เพิ่มเติมฟังชันตรีโกณมิติ

คคมู่ อืณิคตรูรศาายสวตชิ าร์เเพพิ่ิม่มเตเิมติม ๕ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี คณิตศาสตร์ เลม่ ๑ ตามผลการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พ้นื ฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 1 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 บทท่ี 1 ฟงกชันตรโี กณมิติ ตรโี กณมิติ เปนเรื่องที่นักเรียนไดศึกษามาบางแลวในระดับมัธยมศึกษาตอนตน ซึ่งอยูในรูปอัตราสวน ของความยาวดานของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก และสวนมากนําไปประยุกตในเรื่องระยะทางและ ความสูง ดวยเหตุน้ีอาจทําใหนักเรียนบางคนคิดวาตรีโกณมิติเปนวิชาท่ีเก่ียวกับดานและมุมของ รูปสามเหลย่ี มเทาน้ัน แตในหนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จะศึกษาตรีโกณมิติในรูปของฟงกชันของจํานวนจริงและฟงกชันของมุม โดยเริ่มดวยฟงกชันไซน และโคไซน คาของฟงกชันไซนและโคไซนของจํานวนจริงบางจํานวน คาของฟงกชันไซนและโคไซน ของจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืน ๆ ฟงกชนั ตรีโกณมิตขิ องมุม ฟงกชันตรีโกณมิติของมุม ของรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตาง ของจํานวนจรงิ หรือมุม ตัวผกผนั ของฟงกชันตรีโกณมิติ เอกลักษณและสมการตรีโกณมิติ กฎของ โคไซนและกฎของไซน และการหาระยะทางและความสูง ในบทเรียนนี้มุงเนนใหนักเรียนบรรลุผลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม และบรรลุ จดุ มุงหมายดงั ตอไปน้ี ผลการเรียนรแู ละสาระการเรยี นรูเพมิ่ เติม ผลการเรียนรู สาระการเรียนรูเพมิ่ เติม • เขาใจฟงกชนั ตรีโกณมิติและลักษณะ • ฟงกชันตรโี กณมิติ กราฟของฟงกชันตรโี กณมติ ิ และ • ฟงกชันตรโี กณมิตผิ กผนั นําไปใชในการแกปญหา • เอกลักษณและสมการตรีโกณมติ ิ • แกสมการตรโี กณมิติ และนาํ ไปใชในการ • กฎของโคไซนและกฎของไซน แกปญหา • ใชกฎของโคไซนและกฎของไซนในการ แกปญหา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 2 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จดุ มุงหมาย 1. หาคาของฟงกชันตรีโกณมติ ิ 2. หาคาบ แอมพลจิ ูด เรนจ และเขยี นกราฟของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 3. ใชฟงกชนั ตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลตางของจํานวนจรงิ หรือมมุ ในการแกปญหา 4. หาคาของฟงกชนั ผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 5. พสิ จู นเอกลักษณของฟงกชันตรโี กณมิติ 6. แกสมการตรโี กณมติ ิ 7. ใชกฎของโคไซนและกฎของไซนในการแกปญหา 8. ใชความรเู กี่ยวกับฟงกชนั ตรีโกณมิติในการแกปญหา ความรูกอนหนา ipst.me/8447 • ความรเู กี่ยวกับทฤษฎีบทพที าโกรัสในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน • ความสัมพนั ธและฟงกชัน • เรขาคณติ วเิ คราะห สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 3 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 1.1 เนอ้ื หาสาระ 1. การกาํ หนดคาของฟงกชนั ตรีโกณมิติ ทําไดโดยใชวงกลมรัศมียาว 1 หนวย ซ่ึงมีจุดศูนยกลาง อยูที่จุดกําเนิดเปนหลักในการกําหนดคาของฟงกชันตรีโกณมิติ และจะเรียกวงกลม ดังกลาววา วงกลมหนง่ึ หนวย วงกลมน้เี ปนกราฟของความสัมพนั ธ x, y y y x2 y2 1 เมือ่ กําหนดจํานวนจริง จากจุด 1, 0 วัดระยะไปตามสวนโคงของวงกลมหน่ึงหนวยให ยาว หนวย จะถึงจุด x, y ซึ่งอยูบนวงกลมหน่ึงหนวย โดยมีขอตกลงสําหรับทิศทาง ของการวดั ดังน้ี เม่ือ 0 จะวัดสวนโคงจากจดุ 1, 0 ไปในทศิ ทางทวนเขมนา กิ า เมือ่ 0 จะวดั สวนโคงจากจดุ 1, 0 ไปในทศิ ทางตามเขมนา กิ า เมื่อ 0 จดุ ปลายสวนโคงคือจุด 1, 0 2. กาํ หนดฟงกชัน f : y y และ g : y y สําหรบั แตละจาํ นวนจรงิ ใด ๆ fx gy เมอื่ x, y เปนจุดปลายสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยที่วัดจากจุด 1, 0 ยาว หนวย ในทศิ ทางทวนเขมนา กิ าหรอื ตามเขมนา ิกา เรียกฟงกชนั g และ f ดังกลาวน้ีวา ฟงกชัน น และ ฟงกชันโค น ตามลําดับ และจะเขยี นแทน g ดวย sin และเขยี นแทน f ดวย cos ดังนี้ y sin x cos 3. วงกลมหน่ึงหนวยซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุดกําเนิด เปนกราฟของความสัมพันธ x, y y y x2 y2 1 จะเหนวา 1 y 1 และ 1 x 1 ดังนั้น คาของฟงกชันไซน และฟงกชันโคไซนเปนจํานวนจริงต้ังแต 1 ถึง 1 น่ันคือ เรนจของฟงกชันไซนและฟงกชัน โคไซน คือ เซตของจํานวนจริง ต้ังแต 1 ถึง 1 และโดเมนของฟงกชันท้ังสอง คือ เซตของ จาํ นวนจริง 4. จากสมการ x2 y2 1, y sin และ x cos จะไดความสัมพันธของ sin และ cos ดงั นี้ cos2 sin2 1 เมอ่ื เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 4 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 5. ให เปนจํานวนจริงใด ๆ และ n เปนจํานวนเตม จะได sin sin 2n cos cos 2n 6. การหาคาของฟงกชนั ไซนและโคไซนของจาํ นวนจริงตั้งแต 0 ถึง 2 มขี อสรปุ ดงั น้ี ให เปนจํานวนจริง ซง่ึ 0 2 sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2 sin cos 2 cos 7. นอกจากฟงกชันไซนและโคไซน ยังมฟี งกชนั ตรโี กณมติ ทิ ีส่ ําคญั อีกหลายฟงกชนั ดังตอไปน้ี ฟงกชันแทนเจนต เขยี นแทนดวย tan ฟงกชนั เ แคนต เขยี นแทนดวย sec ฟงกชันโคเ แคนต เขยี นแทนดวย cosec หรอื csc ฟงกชันโคแทนเจนต เขียนแทนดวย cot 8. บทนยิ าม 1 สําหรบั จํานวนจรงิ ใด ๆ tan sin เมื่อ cos 0 cos sec 1 เมื่อ cos 0 cos cosec 1 เม่อื sin 0 cot sin cos เม่ือ sin 0 sin สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 5 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 9. โดเมนของฟงกชัน tan และ sec คอื y xx 2n 1 ,n 2 โดเมนของฟงกชัน cot และ cosec คือ y x x n ,n เรนจของฟงกชนั tan และ cot คือ y เรนจของฟงกชัน sec และ cosec คอื y x 1 x 1 10. ความสัมพนั ธระหวางฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ cot 1 เม่อื tan 0 tan เมือ่ cos 0 1 tan2 sec2 0 1 cot2 cosec2 เม่ือ sin 11. ตารางแสดงคาของฟงกชันตรีโกณมติ ิของจํานวนจริง บางจํานวน เม่ือ 0 2 sin cos tan cosec sec cot 0 0 1 0 ไมนิยาม 1 ไมนิยาม 6 1 3 3 2 23 3 2 2 3 3 4 2 2 1 2 21 2 2 31 3 23 2 3 32 2 3 3 2 1 0 ไมนิยาม 1 ไมนิยาม 0 12. กําหนดสวนของเสนตรง AP ตองการสราง PAˆQ ใหมีขนาด 30 องศา โดยใชโพรแทรกเตอร วดั ขนาดของมุม ทําไดโดยวางโพรแทรกเตอรทับสวนของเสนตรง AP ซึ่งสามารถวัดขนาด ของมุมท่ีตองการสรางได 2 แบบ คือ วัดในทิศทางทวนเขมนา ิกา และวัดในทิศทางตามเขม นา กิ า ดงั รปู สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 6 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 เรยี ก A วา จุดยอด ของมมุ เรยี กสวนของเสนตรง AP วา ดานเร่ิมตน ของมมุ เรียกสวนของเสนตรง AQ และ AQ วา ดานสน้ิ สดุ ของมุม 13. การวัดขนาดของมุมทําไดโดยการวัดจากดานเร่ิมตนไปยังดานสิ้นสุด สําหรับการบอกขนาด ของมุมมีขอตกลงวา ถาวัดมุมในทิศทางทวนเขมนา ิกา จะแสดงขนาดของมุมดวยจํานวน จรงิ บวก แตถาวัดมุมในทศิ ทางตามเขมนา ิกา จะแสดงขนาดของมมุ ดวยจาํ นวนจริงลบ 14. หนวยในการวดั มมุ ในที่นมี้ ี 2 ประเ ท ไดแก องศาและเรเดียน องศา เขียนแทนดวยสัญลักษณ o โดยมมุ ทด่ี านเรม่ิ ตนและดานสิน้ สดุ ทับกนั มีขนาด 0 องศา หรอื 360 องศา และแบงหนวยองศาออกเปนหนวยยอยคือ ลิปดา ( ' ) และ พิลิปดา ( '' ) ดงั น้ี 1 60 1' 60'' เรเดียน เปนหนวยวัดมุมที่มีคาเปนจํานวนจริง โดยมีขอตกลงวามุมที่จุดศูนยกลางของ วงกลมซ่ึงรองรับดวยสวนโคงของวงกลมท่ียาวเทากับรัศมีของวงกลมนั้นเปนมุมที่มีขนาด 1 เรเดียน ซึ่งการเขียนขนาดของมุมท่ีมีหนวยเปนเรเดียนมักจะไมเขียนหนวยกํากับไว ดังน้ัน ถากลาวถึงขนาดของมุมโดยไมมหี นวยกํากบั ใหถอื วามมุ นน้ั มีหนวยเปนเรเดยี น ความสมั พันธระหวางองศาและเรเดยี น คือ 360 องศา เทากับ 2 เรเดยี น หรือ 180 องศา เทากับ เรเดยี น สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 7 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 15. เมื่อจุดยอดของมุมอยูที่จุด 0, 0 และดานเร่ิมตนของมุมนั้นทาบไปตามแกน X ทางบวก จะกลาววามุมนนั้ อยใู นตาแหนงมาตร าน 16. เมื่อกําหนดมุมขนาด เรเดียนใหหนึ่งมุม จะหาจุดท่ีดานสิ้นสุดของมุมนั้นตัดกับวงกลม หน่ึงหนวยไดเพียงจุดเดียว และจุดน้ันจะเปนจุดปลายสวนโคงท่ียาว หนวยดวย หรือ สวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวยท่รี องรบั มุม เรเดียน จะยาว หนวย จะเหนไดวา ไมวาจะ ใชวิธวี ดั มุมหรือวัดความยาวสวนโคงของวงกลม จุดที่ดานส้ินสุดของมุมตัดกับวงกลมหนึ่งหนวย จะเปนจุดเดียวกับจดุ ปลายสวนโคง 17. ไมวาจะนยิ ามฟงกชันตรโี กณมิตใิ นแงของมุมหรอื ในแงของความยาวสวนโคงของวงกลมหน่ึง หนวยที่รองรับมุม คาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนเหลาน้ันจะเทากัน เชน cos อาจ หมายถึง cos ของมุมท่ีมีขนาด เรเดียน หรือ cos ของจํานวนจริง สําหรับการหาคาของ ฟงกชันตรีโกณมิติของมุมที่มีหนวยเปนองศานั้นอาจหาไดโดยเปล่ียนหนวยวัดขนาดของมุม จากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดยี นกอน แลวจงึ หาคาของฟงกชนั นน้ั เชนเดยี วกบั การหาคา ของฟงกชันตรโี กณมิติของจาํ นวนจริงทว่ั ๆ ไป 18. ฟงกชนั ตรีโกณมิติของมุมของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก กําหนดรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ทีม่ ี ACˆB เปนมมุ ฉาก ดังนัน้ BAˆC 90 จะได = ความยาวของดานตรงขามมุม ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ความยาวของดานประชดิ มมุ ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ความยาวของดานตรงขามมุม ความยาวของดานประชดิ มุม 19. ฟงกชันตรีโกณมิติเปน ฟงกชันที่เปนคาบ กลาวคือ สามารถแบงแกน X ออกเปน ชวงยอย โดยที่ความยาวของแตละชวงยอยเทากันและกราฟในแตละชวงยอยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของชวงยอยทส่ี ัน้ ท่ีสุดท่มี สี มบัติดงั กลาว เรยี กวา คาบ ของฟงกชนั สําหรับฟงกชัน ทเ่ี ปนคาบซงึ่ มคี าสูงสดุ และคาตํ่าสดุ จะเรียกคาทเ่ี ทากบั ครง่ึ หนงึ่ ของผลตางระหวางคาสูงสุด และคาตา่ํ สดุ ของฟงกชันน้นั วา แอมพลิจดู สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 8 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 นน่ั คือ ถา a เปนคาสูงสดุ และ b เปนคาตํา่ สดุ ของฟงกชันที่เปนคาบ แลวจะไดวาแอมพลิจูด ของฟงกชันน้คี ือ 1 a b 2 20. โดเมน คาบ แอมพลิจดู และเรนจของฟงกชันไซนและโคไซนในกรณที วั่ ไป สรปุ ไดดงั น้ี ฟงกชัน โดเมน คาบ แอมพลิจดู เรนจ y sin nx , n 0 y 2 1 1, 1 n y cos nx , n 0 y 2 1 1, 1 n y a sin nx , n 0 y 2 a a, a n y a cos nx , n 0 y 2 a a, a n 21. ฟงกชนั แทนเจนตเปนฟงกชนั ทเี่ ปนคาบ และมคี าบเทากับ ฟงกชันโคเซแคนตเปนฟงกชนั ท่ีเปนคาบ และมคี าบเทากับ 2 ฟงกชนั เซแคนตเปนฟงกชันท่ีเปนคาบ และมคี าบเทากบั 2 ฟงกชันโคแทนเจนตเปนฟงกชนั ท่เี ปนคาบ และมีคาบเทากบั 22. คาของฟงกชันตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลตางของจํานวนจรงิ หรือมมุ สรุปไดดังน้ี sin 2 = cos cos 2 = sin cos cos = cos cos sin sin sin sin = cos cos sin sin tan = sin cos cos sin tan = sin cos cos sin = tan tan เมื่อ tan tan 1 1 tan tan 1 = tan tan เมื่อ tan tan 1 tan tan สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 9 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 23. คาของ sin , sin , cos และ cos เม่ือนํามาบวกหรือลบกัน จะไดความสมั พันธที่สาํ คัญดงั ตอไปนี้ sin sin 2sin cos sin cos cos 2cos sin sin 2cos cos cos 2sin sin cos 24. ความสมั พันธอนื่ ๆ เปนดงั น้ี sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin 2 sin 2 25. คาของฟงกชันตรโี กณมติ ิของจาํ นวนจรงิ ซง่ึ เปนสองเทาของ แสดงไดดงั น้ี sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1 tan 2 2 tan เมื่อ tan2 1 1 tan2 26. เนื่องจากฟงกชันตรีโกณมิตไิ มเปนฟงกชัน 1 1 ดงั น้นั ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติจึงไม เปนฟงกชัน แตถากําหนดโดเมนของฟงกชันตรีโกณมิติใหเหมาะสมจะพบวา ตัวผกผันของ ฟงกชันตรีโกณมติ จิ ะเปนฟงกชัน 27. บทนิยาม 2 ฟงกชัน arcsine คือ เซตของคูอนั ดับ x, y โดยท่ี x sin y และ 2 y 2 28. บทนยิ าม 3 ฟงกชัน arccosine คอื เซตของคอู นั ดับ x, y โดยท่ี x cos y และ 0 y สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 10 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 29. บทนิยาม 4 ฟงกชัน arctangent คือ เซตของคูอนั ดับ x, y โดยที่ x tan y และ 2 y 2 30. ฟงกชันตรีโกณมิติที่กําหนดโดเมนเพ่ือใหตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติเปนฟงกชัน มีโดเมนและเรนจเปนดังน้ี ฟงกชนั โดเมน เรนจ y sin x 2, 2 1, 1 y cos x 0, 1, 1 y tan x 2, 2 y ฟงกชัน arcsine, arccosine และ arctangent มโี ดเมนและเรนจ ดังน้ี ฟงกชนั โดเมน เรนจ y arcsin x 1, 1 , 22 y arccos x 1, 1 0, y arctan x y , 22 31. กราฟของฟงกชัน sine, cosine, tangent, arcsine, arccosine และ arctangent เปนดังน้ี y sin x, 2 x 2 y arcsine x, 1 x 1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 11 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 y cos x, 0 x y arccos x, 1 x 1 y tan x, 2 x 2 y arctan x, x y 32. สมการตรีโกณมติ ิ คือ สมการที่มฟี งกชันตรโี กณมิตปิ ราก อยู 33. สมการตรีโกณมิติบางสมการ เชน cot 1 จะเปนจริงสําหรับทุกคาของ ท่ีทําให tan หาคาของฟงกชันที่ปราก อยูในสมการนั้นได คือ คาของ cot , tan และ 1 เรียก tan สมการทีม่ ีสมบตั เิ ชนสมการ cot 1 วา เอกลกั ษณ tan 34. การพิสูจนเอกลักษณเปนการแสดงใหเหนวาจํานวนท้ังสองขางของเคร่ืองหมายเทากับของ สมการเทากันจริง โดยใชความรูเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติ การพิสูจนเอกลักษณจึงชวยให เหนความสัมพันธตาง ๆ ระหวางฟงกชันตรีโกณมิติ และเอกลักษณท่ีพิสูจนแลวสามารถ นาํ ไปอางองิ ในการพสิ จู นเอกลกั ษณอื่น ๆ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 12 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 35. การแกสมการตรีโกณมิติทําไดในทํานองเดียวกันกับการแกสมการทั่วไป โดยอาศัยความรู เกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติ เพ่ือหาคําตอบของสมการ เน่ืองจากฟงกชันตรีโกณมิติไมเปน ฟงกชัน 1 1 คาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้ํากันได ดังนั้น ในการหาคําตอบของสมการ ถาโจทยไมไดกําหนดใหคําตอบอยูในชวงใดชวงหนึ่งแลว คาํ ตอบควรอยูในรปู คาท่ัวไป 36. ก องโค น ใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีดานตรงขามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลาํ ดบั จะได a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C 37. ก อง น ใหรูปสามเหล่ียม ABC มีดานตรงขามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลาํ ดับ จะได sin A sin B sin C ab c 38. มมุ กมและมุมเงยเปนมุมท่ีเกิดจากแนวเสนระดับสายตา และแนวเสนจากตาไปยังวัตถุ ถาวัตถุ อยูต่ํากวาแนวเสนระดับสายตา มุมท่ีไดเรียกวา มุมกม แตถาวัตถุอยูสูงกวาแนวเสนระดับ สายตา มมุ ทไี่ ดเรยี กวา มุมเงย โดยขนาดของมุมกมและมุมเงยจะเปนจํานวนจรงิ บวกเสมอ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 13 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 1.2 อเสนอแนะเกย่ี วกับการสอน ฟงกชัน นและโค น กิจกรรม : วงกลมหน่ึงหนวย จดุ มงุ หมาย องกิจกรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือสอนเก่ียวกับจํานวนจริง ท่ีไดจากการวัดระยะจากจุด 1, 0 ไปตาม สวนโคงของวงกลมหนงึ่ หนวยใหยาว หนวย ในทิศทางทวนเขมนา กิ าและตามเขมนา ิกา แนวทางการดาเนินกจิ กรรม 1. ครแู บงนกั เรียนเปนกลมุ กลุมละ 2 – 3 คน แบบคละความสามารถ และใหนักเรียนแตละกลุม เขียนกราฟของ x2 y2 1 พรอมทง้ั เขียนพกิ ัดของจุดท่ีกราฟตัดกับแกน X และแกน Y แนวคาตอบ 2. จากวงกลมท่ีไดในขอ 1 ครูใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันหาความยาวของสวนโคงที่วัดจาก จดุ 1, 0 ไปถึงจดุ ตอไปน้ี 2.1 จดุ 0, 1 ในทิศทางทวนเขมนา ิกา 2.2 จดุ 1, 0 ในทิศทางทวนเขมนา ิกา 2.3 จุด 0, 1 ในทิศทางทวนเขมนา ิกา 2.4 จดุ 0, 1 ในทิศทางตามเขมนา ิกา 2.5 จุด 1, 0 ในทิศทางตามเขมนา ิกา 2.6 จดุ 0, 1 ในทิศทางตามเขมนา ิกา สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 14 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 แนวคาตอบ ความยาวของสวนโคงทวี่ ัดจากจุด 1, 0 ไปถึง • จุด 0, 1 ในทิศทางทวนเขมนา ิกา และจดุ 0, 1 ในทิศทางตามเขมนา ิกา คือ หนวย 2 • จุด 1, 0 ในทิศทางทวนเขมนา กิ า และในทศิ ทางตามเขมนา ิกา คอื หนวย • จุด 0, 1 ในทิศทางทวนเขมนา กิ า และจดุ 0, 1 ในทิศทางตามเขมนา ิกา คือ 3 หนวย 2 หมายเหตุ ในการหาความยาวสวนโคง ครูอาจแนะนาํ ใหนกั เรียนพจิ ารณาความยาวของเสนรอบวง ของวงกลมหนึง่ หนวย 3. ครูบอกขอตกลงสําหรับทิศทางของการวัดเพื่อความสะดวกในการสื่อสารดังนี้ เมอ่ื กาํ หนดจาํ นวนจริง จากจุด 1, 0 วัดระยะไปตามสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวย ใหยาว หนวย จะถึงจุด x, y ซ่ึงอยูบนวงกลมหนึ่งหนวย โดยมีขอตกลงสําหรับ ทิศทางของการวัดดงั นี้ เมื่อ 0 จะวดั สวนโคงจากจุด 1, 0 ไปในทศิ ทางทวนเขมนา ิกา เมื่อ 0 จะวัดสวนโคงจากจดุ 1, 0 ไปในทศิ ทางตามเขมนา ิกา เม่อื 0 จุดปลายสวนโคงคอื จุด 1, 0 4. จากขอตกลงในขอ 3 ครูใหนกั เรยี นหา สาํ หรบั แตละความยาวสวนโคงในขอ 2 แนวคาตอบ สําหรบั สวนโคงท่ีวัดจากจุด 1, 0 ไปถึง • จุด 0, 1 ในทศิ ทางทวนเขมนา ิกา จะมี 2 • จุด 1, 0 ในทศิ ทางทวนเขมนา ิกา จะมี • จุด 0, 1 ในทิศทางทวนเขมนา ิกา จะมี 3 2 • จุด 0, 1 ในทศิ ทางตามเขมนา ิกา จะมี • จดุ 1, 0 ในทิศทางตามเขมนา กิ า จะมี 2 • จุด 0, 1 ในทิศทางตามเขมนา กิ า จะมี 3 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 15 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 หมายเหตุ • เมอื่ จบกจิ กรรมนแี้ ลว ครคู วรช้แี จงนักเรียนเพ่ิมเติมวา สําหรบั วงกลมหนง่ึ หนวยในขอ 1 มี จุดศนู ยกลางอยทู ี่จุดกําเนดิ โดยที่ 1 x 1 และ 1 y 1 • เมอื่ นักเรียนทํากิจกรรมน้แี ลว ครอู าจใหนกั เรยี นพจิ ารณาเพิ่มเตมิ กรณีที่ 2 ประเดนสาคั เกย่ี วกบั เนือ้ หาและสิ่งทค่ี วรตระหนกั เกีย่ วกับการสอน • การศึกษาตรีโกณมิติในระดับมัธยมศึกษาตอนตนเปนฟงกชันของมุม ายในของรูปสามเหลี่ยม มุมฉากท่ีมีหนวยเปนองศา ซึ่งมีโดเมนเปน 0, 90 แตในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจะ ขยายโดเมนไปสูเซตของจํานวนจริง โดยศกึ ษาฟงกชนั ตรโี กณมติ ิจากวงกลมหนงึ่ หนวย • ในหัวขอน้ีสนใจฟงกชันตรีโกณมติ ิของจํานวนจรงิ เทาน้นั • ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอ ิปรายเก่ียวกับการหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนของ จํานวนจริง 3 , 4 และ 6 โดยใชความรูเก่ียวกับระยะหางระหวางจุดและการสะทอน ดังท่ี เสนอในหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ซึ่งเปนพื้น าน สาํ คัญในการหาคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจํานวนจรงิ อนื่ ๆ ประเดนสาคั เก่ยี วกบั แบบ กหัด • การแกปญหาเกี่ยวกับการหาคาของ sin และ cos เมื่อ เปนจํานวนจริง เชน ใน แบบ กหัด 1.1 ขอ 1 สามารถทําไดโดยใชความรูเก่ียวกับพิกัดของจุดปลายสวนโคงของ วงกลมหนึ่งหนวยท่ีวัดจากจุด 1,0 ยาว หนวย ตามทิศทางท่ีกําหนด (ดังแสดงใน ตัวอยางท่ี 1 และ 2) หรืออาจใชความรูเก่ียวกับการสมมาตรของวงกลมหน่ึงหนวย (ดัง แสดงในตัวอยางที่ 3, 4 และ 5) • การหาจํานวนจริง ที่ทําใหไดคาของฟงกชันตรีโกณมิติตามท่ีกําหนด เชน ในแบบ กหัด 1.1 ขอ 2 จะมีจํานวนจริง หลายจํานวนท่ีเปนคําตอบ ดังน้ัน ครูควรใหนักเรียนมีอิสระใน การเขยี นจํานวนจรงิ ทีท่ าํ ใหไดคาของฟงกชนั ตรีโกณมิติตามทีก่ ําหนด สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 16 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 • ครูอาจใหเหตุผลประกอบแบบ กหัด 1.1 ขอ 10 2) และ 3) เพ่ือแสดงวาขอความที่ กําหนดใหเปนจริง ดังนี้ 2) sin cos เมื่อ คอื หรือ 5 เปนจริง 44 เนอ่ื งจาก sin 4 2 cos 4 และ sin 5 2 cos 5 2 4 2 4 3) 2 sin cos 2 เมอ่ื เปนจริง เนอ่ื งจาก 1 sin 1 และ 1 cos 1 ดงั นนั้ 2 sin cos 2 ความเ า จคลาดเคล่ือน นักเรียนมักเขาใจผิดวา cos2 cos 2 และ sin2 sin 2 ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขาใจ เก่ยี วกบั ขอตกลงของสัญลกั ษณอยางถกู ตองวา cos2 หมายถงึ cos cos แต cos 2 หมายถงึ cos ของจาํ นวนจริง 2 sin2 หมายถงึ sin sin แต sin 2 หมายถงึ sin ของจํานวนจรงิ 2 ทงั้ น้ี ขอตกลงของสัญลักษณดังกลาวใชสาํ หรับฟงกชันตรโี กณมติ อิ ่ืน ๆ ทจี่ ะไดเรยี นในหัวขอถัดไป ฟงกชนั ตรีโกณมิติอืน่ ประเดนสาคั เก่ยี วกบั เนือ้ หาและสงิ่ ท่ีควรตระหนกั เกีย่ วกับการสอน • เม่ือครูสอนเกี่ยวกับโดเมนของฟงกชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ควรใหนักเรียนเชื่อมโยงบทนิยาม 1 กับการหาโดเมนในการดําเนินการของฟงกชันซึ่งนักเรียนไดเรียนมาแลวในหนังสือเรียน รายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 2 บทท่ี 1 ความสัมพันธและฟงกชัน เชน การหาโดเมนของฟงกชันแทนเจนตสามารถพจิ ารณาไดดงั นี้ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 17 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 เน่ืองจาก โดเมนของฟงกชันไซนและโคไซน คือ y และ tan sin เม่ือ เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ และ cos 0 cos จะไดวา โดเมนของฟงกชนั ของฟงกชันแทนเจนต คอื โดเมนของฟงกชัน sin นั่นคือ cos Dsin Dcos x Dcos cos x 0 = y y x yx 2n 1 ,n 2 =y x yx 2n 1 , n 2 ดงั นนั้ โดเมนของฟงกชันแทนเจนต คือ y x yx 2n 1 ,n 2 นอกจากนี้ การหาโดเมนของฟงกชันตรีโกณมิติอ่ืน ๆ อาจพิจารณาจากกราฟของฟงกชัน ตรโี กณมิติ ซึง่ จะไดศกึ ษาในหวั ขอ 1.4 กราฟของฟงกชนั ตรีโกณมิติ • การพิสูจนความสัมพันธระหวางฟงกชันตรีโกณมิติ cot 1 เมื่อ tan 0 และ tan 1 tan2 sec2 เม่ือ cos 0 ที่นําเสนอ มีไวเพื่อเปนตัวอยางของการพิสูจนอยาง งาย ท้ังน้ี นกั เรยี นจะไดเรียนเกยี่ วกับการพสิ จู นมากข้ึนในหัวขอ 1.7 เอกลักษณและสมการ ตรโี กณมิติ ประเดนสาคั เก่ยี วกับแบบ กหัด • การหาคาของฟงกชนั ตรีโกณมิติท่ีกําหนดใหในแบบ กหัด 1.2 ขอ 6 น้ัน ครูควรสงเสริมให นกั เรยี นใชเอกลักษณของฟงกชันตรีโกณมิติท่ีไดเรียนในหัวขอ 1.1 และ 1.2 มาชวยในการ จัดรปู ฟงกชันตรีโกณมติ ิทกี่ าํ หนดใหกอนการแทนคา • การวัดผลประเมินผลเกี่ยวกับการพิสูจนในหัวขอน้ีไมควรซับซอนมากนัก โดยไมควรยาก มากกวาแบบ กหัด 1.2 ขอ 8 – 10 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 18 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 ฟงกชันตรโี กณมิติ องมมุ กจิ กรรม : เรเดยี นและองศา จุดมุงหมาย องกิจกรรม กจิ กรรมน้ีใชเพอื่ นําเขาสูบทเรียนเกี่ยวกับมุมในหนวยองศาและมมุ ในหนวยเรเดียน แนวทางการดาเนนิ กจิ กรรม 1. ครูนาํ เขาสูกจิ กรรมโดยอธิบายเกยี่ วกับการวัดมุมในหนวยองศาและเรเดยี น ดงั นี้ หนวยวดั มมุ ทร่ี ูจักกนั แลว คอื องศา โดยมมุ ทด่ี านเร่มิ ตนและดานสนิ้ สดุ ทับกันมีขนาด 0 องศา หรือ 360 องศา และแบงหนวยองศาออกเปนหนวยยอย คือ ลิปดา และพิลิปดา นอกจากน้ียังมหี นวยวัดมุมท่ีสาํ คัญอกี หนวยหน่งึ คอื เรเดียน 2. ครูจบั คนู ักเรยี นแบบคละความสามารถ จากนนั้ เปดเวบไซต ipst.me/10305 3. ครใู หนกั เรยี นแตละคูสํารวจความยาวสวนโคงของวงกลม ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน และ ขนาดของมุมในหนวยองศา เมื่อวงกลมมีความยาวรัศมเี ปน 1 หนวย โดย 1) คลิกลากจุดบนสไลเดอรเพ่ือกาํ หนดความยาวรัศมขี องวงกลมเปน 1 หนวย 2) คลกิ ลากจุดสชี มพบู นเสนรอบวงของวงกลมไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาใหอยูในจตุ าค ท่ี 1, 2, 3 และ 4 ตามลําดับ ในขณะที่จุดสีชมพูอยูในตําแหนงในแตละจตุ าค ให บันทึกความยาวสวนโคง ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน และขนาดของมุมในหนวย องศาลงในตารางตอไปน้ี ตาแหนง องจดุ นจตุ าคที่ 1234 ความยาวรศั มีของวงกลม (หนวย) 1 1 1 1 ความยาวสวนโคง (หนวย) ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน ขนาดของมุมในหนวยองศา สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 19 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 4. จากตารางทีไ่ ดในขอ 3. 2) ครูใหนกั เรียนแตละกลมุ รวมกนั พิจารณาวา • ความยาวสวนโคงกบั ขนาดของมุมในหนวยเรเดียนมีความสัมพันธกนั อยางไร แนวคาตอบ จํานวนทีแ่ ทนความยาวสวนโคงเทากับจาํ นวนท่ีแทนขนาดของมุมในหนวยเรเดยี น • อัตราสวนของขนาดของมมุ ในหนวยเรเดียนกับขนาดของมุมในหนวยองศาเปนอยางไร แนวคาตอบ อัตราสวนของขนาดของมุมในหนวยเรเดียนกับขนาดของมุมในหนวยองศาเปนคา คงตวั ซึง่ มคี าประมาณ 0.017 5. ครูใหนกั เรยี นแตละคูสํารวจความยาวสวนโคงของวงกลม ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน และ ขนาดของมุมในหนวยองศา เม่ือวงกลมมีความยาวรัศมีเปน 2, 3 และ 4 หนวย ตามลําดับ โดย ทําซาํ้ ข้นั ตอนในขอ 3 แลวบนั ทึกผลลงในตารางตอไปนี้ ตาแหนง องจุด นจตุ าคที่ 1234 ความยาวรศั มีของวงกลม (หนวย) 2222 ความยาวสวนโคง (หนวย) ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน ขนาดของมุมในหนวยองศา ตาแหนง องจดุ นจตุ าคที่ 1234 ความยาวรศั มขี องวงกลม (หนวย) 3333 ความยาวสวนโคง (หนวย) ขนาดของมุมในหนวยเรเดยี น ขนาดของมุมในหนวยองศา ตาแหนง องจดุ นจตุ าคที่ 1234 ความยาวรศั มีของวงกลม (หนวย) 4444 ความยาวสวนโคง (หนวย) ขนาดของมุมในหนวยเรเดียน ขนาดของมุมในหนวยองศา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 20 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 6. จากตารางที่ไดในขอ 5 ครใู หนกั เรียนแตละกลุมรวมกนั พจิ ารณาวา • ความยาวสวนโคงกบั ขนาดของมุมในหนวยเรเดียนมีความสัมพันธกันอยางไร แนวคาตอบ o เมือ่ วงกลมมรี ัศมียาว 2 หนวย จํานวนท่ีแทนความยาวสวนโคงจะเปนสองเทาของ จาํ นวนท่แี ทนขนาดของมุมในหนวยเรเดยี น o เม่ือวงกลมมีรัศมียาว 3หนวย จํานวนท่ีแทนความยาวสวนโคงจะเปนสามเทาของ จํานวนท่ีแทนขนาดของมมุ ในหนวยเรเดียน o เมื่อวงกลมมีรัศมียาว 4 หนวย จํานวนท่ีแทนความยาวสวนโคงจะเปนส่ีเทาของ จาํ นวนท่ีแทนขนาดของมุมในหนวยเรเดยี น • อตั ราสวนของขนาดของมุมในหนวยเรเดยี นกับขนาดของมุมในหนวยองศาเปนอยางไร แนวคาตอบ ไมวาวงกลมจะมีรัศมียาวเทาใดกตาม อัตราสวนของขนาดของมุมในหนวยเรเดียน กบั ขนาดของมุมในหนวยองศาเปนคาคงตวั ซง่ึ มคี าประมาณ 0.017 7. ครแู ละนักเรียนรวมกันอ ปิ รายเก่ียวกับผลที่ไดจากการสํารวจขอ 3 – 6 หมายเหตุ • เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหความรูเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา มุมที่จุดศูนยกลางของ วงกลมทมี่ ีรศั มยี าว r หนวย ซ่งึ รองรบั ดวยสวนโคงของวงกลมที่ยาว a หนวย จะมีขนาด a เรเดียน และมมุ ทม่ี ขี นาด 1 เรเดียน จะมขี นาด 180 องศา หรือประมาณ 57.3 องศา r สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 21 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ประเดนสาคั เก่ยี วกบั เนือ้ หาและสิง่ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน • การแสดงมุมในหนวยองศาใหอยูในรูปทศนิยม เชน มุมท่ีมีขนาด 28.65 องศานั้น ไมได หมายถึง มุมท่ีมีขนาด 28 องศา 65 ลิปดา แตจะตองพิจารณาจาก 1 องศา เทากับ 60 ลิปดา ซ่ึงจะทําใหไดวามุมที่มีขนาด 0.65 องศา จะมีขนาด 0.65 60 39 ลิปดา น่ันคือมุมท่ีมี ขนาด 28.65 องศา หมายถงึ มุมท่ีมีขนาด 28 องศา 39 ลปิ ดา • เนื่องจากการนําเสนอเกี่ยวกับการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติในหนังสือเรียนรายวิชา เพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เริ่มจากการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติ ของจํานวนจริง ดังนน้ั ในการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมในตัวอยางที่ 15 เปนการ เปลี่ยนขนาดของมุมจากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดียน จากนั้นจึงใชความรูเร่ืองคาของ ฟงกชนั ตรโี กณมิตขิ องจาํ นวนจริงในการหาคาํ ตอบได ความเ า จคลาดเคลือ่ น • นักเรียนมักเขาใจผิดวา การเขียนแสดงขนาดของมุมในหนวยเรเดียนตองอยูในรูป เสมอ ซ่ึงในตัวอยางท่ี 13 จะเหนวาขนาดของมุมในหนวยเรเดียนสามารถอยูในรูปจํานวนจริงที่ไม อยใู นรูป ได ประเดนสาคั เกย่ี วกบั แบบ กหดั • การหาคาของฟงกชนั ตรีโกณมิติที่กําหนดใหในแบบ กหัด 1.2 ขอ 6 น้ัน ครูควรสงเสริมให นกั เรยี นใชเอกลกั ษณของฟงกชันตรีโกณมิติที่ไดเรียนในหัวขอ 1.1 และ 1.2 ชวยในการจัด รูปฟงกชันตรีโกณมติ ทิ ีก่ ําหนดใหกอนการแทนคา • การวัดผลประเมินผลเก่ียวกับการพิสูจนในหัวขอน้ีไมควรซับซอนมากนัก โดยไมควรยาก เกนิ กวาแบบ กหดั 1.2 ขอ 8 – 10 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 22 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 กราฟ องฟงกชนั ตรีโกณมิติ ประเดนสาคั เกยี่ วกับเนอ้ื หาและสง่ิ ที่ควรตระหนกั เกย่ี วกับการสอน • เมื่อพิจารณาโดเมนของฟงกชัน tan, sec, cot และ cosec จะพบวาฟงกชันดังกลาวไม นิยามท่ีจํานวนจริง a บางจํานวน ดังน้ัน ในการเขียนกราฟจึงนิยมเขียนเสนประ x a ไวเพ่ือแสดงวาเสนกราฟจะโคงเขาหาเสนตรง x a แตไมนิยามท่ี x a ทั้งน้ี ครูตอง เนนยา้ํ วาเสนประดังกลาวมีไวเพือ่ ชวยในการเขยี นกราฟและเขาใจกราฟไดงายข้ึน แตไมได เปนสวนหน่งึ ของกราฟ • การเขียนกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติในตัวอยาง 20 – 24 น้ัน กําหนดจุดบนแกน X เปน จํานวนจริงท่ีอยูในรูป อยางไรกตามการเขียนกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติน้ัน จุดบน แกน X สามารถเปนจํานวนจริงท่ีไมอยูในรูป ดังกราฟท่ีปราก ในแบบ กหัด 1.4 ขอ 2 (จ) (ฉ) และ (ช) ซึ่งการพิจารณากราฟของฟงกชันในแบบ กหัดดังกลาว ทําไดในทํานอง เดยี วกบั การพจิ ารณากราฟของฟงกชันตรีโกณมติ ิตามตวั อยาง 20 – 24 • n ท่ีปราก ในฟงกชัน y sin nx , y cos nx , y asin nx และ y a cos nx ซ่งึ นําเสนอในหวั ขอนี้ เปนจาํ นวนจริงทม่ี ากกวา 0 กจิ กรรม : สารวจกราฟ องฟงกชัน นและโค น จุดมงุ หมาย องกจิ กรรม กิจกรรมนี้ใชเพื่อประกอบการเรียนการสอน เร่ือง กราฟของ y sin x และ y cos x เม่ือ x เปนจาํ นวนจริงใด ๆ โดยที่ x 0, 2 แนวทางการดาเนินกจิ กรรม 1. ครูจับคูนกั เรยี นแบบคละความสามารถ จากนน้ั เปดเวบไซต ipst.me/10308 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 23 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 2. ครใู หนกั เรียนแตละคูสํารวจกราฟของฟงกชนั ไซนโดย 1) คลิกเลือก sin 2) คลิกลากจุดสีสมบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 1, 0 ไปถึงจุด 0, 1 พรอมพิจารณาวากราฟที่ไดมีลกั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไี่ ดเปนเสนโคงท่ีลากขนึ้ จาก y 0 ไปถงึ y 1 ที่ x 2 3) คลิกลากจุดสีสมบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 0, 1 ไปถึงจุด 1, 0 พรอมพจิ ารณาวากราฟท่ไี ดมีลกั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไ่ี ดเปนเสนโคงที่ลากลงจาก y 1 ไปถงึ y 0 ท่ี x 4) คลิกลากจดุ สสี มบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 1, 0 ไปถึงจุด 0, 1 พรอมพจิ ารณาวากราฟท่ีไดมีลกั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไ่ี ดเปนเสนโคงที่ลากลงจาก y 0 ไปถงึ y 1 ที่ x 3 2 5) คลกิ ลากจุดสสี มบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 0, 1 ไปถึงจุด 1, 0 พรอมพจิ ารณาวากราฟที่ไดมลี กั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทีไ่ ดเปนเสนโคงที่ลากขึน้ จาก y 1 ไปถึง y 0 ท่ี x 2 3. จากกราฟที่ไดในขอ 2 ครูใหนักเรียนแตละกลุมพจิ ารณาวา • ความสัมพันธของจุดสีสมทเ่ี ลอ่ื นไปบนวงกลมกบั กราฟท่ีไดเปนอยางไร แนวคาตอบ เม่ือจุดสีสมเล่ือนไปบนวงกลมจากจุด 1, 0 ไปในจตุ าคที่ 1 กราฟท่ีไดเปนเสน โคงทล่ี ากขน้ึ จาก y 0 และไปถึง y 1 ที่ x 2 เมื่อจดุ สีสมเลอื่ นไปถึงจุด 0, 1 เม่ือจุดสีสมเลื่อนไปบนวงกลมจากจุด 0, 1 ไปในจตุ าคท่ี 2 กราฟท่ีไดเปนเสน โคงที่ลากลงจาก y 1 และไปถึง y 0 ท่ี x เม่ือจุดสีสมเลอื่ นไปถึงจุด 1, 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 24 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เมื่อจุดสีสมเล่ือนไปบนวงกลมจากจุด 1, 0 ไปในจตุ าคที่ 3 กราฟที่ไดเปน เสนโคงทีล่ ากขนึ้ จาก y 0 และไปถงึ y 1 ท่ี x 3 เมื่อจุดสสี มเลื่อนไปถึงจุด 2 0, 1 เม่ือจุดสีสมเล่ือนไปบนวงกลมจากจุด 0, 1 ไปในจตุ าคที่ 4 กราฟท่ีไดเปน เสนโคงทีล่ ากลงจาก y 1 และไปถึง y 0 ที่ x 2 เมื่อจุดสีสมเล่ือนไปถึงจุด 1, 0 • โดเมนและเรนจของ y sin x ที่พิจารณาไดจากกราฟเปนอยางไร แนวคาตอบ โดเมนเปน 0, 2 และเรนจเปน 1, 1 4. ครใู หนักเรยี นแตละคูลบรอยกราฟของ y sin x โดยคลิกเลือก sin อกี คร้ัง 5. ครใู หนกั เรียนแตละคสู ํารวจกราฟของฟงกชนั โคไซนโดย 1) คลกิ เลือก cos 2) คลิกลากจุดสีสมบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 1, 0 ไปถึงจุด 0, 1 พรอมพจิ ารณาวากราฟท่ไี ดมีลกั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟท่ีไดเปนเสนโคงทลี่ ากลงจาก y 1 ไปถึง y 0 ที่ x 2 3) คลิกลากจุดสีสมบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 0, 1 ไปถึงจุด 1, 0 พรอมพจิ ารณาวากราฟที่ไดมีลักษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไ่ี ดเปนเสนโคงทีล่ ากลงจาก y 0 ไปถึง y 1 ที่ x 4) คลิกลากจดุ สสี มบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 1, 0 ไปถึงจุด 0, 1 พรอมพจิ ารณาวากราฟท่ไี ดมลี ักษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไ่ี ดเปนเสนโคงท่ีลากข้นึ จาก y 1 ไปถึง y 0 ที่ x 3 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 25 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 5) คลกิ ลากจุดสีสมบนเสนรอบวงไปในทิศทางทวนเขมนา ิกาจากจุด 0, 1 ไปถึงจุด 1, 0 พรอมพจิ ารณาวากราฟทไ่ี ดมีลกั ษณะอยางไร แนวคาตอบ กราฟทไี่ ดเปนเสนโคงทล่ี ากขน้ึ จาก y 0 ไปถงึ y 1 ที่ x 2 6. จากกราฟท่ไี ดในขอ 2 ครใู หนักเรียนแตละกลมุ พิจารณาวา • ความสมั พันธของจดุ สีสมท่ีเลือ่ นไปบนวงกลมกับกราฟที่ไดเปนอยางไร แนวคาตอบ เม่ือจุดสีสมเลื่อนไปบนวงกลมจากจุด 1, 0 ไปในจตุ าคท่ี 1 กราฟที่ไดเปนเสน โคงที่ลากลงจาก y 1 และไปถงึ y 0 ที่ x 2 เมือ่ จดุ สีสมเลอ่ื นไปถึงจดุ 0, 1 เม่ือจุดสีสมเลื่อนไปบนวงกลมจากจุด 0, 1 ไปในจตุ าคที่ 2 กราฟที่ไดเปนเสน โคงที่ลากลงจาก y 0 และไปถึง y 1 ที่ x เมื่อจุดสีสมเลื่อนไปถึงจุด 1, 0 เม่ือจุดสีสมเลื่อนไปบนวงกลมจากจุด 1, 0 ไปในจตุ าคท่ี 3 กราฟที่ไดเปน เสนโคงทลี่ ากข้นึ จาก y 1 และไปถงึ y 0 ท่ี x 3 เมื่อจดุ สสี มเลอื่ นไปถึงจุด 2 0, 1 เมื่อจุดสีสมเล่ือนไปบนวงกลมจากจุด 0, 1 ไปในจตุ าคที่ 4 กราฟท่ีไดเปน เสนโคงที่ลากขึ้นจาก y 0 และไปถึง y 1 ที่ x 2 เม่ือจุดสีสมเลื่อนไปถึงจุด 1, 0 • โดเมนและเรนจของ y sin x ทพี่ ิจารณาไดจากกราฟเปนอยางไร แนวคาตอบ โดเมนเปน 0, 2 และเรนจเปน 1, 1 7. ครูและนกั เรยี นรวมกันอ ิปรายเก่ียวกับผลที่ไดจากการสํารวจขอ 3 – 6 หมายเหตุ • เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรสรุปเกี่ยวกับกราฟ โดเมน และเรนจของฟงกชันไซนและ โคไซน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 26 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 กจิ กรรม : กราฟ องฟงกชัน น จดุ มงุ หมาย องกจิ กรรม กิจกรรมน้ีใชเพ่ือเสริมความเขาใจของนักเรียนเก่ียวกับกราฟของ y asin nx เม่ือ a, n และ x เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของกราฟเม่ือ a และ n เปลย่ี นแปลงไป แนวทางการดาเนนิ กิจกรรม 1. ครูจับคูนกั เรียนแบบคละความสามารถ จากนัน้ เปดเวบไซต ipst.me/10307 2. ครใู หนักเรยี นแตละคูสาํ รวจกราฟของ y asin nx โดย 1) กําหนดปุมบนสไลเดอร a เปน 1 และคลิกลากปุมบนสไลเดอร n แลวพิจารณาวา ลักษณะของกราฟ y asin nx เปนอยางไร เม่ือ n มคี าเปลย่ี นแปลงไป แนวคาตอบ เม่ือ n มากขึ้น กราฟของ y asin nx จะมีคาบนอยลง แตเม่ือ n นอยลง กราฟของ y asin nx จะมีคาบมากขึน้ 2) กําหนดปุมบนสไลเดอร n เปนคาใดคาหนึ่ง และคลิกลากปุมบนสไลเดอร a แลว พิจารณาวาลกั ษณะของกราฟ y asin nx เปนอยางไร เมือ่ a มีคาเปล่ียนแปลงไป แนวคาตอบ เมื่อ a มากขึ้น กราฟของ y asin nx จะมีแอมพลิจูดมากข้ึน แตเมื่อ a นอยลง กราฟของ y asin nx จะมแี อมพลจิ ูดลดลง 3. ครูและนักเรยี นรวมกนั อ ิปรายเกยี่ วกับคําตอบที่ไดในขอ 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 27 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 กจิ กรรม : กราฟ องฟงกชนั โค น จดุ มงุ หมาย องกิจกรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือเสริมความเขาใจของนักเรียนเก่ียวกับกราฟของ y acos nx เม่ือ a, n และ x เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของกราฟเมื่อ a และ n เปลย่ี นแปลงไป แนวทางการดาเนนิ กจิ กรรม 1. ครจู บั คนู ักเรยี นแบบคละความสามารถ จากน้ันเปดเวบไซต ipst.me/10306 2. ครใู หนกั เรียนแตละคูสาํ รวจกราฟของ y acos nx โดย 1) กําหนดปุมบนสไลเดอร a เปน 1 และคลิกลากปุมบนสไลเดอร n แลวพิจารณาวา ลักษณะของกราฟ y acos nx เปนอยางไร เมื่อ n มคี าเปล่ยี นแปลงไป แนวคาตอบ เมื่อ n มากข้ึน กราฟของ y acos nx จะมีคาบนอยลง แตเม่ือ n นอยลง กราฟของ y acos nx จะมีคาบมากขน้ึ 2) กําหนดปุมบนสไลเดอร n เปนคาใดคาหน่ึง และคลิกลากปุมบนสไลเดอร a แลว พิจารณาวาลกั ษณะของกราฟ y acos nx เปนอยางไร เม่ือ a มคี าเปล่ยี นแปลงไป แนวคาตอบ เมื่อ a มากขึ้น กราฟของ y acos nx จะมีแอมพลิจูดมากข้ึน แตเมื่อ a นอยลง กราฟของ y acos nx จะมีแอมพลิจดู ลดลง 3. ครูและนกั เรียนรวมกันอ ิปรายเกย่ี วกบั คาํ ตอบทไี่ ดในขอ 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 28 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ องผลบวกและผลตาง องจานวนจริงหรอื มุม ประเดนสาคั เกี่ยวกบั เน้อื หาและสิง่ ทีค่ วรตระหนกั เกยี่ วกับการสอน • ในการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติควรระมัดระวังการเลือกใชเอกลักษณ เชน ในตัวอยางท่ี 29 จะเหนวาใชเอกลักษณ tan sin ในการแสดงวา tan 2 cot แทนที่จะ cos ใชเอกลักษณ tan tan tan เนือ่ งจาก tan 2 หาคาไมได 1 tan tan • ในการหาคาของฟงกชนั ตรีโกณมิตทิ ี่กาํ หนด อาจใชเอกลักษณทแ่ี ตกตางจากท่ีนําเสนอเชน จากตัวอยางที่ 31 สามารถแสดงการหาคําตอบท่ีแตกตางจากในหนังสือเรียนรายวิชา เพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 ไดดังน้ี cos 75o sin 525o = cos 45o 30o sin 360o 165o = cos 45o 30o sin165o = cos 45o 30o sin 180o 15o = cos 45o 30o sin15o = cos 45o 30o sin 45o 30o = cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o = 2 3 21 2 3 21 2 2 22 2 2 22 = 23 2 22 21 22 = 6 22 4 =2 3 4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 29 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 ประเดนสาคั เกี่ยวกบั แบบ กหดั • นักเรียนอาจใชเอกลักษณที่แตกตางกันในการพิสูจนและหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติใน แบบ กหดั 1.5 • การหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติในแบบ กหัด 1.5 ขอ 6 จากที่โจทยกําหนด cos x 3 และ 5 tan y 5 นั้น ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนพิจารณาเงื่อนไขท่ีโจทยกําหนดวา x 12 2 และ y 2 เสมอ 2 ตัวผกผัน องฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ กจิ กรรม : ฟงกชันผกผนั องฟงกชนั น จุดมุงหมาย องกิจกรรม กจิ กรรมนี้ใชเพอื่ เสริมความเขาใจของนักเรยี นเก่ยี วกับฟงกชันผกผันของฟงกชันไซน แนวทางการดาเนนิ กิจกรรม 1. ครูทบทวนความรูของนกั เรยี นเก่ยี วกับกราฟของตวั ผกผันของฟงกชนั 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมเขียนกราฟของ y sin x และกราฟของตัวผกผันของ y sin x จากน้ันพจิ ารณาวาตวั ผกผนั ของ y sin x เปนฟงกชันหรอื ไม แนวคาตอบ เขยี นกราฟของ y sin x และกราฟของตวั ผกผันของฟงกชนั ดังกลาวไดดังนี้ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 30 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จากกราฟ จะเหนวาตวั ผกผนั ของ y sin x ไมเปนฟงกชนั 3. จากกราฟของตัวผกผันของ y sin x ท่ีไดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาหาโดเมนซ่ึงเปน ชวงที่กวางที่สดุ ทีท่ าํ ใหตัวผกผนั ดังกลาวเปนฟงกชนั ผกผัน แนวคาตอบ คําตอบของนักเรียนอาจมีไดหลายคําตอบ เชน 2, 2 , 2 , 3 ซ่ึงสําหรับชวง 2 เหลานี้ เมื่อลากเสนขนานกับแกน Y แลวไมมีเสนขนานกับแกน Y เสนใดตัดกราฟของ ตวั ผกผนั ของ y sin x มากกวา 1 จุด 4. ครูและนักเรียนรวมกันอ ิปรายเก่ียวกับคําตอบที่ไดในขอ 2 และ 3 จากน้ันครูบอก ขอตกลงกับนักเรียนวา ในที่นี้จะกําหนดโดเมนของฟงกชันผกผันของฟงกชันไซน คือ 2, 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 31 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 ประเดนสาคั เกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน • การหาคาของ arcsine และ arccosine บางคา สามารถใชกราฟของ sine และ cosine ชวยในการหาคําตอบได เชน ในตัวอยางที่ 37 และ 40 มีแนวทางการใชกราฟชวยหา คาํ ตอบ ดงั น้ี ตวั อยางท่ี 37 จงหาคาของ arcsin 1 จะได sin x 1 วธิ ีทา ให arcsin 1 x เมอ่ื 2 x 2 พจิ ารณากราฟ y sin x ดังนี้ จากกราฟจะไดวา มี x เพียงคาเดยี วที่ sin x 1 ดงั น้ัน arcsin 1 2 2 ตวั อยางท่ี 40 จงหาคาของ arccos 0 จะได cos x 0 วธิ ีทา ให arccos 0 x เม่ือ 0 พิจารณากราฟ y cos x ดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 32 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จากกราฟจะไดวา มี x เพียงคาเดียวที่ cos 0 2 ดงั น้นั arccos 0 2 • ครคู วรเนนยํ้าเก่ียวกับโดเมนและเรนจของฟงกชันผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติตามบทนิยาม 2 – 4 เนือ่ งจากมผี ลตอการพจิ ารณาคาํ ตอบที่ได ดงั แสดงในตวั อยางท่ี 37 – 47 ความเ า จคลาดเคล่อื น นักเรียนมักเขาใจผิดวา arcsin sin x x และ arccos cos x x เสมอ โดยไมไดพิจารณา โดเมนของฟงกชัน arcsine และ arccosine เชน นักเรียนอาจเขาใจวา arcsin sin5 5 ซ่ึงเปนความเขาใจที่ไมถูกตอง เนื่องจาก arcsin sin5 2 , 2 ดังน้ัน ในการแกปญหา จะตองพจิ ารณากอนวาคาของ sin5 เปนเทาไร ซึง่ จะไดวา arcsin sin5 arcsin 0 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 33 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 เอกลักษณและสมการตรโี กณมิติ ประเดนสาคั เกยี่ วกบั เนอ้ื หาและส่ิงทค่ี วรตระหนักเก่ยี วกับการสอน • เอกลกั ษณท่ีไดพสิ ูจนแลวในหนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 สามารถนําไปอางอิงในการพิสูจนเอกลักษณอื่น ๆ ได เชน สามารถใชเอกลักษณ sin2 cos2 = 1 ในการพิสจู น 1 cot2 = cosec2 ไดดังน้ี จากเอกลกั ษณ sin2 cos2 = 1 นาํ sin2 ไปหารทง้ั สองขางของสมการ จะได sin2 cos2 = 1 sin 2 sin 2 sin2 cos2 = 1 sin2 sin2 sin 2 1 cot2 = cosec2 • การสอนการพิสูจนเอกลักษณ ครูควรเริ่มตนจากการยกตัวอยางการพิสูจนอยางงายกอน แลวจงึ คอยยกตัวอยางทซี่ ับซอนขน้ึ • การพิสูจนเอกลักษณโดยท่ัว ๆ ไปไมมีกฎเกณ ที่แนนอนตายตัว เพียงแตพยายามใช เอกลกั ษณท่ีพสิ จู นแลวแสดงใหเหนวาจํานวนทางซายและจํานวนทางขวาของเครื่องหมาย เทากับนั้นเทากันจริงสําหรับทุกสมาชิกในโดเมนของฟงกชันท้ังหมดในสมการ การพิสูจน เอกลักษณอาจเร่ิมทําจากนิพจนที่อยูทางซายของเครื่องหมายเทากับใหเหมือนกับนิพจนที่ อยทู างขวาของเครือ่ งหมายเทากับ หรือทําในทิศทางตรงขาม หรืออาจจะทําจากนิพจนที่อยู แตละขางของเครื่องหมายเทากับในสมการใหผลสุดทายเปนนิพจนเดียวกัน สําหรับบาง เอกลักษณการทําจากนิพจนที่อยูแตละขางของเคร่ืองหมายเทากับในสมการใหผลสุดทาย เปนนพิ จนเดยี วกันจะสะดวกกวาการทําจากนพิ จนขางใดขางหน่ึงใหเหมือนกับนิพจนอีกขาง หน่ึงดงั ตัวอยางตอไปนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 34 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จงพสิ จู น tan sin2 cot cos2 2sin cos cot tan tan sin2 cot cos2 2sin cos = sin sin2 cos cos2 2sin cos cos sin = sin3 cos3 2sin cos cos sin = sin4 cos4 2sin2 cos2 sin cos sin2 cos2 sin2 cos2 = sin cos =1 sin cos cot tan = cos sin sin cos ดงั นน้ั = cos2 sin2 2sin cos cot tan = tan sin2 sin cos 1 sin cos cot cos2 • โดยท่ัวไปฟงกชันตรีโกณมิติไมเปนฟงกชัน 1–1 คาของฟงกชันตรีโกณมิติของจํานวนจริง หรือมุมใด ๆ อาจซ้ํากันได ดังน้ัน ในการแกสมการตรีโกณมิติ หากโจทยไมไดกําหนดให คาํ ตอบอยใู นชวงใดชวงหน่งึ แลว คําตอบควรจะอยูในรูปของคาท่ัวไป ดังตัวอยางที่ 55, 56 และ 58 นอกจากน้ีในตัวอยางขางตนอาจใชกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติชวยในการ พิจารณาคาํ ตอบในรูปท่วั ไปของสมการตรโี กณมิติได สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 35 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 ความเ า จคลาดเคล่อื น นักเรียนอาจเขาใจผิดวา ถาไมสามารถหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติโดยใชเอกลักษณของ ฟงกชนั ตรีโกณมิติบางเอกลักษณ แลวจะหมายความวา ฟงกชันตรโี กณมิตินั้นไมสามารถหาคา ได เชน นักเรียนอาจเขาใจวา tan 24 หาคาไมได เพราะไมสามารถใชเอกลักษณ tan tan tan ได ซงึ่ เปนความเขาใจที่ไมถูกตอง เน่ืองจากการหาคาของฟงกชัน 1 tan tan ตรโี กณมติ ิดงั กลาวสามารถทาํ ไดโดยใชวิธีอืน่ เชน tan 2 4 tan 4 1 ก องโค นและก อง น ประเดนสาคั เก่ยี วกับเน้ือหาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนกั เก่ยี วกับการสอน • การใชกฎของไซนหาขนาดของมุม ายในของรูปสามเหล่ียมในกรณีที่โจทยกําหนดความยาว ดาน 2 ดาน และขนาดของมุม 1 มุม (ท่ีไมไดอยูระหวางดานทั้งสอง) มาให สามารถเขียนรูป สามเหลยี่ ม ABC ไดเปน 2 กรณี ดังแสดงในรปู ท่ี 1 และ 2 CC b a b BA a A B รูปที่ 1 รปู ที่ 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 36 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 จากรูปที่ 1 และ 2 จะเหนวา มุม B อาจเปนมุมแหลมหรือมุมปานกได ซึ่งเปนในทํานอง เดียวกับตัวอยางที่ 61 แตสําหรับตัวอยางที่ 62 นั้น สามารถใชความรูเกี่ยวกับผลรวมของ ขนาดของมุม ายในรูปสามเหล่ียมเพื่อตรวจสอบได ซึ่งจะทําใหไดวามุม B ตองเปนมุมแหลม เทานัน้ • กฎของโคไซนจะสอดคลองกับทฤษฎีบทของพีทาโกรัสเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นเปนรูป สามเหลย่ี มมุมฉาก เชนรูปสามเหล่ยี ม ABC ดังรปู C a b Ac B โดยกฎของโคไซน จะไดวา a2 b2 c2 2bccos A เนอื่ งจาก cos A cos90o 0 จะได a2 b2 c2 การหาระยะทางและความสูง ประเดนสาคั เก่ียวกับเนอ้ื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน • ในการแกปญหาเกยี่ วกับการหาระยะทางและความสูง ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนเขียน าพ แสดงสถานการณที่โจทยกําหนด และใหระมัดระวังกรณีท่ีโจทยระบุความสูงของผูสังเกต ซ่ึง จะมีผลตอการหาคําตอบการกําหนดมุมกมหรือมุมเงยซ่ึงเปนมุมที่เกิดจากแนวเสนระดับ สายตา เชน ตัวอยางท่ี 63 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 37 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 1.3 แนวทางการจดั กจิ กรรม นหนังสอื เรียน กิจกรรม : สูงเทา ด ห ูกก หมาย ในการกอสรางอาคารสูงจะตองอยู ายใตขอบังคับของกฎกระทรวง ฉบับท่ี 55 (พ ศ 2543) ออก ตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 โดยขอ 41 และ 44 วาดวยเร่ืองการ กําหนดแนวอาคารและระยะตาง ๆ ของอาคาร ระบไุ วดงั น้ี อ 41 อาคารท่ีกอสรางหรือดัดแปลงใกลถนนสาธารณะที่มีความกวางนอยกวา 6 เมตร ใหรน แนวอาคารหางจากกง่ึ กลางถนนสาธารณะอยางนอย 3 เมตร อาคารที่สูงเกินสองชั้น หรือเกิน 8 เมตร หองแถว ตึกแถว บานแถว อาคารพาณิชย โรงงาน อาคารสาธารณะ ปาย หรือสิ่งที่สรางขึ้นสําหรับติดหรือต้ังปาย หรือคลังสินคา ท่ีกอสรางหรือ ดดั แปลงใกลถนนสาธารณะ (1) ถาถนนสาธารณะนั้นมีความกวางนอยกวา 10 เมตร ใหรนแนวอาคารหางจากก่ึงกลางถนน สาธารณะอยางนอย 6 เมตร (2) ถาถนนสาธารณะนั้นมีความกวางต้ังแต 10 เมตรข้ึนไป แตไมเกิน 20 เมตร ใหรนแนวอาคาร หางจากเขตถนนสาธารณะอยางนอย 1 ใน 10 ของความกวางของถนนสาธารณะ (3) ถาถนนสาธารณะน้ันมีความกวางเกิน 20 เมตรขึ้นไป ใหรนแนวอาคารหางจากเขต สาธารณะอยางนอย 2 เมตร อ 44 ความสูงของอาคารไมวาจากจุดหน่ึงจุดใด ตองไมเกินสองเทาของระยะราบ วัดจากจุดนั้น ไปตงั้ ฉากกับแนวเขตดานตรงขามของถนนสาธารณะทอ่ี ยูใกลอาคารนั้นที่สุด ความสูงของอาคารใหวัดแนวด่ิงจากระดับถนนหรือระดับพ้ืนดินท่ีกอสรางข้ึนไปถึงสวนของ อาคารท่สี งู ท่สี ดุ สาํ หรบั อาคารทรงจ่ัวหรอื ปนหยาใหวดั ถงึ ยอดผนงั ของช้นั สงู สดุ น้ั ตอนการป บิ ัติ 1. ถาตองการสรางอาคารบนที่ดินซึ่งอยูติดถนนสาธารณะที่กวาง 8 เมตร จะตองรนแนวอาคาร หางจากเขตถนนเทาใดจึงจะใกลถนนสาธารณะที่สุดและเปนไปตามกฎกระทรวง ฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 41 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 38 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 2. ถาตองการสรางอาคารบนที่ดินซ่ึงอยูติดถนนสาธารณะท่ีกวาง 8 เมตร ใหใกลถนนสาธารณะ ท่ีสุดและเปนไปตามกฎกระทรวง ฉบับท่ี 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติ ควบคมุ อาคาร พ ศ 2522 ขอ 44 จะสรางอาคารที่มีความสูงไดมากท่สี ดุ เทาใด 3. สมมติวาอาคารแหงหนึ่งรนแนวอาคารหางจากถนนสาธารณะที่กวาง 8 เมตร เปนระยะทาง ตามขอ 1 และมีความสูงตามขอ 2 ถาตองการถาย าพปายซ่ึงอยูตํ่ากวาสวนท่ีสูงที่สุดของ อาคารเปนระยะ 2 เมตร โดยต้ังขาตั้งกลองท่ีมีความสูง 1.2 เมตร เพ่ือถาย าพจากทางเทา ของถนน งตรงขามของอาคาร จะตองตั้งกลองถาย าพใหทํามมุ เงยก่อี งศา 4. ถาตองการสรางอาคารบนท่ีดินซึ่งอยูติดถนนสาธารณะที่กวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 จะตองรนแนวอาคารหางจากเขตถนนเทาใดจึงจะใกลถนนสาธารณะที่สุดและเปนไปตาม กฎกระทรวง ฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 41 5. ถาตองการสรางอาคารบนท่ีดินซึ่งอยูติดถนนสาธารณะท่ีกวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 ใหใกลถนนสาธารณะที่สุดและเปนไปตามกฎกระทรวง ฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออก ตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 44 จะสรางอาคารท่ีมีความสูง ไดมากทสี่ ุดเทาใด 6. สมมติวาอาคารแหงหน่ึงรนแนวอาคารหางจากถนนสาธารณะที่กวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 เปนระยะทางตามขอ 4 และมีความสูงตามขอ 5 ถาตองการถาย าพปาย ซึ่งอยูต่ํากวาสวนท่ีสูงที่สุดของอาคารเปนระยะ 2 เมตร โดยตั้งขาตั้งกลองที่มีความสูง 1.2 เมตร เพ่ือถาย าพจากทางเทาของถนน งตรงขามของอาคาร จะตองตั้งกลองถาย าพ ใหทาํ มมุ เงยกี่องศา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 39 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เ ลยกิจกรรม : การกอสรางอาคารสูง 1. เนื่องจาก การสรางอาคารบนที่ดินซึ่งอยูติดถนนสาธารณะที่กวาง 8 เมตร ตามกฎกระทรวง ฉบับท่ี 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 41 (1) จะตองรนแนวอาคารหางจากกงึ่ กลางถนนสาธารณะอยางนอย 6 เมตร จะได รปู แสดงสถานการณทโี่ จทยกําหนดใหเปนดงั น้ี จากรูป จะเหนวาระยะจากก่ึงกลางถนนสาธารณะถึงแนวเขตถนนสาธารณะที่อยู งเดียวกับ อาคาร คือ 4 เมตร แตตองรนแนวอาคารหางจากก่ึงกลางถนนสาธารณะอยางนอย 6 เมตร ดงั นั้น ตองรนแนวอาคารหางจากเขตถนน 2 เมตร จงึ จะใกลถนนสาธารณะทส่ี ุด 2. เนอื่ งจาก อาคารตัง้ อยบู นทีด่ ินซึ่งอยูติดถนนสาธารณะท่ีกวาง 8 เมตร จึงตองพิจารณาเงื่อนไข การรนแนวอาคารตามความกวางของถนนสาธารณะในขอ 1 ดวย และเนอ่ื งจาก การสรางอาคารบนท่ดี ินซ่งึ อยูติดถนนสาธารณะท่ีกวาง 8 เมตร ใหใกลถนน สาธารณะที่สุดและเปนไปตามกฎกระทรวง ฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออกตามความใน พระราชบัญญัตคิ วบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 44 นั้น ความสูงของอาคารไมวาจากจุดหนึ่ง จุดใด ตองไมเกินสองเทาของระยะราบ วัดจากจุดนั้นไปต้ังฉากกับแนวเขตดานตรงขามของ ถนนสาธารณะที่อยูใกลอาคารนัน้ ท่สี ุด จะได รปู แสดงสถานการณโจทยกําหนดใหเปนดงั น้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 40 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จากรปู จะเหนวาระยะราบ วัดจากแนวอาคารไปตั้งฉากกับแนวเขตดานตรงขามของถนน สาธารณะทอ่ี ยูใกลอาคารน้ันท่ีสุดเปนระยะ 2 + 8 = 10 เมตร แตความสูงของอาคารไมวา จากจดุ หนึ่งจุดใด ตองไมเกินสองเทาของระยะราบ ดงั นัน้ จะสรางอาคารที่มีความสงู ไดมากทีส่ ดุ 2 10 20 เมตร 3. เขียนรูปแสดงสถานการณท่ีกําหนดใหไดดังนี้ ใหกลองถาย าพทาํ มมุ เงย องศา และ ABC เปนรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ดังรปู จะไดวา tan BC 20 2 1.2 1.68 AB 10 นั่นคือ 59.24o ดังนน้ั จะตองต้งั กลองถาย าพใหทํามุมเงยประมาณ 59.24 องศา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 41 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 4. เน่ืองจาก การสรางอาคารบนท่ีดินซ่ึงอยูติดถนนสาธารณะท่ีกวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 ตามกฎกระทรวงฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติ ควบคุมอาคาร พ ศ 2522 ขอ 41 (2) จะตองรนแนวอาคารหางเขตถนนสาธารณะอยางนอย 1 ใน 10 ของความกวางของถนนสาธารณะ จะได รูปแสดงสถานการณทโ่ี จทยกําหนดใหเปนดังนี้ เนอื่ งจาก ถนนกวาง x เมตร และตองรนแนวอาคารหางเขตถนนสาธารณะอยางนอย 1 ใน 10 ของความกวางของถนนสาธารณะ ดงั น้ัน ตองรนแนวอาคารหางจากเขตถนน x เมตร จงึ จะใกลถนนสาธารณะท่ีสุด 10 5. เน่ืองจาก อาคารตงั้ อยูบนท่ีดินซึง่ อยตู ดิ ถนนสาธารณะท่ีกวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 จงึ ตองพิจารณาเงื่อนไขการรนแนวอาคารตามความกวางของถนนสาธารณะในขอ 4 ดวย และเนื่องจาก การสรางอาคารบนท่ีดินซ่ึงอยูติดถนนสาธารณะดังกลาว ใหใกลถนน สาธารณะที่สุดและเปนไปตามกฎกระทรวง ฉบับที่ 55 (พ ศ 2543) ออกตามความใน พระราชบญั ญัตคิ วบคมุ อาคาร พ ศ 2522 ขอ 44 น้นั ความสงู ของอาคารไมวาจากจุดหนึ่ง จุดใด ตองไมเกินสองเทาของระยะราบ วัดจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับแนวเขตดานตรงขาม ของถนนสาธารณะท่อี ยใู กลอาคารนัน้ ทส่ี ดุ จะได รปู แสดงสถานการณโจทยกาํ หนดใหเปนดังน้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมิติ 42 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 x เมตร จากรูป จะเหนวาระยะในแนวราบ วัดจากแนวอาคารไปต้ังฉากกับแนวเขตดานตรงขามของ ถนนสาธารณะที่อยูใกลอาคารนั้นท่ีสุดเปนระยะ x x 11x เมตร แตความสูงของ 10 10 อาคารไมวาจากจุดหนึ่งจุดใด ตองไมเกนิ สองเทาของระยะในแนวราบ ดงั นนั้ จะสรางอาคารที่มีความสงู ไดมากท่ีสดุ 2 11x 2.2x เมตร 10 6. เขียนรปู แสดงสถานการณที่กาํ หนดใหไดดังน้ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 43 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ใหกลองถาย าพทํามมุ เงย องศา และ ABC เปนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ดงั รูป จะไดวา tan BC 2.2x 2 1.2 2 32 AB 1.1x 11x น่นั คอื arctan 2 32 เรเดียน 11x ดงั น้ัน จะตองต้ังกลองถาย าพใหทาํ มมุ เงยประมาณ arctan 2 32 เรเดียน 11x สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 44 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 แนวทางการจดั กิจกรรม : การกอสรางอาคารสงู เวลาในการจดั กจิ กรรม 50 นาที กจิ กรรมนี้เสนอไวใหนกั เรียนใชความรู เรือ่ ง ฟงกชันตรีโกณมติ ิ เพอื่ แกปญหาในสถานการณท่ี กําหนดให โดยกิจกรรมนีม้ สี ือ่ /แหลงการเรยี นรู และขั้นตอนการดาํ เนินกจิ กรรม ดังน้ี สอ่ื /แหลงการเรยี นรู 1. ใบกจิ กรรม “การกอสรางอาคารสงู ” 2. เคร่อื งคํานวณ ัน้ ตอนการดาเนินกจิ กรรม 1. ครูแบงนักเรียนเปนกลุม กลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นแจกใบกิจกรรม การกอสรางอาคารสูงใหกับนักเรียนทุกคน แลวใหนักเรยี นศึกษาสถานการณปญหา 2. ครูควรนําอ ิปรายเกี่ยวกับความหมายของขอบังคับของกฎกระทรวง ฉบับท่ี 55 (พ ศ 2543) ออกตามความในพระราชบัญญัติควบคุมอาคาร พ ศ 2522 โดยขอ 41 และ 44 วา ดวยเร่ืองการกําหนดแนวอาคารและระยะตาง ๆ ของอาคาร เพื่อใหนักเรียนทุกคนเขาใจ ตรงกันโดยการเขยี นรูปประกอบการอธบิ าย 3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันตอบคําถามที่ปราก ในขั้นตอนการป ิบัติขอ 1 – 3 ใน ใบกิจกรรม ท้ังน้ีครูควรชี้แนะใหนักเรียนแตละกลุมพิจารณาเง่ือนไขท่ีกําหนดไวในแตละขอ พรอมท้ังสนับสนุนใหนักเรียนวาดรูปประกอบการพิจารณาในแตละขอ 4. ครแู ละนักเรยี นรวมกนั อ ปิ รายเก่ียวกบั คําตอบท่ไี ดในข้ันตอนการป บิ ัติขอ 1 – 3 5. ครูใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันตอบคําถามท่ีปราก ในข้ันตอนการป ิบัติขอ 4 – 6 ใน ใบกจิ กรรม ทงั้ นี้ ครูควรช้ีแนะใหนักเรียนสังเกตวาจากสถานการณที่กําหนดตองพิจารณา เงื่อนไขใดบาง ซง่ึ นกั เรยี นควรบอกไดวาตองพจิ ารณาความกวางของถนนสาธารณะท่ีกวาง x เมตร โดยที่ 10 x 20 นอกจากนี้ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนวาดรูปประกอบการ พจิ ารณาในแตละขอ 6. ครูและนักเรยี นรวมกันอ ปิ รายเก่ยี วกับคําตอบทไ่ี ดในขน้ั ตอนการป ิบตั ิขอ 4 – 6 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 45 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 1.4 การวัดผลประเมนิ ผลระหวางเรยี น การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพื่อปรับปรุงการเรียนรูและพั นาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียน ทําแบบ กหัดเปนแนวทางหน่ึงที่ครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของนักเรียน ซึง่ หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ไดนําเสนอแบบ กหัดท่ี ครอบคลมุ เน้อื หาทีส่ ําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ ครูอาจใชแบบ กหัด เพือ่ วดั ผลประเมนิ ผลความรูในแตละเนอ้ื หาไดดงั นี้ เนือ้ หา แบบ กหดั ฟงกชันตรีโกณมิตขิ องจาํ นวนจรงิ ใด ๆ 1.1 ขอ 1 – 10 1.2 ขอ 1 – 10 ฟงกชันตรีโกณมิติของมุมและฟงกชันตรีโกณมิติของมุมของ 1.3 ขอ 1 – 11, 13 รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก การแกปญหาโดยใชฟงกชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุม 1.3 ขอ 12, 14 – 15 กราฟของฟงกชนั ตรีโกณมิติ 1.4 ขอ 1 – 2 ฟงกชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตางของจาํ นวนจริงหรือมุม 1.5 ขอ 1 – 7 ตวั ผกผันของฟงกชนั ตรีโกณมิติ 1.6 ขอ 1 – 3 การประยกุ ตของตวั ผกผันของฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 1.6 ขอ 4 การพิสูจนเอกลกั ษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1.7.1 ขอ 1 – 3 การแกสมการตรีโกณมิติ 1.7.2 ขอ 1 – 3 การแกปญหาโดยใชกฎของไซนและกฎของโคไซน 1.8 ขอ 1 – 7 การแกปญหาเก่ียวกับระยะทางและความสูงโดยใชความรู 1.9 ขอ 1 – 11 เรื่อง ฟงกชนั ตรีโกณมิติ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 46 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 1.5 การวิเคราะหแบบ กหัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 มีจุดมุงหมายวาเม่ือ นักเรียนไดเรียนจบบทที่ 1 ฟงกชันตรโี กณมติ ิ แลวนกั เรียนสามารถ 1. หาคาของฟงกชันตรีโกณมิติ 2. หาคาบ แอมพลิจดู เรนจ และเขยี นกราฟของฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 3. ใชฟงกชนั ตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลตางของจาํ นวนจริงหรือมุมในการแกปญหา 4. หาคาของฟงกชันผกผนั ของฟงกชันตรโี กณมติ ิ 5. พสิ จู นเอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 6. แกสมการตรโี กณมติ ิ 7. ใชกฎของโคไซนและกฎของไซนในการแกปญหา 8. ใชความรเู ก่ยี วกับฟงกชนั ตรีโกณมติ ใิ นการแกปญหา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ไดนําเสนอแบบ กหัด ทายบททีป่ ระกอบดวยโจทยเพอื่ ตรวจสอบความรูหลงั เรยี น โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความ เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย นอกจากนี้มีโจทย กทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครอู าจเลือกใชแบบ กหดั ทายบทวดั ความรคู วามเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานกั เรียนมีความสามารถตามจุดมงุ หมายเม่อื เรยี นจบบทเรยี นหรือไม ทงั้ นี้ แบบ กหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 บทที่ 1 ฟงกชนั ตรโี กณมิติ สอดคลองกับจดุ มุงหมายของบทเรียน ดังน้ี จุดมุงหมาย แบบ กหัดทายบท อท่ี 1. หาคาของฟงกชันตรีโกณมิติ 1 1) – 8) 2 1) – 6) 3 4 5 6 1) – 4) สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 47 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จดุ มงุ หมาย แบบ กหดั ทายบท อท่ี 2. หาคาบ แอมพลจิ ดู เรนจ และเขียนกราฟของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 3. ใชฟงกชนั ตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลตางของจํานวนจริงหรือ 12 1) – 2) 13 1) – 6) มมุ ในการแกปญหา 14 1) – 16) 15 4. หาคาของฟงกชนั ผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ 16 5. พสิ ูจนเอกลักษณของฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 17 18 6. แกสมการตรโี กณมติ ิ 20 1) – 12) 23 1) – 4) 7. ใชกฎของโคไซนและกฎของไซนในการแกปญหา 19 1) – 14) 24 1) – 16) 25 1) – 2) 26 1) – 8) 27 1) – 4) 28 1) – 2) 29 1) – 6) 30 31 34 35 36 38 44 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ แบบ กหดั ทายบท อท่ี 48 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 9 จุดมงุ หมาย 10 8. ใชความรเู ก่ียวกบั ฟงกชันตรโี กณมติ ิในการแกปญหา 11 33 โจทยทาทาย 37 39 1) 40 1) – 4) 41 1) – 2) 42 43 1) – 3) 45 1) – 3) 7 8 12 3) – 8) 21 22 25 3) – 4) 32 39 2) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 49 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 1.6 ความรูเพิม่ เติมสาหรบั ครู • เอกลักษณท่นี าํ เสนอในบทนี้ สามารถจัดกลุมไดดังน้ี 1. เอกลักษณพน้ื าน (Fundamental identities) sin =1 เมื่อ cosec 0 cosec cos = 1 เมอื่ sec 0 sec tan = sin 1 เม่ือ cos 0 หรือ cot 0 cos cot 2. เอกลักษณแบบพที าโกรสั (Pythagorean identities) sin2 cos2 = 1 1 tan2 = sec2 1 cot2 = cosec2 3. เอกลักษณของมุมลบ (Negative angle identities) sin = sin cos = cos tan = tan 4. เอกลักษณแบบฟงกชนั รวม (Cofunction identities) sin = cos 2 cos = sin 2 tan 2 = cot 5. เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตาง (Sum and difference identities) sin = sin cos cos sin cos = cos cos sin sin tan = tan tan 1 tan tan สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี