maths_a__2016-2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.4.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ΢ ΕΞΙ΢Ω΢Η΢ΕΞΙ΢Ω΢Η Ονομϊζεται μια ιςότητα η οπούα περιϋχει αριθμούσ , πρϊξεισ και μια μεταβλητό , τον ϊγνωςτο που ςυνόθωσ ςυμβολύζεται με x . Λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ονομϊζεται ο αριθμόσ τον οπούο αν τον τοποθετόςουμε ςτη θϋςη του αγνώςτου επαληθεύει την ιςότητα. Όταν μια εξύςωςη επαληθεύεται για οποιαδόποτε τιμό του αγνώςτου ονομϊζεται ταυτότητα ό αόριςτη. π.χ. 0 · x = 0 Όταν μια εξύςωςη δεν επαληθεύεται για καμύα τιμό του αγνώςτου τότε ονομϊζεται αδύνατη. π.χ. 0 · x = 10 Η διαδικαςύα κατϊ την οπούα τοποθετούμε μια λύςη τησ εξύςωςησ ςτη θϋςη του αγνώςτου για να διαπιςτώςουμε αν ιςχύει η ιςότητα , ονομϊζεται επαλόθευςη τησ λύςησ τησ εξύςωςησ. ΒΑ΢ΙΚΕ΢ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢ 1)  x    x     2)x      x     3)  x    x     4)  x    x   :  5)x :     x    6) : x    x   : [51] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.4.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ 1) Εξύςωςη με ϋναν ϊγνωςτο εύναι μια ____________, που περιϋχει ____________ και ϋνα γρϊμμα (____________). 2) Λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ εύναι ο ___________ που, όταν _____________ τον ϊγνωςτο, _____________ την ιςότητα. 3) Η _____________ μϋςω τησ οπούασ βρύςκουμε τη λύςη τησ εξύςωςησ, λϋγεται _____________ τησ εξύςωςησ. 4) Μύα εξύςωςη λϋγεται _____________ ό _____________ όταν όλοι οι αριθμού εύναι λύςεισ τησ. 5) Μύα εξύςωςη λϋγεται ____________ όταν κανϋνασ αριθμόσ δεν την επαληθεύει. 2. Εύναι ςωςτό ό λϊθοσ ότι: α. Η λύςη τησ εξύςωςησ 5 · ������ = 0, εύναι το 0. β. Η λύςη τησ εξύςωςησ 5 ∶ ������ = 1, εύναι το 1. γ. Η λύςη τησ εξύςωςησ 5 − ������ = 1, εύναι το 0. 3. Να μεταφρϊςεισ γρϊψετε με την βοόθεια μιασ μεταβλητόσ τισ παρακϊτω εκφρϊςεισ. 1) Ο επόμενοσ ενόσ φυςικού αριθμού 2) Ο προηγούμενοσ ενόσ φυςικού αριθμού 3) Σρεύσ διαδοχικού φυςικού αριθμού. 4) Ένασ ϊρτιοσ φυςικόσ αριθμόσ 5) Ένασ περιττόσ φυςικόσ αριθμόσ 6) Σα πολλαπλϊςια του 3 7) Σο διπλϊςιο ενόσ αριθμού 8) Σο τριπλϊςιο ενόσ αριθμού 9) Ένασ αριθμόσ αυξϊνεται κατϊ 8 10) Ένασ αριθμόσ ελαττωμϋνοσ κατϊ 4 11) Σο γινόμενο δύο αριθμών εύναι ύςο με 32 12) Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών αρτύων αριθμών 13) Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών περιττών αριθμών 14) Η περύμετροσ ενόσ τετραγώνου 15) Σο εμβαδόν ενόσ τετραγώνου. [52] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ4. Να διατυπώςετε με λόγια τισ παρακϊτω εκφρϊςεισ:������. ������ + 2 = 7 ������. 2 · ������ = 6 ������. 3 > ������ + 1 ������. ������ + 6 < 125. Να βρεθεύ ποιοι από τουσ αριθμούσ 0, 1, 2 ,3,5 εύναι λύςεισ των εξιςώςεων:������. ������ + 1 = 2 ������. 2013 · ������ = 0 ������. 6 · ������ = 14 − 2������. 15 ∶ ������ = 3 ε. 2������ + 3 = 3(������ − 1) + 46. Να μετατρϋψετε τισ παρακϊτω εκφρϊςεισ ςε εξιςώςεισ και ανιςώςεισ: α) Ένασ αριθμόσ μειωμϋνοσ κατϊ 1 ιςούται με το μιςό του ύδιου αριθμού. β) Σο πενταπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 2 ιςούται με το εξαπλϊςιο του ύδιου αριθμού μειωμϋνο κατϊ 2 . γ) Σο μιςό του μιςού ενόσ αριθμού ιςούται με 12. δ) Σο τετραπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 2, μασ δύνει 22. ε) Σο τετραπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 2, μασ δύνει 22. ζ) Σο τετραπλϊςιο ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ 2, μασ δύνει 22. η) Σο τριπλϊςιο ενόσ αριθμού δεν ξεπερνϊ το 30. θ) Σο πλόθοσ των μαθητών τησ αύθουςασ εύναι τουλϊχιςτον 20 . ι) Σο πλόθοσ των μαθητών τησ αύθουςασ εύναι το πολύ 30 .7. Γρϊψε ςυντομότερα τισ εκφρϊςεισi) x + x + x + x = v) α + α + α + β + β =ii) 3α + 5α + 12α = vi) 18x + 7x + 4x − 3x =iii) 15β − 9β = vii) x + x + 3x − x =iv) 2β + β + 3α + 2α − β =8. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :1) x + α = β, x + 4 = 5, x + 2 = 9 x + 5 = 18, x + 17,3 = 21,212) α − x = β, 8 − x = 5, 10 − x = 7,63) x − α = β, 15 − x = 3 10 − x = 4 x − 3 = 5, x − 3,87 = 22,484) x ∶ α = β, x: 6,1 = 2, x: 7 = 15) α · x = β, x−3=2 x−5=4 4,1 · x = 16,4 5 · x = 206) α: x = β, 16,4: x = 4 20: x = 4 x: 3 = 2, x: 4 = 5 2 · x = 6, 3 · x = 12 6: x = 3, 12: x = 39. Δύνονται οι εξιςώςεισ ������ + 3 = ������ και ������ + ������ = 5. Αν η μεταβλητό α μπορεύ να πϊρει τισ τιμϋσ 1 και 2 ενώ η β τισ τιμϋσ 1 και 4 ποιο ζεύγοσ τιμών των α, β επαληθεύει και τισ δύο εξιςώςεισ;10. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :������) 8������ − 7������ − 3 = 2.013 Δπιμέλεια : Θέου Νάντια������������) 2������ + 3������ + 5������ = 5 · 6 + 102 [53]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ������������������) ������ ∶ 3 − 7 = 2������������) 3������ + 5������ = 16 ������) 20������ + ������ − 20������ = 2016(32 − 23)������������) 2������ + (42 − 3 · 4)������ = 2(52 − 33) − 17������������������) 8������ + 7������ + 4������ − 3������ = 2 · 2 · 3-2016011. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :1. x = 45 6. ������−10 = 1 1 2.352. x−1 = 12 7. 3(������ −5) =20 7 13. 4+x = 20 8. 2(������+4)−7 = 1 1 ������ +654. 2(������+5) = 2016 9. (42−32)·������+3������−64 = 0 1 20145. 2������−6 = 1 10. ������ =2 25 35 512. Να λυθούν οι εξιςώςεισ. ������ 3 63 ������ 4 6 18 ������. 12 = 4 ������������. ������ = 7 ������������������. 25 = 5 ������������. 7 = ������ 35 2 42 ������ 55 11 ������ 30 ������. 70 = ������ ������������. 7 = 5 ������������������. ������ = 8 ������������. 12 = 513. Να λυθούν οι εξιςώςεισ 3 7 13 11 1 ������ ������ ������. ������ + 4 = 4 ������������. 16 + ������ = 12 ������������������. ������ − 3 = 1 ������������. 2 + 3 = 1 ������. ������ − ������ = 1 ������������. ������+3 = 7 ������������������. ������+2 = 5 ������������. ������+1 + 1 = 3 45 10 10 62 12 6 414. Να λυθούν οι εξιςώςεισ������. x + .2 − 1/ = 7 ������������. ������ = 5 − 1 ������������������. ������ + ������ + 1 = 3 36 10 2 43 233 2 x−1 5 x−4 x−1������������. 3 = 2 ������. 4 = 3 [54] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.4.2. ΕΠΙΛΤ΢Η ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ Κϊθε πρόβλημα περιϋχει οριςμϋνεσ λϋξεισ-κλειδιϊ οι οπούεσ μασ οδηγούν ςτη λύςη του. Οριςμϋνεσ φορϋσ για να λυθεύ ϋνα πρόβλημα αρκεύ να ακολουθηθούν οι πρϊξεισ με τη ςειρϊ που περιγρϊφονται ς’ αυτό.Επύςησ ϋνα πρόβλημα μπορεύ να επιλυθεύ καταςκευϊζοντασ εξύςωςη ςύμφωνα με τα δεδομϋνα. Δηλαδό:1. Θεωρούμε ςαν ϊγνωςτο τησ εξύςωςησ το ζητούμενο και το ςυμβολύζουμε με ϋνα γρϊμμα.2. Εκφρϊζουμε τα δεδομϋνα του προβλόματοσ καθώσ και τα ϊλλα ζητούμενα ςε ςχϋςη με τον ϊγνωςτο.3. Έτςι προκύπτει η εξύςωςη που ιςοδυναμεύ με το πρόβλημα.4. Προχωρούμε ςτη λύςη τησ εξύςωςησ προςδιορύζοντασ την τιμό του αγνώςτου.5. Εκτελούμε επαλόθευςη τησ λύςησ που προϋκυψε.[55] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.4.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Σο διπλϊςιο του αθρούςματοσ δυο διαδοχικών φυςικών αριθμών μειωμϋνο κατϊ 4 ιςούται με 29 . Να βρεθούν οι αριθμού.2. Σο τριπλϊςιο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών φυςικών αριθμών ιςούται με το εξαπλϊςιο ϊθροιςμα του 1ου και του 2ου. Ποιού εύναι οι αριθμού;3. Σο μιςό ενόσ αριθμού αυξημϋνο κατϊ το 1 του αριθμού ιςούται με τον αριθμό 3 μειωμϋνο κατϊ 2 . Να βρεθεύ ο αριθμόσ.4. Ένα τούβλο ζυγύζει 1kg και μιςό τούβλο. Πόςο ζυγύζει το τούβλο;5. Σο πενταπλϊςιο ενόσ φυςικού αριθμού ιςούται με το τετραπλϊςιο του επόμενου φυςικού αριθμού μειωμϋνο κατϊ 3. Να βρεύτε τον αριθμό.6. Να βρεύτε τρεύσ διαδοχικούσ αριθμούσ που να ϋχουν ϊθροιςμα 18.7. Να βρεύτε τον αριθμό που το τριπλϊςιο του αυξημϋνο κατϊ 5 μασ δινει΄23.8. Να βρεύτε τρεύσ διαδοχικούσ ϊρτιουσ αριθμούσ που να ϋχουν ϊθροιςμα 12.9. Προςθϋτουμε ςτο 2 ϋναν αριθμό και βρύςκουμε τον αντύςτροφο του 5 . Ποιοσ εύναι ο 12 αριθμόσ ;10. Α) Να ςυγκρύνετε τα κλϊςματα : 2017 ������������������ 2016 2016 2017 Β)Ποιο κλϊςμα πρϋπει να προςθϋςουμε ςτο πρώτο κλϊςμα ώςτε να ϋχουμε ωσ αποτϋλεςμα την μονϊδα ; Γ)Ποιο κλϊςμα πρϋπει να αφαιρϋςουμε από το δεύτερο κλϊςμα ώςτε να ϋχουμε ωσ αποτϋλεςμα την μονϊδα ;11. Αφαιρούμε από το 12 ϋναν αριθμό και βρύςκουμε το τετρϊγωνο του 3 .Πούοσ εύναι ο αριθμόσ ; [56] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΚΕΥΑΛΑΙΟ 5-ΠΟ΢Ο΢ΣΑ [57] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.5.1. ΠΟ΢Ο΢ΣΑΟΡΙ΢ΜΟ΢ Σο ςύμβολο α% ονομϊζεται “ποςοςτό επύ τοισ εκατό” ό απλϊ ποςοςτό και ιςούται με το κλϊςμα  . 100 Σο ςύμβολο α‰ ονομϊζεται “ποςοςτό επύ τοισ χιλύοισ” και ιςούται με  . 1000ΜΕΣΑΣΡΟΠΗ ΠΟ΢Ο΢ΣΟΤ ΢Ε ΚΛΑ΢ΜΑ ό ΢Ε ΔΕΚΑΔΙΚΟ Ένα ποςοςτό α% , ιςούται με  %   . 100΢τη ςυνϋχεια το κλϊςμα  απλοποιεύται όταν αυτό εύναι δυνατό. 100Π.χ. 2% = 2 = 2:2 = 1 , 5% = 5 = 5:5 = 1100 100:2 50 100 100:5 25 Σο κλϊςμα ιςούται με το δεκαδικό που προκύπτει από τη διαύρεςη α :100 .π.χ. 7% = 7 = 0,07 , 15% = 15 = 0,15 100 100 ΜΕΣΑΣΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ ΢Ε ΠΟ΢Ο΢ΣΟ Για να γραφεύ ϋνασ δεκαδικόσ αριθμόσ ςε μορφό ποςοςτού επύ τισ % πολλαπλαςιϊζουμε τον αριθμό επύ το εκατό και προςθϋτουμε το ςύμβολο %. π.χ. 0,36= 36 = 36% , 0,05 = 5 = 5% 100 100 [58] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΜΕΣΑΣΡΟΠΗ ΚΛΑ΢ΜΑΣΟ΢ ΢Ε ΠΟ΢Ο΢ΣΟΈνα κλϊςμα μπορεύ να γραφεύ ςε μορφό ποςοςτού ακολουθώντασ 2 διαδικαςύεσ:1. Σο κλϊςμα  μετατρϋπεται ςτο ιςοδύναμο  οπότε   %.  100  100 π.χ. 1 = 1∙50 = 50 = 50% , 1 = 1∙25 = 25 = 25% 2 2∙50 100 4 4∙25 1002. Διαφορετικϊ, το κλϊςμα  ιςούται με το δεκαδικό που προκύπτει από τη  διαύρεςη  :  . Ο δεκαδικόσ γρϊφεται ςε μορφό κλϊςματοσ  οπότε 100    %.  100 π.χ. 1 = 0,2 = 20% , 12 = 0,24 = 24% 5 50 ΕΤΡΕ΢Η ΠΟ΢Ο΢ΣΟΤ ΜΙΑ΢ ΠΟ΢ΟΣΗΣΑ΢Σο ποςοςτό α% μιασ ποςότητασ Α ιςούται με το γινόμενο:  %     . 100 [59] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.5.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να εξηγόςετε τισ παρακϊτω εκφρϊςεισ. 1) Πόρε αύξηςη 14% 2) Σο 75% του πληθυςμού ϋχει τουλϊχιςτον 2 παιδιϊ 3) Η πιθανότητα να κερδύςω τολ αχεύο εύναι 1% 4) Η ζημιϊ του εμπόρου εύναι 15% 5) Ομιςθόσ του υπαλλόλου αυξόθηκε κατϊ 2,5% 6) ΢το μιςθό του υπαλλόλου γύνονται κρατόςεισ 23% 7) Η τιμό του αυτοκινότου εύναι 9.500 €ςυν 18% ΥΠΑ 8) Ο αςφαλιςμϋνοσ πληρώνει αςφϊλιςτρα 3‰ 9) Ο μεςύτησ παύρνει μεςιτεύα 15‰ 10) Παύρνουμε δϊνειο από την τρϊπεζα με επιτόκιο 15,25%2. Να γραφούν ωσ ποςοςτϊ επύ τοισ εκατό τα παρακϊτω κλϊςματα.2= 4= 5=10 25 507 6 1220 = 60 = 300 = 727 4 900 =10 = 1250 =3. Να υπολογύςετε: 1) ������������ 10% ������������������ 100������������������ώ 2) ������������ 15% ������������������ 300������������������ώ 3) ������������ 45% ������������������ 1 ώ������������������ 4) ������������ 20% ������������������������ύ������������������������ 5) ������������ 55% ������������������������������������������ύ 6) ������������ 25% ������������������������������������������ύ������������������������ύ 7) ������������ 2‰������������������ 250 8) ������������ 25% ������������������ 3������������ 9) ������������25% ������������������ 300 10) ������������ 10% ������������������ 3, 14 11) ������������ 22% ������������������ 0, 25 12) ������������ 40% ������������������ 0,022 13) ������������ 1,1% ������������������ 55 [60] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ4. Σι ποςοςτό εύναι: α Σα 50ευρώ για τα 1000ευρώ β) Οι 30 μϋρεσ για ϋνα ϋτοσ γ) Σα 50 ςτρϋμματα για τα 2500 ςτρϋμματα5. Να γραφούν ωσ ανϊγωγα κλϊςματα τα ποςοςτϊ Α. 33% Β. 76% Γ. 127% Δ. 525‰Ε. 2,7% ΢Σ. 13,25% Ζ. 1,55‰6. Α. Να γραφούν ωσ δεκαδικού τα ποςοςτϊ 5%  12,5%  255%  0,4%  0,0002  1,01 Β. Ναγραφούν ωσ ποςοςτϊ οι δεκαδικού 1,05= 7,23= 22,7  0,04  0,05= 03,5 =7. Να ςυμπληρωθούν τα παρακϊτω κενϊ1) 25% = 1 …………2) 50% = ……… 23) 75% = …….. 44) … . . % = 3 28. Να υπολογιςτεύ το 3,6 % του αριθμού : ������ = 3+04,,21 .01,3−73/·0,3125 (Ε.Μ.Ε. , Θαλόσ) [61] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.5.2.ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΜΕ ΠΟ΢Ο΢ΣΑΒΑ΢ΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΠΟ΢Ο΢ΣΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΕΚΠΣΩ΢ΕΩΝ Έκπτωςη (τελικό τιμό = αρχικό τιμό - ϋκπτωςη)Όταν ςτο ποςό A αξύασ ενόσ αγαθού γύνεται ϋκπτωςη κατϊ ϋνα ποςοςτό α% , τότε:  Σο ποςό Ε τησ ϋκπτωςησ εύναι    %     100  Η τελικό τιμό Σ του αγαθού θα εύναι:            . 100 ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΜΕ ΥΠΑΥ.Π.Α(τελικό τιμό = αρχικό τιμό + φόροσ) Ο Υ.Π.Α. (φόροσ προςτιθϋμενησ αξύασ) εύναι ϋνασ γενικόσ φόροσ ο οπούοσ επιβϊλλεται από το κρϊτοσ ςε όλα τα προώόντα, παρεχόμενεσ υπηρεςύεσ και ςυναλλαγϋσ. Σο ποςοςτό του Υ.Π.Α. αποκαλεύται και ςυντελεςτόσ. Αν ςε ϋνα αγαθό αρχικόσ αξύασ A επιβληθεύ Υ.Π.Α. α%, τότε:  Σο ποςό του Υ.Π.Α. εύναι Υ.Π.Α= %     100  Η τελικό τιμό Σ του αγαθού (με Υ.Π.Α.) εύναι:     %       100[62] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΣΟΚΙ΢ΜΟΤΣόκοσ(τελικό ποςό = αρχικό ποςό + τόκοσ) Σόκοσ εύναι ϋνα ποςό που προςτύθεται ςε ϋνα αρχικό κεφϊλαιο K κϊθε χρόνο. Σο ποςοςτό του τόκου ονομϊζεται επιτόκιο ε%. Ο τόκοσ Σ που αντιςτοιχεύ ςε αρχικό κεφϊλαιο K με επιτόκιο ε% εύναι: .  %    100  Σο νϋο κεφϊλαιο K´ ςτο τϋλοσ του 1ου χρόνου εύναι: Κ’ = Κ + Σ  Κϊθε χρόνο ο τόκοσ κεφαλαιοποιεύται και τοκύζεται με το επιτόκιο ολόκληρο το ποςό του νϋου κεφαλαύου.  Ο τόκοσ που αντιςτοιχεύ ςε κεφϊλαιο K με ετόςιο επιτόκιο ε% για χρονικό διϊςτημα x μηνών, με x < 12 , εύναι:   x     12 100 Α.5.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1. Από 120 υποψηφύουσ που προςόλθαν ςε ϋνα διαγωνιςμό οι 84 απϋτυχαν . Να βρεύτε το ποςοςτό των επιτυχόντων. 2. Για ϋνα κρϊμα από χαλκό και νικϋλιο χρηςιμοποιόθηκαν 27 κιλϊ χαλκού και 9 κιλϊ νικελύου . Να υπολογύςετε το ποςοςτό του νικελύου προσ το χαλκό ςε αυτό το κρϊμα. 3. Ένα δοχεύο περιϋχει 20.000 ml όταν εύναι κατϊ 40% γεμϊτο . Πόςα λύτρα περιϋχει το δοχεύο όταν εύναι πλόρεσ ; 4. Ποιοσ εύναι ο αριθμόσ του οπούου το 40% εύναι το 200 ; 5. Ένα προώόν ενόσ πολυκαταςτόματοσ κοςτύζει χωρύσ το Υ.Π.Α. 35 € . Πόςο θα αγορϊςουμε το προώόν αν το Υ.Π.Α. εύναι 19% ; [63] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ6. ΢ε ϋνα εκλογικό τμόμα κατϊ την καταμϋτρηςη, ςε ςύνολο 1.200 ψηφοφόρων το πρώτο κόμμα ϋλαβε το 45% των ψόφων. ΢τισ εκλογϋσ ςυμμετεύχαν 3 κόμματα. α) Να βρεύτε τον αριθμό των ψηφοφόρων του 1ου κόμματοσ ςτο εκλογικό τμόμα. β) Αν το 2ο κόμμα ϋλαβε 444 ψόφουσ τι ποςοςτό επύ τοισ εκατό των ψόφων πόρε ςτο εκλογικό τμόμα. γ) Να βρεύτε το ποςοςτό και τουσ ψόφουσ του 3ου κόμματοσ ςτο εκλογικό τμόμα.7. Σο ετόςιο επιτόκιο καταθϋςεων μιασ τρϊπεζασ εύναι 3%. Να βρεύτε: α) Πόςο τόκο θα πϊρουμε για αρχικό κεφϊλαιο 15.000€ ςε 2 χρόνια. β) Σι κεφϊλαιο αποδύδει ςτον πρώτο χρόνο τόκο 630€ .8. Ο Κώςτασ αγόραςε μια τηλεόραςη πληρώνοντασ το 30% προκαταβολό και το υπόλοιπο ςε 6 ϊτοκεσ μηνιαύεσ δόςεισ. Αν ο Κώςτασ ϋδωςε για προκαταβολό 500€ να βρεύτε: α) Πόςο κοςτύζει η τηλεόραςη. β) Σο ποςό τησ κϊθε δόςησ.9. Ένα κουτϊκι αναψυκτικού 330g περιϋχει 20% φυςικό χυμό φρούτου και 13 % ζϊχαρη, ενώ το υπόλοιπο εύναι νερό. Να βρεύτε: α) Πόςα g φυςικό χυμό φρούτου περιϋχονται ςτο κουτϊκι. β) Σο ποςοςτό του νερού ςτο αναψυκτικό.10. Ο Γιώργοσ αγόραςε οικιακό εξοπλιςμό αξύασ 33.000€ . Από αυτϊ, το 30%+Υ.Π.Α. τα πλόρωςε τοισ μετρητούσ και τα υπόλοιπα ςε 6 μηνιαύεσ δόςεισ με μηνιαύο επιτόκιο 2% . α) Σι ποςό πλόρωςε αρχικϊ ο Γιώργοσ; β) Σι ποςό πλόρωςε τελικϊ ο Γιώργοσ;11. Ένασ ιχθυοπώλησ αγόραςε ψϊρια που ϋκαναν 250 € και τα πούληςε με ζημιϊ 15%. Πόςο ζημιώθηκε?12. Ένασ ϋμποροσ αγορϊζει το αυτοκύνητο 14.700 € και το πουλϊει 18.816 €. Πόςο % κερδύζει?13. Μϋχρι το προηγούμενο ϋτοσ πλόρωνα κϊθε μόνα ενούκιο 350 €. Φθεσ ο ιδιοκτότησ μου ϋκανε αύξηςη 5%. Πόςα χρόματα θα πληρώνω το χρόνο για ενούκιο?14. Ένα αυτοκύνητο κόςτιζε 20.000 €. Έγινε μια πρώτη αύξηςη κατϊ 10% και μετϊ λύγουσ μόνεσ μια δεύτερη αύξηςη κατϊ 15%. Κϊποιοσ ιςχυρύζεται ότι η τιμό αυξόθηκε ςυνολικϊ κατϊ 25%. Να εξετϊςετε αν εύναι ςωςτό η ϊποψη αυτό.15. Ένα ςπύτι πουλιόταν 105.000 €. Σην 1/11/2014 αυξόθηκε η τιμό του κατϊ 12% και ςτισ 1/3/2015 ελαττώθηκε κατϊ 10%. α) Να βρεύτε την τελικό τιμό του ςκϊφουσ ςτισ 15/4/2015. β)Πόςη θα όταν η τελικό τιμό του ςκϊφουσ, αν αρχικϊ ελαττωνόταν η τιμό του κατϊ 12% και ακολουθούςε αύξηςη κατϊ 10%? [64] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ16. Μια φορητό τηλεόραςη κοςτύζει 120 €. Σην εποχό των εκπτώςεων το κατϊςτημα την πουλϊει 15% φθηνότερα. Πόςο θα μασ κοςτύςει τελικϊ, αν την αγορϊςουμε ςτισ εκπτώςεισ πληρώνοντασ επιπλϋον Υ.Π.Α. 13% ςτην τιμό αγορϊσ?17. Ένασ ϋμποροσ αγόραςε 5 ποδόλατα αξύασ 625 €. Πόςο πρϋπει να πουλόςει το καθϋνα, αν το ποςοςτό κϋρδουσ του εύναι 25%?18. Ένασ ϋμποροσ αγόραςε εμπορεύματα αξύασ 120.000 €. Από αυτϊ πλόρωςε το 30% μετρητούσ και το υπόλοιπο ςε 6 μηνιαύεσ δόςεισ με ςυναλλαγματικϋσ. Ο μηνιαύοσ τόκοσ καθορύςτηκε 1%. Να υπολογύςετε: α) το ποςό κϊθε δόςησ, β) τι ποςό θα αναγραφεύ ςε κϊθε ςυναλλαγματικό μαζύ με τον τόκο και γ) πόςο ςτούχιςαν τελικϊ τα εμπορεύματα.19. Μια τϊξη ϋχει 32 μαθητϋσ. Σα αγόρια εύναι το 60% των κοριτςιών. Πόςα εύναι τα αγόρια και πόςα τα κορύτςια?20. Για εύδη αξύασ 212 ευρώ πληρώςαμε με το ΥΠΑ 230 ευρώ. Να βρεύτε το ςυντελεςτό ΥΠΑ των προώόντων.21. ΢την τςϊντα ενόσ μαθητό υπϊρχουν 26 τετρϊδια και βιβλύα. Αν τα τετρϊδια εύναι το 30% των βιβλύων, πόςα τετρϊδια και πόςα βιβλύα υπϊρχουν ςτην τςϊντα? [65] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΥΑΛΑΙΟ 6 -ΑΝΑΛΟΓΑ-ΑΝΣΙ΢ΣΡΟΥΩ΢ ΑΝΑΛΟΓΑ [66] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A.6.1. ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΗΜΕΙΩΝ ΢ΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Ορθοκανονικό ςύςτημα ημιαξόνων ονομϊζουμε δύο κϊθετουσ ημιϊξονεσ ������������, ������������ με κοινό αρχό το ςημεύο όπου ϋχει οριςτεύ πϊνω τουσ η ύδια μονϊδα μϋτρηςησ.΢το παραπϊνω ςχόμα ϋχουμε ϋνα ορθοκανονικό ςύςτημα ημιαξόνων και ϋνα ςημεύο Μ τουεπιπϋδου.  Ο αριθμόσ α λϋγεται τετμημϋνη του ������ ενώ ο β λϋγεται τεταγμϋνη του ������.  Σο ζεύγοσ (������, ������) λϋγεται διατεταγμϋνο ζεύγοσ επειδό ϋχει ςημαςύα η διϊταξη, δηλαδό η ςειρϊ που γρϊφονται οι αριθμού.  Οι αριθμού του διατεταγμϋνου ζεύγουσ (������, ������) λϋγονται ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου Μ και γρϊφουμε ������(������, ������).  Ο ημιϊξονασ ������������ λϋγεται ημιϊξονασ των τετμημϋνων και ο ημιϊξονασ ������������ λϋγεται ημιϊξονασ των τεταγμϋνων.  Αντύςτροφα κϊθε διατεταγμϋνο ζεύγοσ (������, ������) αντιςτοιχεί ς’ ζνα ςθμείο Μ του επιπζδου. [67] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.6.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε το ορθοκανονικό ςύςτημα ημιαξόνων με μονϊδα 1cm . y χ 1) Να τοποθετόςετε τα ςημεύα : ������(3,7), ������(3,0), ������(7,0), ������(7,7), ������(1,4), ������(7,3), ������(7,2), 2) Nα φϋρετε το ευθύγραμμο τμόμα ������������ και να βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ του μϋςου του. 3) Σι εύδουσ τετρϊπλευρο ςχηματύζεται από τα ςημεύα ������ , ������ , ������ , ������ ; [68] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.6.2.ΛΟΓΟ΢ ΔΤΟ ΑΡΙΘΜΩΝ - ΑΝΑΛΟΓΙΑΛΟΓΟ΢ – ΑΝΑΛΟΓΙΑ Λόγοσ δύο ομοειδών μεγεθών, που εκφρϊζονται με την ύδια μονϊδα μϋτρηςησεύναι το πηλύκο των μϋτρων τουσ.π.χ. ο λόγοσ δύο ,  εύναι   .  Η ιςότητα λόγων λϋγεται αναλογύα.π.χ. δύο αριθμού ,  εύναι ανϊλογοι των  , , όταν   .  Ιδιότητεσ αναλογιών : Αν    τότε        Αν    τότε            Αν    τότε    και αν   με  0 τότε      ΚΛΙΜΑΚΑ Κλύμακα ονομϊζεται ο λόγοσ τησ απόςταςησ δύο ςημεύων μιασ εικόνασ ενόσ αντικειμϋνου προσ την πραγματικό απόςταςη των δύο αντύςτοιχων ςημεύων του αντικειμϋνου. Αν η κλύμακα εύναι μεγαλύτερη του 1, λϋμε ότι ϋχουμε μεγϋθυνςη ενώ Αν η κλύμακα εύναι μικρότερη του 1 , λϋμε ότι ϋχουμε ςμύκρυνςη. Δύο ςχόματα λϋγονται όμοια, όταν το ϋνα αποτελεύ ςμύκρυνςη ό μεγϋθυνςη του ϊλλου ό εύναι ύςα. [69] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.6.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Αν ανακατϋψουμε 2 κιλϊ κόκκινο χρώμα και 3 κιλϊ κύτρινο χρώμα , φτιϊχνουμε μια ςυγκεκριμϋνη απόχρωςη του πορτοκαλύ. Αν ανακατϋψεισ 5 κιλϊ κόκκινο χρώμα και 6 κιλϊ κύτρινο χρώμα ,θα πϊρεισ την ύδια απόχρωςη?2. ΢ε μια φωτογραφύα το ύψοσ μιασ γυναύκασ εύναι 4 cm, ενώ το πραγματικό τησ ύψοσ εύναι 1,72 m. Πόςο ϋχουν ςμικρυνθεύ όλα τα αντικεύμενα τησ φωτογραφύασ;3. ΢ε χϊρτη κλύμακασ 1:500.000 η απόςταςη δύο πόλεων εύναι 75cm. Ποια εύναι η πραγματικό τουσ απόςταςη;4. Οι διαςτϊςεισ ενόσ οικοπϋδου ςχόματοσ ορθογωνύου ςε ϋνα ςχϋδιο με κλύμακα 1:200 εύναι 15 cm και 12 cm. Ποιεσ εύναι οι πραγματικϋσ διαςτϊςεισ του οικοπϋδου; [70] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A.6.3.-A.6.4. ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟ΢Α – ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟ΢ΩΝ-ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΦΕ΢ΕΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ΢ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟ΢Α Δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα, αν μεταβϊλλονται με τϋτοιο τρόπο, ώςτε όταν οι τιμϋσ του ενόσ πολλαπλαςιϊζονται με ϋναν αριθμό, τότε και οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου να πολλαπλαςιϊζονται με τον ύδιο αριθμό.  Δύο ποςϊ x και y εύναι ανϊλογα, όταν οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ τουσ δύνουν πϊντα το ύδιο πηλύκο y   . x  Σο πηλύκο  λϋγεται ςυντελεςτόσ αναλογύασ.  Σα ανϊλογα ποςϊ x και y ςυνδϋονται με τη ςχϋςη y   x , όπου  ο ςυντελεςτόσ αναλογύασ.  Σα ςημεύα που αντιςτοιχούν ςτα ζεύγη τιμών (x, y) δύο αναλόγων ποςών βρύςκονται πϊνω ςε μια ημιευθεύα με αρχό την αρχό Ο(0, 0) των ημιαξόνων. Όταν το ποςό ������ εύναι ποςοςτό του ποςού ������, τα δύο ποςϊ ςυνδϋονται με τη ςχϋςη y    x και εύναι ανϊλογα με ςυντελεςτό αναλογύασ το  ό  % . 100 100 Δηλαδό, δύο ποςϊ που ςυνδϋονται με ποςοςτιαύα ςχϋςη εύναι ποςϊ ανϊλογα. , εϊν το α=1 τότε : Δπιμέλεια : Θέου ΝάντιαΓια να διαπιςτώςουμε αν δύο ποςϊ εύναι ανϊλογα,χρηςιμοποιούμε τα παρακϊτω: 1. Σον οριςμό των αναλόγων ποςών. 2. Ση ςχϋςη y   x ό τη ςχϋςη y   . x [71]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.6.3. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να εξετϊςετε αν τα οι παρακϊτω πύνακεσ εύναι πύνακεσ ανϊλογων ποςών: x347 y 6 14 15x 4 12 21.9 14.8 28y 5 15 27.4 18.5 352. Να ςυμπληρωθεύ ο παρακϊτω πύνακασ ώςτε να γύνει πύνακασ ανϊλογων ποςώνx ……….. 3 …….. 1.5y 4.2 21 42 ……..3. Δυο πόςα ������ και ������ εύναι ανϊλογα με ςυντελεςτό αναλογύασ ������ = 1,5. 1) Ποια εύναι ο μαθηματικόσ τύποσ που ςυνδϋει τα δυο πόςα? 2) Να ςυμπληρώςετε των παρακϊτω πινϊκα x 0 1 0,3 y3 3) Ποια ςημεύα αναπαριςτούν τα παραπϊνω ζεύγη (x,y) ; 4) ΢χεδύαςε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςχϋςησ αναλογύασ των ποςών x και y ςε ϋνα ορθοκανονικό ςύςτημα ημιαξόνων.[72] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.6.4.-5. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Από 100Kg ςταφύλια βγαύνουν 80Kg μούςτοσ .Ένασ αμπελουργόσ θϋλει να γεμύςει με μούςτο 10 βαρϋλια των 300Kg το καθϋνα. α) Ποςϊ κιλϊ μούςτο πρϋπει να παρϊξει? β) Ποςϊ κιλϊ ςταφύλια τησ ύδιασ ποιότητασ πρϋπει να πατόςει?2. Ένασ πϊςςαλοσ ύψουσ 1,2m ρύχνει ςκιϊ 3m .Σην ύδια ςτιγμό ϋνα δϋντρο ρύχνει ςκιϊ 14m .Αν γνωρύζεισ ότι τα ποςϊ ύψοσ –ςκιϊ εύναι ανϊλογα να ςυμπληρώςεισ των παρακϊτω πύνακα και να βρεισ το ύψοσ του δϋντρου. Ύψοσ ΢κιϊ3. Ένα φυτό ύψουσ 80 ������������ ρύχνει ςκιϊ 50 ������������. Σην ύδια ςτιγμό ϋνα δϋντρο ρύχνει ςκιϊ 8 ������. Αν γνωρύζουμε ότι τα ποςϊ ύψοσ - ςκιϊ εύναι ανϊλογα, να βρεύτε το ύψοσ του δϋντρου.4. Σο βϊροσ μασ ςτο φεγγϊρι και το βϊροσ μασ ςτη γη εύναι ποςϊ ανϊλογα. Ένασ αςτροναύτησ ζυγύζει ςτο φεγγϊρι 13������������ και ςτη γη 78������g .Πόςο θα ζυγύζει ςτο φεγγϊρι ϋνα παιδύ που ςτη γη ϋχει βϊροσ 52 ������������?5. Για να φτιϊξουμε 10 ������������ ψωμύ χρειαζόμαςτε 7,5 ������������ αλεύρι. Πόςα κιλϊ ψωμύ θα φτιϊξουμε με 8 ������������ αλεύρι;6. Ένα κατϊςτημα αγόραςε 20 ζεύγη υποδημϊτων με 40 € το καθϋνα και τα διϋθεςε με 50% κϋρδοσ. Σα τελευταύα πϋντε ζευγϊρια τα πούληςε την περύοδο των εκπτώςεων με ϋκπτωςη 30%. Να βρεύτε το τελικό ποςοςτό κϋρδουσ.7. Σα 40 ������������ ελιϋσ βγϊζουν 5 ������������ λϊδι. Πόςα κιλϊ ελιϋσ πρϋπει να ϋχουμε για να βγϊλουμε 120 ������������ λϊδι;8. Σο ςιτϊρι ςτο ϊλεςμα χϊνει 25% του βϊρουσ του , το αλεύρι αυξϊνει το βϊροσ του ςτο ζύμωμα κατϊ 50 % , ενώ το ζυμϊρι χϊνει ςτο ψόςιμο 205 του βϊρουσ του. Να βρεύτε : α) Πόςα κιλϊ ψωμύ θα πϊρουμε από 100 κιλϊ ζυμϊρι ; β) Πόςο ςιτϊρι χρειαζόμαςτε για να πϊρουμε 1800 κιλϊ ψωμύ ; γ) Πόςο ψωμύ θα πϊρουμε από 4 τόνουσ ςιτϊρι ; [73] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥA.6.6. ΑΝΣΙ΢ΣΡΟΥΩ΢ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟ΢ΑΑΝΣΙ΢ΣΡΟΥΩ΢ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟ΢Α Δύο μεγϋθη ονομϊζονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα όταν μεταβϊλλονται με τϋτοιο τρόπο ώςτε, όταν οι τιμϋσ του ενόσ πολλαπλαςιϊζονται με ϋναν αριθμό τότε οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου να διαιρούνται με τον ύδιο αριθμό.  Δύο ποςϊ x και y εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα, όταν το γινόμενο των αντιςτούχων τιμών τουσ παραμϋνει ςταθερό: y  x  ,   0 .  Αν ������ = 1, τα x και y εύναι αντύςτροφοι αριθμού.  Σα ςημεύα που παριςτϊνουν τα ζεύγη (������, ������) δύο αντιςτρόφων αναλόγων ποςών βρύςκονται πϊνω ςε μια καμπύλη γραμμό, που ονομϊζεται υπερβολό.  Η υπερβολό δεν τϋμνει τουσ ημιϊξονεσ ������������ και ������������, διότι οι ςυντεταγμϋνεσ των ςημεύων τησ δεν παύρνουν την τιμό 0.Για να διαπιςτώςουμε αν δύο ποςϊ εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα,χρηςιμοποιούμε τα παρακϊτω: 1. Σον οριςμό των αντιςτρόφωσ αναλόγων ποςών. 2. Ση ςχϋςη y  x  ,   0 [74] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.6.6. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Ποιοι από τουσ παρακϊτω πινϊκεσ εύναι πινϊκεσ τιμών αντιςτρόφωσ αναλόγων ποςώνx15 5 5 x 0,25 0,4 0,5 y 10 6,25 5y51 2 1 55 x 2 7 11 y85 62. Αν τα ποςϊ x και y εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα να ςυμπληρώςετε τον πύνακα και να ςχεδιϊςετε την υπερβολό ςε ϋναν ορθοκανονικό ςύςτημα ημιαξόνων.x2 6 15 10 30 15y 42Ποια εύναι η μαθηματικό ςχϋςη που ςυνδϋει τα δυο ποςϊ?3. ΢’ ϋνα αγρόκτημα τοποθϋτηςαν ντομϊτεσ ςε 50 καφϊςια των 12 Kg το καθϋνα. Ποςϊ καφϊςια των 20Kg χρειϊζονται για να τοποθετόςουν την ύδια ποςότητα από ντομϊτεσ? Αν το κϊθε καφϊςι των 12Kg ςτοιχύζει 0,28€ ενώ των 20Kg 0,46€, ποια ςυςκευαςύα τουσ ςυμφϋρει, ώςτε να ελαχιςτοποιόςουν το κόςτοσ ςυςκευαςύασ του προώόντοσ τουσ?4. Για την αναδϊςωςη μιασ πλαγιϊσ εργϊςτηκαν 20 εργϊτεσ 10 ημϋρεσ. Αν προςλϊβουμε περιςςότερουσ εργϊτεσ τότε αυτού θα χρειαςτούν περιςςότερεσ ό λιγότερεσ μϋρεσ για να αναδαςώςουν την ύδια πλαγιϊσ? Πόςοι εργϊτεσ τησ ύδιασ απόδοςησ χρειϊζονται για να αναδαςώςουν την ϋκταςη αυτό ςε 8 ημϋρεσ? [75] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΚΕΥΑΛΑΙΟ 7-ΘΕΣΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [76] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A.7.1. ΘΕΣΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Η ΕΤΘΕΙΑ ΣΩΝ ΡΗΣΩΝ-ΣΕΣΜΗΜΕΝΗ ΢ΗΜΕΙΟΤ ΢ΤΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Υυςικού Αριθμού ℕ = *0,1,2,3,…..+ Ακϋραιοι Αριθμού ℤ= *……,-2,-1,0,1,2,……+ Ρητού Αριθμού ℚ= { ������ , ������, ������ ������������ϋ������������������������������ ������������������ ������ ≠ 0} (δεκαδικού, περιοδικού δεκαδικού ������ αριθμού) ΟΡΙ΢ΜΟΙ Πρόςημα λϋγονται τα ςύμβολα «+» και «–» και τα γρϊφουμε πριν από τουσ αριθμούσ. Θετικόσ λϋγεται ο αριθμόσ που ϋχει πρόςημο «+», Ενώ αρνητικόσ λϋγεται ο αριθμόσ που ϋχει πρόςημο «–».  Σο 0 δεν εύναι ούτε θετικόσ ούτε αρνητικόσ αριθμόσ. Ομόςημοι λϋγονται οι αριθμού που ϋχουν το ύδιο πρόςημο. π.χ. +2, +3 Ετερόςημοι λϋγονται δύο αριθμού που ϋχουν διαφορετικό πρόςημο. π.χ. -3 ,+7 ΢τον ϊξονα των αριθμών δεξιϊ του 0 εύναι οι θετικού αριθμού και αριςτερϊ του οι αρνητικού. Ο ημιϊξονασ Ox λϋγεται θετικόσ ημιϊξονασ. Ο ημιϊξονασ Ox΄ λϋγεται αρνητικόσ ημιϊξονασ. Αν ϋνα ςημεύο Α του ϊξονα των αριθμών αντιςτοιχύζεται ς’ ϋναν αριθμό α, τότε ο αριθμόσ α λϋγεται τετμημϋνη του ςημεύου Α. [77] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΑ.7.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ������)Να κατατϊξετε τουσ παρακϊτω αριθμούσ ςε ομϊδεσ, τουσ θετικούσ, τουσ αρνητικούσ , τουσ φυςικούσ και τουσ ακϋραιουσ :33 3−5 ,3 , 4 , 0 , −1,8 , − 2 , +3 2 , 2,1 ,5 2������)Να παραςτόςετε ςε ϋναν ϊξονα τουσ παραπϊνω ρητούσ. A.7.2. ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΙΜΗ ΑΡΙΘΜΟΤ-ΑΝΣΙΘΕΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-΢ΤΓΚΡΙ΢Η ΡΗΣΩΝ ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΢ΗΜΕΙΩΝΑπόςταςη δυο ςημεύων Α και Β εύναι το μόκοσ του τμόματοσ ΑΒ και ςυμβολύζεται με (ΑΒ) ό ΑΒ. ΑΒΑΠΟΛΤΣΗ ΣΙΜΗΗ απόλυτη τιμό ενόσ ρητού αριθμού α εκφρϊζει την απόςταςη του ςημεύου μετετμημϋνη από την αρχό Ο του ϊξονα και ςυμβολύζεται με ������ .Γενικϊ ιςχύει ������ ≥ 0.[78] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ  Αντύθετοι λϋγονται οι αριθμού που ϋχουν ύδια απόλυτη τιμό και αντύθετο πρόςημο. Αλλιώσ , αντύθετοι λϋγονται οι αριθμού που ϋχουν ϊθροιςμα 0. Ο αντύθετοσ του ������ εύναι ο – ������ και ιςχύει |– ������| = |������|.  Αντύςτροφοι λϋγονται δυο μη μηδενικού αριθμού , 1 που ϋχουν γινόμενο 1.  Οι αντύςτροφοι αριθμού εύναι πϊντα ομόςημοι. ΢ΤΓΚΡΙ΢Η ΡΗΣΩΝ Μεγαλύτεροσ από δύο ρητούσ αριθμούσ εύναι εκεύνοσ που βρύςκεται δεξιότερα από τον ϊλλο ςτον ϊξονα. Μεγαλύτεροσ από δύο θετικούσ ρητούσ , εύναι εκεύνοσ που ϋχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό ενώ Μεγαλύτεροσ από δυο αρνητικούσ ρητούσ , εύναι εκεύνοσ που ϋχει τη μικρότερη απόλυτη τιμό. Κϊθε θετικόσ εύναι μεγαλύτεροσ από το μηδϋν. Κϊθε αρνητικόσ αριθμόσ εύναι μικρότεροσ από το μηδϋν. Κϊθε θετικόσ αριθμόσ εύναι μεγαλύτεροσ από κϊθε αρνητικό αριθμό. [79] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.7.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ: 1) ������������ ������ = 17 ������ό������������ − ������ = … … … … … 2) ������������ x  7,8 ������ό������������ x  … … … … … 3) ������������ x   2 ������ό������������ x  … … … … … 9 4) ������������ − ������ = 2 ������ό������������ ������ = … … … … … 3 5) ������������ − ������ = −3 ������ό������������ x  … … … … …2. Να βρεθεύ ο προηγούμενοσ και ο επόμενοσ των ακεραύων: 7,  2,  4, 0, 13. Να βρεύτε ποιοι αριθμού ϋχουν απόλυτη τιμό: α. 8 β. 5,1 γ. 0 δ. –74. Αν για την μεταβλητό x ιςχύει x| < 5, να βρεύτε όλεσ τισ ακϋραιεσ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ x.5. Να βρεύτε: α. όλουσ τουσ ακϋραιουσ αριθμούσ πού ϋχουν απόλυτη τιμό μικρότερη του 7. β. όλουσ τουσ ακϋραιουσ αριθμούσ πού ϋχουν απόλυτη τιμό μικρότερη ό ύςη του 4. γ. όλουσ τουσ ακϋραιουσ αριθμούσ πού ϋχουν απόλυτη τιμό μικρότερη ό ύςη του 1. δ. όλουσ τουσ ακϋραιουσ αριθμούσ πού ϋχουν απόλυτη τιμό μικρότερη του -10.6. Να βρεύτε 4 θετικούσ ρητούσ αριθμούσ που να ϋχουν απόλυτη τιμό μεγαλύτερη του 3.7. Να βρεύτε 4 αρνητικούσ ρητούσ αριθμούσ που να ϋχουν απόλυτη τιμό μεγαλύτερη του 3.8. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:a) 5  4  2 Δπιμέλεια : Θέου Νάντιαb) 3  7  2  5c) 1,12  4,88  4  4d ) 1  2 3  3 1   1 2 5 10 4e) 0, 5  3 3  2 1   1 423f ) 3, 22  5, 2  5, 42  3, 52 [80]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ9. Να ςυγκριθούν οι αριθμού ςε κϊθε περύπτωςη:������. – 8 … . – 15 ������. – 32 … … 5 ������. – 22 … … 0 ������. 15 … … 0 ������. – 30 … … 2 2………-2 -4θ. 2 ………- 3������������. – 5,1 ������������������ − 5,01 ������. − η. − 3………- − 57 5 15 15 410. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ με ϋνα από τα ςύμβολα <, =, > ϋτςι ώςτε η ςχϋςη που προκύπτει να εύναι αληθόσ.������. – 8 . . . . . – 10 ������. – 9. . . . . . – 7 ������. 10. . . . . . – 30 ������. 5. . . . . . |– 5|������. – 9. . . . . . – |– 9| ������. – 0,3. . . . . . |– 0,3| ������������. – 6. . . . . . – |– (– 6)| ������. 12. . . . . . – |– 12|A.7.3 ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΡΗΣΩΝ Για να προςκζςουμε δφο ι περιςςότερουσ ομόςθμουσ ρθτοφσ αρικμοφσ, προςκζτουμε τισ απόλυτεσ τιμζσ τουσ και ςτο άκροιςμα βάηουμε το κοινό τουσ πρόςθμο. Για να προςκζςουμε δφο ετερόςθμουσ ρθτοφσ αρικμοφσ, κρατάμε το πρόςθμο του μεγαλφτερου και αφαιροφμε τθν μικρότερθ από τθν μεγαλφτερθ απόλυτθ τιμι. [81] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.7.3. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ΢ωςτό – Λϊθοσ. 1) Σο ϊθροιςμα δύο ετερόςημων αριθμών εύναι θετικόσ αριθμόσ. 2) Αν το ϊθροιςμα ομόςημων ρητών εύναι θετικόσ αριθμόσ, τότε οι ρητού εύναι θετικού. 3) Αν το ϊθροιςμα δύο ετερόςημων αριθμών εύναι αρνητικόσ, τότε μεγαλύτερη 4) Αν το ϊθροιςμα ομόςημων ρητών εύναι αρνητικόσ, τότε οι ρητού εύναι αρνητικού. 5) Αν α + β = 0, τότε οι α και β εύναι αντύθετοι. 6) Αν αλλϊξουμε τη ςειρϊ των προςθετϋων προκύπτει αντύθετο αποτϋλεςμα. 7) Αν αλλϊξουμε τα πρόςημα των προςθετϋων προκύπτει αντύθετο αποτϋλεςμα. 8) Η απόλυτη τιμό του αθρούςματοσ ιςούται με το ϊθροιςμα των απόλυτων τιμών μόνο όταν οι αριθμού εύναι θετικού. 9) Όταν οι προςθετϋοι εύναι ετερόςημοι , η απόλυτη τιμό του αθρούςματοσ εύναι μικρότερη από το ϊθροιςμα των απόλυτων τιμών τουσ.2. Να υπολογύςετε τα αθρούςματα: ������. (+ 12) + (+ 18) = ������. (– 23) + (– 17) = ������. (+ 5) + (+ 8) = ������������. (– 2) + (– 10) + (– 1) = ������. (– 3) + (– 7) = ������. (+3) + (+ 5) + (+ 9) = ������ ) .− 5/ + .− 5/ = ������) .+ 5/ + (−2,5) = 22 2 ������) 0 + (−12,43)= [82] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ ώςτε να εύναι ςωςτϊ τα αποτελϋςματα 1) .......5 .......7  12 2) .......3 .......5  2 3) .......3 .......5  2 4) .......9,2 .......3,8 13 5) 3 .........  3 6) 3 .........  3 7) 7 .........  0 8) 3 .........  3 A.7.4. ΑΥΑΙΡΕ΢Η ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να αφαιρϋςουμε ϋνα ρητό β από ϋνα ϊλλο ρητό α , προςθϋτουμε ςτο μειωτϋο τον αντύθετο του αφαιρετϋου. Δηλαδό : ������ − ������ = ������ + (−������) ΑΠΑΛΟΙΥΗ ΠΑΡΕΝΘΕ΢ΕΩΝ Για να απαλεύψουμε τισ παρενθϋςεισ από μύα αριθμητικό παρϊςταςη ελϋγχουμε : Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο «+» ό δεν ϋχει καθόλου πρόςημο, τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με τα πρόςημα τουσ. Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο «  », τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με αντύθετα πρόςημα. [83] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.7.4. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να υπολογύςετε τισ διαφορϋσ:α. (– 15) – (– 3) β. (+ 6) – (+ 13) γ.(+ 27) – (+ 3) δ. (–2) – (– 8)ε. (+ 51) – (+ 7) ζ. (– 16) – (– 10) η. (+ 7) – (+ 7) θ. 0 – (+ 3)2. Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ :������. (+4) – (. . .8) = – 4 ������. (– 3) – (. . .4) = +1 ������. (. . . 4) – (– 5) = +1������. (. . .5) – (– 3) = +8 ������. (+3) – (– . . . ) = . . . 10 ������. (. . .4) – (+2) = – 6 ������������. (– 9) – (. . .2) = – 11ι. (. . . ) – (– 20) = +5 ������. (– . . . ) – (+9) = . . . 17 ������. (. . . ) – (– 5) = – 73. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:������. (– 12) – (+ 3) – (– 3), ������. (+ 3) – (– 7) + (– 3) – (+ 5),������. (– 11) + (– 13) – (– 2) – (+ 5), ������. (+ 13) – (+ 3,4) – (– 17,6) + (– 1)ε. – 20 + – 0,1 – – 2 + (+ 5)ζ. – 11 + – 13 – – 2 – (+ 5) − (– 2) + (– 13) – (– 12) – (+ 5)η..− 5 / − (− 2 )θ . (−15) − (+ 1)30 15 74. Αν α = + 2, β = – 3, γ = – 6 και δ = + 5, να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων:α. Α = – α + β – γ – δ, β. Β = α – β + γ – 75. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων������ = (5 + 7 + 12) − 3 + 8 + 6 − 1=������ = −(2 + 4 − 5) − (−4)=������ = − . 7 − 1/ − 3 + 1 − 5= 15 5 3������ = 0,6 − [−(2,3 + 4,6) + 4,3]=������ = −2,4 − [−3 − (−2 + 12)] + (−3)= [84] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ6. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων 1) Α = (α − γ) − (β − γ) − (α − β) 2) Β = 8 − (α − β + γ) + (α − β) − (−γ − β) − β + 3 3) Γ = 5 − (1 − α) + (β − γ) − (α + β − γ)7. Να γύνουν οι πρϊξεισ1)    1     2    0, 5    3     2     1   2   3   4   3   4 2) 1    1     2     5     5  12  2   3   4   6 3) 2   1  1  1    3  2  5  3  4 5 6   4 5 6 4) 2 3  1 2  7  1     4  3 1 4  5 5 10 2   5 10 5 A.7.5. ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ ΡΗΣΩΝ Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ομόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «+». Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ετερόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «–». ΚΑΝΟΝΑ΢ ΠΡΟ΢ΗΜΩΝ Δπιμέλεια : Θέου Νάντια (+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+) (+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−) [85]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΓια να πολλαπλαςιϊςουμε πολλούσ παρϊγοντεσαρκεύ να πολλαπλαςιϊςουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ των παραγόντων και να μετρόςουμε το πλόθοσ των αρνητικών προςόμων. Αν το πλόθοσ εύναι ϊρτιο το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο θετικό (+), ενώ αν το πλόθοσ εύναι περιττό το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο αρνητικό. Αν ϋνασ παρϊγοντασ εύναι 0, τότε το γινόμενο θα εύναι 0.1. Να υπολογύςετε τα γινόμενα: Α.7.5. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1) (+15) · (+6) = Δπιμέλεια : Θέου Νάντια 2) (+7) · (+9) = 3) (+15) · (+6) · (−1) · (−2) = 4) – 3 · – 8 = 5) (−1) · (−1) · (−1) · (−2) = 6) (–6) · 0 = 7) (-2) · (− 35)= 8) (+13) · (–2)= 9) (+2) · (–2)= 10) 12·.− 4/·(−1)= 3 11) .− 4/ · .− 5/ · .− 4 /= 3 2 10 12) – 0,001 · (−100) · (−1) = [86]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ2. Αν α = –1 , β = –4 και γ = +2, να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων:������. ������ = 3������ – 2������ + 5 ������. ������ = ������������ – ������������������ + ������������. ������ = ������ – ������������ + 2������, ������. ������ = (2������ – ������) · (������ – 3������)3. Να βρεύτε όλουσ τουσ ακϋραιουσ a και b ώςτε :1) a b  102) a b  83) a b 14) a b  24. Να εξετϊςετε αν τα παρακϊτω γινόμενα εύναι θετικϊ ό αρνητικϊ. 1234...4950 123456...49505. Να υπολογύςετε το γινόμενο x 3x 1x 1x 3 για x  2A.7.6 ΔΙΑΙΡΕ΢Η ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΙΑΙΡΕ΢Η ΡΗΣΩΝ Για να διαιρζςουμε δυο ρθτοφσ αρικμοφσ, διαιροφμε τισ απόλυτεσ τιμζσ τουσ και ςτο πθλίκο βάηουμε:  το πρόςθμο «+», αν είναι ομόςθμοι .  και το πρόςθμο «–», αν είναι ετερόςθμοι . Αλλιώσ, η διαύρεςη  γρϊφεται και ωσ   1 , επομϋνωσ για να διαιρϋςουμε δύο   ρητούσ, πολλαπλαςιϊζουμε ςτον διαιρετϋο τον αντύςτροφο του διαιρϋτη. Δεν ορύζεται η διαύρεςη με διαιρϋτη το 0. [87] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.7.6. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να υπολογύςετε τα πηλύκα:α. (+15) : (+3), β. (–24) : (–8) , γ. (–45) : (+9), δ. (+39) : (–13)2. Να γρϊψε ςτην απλούςτερη δυνατό μορφό τουσ τα κλϊςματαa) 7 , b) 9 , c)  3 , d) 4 , e)    2  , f )   4  , g)    2  5 16 8 8  3  5   5 3. Να γύνουν οι διαιρϋςεισ : 1) – .− 2/ : ( 4 ) = 55 2) .− 1/ : . 4 / = 5 12 3) – .+ 7/ : ( 9 ) = 87 4) – .− 5 / : ( 3 ) = 15 5 5) 1 : ( − 4 ) = 25 6) – 4 : ( 4 ) = 36 7) – .− 12/ : (− 3 ) 56 8) – .− 3/ : 10 434. Να γύνουν οι διαιρϋςεισ :1) . 7 − 2/ : ( 4 ) = 10 5 52) .3 + 2/:(7)= 10 15 33) .2 − 1 / : ( 4 ) = 8 40 5 [88] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ4) .7 − 1 / : ( 1 ) = 30 25) 1 : 2 · .7 − 2/ = 4 355. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ :1)  3  2  5  : 9  7 21 42  352)  35  7 : 3  2   4 103) 1 : 2 : 3  1 : 5  2  1    9 4)  4 : 1   3  2  1 4  5 2  5 3 5 6. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ :1) 3x  62) 2x  53) 6x  184) 5x   2 35)  3 x  2 57. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ :1) 2 · ,−2 · (−4) − (−1 − 3 − 5) − (−3)-=2) (−2) · (−4) · ,−1 · (−1) · (−1) + 23-=3) .4 + 3 + 12016 + 20160/ · ( 1 ) = 524) 120 + 7 · (−2) + .1 + 3/ = 325) −(−4 + 2)— ,−5 + (−3 + 9) − (−11 − 4 + 3)- − (−8 + 15) =8. Να υπολογύςετε το αποτϋλεςμα τησ παρϊςταςησ Π=������ · ������ + ������Αν ������ = 1 + 3 Β=4 · 1 και Γ=������: ������ 2 5 53 [89] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ9. ������) Να βρεθούν οι αριθμού :������ = .2 : 4 − 1/ · 4 ������������������ ������ = .3 + 1 : 3/:21 39 3 4 28 2������) Να διατϊξετε τουσ αριθμούσ Γ=1-Α , Δ=1-Β , Ε=1-Α:Β από τον μικρότερο ςτον μεγαλύτερο όπου Α και Β εύναι οι αριθμού του προηγούμενου ερωτόματοσ.10. Αν α=(32 − 23)·(3+2·3) και β=(3 + 4)2 − (2 · 7 − 4) + 2 · (32 − 23)15 + 22������ ) Να υπολογύςετε τα ������ και ������.������) Να βρεύτε το ������. ������. ������(������ , ������) .11. Να γύνουν οι πρϊξεισ :1) .− 3/ · .+ 4/ = 582) (−3) · (+4) · (−1) · (−1) =3) (−15): (−5) =4) (− 8): .− 3/ = 755) – (−3 + 12 − 4)— 5— 4 =6) – (−5)— 5 ∙ (−7) =7) – (−3) − (+7) − (−3) ∙ (+4) − 2 ∙ (−4)=8) −6 ∙ (+4 − 3) − (−2) − (−1) ∙ (−1) =9) – .1 − 10/ + .1 − 7 / =33 5 1010) (4 − 5)∙ .5 − 5/ = 6 9312. α) Να υπολογιςτούν οι παρακϊτω αριθμητικϋσ παραςτϊςεισ.Α=(−6) ∙ .− 3/ − .2 − 5/ : 1 2 22Β=13 − 14 ∙ (−7) + (8 − 23) + 22β) Να δεύξετε ότι ������2 = ������13. Δύνονται οι παραςτϊςεισ :������ = 52 − 4 ∙ 5 + (23: 4 − 1) ∙ 2 − 6 ������������������������ = (−1) ∙ (−2) ∙ (−3) − 4: (−2) − (3 − 4) ∙ (−2) − (−1)α) Να δεύξετε ότι ������ = +1 ������������������ ������ = −5. Δπιμέλεια : Θέου Νάντιαβ) Να βρεθεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ ������ + ������ + 1 . 22 [90]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΓΕΩΜΕΣΡΙΑ [91] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟ΢ ΒΚΕΥΑΛΑΙΟ 1- ΒΑ΢ΙΚΕ΢ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΕ΢ ΕΝΝΟΙΕ΢ [92] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.1. ΢ΗΜΕΙΟ-ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟ ΣΜΗΜΑ –ΕΤΘΕΙΑ-ΗΜΙΕΤΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕΔΟ- ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ  Σο ςημεύο δεν ϋχει διαςτϊςεισ. Εύναι το μικρότερο γεωμετρικό ςχόμα και περιγρϊφεται με μύα τελεύα και ϋνα κεφαλαύο γρϊμμα.  Η ϋνωςη δύο ςημεύων Α και Β δημιουργούν ϋνα ευθύγραμμο τμόμα με ϊκρα Α και Β. Σο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ, που ϋχει αρχό το Α και δεν ϋχει τϋλοσ ονομϊζεται ημιευθεύα ������������ ό ������������. Δύο ημιευθεύεσ λϋγονται αντικεύμενεσ ημιευθεύεσ αν: 1. Έχουν κοινό αρχό. 2. Περιϋχονται ςτην ύδια ευθεύα. 3. Δεν ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο. Ένα ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ, το οπούο δεν ϋχει αρχό ούτε τϋλοσ ονομϊζεται ευθεύα , την οπούα ςυμβολύζουμε με μικρϊ γρϊμματα . π.χ. ������’������ ό (ε). Απο ϋνα ςημεύο διϋρχονται ϊπειρεσ ευθεύεσ. Απο δύο ςημεύα διϋρχεται μοναδικό ευθεύα. [93] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΕΠΙΠΕΔΟ Η επιφϊνεια πϊνω ςτην οπούα εφαρμόζει παντού η ευθεύα γραμμό λϋγεται επύπεδο.  Σο επύπεδο επεκτεύνεται απεριόριςτα.  Σο ςυμβολύζουμε με κεφαλαύα γρϊμματα π.χ. Α, Π, ΢. Απο ϋνα ό δύο ςημεύα διϋρχονται ϊπειρα επύπεδα. Απο τρύα μη ςυνευθειακϊ ςημεύα διϋρχεται μοναδικό επύπεδο. Κϊθε ευθεύα ενόσ επιπϋδου το χωρύζει ςε δύο ημιεπύπεδα. B.1.1. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Ποια ευθύγραμμα ςχόματα ϋχουν δημιουργηθεύ από τισ ευθεύεσ του παρακϊτωςχόματοσ; Α ΒΓ ΔΕ Θ Η Ζ2. ΢το παρακϊτω ςχόμα να ονομϊςετε όλα τα ςημεύα και όλα τα ευθύγραμμα τμόματα.3. ΢ε μια ευθεύα (ε) να πϊρετε τρύα ςημεύα Α, Β και Γ. Να ονομϊςετε όλεσ τισ ημιευθεύεσ που ορύζονται από αυτϊ. Ποιεσ από αυτϋσ εύναι αντικεύμενεσ; [94] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β.1.2. ΓΩΝΙΑ-ΓΡΑΜΜΗ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΢ΦΗΜΑΣΑ-ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΑ ΢ΦΗΜΑΣΑ-Ι΢Α ΢ΦΗΜΑΣΑ ΓΩΝΙΑ Ο χώροσ μεταξύ δύο ημιευθειών ������������ και ������������ καλεύται κυρτό γωνύα και ο εξωτερικόσ χώροσ μη κυρτό. Οι ������������ και ������������ λϋγονται πλευρϋσ τησ γωνύασ και το ςημεύο Ο κορυφό. ΢υμβολύζουμε την παραπϊνω γωνύα ωσ xOˆy ό ˆ . ΣΡΙΓΩΝΑ Ένα τρύγωνο ϋχει 3 γωνύεσ ˆ , ˆ , ˆ . Η γωνύα ˆ περιϋχεται ςτισ πλευρϋσ ΑΒ και ΑΓ και βρύςκεται απϋναντι από την πλευρϊ ΒΓ. Οι γωνύεσ ˆ , ˆ εύναι προςκεύμενεσ τησ πλευρϊσ ΒΓ. Αντύςτοιχα ςυμβαύνει ςτισ ϊλλεσ γωνύεσ. [95] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΕΤΘΤΓΡΑΜΜΑ ΢ΦΗΜΑΣΑ Σεθλαςμϋνη γραμμό εύναι μύα γραμμό που αποτελεύται από διαδοχικϊ ευθύγραμμα τμόματα, τα οπούα δεν βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα. Ευθύγραμμο ςχόμα λϋγεται κϊθε τεθλαςμϋνη γραμμό τησ οπούασ τα ϊκρα τησ ςυμπύπτουν. Ένα ευθύγραμμο ςχόμα (ό τεθλαςμϋνη γραμμό) θα λϋγεται κυρτό αν δύο οποιαδόποτε ςημεύα του ενώνονται με μια ευθεύα γραμμό, η οπούα παραμϋνει εντόσ του ςχόματοσ. Διαφορετικϊ θα λϋγεται μη κυρτό.Κυρτό Μη Κυρτό B.1.2. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να βρεύτε και να ονομϊςετε πϋντε γωνύεσ ςτο παρακϊτω ςχόμα. Ο ������ ������ ������ ������2. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ και να βρεύτε τισ γωνύεσ που περιϋχονται : α) ςτην διαγώνιο ΑΓ και την πλευρϊ ΑΒ. β) ςτισ πλευρϋσ ΒΓ και ΓΔ. γ) ςτην διαγώνιο ΒΔ και την πλευρϊ ΑΔ. [96] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ3. ΢το παρακϊτω τρύγωνο : 1) Η πλευρϊ ΑΓ βρύςκεται απϋναντι από την κορυφό …………. 2) Η πλευρϊ ΑΓ βρύςκεται απϋναντι από την γωνύα ……………. 3) Η πλευρϊ ΒΓ βρύςκεται απϋναντι από την κορυφό …………. 4) Η πλευρϊ ΑΒ βρύςκεται απϋναντι από την γωνύα …………… 5) Οι γωνύεσ Α και Γ εύναι προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ………… 6) Η γωνύα Γ περιϋχεται ςτισ πλευρϋσ …….. και ……… 7) Η γωνύα Β περιϋχεται ςτισ πλευρϋσ …….. και ……… 8) Η γωνύα Α περιϋχεται ςτισ πλευρϋσ …….. και ……… 9) Προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ ΑΒ εύναι οι γωνύεσ …… και …... 10) Προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ ΑΓ εύναι οι γωνύεσ …… και …...4. <<Η χιoνονιφϊδα του Koch>>Να εξετϊςετε το παραπϊνω ςχόμα εύναι κυρτό ό μη κυρτό πολύγωνο. [97] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β.1.3. ΜΕΣΡΗ΢Η , ΢ΤΓΚΡΙ΢Η ΚΑΙ Ι΢ΟΣΗΣΑ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΩΝ ΣΜΗΜΑΣΩΝ- ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΢ΗΜΕΙΩΝ-ΜΕ΢Ο ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟΤ ΣΜΗΜΑΣΟ΢Για να ςυγκρύνουμε ευθύγραμμα τμόματα χρηςιμοποιούμε μια κοινό μονϊδα μϋτρηςησ.Η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδού, εύναι το τετραγωνικό μϋτρο (m2), που εύναι ϋνα τετρϊγωνο με πλευρϊ 1m.Οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου εύναι το τετραγωνικό δεκατόμετρο (dm2), το τετραγωνικό εκατοςτόμετρο (cm2), το τετραγωνικό χιλιοςτόμετρο (mm2). Απόςταςη δύο ςημεύων Α, Β λϋγεται το μόκοσ του ευθύγραμμου τμόματοσ ΑΒ και ςυμβολύζεται με (ΑΒ) Μϋςο ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ονομϊζεται το ςημεύο που απϋχει εξύςου από τα ϊκρα του. Σο μϋςο ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ εύναι μοναδικό. [98] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ B.1.3. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να καταςκευϊςετε ϋνα ευθύγραμμο τμόμα το οπούο να ϋχει μόκοσ 8cm. ΢τη ςυνϋχεια να υπολογύςετε και να ςημειώςετε το μϋςο του ευθυγρϊμμου τμόματοσ .2. Να καταςκευϊςετε ϋνα ευθύγραμμο τμόμα μόκουσ 20 cm και ςτη ςυνϋχεια να το χωρύςετε ςε τϋςςερα ύςα τμόματα.3. ΢το παρακϊτω τρύγωνο να ονομϊςετε τισ κορυφϋσ και τισ πλευρϋσ του. Έπειτα μετρόςετε το μόκοσ των πλευρών του και ςτη ςυνϋχεια να βρεύτε τα μϋςα τουσ. 4. ΢ε μύα ευθεύα ε να πϊρετε τα ςημεύα Α, Β, Γ, Δ ώςτε ΑΒ=2 cm, ΒΓ=1 cm και ΓΔ=2 cm και να ςυγκρύνετε τα ευθύγραμμα τμόματα ΑΓ και ΒΔ. 5. ΢ε μύα ευθεύα ε να πϊρετε τα ςημεύα Α,Β,Γ ώςτε ΑΒ =4,8cm. Αν Ο το μϋςο του ΑΒ και Μ το μϋςο του ΒΓ, να ςυγκρύνετε τα ευθύγραμμα τμόματα ΟΜ και ΒΜ. 6. ΢ε μια ευθεύα ε παύρνουμε τα ςημεύα Α, Β, Γ, Δ ϋτςι ώςτε ΑΒ=4 cm, το ΒΓ να εύναι μεγαλύτερο κατϊ 2 cm από το ΑΒ και το ΓΔ να εύναι κατϊ 1 cm μικρότερο από το ΒΓ. Να βρεύτε το μόκοσ του ΑΔ. 7. Να βρεύτε το μόκοσ τησ τεθλαςμϋνησ γραμμόσ ΑΒΓΔΕ με πλευρϋσ ΑΒ=55mm, ΒΓ=3cm, ΓΔ=9dm και ΔΕ=1,6cm. 8. ΢ε μια ευθεύα να πϊρετε τα ςημεύα Α, Β, Γ και Δ ϋτςι ώςτε ΑΒ=2 cm, ΒΓ=10cm και ΓΔ=8cm. Να βρεύτε τα μόκη των τμημϊτων ΑΓ, ΒΔ και ΑΔ. 9. Θεωρούμε δύο αντικεύμενεσ ημιευθεύεσ Αχ και Αχ΄. Να πϊρετε τα ςημεύα Β ςτην Αχ ϋτςι ώςτε ΑΒ=5cm και ϋνα ςημεύο Γ ςτην Αχ΄ ϋτςι ώςτε ΓΒ=2,6cm. Να βρεύτε το μόκοσ του ΑΓ. 10. ΢ε μια ευθεύα ε να πϊρετε τα ςημεύα Κ, Λ ώςτε ΚΛ=5cm και ϋνα ςημεύο Α ώςτε ΑΚ=2,5cm. Να βρεύτε το μόκοσ του ΛΑ για κϊθε πιθανό θϋςη του Α πϊνω ςτην ευθεύα ε. [99] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΒ.1.4. ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΚΑΙ ΑΥΑΙΡΕ΢Η ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΩΝ ΣΜΗΜΑΣΩΝ  Για να προςθϋςουμε δύο ό περιςςότερα ευθύγραμμα τμόματα, τα τοποθετούμε το ϋνα μετϊ το ϊλλο διαδοχικϊ ςτον ύδιο φορϋα και το ϊθροιςμα τουσ εύναι το ευθύγραμμο τμόμα με ϊκρα την αρχό του πρώτου και το τϋλοσ του τελευταύου.  Για να αφαιρϋςουμε δύο ευθύγραμμα τμόματα τα τοποθετούμε με κοινό αρχό και η διαφορϊ τουσ εύναι το ευθύγραμμο τμόμα με ϊκρα το τϋλοσ του μικρότερου και το τϋλοσ του μεγαλύτερου. B.1.4. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να βρεύτε την περύμετρο του παρακϊτω ςχόματοσ αν όλεσ οι πλευρϋσ εύναι ύςεσ με 3 cm και να ςυγκρύνετε το μόκοσ του ΑΔ με το μόκοσ ������������ + ������������ + ������������. Α ΕΒ ΓΔ2. ΢ε μια ημιευθεύα Αχ να πϊρετε τα ςημεύα Β, Γ, Δ και Ε, ϋτςι ώςτε ΑΒ=20cm, ΒΓ=3dm,ΓΔ=2cm και ΔΕ=5cm. Να βρεύτε τα μόκη των τμημϊτωνα) ΑΓ, β) ΓΕ, γ) ΒΓ+ΑΒ, δ) ΒΓ+ΓΔ, ε) ΑΒ-ΓΔ [100] Δπιμέλεια : Θέου Νάντια