دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث شعب علمية سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻭﻴﻼﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﻴﺔ‪-‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻹﺤـﺼــﺎﺀ‬ ‫ﺍﻻﺤـﺘـﻤـﺎﻻﺕ‬‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﻹﻋﻼم و اﻻﺗﺼﺎل‬

‫ﺍﻟﺘﺤﻭﻴـﻼﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﻴـﺔ ﺍﻟﺘﺤـﺎﻜـﻲ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜـﻲ ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﻨﻘﻁ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺤـل ﻫﻨـﺩﺴـﻲ‬ ‫ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺤﻭل ﺍﻹﻨﺸﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪-‬‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫لﺘﻜﻥ ‪ O‬ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭ ‪ R‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫ﺼﻭﺭﺓ ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺘﺨﺘﻠ‪ur‬ﻑ‪uu‬ﻋ‪u‬ﻥ ‪ O‬ﺒﺘﺤﺎﻙ‪ur‬ﻤﺭ‪u‬ﻜ‪u‬ﺯﻩ‪ O u‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪ M′‬ﺤﻴﺙ ‪OM′ = R OM :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬‫‪r‬ﺼ‪u‬ﻭ‪u‬ﺭ‪u‬ﺓ‪u‬ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺒﺘ‪r‬ﺤﺎ‪u‬ﻜ‪u‬ﻲ‪uu‬ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ 2‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M′‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪OM′ = R OM‬‬ ‫'‪M‬‬‫‪OM‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺃﻱ ﻨﻘ‪ur‬ﻁ‪u‬ﺔ‪ Muu‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭ‪r‬ﻜ‪u‬ﺯﻩ‪ uOuu‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ -3‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M′‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪OM′ = -3 OM :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 3‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺃﻱ‪ur‬ﻨ‪u‬ﻘ‪u‬ﻁﺔ‪ M u‬ﺒﺘﺤﺎ‪r‬ﻙ‪ u‬ﻤ‪u‬ﺭ‪u‬ﻜ‪u‬ﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ -1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M′‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ OM′ = - OM :‬ﺃﻱ ‪ M′ :‬ﻫﻲ ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪O‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺼﻭﺭﺓ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ 1‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ‪.‬‬‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ -1‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪.O‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫‪ M′ , M , O‬ﻋﻠﻰ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻫﻲ ‪O‬‬ ‫‪ -‬ﺼﻭﺭ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪ (1‬ﺼﻭﺭﺓ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ AB‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻫﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ] [‬‫‪ A′B′‬ﺤﻴﺙ ‪ A′ , B′‬ﻫﻤﺎ ﺼﻭﺭﺘﻲ ‪ A , B‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﻴﺙ‪[ ]:‬‬ ‫‪. A′B′ = R . AB‬‬ ‫‪ (2‬ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ∆′‬ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ) ( ) (‬ ‫‪ (3‬ﺼﻭﺭﺓ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ ω‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ r‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪O‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺔ ‪ R‬ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ ω′‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ r′‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪uuuur uuuur‬‬ ‫= ‪. r′‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪.r‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺎ‪r‬ﻜ‪u‬ﻲ‪uu‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ‬ ‫‪ω‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪ω′‬‬ ‫‪uuur‬‬‫‪ (4‬ﺼﻭﺭﺓ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪ AB , AC‬ﻫﻲ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪ A′B′ , A′C′‬ﺤﻴﺙ) ( ) (‬‫‪ A′ , B′ , C′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪urA ,uBuur, C‬ﻋ‪u‬ﻠ‪u‬ﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒ‪r‬ﻬ‪u‬ﺫﺍ‪ u‬ﺍ‪u‬ﻟﺘ‪u‬ﺤﺎﻜﻲ‪ur‬ﻭ‪u‬ﻟﺩ‪u‬ﻴﻨ‪u‬ﺎ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪A′B′ , A′C′ = AB , AC + 2kπ ; k ∈ ¢‬‬ ‫‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺼﻭﺭﺓ ﺸﻜل ﻫﻨﺩﺴﻲ ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪ S‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻫﻭ ﺸﻜل ﻫﻨﺩﺴﻲ‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ ‪ S′‬ﺤﻴﺙ ‪S′ = R2S :‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A′ ,uBuur′‬ﺼ‪r‬ﻭ‪u‬ﺭﺘ‪uu‬ﻲ‪ A , Bu‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻨﺴﺒﺘﻪ ‪R‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪. A′B′ = R AB :‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻓﺈﻥ ‪ A‬ﻫﻲ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ‬ ‫‪A′‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫‪R‬‬‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ A1 , α1 , A2 , α2 , A3 , α3‬ﻭﻜﺎﻨﺕ) ( ) ( ) (‬‫‪ A′1 , A′2 , A′3‬ﺼﻭﺭ ‪ A1 , A2 , A3‬ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻓﺈﻥ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬‫‪ A′1 , α1 , A′2 , α2 , A′3 , α3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ G‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ‪( ) ( ) ( ).‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻴﺤﻔﻅ ﺍﻟﻤﺭﺠﺢ ‪.‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻴﺤﻔﻅ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻑ ‪.‬‬

‫ﺗﻤـﺎرﻳـﻦ و ﻣﺸﻜﻼت‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪uuur .‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪uuur AC‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ G , F , E‬ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D , C , A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪BC‬‬ ‫‪ (3‬ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E , F , G , D , B‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ؟‬ ‫‪ (4‬ﻫل ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ‪ ABDGFE‬ﻤﻀﻠﻊ ﻤﻨﺘﻅﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪. O‬‬ ‫∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻴﻘﻁﻊ ‪ CD‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻭﻴﻘﻁﻊ ‪ BC‬ﻓﻲ ‪[ ] [ ] ( )M‬‬ ‫‪ S‬ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪.O‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ M′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ S‬ﻭ ‪ N′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ N‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪. S‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ M′ N′‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ∆) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﺤﻴﺙ ‪AB = AC‬‬‫‪ H‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ M . BC‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ AH‬ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ . H‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ BM‬ﻴﻘﻁﻊ] [ ] [ ) (‬ ‫)‪ ( AC‬ﻓﻲ ‪ I‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (CM‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ ( AB‬ﻓﻲ ‪. J‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ S‬ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪( ). AH‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ CJ‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ BI‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪( ) ( )S‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ AC‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ S‬؟) (‬

‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ I‬ﺒﻭﺴﻁﺔ ‪ S‬ﻫﻲ ‪. J‬‬ ‫‪ (4‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ BJIC‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪ (C) .‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪O‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ BC‬ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﺸﻤل ‪. A‬‬ ‫‪ D‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ AM‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]. MD = MC :‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ DMC‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪.‬‬ ‫‪(2‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ C‬ﻭﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ .B‬ﻭﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪r.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ADC‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ؟‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ BM = AD‬ﻭﺃﻥ ‪MB + MC = MA :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ √ ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ × ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺼﻭﺭﺓ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻫﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺘﻘﺎﻴﺴﻬﺎ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M′‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺤﺘﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪O‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻓﺈﻥ ‪OM′ = R.OM :‬‬ ‫‪ -3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ BC‬ﻓﺈﻥ ‪ C‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪[ ]B‬‬‫ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪. -1‬‬ ‫‪ -4‬ﺼﻭﺭﺓ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ r‬ﺒﺘﺤﺎﻙ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ R‬ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ‬‫‪.‬‬ ‫‪r′‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ r′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ -5‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻫﻭ ﻤﺜﻠﺙ ﻴﻘﺎﻴﺴﻪ ‪. .‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﺯﺍﻭﻴﺘﻪ ‪ π‬ﻫﻭ ﺘﺤﺎﻙ‪. .‬‬‫‪ -7‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻴﺤﺎﻓﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ‪. .‬‬ ‫‪ -8‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻴﺤﺎﻓﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ‪. .‬‬

‫‪C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬‫‪A‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬ ‫‪AB , AC‬‬‫‪( )O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬‫ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪O‬‬ ‫‪( )uuur uuur‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪.2‬‬‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ AB , AC‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪. -2‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺭﺴﻡ ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ C1‬ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ). 2 cm‬‬‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ C2‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ C1‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪( ) ( )2‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ‪.‬‬ ‫‪ C1‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ A‬ﻭﺘﺸﻤل ‪( ). C‬‬ ‫‪ C2‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ B‬ﻭﺘﺸﻤل ‪( ). C‬‬‫∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ C‬ﻭﻴﻘﻁﻊ ‪ C1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﻭﻴﻘﻁﻊ ‪ C2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪( ) ( ) ( ).E‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (AD‬ﻭ )‪ (BE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫‪ I‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ J . B‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪) (BD‬ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ(‪.‬‬

‫‪ -1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ J , C , I‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫‪ -2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (AJ‬ﻭ)‪ (DC‬ﻭ ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ]. CE‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ J , K , B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ‪ I .‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪ AB‬ﻭ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪[ ] [ ]. DC‬‬ ‫‪ E‬ﻨﻘﻁﺔ )‪ (AD‬ﻭ)‪ F . (BC‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (AC‬ﻭ)‪. (DB‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ُ ‪ E , J , F , I‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪ O .‬ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪.‬‬ ‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AO‬ﻭ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ] [ ]. BO‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ I′‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ I‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ A‬ﻭ ‪ A′‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ I′‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ J′‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ J‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ B‬ﻭ ‪ B′‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻟ‪ur‬ﻨ‪u‬ﺴﺒ‪u‬ﺔ‪u‬ﺇﻟﻰ ‪uuuuJr′‬‬ ‫‪ O′‬ﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ ‪. A′O′ = OB′ :‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OIJ‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. OAB‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OIJ‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. OA′B′‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OI′J′‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. OAB‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ODC‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪. OBA‬‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ODC‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. OA′B′‬‬ ‫‪ (6‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ODC‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. O′A′B′‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻭ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ B‬ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ C‬ﺇﻟﻰ ‪. D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ 4‬ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪B‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ -3‬ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ C‬ﺇﻟﻰ ‪. D‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻨﻘﻁ‪r‬ﺘﺎ‪u‬ﻥ‪u‬ﺜ‪u‬ﺎﺒﺘﺘﺎﻥ ﻓﻲ ﺍ‪r‬ﻟ‪u‬ﻤ‪u‬ﺴﺘ‪u‬ﻭ‪u‬ﻱ‪ .‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ ‪ h‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪M′‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪AM′ = 2 BM :‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺘﺤﻭﻴل ‪. h‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫)‪ (C‬ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ A . O‬ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ )‪. (C‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ)‪. (C‬‬ ‫‪ N‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪. M‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺤل ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ N‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺴﻤﺢ ‪ M‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪. (C‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫)‪ (C‬ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ A . α‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪. (C‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ G‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABM‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )‪ (E‬ﻟﻠﻨﻘﻁ ‪ G‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺴﺢ ‪ M‬ﻜل ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪. (C‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫) ‪ (D1‬ﻭ ) ‪ (D2‬ﻭ ) ‪ (D3‬ﺜﻼﺙ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺔ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ‪G‬‬ ‫‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ (D1‬ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪. G‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﻤﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺘﻪ ) ‪ (D1‬ﻭ ) ‪ (D2‬ﻭ ) ‪. (D3‬‬

‫اﻟﺤـﻠـــﻮل‬ ‫‪AE‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪: D‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪: G , F , E‬‬‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﻌﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E , F , G , D , B‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ‪F‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ C‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ CA = CB :‬ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ ABuCuur‬ﻤﺘﺎ‪r‬ﻗ‪u‬ﺎﻴ‪uu‬ﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ CF = CB :‬ﻷﻥ ‪uuur CuuFur= BC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪AE = BC‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ AB = CE :‬ﻟﻜﻥ ‪ AB = BC‬ﻭﻤﻨﻪ‪uuuCrB = CuuEur‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ BCGD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻷﻥ ‪DG = BC :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ BD = CG :‬ﻟﻜﻥ ‪ BD = AC‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪AC = CG :‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ BD = CG :‬ﻟﻜﻥ ‪ BD = CD‬ﻭﻤﻥ ‪CD = CA :‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABDC‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪AB = CD :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ CD = CA :‬ﺇﺫﻥ ‪CA = CB = CF = CE = CD = CG :‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ‪ ABCGFE‬ﺴﺩﺍﺴﻲ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫ﺃﻀﻼﻋﻪ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺯﻭﺍﻴﺎﻩ ‪.‬‬ ‫)∆(‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪D NC‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪: N′ , M′‬‬‫‪M' M‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ D‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪O‬‬‫'‪A N‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻭ ‪ A‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪O‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ AD‬ﻫﻲ ﻨﻅﻴﺭﺓ] [‬ ‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ BC‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪[ ]. O‬‬

‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ BC‬ﻭ ‪ M′‬ﻨﻅﻴﺭﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ M′‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ] [‬ ‫]‪. [AD‬‬‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ CD‬ﻫﻲ ﻨﻅﻴﺭﺓ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ AB‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ M′‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ] [ ] [‬ ‫)‪ (OM‬ﻭ)‪(AD‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ DC‬ﻭ ‪ N′‬ﻨﻅﻴﺭﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ O‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ N′‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ AB‬ﻭﻋﻠﻴﻪ] [ ] [‬ ‫‪ N′‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (ON‬ﻭ)‪.(AB‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ M′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻭ ﻜﺫﺍﻟﻙ ‪ N′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪N‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ M′ N′‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪( )(MN‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ‪.‬‬‫ﻟﻜﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺒﺘﻨﺎﻅﺭ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ M′N′ // M N‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( ) ( ):‬‬ ‫)∆( ‪(M′ N′) //‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫‪J‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (CJ‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (CI‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪: S‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻓﺈﻥ )‪ (AH‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ )‪(BC‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ ﺃﻱ ﻤﺤﻭﺭ ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ C‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪S‬‬ ‫ﻭﻜﺫﺍﻟﻙ ‪ M‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪. S‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (CM‬ﺃﻱ )‪ (CI‬ﻫﻭ ‪I‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (BM‬ﺃﻱ )‪(BI‬‬ ‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ‪. S‬‬‫‪BC‬‬ ‫‪H‬‬‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ B‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ S‬ﻭ ‪ A‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ S‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (AC‬ﻫﻲ‬ ‫)‪(AB‬‬

‫‪ (3‬ﺼﻭﺭﺓ )‪ (AC‬ﻫﻲ )‪ (AB‬ﻭ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (BI‬ﻭﻫﻲ )‪ (CJ‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (AC‬ﻭ )‪ (BI‬ﻫﻲ‬ ‫‪ I‬ﻭﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (AB‬ﻭ )‪ (CJ‬ﻫﻲ ‪ J‬ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ I‬ﻫﻲ ‪. J‬‬ ‫‪ (4‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ BJIC‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ B‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ S‬ﻭ‪ J‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ I‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪. S‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ BJ‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ CI‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻤﺎ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎﻥ‪[ ] [ ].‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ CI = BJ :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‪.‬‬‫‪ AC‬ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪DMC‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫∧‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﻓﺈﻥ ‪ABC = 60o :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪uur DM∧ Cuu=ur60uou:ur‬ﻷ‪u‬ﻥ ﺍﻟﺯﺍ‪ur‬ﻭﻴ‪u‬ﺘﺎ‪u‬ﻥ) ( ) (‬ ‫‪ MD , MC‬ﻭ ‪ BA , BC‬ﻴﺤﺼﺭﺍﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ‬ ‫∧∧‬ ‫‪= 60o‬‬ ‫‪MDC= MCD‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ MDC‬ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‪r.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ - (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ ADC‬ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ‪:‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻫﻲ ‪ . C‬ﻭ ﺼﻭﺭﺓ ‪ D‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻫﻲ ‪M‬‬ ‫ﻭﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﻫﻲ ‪. B‬‬ ‫∧‬ ‫‪60o‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫= ‪DCM‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ADC‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪BMC‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ‪: BM = AD‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ADC‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪BMC‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ AC = BC :‬ﻭ ‪CD = MC‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺓ ]‪ [AC‬ﻫﻲ ]‪ (BC‬ﻭ ﺼﻭﺭﺓ ]‪ [CD‬ﻫﻲ ]‪ [MC‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ AD‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻫﻲ ‪ BM‬ﻭﻤﻨﻪ ‪[ ] [ ]BM = AD :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ‪MB + MC = MA :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ BM = AD :‬ﻭ ‪ MC = MD‬ﻭ ‪MA = AD + MD‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ MA = BM + MC :‬ﺇﺫﻥ ‪. MB + MC = MA :‬‬

A (C) O C B D B1 MC1 . √ (3 . × (2 5 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ . √ (6 . × (5 . × (1 . √ (8 . √ (4 . √ (7 . 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ C' A' C B' A B O A1

‫‪uuur uuur‬‬‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ AB , AC‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ 2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ) (‬ ‫‪( )uuuur uuuur‬‬ ‫‪A′B′ , A′C′‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬‫ﻭﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ AB , AC‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ -2‬ﻫﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ) (‬ ‫‪( )uuuuur uuuuur‬‬ ‫‪A1B1 , A1C1‬‬ ‫‪( ) ( )uuuur uuuur uuur uuur‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪A′B′ , A′C′ = AB , AC + 2κπ , κ ∈ Ζ‬‬ ‫‪( ) ( )uuuuur uuuuur uuur uuur‬‬ ‫‪A1B1 , A1C1 = AB , AC + 2κπ , κ ∈ Ζ‬‬‫)‪(C2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫‪ -‬ﺭﺴﻡ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ C1‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ). 2 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ‪ C2‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪( ).‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪( ): C1‬‬ ‫‪S1 = π (2)2 = 4π cm2‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪( ): C2‬‬ ‫‪S2 = π (4)2 = 16π cm2‬‬ ‫ﻷﻥ ‪R2 = 2R1 = 4 cm :‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ‪S2 = (2)2 × S1 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ h‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ C‬ﻭﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )E BE‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )AD‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪.‬‬‫‪A‬‬ ‫‪ D‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪( )C1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ) ∆ ( ‪.‬‬‫)∆(‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ ‪ D‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ C1‬ﻭﻤﻥ ﺼﻭﺭﺓ ∆ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪( ) ( ). h‬‬‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ C1‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ B‬ﻷﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﻫﻲ ‪ . B‬ﻟﻜﻥ ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﺒﻬﺫﻩ) (‬‫ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻫﻲ ‪ C‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ ‪ C1‬ﺘﺸﻤل ‪ C‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ C2‬ﺘﺸﻤل ‪ C‬ﻭﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ B‬ﻓﺎﻥ ﺼﻭﺭﺓ) ( ) (‬‫‪ C1‬ﻫﻲ ‪ . C2‬ﺼﻭﺭﺓ ∆ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ ∆ ﻷﻨﻪ ﻴﺸﻤل ‪ C‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ) ( ) ( ) ( ) (‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ ‪ D‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻫﻲ ﺇﻤﺎ ‪C‬ﺃﻭ ‪ E‬ﻷﻨﻬﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪. C2‬ﻟﻜﻥ ‪ C‬ﻟﻬﺎ ﺴﺎﺒﻘﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻭ) (‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ ‪ D‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻫﻲ ‪. E‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ h‬ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ B‬ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ D‬ﺇﻟﻰ ‪. E‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (AD‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ )‪. (BE‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ . (AD) // (BE‬ﻷﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪(1‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ J , C , I‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ h1‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ‪J‬‬‫‪DE‬‬ ‫‪KC‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪uAr‬ﻭ‪u‬ﻨ‪u‬ﺴﺒﺘﻪ ‪uuur 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AuCur = 2 uAuuOr :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻭ ‪AuuIr= 2AuuBur‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻭ ‪AJ = 2AP‬‬‫‪AB‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ J , I , C :‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ P , B , O‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪ h1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ .‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬ ‫‪ P , B , O‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (BD‬ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ J , K , B :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ h2‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ J‬ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ E‬ﺇﻟﻰ ‪. A‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (EC‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ )‪ (EC‬ﻭﻫﻭ )‪. (AB‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻊ ‪ J‬ﻭ‪ C‬ﻭ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (AB‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﻫﻲ ‪ I‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪. h2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ K‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ EC‬ﻭ ‪ B‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AI‬ﻭ ﻟﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻴﺤﻔﻅ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺓ] [ ] [‬ ‫ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ EC‬ﻫﻭ ﻤﻨﺘﺼﻑ )‪[ ]. (AI‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ B‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ K‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪. h2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ B , K , J‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪D JC‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ E , J , I :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ h1‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪E‬‬‫‪AI‬‬ ‫ﻭ ﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪. D‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ )‪ (AB‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ‬ ‫‪ h1‬ﻫﻲ )‪. (DC‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h‬ﻫﻲ‬ ‫‪B‬‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (DC‬؛ ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E , C , B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻤﻨﻪ ‪ C‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪h1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺼﻭﺭﺓ ]‪[AB‬ﻫﻲ ]‪.[DC‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AB‬ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ] [ ]DC‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ E , J , I :‬ﻋل ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪(1) . . .‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ J , F , I :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ h2‬ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ F‬ﻭ ﻭﻴﺤﻭل ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪. C‬‬

‫ﺼﻭﺭﺓ )‪ (AB‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h2‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪(DC‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D , F , B‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﺈﻥ ‪ D‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ B‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ . h2‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫]‪ [AB‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ‪ h2‬ﻫﻲ ]‪[DC‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AB‬ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪ h2‬ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ CD‬ﻭﻫﻲ ‪[ ] [ ]. J‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ J , F , I‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪(2) . . .‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ : (2‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E , J , F , I‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪O‬‬ ‫'‪I‬‬ ‫‪J‬‬‫'‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫'‪J‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫'‪O‬‬‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ OA = 2OI :‬ﻭ ‪ OB = 2OJ‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OIJ‬ﺍﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OAB‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪2‬‬‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ OA′ = 4OI :‬ﻭ ‪ OB′ = 4OJ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OIJ‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OA′B′‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪OB‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪OJ′‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪OA‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪OI′‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪OAB‬‬ ‫ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪OI′J′‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪3‬‬ ‫‪ OB‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪OD‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺎﻟﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻭل‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= - OC :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ODC‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OBA‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪O‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ u-ur1‬ﺃ‪u‬ﻱ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟ‪ur‬ﻤ‪u‬ﺭ‪u‬ﻜ‪u‬ﺯﻱ ﺍﻟﺫﻱ‪ur‬ﻤ‪u‬ﺭ‪u‬ﻜﺯﻩ ‪uuuur .O‬‬ ‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ OA′ = -2 OC :‬ﻭ ‪ OB′ = -2OD‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ‬

‫ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ODC‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OA′B′‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ O‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ‪uuuur . -u2uur‬‬‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ‪ A′D′ = -2CD : (5‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(A′D′) // (CD) :‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ S‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (A′D‬ﻭ )‪(B′C‬‬ ‫‪SD‬‬ ‫‪=uuSSurBC′‬‬ ‫=‬ ‫‪CD‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪uurSA′‬‬ ‫‪uAur′B′‬‬ ‫‪2‬‬‫‪uuur‬‬‫‪ SA′ = 2SD‬و ‪SB′ = 2SC‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ SO′B′‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(OC) // (O′B′) :‬‬‫‪uuur uuur‬‬‫‪SO′ = 2SO‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫=‬ ‫‪SC‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪SO′‬‬ ‫‪SB′‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ O′ , B′ , A′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ O , C ; D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ S‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪. 2‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ S‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ 2‬ﻴﺤﻭل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ SDC‬ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. A′O′B′‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ O‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻭ ‪ R‬ﻨﺴﺒﺘﻪ ‪.‬‬‫‪(1).......OBuu=urR . OAuuur‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ B‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ A‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪(2)......OD = R . OC‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ D‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ C‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B , A , O :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (2‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D , C , O :‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ O‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﻭ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ . (CD‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ O‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (AB‬ﻭ‬ ‫‪uur uur ur‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫)‪ (CD‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ I‬ﻤﺭﻜﺯ ﻫﺫﺍ‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪4IB - 3IA = O :‬‬ ‫= ‪IB‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪IA‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪ .‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ I‬ﻫﻲ ﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺠﻤﻠ‪r‬ﺔ‪u(uBr , 4) , (uAur, -3) u‬ﻭ‪u‬ﻤﻨﻪ ‪( )uur :‬‬‫‪4 IA + AB - 3IA = O‬‬ ‫‪uur uuur‬‬ ‫‪uur uuur‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ IA = -4AB :‬ﺃﻱ ‪AIuu=r 4ABuur:‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻥ ‪rJ‬ﻤ‪u‬ﺭﻜﺯ ﻫ‪r‬ﺫﺍ‪ u‬ﺍ‪u‬ﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪JD = -3JCuur:‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ JD + 3JC = O :‬ﺃﻱ ‪ J :‬ﻫﻲ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬

uur uuur ur uur uuur uu(Dr , 1)u,r(C , 3)4JC + CD = O : ‫ ﺃﻱ‬JC + CD + 3JC = O : ‫ﺇﺫﻥ‬uur uuur uur uuurCJ = 1 CD : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ JC = - 1 CD : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 4 4 O AB I C JD . 13‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬uuur uuur . ‫( ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﻫﺎ‬1( )uuur uAuuOr =u2uuBr O : u‫ﻥ‬r‫ ﻓﺘﻜﻭ‬. ‫ﻬﺎ‬u‫ﺭﺘ‬u‫ﻭ‬ur‫ ﻋﻠﻰ ﺼ‬u‫ﻕ‬u‫ﻁﺒ‬ur‫ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨ‬urO ‫ﻨﻔﺭﺽ‬AO - 2 AO - AB = O ‫ﻱ‬u‫ ﺃ‬uuAr O - 2BO =O : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur uuur uuur urAO = 2AB : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬−AO + 2AB = O : ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ‬O ‫ﺇﺫﻥ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻭ ﺤﻴﺩﺓ‬ uuuur uuuur uuur uuuu:rOM ‫ َﻭ‬OuuMuur′ ‫ﻗﺔ ﺒﻴﻥ‬u‫ﻼ‬u‫ﻋ‬ur‫( ﻨﻜﺘﺏ‬2( )uuur uuuur AM′ = 2BMAO + OM′ = 2 BO + OM uu: u‫ﻪ‬r‫ﻭﻋﻠﻴ‬ uuuur uuuur : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ uuuur uuuur uuurOM′ = 2OM : ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬AO - 2BO u+uuOr M′u=uur2OMur : ‫ﺇﺫﻥ‬ AO - 2BO = O : ‫ﻷﻥ‬uuur uuur. AO = 2AB : ‫ ﺤﻴﺙ‬O ‫ ﻭ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬2 ‫ ﻫﻭ ﺘﺤﺎﻙ ﻨﺴﺒﺘﻪ‬h : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬

‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪uuur uuuur‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AN = 2AM :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ N‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ A‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪. 2‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ M‬ﺘﻤﺴﺢ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O′‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. R′‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ O′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ O‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪.‬‬ ‫ﻭ ‪ R′ = 2R‬ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ )‪(C‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺤل ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ N‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪(C′‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫‪N‬‬‫'‪(C') O‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫‪[ ]JG‬‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪JM‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ‬‫‪1‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ G‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ J‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪3‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪ ( E‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ‪.‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺼﻭﺭﺓ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺒﺘﺤﺎﻙ ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ‪.‬‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪O′‬‬ ‫ﻭﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ ‫‪α‬‬ ‫ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ )‪(E‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪. JO′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪JO‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪O‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﺤﻼ ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﻭ ‪ N‬ﻭ ‪L‬‬ ‫ﻤﻨﺘﺼﻔﺎﺕ ﺃﻀﻼﻋﻪ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻭ ‪ BC‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﺈﻥ ‪[ ] [ ] [ ]:‬‬ ‫‪AB=2AM AC=2AN‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ B‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ M‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ A‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪. 2‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ C‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭﺓ ‪ N‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ‪.‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ M‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ ، ( D3‬ﻓﺈﻥ ‪ B‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺼﻭﺭﺓ ) ‪( D3‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( D5‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ N‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ ، ( D2‬ﻓﺈﻥ ‪ C‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺼﻭﺭﺓ‬ ‫) ‪ ( D2‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( D4‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺭﻜﻴﺏ ﻭﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ‪:‬‬‫ﻨﻨﺸﺊ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ) ‪ ( D5‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D3‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ A‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ ، 2‬ﺜﻡ‬‫ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ) ‪ ( D4‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D2‬ﺒﺎﻟﺘﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ ‪ A‬ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ ‪ ، 2‬ﻤﻨﻪ ‪ B‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫) ‪ ( D2‬ﻭ ) ‪. ( D5‬‬

‫ﻭ ‪ C‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( D3‬ﻭ ) ‪. ( D4‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﻤﻴﺔ ﺘﺼﻭﺭ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻷﺸﻜﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻭﻀﺎﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﻤﻤﺎﺭﺴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ‬ ‫ﻤﻤﺎﺭﺴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫)*( ‪ – I‬ﺍﻟﻤﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﻤﻘﻁﻊ ﻤﻜﻌﺏ ﺒﻤﺴﺘﻭ ‪:‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪E H : 1‬‬‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬‫‪PI D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪J‬‬‫‪AB‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ‪ ABCDEFGH‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ‪.IJKL‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪P‬‬‫‪F‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪DC‬‬‫‪AB‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (p‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ‪ ABCDEFGH‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ‪.ABHE‬‬

‫‪ -2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﻤﻘﻁﻊ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ ﺒﻤﺴﺘﻭ ‪A :‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫'‪P‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (p′‬ﻴﻘﻁﻊ ﺭﺒﺎﻋﻲ‬ ‫‪J‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ )‪ (ABCD‬ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. IJK‬‬‫‪BD‬‬‫‪PC‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (p‬ﻴﻘﻁﻊ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ )‪ (ABCD‬ﻭﻓﻕ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ )‪. (IJKL‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪I‬‬‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ - II‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪:‬‬‫‪P‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ A :‬ﻭ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫* ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﺭﻓﺎﻗﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M′‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ MABM′ :‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪r .‬‬‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪u(uMuur , M′‬ﺍﻟﻤﺤﺼ‪ur‬ل‪uu‬ﻋﻠﻴ‪u‬ﻬﺎ‪ u‬ﺘﻤﺜل ﻨ‪ur‬ﻔ‪u‬ﺱ‪u‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‪ u r‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪u = AB = MM′ = NN′ = ... :‬‬‫‪r‬‬ ‫‪Br‬‬ ‫'‪N‬‬‫‪ur‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬ ‫'‪M‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪r‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﺍﻨﻁﺒﻘﺕ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻓﺈﻥ‪r‬ﺍ‪u‬ﻟ‪u‬ﺸﻌ‪u‬ﺎﻉ ‪uru‬ﻴ‪u‬ﺴﻤ‪u‬ﻰ‪ u‬ﺍﻟﺸﻌﺎ‪r‬ﻉ‪ u‬ﺍﻟ‪u‬ﻤ‪u‬ﻌﺩﻭﻡ ‪r.‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪0 = AA = MM = NN = ... :‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ u-ur2‬ﺘ‪u‬ﻤﻴﻴﺯ ﺸ‪r‬ﻌﺎ‪u‬ﻉ ‪ u :‬ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫** ﺍ‪B‬ﻤﺘﻨﺠﺤﺎ‪A‬ﻨﻩﻰﺍﻟﺍ=ﻟﺸﻌﺸﺎﻌﺎﻉ‪U‬ﻉﻤ‪rur‬ﻊ‪ur‬ﻤﻥﻫ‪B‬ﻭ‪A‬ﻤ≠ﻨﺇ‪r‬ﻟﺤﻨﻰ‪A‬ﻰ ﺍ‪.B‬ﻟﻤ‪ .‬ﻟﺴﺘﺩﻴﻘﻨﻴﺎﻡ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(AB‬‬ ‫* ﻤﻌﻴﺎﺭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ u‬ﻫﻭ || ‪ || u‬ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪. B‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪r :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﺸﻌﺎﻉ‪ u r‬ﺘﻭ‪ur‬ﺠ‪u‬ﺩ‪uu‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ‪OM = u :‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬‫ﻴﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AB‬ﻭ ‪ CD‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ AD‬ﻭ] [‬‫‪AB‬‬ ‫‪ BC‬ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ].‬‬‫‪CD‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﺠﻤﻊ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ‪:‬‬

‫ﻭﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺸﻜل ‪C :‬‬ ‫‪uuur uuur uuur‬‬ ‫* ‪AB + BC = AC‬‬‫‪AD‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪uuur uuur uuur‬‬ ‫* ‪AB + AD = AC‬‬‫‪AB‬‬ ‫ﺨﻭﺍ‪ur‬ﺹ ‪r r:‬‬ ‫‪ u ,r v ,rw‬ﺜ‪r‬ﻼﺜﺔ ﺃﺸﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪r r r r :‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )r r u + vr= v +r uur (2 r u +ro = ur (1‬‬ ‫‪u+v + w = u + v+w (4 u + -u = o (3‬‬ ‫‪ -5‬ﺠﺩﺍﺀ ﺸﻌﺎﻉ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪:r‬‬ ‫‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘ‪r‬ﻲ ﻏﻴﺭ‪ r‬ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ u ،‬ﺸ‪r‬ﻌﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ur≠ o‬ﻓﺎ‪r‬ﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ λu‬ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ ur‬ﻭ ‪ λur‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻰ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ λu‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ > 0‬ﻭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ‬ ‫ﻓﻲ‪r‬ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. λ < 0 r:‬‬ ‫‪λu = λ . y -‬‬

‫‪rr‬‬ ‫‪rr‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λur = r0 :‬ﻓﺈﻥ ‪ λ = 0 :‬ﺃ‪r‬ﻭ ‪u = 0r‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u = 0 :‬ﺃﻭ ‪ λ = 0‬ﻓﺈﻥ ‪. λu = 0 :‬‬‫‪rr‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠ‪r‬ل ﻜل ﻋﺩﺩ‪r‬ﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪ αr‬و‪ βr‬ﻭ ﻜل ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ru‬و ‪ v‬ﻤ‪r‬ﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟ‪r‬ﺩﻴﻨﺎ‪( ):‬‬‫‪(α + β) u = αu + βu (2‬‬ ‫‪α u+v‬‬ ‫=‬ ‫‪αu‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪αv‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪α (βu) = (αβ)u (3‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﻷﺸﻌﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻨ‪r‬ﻔﺱ ﺍﻟ‪r‬ﺤﺎﻤل ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪uru‬و‪ vuu‬ﺃﻥ‪r‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨ‪r‬ﻔ‪uu‬ﺱ‪u‬ﺍﻟﺤﺎﻤل‪ r‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﺤﻴﺙ ‪ v = AC :‬ﻭ ‪u = AB‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪r u‬و ‪ v‬ﻟﻬﻤﺎ‪ r‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ λ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. v = λu :‬‬ ‫‪ -7‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪r r :‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ v , u‬ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﻥ ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤ‪r‬ﺠﻤﻭﻋﺔ )‪ (pr‬ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ‪uuMuur‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺤﻴﺙ ‪( )r r :‬‬‫‪ AM = αu + βv‬ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪. A ; u , v‬‬ ‫‪( )r r‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ M α ; β‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ) ( ‪. A ; u , v‬‬ ‫)*( ‪ -8‬ﺃﺸﻌﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‪ur‬ﻭﺍﺤﺩ‪r :r‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺸﻌﺔ ‪uru , v , w‬ﻤ‪u‬ﻥ‪u‬ﺍﻟﻔﻀﺎ‪r‬ﺀ‪ u‬ﺃﻨﻬﺎ‪r‬ﻓ‪u‬ﻲ‪uu‬ﻤﺴﺘﻭ ﻭﺍ‪r‬ﺤﺩ ﺇﺫﺍ‪ur‬ﻭ‪u‬ﺠ‪u‬ﺩﺕ ﺃﺭﺒ‪r‬ﻌﺔ ﻨﻘﻁ ‪ D‬ﻭ ‪C‬‬ ‫ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ A‬ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ‪ w =AD :‬ﻭ ‪ v = AC‬ﻭ ‪u = AB‬‬

‫‪rr‬‬ ‫ﻤﺒﺭ‪r‬ﻫ‪u‬ﻨﺔ ‪r r:‬‬ ‫‪ u , v , w‬ﺜ‪ur‬ﻼﺙ ﺃ‪r‬ﺸﻌﺔ ﻤ‪r‬ﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺤﻴﺙ ‪ u‬و ‪ v‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل‪.‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻷﺸ‪r‬ﻌﺔ ‪ u , vr , w‬ﻤ‪r‬ﻥ‪ u‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ α‬و ‪β‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪w = α u + β v :‬‬ ‫‪ -III‬ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪r r ur‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ O‬ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ i , j , k .‬ﺜﻼﺙ ﺃﺸﻌﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ‬‫‪ uMr‬ﻤﻥ ﺍ‪r‬ﻟﻔﻀﺎﺀ ‪r‬ﺘﻭﺠﺩ ﺜ‪ur‬ﻼ‪u‬ﺜﻴ‪u‬ﺔ‪ u‬ﻭﺤﻴﺩﺓ ) ‪ ( x , y , z‬ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪OM = xi + yj + zk‬‬ ‫‪( )r r ur‬‬ ‫) ‪ ( x , y , z‬ﺘﺴﻤﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪. O ; i , j , k‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪ : x‬ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ y ، M‬ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ z ، M‬ﺭﺍﻗﻡ ‪. M‬‬ ‫ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻴﻀﺎ ﺃﻥ ) ‪ ( x , y , z‬ﻫﻲ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪OM‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪rO r‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ij‬‬‫‪X‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬

Z A ( )‫ ﻓﻲ‬A (1r; 2r; 3) u‫ﺔ‬r‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ur r O ; i , j , k ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ k j Y rO iX : ‫ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬-2 ( )r r ur O ; i , j , k ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬A (xA , yA , zA ) ، B (xB , yB , zB ) : ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ uuur  xB - xA  AB    yB - yA  : ‫ﻓﺈﻥ‬  zB - z A  r x r  x′ u   v   ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ λ ،  y  ,  y′  ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ Z z′ r λ x rr  x + x′ λu   u+v    λ y  ;  y + y′  : ‫ﻓﺈﻥ‬ λ z z + z′ uuur : 1 ‫ﻤﺜﺎل‬A (3 ; 4 ; 2) , B (-2 ; 5 ; 1) : ‫ ﺤﻴﺙ‬AB ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬

uuur  -5 uuur  -2 - 3AB   AB    1  ‫وﻣﻨ ﻪ‬  5 - 4  : ‫ﺍﻟﺤل‬ -1 1 - 2 rr rr : 2 ‫ﻤﺜﺎل‬ u + v , α v , 2u : ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻷﺸﻌﺔ‬ r 1  r  -5 u   v   . ‫ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬α .  -2  ,  6  ‫ﺤﻴﺙ‬ 4 -1 r 2  r 2 × 1 2u   2u  ×   -4  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  2 × (-2)  : ‫ﺍﻟﺤل‬ 8 2 4 r  -5 α  r α (-5)  v   v  α  6α  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ α  α × 6  -α α × (-1)r r  -4 r r 1 - 5 u v   u v   +  4  : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ +  -2 + 6  3 4-1 ( )r r ur : ‫ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬-III O ; i , j , k ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ uuurA ( xA , yA , zB ) , B ( xB , yB , zB ) ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬-1AB = AB = ( xB - xA )2 +( yB - yA )2 +( zB - zA )2 : ‫ﻓﺈﻥ‬ : ‫ﻤﺜﺎل‬ B ‫ ﻭ‬A ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬ A ( -3 ; 4 ; 1 ) , B ( 0 ; 1 ; 3 ) : ‫ﺤﻴﺙ‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AB = (0 + 3)2 + (1 - 4)2 + (3 - 1)2 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪AB = (3)2 + (3)2 + (2)2 = 22 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪AB = 22 :‬‬‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ x‬‬‫=‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 + y2 + z2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6 ‬‬‫‪rr‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪ u = (1)2 + (3)2 + ( 6)2 = 16‬ﺃﻱ ‪u = 4 :‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ ﻤﻭﺍﺯ ﻷﺤﺩ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (x o y‬ﻴﻘﺒل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪z = α :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (x o z‬ﻴﻘﺒل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = β :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ β‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻜل ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (y o z‬ﻴﻘﺒل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪z = δ :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ δ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( y o z‬ﻭﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪. B ( 3 ; -2 ; 5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ‪x = α :‬‬

‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻴﺸﻤل ‪ B‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ‪x = 3 :‬‬‫‪ -4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﻨﻘﻁﺔ ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺸﻌﺎﻉ ﻤﻌﻠﻭﻡ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫ﺸﻌﺎﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A (xo‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫‪, yo‬‬ ‫)‪, zo‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭ ‪ u‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪uuMuur( x r, y , z ) :‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (D‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪AM // u :‬‬‫‪uuuur r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪ x - x0 ‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪AM = λu :‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪ z - z0 ‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬‫‪x - x0 = y - y0 = z - z0‬‬ ‫‪ x - x0 = λα‬‬ ‫‪αβδ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫=‬ ‫‪λβ‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪z0‬‬ ‫=‬ ‫‪λδ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ α ≠ 0 :‬ﻭ ‪ β ≠ 0‬ﻭ ‪δ ≠ 0‬‬ ‫‪ x - x0‬‬ ‫=‬ ‫‪y - y0‬‬ ‫‪ α‬‬ ‫‪β‬‬‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (D‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪= z - z0‬‬ ‫‪ β‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﺤﻴﺙ ‪A (1 ; 3 ; -5) , B (4 ; -2 ; 5) :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ )‪ urM (xu,uyur, z‬ﻨ‪u‬ﻘ‪u‬ﻁ‪u‬ﺔ ﻤﻥ )‪u(uAurB‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪uuAuurM // uAuuBr :‬ﺃﻱ ‪ AB‬ﻫﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪AM = λ AB :‬‬

‫‪uuur‬‬ ‫‪ 3λ ‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪1‬‬‫‪λ AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10λ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬‫‪x-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y -3‬‬ ‫‪z+5‬‬ ‫‪ x - 1 = 3λ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5λ‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪z + 5 = 10λ‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫=‬ ‫‪y -3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ )‪ (AB‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z+5‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ -5‬ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪: O‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ R‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x2 + y2 + z2 = R2 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻫﻲ ‪x2 + y2 + z2 = 25 :‬‬ ‫)*( ‪ -6‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ R‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (z′ z‬ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪x2 + y2 = R2 :‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ ( y′ y‬ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪x2 + z2 = R2 :‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ ( x′ x‬ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪x2 + z2 = R 2 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ )‪ (z′ z‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬

‫‪x2 + y2 = 4‬‬ ‫)*( ‪ -7‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ o‬ﺭﺃﺴﻪ‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (z′ z‬ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪x2 + y2 - αz2 = 0 :‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ ( y′ y‬ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪x2 + z2 - βy2 = 0 :‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ ( x′ x‬ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪y2 + z2 - δx2 = 0 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺤﻭﺭﻩ )‪ ( y′ y‬ﻭﻴﺸﻤل ) ‪A ( 0 ; 1 ; 2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ . x2 + z2 - βy2 = 0‬ﻟﻜﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 0 + 4 - β = 0 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. B = 4 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ‪. x2 + z2 + - 4 y2 = 0 :‬‬

‫ﺗﻤـﺎرﻳـﻦ و ﻣﺸﻜﻼت‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻤﻜﻌﺏ ‪.‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪[ ]. AB‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (GEM‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ (DA‬ﻓﻲ ‪. I‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (GE‬ﻭ)‪ (MI‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪.‬‬‫‪EH‬‬‫‪FG‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬‫‪I‬‬‫‪AM‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ ABCD‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ ‪ .‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ﻭ ﻁﻭل ﻜل ﺤﺭﻑ ﻤﻨﻪ ‪5 cm‬‬‫‪ I , J , K‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ‪ AB , AC , AD‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ] [ ] [ ] [‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪AI = AJ = AK = 2 cm :‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺃﻁﻭﺍل ﺃﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. IJK‬‬‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﺘﺼﻤﻴﻡ ﻟﻠﻤﺠﺴﻡ ‪ ABCD‬ﻤﺒﺭﺯﺍ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﺜﺭ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺸﻤل ‪ I , J , K‬ﻤﻌﻪ ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫‪J‬‬‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺘﺼﻤﻴﻤﺎ ﻟﻤﻜﻌﺏ ﻤﺭﺴﻭﻡ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﺜﺭ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺠﺯ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﺎﻟﻤﻨﻅﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺸﻜل ‪.‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪H‬‬‫‪ED‬‬ ‫‪CH‬‬‫‪FA‬‬ ‫‪BG‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ A , B , C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻓﻲ‪ur‬ﺍﻟ‪u‬ﻔ‪u‬ﻀﺎﺀ ﻟﻴ‪r‬ﺴ‪u‬ﺕ‪uu‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. AB = DC :‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ D‬ﺒ‪r‬ﺎ‪u‬ﻟﻨ‪u‬ﺴﺒ‪u‬ﺔ ﺇﻟﻰ‪u.uCur‬‬ ‫‪ -3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. BH = AE :‬‬ ‫‪ -4‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C , E , H , D‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ A , B , C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬‫‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ Euu,urF . uuBurC‬ﻨﻘﻁﺘ‪r‬ﺎ‪uu‬ﻥ‪u‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺘ‪r‬ﺎ‪u‬ﻥ‪ u‬ﺒ‪u‬ﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪[ ]. I‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪AE + AF = AB + AC :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪ A , B , C , D‬ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ I , J , K , L‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪uuur uuur‬‬ ‫‪uuur uuur r‬‬ ‫‪uuur uur‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪uuur‬‬‫‪BL = LC‬‬ ‫;‬ ‫‪KC + KD = 0‬‬ ‫;‬ ‫‪AB = 2AJ‬‬ ‫;‬ ‫= ‪AI‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪uuur uuur r‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪DB + 2LK = 0‬‬ ‫ﻭ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪DB‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ IJLK‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫‪ ABCD‬ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﻗﺎﻋﺩﺘﺎﻩ ‪ AB‬و ‪[ ] [ ]. CD‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪ID‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AI‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ I‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ I‬ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪ (AB‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫)‪ (DB) , (AC) , (BC‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. J , K , L‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪IJ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺃ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪uur uuur‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪. IJ = KL :‬‬ ‫= ‪CK‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺏ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪CA :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪PO‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬‫‪I JKL‬‬ ‫‪HG‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬‫‪A BC D‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺜﻼﺙ ﻤﻜﻌﺒﺎﺕ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ‪.‬‬

uuur uur uuur uuur uuur uu.urDE u+uurIJ , uuAurH + EM : ‫( ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬1 . AC = αAD , FG = βAD : ‫ ﺒﺤﻴﺙ‬β , α ‫( ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ‬2 uuur uuur uuur . AS =uu13ur AE : ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ‬ (3 uuur uuur . 2BG + GC , HD - FD : ‫( ﺍﺤﺴﺏ‬4 . 9‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ uur uuur uuur uuur . ‫ ﻤﻜﻌﺏ‬ABCDEFGH AI = AB ‫ ﻭ‬FM = FH 1 1 : ‫ ﺤﻴﺙ‬I , M ‫ ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬-1 2 2 : ‫ ﺤﻴﺙ‬J , K , L ‫ ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬-2 uur uur uuur = 23uuDuuurCur u;uurBuuLuruu=ur13 uuur uuur‫ﺍﻜﺘﺏ‬ ‫ﺜﻡ‬ EJ = 2EF ; DK BC u+ur13 BG uur J , K , L ‫ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬AF , AD , AB ‫ ﺒﺩﻻﻟﺔ‬JL ‫ ﻭ‬Jk . ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ . 10‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ uuur . ‫ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ‬ABCDEFGH [ ]uuur AB 3 HJ = 4 : ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ‬J . AB ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬I ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ uuur = 1 uuur + 1 uuur : ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺤﻴﺙ‬O GO 2 GF 2 GC . ‫( ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬JO) ‫( ﻭ‬IH) ‫ ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬O ‫ ﺃﻨﺸﺊ‬-

‫‪( )r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫‪ -1‬ﻋﹼﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪-2 A ( 2 ; 1 ; 3 ) , B ( -1 ; 2 ; 1uu)ur, Cu(uur+1 ;uu3ur; 2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻜل ﻤﻥ ‪. AB , BC , AC :‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ]. AB‬‬ ‫‪ -4‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ABCD‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫‪( )r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪. A ( 1 ; 3 ; -2 ) , B ( 2 ; 1 ; 1‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ I‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪. O‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘ‪r‬ﻁ‪u‬ﺔ‪ uJu‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪uuAr‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪. B‬‬‫‪ (3‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪uuur uuur u.urIJ = 2OB :‬‬‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺒﺤﻴﺙ ‪AC = 3AB + IJ :‬‬ ‫‪r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫‪O;i, j,k‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ) (‬‫) ‪A ( 1 ; -1 ; 1 ) , B ( -1 ; 1 ; -1 ) , C ( 1 ; -1 ; -1‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﹼﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. A , B , C‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫‪O;i, j,k‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ) (‬‫) ‪A ( 1 ; -2 ; 3 ) , B ( -3 ; -3 ; 4 ) , C ( -7 ; -4 ; 5‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬

‫‪( )r r ur‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪. A ( 1 ; 2 ; -1 ) , B ( 8 ; -2 ; 4‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5 ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-21r‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻷﺸﻌﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪rr‬‬ ‫‪ -1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻷﺸﻌﺔ ‪ u , v , w‬ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ B‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﺸﻌﺎﻋﻲ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ‪ u‬و ‪. v‬‬ ‫‪( )r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A(3;-2;1 ) , B(4;-3;1) , C(1;2;2) , D(3;-1;0) :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C , D‬ﻫﻲ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﻌﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪( )r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A (0 ; 1 ; 4) , B (2 ; 1 ; 2) , C (1 ; 0 ; 2+ 2) :‬‬ ‫)‪D (0 ; 1 ; 2) , E (1 ; 1 ; 2+ 3‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C , E‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪D‬‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ‪ R‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻪ ‪.‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ (S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪A ( 3 ; 4 ; 2 6‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ )‪ (z z′‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 2 6‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ )‪.(S‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬

‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ )‪ (C‬ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺃﺴﻪ ‪ O‬ﻭﻤﺤﻭﺭﻩ )‪(y′ y‬‬ ‫ﻭ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪. A(1 ; -1 ; 3‬‬‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B(0 ; 4 ; 0‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (xoz‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ)‪. (P‬‬‫‪( )r r ur‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j , k‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪. A(-1 ; 2 ; 4) , B(5 ; -1 ; 2) , C(2 ; 3 ; -1) :‬‬‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ (S‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪ A‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ‪. 4‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (BC‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (S‬ﻭ )‪. (BC‬‬

‫اﻟﺤـﻠــﻮل‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺠﻬﺎﻥ )‪ (ABCD‬ﻭ )‪ (FGHE‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (EMG‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (FGHE‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ EG‬ﻭ ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪( )(ABCD‬‬ ‫ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (MI‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (EG‬ﻭ)‪ (MI‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (EMG‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ )‪ (FGHE‬ﻭ )‪(ABCD‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫‪AI‬‬ ‫=‬ ‫‪IJ‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(IJ) // (BC) :‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪IJ‬‬ ‫ﺃﻱ ‪IJ = 2 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪AJ‬‬ ‫=‬ ‫‪JK‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ACD‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(JK) // (CD) :‬‬‫‪AC‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪JK‬‬ ‫ﺃﻱ ‪JK = 2 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪AI‬‬ ‫=‬ ‫‪IK‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫* ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABD‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(IK) // (BD) :‬‬‫‪AB‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪IK = 2 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪AIB‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﺼﻤﻴﻡ ‪: ABCD‬‬ ‫‪A‬‬‫‪JK‬‬‫‪CD‬‬‫‪JK‬‬ ‫‪A‬‬

‫ﻴﺸﻤل ‪ C‬ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪EH‬‬ ‫‪FG‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪uuur uuur . 4‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪AB = DC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‪ .‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫)‪ (AB‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ )‪ (BC‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. D‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ D‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪: C‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (CD‬ﻨﻌﻴﻥ ﻨ‪ur‬ﻘ‪u‬ﻁﺔ‪ E u‬ﺒﺤﻴ‪ur‬ﺙ‪u‬ﻴ‪u‬ﻜﻭﻥ ‪ C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ]ED‬‬ ‫‪ -3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﺒﺤﻴﺙ ‪uuur uuur BH = AE :‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABuuHurE‬ﻤﺘﻭ‪r‬ﺍ‪u‬ﺯ‪u‬ﻱ‪ u‬ﺃﻀﻼﻉ ﻭ ﻋﻠ‪r‬ﻴ‪u‬ﻪ‪EH u=uurAB u:u‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ AB = CE :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪EH = CE :‬‬ ‫‪ -4‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ H , E , C , D‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ C‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ ED‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D , C , E‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ] [‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ .‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ H , E , C , D‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪uuur uuur uuur uuur . 5‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃ‪ur‬ﻥ‪uuur AuEuur+ AuFur = AuuBr + uAurC :u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AE u+uurAF u=uurAI +uIurE +uAurI +uIurF :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪AuEur + uAurF =r2AI + IE + IF :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ FE‬ﻭﻤﻨﻪ ‪[ ]IE + IF = 0 :‬‬

uuur uuur uur uuur AEuuu+r AFuur= 2AuuIr......u.u.r...(1)uur: ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ AB +uuuAr C =uuuAr I + uIuBr + AuurI + uIuCr : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ uAurB +uAurC =r 2AI + IB + IC : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ [ ]IBuu+urICu=uur0 : ‫ﻋﻠﻴﻪ‬uu‫ﻭ‬r BC ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬I ‫ﻟﻜﻥ‬ uuAurB +uuAurC =uu2urAI..u.u..ur......(2) : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ AE + AF = AB + AC : (2) ‫( ﻭ‬1) ‫ﻤﻥ‬ . 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ A JB I ; J ; K ; L : ‫( ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬1 I uur uuurD AI = 1 AD : ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 [ ]L . uuAurD ‫ﻑ‬u‫ﺼ‬u‫ﺘ‬r‫ ﻤﻨ‬I ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ AB = 2AJ : ‫* ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ uur uuur K C AJ = 1 AB : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 2 [ ]uuur. AuBuur ‫ﺼﻑ‬r‫ ﻤﻨﺘ‬J ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ [ ]. CD ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬K ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬KC + KDu=uur0 :u‫ﺎ‬u‫ﻴﻨ‬u‫ﺩ‬r‫* ﻭﻟ‬ [ ]. BC ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬L : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬BL = BC * uur = 1 uuur : ‫( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬2 : IJ 2 DB uur uur uur IJ = IA + AJ ( )uur IJ = 1 uuur + 1 uuur = 1 uuur uuur 2 DA 2 AB 2 DA + AB uur 1 uuur : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ IJ = 2 DB

uuur uuur ruuur uuur uuur uuur DuBuur+ 2LuKuur= 0 : ‫ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬-DB + 2LKu=uurDKuu+urKLu+uuLr B +u2uuLrK = uKuCur - LuuKur + uCuuLr + 2LuuKur = KuCuur+ CuLuur- LKuu+ur2LKr = KL + LK = KK = 0 : ‫ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‬IJLK ‫(ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬3 uur uuur IJ = 1 DB : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 uuur 1 uuur uuur uuur r KL = 2 DB : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬DB + 2LK = 0 : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ uur uuur (IJ) // (KL) ‫ ﻭ‬IJ = KL : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬IJ = KL : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ . ‫ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‬IJKL ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ‬ uur uur . 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ID AI = 1 : I ‫( ﺇﻨﺸﺎﺀ‬1 2 uur uuur DI - DA ( )uur 1 2 ID = uur 1 uur - 1 uuur ID = DI DA 22 uur 1 uur 1 uuur −ID - 2 DI = - 2 DA : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ − 3 uur = - 1 uuur : ‫ﺃﻱ‬ 2 DI 2 DA. uur 1 uuur : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uur uuur DI = 3 DA 3DI = DA : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ uur 1 uuur ‫ ﺃ( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬-2 IJ = 3 AB uur 1 uuur ‫ﻭ‬ (IJ) // (AB) : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬DAB ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ DI = 3 DA

DJ = IJ = 1 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ DI = 1 : ‫ﺃﻱ‬ DB AB 3 DA 3 uur 1 uuur IJ = 3 . AB : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur 1 uuur ‫ﺏ( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬ : CK = 3 CA DJ = 1 ‫( ﻭ‬DC) // (JL) : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬DBC ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬- DB 3 CL 1 CB = 3 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬CL = 1 ‫( و‬KL) // (AB) : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬CAB ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬-CB 3uuur 1 uuur KL =uurCCKA uu=ur 13CK = 3 CA : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ AB : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ : IJ = KL : ‫* ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ‬ uuur uuur KL = 1 AB : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ KL = 1 3 AB 3 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬uur uuur uur 1 uuurIJ = KL : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ IJ = 3 AB : ‫ﻭﻤﻥ ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ uuur uur uuur uur . 8‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ * DE + IJ = AuHur + uIurJ : ‫( ﺤﺴﺎﺏ‬1 uuur uu=r IPuur+ IJ uuur DEuuu+r IJ u=uurIO uuur :u‫ﻪ‬u‫ﻤﻨ‬uu‫ﻭ‬r * AHuuur+ EMuuur= DEuuur+ EM = DM FG = CB = -BC : β , α ‫( ﺘﻌﻴﻴﻥ‬2 uuur uuur FG = - 1 AD 3 1 α = - 3 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

. β= 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur uuur × 1 uuur 2 uuur 3 AC = 2AB = 2 3 AD = 3 AD uuur = 1 uuur : ‫( ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ‬3 AS 3 AE (BS) // (DE) ‫ﻭ‬ AB = 1 : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ADE ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ AD 3 uuur 1 uuur AS =uuDBurES u=uur13 AS = 3 AE : ‫ﺇﺫﻥ‬ uAuuEr : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur uuur uuur HuDuur- FDuuu=r HFuuu+r FDuu-urFDu=uurHF (4 2BG + GC = BuGuur+ BuGuur+ GC = BG + BC = BF . 9‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ . ‫ ﻤﻜﻌﺏ‬ABCDEFGH : I , M ‫( ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬1 uur uuur [ ]. AB ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬I ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ AI = 1 AB 2 uuur 1 uuur [ ]. FH ‫ ﻤﻨﺘﺼﻑ‬M ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ FM = 2 FH E H M F GJ D LC K A IB

u:urJ , Kuu,rL ‫( ﺇﻨﺸﺎﺀ‬2: ‫( ﺤﻴﺙ‬EF) ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬J ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬EJ=u2uErF u:u‫ﻨﺎ‬r‫ ﻟﺩﻴ‬- . EJ=2EF uuur uuur: ‫( ﺒﺤﻴﺙ‬DC) ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬K ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬DK = 3 DC : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬- 2 uuur 3 uuur . DK = 2 DC: ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uuur = 1 uuur 1 uuur : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬- BL 3 BC + 3 BG uuur uuur uuur uuur BH BL = BC + BG( )uuur1 13 3BL = : ‫ﺇﺫﻥ‬uuur 1 uuur. BL = 3 BH : ‫( ﺒﺤﻴﺙ‬BH) ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬L ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ uuur uuur uuruur uur u:uurAB u‫ﺔ‬u‫ﻻﻟ‬ur‫ ﺒﺩ‬JKuuur‫ و‬JL ‫( ﻜﺘﺎﺒﺔ‬3* JL = JF + FA + AB + BLuur uuur uuur uuur uuur uuurJL = AD - AF + AB + 1 BC + 1 BG 3 3uur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuurJL = AD - AF + AB + 3 AD + 3 AFuur 4 uuur 2 uuur + uuurJL = AD - AF ABuuur u3ur uuur3 uuur uuur* JK = JF + FA + AD + DKuuur uuur uuur uuur uuurJK = AD - AF + AD + 3 DC 2uuur uuur uuur 3 uuurJK = 2AD - AF + AB 2 ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬J , K , L ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ‬-

uur 2 uuur : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ uur = 2  uuur - uuur + 3 uuur  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬JL = 3 JK IK 3  2AD AF 2 AB  . ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬J , K , L ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ H J G . 10‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ED F OCAIB uuur uuur : O ‫ ﺇﻨﺸﺎﺀ‬- GO GF uuur = 1 + 1 GC : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 2uuur uuur ( )uuurGO = GB GO 1 : ‫ﺃﻱ‬ = 1 uuur uuur : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2 2 GF + GC uur uuur uu: r‫ﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬u‫ﻤ‬u(uJrO) ‫ ﻭ‬u(IuHr) ‫ ﺘﺒﻴﻴﻥ ﺃﻥ‬- HI = HJ + JO + OB + BI : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬uur uuur uur uuur uuurHI = 3 AB + JO + GO + 1 BA : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ 4 2 3 uuur uur uuur 1 uuur = 4 AB + JO + GO - 2 AB = 1 uuur uur uuur AB + JO + GO 4uuur uuur uur = JGuu+r GOuur+ JO = JO + JO uur uur HI = 2JO : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ . ‫( ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬JO) ‫( ﻭ‬HI) ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ‬