬بما يحويه من معارف ومهارات وق َيم واتجاهات‪ ،‬جاء ُمح ِّق ًقا لأهداف التعليم في‬ ‫السلطنة‪ ،‬وموائ ًما للبيئة العمانية‪ ،‬والخصوصية الثقافية للبلد‪ ،‬بما يتض َّمنه من أنشطة وصور‬ ‫ورسومات‪ .‬وهو أحد مصادر المعرفة الداعمة لتعلُّم الطالب‪ ،‬بالإضافة إلى غيره من المصادر‬ ‫المختلفة‪.‬‬ ‫ُمتم ّنية لأبنائنا الطلاب النجاح‪ ،‬ولزملائنا المعلّمين التوفيق فيما يبذلونه من جهود ُمخ ِلصة‪ ،‬لتحقيق‬ ‫أهداف الرسالة التربوية السامية؛ خدمة لهذا الوطن العزيز‪ ،‬تحت ظل القيادة الحكيمة لمولانا‬ ‫حضرة صاحب الجلالة السلطان هيثم بن طارق المعظم‪ ،‬حفظه الله ورعاه‪.‬‬ ‫والله ولي التوفيق‬ ‫د‪ .‬مديحة بنت أحمد الشيبانية‬ ‫وزيرة التربية والتعليم‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الأول‪www.oman-edu.com‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫المحتويات‬ ‫الوحدة الثالثة عشرة‪ :‬الزمن و ال ُمع َّدلات‬ ‫المقدمة‪xiii .................................................‬‬ ‫‪ 1-13‬الزمن ‪98 ................................‬‬ ‫الوحدة العاشرة‪ :‬النسب المئوية‬ ‫‪ ٢-13‬ال ُمع َّدلات ‪110 ............................‬‬ ‫والنسبة والتناسب‬ ‫الوحدة الرابعة عشرة‪ :‬التمثيل البياني‬ ‫‪ 1-10‬النسب المئوية ‪16 .......................‬‬ ‫لل ُمعا َدلات‬ ‫‪ 2-10‬التعا ُمل مع النسبة ‪21 ....................‬‬ ‫‪ 1-14‬التمثيل البياني للمعادلات‬ ‫‪ ٣-10‬النسبة ومقياس الرسم ‪29 ................‬‬ ‫التربيعية ‪116 .............................‬‬ ‫‪ 4-10‬التنا ُسب‪33 ................................‬‬ ‫‪ 2-14‬رسم التمثيل البياني للمعادلات التي‬ ‫‪ 5-10‬زيادة أو نقصان الك ّمية بنسبة ُمعطاة‪38 .‬‬ ‫تأتي في صورة‪ :‬ص = أس ‪123 ............‬‬ ‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل‬ ‫‪ ٣-14‬حل ال ُمعا َدلات التربيعية بيان ًّيا‪126 ........‬‬ ‫وح ّل ال ُمعادلات التربيعية‬ ‫‪ 4-14‬استخدام التمثيلات البيانية لحل‬ ‫‪ 1-11‬ف ّك أكثر من مجموعتَي أقواس ‪42 ......‬‬ ‫ُمعا َدلات خ ّطية و ُمعا َدلات غير‬ ‫‪ 2-11‬تحليل العبارات الجبرية إلى‬ ‫خ ّطية آن ًّيا‪129 .............................‬‬ ‫عوامل ‪45 .................................‬‬ ‫‪ 5-14‬المزيد من التمثيلات البيان َّية‬ ‫‪ ٣-11‬ح ّل ال ُمعادلات التربيعية ‪56 ...............‬‬ ‫غير الخ ّطية ‪132 ..........................‬‬ ‫‪ 4-11‬مسائل تطبيقية على حل ال ُمعادلات‬ ‫التربيعية ‪59 ...............................‬‬ ‫الوحدة الخامسة عشرة‪ :‬النم ّو ال ُأ ّسي‬ ‫والاضمحلالال ُأ ّسي‬ ‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‬ ‫‪1-15‬فهم النم ّو الأُ ّسي والاضمحلال‬ ‫‪1-12‬التطابُق ‪66 ...............................‬‬ ‫الأُ ّسي ‪144 .................................‬‬ ‫‪ 2-12‬التشابُه ‪74 ................................‬‬ ‫‪ ٣-12‬تطبيقات على التشابُه ‪91 ...............‬‬ ‫‪ 2-15‬التمثيلات البيانية للنمو الأُ ّسي‬ ‫والاضمحلال الأُ ّسي ‪148 .................‬‬ ‫‪ ٣-15‬تطبيقات حياتية على النم ّو الأُسهي‬ ‫والاضمحلال الأُ ّسي ‪154 .................‬‬ ‫‪xi‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الأول‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الوحدة السادسة عشرة‪ :‬المساحة‬ ‫والحجم‬ ‫‪ُ 1-16‬محيط ومساحة الأشكال ثُنائ َّية‬ ‫الأبعاد ‪160 ................................‬‬ ‫‪ُ  2-16‬محيط الدائرة ومساحتها ‪168 ............‬‬ ‫‪ ٣-16‬الأشكال ثلاثية الأبعاد ‪181 ..............‬‬ ‫الوحدة السابعة عشرة‪ :‬النقود‬ ‫‪ 1-17‬سعر الصرف ‪194 ........................‬‬ ‫‪ ٢-17‬المكسب ‪196 .............................‬‬ ‫‪ 3-17‬اقتراض النقود واستثمارها ‪200 .........‬‬ ‫‪ 4-17‬البيع والشراء ‪210 .......................‬‬ ‫مصطلحات علمية ‪217 ...........................‬‬ ‫‪xii‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫المقدمة‬ ‫يرتكز هذا الكتاب المدرسي على كتاب معروف وناجح ت َّمت كتابته للمرة الأولى بالاستناد‬ ‫ساب ًقا‬ ‫إلى منهج كامبريدج ‪ IGCSE‬في الرياضيات (‪ .)0980 / 0580‬وهو يُغ ّطي المنهج الدراسي‬ ‫من المهم أن تتذكر قواعد ترتيب‬ ‫بأكمله ضمن مجموعة متكاملة تُعطى لجميع الطلاب والمعلمين‪.‬‬ ‫العمليات الحسابية قبل البدء بهذا‬ ‫ت ّم تأليف الكتاب‪ ،‬بحيث تستطيع العمل فيه بالتد ُّرج من البداية إلى النهاية‪ .‬تعتمد‬ ‫الدرس‪ .‬‬ ‫جميع الوحدات على المعرفة والمهارات التي تعلَّمتها في السنوات السابقة‪ ،‬وتُبنى‬ ‫بعض الوحدات اللاحقة على المعرفة التي تم تطويرها في الكتاب من قبل‪ .‬وسوف‬ ‫لاحـ ًقا‬ ‫تُساعدك فقرات ‘فائدة’ و‘ساب ًقا’ ‘ولاح ًقا’ على ربط محتوى الوحدات بما تعلَّمته‬ ‫ساب ًقا‪ ،‬والإضاءة على المكان الذي ستستخدم فيه تلك المعرفة م َّرة أخرى في الدروس‬ ‫لاحقًا‪ ،‬ستتعامل مع ضرب وقسمة‬ ‫وجمع وطرح الكسور مرة ثانية عند‬ ‫اللاحقة‪.‬‬ ‫التعامل مع المقادير الجبرية‪ .‬‬ ‫المسار المقترح للعمل في الكتاب هو‪:‬‬ ‫الفصل الدراسي الأول للص ّف التاسع‪ :‬الوحدات من ‪ 1‬إلى ‪9‬‬ ‫الفصل الدراسي الثاني للص ّف التاسع‪ :‬الوحدات من ‪ 10‬إلى ‪17‬‬ ‫ميزات رئيسية‬ ‫تُفتتَح كل وحدة بقائمة من ال ُمفردات وأخرى من الأهداف التي ستتعلَّمها في الوحدة‪،‬‬ ‫و ُمق ِّدمة تعرض نظرة عا َّمة عن كيفية استخدام الرياضيات في الحياة الواقعية‪.‬‬ ‫هناك أي ًضا قائمة بالمفردات الرياضية الرئيسية‪ .‬يشار إلى هذه ال ُمفردات في متن‬ ‫الدروس باللون الأزرق‪ ،‬حيث يت ّم استخدامها وشرحها‪.‬‬ ‫تقسم الوحدات إلى أقسام (دروس)‪ ،‬يُغ ّطي كل منها موضو ًعا ُمع َّي ًنا‪ .‬ويتم تقديم وشرح‬ ‫المفاهيم في كل موضوع‪ ،‬ويت ّم إعطاء أمثلة لتقديم طرائق مختلفة للعمل بطريقة عملية‬ ‫وسهلة ال ُمتابَعة‪.‬‬ ‫تُق ِّدم التمارين الخا َّصة بكل موضوع أسئلة ُمتن ِّوعة‪ ،‬وبمستويات مختلفة‪ ،‬تسمح للطالب‬ ‫بالتد ُّرب على الأساليب التي تم تقديمها في الدرس‪ .‬تتراوح هذه التمارين بين الأنشطة‬ ‫البسيطة والتطبيقات وحل المسائل‪.‬‬ ‫يرد ُمل َّخص لكل وحدة تُع َرض فيه المعارف والمهارات التي يجب أن تمتلكها عند الانتهاء‬ ‫من العمل في الوحدة‪ .‬يمكنك استخدام هذا ال ُمل َّخص كقائمة عند المراجعة‪ ،‬للتح َّقق من‬ ‫تغطية المطلوب معرفته في الوحدة‪.‬‬ ‫ترد بعض التمارين الموجزة في نهاية كل وحدة‪.‬‬ ‫‪1x3iii‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الأول‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ُمم ّيزات في الهامش‬ ‫تذكر أن ‘المعامل’ هو العدد الذي‬ ‫تتض ّمن الإرشادات ال ُمفيدة في هوامش الكتاب ما يلي‪:‬‬ ‫يقع إلى جانب المتغير في الحد‪.‬‬ ‫مفاتيح‪ :‬وهي تعليقات عا َّمة تُذ ِّكرك بمعلومات ُمه َّمة أو أساسية ُمفيدة للتعا ُمل مع تمرين‬ ‫ُمسا َعدة‬ ‫ما‪ .‬وأنت بمطلق الأحوال مستفيد من معرفتها‪ .‬غال ًبا ما تو ِّفر هذه المفاتيح معلومات‬ ‫انتبه للأعداد السالبة التي تسبق‬ ‫إضافية أو دع ًما إضاف ًيا في موضوعات قد تكون ُملت ِبسة‪.‬‬ ‫الأقواس لأنها تحتاج دائ ًما إلى‬ ‫مساعدة‪ :‬تُغ ّطي الأخطاء الشائعة بنا ًء على تجارب المؤ ّلفين مع طلاّ بهم‪ ،‬وتمنحك أشياء‬ ‫اهتمام مضاعف‪.‬‬ ‫يجب أن تتذ َّكرها أو أن تكون حذ ًرا منها‪.‬‬ ‫يعتبر تحويل المعلومات من صيغ‬ ‫مساعدات في حل المسائل‪ :‬أثناء عملك في العام الدراسي‪ ،‬سوف تُط ِّور ‘صندوق‬ ‫لفظية إلى مخططات أو معادلات من‬ ‫الأدوات’ الخاص بك وال ُمتع ِلّق بمهارات واستراتيجيات حل المسائل‪ .‬سوف يُذ ِّكرك‬ ‫الاستراتيجيات المفيدة لحل المسائل‪.‬‬ ‫هذا الصندوق بإطار حل المسائل ويح ّثك على اقتراح طرائق لمعالجة أنواع مختلفة من‬ ‫المسائل‪.‬‬ ‫روابط مع موضوعات أخرى‪ :‬لا يت ّم تعلُّم مادة الرياضيات بمعزل عن المواد الأخرى‪.‬‬ ‫وسوف تستخدم وتُط ِّبق ما تتعلَّمه في الرياضيات على العديد من المواد الدراسية‬ ‫الأخرى‪ .‬تُشير هذه النوافذ إلى كيفية الاستفادة من المفاهيم الرياضية في موضوعات‬ ‫أخرى‪.‬‬ ‫مصادر إضافية‬ ‫دليل المعلم‪ :‬هذا الكتاب متوفر ل ُمعلّميك‪ .‬وهو يتض َّمن‪ ،‬إضافة إلى الأشياء الأخرى‪،‬‬ ‫بطاقات مراجعة لكل وحدة‪ ،‬بالإضافة إلى إجابات جميع التمارين وتمارين نهاية الوحدة‪.‬‬ ‫كتاب النشاط‪ :‬يتبع هذا الكتاب وحدات ودروس كتاب الطالب‪ ،‬ويُق ِّدم تمارين إضافية‬ ‫هادفة لمن يرغب منكم في المزيد من التدريبات‪ .‬ويتض ّمن أي ًضا ُمل َّخ ًصا للمفاهيم‬ ‫الأساسية‪ ،‬إضافة إلى ‘المفاتيح’ و‘المساعدات’ بهدف توضيح الموضوعات ال ُملت ِبسة‪.‬‬ ‫‪xiv‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل ال ُمعادلات‬ ‫التربيعية‬ ‫ال ُمفردات‬ ‫‪Expand‬‬ ‫Ÿ  ف ّك الأقواس‬ ‫Ÿ  الحد الثابت ‪Constant term‬‬ ‫Ÿ  العبارة التربيعية‬ ‫‪Quadratic expression‬‬ ‫Ÿ  التحليل إلى عوامل‬ ‫‪Factorisation‬‬ ‫Ÿ  الفرق بين ُمر َّب َعين ‪Difference‬‬ ‫‪between two squares‬‬ ‫Ÿ  ال ُمعادلة التربيعية‬ ‫‪Quadratic equation‬‬ ‫Ÿ  حل ال ُمعادلة التربيعية‬ ‫‪Solving the quadratic equation‬‬ ‫Ÿ  التجميع‬ ‫‪Grouping‬‬ ‫Ÿ  العا ِمل ال ُمشت َرك‬ ‫‪Common factor‬‬ ‫Ÿ  ال ُمر َّبع الكامل ‪Perfect square‬‬ ‫عند تت ُّبع مسار كرة السلة التي يرميها اللاعب نجد أنها تت ِّبع مسا ًرا ُمنحن ًيا‪ ،‬يمكن وصفه‬ ‫سوف تتع ّلم في هذه الوحدة‬ ‫رياض ًّيا باستخدام معادلة من الدرجة الثانية؛ وسوف تستكشف الجبر ال ُمرت ِبط بـهذا‬ ‫كيف‪:‬‬ ‫الموضوع خلال دراسة هذه الوحدة‪.‬‬ ‫Ÿ  تف ّك ناتج ضرب عبارات‬ ‫جبرية‪.‬‬ ‫وتُع ِّبر ال ُمعادلات التربيعية المختلفة عن مسارات منحنية‪ ،‬ويمكن استخدامها لتو ُّقع الزمن‬ ‫ال ُمستغ َرق لسقوط جسم ما‪ ،‬ولتحديد موقعه بعد زمن مع ّين‪ ...‬وهكذا‪.‬‬ ‫Ÿ  تُحلِّل العبارات التربيعية إلى‬ ‫عوامل‪.‬‬ ‫Ÿ  تح ّل المعادلات التربيعية‬ ‫بالتحليل إلى عوامل‪.‬‬ ‫Ÿ  تُحلِّل عبارات تربيعية إلى‬ ‫عوامل ُمعا ِمل س‪ 2‬فيها لا‬ ‫يساوي ‪1‬‬ ‫‪41‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 1-11‬ف ّك أكثر من مجموع َتي أقواس‬ ‫تعلَّمت ساب ًقا كيف تف ّك مجموعتَي أقواس مثل (س ‪()3 +‬س ‪.)5 +‬‬ ‫عندما تتخلَّص من الأقواس وتُعيد كتابة العبارة الجبرية‪ ،‬تكون قد فككت الأقواس‪ .‬تتض َّمن‬ ‫العبارة الجبرية الناتجة ح ًّدا يحتوي على س‪ ،2‬وح ًّدا يحتوي على س‪ ،‬وح ًّدا ثاب ًتا‪ .‬تُس ّمى‬ ‫هذه الأنواع من العبارات بالعبارات التربيعية‪.‬‬ ‫والآن عليك أن تكون قاد ًرا على ف ّك ثلاث مجموعات من الأقواس‪ ،‬يمكنك القيام بذلك من‬ ‫خلال تنفيذ ع َّدة خطوات‪ .‬قد يتض َّمن الناتج حدو ًدا مرفوعة إلى الأس ‪( 3‬عبارات تكعيبية)‪.‬‬ ‫لف ّك عبارات مثل (س ‪()3 +‬س ‪()5 +‬س ‪ ،)10 -‬ابدأ بفك (س ‪()3 +‬س ‪.)5 +‬‬ ‫×س ‪٣‬‬ ‫يمكنك استخدام الشبكة للقيام بذلك‪:‬‬ ‫س س‪٣ ٢‬س‬ ‫‪٥ ٥‬س ‪١٥‬‬ ‫∴ (س ‪()3 +‬س ‪ = )5 +‬س‪3 + 2‬س ‪5 +‬س ‪ 15 +‬والتي تُب ِّسط بدورها إلى س‪ 8 + 2‬س ‪15 +‬‬ ‫والآن‪ ،‬اضرب الناتج في (س ‪:)10 -‬‬ ‫س‪ 8 2‬س ‪15‬‬ ‫×‬ ‫‪ 8‬س‪15 2‬س‬ ‫س‪3‬‬ ‫س‬ ‫‪150-‬‬ ‫‪ 80-‬س‬ ‫‪10-‬س‪2‬‬ ‫‪10-‬‬ ‫يصبح الناتج بعد تجميع الحدود ال ُمتشا ِبهة س‪2 - 3‬س‪65 - 2‬س ‪150 -‬‬ ‫ب (س ‪()7 -‬س ‪()6 +‬س ‪)2 -‬‬ ‫مثـــــال ‪1‬‬ ‫تحتاج إلى اختيار الطريقة التي‬ ‫الطريقة هنا ُمشابهة للطريقة التي‬ ‫تراها سهلة‪ ،‬لكن تأ ّكد من إجراء‬ ‫ف ّك وب ِّسط كل ًاّ م ّما يلي‪:‬‬ ‫جميع الخطوات المناسبة ليكون‬ ‫استخدمتها سابقًا‪.‬‬ ‫أ (س ‪()2 +‬س ‪()9 +‬س ‪)1 +‬‬ ‫عملك واض ًحا‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫أ (س ‪()2 +‬س ‪()9 +‬س ‪)1 +‬‬ ‫س‪٢+‬س‪ ٩+‬س‪١+‬‬ ‫س‪9 + 2‬س ‪2 +‬س ‪18 +‬‬ ‫= س‪11 + 2‬س ‪18 +‬‬ ‫‪42‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫والآن‪ ،‬اضرب الناتج في (س ‪)1 +‬‬ ‫س‪١١ + ٢‬س ‪ ١٨ +‬س ‪١ +‬‬ ‫يجب ربط كل حد في مجموعة‬ ‫س‪11 + 3‬س‪18 + 2‬س ‪ +‬س‪11 + 2‬س ‪18 +‬‬ ‫الأقواس الأولى مع كل حد في‬ ‫= س‪12 + 3‬س‪29 + 2‬س ‪18 +‬‬ ‫مجموعة الأقواس الثانية‪.‬‬ ‫اجمع الحدود ال ُمتشابهة‬ ‫ب ِّسط‪.‬‬ ‫الحل باستخدام طريقة الشبكة مع‬ ‫(س ‪()7 -‬س ‪()6 +‬س ‪)2 -‬‬ ‫ب‬ ‫رابـط‬ ‫وجود إشارة السالب‪.‬‬ ‫× س ‪٧-‬‬ ‫تفيد العبا ارت التربيعية والصَيغ‬ ‫اجمع الحدود ال ُمتشابهة‪.‬‬ ‫س س‪٧- ٢‬س‬ ‫في نمذجة مواقف الحركة التي‬ ‫ب ِّسط‪.‬‬ ‫تتض َّمن التساُرع ومسافة التوُقّف‬ ‫‪٦ ٦+‬س ‪٤٢-‬‬ ‫والآن‪ ،‬اضرب الناتج في (س – ‪.)2‬‬ ‫والسرعة والمسافة المقطوعة‪.‬‬ ‫س‪7 - 2‬س ‪6 +‬س ‪42 -‬‬ ‫تُدرس هذه المواقف في الفيزياء‪،‬‬ ‫ب ِّسط للحصول على الناتج‪.‬‬ ‫= س‪ - 2‬س ‪42 -‬‬ ‫لكن لها تطبيقات في الحياة‬ ‫اليومية‪ ،‬مثل الطرق أو التحقيقات‬ ‫في حوادث الطي ارن‪.‬‬ ‫× س‪- ٢‬س ‪٤٢-‬‬ ‫س س‪- ٣‬س‪٤٢- ٢‬س‬ ‫‪٢- ٢-‬س‪٢ ٢‬س ‪٨٤‬‬ ‫س‪3 - 3‬س‪40 - 2‬س ‪84 +‬‬ ‫ف ّك مجموعتَي الأقواس الأولى والثانية‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪2‬‬ ‫ج ّمع الحدود ال ُمتشابهة‪.‬‬ ‫ف ّك وب ِّسط‪3( :‬س ‪2( )2 +‬س ‪( )1 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫اضرب ك ّل حّد من مجموعة الأقواس‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫الأولى في ك ّل حّد من مجموعة‬ ‫الأقواس الثانية‪.‬‬ ‫أَّولاً‪ :‬نف ّك مجموعتَي الأقواس الأولى والثانية‪:‬‬ ‫ج ّمع الحدود ال ُمتشابِهة لتُب ّسطها‪.‬‬ ‫(‪3‬س ‪2()2 +‬س ‪()1 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫= (‪6‬س‪4 + 2‬س ‪3 +‬س ‪()2 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫= (‪6‬س‪7 + 2‬س ‪()2 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫ثانًيا‪ :‬نضرب الناتج من أَّولاً في مجموعة الأقواس‬ ‫الثالثة‪:‬‬ ‫= ‪6‬س‪7 + 3‬س‪2 + 2‬س ‪6 -‬س‪7 - 2‬س ‪2 -‬‬ ‫= ‪6‬س‪ + 3‬س‪5 - 2‬س ‪2 -‬‬ ‫‪43‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪1-11‬‬ ‫‪ )1‬ف ّك وب ِّسط كل ًّا من العبارات الجبرية التالية‪:‬‬ ‫ب (س ‪( )6 +‬س ‪( )4 +‬س ‪)5 +‬‬ ‫أ (س ‪( )3 +‬س ‪( )1 +‬س ‪)2 +‬‬ ‫د (س ‪( )3 +‬س ‪( )12 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫ج (س ‪( )9 +‬س ‪( )10 +‬س ‪)1 +‬‬ ‫و (س ‪( )5 +‬س ‪( )4 +‬س ‪)2 -‬‬ ‫ﻫـ (س ‪( )1 +‬س ‪( )1 +‬س ‪)3 -‬‬ ‫ح (س ‪( )3 -‬س ‪( )8 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫ز (س ‪( )4 +‬س ‪( )7 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫ي (س ‪( )9 -‬س ‪( )8 +‬س ‪)5 -‬‬ ‫ط (س ‪( )1 -‬س ‪( )1 +‬س ‪)2 +‬‬ ‫ك (س ‪( )6 -‬س ‪( )7 -‬س ‪)8 -‬‬ ‫‪ )2‬ف ّك وب ِّسط كل ًّا من العبارات الجبرية التالية‪:‬‬ ‫أ (‪5‬س ‪3( )2 +‬س ‪( )3 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫ب (س ‪( )5 -‬س ‪( )5 -‬س ‪)5 +‬‬ ‫ج (‪4‬س ‪( )1 -‬س ‪3( )1 +‬س ‪)2 -‬‬ ‫د (س ‪2( )4 +‬س ‪2( )4 +‬س ‪)4 +‬‬ ‫ﻫـ (‪2‬س ‪3( )3 -‬س ‪2( )2 -‬س ‪)1 -‬‬ ‫و (‪3‬س ‪3( )2 -‬س ‪2( )2 -‬س ‪)1 -‬‬ ‫ز (س ‪( )2 +‬س ‪( )2 +‬س ‪)2 +‬‬ ‫ح (‪2‬س ‪2( )2 -‬س ‪2( )2 -‬س ‪)2 -‬‬ ‫‪ )3‬يت ّم إيجاد حجم متوازي المستطيلات باستخدام الصيغة ح = ط ض ع‪ ،‬حيث‬ ‫ط‪ :‬الطول‪ ،‬ض‪ :‬العرض‪ ،‬ع‪ :‬الارتفاع‪ .‬إذا علمت أن متوازي ال ُمستطيلات طوله‬ ‫م‪:‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(س‬ ‫وارتفاعه‬ ‫م‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(س‬ ‫م‪ ٢٣‬وع‪٤٣‬رضه‬ ‫)‬ ‫‪١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫أ اكتب عبارة جبرية تُم ِّثل حجم متوازي المستطيلات ُمستخ ِد ًما الأبعاد ال ُمعطاة‪.‬‬ ‫ب ف ّك العبارة الجبرية‪.‬‬ ‫ج أوجد حجم ُمتوازي المستطيلات عندما س = ‪ 2.2‬م‪.‬‬ ‫‪44‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 2-11‬تحليل العبارات الجبرية إلى عوامل‬ ‫في هذا الدرس‪ ،‬سوف تقوم بتحليل عبارات جبرية ُمح َّددة إلى عوامل‪ ،‬وسوف تتعلَّم كيف‬ ‫تُحلِّل ال ُمر َّبع الكامل إلى عوامل‪ ،‬وكيف تستخدم التجميع والعامل ال ُمشت َرك في التحليل‬ ‫إلى عوامل‪ ،‬وسوف تتعلَّم أي ًضا كيف تُحلِّل العبارات التربيعية الثُلاثية إلى عوامل‪ ،‬وكيف‬ ‫تستخدم الفرق بين ُمر َّبعين لتُحلِّل عبارة جبرية إلى عوامل‪.‬‬ ‫‪-2-11‬أ ف ّك ال ُمر َّبع الكامل‬ ‫(س ‪ +‬ص)‪ 2‬تعني (س ‪ +‬ص) (س ‪ +‬ص)‬ ‫لتجد ناتج الضرب‪ ،‬يمكنك أن تستخدم الطريقة التي تعلَّمتها من قبل‪.‬‬ ‫(س ‪ +‬ص) (س ‪ +‬ص) = س‪ + 2‬س ص ‪ +‬س ص ‪ +‬ص‪ = 2‬س‪2 + 2‬س ص ‪ +‬ص‪2‬‬ ‫وبالتالي‪ ،‬يمكن القول أن‪ :‬س‪2 + 2‬س ص ‪ +‬ص‪( = 2‬س ‪ +‬ص)‪2‬‬ ‫ستكون قاد ًرا على ف ّك هذه الأنواع من العبارات الجبرية إلى عوامل بالاستقصاء‪.‬‬ ‫انظر إلى الناتج‪ .‬هل تلاحظ أن‪:‬‬ ‫Ÿ الح ّد (س‪ )2‬هو ُمر َّبع الح ّد الأ َّول؟‬ ‫Ÿالح ّد (‪2‬س ص) هو ضعف ناتج ضرب الح ّد الأ َّول في الح ّد الثاني؟‬ ‫Ÿ الح ّد (ص‪ )2‬هو ُمر َّبع الح ّد الثاني؟‬ ‫ج (‪4‬س – ‪2)7‬‬ ‫ب (‪2‬أ ‪3 +‬ب)‪2‬‬ ‫مثـــــال ‪3‬‬ ‫ف ّك وبسط كلاً م ّما يلي‪:‬‬ ‫أ  (س ‪2)6 +‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫الطريقة هنا مشابهة للطريقة التي‬ ‫(س ‪2)6 +‬‬ ‫أ‬ ‫تعلمتها من قبل يمكن هنا استخدام‬ ‫= (س ‪()6 +‬س ‪)6 +‬‬ ‫طريقة الاستقصاء لإيجاد المفكوك‪:‬‬ ‫= س‪6 + 2‬س ‪6 +‬س ‪36 +‬‬ ‫(س ‪ 2)6 +‬أوجد مربع الحد الأول‬ ‫= س‪12 + 2‬س ‪36 +‬‬ ‫ومربع الحد الثاني‪ :‬الناتج‪ :‬س‪36 ،2‬‬ ‫أوجد ضعف ناتج ضرب الحد الأول‬ ‫في الحد الثاني‪:‬‬ ‫الناتج‪ :‬س × ‪12 = 2 × 6‬س‬ ‫‪12‬س هو الحد الأوسط في الإجابة‪.‬‬ ‫‪45‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ب‬ ‫(‪2‬أ ‪3 +‬ب)‪2‬‬ ‫أوجد ُم َرّبع الحد الأَّول‪ ،‬ثّم أوجد ُم َرّبع‬ ‫(‪2‬أ)‪4 = 2‬أ‪2‬‬ ‫الحد الثاني أوجد بعد ذلك ضعف ناتج‬ ‫(‪3‬ب)‪9 = 2‬ب‪2‬‬ ‫‪2‬أ × ‪3‬ب × ‪12 = 2‬أب‬ ‫ضرب الحد الأول في الحد الثاني‪،‬‬ ‫‪2(‬أ ‪3 +‬ب)‪4 = 2‬أ‪12 + 2‬أب ‪9 +‬ب‪2‬‬ ‫يمكنك التحُقّق من الناتج بفك القو َسين‬ ‫مستخد ًما الطريقة التي تعلمتها من قبل‪.‬‬ ‫(‪4‬س – ‪2)7‬‬ ‫ج‬ ‫= (‪4‬س)‪4 + 2‬س × (‪2)7-( + 2 × )7-‬‬ ‫انتبه عند التعامل مع الأعداد السالبة‪.‬‬ ‫لاحظ أن الإشارة السالبة تظهر فقط في‬ ‫= ‪16‬س‪56 – 2‬س ‪49 +‬‬ ‫الحد الأوسط من الناتج‪.‬‬ ‫تحليل ال ُمر َّبع الكامل إلى عوامل‬ ‫إذا كانت العبارة الجبرية في صورة س‪2 + 2‬س ص ‪ +‬ص‪ ،2‬يمكنك القول إنها ُمر َّبع كامل‪،‬‬ ‫ويمكن كتابتها في صورة (س ‪ +‬ص)‪ .2‬للحصول على ُمر َّبع كامل‪:‬‬ ‫Ÿيجب أن يكون الح ّدان الأ َّول والثالث في العبارة الجبرية مكتوبَين في صورة ُمر َّبع‬ ‫كامل (س‪ ،2‬ص‪)2‬‬ ‫Ÿيجب أن يكون الح ّد الأوسط في العبارة الجبرية ُمساو ًيا لضعف ناتج ضرب‬ ‫الجذ َرين التربيع َّيين لل ُمر َّب َعين الكاملَين (‪ 2‬س ص أو ‪ 2-‬س ص)‬ ‫مثـــــال ‪4‬‬ ‫حِلّل كلاً من العبا ارت الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫ب أ‪6 – 2‬أب ‪9 +‬ب‪2‬‬ ‫أ  س‪14 + 2‬س ‪49 +‬‬ ‫د س‪ 8 - 4‬س‪2‬ص ‪16 +‬ص‪2‬‬ ‫ج ‪ ١٩٦‬س‪ ٢٣٣٤+١٩٦2٢٣‬س‪٤٣‬ص ‪ +‬ص‪2‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫س‪ُ 49 ،2‬م َرّبعان كاملان‬ ‫س‪14 + 2‬س ‪49 +‬‬ ‫أ‬ ‫‪14‬س = ‪ × 2‬س‪٢‬س‪٤٤٩٩ × ٢‬‬ ‫= س‪ × 2 + 2‬س × ‪27 + 7‬‬ ‫= (س ‪2)7 +‬‬ ‫لأن الحّد الأوسط يتض َّمن‬ ‫أ‪ 6 - 2‬أب ‪9 +‬ب‪2‬‬ ‫ب‬ ‫إشارة سالبة‪ ،‬سيتض َّمن القوس‬ ‫= أ‪ × 2 - 2‬أ × ‪3‬ب ‪3( +‬ب)‪2‬‬ ‫إشارة سالبة (إشارة الحد‬ ‫= (أ ‪٣ -‬ب)‪٢‬‬ ‫الثاني ستكون سالبة)‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫(‪٦‬حا‪١٤٣٦٩‬و‪١٩‬لس‪٣٢‬سم‪٣٢٦2‬ع‪٢٣٣٤٣٤(+١+٩‬ص)‪2‬سس‪+٣٤‬صص‪2)+‬ص‪2‬‬ ‫ج‬ ‫هنا ليس من السهل تحديد‬ ‫ص‪2‬‬ ‫سس‪×٢٣٢٣2٣٤٤٣١++٩١٩٦٦22٢٢٣٣‬س‪٣٤٣٤‬صس‪+‬صص‪2+‬‬ ‫‪١١٩٩٦٦‬‬ ‫‪٢٣ ١٩٦‬‬ ‫الحد الأوسط من الحَّدين‬ ‫=‬ ‫الأول والثالث‪ .‬حاول‬ ‫=‬ ‫استخدام الجذرَين التربيعِّيين‬ ‫للحَّدين الأَّول والأخير‬ ‫وتحَقّق من ص ّحتِهما‪.‬‬ ‫‪ ١٩٦ ‬س‪ ٢٣٣٤+١٩٦2٣٢‬س‪٣٤‬ص ‪١٩٦ +‬ص‪ ٤٣ ( =٣٢ 2‬س ‪ +‬ص)‪2‬‬ ‫العبارة الجبرية ليست‬ ‫س‪ 8 - 4‬س‪2‬ص ‪16 +‬ص‪2‬‬ ‫د‬ ‫تربيعية‪ ،‬ولكن تذ َّكر أن س‪4‬‬ ‫= (س‪ × 2 - 2)2‬س‪4 × 2‬ص ‪4( +‬ص)‪2‬‬ ‫ُمساوية لـ (س‪2)2‬‬ ‫= (س‪4 - 2‬ص)‪2‬‬ ‫تمارين ‪-2-11‬أ‬ ‫‪ )1‬ف ّك ال ُمر َّبع الكامل في ك ّل م ّما يلي‪:‬‬ ‫ج (‪2‬س ‪3 +‬ص)‪2‬‬ ‫ب (أ ‪ +‬ب)‪2‬‬ ‫أ (س ‪ -‬ص)‪2‬‬ ‫و (ص ‪4 -‬س‪2)2‬‬ ‫ﻫـ (س ‪2 +‬ص)‪2‬‬ ‫د (‪3‬س ‪2 -‬ص)‪2‬‬ ‫ط (‪2-‬س ‪4 -‬ص‪2)2‬‬ ‫ح (‪ + 2‬ص‪2)3‬‬ ‫ز (س‪ - 2‬ص‪2)2‬‬ ‫ب)‪2‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(أ‬ ‫ل‬ ‫ك ‪٤٣(٣‬س‪٤‬س ‪٢ -‬ص‪)٢‬ص‪2‬‬ ‫ي (‪١١٢٢‬سس ‪١١٤٤ -‬صص)‪2‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬س‬ ‫ن (‪3‬س‪2‬ص ‪2)1 -‬‬ ‫م (‪-‬أب ‪ -‬جـ‪2)4‬‬ ‫‪4‬ص)‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫(‬ ‫س‬ ‫ع [‪( -‬س ‪2])3 -‬‬ ‫‪ )2‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫ب ب‪20 - 2‬ب ‪100 +‬‬ ‫أ أ‪10 + 2‬أ ‪25 +‬‬ ‫د د‪4 - 2‬د ‪4 +‬‬ ‫ج جـ‪4 + 2‬جـ ‪4 +‬‬ ‫و ‪4‬ص‪20 - 2‬ص ‪25 +‬‬ ‫ﻫـ ‪9‬س‪6 + 2‬س ص ‪ +‬ص‪2‬‬ ‫ح أ‪12 + 2‬أب ‪36 +‬ب‪2‬‬ ‫ز ‪16‬س‪ 8 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫ي ‪4‬جـ‪12 + 2‬جـ د ‪9 +‬د‪2‬‬ ‫ط س‪14 - 2‬س ص ‪49 +‬ص‪2‬‬ ‫ل ‪9‬جـ‪12 + 2‬جـ د ‪4 +‬د‪2‬‬ ‫ك ‪4‬جـ‪12 - 2‬جـ د ‪9 +‬د‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٦٣٧١٤+‬سس‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪٠‬ن‪٢٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢٦٣٠‬س‪٢٣‬س‪٤٦‬س‪5٦١٢٣+‬س‪٦١2٤‬س‬ ‫س‪+٢٣٩٤2٠‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫م‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ع‬ ‫س س‪2‬ص‪2 - 2‬س ص‪ + 3‬ص‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪47‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-11‬ب التحليل إلى عوامل بالتجميع وأخذ العامل ال ُمشت َرك‬ ‫لقد تعلمت ساب ًقا كيفية إيجاد العوامل المشتركة لعبارة جبرية ما‪ ،‬ولكن إذا كان لديك‬ ‫أربعة حدود مختلفة‪ ،‬مثل ًا‪:‬‬ ‫أجـ ‪ +‬أد ‪ +‬ب جـ ‪ +‬ب د‪ ،‬فإ َّنك تستطيع أن تُحلِّلها من خلال التعامل مع الحدود الأربعة‬ ‫كزو َجين من الحدود‪ ،‬بحيث يجب أن يتض َّمن كل زوج عامل ًا مشتر ًكا‪:‬‬ ‫أجـ ‪ +‬أد ‪ +‬ب جـ ‪ +‬ب د‬ ‫= أ(جـ ‪ +‬د) ‪ +‬ب (جـ ‪ +‬د)‬ ‫= (أ ‪ +‬ب)(جـ ‪ +‬د)‬ ‫مثـــــال ‪5‬‬ ‫حِلّل ما يلي بالتجميع وأخذ العامل المشترك‪( :‬س ‪()1 +‬ص – ‪)3‬‬ ‫أ س ص ‪3 -‬س ‪ +‬ص ‪3 -‬‬ ‫ب س ص ‪ +‬س ‪2 +‬ص ‪2 +‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫س ص ‪٣ -‬س ‪ +‬ص ‪٣ -‬‬ ‫أ‬ ‫= (س ص ‪٣ -‬س) ‪( +‬ص ‪)٣ -‬‬ ‫ق ّسم العبارة إلى قس َمين‪.‬‬ ‫حلّل كل زوج بأخذ عامل ُمشتَرك‪.‬‬ ‫= س(ص ‪( + )٣ -‬ص ‪)٣ -‬‬ ‫= (ص ‪()٣ -‬س ‪)١ +‬‬ ‫حلّل بأخذ عامل ُمشتَرك‪.‬‬ ‫س ص ‪ +‬س ‪٢ +‬ص ‪٢ +‬‬ ‫ب‬ ‫ق ّسم العبارة إلى قس َمين‪.‬‬ ‫= (س ص ‪ +‬س) ‪٢( +‬ص ‪)2 +‬‬ ‫حلّل كل زوج بأخذ عامل ُمشتَرك‪.‬‬ ‫= س(ص ‪(2 + )1 +‬ص ‪)1 +‬‬ ‫حلّل بأخذ عامل ُمشتَرك‪.‬‬ ‫= (ص ‪()1 +‬س ‪)2 +‬‬ ‫تمارين ‪-2-11‬ب‬ ‫‪ )1‬حلِّل كل ًّا م ّما يلي بالتجميع وأخذ العامل ال ُمشت َرك‪:‬‬ ‫ب ‪10‬أ‪ 5 + 2‬أب ‪2 -‬أجـ ‪ -‬ب جـ‬ ‫أ س ص ‪3 -‬س ‪7 +‬ص ‪21 -‬‬ ‫ج ‪ 6‬ب جـ ‪3 +‬جـ ‪ 10 +‬ب د ‪ 5 +‬د‬ ‫‪48‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-11‬ج تحليل العبارة التربيعية ال ُثلاثية التي في صورة‪ :‬س ‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ‬ ‫عند ف ّك الأقواس في العبارة الجبرية (س ‪( )2 +‬س ‪ ،)9 +‬نحصل على‪:‬‬ ‫س‪11 + 2‬س ‪18 +‬‬ ‫انظر إلى العبارة الجبرية الناتجة‪ ،‬وح ِّدد ماذا تُلاحظ بين‪:‬‬ ‫Ÿ ُمعا ِمل س في العبارة الجبرية الناتجة والحدود الثابتة في القو َسين‪.‬‬ ‫Ÿالح ّد الثابت في العبارة الجبرية الناتجة والحدود الثابتة في القو َسين‪.‬‬ ‫نستنتج أ َّنه عند تحليل العبارة الجبرية الثُلاثية س‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ إلى عوامل‪ ،‬نجد أن‬ ‫س‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ = (س ‪ +‬م)(س ‪ +‬ن)‬ ‫حيث ب = م ‪ +‬ن ‪ ،‬جـ = م × ن‬ ‫مثـــــال ‪6‬‬ ‫حِلّل كل عبارة تربيعية فيما يلي إلى عوامل تحليلاً كاملاً‪:‬‬ ‫ج س‪ 8 - 2‬س ‪15 +‬‬ ‫ب س‪6 - 2‬س ‪16 -‬‬ ‫أ  س‪7 + 2‬س ‪12 +‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫تحتاج إلى عدَدين ناتج ضربهما‬ ‫س‪7 + 2‬س ‪12 +‬‬ ‫أ‬ ‫اكتب أزواج عوامل العدد ‪12‬‬ ‫يساوي ‪ 12‬ومجموعهما يساوي ‪7‬‬ ‫(إذا ح َّددت زوج العوامل الذي يص ّح‬ ‫‪12 × 1 = 12‬‬ ‫مباشرة‪ ،‬فلن تحتاج إلى كتابة جميع‬ ‫مجموع ‪ 12 ،1‬لا ُيساوي ‪7‬‬ ‫‪6 × 2 = 12‬‬ ‫مجموع ‪ 2 ،6‬لا ُيساوي ‪7‬‬ ‫أزواج العوامل الأخرى)‪.‬‬ ‫‪7 = 4 + 3 ، 4 × 3 = 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ي‪٣‬س‪،‬او‪٤‬يُيس‪7‬اوي‬ ‫ناتج ضرب‬ ‫∴ س‪7 + 2‬س ‪( = 12 +‬س ‪()3 +‬س ‪)4 +‬‬ ‫عند البحث عن زوج من الأعداد‬ ‫ومجموعهما‬ ‫الصحيحة‪ ،‬ف ِّكر في عوامل الح ّد‬ ‫الثابت أ َّولًا‪ .‬ثم اختر عد َدين يكون‬ ‫إلى عدَدين ناتج ضربهما‬ ‫تحتاج‬ ‫س‪٦ - ٢‬س ‪١٦ -‬‬ ‫ب‬ ‫مجموعهما مساوًيا ل ُمعا ِمل الحد س‬ ‫‪ 16-‬ومجموعهما يساوي‬ ‫يساوي‬ ‫–‪6‬؛‬ ‫‪16- × 1 = 16-‬‬ ‫بطريقة صحيحة‪.‬‬ ‫‪4 × 4- = 16-‬‬ ‫بما أن ناتج ضرب العدَدين سالب‪،‬‬ ‫سيكون أحدهما سالًبا والآخر موجًبا‪.‬‬ ‫‪6- = 2 + 8- ،2 × 8- = 16-‬‬ ‫(بما أن مجموعهما سالب‪ ،‬فإن العدد‬ ‫‪ ‬س‪6 - 2‬س ‪( = 16 -‬س ‪()8 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫الأكبر سيكون سالًبا)‪.‬‬ ‫ناتج ضرب ‪ 2 ،8-‬يساوي ‪16-‬‬ ‫ومجموعهما يساوي ‪6-‬‬ ‫‪49‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ج‬ ‫عودمَدجيمنونعاتهمجا يضساربوهيما–‪8‬؛‬ ‫إلى‬ ‫تحتاج‬ ‫س‪ 8 - ٢‬س ‪١٥ +‬‬ ‫‪15‬‬ ‫يساوي‬ ‫‪3- × 5- = 15‬‬ ‫بما أن ناتج ضربهما موج ٌب‬ ‫‪3- + 5- = 8-‬‬ ‫ومجموعهما سال ٌب‪ ،‬فإن كليهما‬ ‫‪ ‬س‪ 8 - 2‬س ‪( = 15 +‬س ‪()3 -‬س ‪)5 -‬‬ ‫سالبان‪.‬‬ ‫ناتج ضرب ‪ 3- ،5-‬يساوي ‪15‬‬ ‫ومجموعهما يساوي ‪8-‬‬ ‫تمارين ‪-2-11‬ج‬ ‫‪ )1‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫ج س‪11 + 2‬س ‪24 +‬‬ ‫ب س‪3 + 2‬س ‪2 +‬‬ ‫أ س‪14 + 2‬س ‪24 +‬‬ ‫و س‪7 + 2‬س ‪6 +‬‬ ‫ﻫـ س‪12 + 2‬س ‪27 +‬‬ ‫د س‪12 + 2‬س ‪35 +‬‬ ‫ح س‪10 + 2‬س ‪16 +‬‬ ‫ز س‪11 + 2‬س ‪30 +‬‬ ‫ط س‪11 + 2‬س ‪10 +‬‬ ‫ل س‪13 + 2‬س ‪42 +‬‬ ‫ك س‪24 + 2‬س ‪80 +‬‬ ‫ي س‪ 8 + 2‬س ‪7 +‬‬ ‫ج س‪7 - 2‬س ‪12 +‬‬ ‫‪ )2‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫و س‪14 - 2‬س ‪49 +‬‬ ‫ط س‪4 - 2‬س ‪32 -‬‬ ‫أ س‪8 - 2‬س ‪ 12 +‬ب س‪9 - 2‬س ‪20 +‬‬ ‫ل س‪10 + 2‬س ‪24 -‬‬ ‫ﻫـ س‪12 - 2‬س ‪32 +‬‬ ‫د س‪6 - 2‬س ‪8 +‬‬ ‫ج د‪24 - 2‬د ‪144 +‬‬ ‫و س‪100 - 2‬‬ ‫ح س‪7 - 2‬س ‪18 -‬‬ ‫ز س‪8 - 2‬س ‪20 -‬‬ ‫ك س‪8 + 2‬س ‪33 -‬‬ ‫ي س‪ + 2‬س ‪6 -‬‬ ‫‪ )3‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫أ ص‪7 + 2‬ص ‪ 170 -‬ب د‪ 8 + 2‬د ‪84 -‬‬ ‫ﻫـ ع‪20 + 2‬ع ‪75 +‬‬ ‫د د‪16 + 2‬د ‪36 -‬‬ ‫‪-2-11‬د تحليل العبارة التربيعية الثلاثية التي في صورة‪:‬‬ ‫أس ‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ ‪ ،‬حيث أ ‪≠1‬‬ ‫عندما يكون ُمعا ِمل س‪ 2‬عد ًدا غير ‪ ،1‬يكون التحليل إلى عوامل ُمخت ِل ًفا قليل ًا عن تحليل‬ ‫العبارة التربيعية الذي درسته في الدرس السابق‪ ،‬ولكن تتو َّفر بعض الإرشادات لمساعدتك‬ ‫في تحليلها بالطريقة الصحيحة‪.‬‬ ‫‪50‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪7‬‬ ‫حِلّل كل عبارة من العبا ارت الجبرية التالية الى عوامل‪:‬‬ ‫ج ‪10‬س‪11 + 2‬س ‪8 -‬‬ ‫ب ‪3‬س‪14 - 2‬س ‪8 +‬‬ ‫أ ‪2‬س‪3 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪2‬س‪ 2‬تُحَلّل إلى ‪2‬س × س‪ ،‬ضع‬ ‫أ ‪2‬س‪3 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫َهَذين الحَّدين في بداية ك ّل مجموعة‬ ‫‪2‬س‪3 + 2‬س ‪2( = 1 +‬س )(س )‬ ‫أقواس‪ .‬اترك مكاَنين فارَغين في‬ ‫مجموعتَي الأقواس لقيمتَين مجهولتَين‪،‬‬ ‫توجد مفاتيح الحل في الحد الثابت‪.‬‬ ‫(‪،1،1–+‬فإ–ن‪1‬ال)قيأموتَين‬ ‫بما أن الحد الثابت‬ ‫ا(لم‪+‬ج‪،1‬هول‪+‬تَي‪1‬ن)‪.‬هما إما‬ ‫ُمعا ِمل س لا يص ّح لأن إشارته سالبة‪،‬‬ ‫حاول مع ك ّل من (–‪ )١– ،١‬أو(‪:)١ ،١‬‬ ‫ُمعا ِمل س صحيح‪.‬‬ ‫(‪2‬س ‪()1 -‬س ‪2 = )1 -‬س‪3 - 2‬س ‪1 +‬‬ ‫(‪2‬س ‪()1 +‬س ‪2 = )1 +‬س‪3 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪2 ‬س‪3 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫= (‪2‬س ‪()1 +‬س ‪)1 +‬‬ ‫اكتب العبارة الجبرية في صورة ناتج‬ ‫ب ‪3‬س‪14 - 2‬س ‪8 +‬‬ ‫‪3‬س‪14 - 2‬س ‪3( = 8 +‬س‬ ‫ضرب لعاملَين‪ .‬يجب أن يكون ناتج‬ ‫)‬ ‫)(س‬ ‫ضرب الحّدين المجهولَين ‪ ،8‬وبما أن‬ ‫الحد الثابت موجب‪ ،‬يجب أن يكون‬ ‫للقيمتَين المجهولتَين الإشارة نفسها‪.‬‬ ‫الأزواج الممكنة هي‪:‬‬ ‫‪1- ،8-‬‬ ‫‪4 ،2 1 ،8‬‬ ‫(‪3‬س ‪()2 -‬س ‪)4 -‬‬ ‫‪4- ،2-‬‬ ‫= ‪3‬س‪12 - 2‬س ‪2 -‬س ‪8 +‬‬ ‫لأن مجموع العدَدين سالب‪ ،‬فإن‬ ‫=‪3‬س‪14 - 2‬س ‪8 +‬‬ ‫العدَدين الموجَبين ُمستثنيان‪.‬‬ ‫‪3 ‬س‪14 - 2‬س ‪8 +‬‬ ‫= (‪3‬س ‪()2 -‬س ‪)4 -‬‬ ‫‪51‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ج ‪10‬س‪11 + 2‬س – ‪8‬‬ ‫هنا يوجد أكثر من عبارتَين جب َرّيتَين‬ ‫ناتج ضربهما ‪10‬س‪10 = 2‬س × س‬ ‫أو ‪2‬س × ‪ 5‬س حاول مع كل زوج‬ ‫الزوج الأَّول‪10 :‬س و س‬ ‫‪10‬س‪11 + 2‬س – ‪10( = 8‬س )(س ) من الزو َجين أعلاه‪.‬‬ ‫في هذه العبارة التربيعية ستجد أن كل‬ ‫الأزواج الثمانية لا تص ّح!‬ ‫‪ 5‬س × ‪2‬س = ‪10‬س‪2‬‬ ‫الزوج الثاني‪2 :‬س و ‪ 5‬س‬ ‫‪10‬س‪11 + 2‬س – ‪5( = 8‬س )(‪2‬س ) ‪8- = 1- × 8‬‬ ‫‪5‬س × ‪ 5- = 1-‬س‬ ‫عند تجريب الزوج ‪:1- ،8‬‬ ‫‪ 2 × 8‬س = ‪16‬س‬ ‫‪10‬س‪11 + 2‬س – ‪8‬‬ ‫= (‪5‬س ‪2()8 +‬س ‪)1 -‬‬ ‫‪ 5-‬س ‪16 +‬س = ‪11‬س‪ ،‬حيث‬ ‫يساوي الحد الموجود في الوسط‪.‬‬ ‫في ال ُجزئية ج من المثال ‪ ،7‬تظهر العملية طويلة‪ ،‬لكن مع التدريب ستجد طُرقًا تسّرع هذه‬ ‫العملية‪ُ .‬يبِّين المثال ‪ 11‬ذلك‪.‬‬ ‫تمارين ‪-2-11‬د‬ ‫‪ )1‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫ب ‪2‬س‪ + 2‬س ‪3 -‬‬ ‫أ ‪3‬س‪14 + 2‬س ‪8 +‬‬ ‫د ‪3‬س‪14 + 2‬س ‪16 +‬‬ ‫ج ‪6‬س‪ + 2‬س ‪2 -‬‬ ‫و ‪16‬س‪32 + 2‬س ‪9 -‬‬ ‫ﻫـ ‪2‬س‪ - 2‬س ‪10 -‬‬ ‫ح ‪8‬س‪2 + 2‬س ‪1 -‬‬ ‫ز ‪3‬س‪16 + 2‬س ‪5 +‬‬ ‫ي ‪2‬س‪9 + 2‬س ‪9 +‬‬ ‫ل ‪10‬س‪ - 2‬س ‪3 -‬‬ ‫ط ‪2‬س‪ - 2‬س ‪6 -‬‬ ‫ن ‪2‬س‪19 - 2‬س ‪9 +‬‬ ‫ك ‪3‬س‪2 + 2‬س ‪16 -‬‬ ‫م ‪5‬س‪6 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫س ‪12‬س‪8 + 2‬س ‪15 -‬‬ ‫‪52‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-11‬هـ تحليل الفرق بين ُمر َّبعين‬ ‫انظر ماذا سيحدث إذا كان لدينا نفس الحدود في مجموعتَي الأقواس‪ ،‬مع اختلاف في‬ ‫الإشارة بينهما‪:‬‬ ‫(أ ‪ +‬ب) (أ ‪ -‬ب)‬ ‫بعد ف ّك القو َسين نحصل على أ‪ - 2‬أب ‪ +‬أب ‪ -‬ب‪ 2‬والحدود التي تتض َّمن أب يُلغي بعضها‬ ‫بع ًضا‪ ،‬ويبقى فقط أ‪ - 2‬ب‪ ،2‬ويُس ّمى بالفرق بين ُمر َّب َعين‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪8‬‬ ‫ف ّك العبارة الجبرية‪( :‬س ‪()5 +‬س – ‪)5‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪ ٥-‬س ‪ ٥ +‬س = ‪٠‬‬ ‫(س ‪()5 +‬س ‪ = )5 -‬س‪ 5 - 2‬س ‪ 5 +‬س ‪25 -‬‬ ‫الناتج هو ُم َرّبع الحّد الأَّول‬ ‫= س‪25 - 2‬‬ ‫(مالطفرروقًحابيمننهُم َُرمّب َعَرّبيعن)ال‪.‬حّد الثاني‬ ‫لتحليل س‪ 100 - 2‬إلى عوامل‪ .‬لاحظ أن س‪ = 100 - 2‬س‪ 0 + 2‬س ‪100 -‬‬ ‫‪ ،0 = 10 + 10- ،100- = 10- × 10‬وعليه س‪0 + 2‬س ‪( = 100 -‬س ‪()10 -‬س ‪)10 +‬‬ ‫والآن ف ّكر في حالة عا َّمة تُساعدك على تحليل س‪ - 2‬أ‪ 2‬إلى عوامل‪.‬‬ ‫لاحظ أن س‪ - 2‬أ‪ = 2‬س‪0 + 2‬س ‪ -‬أ‪2‬‬ ‫بما أن أ × ‪-‬أ = ‪-‬أ‪ 2‬و أ ‪- +‬أ = ‪ ،0‬فإ َّن س‪ - 2‬أ‪( = 2‬س ‪ -‬أ)(س ‪ +‬أ)‬ ‫مثـــــال ‪9‬‬ ‫حِلّل كل ًاّ من العبا ارت الجبرية التالية‪ُ ،‬مستخِد ًما تحليل الفرق بين ُم ّرَب َعين‪:‬‬ ‫ج ‪16‬ص‪ 25 – 2‬ق‪2‬‬ ‫ب س‪٤١ - 2‬‬ ‫أ  س‪49 - 2‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫استخدم صيغة الفرق بين‬ ‫أ ‪27 = 49‬‬ ‫ُم َرّب َعين‪:‬‬ ‫س‪ = 49 - 2‬س‪27 - 2‬‬ ‫س‪ - 2‬أ‪( = 2‬س – أ)(س ‪ +‬أ)‪.‬‬ ‫= (س ‪()7 -‬س ‪)7 +‬‬ ‫تعرف أن ‪ ،7 = ٤٩‬لذا‬ ‫يمكنك كتابة ‪ 49‬في صورة‬ ‫‪.27‬‬ ‫هذا يعطي أ‪ .2‬عّوض ‪ 27‬في‬ ‫صيغة الفرق بين ُم َرّب َعين‪.‬‬ ‫‪53‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ب ‪) (2 ٢١ = ٤١‬‬ ‫‪ ٢١ = ٤١‬لذا يمكنك أن تكتب‬ ‫س‪ = ٤١ - 2‬س‪) (2 ٢١ - 2‬‬ ‫‪ ٤١‬في صورة ‪ 2 ٢١‬وتُعِّوضها( )‬ ‫= (س ‪()٢١ -‬س ‪)٢١ +‬‬ ‫في صيغة الفرق بين ُم َرّب َعين‪.‬‬ ‫‪16‬ص‪4( = 2‬ص)‪2‬‬ ‫ج ‪16‬ص‪4 = 2‬ص × ‪4‬ص = (‪4‬ص)‪2‬‬ ‫‪25‬ق‪5( = 2‬ق)‪2‬‬ ‫‪25‬ق‪5 = 2‬ق × ‪5‬ق = (‪5‬ق)‪2‬‬ ‫عّوض (‪4‬ص)‪5( ،2‬ق)‪ 2‬في‬ ‫‪16‬ص‪25 - 2‬ق‪4( = 2‬ص)‪5( - 2‬ق)‪2‬‬ ‫= (‪4‬ص ‪5 -‬ق)(‪4‬ص ‪5 +‬ق)‬ ‫صيغة الفرق بين ُم َرّب َعين‪.‬‬ ‫تمارين ‪-2-11‬هـ‬ ‫‪ )1‬ف ّك وب ِّسط كل ًّا ّمما يلي‪:‬‬ ‫أ (س ‪ -‬ص) (س ‪ +‬ص)‬ ‫ب (أ ‪( )7 +‬أ ‪)7 -‬‬ ‫ج (‪2‬ب ‪2( )5 +‬ب ‪)5 -‬‬ ‫د (‪5‬ب ‪5( )2 -‬ب ‪)2 +‬‬ ‫ﻫـ (‪3‬س ‪2 +‬ص) (‪3‬س ‪2 -‬ص)‬ ‫و (‪4‬أ ‪7 +‬ب) (‪4‬أ ‪7 -‬ب)‬ ‫‪ )2‬ف ّك وب ِّسط كل عبارة من العبارات الجبرية التالية‪:‬‬ ‫أ (س ‪( - 2)2 -‬س ‪2)4 -‬‬ ‫ب (س ‪( )2 +‬س ‪ - 3( - )2 -‬س) (‪ + 5‬س)‬ ‫ج (ص ‪2 +‬س)‪2( + 2‬س ‪ -‬ص) (‪-‬ص ‪2 +‬س)‬ ‫د ( ‪٢‬س ‪ -‬ص) ( ‪٢‬س ‪ +‬ص) ‪4( -‬س ‪ -‬ص)‪2‬‬ ‫ﻫـ (س ‪()4 +‬س ‪(2 - )4 -‬س ‪2)1 -‬‬ ‫و (‪2‬س ‪ -‬ص)‪( + 2‬س ‪2 -‬ص) (س ‪2 +‬ص) ‪( -‬س ‪4 +‬ص)‪2‬‬ ‫‪54‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ز ‪2-‬س(س ‪( - 2)1 +‬س ‪3-( )5 -‬س)‬ ‫ح (‪2 + 3‬س)‪5(5- 2‬س ‪)2 +‬‬ ‫‪ )3‬حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التالية (قد تحتاج إلى أخذ عامل ُمشت َرك قبل البدء‬ ‫باستخدام الفرق بين ُمر َّب َعين)‪:‬‬ ‫ب ف‪81- 2‬‬ ‫أ س‪36 - 2‬‬ ‫د ع‪9 - 2‬‬ ‫ج ق‪16 - 2‬‬ ‫و ت‪121 - 2‬‬ ‫ﻫـ ك‪400 - 2‬‬ ‫ح ‪81‬ح‪16 - 2‬ل‪2‬‬ ‫ز س‪ - 2‬ص‪2‬‬ ‫ي ‪144‬ر‪ - 2‬جـ‪2‬‬ ‫ط ‪16‬ف‪36 - 2‬ع‪2‬‬ ‫ل ‪27‬س‪48 - 2‬ص‪2‬‬ ‫ك ‪64‬ح‪49 - 2‬ل‪2‬‬ ‫م ‪200‬ك‪98 - 2‬ن‪2‬‬ ‫ن ‪20‬د‪125 - 2‬م‪2‬‬ ‫ع س ص‪ - 2‬س‪3‬‬ ‫س س‪ - 4‬ص‪4‬‬ ‫‪ )4‬حلِّل ‪ ،235 - 236‬وب ِّسط العبارة دون استخدام الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫‪ )5‬حلِّل (‪ ،٢١2)5٤٣( -٢١2)6٤١‬وب ِّسط العبارة دون استخدام الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫‪55‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 3-11‬ح ّل ال ُمعادلات التربيعية‬ ‫تعلَّمت في الدرس السابق كيف تُحلِّل العبارات الجبرية التربيع َّية إلى عوامل باستخدام‬ ‫أكثر من طريقة‪ ،‬وفي هذا الدرس‪ ،‬ستستخدم ما تعلَّمته لح ّل ال ُمعادلات التربيعية‪.‬‬ ‫حل ال ُمعادلات التربيعية باستخدام التحليل إلى عوامل‬ ‫يمكنك الآن استخدام التحليل إلى عوامل لح ّل بعض ال ُمعادلات التربيعية‪.‬‬ ‫ال ُمعادلة التربيعية هي ُمعادلة في صورة‪ :‬أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫الأمثلة التالية ستو ِّضح كيفية ح ّل ال ُمعادلات التربيع َّية باستخدام التحليل إلى عوامل‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪10‬‬ ‫ح ّل كل ًاّ من ال ُمعادلات التربيعية التالية بدلالة س‪:‬‬ ‫ب س‪7 - 2‬س ‪0 = 12 +‬‬ ‫أ س‪3 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫د س‪8 - 2‬س ‪0 = 16 +‬‬ ‫ج س‪6 + 2‬س ‪12 = 4 -‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫بين‬ ‫أن تأخذ عاملاً ُمشتَرًكا‬ ‫يمكنك‬ ‫س‪3 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫أ‬ ‫س‪٣ ،٢‬س وهو س‪.‬‬ ‫الح َّدين‬ ‫س(س – ‪0 = )3‬‬ ‫تحَقّق من الإجابات‪:‬‬ ‫إما س = ‪ 0‬أو س ‪ ⇐ 0 = 3 -‬س = ‪3‬‬ ‫إذا ُضِربت ك ّميتان أو أكثر وكان الناتج‬ ‫صفًار‪ ،‬تكون إحدى الك ّميات على الأق ّل‬ ‫‪( 0 = 0 × 3 - 23‬صحيحة)‬ ‫‪ ‬س = ‪ ،٠‬س = ‪ ٣‬ح ّل للمعادلة‬ ‫صفًار‪.‬‬ ‫‪( 0 = 9 – 9 = 3 × 3 - 23‬وهذه‬ ‫صحيحة أي ًضا)‬ ‫استخدم التحليل إلى عوامل للطرف‬ ‫ب س‪7 - 2‬س ‪0 = 12 +‬‬ ‫الأيمن من ال ُمعادلة‪.‬‬ ‫(س – ‪()4‬س ‪0 = )3 -‬‬ ‫تحَقّق من الإجابات‪:‬‬ ‫إما س ‪ ⇐ 0 = 4 -‬س = ‪4‬‬ ‫‪( 0 = 12 + 4 × 7 - 24‬صحيحة)‬ ‫أو س ‪ ⇐ 0 = 3 -‬س = ‪3‬‬ ‫‪ ‬س = ‪ ،٤‬س = ‪ ٣‬ح ّل للمعادلة‪.‬‬ ‫‪( 0 = 12 + 3 × 7 - 23‬صحيحة)‬ ‫‪56‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫عند حل معادلة تربيعية يجب إعادة‬ ‫ج‬ ‫ترتيبها لتصبح المعادلة في صورة‪:‬‬ ‫اطرح ‪ 12‬من كلا الطرفَين‪.‬‬ ‫س‪6 + 2‬س ‪12 = 4 -‬‬ ‫⇐ س‪6 + 2‬س ‪0 = 16 -‬‬ ‫أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫حِلّل إلى عوامل‪.‬‬ ‫تحَقّق من الإجابات‪:‬‬ ‫(س ‪()8 +‬س ‪0 = )2 -‬‬ ‫في (د) يوجد حلان للمعادلة‪ ،‬ولكنهما‬ ‫(‪12 = 4 - )8-( × 6 + 2)8-‬‬ ‫ُم ت س اوي ان‪.‬‬ ‫إما س ‪ ⇐ 0 = 8 +‬س = ‪8-‬‬ ‫(صحيحة)‬ ‫لحل هذه المعادلة‪ ،‬يمكنك استخدام‬ ‫‪( 12 = 4 - 2 × 6 + 22‬صحيحة)‬ ‫أو س ‪ ⇐ 0 = 2 -‬س = ‪2‬‬ ‫التحليل من الجزئية (ج) في المثال‬ ‫‪ ‬س = ‪ ،8-‬س = ‪ 2‬ح ّل للمعادلة‪.‬‬ ‫(‪)7‬‬ ‫حِلّل إلى عوامل‪.‬‬ ‫د س‪8 - 2‬س ‪0 = 16 +‬‬ ‫تحَقّق من الإجابات‪:‬‬ ‫(س – ‪()4‬س ‪0 = )4 -‬‬ ‫‪0 = 0 = 16 + 4 × 8 - 24‬‬ ‫إما س ‪ ⇐ 0 = 4 -‬س = ‪4‬‬ ‫(صحيحة)‬ ‫أو س ‪ ⇐ 0 = 4 -‬س = ‪4‬‬ ‫‪ ‬س = ‪ 4‬ح ّل للمعادلة‪.‬‬ ‫والآن سوف نتعلَّم كيف نحل معادلة تربيعية حيث ُمعا ِمل س‪ 2‬لا يساوي العدد ‪1‬‬ ‫مثـــــال ‪11‬‬ ‫ح ّل ال ُمعاَدلة ‪10‬س‪11 + 2‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫في الحد الثابت‪.‬‬ ‫اضرب ُمعا ِمل س‪2‬‬ ‫‪80- = 8- × 10‬‬ ‫العدد ‪ 80-‬حتى‬ ‫اذكر أزواج عوامل‬ ‫‪( 80، 1-‬مجموعهما لا يساوي ‪)11‬‬ ‫‪( 40 ، 2-‬مجموعهما لا يساوي ‪)11‬‬ ‫مجموعه ُيساوي‬ ‫على زوج‬ ‫تحصل‬ ‫‪( 20 ، 4-‬مجموعهما لا يساوي ‪)11‬‬ ‫(لاحظ الآتي‪ :‬بما‬ ‫س (‪)11‬‬ ‫ُمعا ِمل‬ ‫‪ 80-‬سالب‪ ،‬فإن‬ ‫موجب و‬ ‫أن ‪11‬‬ ‫‪( 16 ، 5-‬مجموعهما يساوي ‪)11‬‬ ‫العدد الأكبر من زوج العوامل يجب‬ ‫‪10‬س‪5 - 2‬س ‪16 +‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫أن يكون موجًبا والآخر سالًبا)‪.‬‬ ‫‪ 5‬س (‪2‬س – ‪2( 8 + )1‬س – ‪0 = )1‬‬ ‫ال ُمشتَرك‬ ‫العامل‬ ‫وأخذ‬ ‫بالتجميع‬ ‫حِلّل‬ ‫كل حَّدين‬ ‫بين‬ ‫(انتبه للإشارة بحيث تكون مجموعة‬ ‫‪٨-‬‬ ‫‪ 5( ‬س ‪2()8 +‬س – ‪0 = )1‬‬ ‫‪٢١‬االلثأاقنيواة)س‪ .‬الأولى تشبه المجموعة‬ ‫‪٥‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬س ‪5 ⇐ 0 = 8 +‬س = ‪ ⇐ 8-‬س‬ ‫إما‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪-‬س‪=٨٥‬‬ ‫أو‬ ‫=‪⇐1‬‬ ‫‪2‬س ‪2 ⇐ 0 = 1 -‬س‬ ‫‪‬‬ ‫للمعادلة‪.‬‬ ‫س = ‪-٢١ ،٨٥-‬س‪ ٢١ =٨٥‬ح ّل‬ ‫‪57‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪3-11‬‬ ‫‪ )1‬ح ّل كل ًّا من المعادلات التربيعية الآتية باستخدام التحليل إلى عوامل‪:‬‬ ‫ج س‪21 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫ب س‪7 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫أ س‪9 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫د س‪9 - 2‬س ‪ 0 = 20 +‬ﻫـ س‪8 + 2‬س ‪ 0 = 7 +‬و س‪ + 2‬س ‪0 = 6 -‬‬ ‫ز س‪3 + 2‬س ‪ 0 = 2 +‬ح س‪11 + 2‬س ‪ 0 = 10 +‬ط س‪7 - 2‬س ‪0 = 12 +‬‬ ‫ل ت‪16 + 2‬ت ‪0 = 36 -‬‬ ‫ي س‪8 - 2‬س ‪ 0 = 12 +‬ك س‪0 = 100 - 2‬‬ ‫م ص‪7 + 2‬ص ‪ 0 = 170 -‬ن ف‪8 + 2‬ف ‪ 0 = 84 -‬س ش‪24 - 2‬ش ‪0 = 144 +‬‬ ‫‪ )2‬ح ّل كل ًّا من المعادلات التالية‪:‬‬ ‫ثلاثية الحدود هي عبارة جبرية‬ ‫تتك ّون من ثلاثة حدود غير ُمتشاِبهة‪.‬‬ ‫ب ‪2-‬س‪13 - 2‬س ‪0 = 15 -‬‬ ‫أ ‪6‬س‪5 - 2‬س ‪0 = 21 -‬‬ ‫د ‪6‬س‪0 = 2‬‬ ‫ج س‪13 - 4‬س‪0 = 36 + 2‬‬ ‫و ‪3‬س‪13 - 2‬س ‪0 = 12 +‬‬ ‫ﻫـ ‪6‬س‪ 7 + 2‬س ‪0 = 2 +‬‬ ‫ح (س ‪(5 - 2)1 +‬س ‪0 = 6 + )1 +‬‬ ‫ز ‪3‬س‪ 38 - 2‬س ‪0 = 120 +‬‬ ‫ط (‪2‬س ‪2( 8 - 2)1 +‬س ‪0 = 15 + )1 +‬‬ ‫ي ‪2(3‬س ‪2(17 - 2)5 +‬س ‪0 = 10 + )5 +‬‬ ‫‪58‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 4-11‬مسائل تطبيقية على حل ال ُمعادلات التربيعية‬ ‫لحل المسائل اللفظية‪ ،‬يجب ترجمتها أ َّول ًا إلى ُمعادلات تربيع َّية‪ ،‬وقد تحتاج إلى الص َيغ‬ ‫الهندسية وحقائق الأعداد والاحتمالات‪ ،‬أو أية علاقات أخرى ترتبط بموضوع المسألة‬ ‫التطبيقية‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪12‬‬ ‫عددان صحيحان ُمتتاليان ناتج ضربهما ‪42‬؛ اكتب ُمعادلة تربيعية وحَلّها لتجد زو َجي الأعداد‬ ‫الصحيحة الممكَنين‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫استخدم العدد ن ليد ّل على العدد الأصغر من‬ ‫افترض أن العدد الأَّول ن‬ ‫ُمسا َعدة‬ ‫العدَدين‪ .‬وبالتالي يكون العدد الثاني الأكبر هو‬ ‫العدد الذي يليه ن ‪1 +‬‬ ‫قد تجد العدَدين ‪ 7 ،6‬دون‬ ‫(ن ‪)1 +‬‬ ‫ن(ن ‪42 = )1 +‬‬ ‫استخدام الجبر‪ ،‬لكن كتابة‬ ‫اكتب ُمعادلة تترجم ناتج ضرب عدَدين هو ‪42‬‬ ‫⇐ ن‪ + 2‬ن = ‪42‬‬ ‫المعادلة التربيعية تم ّكنك بالتأكيد‬ ‫⇐ ن‪ + 2‬ن ‪0 = 42 -‬‬ ‫ف ّك الأقواس‪.‬‬ ‫من إيجاد جميع الحلول‪.‬‬ ‫أعد كتابة ال ُمعادلة بحيث يكون الصفر وحيًدا في‬ ‫⇐ (ن ‪()7 +‬ن ‪0 = )6 -‬‬ ‫الجهة اليسرى‪.‬‬ ‫حِلّل إلى عوامل‪.‬‬ ‫⇐ ن = ‪ 7-‬أو ن = ‪6‬‬ ‫أوجد العدَدين عندما ن = ‪7-‬‬ ‫إذا كان ن = ‪ ،7-‬فإن ن ‪6- = 1 +‬‬ ‫تحَقّق من الزوج ‪6- ،7-‬‬ ‫ُمتتاليان‬ ‫‪ 7-‬و‪ 6-‬عددان صحيحان‬ ‫أوجد العدَدين عندما ن = ‪6‬‬ ‫و‪42 = 7- × 6-‬‬ ‫تحَقّق من الزوج ‪7 ،6‬‬ ‫إذا كان ن = ‪ ،6‬فإن ن ‪7 = 1 +‬‬ ‫‪ 6‬و‪ 7‬عددان صحيحان ُمتتاليان‬ ‫و‪42 = 7 × 6‬‬ ‫‪ ‬زوجا الأعداد الصحيحة هما ‪7 ،6‬‬ ‫و‪6- ،7-‬‬ ‫‪59‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪13‬‬ ‫مستطيل طوله يزيد عن عرضه بمقدار ‪ ٢‬سم‪ .‬إذا كانت مساحة المستطيل ‪ 15‬سم‪ ،2‬أوجد‬ ‫ُمحيط المستطيل‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫ارسم رس ًما توضيحًّيا لتُبّين المعلومات‬ ‫المساحة = الطول × العرض‪ ،‬أي‪:‬‬ ‫استخدم س لتمثيل عرض المستطيل‪ .‬هذا‬ ‫س (س ‪15 = )2 +‬‬ ‫يعني أن طول المستطيل س ‪2 +‬‬ ‫⇐ س‪2 + 2‬س = ‪15‬‬ ‫⇐ س‪ 2 + 2‬س – ‪0 = 15‬‬ ‫س‪٢+‬‬ ‫‪١٥‬ﺴم‪٢‬‬ ‫س‬ ‫اكتب ال ُمعادلة التربيعية‪ ،‬بحيث يكون‬ ‫⇐ (س ‪()5 +‬س – ‪0 = )3‬‬ ‫الصفر وحيًدا في الطرف الأيسر‪.‬‬ ‫⇐ س = ‪ 5-‬أو س = ‪3‬‬ ‫حِلّل المعادلة التربيعية إلى عوامل‪.‬‬ ‫أوجد محيط المستطيل‪.‬‬ ‫‪ ‬س تُمِثّل عرض المستطيل‪ ،‬لذا لا يمكن‬ ‫أن تكون عدًدا سالًبا‪ ،‬وهذا يعني أن س = ‪3‬‬ ‫‪ ‬أبعاد المستطيل هي ‪ 3‬سم‪ 5 ،‬سم‬ ‫ال ُمحيط = ‪ 16 = 5 + 3 + 5 + 3‬سم‬ ‫مثـــــال ‪14‬‬ ‫يساوي‬ ‫الوتر‬ ‫قاعدته ق سم‪ .‬إذا علمت أن طول‬ ‫وطول‬ ‫ارتفاعه ع سم‬ ‫ال ازوية‬ ‫قائم‬ ‫ُمثَلّث‬ ‫ُمسا َعدة‬ ‫إذا كانت مساحة ال ُمثَلّث ‪ 3‬سم‪.‬‬ ‫ع‪ ،‬ق‬ ‫القَيم ال ُممكنة لـ‬ ‫فأوجد‬ ‫سم‪،‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫حاول أن تجعل ُمتغِّيًرا واحًدا‬ ‫ال ُمعاَدلة إن أمكن‪،‬‬ ‫يكون موضوع‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫التعويض به في‬ ‫حتى تتم َّكن من‬ ‫أية ُمعادلة تُكّونها‪.‬‬ ‫باستخدام صيغة المساحة‪:‬‬ ‫‪١٢‬عققق‪===٦‬‬ ‫⇐‪١٢‬عع‬ ‫‪ ١٣‬ع‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇐‬ ‫ق‬ ‫‪6‬ق‪٦‬‬ ‫‪60‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫والآن باستخدام نظرية فيثاغورث‬ ‫ومعلومَّية طول الوتر = ‪ ١٣‬سم‪،‬‬ ‫يكون‪:‬‬ ‫ق‪ + 2‬ع‪)2( 13 = 2‬‬ ‫ب ِّسط بتربيع القو َسين‪.‬‬ ‫(‪:)2‬‬ ‫(‪ )1‬في‬ ‫عقّ‪2‬و‪+١٢‬ض‬ ‫اضرب طرفَي المعادلة في ق‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫أعد كتابة ق‪ 4‬في صورة (ق‪2)2‬‬ ‫( ‪٦‬ق)‪= 2‬‬ ‫⇐ (ق‪13 = 36 + )4‬ق‪2‬‬ ‫القَيم السالبة لـ ق غير ممكنة‪.‬‬ ‫عِّوض في المعادلة (‪ )1‬لتجد ع‬ ‫⇐ (ق‪13 - 2)2‬ق‪0 = 36 + 2‬‬ ‫⇐ (ق‪()9 - 2‬ق‪0 = )4 - 2‬‬ ‫⇐ ق = ‪ 3‬أو ‪2‬‬ ‫⇐ ع = ‪ 2‬أو ‪3‬‬ ‫تمارين ‪4-11‬‬ ‫‪ )1‬يزيد عدد على عدد آخر بمقدار ‪ ،3‬وناتج ضرب العد َدين ‪40‬؛ أوجد الأزواج ال ُممكنة‬ ‫له َذين العد َدين‪.‬‬ ‫‪ )2‬بدأت كرة بالتدح ُرج إلى أسفل ال ُمنحدر‪ .‬إذا أصبحت الكرة على بُعد مسافة ف متر‬ ‫من نقطة البدء بعد ن ثانية وكانت ف = ن‪3 + 2‬ن‪ ،‬أوجد الزمن اللازم ليكون بُعد‬ ‫الكرة ‪ 10‬م عن نقطة البدء‪.‬‬ ‫‪ )3‬إذا علمت أن الح ّد النوني في ال ُمتتالية‪.... 15 10 6 3 1 :‬‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ن)ن ‪(١ +‬‬ ‫الح ّد‬ ‫رتبة‬ ‫لتجد‬ ‫الجبر‬ ‫استخدم‬ ‫ال ُمتتالية‪،‬‬ ‫في‬ ‫ح ّد‬ ‫ك ّل‬ ‫رتبة‬ ‫ن‬ ‫حيث‬ ‫‪٢‬‬ ‫يساوي‬ ‫هذه ُمتتالية الأعداد ال ُمثَلّثة‪ .‬‬ ‫الذي قيمته ‪78‬‬ ‫‪ )4‬عد َدان صحيحان مجموعهما ‪ 11‬وناتج ضربهما ‪28‬؛ ما العددان؟‬ ‫‪ )5‬يزيد طول قاعدة ُمثلَّث عن ارتفاعه بمقدار ‪ ٢‬سم‪ .‬إذا كانت مساحته تساوي ‪24‬سم‪،2‬‬ ‫فكم ارتفاعه؟‬ ‫‪ )6‬شبه ُمنح ِرف مساحته ‪ 76‬سم‪ ،2‬والفرق بين طولَي الضل َعين المتوازيَين فيه يساوي‬ ‫‪ 3‬سم‪ ،‬وطول الضلع الأصغر يساوي ارتفاعه‪ .‬أوجد المسافة العمودية بين الضل َعين‬ ‫ال ُمتوازيَين (الارتفاع)‪.‬‬ ‫‪ُ )7‬مضلَّع ُمح َّدب عدد أضلاعه ن وعدد أقطاره يساو‪٤١‬ي ‪ ٢١‬ن (ن ‪.)3 -‬‬ ‫أ ما عدد أضلاع ُمضلَّع عدد أقطاره ‪54‬؟‬ ‫ب أثبت أنه من غير الممكن أن يكون ل ُمضلَّع ُمح َّدب ‪ 33‬قط ًرا‪.‬‬ ‫‪61‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )8‬ثلاثة أعداد صحيحة ُمتتالية ناتج ضربها يساوي ‪ 30‬مثل ًا من أصغر هذه الأعداد‪.‬‬ ‫أوجد الأعداد الصحيحة التي تُح ِّقق الشرط‪.‬‬ ‫‪ُ  )9‬مر َّبع عدد يزيد على ‪ 5‬أمثاله بمقدار ‪ .١٤‬أوجد العد َدين ال ُممكنَين الل َذين يُح ِّققان‬ ‫هذا الشرط‪.‬‬ ‫‪)10‬بُعدا مستطيل س سم و ص سم‪ .‬إذا كان ُمحيطه ‪ 22‬سم ومساحته ‪ 24‬سم‪ ،2‬استخدم‬ ‫الجبر لتجد أبعاده‪.‬‬ ‫‪ُ  )11‬رمي حجر إلى الأعلى من مستوى سطح الأرض‪ .‬إذا كان ارتفاع الحجر ‪16‬ن ‪ 5 -‬ن‪،2‬‬ ‫فكم من الزمن يلزم ليكون الحجر على ارتفاع ‪ 11‬م عن سطح الأرض؟‬ ‫‪ُ )12‬مر َّبع عدد يزيد على ُمر َّبع عدد آخر بمقدار ‪ ،١٥٢‬ويق ّل العدد الآخر عنه‬ ‫بمقدار ‪ .2‬ما العددان ال ُممكنان اللذان يُح ِّققان الشرط؟‬ ‫‪)13‬يُب ّين ال ُمخ َّطط المجاور أسطوانة مفتوحة من ‬ ‫الأعلى نصف قطر قاعدتها نق سم وارتفاعها ‪ 12‬سم‪ ١٢ ،‬ﺳ ﻢ ‬ ‫أوجد نصف قطر الأسطوانة إذا كانت مساحتها ‬ ‫السطحية الخارجية ‪ π 28‬سم‪ 2‬ﻧق‬ ‫‪)14‬يزيد ناتج ضرب عد َدين صحي َحين ُمتتاليَين عن ‪ 3‬أمثال مجموعهما بمقدار ‪.١١‬‬ ‫أوجد العد َدين‪.‬‬ ‫‪62‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ُمل َّخص‬ ‫يجب أن تكون قاد ًرا على‪:‬‬ ‫ما يجب أن تعرفه‪:‬‬ ‫Ÿ ف ّك ثلاث مجموعات أو أكثر من الأقواس‪.‬‬ ‫Ÿ تتو َّفر أكثر من طريقة لف ّك الأقواس‪.‬‬ ‫Ÿ تحليل ال ُمر َّبع الكامل إلى عوامل‪.‬‬ ‫Ÿيمكن ح ّل المعادلات التربيعية بتحليلها إلى عوامل‪.‬‬ ‫Ÿ تحليل عبارة جبرية إلى عوامل باستخدام التجميع‬ ‫Ÿيتو َّفر في العادة حل ّان لل ُمعادلات التربيعية‪ ،‬وقد‬ ‫وأخذ العامل ال ُمشت َرك‪.‬‬ ‫يكون هذان الحل ّان متساويَين‪.‬‬ ‫Ÿ تحليل العبارات الجبرية التربيعية الثلاثية إلى عوامل‪.‬‬ ‫Ÿتحليل العبارة الجبرية التربيعية إلى عوامل باستخدام‬ ‫الفرق بين ُمر َّب َعين‪.‬‬ ‫Ÿ ح ّل ال ُمعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل‪.‬‬ ‫‪63‬‬

‫الوحدة الحادية عشرة‪ :‬التحليل وح ّل المعادلات التربيعية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ج (‪4‬ص‪3()3 - 2‬ص‪)1 + 2‬‬ ‫تمارين نهاية الوحدة‬ ‫‪ )1‬ف ّك وب ّسط كل ًّا من العبارات الجبرية التالية‪:‬‬ ‫أ (س ‪()1 +‬س ‪()3 +‬س ‪ )1 -‬ب (‪2‬س ‪2()3 +‬س ‪)3 -‬‬ ‫‪ )2‬أ حلِّل كل ًّا من العبارات الجبرية التربيعية التالية إلى عوامل‪:‬‬ ‫(‪ )3‬د‪196 - 2‬‬ ‫(‪ )2‬ص‪13 - 2‬ص ‪42 +‬‬ ‫(‪12 )1‬س‪6 - 2‬س‬ ‫ب ح ّل كل ًّا من ال ُمعا َدلات التربيعية التالية‪:‬‬ ‫(‪ )3‬د‪0 = 196 - 2‬‬ ‫(‪ )2‬ص‪13 - 2‬ص ‪12- = 30 +‬‬ ‫(‪12 )1‬س‪6 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫‪ )3‬حلِّل كل عبارة جبرية فيما يلي إلى عوامل تحليل ًا كامل ًا‪:‬‬ ‫ج ‪6‬س‪11 + 2‬س ‪35 -‬‬ ‫ب ‪5‬س‪17 + 2‬س ‪6 +‬‬ ‫أ أ‪ + 2‬أ ب ‪ -‬ب جـ ‪ -‬أ جـ‬ ‫‪ )4‬طول مستطيل يزيد على عرضه بمقدار ‪ 4‬سم‪ ،‬إذا علمت أن مساحة المستطيل ‪ 45‬سم‪ ،2‬احسب‬ ‫محيطه ‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‬ ‫ال ُمفردات‬ ‫‪Congruent‬‬ ‫Ÿ   ُمتطا ِبق‬ ‫Ÿ  الضلع المحصور‬ ‫‪Included side‬‬ ‫Ÿ  الزاوية المحصورة‬ ‫‪Intercept angle‬‬ ‫‪Similar‬‬ ‫Ÿ   ُمتشا ِبه‬ ‫Ÿ  الأضلا ُع ال ُمتنا ِظرة‬ ‫‪Corresponding sides‬‬ ‫Ÿ  الزوايا ال ُمتنا ِظرة‬ ‫‪Corresponding angles‬‬ ‫Ÿ   ُمعا ِمل تشابُه الأطوال‬ ‫‪Scale factor of lengths‬‬ ‫Ÿ   ُمعا ِمل تشابُه الحجوم‬ ‫‪Scale factor of volumes‬‬ ‫Ÿ   ُمعا ِمل تشابُه المساحات‬ ‫‪Scale factor of areas‬‬ ‫Ÿ  مقياس ال ّرسم ‪Scale drawing‬‬ ‫تجد في الصورة أعلاه ُمتسلِّق جبال ينظر إلى خريطة لمنطقة ريف ّية‪ ،‬والخريطة ُر ِس َمت‬ ‫سوف تتع ّلم في هذه الوحدة‬ ‫بمقياس ُمص َّغر لمساحات وأماكن واقعية‪ ،‬تبدو الطرقات والمسارات والجداول المائية‬ ‫كيف‪:‬‬ ‫والتلال جميعها في نفس المواقع‪ ،‬ولكن بمقياس ُمص َّغر‪.‬‬ ‫Ÿ  تُق ِّرر ما إذا كان شكلان‬ ‫ويتناسب الجانب الرياض ّي ال ُمتعلِّق بهذا الموضوع مع مواقف ُمتع ِّددة‪ ،‬نذكر منها‪:‬‬ ‫هندس ّيان ُمتطاب َقين أم لا‪.‬‬ ‫Ÿ  تستخدم شروط التطابُق‬ ‫Ÿرسم ال ُمخ َّططات لبيوت ومبا ٍن جديدة‪.‬‬ ‫Ÿتصميم ال ُمنتجات الجديدة (مثل الس ّيارات أو اللوحات الكهربائية)‪.‬‬ ‫الأساسية في ال ُمثلَّثات‪.‬‬ ‫Ÿ  تُق ِّرر ما إذا كان ُمثلَّثان‬ ‫Ÿرسم الخرائط‪.‬‬ ‫Ÿ  تُمتستشا ِخب َهديْمنخرياصائض ًّياصأاملتلاش‪.‬ابُه‬ ‫Ÿتكبير الأشكال‪.‬‬ ‫في ح ّل المسائل‪.‬‬ ‫سوف تدرس في هذه الوحدة هذه الأفكار الرياض ّية ومفهوم التطابُق‪.‬‬ ‫Ÿ  تجد أطوالاً مجهولة في‬ ‫‪65‬‬ ‫أشكال ُمتشا ِبهة‪.‬‬ ‫Ÿ  تستخدم العلاقة بين أطوال‬ ‫أضلاع الأشكال ال ُمتشا ِبهة‬ ‫ومساحاتها‪ ،‬لتجد قيَ ًما‬ ‫مجهولة‪.‬‬ ‫Ÿ  تُم ّيز ال ُمج َّسمات ال ُمتشا ِبهة‬ ‫Ÿ  تحسب حجوم ال ُمج َّسمات‬ ‫ال ُمتشا ِبهة ومساحاتها‬ ‫السطحية‪.‬‬ ‫Ÿ  تُنشئ ُمخ َّط ًطا للأشكال‪.‬‬ ‫Ÿ  تُف ِّسر ُمخ َّطط الأشكال‪.‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 1-12‬التطا ُبق‬ ‫‪-1-12‬أ تطا ُبق الأشكال‬ ‫إذا كان لشكلَين هندس َّيين الشكل نفسه والقياسات نفسها‪ ،‬فهذا يعني أنهما ُمتطابقان‪،‬‬ ‫فقد يكونان قد خضعا لتدوير أو انعكاس أو انسحاب‪.‬‬ ‫فإذا تطابق شكلان‪ ،‬فهذا يعني أن‪:‬‬ ‫Ÿ الأضلاع ال ُمتنا ِظرة ُمتساوية في الطول‪.‬‬ ‫Ÿ الزوايا ال ُمتنا ِظرة ُمتساوية في القياس‪.‬‬ ‫Ÿ الشكلان لهما نفس المساحة‪.‬‬ ‫انظر إلى الأزواج التالية من الأشكال ال ُمتطا ِبقة‪ ،‬وقد تم تمييز الأضلاع ال ُمتنا ِظرة والزوايا‬ ‫ال ُمتنا ِظرة‪ ،‬في كل من الشكلَيْن بنفس اللون والرموز مختلفة‪:‬‬ ‫‪ÏÏ Ï Ï‬‬ ‫◊ ◊ ◊◊‬ ‫ش شش‬ ‫ش ‪ÒÒ Ò Ò‬‬ ‫عند تسمية الأشكال ال ُمتنا ِظرة لا ب ّد أن تكون الرؤوس ال ُمتنا ِظرة للشكلَين المتطاب َقين‬ ‫مكتوبة بالترتيب نفسه‪.‬‬ ‫فمثل ًا يُم ِكننا القول بخصوص أزواج الأشكال السابقة‪ ،‬أن‪:‬‬ ‫ُمتطا ِبق مع ‪.‬و‬ ‫Ÿ‬ ‫Ÿ  ُمتطا ِبق مع  ش‬ ‫‪66‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪-1-12‬أ‬ ‫‪ )1‬إذا كان الشكلان ال ُمجاوران ُمتطاب َقين‪ ،‬فأجب ع ّما يلي‪:‬‬ ‫ح ِّدد الضلع الذي يتساوى طوله مع الضلع‪:‬‬ ‫أ‬ ‫◊‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ش‬ ‫(‪ )2‬و‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ب ح ّدد الزاوية التي تُنا ِظر‪:‬‬ ‫(‪Ï )1‬‬ ‫(‪  )2‬ش‬ ‫(‪ )3‬و‬ ‫‪ )2‬أ ّي من الأشكال المرسومة داخل الإطار أدناه تُطا ِبق شكل ًا من الأشكال التالية؟‬ ‫قس الأطوال والزوايا عند الحاجة‪.‬‬ ‫أبجد‬ ‫‪Ï‬‬ ‫‪Ò€‬‬ ‫‪67‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )3‬لك ّل مجموعة من الأشكال التالية‪ ،‬ح ِّدد الأشكال ال ُمتطا ِبقة‪:‬‬ ‫أ‬ ‫‪t‬ش‬ ‫‪Ï‬‬ ‫بي‬ ‫‪à‬‬ ‫ك‬ ‫و‬ ‫◊‬ ‫ج‬ ‫‪Ï‬‬ ‫ش‪à‬‬ ‫◊‬ ‫د‪Ò‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪€‬‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪68‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫= طول = طول ‪:‬‬ ‫و‪ ،‬طول = طول‬ ‫‪ )4‬في الشكل ال ُمجا ِور‬ ‫أعد رسم الشكل‪ ،‬وب ّين كيف تقسمه إلى‪:‬‬ ‫أ شكلَيْن ُمتطاب َقين‪.‬‬ ‫ب ثلاثة أشكال ُمتطا ِبقة‬ ‫ج أربعة أشكال ُمتطا ِبقة‪Ï .‬‬ ‫‪-1-12‬ب تطا ُبق ال ُمث َّلثات‬ ‫يكون ال ُمثلَّثان ُمتطاب َقين إذا تح َّققت إحدى الحالات أو أحد الشروط الآتية‪:‬‬ ‫رسم توضيحي الرمز‬ ‫الحالة‬ ‫ض ض‪:‬‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ .1‬طولا ضل َعين في‬ ‫ضلع زاوية ضلع‬ ‫ال ُمثلَّث الأ َّول ُمتساويان‬ ‫‪Њ١١٠‬‬ ‫‪Њ١١٠‬‬ ‫مع طولَي ضل َعين في‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫ال ُمثلَّث الثاني‪ ،‬وقياس‬ ‫الزاوية المحصورة‬ ‫بينهما يساوي قياس‬ ‫الزاوية ال ُمناظرة لها‬ ‫في ال ُمثلَّث الآخر‪.‬‬ ‫ض ض ض‪:‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ .2‬أطوال ثلاثة‬ ‫‪ ١٤‬ﺳﻢ ضلع ضلع ضلع‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫أضلاع من ال ُمثلَّث‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫الأ َّول ُمساوية لأطوال‬ ‫الأضلاع ال ُمناظرة لها‬ ‫في ال ُمثلَّث الثاني‪.‬‬ ‫ض‪:‬‬ ‫‪ .3‬قياسا زاويتَيْن في ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫زاوية ضلع زاوية‬ ‫ال ُمثلَّث الأ َّول ُمتساويان‬ ‫مع قيا َسي الزاويتَين‬ ‫ال ُمناظرتَين لهما في‬ ‫ال ُمثلَّث الثاني‪ ،‬وقياس ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫الضلع المحصور‬ ‫بينهما (الضلع‬ ‫الواصل بين الزاويتَين‬ ‫المتساويتَيْن) يساوي‬ ‫الضلع ال ُمنا ِظر له في‬ ‫ال ُمثلَّث الآخر‪.‬‬ ‫‪69‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ض‪:‬‬ ‫‪ .4‬يتطابق ُمثلَّثان قائما ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫زاوية قائمة‬ ‫الزاوية‪ ،‬إذا تطابق في‬ ‫ضلع وتر‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫أحدهما وتر وضلع مع‬ ‫نظائرهما في ال ُمثلَّث ‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫الآخر‪.‬‬ ‫إذا تح َّققت أ ّي من الحالات أو الشروط السابقة‪ ،‬فإن ال ُمثلَّثين يتطابقان‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪1‬‬ ‫بّين أن كل من أزواج ال ُمثَلّثات الآتية هي ُمثَلّثات متطابقة‪:‬‬ ‫أ‪p‬‬ ‫‪Њ٥٣‬‬ ‫‪ ٦٢٫٦٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦٢٫٦٥‬ﺳﻢ ‪ ٤٩٫٢٤ Њ٥٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤٩٫٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢‬م‬ ‫‪٧‬م‬ ‫‪ ١٢‬م ‪ ٧‬م‬ ‫ب‬ ‫‪٩‬م‬ ‫ج‬ ‫‪٩‬م ‬ ‫د‬ ‫‪Њ٥٠‬‬ ‫‪ ١٩٫١‬م‬ ‫‪Њ٨٣‬‬ ‫‪Њ٨٣‬‬ ‫‪Њ٥٠‬‬ ‫‪ ١٩٫١‬م‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫نحتاج إلى كتابة رموز‬ ‫(معطى على الشكل)‬ ‫طول  = طول‬ ‫أ‬ ‫افلأي الضُلمثاَلّثعينوالبزشوايكالال ُوماتسضاحوية‬ ‫) (معطى على الشكل)‬ ‫(  ) = (‬ ‫طول  = طول‬ ‫وتدوين التعليل في كل‬ ‫(معطى على الشكل)‬ ‫خطوة‪.‬‬ ‫ض‪ ،‬ويكون ال ُمثَلّثان ُمتطابقَين‪.‬‬ ‫∴ يتحَقّق الشرط ض‬ ‫‪70‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫=‪7‬‬ ‫= طول‬ ‫طول‬ ‫ب‬ ‫= طول‬ ‫طول‬ ‫ج‬ ‫= ‪9‬و‬ ‫= ‪12‬و‬ ‫= طول‬ ‫طول‬ ‫∴ يتحَقّق الشرط ضضض‪ ،‬ويكون ال ُمثَلّثان‬ ‫ُمتطابقَين‪.‬‬ ‫يمكنك أن تستخدم حقائق‬ ‫( ) = ق( ) ( ازويتان قائمتان)‬ ‫هندسية أخرى (الزوايا‬ ‫طول = طول ( ُمعطى على الشكل)‬ ‫ال ُمتقابِلة بال أرس ُمتساوية في‬ ‫) = (‬ ‫(‬ ‫القياس) كجزء من التوضيح‪.‬‬ ‫) ( ُمتقابلتان بال أرس)‬ ‫∴ يتحَقّق شرط ض ‪ ،‬ويكون ال ُمثَلّثان ُمتطابقَين‪.‬‬ ‫لاحظ أن زو َجي الزوايا‬ ‫( ) = ( سص) = ‪ 83‬‬ ‫د‬ ‫( ) = ( صس) = ‪ 50‬‬ ‫اتلمطاُبستقخادلَمُميثَلّنثيفنيهإثمباا (ت‪ ،‬س)‬ ‫( ) = (س ص) = ‪(  47‬مجموع‬ ‫و( ‪.) ،‬‬ ‫قياسات زوايا ال ُمثَلّث = ‪)180‬‬ ‫طول = طول س‬ ‫∴ يتحَقّق شرط ض ‪ ،‬ويكون ال ُمثَلّثان ُمتطابقَين‪.‬‬ ‫تمارين ‪-1-12‬ب‬ ‫‪ )1‬ح ِّدد حالة تطابُق ال ُمثلَّثَين في كل ُجزئية في ما يلي من بين‪ :‬ض ض‪ ،‬ضضض‪،‬‬ ‫ض ‪  ،‬ض ‪ .‬و ِّضح خطوات عملك‪.‬و‬ ‫أ‬ ‫‪ ٥٫٦‬م‬ ‫‪ ٦٫٣‬م‬ ‫‪ ٧٫١‬م‬ ‫‪ ٧٫١‬م‬ ‫◊‬ ‫‪ ٦٫٣‬م‬ ‫‪ ٥٫٦‬م‬ ‫‪71‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ب‬ ‫‪Њ٥١‬‬ ‫‪ ٦٫٣‬م‬ ‫‪Њ٧٦‬‬ ‫‪Њ٥١‬‬ ‫‪◊ Њ٧٦‬‬ ‫‪ ٦٫٣‬م‬ ‫ج‬ ‫◊ ‪ ٦٧‬ﻛﻢ‬ ‫‪Њ٣٥‬‬ ‫‪Њ٣٥‬‬ ‫‪ ٦٧‬ﻛﻢ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ ◊‬ ‫د‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ ‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪ ٦٫٤٤‬م‬ ‫‪ ٦٫٤٤‬م‬ ‫‪Њ٧٥‬‬ ‫‪Њ٧٥‬‬ ‫‪ ٢٫١٨‬م‬ ‫‪ ٢٫١٨‬م‬ ‫و‬ ‫◊‬ ‫‪ ٣٨ Њ٢٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣٨‬ﺳﻢ ‪Њ٢٧‬‬ ‫‪72‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ز‬ ‫‪Њ٣٨‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١١‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١١‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪Њ٣٨‬‬ ‫◊‬ ‫ح‬ ‫‪Њ٤٣‬‬ ‫‪ ١٢٫٦‬م‬ ‫‪ ١٢٫٦‬م‬ ‫‪Њ٤٣‬‬ ‫◊‬ ‫‪ )2‬في الشكل ال ُمجا ِور‪ ،‬طول = طول ش ‪Ò ،‬‬ ‫والشكل    طائرة ورقية (دالتون)‪p € .‬‬ ‫ش‬ ‫أثبت أن ال ُمثلَّث  ُمتطا ِبق مع ال ُمثلَّث‬ ‫ش  ‪.‬‬ ‫‪€‬‬ ‫‪ )3‬في الشكل ال ُمجا ِور‪ ،‬طول = طول ‪،‬‬ ‫وطول = طول  ‪ .‬أثبت أن ‪. //‬‬ ‫‪ )4‬يتقاطع الشريطان ‪ ،‬عند النقطة ‪،‬‬ ‫بحيث يُن ِّصف ك ّل منهما الآخر‪ ،‬كما هو ُمب َّين في‬ ‫الشكل ال ُمجا ِور‪ .‬أثبت أن طول = طول  ‪.‬‬ ‫‪€‬‬ ‫‪ )5‬ال ُمثلَّث  ُمتطا ِبق مع ال ُمثلَّث  ‪.‬‬ ‫أثبت أن  طائرة ورقية (دالتون)‪Ï .‬‬ ‫‪73‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 2-12‬التشا ُبه‬ ‫عندما يت ّم تكبير شكل هندسي ليُعطي شكل ًا آخر‪ ،‬فإن ك ّل جزء من الشكل الأصلي سيتناظر‬ ‫مع ُجزء ُمح َّدد من الشكل الجديد وبالتالي سيشابهه‪.‬‬ ‫يكون الشكلان ُمتشا ِب َهين إذا كانت‪:‬‬ ‫Ÿ الزوايا ال ُمتناظرة ُمتطا ِبقة ( ُمتساوية في القياس)‪.‬‬ ‫Ÿالأضلاع المتناظرة ُمتنا ِسبة‪.‬‬ ‫‪-2-12‬أ تشا ِبه ال ُمث َّلثات‬ ‫في ال ُمثلَّثات ال ُمتشا ِبهة تكون‪:‬‬ ‫‪ .1‬الزوايا ال ُمتنا ِظرة ُمتطا ِبقة‪.‬‬ ‫‪ .2‬النسب بين أطوال أضلاع ال ُمثلَّث الأ َّول‬ ‫ُمساوية للنسب بين أطوال أضلاع ال ُمثلَّث‬ ‫الثاني‪:‬‬ ‫= = ‪ Ï Ï‬و = = ‪Ï ÏÏÏ‬‬ ‫‪ .3‬النسب بين الأضلاع ال ُمتنا ِظرة ُمتساوية‪:‬‬ ‫= ‪Ï =Ï‬‬ ‫‪ÏÏ‬‬ ‫إذا تح َّققت إحدى حالات التشابُه في ال ُمثلَّثَين فإن جميع حالات التشابُه تكون ُمتح ِّققة في‬ ‫َه َذين ال ُمثلَّثَين‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪2‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫برهن أن ال ُمثَلّثَين في الشكل ال ُمجاِور ُمتشابِهان‪،‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫وأوجد طولَي س‪ ،‬ص‪.‬‬ ‫‪١٠٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٠٨ ٤٥‬و‬ ‫‪٩‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫ساب ًقا‬ ‫مجموع قياسات زوايا ال ُمثَلّث يساوي‬ ‫( ) = ‪45 = 108 - 27 - 180‬‬ ‫تذ َّكر أن مجموع قياسات زوايا ال ُمثَلّث‬ ‫‪180‬‬ ‫يساوي دائ ًما ‪ 180‬‬ ‫) = ‪27 = 108 - 45 - 180‬و‬ ‫(‬ ‫مجموع قياسات زوايا ال ُمثَلّث يساوي‬ ‫عند كتابة النسب‪ ،‬من الضروري‬ ‫‪180‬‬ ‫قي‪‬ا اقليساُمثاَلّلثسازاوانليازُموااتليثاشلاابِالهثالثانا‪.‬لتثيف تيناالظُمثَرلّهاثفاليأَّاول ُلمثَلّيتثطاابلثاقن مي‪،‬ع‬ ‫التركيز في كتابة أطوال أضلاع‬ ‫= ‪Ï =Ï‬‬ ‫ال ُمثَلّثات‪ ،‬حيث يُنصح بكتابة‬ ‫من شروط تشاُبه ال ُمثَلّثات‬ ‫بما أن ال ُمثَلّثين ُمتشابِهان فإن‪:‬‬ ‫أطوال أضلاع ال ُمثَلّث الكبير في‬ ‫(الأضلاع المتناظرة متناسبة)‪.‬‬ ‫البسط وأطوال أضلاع ال ُمثَلّث‬ ‫مفثويـ‪٩‬ســ‪٨‬كـ‪٩‬ـسص‪٨‬وا‪٩٩‬سسص‪٨٨‬ن‪٨‬صص=‪:‬ل‪٩==⇐١١٦٦١١٨١٨٦٦٦١١٨33٨٨٦٦١=٨٨٦‬س‪3٨‬صص =‪2١4٦١٨⇐٦٨‬س = ‪3‬‬ ‫الصغير في المقام‪ ،‬وذلك لتج ُّنب‬ ‫‪Ï‬‬ ‫التعا ُمل مع الكسور الاعتيادية‪.‬‬ ‫‪ ١٫٨‬م‬ ‫ُيبّين الشكل المجاور خيمة ُمثبتة‬ ‫‪ ٠٫٩‬م ‪ ١٫٢‬م‬ ‫بالأرض بواسطة الحبلَْين ‪. ،‬و و‬ ‫مستقيمان‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫نحتاج إلى ُمثَلّثَين ُمتشابهَين‪.‬‬ ‫الأضلاع ‪ ،‬ـ‪١٫٢ ،‬مو‬ ‫الخطأ الشائع هو استخدام ‪1,8‬م‬ ‫متعامدة مع الأرض‬ ‫الطكولبياًرلل‪،‬ضحليعثالإمَّانئ الل فطويلالفُمثَيلّث‬ ‫الحقيقة هو‪ 3‬م‪.‬‬ ‫أوجد ارتفاع ال َخيمة‪.‬‬ ‫‪،‬و ‪:‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫اعتمد‪ Ï‬ال ُمثَلّثين‬ ‫‪ ١٫٢‬م ‪ ١٫٨ +‬م = ‪ ٣‬م‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫‪ ٠٫٩‬م ‪ ١٫٢‬م‬ ‫‪75‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ال ازوية مشتركة في كلا ال ُمثَلّثَين‪.‬و‬ ‫) = (و )‬ ‫(‬ ‫) = ( ) = ‪90‬و‬ ‫(‬ ‫‪ ،‬مستقيمان أرسيان‪،‬‬ ‫أي متوازيان‪ .‬الزوايا ُمتناظرة‪.‬‬ ‫) = ( و )‬ ‫(‬ ‫اﻻرﺘﻔﺎع‬ ‫‪ ١٣٫٢‬من شروط تشاُبه ال ُمثَلّثات‪.‬و‬‫‪٠٫٩‬‬ ‫×‪٠٫٩١٫٢‬‬ ‫ُمشابهًا لل ُمثَلّث‬ ‫وويعكليوهني‪:‬ك او انﻻ‪٩‬اﻻر‪٫‬لﺘ‪٩‬ﻔرُ‪٫‬مﺘ‪٠‬ﺎثﻔَلّ‪٠‬ﺎععث=‪١١٣٫٢٣٫٢‬‬ ‫⇐ الارتفاع = ‪٣‬‬ ‫=‪٠٫٩١2٫٩١.٫٢2×٫٢×5٣٣‬م‪٠‬‬ ‫تمارين ‪-2-12‬أ‬ ‫‪ )1‬ح ِّدد في ك ّل من ال ُمثلَّثات التالية ما إذا كان ال ُمثلَّثان متشاب َهين أم لا‪ .‬و ِّضح خطوات الحل‪.‬‬ ‫‪ ١٠‬م ‪ ٣‬م ‪ ٥‬م‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ابحث دائ ًما عن الأضلاع‬ ‫ال ُمتنا ِظرة (الأضلاع التي تربط‬ ‫‪٦‬م‬ ‫‪Њ٥٨‬‬ ‫بين الزوايا نفسها)‪.‬‬ ‫‪٨‬م ‪٤‬م‬ ‫‪Њ٦٣ Њ٥٩‬‬ ‫‪Њ٦٣‬‬ ‫الأشكال الهندسية التي ت ّم تدويرها‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫أو انعكاسها تبقى أي ًضا ُمتشاِبهة‪.‬‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٢١‬ﺳﻢ‬ ‫‪Њ٣٠‬‬ ‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪Њ٦٩‬‬ ‫‪Њ٨٣‬‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪Њ٣٠‬‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪ ٢٧‬ﻛﻢ ‪ ١٨‬ﻛﻢ‬ ‫و‬ ‫‪Њ٤٩‬‬ ‫‪Њ٧٧‬‬ ‫‪ ٢١‬ﻛﻢ‬ ‫‪Њ٥٤‬‬ ‫‪Њ٤٩‬‬ ‫‪ ٦‬ﻛﻢ ‪ ٩‬ﻛﻢ‬ ‫‪ ٧‬ﻛﻢ‬ ‫‪ ١٢٫٣‬ﺳﻢ‬ ‫ح‬ ‫ز‬ ‫‪٨‬م‬ ‫‪ ٦٠‬م‬ ‫‪ ٤٤‬م‬ ‫‪ ٩٫٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣٫٢‬ﺳﻢ ‪ ٥٫٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪٧‬م‬ ‫‪ ١٠‬م‬ ‫‪ ٤٨‬م‬ ‫‪ ١٦٫٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤٫١‬ﺳﻢ‬ ‫طي‬ ‫‪76‬‬