maths_a__2016-2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.5. ΜΕΣΡΗ΢Η , ΢ΤΓΚΡΙ΢Η ΚΑΙ Ι΢ΟΣΗΣΑ ΓΩΝΙΩΝ –ΔΙΦΟΣΟΜΟ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Διχοτόμοσ γωνύασ ονομϊζεται η ημιευθεύα που ϋχει αρχό την κορυφό τησ γωνύασ και τη χωρύζει ςε δύο ύςεσ γωνύεσ . B.1.5. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε γωνιϋσ 70° , 270° ,180° , 147° , 90° , 200° , 120° και να τισ χαρακτηρύςετε.2. Να καταςκευϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ με ΒΓ=4cm , ������= 75°, ������ =40° .3. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ με ������ = 50° και ������ = 60°. α) Να βρεύτε τη γωνύα Γ ωσ προσ το μϋτρο τησ. β) Να φϋρετε τισ διχοτόμουσ των γωνιών του τριγώνου.[101] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.6. ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ – ΚΑΘΕΣΕ΢ ΕΤΘΕΙΕ΢ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ1. Μηδενικό γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι 0° . Οι πλευρϋσ τησ μηδενικόσ γωνύασ ταυτύζονται.2. Οξεύα γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι 00  ˆ  900 .3. Ορθό γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι ˆ  900 . Οι πλευρϋσ τησ ορθόσ γωνύασ εύναι κϊθετεσ ημιευθεύεσ .4. Αμβλεύα γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι 900  ˆ  1800 .5. Ευθεύα γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι ˆ  1800 . Οι πλευρϋσ τησ ευθεύασ γωνύασ εύναι αντικεύμενεσ ημιευθεύεσ.6. Μη κυρτό γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι 1800  ˆ  3600 .7. Πλόρησ γωνύα λϋγεται η γωνύα τησ οπούασ το μϋτρο εύναι ˆ  3600 .Οι πλευρϋσ τησ πλόρησ γωνύασ ταυτύζονται. Δπιμέλεια : Θέου Νάντια [102]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.1.6. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ και να φϋρετε τισ κϊθετεσ από τα ςημεύα Α , Β , Γ ςτην ευθεύα ΑΓ.2. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ με τη γωνύα Β αμβλεύα και να φϋρετε από κϊθε κορυφό του την κϊθετη προσ κϊθε πλευρϊ.Β.1.7. ΕΥΕΞΗ΢ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΦΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢-ΑΘΡΟΙ΢ΜΑ ΓΩΝΙΩΝΕΥΕΞΗ΢ –ΔΙΑΔΟΦΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢  Εφεξόσ ονομϊζονται δύο γωνύεσ που ϋχουν :  την ύδια κορυφό,  μια κοινό πλευρϊ  και δεν ϋχουν κανϋνα ϊλλο κοινό ςημεύο.  Διαδοχικϋσ ονομϊζονται οι γωνύεσ που βρύςκονται ςτο ύδιο επύπεδο και εύναι εφεξόσ ανϊ δύο .[103] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.1.7. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ζ1. Να βρεύτε και να ονομϊςετε όλεσ τισ εφεξόσ γωνύεσ του ςχόματοσ εΒ������ Γ ΑΒ.1.8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΕ΢ ΚΑΙ ΢ΤΜΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢-ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗΝΓΩΝΙΕ΢ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢ Παραπληρωματικϋσ γωνύεσ ονομϊζονται δύο γωνύεσ που ϋχουν ϊθροιςμα 1800 .Οι μη κοινϋσ πλευρϋσ δύο εφεξόσ και παραπληρωματικών γωνιών εύναι αντικεύμενεσημιευθεύεσ. ΢ΤΜΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢ ΢υμπληρωματικϋσ γωνύεσ ονομϊζονται δύο γωνύεσ που ϋχουν ϊθροιςμα 900 .Οι μη κοινϋσ πλευρϋσ δύο εφεξόσ και ςυμπληρωματικών γωνιών εύναι κϊθετεσημιευθεύεσ. [104] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗΝ ΓΩΝΙΕ΢ Κατακορυφόν γωνύεσ ονομϊζονται δύο γωνύεσ που ϋχουν κοινό κορυφό και οι πλευρϋσ τουσ εύναι αντικεύμενεσ ημιευθεύεσ. Δύο κατακορυφόν γωνύεσ εύναι ύςεσ. B.1.8. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε μια γωνύα 130° και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε και να ςχεδιϊςετε την παραπληρωματικό τησ.2. Να ςχεδιϊςετε μια γωνύα 50° και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε και να ςχεδιϊςετε την ςυμπληρωματικό τησ.3. Να ςχεδιϊςετε μια γωνύα 30° και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε και να ςχεδιϊςετε την παραπληρωματικό τησ.4. Να ςχεδιϊςετε μια γωνύα 70° και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε και να ςχεδιϊςετε την ςυμπληρωματικό τησ.5. Να καταςκευαςτεύ μια μη κυρτό γωνύα 280°.[105] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ6. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ.α������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ + ������ = _______ ������ + ������ + ������ = _________ ������ ������ + ������ + ������ = ______7. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ.α������ 550° ������ 60° 120° 50° ������ 540°������ = _______ ������ = _________ ������ = ______ [106] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ8. χ ������ χ ������ χ ������ χ 0 χ ������1) Nα γρϊψετε την γωνύα ������0������ ωσ ϊθροιςμα δύο γωνιών.2) Nα γρϊψετε την γωνύα ������0������ ωσ διαφορϊ δύο γωνιών.9. ΓΓια το διπλανό ςχόμα : 1) Nα βρεθούν τα ζεύγη των κατακορυφόν γωνιών. 2) Nα βρεθούν τα ζεύγη των παραπληρωματικών γωνιών. 3) Να υπολογιςτούν όλεσ οι γωνύεσ.10. Να βρεύτε και να ςχεδιϊςετε δύο παραπληρωματικϋσ γωνύεσ α και β, ότανα) η γωνύα α εύναι διπλϊςια τησ γωνύασ ββ) η γωνύα β εύναι μικρότερη κατϊ 200 από την γωνύα αγ) η γωνύα α εύναι ύςη με το 1 τησ γωνύασ β. 4δ) η γωνύα α εύναι μικρότερη κατϊ 10° από την γωνύα β11. Δύο γωνύεσ α και β εύναι παραπληρωματικϋσ. Αν η μια εύναι δεκαπλϊςια τησ ϊλλησ, να υπολογιςτούν οι γωνύεσ.12. Δύο γωνύεσ α και β εύναι ςυμπληρωματικϋσ. Αν η μύα εύναι η μιςό τησ ϊλλησ, να υπολογιςτούν οι γωνύεσ.13. Να βρεύτε δύο παραπληρωματικϋσ γωνύεσ ω και φ, όταν η φ εύναι μεγαλύτερη κατϊ 500 από την ω.14. Να βρεύτε δυο γωνύεσ αν γνωρύζετε ότι εύναι ςυμπληρωματικϋσ και ότι η μια εύναι το 20% τησ ϊλλησ.15. Να βρεύτε δύο γωνύεσ αν γνωρύζετε ότι εύναι παραπληρωματικϋσ και η μια εύναι κατϊ 50° μικρότερη ϊλλη. [107] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ16. Να αποδεύξετε ότι οι διχοτόμοι δυο εφεξόσ και παραπληρωματικών γωνιών εύναι κϊθετεσ μεταξύ τουσ.17. Να αποδεύξετε ότι οι διχοτόμοι δυο εφεξόσ και ςυμπληρωματικών γωνιών ςχηματύζουν γωνύα 45°.18. Να αποδεύξετε ότι οι διχοτόμοι δυο κατακορυφόν γωνιών εύναι αντικεύμενεσ ημιευθεύεσ δηλαδό ςχηματύζουν ευθεύα γωνύα.19. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ ω και φ των παρακϊτω ςχημϊτων. ������) H 0������’ εύναι διχοτόμοσ τησ γωνύασ ������0������’.������) Η 0δ εύναι διχοτόμοσ τησ γωνύασ ������′0������ .γ) Η γωνύα x’O y διχοτομεύται. [108] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ20. Να βρεθούν οι γωνύεσ α , β , γ , δ του παρακϊτω ςχόματοσ.21. Να βρεθούν οι γωνύεσ φ , ω , z του παρακϊτω ςχόματοσ.22. Να βρεθούν οι γωνύεσ φ , ω , zτου παρακϊτω ςχόματοσ.23. Να βρεθούν οι γωνύεσ α , β του παρακϊτω ςχόματοσ.[109] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ24. Να βρεθούν οι γωνύεσ ������ , ������ , ������ του παρακϊτω ςχόματοσ.25. Να υπολογιςτεύ το x , ςύμφωνα με το παρακϊτω ςχόμα.ΓΓ Β Α ° 2x ������0026. Να υπολογιςτεύ το ������ , ςύμφωνα με το παρακϊτω ςχόμα. 3x x27. Να υπολογιςτεύ το ������ , ςύμφωνα με το παρακϊτω ςχόμα. 3x+15° x+5°28. ΓΓια το διπλανό ςχόμα : 1) Nα βρεθούν το χ . 2) Να υπολογιςτούν όλεσ οι γωνύεσ. [110] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.9. ΘΕ΢ΕΙ΢ ΕΤΘΕΙΩΝ ΢ΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟΘΕ΢ΕΙ΢ ΕΤΘΕΙΩΝ ΢ΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Δύο ευθεύεσ που βρύςκονται ςτο ύδιο επύπεδο ό θα εύναι παρϊλληλεσ ό θα τϋμνονται. Σεμνόμενεσ λϋγονται δύο ευθεύεσ του ύδιου επιπϋδου που ϋχουν ϋνα κοινό ςημεύο. Σο κοινό τουσ ςημεύο λϋγεται ςημεύο τομόσ. Δυο ευθεύεσ θα λϋμε ότι εύναι κϊθετεσ , όταν ςχηματύζουν ορθό γωνύα. Παρϊλληλεσ ευθεύεσ λϋγονται δύο ευθεύεσ του ύδιου επιπϋδου που δεν ϋχουν κοινό ςημεύο. [111] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.10. ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΢ΗΜΕΙΟΤ ΑΠΟ ΕΤΘΕΙΑ – ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΢ΗΜΕΙΟΤ ΑΠΟ ΕΤΘΕΙΑ  Απόςταςη ςημεύου Α από μια ευθεύα ε ονομϊζεται το μόκοσ του κϊθετου τμόματοσ ������������0 από το ςημεύο Α προσ την ευθεύα ε. Από το ςημεύο Α υπϊρχει μόνο μια κϊθετη ςτην ευθεύα ε ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΤΘΕΙΩΝ  Απόςταςη δύο παρϊλληλων ευθειών ονομϊζεται το μόκοσ οποιουδόποτε ευθύγραμμου τμόματοσ που εύναι κϊθετο ςτισ δύο ευθεύεσ[112] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.1.9.-B.1.10. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Από ϋνα ςημεύο Α που βρύςκεται εκτόσ ευθεύασ ε να φϋρετε ευθεύα ε1 κϊθετη ςτην ε.2. Από ϋνα ςημεύο Α που βρύςκεται εκτόσ ευθεύασ ε να φϋρετε ευθεύα ε1 παρϊλληλη ςτην ε.3. Να ςχεδιϊςετε δύο παρϊλληλεσ ευθεύεσ ε1 και ε2 που να απϋχουν 5cm. Να βρεύτε ϋνα ςημεύο Μ, το οπούο να ιςαπϋχει από τισ ε1 και ε2. ΢τη ςυνϋχεια να φϋρετε από το Μ ευθεύα παρϊλληλη ςτισ ε1 και ε2.4. Να ςχεδιϊςετε μια ευθεύα ε και να καταςκευϊςετε δυο ευθεύεσ ε1, ε2 παρϊλληλεσ ςτην ε που να απϋχουν από αυτό 2cm.5. Να ςχεδιϊςετε τρεύσ ευθεύεσ οι οπούεσ να τϋμνονται ανϊ δύο , χωρύσ να διϋρχονται όλεσ από το ύδιο ςημεύο και να βρεύτε : i. Πόςα εύναι τα ςημεύα τομόσ των δύο ευθειών ii. Πόςεσ ημιευθεύεσ και πόςα ευθύγραμμα τμόματα ορύζονται ;6. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ φτιϊχνουμε από την κϊθε κορυφό ευθεύα παρϊλληλη ςτην απϋναντι πλευρϊ του. Οι τρεισ ευθεύεσ που φτιϊξαμε εύναι παρϊλληλεσ ό τεμνόμενεσ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.7. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ=4 cm . ΢την ςυνϋχεια να βρεύτε ϋνα ςημεύο Γ τϋτοιο ώςτε ςτο τρύγωνο που θα ςχηματιςτεύ ( ΑΒΓ) , το ύψοσ από το ςημεύο Γ προσ το ΑΒ να εύναι 2 cm.8. Να ςχεδιϊςετε μια ευθεύα ε και να πϊρετε τα ςημεύα Α και Β εκατϋρωθεν αυτόσ που να απϋχουν από την ευθεύα 2 cm. ΢την ςυνϋχεια , να ενώςετε τα ςημεύα Α και Β και να ονομϊςετε Ο το ςημεύο τομόσ του ευθυγρϊμμου τμόματοσ ΑΒ με την ευθεύα ε . Να ςυγκρύνετε τα ευθύγραμμα τμόματα ΑΟ και ΒΟ.[113] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κύκλοσ ονομϊζεται το ςύνολο όλων των ςημεύων του επιπϋδου που απϋχουνΒ.1.1τ1η.ν ύδια απόςταςη από ϋνα ςταθερό ςημεύο Ο. ΚΤΚΛΟ΢ ΚΑΙ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΟΤ ΚΤΚΛΟΤ Η απόςταςη αυτό λϋγεται ακτύνα του κύκλου ςυμβολύζεται με ρ και το ςημεύο Ο κϋντρου του κύκλου. ΢υμβολύζουμε ϋνα κύκλο με κϋντρο το ςημεύο Ο και ακτύνα ρ, ωσ (Ο,ρ). Κυκλικόσ δύςκοσ (Ο, ρ) εύναι ο κύκλοσ (Ο, ρ) μαζύ με το επύπεδο που περικλεύει. Σο ευκφγραμμο τμιμα ΑΒ που ςυνδζει δφο ςθμεία ενόσ κφκλου λζγεται χορδή. Η χορδό που περνϊ από το κϋντρο του κύκλου λϋγεται διϊμετροσ του κύκλου. Δύο ςημεύα του κύκλου τον χωρύζουν ςε δύο μϋρη που το καθϋνα λϋγεται το τόξο του κύκλου .Δυο κύκλοι με ύςεσ ακτύνεσ εύναι ύςοι.Δυο ό περιςςότεροι κύκλοι με ύδιο κϋντρο λϋγονται ομόκεντροι. [114] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.12. ΕΠΙΚΕΝΣΡΗ ΓΩΝΙΑ-΢ΦΕ΢Η ΕΠΙΚΕΝΣΗ΢ ΓΩΝΙΑ΢ ΞΚΑΙ ΣΟΤ ΑΝΣΙ΢ΣΟΙΦΟΤ ΣΟΞΟΤ-ΜΕΣΡΗ΢Η ΣΟΞΟΤΗ γωνύα τησ οπούασ η κορυφό εύναι το κϋντρο του κύκλου και οι πλευρϋσ τησ τϋμνουν τον κύκλο ονομϊζεται επύκεντρη.Σο τόξο ΑΒ που βρύςκεται ςτο εςωτερικό τησ κυρτόσ γωνύασ ονομϊζεται αντύςτοιχο τόξο τησ επύκεντρησ γωνύασ. 1. . Ωσ μϋτρο του τόξου ορύζεται το μϋτρο τησ αντύςτοιχησ επύκεντρησ γωνύασ, δηλαδό το μϋτρο ενόσ τόξου το μετρϊμε ςε μούρεσ. 2. ΢ε ϋνα κύκλο ό ςε ύςουσ κύκλουσ, δύο ύςεσ επύκεντρεσ γωνύεσ ϋχουν ύςα αντύςτοιχα τόξα και αντύςτροφα δύο ύςα τόξα ϋχουν ύςεσ τισ επύκεντρεσ γωνύεσ τουσ.[115] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.13. ΘΕ΢ΕΙ΢ ΕΤΘΕΙΑ΢ ΚΑΙ ΚΤΚΛΟΤ Μια ευθεύα ε ονομϊζεται εξωτερικό του κύκλου:  όταν η ευθεύα ε και ο κύκλοσ δεν ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο  ό όταν η απόςταςη ΟΜ του κϋντρου του κύκλου από την ευθεύα εύναι μεγαλύτερη από την ακτύνα ρ. ΟΜ > ������ Μια ευθεύα ε ονομϊζεται εφαπτόμενη του κύκλου : όταν η ευθεύα ε και ο κύκλοσ ϋχουν ϋνα κοινό ςημεύο ό όταν η απόςταςη ΟΑ του κϋντρου του κύκλου από την ευθεύα εύναι ύςη μετην ακτύνα . ΟΜ = ρ Μια ευθεύα ε ονομϊζεται τϋμνουςα του κύκλου  όταν η ευθεύα ε και ο κύκλοσ ϋχουν δύο κοινϊ ςημεύα  ό όταν η απόςταςη ΟΜ του κϋντρου του κύκλου από την ευθεύα εύναι μικρότερη από την ακτύνα ρ. ΟΜ < ������ [116] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥB.1.11.-B.1.12.-B.1.13 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο με κϋντρο το ςημεύο Ο και ακτύναα) ρ1=2cm β) ρ2=3cm γ) ρ3=0,18dm2. Να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο με κϋντρο το ςημεύο Ο και διϊμετρο το ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ=3cm.3. Να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο (O, 4cm) και να πϊρετε ςημεύο Μ του κύκλου. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ϊλλο κύκλο (Μ, 0.2dm).4. Να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο (O, 3cm). Να ορύςετε ϋνα ςημεύο Α του κύκλου αυτού και να χαρϊξετε τισ χορδϋσ ΑΒ=1,5 cm , ΑΓ=3cmκαι ΓΖ=2 cm.5. Να ςχεδιϊςετε τρεισ ομόκεντρουσ κύκλουσ με κϋντρο το ςημεύο Ο και διαμϋτρουσ 5 cm, 4 cm,3cm.6. Έςτω μύα ευθεύα ε και ϋνα ςημεύο Ο, του οπούου η απόςταςη από την (ε) εύναιΟΑ=3,5cm. Να βρεύτε πόςα κοινϊ ςημεύα ϋχει η ε με τον κύκλο (Ο, ρ) όταν:α) ρ=2,3cm, β) ρ=3,8cm, γ) ρ=3cm7. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ=7 cmκαι να πϊρετε το μϋςο του Μ. ΢την ςυνϋχεια να φϋρετε δύο κϊθετεσ ευθεύεσ ε1 και ε2ςτα ϊκρα του ευθύγραμμου τμόματοσ . Σϋλοσ , να γρϊψετε τουσ κύκλουσ (Μ,3cm) , (Μ , 3.5cm) , (Μ,4.5cm) .Να βρεύτε και να δικαιολογόςετε τισ θϋςεισ των ευθειών ωσ προσ καθϋναν από τουσ παραπϊνω κύκλουσ.8. Να χαρϊξετε δύο παρϊλληλεσ ευθεύεσ ε1 και ε2, που να απϋχουν μεταξύ τουσ 4cm. Να πϊρετε ϋνα τυχαύο ςημεύο Μ τησ ε1 . υπϊρχουν ςημεύα τησε2που να απϋχουν από το Μ απόςταςη : ������) 2,7cm������) 5,5 cm9. Να χαρϊξετε δύο παρϊλληλεσ ευθεύεσ ε1 και ε2, που να απϋχουν μεταξύ τουσ 2cm και να φϋρετε μια ευθεύα ε που τϋμνει τισ ε1 και ε2 ςτα ςημεύα Α και Β αντύςτοιχα. Με διϊμετρο ΑΒ να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο. Ποια εύναι η θϋςη των ευθειών ε1, ε2 ωσ προσ τον κύκλο [117] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΚΕΥΑΛΑΙΟ 2-΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ[118] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.2.1.΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΑΞΟΝΑ ΢υμμετρικό ςημεύου Β ωσ προσ ευθεύα ε εύναι το ςημεύο Γ με το οπούο ςυμπύπτει το Β, αν διπλώςουμε το φύλλο κατϊ μόκοσ τησ ευθεύασ ε. Δυο ςχόματα εύναι ςυμμετρικϊ, όταν τα ςημεύα του ενόσ αποτελούν ςυμμετρικϊ ςημεύα του ϊλλου. Σα ςυμμετρικϊ ςχόματα ωσ προσ μια ευθεύα εύναι ύςα. B.2.1 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ������) Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό του τριγώνου ΑΒΓ (������ = 90°) ωσ προσ την ευθεύα ε τησ πλευρϊσ ΑΒ. ������) Αν το παραπϊνω τρύγωνο εύναι ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ, τότε το ςυμμετρικό του τι εύδουσ τρύγωνο θα εύναι ;2. Δύνεται το παρακϊτω ιςοςκελϋσ τρύγωνο. ΑΒΓ������) Να μετρόςετε τισ πλευρϋσ ΑΒ και ΑΓ και να βρεύτε το μϋςο Μ τησ ΑΒ και το μϋςο Ν τησ ΑΓ . ������) Να καταςκευαςτεύ το ςυμμετρικό του ωσ προσ την ευθεύα ΜΝ.[119] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ3. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό τησ παρακϊτω τεθλαςμϋνησ γραμμόσ ΑΒΓΔΕ ωσ προσ την ευθεύα ε. Ε ΒΔ Γ Α ε4. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό του ευθυγρϊμμου τμόματοσ ΑΒ , ωσ προσ την ευθεύα ε .α) Α Β εβ) ε Α [120] Β Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ5. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό τησ παρακϊτω γωνύασ ωσ προσ την ευθεύα ε . ������ ������ ������ Ο6. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό του κύκλου (Ο, ρ) ωσ προσ την ευθεύα ε ςε καθϋνα από τα παρακϊτω ςχόματα[121] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.2.2. ΑΞΟΝΑ΢ ΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ΢ Η ευθεύα που χωρύζει το ςχόμα ςε δύο κομμϊτια, τα οπούα ςυμπύπτουν όταν διπλωθεύ το ςχόμα κατϊ μόκοσ τησ ευθεύασ, λϋγεται ϊξονασ ςυμμετρύασ. Τπϊρχουν ςχόματα που δεν ϋχουν ϊξονα ςυμμετρύασ όπωσ το παρακϊτω : B.2.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Δύο κύκλοι (Α , 4 cm) και (Β , 2 cm ) τϋμνονται ςτα ςημεύα Α και Β. α) Ποιοσ εύναι ο ϊξονασ ςυμμετρύασ του ςχόματοσ ; β) Πότε εύναι και η ευθεύα ΑΒ ϊξονασ ςυμμετρύασ του ςχόματοσ ; Β2. Α ΓΝα ςυμπληρώςετε το παραπϊνω ςχόμα ώςτε η πλευρϊ ΒΓ να εύναι ϊξονασςυμμετρύασ. [122] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ3. Να χαρϊξετε τουσ ϊξονεσ ςυμμετρύασ των παρακϊτω ςχημϊτων:Β.2.3. ΑΞΟΝΑ΢ ΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ΢ΜΕ΢ΟΚΑΘΕΣΟ΢ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟΤ ΣΜΗΜΑΣΟ΢Μεςοκϊθετοσ ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ονομϊζεται η ευθεύα που εύναι κϊθετηπροσ αυτό και διϋρχεται από το μϋςο του. 1. Κϊθε ςημεύο τησ μεςοκαθϋτου ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ιςαπϋχει από τα ϊκρα του . 2. Κϊθε ςημεύο που ιςαπϋχει από τα ϊκρα του ευθύγραμμου τμόματοσ βρύςκεται πϊνω ςτη μεςοκϊθετο του. 3. Η μεςοκϊθετοσ εύναι και ϊξονασ ςυμμετρύασ του ευθυγρϊμμου τμόματοσ .  Η μεςοκϊθετοσ κϊθε χορδόσ κύκλου διϋρχεται από το κϋντρο του.[123] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΚΑΣΑ΢ΚΕΤΗ ΜΕ΢ΟΚΑΘΕΣΟΤ Η μεςοκϊθετοσ ευθύγραμμου τμόματοσ ΑΒ εύναι η ευθεύα που διϋρχεται από τα ςημεύα τομόσ των κύκλων (Α, ρ), (Β, ρ), όπου η ακτύνα ρ εύναι μεγαλύτερη από το μιςό του μόκουσ του ΑΒ. B.2.3. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα κύκλο και μια διϊμετρο του ΚΛ. Βρεύτε δύο ςημεύα του κύκλου, ώςτε το καθϋνα να ιςαπϋχει από τα Κ και Λ.2. Να ςχεδιϊςετε ϋναν κύκλο (Ο , 3cm ) και να χαρϊξετε μια χορδό ΑΒ =2cm. ΢την ςυνϋχεια να φϋρετε τη μεςοκϊθετο αυτόσ τησ χορδόσ. 1) Σι παρατηρεύτε ; 2) Να πϊρετε ϋνα τυχαύο ςημεύο Μ τησ μεςοκαθϋτου και να ςυγκρύνετε τα τμόματα ΜΑ και ΜΒ .3. Να ςχεδιϊςετε μια γωνύα ΑΟΒ και να πϊρετε ςημεύο Μ ςτην ΟΑ και ϋνα ςημεύο Κ ςτην ΟΒ, ϋτςι ώςτε ΟΜ=ΟΚ. Γιατύ το Ο ανόκει ςτη μεςοκϊθετο του ΚΜ;[124] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ4. Σρεύσ ύςοι κύκλοι με ακτύνα ρ και κϋντρα Α , Β , Γ εφϊπτονται εξωτερικϊ όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα : 1) Βρύςκεται το Γ πϊνω ςτην μεςοκϊθετο του ΑΟ ; Αν ναι , γιατύ; 2) Ποια η θϋςη τησ μεςοκαθϋτου ςύμφωνα με τον κϊθε κύκλο ; Β.2.4. ΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΢ΗΜΕΙΟ ΢υμμετρικό ςημεύου Α ωσ προσ κϋντρο Ο εύναι το ςημεύο Α΄ με το οπούο ςυμπύπτει το Α, αν περιςτραφεύ κατϊ 1800. Δυο ςχόματα εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ ςημεύο Ο, όταν κϊθε ςημεύο του ενόσ εύναι ςυμμετρικό ενόσ ςημεύου του ϊλλου.[125] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.2.4. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό κύκλου (Ο, ρ) ωσ προσ εξωτερικό ςημεύο.2. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό τετραγώνου ωσ προσ το μϋςο Μ τησ μιασ πλευρϊσ του.3. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ την κορυφό Α ( Aˆ  900 ).4. Να καταςκευϊςετε το ςυμμετρικό ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ το μϋςο Μ τησ υποτεύνουςασ ΒΓ.Β.2.5. ΚΕΝΣΡΟ ΢ΤΜΜΕΣΡΙΑ΢Κϋντρο ςυμμετρύασ ςχόματοσ ονομϊζεται ϋνα ςημεύο Ο, γύρω από το οπούο, αν περιςτραφεύ το ςχόμα κατϊ 1800, θα ςυμπϋςει με το αρχικό ςχόμα.  Σο κϋντρο ςυμμετρύασ Ο ενόσ ςχόματοσ ϋχει ςυμμετρικό ωσ προσ το ςημεύο Ο το ύδιο το ςημεύο.  Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει κϋντρο ςυμμετρύασ το ςημεύο τομόσ των διαγωνύων του.  Σο κϋντρο του κύκλου εύναι κϋντρο ςυμμετρύασ του. [126] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΚΑΣΑ΢ΚΕΤΕ΢1. ΢υμμετρικό ςημεύου ωσ προσ ευθεύα ε  Αν το ςημεύο Α εύναι ςημεύο τησ ευθεύασ ε, τότε το ςυμμετρικό του εύναι το ύδιο ςημεύο Α.  Αν δεν εύναι ςημεύο τησ ευθεύασ ε, τότε φϋρνουμε το κϊθετο από το ςημεύο Α ςτην ευθεύα ε και το προεκτεύνουμε κατϊ ύςο τμόμα. Σο ςημεύο Α΄ εύναι το ςυμμετρικό του Α.2. ΢υμμετρικό ευθεύα ωσ προσ ευθεύα ε Παύρνουμε δύο τυχαύα ςημεύα Α, Β τησ ευθεύασ και βρύςκουμε τα ςυμμετρικϊ τουσ ωσ προσ την ευθεύα ε. Αν ενώςουμε τα ςυμμετρικϊ ςημεύα Α΄, Β ΄ θα προκύψει η ςυμμετρικό ευθεύα.3. ΢υμμετρικό γωνύα ωσ προσ ευθεύα ε Παύρνουμε δύο τυχαύα ςημεύα Α, Β που ανόκουν το κϊθε ϋνα ςε μύα από τισ πλευρϋσ τησ γωνύασ και βρύςκουμε τα ςυμμετρικϊ Α΄, Β ΄ των Α, Β ωσ προσ την ευθεύα ε καθώσ και το ςυμμετρικό ςημεύο Ο΄ τησ κορυφόσ τησ γωνύασ Ο ωσ προσ την ευθεύα ε. Αν ενώςουμε τα ςημεύα Ο΄, Α΄ και Ο΄, Β ΄ θα προκύψει η ςυμμετρικό γωνύα.4. ΢υμμετρικό τριγώνου ωσ προσ ευθεύα ε Βρύςκουμε τα ςυμμετρικϊ ςημεύα Α΄, Β ΄, Γ ΄ των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ την ευθεύα ε. Αν ενώςουμε τα ςημεύα Α΄, Β ΄, Γ ΄ θα προκύψει το ςυμμετρικό τριγώνου ΑΒΓ.[127] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ5. ΢υμμετρικόσ κύκλου ωσ προσ ευθεύα ε Βρύςκουμε το ςυμμετρικό ςημεύο Ο΄ του κϋντρου Ο του κύκλου (Ο, ρ) ωσ προσ ευθεύα ε. Αν φϋρουμε τον κύκλο με ύδια ακτύνα και κϋντρο το Ο’ θα προκύψει ο ςυμμετρικόσ κύκλοσ του (Ο, ρ).6. ΢υμμετρικό ςημεύου ωσ προσ κϋντρο Ο Δυο ςημεύα Μ και Μ΄ εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ κϋντρο Ο, όταν το Ο εύναι το μϋςο του ευθύγραμμου τμόματοσ ΜΜ΄.7. ΢υμμετρικό ευθεύασ ωσ προσ κϋντρο Ο Σο ςυμμετρικό μιασ ευθεύασ ε ωσ προσ ςημεύο Ο εύναι ευθεύα ε’ ε και μιασ ημιευθεύασ x , εύναι μια ημιευθεύαAx’ Ax.8. ΢υμμετρικό γωνύα και ςυμμετρικό τριγώνου ωσ προσ κϋντρο Ο  Μια γωνύα xˆ y εύναι ςυμμετρικό ωσ προσ ςημεύο Ο με την γωνύα x 'ˆ y ' η οπούα εύναι ύςη με την πρώτη.  Σο ςυμμετρικό τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ ςημεύο Ο εύναι τρύγωνο Α΄Β΄Γ΄, το οπούο εύναι ύςο προσ το ΑΒΓ.9. ΢υμμετρικόσ κύκλου ωσ προσ κϋντρο Ο Σο ςυμμετρικό κύκλου (Ο, ρ) ωσ προσ ςημεύο Α εύναι κύκλοσ (Ο΄, ρ) όπου Ο΄ το ςυμμετρικό του Ο ωσ προσ Α.[128] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.2.5. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Δύνονται τα μαθηματικϊ ςύμβολα :+ , - , :, = , <, / , ≠ . Ποιο από αυτϊ ϋχει κϋντρο ςυμμετρύασ ;2. Να ςυμπληρώςετε κατϊλληλα τα παρακϊτω ςχόματα, ώςτε το Ο να γύνει κϋντρο ςυμμετρύασ του.[129] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.2.6. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ΢ ΕΤΘΕΙΕ΢ ΠΟΤ ΣΕΜΝΟΝΣΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΤΘΕΙΑ Ζςτω δφο ευκείεσ ε1, ε2 παράλλθλεσ και ευκεία ε που τζμνει τισ άλλεσ δφο ςτα ςθμεία Α και Β αντίςτοιχα. Ι΢Ε΢ ΓΩΝΙΕ΢  Δυο γωνίεσ εντόσ εναλλάξ είναι ίςεσ.  Δυο γωνίεσ εκτόσ εναλλάξ είναι ίςεσ.  Δυο γωνίεσ εντόσ εκτόσ και επί τα αυτά είναι ίςεσ. ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢  Δυο γωνίεσ εντόσ και επί τα αυτά είναι παραπλθρωματικζσ.  Δυο γωνίεσ εκτόσ και επί τα αυτά είναι παραπλθρωματικζσ.  Δυο γωνίεσ εντόσ εκτόσ και εναλλάξ είναι παραπλθρωματικζσ. Σότε από το παραπάνω ςχιμα : 1. Οι γωνίεσ Α1, Α2, Β1, Β2 βρίςκονται εντόσ των παραλλιλων και λζγονται εντόσ. 2. Οι γωνίεσ Α3, Α4, Β3, Β4 βρίςκονται εκτόσ των παραλλιλων και λζγονται εκτόσ. 3. Οι γωνίεσ Α1, Α3, Β1, Β3 βρίςκονται προσ το ίδιο μζροσ τθσ ευκείασ ε και λζγονται επί τα αυτά. 4. Οι γωνίεσ Α2, Β1 και Α1, Β2 βρίςκονται εκατζρωκεν τθσ ε και λζγονται εναλλάξ. 5. Οι γωνίεσ Β1 και Α2 είναι εντόσ εναλλάξ. 6. Οι γωνίεσ Β2 και Α4 είναι εντόσ εκτόσ επί τα αυτά .[130] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.2.6. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ΢το διπλανό ςχόμα : 1) Πώσ ονομϊζονται οι γωνύεσ α και β ; 2) Πώσ ονομϊζονται οι γωνύεσ γ και β ; 3) Πώσ ονομϊζονται οι γωνύεσ δ και β ;2. ΢το παρακϊτω ςχόμα 1 / /2 . Να υπολογιςτεύ η γωνύα λ. ������1 λ 130° ������2 3. S΢το διπλανό ςχόμα γνωρύζουμε ότι ������ = 40° και ������ = 70°. 1) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ψ . 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα β . 3) Να υπολογιςτεύ η γωνύα χ .[131] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

4. ΢το παρακϊτω ςχόμα 1 / /2 . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1) Να υπολογιςτεύ η γωνύα δ . ������1 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα γ . ������2 3) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ε . 4) Να υπολογιςτεύ η γωνύα β . 1) Να υπολογιςτεύ η γωνύα φ . 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα θ.5. ΢το παρακϊτω ςχόμα ������1//������2. 3) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ω.137° ������1 ������26. ΢το παρακϊτω ςχόμα ������1//������2//������3 . ������3 Κ Λ 40° ������ ������ 70° ωΜ1) Να υπολογιςτεύ η γωνύα α.2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα β.3) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ω. [132] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ7. ΢το παρακϊτω ςχόμα εύναι ������������ // ������������. 1) Να υπολογύςετε την γωνύα ������ του τριγώνου ������������������. 2) Να υπολογύςετε την γωνύα ������������������ .8. ΢το παρακϊτω ςχόμα εύναι 1 / /2 και 3 / /4 .Να υπολογύςετε τισ ϊγνωςτεσ γωνύεσ.9. ΢το παρακϊτω ςχόμα εύναι 1 / /2 / /3 και ˆ   900 .Να υπολογύςετε τη γωνύα φ.10. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του παρακϊτω ςχόματοσ, αν εύναι 1 / /2 και ˆ  3ˆ .[133] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3-ΣΡΙΓΩΝΑ-ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ- ΣΡΑΠΕΖΙΑ[134] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.1. ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΡΙΓΩΝΟΤ – ΕΙΔΗ ΣΡΙΓΩΝΩΝ ΣΡΙΓΩΝΑ Κϊθε τρύγωνο ϋχει : τρεύσ κορυφϋσ Α , Β , Γ τρεύσ πλευρϋσ ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ τρεύσ γωνύεσ ������, ������, ������ . ΕΙΔΗ ΣΡΙΓΩΝΩΝ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΣΙ΢ ΓΩΝΙΕ΢ Ένα τρύγωνο ανϊλογα με το εύδοσ των γωνιών του ονομϊζεται: a) Οξυγώνιο, όταν ϋχει όλεσ τισ γωνύεσ του οξεύεσ. b) Ορθογώνιο, όταν ϋχει μύα γωνύα ορθό. c) Αμβλυγώνιο, όταν ϋχει μύα γωνύα αμβλεύα. ΢ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο η μεγαλύτερη πλευρϊ η οπούα βρύςκεται απϋναντι από την ορθό γωνύα λϋγεται υποτεύνουςα ενώ οι ϊλλεσ δύο λϋγονται κϊθετεσ πλευρϋσ.[135] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΙΔΗ ΣΡΙΓΩΝΩΝ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΣΙ΢ ΠΛΕΤΡΕ΢ Ένα τρύγωνο ανϊλογα με τισ ςχϋςεισ που ςυνδϋονται οι πλευρϋσ του ονομϊζεται: a) ΢καληνό, όταν ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του ϊνιςεσ. b) Ιςοςκελϋσ, όταν ϋχει δύο πλευρϋσ ύςεσ. c) Ιςόπλευρο, όταν ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του ύςεσ. ΢ε ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρϊ ΒΓ ονομϊζεται βϊςη του και το ςημεύο Α κορυφό του. Σο ιςόπλευρο τρύγωνο εκτόσ του ότι όλεσ οι πλευρϋσ του εύναι ύςεσ ϋχει και όλεσ τισ γωνύεσ του ύςεσ και μϊλιςτα η κϊθε μια 600. ΔΕΤΣΕΡΕΤΟΝΣΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΡΙΓΩΝΟΤ Σα δευτερεύοντα ςτοιχεύα του εύναι οι διϊμεςοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι. a) Διϊμεςοσ ενόσ τριγώνου εύναι το ευθύγραμμο τμόμα που ξεκινϊει από μια κορυφό ενόσ τριγώνου και καταλόγει ςτο μϋςο τησ απϋναντι πλευρϊσ. b) Ύψοσ ενόσ τριγώνου εύναι το ευθύγραμμο τμόμα που ξεκινϊει από μια κορυφό ενόσ τριγώνου και καταλόγει κϊθετα ςτην απϋναντι πλευρϊ. c) Διχοτόμοσ ενόσ τριγώνου εύναι το ευθύγραμμο τμόμα που φϋρνουμε από μια κορυφό του τριγώνου χωρύζει τη γωνύα τησ κορυφόσ ςε δύο ύςεσ γωνύεσ και καταλόγει ςτην απϋναντι πλευρϊ.[136] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε τισ διαμϋςουσ ςε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ.2. ΢τα παρακϊτω τρύγωνα να ςχεδιϊςετε όλα τα ύψη .3. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ και να πϊρετε το μϋςο Μ τησ ΒΓ. Να ςχεδιϊςετε τισ αποςτϊςεισ του Μ από τισ δύο ϊλλεσ πλευρϋσ του τριγώνου.4. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ με ������ = 60° ������������������ ������ = 40° . 1) Να βρεθεύ το εύδοσ του τριγώνου ωσ προσ τισ γωνύεσ. 2) Να ςχεδιϊςετε την διχοτόμο τησ γωνύασ Α.5. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ και να φϋρετε τη διχοτόμο ΑΔ. Να ςχεδιϊςετε τισ διχοτόμουσ και τισ διαμϋςουσ του  .[137] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.2. ΑΘΡΟΙ΢ΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΣΡΙΓΩΝΟΤ – ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ Ι΢Ο΢ΚΕΛΟΤ΢-Ι΢ΟΠΛΕΤΡΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤ Σο ϊθροιςμα γωνιών ενόσ τριγώνου εύναι 180° . ΢ε κϊθε τρύγωνο ιςχύει: ˆ  ˆ  ˆ  1800 ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ Ι΢Ο΢ΚΕΛΟΤ΢ ΣΡΙΓΩΝΟΤ ΢ε κϊθε ιςοςκελϋσ τρύγωνο :1. Οι προςκεύμενεσ γωνύεσ ςτη βϊςη εύναι ύςεσ.2. Η διϊμεςοσ που αντιςτοιχεύ ςτην βϊςη εύναι και ύψοσ και διχοτόμοσ .3. Η ευθεύα τησ διαμϋςου που αντιςτοιχεύ ςτη βϊςη εύναι και ϊξονασ ςυμμετρύασ του ιςοςκελούσ τριγώνου. ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ Ι΢ΟΠΛΕΤΡΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤ ΢ε κϊθε ιςόπλευρο τρύγωνο :1. Όλεσ οι πλευρϋσ και όλεσ οι γωνύεσ του εύναι ύςεσ.2. Κϊθε διϊμεςοσ εύναι ύψοσ και διχοτόμοσ.3. Οι ευθεύεσ των διαμϋςων εύναι ϊξονεσ ςυμμετρύασ του ιςόπλευρου τριγώνου.[138] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ΢’ ϋνα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ( ˆ  900 ), να υπολογύςετε τισ γωνύεσ Β και Γ.2. ΢’ ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ η γωνύα Α εύναι διπλϊςια από τη Β, ενώ η γωνύα Γ εύναι τριπλϊςια από τη Β. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τριγώνου.3. Να βρεύτε τη γωνύα Α ενόσ ιςοςκελούσ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, αν ˆ  6004. ΢’ ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ η γωνύα Β εύναι τριπλϊςια από την Α και η Α εύναι μικρότερη από τη Γ κατϊ 500. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τριγώνου.5. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ ςτα παρακϊτω ςχόματα:[139] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ6. Να υπολογύςετε το x ςτο παρακϊτω ςχόμα.7. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του παρακϊτω ςχόματοσ8. ΢το παρακϊτω ςχόμα εύναι Αχ // ΒΓ και ˆ y  1200 .1) Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ γ, α, φ και ω.2) Να αποδεύξετε ότι η ημιευθεύα ������������ εύναι διχοτόμοσ τησ ������������������.[140] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ9. ΢το παρακϊτω τρύγωνο ΑΒΓ , η ΒΔ εύναι διχοτόμοσ τησ γωνύασ Β . Αν ιςχύει ������������������ = 34° και η γωνύα Α εύναι 12° μεγαλύτερη από τη γωνύα Γ , να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ .10. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα όπου ������1// ������2. A BΓ ������1 110° 120° Ε ������2Δ1) Να βρεθούν όλεσ οι γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ.2) Να βρεθεύ το εύδοσ του τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ τισ πλευρϋσ και ωσ προσ τισ γωνύεσ. [141] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ11. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα όπου ������1// ������2. 100° ������1������ ������ ������2 Γ ������ Α ������ ������ ������ε 35° ε’1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ και β.2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ������ .12. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα όπου ������1// ������2.13. Γίνεται το παρακάτω σχήμα όπου ������1// ������2. 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ και ν. 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ������ . 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ , γ και δ. 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ������ . [142] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ14 . Γίνεται το παρακάτω σχήμα όπου ������1// ������2. 1) 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ , ω και ψ. 2) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ������ .15. Γίνεται το παρακάτω σχήμα όπου ������1// ������2. 3) 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ , β και δ. ������1 2) Να βρεθεύ το εύδοσ του τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ τισ πλευρϋσ και ωσ προσ τισ γωνύεσ . ������216. 4) 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ , β , γ ,δ και ε. 2) Να βρεθεύ το εύδοσ του τριγώνου ΑΒΓ ωσ προσ τισ πλευρϋσ και ωσ προσ τισ γωνύεσ .17. Γίνεται το παρακάτω σχήμα όπου ������1// ������2. Δπιμέλεια : Θέου Νάντια [143]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 5) Nα υπολογιςτούν όλεσ οι αναγραφόμενεσ γωνύεσ .18. ΢το διπλανό ςχόμα ������// ������′ , ΓΒ __ ζ και το τρύγωνο ΔΕΖ εύναι ιςοςκελϋσ με ΔΕ=ΔΖ . 1) Nα υπολογιςτούν όλεσ οι αναγραφόμενεσ γωνύεσ .19. Στο παρακάτω σχήμα ������������// ������������ , ΓΑ __ ΑΒ .1) Να βρεθεύ η γωνύα Γ������Β .2) Να βρεθεύ η γωνύα ������ .3) Να βρεθεύ η γωνύα ������ .4) Να βρεθεύ η γωνύα Α������Ε .5) Να βρεθεύ η γωνύα ������ .6) Να βρεθεύ το εύδοσ των τριγώνων ΑΔΕ και ΑΓΒ ωσ προσ τισ πλευρϋσ και ωσ προσ τισ γωνύεσ.[144] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ20. ΢το διπλανό ςχόμα ������������// ������������ και το τρύγωνο ΓΔΖ εύναι ιςοςκελϋσ με ΓΔ=ΔΖ . 1) Να υπολογιςτεύ η γωνύα ΖΔΓ. 2) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ και β . 3) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ χ , φ , ω και θ .21. ΢το παρακϊτω ςχόμα ������1// ������2 , ΑΔ __ ΑΒ και η ΑΔ εύναι διχοτόμοσ τησ ������������������ . ������1 ω ������2 1) Να υπολογύςετε το ������ . 2) Να υπολογύςετε την γωνύα ������������������ . 3) Να υπολογύςετε την γωνύα ψ και ω . 4) Να υπολογύςετε την γωνύα ������ . 5) Να υπολογύςετε την γωνύα ������ . 22. ΢το παρακϊτω ςχόμα ������1// ������2 , ΒΔ __ ΑΓ και ������������������=30° , ������������������=35°. 1) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ ������ και ψ . 2) Nα υπολογιςτούν οι γωνύεσ φ και ω .[145] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.3. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ-ΡΟΜΒΟ΢-ΣΕΣΡΑΓΩΝΟ-ΣΡΑΠΕΖΙΟ- Ι΢Ο΢ΚΕΛΕ΢ ΣΡΑΠΕΖΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑΣο τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ που ϋχει τισ απϋναντι πλευρϋσ του παρϊλληλεσ ονομϊζεται παραλληλόγραμμο.Κϊθε πλευρϊ του παραλληλογρϊμμου χαρακτηρύζεται και ωσ βϊςη του ενώ η απόςταςη τησ βϊςησ από την απϋναντι πλευρϊ λϋγεται ύψοσ του παραλληλογρϊμμου.  Ιδιότητεσ παραλληλογρϊμμου  Σο ςημεύο τομόσ Ο των διαγωνύων του εύναι κϋντρο ςυμμετρύασ του.  Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.  Οι απϋναντι πλευρϋσ εύναι ύςεσ.  Οι απϋναντι γωνύεσ εύναι ύςεσ. ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ  Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο λϋγεται το παραλληλόγραμμο που ϋχει όλεσ τισ γωνύεσ του ορθϋσ.  Ιδιότητεσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου  Οι διαγώνιεσ του εύναι ύςεσ και διχοτομούνται.  Οι μεςοκϊθετοι των πλευρών του εύναι ϊξονεσ ςυμμετρύασ του.[146] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΡΟΜΒΟ΢ Ρόμβοσ λϋγεται το παραλληλόγραμμο που ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του ύςεσ. Ιδιότητεσ ρόμβου Εκτόσ από τισ ιδιότητεσ του παραλληλογρϊμμου ϋχει και τισ εξόσ : Οι ευθεύεσ των διαγωνύων του εύναι ϊξονεσ ςυμμετρύασ. Οι διαγώνιοι του εύναι κϊθετεσ.(και διχοτομούνται) Οι διαγώνιοι του εύναι διχοτόμοι των γωνιών του. ΣΕΣΡΑΓΩΝΟ Σετρϊγωνο λϋγεται το παραλληλόγραμμο που ϋχει όλεσ τισ γωνύεσ ορθϋσ και όλεσ τισ πλευρϋσ ύςεσ . Ιδιότητεσ τετραγώνου Εκτόσ από τισ ιδιότητεσ του παραλληλογρϊμμου ϋχει και τισ εξόσ :  Οι ευθεύεσ των διαγωνύων του και οι μεςοκϊθετοι των πλευρών του εύναι ϊξονεσ ςυμμετρύασ.  Οι διαγώνιοι του εύναι κϊθετεσ και ύςεσ.(και διχοτομούνται)  Οι διαγώνιοι του εύναι διχοτόμοι των γωνιών του. [147] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΡΑΠΕΖΙΑ Σραπϋζιο λϋγεται το τετρϊπλευρο που ϋχει μόνο δυο πλευρϋσ παρϊλληλεσ. Οι παρϊλληλεσ πλευρϋσ ΑΒ, ΓΔ του τραπεζύου λϋγονται βϊςεισ του και η απόςταςη των βϊςεων ονομϊζεται ύψοσ του τραπεζύου. Ιςοςκελϋσ τραπϋζιο Σο τραπϋζιο που ϋχει τισ μη παρϊλληλεσ πλευρϋσ του ύςεσ λϋγεται ιςοςκελϋσ. Ιδιότητεσ ιςοςκελούσ τραπεζύου  Η ευθεύα που διϋρχεται από τα μϋςα των βϊςεων εύναι ϊξονασ ςυμμετρύασ του και μεςοκϊθετοσ των βϊςεων του.  Οι προςκεύμενεσ ςε κϊθε βϊςη γωνύεσ του εύναι ύςεσ.[148] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.3.3.- B.3.4 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε το ύψοσ τραπεζύου ΑΒΓΔ, με  ||  και ˆ  900 .2. Να ςχεδιϊςετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ˆ  600 , ΒΓ=4 cm και ΒΑ=2cm. Να ςχεδιϊςετε τα ύψη του παραλληλογρϊμμου που ϊγονται από την κορυφό Α.3. Να ςχεδιϊςετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με  ||  ςτο οπούο εύναι ΑΒ=2cm, ΓΔ=6 cm και το ύψοσ του εύναι 2cm.4. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓ με ������ = 60° , ΑΒ=3 cm και ΑΔ=5cm.5. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ρόμβο ΑΒΓΔ με ������ = 120° και ΑΒ=3cm.6. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ϋχει περύμετρο 30 cm και η πλευρϊ ΑΒ ιςούται με 5cm. Να υπολογύςετε τισ ϊλλεσ πλευρϋσ του παραλληλογρϊμμου.7. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ( ˆ  900 ) και να φϋρετε τη διϊμεςο ΑΜ. ΢την προϋκταςη τησ ΑΜ προσ το μϋροσ του Μ να πϊρετε ςημεύο Δ ϋτςι ώςτε ΑΜ=ΜΔ. Γιατύ το ΑΒΓΔ εύναι τετρϊγωνο;8. Να ςχεδιϊςετε ϋνα ιςοςκελϋσ τραπϋζιο ΑΒΓΔ,  ||  και να πϊρετε τα μϋςα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντύςτοιχα. α) Να ςυγκρύνετε τα τμόματα ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ και ΝΚ β) Γιατύ το τετρϊπλευρο ΚΛΜΝ εύναι ρόμβοσ;9. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ και Δ , Ε , Ζ τα μϋςα των πλευρών ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ αντύςτοιχα. α) Να βρεύτε το ςυμμετρικό ςημεύο Θ του ςημεύου Δ ωσ προσ Ζ. β) Σι εύδουσ τετρϊπλευρο εύναι το ΑΓΔΘ ; γ) Να δεύξετε ότι : ΑΘ=ΓΔ10. ΢ε ϋνα ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ παύρνουμε τα μϋςα Μ ,Ν , Κ των πλευρών ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ αντύςτοιχα. α) Να βρεύτε το ςυμμετρικό των ςημεύων Α, Β , Γ , Μ , Ν , Κ ωσ προσ την ευθεύα ΒΝ. β) Να αποδεύξετε ότι : ΜΚ // ΑΓ. γ) Σι εύδουσ τετρϊπλευρα εύναι τα ΜΝΓΒ , ΚΝΑΒ και ΜΚΓΑ ;[149] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ11. ΢το τραπϋζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) δύνεται ότι ������������������ = ������������������ = ������ και ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ εύναι ιςοςκελό με ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ=ΓΔ αντύςτοιχα. Α)Να αποδεύξετε ότι η ΑΓ διχοτομεύ την γωνύα ������������������. Β)ΝΑ υπολογύςετε την γωνύα ������ . ΔΓ ω ωΑ Β (Ε.Μ.Ε. Θϊλησ) [150] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια