maths_b__2016-2017_01

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ12. Να βρεύτε τουσ θετικούσ αριθμούσ που ικανοποιούν τισ εξιςώςεισ :������. ������2 = 49 ������������. ������2 = 1������������������. ������2 = 169 ������������. ������2 = 9 4������. ������2 = 121 ������������. 3������2 − 18 = ������2 144������������������. ������2 + 12 = 4������22.2 ΑΡΡΗΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  Υυςικού Αριθμού : ℕ = {0,1,2,3,…..}  Ακϋραιοι Αριθμού : ℤ= {……,-2,-1,0,1,2,……} Οι φυςικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ.  Ρητού Αριθμού : ℚ={ α , α, β ακϋραιοι , β ≠ 0 } β Εύναι οι αριθμού που ϋχουν ό μπορούν να πϊρουν κλαςματικό μορφό , δηλαδό την μορφό ������ , όπου ������, ������ ������ ακϋραιοι με ������ ≠ 0 .Οι φυςικού , τα κλϊςμα τα και οι δεκαδικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ.ΑΡΡΗΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΆρρητοσ αριθμόσ ονομϊζεται κϊθε αριθμόσ που δεν εύναι ρητόσ.Δηλαδό ϊρρητοσ εύναι ϋνασ αριθμόσ όταν δεν μπορεύ να γραφεύ ωσ κλϊςμα τησ μορφόσ������ , ό������������������ ������ , ������ ������������ϋ������������������������������ ������������������ ������ ≠ 0 .������Αυτό ςημαύνει ότι ϋνασ ϊρρητοσ αριθμόσ δεν μπορεύ να εύναι ούτε δεκαδικόσ ούτε περιοδικόσδεκαδικόσ.Όλεσ οι τετραγωνικϋσ ρύζεσ των αριθμών, που δεν εύναι τϋλεια τετρϊγωνα, εύναι ϊρρητοι αριθμού.Διαφορετικϊ θα θυμόμαςτε ότι ϊρρητοσ εύναι κϊθε αριθμόσ ο οπούοσ δεν μπορεύ να γραφεύ ςαντετρϊγωνο ακεραύου. Παραδεύγματα γνωςτών ϊρρητων αριθμών εύναι το π , e και η τετραγωνικό ρύζα του 2 2 * Πραγματικού Αριθμού : ℝ εύναι όλοι οι ρητού και ϊρρητοι αριθμού. Με την προςϋγγιςη ενόσ δεκαδικού ψηφύου , ϋχουμε : 2 = 1,4 , 3 = 1,7 , 5 = 2,2 [51] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ*Ι΢ΣΟΡΙΚΟ ΢ΗΜΕΙΩΜΑΟ αριθμόσ π εύναι μια μαθηματικό ςταθερϊ οριζόμενη ωσ ο λόγοσ τησ περιφϋρειασ προστη διϊμετρο ενόσ κύκλου, ενώ με ακρύβεια οκτώ δεκαδικών ψηφύων εύναι ύςημε 3,14159265.Εκφρϊζεται με το ελληνικό γρϊμμα π από τα μϋςα του 18ου αιώνα, παρότι επύςησ μερικϋσφορϋσ γρϊφεται ωσ pi.Ο π εύναι ϋνασ ϊρρητοσ αριθμόσ, κϊτι που ςημαύνει ότι δεν μπορεύ να εκφραςτεύ ακριβώσωσ λόγοσ δύο ακεραύων όπωσ 22/7 ό ϊλλα κλϊςματα που χρηςιμοποιούνται ςυνόθωσ γιατην προςϋγγιςη του π · κατϊ ςυνϋπεια, η δεκαδικό απεικόνιςη δεν τελειώνει ποτϋ και ποτϋδεν εγκαθύςταται ςε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παρϊςταςη. Σα ψηφύα φαύνεταινα εμφανύζονται με τυχαύα ςειρϊ, αν και δεν ϋχει ανακαλυφθεύ ακόμη κϊποια απόδειξη γιααυτό.Ο π εύναι ϋνασ υπερβατικόσ αριθμόσ, δηλαδό δεν αποτελεύ ρύζα ενόσ μη-μηδενικούπολυωνύμου με ρητούσ ςυντελεςτϋσ.Αυτό ϋχει ςαν ςυνϋπεια ότι εύναι αδύνατο να λυθεύ το αρχαύο πρόβληματου τετραγωνιςμού του κύκλου με κανόνα και διαβότη.Όλοι οι πραγματικού υπερβατικού αριθμού εύναι ϊρρητοι, αφού όλοι οι ρητού εύναιαλγεβρικού.Σο αντύςτροφο δεν ιςχύει: δεν εύναι όλοι οι ϊρρητοι και υπερβατικού.π.χ. η ρύζα του 2 εύναι ϊρρητοσ αλλϊ όχι υπερβατικόσ,αφού εύναι λύςη τησ εξύςωςησ : x2 − 2 = 0.Αεύ ο Θεόσ ο Μϋγασ γεωμετρεύ, το κύκλου μόκοσ ύνα ορύςη διαμϋτρω, παρόγαγεν αριθμόν απϋραντον, καύ όν, φεύ, ουδϋποτε όλον θνητού θα εύρωςι. [52] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΑΡΡΗΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :������. ������2 = 3 ������������. ������2 = 35 ������������������. ������2 = −5 ������������. 2������2 = 10 ������2 ������. 3 = 22. Να ςυγκρύνετε τουσ παρακϊτω αριθμούσ:������. 3 , 5 , 2 , 1 ������������. − 1 , −2 , − 2 , − 3������������������. 1 + 2 , 1 − 2 , 2 , 1 ������������. − 3 , − 1 + 33. Να βρεύτε ποιοι από τουσ παρακϊτω αριθμούσ εύναι ρητού και ποιοι ϊρρητοι. 9 2 36 72 5, 3, 4 , 3 , 3 ,− 2 , 24. Οι κϊθετεσ πλευρϋσ ορθογωνύου τριγώνου ϋχουν μόκη 6 cm και 7 cm αντύςτοιχα. Να υπολογύςετε την υποτεύνουςα του τριγώνου με προςϋγγιςη ενόσ δεκαδικού ψηφύου.5. Ένα τετρϊγωνο ϋχει διαγώνιο 6 cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του.6. Ένα ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ τρύγωνο ϋχει υποτεύνουςα 16 cm . Να βρεύτε το εμβαδόν του.7. Ένα ιςόπλευρο τρύγωνο ϋχει ύψοσ 6 cm . Να βρεύτε την πλευρϊ του και το εμβαδόν του.8. Να υπολογύςετε τη διαγώνιο ενόσ ορθογωνύου που ϋχει διαςτϊςεισ 32mκαι 24 m.9. Σο τετρϊγωνο ενόσ θετικού αριθμού , αν μειωθεύ κατϊ 8 εύναι ύςο με το μιςό του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιοσ εύναι ο αριθμόσ αυτόσ;10. ΢ε ϋνα ιςοςκελϋσ τραπϋζιο η μικρό βϊςη εύναι 6 cm και η μεγϊλη εύναι η διπλϊςια τησ μικρόσ. Αν κϊθε μια από τισ ύςεσ πλευρϋσ εύναι 8 cm , να υπολογιςτεύ το εμβαδόν του.11. Να βϊλετε ςε ςειρϊ από τον μικρότερο ςτον μεγαλύτερο τουσ παρακϊτω αριθμούσ. i. 3 ,1, 8, 7 ii. 17 , 28, 21, 4 iii. 2 + 3 , 3 [53] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ12. Να υπολογύςετε τα μόκη ΒΔ και ΑΔ του ςχόματοσ. Β Δ 52Α Γ 713. Να βρεύτε την πλευρϊ α του ιςόπλευρου τριγώνου του ςχόματοσ , αν το ύψοσ ������������ = 2 3. Α ΒΓ Δ ΚΡΙΣΗΡΙO ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ ΝΟ 4ΘΕΜΑ 1Ο1. Να δοθεύ ο οριςμόσ τησ τετραγωνικόσ ρύζασ.2. Να κατατϊξετε τουσ παρακϊτω αριθμούσ ςε ρητούσ και ϊρρητουσ.5 , 16 , 4 , 32 , −5 2 , − 4 , − 12 25 3 33. Να κατατϊξετε τουσ παραπϊνω αριθμούσ ςε φθύνουςα ςειρϊ.ΘΕΜΑ 2οΝα υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : 1) ������ = 3 2 + −11 2 + 169 − −27 2 2) ������ = 17 + 4 3 + 1 [54] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ΢-΢ΤΝΔΙΑ΢ΣΙΚΕ΢ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. 1) Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ :������ = 52 + 7 2 , ������ = −3 2 + − 1 2 , ������ = −5 2 + 72 3������ = −3 144 − 4 132 − 2 (−5)2 + 2 3 2 , ������ = 88 − 54 − 252) ������) Nα λυθεύ η εξύςωςη : ������ + 1 = 2 ������−1 ������ 6 ������������������) Nα λυθεύ η εξύςωςη : ������������ − 1 = ������������ 92. 1) Να λυθούν οι εξιςώςεισ: i. 2������ + ������ − 1 = ������ + 9 ii. 12������+3 = 30������−6 362) Αν α εύναι η ρύζα τησ 1ησ εξιςώςεωσ, β η ρύζα τησ 2ησ να υπολογιςθεύ η παρϊςταςη: ������ = ������ + 2������3. Να λύςετε την εξύςωςη: ������−8 − ������−4 = 7 − ������−5 24 3και να υπολογύςετε την παρϊςταςη : 13 + 7 + 24 − ������, όπου ������ η ρύζα τησ εξύςωςησ .4. 1) Nα λυθεύ η διπλό ανύςωςη : 3������−8 < 3������ − 1 ≤ 5������−3 23 2 Να βρεύτε τισ ακϋραιεσ λύςεισ τησ διπλόσ ανύςωςησ 3 Αν α ο μικρότεροσ ακϋραιοσ που επαληθεύει την διπλό ανύςωςη να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = ������2 + 4 3������ + 49 .5. 1) Nα λυθεύ η ανύςωςη : ������−2 − 1−5������ ≥ ������+1 − 1 5 15 32 Να βρεύτε τισ ακϋραιεσ λύςεισ τησ ανύςωςησ.3 Αν α ο μικρότεροσ ακϋραιοσ που επαληθεύει την διπλό ανύςωςη να υπολογύςετε τηντιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 3������2 − 7 + ������ 2������ + 10 .6. 1 Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ ������ = 81− 36 . 1+ 92 Να λυθεύ η ανύςωςη : ������−2 − 2������−1 > − 3������−5 . 36 23 Να εξετϊςετε αν η τιμό τησ παρϊςταςησ α βρύςκεται ςτο ςύνολο των λύςεων τησπαραπϊνω ανύςωςησ. [55] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

3 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢ [56] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ΢ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢΢υνϊρτηςη ονομϊζεται η διαδικαςύα με την οπούα κϊθε τιμό τησ μεταβλητόσ x αντιςτοιχύζεται ςε μύα μόνο τιμό τησ μεταβλητόσ y. Λϋμε ότι \"η μεταβλητό y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη τησ μεταβλητόσ x \". Πύνακασ τιμών μιασ ςυνϊρτηςησ λϋγεται ϋνασ πύνακασ που περϋχει τισ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ ������ και τισ αντύςτοιχεσ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ ������ . Φρηςιμοποιούμε τον πύνακα τιμών για να αποδώςουμε την αντιςτοιχύα κϊποιων τιμών τησ ςυνϊρτηςησ.Για παρϊδειγμα για τη ςυνϊρτηςη ������(������) = 3x − 1 ο πύνακασ τιμών τησ εύναι : ������ ������ ������ ������ ������ −1 2 5Αφού ,Για ������ = 0 , ������ = 3 · 0 − 1 = 0 − 1 = −1Για ������ = 1 , ������ = 3 · 1 − 1 = 3 − 1 = 2Για ������ = 2 , ������ = 3 · 2 − 1 = 6 − 1 = 5 [57] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ΢ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. Οι μιςθού των υπαλλόλων μιασ τρϊπεζασ αυξϊνονται κατϊ 25 % ο καθϋνασ. Ποια εύναι η ςχϋςη που εκφρϊζει το νϋο μιςθό ωσ ςυνϊρτηςη του παλιού μιςθού?2. Η περύμετροσ ενόσ ορθογωνύου με πλευρϋσ ������ και ������ εύναι 10cm. Ποια εύναι η ςχϋςη που εκφρϊζει το μόκοσ του y ωσ ςυνϊρτηςη του ������?3. Η ϋκπτωςη ςτισ τιμϋσ ςε ϋνα κατϊςτημα εύναι 20%. Να εκφρϊςετε τισ τιμϋσ y με ϋκπτωςη ωσ ςυνϊρτηςη των τιμών ������ χωρύσ ϋκπτωςη.4. Ένα ορθογώνιο τρύγωνο ϋχει οξεύεσ γωνύεσ ������ και ������ ςε μούρεσ . Να εκφρϊςετε τη γωνύα ������ ωσ ςυνϊρτηςη τησ γωνύασ ������.5. Να εκφρϊςετε τη περύμετρο του τετραγώνου ςαν ςυνϊρτηςη τησ πλευρϊσ του. ΢τη ςυνϋχεια, να βρεθεύ ο λόγοσ τησ περιμϋτρου προσ την πλευρϊ του τετραγώνου6. Σο εμβαδόν ενόσ τριγώνου με βϊςη χ και ύψοσ yεύναι 60 ������������2. Ποια εύναι η ςχϋςη που εκφρϊζει το μόκοσ ������ , ωσ ςυνϊρτηςη του ������ ;7. Αν τα λϊδι κοςτύζει 5 ευρώ το λύτρο . i. Να βρεύτε την ςχϋςη που εκφρϊζει την ϊξια yτου λαδιού ωσ ςυνϊρτηςη τησ ποςότητασ ������ ςε λύτρα. ii. Να εκτιμόςετε την αξύα των 10,5 λύτρων. iii. Σην ποςότητα ςε λύτρα λαδιού , αξύασ 45 ευρώ.8. Οι μιςθόσ ενόσ υπαλλόλου μιασ τρϊπεζασ αυξόθηκε κατϊ 5 % ο καθϋνασ. α)Ποια εύναι η ςχϋςη που εκφρϊζει το νϋο μιςθό ωσ ςυνϊρτηςη του παλιού μιςθού? β Να ςυμπληρωθεύ ο παρακϊτω πύνακασ.x 900 1400Y 1050 15759. Ένα τρύγωνο ϋχει βϊςη 3cm και ύψοσ 8cm. Αν η βϊςη του αυξηθεύ κατϊ ������ ενώ το ύψοσ του παραμεύνει ςταθερό, να εκφρϊςετε το εμβαδόν Ε του τριγώνου ωσ ςυνϊρτηςη του ������.10. Ένασ εμπορικόσ αντιπρόςωποσ ϋχει μηνιαύο μιςθό 800 ευρώ και 5% επύ τησ αξύασ των πωλόςεων που πραγματοποιεύ. 1) Να εκφρϊςετε τισ μηνιαύεσ αποδοχϋσ ������ του αντιπροςώπου ωσ ςυνϊρτηςη των πωλόςεων ������ που κϊνει. 2) Ποια εύναι η αξύα του εμπορεύματοσ που πρϋπει να πουλόςει , για να φτϊςουν οι αποδοχϋσ του τα 1200 ευρώ ; [58] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ11. Να ςυμπληρωθούν οι παρακϊτω πύνακεσ τιμών . ������ -5 -4 -3 -2 y  2x ������ 102 4 y x2 04 ������ -5 -4 1 2 3 ������������ − ������ ������ = ������12. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  5x2  2x , όπου το ������ παύρνει τισ τιμϋσ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Να γρϊψετε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ.13. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  3x 1 . x4 Να γρϊψετε ϋναν πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ ������ δύνοντασ ςτο x πϋντε τιμϋσ από το ςύνολο των φυςικών αριθμών μικρότερεσ του 7. Μπορούμε να δώςουμε ςτο ������ την τιμό 4;14. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  x2 . 1) Αν ο x εύναι ακϋραιοσ και 3  x  3, να ςχηματύςετε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ 2) Να εξετϊςετε τι τιμϋσ μπορεύ να πϊρει το ������ και να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.15. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f  x  2x  6 . 1) Αν εύναι f a  5 , να βρεθεύ το α. 2) Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ A  3 f 1  2  f 1  42 .16. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  x   , η οπούα ϋχει τον επόμενο πύνακα τιμών, από τον οπούο λεύπουν οριςμϋνεσ τιμϋσ. Να βρεθεύ ο αριθμόσ λ και να ςυμπληρωθεύ ο πύνακασ.x -1 01 2 3 1y [59] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ17. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  3x 1 , η οπούα ϋχει τον επόμενο πύνακα τιμών.x -2 -1 0 1 2 εyαβ γ δ1) Να βρεθούν οι αριθμού ������, ������, ������, ������ και ������ .2) Να υπολογιςτεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ: Α=    2     18. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  2  x  3 , η οπούα ϋχει τον επόμενο πύνακα τιμών. 2 x3 79 yαβγ1) Να βρεθούν οι αριθμού α, β, γ.2) Να λύςετε τισ εξιςώςεισ: i. x   x    12 69ii.  x  iii.  x  19. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  8  2x , η οπούα ϋχει τον επόμενο πύνακα τιμών.x4 5γδyα β 2 61) Να βρεθούν οι αριθμού α ,β ,γ και δ.2) Να λύςετε τισ ανιςώςεισ: i. x    x   x   24ii.  x  iii.  x  iv.  x   [60] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.2 ΚΑΡΣΕ΢ΙΑΝΕ΢ ΢ΤΝΣΕΣΑΓΜΕΝΕ΢ – ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢΢Τ΢ΣΗΜΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΑΞΟΝΩΝ  ΢ύςτημα ορθογωνύων αξόνων εύναι δύο κϊθετοι ϊξονεσ ������΄������ και ������΄������ με κοινό αρχό Ο. Αν η μονϊδα μϋτρηςησ ςτουσ δύο ϊξονεσ εύναι η ύδια τότε το ςύςτημα λϋγεται ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων.  Από ϋνα ςημεύο Α του επιπϋδου φϋρνουμε τισ κϊθετεσ ςτουσ δύο ϊξονεσ ������΄������ και ������΄������. Ονομϊζουμε τετμημϋνη του ςημεύου Α τον αριθμό που αντιςτοιχεύ ςτην κϊθετο προσ τον ϊξονα ������΄������ και τεταγμϋνη του Α τον αριθμό που αντιςτοιχεύ ςτην κϊθετο προσ τον ϊξονα ������΄������. ΢το ςημεύο ������(������ , ������ ),  To ������ ονομϊζεται τετμημϋνη του ςημεύου M  To ������ ονομϊζεται τεταγμϋνη του ςημεύου M. Δηλαδό ςτο ςημεύο Α αντιςτοιχύζουμε το ζεύγοσ ςυντεταγμϋνων (2,3) Ο αριθμόσ 2 ονομϊζεται τετμημϋνη του ςημεύου Α και ο αριθμόσ 3 ονομϊζεται τεταγμϋνη του ςημεύου Α. [61] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ΢ΦΟΛΙΑ : 1.Κϊθε ςημεύο του επιπϋδου αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ζεύγοσ ςυντεταγμϋνων και αντιςτρόφωσ , κϊθε ζεύγοσ αριθμών αντιςτοιχεύ ςε ϋνα μόνο ςημεύο του επιπϋδου. 2.Κϊθε ςημεύο του ϊξονα ������’������ ϋχει τεταγμϋνη μηδϋν . π.χ. Α(3,0) Κϊθε ςημεύο του ϊξονα ������’������ ϋχει τετμημϋνη μηδϋν. π.χ. Γ(0,5) ΣΑ ΣΕΣΑΡΣΗΜΟΡΙΑ Σο ςύςτημα αξόνων χωρύζει το επύπεδο ςε 4 γωνύεσ, που κϊθε μια ονομϊζεται τεταρτημόριο. ΢το διπλανό ςχόμα ςημειώνονται τα πρόςημα τησ τετμημϋνησ και τησ τεταγμϋνησ ςε κϊθε τεταρτημόριο.ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η  Γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ, με την οπούα ϋνα μϋγεθοσ ������ εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη ενόσ ϊλλου μεγϋθουσ ������, ονομϊζεται το ςύνολο όλων των ςημεύων του επιπϋδου με ςυντεταγμϋνεσ (������, ������). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να κϊνουμε τη γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ 1. Κϊνουμε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ, 2. Σοποθετούμε τα διατεταγμϋνα ζεύγη που ορύζονται από τον πύνακα τιμών ςε ϋνα ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων και ενώνουμε τα ςημεύα. 3. Η γραμμό που προκύπτει εύναι η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ. [62] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ΢ΤΜΜΕΣΡΙΚΟ ΢ΗΜΕΙΟΤ Σο ςυμμετρικό του ςημεύου Μ1,   ωσ προσ : i. Σον ϊξονα ������’������ εύναι το ςημεύο Μ4 ,   ii. Σον ϊξονα ������’������ εύναι το ςημεύο Μ2 ,   iii. Σην αρχό των αξόνων εύναι το ςημεύο Μ3 ,   iv. Ση διχοτόμο 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων εύναι το ςημεύο Μ΄ ,  .ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΔΤΟ ΢ΗΜΕΙΩΝ ΣΟΤ ΕΠΙΠΕΔΟΤ Η απόςταςη δυο ςημεύων Α  x1, y1  και Β  x2, y2  του καρτεςιανού επιπϋδου δύνεται από τον τύπο : ΑΒ   x2  x1 2   y2  y1 2 Η απόςταςη του ςημεύου Α α, β από τον ϊξονα :  ������’������ εύναι ������  ������’������ εύναι ������ [63] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΚΑΡΣΕ΢ΙΑΝΕ΢ ΢ΤΝΣΕΣΑΓΜΕΝΕ΢ – ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢1. Να ςυμπληρωθεύ ο πύνακασ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΢ημεύο Α ΢υμμετρικό ΢υμμετρικό ΢υμμετρικό ωσ προσ ������������΄ ωσ προσ ������������΄ ωσ προσ Ο ( 3, 4 ) (-3,4) (3,-4) (-3,-4)2. Να βρεύτε τισ αποςτϊςεισ των ςημεύων (4,3), (2, 0), (0,1) από του ϊξονεσ ������������΄ και ������������΄ και από την αρχό των αξόνων Ο 0,0 .3. Δύνεται το ςημεύο  10, 1   2  . 5  Να βρεύτε τον αριθμό μ, ώςτε το ςημεύο Α να εύναι ςημεύο του ϊξονα xx΄.4. Δύνεται το ςημεύο    1  3, 20  .  2  Να βρεύτε τον αριθμό μ, ώςτε το ςημεύο Α να εύναι ςημεύο του ϊξονα ������������΄.5. Δύνεται το ςημεύο   3, 4 2 1  1 4 . 3   Να βρεύτε τον αριθμό λ, ώςτε το ςημεύο Α να εύναι ςημεύο του: i. ϊξονα ������������΄. ii. ϊξονα ������������΄.6. Σο ςημεύο 36, 3 εύναι ςημεύο τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ y  3 x  2 . Να βρεύτε τον αριθμό α.7. Δύνεται το ςημεύο Α 3λ-2 , 2λ-3 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ , το ςημεύο βρύςκεται : 1) ςτο δεύτερο τεταρτημόριο 2) ςτο τρύτο τεταρτημόριο 3) ςτο τϋταρτο τεταρτημόριο 4) ςτον ϊξονα ������’������ 5) ςτον ϊξονα ������’������ .8. Για ποιεσ τιμϋσ του λ το ςημεύο Α 3λ+5 , 2λ+1 εύναι ςημεύο [64] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ 1) Σου ϊξονα ������’������ 2) Σου ϊξονα ������’������ 3) Σησ διχοτόμου τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων.9. ΢ε ϋνα ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων δύνονται τα ςημεύα Α -1 , 3 , Β -4 , -1 και Γ 2 , -1) 1) Να βρεύτε τα μόκη ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ και να διαπιςτώςετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ιςοςκελϋσ . 2) Να υπολογιςτεύ το εμβαδόν του τριγώνου.10. ΢ε ϋνα ορθοκανονικό ςύςτημα ςυντεταγμϋνων να ςχεδιϊςετε τα ςημεύα: (1,1), (1, 2), (3, 2) 1) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο. 2) Να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ Γ.11. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y   x2  2 ςτην οπούα το μϋγεθοσ y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ x . Ποια εύναι η τιμό του α ώςτε το ςημεύο 3,20 να ανόκει ςτην γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ? [65] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.3 Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η y=α·x Δύο ποςϊ λϋγονται ανϊλογα, όταν πολλαπλαςιϊζοντασ τισ τιμϋσ του ενόσ ποςού με ϋναν αριθμό, πολλαπλαςιϊζονται και οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου ποςού με τον ύδιο αριθμό. Αν δύο ποςϊ εύναι ανϊλογα,  τότε ο λόγοσ των τιμών του ενόσ προσ τισ αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου εύναι ςταθερόσ, δηλαδό αν x και y εύναι οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ, τότε ο λόγοσ y εύναι x ςταθερόσ και  οι τιμϋσ ������ του ενόσ , εκφρϊζονται ωσ ςυνϊρτηςη των τιμών ������ του ϊλλου , με την ιςότητα y   x . Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y   x εύναι μύα ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. Κλύςη τησ ευθεύασ y   x ονομϊζεται ο αριθμόσ α και υπολογύζεται από τον ςταθερό λόγο y . x Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y   x εύναι μια ευθεύα, που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και: βρύςκεται ςτο 1ο και ςτο 3ο τεταρτημόριο, όταν   0 , ενώ όταν   0, βρύςκεται ςτο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y   x εύναι μύα ευθεύα πουδιϋρχεται από την αρχό των αξόνων και δεν ϋχει ςημεύα τομόσ μετουσ ϊξονεσ. [66] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ 1. Η ευθεύα y  0 παριςτϊνει τον ϊξονα ������΄������. 2. Η ευθεύα x  0 παριςτϊνει τον ϊξονα ������΄������. 3. Η ευθεύα ������ = ������ παριςτϊνει τη διχοτόμο τησ 1ησ και 3ησ γωνύασ των αξόνων.4. Η ευθεύα ������ = −������ παριςτϊνει τη διχοτόμο τησ 2ησ και 4ησ γωνύασ των αξόνων.  ΢το διπλανό ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y  2  x . 3[67] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η y=α·x ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Η κλύμακα ενόσ χϊρτη εύναι 1:500.000. Να βρεύτε την απόςταςη δυο πόλεων ςτο χϊρτη αν η πραγματικό απόςταςη εύναι : 1) 78km 2) 169km2. ΢ε ϋνα χϊρτη με κλύμακα 1:800.000 ϋνασ δρόμοσ ϋχει μόκοσ 32cm. Να βρεύτε το πραγματικό μόκοσ του δρόμου.3. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  2x  5 . Να κϊνετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη όταν 2  x  2 και ������ ακϋραιοσ.4. Δύνεται η ςυνϊρτηςη y  ax . Αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από το ςημεύο Α  1,6 , να βρεύτε το α. Κατόπιν να ςχεδιϊςετε τη γραφικό τησ παρϊςταςη .5. Μια ευθεύα ε περνϊ από την αρχό των αξόνων και από το ςημεύο Α 2,5 . 1. Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα αυτό. 2. Να βρεύτε ποια ςυνϊρτηςη ϋχει την ευθεύα αυτό για γραφικό παρϊςταςη.6. Να βρεθεύ η εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και από το ςημεύο Α  2, 5) .7. Να βρεύτε την κλύςη μιασ ευθεύασ η οπούα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και από τοςημεύο    16 ,  12  .  4 3 8. Να βρεθεύ η εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα : 1) Α 0,2 και Β 1,5 2) Α 0,-2 και Β -3,0) [68] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ9. Να ςχεδιϊςετε ςε ορθογώνιο ςύςτημα αξόνων την ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και ϋχει κλύςη 1 . 310. ������’ ������1 -3 ������’ ������ −4 Να βρεθεύ η εξύςωςη τησ ευθεύασ ������1 . ������’ [69] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.4 Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η y=α·x+β  Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y    x   , όπου x πραγματικόσ αριθμόσ και   0 , εύναι μια ευθεύα παρϊλληλη προσ τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y    x , που τϋμνει τον ϊξονα ������΄������ ςτο ςημεύο (0,  ) .  Ο αριθμόσ  λϋγεται κλύςη τησ ευθεύασ y    x   . ΢το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ(������1): y  2  x  2 3 και τησ ςυνϊρτηςησ(������2): y  2  x . 3 ������1/ /������2 [70] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η y=α·x+β ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. A. Σι ονομϊζεται ςυνϊρτηςη ; B. Σι γνωρύζετε για τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = ������������ και πωσ ονομϊζεται το α ; Γ. Σι γνωρύζετε για τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = ������������ + ������ και πωσ ονομϊζεται το α ; Δ. Να ςυμπληρώςετε τον πύνακα τιμών τησ ςυνϊρτηςησ με τύπο ������ = 2������ − 5������ −������ ������ ������������ 0 22. Να χαρακτηρύςτε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ ΢ωςτϋσ και Λ Λϊθοσ .1) Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = 3������ − 1 ϋχει κλύςη το -1.2) Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = 4������ ϋχει κλύςη το 4.3) Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = −2������ διϋρχεται απ’ την αρχό των αξόνων.4) Οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ������ = −2������ και ������ = −2������ + 8 δεν ϋχουν κανϋνα κοινό ςημεύο.5) ΢τη ςυνϊρτηςη ������ = 2.016������ τα ποςϊ ������ και ������ εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα.3. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ η οπούα ϋχει κλύςη −4 και διϋρχεται από το ςημεύο 0, 1.4. Δύνεται η ευθεύα ε με εξύςωςη y = 2λ + 1 χ + 3μ − 2 . Αν η ε εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα η με εξύςωςη ������ = −5������ + 7 και περνϊει από το ςημεύο Α −1 , −6 , να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ, μ.5. Δύνεται η ευθεύα με εξύςωςη ������ = 6−3������ 2 1) Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ Α , Β με τουσ ϊξονεσ. 2) Να βρεύτε την κλύςη τησ ευθεύασ ε . 3) Να χαρϊξετε την ευθεύα ςε ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων. 4) Να βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.6. Να βρεύτε τα ςημεύα τησ ευθεύασ ε: ������ = 5������ + 4 που βρύςκεται : 1) Κϊτω από τον ϊξονα ������’������ . 2) Από τον ϊξονα ������’������ και πϊνω. [71] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ7. Να βρεύτε την τιμό του λ , ώςτε η ευθεύα : 1) ������ = 3������ + 2 ������ , να διϋρχεται από το ςημεύο ������ 5 , −2 . 2) ������ = 2������ − 1 ������ , να ϋχει κλύςη − 3 . 58. Η ευθεύα y  6  2 1 x  2 εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα y  10x . Να βρεύτε τον αριθμό α.9. Οι ευθεύεσ y  4 3 1 x 15 και y   2  3  5  x  6 εύναι παρϊλληλεσ.  2  1) Να βρεθεύ το λ. 2) Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ των παραπϊνω ευθειών με τουσ ϊξονεσ.10. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ = 3������ − 12. Να βρεθούν τα ςημεύα τομόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ με τουσ ϊξονεσ. ΢τη ςυνϋχεια, να βρεθεύ το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει με τουσ ϊξονεσ.11. Έςτω η ευθεύα ε : 2������������ + ������������ = 6 . Αν η ε τϋμνει τον ϊξονα ������’������ ςτο 2 και τον ������’������ ςτο -1 , να βρεύτε τισ τιμϋσ των κ και λ..12. ΢ε ποια ςημεύα τϋμνουν τουσ ϊξονεσ οι ευθεύεσ? 1) y  3x 1 2) y  3x 3) y  2 4) x 1013. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ = −2������ + 5. 1) Να βρεθεύ που τϋμνει τουσ ϊξονεσ. 2) ΢τη ςυνϋχεια, να βρεθεύ το εμβαδόν του τριγώνου που ςχηματύζει με τουσ ϊξονεσ.14. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ = −2������ + 5. Βρεύτε ποια από τα ςημεύα Α 2,1 Β -3, -10 Γ 5, -5 Δ 4, -9 εύναι ςημεύα τησ γραφικόσ τησ παρϊςταςησ.15. Δύνονται οι ευθεύεσ y 1 x5 και y  3x  2 . 2 ΢ε ποιο ςημεύο τϋμνονται οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ?16. Να βρεθεύ ςε ποιο ςημεύο τϋμνονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων ������ = 3������ − 2 και ������ = 2������ + 1. [72] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Επαναλθπτικι άςκθςθΔίνεται το παρακάτω ςχήμα , όπου οι ευθείεσ ������������ ������������������ ������������ είναι παράλληλεσ. ������������ ������ 6 ε4 ������ Β ������ 3 5 Κ E������′ 0 3ε1:������ = −������ ε2 ������31) Εάν (������������):������ = −������ και (������������)//(������������) , τότε να βρεθοφν οι εξιςϊςεισ όλων των υπόλοιπων ευθειϊν. Η (������2) τζμνει τουσ άξονεσ και ζτςι είναι τθσ μορφισ (������2):������ = ������������ + ������. Η (������1):������ = −������ ζχει κλίςθ ������ = −1 και επειδι (������1)//(������2) (������2 ):������ = −1������ + ������. Επίςθσ , θ (������2) διζρχεται από το ςθμείο ������ 0,3 και ζτςι ςφμφωνα με τθν κεωρία : β=3 . Άρα , (������������):������ = −������������ + ������. Η (������3) είναι παράλλθλθ ςτον άξονα y’y και διζρχεται από το ςθμείο ������ 5,0 . Ζχει λοιπόν τθν μορφι : (������������): ������ = ������ . Η (������4) είναι παράλλθλθ ςτον άξονα ������’������ και διζρχεται από το ςθμείο ������ 0,6 . Ζχει λοιπόν τθν μορφι : (������������): ������ = ������ . [73] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ2) Να βρεθεί το ςημείο Γ.Το ςθμείο Γ είναι το ςθμείο τομισ των ευκειών (������2) και (������4) .Τα πρώτα μζλη είναι ίςα , άρα και δεύτερα μζλη θα είναι ίςα . (������2):������ = −1������ + 3 (������4): ������ = 6 Ζτςι , −1������ + 3 = 6 −1������ = 6 − 3 −1������ = 3 −1 χ = 3 −1 −1 x = −3 , ������ = 6 Άρα : ������ (−3 , 6 )3) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγϊνου ������������������ . ������ = ������������ (������������) = 3·3 = 9 = 4,5 ������. ������. 2 224) Να βρεθεί το φψοσ ΟK του τριγϊνου ΟΑE . Η (������1):������ = −������ είναι θ διχοτόμοσ του πρώτου και τρίτου τεταρτθμορίου και ζτςι ςχθματίηει με τον άξονα x’x γωνία 45°. Όμωσ , και (������1)//(������2) τότε και θ (������2) ςχθματίηει τθν ίδια γωνία με τον άξονα x’x ,(ωσ εντόσ εκτόσ και επί τα αυτά).Δθλαδι ςτο τρίγωνο ΟΑΕ θ γωνία ������ = 45°.Έτςι , ������������������ ������������ί������������������������ ������������������ έ������������������������������ ∶ ������������ ������ = ������������ ������������2 = ������������ , ������������ 45°= ������������ ������������ = 3· 2 μον. 223 ������������ 2 · ������������ = 3 · 2 , [74] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

y=������ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ3.5 Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������  Δύο ποςϊ λϋγονται αντιςτρόφωσ ανϊλογα, όταν πολλαπλαςιϊζοντασ τισ τιμϋσ του ενόσ ποςού με ϋναν αριθμό, διαιρούνται οι αντύςτοιχεσ τιμϋσ του ϊλλου με τον ύδιο αριθμό. Αν δύο ποςϊ εύναι αντιςτρόφωσ ανϊλογα, τότε :  το γινόμενο των αντύςτοιχων τιμών τουσ εύναι ςταθερό. Δηλαδό x y  .  οι τιμϋσ του y εκφρϊζεται ωσ ςυνϊρτηςη των τιμών τουx με την ιςότητα y . x Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ y   όπου   0 λϋγεται υπερβολό και x αποτελεύται από δύο κλϊδουσ που βρύςκονται:  ΢το 1ο και ςτο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν   0 .  ΢το 2ο και ςτο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν   0.  Η υπερβολό ϋχει: 1) κϋντρο ςυμμετρύασ ςτην αρχό των αξόνων. 2) ϊξονεσ ςυμμετρύασ τισ διχοτόμουσ των γωνιών των αξόνων, δηλαδό τισ ευθεύεσ με εξιςώςεισ y = x και y = – x . 3) αςύμπτωτεσ τουσ ϊξονεσ x΄x και y΄y, δηλαδό οι κλϊδοι μιασ υπερβολόσ όςο και να προεκτεύνονται δεν τϋμνουν τουσ ϊξονεσ x΄x και y΄y. [75] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������ = ������ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ ������ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να ςχεδιϊςετε ςτο ύδιο ςύςτημα ορθογωνύων αξόνων τισ ςυναρτόςεισ : i. y  2 , y  4 , y  8 xxx ii. y  6 , y   6 xx2. Δύνεται η υπερβολό: y  12  3  2 ,με x  0 . x Να βρεύτε για πούεσ τιμϋσ του μ, οι κλϊδοι τησ υπερβολόσ βρύςκονται ςτο δεύτερο και ςτο τϋταρτο τεταρτημόριο.3. Δύνεται η υπερβολό y   με x  0 , όπου:   81  49  36  25 x 1) Να βρεύτε τον αριθμό α. 2) ΢ε ποια τεταρτημόριο βρύςκονται οι κλϊδοι τησ υπερβολόσ? 3) Να βρεύτε το ςημεύο Α τησ υπερβολόσ που ϋχει τετμημϋνη -0,5. 4) Να υπολογύςετε την απόςταςη ΟΑ, όπου Ο εύναι η αρχό των αξόνων.4. Δύνονται οι υπερβολϋσ: y  6 , y   6 . xx 1) Να βρεύτε τα ςημεύα Α και Β τησ υπερβολόσ y  6 που ϋχουν τετμημϋνεσ −3 x και 2 αντύςτοιχα. 2) Να βρεύτε το ςημεύο Γ τησ υπερβολόσ y   6 , που ϋχει τεταγμϋνη 6. x 3) Να υπολογύςετε τισ αποςτϊςεισ ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ. 4) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο. [76] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ5. Δύνεται η υπερβολό y  8 με x  0 . x 1) Να βρεύτε το ςημεύο Α τησ υπερβολόσ με τεταγμϋνη 1. 2) Να βρεύτε το ςημεύο Β τησ υπερβολόσ με τετμημϋνη 2. 3) Να βρεύτε το ςημεύο Γ που εύναι ςυμμετρικό του ςημεύου Β ωσ προσ την αρχό των αξόνων και να εξετϊςετε αν ανόκει ςτην υπερβολό. 4) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο.6. Δύνεται η υπερβολό y   6 και οι ευθεύεσ x  2 και y  3 . x 1) Να βρεύτε το ςημεύο τομόσ Α τησ υπερβολόσ και τησ ευθεύασ x  2 . 2) Να βρεύτε το ςημεύο τομόσ Β τησ υπερβολόσ και τησ ευθεύασ y  3 . 3) Να υπολογύςετε την απόςταςη ΑΒ.7. ΢ε ϋνα καταφύγιο διατηρούνται 120 ημερόςιεσ μερύδεσ φαγητού. Να γρϊψετε τη ςυνϊρτηςη που θα υπολογύζει πόςεσ ημϋρεσ μπορεύ να περϊςει μια ορειβατικό ομϊδα ςτο καταφύγιο ςαν ςυνϊρτηςη του πλόθουσ ορειβατών.8. 12 εργϊτεσ ολοκληρώνουν ϋνα ϋργο ςε 20 ημϋρεσ. Ύςτερα από 5 ημϋρεσ από τότε που ϊρχιςε το ϋργο αποχώρηςαν δύο εργϊτεσ. Να βρεθεύ ςε πόςεσ μϋρεσ θα ολοκληρώςουν το ϋργο οι υπόλοιποι εργϊτεσ ; [77] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ ΝΟ5ΘΕΜΑ 1οΝα ςυμπληρωθούν τα παρακϊτω κενϊ. 1) Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ …………………………… εύναι μια ευθεύα που διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. 2) Η γενικό εξύςωςη τησ ευθεύασ εύναι τησ μορφόσ …………………………………… 3) Οι ευθεύεσ (������1): ������ = 2������ + 3 και (������2): ������ = 2������ εύναι ………………………………. 4) Ένα ςημεύο του ϊξονα ������’������ ϋχει ……………………….. μηδϋν . 5) Ο αριθμόσ 4 ςτην ευθεύα τησ μορφόσ ������ = 4������ − 3 ονομϊζεται ……………. τησ ευθεύασ . 6) Σο ςυμμετρικό του ςημεύου Α(2 ,5) ωσ προσ τον ϊξονα ������’������ εύναι το ………………………. 7) Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = ������ , ������ ≠ 0 λϋγεται …………………………… ������ 8) Η ευθεύα τησ μορφόσ ������ = 2������ + 3 τϋμνει τον ϊξονα ������’������ ςτο ςημεύο………………………….. 9) Οι κλϊδοι τισ υπερβολόσ ������ = 5 , βρύςκονται ςτο ……… και ……… τεταρτημόριο. ������ ΘΕΜΑ 2ο Να βρεθεύ η εξύςωςη τησ ευθεύασ η οπούα διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και από το ςημεύο ������(−2 , −4). ΘΕΜΑ 3ο Δύνεται η ευθεύα ������ = 2������ + ������ , η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο Α(1 ,3). 1) Να βρεθεύ το β. 2) Να βρεθεύ το ςημεύο τομόσ τησ ευθεύασ με τον ϊξονα ������’������ . 3) Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα.ΘΕΜΑ 4ο 1) Να βρεθεύ ο τύποσ τησ υπερβολόσ η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο Α(− 3 , 2 ). 2 2) Να κϊνετε την γραφικό παρϊςταςη τησ παραπϊνω υπερβολόσ. [78] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ [79] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.1 ΒΑ΢ΙΚΕ΢ ΕΝΝΟΙΕ΢ ΣΗ΢ ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ΢ : ΠΛΗΘΤ΢ΜΟ΢-ΔΕΙΓΜΑ  Πληθυςμόσ ονομϊζεται ϋνα ςύνολο του οπούου τα ςτοιχεύα μελετϊμε ωσ προσ κϊποιο χαρακτηριςτικό τουσ.  Σο χαρακτηριςτικό ωσ προσ το οπούο μελετϊμε τα ςτοιχεύα ενόσ πληθυςμού, ονομϊζεται μεταβλητό.  Σιμϋσ μιασ μεταβλητόσ λϋγονται οι δυνατϋσ τιμϋσ που μπορεύ να πϊρει η μεταβλητό.  Δεύγμα λϋγεται το μϋροσ του πληθυςμού που επιλϋγουμε να εξεταςτεύ. Για να ϋχουμε αξιόπιςτα αποτελϋςματα κατϊ την εξϋταςη ενόσ δεύγματοσ, θα πρϋπει το δεύγμα να εύναι αντιπροςωπευτικό του πληθυςμού.  Σα αποτελϋςματα που προκύπτουν από την εξϋταςη κϊθε ατόμου του δεύγματοσ λϋγονται ςτατιςτικϊ δεδομϋνα ό παρατηρόςεισ. Δηλαδό κϊναμε μύα δειγματοληψύα.  Σο πλόθοσ του δεύγματοσ λϋγεται μϋγεθοσ του δεύγματοσ. [80] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.2 ΓΡΑΥΙΚΕ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ  Διαγρϊμματα λϋγονται οι εικόνεσ που παρουςιϊζουν με ςύντομο και εύκολο τρόπο ϋνα ςύνολο αριθμητικών δεδομϋνων ό πληροφοριών. Με τα διαγρϊμματα μπορούμε να αντιληφθούμε ςυντομότερα ϋνα θϋμα. Σα εύδη διαγραμμϊτων εύναι: 1. Σα εικονογρϊμματα, ςτα οπούα χρηςιμοποιούμε την εικόνα ενόσ αντικειμϋνου για να δεύξουμε πόςεσ φορϋσ αυτό παρουςιϊζεται ςτην ϋρευνϊ μασ. Σο παραπϊνω εικονόγραμμα παρουςιϊζει τον αριθμό των βιβλύων που αγορϊζονται ςε μια χώρα ετηςύωσ. Σο 2002 αγορϊςτηκαν 20.000 · 8 = 160.000 βιβλύα. 2. Σα ραβδογρϊμματα, ςτα οπούα χρηςιμοποιούμε ορθογώνια που ϋχουν ύψοσ ύςο με το πλόθοσ τησ κϊθε μεταβλητόσ. ΢ε ϋνα ραβδόγραμμα πρϋπει να υπϊρχουν ο τύτλοσ του που μασ κατατοπύζει για το εύδοσ τησ ϋρευνασ και οι τύτλοι των αξόνων. [81] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΣο παραπϊνω ραβδόγραμμα παρουςιϊζει το πλόθοσ των μαθητών που παρακολουθούνεβδομαδιαύωσ από μια ϋωσ επτϊ ώρεσ τηλεόραςησ. Για παρϊδειγμα 7 μαθητϋσπαρακολουθούν 3 ώρεσ τηλεόραςη εβδομαδιαύωσ.3. Σα κυκλικϊ διαγρϊμματα, ςτα οπούα το δεύγμα παριςτϊνεται με ϋναν κυκλικό δύςκο και οι τιμϋσ τησ μεταβλητόσ με κυκλικούσ τομεύσ διαφορετικού χρώματοσ.Η επύκεντρη γωνύα κϊθε κυκλικού τομϋα εύναι ανϊλογη με το πόςεσ φορϋσ παύρνειτην τιμό αυτό η μεταβλητό.  Για να υπολογύςουμε τη γωνύα κϊθε κυκλικού τομϋα χρηςιμοποιούμε τον εξόσ τύπο  ζστνόηηηα ηης μεηαβληηής  3600 μέγεθος δείγμαηοςΓια να καταςκευαςτεύ το παραπϊνω κυκλικό διϊγραμμα κϊνουμε τα παρακϊτω βόματα : 1. Βρύςκουμε το ςύνολο ν των μαθητών , που εύναι ν=60+40+50+30+20=200. 2. Επεξεργαζόμαςτε ξεχωριςτϊ κϊθε περύπτωςη. Α Ροκ ακούνε 40 μαθητϋσ. Άρα , για να βρώ την αντύςτοιχη επύκεντρη γωνύα κϊνω την παρακϊτω πρϊξη : θ = 40 · 360° =72 ° και ομούωσ τα υπόλοιπα . 200 [82] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ  Αναγρϊφω τα αντύςτοιχα ποςοςτϊ ςε κϊθε κυκλικό τομϋα. Για την ροκ μουςικό το ποςοςτό εύναι 40 · 100% = 1 · 100% = 0,2 · 100% = 20% 200 54. Σα χρονογρϊμματα, τα οπούα εύναι διαγρϊμματα που χρηςιμοποιούμε για να παραςτόςουμε τη χρονικό εξϋλιξη ενόσ φαινομϋνου. [83] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.3 ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΢ΤΦΝΟΣΗΣΩΝ ΚΑΙ ΢ΦΕΣΙΚΩΝ ΢ΤΦΝΟΣΗΣΩΝ  ΢υχνότητα μιασ τιμόσ ονομϊζεται ο αριθμόσ που δεύχνει πόςεσ φορϋσ εμφανύζεται η τιμό αυτό ςτο δεύγμα μασ.  ΢χετικό ςυχνότητα μιασ τιμόσ ονομϊζεται το πηλύκο τησ ςυχνότητϊσ τησ προσ το πλόθοσ του δεύγματοσ. Εκφρϊζουμε ςυνόθωσ τισ ςχετικϋσ ςυχνότητεσ ςε ποςοςτϊ επύ τοισ %. Ιςχύουν : 1. Η ςχετικό ςυχνότητα εύναι πϊντοτε αριθμόσ μικρότεροσ ό ύςοσ του 1. 2. Σο ϊθροιςμα όλων των ςυχνοτότων ιςούται με το πλόθοσ των παρατηρόςεων του δεύγματοσ. 3. Σο ϊθροιςμα των ςχετικών ςυχνοτότων(%0 ιςούται με 100. Σοποθετούμε τα δεδομϋνα ςε ϋνα πύνακα, που ονομϊζεται πύνακασ κατανομόσ ςυχνοτότων και ςχετικών ςυχνοτότων.4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗ΢Η ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΩΝΌταν το πλόθοσ των τιμών των παρατηρόςεων μιασ κατανομόσ εύναι μεγϊλο τότε ομαδοποιούμετα δεδομϋνα ςε μικρό πλόθοσ ομϊδων. Ομαδοπούηςη παρατηρόςεων 1. Βρύςκουμε το εύροσ τησ μεταβλητόσ που εύναι η διαφορϊ R=μεγαλύτερη παρατόρηςη-μικρότερη παρατόρηςη. 2.Σο πλόθοσ των κλϊςεων θα δύνεται. 3.Διαιρούμε το εύροσ Rτου δεύγματοσ με το πλόθοσ κ των κλϊςεων ϋτςι ώςτε να βρούμε το πλϊτοσ των κλϊςεων. [84] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΓια καλύτερη κατανόηςη θα δοθεύ ϋνα παρϊδειγμα. ΢ε μια ϋρευνα για το ύψοσ των μαθητών ενόσ Γυμναςύου πόραμε τιμϋσ απο 140cm εώσ 180cm.  Παρατηρούμε ότι οι τιμϋσ τησ μεταβλητόσ «ύψοσ μαθητό» μεταβϊλλονται ςτο διϊςτημα από 140cmεώσ 180cm. Βρύςκουμε το εύροσ τησ μεταβλητόσ που εύναι η διαφορϊ R=μεγαλύτερη παρατόρηςη-μικρότερη παρατόρηςη= 180 – 140 = 40cm.  Διαιρούμε το εύροσ R του δεύγματοσ με το πλόθοσ κ των κλϊςεων ϋτςι ώςτε να βρούμε το πλϊτοσ των κλϊςεων.  Φωρύςαμε το εύροσ ςε 4 κλϊςεισ με πλϊτοσ40 = 10cm. 4 ΚΛΑ΢ΕΙ΢ 140-150 150-160 160-170 170-180 ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ 1. Πλϊτοσ μιασ κλϊςησ λϋγεται η διαφορϊ του αριςτερού ϊκρου τησ κλϊςησ από το δεξιό ϊκρο(Οι κλϊςεισ ϋχουν το ύδιο πλϊτοσ . 2. Κϋντρο μια κλϊςησ ονομϊζεται το ημιϊθροιςμα των ϊκρων τησ κλϊςησ. 3. ΢υχνότητα μιασ κλϊςησ λϋγεται το πλόθοσ των παρατηρόςεων που ανόκουν ςτην κλϊςη αυτό. 4. Αν κϊποια παρατόρηςη ςυμπύπτει με το δεξιό ϊκρο τησ κλϊςησ , τότε την τοποθετούμε ςτην επόμενη κλϊςη.  Για να κϊνουμε γραφικό παρουςύαςη ομαδοποιημϋνων παρατηρόςεων χρηςιμοποιούμε το ιςτόγραμμα ςυχνοτότων που αποτελεύται από ςυνεχόμενα ορθογώνια, τα οπούα ϋχουν ύψοσ ύςο με τη ςυχνότητα τησ αντύςτοιχησ κλϊςησ. [85] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ4.5 ΜΕ΢Η ΣΙΜΗ - ΔΙΑΜΕ΢Ο΢ΜΕ΢Η ΣΙΜΗΓια να βρούμε τη μϋςη τιμό ενόσ ςυνόλου παρατηρόςεων, προςθϋτουμε όλεσ τισπαρατηρόςεισ και διαιρούμε με το πλόθοσ των παρατηρόςεων αυτών. Μέζη ηιμή  Άθροιζμα ηφν παραηηρήζεφν πλήθος ηφν παραηηρήζεφνΓια νΗα μβϋρςοηύμτειμτόημμπϋοςρηετύ ινμαόεμύνιαασι οαμραιθδμοόπσοπιηομυϋνδηεσν κααντόακνεοι μςότσα δκεϊδνοομυϋμνεατταηεσξϋόρσε: υνασ. 1. Βρύςκουμε τα κϋντρα των κλϊςεων. 2. Πολλαπλαςιϊζουμε το κϋντρο κϊθε κλϊςησ με τη ςυχνότητα τησ κλϊςη αυτόσ. 3. Προςθϋτουμε όλα τα γινόμενα. 4. Διαιρούμε το ϊθροιςμα αυτό με το ϊθροιςμα των ςυχνοτότων.ΔΙΑΜΕ΢Ο΢ Για να βρούμε την διϊμεςο μιασ κατανομόσ γρϊφουμε αρχικϊ τισ παρατηρόςεισ ςε αύξουςα ςειρϊ :  Όταν το πλόθοσ των παρατηρόςεων εύναι περιττόσ μονόσ αριθμόσ, παύρνουμε ωσ διϊμεςο τη μεςαύα παρατόρηςη.  Όταν το πλόθοσ των παρατηρόςεων εύναι ϊρτιοσ ζυγόσ αριθμόσ, παύρνουμε ωσ διϊμεςο το μϋςο όρο των δύο μεςαύων παρατηρόςεων. [86] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. Να υπολογύςετε: α το 5% του 70 β το 20% του 120 γ το 35% του 160 δ το 65% του 320 ε το 15% του 3000 ζ) το 65% του 200 η) το 50% του 90 θ) το 100% του 167 ι) το 25% του 72 κ) το 10% του 802. Να υπολογιςτεύ η μϋςη τιμό των παρατηρόςεων κϊθε γραμμόσ. 1) 5, 5, 5, 7, 7, 7 2) 11, 12, 13, 14, 15 3) – 5, – 3, – 1, 0, 1, 3, 5 4) 16, 18, 14, 18, 16, 143. Να βρεύτε τη διϊμεςο των παρατηρόςεων κϊθε γραμμόσ. 1) – 4, – 5, 6, 8, 2, – 3, 0, 4, 3, – 7, 5, 3 2) 0, 1, 2, 50, 98, 99, 1004. ΢ε μια ϋρευνα που ϋγινε ςε 250 ϊτομα οι 50 όταν ϊνδρεσ. Σι ποςοςτό του δεύγματοσ εύναι ϊνδρεσ και τι ποςοςτό εύναι γυναύκεσ;5. ΢ε ϋνα γυμνϊςιο φοιτούν 60 αγόρια και 90 κορύτςια . Η β’ τϊξη ϋχει 45 μαθητϋσ. 1) Ποιο το ποςοςτό των αγοριών ςτο γυμνϊςιο; 2) Ποιο το ποςοςτό των μαθητών τησ β’ τϊξησ ;6. ΢ε μια δημοςκόπηςη που ϋγινε για τισ επερχόμενεσ βουλευτικϋσ εκλογϋσ, 200 ϊτομα απϊντηςαν ότι προτιμούν το κόμμα \"Α\" , 130 ϊτομα το κόμμα \"Β\", και 80 το κόμμα \"Γ\". Ποιϊ εύναι τα ποςοςτϊ του κϊθε κόμματοσ ς’ αυτό τη δημοςκόπηςη;[87] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ7. ΢ε ϋνα δόμο ςτισ δημοτικϋσ εκλογϋσ ψόφιςαν 10.000 ϊτομα. Ο 1οσ υποψόφιοσ ϋλαβε 35% , ο 2οσ υποψόφιοσ ϋλαβε 25% , ο 3οσ υποψόφιοσ ϋλαβε 10% .Βρϋθηκαν ϊκυρα ψηφοδϋλτια ςε ποςοςτό 5% και αποχό όταν 25%. 1) Πόςοι όταν οι ψηφοφόροι ; 2) Πόςοι ψόφιςαν τον κϊθε υποψόφιο ; 3) Πόςοι ψόφιςαν ϊκυρο;8. Ο πατϋρασ του Δημότρη διαθϋτει το μιςθό του ωσ εξόσ. για ενούκιο ςπιτιού 20%, για φαγητό 25%, για ρούχα 30% και για διαςκϋδαςη 15%και για το δϊνειο 10%. α Να κϊνετε το αντύςτοιχο κυκλικό διϊγραμμα. β Να βρεύτε πόςα χρόματα ξοδεύει για ρούχα, αν ο μιςθόσ του εύναι 1500 ευρώ.9. Για να καταςκευϊςουμε ϋνα γλυκό χρηςιμοποιούμε 250g αλεύρι, 150g ζϊχαρη, 100g βούτυρο, 180g ςοκολϊτα και 40g ϊλλα υλικϊ. Να παραςτόςετε τα δεδομϋνα με ραβδόγραμμα και με κυκλικό διϊγραμμα.10. Ο παρακϊτω πύνακασ δύνει τον αριθμό των αυτοκινότων ςε μια οικογϋνεια.Αυτοκύνητα Οικογϋνειεσ0 61 352 103 2΢ύνολο 50 1) Πόςεσ οικογϋνειεσ ϋχουν το πολύ 1 αυτοκύνητο; 2) Πόςεσ οικογϋνειεσ ϋχουν 2 αυτοκύνητα; 3) Πόςεσ οικογϋνειεσ ϋχουν τουλϊχιςτον 2 αυτοκύνητα; 4) Σι ποςοςτό οικογενειών ϋχουν 1 αυτοκύνητο; 5) Να κϊνετε ραβδόγραμμα. 6) Να κϊνετε κυκλικό διϊγραμμα.11. Σα ύψη 8 αθλητών μιασ ομϊδασ μπϊςκετ εύναι ςε cm) 172 , 175 , 183 , 177 , 190 , 193 , 189 , 195 1) Να βρεύτε το μϋςο ύψοσ των αθλητών. 2) Να βρεύτε την διϊμεςο των υψών τησ ομϊδασ. 3) Αν φύγει ϋνασ αθλητόσ με ύψοσ 195 cm και ϋρθει ϋνασ με ύψοσ 198 cm , να βρεύτε ποιο εύναι το νϋο μϋςο ύψοσ τησ ομϊδασ.[88] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ12. Ένα δεύγμα 20 μαθητών τησ Β΄ Γυμναςύου εξετϊςτηκε ωσ προσ τισ ώρεσ που μελετϊει ΢αββατοκύριακο. Από την εξϋταςη αυτό προϋκυψαν τα παρακϊτω δεδομϋνα: 3321534454 3264041522 1) Να κϊνετε πύνακα κατανομόσ ςυχνοτότων και ςχετ. ςυχνοτότων. 2) Να κϊνετε ραβδόγραμμα ςχετικών ςυχνοτότων. 3) Να βρεύτε τον αριθμό των μαθητών που μελετούν το πολύ 3 ώρεσ τηλεόραςη το ΢αββατοκύριακο. 4) Να βρεύτε το ποςοςτό των μαθητών που μελετούν τουλϊχιςτον 5 ώρεσ τηλεόραςη το ΢αββατοκύριακο.12. ΢ε ϋνα δεύγμα 20 ,μπαταριών ελϋγχθηκε η διϊρκεια ζωόσ τουσ ςε ώρεσ και τα 60 αποτελϋςματα όταν : 6362 60 55 61 58 64 69 68 66 750 67 57 53 69 68 59 54 62 15 16 1) Να κϊνετε ομαδοπούηςη ςε 4 κλϊςεισ του ύδιου πλϊτουσ. 7 2) Να κϊνετε γύνει ιςτόγραμμα ςυχνοτότων.13. Δύνονται οι βαθμού που πόραν 40 μαθητϋσ ςε ϋνα διαγώνιςμα.18 16 13 6 10 12 11 10 811 15 12 4 18 13 18 4 10 1812 7 3 10 8 14 18 6 1118 7 14 14 11 3 12 141) Να ομαδοποιόςετε τα δεδομϋνα ςε πϋντε κλϊςεισ ύςου πλϊτουσ.2) Να κϊνετε πύνακα ςυχνοτότων και ςχετικών ςυχνοτότων.3) Να γύνει ιςτόγραμμα ςυχνοτότων. [89] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ «Μεδείξ αγεςμέηνεημξ εηζίης μμη ηεκ ζύνα»Επιγραυή στημ Πλατωμική Ακαδημία(Η Ακαδημία ιδρύθηκε ζηην Αθήνα γύρω ζηο 387 π.Χ. από ηον Πλάηωνα και έκλειζε οριζηικά ηο 529,όηαν καηαργήθηκε από ηον Βυζανηινό Αυηοκράηορα Ιουζηινιανό.) Η θνάζε αοηή ακήθεη ζημκ Πιάηςκα, μ μπμίμξ πνμθακώξ δεκ εκκμμύζε όηη . . . «απαγμνεύεη ηεκ είζμδμ ζ΄ όπμημκ δεκ λένεη γεςμεηνία», αιιά όηη απαηηεί απ΄ ημοξ ζοκμμηιεηέξ ημο κα έπμοκ ακαιοηηθό θαη επαγςγηθό ηνόπμ ζθέρεξ, αοζηενόηεηα ζηεκ θνίζε ημοξ θαη ζηεκ δηαηύπςζε ζομπεναζμάηςκ, απόιοηε αθνίβεηα θαη ζηγμονηά ζηεκ επηιμγή ηεξ αιήζεηαξ απ΄ ημ ρέμα, ημο ζςζημύ απ΄ ημ ιάζμξ. Αοηέξ μη αοημκόεηεξ αλίεξ, πμο θαιιηενγμύκηαη πνώηα απ΄ όια απ΄ ηα μαζεμαηηθά. [90] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ1 ΓΕΩΜΕΣΡΙΑΚΕΥΑΛΑΙΟ 1-ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ΢ΦΗΜΑΣΩΝ-ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ [91] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ1.1 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗ΢ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑ΢ΟΡΙ΢ΜΟΙ  Σο εμβαδόν μιασ επύπεδησ επιφϊνειασ εύναι ϋνασ θετικόσ αριθμόσ, που εκφρϊζει την ϋκταςη που καταλαμβϊνει η επιφϊνεια αυτό ςτο επύπεδο. O αριθμόσ αυτόσ εξαρτϊται από την μονϊδα μϋτρηςησ που θα χρηςιμοποιόςουμε.1.2 ΜΟΝΑΔΕ΢ ΜΕΣΡΗ΢Η΢ ΕΠΙΥΑΝΕΙΩΝ  Η βαςικό μονϊδα μϋτρηςησ εμβαδού, εύναι το τετραγωνικό μϋτρο (m2 , που εύναι ϋνα τετρϊγωνο με πλευρϊ 1m. Οι υποδιαιρϋςεισ του τετραγωνικού μϋτρου εύναι το τετραγωνικό δεκατόμετρο (dm2 , το τετραγωνικό εκατοςτόμετρο (cm2 , το τετραγωνικό χιλιοςτόμετρο (mm2). Για να κϊνουμε μετατροπϋσ ανϊμεςα ςτο τετραγωνικό μϋτρο και τισ υποδιαιρϋςεισ του όπωσ και το τετραγωνικό χιλιόμετρο km2 που εύναι ϋνα τετρϊγωνο με πλευρϊ 1km και το ςτρϋμμα, που εύναι ύςο με 1000m2, μπορούμε να χρηςιμοποιούμε το παρακϊτω διϊγραμμα.[92] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗ΢ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑ΢ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤΜΟΝΑΔΕ΢ ΜΕΣΡΗ΢Η΢ ΕΠΙΥΑΝΕΙΩΝ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. Να μετατρϋψετε : 1) ςε cm2 τα παρακϊτω μεγϋθη: 55m2, 2,14Km2, 34dm2, 57mm2, 419m2. 2) ςε m2 τα παρακϊτω μεγϋθη: 498cm2, 111dm2 , 11,7Km2, 13534mm2, 611dm2. 3) ςε mm2 τα παρακϊτω μεγϋθη: 236m2, 82,7dm2, 03371cm2, 0,022m2. 4) ςε Km2 τα παρακϊτω μεγϋθη: 14m2, 4832dm2, 13375m2, 103 ςτρϋμματα. 5) ςε ςτρϋμματα τα παρακϊτω μεγϋθη: 72564m2, 3,42Km2, 1147dm2, 12m2.[93] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΢ΦΗΜΑΣΩΝ  Σο εμβαδόν ενόσ τετραγώνου πλευρϊσ  ιςούται με    2 . Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου με πλευρϋσ ,  ιςούται με      . Σο εμβαδόν ενόσ παραλληλογρϊμμου εύναι ύςο με το γινόμενο μιασ βϊςησ του με το αντύςτοιχο ύψοσ    1   2 Σο εμβαδόν ενόσ τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου μιασ βϊςησ του με το αντύςτοιχο ύψοσ   1   2 Σο εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι ύςο με το μιςό του γινομϋνου των δύο κϊθετων πλευρών του   1   . 2 Ή εύναι ύςο με το γινόμενο τησ υποτεύνουςασ επύ το αντύςτοιχο ύψοσ τησ. Σο εμβαδόν ενόσ τραπεζύου εύναι ύςο με το γινόμενο του ημιαθρούςματοσ των βϊςεών του με το ύψοσ του. ������ + ������ · ������ ������ = 2 [94] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΢ΦΗΜΑΣΩΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΖ΢ΔΗ΢1. Αν το εμβαδόν ενόσ τετραγώνου εύναι 144cm2, να υπολογύςετε την περύμετρό του.2. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει περύμετρο 162m και το μόκοσ του εύναι διπλϊςιο από το πλϊτοσ του. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του.3. Ένα βιβλύο ϋχει 127 φύλλα, που το καθϋνα ϋχει διαςτϊςεισ 16cm και 25cm. Να υπολογύςετε πόςη επιφϊνεια χαρτιού ϋχει όλο το βιβλύο.4. Η επιφϊνεια των φύλλων του χαρτιού ενόσ βιβλύου 200 ςελύδων εύναι 4,08 ������2 . Αν η μια διϊςταςη του βιβλύου εύναι 17 cm , να βρεύτε την ϊλλη διϊςταςό του.5. Μια αυλό ϋχει ςχόμα ορθογωνύου με διαςτϊςεισ 15 m και 20 m . Θϋλουμε να τη ςτρώςουμε με τετραγωνικϋσ πλϊκεσ πλευρϊσ 40 cmκαι αξύασ 1,5 ευρώ η καθεμύα. Να υπολογύςετε : α το εμβαδόν τησ αυλόσ β τα χρόματα που θα πληρώςουμε.6. Η μεγϊλη βϊςη ενόσ τραπεζύου εύναι διπλϊςια από τη μικρό βϊςη. Αν το εμβαδόν του εύναι 72cm2 και το ύψοσ του 12cm, να υπολογύςετε τισ βϊςεισ του.7. Ένα παραλληλόγραμμο ϋχει το ύδιο εμβαδόν και την ύδια περύμετρο με ϋνα ορθογώνιο που ϋχει διαςτϊςεισ 8cm και 7cm. Αν η μύα πλευρϊ του παραλληλογρϊμμου εύναι 10cm να υπολογύςετε την ϊλλη πλευρϊ του και τα ύψη του παραλληλογρϊμμου.8. Να υπολογύςετε το x ςε καθϋνα από τα παρακϊτω ςχόματα. [95] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ9. Να υπολογύςετε τα εμβαδϊ των παρακϊτω ςχημϊτων.10. Να υπολογύςετε τα εμβαδϊ των παρακϊτω γραμμοςκιαςμϋνων ςχημϊτων.11. ΢το παρακϊτω ςχόμα να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΓ εϊν γνωρύζετε ότι τα ΑΒΓΔ και ΒΗΖΕ εύναι τετρϊγωνα. [96] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ1.4 ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ΢ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο το τετρϊγωνο τησ υποτεύνουςασ εύναι ύςο με τοϊθροιςμα των τετραγώνων των δύο κϊθετων πλευρών του. 2  2 2 ό 2  2  2 Παρατόρηςη:  2   2   2 ό 2 2 2 Σο αντύςτροφο του Πυθαγορεύου θεωρόματοσ:Αν ςε ϋνα τρύγωνο, το τετρϊγωνο τησ μεγαλύτερησ πλευρϊσ εύναι ύςο με τοϊθροιςμα των τετραγώνων των δύο ϊλλων πλευρών, τότε το τρύγωνο εύναιορθογώνιο με ορθό τη γωνύα που βρύςκεται απϋναντι από τη μεγαλύτερη πλευρϊ . Ποζαγόνεηεξ ηνηάδεξ Οη θοζηθμί ανηζμμί πμο ηθακμπμημύκ ηεκ ελίζςζε α2 = β2 + γ2 μκμμάδμκηαη ποζαγόνεηεξ ηνηάδεξ. Η πημ μηθνή είκαη ε (3,4,5), με 32+42=52. Άιιεξ ποζαγόνεηεξ ηνηάδεξ είκαη μη (5, 12, 13) θαη ε (7, 24, 25). Απμδεηθκύεηαη όηη ακ α, β, γ μηα ποζαγόνεηα ηνηάδα ηόηε θαη μη ανηζμμί θα, θβ θαη θγ, όπμο θ θοζηθόξ ανηζμόξ, απμηειμύκ επίζεξ ποζαγόνεηα ηνηάδα, π.π. ποζαγόνεηεξ ηνηάδεξ είκαη μη (3,4,5), (6,8,10), (9, 12, 15) θιπ. Αθμιμοζεί ιίζηα με ηηξ ποζαγόνεηεξ ηνηάδεξ πμο έπμοκ όιμοξ ημοξ όνμοξ ημοξ μηθνόηενμοξ από 100 θαη δεκ είκαη πμιιαπιάζηα άιιςκ ποζαγόνεηςκ ηνηάδςκ: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97). [97] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Να βρεύτε ποιεσ από τισ παρακϊτω ιςότητεσ, που αναφϋρονται ςτο ςχόμα, εύναι ςωςτϋσ:2. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ ������ = 90̊ με ΑΒ =8 cm και ΑΓ = 6 cm. Να υπολογύςετε : 1) Σο εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 2) Σην υποτεύνουςα ΒΓ 3) Σο ύψοσ προσ την ΒΓ.3. ΢το παρακϊτω ςχόμα ˆ  ˆ  ˆ  900 . Να υπολογύςετε: α. Σην πλευρϊ ΑΓ. β. Σην πλευρϊ ΑΔ. γ. Σην πλευρϊ ΑΕ.4. ΢ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ η υποτεύνουςα εύναι 25cm και κϊθετη πλευρϊ ΑΒ=15cm . Να βρεθεύ η πλευρϊ ΑΓ και η περύμετροσ του.5. Να υπολογύςετε το εμβαδόν ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου που ϋχει διαγώνιο16cm και ύψοσ 9cm.6. ΢ε ϋνα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ η διαγώνιοσ ΚΜ = 10cm και η πλευρϊ ΚΛ = 8cm. Αν Ε εύναι το μϋςο τησ ΛΜ, να υπολογύςετε το εμβαδόν του τετραγώνου που ϋχει πλευρϊ την ΚΕ.7. ΢ε ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ϋχουμε ΑΒ=ΑΓ=20cm και η βϊςη του ΒΓ=24cm. α Να υπολογύςετε το ύψοσ του. β Να υπολογύςετε το εμβαδόν του. [98] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ8. ΢ε ϋνα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ η περύμετροσ του εύναι 54cm και η ΑΒ=15 cm. Να υπολογύςετε : α Σο ύψοσ ΑΔ. β Σο εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ Σο εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ.9. Σο εμβαδόν ενόσ ιςοςκελούσ τριγώνου εύναι 12 cm2 και το ύψοσ του εύναι 4cm. Να βρεθεύ η περύμετροσ του τριγώνου.10. Να βρεύτε την περύμετρο ενόσ ορθογωνύου και ιςοςκελούσ τριγώνου ΑΒΓ με εμβαδόν Ε =32cm2.11. Οι πλευρϋσ ενόσ τριγώνου ΑΒΓ εύναι ������������ = 3������ − 3 , ������������ = 3������ + 1 και ������ ������������ = 4 ������. Αν οι περύμετροσ του τριγώνου εύναι 48. α Να βρεθεύ το ������ και οι πλευρϋσ του τριγώνου. β Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο.12. Οι πλευρϋσ ενόσ τριγώνου ΑΒΓ εύναι ������ = 10������−4 , ������ = ������ + 2 , ������ = 5������ − 3 2 και η περύμετροσ του εύναι ύςη με 30cm. α Να βρεθούν οι πλευρϋσ του τριγώνου. β Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο. γ) Nα βρεύτε το εμβαδόν του τριγώνου.13. Αν η υποτεύνουςα ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι 18cm και η μια κϊθετη πλευρϊ του εύναι διπλϊςια τησ ϊλλησ, να βρεθεύ η περύμετρόσ του.14. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ϋχει μόκοσ 10cm και πλϊτοσ 8cm. α Να βρεθεύ η διαγώνιοσ του ορθογωνύου. β Να βρεθεύ η περύμετροσ και το εμβαδόν του ορθογωνύου.15. Να βρεύτε τη διαγώνιο και την περύμετρο ενόσ τετραγώνου που ϋχει πλευρϊ 6cm.16. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι η διαγώνιοσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου με μόκοσ 12cm και πλϊτοσ 9cm. Να βρεύτε την περύμετρο και το εμβαδόν του τετραγώνου. [99] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Β’ ΓΤΜΝΑ΢ΗΟΤ17. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι το ύψοσ ενόσ ιςόπλευρου τριγώνου πλευρϊσ 8cm. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τετραγώνου.18. Να βρεθεύ το εμβαδόν ιςοπλεύρου τριγώνου με ύψοσ 3 .19. Ένα οικόπεδο ϋχει ςχόμα ρόμβου με διαγώνιεσ 80m και 60m. Να βρεύτε: α την περύμετρο και το εμβαδόν του οικοπϋδου β πόςο κοςτύζει να περιφρϊξουμε το οικόπεδο, όταν το 1 μϋτρο περύφραξησ κοςτύζει 15 ευρώ.20. ΢το παρακϊτω τραπϋζιο ΑΒΓΔ ϋχουμε : ΑΒ=4cm , ΓΔ=16cm , ΒΓ=15cm . Να φϋρετε το ύψοσ ΒΚ του τραπεζύου. α. Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΔΚ και την πλευρϊ ΚΓ. β. Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΒΚ. γ. Να υπολογύςετε το εμβαδόν του τραπεζύου.21. Να υπολογύςετε την ϊγνωςτη πλευρϊ x ςτα παρακϊτω ςχόματα.22. ΢το παρακϊτω τραπϋζιο ΑΒΓΔ ϋχουμε : ΑΔ=5 cm , ΓΔ=8cm , ΒΓ=9cm. Να υπολογύςετε: α. Σισ πλευρϋσ ΑΚ και ΚΓ. β. Σην πλευρϊ ΚΒ. γ. Σην πλευρϊ ΑΒ. δ. Σο εμβαδόν του τραπεζύου.[100] Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα