ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΠύνακασ περιεχομϋνων0 ΑΛΓΔΒΡΑ........................................................................................................................................... 5ΠΡΑΞΔΗ ΜΔ ΡΖΣΟΤ – ΤΝΔΥΔΗΑ ΑΠΟ Α ‘ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ........................................................... 51 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 1 ΔΞΗΩΔΗ - ΑΝΗΩΔΗ................................................................................ 201.1 ΔΞΗΩΔΗ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ .................................................................................................... 231.3. ΔΠΗΛΤΖ ΣΤΠΩΝ.................................................................................................................... 301.4 ΔΠΗΛΤΖ ΠΡΟΒΛΖΜΑΣΩΝ ΜΔ ΣΖΝ ΥΡΖΖ ΔΞΗΩΔΩΝ ............................................ 321.5 ΑΝΗΩΔΗ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ..................................................................................................... 352 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ ............................................................................. 452.1 ΣΔΣΡΑΓΩΝΗΚΖ ΡΗΕΑ ΘΔΣΗΚΟΤ ΑΡΗΘΜΟΤ........................................................................ 462.2 ΑΡΡΖΣΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ-ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ.................................................................. 513 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 3 ΤΝΑΡΣΖΔΗ .......................................................................................... 563.1 Ζ ΔΝΝΟΗΑ ΣΖ ΤΝΑΡΣΖΖ............................................................................................. 573.2 ΚΑΡΣΔΗΑΝΔ ΤΝΣΔΣΑΓΜΔΝΔ – ΓΡΑΦΗΚΖ ΠΑΡΑΣΑΖ ΤΝΑΡΣΖΖ ............ 613.3 Ζ ΤΝΑΡΣΖΖ y=α·x ............................................................................................................ 663.4 Ζ ΤΝΑΡΣΖΖ y=α·x+β ........................................................................................................ 703.5 Ζ ΤΝΑΡΣΖΖ y=������������ ............................................................................................................. 754 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4 ΣΑΣΗΣΗΚΖ........................................................................................................ 794.1 ΒΑΗΚΔ ΔΝΝΟΗΔ ΣΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ : ΠΛΖΘΤΜΟ-ΓΔΗΓΜΑ ................................ 804.2 ΓΡΑΦΗΚΔ ΠΑΡΑΣΑΔΗ..................................................................................................... 814.3 ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΤΥΝΟΣΖΣΩΝ ΚΑΗ ΥΔΣΗΚΩΝ ΤΥΝΟΣΖΣΩΝ ...................................... 844.4 ΟΜΑΓΟΠΟΗΖΖ ΠΑΡΑΣΖΡΖΔΩΝ ..................................................................................... 844.5 ΜΔΖ ΣΗΜΖ - ΓΗΑΜΔΟ...................................................................................................... 861 ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ..................................................................................................................................... 91ΚΔΦΑΛΑΗΟ 1-ΔΜΒΑΓΑ ΔΠΗΠΔΓΩΝ ΥΖΜΑΣΩΝ-ΠΤΘΑΓΟΡΔΗΟ ΘΔΩΡΖΜΑ ........................... 911.1 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑ ...................................................................................... 921.2 ΜΟΝΑΓΔ ΜΔΣΡΖΖ ΔΠΗΦΑΝΔΗΩΝ ................................................................................ 921.3 ΔΜΒΑΓΑ ΔΠΗΠΔΓΩΝ ΥΖΜΑΣΩΝ...................................................................................... 941.4 ΠΤΘΑΓΟΡΔΗΟ ΘΔΩΡΖΜΑ ..................................................................................................... 972 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 2 ΣΡΗΓΟΝΩΜΔΣΡΗΑ ............................................................................................ 1032.1 ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ ΟΞΔΗΑ ΓΩΝΗΑ ...................................................................................... 1042.2 ΖΜΗΣΟΝΟ-ΤΝΖΜΗΣΟΝΟ ΟΞΔΗΑ ΓΩΝΗΑ ................................................................... 1062.3 ΜΔΣΑΒΟΛΔ ΣΡΗΓΩΝΟΜΔΣΡΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΟΞΔΗΑ ΓΩΝΗΑ................................ 1092.4 ΣΡΗΓΩΝΟΜΔΣΡΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ ΣΩΝ ΓΩΝΗΩΝ 30 ,̊ 45 ̊,60 ̊................................................ 1103 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 3 ΜΔΣΡΖΖ ΚΤΚΛΟΤ ........................................................................................ 116 [2] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ 3.1 ΔΓΓΔΓΡΑΜΜΔΝΔ ΓΩΝΗΔ ................................................................................................ 117 3.2 ΚΑΝΟΝΗΚΑ ΠΟΛΤΓΩΝΑ..................................................................................................... 124 3.4 ΜΖΚΟ ΚΤΚΛΟΤ ................................................................................................................. 126 3.5 ΔΜΒΑΓΟΝ ΚΤΚΛΗΚΟΤ ΓΗΚΟΤ ....................................................................................... 1294 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4 ................................................................................................................................. 136ΓΔΩΜΔΣΡΗΚΑ ΣΔΡΔΑ-ΜΔΣΡΖΖ ΣΔΡΔΩΝ ................................................................................ 136 4.1 ΔΤΘΔΗΔ ΚΑΗ ΔΠΗΠΔΓΑ ΣΟΝ ΥΩΡΟ ............................................................................... 137 4.2 ΣΟΗΥΔΗΑ ΚΑΗ ΔΜΒΑΓΟΝ ΠΡΗΜΑΣΟ-ΚΤΛΗΝΓΡΟ .................................................. 139 4.3 ΟΓΚΟ ΠΡΗΜΑΣΟ – ΚΤΛΗΝΓΡΟΤ ................................................................................. 141 4.4 Ζ ΠΤΡΑΜΗΓΑ ΚΑΗ ΣΑ ΣΟΗΥΔΗΑ ΣΖ .............................................................................. 142 4.5 Ο ΚΩΝΟ ΚΑΗ ΣΑ ΣΟΗΥΔΗΑ ΣΟΤ..................................................................................... 143 4.6 Ζ ΦΑΗΡΑ ΚΑΗ ΣΑ ΣΟΗΥΔΗΑ ΣΖ..................................................................................... 144 [3] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΑΛΓΕΒΡΑ„‟Η υαμτασία είμαι πιο σημαμτική από τημ γμώση‟‟ Albert Einstein [4] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ0 ΑΛΓΕΒΡΑΠΡΑΞΕΙ ΜΕ ΡΗΣΟΤ – ΤΝΕΦΕΙΑ ΑΠΟ Α ‘ ΓΤΜΝΑΙΟΤΘΕΣΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Η ΕΤΘΕΙΑ ΣΩΝ ΡΗΣΩΝ-ΣΕΣΜΗΜΕΝΗΗΜΕΙΟΤ Πρόςημα λϋγονται τα ςύμβολα «+» και «–» και τα γρϊφουμε πριν από τουσ αριθμούσ. Θετικόσ λϋγεται ο αριθμόσ που ϋχει πρόςημο «+», αρνητικόσ λϋγεται ο αριθμόσ που ϋχει πρόςημο «–». Σο 0 δεν εύναι ούτε θετικόσ ούτε αρνητικόσ αριθμόσ. Όταν δεν υπϊρχει πρόςημο μπροςτϊ από ϋναν αριθμό υπονοεύται το «+» . Ομόςημοι λϋγονται οι αριθμού που ϋχουν το ύδιο πρόςημο. Π.χ. +2, +3 Ετερόςημοι λϋγονται δύο αριθμού που ϋχουν διαφορετικό πρόςημο. Π.χ. -3 ,+7 τον ϊξονα των αριθμών δεξιϊ του 0 εύναι οι θετικού αριθμού και αριςτερϊ του οι αρνητικού. Ο ημιϊξονασ ������������ λϋγεται θετικόσ ημιϊξονασ. Ο ημιϊξονασ ������������΄ λϋγεται αρνητικόσ ημιϊξονασ. Αν ϋνα ςημεύο Α του ϊξονα των αριθμών αντιςτοιχύζεται ς’ ϋναν αριθμό α, τότε ο αριθμόσ α λϋγεται τετμημϋνη του ςημεύου Α.ΤΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Υυςικού Αριθμού : ℕ = {0,1,2,3,…..} Ακϋραιοι Αριθμού : ℤ= {……,-2,-1,0,1,2,……} Οι φυςικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ. Ρητού Αριθμού : ℚ={ α , α, β ακϋραιοι , β ≠ 0 } β Οι φυςικού , τα κλϊςμα τα και οι δεκαδικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ. [5] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ Άρρητοι αριθμού : εύναι οι αριθμού που δεν εύναι ρητού. Διαφορετικϊ θα θυμόμαςτε ότι ϊρρητοσ εύναι κϊθε αριθμόσ ο οπούοσ δεν μπορεύ να γραφεύ ςαν τετρϊγωνο ακεραύου. Πραγματικού Αριθμού : ℝ εύναι όλοι οι ρητού και ϊρρητοι αριθμού.ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΙΜΗ ΑΡΙΘΜΟΤ-ΑΝΣΙΘΕΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΤΓΚΡΙΗ ΡΗΣΩΝ ΑΠΟΣΑΗ ΗΜΕΙΩΝ Απόςταςη δυο ςημεύων Α και Β εύναι το μόκοσ του τμόματοσ ΑΒ και ςυμβολύζεται με (ΑΒ) ό ΑΒ. ΑΒ ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΙΜΗ Η απόλυτη τιμό ενόσ ρητού αριθμού ������ εκφρϊζει την απόςταςη του ςημεύου με τετμημϋνη ������ από την αρχό Ο του ϊξονα και ςυμβολύζεται με ������ . Η απόλυτη τιμό εύναι πϊντα ϋνασ μη αρνητικόσ αριθμόσ. Ιςχύει ότι ∶ ������ ≥ 0. Αντύθετοι λϋγονται οι αριθμού που ϋχουν διαφορετικό πρόςημο και ύδια απόλυτη τιμό. Αλλιώσ , οι αριθμού , που ϋχουν ϊθροιςμα 0. Ο αντύθετοσ του x εύναι ο – x και ιςχύει |– x| = |x|. Για παρϊδειγμα , ο αντύθετοσ του 2 εύναι το −2. Αντύςτροφοι λϋγονται δυο μη μηδενικού αριθμού , 1 που ϋχουν γινόμενο 1. Οι αντύςτροφοι αριθμού εύναι πϊντα ομόςημοι . Ο αντύςτροφοσ του 1 εύναι ο εαυτόσ του . Δεν υπϊρχει αντύςτροφοσ του 0 . [6] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΤΓΚΡΙΗ ΡΗΣΩΝ Μεγαλύτεροσ από δύο ρητούσ αριθμούσ εύναι εκεύνοσ που βρύςκεται δεξιότερα από τον ϊλλο ςτον ϊξονα. Μεγαλύτεροσ από δύο θετικούσ ρητούσ εύναι εκεύνοσ που ϋχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό ενώ μεγαλύτεροσ από δυο αρνητικούσ ρητούσ εύναι εκεύνοσ που ϋχει τη μικρότερη απόλυτη τιμό. Κϊθε θετικόσ εύναι μεγαλύτεροσ από το μηδϋν. Κϊθε αρνητικόσ αριθμόσ εύναι μικρότεροσ από το μηδϋν. Κϊθε θετικόσ αριθμόσ εύναι μεγαλύτεροσ από κϊθε αρνητικό αριθμό.ΠΡΟΘΕΗ-ΑΥΑΙΡΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΡΟΘΕΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΠΡΟΘΕΗ ΑντιμεταθετικόΠροςεταιριςτικό Ουδϋτερο τοιχεύο Αντύθετοσ 0 0 0ΠΡΟΘΕΗ ΡΗΣΩΝ Για να προςθϋςουμε δύο ό περιςςότερουσ ομόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, προςθϋτουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο ϊθροιςμα βϊζουμε το κοινό τουσ πρόςημο. π.χ. 5 + 3 = +8 , 7 + 4 = 11 −3 − 5 = −8 , − 2 − 10 − 3 = −15 Για να προςθϋςουμε δύο ετερόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό τη μικρότερη και ςτη διαφορϊ βϊζουμε το πρόςημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό. π.χ. 5 − 3 = 2 , + 7 − 4 = +3 , −5 + 6 = 1 Τπενθυμύζουμε ότι το πρόςημο <<+>> ςτο τελικό αποτϋλεςμα μιασ πρϊξησ μπορεύ να παραλειφθεύ. −3 + 5 = 2 , 2 − 10 = −8 [7] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΑΥΑΙΡΕΗ ΡΗΣΩΝΓια να αφαιρϋςουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β , προςθϋτουμε ςτον α τον αντύθετο του β . α − β = α + (−β)ΑΠΑΛΟΙΥΗ ΠΑΡΕΝΘΕΕΩΝ Για να απαλεύψουμε τισ παρενθϋςεισ από μύα αριθμητικό παρϊςταςη ελϋγχουμε : Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο « + » ό δεν ϋχει καθόλου πρόςημο, τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με τα πρόςημα τουσ. π.χ. +3 + −4 + 5 + +7 + −2 = +3 − 4 + 5 + 7 − 2 = +3 + 5 + 7 − 4 − 2 = +15 − 6 = +9 Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο « », τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με αντύθετα πρόςημα.π.χ. − +3 + 5 − (−9) − +7 + −2 = −3 + 5 + 9 − 7 − 2 = +5 + 9 − 3 − 7 − 2 = +14 − 12 = +2 ΜΕΘΟΔΟΓενικϊ , όταν ϋχουμε μια αριθμητικό παρϊςταςη που αποτελεύται απόπροςθετϋουσ που δεν εύναι ομόςημοι , τότε ακολουθούμε τα παρακϊτωβόματα:+10 − 5 + −3 − −5 + +8 − 4 = ← Απαλούφουμε τισ παρενθϋςεισ.+10 − 5 − 3 + 5 + 8 − 4 = ← Διαγρϊφουμε τουσ αντύθετουσ αν υπϊρχουν. +10 + 8 − 3 − 4 = ← Φωρύζουμε τουσ θετικούσ με τουσ αρνητικούσ και υπολογύζουμε τα αντύςτοιχα αθρούςματα. +18 − 7 = ← Τπολογύζουμε το τελικό ϊθροιςμα. +11 [8] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΝΟΝΑ ΠΡΟΗΜΩΝ + · + = (+) − · − = (+) +·− = − −·+ = − ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟΤ ΑντιμεταθετικόΠροςεταιριςτικό Ουδϋτερο τοιχεύο Αντύςτροφοσ 1 1 Επιμεριςτικό 1 1 1 ιδιότητα ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ ΡΗΣΩΝ Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ομόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «+». π.χ. +3 · +4 = +12 , −3 · −5 = +15 Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ετερόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «–». π.χ. +3 · −4 = −12 , −3 · +5 = −15 5 3 5 3 15 +2 · −4 = −2·4 = − 8 3 3 12 −4 · − 5 = +4 · 5 = + 5[9] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ Για να πολλαπλαςιϊςουμε πολλούσ παρϊγοντεσ αρκεύ να πολλαπλαςιϊςουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ των παραγόντων και να μετρόςουμε το πλόθοσ των αρνητικών προςόμων . Αν αυτό εύναι ϊρτιο το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο θετικό + , ενώ αν αυτό εύναι περιττό το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο αρνητικό. Αν ϋνασ παρϊγοντασ εύναι 0, τότε το γινόμενο θα εύναι 0.ΔΙΑΙΡΕΗ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να διαιρϋςουμε δυο ρητούσ αριθμούσ, διαιρούμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο πηλύκο βϊζουμε : το πρόςημο « + », αν εύναι ομόςημοι .π.χ. −9 : −3 = +3 , +10 : +5 = +2 και το πρόςημο «– » , αν εύναι ετερόςημοι .π.χ. +9 : −3 = −3 , −15 : +5 = −3+ 5 : − 3 = − 5 : 3 = − 5 · 4 = − 20 = − 1024 24 2 3 6 3 Αλλιώσ, η διαύρεςη ������ γρϊφεται και ωσ ������ 1 , επομϋνωσ για να διαιρϋςουμε δύο ������ ������ ρητούσ, πολλαπλαςιϊζουμε ςτον διαιρετϋο τον αντύςτροφο του διαιρϋτη. Δεν ορύζεται η διαύρεςη με διαιρϋτη το 0. [10] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΔΤΝΑΜΕΙ ΡΗΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝν-οςτη δύναμη του αΛϋγεται το γινόμενο ������ · ������ · ������ ···· ������ που ϋχει ν παρϊγοντεσ ύςουσ με το α και ςυμβολύζεται ������������ . ν-παρϊγοντεσ Σο α λϋγεται βϊςη τησ δύναμησ και το ν εκθϋτησ. Ση δύναμη α2 λϋμε τετρϊγωνο του α, ενώ η α3 λϋγεται κύβοσ του α. ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ α1 = α α0 = 1 με α ≠ 0ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΔΤΝΑΜΕΩΝ1. ������������ · ������������ = ������������ +������ 1. Κϊθε αριθμόσ μπορεύ να γραφεύ ωσ δύναμη με εκθϋτη το 1 . π.χ. 5= 512. ������������ : ������������ = ������ ������ = ������������−������ 2. 10������ = 1000 … 00 10−������ = 0,000 … 001 ������ ������3. ������������ ������ = ������������ ·������ λ-κεδεληθά λ-δεθαδηθά4. (������ · ������)������ = ������������ · ������������ 3. Γηα λα ηζρύεη ������������ = 0 , ������������ϋ������������������ : ������ = 0 ������������������ ������ ������ ������������ ������ύ������������������ ������������������������������ό������ ������������������ ≠ 0.5. (������: ������)������ = ������ ������ = ������ ������ 4. Δάλ α, β ≥0 θαη ������2 = ������2 , ηόηε α = β . ������ ������ ������6. ������ −������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ = α−1 = 1 με α ≠ 0 α α−ν = 1 με α ≠ 0 αν [11] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ1) Αν ςε μια δύναμη η βϊςη εύναι θετικό τότε το αποτϋλεςμα εύναι θετικό.2) Αν ςε μια δύναμη η βϊςη εύναι αρνητικό τότε το αποτϋλεςμα εξαρτϊται από τον εκθϋτη. i. Αν ο εκθϋτησ εύναι ϊρτιοσ τότε το αποτϋλεςμα εύναι θετικό. ii. Αν ο εκθϋτησ εύναι περιττόσ τότε το αποτϋλεςμα εύναι αρνητικό.Παραδεύγματα 22 = 2 · 2 = 4 23 = 2 · 2 · 2 = 8 −22 = −2 · 2 = −4 −23 = −2 · 2 · 2 = −8 −2 2 = −2 · −2 = 4 −2 3 = −2 · −2 · −2 = −8 2−2 = 1 = 1 2−3 = 1 = 1 22 4 23 8 −2−2 = − 1 = − 1 −2−3 = − 1 = −1 22 4 23 8 −2 −2 = 1 2 = 1 −2 −3 = 1 3 = − 1 −2 84 −2 8 Αν ςε μια δύναμη ςυναντόςουμε αρνητικό βϊςη και αρνητικό εκθϋτη , τότε πρώτα θα αςχοληθούμε με τον εκθϋτη τησ δύναμησ. [12] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΚΕΥΑΛΑΙΟ ΠΡΟΕΣΟΙΜΑΙΑ ΡΗΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ1. Να τοποθετόςετε τουσ αριθμούσ -2 , -1 , 0 2 , 2 , − 3 , -4 , -3 , 5ςτον ϊξονα x’x. 32 22. Να ςυμπληρώςετε τισ ιςότητεσ 0 =. . . . ., −2 =. . . .. , −200 =. . … , 20 =. . … ..3. α Να βρεθούν οι αριθμού που ϋχουν απόλυτη τιμό 7 . β) Να βρεθούν οι τιμϋσ του ������ για τισ οπούεσ ιςχύει |������| = 7.4. Να γύνουν οι πρϊξεισ : α −7 + +6 + +2 β −3 + 5 · +2 − +1 · −1 γ − 1 + 2 − 1 + 2 · 3 − 1 δ 2·4−3 22 2· −4−35. Να βρεύτε τουσ αντύθετουσ και τουσ αντύςτροφουσ των αριθμών : 6 , -8 , 0,05 , 0 , -3 , -7 , - 7 1,1.6. Να γρϊψετε τουσ αριθμούσ ςε αύξουςα ςειρϊ : i. −4 , 4 , 0 , −1 , −2 ii. -1 , − 3 , −1 , 0 ,3 , − 5 22 27. Να υπολογύςετε τα αθρούςματα. 1) + +5 − +4 — 6 + −8 = 2) — 4 − +3 + +10 − (+12)= 3) +5,7 + (−3,4) + −2,06 + +3,4 = 4) + 3 + + 3 = 57 5) − 3 + + 2 = 23 6) + 5 + − 5 = 46 7) + 3 + + 3 = 77 8) 5 + 2 − 15 = 7 3 42 9) 1 − 2 − 3 = 23 48. Αν ������ = 12 − 5 , ������ = −3 − 2 − 1 , ������ = 3 + 2 − 10 + 1 Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = ������ + ������ + ������ . [13] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ9. Να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων: Θπκίδσ όηη , 1) −3 + 2 + −7 + 8 − 3 — 5 + 2 − 3 Όηαλ ζε κία πξόζζεζε ξεηώλ κε πνιινύο 2) 1 − (7 − 2 + 2) − (−3 − 4 + 2) πξνζζεηένπο ζπλαληάκε θαη πξάμεηο κέζα ζε 3) −5 − (−2) − (−2 − 4 − 6 + 1) παξελζέζεηο ηόηε ππάξρνπλ δύν ηξόπνη λα 4) −2— 4 + (−3 − 4 + 1) επηιπζεί ε παξάζηαζε : 5) −5 + −3 − −4 + 1 − −5 6) 1 + −3 + (−10 + 10) − (−3 + 8) Απαιείθνληαο αξρηθά όιεο ηηο παξελζέζεηο θαη ζπλερίδνληαο όπσο ηε10. Να γύνουν οι πρϊξεισ κέζνδν ζει. 8. 1) − 1 − + 3 − − 1 ή, 5 10 2 Κάλνληαο αξρηθά ηηο πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο θαη έπεηηα ζπλερίδνληαο 2) − −4 − + 3 − − 3 όπσο ηε κέζνδν ζει. 8. 10 2 3) − 1 + + 3 − − 1 5 20 4 4) − 1 − + 3 − − 8 + 3 5 10 15 411. Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ:1 11 123A = − −7 + 2 − 3 − 4 + − 2 + 3 − 412. Να υπολογύςετε τα αθρούςματα.a. (α γ) (β γ) (α β)b. 1 − − 5 − 1 + − 4 − 1 − 2 + 12 43 36 213. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ1) − −������ + −������ − ������2) – ������ − 2������ − 3������ − −������3) 5 − ������ − 2������ − 3 − 2������4) ������ − ������ + ������ − ������ − ������ + ������14. Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ Α για τισ τιμϋσ ������ = −1 και ������ = −5 Α=(������ − 2) − (−������) + 4 · (−������ − 2 ������)15. Αν ������ + ������ = 3 να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = −{α + −2 − −β + 3 + 7 + γ − (γ + 2)}16. Δύνεται η παρϊςταςη Α = − − x + y + 2 + x + x + 3 + −y + 3 − x + [x − (3 + x] Να δεύξετε ότι η τιμό τησ εύναι ανεξϊρτητη από τουσ αριθμούσ ������και ������ . [14] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ17. Να βρεθεύ ο αριθμόσ α ςτισ ιςότητεσ : 1) −2 + −4 + ������ + +20 = 0 2) − 5 + −7 + ������ + − 3 = 0 2218. Να γύνουν οι πρϊξεισ:α + 3 · + 3 = ������) − 3 · + 3 = ������) − 3 · −7 = ������) −3 · + 3 =77 75ε −3 · +3 · −3 · +1 = 7 5 2523 Θυμύζω ότι , Για να πολλαπλαςιϊςουμε πολλούσ19. Να γύνουν οι πρϊξεισ: παρϊγοντεσ αρκεύ να πολλαπλαςιϊςουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ των παραγόντων και να1) −3 · +3 · −2 · −1 μετρόςουμε το πλόθοσ των αρνητικών2) +4 · +3 · −1 · −1 προςόμων .3) −1 · +2 · −2 · −5 · −1 Αν αυτό εύναι ϊρτιο τότε το4) − −1 · +4 · −2 · −3 · −15) −������ · +������ · −������ · −������ · −������ γινόμενο θα ϋχει πρόςημο θετικό + , ενώ αν αυτό εύναι περιττό τότε20. Να γύνουν οι πρϊξεισ: το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο αρνητικό (−).1) α 1 − 2 · −4 + (4 − 1 · 2) =2) −3 · (10 − 9) + 2 · −2 − 3 + (−6 + 4) =21. Αν ������ = −1 , ������ = −2 , ������ = −3 , να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : 1) ������ = 2 · ������ − 3 · ������ 2) ������ = 4 · ������ + 2 · ������ − 3 · ������ 3) ������ = 2 · ������ · ������ − 4������ ·γ22. Αν ������ = −3 , να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : i. (������ + 1) · (������ + 3) · (������ − 2) ii. (3 − ������) · (������ − 10) [15] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ23. Να υπολογύςετε τα πηλύκα������)-45: (-9) ������) 48: (-12) ������) −4,5 ������) −70������) − 3 : + 3 = ������) − 2 : + 3 = −0,5 7 75 35 ������) − 4: − 1 = ������) − 4: (−12)= 6������) − 3: 5 56 324. Να γύνουν οι πρϊξεισ: 1) − 5 − 4 : 1 − 1 3 32 2) − 3 : + 3 + 1 = 55 3) 1 − 3 : 5 − 2 = 2325. Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ: 2−1 : 3+5−1������ = 3 248 3−1 : 3−4+1 3 5526. Αν ������ = 1 − 2 , ������ = 4 − 5 , να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ 3 36������ = ������ + ������ , ������ = ������ · ������ , ������ = ������: ������27. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ 1) Α= −2 −3 + −4 : (− 1) : −9 + −4 : −2 2 2) B= 5 −2 − −3 (−6) : 0,5 −0,2 − −0,3 (−0,6) 3) 2−13+3:(−12) −3+23+(−34) 4) 23−41 − 1−−12 −52+−27−1 [16] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ28. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ :1) 22 · 32 − 4 2 + 1 22) 42 · 3 − 2 + 32 · 2 − 3 · 52 + 23: 4-13) 23 + 32 · 51 − 15 − 42: 229. Να γύνουν οι πρϊξεισ :1) −2 2 − 23 −40 32) −2 2 − 32 − −2 3 − −5 23) −2 − 1 2 −2 0 2 −4) −1 4 −2 3 − 2 −230. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ :1) 2 · 4 − 1 + 5 − 1 + 3 3 93 3 52) −3 + 30 − 22 − 5 + 5 · −2 363) −4 · −1 + − 1 + + 1 4 1231. Να γρϊψετε ωσ μια δύναμη τισ παρακϊτω παραςτϊςεισi. 23 · 22 ������. 25·22 ������. ������3 · ������2 · ������4ii. 33 · 31 2 ������������. ������3 · ������2 ������������. ������3 · ������2iii. 32 3 ������������������. ������ 5 ������������������. x5 ������ 3 23 75 ������������������������. ������5iv. 72 ������������. ������2 4 ������32. Να εκφρϊςετε τα αποτελϋςματα των παρακϊτω παραςτϊςεων ωσ μια δύναμη:1) 32 + 32 + 32 =…………………………………………………………………………………….2) 3 · 42 + 42 =…………………………………………………………………………………….3) 2 · 53 + 3 · 53 =………………………………………………………………………………...…..33. Να βρεθεύ το εξαγόμενο: ������3 · ������4 · ������ + ������5 · ������3 + ������7 · ������ · ������0.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… [17] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ34. Να ςυμπληρωθεύ ο παρακϊτω πύνακασ :Αριθμόσ α ������������ ������������ −������������ ������−������ ������−������ ������−������-15 ������ ------------− ������ ------------ ������− ������ ������ ������-1035. Να γύνουν οι πρϊξεισ :α (−23)−1 β (1)2 2 γ 32016 0 236. Nα υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων , χρηςιμοποιώντασ τισ ιδιότητεσ τωνδυνϊμεων1) Α= −1 2 −1 2 −1 0 −1 · · · 3 3 332) Β= −1 2 · 274 · −9 2 64 2 3 43) (−2)15 ·35·59 4 7 ·36 ·25 437. Αν ������ = 1 −1 3 , να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = ������������+1 − 3 · (−������ − 2)2016 [18] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΝΟ 1ΘΕΜΑ 1ο:ωςτό – Λϊθοσ1) 4−2 = − 1 Λ Λ 16 Λ2) (−2.016)0 = 1 Λ Λ3) 1 −2 15 = 1524) 2 −2 32 = 325) −3 2 = −96) −2 −3 = − 1 6ΘΕΜΑ 2ο:Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ :1) 2.0160 =……2) 35 · 34 = 3…3) 55 · 5−6 = 5… =4) 35: 34 = 3…5) 103: 104 = 10… =……..6) 23 4 = 2….7) 3−2 2 = 3… =8) 53 · 5−1 2 =…………………………………………………………………………………………...9) 23 · 2−2 3 =…………………………………………………………………………………………...10) 1 −2 5 =………………………………………………………………………………………………….11) − 3 −3 =……………………………………………………………..………………………………. 212) 2−4 =……………………………………………………………………………………………………ΘΕΜΑ 3ο:Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ :1) 3−1 −2 =…………………………………………………………………………………….2) 7 · 7−3 =………………………………………………………………………………………3) −2 3 · −2 −5 =…………………………………………………………………………….4) −3 −1 2 =………………………………………………………………………………….5) −2 3 −2 =………………………………………………………………………………….6) −5 9 =……………………………………………………………………………………….. −5 77) −4 11 =……………………………………………………………………………………….. −4 128) −2 7 =……………………………………………………………………………………….. −2 4 [19] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ1 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΩΕΙ - ΑΝΙΩΕΙ [20] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ Ζ ΔΝΝΟΗΑ ΣΖ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ – ΑΛΓΔΒΡΗΚΔ ΠΑΡΑΣΑΔΗ Μεταβλητό ονομϊζεται ϋνα γρϊμμα που παριςτϊνει ϋναν οποιοδόποτε αριθμό. υνόθωσ οι μεταβλητϋσ παριςτϊνονται με γρϊμματα του ελληνικού αλφαβότου ό και με γρϊμματα του λατινικού αλφαβότου. Αριθμητικό παρϊςταςη , ονομϊζεται μια παρϊςταςη που περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ. π.χ. 2 · (−4)2 + 53. Αλγεβρικό παρϊςταςη , ονομϊζεται μια παρϊςταςη που περιϋχει πρϊξεισ με αριθμούσ και μεταβλητϋσ. π.χ. 3������3 + 2������ + 4������2.Με εφαρμογό τησ επιμεριςτικόσ ιδιότητασ ������ · ������ + ������ · ������ = ������ · ������ + ������ ������ · ������ − ������ · ������ = ������ · (������ − ������) μπορούμε μια αλγεβρικό παρϊςταςη να την γρϊψουμε ςε απλούςτερη μορφό. Η διαδικαςύα αυτό ονομϊζεται αναγωγό ομούων όρων. ������. ������. 4������ + 3������ + 6������ + 2������ = 6������ + 3������ + 6������ 10������ + 4������ − 3������ − 2������ + 13������ = 7������ + 2������ + 13������ 13������2 + 4������ + 12������2 − 3������ + ������2 = 26������2 + ������ [21] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΑΛΓΕΒΡΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ ΑΚΖΔΗ 1. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ������. 6 · ������ + ������ ������. 8 · ������ − ������ ������. 3 · ������ + ������ − 2 ������. − 2 · −������ − 3 ������. 2 · (−������ − ������)������. −2 · −2 − 3������ ������. 3 · ������ − 1 ������. 6 · −2������ − 3������ + 1 ������. 4 ������ − ������ + 10 ������. − (3������ − 4������)2. Να απλοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ1) 3 · ������ + ������ + 2 · ������ − ������2) 2 · ������ + ������ + 2 · ������ − ������3) 3 · ������ + ������ + 2 · ������ − ������4) −5 · ������ − 2������ + 3 · −������ + 25) 5 + 3������ − 1 − 2������ − 36) 2 · 3������ − 5 + 2������ − 3 · 57) 3������ − 2������ − 1 · 2 − ������ − 2������ · (−5)3. Αν ������ + ������ = −3 , να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ.1) ������ = 2������ − ������ − ������ + 32) ������ = 5 − 3 · (������ − 2������) + 5 · (������ − ������) + ������3) ������ = 3������ + ������ − 3������ · 2 − 3 · 2������ − 4������ − 7������4. Αν εύναι ������ = 2������ − 5 ������ − ������ και ������ = 5������ − − ������ + 3 + ������ ������, να δεύξετε ότι ������ = ������.5. Aν ������ = 6 και ������ = −1 , να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ x+y 3 + 2x Α = 3 · 5 : (−x) · y − 36. Να υπολογύςετε την τιμό των παραςτϊςεων1) 10 − (4 − ������) + (7 − ������) + 3������ + (������ − 2)2) – (−3������ − 2������ – ������) + 6(−2������ − ������) − 3 · (−������ − ������)3) 5 · (������ − 1) − (3 − ������) + 2 · (4 − 3������)4) ������ − 4 − 3 · ������ − ������ − 3������ · 5 − 2������5) ������ − 5 · ������ − −������ + ������ − 2 · (−������ − ������) − ������7. Να υπολογιςτεύ η τιμό των παραςτϊςεων 1) ������ = −4 − 7 + ������ — 4 − ������ αν ������ = −2 και ������ = 3 2) ������ = ������ + ������ − ������ − ������ + ������ − ������ − 3 + ������ αν ������ = −5 [22] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ1.1 ΕΞΙΩΕΙ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ x 0 Εξύςωςη με ϋναν ϊγνωςτο ονομϊζεται κϊθε ιςότητα παραςτϊςεων που περιϋχει αριθμούσ και μια μεταβλητό ϋναν ϊγνωςτο αριθμό (πιο ςυχνϊ ςυναντϊμε το γρϊμμα ������) . Η μεταβλητό λϋγεται ϊγνωςτοσ όροσ τησ εξύςωςησ. Άγνωςτοι όροι τησ εξύςωςησ εύναι οι ϊγνωςτοι μαζύ με τουσ ςυντελεςτϋσ τουσ. Γνωςτού όροι τη εξύςωςησ εύναι οι όροι που δεν ϋχουν μεταβλητϋσ. ε μια εξύςωςη, η παρϊςταςη που βρύςκεται αριςτερϊ από το ύςον λϋγεται πρώτο μϋλοσ τησ εξύςωςησ, ενώ η παρϊςταςη που βρύςκεται δεξιϊ από το ύςον λϋγεται δεύτερο μϋλοσ τησ εξύςωςησ. Λύςη ό ρύζα τησ εξύςωςησ ονομϊζεται ο αριθμόσ που επαληθεύει την εξύςωςη. Επαλόθευςη μιασ εξύςωςησ:Εύναι η διαδικαςύα με την οπούα αντικαθιςτώντασ τον ϊγνωςτο με τη λύςη, διαπιςτώνουμε ότι τοπρώτο μϋλοσ τησ εξύςωςησ ιςούται με το δεύτερο. Ιδιότητεσ πρϊξεων Αν τότε Αν τότε Αν τότε Αν τότε : : με 0 [23] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΩΗ x 0 Για την επύλυςη τησ πρωτοβϊθμιασ εξύςωςησ x 0 διακρύνω τισ περιπτώςεισ : 1η περύπτωςη : Αν 0 , τότε η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη : x 0 x x π.χ. 2 · ������ = 24 ό 2·������ = 24 ό ������ = 12 22 2η περύπτωςη: Αν 0 και 0 , τότε η εξύςωςη δεν ϋχει καμύα λύςη και λϋγεται αδύνατη. π.χ. 0 · ������ = 25 , η εξύςωςη αυτό εύναι αδύνατη. Δεν υπϊρχει αριθμόσ που να πολλαπλαςιαςτεύ με το μηδϋν και να δώςει αποτϋλεςμα 20. 3η περύπτωςη : Αν 0 και ������ = 0, τότε η εξύςωςη γύνεται 0x 0 , αληθεύει για κϊθε πραγματικό αριθμό ������ ϋχει ϊπειρεσ λύςεισ και λϋγεται αόριςτη ό ταυτότητα. π.χ. 0 · ������ = 0 , η εξύςωςη αυτό ονομϊζεται αόριςτη ό ταυτότητα. Οποιοςδόποτε αριθμόσ και αν πολλαπλαςιαςτεύ με το μηδϋν και να δύνει πϊντα αποτϋλεςμα 0.Επύλυςη πρωτοβϊθμιασ εξύςωςησΓια να λύςουμε μια εξύςωςη 1ου βαθμού κϊνουμε τα εξόσ βόματα : 1. Απαλεύφουμε τουσ παρονομαςτϋσ αν υπϊρχουν με το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών, πολλαπλαςιϊζοντασ ΚΑΘΕ όρο τησ εξύςωςησ με αυτό. 2. Απαλεύφουμε τισ παρενθϋςεισ με την βοόθεια τησ επιμεριςτικόσ ιδιότητασ. 3. Φωρύζουμε γνωςτούσ από τουσ αγνώςτουσ όρουσ . 4. Κϊνουμε αναγωγό των ομούων όρων. 5. Διαιρούμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου Αν ο ςυντελεςτόσ εύναι διαφορετικόσ του μηδενόσ . [24] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΕΞΙΩΕΙ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΑΚΖΔΗ1. Να εξετϊςετε αν οι παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ ό λϊθοσ Λ . 1) Η εξύςωςη 0������ = 2014 ϋχει λύςη. 2) Η εξύςωςη 2(������ + 1) = 2������ + 2 , εύναι ταυτότητα . 3) Η εξύςωςη 3(2 – ������) = 5 – 3������ , εύναι ταυτότητα . 4) Η εξύςωςη 5������ – 7 = 2 2������ + 3 + ������ , εύναι αδύνατη . 5) Oι εξιςώςεισ 7 + ������ = 2 και 2 – ������ = 7 εύναι ιςοδύναμεσ. ιςοδύναμεσ ςημαύνει ότι ϋχουν τισ ύδιεσ λύςεισ 6) Η εξύςωςη ������������ = 6 + 4������ , εύναι αδύνατη για ������ = 4 .2. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ: 1) 5������ – 7 = 8 + 2������ – 3 2) 2(������ – 3) + 9 = 5������ – 6 3) 9������ – 3(2������ – 5) = 21 4) 8(������ – 4) – 6 (2 – ������) = 2(6������ – 1)3. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ: 1) 4(3 – ������) – 2(3������ – 4) = – (16 – ������) 2) 2(3 – 3������) – 3(1 – ������) = ������ – 1 3) 3 – 2(3������ + 1) = ������ – 5(5 – 7������) 4) 6(������ – 1) – (3������ + 11) = – 74. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ: 1) ������ – {3 + [������ – (������ + 3)]} = 5 2) ������ – [– (3������ + 1) – 5] = – 2(������ + 1) 3) – {2(������ – 4) – 3(������ + 1) + [10 – 2(������ + 1) – 60]} = 15(������ + 1)5. Αν η εξύςωςη ������������ − ������ = ������ 2������ − 1 − 3 ϋ������������������ ������ύ������������ ������������������ ������ = 2 , ������������ ������������������ύ������������ ������������������ ������������������ό ������������������ ������ .6. Δύνεται η εξύςωςη 3������������ − (������ − ������) = ������ − 3(2������ − 1) 1) Να λύςετε την εξύςωςη για ������ = −2. 2) Να βρεύτε την τιμό του μ , ώςτε η εξύςωςη να ϋχει λύςη την ������ = −1. [25] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ7. α Να βρεθεύ η τιμό των ������ και ������ . 2������ + 1 β Nα βρεθεύ η περύμετροσ του διπλανού ςχόματοσ. ������ − 3 2������ − 4������ 3������ − 18. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με γωνύεσ ������ = 3������ − 20̊ , ������ = ������ + 50̊ , ������ = ������ να βρεθεύ το ω.9. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ1) 3������−4 + 5������+3 = 43 − 5������ 732) ������+1 − 2������−1 + 3������+1 = 27+19 4 5 2 203) 3������−5 + 14 = 2������+7 − 4−������33 2 64) ������+3 − 2 ������+1 = ������ − 5 235) 4������ − 3 = 7 ������−3 + 2 5 10 56) 10������ + 1 = 2 ������+115 3 310. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ1) ������+1 = 1 252) 2������−4 = 5������ 23) ������−5 = ������+19 344) ������ + ������ + ������ = 1 6325) ������+1 = 2������−9 + 1 3 466) ������−3 − 1 = 3������ − 10−������ 2 4 167) 3������−8 − 1 = 7������+3 − ������ 4 2 10 211. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ1) 3������−8 − 1 = 7������+3 − ������ 4 2 10 22) 6������−1 + 2������+3 = 6������+12 10 53) 2−������ − ������+15 − 4 = 0 28 74) 3������−2 − 2������−1 = ������−3 + 1 2 64 [26] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ 5) 2������+1 − 3������−2 − 7������+6 = 5������−7 3 4 12 612. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ1) 5 ������+2 − 4−2������ = 1 + 2������−336 22) ������−4 − 2 ������−2 = ������ − ������+235 153) 2 ������+1 − ������ = ������+2 ������+2 − ������32 634) 3 ������−4 − 2 ������+5 − 3������−5 = 2 − 5 ������+1 − ������4 32 65) 2 − 3 ������+1 = 3 − 2 ������+1 236) 4 ������ + 1 − 5 2−6������ = 2 213. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ1) 3 − 7(2−������) = ������ − 2(1−2������) 62 32) 5(3������ −4)+4(x+7)=3x− 1 (������ + 1) 23) 9������+7 − ������ − ������−2 = 36 274) −3x -������−6 = 7 − 5 − 5������ 335) 1 2������ + 1 − 1 1 − 2������ =1 2������ + 12 3 32 46) 2������ − 5������ − 5 = ������−6 + 7 3314. Να βρεθούν τα α και β ώςτε οι εξιςώςεισ να εύναι αόριςτεσ.1) ������ − 1 ������ = −2������ + 7 32) (2������ − 13)������ = ������ − 23) (2������ − 3)������ = 2 ������ + 3������ − 615. Αν α εύναι η λύςη τησ εξύςωςησ������ − 1 3������ − 2 2 − 5 = ������ + 1, ������������ ������������������������������������������������������������ύ ������ ������������������ό ������������������ ������������������ϊ������������������������������������ ∶ ������ = ������ + 1 · 3������ − ������ + 2 · 5������−1 − ������ + 1 · 32−������ [27] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ16. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ 2x x x x−1 x−1 3 = 5 iv. i. 4 =2 ii. 3 = 3 iii. 1 − 2 = x − 1 v . 1 2 1 = x 1 1 2 + 2 44 217. Να δεύξετε ότι η λύςη τησ εξύςωςησ ������ ������ + 1 2− 3 =0εύναι και λύςη τησ εξύςωςησ ∶ ������ − ������+3 + ������ + 3 = 0 3 2 6 218. Να βρεύτε την τιμό του αριθμού λ ώςτε οι παρακϊτω εξιςώςεισ να εύναι αδύνατεσ. α) (������ – 2)������ = 9 β) 5������ = 3 – ������������19. Δύνεται η εξύςωςη : ������������ − 1 ������ − ������ 6 =31) Αν ������ = 4 , να λυθεύ η εξύςωςη.2) Αν η εξύςωςη ϋχει λύςη την ������ = 1, να βρεθεύ το κ .20. Δύνονται οι αριθμητικϋσ παραςτϊςεισ : ������ = 23 − 32 − (−1)2.016 και ������ = 54 ·(−5)5 (−5)2 41) Να υπολογιςτούν οι τιμϋσ των παραςτϊςεων α και β.2) Να λυθεύ η εξύςωςη : 2������ − 1 ������ − 1 ������ − ������ + 12 = ������ + ������21. Nα λυθεύ η εξύςωςη : 3−2(������−1) − ������ + ������−2 = −������ + 1 5 2 1022. α Να λύςετε την εξύςωςη: ������−3 − 1−3������ − ������+1 = ������ + 1 . 235 15 β Για τη λύςη x τησ εξύςωςησ που βρόκατε να υπολογύςετε την παρϊςταςη: ������ = ������2 − 5������ + 2.003 .23. α) Αν ο αριθμόσ −2 εύναι ρύζα τησ εξύςωςησ : ������ + ������������ = −1 , 2 να αποδεύξετε ότι : ������ = 0 . β Για ������ = 0 , να λύςετε την εξύςωςη : ������������ + 1 + ������−2 − 3������−1 = ������ 36 [28] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΝΟ2ΘΕΜΑ 1ο:ωςτό – Λϊθοσ Λ 1. Η εξύςωςη 0 ������ = 2 εύναι αόριςτη . Λ 2. Η εξύςωςη 0 ������ = 0 εύναι αόριςτη . Λ 3. Η εξύςωςη 3(������ + 2) = 6 εύναι αδύνατη . Λ 4. Η εξύςωςη (������ + 3) ������ = 5 για μ = –3 εύναι αδύνατη . Λ 5. Αν 5 · ������ = 0, τότε ������ = – 5 .ΘΕΜΑ 2ο:Δύνεται η εξύςωςη: λ (1 – ������) + 3 = 2������ + 5 + λ α Αν ������ = 5 , να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει λύςη : ������ = − 2 7ΘΕΜΑ 3ο:Να λυθούν οι εξιςώςεισ :1) ������−1 + 1 = ������ + 1 232) −2(������−2) + 2(1−������) = −3������+2 2 48 3+y 2 33) 2 = 2−34 [29] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ1.3. ΕΠΙΛΤΗ ΣΤΠΩΝΣύποσ εύναι μια ιςότητα που ςυνδϋει μεταξύ τουσ μαθηματικϊ ό φυςικϊ μεγϋθη.Σο κϊθε μϋγεθοσ ςτην ιςότητα αυτό παριςτϊνεται από μια μεταβλητό.ΕΠΙΛΤΗ ΣΤΠΩΝ Για την επύλυςη ενόσ τύπου ωσ προσ ϋνα γρϊμμα, ακολουθούμε τα ύδια βόματα όπωσ και ςτη λύςη τησ εξύςωςησ, θεωρώντασ αυτό το γρϊμμα ςαν ϊγνωςτο τησ εξύςωςησ και όλα τα ϊλλα γρϊμματα ςαν γνωςτούσ αριθμούσ.ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΛΤΗ ΣΤΠΟΤΣο εμβαδόν του τριγώνου με βϊςη β και ύψοσ υ δύνεται από τον τύπο ������ = 1 ������������. 2Θα λύςουμε τον τύπο ωσ προσ το ύψοσ υ .ΛΤΗ : ������ = 1 ������������ , Κϊνουμε απαλοιφό παρονομαςτών 22 · ������ = 2 · 1 ������������ , 22 · ������ = ������������ , Διαιρούμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου2·������ = ������������ , ������ ������2·������ = ������ Άρα , υ=2·������ ������ ������ΕΠΙΛΤΗ ΣΤΠΩΝ ΑΚΖΔΗ1. Να επιλυθούν οι τύποι : 1) ������ = ������ · 1 ωσ προσ lκαι ωσ προσ s. ������ 2) ������ = ������������ 1 + ������������ ωσ προσ ������������ και ωσ προσ θ. 3) ������ = ������������ + ������0ωσ προσ hκαι προσ ε . 4) ������ = 9 ������ + 32ωσ προσ c . 5 1 1 1 ωσ 5) ������������������ = ������1 + προσ ������1 και ������������������ . ������2 [30] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ2. Να επιλύςετε τισ παρακϊτω μαθηματικϋσ ςχϋςεισ ωσ προσ την μεταβλητό που ζητεύται. 1) Ο τύποσ ������ = 3 − ������ να λυθεύ ωσ προσ λ . 2) Ο τύποσ 2������ = 2 + ������ να λυθεύ ωσ προσ το y. 3) Περύμετροσ τετραγώνου πλευρϊσ α , ������ = 4������ ,να λυθεύ ωσ προσ α . 4) Η εξύςωςη τησ ευθεύασ ������ = 4������ , να λυθεύ ωσ προσ χ. 5) Η εξύςωςη τησ ευθεύασ ������ = 2������ − 4, να λυθεύ ωσ προσ το χ. 6) Σο εμβαδόν του τραπεζύου ������ = (������+������)·������ , να λυθεύ ωσ προσ το Β. 2 7) Ο τύποσ P=������ ������������������ ������������������������ό������������������������������ ������������ό������ ������ώ������������������������������ , ������������ ������������������������ύ ������������ ������������������������ ������������ ������. ������ 8) Ο τύποσ κ=λ+2ν να λυθεύ ωσ προσ το ν .3. Να λύςετε τον τύπο ������ = (������+������)·������ του εμβαδού του τραπεζύου ωσ προσ β και να υπολογύςετε 2 το β , αν Ε=20 ������������2 , Β=15 ������������2 και υ=2cm. [31] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ 1.4 ΕΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ ΜΕ ΣΗΝ ΦΡΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝΕΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝΓια να λύςουμε ϋνα πρόβλημα με τη βοόθεια των εξιςώςεων κϊνουμε τα εξόσ: 1 Διαβϊζουμε προςεκτικϊ το πρόβλημα, για να καταλϊβουμε τι μασ δύνει και τι μασ ζητϊει. 2 Εκφρϊζουμε με ϋνα γρϊμμα, ςυνόθωσ το x, το ζητούμενο του προβλόματοσ. 3 Εκφρϊζουμε όλα τα ϊλλα μεγϋθη του προβλόματοσ με τη βοόθεια του x. 4 χηματύζουμε την εξύςωςη του προβλόματοσ. 5 Λύνουμε την εξύςωςη. 6 Εξετϊζουμε αν η λύςη που βρόκαμε ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ του προβλόματοσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΝα βρεθούν τρεύσ διαδοχικού φυςικού αριθμού που να μασ δύνουν ϊθροιςμα 105.ΛΤΗ :Έςτω ν , ν+1 , ν+2 οι αριθμού.Θα ϋχω την εξύςωςη ν+ν+1+ν+2=105 3ν+3=105 3ν=105-3 3ν=102 ό 3������ = 102 ό ν=34 . 33Έτςι λοιπόν οι αριθμού εύναι οι : 34 , 35 , 36. [32] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΕΠΙΛΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ ΜΕ ΣΗΝ ΥΡΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝ ΑΚΗΕΙ1. το διπλανό ςχόμα ϋχουμε το ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ Α με κορυφό το Α και περύμετρο Π=55. Ιςχύει ότι ΑΒ = 3������ + 4 , AΓ = ������ + 14 , ΒΓ = ������ + ������ Να βρεύτε τισ τιμϋσ των ������ και ������. BΓ2. το διπλανό ςχόμα ϋχουμε το τρύγωνο ΑΒΓ Α με ������ = 2������ , Β = 2������ + 10° , Γ = ������ + 40° Να βρεύτε η τιμό του x αν το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ με κορυφό το Α .Μπορεύ το τρύγωνο αυτό να εύναι ιςοςκελϋσ με ϊλλη κορυφό; BΓ3. Να βρεθεύ ϋνασ αριθμόσ του οπούου το 1 αυξημϋνο κατϊ 3 ιςούται με το μιςό του 3 ελαττωμϋνο κατϊ 2 .4. Να βρεθεύ ϋνασ αριθμόσ, του οπούου το πενταπλϊςιο, όταν ελαττωθεύ κατϊ 5, γύνεται ύςο με το τετραπλϊςιό του αυξημϋνο κατϊ 9.5. Να βρεύτε τρεύσ διαδοχικούσ ϊρτιουσ με ϊθροιςμα 36.6. ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ η γωνύα Β εύναι τα 2 τησ γωνύασ Α και η γωνύα Γ το μιςό τησ γωνύασ Β . 3 Να δεύξετε ότι τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο.7. Να βρεύτε δυο αριθμούσ που ϋχουν ϊθροιςμα 17 και το τριπλϊςιο του ενόσ ελαττωμϋνο κατϊ το 1του ϊλλου ιςούται με 1. 38. Να βρεύτε τον αριθμό που πρϋπει να αφαιρϋςουμε από τουσ όρουσ του κλϊςματοσ 7 , 11 ώςτε να προκύψει κλϊςμα ύςο με 3. 79. ’ ϋνα διψόφιο αριθμό το ψηφύο των μονϊδων εύναι τριπλϊςιο του ψηφύου των δεκϊδων Αν εναλλϊξουμε την θϋςη των ψηφύων , προκύπτει αριθμόσ μεγαλύτεροσ του πρώτου κατϊ 36 .Ποιόσ εύναι ο αριθμόσ ;10. Σο ϊθροιςμα τριών διαδοχικών περιττών αριθμών εύναι 69. Να βρεθούν οι αριθμού αυτού.[33] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ11. Να βρεθεύ ϋνασ αριθμόσ, του οπούου το 1/3 αυξημϋνο κατϊ το 1/4 του αριθμού εύναι 91.12. Mια αύθουςα διδαςκαλύασ ϋχει 46 θρανύα και καρϋκλεσ. Αν κϊθε θρανύο κοςτύζει 15€ , κϊθε καρϋκλα 10 € και όλα μαζύ θρανύα και καρϋκλεσ 535€ , να βρεύτε πόςα εύναι τα θρανύα και πόςεσ οι καρϋκλεσ.13. Η ηλικύα του πατϋρα εύναι τριπλϊςια τησ ηλικύασ τησ κόρησ. ε 10 χρόνια η ηλικύα του πατϋρα θα εύναι διπλϊςια τησ ηλικύασ τησ κόρησ. Πόςο ετών εύναι ο πατϋρασ και πόςο η κόρη ;14. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου εύναι 36 cm . Αν γνωρύζουμε ότι το μόκοσ του εύναι κατϊ 3 cm μεγαλύτερο από το διπλϊςιο του πλϊτουσ του , να βρεθούν οι διαςτϊςεισ του ορθογωνύου. [34] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ1.5 ΑΝΙΩΕΙ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ x 0 Ανύςωςη 1ου βαθμού με ϋναν ϊγνωςτο : λϋγεται κϊθε ανιςότητα που περιϋχει μύα μεταβλητό και η οπούα αληθεύει για οριςμϋνεσ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ. Ιδιότητεσ πρϊξεων Αν τότε και Αν τότε και Μπορούμε να προςθϋςουμε ό να αφαιρϋςουμε τον ύδιο αριθμό ςτα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ. Αν και 0 τότε και Μπνξνύκε λα πνιιαπιαζηάζνπκε ή λα δηαηξέζνπκε κηα αλίζσζε κε ηνλ ίδην ζεηηθό αξηζκό , κε ηε θνξά Αν και 0 τότε και ηεο αλίζσζεο λα παξακέλεη ίδηα. . Αν και 0 τότε και Αν και 0 τότε και Μπνξνύκε λα πνιιαπιαζηάζνπκε ή λα δηαηξέζνπκε κηα αλίζσζε κε ηνλ ίδην αξλεηηθό αξηζκό , κε ηε θνξά ηεο αλίζσζεο λα αιιάδεη. [35] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΑΝΙΩΗ x 0 ό x 0 Η διαδικαςύα που εφαρμόζουμε για την εύρεςη των ριζών τησ λϋγεται διερεύνηςη. Όταν λύνουμε μια ανύςωςη, ςυνόθωσ δε βρύςκουμε μια μόνο λύςη, αλλϊ ϊπειρεσ, γι’ αυτό παριςτϊνουμε αυτϋσ τισ λύςεισ ςτην ευθεύα των αριθμών.Για την επύλυςη τησ x 0 ϋχουμε : Όταν διαιρώ ό πολλαπλαςιϊζω μια x 0 x ανύςωςη με θετικό αριθμό ,και διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ : η φορϊ μϋνει ύδια.1η περύπτωςη Αν ������ > 0, τότε ϋχουμε : x x x Οι λύςεισ παριςτϊνονται γραφικϊ ωσ :2η περύπτωςη Αν ������ < 0, τότε ϋχουμε : Όταν διαιρώ ό πολλαπλαςιϊζω μια x x x ανύςωςη με αρνητικό αριθμό , η φορϊ αλλάζει. Οι λύςεισ παριςτϊνονται γραφικϊ ωσ : [36] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ 3η περύπτωςη Αν ������ = ������ , τότε η ανύςωςη γύνεται 0x , η οπούα : Αν 0 , αληθεύει για κϊθε τιμό του x. Αν β≤0 , εύναι αδύνατη.Σο λευκό κυκλϊκι δεύχνει ότι ο αριθμόσ αυτόσ δεν εύναι λύςη τησ ανύςωςησ ενώ το μαύρο κυκλϊκιδεύχνει ότι ο αριθμόσ αυτόσ εύναι λύςη τησ ανύςωςησ .Ειδικϋσ περιπτώςεισ ανιςώςεων :Ιςχύουν για κϊθε πραγματικό Εύναι αδύνατεσ αριθμό ������ ταυτότητα 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x όταν 0 0x 0 0x 0 0x 0 0x 0 [37] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΕπύλυςη πρωτοβϊθμιασ ανύςωςησ 1. Απαλεύφουμε τουσ παρονομαςτϋσ με το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών, πολλαπλαςιϊζοντασ ΚΑΘΕ όρο τησ εξύςωςησ με αυτό . 2. Απαλοιφό των παρενθϋςεων με την επιμεριςτικό ιδιότητα. 3. Φωρύζουμε γνωςτούσ από αγνώςτουσ. 4. Αναγωγό όμοιων όρων. 5. Διαιρούμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου. Όμωσ δεν ξεχνϊμε !!! Όταν πολλαπλαςιϊζουμε ό διαιρούμε τα μϋλη μιασ ανύςωςησ με αρνητικό αριθμό, τότε αλλϊζει η φορϊ τησ ανύςωςησ. Για να βρούμε τισ κοινϋσ λύςεισ δύο ό περιςςότερων ανιςώςεων ό διπλών ανιςώςεων, 1. Λύνουμε κϊθε ανύςωςη χωριςτϊ . 2. Παριςτϊνουμε τισ λύςεισ ςτον ύδιο ϊξονα αριθμών. 3. Από το ςχόμα βρύςκουμε τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων αν υπϊρχουν. ΕΤΡΕΗ ΚΟΙΝΩΝ ΛΤΕΩΝ ΣΟΝ ΑΞΟΝΑ ΕΥΑΡΜΟΓΕ Ε ΟΛΕ ΣΙ ΠΙΘΑΝΕ ΠΕΡΙΠΣΩΕΙ 1. Να παραςτόςετε ςτον παρακϊτω ϊξονα τισ λύςεισ των ανιςώςεων και να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ. ������ ≥ −2 ������������������ ������ > 3Η λύςη εύναι : [38] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ2. Να παραςτόςετε ςτον παρακϊτω ϊξονα τισ λύςεισ των ανιςώςεων και να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ. ������ < −2 ������������������ ������ < 4 Η λύςη εύναι :3. Να παραςτόςετε ςτον παρακϊτω ϊξονα τισ λύςεισ των ανιςώςεων και να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ. ������ > −1 ������������������ ������ ≤ 3 Η λύςη εύναι :4. Να παραςτόςετε ςτον παρακϊτω ϊξονα τισ λύςεισ των ανιςώςεων. ������ ≤ −3 ������������������ ������ ≥2Η λύςη εύναι : [39] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΑΝΙΩΕΙ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΑΚΗΕΙ1. Α Σι ονομϊζεται ανύςωςη ; Β Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ:1) Αν α < ������ ������������������ ������ > 0, τότε α · γ. . . β · γ2) Αν α < ������ ������������������ ������ < 0, τότε α − γ. . . β − γ3) Αν α < ������ ������������������ ������ < 0, τότε α · γ. . . β · γ4) Αν α < ������ ������������������ ������ < 0, τότε ������ . . . β ������ γ5) Αν x < 5, τότε x – 2 . . . . .6) Αν x ≥ 7, τότε x + 3 . . . . .7) Αν x ≤ – 3, τότε 3x . . . . .8) Αν x < 2, τότε – 5x . . . . .2. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ ωσ (ςωςτό) ό Λ (λανθαςμϋνη): ������) ������������ ������ < ������ ������ό������������ ������ – 7 > ������ – 7 ������) ������������ ������ < ������ ������ό������������ 3������ – 2 < 3������ – 2 ������) ������������ ������ < ������ ������ό������������ – 5������ < – 5������ ������) ������������ 2������ < 0 ������ό������������ 3������ < ������ ������) ������������ ������ > 2 ������ό������������ 1 1 a������������) ������ ������������ύ������������������������ 5������ – 7 > 8 ϋ������������������ ������ύ������������ ������������������ ������������������������������ό 3 ������) ������ ������������ύ������������������������ ������ – 30 < ������ – 29 ������ύ������������������ ������������ύ������������������������ ������) ������ ������������ύ������������������������ ������ + 99 > ������ + 100 ������ύ������������������ ������������ύ������������������������ ������) ������ ������������ύ������������������������ 7������ – 4 > 8������ – 3 ϋ������������������ ������ύ������������������������ ������������������������ ������������������������������������ύ������ ������ > 13. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ:������) 12������ + 7 ≥ 15 + 10������ ������) ������ + 11 < – 7������) 7 – (������ – 2) < 2������ ������) 5 (������ – 3) – 3(������ – 1) ≤ 0������) – 5������ + 2 ≤ 3 – ������ ������������) 17������ – (5������ + 3) ≤ 4������ – 34. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ:������) – 3(4������ – 4) < 4������ + 2 ������) 17(������ – 1) > 5������ – 13������) 5 (������ – 2) ≤ 2������ + 2 ������) 30 – (2������ + 7) ≥ 7(������ – 1) [40] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ5. Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ τουσ:1) – 2(3������ – 6) < 6(2 + ������)2) 4(������ + 1) – 3(2������ – 3) ≤ 53) 4(������ – 3) – 2(3 – 2������) > 3(������ – 1)4) – 2(3 – ������) + (������ + 5) ≥ – 4(1 – ������)5) 8������ – 3(������ – 1) ≤ 6������ – 56) 5(������ + 3) – 4(������ + 2) < 3(������ + 5) – 5(������ + 2)7) 5 (3������ – 5) – 3(������ – 7) ≥ 8 – 2(3������ + 4)8) – 3{������ – 5[– ������ – (������ + 2)]} < 15(– ������ – 3)6. Να λυθούν οι ανιςώςεισ:1) 3 x−4 − 5x−1 < x+5 10 20 62) x+1 + x+1 < 1 − 3x−2 43 63) ������−3 − ������−4 > 1 + ������−5 6 9 3 124) 3x+1 − 3x−1 > − 2 32 35) 3������−1 − 3������−4 > 2������+3 26 26) 2������−1 > 3������−1 − ������−1 4 527. Να λυθούν οι ανιςώςεισ:1) 6 − ������−2 > x−1 − x−3 3 242) x+5 − x−1 > 3 233) 7x − x−1 > 15x+1 83 124) x−2 − x−4 ≤ 2x−3 − x−1 32 6 45) ������+1 + ������−1 ≤ ������ − 1 − ������ 32 266) − 2x−1 + 1−x < − 1 − 2x 32 127) ������−3 − 1 > ������−4 + ������−5 2 348) 3 ������ − ������ − 2 > 1 − ������ 22 [41] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ8. Να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων: α) x – 7 < 2 ������������������ 5 – ������ < 2 β) 2 x + 3 – 3 x + 1 ≥ – 2 x – 1 και 3(x – 3) + 7 < 2(������ + 3)γ) 2x + 3 x – 7 < 2 4 – ������ – 1 και 2(3������ – 1) + 5(3������ – 8) > 3������ – 24δ) 3x – 2 < 13 και 2(������ – 3) > – 2 και 3������ ≥ 5(������ – 1) – 19. Να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων:1) 5 + 2 ������ − 1 − 10������+2 > 3−������ και 2������ − 1 ≥ 3 − 6������ 42 3 92) 1 − 3������+2 ≤ ������−4 και 2������ − 1 ≥ 3 − 6������28 4 3 93) 3 ������ − 2 + ������ ≥ 3 + 2������ και 4������ − ������−1 ≥ 4 5 10 6 334) ������−1 − ������−2 < ������ και ������ − ������−1 < ������−2 3 26 235) 2������−3 − 1 > 5������ και 7������−4 − 1−������ < 5������−9 2 84 15 3 106) 3������+5 > 3 + 3������+1 και 6������ − 7 < 2������ + 5 και 2 ������ + 2 − 5 > ������+3 10 5 10 427) 7������ − 9 < 3������ + 7 και ������−2 − ������−3 < 7������−3 και ������−3 − 3 ������+1 > 5 − ������+10 23 2 2 4 2210. Να λύςετε και να παραςτόςετε ςτην ευθεύα των αριθμών τισ λύςεισ των ανιςώςεων: 1) 11 ≤ 3������ + 2 < 29 2) – 2 < 3 – 5������ < 18 3) 9 ≤ 8������ + 1 ≤ 1311. Για ποιϋσ τιμϋσ του θετικού ακεραύου αριθμού λ, ϋχουμε ότι ������ = 3 + 2(������ + 1) εύναι θετικόσ;12. Για ποιϋσ τιμϋσ του θετικού ακεραύου αριθμού λ, ϋχουμε ότι ������ = 5(������ – 2) – 30 εύναι αρνητικόσ;13. Να βρεύτε το μεγαλύτερο ακϋραιο ������ για τον ιςχύει: ������ − 3 ������ − 2 > ������ . 214. Να βρεύτε το μικρότερο ακϋραιο ������ για τον οπούο ιςχύει: 1 ������ − 1 > ������ . 2415. Δύνονται οι ανιςώςεισ: −3������ − 2 ≤ 4 − ������ και 4 + 8 ������ − 1 < 6������ [42] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ α Να τισ λύςετε και να παραςτόςετε ,ςτον ύδιο ϊξονα των πραγματικών αριθμών, τισ λύςεισ τουσ. β Ποιοι ακϋραιοι αριθμού αποτελούν τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων αυτών; 16. Για ποιϋσ τιμϋσ του αριθμού α, η ανύςωςη 7������ – 5������ + 2 > ������(������ – 2) ϋχει λύςη τον αριθμό ������ = 4; 17. Aν η λύςη τησ εξύςωςησ : 3������−1 = ������ − 2 , εύναι και λύςη τησ ανύςωςησ : 2 ������−������ < ������ − 1 + ������ , να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ. 32 18. α) Να λυθεύ η εξύςωςη : 1 + 3������−5 − 5������−3 = ������ . 24 β) Να λύςετε την ανύςωςη : ������−3 < 2������ + 1 < ������+2 . 32 γ Να εξετϊςετε αν η λύςη τησ εξύςωςησ εύναι και λύςη τησ ανύςωςησ . 19. α Να λύςετε την εξύςωςη: 1 − 2������−5 = ������ − ������−16 (1) 36 β Να λύςετε την ανύςωςη: ������ − 2(3������−1) − 1 < ������ (2) 32 γ Να εξετϊςετε, αν η λύςη τησ εξύςωςησ 1 εύναι και λύςη τησ ανύςωςησ 2 . 20. Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : ������−2 − ������ ≤ 4−������ και 1 − ������−1 < ������ 23 6 24 Αφού τισ παραςτόςετε ςτον ύδιο ϊξονα των πραγματικών αριθμών να γρϊψετε τουσ φυςικούσ αριθμούσ που εύναι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων . 21. Αν α εύναι η ακϋραια τιμό του ������ για την οπούα ςυναληθεύουν οι ανιςώςεισ : 3������−2 − 2������−3 ≥ ������ − 1 και 2 3������ + 1 − ������ > 3 2������ + 1 , 3 4 34 να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ : 22. ������ = ������ + 1 ������−5 − ������ + 2 ������−4 + ������ + 3 ������−3 Α Δύνεται το ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ , με βϊςη την ΒΓ.2 2������ − 1 − 1 3������ − 1 1. Να υπολογιςτεύ το ������. 2. Να υπολογιςτούν οι πλευρϋσ ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ. π Γ 3. Αν ΑΒΓ = 12������������2 , να βρεθεύ το ύψοσ υ τουΒ τριγώνου. ������ + 4 [43] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΝΟ 3ΘΕΜΑ 1οΑ. Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ ςτισ παρακϊτω προτϊςεισ : 1) Αν α < ������ ������������������ ������ < 0, τότε α · γ. . . β · γ 2) Αν α < ������ ������������������ ������ > 0, τότε ������ . . . β ������ γ 3) Αν x < 5, τότε x – 5 … 0 4) Αν α > ������ τότε α − γ. . . β − γ 5) Αν − 2x < 4 τότε x . . . −2B. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ ωσ (ςωςτό) ό Λ (λανθαςμϋνη): 1) ������������ ������ < ������ ������ό������������ ������ – 1 > ������ – 1. 2) ������������ ������ < ������ ������ό������������ 3������ < 3������. 3) ������������ ������ < ������ ������ό������������ – 2������ > – 2������ . 4) ������ ������������ύ������������������������ ������ + 7 > 2 ϋ������������������ ������ύ������������ ������������������ ������������������������������ό − 4. 5) ������ ������������ύ������������������������ 0 · ������ < – 29 ������ύ������������������ ������ό������������������������������ . 6) ������ ������������ύ������������������������ ������ – 30 < ������ – 29 ������ύ������������������ ������������ύ������������������������ . 7) ������ ������������ύ������������������������ 7������ – 4 > 8������ – 3 ϋ������������������ ������ύ������������������������ ������������������������ ������������������������������������ύ������ ������ < − 1 .ΘΕΜΑ 2οΝα βρεύτε τα κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : 1 − 3(������−1) < ������ − 5������−10 και 1−(2−x) > 2(x−1) 26 23ΘΕΜΑ 3ο������) Να βρεθούν οι κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων : 4 ������ + 1 – 3 2������ – 3 ≥ 5 και 5 ������ – 5 – 3 ������ – 7 ≥ 8 – 2 3������ + 4β Να βρεθούν οι κοινϋσ ακϋραιεσ λύςεισ των παραπϊνω ανιςώςεων.γ Αν α η μεγαλύτερη ακϋραια λύςη των παραπϊνω ανιςώςεων να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = ������2 + −1 ������ + −1 ������−1 + 2.000 . [44] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ2 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [45] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ2.1 ΣΕΣΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΣΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤΟΡΙΜΟΗ τετραγωνικό ρύζα ενόσ μη αρνητικού αριθμού ,ςυμβολύζεται με ������ και εύναι ο μη αρνητικόσ αριθμόσ που όταν υψωθεύ ςτο τετρϊγωνο μασ δύνειτον αριθμό . Αν α ≥ 0, τότε ������2 = ������ <=> ������ = ������ . ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 0=0 Δεν ορύζεται ρύζα αρνητικού αριθμού. Δηλαδό , η υπόρριζη ποςότητα μιασ ρύζασ απαιτούμε να εύναι πϊντα μη αρνητικόσ αριθμόσ. ������ ≥ 0 , ������������������ ������ϊ������������ ������ ≥ 0 ������ = 0 ό������������������ ������ = 0 Αν x ≥ 0 , τότε ������ 2 = ������ . Αν ο ������ εύναι πραγματικόσ αριθμόσ , ������2 = ������ .ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΡΙΖΩΝ 1. Αν α , β ≥0 τότε ������ · ������ = ������ · ������ . 2. Αν ������ ≥ 0 και ������ > 0 τότε ������ = ������ . ������ ������ ΠΡΟΟΦΗ ������ + ������ ≠ ������ + ������ Αν δεν γνωρύζουμε την τετραγωνικό ρύζα ενόσ αριθμού τότε αναλύουμε τον αριθμό ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Δεν μπορούμε να κϊνουμε πρόςθεςη ό αφαύρεςη μεταξύ τετραγωνικών ριζών αν δεν ϋχουμε την ύδια υπόρριζη ποςότητα. 3+ 3+ 3=3 3 5+ 5=2 5 Αλλϊ , δεν μπορούμε να προχωρόςουμε την πρϊξη 2 + 3 [46] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ Φρόςιμο εύναι να γνωρύζουμε τα τετρϊγωνα μερικών αριθμών , ώςτε να βρύςκουμε και τισ αντύςτοιχεσ τετραγωνικϋσ τουσ ρύζεσ.������ 121 144 169 196 225 256 289 324 361 625������ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25ΡΗΣΟΠΟΙΗΗ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΗΜΕΘΟΔΟΕϊν ϋχουμε ϋνα κλϊςμα τησ μορφόσ ������ , α>0 όπου ������ εύναι ϊρρητοσ αριθμόσ . ������Για να μετατρϋψουμε το κλϊςμα ςε ιςοδύναμο με ρητό παρονομαςτό , πολλαπλαςιϊζουμε καιτουσ δύο όρουσ του κλϊςματοσ με την ρύζα που υπϊρχει ςτον παρονομαςτό .Δηλαδό ,������ ������ · ������ ������ · ������ ������ · ������ == ������ 2 =������ ������ · ������ ������ [47] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤΡΙΖΕ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΖΔΗ1. Α Να δοθεύ ο οριςμόσ τησ τετραγωνικόσ ρύζασ ενόσ θετικού αριθμού α . Β Γιατύ δεν ορύζεται η τετραγωνικό ρύζα ενόσ αρνητικού αριθμού ; Γ Ποιοι αριθμού ονομϊζονται ϊρρητοι ; Δ Σετραγωνικό ρύζα ������ ενόσ …………. αριθμού α , λϋγεται ο …………. αριθμόσ , ο οπούοσ όταν υψωθεύ ςτο ………..δύνει τον αριθμό………… Ε Αν ������ ≥ 0 , τότε ������ 2 =…………… Ζ Αν ������ = ������ , όπου ������ ≥ 0 , τότε ������……0 και ������2=……… Η 0 =……..2. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω ιςότητεσ με αν εύναι ςωςτϋσ και με Λ αν εύναι λϊνθαςμϋνεσ. 1) 16 = 8 2) 0,9 = 0,3 3) 0 = 0 4) 5 = 25 5) Η ρύζα ������ + 2 ϋχει νόημα για ������ ≥ −2. 6) −9 = −3 7) −5 2 = −5 8) 25 − 9 = 4 9) 9 + 16 = 25 10) Ο αριθμόσ 25 εύναι ϊρρητοσ. 11) 9 = −3 12) 100 = 10 13) ������ = ������ ������ ������ 14) ������ · ������ = ������ · ������ 15) ������ + ������ = ������ + ������ 16) 64 − 25 = 8 − 5 = 3 [48] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ3. Να υπολογιςτούν οι παρακϊτω τετραγωνικϋσ ρύζεσ : 36 = 0,36 = 3600 = 10.000 =900 = 0,01 = 0,0001 = 225 =25 = 49 = 169 = 814 36 12164 = 121 = 400 = 16 · 25 =4 36 9001,6 · 2,5 = 225 · 64 =4. Να υπολογύςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :������) 64 + 196 ������) −2000 2 + 2������) −5 2+ − 2 2 δ 14 3 10 2 + 100 ε 152 · 62 + 225 ζ 2 2 −1 2η 1 + −13 2 + 81 365. Να ςυμπληρώςετε τισ ιςότητεσ: 1) 16 + 9 = 16 + 9 = 2) 25 + 144 = 25 + 144 = 36 + 64 = 3) 36 + 64 = Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα6. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ :1) ������ = 3 · −2 2 + 2 · 4 2 + 522) ������ = 22 2 −1 2 1 +−1 + 1+ 4 44 47. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : 1) ������ = 121 + 3 25 − 3 81 2) ������ = 192 + 101 2 − −13 2 [49]
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑΗΟΤ 3) ������ = 124 2 + 112 + −45 2 − −165 2 4) ������ = 21 + 13 + 7 + 48. Nα υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : 1) ������ = 3 − 5 11 + 7 3 − 9 3 + 3 11 − 11 2) ������ = 24 − 72 + 3 50 − 600 − 162 + 6 3) ������ = 8 − 3 8 + 12 8 − 7 8 − 6 8 − 4 8 4) ������ = 3 4 + 6 5 + 2 8 − 3 29. Να αποδεύξετε ότι :Α 5 + 13 + 9 = 3 Β 7− 7+ 2+ 4=2 Γ 16 + 49 = 3 210. Να ςυγκρύνετε τουσ αριθμούσ , όταν o x εύναι αρνητικόσ αριθμόσ. i. ������2 και ������ ii. ������2 και ������11. Να υπολογύςετε την ϊγνωςτη πλευρϊ των παρακϊτω ορθογωνύων τριγώνων. ������ 10 5 y γ 2α 8 β 12 z 3δε7α 17 β 24 15 [50] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148