144 แบบฝก หดั ท่ี 41. การเลอื กขอ มูลมาใชประกอบการตัดสนิ ใจตอ งอาศัยหลักการใดบา ง2. ขอมูล ตางกบั สารสนเทศ อยางไร จงอธิบายพรอ มยกตวั อยา งประกอบดว ย
145 บทท่ี 8 ความนาจะเปนสาระสําคัญ 1. การนบั จํานวนผลลพั ธท งั้ หมดทเ่ี กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ นับจึงจะทําใหง า ยและสะดวก รวดเร็ว 2. ความนา จะเปน คือ จํานวนท่ีแสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดข้ึนมาก หรอื นอยเพยี งใด ส่งิ ที่จําเปน ตอ งทราบทาํ ความเขาใจ คอื - การทดลองสมุ (Random Experiment) - แซมเปลสเปซ (Sample Space) - เหตุการณ (Event) 3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณน้ันๆ กับ จํานวนสมาชกิ ของแซมเปล สเปซ ซง่ึ เปน คาทจ่ี ะชว ยในการพยากรณหรือการตัดสนิ ใจไดผลการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง 1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดข้ึนของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเก่ียวกับการนับและ แผนภาพตนไมอ ยางงายได 2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ เหตกุ ารณท ก่ี าํ หนดใหได 3. นําความรเู กี่ยวกับความนาจะเปน ไปใชในการคาดการณแ ละชวยในการตัดสนิ ใจขอบขายเนือ้ หา เร่อื งท่ี 1 กฎเบ้ืองตน เกยี่ วกบั การนบั และแผนภาพตน ไม เรอ่ื งท่ี 2 ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ เร่ืองท่ี 3 การนําความนาจะเปน ไปใช
1461. กฎเบ้อื งตน เก่ียวกบั การนบั และแผนภาพตน ไม ในชีวติ ประจําวันของคนเรามกี ารกระทาํ หรอื การทดลองหลายอยางที่สามารถมวี ธิ กี ารที่จะเกดิผลลพั ธไ ดหลายวธิ ี การหาจํานวนรปู แบบหรือจาํ นวนวธิ ที ี่อาจเกดิ ขนึ้ ไดจากการนับทงั้ หมด โดยมกี ฎเบื้องตน เกีย่ วกับการนบั จากการทาํ งานดังนี้ 1. 1. การทํางานท่ีมี 2 อยางหรอื สองขนั้ ตอน ถา งานอยางแรกมวี ธิ ที าํ ได n1 วธิ ี และในแตละวธิ ที าํ งานอยา งแรกมีวธิ ีที่จะทํางานอยา งทสี่ องไดn2 วธิ ี แลว จํานวนวิธีที่ทาํ งานทง้ั สองอยางเทากบั n1 n2 วิธีสามารถเขียนแผนผงั การทํางานไดด งั นี้งานอยา งท่ี 1 งานอยางท่ี 2นบั ได n1 วิธี × n2 วธิ ีจํานวนวธิ ที าํ งานท้ังสองอยาง = n1 × n2 วธิ ีเพ่ือความเขา ใจใหง า ยขึ้นสามารถแจกแจงผลการนบั แตล ะวิธีไดโดยใช แผนภาพตน ไม ดงั ตัวอยางตอไปน้ี ตัวอยางท่ี 1 โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ผลลัพธไดท งั้ หมดกว่ี ิธี วธิ ที ํา โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 ครง้ั เปนการทาํ งาน 2 อยางเหรยี ญท่ี 1 เหรยี ญที่ 2 จดั ได 2 × 2 งานแรก การเกดิ ของเหรียญที่ 1 เกิดได 2 วิธี คอื อาจเกดิ หวั (H ) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T )กไ็ ด และในแตละวธิ ีท่ีเกิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มวี ิธเี กิดเหรยี ญที่ 2 ไดอีก งานท่ี 2 การเกดิ ของเหรยี ญท่ี 2 เกดิ ได 2 วิธี คอื อาจเกิดหวั (H) หรืออาจเกดิ กอ ย (T )ดังนั้น การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอ มกัน 1 ครง้ั เกิดได = 2 ×2 = 4 วิธี
147 การโยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอ มกัน เปน การทาํ งานทม่ี ี 2 อยา งหรือ 2 ขนั้ ตอน สามารถแสดงเหตกุ ารณทเี่ กดิ โดยใชแผนภาพตน ไมไ ดด งั นี้ เหรยี ญที่ 1 เหรยี ญที่ 2 เหตกุ ารณท ่เี กดิ ข้นึนั่นคอื โยนเหรยี ญ 2 เหรียญพรอ มกนั 1 ครง้ั เกดิ ได 4 วธิ ี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ ตวั อยางที 2 ชายคนหน่ึงมีเส้อื เช้ิตตา งกนั 5 ตัว และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตวั วธิ ที าํ เราสามารถใชแผนภาพตน ไมช ว ยในการหาวธิ ีทัง้ หมดท่ีเปน ไปไดแสดงไดด ังแผนภาพขา งลา งนี้ จากแผนภาพตนไมจะพบวาการแตง กายของชายคนน้ีทแี่ ตกตา งกันนับไดท ้ังหมด 15 วิธี
148ตวั อยางท่ี 3 โยนลูกเตา 2 ลกู พรอมกนั 1 ครัง้ เกิดไดท ง้ั หมดก่ีวิธีวธิ ที ํา โยนลกู เตา 2 ลกู พรอมกัน 1 ครั้ง เปน การทํางาน 2 อยาง ลูกท่ี 1 ลูกท่ี 2จัดได 6 × 6งานอยางแรก การเกิดของลูกเตาลกู ที่ 1 ซง่ึ มี 6 หนา เกดิ ได 6 วิธี คอื อาจหงายหนา 1 ,2, 3 …., หรือ 6 ) โยนลกู เตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้ง เกดิ ได = 6 ×6 = 36 วิธีสามารถแจกแจงผลลัพธ ไดดังนี้( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6)( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6)( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6)( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6)( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6)( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี 1. 2. การทาํ งานทีม่ ี 3 อยางหรอื สามข้นั ตอน การนับจะมีแนวคดิ ในทาํ นองเดยี วกนั แตจํานวนขนั้ ตอนในการเขยี นแผนภาพตน ไม หรือการหาผลคณู คารท เี ซยี น จะมี 3 งานหรอื 3 ขนั้ ตอนที่ตอ งทําตอ เนื่องกนั ดังตวั อยางตอไปนี้ตวั อยา งท่ี 4 บรษิ ัทรถยนตแหง หนง่ึ ผลิตตวั ถงั รถยนตออกมา 2 แบบ มเี ครอ่ื งยนต 2 ขนาด และสีตา ง ๆ กัน 3 สี ถาตอ งการแสดงรถยนตใหค รบทกุ แบบ ทุกขนาด และทุกสี จะตอ งใชรถยนตอ ยา งนอยทสี่ ุดก่ีคนั
วิธีท่ี 1 โดยใชแ ผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดังนี้ ข้นั ท่ี 3 149 การทาํ งานมี 3 ขั้นคอื สี ขั้นท่ี 1 ขน้ั ที่ 2 ผลงาน ตัวถงั เครอ่ื งดังนนั้ จะตอ งมรี ถยนตแสดงอยางนอย 12 คนั จึงจะครบทุกแบบทกุ สีทุกขนาดวธิ ีท่ี 2 โดยใชผ ลคูณคารท เี ซยี นให A เปนเซตของตัวถังรถยนต A = { ถ1 , ถ2 } B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 } C เปน เซตของสีตาง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 }นําตัวถังและเคร่อื งยนตม าประกอบกนั ไดด ังนี้A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)}n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบนําตัวถงึ กบั เครอ่ื งท่ีประกอบแลว มาทาสตี าง ๆ( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ), (ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )}N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C)= n(A) x n(B) x n(C)= 2 x 2 x 3 = 12ดงั นัน้ ตองใชรถยนตแสดงอยา งนอ ย 12 คนั
150 เม่ือพิจารณาแผนภาพตน ไมและวธิ กี ารของผลคณู คารทเี ซียนแลว พบวา สามารถหาจาํ นวนวิธีหรอื จํานวนรปู แบบในการทาํ งานไดเชนเดยี วกนั จากหลกั การของทัง้ สองวธิ ี จึงสามารถนาํ มาสรา งเปนกฎเบอ้ื งตน เกยี่ วกบั การหาจํานวนวธิ ีในการทาํ งานอยา งใดอยา งหน่งึ ได โดยสรุปเปน กฎไดด งั น้ีสรปุ ขั้นตอนในการใชกฎการนบั แกโ จทยป ญ หา1. พิจารณาวางานหรอื เหตกุ ารณท ่โี จทยก าํ หนดมานั้นคอื อะไร จดั แบง ออกเปนกีข่ นั้ ตอนทีต่ อเน่อื งกนั2. พจิ ารณาเงอื่ นไขตา ง ๆ ที่กําหนดมาในแตละข้ันตอน บนั ทึกไว3. หาจํานวนวิธที ่ีสามารเลอื กทํางานไดใ นแตละขน้ั โดยตอ งเรม่ิ จากขน้ั ทีม่ เี งอ่ื นไขมากทส่ี ุดกอนแลวจงึพิจารณาขั้นอนื่ ๆ ทม่ี ีเงอ่ื นไขรองลงมา ตามความสําคัญ4. นําจาํ นวนวิธที ี่ไดใ นแตละขนั้ ตอนคณู กัน จะไดจํานวนรปู แบบหรอื จํานวนวิธที ีอ่ าจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมดตวั อยางท่ี 4 ในการเลือกตั้งกรรมการชดุ หนึ่งจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ และเลขา โดยกรรมการแตล ะคนจะดาํ รงตําแหนงไดเ พยี งตาํ แหนง เดยี วเทา นนั้ ถา มีผสู มคั รทั้งหมด 6 คนเปนชาย 2 คน เปนหญิง 4 คน ผลการเลอื กตัง้ กรรมการชดุ น้จี ะมีไดท้งั หมดกี่แบบตางกนั โดยที่1. ไมม ีเงอ่ื นไขเพม่ิ เติม2. กาํ หนดใหประธานเปน ชาย และเลขาตอ งเปนหญงิ3. กรรมการตอ งเปน หญิงลว น ๆวิธที ํา มีผูสมัคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเ ลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ เลขา1) ไมมเี งือ่ นไขเพ่ิมเตมิ แตล ะคนเปนไดต าํ แหนงเดยี วตําแหนง ประธาน เลอื กได 6 วิธีตําแหนง รองประธาน เลือกได 5 วิธีตําแหนง เหรญั ญิก เลือกได 4 วิธีตําแหนงเลขา เลือกได 3 วิธีดังนัน้ จํานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี2) กาํ หนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิงตาํ แหนง ประธานเปน ชาย เลือกได 2 วิธีตําแหนง เลขาท่ีเปน หญงิ เลือกได 4 วิธีตําแหนง เหรญั ญกิ (คนที่เหลือ) เลอื กได 4 วธิ ีตําแหนง รองประธาน เลือกได 3 วิธี (คนท่เี หลือสุดทา ย )ดังนน้ั จํานวนวิธใี นการเลอื กกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี
1513) กรรมการตอ งเปนผหู ญงิ ลวน ๆตําแหนงประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ีตาํ แหนง เลขาเปนหญงิ เลือกได 4 วิธีตําแหนงรองประธาน เลือกได 4 วิธี ( เฉพาะหญงิ ทเี่ หลอื )ตําแหนง เหรัญญกิ เลือกได 3 วิธี ( เฉพาะหญิงท่ีเหลือ )ดงั นั้น จาํ นวนวิธใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ีตัวอยางที่ 5 จากอกั ษรในคาํ วา “ PHYSIC” นํามาสรางคาํ ใหมประกอบดว ย 3 อกั ษร ตา งกนั( ไมสนใจความหมายของคําเหลา นนั้ ) โดยท่ี 1. ไมม ีเงือ่ นไขเพิ่มเตมิ 2. ตองเปนพยญั ชนะทงั้ หมดวิธที ํา อกั ษรในคําวา PHYSIC เปน สระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทง้ั หมด 6 ตัวอกั ษร อักษรตวั ที่ 1 2 3 1. สรางคาํ ประกอบดว ย 3 ตวั อักษร สรา งได = 6 × 5 × 4 = 120 วิธี 2. มีเงอ่ื นไขวา ตองเปนพยญั ชนะทัง้ หมด สรา งได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ีตวั อยางที่ 6 หองประชุมแหง หนึ่งมี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหอ งประชมุ โดยมีเงอื่ นไขตางกนัดังน้ี 1. จาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ เขา 2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออก 3. จาํ นวนวธิ ีในการเดนิ เขา - ออก โดยไมซ ํา้ ประตูกนั 4. จํานวนวิธใี นการเดนิ เขา - ออก โดยใชประตูเดิมวิธีทํา ประตูหอ งประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3การเดิน เขา ออก1. จาํ นวนวธิ เี ดินเขา หอ งประชุม = 3 วิธี2. จาํ นวนวิธกี ารเดนิ เขา - ออก =3 ×3 = 9 วิธี ( ใชประตซู ้ําได) = 6 วธิ ี3. จาํ นวนวธิ กี ารเดนิ เขา - ออก โดยไมซ า้ํ ประตกู นั = 3 × 2
152 4. จํานวนวิธีการเดนิ เขา - ออก โดยใชป ระตเู ดมิ = 3 × 1 = 3 วิธีตวั อยางท่ี 7 ครมู ีหนงั สอื 5 เลมแตกตา งกนั ตอ งการแจกใหน กั เรยี น 4 คน จงหาจํานวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี 1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม 2. ไมมใี ครไดห นังสอื เกนิ 1 เลมวิธที ํา การแจกหนงั สือตองพจิ ารณาการแจกทีละเลม หนังสอื เลมที่ 1234 1. ไมมเี งอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดังนนั้ แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี 2. ไมม ใี ครไดเ กนิ 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้าํ ไดแ ลวจะไมแ จกใหอกี ดังนน้ั จะมีวธิ แี จกหนังสอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธิ ี
153 แบบฝก หดั ที่ 11. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครง้ั จงหาจาํ นวนทเ่ี หรียญจะขึ้นหนา ตางๆ โดยวิธีเขยี นแผนภมู ติ น ไม2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดว ย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 5 ขอโจทยแตล ะขอ มคี ําตอบทถี่ กู ตองเพยี งหนง่ึ ตวั เลอื กเทา น้ัน แลวจํานวนวิธกี ารตอบคาํ ถามที่เปน ไปไดท้งั หมดมกี ีว่ ิธี3. มนี ักเรยี น 5 คน ยนื เขา แถวเพ่อื ซ้อื อาหารกลางวันของรานหนง่ึ จงหาวา จํานวนวิธที ี่ยืนเขา แถวท่ีแตกตางกัน มีทัง้ หมดกี่วธิ ี4. มีชาย 6 คน หญงิ 5 คน ตอ งการจัดคแู ขง ขนั ระหวา งชาย 1 คน หญิง 1 คนในการแขง ขนั กฬี าเทนนสิ มีจํานวนท้ังหมดกวี่ ิธี5. เพอ่ื น 3 คน นกั กนั ไปรับประทานอาหารเย็นท่ภี ัตตาคารและ ซ้อื ของทหี่ า งสรรพสนิ คา โดยเลอื กท่ีจะไปรบั ประทานอาหารและซือ้ ของ ซ่ึงมีภตั ตาคาร 5 แหง และมีหา งสรรพสนิ คา 4 แหง ท้ังสามคนนจี้ ะมีวิธเี ลอื กกระทาํ ดังกลาวไดท ้งั หมดกี่วธิ ี6. บรษิ ทั แหง หน่ึงเปด รับสมัครพนกั งานเขา ทํางาน โดยพจิ ารณาจากเง่ือนไขคือ เพศชาย หญงิ ระดบั อายุมี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลว บริษทั นจ้ี ะมวี ิธกี ารจําแนกผูสมัครไดทงั้ หมดกว่ี ิธี7. จากการสัมภาษณรับคนเขา ทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ธิ จี ะคัดเลือกไดพนักงานหน่งึ คนจากผเู ขาสัมภาษณท ้งั หมด8. จงเขียนแผนภาพตนไมเ พอ่ื แสดงผลท่ีเกดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 4 คร้งั จงหาจาํ นวนวิธีที่แตกตา งกนั ในการโยนเหรยี ญครัง้ นี้ โดยที่1. ไมม หี นาหัวเลย 2. มหี นาหัวเพียง 1 ครง้ั3. มหี นา ทงั้ 2 ครง้ั 4. มีหนาหัวเพยี ง 3 คร้ัง5. มีหนา หวั 4 คร้ัง
1542. ความนาจะเปนของเหตุการณ ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพ่ือใชในการตดั สินใจ โอกาสที่เหตุการณนัน้ จะเกดิ ไดม มี ากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตกุ ารณน้ัน กบั จํานวนคร้ังของการทาํ งานผูเ รยี นจึงตอ งทราบ และทาํ ความเขา ใจ กบั คาํ เหลา น้ี1. การทดลองสุม (Random Experiment) คอื การทดลองทไี่ มส ามารถระบผุ ลลัพธไดอยางแนนอน แตบอกไดว าผลลัพธข องการทดลองนนั้ มีโอกาสเกิดอะไรข้ึนไดบางตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมที่จะเกิดขึ้นได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6ซงึ่ ไมส ามารถบอกไดว าจะเปน แตมอะไรใน 6 แตม นี้ ดังนนั้ ผลลัพธทงั้ หมดทีจ่ ะเกดิ ขึ้นคือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6ตัวอยา งท่ี 2 การหยิบลกู ปงปอง 1 ลกู จากกลอ ง ซงึ่ มี 5 ลกู 5 สี ลูกปง ปองท่ีหยบิ ไดอ าจจะเปน ลูกปง ปองสีขาว ฟา แดง เขียว หรอื สม ดงั น้นั ผลลัพธทงั้ หมดทีจ่ ะเกดิ ขึน้ คือ ลกู ปงปองสีขาว ฟา แดง เขียว หรือสมตวั อยา งที่ 3 จงเขยี นผลที่อาจจะเกดิ ข้นึ ไดท ้งั หมดในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ และเหรยี ญหาสบิสตางค 1 เหรยี ญวธิ ที าํ ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ผลทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ คอื หัวหรอื กอย ถา ให H แทน หัว และให T แทน กอย ในการหาผลที่อาจเกิดขึน้ ไดท ง้ั หมดจากการโยนเหรยี ญบาทและเหรยี ญหา สิบสตางคอยา งละ 1เหรียญ อาจใชแ ผนภาพชว ยไดด งั นี้
155 ฉะนั้น ถา เราใชค ูอนั ดับเขยี นผลท้งั หมดทีอ่ าจเกิดขนึ้ ไดโ ดยใหสมาชกิ ตวั หนึง่ ของคูอันดับแทนผลทีอ่ าจเกดิ ขน้ึ จากเหรยี ญบาท สมาชกิ ตัวทส่ี องของคูอ ันดบั แทนผลทอ่ี าจเกิดข้ึนจากเหรยี ญหา สิบสตางค จะได ผลทัง้ หมดที่อาจจะเกดิ ข้ึนได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)2. แซมเปล สเปซ (Sample Space ) เปน เซตทมี่ สี มาชิกประกอบดวยสง่ิ ที่ตองการ ท้งั หมด จากการทดลองอยางใดอยา งหนึ่ง ( บางคร้งั เรียกวา Universal Set ) เขียนแทนดว ย Sเชน ตัวอยา งที่ 4 ในการโยนลกู เตา ถา ตองการดวู าหนา อะไรจะขนึ้ มาจะได ผลลัพธท่อี าจจะเกิดขนึ้ ไดค อื ลูกเตา ขึ้นแตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรอื 5 หรือ 6 ดงั น้นั แซมเปลสเปซทไ่ี ด คอื S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตัวอยางที่ 5 จากการทดลองสมุ โดยการทดลองทอดลกู เตา 2 ลกู 1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลกู เตา ทีห่ งายขนึ้ วธิ ที าํ 1. เน่อื งจากโจทยสนใจแตมของลกู เตาทีห่ งายขน้ึ ดงั นนั้ เราตอ งเขยี นแตมของลกู เตาที่มโี อกาส ท่ีจะหงายข้นึ มาท้งั หมด และเพอื่ ความสะดวกให (a , b) แทนผลลัพธท ีอ่ าจจะเกดิ ขน้ึ โดยท่ี a แทนแตมทห่ี งายขนึ้ ของลูกเตา ลกู แรก b แทนแตม ทีห่ งายขนึ้ ของลูกเตา ลกู ที่สอง ดังนั้นแซมเปล สเปซของการทดลองสมุ คอื S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
1563. เหตกุ ารณ (event) คือ เซตที่เปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตุการณท ี่เราสนใจ จากการทดลองสุมตวั อยางที่ 7 ในการโยนลกู เตา 1 ลูก 1 ครงั้ ถา ผลลพั ธท ี่สนใจคอื จาํ นวนแตม ทีไ่ ด จะได S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาให E1 เปนเหตุการณท ่ไี ดแ ตมซง่ึ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6} E2 เปน เหตกุ ารณทไ่ี ดแ ตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}ตัวอยางที่ 8 ถงุ ใบหนง่ึ มีลกู บอลสขี าว 3 ลกู สแี ดง 2 ลูก หยบิ ลกู บอลออกจากถงุ 2 ลูก จงหา 1. แซมเปลสเปซของสขี องลูกบอล และเหตกุ ารณทีจ่ ะไดล กู บอลสีขาว 2. แซมเปล สเปซของลกู บอลที่หยบิ มาได และเหตกุ ารณทจี่ ะไดลูกบอลเปนสีขาว 1 ลกู สีแดง1 ลูกวธิ ที ํา 1. เนอ่ื งจากเราสนใจเก่ยี วกบั สขี องลกู บอล และลูกบอลมีอยสู องสคี ือสขี าวและสีแดง ดังน้นั แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง} สมมติให B เปนเหตกุ ารณท จี่ ะไดลกู บอลสขี าว ดังนน้ั B = {ขาว} 2. เนือ่ งจากเราสนใจแซมเปลสเปซของลกู บอลแตล ะลูกท่ีถูกหยิบข้ึนมา ดงั นัน้ แซมเปล สเปซ S คือ S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให C เปน เหตุการณทีผ่ ลลพั ธเปน ลกู บอลสขี าว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก ดังนัน้ เหตกุ ารณ C คอื C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2}หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดงตัวอยา งท่ี 10 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง จงหาผลลัพธของเหตุการณท จี่ ะออกหัวอยา งนอ ย1 ครั้ง การหาผลลพั ธท้ังหมดที่อาจจะเกดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ 2 ครงั้โดยใชแผนภาพตน ไม ดงั น้ี
157ผลลพั ธทั้งหมดท่อี าจจะเกิดข้นึ จากการทดลองสมุ มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TTนนั่ คือผลลพั ธข อง เหตกุ ารณท จี่ ะออกหัวอยางนอย 1 คร้งั มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH4. ความนา จะเปน ของเหตุการณ ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ คือ จํานวนท่แี สดงใหท ราบวา เหตุการณใ ดเหตกุ ารณห นงึ่ มโี อกาสเกดิ ขนึ้ มากหรอื นอยเพียงใด ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใ ด ๆ เทา กับอตั ราสว นของจํานวนเหตุการณท่ีเราสนใจ (จะใหเกิดขน้ึหรือไมเกดิ ขึน้ กไ็ ด) ตอ จํานวนผลลัพธท ั้งหมดทีอ่ าจจะเกดิ ขึ้นได ซ่งึ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั น้ี ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลัพธของเหตุการณท่เี ราสนใจ จาํ นวนผลลพั ธท ั้งหมดท่ีอาจจะเกิดขนึ้ ไดเมอ่ื ผลทง้ั หมดทีอ่ าจจะเกิดขน้ึ จากทดลองสุมแตละตวั มโี อกาสเกดิ ขนึ้ ไดเ ทา ๆ กนั กําหนดให E แทน เหตุการณท ี่เราสนใจ P(E) แทน ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ n(E) แทน จาํ นวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณ n(S) แทน จาํ นวนสมาชิกของผลลัพธทง้ั หมดทอี่ าจจะเกดิ ขึน้ ได ดงั นัน้ P( E ) = n(E) n(S)ตวั อยางท่ี 1 มลี กู ปงปอง 4 ลูก เขยี นหมายเลขกํากับไวด งั น้ีคอื 0, 1, 2, 3 ถาสุมหยิบมา 2 ลกู จงหาความนาจะเปน ที่จะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3วิธีทํา ให S เปน แซมเปลสเปซ S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }จะได n(S) = 6E เปนเหตุการณห รือส่งิ ที่โจทยอ ยากทราบ E = {(1, 3),(2, 3)}จะได n (E) = 2นน่ั คอื จากสูตรขางบนคอื p(E) nE แทนคา ได PE 2 1 nS 63 ความนาจะเปนทีจ่ ะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3 เทา กบั 1 3
158ขอ สงั เกต 1. สมาชกิ ทกุ ตวั ในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชกิ ในอยูใ นแซมเปล สเปซ S ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S) 2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปล สเปซ S จะไดว า 2.1 0≤P(E)≤1 2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณน นั้ ตอ งเกิดขน้ึ แนนอน ถา P(E)=0 หมายถงึ เหตกุ ารณน น้ั ตองไมเ กดิ 2.3 ถา S เปน แซมเปล สเปซ จะไดว า P(S)=1
159 แบบฝก หัดที่ 21. จากการทดลองสมุ ตอไปนี้ จงเขยี นแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนน้ั ๆ (1) ไดหวั สองเหรียญจากการโยนเหรยี ญสองอนั หน่งึ ครั้ง (2) ไดผ ลรวมของแตมบนหนา ลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรอื 6 จากการโยนลกู เตา สองลูกหนงึ่ คร้งั (3) หยบิ ไดสลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรอื 7 หรือ 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กํากับไว (4) ไดนักเรยี นท่ถี นดั มือซา ยในหองเรียนท่ที า นเรยี นอยู (5) ไดสลากท่มี รี างวลั จากการจบั สลากท่ปี ระกอบดวยสลากทมี่ รี างวลั 3 ใบ และไมม ี รางวัล 7 ใบ (6) ไดคําตอบจากครอบครวั 3 ครอบครวั วามจี ักรเย็บผาใชทง้ั สามครอบครวั (7) ไดล ูกบอลสีขาว 2 ลูก สดี ํา 1 ลูก ในการหยิบลูกบอล 3 ลูก จากกลอ งซ่ึงบรรจลุ ูกบอลสี ขาว 3 ลูก และสีดาํ 2 ลกู (8) ไดแ ตม ทเ่ี หมือนกนั หรือไดแ ตม 2 จากลูกเตาลูกใดลกู หน่งึ ในการทอดลกู เตาพรอมกนั สองลูก (9) ไดหัวและแตมท่มี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรียญและทอดลกู เตา หน่ึงลกู หน่งึ ครัง้ (10) ไดส ที ี่ชอบคือ สฟี า หรือสชี มพจู ากการสอบถามนางสาวสชุ าดาถงึ สขี องกระดาษ เช็ดหนา ท่ชี อบสองสีจากสีท้ังหมด 5 สี คอื ขาว ฟา ชมพู เขยี ว และเหลอื ง1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }1 = { 0, 2, 4, 6, 8 } 2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } 3 ={ 2, 3, 4, 5 }และ 4 = { 1, 6, 7 } จงหาสมาชกิ ของ S ที่อยใู นเหตกุ ารณต อไปน้ี(1) 1 3 (2) 1 2(3) 3 (4) 3 4) 2 (6) 1 2) 3(5) S 3
1602. จากเหตุการณ 1 , 2 , 3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตุการณต อ ไปน้ี(1) 1 2 (3) 1 3) 2(2) 1 2) (4) 1 2) 33. ในการสํารวจอายขุ องผปู ว ยแผนกเด็ก (อายไุ มเกนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่งถา 1 เปน เหตุการณท ีผ่ ปู วยมอี ายตุ ั้งแต 1 ถงึ 9 ป2 เปน เหตกุ ารณท ี่ผปู ว ยมอี ายนุ อ ยกวา 5 ปและ 3 เปนเหตกุ ารณท ่ีผูปวยมอี ายุมากกวา 9 ปจงหา (1) 1 2 (3) 1 3 2 (2) 1 2 (4) 2 34 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซึ่งมีเลข 0 ถงึ 9 กํากบั อยู ถาสนใจเลขทเ่ี ขยี นกํากบั ไวใ นสลากใบท่จี บั ได โดยให 1 เปนเหตุการณทเ่ี ลขทีเ่ ขยี นกํากบั ไวเ ปนจํานวนคู 2 เปน เหตุการณท่ีเลขทเ่ี ขียนกํากับไวเ ปน จาํ นวนคี่ 3 เปนเหตกุ ารณท ี่เลขท่เี ขียนกํากบั ไวเปน จาํ นวนเฉพาะ 4 เปนเหตกุ ารณท ่เี ลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวเ ปนจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัวจงเขยี นเหตกุ ารณต อไปนี้ในรปู 1 , 2 , 3 หรอื 4 พรอมทัง้ แจกแจงสมาชิกเมือ่ (1) เลขทเ่ี ขียนกาํ กับไวเปน จาํ นวนคหู รือค่หี รอื จํานวนเฉพาะ (2) เลขทเ่ี ขียนกํากบั ไวเปน จํานวนเฉพาะท่ีหารดวย 3 ลงตวั (3) เลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวไ มเ ปน จาํ นวนคี่ และไมเ ปนจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตัว (4) เลขทเี่ ขียนกํากบั ไวเ ปน จาํ นวนคทู ่เี ปน จาํ นวนเฉพาะ
1614. การนําความนาจะเปน ไปใช การนาํ ความนา จะเปนไปใช ตองการใหผทู ่ศี กึ ษาทราบวาเหตกุ ารณต างๆน้ันมีโอกาสจะเกิดขึ้นมาก หรือนอ ยเพียงใด เพ่ือชว ยในการประกอบการตดั สินใจ เชนตวั อยางที่ 1 ไพส ํารับหนึ่งมี 52 ใบ แบง เปน 2 สี 4 ชนิด คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกับขา วหลามตดัสีดํา ไดแ ก โพดํากับดอกจกิ แตละชนิดมี 13 ใบ จงหาความนา จะเปน ท่หี ยบิ มา 1 ใบแลวไดโ พดําหรือสีแดงวธิ ีทาํ S = ไพท ั้งหมดมี 52 ใบ หยบิ มาทลี ะ 1 ใบจะได 52 วธิ ี ดงั นั้น n(S) = 52 E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส ีแดงมี 26 ใบ ดังนน้ั n(E) = 13 + 26 = 39 จากสูตร p(E) nE แทนคา ได PE 39 3 nS 52 4 ความนาจะเปน ทีห่ ยบิ ไพ 1 ใบแลว ไดโพดําหรอื สีแดง เทา กบั 3 4สรปุ ไดว า ไพ 1 ใบ แลว ไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกิดขนึ้ 75 % ถือวา มโี อกาสเปนไปไดส ูงตัวอยา งที่ 2 ในการหยบิ สลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซ่ึงมเี ลข 0 - 9 กํากบั อยู จงหาความนาจะเปน ท่จี ะหยิบไดเปน จํานวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7วิธีทาํ S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จึงหยิบได 10 วธิ ี S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} n(S)=10 E = สลากทเ่ี ปนจํานวนเฉพาะ E ={2,3,5,7,} n(E)=4 จากสตู ร p(E) nE แทนคาได PE 4 2 nS 10 5 ความนา จะเปนทจี่ ะหยิบไดเ ปน จํานวนจาํ เพาะ เทา กบั 2 5 สรุปไดวา ความนา จะเปน ทจี่ ะหยิบไดเ ปน จาํ นวนจําเพาะ มีโอกาสเกดิ ขนึ้ 40 % ถือวามีโอกาสเกิดขน้ึ นอ ย
162ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลกู เตา 2 ลูก พรอ มกนั 1 คร้ัง จงหาโอกาสท่ผี ลรวมของแตม เปน 13วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลกู จะมผี ลรวมสูงสดุ คอื 6 + 6 = 12 โจทยต องการทราบผลรวมของแตมทจี่ ะเปน 13 จงึ เปน เหตุการณทเ่ี ปน ไปไมไ ด โอกาสทผี่ ลรวมของแตมเปน 13 เทา กับ 0สรุปไดวา โอกาสที่จะทอดลกู เตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตม เปน 13 นั้น ไมม โี อกาสเกิดขนึ้ เลย
163 แบบฝกหดั ท่ี 31. ในการโยนลกู เตา 1 ลกู 1 คร้งั จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ และสรุปถงึ โอกาสทจี่ ะเกดิ ข้นึ วามีมากหรอื นอยเพยี งใด 1) ไดแ ตม 4 2) ไดแ ตม คู 3) ไดแตม มากกวา 4 4) ไดแตม นอยกวา 7 5) ไดแตม มากกวา 0 6) ไดแตมมากกวา 6 หรอื เปน แตมค่ี 7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี............................................................................................ .................................................................................................................................................................... ........................................................2. ทอดลูกเตา 2 ลกู สองครัง้ ความนาจะเปนทจี่ ะไดแตมรวมเปน 7 ในครั้งแรกและไดแตม รวมเปน 10ในครัง้ ท่ี 2 เทา กบั เทาใด.................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ........................................................3. ชางกอสรา งกลมุ หนึง่ มี 10 คน ประกอบดว ย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถา ตอ งการเลอื กชาง7 คน จากกลมุ นี้ ความนา จะเปนทจ่ี ะไดช างปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทา กบั เทาใด.................................................................................................... ............................................................................................................................................................. .......................................................4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซึ่งเปนหลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี ํ้าเงิน 4 หลอดซึ่งเปนหลอดดี 2 หลอด ในการสุม หยิบหลอดไฟครัง้ ละ 1 หลอด 2 ครงั้ แบบไมใสค ืน ความนาจะเปน ที่จะไดหลอดไฟสีเดียวกนั และเปน หลอดดีทงั้ สองครง้ั มีคาเทา กับเทาใด............................................................................................... ................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................... .....................5. กลอ งใบหนึง่ มลี ูกบอลสแี ดง 3 ลูก และสขี าวจาํ นวนหน่งึ โดยท่ีจาํ นวนวิธีการหยิบลกู บอล 2 ลูกเปนลูกบอลสีเหมือนกัน เทา กับ 9 ถาสุม หยบิ ลูกบอลพรอ มพนั 2 ลกู แลว ความนา จะเปนทจ่ี ะไดลูกบอลสขี าวท้งั 2 ลูกเทากบั เทาใด.................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................
164 บทท่ี 9การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพสาระสําคัญ การประกอบอาชีพในสงั คมและในกลุมประชาคมอาเซียนน้นั มหี ลากหลายสาขาอาชีพท้งั ในดานอตุ สาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคิดสรา งสรรค และการบรหิ ารจดั การ อาชพี ในวงการดงั กลาวลวนมกี ารใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรเขา ไปเกย่ี วของเกือบทุกกลมุ อาชีพ ซงึ่ ผเู รยี นสามารถนําความรแู ละทกั ษะท่ีไดเ รยี นคณิตศาสตรใ นระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลายมาประยกุ ตใ ชผลการเรียนรูท ่คี าดหวัง 1. สามารถวเิ คราะหง านอาชีพในสังคมและกลุม ประชาคมอาเซยี นทีใ่ ชทักษะทางคณิตศาสตร 2. มีความสามารถในการเชือ่ มโยงความรตู าง ๆ ทางคณิตศาสตรก ับงานอาชีพไดขอบขายเนื้อหา ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชพี ที่ใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร เรือ่ งท่ี 1 การนาํ ความรูท างคณติ ศาสตรไ ปเชือ่ มโยงกับงานอาชพี ในสงั คมและ เร่ืองที่ 2 ประชาคมอาเซียน
165เรือ่ งท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพทใี่ ชทกั ษะทางคณติ ศาสตร 1.1 กลมุ อาชพี เกษตรกรรม ไดแก อาชพี การทํานา ทําไร การปลกู ผัก การเล้ียงสัตว ประมง ฯลฯ (1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใ่ี ชท ักษะทางคณติ ศาสตร 1. การสํารวจของตลาดที่จะปลกู พชื เกษตรกรรม 2. การเตรยี มพนื้ ท่ดี ิน ซึง่ ขน้ึ อยกู ับความกวา ง ความยาวของพืน้ ทว่ี า ผปู ระกอบการใชพ ้ืนทก่ี ีไ่ ร ก่ีงาน กต่ี ารางวา ในการทําแปลง ขดุ รอง เพื่อใชเ ปน พน้ื ที่นา 1 สว น พ้ืนทป่ี ลกู ผกั 1 สว น บอนํ้า 1 สว น การเล้ยี งสตั ว 1 สว น พนื้ ทอ่ี ยูอาศัย 1 สวน เปนตน 3. การเตรียมเมล็ดพนั ธขุ าว ผกั และพืชพันธุอ ่ืน ๆ 4. การเตรยี มปุยวา ใชข นาดกก่ี โิ ลกรมั ตอไร 5. การรดน้าํ พรวนดิน ซงึ่ ตองกาํ หนดวา รดน้าํ วนั ละ 2 ครงั้ ในปรมิ าณมากนอย เทาไร 6. การฉดี ยาฆา แมลงโดยใชสารกําจดั ศัตรูพืชทางชวี ภาพ เชน สะเดา และ สมุนไพรอื่น ๆ เปนตน ใชค วามรเู รอื่ งอตั ราสวน สัดสว น เพอ่ื ผสมยากาํ จดั ศัตรูพืชกับนา้ํ กอนฉดี พน 7. การเกบ็ เกีย่ วผลผลติ ซึ่งตอ งใชท กั ษะการคาํ นวณระยะเวลาตั้งแตก ารปลกู จนถึงระยะการเก็บเกีย่ วผลผลิต - การตรวจสอบความชื้นของวัสดแุ ละสถานที่เก็บผลผลิต
166 - การคํานวณพนื้ ทใี่ นการเกบ็ รกั ษาผลผลติ 8. การจําหนายผลผลติ ซ่ึงตองใชทกั ษะการจดั ทาํ บญั ชรี ับ – จาย การจดบนั ทกึ จํานวนผลผลิตทไี่ ด 9. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เคร่ืองมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช 1. เคร่ืองคดิ เลข 2. สมุดบันทกึ รายรบั รายจายหรือคอมพิวเตอรโ นต บคุ 3. สมดุ จดบันทกึ ระยะเวลาการเจรญิ เตบิ โตตงั้ แตก ารปลกู จนถึง การเก็บเกีย่ วผลผลติ (3) ความรูทางคณิตศาสตรท ใี่ ช 1. การวดั ความยาว การหาพนื้ ท่ี 2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพื้นทด่ี ิน 3. การช่งั ผลผลิตทีไ่ ด 4. การกาํ หนดราคาขายตอกโิ ลกรัม 5. การบวก ลบ คูณ หาร เร่อื ง คา จางแรงงานและอ่นื ๆ 6. การทําบัญชีรายรบั รายจา ยประจําวนั 7. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา 1.2 กลมุ อาชีพอุตสาหกรรม ไดแก อาชพี พนักงานในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆ ไดแ ก อุตสาหกรรมหองเย็น ถว ยชามอุปกรณเซรามคิ ผา ขนหนู กระดาษและสิง่ พิมพ สแตนเลส เหลก็ พลาสตกิ ปนู ซีเมนต ฯลฯ
167 (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชทักษะคณิตศาสตร 1. การคาํ นวณเงนิ รายไดป ระจาํ วนั 2. การคาํ นวณเงนิ คาทํางานลว งเวลา 3. การคาํ นวณเงนิ กูและดอกเบยี้ คงทหี่ รือดอกเบย้ี ทบตน 4. การทําบญั ชรี ายรับ – รายจา ยประจําวนั 5. การจดั ทําบญั ชพี สั ดุ (การจดั ซ้ือ การเบกิ จา ยพัสด)ุ 6. การสํารวจและวจิ ัยการตลาด 7. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช 1. เคร่อื งคดิ เลข 2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร 3. เครื่องจกั รอตุ สาหกรรมในแตล ะสาขาอตุ สาหกรรม 4. เครื่องบรรจภุ ณั ฑลงกลอ งหรอื แพ็คเปนพลาสติกหอหมุ (3) ความรแู ละทกั ษะทางคณติ ศาสตรที่ใช 1. การคํานวณเงนิ รายไดประจาํ สปั ดาห ประจาํ เดอื นโดยหักวันลาหยุด 2. การคํานวณเงนิ คา ทํางานลว งเวลาเปนจํานวนชว่ั โมงตอคาจางรายชวั่ โมง 3. การคํานวณเงนิ กูและดอกเบีย้ (ดอกเบ้ียคงท,่ี ดอกเบย้ี ทบตน ) 4. การทําบญั ชีรับ – จา ยประจาํ วนั 5. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา 1.3 กลมุ อาชพี พาณชิ ยกรรม ไดแก อาชพี คา ขาย ผูประกอบการรา นอาหารและเครอื่ งดื่มผปู ระกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกจิ การซ้ือขายอสงั หาริมทรพั ย ธุรกิจการซ้ือขายหนุ ในตลาดหลกั ทรัพย อาชีพการทําบญั ชี การตลาด เปน ตน
168 (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชท กั ษะคณิตศาสตร 1. การจัดเตรยี มสถานท่ี การคาํ นวณการจดั วางโตะ เกาอ้ี หรือวัสดุอปุ กรณใ น การขาย 2. การจดั ซื้อวตั ถุดิบในการคา ขายปลกี หรือขายสง 3. การจําหนายสนิ คา การคาํ นวณราคาสินคา ตอหนวย การทอนเงิน 4. การจัดทําบัญชพี สั ดุ (การจดั ซื้อ การเบิกจา ยพัสด)ุ 5. การจดั ทาํ บัญชีรับ – จายประจาํ วนั 6. การฝากเงนิ การถอนเงนิ การออมเงนิ 7. การประชาสมั พันธใ นงานธรุ กิจคา ขายหรือพาณชิ ยกรรม ซง่ึ ตองใชท ักษะใน การคํานวณขนาดของปา ยโฆษณา ขนาดตวั อักษร ขนาดและจํานวนแผน พบั หรือใบปลวิ โฆษณา 8. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบคุ คลธรรมดา (2) เครื่องมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช 1. เครื่องคิดเลข 2. เครื่องเก็บเงิน – ทอนเงนิ 3. เครื่องคอมพิวเตอร 4. เครอ่ื งไมโครเวฟ 5. เครอื่ งปน นา้ํ ผลไม (3) ความรูและทกั ษะทางคณติ ศาสตรท่ใี ช 1. การคาํ นวณขนาดของพืน้ ท่ีใชส อยเพอื่ จัดวาง โตะ เกาอ้หี รือวสั ดุ อปุ กรณในการขาย 2. การคํานวณปรมิ าณการจดั ซื้อวัตถุดบิ ในแตล ะวัน 3. การคาํ นวณในการจัดซื้อพสั ดุ 4. การจดั ทาํ บัญชีรับ – จา ยประจําวนั 5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสมั พนั ธหรอื แผน พับ แผนปลิวโฆษณา 6. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา 1.4 กลมุ อาชีพดานความคดิ สรางสรรค ไดแก ธรุ กจิ โฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตงทอี่ ยอู าศัยสํานกั งานและสวนหยอม การจดั ดอกไมแ ละแจกนั ประดับ ธรุ กิจการทาํ พวงหรดี การจดั กระเชา ของขวญั เปนตน
169(1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใี่ ชท ักษะคณติ ศาสตร 1. การจดั เตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพนื้ ทีห่ รอื ช้ินงานในการจดั ทําธรุ กจิ ซงึ่ ตอ งใชก ารวดั ความกวาง ความยาว ความสงู ของพ้นื ทห่ี รือช้นิ งาน การออกแบบรูปทรงโดยใชร ปู เรขาคณติ สามมิติ 2. การคาํ นวณปริมาณของวสั ดุอุปกรณในการใชประดิษฐส รางสรรคชน้ิ งาน หรอื การจัดตกแตงสวนหยอม 3. การคํานวณเพอ่ื กําหนดราคาขายสนิ คา 4. การจดั ทําบัญชีพัสดุ (การจดั ซื้อ การเบกิ จา ยพัสด)ุ 5. การจดั ทําบัญชรี บั – จาย ประจําวัน 6. การประชาสมั พนั ธใ นอาชีพธรุ กจิ ทกุ ประเภท ซ่ึงตองใชท ักษะในการคํานวณ เปนพื้นฐานในการจัดทาํ แผน ปายประชาสัมพันธหรือแผน พบั แผนปลิว 7. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา(2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช 1. เครอ่ื งคิดเลข 2. เครือ่ งคอมพิวเตอร 3. โปรแกรมสําเรจ็ รูปในการออกแบบสินคา(3) ความรูและทกั ษะทางคณติ ศาสตรท ่ใี ช 1. การคํานวณพ้นื ท่ผี วิ ปรมิ าตรของพน้ื ที่หรือออกแบบรูปทรงทใี่ ชใน การทํางานอาชีพ 2. การคํานวณปริมาณของวสั ดุ อปุ กรณท ใ่ี ชประดษิ ฐ สรา งสรรค ชิ้นงาน 3. การคาํ นวณตน ทนุ และกําไร เพือ่ กําหนดราคาขายสนิ คา 4. การจัดทําบญั ชีพัสดุ (การจดั ซอ้ื การเบกิ จายพสั ด)ุ 5. การจัดทําบัญชรี ับ – จายประจาํ วัน 6. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา
170 1.5 กลมุ อาชพี บริหารจดั การและการบรกิ าร ไดแ ก อาชพี กลุม งานบริการและการทองเท่ียวงานบริการรักษาความปลอดภยั บรกิ ารดแู ลทารกและเดก็ บริการดแู ลผูสงู อายุ บริการสันทนาการและการกฬี า เปนตน (1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใี่ ชทกั ษะคณิตศาสตร 1. การสํารวจพน้ื ทใ่ี นการใหบ รกิ าร การคํานวณระยะทางในการใหบรกิ าร 2. การจัดซอื้ วัสดุ อปุ กรณใ นการใหบริการ 3. การรบั สมคั รและกาํ หนดเงินเดือนตามตาํ แหนงงานของเจาหนาทใี่ น การใหบรกิ าร 4. การจัดทาํ ตารางเวลา การอยูเ วร - ยามของเจาหนาทปี่ ระจาํ สํานักงาน 5. การจดั ทาํ กําหนดการทอ งเท่ยี วและการใหบริการ รวมทง้ั กําหนดราคาขาย บรกิ ารในแตละพ้นื ที่ 6. การคํานวณการใชนาํ้ มนั เช้ือเพลงิ ของยานพาหนะท่ีใหบ ริการ 7. การจัดทําบญั ชีพัสดุ และการเบกิ จา ยพสั ดุ 8. การจัดทาํ บัญชีรบั – จายประจําวนั 9. การจดั ทาํ แผนปายโฆษณา ประชาสมั พันธก ารใหบรกิ าร 10. การจัดทาํ สรุปรายงานและการนาํ เสนอขอ มลู 11. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา (2) เคร่ืองมือและเทคโนโลยีทใ่ี ช 1. เครือ่ งคิดเลข 2. เคร่อื งคอมพวิ เตอร 3. เครอ่ื งออกกาํ ลงั กาย 4. อปุ กรณใ นการเตรียมอาหาร น้าํ ด่มื นมแกท ารกเดก็ และผสู ูงอายุ 5. ยานพาหนะในการใหบ รกิ าร 6. แผนทีข่ องสถานท่ีหรอื จดุ ท่ใี หบรกิ าร
171 (3) ความรูและทกั ษะทางคณิตศาสตรท่ีใช 1. การคาํ นวณพ้ืนท่ีและการวัดระยะทาง 2. การคํานวณปรมิ าณของวัสดุ อปุ กรณท่จี ําเปน ตอ งจดั ซือ้ จัดหาเพ่อื ใหบรกิ าร 3. การคํานวณเงนิ เดอื นและกําหนดตําแหนง งานของเจา หนา ท่ี 4. การจัดทาํ ตารางการปฏบิ ตั ิงาน 5. การคาํ นวณการใชเช้อื เพลงิ รถยนตตอระยะทางทใ่ี หบรกิ าร 6. การจัดทําบญั ชเี บอ้ื งตน 7. การใชส ถิตใิ นการจัดทาํ สรปุ รายงานหรอื นําเสนอขอมูล 8. การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดาเรอ่ื งที่ 2 การนําความรทู างคณติ ศาสตรไ ปเชอ่ื มโยงกบั งานอาชีพในสังคมและประชาคมอาเซยี น ในการนําความรคู ณิตศาสตรไ ปเชอื่ มโยงกบั งานอาชพี ท้งั 5 กลุม งานอาชพี ท้ังกลุมงานอาชพีเกษตรกรรม กลมุ งานอาชพี อตุ สาหกรรม กลุมงานอาชีพพาณิชยกรรม กลมุ งานอาชีพความคดิ สรางสรรคและกลมุ งานอาชพี ดา นบรหิ ารจดั การและบรกิ ารทตี่ อ งนําทักษะความรูทางคณติ ศาสตรม าใชท กุ กลมุอาชีพ เชน การจัดทําบญั ชีรายรับ – รายจา ยประจาํ วนั ประจาํ เดอื น การคํานวณเงนิ คา จา ง การคํานวณภาษเี งินไดบ คุ คลธรรมดา เปนตน กลุมอาชีพทกุ กลมุ อาชีพอาจจะใชทกั ษะความรูคณิตศาสตรต า งกันออกไป ดงั น้นั ในบทนจ้ี ะนําเสนอตวั อยางทเ่ี ปนทักษะทางคณิตศาสตรท ใี่ ชก นั มากเทา นน้ั2.1 ทักษะการจดั ทําบญั ชีรบั - จายประจําวันตวั อยา งที่ 1 การจดั ทําบัญชรี ายรบั – รายจา ยประจาํ วนั ของเกษตรกรปลกู ผัก วันที่ 10 ตุลาคม 2554 จายคาเมล็ดพันธุและปุย 2,000 บาท คานํา้ คาไฟ 480 บาท จา ยคา อาหาร 200 บาท ไดรบั เงนิ จากการขายผัก 1,500 บาท วนั ที่ 12 ตุลาคม 2554 จายคา อาหาร 280 บาท จา ยคา โทรศพั ท 590 บาท จา ยคา นาํ้ มนั รถยนต 1,100 บาท ไดรับเงนิ จากการขายผกั 3,600 บาท วันท่ี 15 ตลุ าคม 2554 จา ยคาหนังสอื 300 บาท จา ยคาอาหาร 500 บาท จายคา น้าํ ดมื่ 250 บาท จายคาเสอ้ื ผา 1,800 บาท ไดรบั เงินจากการขายผกั 2,200 บาท วนั ที่ 16 ตลุ าคม 2554 จายคาอาหาร 300 บาท จายคา บัตรชมภาพยนตร 400 บาท จายคา ถงุ พลาตกิ 480 บาท ไดร บั เงนิ จากการขายผกั 3,000 บาท
172วัน เดอื น ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วัน เดือน ป รายการจา ย จํานวนเงนิ10 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผกั บาท สต. บาท สต.12 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผัก 2,000 -15 ต.ค. 54 รบั เงนิ จากการขายผัก 1,500 - 10 ต.ค. 54 คา เมล็ดพันธุแ ละปุย 480 -16 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผกั คาน้ํา คาไฟฟา 200 - รวม 280 - คาอาหาร 590 - 1,100 - 3,600 - 12 ต.ค. 54 คา อาหาร 300 - 500 - คาโทรศพั ท 250 - 1,800 - คา นา้ํ มันรถยนต 300 - 400 - 2,200 - 15 ต.ค. 54 คา หนังสอื 480 - 8,680 - คา อาหาร 1,620 - คา นํา้ ดม่ื คาเสื้อผา 3,000 - 16 ต.ค. 54 คา อาหาร คา บัตรชมภาพยนตร คา ถุงพลาสติก 10,300 - รวม ยอดคงเหลอื ยกไป2.2 ทักษะการคํานวณเงนิ คา จางตัวอยางที่ 2 พเยาวเปนพนกั งานทําความสะอาดของบรษิ ัทแหง หนง่ึ ซึ่งกําหนดเวลาทํางานวันจันทร ถึงวันเสารไดรบั คา จางเปนรายวนั ๆ ละ 320 บาท พเยาวม สี ิทธไิ ดร บั คาจา งในวนั หยดุ ตามประเพณแี ละวันหยดุ พกั ผอนประจําปโดยไมต อ งทํางาน ในเดือนตุลาคม พเยาวมา ทาํ งานทุกวนั ในวันทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ และวนั ท่ี 1 ตุลาคมตรงกบั วันจนั ทรใ น เดือนนีม้ วี ันหยดุ ตามประเพณี 1 วนั คอื วนั ที่ 23 ตลุ าคม อยากทราบวา ในเดอื นน้ีพเยาว ไดร บั คา จางเทา ไร
173วิธที าํ เดือนตลุ าคม อาทิตย จันทร องั คาร พธุ พฤหัส ศุกร เสาร 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 เดือนตลุ าคม พเยาวไดร ับคา จางในวันทํางาน 26 วนั และมสี ทิ ธิไดร ับคาจางในวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน และไดร ับคา จา งวนั ละ 320 บาท ดังนั้น พเยาวไ ดรับคาจางในเดอื นตุลาคม = (26 + 1) 320 = 8,640 บาท2.3 ทกั ษะการคาํ นวณเงนิ คานายหนาและเงนิ ปนผลตัวอยางที่ 3 นายสัญชัยเปน ตวั แทนขายเครอื่ งไฟฟา ซึ่งมีราคา 4,500 บาทใหกับบรษิ ทั แหงหนึ่งวธิ ที าํ บรษิ ทั คดิ คานายหนา 10% อยากทราบวา สญั ชยั ตอ งสงเงนิ ใหบ รษิ ัทเทา ไร บําเหนจ็ ตวั แทนในการขาย = 10 4,500 = 450 บาท 100 ดังนั้น สัญชัยตอ งสงเงินใหบริษทั = 4,500 – 450 = 4,050 บาทตวั อยา งท่ี 4 ภทั รามหี นุ ปรุ มิ สทิ ธิของบริษัทจําหนายเครอ่ื งใชไฟฟา แหงหน่ึง จํานวน 150 หุน มูลคาวิธีทาํ หนุ ละ 100 บาท อัตราเงนิ ปนผล 10% ส้ินปเ ขาจะไดร บั เงนิ ปน ผลทงั้ สน้ิ เทาไร เงนิ ปนผลตอ หุนของหุน ปรุ มิ สทิ ธิ = อัตราเงินปน ผล มลู คา หุนปรุ มิ สิทธิ = 10% 100 = 10 100 100 = 10 บาท ภัทรามหี ุนปุรมิ สิทธจิ ํานวน 150 หนุ ดงั น้ัน ภทั ราจะไดรบั เงินปน ผลทั้งส้นิ = 150 10 = 1,500 บาท
1742.4 ทักษะการใชสถิตใิ นการสรุปรายงานหรอื นําเสนอขอ มลูตวั อยางที่ 4 การสรุปรายงานการดาํ เนนิ งานโครงการอบรมคอมพวิ เตอรส าํ หรบั พนกั งานผลการดําเนินงาน บริษทั นา้ํ มนั แหงหนึ่งไดจ ดั ทาํ โครงการอบรมคอมพิวเตอรส ําหรับพนักงาน โดยดาํ เนนิ การเปน3 รุน ดงั น้ี รุนท่ี โปรแกรมอบรม วันทีอ่ บรม จํานวนผูเ ขาอบรม 1 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Excel 5 – 9 ก.ย. 54 10 2 การใชโ ปรแกรม PhotoShop 12 – 16 ก.ย. 54 10 3 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Access 19 – 23 ก.ย. 54 10 เมอื่ ดําเนินการอบรมและมกี ารประเมนิ ผลการอบรมโดยผจู ัดการอบรมไดด าํ เนนิ การทดสอบความรู ความเขา ใจแกพ นกั งาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลังการอบรม เพอื่ ตรวจสอบความกา วหนาวา ภายหลังการอบรมพนักงานไดร บั ความรูเพมิ่ ข้ึนจากชวงกอ นเขารบั การอบรมมากนอ ยเพยี งใด โดยพจิ ารณาจากคะแนนเฉล่ยี ของผเู ขารับการอบรมในแตล ะรนุ ซง่ึ สรปุ ข้ันตอนการคาํ นวณและผลการดําเนนิ การไดดังน้ี 1. นําแบบทดสอบวัดความรู ความเขา ใจในเน้ือหาการอบรมใหผูเขา อบรมทั้ง 10 คนตรวจใหคะแนนของผูเขาอบรมแตละคนวา ไดค นละกค่ี ะแนน ซ่ึงแตละรุน แบบทดสอบจะมคี ะแนนเตม็20 คะแนน เทา กนั ทง้ั 3 รนุ แลว นํามากรอกคะแนนเปนรายบุคคลตั้งแตค นที่ 1 – 10 ลงในแบบบันทกึคะแนน เพ่ือคาํ นวณคา เฉลี่ยของคะแนน ( x ) ในแตล ะรนุ ดงั น้ี คะแนนกอ นการอบรม คะแนนหลงั การอบรมคนที่ (คะแนนเต็ม 20 คะแนน) (คะแนนเตม็ 20 คะแนน) โปรแกรมรุน โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรุน โปรแกรมรุน โปรแกรมรุน ที่ 1 ท่ี 2 ท่ี 3 ท่ี 1 ที่ 2 ท่ี 31 8 9 7 15 14 142 7 6 8 14 13 133 9 5 9 17 12 154 10 7 8 16 15 125 7 5 7 15 11 166 8 8 6 14 13 147 6 7 10 16 12 13
175 8 11 10 9 18 14 15 6 8 13 12 13 99 5 7 14 13 12 68 79 152 129 137 10 10คะแนนรวม 85ของทงั้ 10 คนคาํ นวณคะแนน ( x ) = 85 10 ( x ) = 68 10 ( x ) = 79 10 ( x ) = 152 10 ( x ) = 129 10 ( x ) = 137 10เฉลีย่ โดยนาํ = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7คะแนนรวม คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน คะแนนหารดว ยจาํ นวน เฉลี่ย = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลีย่ = เฉลีย่ = เฉลย่ี = 6.8 คะแนน 7.9 คะแนน 15.2 คะแนน 12.9 คะแนน 13.7 คะแนนคนท้ังหมด คือ 8.5 คะแนน10 คนคํานวณรอยละ = 8.5100 = 6.8100 = 7.9100 = 15.2100 = 12.9100 = 13.7100ของคะแนน 20 20 20 20 20 20เต็ม 20 คะแนน = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.50 %2. นาํ คะแนนเฉลี่ยท่ีคาํ นวณไดและผลการคาํ นวณวา คะแนนเฉลี่ยนนั้ คิดเปนรอ ยละเทา ไรของคะแนนเตม็ จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรุปรายงาน ดังน้ี คะแนนเฉลยี่ (x ) คะแนนเฉลย่ี (x )โปรแกรมการอบรม จากคะแนนเต็ม 20 คะแนน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน กอนการอบรม คดิ เปน รอยละ หลงั การอบรม คิดเปน รอยละ ของคะแนนเต็ม ของคะแนนเต็มรนุ ที่ 1 การใชโปรแกรม 8.50 42.50 15.20 76.00ไมโครซอฟท Excelรนุ ท่ี 2 การใชโ ปรแกรม 6.80 34.00 12.90 64.50PhotoShopรนุ ที่ 3 การใชโ ปรแกรม 7.90 39.50 13.70 68.50ไมโครซอฟท Access จากตาราง พบวา เมอื่ พจิ ารณาจากคะแนนเฉลยี่ ของผเู ขา รบั การอบรมหลงั การอบรมท้งั 3 รนุจะเห็นไดวา มคี ะแนนเฉลี่ยเพม่ิ ข้ึนจากคะแนนเฉล่ยี กอ นการอบรมทกุ รุน กลา วคอื แสดงวา ผเู ขา รับการอบรมสว นใหญไ ดรบั ความรู ความเขา ใจเพมิ่ มากขนึ้ ในเน้ือหาท่ีบรษิ ัทไดจดั อบรมใหพนักงาน และพบวารนุ ท่ี 1 ไดค ะแนนเฉลี่ยมากท่ีสุด คอื ไดค ะแนนเฉล่ยี 15.20 คะแนน คดิ เปน รอยละ 76.00 ของคะแนนเต็มรองลงมา คอื รนุ ที่ 3 ไดคะแนนเฉล่ยี 13.70 คะแนน คิดเปน รอยละ 68.50 ของคะแนนเต็ม สวนรนุ ท่ี 2 นนั้ไดค ะแนนเฉลย่ี นอ ยทส่ี ดุ คอื ไดค ะแนนเฉลี่ย 12.90 คะแนน คิดเปนรอ ยละ 64.50 ของคะแนนเต็ม
1762.5 ทกั ษะการคํานวณภาษเี งินไดบ คุ คลธรรมดาตวั อยาง นายโชคไดร ับเงินเดอื น ๆ ละ 28,000 บาท ส้นิ ปสามารถหักคาใชจายไดร อ ยละ 40 ของเงินได พงึ ประเมนิ แตไ มเ กนิ 60,000 บาท หักคา ลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท หกั คาเบี้ยประกนั ชีวติ 25,000 บาท หักดอกเบยี้ เงินกยู ืมเพอ่ื ซ้อื บา น 36,450 บาท ส้นิ ปนายโชคยนื่ แบบแสดงรายการ ภาษเี งนิ ไดบ ุคคลธรรมตองชาํ ระภาษีหรอื ไม ถา ชาํ ระตอ งชาํ ระภาษเี ปน เงินเทา ไรวธิ ที าํ เงินไดพ งึ ประเมนิ ของนายโชค = 28,000 12 = 336,000 บาท หัก คาใชจา ย รอยละ 40 ของเงินไดพงึ ประเมิน แตไมเกนิ 60,000 บาท คาใชจ าย 40 336,000 = 134,400 บาท 100 แตคา ใชจ ายของนายโชคคาํ นวณได 134,400 บาท แตส ามารถหักไดแค 60,000 บาทเทา นัน้ หกั คา ลดหยอ นผมู ีเงนิ ได 30,000 บาท คา เบี้ยประกนั ชวี ิต 25,000 บาท ดอกเบย้ี เงินกูยมื เพื่อซอ้ื บาน 36,450 บาท รวมหักคาลดหยอ นได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท เงนิ ไดสุทธขิ องนายโชค = เงินไดพงึ ประเมิน – (คา ใชจ า ย + หักคาลดหยอน) = 336,000 – (60,000 + 91,450) = 184,550 บาท ตามตารางอัตราการเสียภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดา เงินไดสทุ ธิ 0 – 150,000 บาท ไมตองเสยี ภาษีสว นท่ีเกนิ 150,000 – 500,000 บาท เสียภาษี 10% นายโชคมเี งินไดส ทุ ธทิ ่ตี อ งเสยี ภาษี = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท = 34,550 10 = 3,455 บาท 100 นายโชคเสียภาษี 3,455 บาท ตารางอัตราภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดาขัน้ เงินไดสทุ ธิตงั้ แต เงนิ ไดสุทธิ เงนิ ไดสทุ ธิ อตั ราภาษี ภาษเี งินได ภาษใี นแตละ ภาษีสะสม จาํ นวนสงู สุด แตล ะข้ัน รอ ยละ ข้นั เงินได สงู สดุ ของขน้ั ของขั้น 0 ถึง 100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... ยกเวน 0เกิน 100,000 ถงึ 150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... ยกเวน 0เกิน 150,000 ถงึ 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 35,000เกิน 500,000 ถึง 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 135,000เกิน 1,000,000 ถึง 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000 1,035,000เกิน 4,000,000 บาทข้นึ ไป .......... … 37 .............. … รวม
1772.6 การคํานวณในการจัดทาํ แผน ปายโฆษณาเพือ่ ประชาสัมพันธก ารใหบ รกิ ารตัวอยา งทําแผน โฆษณาเชญิ ชวนการทอ งเทย่ี วในจังหวดั โดยมขี นาดแผน โฆษณาทท่ี ําดว ยแผน ไวนลิมขี นาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรา นคดิ คา ออกแบบ 400 บาท คา จดั ทําตารางเมตรละ250 บาท จะตอ งจา ยเงนิ ทั้งหมดเทา ไรวธิ ีทํา พ้นื ท่แี ผนไวนิลที่ใชโ ฆษณา = กวา ง ยาว = 1.2 1.5 = 1.8 ตารางเมตรคาจัดทาํ = 1.8 250 = 450 บาท จะตอ งจา ยเงนิ ท้งั หมด = คาจดั ทํา + คา ออกแบบ = 450 + 400 = 850 บาท
178 แบบฝก หดั ที่ 11. ศภุ างคเ ปน พนกั งานของโรงงานเย็บเสอ้ื ผาสําเร็จรปู แหง หนงึ่ ซึ่งกําหนดเวลาทาํ งานตามปกตวิ ันละ 8 ชัว่ โมง ไดร ับเงินเดือน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศุภางคมรี ายไดว ันละเทาไร และศุภางคม รี ายได ชว่ั โมงละเทา ไร______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. สุภาพเปนพนกั งานของโรงงานผลิตเคร่อื งปรบั อากาศแหงหนง่ึ ซ่ึงกาํ หนดเวลาทํางานวันจนั ทรถึง วันศกุ รไ ดร บั คาจางเปนรายวนั ๆ ละ 370 บาท สภุ าพมีสทิ ธิไดรับคาจา งในวนั หยุดตามประเพณแี ละ วนั หยุดพกั ผอนประจําปโ ดยไมต องทํางานในเดอื นธันวาคม สุภาพมาทํางานทกุ วนั ในวันทาํ งานตาม เวลาทาํ งานปกติและวนั ที่ 1 ธันวาคม ตรงกับวนั อาทิตยใ นเดอื นนี้มวี นั หยดุ ตามประเพณี 3 วัน คือ วันที่ 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดือนธนั วาคมนี้ สภุ าพไดรบั คา จา งเทา ไร______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1793. ธดิ าเปน พนักงานของบรษิ ทั แหง หน่งึ ซึ่งกําหนดเวลาทาํ งานวนั จนั ทรถ ึงวนั ศกุ ร เวลาทาํ งานปกตติ ัง้ แตเวลา 08.00 – 17.00 น. หยุดพกั ระหวางเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดิ ามรี ายไดเดอื นละ 12,000 บาทในเดอื นสิงหาคม วนั ที่ 1 ตรงกับวนั จันทรแ ละในเดือนน้มี ีวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน คือ วันที่ 12สงิ หาคม ธดิ ามสี ทิ ธไิ ดร บั คาจา งในวนั หยดุ ทกุ ประเภทโดยไมตองทาํ งาน ในเดอื นน้ธี ิดามาทาํ งานทุกวัน ทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ ถานายจางใหธิดามาทาํ งานในวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน ไดร ับคา จา งอีก 1 เทา และทํางานในวนั เสารไ ดร บั คาจางเพม่ิ เปน 2 เทา ของคาจา งปกตอิ กี 4 วนั ระหวางเวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคาทํางานในวนั หยุดทั้งหมดและรายไดท้งั หมดของธิดาในเดอื นสงิ หาคมนี้______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. จงทาํ บญั ชีรายรับ – จายของตวั เองใน 1 สัปดาหบัญชรี ายรับ – จายของ ...................................................วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วัน เดอื น ป รายการจา ย จํานวนเงนิ บาท สต. บาท สต.5. นางอญั ชลีเปนตัวแทนขายเครอื่ งครัวทีม่ ีราคา 45,000 บาท ใหก ับบรษิ ัทแหง หนึ่ง บรษิ ทั คดิ คานายหนา 30% อยากทราบวานางอญั ชลไี ดเ งินคานายหนา เทาไร
180____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. พจมานถือหนุ ปุริมสทิ ธขิ องบริษทั ผลติ กระเบ้อื งแหงหนง่ึ จาํ นวน 1,500 หนุ มลู คา หุน ละ 160 บาท อัตราเงนิ ปน ผล 5% เมื่อสิน้ ปพจมานจะไดเงนิ ปน ผลทงั้ หมดเทาไร____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1817. สภุ ทั ราเปน พนักงานบรษิ ทั ผลติ แชมพูสระผมแหงหน่งึ ไดร ับมอบหมายจากบริษัทใหทําการสาํ รวจ ความนยิ มของสีขวดทใี่ ชบรรจแุ ชมพสู ําหรับกลุมเปาหมายวัยรุน จาํ นวน 50 คน สภุ ทั ราจะดาํ เนินการ อยา งไรตงั้ แตก ารสํารวจจนถงึ การนาํ เสนอขอ มลู_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8. ศกั ดมิ์ ีรายไดเ ดือนละ 25,000 บาท สิน้ ปสามารถหกั คา ใชจา ยไดร อยละ 40 ของเงินไดพึงประเมนิ แต ไมเกิน 60,000 บาท สามารถหักคาลดหยอ นผูมเี งนิ ได 30,000 บาท หักคาเบ้ยี ประกนั ชวี ติ 50,000 บาท หักคา เบยี้ ประกนั สุขภาพของมารดาของนายศกั ด์ิ 20,000 บาท ส้นิ ปนายศกั ดยิ์ น่ื แบบแสดงรายการ ภาษีเงินไดบคุ คลธรรมดาตองชาํ ระภาษีหรือไม ถาชําระภาษเี ปนเงินเทาไร____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1829. แผน ไวนลิ โฆษณาเชญิ ชวนการบรจิ าคชว ยเหลอื ผปู ระสบภัย มขี นาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร ทางรานคิดคาออกแบบ 500 บาท คา จัดทาํ ตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจา ยเงินท้ังหมดเทา ไร________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
183เฉลยแบบฝกหดั
184 เฉลย บทที่ 1 ระบบจาํ นวนจริงแบบฝกหัดที่ 11.จาํ นวนทกี่ ําหนดใหตอไปนี้จํานวนใดเปน จํานวนนับ จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ หรอื จํานวนอตรรกยะขอ จํานวนจริง จาํ นวนนับ จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ1 9, 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9, 7 , 5 2 ,0 ,1 2 23 3, 12 23 2 3 , 12 -132 5,7 7 ,3,12, 5 7 7 ,3 ,12 , 5 34 343 2.01,0.666...,-13 2.01, 0.666, …,-134 2.3030030003... 2.3030030003...5 , 1 , 6 , 2 ,7.5 25, 3 , 12 6 , -7, 5 1 , 6 , -7.5 , 2 33 2 3 33 2 25, -17, 126 25,17, 12 , 9,3,12, 1 25, -17, 3 1 52 12, 9 5 2 9 , 3, 122. จงพิจารณาวาขอ ความตอ ไปนเ้ี ปนจริงหรือเทจ็ 1) จริง 2) จรงิ 3) เท็จ 4) จรงิ 5) จรงิ 6) เทจ็
185แบบฝก หัดท่ี 21. ใหผเู รยี นเติมชอ งวา งโดยใชสมบตั กิ ารเทา กัน 9. ถา a = b แลว a +5 = b + 510. ถา a = b แลว -3a = -3b11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 513. ถา x2 2x 1 x 12 แลว x 12 x2 2x 114. ถา x 3 y แลว 2x = 3y 215. ถา x2 1 2x แลว x 12 = x2 2x 1 16. ถา ab a b แลว 1 ab = 1 (a b) 222. กําหนดให a , b และ c เปนจาํ นวนจริงใดๆ จงบอกวา ขอความในแตละขอตอไปนี้เปน จรงิ ตามสมบตั ใิ ด1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบัตกิ ารสลับทขี่ องการบวก2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ ของการบวก3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการบวก4) (8 9) เปนจาํ นวนจริง สมบตั ิปดของการคณู5) 5 3 = 15 = 3 5 สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการคูณ6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุมของการบวก8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการบวก9) 4 (5 + 6) = (4 5) + (4 6) การแจกแจง10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง3 . เซตทกี่ าํ หนดใหใ นแตล ะขอตอ ไปน้ี มหี รอื ไมมสี มบตั ปิ ดของการบวกหรอื สมบตั ิปด ของการคณู1) { 1 , 3 , 5 } มีสมบัติปด การบวก, การคณู2) { 0 } มสี มบตั ิปด การบวก3) เซตของจํานวนจรงิ มี4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี5) เซตของจาํ นวนที่หารดว ย 3 ลงตัว มี
1864. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนในแตละขอ 1) อนิ เวอรสการบวกของ 8 คอื -8 2) อนิ เวอรสการบวกของ - 5 คือ 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 คือ 0.567 4) อินเวอรส การคูณของ 3 2 คอื 1 3 2 5) อินเวอรสการคณู ของ 1 คอื 5 3 5 3แบบฝก หัดที่ 31. ใหผเู รยี นบอกสมบัตกิ ารไมเทากนั (เมอื่ ตัวแปรเปน จํานวนจริงใดๆ) 9. ถา x 3 แลว 2x 6 สมบตั กิ ารคณู ดวยจาํ นวนเทากบั ทไี่ มเทา กบั ศนู ย 10. ถา y7 แลว -2y -14 สมบตั กิ ารคณู ดว ยจํานวนเทากบั ทไ่ี มเทากับศูนย 11. ถา x+1 6 แลว x+2 7 สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนทเ่ี ทา กนั 12. ถา y+3 5 แลว y 2 สมบตั กิ ารตัดออกสาํ หรับการบวก 13. ถา x 7 และ 7 y แลว xy สมบตั กิ ารถา ยทอด 14. ถา a 0 แลว a+1 0 +1 สมบัติการบวกดว ยจํานวนทเี่ ทา กัน 15. ถา b 0 แลว b + (-2) 0+(-2) สมบตั กิ ารบวกดว ยจํานวนที่เทา กนั 16. ถา c -2 แลว (-1)c (-1)(-2) สมบัตกิ ารคณู ดวยจํานวนเทากันท่ไี มเ ทา กับศนู ย2. จงใชเ สนจํานวนแสดงลักษณะของชว งของจํานวนจรงิ ตอ ไปน้ี 1) (2,7)2) [3,6]3) [-1,5)
1874) (-1,4]5) (2, )6) (- ,4)7) (0,8)8) [-5,4)แบบฝกหดั ท่ี 4 เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x | x -2 หรอื x 2} -3 < x < 3เซตคาํ ตอบคําตอบของอสมการ คอื { x | -3 < x <3}
188เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x |1< x <7} X 5 หรอื X 1 X 5 หรือ X 1เซตคาํ ตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x 5 หรือ x -1}5 – x < 0 หรือ 5 – x > 0 0 5–x 0 -5 -x -5-x < -5 -x > -5 5x5 x>5 x<5 -8 < 3x – 4 < 8-1 2x – 9 1 - 8 +4 < 3x < 8 +4-1 + 9 2x 1 + 9 -4 < 3x < 12 8 2x 10 4 < x<4 4 x 5 30 6 – 3x 0 |2 – 4x < 0 หรือ 12 – 4x > 0-6 -3x -6 -4x < -12 หรือ – 4x > -122 x 0 x > 3 หรอื x < 3
189 เฉลย บทท่ี 2 เลขยกกําลงัแบบฝกหดั ที่ 11. จงบอกฐานและเลขชก้ี ําลงั ของเลขยกกําลงั ตอ ไปน้ี 1) ฐานคอื 6 เลขช้ีกาํ ลงั คอื 3 2) ฐานคือ 1.2 เลขช้กี าํ ลงั คือ -5 3) ฐานคือ -5 เลขช้กี ําลังคอื 0 4) ฐานคือ 1 เลขชีก้ าํ ลงั คอื 3 22. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี1) - 1,0242) 1 6253) 1.7284) 273. จงทําใหอ ยูในรูปอยางงายและเลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนเตม็1. a82. 12 56 15,625 53. 2 20 34. 1.1155. x10
190แบบฝก หดั ที่ 21. จงหาคาของรากที่ n ของจาํ นวนจรงิ ตอไปนี้ 1) 5 2) 8 3) -3 4) -5 5) 2 3 6) 2 7) 5 8) 64 8 ไมเ ปน จํานวนจริง 9) -2 10) 4 16 2 ไมเ ปนจํานวนจริง2. จงเขยี นจาํ นวนตอไปนใ้ี หอยใู นรปู อยางาย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n1) 52 = 5 2) 3 23 = 23) 3 (2)3 = (-2) 4) 5 (2)5 = (-2)5) (3)2 = (-3) 5) 4 (2)4 = (-2)6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 38) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 510) 5 15 = 75 5 3 11) 3 81 3 32 = 63 1212) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35 9 93 3 82
191แบบฝก หดั ที่ 3 3 50 651. จงทําจํานวนตอไปนีใ้ หอ ยใู นรูปอยางงา ย 15 2 30 1) 2x 2 2) 4 3) 2y 2 4) (-2) 5) 6 2 2 4 2 9 2 6) 3 5 10 3 52 5 = = 7) 3 8a3 2a 8) 33 2 3 4 33 8 6แบบฝก หดั ที่ 41. จงทาํ จาํ นวนตอไปนใ้ี หอยูในรปู อยา งงา ย1) 8x2วธิ ที ํา 8x2 = 222xx = 2x 22) 3 =3 3 3 3 3 3 27วธิ ที าํ 3 3 27 = 3 = -1 33) ( 2 8 18 32)2วธิ ที าํ ( 2 8 18 32)2 = 2 22 23 24 2 = 10 2 2 = 1002 200
1924) 5 32 26 3 27 3 (64) 2 วธิ ีทํา 5 32 26 = 2 64 3 27 3 3 3 82 2 (64) 2 = 2 64 3 83 = 2 1 38 = 16 3 13 24 24 24 21 5) 8 3 18 2 4 144 6 21 2 วิธที ํา 8 3 18 2 = 23 3 18 4 144 6 4 144 6 = 43 24 9 = 23 49 1 6) 3 125 32 3 (8)2 1 (27) 2 1 วธิ ีทาํ 3 125 32 = 5 1 3 (8)2 1 49 (27) 2 = 45 4 49 = 113 36 36 36
193 เฉลย แบบฝกหดั บทท่ี 3 เซตแบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขียนเซตตอไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ 1) { สมทุ รสาคร,สมุทรสงคราม,สุพรรณบรุ ี,สุรินทร,สรุ าษฏรธ าน,ี สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว , สระบุรี,สิงหบรุ }ี 2) { a,e,i,o,u } 3) { 100,101,…,999} 4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18} 5) { -121,-122,-123,….} 6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14} 7) { } 2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) 1 2) 6 3) 24 4) 8 3. จงเขียนเซตตอ ไปนแี้ บบบอกเง่อื นไข 1) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ คูและ 2 x 8 } 2) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก } 3) { x | x = x2 เปน จํานวนเต็มซงึ่ x = 1,2,3,… } 4. จงพจิ ารณาเซตตอ ไปนี้ เปน เซตวางเรอื เซตจาํ กดั หรือเซตอนันต 1) เซตจํากัด 2) เซตจํากดั 3) เซตอนันต 4) เซตวาง 5) เซตวาง 6) เซตวาง 7) เซตจาํ กดั 8) เซตวา ง 9) เซตจํากัด
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254