maths_b__2016-2017_01

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ23. ΢το παρακϊτω ςχόμα ϋχουμε : ΑΒ=15 cm , ΑΓ=13cm , ΒΔ=9cm. α. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΑΔ. β. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΓΔ. γ. Να εξετϊςετε αν το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο.24. ΢το παρακϊτω ςχόμα , το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ εύναι 6 ������������2. Δ 3 cm 34 cm 1) Nα υπολογιςτούν : η πλευρϊ ΒΓ και η A πλευρϊ ΑΓ.3cm 2) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΔΓ εύναι Β ορθογώνιο. Γ25. Να υπολογύςετε το ������ ςτο παρακϊτω ςχόμα , αν γνωρύζετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ εύναι 225 cm2 . α. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΕΖ του τετραγώνου ΕΖΗΘ. β. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΒΖ = x . γ. Να βρεθεύ το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ.26. ΢το παρακϊτω ςχόμα δύνεται ότι εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ εύναι 144 cm2 και ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΕΖΗ εύναι 169 cm2. α. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΒΓ. β. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΒΕ . γ. Να βρεθεύ η πλευρϊ ΓΕ . δ. Να βρεθεύ το ςυνολικό εμβαδόν του ςχόματοσ. [101] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ ΝΟ 5ΘΕΜΑ 1:α. Να διατυπώςετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντύςτροφό του.β. Να εξετϊςετε αν το τρύγωνο με πλευρϋσ α=6 cm , β=8 cm , γ=11 εύναι ορθογώνιο.ΘΕΜΑ 2:Οι πλευρϋσ ενόσ τριγώνου ΑΒΓ εύναι α = x , β = x + 1 , γ = x + 2 και η περύμετροσ του ύςη με12cm. 1) Να βρεθούν οι πλευρϋσ του τριγώνου. 2) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο. 3) Nα βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου. 4) Nα βρεύτε το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρϊ ύςη με ������ .ΘΕΜΑ 3:΢ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ έρνπκε ΑΒ=ΑΓ=10cm θαη ε βάζε ηνπ ΒΓ=12cm. 1) Να ππνινγίζεηε ην ύςνο ηνπ. 2) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ.ΘΕΜΑ 4ο:ΒΓ 6 cm 10 E=? Α Γ 5cm EΓίλεηαη ΓΔ=5 cm θαη ΓΔ=6 cm. 1. Να ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά ΓΓ. 2. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ. [102] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΣΡΙΓΟΝΩΜΕΣΡΙΑ[103] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2.1 ΕΥΑΠΣΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Ο λόγοσ που ςχηματύζεται , αν διαιρϋςουμε την απϋναντι κϊθετη πλευρϊ με την προςκεύμενη κϊθετη πλευρϊ μιασ οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι πϊντοτε ςταθερόσ και λϋγεται εφαπτομϋνη τησ γωνύασ ω. ������������ϋ������������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������ = ������������������������������������ύ������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ������ ������ = ������������  Η κλύςη τησ ευθεύασ y=αx εύναι ύςη μεΑ y την εφαπτομϋνη τησ γωνύασ ω , που0σ Β ������ ςχηματύζει η ευθεύα με τον ϊξονα x’x.  ������������������ = ������������ = ������ = ������ ������������ ������ [104] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΕΥΑΠΣΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Δύνεται το ςχόμα : Αγβ Να υπολογιςτούν : α. ������������������ =………Β β. ������������������ =……… αΓ2. ΢το παρακϊτω ςχόμα : α Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΑΔ. Α β Να υπολογύςετε την ������������������ . 4cm γ) Εϊν η ������ = 70° να υπολογύςτε το μόκοσ του ΓΔ . ω Β 5 cm Δ Γ3. Ένα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° ϋχει ΑΒ = 3cm και ΒΓ = 50mm . Να βρεθούν οι εφαπτόμενεσ των οξειών γωνιών του.4. Ένα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° ϋχει ΒΓ = 20cm και ΑΒ = 12cm . Να βρεθούν οι εφαπτόμενεσ των οξειών γωνιών του.5. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΒ = 120m και εφΒ = 0,75. Να βρεθεύ η περύμετροσ του τριγώνου.6. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ Α = 90° με ΑΒ = 60m και εφΒ =. Να υπολογύςετε : 1) το μόκοσ τησ πλευρϊσ ΑΓ. 2) το μόκοσ τησ πλευρϊσ ΒΓ.7. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με κϊθετεσ πλευρϋσ ΑΒ και ΑΓ τϋτοιεσ ώςτε η ΑΒ να εύναι τριπλϊςια από την ΑΓ. Να βρεύτε τισ εφαπτόμενεσ των οξειών γωνιών του ορθογωνύου τριγώνου. [105] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2.2 ΗΜΙΣΟΝΟ-΢ΤΝΗΜΙΣΟΝΟ ΟΞΕΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Ο λόγοσ που ςχηματύζεται ,αν διαιρϋςουμε την απϋναντι κϊθετη πλευρϊ με την προςκεύμενη κϊθετη πλευρϊ μιασ οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι πϊντοτε ςταθερόσ και λϋγεται εφαπτομϋνη τησ γωνύασ ω. ������������ϋ������������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������ = ������������������������������������ύ������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ Ο λόγοσ που ςχηματύζεται ,αν διαιρϋςουμε την απϋναντι κϊθετη πλευρϊ με την υποτεύνουςα μιασ οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι πϊντοτε ςταθερόσ και λϋγεται ημύτονο τησ γωνύασ ω. ������������������ = ������������ϋ������������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������������������ύ������������������������������ Ο λόγοσ που ςχηματύζεται ,αν διαιρϋςουμε την προςκεύμενη κϊθετη πλευρϊ με την υποτεύνουςα μιασ οξεύασ γωνύασ ω ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι πϊντοτε ςταθερόσ και λϋγεται ςυνημύτονο τησ γωνύασ ω. ������������������������ = ������������������������������������ύ������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������������������ύ������������������������������ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ :1 Οι παραπϊνω τύποι ιςχύουν μόνο ςε ορθογώνιο τρύγωνο.2 Αν ςε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο γνωρύζουμε μια πλευρϊ και μια οξεύα γωνύα, τότε μπορούμε με τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ αυτόσ να υπολογύςουμε τισ υπόλοιπεσ πλευρϋσ του τριγώνου.΢ΗΜΑΝΣΙΚΟΙ ΣΤΠΟΙ :1 Για κϊθε οξεύα γωνύα ω ιςχύουν 0<ημω<1 και 0<ςυνω<1. Δηλαδό το ημύτονο και το ςυνημύτονο οξεύασ γωνύασ εύναι αριθμού μεταξύ του 0 και 1. Δεν ιςχύει το ύδιο για την εφαπτομϋνη.2 ΢ημαντικό ςχϋςη που ςυνδϋει τουσ τρεύσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ :Για κϊθε οξεύα γωνύα ω ιςχύει : ������������������ = ������������������ ������������������������ [106] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΗΜΙΣΟΝΟ-΢ΤΝΗΜΙΣΟΝΟ ΟΞΕΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. ΢τα παρακϊτω ςχόματα να υπολογιςτεύ το ημύτονο και το ςυνημύτονο των οξειών γωνιών.2. ΢το παρακϊτω ςχόμα να υπολογιςτούν οι τριγωνομετρικού αριθμού τησ γωνύασ ������. 7cm 4cm ������ 10cm3. Να υπολογιςτεύ το ������ ςτα παρακϊτω ςχόματα.[107] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα.5. Δύο ϊνθρωποι βρύςκονται ςτισ θϋςεισ Α και Β και βλϋπουν το δϋντρο ύψουσ 12 m , με γωνύεσ 25° και 42° αντύςτοιχα. 1) Να βρεύτε την απόςταςη τουσ ΑΓ. 2) Να βρεύτε την απόςταςη τουσ ΒΓ. 3) Να βρεύτε την μεταξύ τουσ απόςταςη ΑΒ.6. Ένα αεροπλϊνο ανεβαύνει υπό γωνύα 20° ωσ προσ την οριζόντια διεύθυνςη. ΢ε τι ύψοσ θα ϋχει φτϊςει όταν θα ϋχει διανύςει μόκοσ 1500 m;7. ΢ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με Α=900 η γωνύα Γ=640 . Αν το ύψοσ ΑΔ που φϋρνουμε από την κορυφό Α προσ την υποτεύνουςα ΒΓ εύναι 4cm, να υπολογύςετε την υποτεύνουςα ΒΓ του τριγώνου.8. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με υποτεύνουςα ������������ = 20������������ και ������������������ = 0,8. Να υπολογιςτούν τα: ������������������ , ������������������������ και ������������������������.9. Σο τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο ������ =90° και ιςοςκελϋσ με κϊθετεσ πλευρϋσ 3 cm. Να υπολογύςετε: α την υποτεύνουςα του β τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ Β. [108] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ 10. ΢ε ϋνα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ η μύα από τισ δύο ύςεσ γωνύεσ του εύναι 32°. Αν το ύψοσ τησ βϊςησ εύναι 6cm , να βρεθούν: α η βϊςη του τριγώνου, β το εμβαδό του τριγώνου.2.3 ΜΕΣΑΒΟΛΕ΢ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΞΕΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ Όταν μια οξεύα γωνύα αυξϊνεται :  αύξανεται το ημύτονο τησ  μειώνεται το ςυνημύτονο τησ  αυξϊνεται η εφαπτομϋνη  Έαν δυο γωνύεσ ϋχουν ύςα ημύτονα, τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ.  Έαν δυο γωνύεσ ϋχουν ύςα ςυνημύτονα, τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ.  Έαν δυο γωνύεσ ϋχουν ύςεσ εφαπτομϋνεσ , τότε οι γωνύεσ αυτϋσ εύναι ύςεσ.[109] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2.4 ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 30 ̊,45 ̊,60 ̊Σο ημύτονο , το ςυνημύτονο και η εφαπτομϋνη μιασ οξεύασ γωνύασ ονομϊζονται τριγωνομετρικούαριθμού τησ γωνύασ.ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ΢ : 1) ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΗ΢ ΓΩΝΙΑ΢45 ̊Θεωρούμε ϋνα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=1και ΑΓ=1 cm. όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμαΣο τρύγωνο εύναι ορθογώνιο με την γωνύα Α ύςη με 90 ̊ και αφού εύναι ιςοςκελϋσ οιπροςκεύμενεσ ςτην βϊςη γωνύεσ εύναι ύςεσ. Δηλαδό ������=������=45 ̊ .Εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα ςτο τρύγωνο ΑΒΓ και ϋχουμε : ������������������ = ������������������ + ������������������ = ������������ + ������������ = ������ ϊ������������ ������������ = ������Επομϋνωσ : ημ45 =̊ ������������ = ������ = ������· ������ = ������ = ������ ������ ������������ ������ ������· ������ ������ ������ ςυν45 =̊ ������������ = ������ = ������· ������ = ������ = ������ ������ ������������ ������ ������· ������ ������ ������ εφ45 =̊ ������������ = ������ = ������ . ������������ ������ [110] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ 2) ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑ΢30 ̊ ΚΑΙ 60 ̊Θεωρούμε δυο ύςα και ορθογώνια τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΒΓ’ με κούνη πλευρϊ την ΑΒ και οξεύεσ γωνύεσ������1 = ������2 =30 ̊ και υποτεύνουςεσ ������������ = ������������’ = 2������������. ‘όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμαΣο τρύγωνο ΒΓΓ’ εύναι ιςόπλευρο αφού όλεσ οι γωνύεσ εύναι 60 ̊ οπότε ������������΄ = 2������������ και������������ = ������������’ = 1������������.-Εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα ςτο τρύγωνο ΑΒΓ ώςτε να υπολογύςουμε την πλευρϊ ΑΒ, καιϋχουμε :������������2 = ������������2 + ������������2 ό ������������2 = ������������2 − ������������2 = 22 − 12 = 3 οπότε ������������ = 3Από το ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ ϋχουμε ότι : ������������ 1 ������������������2 = ������������30 ̊ = ������������ = 2 ������������ 3 ������������������������2 = ������������������30 ̊ = ������������ = 2 ������������������2 = ������������30 ̊ = ������������ = 1= 1· 3 = 3 = 3. ������������ 32 3 3· 3 3Επύςησ, ������������������ = ������������60 ̊ = ������������ = 3 ������������ 2 ������������ 1 ������������������������ = ������������������60 ̊ = ������������ = 2 ������������������ = ������������60 ̊ = ������������ = 3 = 3 . ������������ 1 [111] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΩΝ ΓΩΝΙΩΝ30 ,̊ 45 ,̊ 60 ̊ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ ������ = 2������������������ − 3������������������������ + 2������������������, αν 1) ω=300 2) ω=450 3) ω=6002. Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ :������ = ������������30° − ������������������230° + ������������230°������ = ������������245° · ������������60° · ������������30° · ������������260°3. Να αποδεύξετε ότι ιςχύουν οι παρακϊτω ιςότητεσ :1) ������������230° + ������������������230° = 12) ������������������245° = 1 1+������������ 245°3) ������������������260° + ������������������245° + ������������������230° = 3 24) 4������������260° − 2������������30° − 3������������45° = −14. ΢το παρακϊτω ςχόμα το τρύγωνο ABΓ εύναι ιςοςκελϋσ με ΑΒ = ΑΓ = 8 cm και Α=1500. 1) Να υπολογύςετε την γωνύα ΔΑΓ . 2) Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΓΔ. 3) Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.5. Δύνεται ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ με πλευρϊ α=2cm. Να υπολογύςετε το ύψοσ του ΑΔ και το εμβαδόν του.6. Αν το ύψοσ ιςόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ εύναι 3 cm , να υπολογύςτε την πλευρϊ και το εμβαδόν του.7. Ένα τετρϊγωνο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ ΑΒ=20cm. Να βρεύτε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ των γωνιών τισ οπούεσ ςχηματύζει μια διαγώνιόσ του με τισ πλευρϋσ του. [112] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ8. Δύνεται ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ με ύψοσ υ=2 3cm. Να υπολογύςετε την περύμετρο και το εμβαδόν του ιςόπλευρου τριγώνου. ������ ε Να βρεύτε την εξύςωςη τησ9. ευθεύασ του διπλανού ςχόματοσ. 30° ������10. Να βρεύτε την τιμό του λ , ώςτε η ευθεύα ε :������ = (2������ − 1)������ , να ςχηματύζει με τον ϊξονα ������’������ γωνύα ω=45 ° .11. ΢ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με Α=900 εύναι ημΒ=0,8 και ΒΓ=20cm. 1) Να υπολογύςετε το ������������������������ . 2) Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου .12. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=6cm και Α=1200. Αφού φϋρετε το ύψοσ ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ , να υπολογύςετε : 1) την πλευρϊ ΒΔ. 2) το ύψοσ ΑΔ. 3) την περύμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.13. ΢ε τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ΑΒ= 3 3 cm, ΑΓ=3cm, και ΒΓ= 6cm. Να βρεθεύ το εύδοσ του τριγώνου και να υπολογιςτούν οι γωνύεσ του.14. ΢ε τρύγωνο ΑΒΓ Α>900 εύναι Γ=300, ΑΒ= 5 2 cm και ΑΓ=10cm. Να υπολογιςτούν οι γωνύεσ Β και Α.15. ΢ε τρύγωνο ΑΒΓ εύναι Α=300και Γ=450. Υϋρνουμε το ύψοσ ΒΔ του τριγώνου. Αν ΒΔ=10cm ,να βρεύτε τισ πλευρϋσ ΒΓ και ΑΒ . [113] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ16. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 1) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΒΔ. 2) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΑΔ. 3) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΓΔ. 4) Να υπολογιςτεύ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.17. Δύνεται το παρακϊτω τραπϋζιο.18. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα 1) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΑΕ. 2) Να υπολογιςτούν οι πλευρϋσ ΓΖ και4cm ������ ΕΖ. θ 3) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΒΖ. θ 4) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΑΒ. 5) Να υπολογιςτεύ το εμβαδόν του τραπεζύου. Παρατηρώντασ ότι τα δύο ορθογώνια τρύγωνα ϋχουν μια κοινό πλευρϊ και μια οξεύα γωνύα ύςη με θ , να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ������ . 9cm [114] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ19. ΢το διπλανό ςχόμα να υπολογύςετε τα μόκη x και y. 1) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΑB. 2) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΒΓ. 3) Να υπολογιςτεύ η πλευρϊ ΒΔ = x. 4) Σι εύδουσ τρύγωνο ωσ προσ τισ πλευρϋσ εύναι το ΒΓΔ ; 5) Να υπολογιςτεύ το ςυνολικό εμβαδόν του ςχόματοσ.21. ΢το ορθογώνιο ΑΒΓΔ εύναι ΒΓ=8 cm και ΕΓ =5 cm . Σο ΒΕΔΖ εύναι παραλληλόγραμμο και ΓΕΔ = 45° . α Να υπολογύςετε τα μόκη ΔΓ= ψ και ΕΔ= χ . β Να βρεθούν τα εμβαδϊ των ΑΒΓΔ και ΒΕΔΖ.[115] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΣΡΗ΢Η ΚΤΚΛΟΤ“Ξσμόμ γαρ αρτή και πέρας επί κύκλοσ περιυερείας” (σε έναν κύκλο, κάθε σημείο είναι ταστότρονα και αρτή και τέλος) Ηράκλειτος, 544-484 π.Χ.[116] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢ Εγγεγραμμϋνη γωνύα ςτον κύκλο 0 , ρ λϋγεται η γωνύα xˆ y που η κορυφό τησ  εύναι ςημεύο του κύκλου και οι πλευρϋσ τησ Αx και Αy εύναι χορδϋσ του κύκλου. Σο τόξο ΒΓ του κύκλου 0 , ρ που περιϋχεται ςτην εγγεγραμμϋνη γωνύα λϋγεται αντύςτοιχο τόξο τησ εγγεγραμμϋνησ γωνύασ. Ακόμα, λϋμε ότι η εγγεγραμμϋνη γωνύα ˆ  βαύνει ςτο τόξο ΒΓ. Η γωνύα τησ οπούασ η κορυφό ςυμπύπτει με το κϋντρο ενόσ κύκλου και οι πλευρϋσ τησ εύναι ακτύνεσ του κύκλου , λϋγεται επύκεντρη . Σο τόξο ΑΒ που βρύςκεται ςτο εςωτερικό τησ κυρτόσ γωνύασ ονομϊζεται αντύςτοιχο τόξο τησ επύκεντρησ γωνύασ. Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ιςούται με το μιςό τησ επύκεντρησ που ϋχει το ύδιο αντύςτοιχο τόξο. Δηλαδόˆ  ˆ . 2Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα που βαύνει ςε ημικύκλιο εύναι ορθό.Δηλαδό ˆ   900 .Αν δύο εγγεγραμμϋνεσ γωνύεσ εύναι ύςεσ, τότε και τα τόξα ςτα οπούα βαύνουν εύναι ύςα.[117] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΟι εγγεγραμμϋνεσ γωνύεσ ενόσ κύκλου πουβαύνουν ςτο ύδιο τόξο ό ςε ύςα τόξα εύναι ύςεσ. Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ϋχει μϋτρούςο με το μιςό του μϋτρου του αντύςτοιχου τόξου τησ.Δηλαδό , ςτο διπλανό ςχόμα :������������������ = ͡ = 80° = 40° ΒΓ 22 [118] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ΢ ΓΩΝΙΕ΢ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Α. Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ. ������) Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ενόσ κύκλου εύναι ……………………………τησ επύκεντρησ γωνύασ του ύδιου κύκλου. ������������) Η εγγεγραμμϋνη γωνύα ενόσ κύκλου που βαύνει ςε ημικύκλιο εύναι …………………….. ������������������) Οι πλευρϋσ μιασ εγγεγραμμϋνησ γωνύασ εύναι ………………….. του κύκλου. ������������) Οι πλευρϋσ μιασ επύκεντρησ γωνύασ εύναι ………………….. του κύκλου.Β. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό (΢) ό Λϊθοσ (Λ). 1) Σο μϋτρο μιασ επύκεντρησ γωνύασ που βαύνει ςε τόξο 45o εύναι 90o . 2) Τπϊρχουν εγγεγραμμϋνεσ γωνύεσ μεγαλύτερεσ των 180o . 3) Η επύκεντρη γωνύα εύναι ύςη ςε μούρεσ με το μιςό τησ εγγεγραμμϋνησ που βαύνει ςτο ύδιο τόξο με αυτόν. 4) Τπϊρχει εγγεγραμμϋνη γωνύα που δεν ιςούται με το μιςό τησ αντύςτοιχησ επύκεντρησ. 5) Αν ςε ϋνα κύκλο φϋρουμε δύο κϊθετεσ χορδϋσ τότε καθϋνα από τα τϋςςερα τόξα εύναι ύςα με 90o . 6) Αν ςε ϋνα κύκλο φϋρουμε δύο κϊθετεσ διαμϋτρουσ τότε κϊθε εγγεγραμμϋνη που βαύνει ςε καθϋνα από τα τϋςςερα ύςα τόξα εύναι ύςη με 45o . 7) Σο μϋτρο μιασ εγγεγραμμϋνησ γωνύασ που βαύνει ςε τόξο 45o εύναι 90o . 8) Οι πλευρϋσ μιασ εγγεγραμμϋνησ γωνύασ εύναι ακτύνεσ του κύκλου. 9) Κϊθε εγγεγραμμϋνη γωνύα ενόσ κύκλου εύναι ύςη με το μιςό κϊθε επύκεντρησ γωνύασ του ύδιου κύκλου . 10) Η εγγεγραμμϋνη γωνύα ενόσ κύκλου που βαύνει ςε ημικύκλιο εύναι ορθό . 11) Οι εγγεγραμμϋνεσ γωνύεσ του ύδιου κύκλου που βαύνουν ςε ύςα τόξα εύναι ύςεσ . 12) Η επύκεντρη γωνύα εύναι ύςη ςε μούρεσ με το διπλϊςιο τησ εγγεγραμμϋνησ που βαύνει ςτο ύδιο τόξο με αυτόν . [119] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ ������, ������ και ������ ςτα παρακϊτω ςχόματα.3. Δύνεται ο παρακϊτω κύκλοσ. 1) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΒΓ. 2) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΓΒ. 3) Να βρεθεύ η γωνύα ΒΑΓ. 4) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΟΒ. 5) Να βρεθεύ το τόξο ΒΓ.4. ΢το παρακϊτω ςχόμα να υπολογιςτούν τα x , y ,ω . 1) Να βρεθεύ η γωνύα y. 2) Να βρεθεύ η γωνύα ������. 3) Αφού παρατηρόςετε το εύδοσ του τριγώνου ΟΒΓ να υπολογύςετε την γωνύα ω. [120] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ5. ΢το παρακϊτω ςχόμα το τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ ϋχει τισ κορυφϋσ του ςτον κύκλο O,ρ . Να υπολογιςτούν τα μϋτρα των γωνιών ω, φ που εύναι ςημειωμϋνεσ ςτο ςχόμα. 1) Να βρεθούν τα τόξα ΑΓ , ΒΓ , ΔΕ. 2) Να βρεθεύ η γωνύα φ. 3) Να βρεθεύ η γωνύα ω. 6. ΢το παρακϊτω ςχόμα θεωρούμε τον κύκλο O,ρ και την διϊμετρο ΒΓ αυτού. 1) Αν το ςημεύο Α εύναι ςημεύο του κύκλου και το τρύγωνο ΑΟΓ εύναι ιςόπλευρο, να βρεθούν οι γωνύεσ ω , ΑΟΓ , ΑΓΟ. 2) Να βρεθεύ η γωνύα ΒΟΑ . 3) Να βρεθούν οι γωνύεσ φ , θ . 4) Να βρεθεύ η γωνύα κ .[121] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ7. ΢τον παρακϊτω κύκλο ον κύκλο O,ρ ϋχουμε τισ κϊθετεσ χορδϋσ ΑΒ και ΓΔ, οι οπούεσ τϋμνονται ςτο ςημεύο Ε. Δύνεται επύςησ ότι η εγγεγραμμϋνη γωνύα ΓΑΒ εύναι 30o . 1) Να βρεθεύ η γωνύα φ . 2) Να βρεθεύ η γωνύα ω . 3) Να βρεθεύ το τόξο ΑΔ. 4) Να βρεθεύ το τόξο ΒΓ. 5) Να βρεθεύ το τόξο ΑΓ.8. ΢το παρακϊτω ςχόμα , το ΑΒΓ εύναι ιςόπλευρο τρύγωνο και Μ ϋνα ςημεύο του τόξου ΑΓ . 1) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΒΓ , ΒΑΓ , ΑΓΒ . 2) Να βρεθεύ το τόξο ΑΓ. 3) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΜΓ . 9. ΢το παρακϊτω ςχόμα η ΑΓ εύναι διϊμετροσ του κύκλου. 1) Να βρεθεύ το ������ . 2) Να βρεθούν τα τόξα ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ .[122] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ10. ΢το παρακϊτω ςχόμα να υπολογιςτούν τα x , y ,ω . 1) Να βρεθεύ η γωνύα ������. 2) Να βρεθεύ η γωνύα ������. 3) Να βρεθεύ η γωνύα ������. 4) Να βρεθεύ η γωνύα y. 5) Να βρεθεύ το τόξο ΑΒ.11. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα . 1) Να βρεθεύ η γωνύα ������. 2) Να βρεθεύ η γωνύα y . 3) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΕΒ. 4) Να βρεθεύ η γωνύα ������ . 5) Μπορούμε να υπολογύςουμε το τόξο ΓΔ ;12. ΢ε ϋνα κύκλο (������, 5 ������������ ) να πϊρετε τα διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 400 , ΒΓ = 1150 και ΓΔ = 1450 . Να υπολογύςετε το μόκοσ τησ χορδόσ ΑΔ.13. ΢ε ϋναν κύκλο να πϊρετε δύο διαδοχικϊ τόξα ΑΒ= 76° και ΒΓ= 124° και τη διχοτόμο τησ γωνύασ ΑΒΓ που τϋμνει τον κύκλο ςτο ςημεύο Δ. Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.14. ΢ε ϋναν κύκλο (������, ������) να πϊρετε δύο διαδοχικϊ τόξα ΑΒ = 900 και ΒΓ = 1100 . Να υπολογύςετε τισ γωνύεσ του τριγώνου ΑΒΓ.[123] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΤΓΩΝΑ Ένα πολύγωνο λϋγεται κανονικό, όταν όλεσ οι πλευρϋσ του εύναι μεταξύ τουσ ύςεσ και όλεσ οι γωνύεσ του εύναι μεταξύ τουσ ύςεσ. Περιγεγραμμϋνοσ κύκλοσ ενόσ κανονικού πολυγώνου λϋγεται ο κύκλοσ που διϋρχεται από τισ κορυφϋσ του κανονικού πολυγώνου. Εγγεγραμμϋνο πολύγωνο ςε κύκλο ονομϊζεται το πολύγωνο που οι κορυφϋσ του εύναι ςημεύα του κύκλου. Κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού ν-γώνου λϋγεται κϊθε επύκεντρη γωνύα του περιγεγραμμϋνου κύκλου του κανονικού ν-γώνου που βαύνει ςε τόξο με χορδό ύςη με την πλευρϊ του κανονικού ν-γώνου.Δύνεται από τον τύπο , ˆ  3600 .  Η γωνύα φ ενόσ κανονικού ν-γώνου εύναι παραπληρωματικό τησ κεντρικόσ γωνύασ του κανονικού ν-γώνου.Δύνεται από τον τύπο , ˆ  1800  ˆ [124] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Καταςκευό κανονικών πολυγώνωνΓια να καταςκευϊςουμε ϋνα κανονικό πολύγωνο με  πλευρϋσ κανονικό  – γωνοκϊνουμε τα εξόσ βόματα:1ο βόμα: Τπολογύζουμε τη γωνύα ˆ  3600 . 2ο βόμα: ΢χηματύζουμε διαδοχικϊ  επύκεντρεσ γωνύεσ ύςεσ με τη γωνύα ˆ οι οπούεσ χωρύζουν τον κύκλο ςε  τόξα.3ο βόμα: Ενώνουμε με διαδοχικϊ ευθύγραμμα τμόματα τα ϊκρα των τόξων.ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΤΓΩΝΑ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. ΢ε κανονικό πολύγωνο η γωνύα του εύναι πενταπλϊςια τησ κεντρικόσ του γωνύασ. Να βρεύτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.2. Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι τα 2/5 τησ ορθόσ. Να βρεύτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.3. Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου εύναι 240 . 1) Να βρεύτε τη γωνύα του και το πλόθοσ των πλευρών του. 2) Να βρεύτε τη κεντρικό γωνύα και τη γωνύα του πολυγώνου με τριπλϊςιο πλόθοσ πλευρών.4. Η κεντρικό γωνύα ενόσ κανονικού πολυγώνου ιςούται με το 1/3 τησ γωνύασ του. Πόςεσ πλευρϋσ ϋχει το πολύγωνο?5. Να ςχεδιϊςετε ςε ϋνα κύκλο ϋνα κανονικό εξϊγωνο και ϋνα ιςόπλευρο τρύγωνο.6. Να καταςκευϊςετε κανονικό δεκϊγωνο.7. ΢ε ϋνα εξϊγωνο ΑΒΓΔΕΖ γνωρύζουμε τα τόξα   x ,   x 100 ,   x  200 ,   x  300 ,   x  400 και   4x 100 . 1) Να βρεύτε το x. 2) Σισ γωνύεσ του ΑΒΓΔΕΖ 3) Σισ γωνύεσ ΑΓΕ,ΕΒΔ,ΕΑΒ.8. Να εξετϊςετε αν υπϊρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρικό γωνύα 700 .9. Ποιού κανονικού πολυγώνου η γωνύα εύναι μικρότερη από την κεντρικό γωνύα? [125] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.4 ΜΗΚΟ΢ ΚΤΚΛΟΤ Ο λόγοσ του μήκους L ενόσ κύκλου ,  προσ τη διάμετρο του  εύναι ςταθερόσ και ςυμβολύζεται με το Ελληνικό γρϊμμα  . Ο αριθμόσ  εύναι ϋνασ δεκαδικόσ με ϊπειρα δεκαδικϊ ψηφύα. ΢τισ αςκόςεισ θα παύρνουμε για τον  την προςεγγιςτικό τιμό 3,14.Σο μόκοσ ενόσ κύκλου ονομϊζεται και περύμετροσ του κύκλου. L  2   ό L   ΢ΦΕ΢Η ΜΟΙΡΩΝ ΚΑΙ ΑΚΣΙΝΙΩΝΣο ακτίνιο ή rad εύναι μονϊδα μϋτρηςησ τόξων ενόσ κύκλου και ιςούται με το τόξο πουϋχει το ύδιο μόκοσ με την ακτύνα του κύκλου. Η ςχϋςη μοιρών και ακτινύων εύναι : 0   1800  Αν ϋνασ κύκλοσ μετρηθεύ ςε rad, τότε το μόκοσ του εύναι 2 rad. Σο μόκοσ ενόσ τόξου  rad ιςούται με : l     . Αν ςε ϋνα κύκλο πϊρουμε δύο κϊθετεσ διαμϋτρουσ, τότε χωρύζεται ςε τϋςςερα ύςα τόξα με μϋτρο 90° ό  rad που ονομϊζονται τεταρτοκύκλια. 2 Δύο τόξα με ύςα μόκη εύναι ύςα, μόνο όταν ανόκουν ςτον ύδιο κύκλο ό ςε ύςουσ κύκλουσ.Αεύ ο Θεόσ ο Μϋγασ γεωμετρεύ, το κύκλου μόκοσ ύνα ορύςη διαμϋτρω, παρόγαγεν αριθμόναπϋραντον, καύ όν, φεύ, ουδϋποτε όλον θνητού θα εύρωςι. [126] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΜΗΚΟ΢ ΚΤΚΛΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να βρεύτε το μόκοσ ενόσ κύκλου που ϋχει διϊμετρο 6 cm.2. Να βρεύτε ςε dm την ακτύνα ρ ενόσ κύκλου που ϋχει μόκοσ 50,24cm.3. Αν το μόκοσ ενόσ κύκλου εύναι 81,64 cm, να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου.4. Οι περύμετροι δύο κύκλων διαφϋρουν κατϊ 26cm. Να βρεύτε πόςο διαφϋρουν οι ακτύνεσ των κύκλων.5. Οι διϊμετροι δύο κύκλων ϋχουν διαφορϊ 8cm. Να βρεύτε πόςο διαφϋρουν: α) οι ακτύνεσ τουσ β) οι περύμετρού τουσ.6. Οι τροχού ενόσ ποδηλϊτου ϋχουν διϊμετρο 50 cm . Να βρεύτε πόςεσ ςτροφϋσ θα κϊνουν αν διανύςουν διϊςτημα 7850 m.7. Ωροδεύκτησ ενόσ ρολογιού ϋχει μόκοσ 1,2 cm και ο λεπτοδεύκτησ 2 cm. Να βρεύτε το διϊςτημα που διανύει το ϊκρο κϊθε δεύκτη ςε 24 ώρεσ.8. Γύρω από ϋνα κορμό δϋντρου τυλύγουμε ϋνα ςχοινύ. Μετρϊμε το ςκοινύ και βρύςκουμε ότι ϋχει μόκοσ 2,5 m. Να υπολογύςετε την ακτύνα του κορμού.9. Ένασ κύκλοσ ϋχει μόκοσ 157m. Πόςη εύναι η ακτύνα του? Πόςο πρϋπει να μεγαλώςει η ακτύνα του ώςτε να γύνει το μόκοσ 235,5 m?10. ΢το παρακϊτω ςχόμα δύνεται ότι η χορδό ΑΒ=3 2cm . 1) Να βρεθεύ η γωνύα ΑΟΒ . 2) Να χαρακτηρύςετε το εύδοσ του τριγώνου ωσ προσ τιε πλευρϋσ και ωσ προσ τισ γωνύεσ. 3) Να βρεθεύ η πλευρϊ ΟΑ του τριγώνου ΑΟΒ.11. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα.Σόξο ςε 45° 75° 330°μούρεσ 4������ 5������ 15 4Σόξο ςε ������ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηαακτύνια 12 [127]

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ12. Να μετατρϋψετε ςε μούρεσ. 1) 4 rad 3 2)  rad 813. Να μετατρϋψετε ςε ακτύνια . 1) 108o 2) 240o 3) 18o 4) 3 τησ ορθόσ 8 5) 7 τησ ορθόσ 614. Δύνεται το παρακϊτω ςχόμα με διϊμετρο την ΑΒ.Να υπολογύςετε: 1) Σην γωνύα ������������������. 2) Σην ακτύνα του κύκλου. 3) Σο μόκοσ του κύκλου. 4) Σο εμβαδόν του τριγώνου ������������������.15. ΢το παρακϊτω ςχόμα η ΑΒ εύναι διϊμετροσ , ΜΑ =12 cmκαι ΜΒ=16 cm. Να υπολογύςετε: 1) Σην γωνύα ������������������. 2) Σην ακτύνα του κύκλου. 3) Σο μόκοσ του κύκλου. 4) Σο εμβαδόν του τριγώνου ������������������.[128] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΤΚΛΙΚΟΤ ΔΙ΢ΚΟΤΣο εμβαδόν κυκλικού δύςκου ό το εμβαδόν κύκλου ,  , ιςούται με : ������ = ������ · ������2 Κυκλικός δακτύλιος λϋγεται το μϋροσ του επύπεδου που περικλεύεται από δύο ομόκεντρουσ κύκλουσ, που ϋχουν διαφορετικϋσ ακτύνεσ. Σο εμβαδόν του δακτυλύου ιςούται με : ������ = ������ · ������22 − ������12ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΤΚΛΙΚΟΤ ΔΙ΢ΚΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Η ακτύνα ενόσ κυκλικού δύςκου εύναι 10 cm, να υπολογιςτεύ το εμβαδόν του.2. Ένασ κύκλοσ ϋχει διϊμετρο 40 cm . Να βρεύτε το εμβαδόν του.3. Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δύςκου εύναι 200,96 cm2 . Να υπολογύςετε το μόκοσ του.4. Ένασ κύκλοσ με εμβαδόν 615,44cm2 εύναι εγγεγραμμϋνοσ ςε τετρϊγωνο. Να υπολογύςετε την περύμετρο του τετρϊγωνου.5. Να βρεύτε εμβαδόν του κυκλικού δακτυλύου ςτο ςχόμα . ρ1= 3 cm , ρ2= 5 cm [129] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ6. Ένασ κύκλοσ (������, ������) ϋχει ακτύνα ������ = 3 ������������. Να βρεύτε την ακτύνα του κύκλου που ϋχει οκταπλϊςια επιφϊνεια από τον κύκλο (������, ������).7. Ένα τετρϊγωνο εγγεγραμμϋνο ςε κύκλο ϋχει εμβαδόν 36������������2. Να βρεύτε το μόκοσ και το εμβαδόν του κύκλου.8. Σο παρακϊτω τετρϊγωνο ΑΒΓΔ ϋχει πλευρϊ μόκουσ 3������������. 1) Να ππνινγίζεηε ηελ δηάκεηξν ηνπ θύθινπ. 2) Να βξεζεί ην κήθνο θαη ην εκβαδόλ ηνπ.9. ΢το παρακϊτω κύκλο η ακτύνα ������ = 12 ������������ και η γωνύα Α������������ = 60°. 1) Να υπολογύςετε το τόξο ΑΒ. 2) Αφού διαπιςτώςετε το εύδοσ του τριγώνου ΟΑΒ , να βρεύτε την πλευρϊ ΑΒ. 3) Να υπολογύςετε το μόκοσ και το εμβαδόν του κύκλου.10. Να βρεύτε το εμβαδό τησ γραμμοςκιαςμϋνησ (μπλϋ) επιφϊνειασ του παρακϊτω ςχόματοσ αν η πλευρϊ του τετραγώνου εύναι 20������������ .[130] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ11. ΢το παρακϊτω ςχόμα δύνεται ότι η χορδό ΑΒ εύναι διϊμετροσ και ότι ������������ = 4 ������������ και ΜΒ= 3 cm . Να υπολογύςετε: 1) το μόκοσ και το εμβαδόν του κύκλου. 2) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ.12. 1) Nα ππνινγίζεηε όιεο ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ. 2) Να ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ. 3) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο θαη ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ.15. Σο παρακϊτω πολύγωνο κανονικό εξϊγωνο και εύναι εγγεγραμμϋνο ςε κύκλο (������, ������). Η πλευρϊ του κανονικού εξαγώνου ϋχει μόκοσ 6 cm . 1) Να βρεθεύ η κεντρικό γωνύα του κανονικού εξαγώνου. 2) Να υπολογύςετε την ακτύνα του κύκλου. 3) το μόκοσ L και το εμβαδόν Ε του κύκλου.[131] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ16. ΢το παρακϊτω ςχόμα η χορδό ΑΒ εύναι διϊμετροσ , το τόξο ΓΒ =60° και η πλευρϊ ΒΓ =3 cm. Γ 3cm 60°A BΝα βρεθούν : 1) Η γωνύα ������ . 2) Οι γωνύεσ ������ και ������ . 3) Η πλευρϊ ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ . 4) Η ακτύνα του κύκλου . 5) Σο μόκοσ του κύκλου.19. ΢το παρακϊτω ςχόμα η ΒΓ εύναι διϊμετροσ του κύκλου και το ςημεύο ������ εύναι ςημεύο του κύκλου. Αν ������������ = 5������������ και ������������ = 12������������ τότε: 1) Να δικαιολογόςετε ότι η γωνύα Α του τριγώνου ΑΒΓ εύναι ορθό. 2) Να υπολογύςετε το μόκοσ και το εμβαδόν του κύκλου. 3) Να υπολογύςετε το εμβαδόν που περικλεύεται μεταξύ του τριγώνου και του κύκλου.20. ΢το διπλανό ςχόμα δύνεται ο κύκλοσ (������, ������) με ������������ = 2 2������������ και η εγγεγραμμϋνη γωνύα   = 45° . Ο Να υπολογύςετε :ρ 450 1) Η γωνύα Β������Γ . Α 2) Σην ακτύνα ρ του κύκλου. 3) Σο εμβαδόν και το μόκοσ του κύκλου.ΒΓ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα [132]

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ21. ΢το παρακϊτω ςχόμα, η περύμετροσ του τριγώνου ΑΒΓ εύναι 24cm. 1) Να βρεθούν οι πλευρϋσ του τριγώνου ΑΒΓ. 2) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο . 3) Να υπολογύςετε το εμβαδόν του ςκιαςμϋνου τμόματοσ.22. ΢το παρακϊτω ςχόμα ϋχουμε ςχεδιϊςει τετρϊγωνο ΑΒΓΔ πλευρϊσ 10cm και τεταρτοκύκλιο κϋντρου Γ και ακτύνασ ������������ = ������������ = 10 ������������. Να βρεύτε το εμβαδόν τησ γραμμοςκιαςμϋνησ καμπυλόγραμμησ επιφϊνειασ.23. ΢το παρακϊτω ςχόμα η ΑΓ εύναι διϊμετροσ. 1) Να βρεθεύ το ������ . 2) Να βρεθούν τα τόξα ΑΒ και ΓΔ. 3) Να βρεθεύ η γωνύα ������������������. 4) Αν η πλευρϊ ������������ = 10������������ , να βρεθεύ η ακτύνα του κύκλου. 5) Να βρεθεύ το εμβαδόν και το μόκοσ του κύκλου.24. Η επιφϊνεια που φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα θα ςπαρθεύ με ςπόρουσ εκτόσ του κυκλικού δύςκου. Πόςα κιλϊ ςπόροι απαιτούνται, αν για κϊθε 10m2 χρειαζόμαςτε 1 κιλό;[133] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ25. ΢το παρακϊτω ςχόμα ο κύκλοσ με κϋντρο Ο εφϊπτεται του κύκλου με κϋντρο Κ και διϋρχεται από το Κ. Σο εμβαδόν του κυκλικού δύςκου με κϋντρο Ο εύναι 4 cm2 , 1) Να βξεζεί ε αθηίλα ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ κε θέληξν ην 0. 2) Να βξεζεί ε αθηίλα ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ κε θέληξν ην Κ. 3) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ κε θέληξν ην Κ.26. ΢το παρακϊτω ςχόμα για τισ χορδϋσ του κύκλου ιςχύει ������������ = 18������������ , ������������ = 24 ������������ και ������������ = 30������������ Α Γ 1) Να απνδείμεηε όηη ε ΒΓ είλαη δηάκεηξνο.Β 2) Να βξεζεί ην εκβαδόλ θαη ην κήθνο ηνπ 0 θπθιηθνύ δίζθνπ. 3) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ θαη ηνπ ηξηγώλνπ .27. ΢το παρακϊτω ςχόμα δύνεται το μόκοσ του κύκλου ������ = 62,8 ������������ και το ορθογώνιο με ������������ = 8 ������������ . Α Β 1) Να βξεζεί ε δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. 2) Να βξεζεί ην κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΑΓ.Γ Γ 3) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ζθηαζκέλνπ ρώξνπ. [134] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ28. ΢το παρακϊτω ςχόμα για τη χορδό του κύκλου ιςχύει ������������ = 12������������ και το εμβαδόν του κύκλου εύναι ������ = 314 ������������2 . 1) Να βρεθεύ η διϊμετροσ του κύκλου. 2) Να βρεθεύ το μόκοσ του τμόματοσ ������������ . 3) Να βρεθεύ το εμβαδόν του περικλεύεται μεταξύ του κυκλικού δύςκου και του τριγώνου .29. ΢το παρακϊτω ςχόμα για τη χορδό του κύκλου ιςχύει ������������ = 16������������ και ������������������ = 4 5 1) Να βρεθεύ η διϊμετροσ του κύκλου. 2) Να βρεθεύ εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ . 3) Να βρεθεύ το εμβαδόν του περικλεύεται μεταξύ του κυκλικού δύςκου και του τριγώνου .30. ΢το παρακϊτω ςχόμα δύνεται κύκλοσ με μόκοσ ������ = 31,4 ������������ , ������������ = 8������������ , ������������ = 4������������ . Γ Γ 1) Να βρεθεύ η ακτύνα του κύκλου. 2) Να βρεθεύ το μόκοσ του ΑΔ . Α Β 3) Να βρεθεύ το εμβαδόν του τριγώνουΑΒΓ .31. Σο εμβαδόν ενόσ κυκλικού δακτυλύου ιςούται με το εμβαδόν του μικρού κύκλου. Αν η ακτύνα του μικρού κύκλου εύναι ������ = 5 2 ������������ , να βρεθεύ η ακτύνα ������ του μικρού κύκλου.32. Να βρεύτε την περύμετρο και το εμβαδό ενόσ κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμϋνο ςε κύκλο (0 , 4������������ ).33. ΢ε ϋνα κύκλο ακτύνασ 5������������ να εγγρϊψετε ιςόπλευρο τρύγωνο και να υπολογύςετε την περύμετρο και το εμβαδό του.[135] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΑ ΢ΣΕΡΕΑ-ΜΕΣΡΗ΢Η ΢ΣΕΡΕΩΝ[136] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.1 ΕΤΘΕΙΕ΢ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΢ΣΟΝ ΦΩΡΟ Η επιφάνεια του πύνακα ό ενόσ τραπεζιού μασ δύνουν την αύςθηςη του επιπέδου. Σο επύπεδο επεκτεύνεται απεριόριςτα και για να το παραςτόςουμε ςχεδιϊζουμε ϋνα παραλληλόγραμμο που το ονομϊζουμε με ϋνα από τα μικρϊ του αγγλικού αλφαβότου p,r,s… Όπωσ ξϋρουμε από δύο ςημεύα Α και Β διϋρχεται μοναδικό ευθεύα ε. Αν θεωρόςουμε ϋνα τρύτο ςημεύο Γ που δεν ανόκει ςτη ευθεύα ε, τότε τα τρύα ςημεύα Α, Β και Γ ορύζουν ϋνα επύπεδο p. Από τρύα διαφορετικϊ ςημεύα που δεν βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα, διϋρχεται μόνο ϋνα επύπεδο.΢χετικϋσ θϋςεισ δύο επιπϋδων  Δύο επύπεδα λϋγονται παρϊλληλα όταν δεν ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο.  Όταν δύο επύπεδα τϋμνονται, τότε όλα τα κοινϊ ςημεύα τουσ βρύςκονται ςε μια ευθεύα που λϋγεται τομό των δύο επιπϋδων.΢χετικϋσ θϋςεισ δύο ευθειών ςτο χώρο Όταν ϋχουμε δύο διαφορετικϋσ ευθεύεσ ε1 και ε2 , οι μόνεσ δυνατϋσ θϋςεισ που μπορούν να ϋχουν εύναι:  Να εύναι παρϊλληλεσ, δηλαδό να ανόκουν ςτο ύδιο επύπεδο και να μην ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο. ΢το διπλανό ςχόμα ϋχουμε ε1//ε2.  Να τϋμνονται, δηλαδό να ϋχουν ϋνα μόνο κοινό ςημεύο.  Να εύναι αςύμβατεσ, δηλαδό να ανόκουν ςε διαφορετικϊ επύπεδα και να μην ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο. ΢το διπλανό ςχόμα οι ευθεύεσ ε1 και ε2 εύναι αςύμβατεσ.[137] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ΢χετικϋσ θϋςεισ ευθεύασ και επιπϋδου Όταν ϋχουμε μύα ευθεύα ε και ϋνα επύπεδο q, οι δυνατϋσ θϋςεισ εύναι:  Η ευθεύα να περιϋχεται ςτο επύπεδο, δηλαδό όλα τα ςημεύα τησ ευθεύασ ε ςτο ανόκουν επύπεδο q.  Η ευθεύα να εύναι παρϊλληλη ςτο επύπεδο, δηλαδό να μην ϋχει κανϋνα κοινό ςημεύο με το επύπεδο q.  Η ευθεύα να τϋμνει το επύπεδο ςε ϋνα ςημεύο, που ονομϊζεται ύχνοσ τησ ευθεύασ ε ςτο επύπεδο q.Ευθεύα κϊθετη ςε επύπεδοΜια ευθεύα εύναι κϊθετη ςε ϋνα επύπεδο, όταν εύναι κϊθετη ςε δύο ευθεύεσ του που διϋρχονται από το ύχνοσ τησ.Απόςταςη ςημεύου από επύπεδο Απόςταςη ενόσ ςημεύου Α από ϋνα επύπεδο q, ονομϊζεται το κϊθετο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ, που φϋρουμε από το Α ςτο επύπεδο q. Σο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ εύναι μικρότερο από κϊθε πλϊγιο ευθύγραμμο τμόμα ΑΓ.Απόςταςη παρϊλληλων επιπϋδων Απόςταςη των παρϊλληλων επιπϋδων p και q, ονομϊζεται η απόςταςη οποιουδόποτε ςημεύου του επιπϋδου p από το επύπεδο q.[138] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.2 ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙ΢ΜΑΣΟ΢-ΚΤΛΙΝΔΡΟ΢  Ορθό πρύςμα ονομϊζεται το ςτερεό που ϋχει δύο ϋδρεσ παρϊλληλεσ, που εύναι ύςα πολύγωνα, και τισ ϊλλεσ ϋδρεσ ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ονομϊζονται παρϊπλευρεσ ϋδρεσ.  Οι δύο παρϊλληλεσ ϋδρεσ του λϋγονται βϊςεισ του πρύςματοσ.  Οι παρϊπλευρεσ ϋδρεσ ςχηματύζουν την παρϊπλευρη επιφϊνεια του πρύςματοσ.  Σα ύψοσ μιασ παρϊπλευρησ ϋδρασ ό αλλιώσ η απόςταςη των δύο βϊςεων, λϋγεται ύψοσ του πρύςματοσ.  Οι πλευρϋσ των εδρών του πρύςματοσ ονομϊζονται ακμϋσ. Αν οι βϊςεισ του πρύςματοσ εύναι τρύγωνο, τετρϊγωνο, πεντϊγωνο κ.ο.κ. τότε αντύςτοιχα το πρύςμα λϋγεται τριγωνικό, τετραπλευρικό, πενταγωνικό κ.ο.κ. Σο εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ ενόσ πρύςματοσ ιςούται με το γινόμενο τησ περιμϋτρου τησ βϊςησ του επύ το ύψοσ του πρύςματοσ. Eπ  περίμεηρος βάζηςύυοςΣο ολικό εμβαδόν ενόσ πρύςματοσ εύναι το ϊθροιςμα του εμβαδού τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ και των εμβαδών των δύο βϊςεων. Eολ  Eπ  2Eβ[139] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΚΤΛΙΝΔΡΟ΢  Ένασ κύλινδροσ αποτελεύται  από δύο ύςουσ και παρϊλληλουσ κυκλικούσ δύςκουσ που εύναι οι βϊςεισ του και  την τετρϊπλευρη επιφϊνεια.  Ύψοσ του κυλύνδρου λϋμε την απόςταςη των βϊςεων.  Ένασ κύλινδροσ μπορεύ να προκύψει από την περιςτροφό ενόσ ορθογωνύου ΑΒΓΔ γύρω από μύα πλευρϊ του και τότε λϋγεται κύλινδροσ εκ περιςτροφόσ. Σην πλευρϊ αυτό την ονομϊζουμε γενϋτειρα του κυλύνδρου . Αν ρ εύναι η ακτύνα των βϊςεων και υ το ύψοσ του κυλύνδρου, τότε το εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ του κυλύνδρου εύναι: Eπ  2  Σο εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του κυλύνδρου εύναι: Eολ  Eπ  2E ό Eολ  2   2 2[140] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.3 ΟΓΚΟ΢ ΠΡΙ΢ΜΑΣΟ΢ – ΚΤΛΙΝΔΡΟΤ  Η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ όγκου εύναι το κυβικό μϋτρο m3 , που εύναι ϋνασ κύβοσ με πλευρϊ 1m. Τποδιαιρϋςεισ του κυβικού μϋτρου εύναι το κυβικό δεκατόμετρο dm3 όπου πολύ ςυχνϊ το ονομϊζουμε και λύτρο l ) , το κυβικό εκατοςτόμετρο cm3 , που ςυχνϊ το ονομϊζουμε χιλιοςτόλιτρο ml ), το κυβικό χιλιοςτόμετρο mm3). Αν θϋλουμε να γεμύςουμε 1m3 με μικρότερουσ κύβουσ, που ο καθϋνασ εύναι 1dm3, εύναι φανερό ότι χρειαζόμαςτε 1000 τϋτοιουσ κύβουσ. Για να κϊνουμε μετατροπϋσ ανϊμεςα ςτο κυβικό μϋτρο και τισ υποδιαιρϋςεισ του, χρηςιμοποιούμε το παρακϊτω διϊγραμμα: Ό όγκοσ ενόσ πρύςματοσ ιςούται με το γινόμενο του εμβαδού τησ βϊςησ του επύ το ύψοσ. V  Εμβαδόν βάζηςύυος Ο όγκοσ του κύβου με ακμό α εύναι ������ = ������3. Ο όγκοσ του ορθογωνύου παραλληλεπιπϋδου με διαςτϊςεισ α και β και γ εύναι ������ = ������ · ������ · ������ . Ό όγκοσ ενόσ κυλύνδρου ιςούται με το γινόμενο του εμβαδού τησ βϊςησ του επύ το ύψοσ. Vκ  Εμβαδόν βάζηςύυος ό V   2[141] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.4 Η ΠΤΡΑΜΙΔΑ ΚΑΙ ΣΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΗ΢  Πυραμύδα λϋγεται το ςτερεό, που μύα ϋδρα του εύναι πολύγωνο και όλεσ οι ϊλλεσ ϋδρεσ του εύναι τρύγωνα με κοινό κορυφό. ΢το διπλανό ςχόμα ϋχουμε μια πυραμύδα με μύα ϋδρα το πεντϊγωνο ΑΒΓΔΕ.  Σο πολύγωνο ΑΒΓΔΕ ονομϊζεται βϊςη τησ πυραμύδασ.  Σα τρύγωνα ΚΑΒ, ΚΒΓ, ΚΓΔ, ΚΔΕ και ΚΕΑ ονομϊζονται παρϊπλευρεσ ϋδρεσ τησ πυραμύδασ.  Κορυφό τησ πυραμύδασ ονομϊζεται το κοινό ςημεύο Κ των παρϊπλευρων εδρών.  Σο ευθύγραμμο τμόμα ΚΖ ονομϊζεται ύψοσ τησ πυραμύδασ και εύναι η απόςταςη τησ κορυφόσ από τη βϊςη. Σο ύψοσ μιασ πυραμύδασ μπορεύ να βρύςκεται και εκτόσ τησ πυραμύδασ. Μια πυραμύδα που ϋχει ωσ βϊςη ϋνα τρύγωνο, λϋγεται τριγωνικό πυραμύδα και επειδό ϋχει τϋςςερισ τριγωνικϋσ ϋδρεσ, τη λϋμε και τετρϊεδρο. Σετραπλευρικό, πενταγωνικό κτλ. Λϋγεται η πυραμύδα που ϋχει βϊςη τετρϊπλευρο, πεντϊγωνο κτλ.  Κανονικό λϋγεται μια πυραμύδα που η βϊςη τησ εύναι κανονικόπολύγωνο, και η προβολό τησ κορυφόσ τησ ςτη βϊςη εύναι το κϋντρο του κανονικού πολυγώνου. ΢το κανονικό τετρϊεδρο οι ϋδρεσ εύναι ιςόπλευρα τρύγωνα.Σο εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ κανονικόσ πυραμύδασ ιςούται με:Eπ  1  περίμεηρος βάζης    απόζηημα  2Σο εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ μιασ πυραμύδασ εύναι : Eολ  Eπ  EβΟ όγκοσ τησ πυραμύδασ ιςούται με : V  1 Εμβαδόν βάζηςύυος 3 [142] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.5 Ο ΚΩΝΟ΢ ΚΑΙ ΣΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΟΤ Κώνοσ ονομϊζεται το ςτερεό που προκύπτει από την περιςτροφό ενόσ ορθογωνύουτριγώνου ΚΟΑ γύρω από μύα κϊθετη πλευρϊ του ΟΚ. Βϊςη του κώνου ονομϊζεται ο κυκλικόσ δύςκοσ που δημιουργεύται με κϋντρο το Ο και ακτύνα ΟΑ =  που λϋγεται ακτύνα του κώνου. Ύψοσ του κώνου ονομϊζεται η απόςταςη τησ κορυφόσ Κ του κώνου από τη βϊςη του, δηλαδό το ΚΟ. Η υποτεύνουςα ΚΑ του ορθογωνύου τριγώνου λϋγεται γενϋτειρα του κώνου και το μόκοσ τησ ςυμβολύζεται με  . Η περιςτροφό τησ γενϋτειρασ ΚΑ δημιουργεύ την παρϊπλευρη επιφϊνεια του κώνου. Ιςχύει: 2   2   2 .Σο εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ ενόσ κώνου ιςούται με : Eπ   Σο εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του κώνου ιςούται με: Eολ  Eπ  E ό Eολ     2 Ο όγκοσ ενόσ κώνου ιςούται με: V  1 Εμβαδόν βάζηςύυος ό V  1 2 33 [143] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.6 Η ΢ΥΑΙΡΑ ΚΑΙ ΣΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΗ΢  ΢φαύρα ονομϊζεται το ςτερεό ςώμα που παρϊγεται, αν περιςτρϋψουμε ϋναν κυκλικό δύςκο ,  γύρω από μια διϊμετρό του.  Κϋντρο τησ ςφαύρασ ονομϊζεται το κϋντρο του κυκλικού δύςκου Ο.  Η απόςταςη ενόσ οποιουδόποτε ςημεύου τησ επιφϊνειασ μιασ ςφαύρασ από το κϋντρο τησ Ο εύναι η ακτύνα τησ ςφαύρασ  . ΢χετικϋσ θϋςεισ επιπϋδου και ςφαύρασ  Να μην τϋμνονται μεταξύ τουσ.  Να εφϊπτονται ςε ϋνα ςημεύο Α που ονομϊζεται ςημεύο επαφόσ.  Να τϋμνονται ςε κύκλο. Όταν το επύπεδο που τϋμνει τον κύκλο διϋρχεται από το κϋντρο Ο τησ ςφαύρασ, τότε ο κύκλοσ ςτον οπούο τϋμνονται ονομϊζεται μϋγιςτοσ κύκλοσ τησ ςφαύρασ.Σο εμβαδόν τησ επιφϊνειασ μιασ ςφαύρασ ιςούται με το εμβαδόν τεςςϊρων μεγύςτων κύκλων. Eζθ  42Ο όγκοσ τησ ςφαύρασ ιςούται με: Vζθ  4 3 3 [144] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΚΕΥΑΛΑΙΟΤ1. ΢το παρακϊτω ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο να βρεύτε ευθεύεσ που εύναι:α παρϊλληλεσ ςτην ΑΒβ κϊθετεσ ςτη ΔΓγ αςύμβατεσ με τη ΑΕ.2. ΢το παρακϊτω ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο να υπολογύςετε το ΔΗ και το ΑΗ.3. ΢το παρακϊτω ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο να υπολογύςετε: α το ΖΘ β το ΒΘ γ τη γωνύα ΖΘΒ4. Σο παρακϊτω ςχόμα δεύχνει ϋνα μϋροσ από την οροφό ενόσ κτιρύου. Σο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ εύναι κϊθετο ςτο επύπεδο ΒΓΔΕ. Να υπολογύςετε τα ευθύγραμμα τμόματα ΑΓ, ΑΔ, και ΑΕ. [145] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ5. Ένασ κύβοσ ϋχει ακμό α=2cm. Να υπολογύςετε: α. Ση διαγώνιό του. β. Σο εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ. γ. Σον όγκο του.6. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο ϋχει διαςτϊςεισ α=3cm,β=4cm, γ=5cm. Να υπολογύςετε: α. Σο εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του. β. Σον όγκο του.7. Ένα ορθό πρύςμα ϋχει βϊςη τετρϊγωνο. Η πλευρϊ τησ βϊςησ εύναι α=5cm και το ύψοσ εύναι υ=3cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του πρύςματοσ και τον όγκο του.8. Ένασ κύλινδροσ ϋχει διϊμετρο βϊςησ δ=6cm και ύψοσ υ=10cm. Να υπολογύςετε: α. Σο εμβαδόν τησ κυρτόσ του επιφϊνειασ. β. Σο εμβαδόν τησ ολικόσ του επιφϊνειασ. γ. Σον όγκο του.9. Να βρεύτε την ολικό επιφϊνεια ενόσ κιβωτύου ςχόματοσ ορθογωνύου παραλληλεπιπϋδου που ϋχει διαςτϊςεισ μόκοσ 80cm, πλϊτοσ 40cm και ύψοσ 30cm.10. Μια πιςύνα ϋχει διαςτϊςεισ 25m μόκοσ, 15m πλϊτοσ και 2,5m ύψοσ. Να βρεύτε: α Σην εςωτερικό επιφϊνεια τησ πιςύνασ β Πόςα τετραγωνικϊ πλακϊκια πλευρϊσ 25cm χρειαζόμαςτε για να την επενδύςουμε εςωτερικϊ και πόςο θα μασ κοςτύςει αν κϊθε πλακϊκι ςτοιχύζει 0,40€.11. Σο εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ ενόσ πρύςματοσ με βϊςη ιςόπλευρο τρύγωνο εύναι Επ=192cm2 και το ύψοσ του εύναι 8cm. Να βρεύτε το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του πρύςματοσ.12. Να βρεύτε την ακτύνα τησ βϊςησ κυλύνδρου που ϋχει όγκο V=785cm3 και ύψοσ υ=10cm.13. Σο μόκοσ τησ βϊςησ κυλύνδρου εύναι 50,24cm και το ύψοσ του εύναι 20cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειϊσ του.14. Σριγωνικό πρύςμα με βϊςη ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με κϊθετεσ πλευρϋσ ΑΒ = 12cm και ΑΓ = 16cm ϋχει ύψοσ ύςο με την υποτεύνουςα ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογύςετε: α την πλευρϊ ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ β το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ του πρύςματοσ γ τον όγκο του πρύςματοσ.15. Δύνεται τριγωνικό πρύςμα με βϊςη ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ = 5cm και το ύψοσ του ιςοςκελούσ τριγώνου εύναι ύςο με 4cm. Αν το ύψοσ τουπρύςματοσ εύναι 15cm, να υπολογύςετε: α το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειϊσ του β τον όγκο του.[146] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ16. Να βρεύτε τον όγκο κυλύνδρου ο οπούοσ ϋχει: α ακτύνα βϊςησ 30 cm και ύψοσ 0,8m β περύμετρο βϊςησ 942mm και ύψοσ 0,4m.17. Η παρϊπλευρη επιφϊνεια ενόσ κυλύνδρου ϋχει εμβαδόν 452,16cm2 και το ύψοσ του εύναι 24cm. Να βρεύτε τον όγκο του.18. Μια κανονικό πυραμύδα ϋχει βϊςη τετρϊγωνο πλευρϊσ 10cm και απόςτημα 12cm. Να υπολογύςετε: α το εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ β τησ ολικόσ επιφϊνειασ τησ πυραμύδασ γ τον όγκο τησ.19. Μια κανονικό εξαγωνικό πυραμύδα ϋχει πλευρϊ βϊςησ 8cm και παρϊπλευρη ακμό 10cm. Να υπολογύςετε: α το απόςτημϊ τησ β το εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ τησ πυραμύδασ γ το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ τησ πυραμύδασ δ τον όγκο τησ πυραμύδασ.20. Σο εμβαδόν τησ παρϊπλευρησ επιφϊνειασ ενόσ κώνου εύναι 226,08 m2 και η γενϋτειρϊ του λ=9m. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ βϊςησ του κώνου.21. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ ολικόσ επιφϊνειασ και τον όγκο του διπλανού κώνου.22. Η ακτύνα μιασ ςφαύρασ εύναι ρ = 8cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ επιφϊνειασ και τον όγκο τησ ςφαύρασ.23. Σο μόκοσ ενόσ μϋγιςτου κύκλου μιασ ςφαύρασ εύναι 50,24cm. Να βρεύτε: α την ακτύνα τησ β το εμβαδόν τησ επιφϊνειϊσ τησ γ τον όγκο τησ ςφαύρασ.[147] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ[148] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα