คณิตศาสตร์

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2 คณิตศาสตร์ เลม่ 1 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 5 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 3 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 6 Slide PowerPoint_ส่อื ประกอบการสอน บริษทั อักษรเจริญทศั น์ อจท. จำกัด : 142 ถนนตะนำว เขตพระนคร กรงุ เทพฯ 10200 Aksorn CharoenTat ACT.Co.,Ltd : 142 Tanao Rd. Pranakorn Bangkok 10200 Thailand โทร./แฟกซ์. : 0 2622 2999 (อัตโนมัติ 20 คสู่ ำย) [email protected] / www.aksorn.com

1หน่วยการเรียนร้ทู ี่ อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ตวั ชีว้ ัด • เขำ้ ใจและใชส้ มบัติของกำรไมเ่ ท่ำกนั เพ่ือวเิ ครำะหแ์ ละแก้ไขปัญหำโดยใช้อสมกำรเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว (ค 1.3 ม.3/1)

21 เมตร สระน้าควรมคี วามลกึ 24 เมตร อย่างนอ้ ยก่เี มตร จึงจะทา้ ให้สระนา้ มีความจุ มากกวา่ 1,260 ลกู บาศกเ์ มตร

นิพจน์ ควรรู้กอ่ นเรยี น นิพจน์พชี คณติ นิพจนเ์ ป็นจำนวนทอ่ี ยู่ในรูปคำ่ คงตัวหรือตวั แปร ซง่ึ อย่ใู นรปู กำรดำเนนิ กำรตำ่ ง ๆ เอกนาม นพิ จน์พีชคณิตเป็นนิพจนท์ ปี่ ระกอบไปด้วยคำ่ คงตวั และตัวแปร ซึง่ อยู่ในรปู กำรดำเนินกำรต่ำงๆ พหุนาม เอกนำมเปน็ นิพจน์ที่สำมำรถเขียนให้อยใู่ นรูปกำรคณู ของคำ่ คงตวั กบั ตัวแปรตัง้ แต่ 1 ตวั ข้นึ ไป และเลขชกี้ ำลังของ ตวั แปรแตล่ ะตัวเปน็ ศูนย์หรอื จำนวนเตม็ บวก โดยส่วนทีเ่ ปน็ ค่ำคงตวั เรยี กวำ่ สมั ประสทิ ธ์ขิ องเอกนาม และผลบวก ของเลขช้ีกำลังของตัวแปรแตล่ ะตวั ในเอกนำม เรยี กวำ่ ดีกรีของเอกนาม พหนุ ำมเป็นนิพจนท์ ีอ่ ยใู่ นรูปเอกนำม หรอื เขียนอยู่ในรูปกำรบวกของเอกนำมตง้ั แต่ 2 เอกนำมขน้ึ ไป และดกี รสี ูงสดุ ของพหนุ ำมทอ่ี ยู่ในรูปผลสำเรจ็ ทีไ่ ม่มีพจน์ทคี่ ลำ้ ยกัน เรยี กวำ่ ดีกรขี องพหนุ าม

สมบัติของการเท่ากนั ของจา้ นวนจริง ควรรู้ก่อนเรียน 1) สมบัตสิ มมาตร 2) สมบตั ิถา่ ยทอด ถ้ำ a = b แลว้ b = a ถำ้ a = b และ b = c แล้ว a = c เมอื่ a และ b แทนจำนวนจริงใดๆ เมอ่ื a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ 3) สมบตั ขิ องการเทา่ กนั เกีย่ วกับการบวก 4) สมบัติของการเท่ากนั เก่ียวกับการคูณ ถำ้ a = b แล้ว a + c = b + c ถำ้ a = b แล้ว a × c = b × c เมอื่ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ

ประโยคเกยี่ วกบั จา้ นวนกบั ความสัมพันธท์ ่ปี รากฏ ประโยคเกีย่ วกบั จา้ นวน ความสมั พันธ์ทีป่ รากฏ สำมมำกกวำ่ ลบสอง ควำมสัมพันธ์มากกว่า ฟ้ำมีส่วนสูงน้อยกวำ่ 160 เซนตเิ มตร ควำมสมั พันธ์น้อยกว่า เก้ำไมเ่ ท่ำกับแปด ควำมสัมพนั ธ์ไม่เท่ากับ กลำ้ มที ี่ดินไมน่ อ้ ยกวำ่ 10 ไร่ ควำมสัมพนั ธม์ ากกวา่ หรอื เทา่ กับ ออยมีเงินเกบ็ ไมเ่ กิน 1,000 บำท ควำมสัมพนั ธ์น้อยกว่าหรอื เท่ากบั

เครื่องหมายแสดงการไม่เทา่ กนั 1. 3. 5. นอ้ ยกวา่ 2. นอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ 4. ไม่เท่ากบั มากกวา่ มากกวา่ หรือเทา่ กบั

อสมการ & อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว อสมการ อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว อสมการ เปน็ ประโยคสัญลักษณท์ ี่ อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว แสดงถงึ ควำมสัมพันธข์ องจำนวน เป็นอสมกำรท่ีมีตวั แปรปรำกฏอย่เู พยี ง โดยมสี ญั ลักษณ์ < > ≤ ≥ หรือ ≠ ตวั แปรเดยี ว และมดี กี รขี องตวั แปรเทำ่ กับ 1 แสดงควำมสัมพนั ธ์

ประโยคเกีย่ วกบั จา้ นวน & ประโยคสัญลกั ษณ์ ประโยคเกย่ี วกบั จ้านวน ประโยคสญั ลกั ษณ์ จำนวนจำนวนหนง่ึ ไมเ่ ท่ำกับสำม x ≠ 3 เมื่อ x แทนจำนวนหนึง่ ก้องมสี ่วนสงู มำกกว่ำ 170 เซนติเมตร x > 170 เมือ่ x แทนควำมสงู ของกอ้ ง ห้ำเทำ่ ของจำนวนจำนวนหนง่ึ นอ้ ยกว่ำ 100 5x < 100 เมื่อ x แทนจำนวนจำนวนหนึง่ ผลรวมของจำนวนจำนวนหน่ึงกับ 10 มีค่ำไม่เกิน 50 x + 10 ≤ 50 เมื่อ x แทนจำนวนจำนวนหนง่ึ กล้ำมเี งนิ ไมน่ ้อยกวำ่ 500 บำท x ≥ 500 เม่อื x แทนจำนวนเงินของกล้ำ

ค้าตอบของอสมการ คา้ ตอบของอสมการ คอื จำนวนจริงใดๆ ท่แี ทนตัวแปร ในอสมกำรแล้วทำให้อสมกำรเปน็ จริง

กราฟแสดงคา้ ตอบบนเสน้ จา้ นวน x>a x<a x≠a a a a x≥a x≤a a<x<b a a a b b a≤x<b a<x≤b a≤x≤b a ba ba

สมบัตขิ องการไมเ่ ทา่ กนั สมบตั ิของการไมเ่ ทา่ กันเกย่ี วกับการบวก สมบตั ิของการไม่เทา่ กนั เกีย่ วกบั การคูณ กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆ กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ • ถำ้ a < b แล้ว a + c < b + c • ถำ้ a < b และ c เปน็ จำนวนจรงิ บวก แลว้ ac < bc • ถำ้ a ≤ b แลว้ a + c ≤ b + c • ถำ้ a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc • ถำ้ a > b แลว้ a + c > b + c • ถำ้ a > b และ c เปน็ จำนวนจรงิ บวก แลว้ ac > bc • ถ้ำ a ≥ b แลว้ a + c ≥ b + c • ถ้ำ a ≥ b และ c เป็นจำนวนจรงิ บวก แลว้ ac ≥ bc • ถ้ำ a < b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac > bc • ถ้ำ a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แลว้ ac ≥ bc • ถ้ำ a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc • ถ้ำ a ≥ b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ลบ แล้ว ac ≤ bc

ตวั อยา่ งที่ 1 จงแก้อสมกำรในแต่ละข้อต่อไปน้ี พรอ้ มทัง้ เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน 1) x + 1 > −5 2) − 4 + x ≤ 6 วธิ ที ้า 1) จำก x + 1 > −5 นำ −1 มำบวกท้ังสองขำ้ งของอสมกำร จะได้ x + 1 + (−1) > −5 + (−1) หรอื x > −6 ดงั น้ัน คำตอบของอสมกำร x + 1 > −5 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนทม่ี ำกกวำ่ −6 เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดังน้ี −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

ตวั อย่างที่ 1 จงแกอ้ สมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ พรอ้ มทัง้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน 1) x + 1 > −5 2) − 4 + x ≤ 6 วิธที ้า 2) จำก −4 + x ≤ 6 นำ 4 มำบวกท้ังสองข้ำงของอสมกำร จะได้ −4 + x + 4 ≤ 6 + 4 หรอื x ≤ 10 ดังนั้น คำตอบของอสมกำร −4 + x ≤ 6 คอื จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่นี ้อยกวำ่ หรอื เท่ำกบั 10 เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดงั นี้ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

ตวั อย่างที่ 2 จงแกอ้ สมกำรในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ พร้อมทงั้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน 1) 2x ≤ −10 2) − 5x > 20 วธิ ที า้ 1) จำก 2x ≤ −10 นำ 1 มำคูณทั้งสองข้ำงของอสมกำร 2 1 1 จะได้ 2x 2 ≤ (−10) 2 หรือ x ≤ −5 ดังนั้น คำตอบของอสมกำร 2x ≤ −10 คือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่นี ้อยกวำ่ หรอื เท่ำกบั −5 เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดงั นี้ −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

ตวั อย่างที่ 2 จงแกอ้ สมกำรในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี พรอ้ มทงั้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน 1) 2x ≤ −10 2) − 5x > 20 วิธที ้า 2) จำก −5x > 20 1 นำ −5 มำคูณทงั้ สองขำ้ งของอสมกำร จะได้ −5x 1 1 −5 < (20) − 5 หรอื x < −4 ดงั นน้ั คำตอบของอสมกำร −5x > 20 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนทน่ี อ้ ยกวำ่ −4 เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวนได้ ดังน้ี −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

ตัวอย่างท่ี 3 จงแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 พรอ้ มทั้งเขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน วิธีท้า กำรแกอ้ สมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ทำได้ 2 วธิ ี ดงั น้ี วธิ ที ี่ 1 เขยี นอสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ให้อยูใ่ นรูป −4 ≤ 2x − 10 และ 2x − 10 < 10 จำกน้ัน แก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 และ 2x − 10 < 10 แก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 ได้ ดังน้ี แก้อสมกำร 2x − 10 < 10 ได้ ดังนี้ จำก −4 ≤ 2x − 10 จำก 2x − 10 < 10 จะได้ 2x − 10 ≥ −4 จะได้ 2x < 20 2x ≥ 6 x < 10 x ≥3 จำก 3 ≤ x และ x < 10 จะได้ 3 ≤ x < 10

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 พร้อมทั้งเขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน วิธีทา้ กำรแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ทำได้ 2 วธิ ี ดังนี้ วธิ ที ่ี 2 จำก −4 ≤ 2x − 10 < 10 จะได้ 6 ≤ 2x < 20 3≤ x < 10 จำกวธิ ที ี่ 1 และวิธีที่ 2 จะไดค้ ำตอบของอสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 คือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนที่มำกกวำ่ หรือเท่ำกับ 3 แต่น้อยกวำ่ 10 เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวนได้ ดงั นี้ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

จำกรูป จะเห็นว่ำ สระน้ำมคี วำมกวำ้ ง 21 เมตร และยำว 24 เมตร 21 เมตร ถำ้ ให้สระน้ำลึก h เมตร จะได้ สระนำ้ มคี วำมจเุ ท่ำกับ 21 × 24 × h 24 เมตร = 504h ลูกบำศก์เมตร เนื่องจำกตอ้ งกำรใหส้ ระน้ำจนุ ้ำไดม้ ำกกว่ำ 1,260 ลกู บำศกเ์ มตร จะได้ อสมกำรทีส่ อดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้ คอื 504h > 1,260 ถ้ำเรำแก้อสมกำรหำคำ่ h จะได้ คำ่ h คอื ควำมลกึ ของสระน้ำที่ทำใหส้ ระนำ้ จุนำ้ ไดม้ ำกกวำ่ 1,260 ลกู บำศก์เมตร ตอ่ ไปนจ้ี ะเปน็ กำรแก้อสมกำร 504h > 1,260 จำก 504h > 1,260 จะได้ h > 2.5 ดังนน้ั สระน้ำตอ้ งมีควำมลึกมำกกวำ่ 2.5 เมตร จงึ จะทำใหส้ ระนำ้ มคี วำมจุมำกกว่ำ 1,260 ลกู บำศกเ์ มตร

2หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี สมการกา้ ลงั สองตวั แปรเดยี ว ตวั ชวี้ ัด • ประยุกตใ์ ช้สมกำรกำลงั สองตวั แปรเดยี วในกำรแกป้ ัญหำคณิตศำสตร์ (ค 1.3 ม.3/2)

ถำ้ ������ = −������. ������������������ + ������������ + ������. ������ เปน็ สมกำรทแ่ี สดงควำมสัมพนั ธ์ ระหวำ่ ง ของลกู บำสเกตบอล (เมตร) กับ หลังจำกโยนลูกบำสเกตบอลให้ลงห่วง (วนิ ำที) เรำจะทรำบได้อย่ำงไรว่ำ ลูกบำสเกตบอลจะลงหว่ ง หลังจำกโยนลกู บำสเกตบอลไปก่ี เมอ่ื หว่ งบำสเกตบอลสูงจำกพืน้ 3 เมตร

พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว การแยกตัวประกอบของพหนุ าม พหนุ ำมดีกรสี องตัวแปรเดยี ว คอื พหนุ ำมท่เี ขียนได้ กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำม คอื กำรเขียนพหุนำม ในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b และ c ที่กำหนดให้ในรูปกำรคณู ของตวั ประกอบพหุนำม เปน็ ค่ำคงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร ตง้ั แต่สองพหนุ ำมข้นึ ไป การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม กำรแยกตวั ประกอบของพหุนำม กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม ดีกรสี องในรปู ax2 + bx + c ดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c ดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c ดกี รีสองทอ่ี ยู่ในรูปกำลังสอง ดีกรสี องทีอ่ ยู่ในรูปผลตำ่ ง เม่ือ a, b เป็นจำนวนเตม็ เม่ือ a = 1, b และ c เป็น เมื่อ a, b และ c เปน็ จำนวนเต็ม สมบรู ณ์ กำลงั สอง และ c = 0 จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 โดยท่ี a ≠ 1 และ c ≠ 0 กำหนดให้ A แทนพจน์หน้ำ กำหนดให้ A แทนพจน์หนำ้ แยกตัวประกอบ ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ B แทนพจนห์ ลัง B แทนพจน์หลงั x2 + bx + c ax2 + bx + c A2 + 2AB + B2 = A + B 2 A2 − B2 = A + B A − B ax2 + bx = x ax + b ������������ + ������������ ������ ������������ + ������ ������������ A2 − 2AB + B2 = A − B 2 = = กระจาย x+m x+n mx + p nx + q

สมการกา้ ลงั สองตัวแปรเดียว คือ สมกำรทีม่ ี x เป็นตวั แปร และมีรูปทว่ั ไปเปน็ ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a, b, c เป็นคำ่ คงตวั และ a ≠ 0 สมการท่ีเปน็ สมการก้าลังสองตวั แปรเดียว สมการที่ไม่เปน็ สมการก้าลงั สองตวั แปรเดยี ว ������������ + ������������ + ������ = ������ ������������������ − ������������������ = ������ ������������ + ������ = ������ ������ = ������ ������������������ − ������ + ������ = ������ ������������ − ������������ = ������ −������������ + ������������ = ������ −������������������ + ������ = ������ −������ + ������ = ������ −������������������ = ������

คา้ ตอบของสมการกา้ ลงั สองตวั แปรเดียว คอื จำนวนจรงิ ใด ๆ ที่แทนตวั แปรในสมกำรกำลังสองตัวแปรเดยี วแล้วทำให้สมกำรเปน็ จรงิ 1 2 3 −3 เปน็ คำตอบของสมกำร x2 + 2x − 3 = 0 3 เป็นคำตอบของสมกำร 12x2 − 12x − 72 = 0 4 เป็นคำตอบของสมกำร −2x2 + 8x = 0 เพรำะเม่อื แทน x ด้วย −3 ในสมกำร เพรำะเมื่อแทน x ด้วย 3 ในสมกำร เพรำะเมือ่ แทน x ด้วย 4 ในสมกำร จะได้ (−3)2 + 2 −3 − 3 = 0 จะได้ 12(3)2 − 12 3 − 72 = 0 จะได้ −2(4)2 + 8 4 = 0 9 − 6 − 3=0 108 − 36 − 72 = 0 −32 + 32 = 0 0=0 0=0 0=0 จะเห็นวำ่ เมอื่ แทน x ด้วย −3 ในสมกำร จะเหน็ ว่ำ เมื่อแทน x ด้วย 3 ในสมกำร จะเหน็ ว่ำ เม่อื แทน x ดว้ ย 4 ในสมกำร x2 + 2x − 3 = 0 จะทำให้สมกำรเปน็ จรงิ 12x2 − 12x − 72 = 0 จะทำใหส้ มกำรเป็นจริง −2x2 + 8x = 0 จะทำให้สมกำรเปน็ จรงิ ดงั นน้ั −3 เปน็ คำตอบของสมกำร ดังน้ัน 3 เป็นคำตอบของสมกำร ดงั น้ัน 4 เปน็ คำตอบของสมกำร x2 + 2x − 3 = 0 12x2 − 12x − 72 = 0 −2x2 + 8x = 0

กำรแก้สมกำรกำลังสองตัวแปรเดียวจำเปน็ ตอ้ งใช้ควำมรเู้ ก่ียวกับสมบตั ขิ องจำนวนจรงิ ต่อไปนี้ สมบตั ิ กา้ หนดให้ a และ b เป็นจา้ นวนจริงใด ๆ ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0 การแก้สมการกา้ ลังสองตวั แปรเดยี ว ท้าได้หลายวธิ ี ดงั นี้ กำรแกส้ มกำรกำลังสองตัวแปรเดยี วโดยใช้กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม กำรแกส้ มกำรกำลังสองตวั แปรเดียวโดยวธิ ที ำเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ กำรแก้สมกำรกำลังสองตวั แปรเดียวโดยใชส้ ตู ร x = −b ± b2 − 4ac 2a

mx + p nx + q = 0 mx + p = 0 หรอื x = − p หรอื m ax2 + bx + c = 0 เมื่อ mx nx = ax2 nx + q = 0 q pq = c x = −n q mx + p(nx) = bx

ตวั อย่างที่ จงแกส้ มการ ������������ + ������������ − ������������ = ������ จำก x2 + 3x − 28 = 0 จะได้ x + 7 x − 4 = 0 ดงั นั้น x + 7 = 0 หรือ x − 4 = 0 x = −7 หรอื x=4 ตรวจสอบคา้ ตอบ เมอ่ื แทน x ด้วย 4 ในสมกำร เม่ือแทน x ดว้ ย −7 ในสมกำร จะได้ 42 + 3(4) − 28 = 0 จะได้ (−7)2 + 3(−7) − 28 = 0 16 + 12 − 28 = 0 49 − 21 − 28 = 0 0= 0 0= 0 ดงั นน้ั −������ และ 4 เปน็ ค้าตอบของสมการ ������������ + ������������ − ������������ = ������

(x + p)2 − p2 + q = 0 ax2 + bx + c = 0 เมือ่ p b (x + p)2− 2 = 2a p2 − q = 0 c q=a x = −p + p2 − q หรือ x + p − p2 − q = 0 หรอื (x + p − p2 − q)(x + p + p2 − q) = 0 x = −p − p2 − q x + p + p2 − q = 0

ตวั อยา่ งที่ จงแก้สมการ ������������ − ������������ − ������ = ������ จำก x2 − 2x − 1 = 0 อยา่ ลืมตรวจสอบคา้ ตอบนะครบั จะได้ x2 − 2x − 1 = 0 x2 − 2 x (1) + 12 − 12 − 1 = 0 (x − 1)2 − 1 − 1 = 0 (x − 1)2 − 2 = 0 (x − 1)2 − 2 2 =0 x−1− 2 x−1+ 2 = 0 ดงั นัน้ x − 1 − 2 = 0 หรือ x − 1 + 2 = 0 หรอื x = 1 − 2 x=1+ 2 นน่ั คือ ������ + ������ และ ������ − ������ เปน็ ค้าตอบของสมการ ������������ − ������������ − ������ = ������

ตวั อยา่ งที่ จงแก้สมการ ������������ + ������������ + ������������ = ������ จำก x2 + 4x + 10 = 0 จะได้ x2 + 4x + 10 = 0 x2 + 2 x (2) + 22 − 22 + 10 = 0 (x + 2)2 − 4 + 10 = 0 (x + 2)2+ 6 = 0 เนือ่ งจำก (x + 2)2 ≥ 0 สำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน จะได้ (x + 2)2+ 6 > 0 สำหรับจำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน แสดงวำ่ ไมม่ ีจำนวนจรงิ ใดทแี่ ทนคำ่ x ในสมกำร (x + 2)2+ 6 = 0 แล้วทำใหส้ มกำรเป็นจรงิ ดงั นัน้ สมการ (x + 2)2+ 6 = 0 ไม่มีค้าตอบของสมการทเ่ี ปน็ จา้ นวนจรงิ

คำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 เม่อื a, b, c เป็นคำ่ คงตวั และ a ≠ 0 คือ −������ ± ������������ − ������������������ ������ = ������������ ลักษณะคำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 สำมำรถพิจำรณำไดจ้ ำกคำ่ ของ b2 − 4ac ดังนี้ 123 ถา้ ������������ − ������������������ > ������ แลว้ สมการ ถา้ ������������ − ������������������ = ������ แลว้ สมการ ถา้ ������������ − ������������������ < ������ แล้วสมการ จะมคี ้าตอบเป็นจ้านวนจรงิ 2 ค้าตอบ จะมคี า้ ตอบเปน็ จ้านวนจรงิ 1 ค้าตอบ จะไม่มีค้าตอบเป็นจ้านวนจรงิ

ตวั อยา่ งที่ จงแก้สมการ ������������ + ������������ + ������ = ������ จำกสมกำร x2 + 5x + 3 = 0 เม่ือเทยี บกบั สมกำร ax2 + bx + c = 0 จะได้ a = 1, b = 5 และ c = 3 ดงั นั้น b2 − 4ac = 52 − 4(1)(3) = 25 − 12 = 13 ซง่ึ มีคำ่ มำกกว่ำ 0 น่ันคอื สมการ ������������ + ������������ + ������ = ������ มคี ้าตอบเป็นจ้านวนจริง 2 คา้ ตอบ ก่อนแก้สมการก้าลงั สองตัวแปรเดียว นกั เรยี นควรพิจารณาคา่ ของ ������������ − ������������������ เพ่อื ตรวจสอบว่า สมการนม้ี ี 1 ค้าตอบ 2 คา้ ตอบ หรือไม่มคี า้ ตอบทเี่ ป็นจ้านวนจรงิ

ตวั อย่างที่ จงแกส้ มการ ������������ + ������������ + ������ = ������ เนือ่ งจำก ������ = −������ ± ������������ − ������������������ เป็นคำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 ������������ จะได้ คำตอบของสมกำร x2 + 5x + 3 = 0 คอื −5 ± 52 − 4(1)(3) x = 2(1) −5 ± 25 − 12 =2 −5 ± 13 =2 −5 + 13 −5 − 13 = 2, 2 ดังน้ัน −������ + ������������ และ −������ − ������������ เปน็ คา้ ตอบของสมการ ������������ + ������������ + ������ = ������ ������ ������

ตวั อย่างที่ จงแกส้ มการ ������������ − ������������ + ������ = ������ จำกสมกำร x2 − 2x + 1 = 0 เม่ือเทียบกับสมกำร ax2 + bx + c = 0 จะได้ a = 1, b = −2 และ c = 1 ดงั นนั้ b2 − 4ac = −2 2 − 4(1)(1) =4−4 =0 นนั่ คือ สมการ ������������ − ������������ + ������ = ������ มคี ้าตอบเป็นจ้านวนจริง 1 ค้าตอบ

ตวั อยา่ งที่ จงแก้สมการ ������������ − ������������ + ������ = ������ เนือ่ งจำก ������ = −������ ± ������������ − ������������������ เปน็ คำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 ������������ จะได้ คำตอบของสมกำร x2 − 2x + 1 = 0 คือ −(−2) ± (−2)2 − 4(1)(1) x = 2(1) 2± 4−4 =2 2±0 =2 2 =2 =1 ดงั น้นั 1 เปน็ คา้ ตอบของสมการ ������������ − ������������ + ������ = ������

ตวั อยา่ งที่ จงแก้สมการ ������������������ + ������������ + ������ = ������ จำกสมกำร 2x2 + 3x + 7 = 0 เม่ือเทียบกับสมกำร ax2 + bx + c = 0 จะได้ a = 2, b = 3 และ c = 7 ดังนน้ั b2 − 4ac = 32 − 4(2)(7) = 9 − 56 = −47 ซึ่งมีค่ำนอ้ ยกวำ่ 0 นนั่ คือ สมการ ������������������ + ������������ + ������ = ������ ไม่มคี า้ ตอบเป็นจ้านวนจริง

เริ่มตน้ ปัญหา วิเคราะหโ์ จทย์ปัญหา ก้าหนดตัวแปร พิจารณาเงอื่ นไขตามทโ่ี จทยก์ า้ หนด และเขียนสมการก้าลงั สองตัวแปรเดยี ว แก้สมการกา้ ลังสองตัวแปรเดียว ตรวจสอบความสมเหตุสมผล ของคา้ ตอบ แสดงค้าตอบ ส้ินสดุ

ตวั อย่างที่ จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเ่ี หล่ยี มผืนผา้ ที่มเี สน้ รอบรูปยาว 30 หนว่ ย และมีพืน้ ท่ี 50 ตารางหน่วย ให้ x แทนควำมยำวของด้ำนกวำ้ งของรูปสเ่ี หลี่ยมผืนผ้ำ จะได้ รปู ส่เี หลย่ี มผนื ผำ้ มดี ้ำนยำวยำว 30 − 2x = 15 − x หนว่ ย 2 เนือ่ งจำก รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผ้ำมีพ้ืนที่ 50 ตำรำงหน่วย จะได้ x(15 − x) = 50 15x − x2 = 50 x2 − 15x + 50 = 0 (x − 10)(x − 5) = 0 x = 10, 5

ตวั อยา่ งที่ จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเี่ หลี่ยมผนื ผ้าท่มี ีเสน้ รอบรปู ยาว 30 หน่วย และมีพ้ืนท่ี 50 ตารางหนว่ ย ตรวจค้าตอบ ถำ้ รปู สีเ่ หลี่ยมผนื ผ้ำมดี ำ้ นกวำ้ งยำว 5 หนว่ ย จะได้ รูปส่เี หล่ยี มผืนผ้ำมีดำ้ นยำวยำว 15 − 5 = 10 หนว่ ย ดังนน้ั ควำมยำวรอบรูปของรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผำ้ เทำ่ กับ 2(5) + 2(10) = 10 + 20 = 30 หนว่ ย พน้ื ท่ีของรปู ส่ีเหลี่ยมผนื ผ้ำเทำ่ กับ 5 × 10 = 50 ตำรำงหน่วย ซง่ึ เปน็ จริงตำมเงอื่ นไขท่ีโจทยก์ ำหนด ถ้ำรปู สี่เหล่ียมผนื ผ้ำมดี ้ำนกวำ้ งยำว 10 หน่วย จะได้ รูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผำ้ มดี ้ำนยำวยำว 15 − 10 = 5 หนว่ ย ซึ่งขดั แย้งกับควำมเป็นจริง ดังนน้ั รูปส่ีเหลย่ี มผนื ผ้ามีด้านกวา้ งยาว 5 หนว่ ย และดา้ นยาวยาว 10 หนว่ ย

จำกคำถำมตอนตน้ ทถ่ี ำมวำ่ “เรำจะทรำบได้อยำ่ งไรว่ำ ลกู บำสเกตบอลจะลงหว่ งหลงั จำกโยนลกู บำสเกตบอลไปก่ี เมื่อห่วงบำสเกตบอลสงู จำกพ้นื 3 เมตร” นักเรยี นจะหำได้โดยกำรแกส้ มกำร 3 = −3.5t2 + 7t + 2.5 ซง่ึ จะได้ t ≈ 1.9 ดังนน้ั ลูกบำสเกตบอลจะลงห่วงหลงั จำก โยนลกู บำสเกตบอลไปประมำณ 1.9 วนิ ำที

3หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ ฟงั ก์ชนั กา้ ลงั สอง ตัวชีว้ ัด • เข้ำใจและใชค้ วำมรู้เก่ียวกบั ฟังกช์ ันกำลงั สองในกำรแกป้ ัญหำคณติ ศำสตร์ (ค 1.2 ม.3/2)

ฟังกช์ ันกา้ ลังสอง เก่ยี วขอ้ งกับการเคลอื่ นที่ของลูกกระสุนปืนใหญ่ หลงั จากยงิ ปนื ใหญอ่ ยา่ งไร ?

ควรรูก้ อ่ นเรยี น การเขยี นกราฟของคูอ่ นั ดบั บนระบบพกิ ดั ฉาก Y กำรเขียนกรำฟของ (a, b) บนระบบพกิ ัดฉำกทำได้ ดงั น้ี b (a, b) 1) ลำกเสน้ ตรงใหต้ ้งั ฉำกกบั แกน X ทีต่ ำแหนง่ ของพกิ ัดที่หน่งึ 2) ลำกเส้นตรงให้ต้งั ฉำกกับแกน Y ทตี่ ำแหนง่ ของพกิ ัดท่สี อง 0a X จะได้ จดุ ตัดของเส้นตรงทัง้ 2 เส้น เปน็ กรำฟของ (a, b) บนระบบพกิ ดั ฉำก รปู สมมาตร การเขียนพหนุ ามกา้ ลงั สองตัวแปรเดยี ว ให้อยู่ในรูปกา้ ลังสองสมบูรณ์ รปู สมมาตร คือ รปู ทีเ่ มอ่ื พบั ครึง่ แลว้ แตล่ ะข้ำงของรอยพบั ทบั กันสนทิ พอดี เรยี กรอยพบั นี้ว่ำ แกนสมมาตร x2 + px + q สำมำรถเขยี นให้อยู่ในรปู กำลงั สองสมบรู ณไ์ ด้เปน็ p2 p2 x+2 − 2 +q เม่อื p และ q เป็นคำ่ คงตัว

ฟังก์ชันก้าลงั สอง ฟงั ก์ชนั กา้ ลงั สอง คือ ฟังกช์ ันท่อี ย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นค่ำคงตัว และ a ≠ 0 พจิ ารณาฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี แลว้ บอกว่าเป็นหรอื ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั ก้าลงั สอง • y = -10 • y = x + 10 • y = -7x2 + 3x + 9 • y = x2 + 3x - 4 • y = 5x2 - 1 • y = -x2 - x + 5 • y = 1 - 3x • y = 15 • y = -7x + 4 • y = 9 - 3x • y = -6x2 + 9x • y = 3x2 + 4x - 8 • y = 10x2 • y = -9x

พาราโบลา พาราโบลา คอื กรำฟของฟงั ก์ชันกำลังสองทีอ่ ยู่ในรูป y = ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นคำ่ คงตัว และ a ≠ 0 ซ่ึงมีลักษณะเปน็ เสน้ โค้ง พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว่า้ YY 0 X 0 X เส้นโค้งเปิดขน้ึ ด้านบน เสน้ โคง้ เปิดลงด้านล่าง

ลกั ษณะกราฟของฟังก์ชันก้าลงั สอง 1. y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 2. y = ax2 + k เมื่อ a, k ≠ 0 3. y = a(x - h)2 เมือ่ a, h ≠ 0 Y Y Y 0 X 0X 0X 4. y = a(x - h)2 + k เมือ่ a, h, k ≠ 0 5. y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 Y Y 0X 0X

กราฟของฟงั กช์ นั กา้ ลงั สองท่ีอยใู่ นรูป y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 X YY แกนสมมำตร 0 0X จดุ สูงสดุ a<0 จุดตำ่ สดุ a>0 • เมอ่ื a > 0 กรำฟเป็นพำรำโบลำหงำย เมื่อ a < 0 กรำฟเปน็ พำรำโบลำควำ่

กราฟของฟังกช์ นั กา้ ลงั สองที่อยูใ่ นรูป y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 X YY แกนสมมำตร 0 0 X จดุ สงู สุด a>0 จุดตำ่ สดุ a<0 • มแี กน Y หรอื เส้นตรง x = 0 เปน็ แกนสมมำตร

กราฟของฟังก์ชันกา้ ลังสองทีอ่ ยู่ในรปู y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 X YY แกนสมมำตร 0 0 X จดุ สูงสดุ a>0 จุดต่ำสุด a<0 • เมื่อ a > 0 กรำฟของฟังก์ชนั มีจดุ ต่ำสุด คอื จดุ (0, 0) และมีคำ่ ตำ่ สดุ ของฟังกช์ ันเท่ำกบั 0 เม่ือ a < 0 กรำฟของฟังก์ชนั มจี ดุ สูงสุด คือ จดุ (0, 0) และมคี ำ่ สงู สุดของฟงั กช์ นั เท่ำกับ 0

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = ������x2, y = x2 และ y = 2x2 ในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกัน ������ วธิ ที ้า แทนคำ่ x ในฟงั ก์ชัน y = 1x2, y = x2 และ y = 2x2 เพ่อื หำคำ่ y ได้ ดงั ตำรำงต่อไปนี้ 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 1x2 9 2 1 0 1 2 9 2 2 2 2 2 y = x2 9 4 1 0 1 4 9 y = 2x2 18 8 2 0 2 8 18