ฟิสิกส์ ทั่วไป สิบเอกกมลศักดิ์ วังคำ 657601431

30 สือ่ การเรยี นการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าฟสิ ิกสท์ ั่วไป 2. บทความจากหนังสือ หรือเวบ็ ไซต์ตา่ งๆ 3. ภาพเลอื่ น (slide) 4. คอมพิวเตอร์พร้อมเครื่องฉาย LCD projector การวดั ผลและการประเมนิ ผล 1. ประเมนิ จากการซกั ถามในชนั้ เรียน 2. ประเมนิ จากความร่วมมือหน้าชนั้ เรยี น 3. ประเมนิ จากการทา้ แบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรยี น

31 บทท่ี 2 แรงและกฎการเคลื่อนท่ี 2.1 มวลและแรง มวล (Mass) เป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงค่าความเฉ่ือยหรือค่าความต้านทานต่อการเคล่ือนที่ ซึ่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ มีค่าคงทีเสมอไม่ว่าจะอยู่ที่ต้าแหน่งใดๆ มีสัญลักษณ์เป็น m มีหน่วยเป็นกิโลกรัม (kg) เช่น วตั ถุทม่ี ีมวล 10 kg จะตา้ นการเคลื่อนทไ่ี ดม้ ากวตั ถุมวล 5 kg กอ้ นหน่ึงอยู่บนโลกมีมวล 12 kg เมอ่ื น้าไปไวท้ ่ีดวงจนั ทรม์ วลของก้อนนี้ยังคงมีมวลเทา่ กบั 12 kg เช่นเดมิ เป็นตน้ แรง (Force) เป็นปริมาณชนิดหนึ่งท่ีสามารถเปลี่ยนสภาพการเคล่ือนที่หรือรูปร่างของวตั ถุ ซ่ึง เป็นปริมาณเวกเตอร์ เช่น แรงผลักประตู กดหรือยืดสปริง ลากรถ ขว้างก้อนหิน หรือเตะลูกบอล เป็น ตน้ ซ่ึงเป็นแรงท่พี บเหน็ ได้ในกจิ วัตรประจ้าวนั แต่โดยทั่วไปแล้วในธรรมชาติจะมีแรงมูลฐาน ประเภท 4 ได้แก่ แรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุ (Gravitational force) แรงแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic force) ประจุไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม (Strong nuclear) แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน (Weak nuclear) นอกจากนถี้ ้าพิจารณาชนดิ ของแรงจากการสมั ผสั หรอื ไมส่ มั ผสั กันของวัตถุสองชิ้น คอื แรงสัมผัส คือแรง ท่ีเกิดจากการสัมผัสทางกายภาพระหว่างวัตถุสองชน้ิ (แรงที่เท้ากระท้ากับลูกบอล แรงผลักประตู) และ สนามของแรง คือ แรงที่ไม่ไดเ้ กดิ จากการสมั ผสั ระหวา่ งวัตถสุ องชิ้นโดยตรง แรงจะส่งผ่านที่ว่างวัตถุสอง วตั ถุจะดงึ ดดู กนั ด้วยแรงโนม้ ถว่ ง เช่น แรงโนม้ ถว่ งระหว่างโลกและดวงจันทร์ แรงดงึ ดูดหรอื ผลกั ระหวา่ ง ประจุไฟฟ้า เป็นต้น เม่ือพิจารณาแรงในระบบจะพบว่าประกอบไปด้วยแรงต่างๆ เช่น แรงกิริยา (Action force, F ) แรงปฏกิ ิริยา (Reaction force, F ) แรงดึงดดู ของโลกที่กระท้าต่อวัตถุหรือแรง เนื่องจากน้าหนักของวตั ถุ (weight, w ) แรงเสียดทาน (Frictional force, f  ) และแรงตรึงเชือก (Tension, T) เป็นต้น 2.2 แรงกิริยา แรงปฏิกิรยิ า และ แรงตรึงเชอื ก แรงกิริยา (Action force, F ) คือแรงท่ีกระท้าตอ่ วัตถุท่ีก้าลังพิจารณา ในขณะที่แรงปฏิกิริยา (Reaction force, F) คือ แรงท่ีวัตถุกระท้าต่อต้านแรงท่ีมากระท้า มีขนาดค่าเท่ากันกับแรงที่มา กระท้าแตม่ ีทศิ ทางตรงขา้ ม และแรงปฏิกิริยาในทิศทางต้ังฉากกบั ผวิ สัมผัสเรยี กว่า (Normal force, N ) แรงตรงึ เชอื ก (Tension, T ) คือ แรงทส่ี ่งผา่ นไปตามเส้นเชือกที่ตรงึ ขนาดของแรงมีค่าเท่ากันตลอดทุก จุดเส้นเชือก มีทิศพุง่ ออกจากวัตถุที่ก้าลังพจิ ารณา ในการค้านวณแรงตรึงเชือกจะไม่คิดผลของมวลของ เสน้ เชือกหรือมวลเบามาก

32 การพิจารณาแรงลัพธ์ท่ีมากระท้าต่อวัตถุเหล่านั้นได้โดยการใช้การเขียนแผนภาพวัตถุอิสระ (Free body diagram) ซ่ึงสามารถเขียนแผนภาพของแรงต่างๆท่ีกระท้าบนวัตถุหรือเรียกแรงเหล่านั้น ว่า แรงย่อย ได้โดย (1) เขียนขอบเขตของวัตถุที่พิจารณา (2) หาแรงรอบตัววัตถุท่ีพจิ ารณา (3) หน่ึง ผิวสัมผัสกับวัตถุอ่ืนๆจะประกอบไปด้วยสองแรง คือ แรงท่ีต้ังฉากกับผิวสัมผัสมีทิศเข้าพุ่งเข้าหาวัตถุที่ พิจารณา และแรงต้านการเคล่อื นของวัตถุที่พิจารณา (4) เขียนแรงเนื่องจากน้าหนักของวัตถุมีทิศพงุ่ เข้า ส้โู ลกเสมอ เมือ่ รวมแรงยอ่ ยเหล่าน้ันเข้าด้วยกันจะได้แรงสุทธิ เรียกวา่ แรงลัพธ์ การรวมกันของแรงย่อย ตา่ งๆใชห้ ลักการเดียวกันกับการรวมแบบเวกเตอร์ จากรูปที่ 2.1(a และ b) วัตถุก้อนหน่ึงว่างอยู่น่ิงบน พ้ืน สามารถเขียนแผนภาพของแรงต่างๆได้ สองแรงเนื่องจากน้าหนักของวัตถุและแรงท่ีพื้นกระท้าต่อ วัตถุ (normal force) B N A FB FA mg (b) NT θ fμ mg (a) รูปที่ 2.1 แสดงตัวอยา่ งของแรงแบบตา่ งๆทก่ี ระทา้ บนวตั ถุ

33 2.3 น้าหนกั วตั ถทุ กุ ชนดิ จะถูกดึงดูดโดยโลก เรียกแรงท่ีโลกกระท้ากับวัตถุว่า แรงโน้มถ่วง (Fg ) มีทิศพุ่งเข้า หาจุดศูนย์กลางของโลก และเรียกขนาดของแรงโน้มถ่วงนั้นวา่ น้าหนัก (Weight) ของวัตถุ จากเรื่อง การตกอยา่ งอิสระพบว่าวตั ถุจะข้ึนกบั หรอื ความเร่ง g ดงั นนั้ ขนาดของแรงโนม้ ถ่วงหรอื น้าหนักของวตั ถุ จะเท่ากบั w  mg (2.1) เม่อื w คือ น้าหนกั (N) m คอื มวล (kg) g คอื ความเร่งเน่ืองจากแรงโนม้ ถ่วง (m/s2) แตเ่ น่ืองจากค่า g จะเปล่ียนตามต้าแหน่งทางภมู ิศาสตร์ ดังน้ันน้าหนักของวัตถุจึงไม่คงท่ีจะ ขึ้นโดยตรงกบั คา่ g ที่วดั ได้ ณ ต้าแหนง่ นนั้ ๆซ่งึ จะมีค่าน้อยลงเม่ือวัตถอุ ยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางโลกมาก ขึ้น เช่น วตั ถุมวล 5 kg เม่ือวางไว้ท่ีต้าแหน่งผิวโลกจะมีน้าหนักเท่ากับ 49.15 N เนื่องจากค่า g ที่วดั ได้มีค่าประมาณ 9.83 m/s2 ในขณะที่เม่ือน้าวตั ถุน้ี ไปวางไวบ้ นตึกสูงมากๆจากผิวโลก น้าหนักท่ีช่งั ได้ เท่ากบั 48.85 N เนอื่ งจากค่า g ทว่ี ดั ได้มีค่านอ้ ยลงประมาณ 9.77 m/s2 ดังรูปที่ 2.2 เปน็ ตน้ ตึก w  mg โลก รูปที่ 2.2 แสดงตา้ แหน่งการวางและทิศของแรงดึงดูดของโลกกระทา้ ต่อวตั ถุ

34 2.4 แรงเสียดทาน แรงเสียดทาน (Friction force) คือ แรงที่ตา้ นการเคล่ือนท่ีของวัตถุ เกิดข้ึนระหว่างผิวสัมผัส ของวตั ถุ โดยมที ิศทางตรงกนั ข้ามกบั การเคล่ือนที่ ดงั รูปท่ี 2.3 แรงเสียดทานจะเกิดข้ึนเม่ือผิวสัมผัสของ วัตถุแต่ละคู่น้ันมีความหยาบหรือขรุขระและจะไม่เกิดแรงเสียดทานเม่ือ ผิวสัมผัสของวัตถุแต่ละคู่นั้น เรียบหรือล่ืน เช่น รถยนต์ท่ีว่ิงบนถนน ล้อของรถจะเกาะยึดติดกับผิวถนนได้อย่างดีเน่ืองจากล้อรถมี ดอกยางซ่ึงมีความขรุขระเช่นเดียวกันกับพื้นถนนท้าให้ไม่เกิดการล่ืนไถ่ของรถยนต์ ในขณะเดียวถ้าล้อ ของรถไม่มีดอกยางหรือมีน้าบนพ้ืนถนน ล้อของรถจะไม่สามารถเกาะยึดตดิ กับถนนท้าให้เกิดการล่ืนไถ่ ของรถยนตซ์ งึ่ อาจทา้ ให้เกดิ อุบัติเหตขุ ึ้นได้ ในทางตรงกนั ข้าม แรงเสยี ดทานท้าให้สิ้นเปลืองพลังงานตอ้ ง ใชแ้ รงทีม่ ากขนึ้ เน่ืองจากวตั ถเุ คลอ่ื นที่ชา้ โดยแรงเสียดทานสามารถแบง่ ออกได้ 2 ชนดิ คือ 1. แรงเสียดทานสถิติ (static friction) แทนด้วย คือ แรงเสียดทานท่ีเกิดในสภาวะ วัตถุอยู่นิ่ง แรงเสียดทานสถิติจะมีค่าไม่คงที่ จะมีค่าเพิ่มข้ึนหรือลดลงตามแรงท่ีกระท้าต่อวัตถุ ตามความสัมพันธ์ ดังน้ี f s  sN (2.2) เมอื่ f s คือ แรงเสยี ดทานสถิติ (N) s คอื สัมประสิทธ์ิของแรงเสยี ดทานสถติ ิ N N คือ แรงปฏกิ ิริยาที่พน้ื กระท้ากับวัตถุ (N) 2. แรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction) แทนดว้ ย คือ แรงเสียดทานท่ีเกิดในสภาวะวตั ถุก้าลัง เคล่ือนท่ตี ามความสมั พันธ์ ดงั น้ี f k  kN (2.3) เม่อื f k คอื แรงเสยี ดทานสถติ ิ (N) μk คอื สัมประสทิ ธขิ์ องแรงเสียดทานสถติ ิ N N คือ แรงปฏิกิรยิ าทพี่ ื้นกระท้ากับวตั ถุ (N) ถ้าออกแรงดึงวัตถุบนพ้ืนในแนวระดับ เร่ิมต้นวัตถุจะยังคงอยู่กับที่ เพราะพื้นมีแรงเสียดทาน มากกวา่ แรงที่ดึง แต่ถ้าออกแรงเพิ่มข้ึน แรงเสียดทานจะเพ่ิมขึ้นเท่ากับแรงท่ีผลัก จนกระท่ังเพิ่มแรงขึ้น ไปถงึ คา่ หนง่ึ วตั ถจุ ะเรม่ิ เคลือ่ นท่ีทา้ ให้แรงเสียดทานลดลง กลายเป็นแรงเสียดทานจลน์และจะคงที่ตลอด การเคล่ือนที่ ดังรูปท่ี 2.3

35 f v0 v0 fk fs F f s(max) fs fk F รูปที่ 2.3 แสดงการออกแรงดงึ วัตถุและกราฟความสัมพนั ธ์แรงเสียดทานระหวา่ งวตั ถุและพืน้ 2.5 กฎการเคลื่อนทขี่ อ้ ท่ี 1 ของนิวตัน กฎการเคล่ือนท่ีข้อที่ 1 ของนิวตัน (Newton’s first law of motion) หรือกฎของความเฉ่ือย (law of inertia) กล่าวว่า “วัตถุจะรักษาสภาวะอยู่นิ่งหรือสภาวะเคล่ือนท่ีอย่างสม้่าเสมอในแนว เส้นตรง นอกจากมีแรงลัพธ์ ซ่ึงมีค่าไม่เป็นศูนย์มากระท้า” หมายความว่า ถ้าวัตถุอยู่น่ิงก็ยังคงอยู่น่ิง เหมือนเดิม และถ้าวัตถุเกิดการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ หรือความเร่งเป็นศูนย์ ถ้าไม่มี แรงลพั ธ์ภายนอกมากระทา้ ต่อวตั ถุ ดงั รปู ท่ี 2.4 สามารถนยิ ามสมการได้เปน็ F  0 (2.4) เมอ่ื F คือ แรงลพั ธท์ ้ังหมดทกี่ ระทา้ กับวตั ถุ v0 v = constant รูปที่ 2.4 แสดงการเคลือ่ นที่ตามกฎขอ้ ที่ 1 ของนิวตนั

36 2.6 กฎการเคล่ือนท่ขี อ้ ที่ 2 ของนวิ ตนั ส้าหรับกฎการเคลื่อนท่ีข้อท่ี 2 ของนิวตัน (Newton’s second law of motion) หรือกฎของ แรง (Low of force) กล่าวว่า “เมื่อมีแรงลัพธม์ ีค่าไม่เท่าศูนย์มากระท้าต่อวัตถุ จะท้าให้วัตถุเกิด ความเร่งในทิศเดยี วกับแรงลัพธ์ท่ีมากระท้า” โดยที่ขนาดของความเร่งจะแปรผันตรงกับขนาดของแรง ลัพธ์ ตามความสัมพันธ์ aF ซ่ึงหมายความว่า เม่ือผลักวัตถุให้แรงข้ึน ความเร่งของวัตถุก็จะมากขึ้นตามไปด้วย และขนาด ของความเร่งจะแปรผกผนั กบั มวลของวัตถุ ตามความสัมพันธ์ a 1 m ซึ่งหมายความว่า เมื่อออกแรงเท่าๆ กัน ผลักวัตถุสองชนิดซ่ึงมีมวลไม่เท่ากัน วัตถุที่มีมวลมาก จะเคลื่อนท่ดี ว้ ยความเรง่ น้อยกวา่ วัตถุทีม่ ีมวลน้อย จากกฎขอ้ นี้ สามารถนิยามสมการได้เปน็ F  ma (2.5) เมอื่ F คอื แรงลพั ธท์ ัง้ หมดทก่ี ระทา้ กบั วัตถุ มหี นว่ ยเป็น N m คอื มวลของวตั ถุ มีหนว่ ยเปน็ kg a คือ ความเรง่ ของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s 2 ท้าให้สามารถพิจารณาแรงลัพธ์นี้ในรูปของเวกเตอร์ลัพธ์ ย่อยตามแกน x, y และ z ได้เป็น Fx  max Fy  may และ Fz  maz vinitial a a vfinal vfinal FF รูปที่ 2.5 แสดงการเคล่ือนที่ตามกฎขอ้ ท่ี 2 ของนิวตนั

37 2.7 กฎการเคลอื่ นทขี่ อ้ ที่ 3 ของนิวตัน ส้าหรับกฎการเคลื่อนท่ีข้อที่ 3 ของนิวตัน (Newton’s third law of motion) หรือกฎของ กรยิ าและปฏกิ ริ ิยา (Law of action and reaction) กลา่ วว่า “ทกุ แรงกริยา (Action force) ตอ้ งมีแรง ปฏิกริ ยิ า (Reaction force) ท่ีมีขนาดเทา่ กนั และทศิ ตรงกนั ข้ามเสมอ” สามารถนิยามสมการไดเ้ ปน็ Faction  Freaction (2.6) เราจะพบว่า เม่ือใดท่ีมีแรงกริยา จะมีแรงปฏิกิริยาเกิดข้ึนเสมอ ซ่ึงเป็นแรงท่ีกระท้าต่อมวลท่ี ต่างกันและเกดิ ข้นึ พรอ้ มกนั เป็นค่เู สมอ แสดงดงั รปู ท่ี 2.6 จะเห็นวา่ แรงทีก่ ระทา้ ต่อวตั ถทุ ีว่ างบนพืน้ จะมี 2 คู่ โดยคู่ที่ 1 เป็นแรงที่เกิดจากพ้ืนกระท้าต่อวัตถุและเป็นแรงท่ีเกิดจากวตั ถุกระท้าต่อพ้นื และคู่ที่ 2 เปน็ แรงทเ่ี กดิ จากโลกกระท้าตอ่ วัตถุ (น้าหนกั ) และวตั ถุ 3 กอ้ นแรงที่เกิดจากวตั ถุกระท้าต่อโลก (ดงึ ดูด) และค่ทู ่ี 2 เป็นแรงทวี่ ตั ถกุ ระท้าระหวา่ งวตั ถุ N FA B A FB Fg A BC รูปที่ 2.6 แสดงแรงปฏกิ ิริยาเกิดข้นึ ระหว่างวัตถุ

38 ตัวอยา่ งที่ 2.1 ลูกบอลลูกหน่ึงมวล 0.4 kg กลง้ิ มาตามพน้ื ราบถกู แตะสกดั โดยนักบอลสองคนในทิศทาง ดังรูปท่ี 2.7 โดยหนักบอลคนแรกออกแรง 2 N ท้ามุม 1 เท่ากับ 30o กับแนวแกน –x และหนักบอล คนแรกออกแรง 5 N ทา้ มมุ 2 เทา่ กับ 60o กับแนวแกน x จงหาขนาดและทิศทางของความเร่งของลูก บอลลกู นีเ้ มอื่ ไม่คิดแรงต้านใดๆ y F2 θ2 θ1 x F1 รูปที่ 2.7 แสดงทศิ ทาง F1 และ F2 ที่กระท้ากบั ลูกบอล วิธที า จากกฎข้อท่ี 2 ของนวิ ตนั F  ma โดยที่ Fx +Fy  max  may และ Fx  F1x i+F2x i Fy  F1y j+F2y j แรงบนแกน x F1x  F1 cos1  2cos30o  20.866  1.732 N แรงบนแกน y F2x  F2 cos 2  2cos 60o  40.5  2 N แทนค่าจะได้ F1y  F1 sin 1  2sin 30o  2 0.5  1.0 N F2y  F2 sin 2  5sin 60o  5 0.866  4.33 N แทนค่าจะได้ Fx  1.732i+2i  0.268 N i Fy  1.0j+4.33j  3.33 N j Fx  max 0.268 N i  (0.4 kg) ax ax  0.268 N i 0.4 kg ax  0.67 i m/s2

39 แทนค่าจะได้ Fy  may จะได้ 3.33 N j  (0.4 kg) ay ay  3.33 N i 0.4 kg ay  8.325 m/s2 j a  ax + ay  0.67 i + 8.325 j m/s2 ขนาดความเร่ง a  (ax )2 + (ay )2 และทศิ ทางของควาเรง่  (0.67) + (8.325) m/s2  8.35 m/s2 tan   ay ax  0.67 8.325   tan1(0.08)   5o ตวั อย่างท่ี 2.2 วัตถสุ องกอ้ น m1 และ m2 ซึ่ง m2 >m1 ผูกตดิ ปลายเชือกเบาคล้องผ่านรอกเบาและลื่น ดังรปู ท่ี 2.8 (ระบบ Atwood’s Machine) จงหาความเรง่ ของมวลทงั้ สองและแรงตรึงเชอื ก TT a a m1 m2 m1 m2 m1 g m2 g (a) (b) รูปที่ 2.8 (a) แสดงระบบ Atwood’s Machine m m (b) แสดงแรงต่างๆ ทก่ี ระทา้ ต่อ 1 และ 2

40 วิธที า เนื่องจาก m2 >m1 ดงั น้ันมวล m1 จะเคล่อื นทีข่ ้ึน และมวล m2 เคลอ่ื นท่ีลงด้วยความเร่งเท่ากัน นน่ั คอื ความเร่งของมวลทั้งสองจะเท่ากบั ความเรง่ ของระบบน้ี จะได้ จากกฎข้อท่ี 2 ของนวิ ตัน F  ma โดยที่ Fx +Fy  max  may และ Fx  Fx i , Fy  Fy j ax  axi , ay  ay j พจิ ารณาแรงบน m1 แรงบนแกน x Fm1x  0 N แรงบนแกน y แทนคา่ ใน Fm1y  T  m1g N T  m1g j  m1ay j  T j  m1ay  m1g j พิจารณาแรงบน m2 แรงบนแกน x Fm2x  0 N แรงบนแกน y แทนคา่ ใน Fm2y  m2g  T N m2g  T j  m2ay j  T j  m2 g  m2 ay j น้า (3) = (4)    m1ay  m1g j  m2 g  m2 ay j ay   m2  m1  g j m/s2  m2  m1  และเนอ่ื งจากเชือกเสน้ เดียวกนั จงึ มีขนาดของแรงตรงึ เชือกเท่ากนั สา้ หรับ m1 และ m2 แทนค่า a และ (3) ใน (1) จะได้  T  m1ay  m1g T  m1  m2  m1  g  m1g  m2  m1  T  m1 g m2  m1   m1g m2  m1  m2  m1  T  2 m1 m2 g m2  m1 

41 ตัวอย่างท่ี 2.3 ชั่งกล่องในลิฟท์ด้วยตาช่ังสปริงท่ีแขวนห้อยจากเพดานลิฟท์ ดังรูปท่ี 2.9 ขณะท่ีลิฟท์ หยดุ นิ่ง สามารถชัง่ น้าหนักกล่องได้ 40 N จงหา (a) ถา้ ลฟิ ทเ์ คลอ่ื นทข่ี ้นึ ดว้ ยความเรง่ 2 m/s2 ตาช่งั สปรงิ จะอ่านนา้ หนกั ได้เทา่ ใด (b) ถ้าลฟิ ทเ์ คลื่อนท่ลี งด้วยความเรง่ 2 m/s2 ตาชัง่ สปรงิ จะอ่านน้าหนกั ไดเ้ ทา่ ใด 0 0 95 95 6 6 a a รูปที่ 2.9 (a) แสดงการชัง่ กลอ่ งขณะลฟิ ทเ์ คลื่อนที่ขึ้น (b) แสดงการชงั่ กลอ่ งขณะลฟิ ท์เคลอ่ื นทล่ี ง วิธที า (a) เมอ่ื ลิฟตห์ ยุดนงิ่ จากกฎขอ้ ท่ี 1 ของนิวตนั จะได้ว่า F  0 T  mg  0 T  mg m  40 9.8 m  4.08 kg เม่ือลฟิ ต์เคลื่อนทีข่ ้นึ จากกฎข้อท่ี 2 ของนวิ ตนั จะได้ว่า F  ma T  mg  ma T  ma  mg

42 T  (4.082)  (4.089.8) T  48.1 N ตาชง่ั สปริงจะอา่ นน้าหนักได้ 48.1 N (b) เมอ่ื ลฟิ ต์เคลือ่ นทล่ี ง จากกฎขอ้ ที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า F  ma mg  T  ma T  mg  ma T  (4.089.8)  (4.082) T  31.8 N ตาชง่ั สปริงจะอ่านนา้ หนักได้ 31.8 N ตวั อยา่ งที่ 2.4 รถยนต์มวล m เคลอ่ื นท่อี ย่บู นพื้นถนนเปยี กลนื่ ทเี่ อยี งท้ามุม 15o ดงั รปู ท่ี 2.10 จงหา (a) ความเรง่ ของรถยนต์คนั น้ี โดยไม่คิดแรงเสยี ดทานใดๆ (b) ถ้าถนนยาว 25 m จะใชเ้ วลานานเทา่ ใด ถา้ เรม่ิ เคลอื่ นทจี่ ากจดุ สูงสดุ ไปยังจดุ ต่า้ สุด (c) ความเรว็ ของรถยนตค์ ันน้ี ณ จุดตา้่ สดุ y N θ a mg sinθ mg cosθ mg θ รูปที่ 2.10 แสดงการเคลอ่ื นของรถยนตบ์ นพืน้ ถนนเปยี กลืน่ ที่เอยี งทา้ มมุ 15o

43 วิธที า (a) เม่ือรถเคล่อื นทแี่ นวแกน x จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า F  ma mgsin   ma a  g sin  a  9.8sin 20 a  3.35 m/s2 ความเรง่ ของรถยนตค์ ันนเี้ ทา่ กับ 3.35 m/s2 (b) เมอื่ ถนนยาว 25 m จะใช้เวลานานเท่าใด ถ้าเรมิ่ เคล่ือนที่จากจดุ สูงสุดไปยงั จดุ ต้า่ สดุ s  ut  1 at2 2 25  0  1 (3.35)t2 2 25  0  1 (3.35)t2 2 t  3.86 s ใชเ้ วลาเคลื่อนที่จากจดุ สูงสุดไปยงั จุดตา้่ สุดเท่ากบั 3.86 s (c) ความเร็วของรถยนตค์ นั นี้ ณ จุดต้่าสุด v  u  at v  0  (3.353.86) v 12.93 m/s2 ความเร็วของรถยนต์คันนี้ ณ จดุ ตา้่ สดุ เท่ากับ 12.93 m/s2

44 ตัวอย่างท่ี 2.5 ชายคนหนึ่งพยายามดึงกล่องไว้น่ิงๆอยู่บนพ้ืนเอียงทามุม 30o กับแนวราบ โดยไม่คิด ความเสียดทาน ดังรูปท่ี 2.11 ถ้ากล่องมีน้าหนัก 70 N จงหาแรงดึงเชอื กที่ผูกติดกับกล่องและแรงท่ีเกิด จากพน้ื กระทาต่อกล่องใบน้ี N T mg cosθ θ mg sinθ mg θ รูปที่ 2.11 แสดงชายคนหนงึ่ ดึงกล่องไว้นิ่งๆอยบู่ นพน้ื เอยี งโดยไมค่ ิดแรงเสียดทาน วธิ ีทา เน่อื งจากกล่องอยนู่ ง่ิ บนพื้นเอียง ดงั นน้ั ความเรง่ เปน็ ศนู ย์ แรงทางซา้ ยเท่ากับแรงทางขวา จะไดว้ ่า F  0 T  mgsin   0 T  mg sin  T  70sin 30 T  700.5 T  35 N เน่ืองจากกลอ่ งอยนู่ ิง่ บนพน้ื เอยี ง ดังนนั้ ความเรง่ เปน็ ศูนย์ แรงข้นึ เท่ากบั แรงลง จะไดว้ ่า F  0 N  mg cos   0 N  mg cos  N  70cos30 N  700.866 N  60.62 N

45 ตัวอยา่ งท่ี 2.8 กลอ่ ง A มนี ้าหนัก 70 N อยบู่ นกลอ่ ง B ทมี่ นี ้าหนกั 60 N ถูกดึงใหเ้ คลอื่ นท่ดี ว้ ยแรง ถ้า สัมประสทิ ธแ์ิ รงเสียดทานจลนเ์ ทา่ กับ 0.1 และสมั ประสิทธแิ์ รงเสยี ดทานสถติ ิเท่ากับ 0.7 จงหาแรงที่ มากท่สี ดุ ท่ตี อ้ งใชด้ ึงลากเลือ่ นใหเ้ รมิ่ เคล่อื นทอี่ อกไปได้ ดังรูปที่ 2.12 BN F A f mg รูปที่ 2.12 แสดงการออกแรงดงึ กล่อง วธิ ที า เนือ่ งจากเปน็ แรงทใี่ ชด้ ึงเพอื่ ให้เร่มิ เคล่อื นที่ ดังนน้ั สัมประสิทธิ์แรงเสยี ดทาน สถติ จิ ึงถกู น้ามา พจิ ารณา นนั่ คอื S  0.7 และความเรง่ เป็นศูนย์ F  0 FfS 0 F  S N  0 F  S N F  0.7(70  60) F  91 N แรงท่มี ากทีส่ ดุ ที่ตอ้ งใช้ดงึ ลากเลื่อนใหเ้ ร่ิมเคลอ่ื นที่ 91 N

46 ตวั อย่างที่ 2.9 กลอ่ งมวล 2.50 kg วางอยู่บนพื้นเอยี ง  ถ้าสัมประสิทธิ์แรงเสยี ดทานระหวา่ งกลอ่ งไม้ และพื้นเอียงเทา่ กับ 0.35 พน้ื เอยี งต้องทา้ มมุ เท่าไร กลอ่ งไมจ้ ึงจะเร่ิมเคลื่อนทีล่ ง ดงั รูปท่ี 2.13 y N fs θ mg sinθ mg cosθ θ mg รูปที่ 2.13 แสดงการเคลอื่ นทขี่ องกลอ่ งบนพนื้ เอยี ง วิธีทา เนือ่ งจากกลอ่ งอยนู่ ง่ิ บนพ้ืนเอยี ง ดงั น้ันความเร่งเป็นศูนย์ จากกฎข้อที่ 1 ของนวิ ตันจะได้วา่ F  0 แรงทางซา้ ยเทา่ กับแรงทางขวา f  mg sin   0 S N  mg sin  และแรงข้นึ เทา่ กบั แรงลง N  mg cos   0 N  mg cos  นา้ สมการ (2) หารด้วยสมการ (3) จะได้ว่า S N  mg sin  N mg cos  S  tan    tan1 S    tan1 0.35   19.29o ดงั น้ันพื้นเอียงตอ้ งทา้ มุมมากกว่า 19.29o กล่องถึงถงึ จะเคล่ือนทลี่ ง

47 2.8 กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน กล่าวไว้ว่า อนุภาคทุกๆอนุภาคในเอกภพสามารถดึงดดู กันและกัน ด้วยแรงท่ีแปรผันตรงกันผลคูณของมวลและแปรผกผันกับก้าลังสองของระยะห่างระหว่างอนุภาค เหลา่ นนั้ ถ้าอนุภาคมีมวล m1 และ m2 อยู่ห่างกันเปน็ ระยะทาง r จะไดข้ นาดของแรงโนม้ ถ่วงเป็น F  m1m2 และ F 1 r2 จะได้เป็น Fg = G m1m2 (2.7) r2 เมอื่ G เปน็ คา่ คงทีเ่ รยี กว่า คา่ คงตวั โน้มถ่วง (universal gravitational constant) ซ่งึ มีคา่ เทา่ กับ 6.6741011N.m2 / kg2 ในหนว่ ย SI แรงโน้มถว่ งเป็นคูป่ ฏกิ ริ ิยาสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ ไดเ้ ปน็ F21 =  F12 F12 =  G m1m2 r12 (2.8) r2 (2.9) F21 = G m1m2 r 21 r2 เม่ือ F12 คอื แรงทอี่ นุภาคมวล m1 ดงึ ดูดอนภุ าคมวล m2 F21 คือ แรงท่อี นุภาคมวล m2 ดึงดดู อนุภาคมวล m1 r12 คอื เวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยของแรง มีทศิ ทางชจ้ี าก m1 ไปยงั m2 r21 คือ เวกเตอรห์ นึง่ หน่วยของแรง มีทศิ ทางชี้จาก m2 ไปยงั m1 r12 r m2 m1 F21 F12 รูปที่ 2.14 แสดงแรงโน้มถว่ งระหว่างอนุภาคสองกอ้ นดึงดดู กัน

48 ตัวอย่างท่ี 2.9 ลกู บลิ เลยี ด A B และ C แต่ละลกู มีมวล 0.30 kg วางอยู่บนพนื้ โตะ๊ บลิ เลยี ด ดงั รปู ท่ี 2.15 เอยี ง จงหาขนาดและทศิ ทางลัพธข์ องแรงดึงดดู โนม้ ถว่ งที่กระทา้ บนลกู B A a  0.4 m FBA c  0.5 m F j i FBC C B b  0.3 m รูปที่ 2.15 แสดงการแรงดงึ ดูดโน้มถว่ งทีก่ ระท้าบนลูก B วธิ ีทา จากกฎการแรงดงึ ดูดโน้มถ่วงของนวิ ตัน จะได้ว่า พจิ ารณาแรงที่อนุภาคมวล A ดงึ ดูดอนภุ าคมวล B FBA =G m1m2 j (1) r2 FBA = (6.6741011N.m2 / kg2 0.3kg 0.3kg) j 0.4 m2 FBA = 3.751011 j N พิจารณาแรงท่อี นุภาคมวล A ดึงดดู อนุภาคมวล B FBC = (6.674 1011N.m2 / kg2 0.3 kg 0.3 kg) i 0.3 m2 FBA  6.671011i N ขนาดของแรงลพั ธท์ ่ีดงึ ดดู อนภุ าคมวล B F  FBA 2  FBC 2 F  3.752  6.672 F  7.661011 N ทศิ ทางลพั ธ์ของแรงดึงดูดโน้มถ่วงท่ีกระทา้ บนลกู B   tan 1  FBA  ท้าให้ได้   tan 1  3.75 1011 N   29.4o  FBC   6.67 1011 N     

49 บทสรปุ มวล (m) เป็นปรมิ าณทีบ่ ง่ บอกถงึ คา่ ความเฉอ่ื ยหรือค่าความต้านทานต่อการเคลอ่ื นที่ แรงกิริยา ( F ) คอื แรงทก่ี ระท้าตอ่ วตั ถทุ ก่ี า้ ลังพจิ ารณา แรงปฏกิ ิริยา ( F) คือ แรงท่ีวัตถุกระท้าตอ่ ต้านแรงที่มากระท้า มีขนาดค่าเท่ากันกับแรงท่ีมากระท้า แตม่ ีทศิ ทางตรงข้าม แรงปกติ ( N ) คือ แรงปฏกิ ริ ยิ าในทิศทางตง้ั ฉากกับผวิ สมั ผัส แรงตรึงเชือก ( T ) คือ แรงที่ส่งผ่านไปตามเส้นเชือกที่ตรึง ขนาดของแรงมีค่าเท่ากันตลอดทุกจุดเส้น เชือก มีทศิ พ่งุ ออกจากวัตถุที่ก้าลังพจิ ารณา นา้ หนกั ( w ) คือ ขนาดของแรงท่ีโลกกระท้ากับวตั ถุ มที ศิ พ่งุ เข้าหาจดุ ศูนย์กลางของโลก w  mg แรงเสยี ดทาน ( f ) คือ แรงทตี่ า้ นการเคลื่อนทขี่ องวตั ถุ 2 มี ชนดิ f  N แรงเสียดทานสถิตย์ ( f S ) แรงทต่ี ้านการเคล่อื นทขี่ องวัตถุขณะอย่นู ง่ิ แรงเสียดทานจลน์ ( f k ) คือ แรงที่ต้านการเคลอ่ื นทข่ี องวัตถุขณะเคล่อื นท่ี กฎการเคล่ือนท่ีข้อท่ี 1 ของนิวตัน วัตถุจะรักษาสภาวะอยู่นิ่งหรือสภาวะเคล่ือนท่ีอย่างสม้่าเสมอใน แนวเส้นตรง นอกจากมแี รงลัพธ์ ซง่ึ มคี า่ ไมเ่ ป็นศนู ยม์ ากระทา้ F  0 กฎการเคล่ือนท่ีข้อท่ี 2 ของนิวตัน เม่ือมีแรงลัพธ์มีค่าไม่เท่าศูนย์มากระท้าต่อวัตถุ จะท้าให้วัตถุเกิด ความเร่งในทิศเดียวกบั แรงลัพธท์ ี่มากระท้า F  ma กฎการเคลื่อนท่ีข้อที่ 3 ของนิวตนั ทกุ แรงกริยาตอ้ งมีแรงปฏกิ ริ ยิ าทมี่ ีขนาดเท่ากันและทศิ ตรงกันข้าม เสมอ Faction  Freaction กฎความโนม้ ถว่ งของนิวตนั อนุภาคทกุ ๆอนภุ าคในเอกภพสามารถดึงดดู กันและกนั Fg = G m1m2 r2

50 แบบฝกึ หัดทบทวน 1. จงหาแรงลัพธท์ ี่เกดิ จากแรงยอ่ ยทง้ั 3 แรง กระท้ากบั วตั ถชุ ้ินเดียวกัน ดงั รูปที่ 2.16 y θ1 F1  986 N F2  788 N x θ2 θ3 F3  411 N รูปที่ 2.16 แสดงแรงย่อย 3 แรงกระทา้ กบั วตั ถุชน้ิ เดยี วกัน 2. กล่องมวล 100 kg ผูกดว้ ยเชือก 2 เส้น ดงั รูปท่ี 2.17 จงหาแรงตรงึ เชอื กทงั้ 2 เสน้ 40o 40o m  100 kg รูปที่ 2.17 แสดงมวลที่ผูกดว้ ยเชือก 2 เสน้

51 3. แรง F1 F2 และ F3 กระทา้ กบั กล่องมวล 7 kg ดังรูปที่ 2.18 จงหาขนาดและทศิ ทางความเร่งของ กลอ่ ง y F2  120 N 30o F1  200 N 30o x 60o F3  100 N รูปที่ 2.18 แสดงแรง F1 F2 และ F3 กระทา้ กบั กลอ่ งช้ินเดยี วกนั 4. มกี ลอ่ ง 3 ใบผกู ติดกันดว้ ยเชอื ก ดงั รปู ท่ี 2.19 ถูกดงึ ใหเ้ คลื่อนทด่ี ว้ ยความเร่ง 0.12 m/s2 ไมค่ ิดแรงตา้ นใดๆ และไมค่ ดิ น้าหนกั ของเชอื ก จงหาวา่ ต้องใชแ้ รงตรงึ เชือกแตล่ ะเส้น และแรงดงึ เท่าไร 40 kg C 20 kg B 10 kg A รูปที่ 2.19 แสดงเรือลากสัมภาระ 5. กลอ่ ง 2 กล่อง ผูกตดิ กันดว้ ยเชอื กและผูกไว้กับเพดานของลิฟท์ ดงั รูปท่ี 2.20 ถ้าลิฟทเ์ คลื่อนทขี่ น้ึ ดว้ ยความเร่ง 2 m/s2 จงหาแรงตรงึ เชือกแตล่ ะเสน้ A 10 kg B 10 kg รูปที่ 2.20 แสดงกล่อง 2 กลอ่ งทผ่ี ูกด้วยเชือกตดิ กับเพดานของลิฟท์

52 6. วัตถุ m1 = 5 kg ผูกตดิ กับวัตถุ m 2 = 10 kg ดงั รปู ท่ี 2.21 จงหาความเรง่ ของวัตถแุ ต่ละก้อนและ แรงตรงึ เชือกแตล่ ะเสน้ m1 m2 รูปที่ 2.21 แสดงกล่อง 2 กล่องท่ีผกู ด้วยเชือกติดกนั 7. จงหาอัตราส่วนของแรงโน้มถว่ งทก่ี ระทา้ ต่อยานอวกาศ เม่ืออยบู่ นผวิ โลกต่อแรงโน้มถว่ งท่กี ระท้าต่อ ยานอวกาศ เมอ่ื อยู่ทร่ี ะดับเหนือผวิ โลกเปน็ ระยะทางเทา่ กับครึง่ หน่ึงของรศั มขี องโลก 8. กล่องมวล 25 kg วางอยู่นิง่ ๆ ถ้าออกแรงดงึ ด้วย = 54 N ในทศิ ดึงขึ้นทา้ มมุ 55o กบั แกน X จน กล่องเร่ิมเคล่ือนท่ี ถ้าสัมประสทิ ธิ์แรงเสยี ดทานระหวา่ งกล่องและพ้ืนมคี ่าเทา่ กับ 0.35 จงหาขนาด และทศิ ทางความเร่งของกลอ่ งในแนวแกน X 9. จงหาความเร่งของวตั ถทุ ัง้ สองและแรงตรงึ เชอื ก ถา้ สมั ประสิทธิ์แรงเสยี ดทานจลน์ระหว่างมวล7 kg กบั พื้นเท่ากับ 0.25 ดังรูปที่ 2.22 7 kg 12 kg 37o รูปที่ 2.22 แสดงกลอ่ ง 2 กลอ่ งทีผ่ ูกดว้ ยเชอื กตดิ กันบนกล่องสามเหลย่ี ม

53 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทท่ี 3 รายวชิ า ฟิสกิ ส์ทว่ั ไป General Physics หัวขอ้ เนือ้ หา 3.1 งานเนอ่ื งจากแรงคงท่ี 3.2 งานเน่ืองจากแรงไม่คงท่ี 3.3 พลงั งานจลน์ 3.4 พลงั งานศักย์ 3.5 การอนุรกั ษ์พลงั งาน 3.6 กาลงั วัตถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤติกรรม เมื่อสนิ้ สุดการเรยี นการสอน ผเู้ รียนสามารถ 1. คานวณหางานและกาลงั ได้อย่างถูกตอ้ ง 2. ยกตัวอย่างเหตกุ ารณห์ รือสถานการณ์ท่ีเป็นการทางานหรือใช้กาลงั ได้ 3. จาแนกชนิดของพลงั งานจลน์และพลงั งานศกั ย์ตามสถานการณต์ ่างๆได้อย่างถูกตอ้ ง 4. คานวณหาพลังงานจลน์และพลังงานศักยต์ ามสถานการณต์ า่ งๆไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง 5. ใช้ความรู้เรื่องงานและพลงั งานสาหรับการหาค่าตา่ งๆในกฎการอนรุ ักษพ์ ลงั งานได้ วธิ ีสอนและกจิ กรรมการเรียนการสอนประจาบท 1. บรรยายเนอื้ หาในแตล่ ะหวั ขอ้ พรอ้ มยกตวั อยา่ งประกอบ 2. ศกึ ษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเล่ือน (slide) 3. รว่ มอภิปรายเนือ้ หา และทาแบบฝกึ หดั ในชนั้ เรียน 4. ผู้สอนสรปุ เน้อื หา 5. ผสู้ อนทาการซกั ถาม 6. นกั ศกึ ษาถามขอ้ สงสยั

54 สอ่ื การเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าฟิสกิ ส์ทัว่ ไป 2. บทความจากหนงั สือ หรือเว็บไซตต์ า่ งๆ 3. ภาพเลอ่ื น (slide) 4. คอมพวิ เตอรพ์ รอ้ มเครอ่ื งฉาย LCD projector การวดั ผลและการประเมนิ ผล 1. ประเมินจากการซกั ถามในชน้ั เรยี น 2. ประเมนิ จากความร่วมมอื หน้าชน้ั เรียน 3. ประเมินจากการทาแบบฝกึ หัดทบทวนท้ายบทเรยี น

55 บทที่ 3 งานและพลังงาน 3.1 งานเนื่องจากแรงคงท่ี งาน (Work) ในทางฟิสิกส์ หมายถึง แรงกระทาต่อวัตถุในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนท่ีของวัตถุ คูณกับระยะการกระจัดท่ีวัตถุเคล่ือนท่ีได้ ผลคูณท่ีได้จะเป็นปริมาณสเกลาร์ แสดงดังรูปที่ 3.1 ดังนั้น สามารถนยิ ามสมการได้เปน็ W = F.S (3.1) เมอ่ื W คอื งานที่ทา มีหน่วยเปน็ จลู (J) หรือ นวิ ตัน.เมตร (N.m) F คือ แรงทก่ี ระทากับวตั ถุ มีหนว่ ยเปน็ นิวตัน (N) S คอื การกระจดั ทว่ี ตั ถุเคล่อื นที่ไปตามแรงทก่ี ระทา มหี นว่ ยเปน็ เมตร (m) และสามารถเขียนกราฟความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระทาต่อวัตถุและการกระจัด แสดงดังรูปท่ี 3.1 F F S F S รูปที่ 3.1 แสดงแรงทก่ี ระทาตอ่ วัตถใุ นทศิ ทางเดยี วกันกับระยะการกระจัดและกราฟแสดง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงและระยะการกระจัด

56 F2 N F1 α β F2x =  F2cosα F1x = F1cosθ f f W = mg S F2y = F2sinα F1x = F1sinβ N F2x = F2cosα θ F1x = F1cosβ f W  mg รูปที่ 3.2 แสดงการพจิ ารณาแรงท่กี ระทาตอ่ วัตถุ ถ้ามีแรงท่ีมากระทากับวัตถุไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกันกับวัตถุการเคล่ือนที่ของวัตถุ จากรูปท่ี 3.2 สามารถคานวณหางานได้ โดยวิธกี ารแยกเวกเตอรข์ องแรงออกเปน็ เวกเตอรย์ อ่ ยตามแนวแกน x และ y แสดงดงั รูปที่ 3.2 เม่ือทาการแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ตามแนวแกน x และ y แล้วจะเห็นวา่ แรง อยู่ในแนวเดียวกันกับการเคล่ือนท่ีของวัตถุ คือ F1x F2x และ f และเม่ือพิจารณาทิศทางของแรงที่ กระทากับวัตถุ โดยพิจารณาจากมุมโคไชน์ (cos θ ) ของเวกเตอร์ท่ีกระทากับแกน +x พบว่าเวกเตอร์ F1x ทามุม 0o กบั แกน +x ทาให้ cos0o มีคา่ เท่ากบั +1 ดงั นัน้ งานทที่ าไดจ้ ะมคี า่ เป็นบวก ส่วนเวกเตอร์ F2x และ f มีทศิ ทามมุ 180o กบั แกน +x ทาให้ cos180o มีค่าเทา่ กบั –1 ดงั นัน้ งานท่ที าได้จะมีค่าเปน็ ลบ ในขณะท่ี แรงท่ีไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ F1y F2y N และ W และเม่ือ พิจารณาทิศทางของแรงกระทากับวัตถุกับแกน +x พบวา่ เวกเตอร์ F1y F2y และ N ทามุม 90o กับแกน +x ทาให้ cos90o มีค่าเท่ากับ 0 ดงั น้ันงานท่ีทาไดจ้ ะมีค่าเป็นศูนย์ ส่วนเวกเตอร์ W มีทิศทามุม270o กับแกน +x ทาให้ cos270o หรือ cos(360 o -90 o) = cos90o มีค่าเท่ากับ 0 ดงั น้ันงานที่ทาได้จะมีค่า เป็นศูนย์ เช่นเดียวกัน จะเห็นวา่ แรงที่ทาให้เกิดงานมีเพียง 3 แรงคือ F1x F2x และ f เพราะอยู่ในแนว เดียวกันกับการการเคลื่อนที่ของวัตถุ ส่วนแรงอ่ืนๆไม่ทาให้เกิดงาน ดงั น้ันสมการท่ี (3.1) สามารถเขียน สมการในรูปแบบใหม่ ได้เปน็ W = (Fcosθ)S (3.2) เมอื่ θ คอื มมุ ระหว่างทศิ ทางของแรงที่กระทากบั แนวการเคลื่อนท่ขี องวัตถุ

57 ตัวอย่างท่ี 3.1 กล่องใบหนึ่งถูกลากขึ้นบนพน้ื เอียงขรุขระด้วยแรงขนาด 1.2 x 103 N เป็นระยะการ กระจัด 5 m อยากทราบวา่ งานที่เกิดข้ึนจากการลากกล่องมีค่าเท่ากับเท่าไร เม่ือพื้นกล่องมีมวล 50 kg และสมั ประสทิ ธขิ์ องแรงเสียดทานระหวา่ งกล่องและพน้ื มคี า่ เทา่ กับ 0.2 F F S y x 65 N F f θ mgsinθ mg mgcosθ รูปที่ 3.3 การพิจารณาแรงท่ีกระทาตอ่ วัตถุ วธิ ที า จาก W = F . S จากการพจิ ารณาแรงทกี่ ระทากบั กล่อง จะได้  แรงทที่ าในแนวแกน y ไม่ทาใหเ้ กิดงาน  แรงท่ีทาให้เกดิ งานในแนวแกน x WF = F.S = (Fcos0o )S = (1.2×103N×1)(5 m) = 6000 J Wf = (Ff ).S = (μN).S = (μ×mg×cos25o×cos180o )(S) = (0.2×50 kg×9.8 m/s2×0.906×( 1))(5 m) =  443.94 J Wmgx = (Fmgx ).S = (mg  sin25o  cos180o )(5 m) = (50 kg×9.8 m/s2  0.422 ( 1))(5 m) = 1033.9 J ดงั นนั้ งานสุทธทิ ไี่ ดจ้ ะมีคา่ เท่ากบั ผลรวมของงานทีเ่ กิดจากแรงท่ีกระทากับกล่องท้งั หมด จะไดว้ า่ WT = WF + Wmgx + Wf + Wmgy + WN = (6000  443.94 1033.9 + 0 + 0) J = 4522.16 J

58 3.2 งานเน่ืองจากแรงไมค่ งท่ี เมื่อมีการเปล่ียนแปลงขนาดแรงหรือทิศทางในการเคลื่อนที่ของวัตถุแสดงดังรูปท่ี 3.4 ส่งผลให้ เกดิ การเปล่ียนแปลงงานในแต่ละช่วงของการเคล่ือนท่ีของวัตถุ เพื่อที่จะหางานรวมท่ีเกิดขึ้นสามารถหา ได้จากผลรวมของงานย่อยๆ ซ่ึงเกิดจากผลคูณของแรงย่อย ( F1 F2 F2 .... Fn ) กับระยะการกระจัด ของวตั ถุในช่วงสันๆ ( r12 r23 r34 .... rn ) ดงั นั้นงานทั้งหมดที่เกิดจากแรงที่ทาให้วตั ถุเคลื่อนที่ จากตาแหนง่ A ไปยงั B สามารถนิยามสมการไดเ้ ปน็ WAB = W1  W2  W3  ... Wn WAB = F1.r12  F2.r23  F3.r34  ...  Fn.Δrn(n+1) B WAB = F.dr A B (3.3) WAB = (Fcosθ)dr A และสามารถเขยี นกราฟความสมั พันธร์ ะหว่างแรงกระทาต่อวตั ถุและการกระจัด แสดงดังรปู ที่ 3.4 y Fcosθ A A F1 F2 F3 B r12 θ r1 Fn r2 B xx r12 r23 ... rn(n+1) รูปที่ 3.4 แสดงแรงไม่คงทก่ี ระทาต่อวตั ถุและกราฟความสมั พันธ์ระหว่างแรงและการกระจดั

59 ตวั อย่างที่ 3.2 วตั ถุอันหน่ึงถูกแรงไม่คงท่ีกระทาให้เกิดการเคล่ือนท่ีได้กราฟการเปล่ียนแปลงดงั รูป 3.5 จงหางานรวมท่เี กิดข้นึ F(N) 8 x(m) 6 4 2 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 รูปที่ 3.5 กราฟความสัมพันธ์ระหวา่ งแรงกระทาต่อวัตถุและการกระจดั วธิ ที า จากโจทย์จะไดว้ า่ งานเท่ากับพน้ื ทใ่ี ต้กราฟซ่งึ สามารถแบ่งออกได้เป็น 5 ช่วงคอื งานช่วงท่ี 1 ระยะการกระจดั x = 0 ถึง x = 2 Wx= 02 = 1 F.S = 162 = 6 J 2 2 งานชว่ งท่ี 2 ระยะการกระจัด x = 2 ถึง x = 6 Wx= 26 = F.S = 6 4 = 24 J งานชว่ งท่ี 3 ระยะการกระจัด x = 6 ถงึ x = 10 Wx= 610 = 1 F.S = 1  6 4 = 12 J 2 2 งานชว่ งท่ี 4 ระยะการกระจัด x = 10 ถึง x = 12 Wx= 1012 = 1 F.S = 1  (2.5) 2 =  2.5 J 2 2 งานช่วงท่ี 5 ระยะการกระจัด x = 10 ถึง x = 12 Wx= 1214 = 1 F.S = 1 (2.5) 2 =  2.5 J 2 2 ดงั นัน้ งานรวมทีไ่ ด้ตัง้ แตร่ ะยะการกระจัด x = 0 ถงึ x = 12 Wx= 014 = 6+24+12  2.5  2.5 = 37 J

60 3.3 พลงั งานจลน์ พลังงาน (Energy) เป็นปริมาณคล้ายกันกับงาน แตจ่ ะกล่าวถึงความสามารถในการทางานของ วัตถุจากตาแหน่งอ้างอิง ไปยัง ตาแหน่งที่วัตถุอยู่ พลังงานมีหลายรูปแบบ เช่น พลังงานเคมี พลังงาน ความร้อน พลังงานไฟฟ้า พลังงานแสง พลังงานเสียง พลังงานจลน์ พลังงานศักย์ เป็นต้น แต่ในทาง กลศาสตร์จะกลา่ วศกึ ษาเฉพาะพลงั งานจลน์ และ พลังงานศักย์ ซง่ึ เรยี กวา่ พลังงานกล เมื่อมีแรงมากระทากับวัตถุให้วัตถุเคล่ือนท่ีจากตาแหน่ง A ไปยัง B ด้วยความเร็ว u ไป เปลี่ยนเป็น v เป็นระยะทางการกระจัด S แสดงดังรูป เราสามารถหางานท้ังหมดท่ีเกิดขึ้นได้โดยจากกฎ ข้อทสี่ องของนิวตนั คอื จาก  F = m.a และ v2 = u2 + 2a.s หรือ a = (v2  u2) 2s แทนคา่ a ในสมการจะได้ F = m(v2  u2 ) 2s F.s = mv2  mu2 2 W = mv2  mu2 (3.4) 22 สามารถนิยามผลต่างท่ีได้ว่าเป็น ทฤษฏีงาน-พลังงาน และเรียกปริมาณของ มวลคูณกับ ความเรว็ กาลงั สองหารด้วยสองว่า พลังงานจลน์ (Kinetic energy) สามารถสมการไดเ้ ปน็ EK = 1 mv2 (3.5) 2 เมอ่ื EK คือ พลังงานจลน์ มีหนว่ ยเป็น จูล (J) m คอื มวลของวัตถุ มหี น่วยเป็น กโิ ลกรมั (kg) v คอื ความเร็วของวัตถุ มีหนว่ ยเปน็ เมตรต่อวนิ าที (m/s) uv F F AS B รูปที่ 3.6 แรงกระทาต่อวตั ถุทาใหว้ ตั ถเุ ปลยี่ นแปลงความเรว็ u ไปเปน็ v

61 ตัวอย่างท่ี 3.3 ออกแรงเข็นรถมวล 2.5x103 kg จากสภาพหยุดน่ิงให้เริ่มเคล่ือนท่ีดว้ ยความเร็ว v และ การกระจัด 25 m ด้วยพลังงานเท่ากับ 5000 J ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานใดๆ จงหา (a) ความเร็ว v (b) แรงท่ีกระทากับรถคนั นี้ วิธที า (a) จาก EK = 1 mv2 2 จะได้ v = 2EK m v= 2×500J 2.5×103kg v = 2 m/s (b) จาก v2 = u2 + 2as (2)2 = (0)2 + 2a(25) a = 0.08 m/s2 และจาก F = ma F = 2.5x103 kg  0.08 m/s2 F = 200N

62 3.4 พลังงานศักย์ พลังงานศักย์ คือ พลังงานที่สะสมอยู่ภายในตวั ของวตั ถุที่ตาแหน่งใดๆในระบบ แบ่งได้ 2 แบบ คือ พลังงานศักย์โน้มถ่วง (Gravitational potential energy) และ พลังงานศักย์ยืดหยุ่น (Elastic potential energy) พลังงานศักย์โนม้ ถว่ ง คอื พลังงานท่ีเกิดจากการเคลื่อนย้ายตาแหนง่ ของวตั ถจุ ากท่ีหนง่ึ ไปอกี ท่ี หนง่ึ จากตาแหนง่ อา้ งอิงภายในระบบนัน้ ในที่นี้เราจะกลา่ วถึงระบบที่โลกกระทากบั วัตถุใดๆแสดงดงั รูป ท่ี 3.7 เมื่อมแี รงภายนอกกระทากบั วัตถทุ าใหว้ ตั ถุเคลอ่ื นยา้ ยตาแหน่งวตั ถุจาก A ไปยงั B เปน็ ระยะทาง การกระจัด y จากพนื้ ผวิ โลก เราสามารถหางานไดโ้ ดยจากกฎข้อทีส่ องของนิวตนั คอื จาก  Wext = Fext .y และ  Fext = m.g แทนคา่ Fext ในสมการจะได้  Wext = mg.y  Wext = mg(yB  yA ) (3.6) ขณะเดยี วกนั เม่ือพจิ ารณาแรงทโี่ ลกกระทากบั วตั ถจุ ะได้งานมีค่าเป็นลบ เน่ืองจากค่า g มีทิศสวนทางกับ การเคลอ่ื นย้ายตาแหนง่ ของวตั ถจุ ะได้ว่า  Wg =  mg(yB  yA ) (3.7) ซึ่งเรียกปริมาณ mgy น้ีวา่ เป็น พลังงานศักย์โน้มถ่วง (Gravitational potential energy) สามารถ สมการได้เป็น EPG = mgy (3.8) เมื่อ EPG คือ พลังงานศกั ย์โน้มถ่วง มหี น่วยเป็น จูล (J) m คอื มวลของวัตถุ มีหนว่ ยเป็น กิโลกรัม (kg) g คือ ความเรง่ เน่ืองจากแรงโนม้ ถว่ ง มหี นว่ ยเปน็ เมตรต่อวินาทีกาลังสอง (m/s2) y คอื ความสงู จากตาแหนง่ อ้างอิงของระบบ มีหน่วยเปน็ เมตร (m) F B y  y2  y1 A y2 ตาแหน่งอ้างอิง mg y1 รูปที่ 3.7 แสดงการเปล่ยี นแปลงตาแหนง่ ของวตั ถุ

63 ตัวอย่างท่ี 3.4 นาย A ยกก้อนหินมวล 2 kg ไปให้นาย B ซึ่งอยู่สูงจากนาย A เป็นระยะทาง 1.4 m แสดงในรูปที่ 3.8 ขณะทจ่ี ะสง่ ถงึ นาย B นาย A ได้ทาก้อนหินล้นตกลงมาทับกล่องที่มีความ 0.05 m จง หา (a) พลงั งานศกั ย์โน้มถ่วงที่จุด B และ จุดที่ก้อนหินสัมผัสโดนกล่อง เมื่อให้จุด A เป็นตาแหน่งอ้างอิง และการเปล่ยี นแปลงของพลงั งานศักยโ์ น้มถว่ ง (b) เม่อื เปล่ยี นให้จุด B เปน็ ตาแหนง่ อ้างองิ (2) B A 1.4 m (1) 0.5 m รูปที่ 3.8 แสดเคล่อื นทจ่ี ากจุด A ไป B วธิ ที า (b) จาก EPG = mgy จะไดว้ ่า EPG(i) = 2kg  9.8 m/s2 1.4 m = 27.4 J และจาก EPG(f) = 2 kg 9.8 m/s2  0.05 m = 9.8 J (b) จะได้วา่ EPG = EPG (f)  EPG (i) และจาก = 9.8  27.4 J = 17.6 J EPG(i) = 2kg  9.8 m/s2  0 m = 0 J EPG(f) = 2 kg 9.8 m/s2  0.5 m = 17.6 J EPG = EPG (f)  EPG (i) = 17.6  0 J = 17.6 J

64 พลังงานศักย์ยืดหยุ่น คือ พลังงานท่ีเกิดจากการยืดหรืออัดวัตถุทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงไป จากเดมิ หรือจากสภาวะสมดุล ซงึ่ ในท่ีน้ีเราจะกลา่ วถึงการยืดหรืออัดสปริง เมื่อออกแรงยืดวัตถุติดสปิง จากตาแหน่งสมดลุ x = 0 ไปยัง x = x ดว้ ยแรง F หรือออกแรงอัดจากตาแหน่ง x = 0 ไปยัง x = -x ดว้ ยแรง F จะเกิดแรงดึงกลับกระทาในทศิ ทางตรงกันขา้ มกับการเคลือ่ นทข่ี องวัตถุ FS = kx แสดงดังรปู ถ้าหางานเกดิ จากการเคลอื่ นทีข่ องวัตถจุ าก B ไปยัง C ของแรงดงึ กลบั FS จะไดเ้ ปน็ จาก dW = F.dx และ FS =  kx แทนค่า F ในสมการจะได้ dW = Fx.dx CC  dW =  F xdx BB WBC =  ( 1 Fx 2  1 Fx 2 ) 2 C 2 B WBC =  1 Fx 2 (3.9) 2 C ถ้าคดิ แรงกระทาภายนอก (F) ซึง่ มคี ่าเท่ากบั แรง FS แตท่ ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม จะสามารถงานได้ เปน็ WBC = ( 1 Fx 2  1 Fx 2 ) 2 C 2 B EPS = 1 Fx2 (3.10) 2 เมื่อ EPS คือ พลงั งานศกั ยย์ อื หยุน่ มหี น่วยเป็น จลู (J) F คอื แรงในการเคลือ่ นยา้ ยของวัตถุ มหี น่วยเป็น นวิ ตัน (N) x คือ ระยะทางจากตาแหน่งสมดุล มหี น่วยเปน็ เมตร (m) F FS F FS F x x 0x รูปที่ 3.9 แสดงการเปลย่ี นแปลงระยะยดึ ของมวลตดิ สปริงโดยแรงภายนอกและกราฟแสดง ความสมั พันธร์ ะหว่างแรงภายนอกและกราฟ

65 ตัวอย่างที่ 3.5 กล่องใบหน่ึงมวล 4 kg ผูกติดกับสปริงเบาในแนวด่ิงทาให้สปริงยึดออก 2.5 cm ซ่ึงมี พฤติกรรมตามกฎของฮกุ (a) ถ้านามวล 4 kg ออกแล้วนามวลมวล 1.5 kg แขวนแทนสปริงจะยืด ออกเป็นระยะเทา่ ใด (b) ถา้ มแี รงภายนอกทาให้สปริงยดึ ออกเปน็ ระยะ 4 cm งานที่เกิดขึ้นควรมีค่าเป็น เท่าใด 2.5 cm x cm 1.5 kg 4 kg รูปที่ 3.10 แสดงการเปลย่ี นแปลงระยะยึดของมวลติดสปรงิ วิธีทา (a) จาก k= F เมือ่ มวลเท่า 4 kg จะได้ว่า x เมอื่ เปลย่ี นมวลเปน็ 1.5 kg k = mg (b) จาก x = 4 kg 9.8 m/s2 0.025 m = 1568 N/m x = (1.5 kg 9.8 m/s2 ) 1568 N/m = 9.38103m W= 1 kx 2  1 kx 2 2 f 2 i = 1 (1568 N/m)(0.04 m)f2  0 2 = 1.25 J

66 3.5 กฎการอนรุ ักษพ์ ลงั งาน พลังงานไม่สามารถทาให้สูญหายและไม่สามารถสร้างข้ึนมาใหม่ได้ แต่พลังงานสามารถเปล่ียน รปู จากรปู แบบหนงึ่ ไปเปน็ อีกรูปแบบหนึง่ ได้ หรอื ผลรวมของพลงั งานจะมคี ่าคงท่ีเสมอ ซ่ึงสามารถนิยาม เปน็ กฎการอนุรกั ษ์พลงั งาน (Law of energy conservation) สามารถเขียนสมการไดเ้ ป็น E = ค่าคงที่ (3.11) (3.12)  Ei =  Ef  EK +EP  =  EK +EP  i f เมือ่  Ei คอื ผลรวมของพลังงานทเ่ี รมิ่ ตน้  Ef คือ ผลรวมของพลงั งานสดุ ทา้ ย ถา้ มงี านภายนอกมากระทาร่วมอยดู่ ้วย สามารถเขียนสมการไดเ้ ปน็  Ei +  Wex =  Ef (3.13) เม่อื  Ef คอื ผลรวมของงานเน่ืองแรงไมอ่ นุรักษ์ เช่น เมื่อปล่อยวัตถุลงในแนวด่ิงจากความสูง y2 ไม่คิดแรงต้านของอากาศดังรูปที่ พิจารณาท่ี ตาแหน่ง A พลังศักย์ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ mgy2 และความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์พลังงานจลน์จะเป็นศูนย์ พจิ ารณาที่ตาแหน่ง B พลังศักย์ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ mgy1 ความเร็วทีตาแหน่งใดๆจาก v2 = u2+2gy ดังนั้นพลังงานจลน์จะมีค่าเท่ากับ mg(y2-y1) พิจารณาท่ีตาแหน่ง C พลังศักย์ท่ีได้จะมีค่าเป็นศูนย์ พลังงานจลน์จะมีค่าเท่ากับ mgy2 ดังนั้นจะพบว่าขณะท่ีปล่อยวัตถุลง พลังงานจลน์จะค่อยๆ เพ่ิมข้ึน ในทางกลบั กันพลังงานศักยจ์ ะคอ่ ยๆ ลดลง และผลรวมของพลงั งานท่ีตาแหน่งใดๆมีค่าคงทเ่ี สมอ A B ตาแหน่งวตั ถุ EK EP E mgy2 mgy2 y2 A mgy1 0 mgy2 B mgy2 y1 C 0 mg(y2  y1) mgy2 C ตาแหน่งอ้างองิ รูปที่ 3.11 แสดงการเปลยี่ นแปลงตาแหน่งของวัตถุ

67 ตัวอย่างที่ 3.6 กล่องมวล 3 kg ปล่อยให้เคลื่อนท่ีลงตามพ้ืนเอียงยาว 1 m และพ้ืนเอียงทามุม 30o กับ แนวระดบั ตามรูปท่ี 3.12 ถ้าแรงเสียดทานระหว่างพื้นเอยี งกับกล่องเท่ากับ 0.5 N จงหาความเร็ว สดุ ท้ายทตี าแหน่งปลายพน้ื เอียง A 0.5 m B 30o รูปที่ 3.12 แสดงการเคลอ่ื นทข่ี องกล่องตามพน้ื เอียง วธิ ที า จากกฎการอนรุ กั ษ์พลงั งาน 1 mv12 + mgy1+ Wex = 1 mv22 + mgy2 2 2 พลงั งานรวมเริม่ ต้น Ek1 = 1 mv12 = 1 3 (0)2 0J 2 2 EP1 = mgy1  39.80.5  14.7 J Wext =  F.s  0.51  0.5 J พลงั งานรวมสุดทา้ ย Ek2 = 1 mv22 = 1  3  v22 2 2 EP2 = mgy2  39.8 0  0 J แทนค่าใน 0 + 14.7  0.5 = 1  3 v22 +0 2 14.2 = 1.5v22 v2 = 9.466 v2 = 3.07 m/s

68 ตัวอย่างที่ 3.8 กล่องใบหนึ่งมีมวล 50 kg ตกจากระยะความสูง 2 m ลงบนฐานท่ีติดดว้ ยสปริงเบาดัง รปู ที่ 3.13 ทาใหส้ ปรงิ หดตัวเป็นระยะ d ก่อนดีดตัวกลับ เมื่อสปริงมีค่าคงที่สปริงเท่ากับ 8 x 103 N/m จงหาระยะหดตวั ของสปรงิ A 2m B d C รูปที่ 3.13 แสดงตกลงบนฐานตดิ สปริง วิธที า จากระบบพลังงานรวมทีต่ าแหน่ง A เท่ากับ B และพลังงานรวมท่ตี าแหน่ง B เทา่ กบั C ดงั น้ันจะ ไดว้ ่าพลังงานรวมทต่ี าแหนง่ A เท่ากับ C จากกฎการอนุรักษ์พลังงานไดว้ ่า 1 mv2A + 1 kx 2 + mgyA = 1 mvC2 + 1 kx 2 +mgyC 2 2 A 2 2 C พลงั งานรวมท่ตี าแหน่ง A EkA  1 mvA2  1 50  (0)A2 = 0 J 2 2 EPS(A)  mgyA  50 9.8 (2  d)  490(2  d) E PG(A)  1 kx 2  1  8 103  (0)A2  0 J 2 A 2 พลังงานรวมท่ตี าแหนง่ C EkC  1 mvC2  1 50 (0)2 = 0 J 2 2 EPS(C)  mgyC  50  9.8 (0)  0 J E PG(C)  1 kx 2  1 8103  d2  4000d2 J 2 C 2 แทนในสมการจะได้วา่ 0 + 0 + 490 (2+d) = 0 + 4000d2 + 0 4000d2  490d  980 = 0 d2  0.123d  0.245 = 0 d = 0.56 m

69 3.6 กาลงั เมอื่ มแี รงที่กระทาใหว้ ตั ถเุ คลื่อนเป็นระยะการกระจดั หน่ึงๆ ยอ่ มทาใหเ้ กิดงาน ซ่ึงไม่ว่าเราจะใช้ เวลาเร็วหรือช้าพบว่างานท่ีได้ก็มีค่าเท่ากัน ดังน้ันเพื่อที่จะกาหนดความเร็วในการทางานจึงได้นาเอา เวลาเข้ามาเปน็ ตัวกาหนดในการทางาน ซ่ึงสามารถนิยามศัพท์ขึ้นใหม่คือ กาลัง หมายถึง งานที่ทาได้ใน หนว่ ยเวลา สามารถเขียนเป็นสมการได้เปน็ P=W (3.14) t เมอ่ื P คอื กาลงั มหี นว่ ยเป็น วัตต์ (W) W คือ งานท้ังหมด มีหน่วยเป็น จลู (J) t คือ เวลา มีหนว่ ยเปน็ วินาที (s) กาลงั เนอ่ื งจากงานทไ่ี ด้จากแรงไมค่ งท่ี จะเป็นกาลงั เฉลี่ย สามารถหาไดโ้ ดย งานท่ที าไดท้ ั้งหมด หารด้วยเวลาท่ีใชใ้ นการทางาน คือ P = W (3.15) t สามารถเขียนกาลงั ในรูปความสมั พันธ์ระหว่างแรงทกี่ ระทากับวัตถแุ ละความเรว็ ในการเคลอื่ นท่ี ของวตั ถไุ ด้เปน็ P = F.S = F.V (3.16) t เมื่อ F คอื แรงท่กี ระทากบั วตั ถุ มีหน่วยเปน็ นวิ ตนั (N) V คอื ความเรว็ ของวัตถุ มหี นว่ ยเปน็ เมตรตอ่ วินาที (m/s) พจิ ารณาหน่วย วัตต์ ของกาลัง จะได้ 1 w = 1 J/s = kg.m2 /s3 และกาลงั มา้ (horse power, hp) คือ อตั ราการทางานของม้า 1 ตวั ภายใน 1 วนิ าที จะได้ 1 hp = 746 W

70 ตัวอย่างที่ 3.8 รถยนต์มวล 1300 kg เร่งความเร็วจากอยู่น่ิงจนกระท้ังมีความเร็วเปน็ 24.6 m/sภายใน เวลา 15 s จงหากาลงั ในหนว่ ย กาลงั มา้ วธิ ที า จาก W = Ek = 1 mvf2  1 mvi2 2 2 จะไดว่า W = 1 (1300kg)(24.6)2 0 2 = 393,354 J จาก P=W t จะไดว่า P = 393,354 J 15 s = 26, 223 W = 35.15 hp ตัวอย่างท่ี 3.9 ลิฟต์หน่ึงมีมวล 1600 kg บรรทุกผู้โยสารมวลรวม 200 kg กาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วย ความเร็วคงท่ี โดยมีแรงต้านการเคล่ือนท่ีของลิฟต์เท่ากับ 4000 N จงหา (a) กาลังที่มอเตอร์ใช้ยกลิฟต์ และผู้โดยสารทั้งหมด เมื่อลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้นดว้ ยความเร็วคงที่ 3 m/s (b) ถ้ามอเตอร์ใชย้ กลิฟต์และ ผู้โดยสารทั้งหมด ด้วยความเร่ง 1 m/s2 กาลังท่ีใช้ยกลิฟต์ ณ ความเร็วขณะใดขณะหน่ึงเท่ากับ 3 m/s มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ไร วธิ ที า จาก ΣF = 0 จะไดว่า T  f  mg = 0 T = (1800kg9.8m/s2 )+4000N จาก P = F.v จะไดว่า P = (1800kg9.8m/s2)+4000N 3m/s = 6.49104 W วธิ ที า จาก ΣF = ma จะไดว่า T  f  mg = ma T = (1800kg9.8m/s2)+4000N  (1800kg1m/s2) จาก P = F.v จะไดวา่ P = (1800kg9.8m/s2)+4000N  (1800kg1m/s2 ) 3m/s = 7.02104 W

71 บทสรุป งาน คือ แรงกระทาต่อวัตถุในแนวเดียวกันกับการเคลื่อนที่ของวัตถุคูณกับระยะการกระจัดท่ีวัตถุ เคล่ือนท่ไี ด้ ผลคณู ที่ได้จะเปน็ ปรมิ าณสเกลาร์ งานเนอ่ื งจากแรงไม่คงท่ี W  F.S B WAB = (Fcosθ)dr A พลังงานจลน์ คือ มวลคณู กับความเรว็ กาลังสองหารดว้ ยสองว่า EK = 1 mv2 2 พลงั งานศักย์โนม้ ถว่ ง คอื พลงั งานที่เกดิ จากการเคล่อื นยา้ ยตาแหน่งของวัตถจุ ากทีห่ นึง่ ไปอีกทีห่ นง่ึ จาก ตาแหน่งอ้างองิ ภายในระบบน้นั EG = mgh พลงั งานศกั ยย์ ืดหยุ่น คอื พลังงานที่เกดิ จากการยืดหรอื อัดวัตถุทาให้เกดิ การเปลยี่ นแปลงไปจากเดมิ หรอื จากสภาวะสมดุล EPS = 1 kx2 2 กฎการอนุรกั ษพ์ ลงั งาน ผลรวมของพลงั งานจะมคี า่ คงที่เสมอ  EK +EP  =  EK +EP  i f กาลัง หมายถึง งานทท่ี าไดใ้ นหน่วยเวลา สามารถเขยี นเปน็ สมการได้เป็น P=W t

72 แบบฝึกหดั ทบทวน 1. ลิฟต์หนึ่งตัวบรรทุกน้าหนัก 350 N เคลื่อนที่ขึ้นจากช้นั ล่างไปยังชั้นอน่ื ๆ ได้ระยะ 2 m จงหางานท่ี ลิฟตต์ วั นท้ี า ถา้ สมมุตใิ ห้ความเร็วคงที่ 2. รถเข็นในซุปเปอร์มาร์เก็ตถูกกดลงเพ่อื ให้สามารถเข็นไปข้างหน้าได้ โดยการใชแ้ รง 35 N ในทิศทา มุม 25o จากแนวราบ จงหางานทต่ี อ้ งทากบั รถเข็นนถี้ ้าเคลอ่ื นทไี่ ปได้ระยะ 50 m 3. ออกแรง 150 N ผลักกล่องมวล 40 kg ให้ได้ระยะ 6 m ไปตามแนวราบ ถ้ากล่องเคลื่อนท่ีด้วย ความเรว็ คงท่ี จงหา (a) งานทท่ี า (b) สมั ประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างกล่องกับพื้น 4. รถยนต์มวล 1.5x103 kg เร่ิมเคล่ือนที่จากสภาพหยุดน่ิงจนมีความเร็วเท่ากับ 18 m/s โดยใช้เวลา 12 s สมมุติว่าขณะน้ันมีความเสียดทานเน่ืองจากอากาศ 400 N จงหา (a) กาลังเฉล่ียของ เคร่ืองยนต์ (b) กาลังภายนอกทกี่ ระทากบั รถยนต์ในเวลา 12 s ก่อนที่รถยนตจ์ ะหยดุ เคลอ่ื นที่ 5. ลูกปิงปองมวล 2.45 g จะต้องเคลื่อนท่ีด้วยความเรว็ เท่าใดจงึ จะมีพลังงานจลนเ์ ทา่ กับลูกโบว์ลิ่งมวล 7 kg เคลอื่ นท่ีดว้ ยความเร็ว 3 m/s 6. นักเบสบอลขว้างลูกเบสบอลมวล 0.15 kg ออกไปด้วยความเร็ว 40 m/s ทามุม 30o กับแนวราบ จงหาพลังงานจลน์ของลกู เบสบอลที่ตาแหนง่ สงู สดุ ของการเคลอ่ื นท่ี 7. อนุภาคมวล 0.6 kg มีความเร็วท่ีจุด A เป็น 2 m/s และพลังงานจลน์ท่ีจุด B เป็น 7.5 J จงหา (a) พลงั งานจลน์ทจ่ี ดุ A (b) ความเรว็ ทีจ่ ุด B (c) พลงั งานทัง้ หมดที่อนุภาคเคลอื่ นทจ่ี ากจุด A ไปยงั B 8. ลูกปืนมวล 2 g เคล่ือนท่ีออกจากกระบอกปืนดว้ ยความเร็ว 300 m/s จงหา (a) พลังงานจลน์ (b) แรงเฉล่ียท่ีทาให้ลกู ปนื เคลื่อนทไี่ ดร้ ะยะ 50 cm 9. เด็กคนหน่ึงมีน้าหนัก 400 N อยู่ในชงิ ช้าที่ผูกด้วยเชือกยาว 2 m จงหาพลังงานศักย์โน้มถ่วงของ ระบบท่ีตาแหน่งต่าสุดของการแกว่งชิงชา้ นี้ เมื่อ (a) เชือกถูกกางขึ้นไปในแนวระดับ (b) เชือกถูก กางข้นึ ไปในทศิ ทามมุ 30o กับแนวด่งิ 10. ลูกตุม้ ยาว 2 m ถูกกางข้ึนในทิศทามุม 25o กับแนวด่ิง เม่ือปล่อยให้เคล่ือนท่ีลงตามแนวการแกวง่ จากจดุ หยุดนงิ่ จงหาความเรว็ ท่ีจดุ ต่าสดุ ของการแกว่ง 11. วัตถุ 2 กอ้ น ผูกติดกันดว้ ยเชือกเส้นเดียวกัน ตามรูปที่ 3.12 ถ้าวัตถุก้อน 5 kg ถูกปล่อยให้ตกลงมา จากความสูง 4 m จากนั้น จงหา (a) ความเร็วของวตั ถุทั้ง 2 ก้อน เม่ือวัตถุทั้ง 2 อยู่ระดับเดียวกัน (b) ความเร็วของวัตถุท้ัง 2 ก้อน เม่ือวัตถุ 5 kg อยู่ที่พื้น (c) ความสูงของวตั ถุ 3 kg เม่ือวัตถุ 5 kg อย่ทู ่พี น้ื

73 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 4 รายวชิ า ฟิสกิ สท์ ่ัวไป General Physics หัวข้อเนอ้ื หา 4.1 โมเมนตมั 4.2 การดลของแรง 4.3 การอนุรกั ษโ์ มเมนตัม 4.4 การชนกนั แบบ 1 มติ ิ 4.5 การชนกนั แบบ 2 มิติ วตั ถุประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม เมื่อส้นิ สุดการเรียนการสอน ผูเ้ รียนสามารถ 1. ยกตวั อย่างเหตกุ ารณ์หรอื สถานการณข์ องโมเมนตัมได้ 2. คานวณหาแรงดลและการดลทกี่ ระทาต่อวัตถุ จากสถานการณท์ ่กี าหนดใหไ้ ด้ 3. ใช้ความรู้เร่ืองกฎการเคล่อื นท่ีขอ้ ที่ 3 ของนิวตันในการแสดงการอนรุ กั ษ์โมเมนตมั ได้ 4. จาแนกชนิดของการชน จากสถานการณ์ท่กี าหนดใหไ้ ด้ 5. คานวณหาปรมิ าณที่เกย่ี วข้องกับการเคลื่อนทข่ี องวตั ถทุ ช่ี นกันหรอื ออกจากกนั ได้จากสถานการณท์ ่ี กาหนดให้ได้อย่างถกู ต้อง วิธีสอนและกจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. บรรยายเน้อื หาในแตล่ ะหวั ขอ้ พรอ้ มยกตวั อยา่ งประกอบ 2. ศกึ ษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลอ่ื น (slide) 3. รว่ มอภิปรายเนอ้ื หา และทาแบบฝึกหัดในช้ันเรียน 4. ผู้สอนสรปุ เน้อื หา 5. ผสู้ อนทาการซักถาม 6. นกั ศึกษาถามขอ้ สงสัย

74 ส่อื การเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าฟสิ กิ ส์ทัว่ ไป 2. บทความจากหนงั สือ หรือเว็บไซตต์ า่ งๆ 3. ภาพเล่ือน (slide) 4. คอมพวิ เตอร์พรอ้ มเครอ่ื งฉาย LCD projector การวดั ผลและการประเมนิ ผล 1. ประเมนิ จากการซกั ถามในชน้ั เรยี น 2. ประเมนิ จากความร่วมมอื หน้าชน้ั เรียน 3. ประเมนิ จากการทาแบบฝกึ หัดทบทวนท้ายบทเรยี น

75 บทท่ี 4 โมเมนตมั และการชน 4.1 โมเมนตมั จากความสัมพันธต์ ามกฎการเคลอื่ นที่ขอ้ ท่ีสองของนิวตนั จะไดว้ ่าเมอื่ มีแรงมากระทาตอ่ วัตถุจะ ทาให้เกิดความเร่งได้ เม่ือเขียนความเร่งในรูปอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาแล้วนามวล m เข้าไป ในส่วนอนุพันธ์ด้วย พบว่าจะไดป้ ริมาณบ้างอย่างมีการเปลี่ยนแปลงเวลา ซึ่งเกิดจากผลคูณระหว่างมวล และความเร็ว เม่ือทาการอนุพันธ์ปริมาณน้ีพบว่าผลท่ีได้มีค่าเท่าเดิมแสดงว่าเราสามารถเขียนกฎการ เคลื่อนที่ขอ้ ทสี่ องของนิวตันอยู่ในรปู แบบสมการนี้ได้ F = m a F = mdv = d(mv) dt dt F = mdv  vdm (อนุพนั ธ์ค่าคงท่มี ีค่าเป็นศูนย์) dt dt F = d(mv) = dP dt dt ดังนั้นสามารถนิยามปริมาณท่ีเกิดจากผลคูณระหว่างมวลและความเร็วว่า โมเมนตัม (Momentum) เป็นปริมาณบอกความสามารถในการเคลอ่ื นท่ขี องวัตถุ สามารถเขียนสมการได้เปน็ P = m.v (4.1) เม่ือ P คอื โมเมนตมั มหี นว่ ยเปน็ kg.m/s m คือ มวลของวัตถุ มหี นว่ ยเปน็ kg v คือ ความเร็วของวัตถุ มหี น่วยเป็น m/s mv รูปที่ 4.1 แสดงการเคลื่อนทีข่ องวัตถุมีทศิ ทางเดียวกับความเร็ว

76 4.2 การดลของแรง จากความสัมพันธ์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า เราสามารถเขียนสมการการเคล่ือนท่ีข้อที่ 2 ของ นวิ ตันได้เป็น  F = dP (4.2) dt จากสมการแสดงว่าแรงสุทธิ F จะทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงโมเมนตัมในช่วงเวลาส้ันๆ สามารถเขียนสมการไดเ้ ปน็  F = P2  P1 (4.3) t2  t1  F = mv2  mv1 มีหนว่ ยเป็น N t2  t1 เมื่อ  F คือ แรงดล m คือ มวลของวตั ถุ มหี นว่ ยเป็น kg v1 คอื ความเร็วเร่มิ ตน้ ของวัตถุ มหี นว่ ยเปน็ m/s v2 คอื ความเร็วสดุ ท้ายของวัตถุ มีหน่วยเป็น m/s t2  t1 คอื ช่วงเวลาสัน้ ๆ มหี นว่ ยเป็น s เม่ือพิจารณาแรงสุทธิท่ีกระทาในช่วงเวลาส้ันๆ จะได้ปริมาณใหม่ซึ่งเป็นผลของการเปล่ียน โมเมนตัมนว้ี ่า การดล (Impulse) จะได้  F(t2  t1) = mv2  mv1 (4.4) I = P2  P1 เมื่อ I คอื การดล มีหน่วยเป็น N/S ถ้าวาดกราฟระหว่างแรงสุทธิ (F) กับเวลา (t) ดงั รูปท่ี 4.2 พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับขนาดของ การดลหรือการเปลี่ยนโมเมนตัม จะสามารถคานวณหาแรงเฉล่ียได้จากพื้นท่ีใต้กราฟระหว่างและเวลา ซ่งึ การดลท่ีได้จากคานวณภายใต้แรงเฉลยี่ จะเทา่ กับการดลทีเ่ กิดข้ึนจรงิ F Fav t t1 t2 รูปที่ 4.2 แสดงกราฟของแรง Fกระทาตอ่ วตั ถุท่เี วลา t ตา่ งๆ

77 ตัวอย่างที่ 4.1 ลูกบอลมวล 0.4 kg เคลื่อนท่ีไปทางซ้ายกระทบผนังด้วยความเร็ว 30 m/s และ กระดอนกลับไปทางขวาด้วยความเร็ว 20 m/s ในแนวเส้นตรง จงหา (a) การดลของลูกบอล (b) ถ้าลูก บอลกระทบผนังในช่วงเวลา 0.01 s แรงดลจะมีคา่ เท่าใด ดังรปู ที่ 4.3 v1 v2 รูปที่ 4.3 แสดงทิศทางการชนของลูกบอล วธิ ีทา (a) เน่ืองจากเปน็ การเคลอ่ื นทต่ี ามแนวแกน x เทา่ นั้น จะได้ P1  mv1  0.3 kg  (30 m/s) =  9 kg.m/s P2  mv2  0.3 kg  20 m/s = 6 kg.m/s ดงั น้ัน การดลในแนวแกน x จะได้ I  P2  P1  (6)  (9) = 15 kg.m/s (b) จาก  F(t2  t1) = mv2  mv1  F = 15 kg.m/s 0.01 s  F = 1500 N ตัวอย่างที่ 4.2 รถยนต์ A มีมวล 2000 kg เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็ว VA m/s และรถยนต์ B มีมวล 1500 kg เคลื่อนท่ีไปด้วยความเร็ว ในแนวเส้นตรง 30 m/s จงหารถยนต์ A ต้องว่ิงด้วยความเร็วเท่าใด ถึงสามารถแซงรถยนต์ B ได้ ดังรูปท่ี 4.4 v1 v2 AB รูปที่ 4.4 แสดงทศิ ทางการเคลอ่ื นที่ของรถยนต์ วธิ ีทา เพ่อื หาความเรว็ ท่ีรถคัน A จะให้โมเมนตมั ทง้ั สองเทา่ กนั PA  mAvA  2000 kg  vA PB  mBvB  1500 kg  30 m/s  45000 kg.m/s 2000 kg vA  45000 kg.m/s vA  22.5 m/s ดังนัน้ ความเร็วท่ีรถคัน A ต้องมากกวา่ 22.5 m/s ถงึ สามารถแซงรถยนต์ B ได้

78 ตัวอย่างที่ 4.3 ลูกบอลมวล 0.4 kg ท่ีกาลังเคลื่อนท่ีไปทางซ้ายในแนวเส้นตรงด้วยความเร็ว 20 m/s หลังจากถูกเตะได้กระดอนกลับทามุม 25o ไปทางขวาดว้ ยความเร็ว 15 m/s จงหาแรงเฉล่ียถ้าลูกบอล สมั ผัสเท้านกั เตะเป็นเวลา 0.01 s ดงั รปู ท่ี 4.5 v1 θ v2 รูปที่ 4.5 แสดงทิศการเคลื่อนทข่ี องลูกบอลก่อนและหลงั การชนผนัง วธิ ที า พิจารณาการเคลื่อนที่ของลกู บอลในแนวแกน x และแกน y ได้เป็น แกน x Pv1x  mvv1x  mvcosθ  0.4 kg  (20 m/s) cos25o  7.25 kg.m/s Pv2x  mvv2x  mvcosθ  0.4 kg  (15 m/s) cos25o  5.44 kg.m/s แกน y Pv1y  mvv1y  mvsinθ  0.4 kg  (20 m/s) sin25o  3.38 kg.m/s Pv2y  mvv2y  mvsinθ  0.4 kg  (15 m/s) sin25o  2.54 kg.m/s ทาให้ไดก้ ารดลในแนวแกน x และแกน y คือ แกน x Ix  Pv2x  Pv1x Fxt  Pv2x  Pv1x Fx  (5.44  (7.25))kg.m/s  1269 N 0.01 s แกน y Iy  Pv2y  Pv1y  2.54  (3.38)  5.92 kg.m/s Fxt  Pv2x  Pv1x Fx  (2.54  (3.38))kg.m/s  592 N 0.01 s ดงั นั้น แรงเฉล่ียท้ัง 2 แกน จงึ ได้เป็น F  F2x  F2y F  (1269)2  (592)2 F  1400.3 N

79 4.3 การอนุรกั ษ์โมเมนตมั วัตถุจานวนสองก้อนขึ้นไปเกิดปฏิกิริยาต่อกัน (ชนกันหรือสัมผัสกัน) จะเกิดแรงสองแรงที่มี ขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามกัน ซ่ึงเป็นกฎการเคล่ือนที่ข้อท่ี 3 ของนิวตันเสมอ สามารถนิยาม สมการไดเ้ ป็น จากสมการ (4.5) จะเห็นว่าผลรวมโมเมนตัมของวตั ถุท้ังสองก้อนมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่า ผลรวมโมเมนตมั ของระบบจะมีค่าคงที่ ดงั น้ัน การอนุรักษ์โมเมนตมั (conservation of Momentum) จึงนิยามว่า “ผลรวมโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน” ในกรณีที่ไม่มีแรง ภายนอกมากระทาตอ่ ระบบกระทาเปน็ ศนู ย์ FAB =  FBA dPAB =  dPBA dt dt P2A  P1A =  P2B  P1B t2  t1 t2  t1 mv2A  mv1A =  mv2B  mv1B t2  t1 t2  t1 mv1A  mv1B = mv2A  mv2B (4.5)  Pi =  Pf เม่ือ  Pi คอื ผลรวมโมเมนตัมก่อนชน  Pf คือ ผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลงั ชน v1A v1B A FBA FAB B v2B v2A AB AB รูปที่ 4.6 แสดงทิศการเคลอื่ นที่ของลกู บอลก่อนและหลงั การชนกัน