دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪F ( x ) = 1 (ln( x ) )4  ‬‬ ‫‪4 ‬‬‫=‪  f ( x ) ‬ﻭ‪I=]1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪/9   ‬‬ ‫‪x.   ln( x ) ‬‬‫=‪f ( x ) ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪x  = 2 .  x ‬‬ ‫‪ln( x )  2  ln( x ) ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪F ( x ) = 2  ln( x ) ‬‬‫=‪  f ( x ) ‬ﻭ‪I=]1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪/10 ‬‬ ‫‪x.  ln( x ) ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‪ ‬ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪f ( x ) = x ‬‬ ‫‪ln( x ) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ) F ( x ) = ln(ln( x )) ‬ﻷﻥ‪(ln(x)>0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10 ‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪f ( x ) = 6 x 2 + 5 x  :‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪ /1 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ،D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:f‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D={x,xÎÂ :2x+1¹0} : ‬‬ ‫‪= R - { - 1 } ‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪  /‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪  c،  b ، a ‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪  x ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D ‬ﻴﻜﻭﻥ‪2 ‬‬ ‫‪f (x ) = ax + b +‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪: ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪: D ‬‬ ‫‪f ( x ) = ‬‬ ‫‪6 x 2 + 3 x - 3 x + 5 x ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪= 3x ( 2 x +1)  + 2 x ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪= 3x ( 2 x +1)  + 2 x +1 -1 ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪f (x ) = 3 x + 1 - 1  : ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ‪ a=3 : ‬ﻭ ‪ b=5 ‬ﻭ‪.c=­1 ‬‬‫*‪ ‬ﻜﺎﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟـ‪ (6x 2+  5x) ‬ﻋﻠﻰ‪. (2x+1) ‬‬‫‪- 1.]­¥ ; [ ‬‬ ‫‪/3 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪2 ‬‬‫‪ ]­¥ ; [ ‬ﺤﻴﺙ‪ k ‬ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ‪- .Â‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ Fk ‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪- 1.]­¥ ; [ ‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪ ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ، ]­¥ ; [ - ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪f (x ) = 3 x +1 - 1 ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪= 3x +1 - 1 .  - 2 ‬‬ ‫‪2  - 2 x -1 ‬‬‫‪Fk ‬‬ ‫‪( x ) = ‬‬ ‫‪3 x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1 ln( -2 x - 1)  +‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ ‬ﻭ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11 ‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪ :‬‬ ‫‪e 1 ‬‬ ‫‪òI 1 ‬‬‫‪= ‬‬ ‫‪dx / 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪I 1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫=‪1 dx ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= ò‬‬ ‫‪[ln( x )]1  ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪òI 2 ‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪+ x +‬‬ ‫‪1d  x /2   ‬‬ ‫‪x 3 ‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪e‬‬‫= ‪òI2 ‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪x 2  + x +1d  x = [ln( x ) -‬‬ ‫‪1 -‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪] e 2 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪x 3 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪2 x 2 ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪I2  = 2 -‬‬ ‫‪1  1  1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪- -1 + +‬‬ ‫‪2e   2 ‬‬ ‫ﺃﻱ ‪: ‬‬ ‫‪e 2  2 e 4 ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪= 1 - 1  - 1  + 1 ‬‬ ‫‪2 e 4 2 e 2  e ‬‬ ‫‪1  x ‬‬ ‫‪òI‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪dx /3   ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬‫‪I 3‬‬ ‫=‬ ‫‪1  x ‬‬ ‫=‪dx ‬‬ ‫‪[ 1 ln( x 2 ‬‬ ‫‪+ 1) ]1 0  ‬‬ ‫=‬ ‫‪1 ln( 2 ) ‬‬ ‫‪ò x 2 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12 ‬‬‫‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = x ln( x ) - x  : ‬‬ ‫‪ /1 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f ¢ (x ) = 1 . ln( x ) + x.  1 -1 : ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= ln( x) ‬‬

‫‪ /2 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪. ]0 ;+¥[ ‬‬‫‪ ‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪  ln ‬ﻋﻠﻰ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪: ‬‬ ‫‪  ® x ln( x ) - x + k ‬ﺤﻴﺙ‪ xk ‬ﺜﺎﺒﺕ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13 ‬‬‫‪ ‬ﻨﻔﺱ ﻓﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪  12 ‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪  x ‬ﻤﻥ ‪]­1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪æ x + 1 ö‬‬ ‫‪ln( x + 1)  - ln( x + 2 ) = ln ç‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪÷ :‬‬ ‫‪è x + 2 ø‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:14 ‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺴﻤﻲ‪ f(x) ‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ) ﺍﻟﺘﻲ ﻁﻠﺏ ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬ‪ ‬ﺎ(‪.‬‬ ‫‪li-m ¥  çèçæ‬‬ ‫®‪x ‬‬ ‫‪ln æç‬‬ ‫÷‪2 x + 1 ö‬‬ ‫÷÷‪öø‬‬ ‫‪/1 ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪x - 2 ø‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ lim 2 x +1 = 2 : ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪lim f ( x ) = ln( 2 ) ‬‬‫‪x ® -¥‬‬ ‫‪x ® -¥ x - 2 ‬‬ ‫‪lim çæ x ® ln æç x + 3 ö÷ ÷ö /2 ‬‬ ‫‪è(- 3 )-‬‬ ‫‪è x + 1 øø‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lim  x + 3 = 0 ‬‬ ‫‪x ® (-3)-  x + 1 ‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ) lim  f ( x ) = -¥‬ﻷﻥ ‪( lim ln = -¥‬‬ ‫‪0 +  x ® (-3 )-‬‬ ‫‪lim çæ x ® ln çæ x + 3 ö÷ ö÷ /3 ‬‬ ‫‪è(-1  )  +‬‬ ‫‪è x + 1 øø‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪) lim  f ( x ) = +¥‬ﻷﻥ ‪( lim ln = +¥‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪x + 3 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪:‬‬‫‪+ ¥ x ® (-1 )+‬‬ ‫‪x ®(  -1)+  x + 1 ‬‬ ‫‪( ) lim  x ® ln( 3 x 3 + x 2  + 1)   /4 ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )lim  3 x 3  + x 2  +1  = +¥ :‬‬ ‫‪x® +¥‬‬

( lim ln = +¥ ‫ )ﻷﻥ‬lim  f ( x ) = +¥ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ + ¥ x ® +¥ lim (x ® x 3  + x ln (- x ))/ 5  - ¥ x 3  ® -¥ x ® -¥: ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ ﻟﻤﺎ‬: ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x ® -¥( lim ln = +¥ ln( - x ) ® +¥‫ )ﺍﻋﺘﻤﺩﻥ ﺃﻴﻀﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬lim  f ( x ) = -¥ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ + ¥ x ® -¥ lim (x ® x + ln (x - 5 )) /6  5+  x - 5 ® 0  ‫ﻨﺠﺩ‬  x ® 5 + ‫ ﻟﻤﺎ‬: ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ( lim ln = -¥ ‫ )ﻷﻥ‬lim f ( x ) = -¥ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 0 +  x ®5   + ( ) lim  x ® x 2  + ( 4 x + 2 ) 3 . ln( 2 x +1)   /7  æç 1 ö÷ + -  è 2 ø( ) lim  f ( x ) = lim  x ® x 2  + ( 4 x + 2 ) 3 . ln( 2 x +1)   :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x ®æç  -1 ÷ö+ x ®çæ -1 ÷ö+ è 2 ø è 2 ølim y ln y = 0 ‫ﻷﻥ‬  = 1 4 y ® 0+ æ (ln 5( x x + +83)   ) 5  ÷ø÷ö y = 2 x + 1 ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ‬  li+m ¥  ççè x ® /8  ln y  lim  f ( x)  = æ x + 3  . ln(x x + +33 )  ÷÷öø :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬lim = 0 ‫ﻷﻥ‬  xl ®im+¥èçç  (5   x + 8)  5 y y ® +¥ x®  +  ¥ y = x + 3 ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ‬  =0  lim æç x ® ln( x 2  +1)  ÷ö /9  è- ¥ x + 1  ø ]­¥ ;0[ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬ x ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ 

f ( x ) = ln( x 2 +1)   : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x + 1  ln( x 2 (1   + 1 )  =  x 2  x + 1  ln( x 2 ) + ln(1   + 1 )  =  x 2  x + 1  2 ln( -x ) + ln(1   + 1 )  =  x 2 x + 1  = 2 ln( - x ) + ln çæ1 + 1  ÷ö è x 2 ø x +1  x +1  ln çæ1 + 1  ö è ÷ f ( x ) = 2 .  - x  . ln( -x ) + x 2 ø : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ x +1  - x  x + 1 -  x ® - 1  x ® -¥: ‫ ﻟﻤﺎﻴﻜﻭﻥ‬: ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x  + 1 ln(  - x )  ® 0  - x ln çæ 1 + 1  ö è ÷ x 2 ø ® 0 x  + 1  . lim f ( x ) = 0  : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ x ® -¥ æ ln( 3 x 2  + 2 x + 1)  ö li+m ¥  ççè x ® ln( 2 x 2  + x + 4 ) ÷÷ø /10 

:‫] ﻋﻨﺩﺌﺫ‬0 ;+¥[ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬ x ‫ﻟﻴﻜﻥ‬  ln ççæè x 2 çæ 3 + 2 + 1  ÷ö ÷÷øö è x  x 2  øf ( x ) =  ln çæç x 2 æç 1 + 4  ö÷ ö÷÷ è è 2 + x  x 2  ø ø 2 ln( x) + ln çæ 3 + 2 + 1  ÷ö=  è x  x 2 ø 2 ln( x ) + ln æç 2 + 1  + 4  ÷ö è x  x 2  ø é ln çæ 3 + 2 + 1  öù ê è x  ÷ ú ln( x ).ê  2 + x 2  ø ú ê ln( x )  ú=  êë úû é ln æç 2 + 2 + 4  öù ê è x  ÷ ú ln( x ).ê  2 + x 2  ø ú ê ln( x )  ú ëê úû ln æç 3 + 1  + 1  ö è x ÷ 2 + x 2  ø = ln( x )  4  ln æç 2 + 1 + x 2  ÷ö 2 + è x  ø ln( x )  lim f ( x ) = 2  = 1  ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  x ® +¥ 2  lim çæ x ® ln( x + 2 ) - ln 2 ö÷ /11  0  è x  ø :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬g(x)=ln(x+2) : ‫ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬g ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ 

lim  f (x) = lim g(x) - g(0) x®0  x ®0  x  g(x + 0) - g(0)  = lim  x®0  x  = g¢(0)  çæg ¢( x) = 1  ÷ö è x + 2 ø =  1 2  12. ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬ /12  lim æç x ® ln( x - 2 ) ÷ö /13  3  è x - 3  ø lim  f ( x ) = lim ln( x - 2 ) - ln(1  )   : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x ® 3 x ®3  x - 3  g(x)=ln(x­2) : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ lim  f ( x ) = lim  g ( x ) - g ( 3)   x® 3 x ®3  x - 3  = g¢(3  )   çæg ¢( x) = 1  ö÷ è x - 3 ø = 1 13. ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬/ 14  lim æç x ® 1  + ln( x + 1)  ÷ö /15  è-1  +  x + 1  ølim  f ( x ) = lim  çæ 1  (1 + ( x + 1)  ln( x + 1)  )ö÷ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x® (-1) + èx ®(-1) + x + 1  ø = +¥ ( lim  (x ® ( x + 1)  ln( x -1)  ) = 0  ‫) ﻷﻥ‬ x ®(  -1)+

‫‪( ) lim  x ® ( x 2 + 7)  - ln( x 2  + x + 3)   /16 ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫‪lim ‬‬ ‫=‪f ( x ) ‬‬ ‫‪lim ( x 2  +‬‬ ‫‪x +‬‬ ‫‪3)  ççèæ‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪+ 7  -‬‬ ‫÷÷‪ln(x x 2  2+  +xx + +33  )  øö‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x 2  +‬‬ ‫‪x + 3 ‬‬‫‪x ® +¥‬‬ ‫‪x ®+¥‬‬ ‫‪( lim ‬‬ ‫‪(ln  x 2 + x + 3 ) ‬‬ ‫‪x ® +¥‬‬ ‫) ﻷﻥ ‪x 2  + x + 3  = 0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:15 ‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪(U )  :‬‬ ‫‪n  nΠ N ‬‬ ‫‪ U0=3 ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ n ‬ﻓﻲ ‪. ln(Un+1)=­2+ln(Un):  N ‬‬ ‫‪/ 1 ‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ Un+1 ‬ﺒ‪ ‬ﺩﻻﻟﺔ ‪:Un ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜ ‪ ‬ﻥ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪. N ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ln(Un+1)=­2+ln(Un) : ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪=­2 ln(Un+1)­ln(Un) : ‬‬ ‫‪ln çæèç‬‬ ‫‪U n +1 ‬‬ ‫‪ö÷÷ø‬‬ ‫=‬ ‫‪-2 ‬‬ ‫ﺃﻥ ‪: ‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪U n ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪U n +1 = e -2  : ‬‬ ‫‪U n ‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨ ‪ ‬ﻲ‪. Un+1=e­ 2 Un  :‬‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪:(Un)   ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺘﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪Un+1=e­ 2 Un  : ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟ‪ ‬ﻴﺔ‪ (Un) ‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﺎﻫﺎ‪ r ‬ﺤﻴﺙ ‪. r=e­ 2 ‬‬ ‫‪/ 2 ‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪:(Un) ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪Un=U0.r n  : ‬‬ ‫‪=3.(e­ 2)  n  ‬‬ ‫‪=3.e ­2n ‬‬ ‫‪ ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪:(Un) ‬‬

‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪Un+1­Un=3.e­ 2(n+1) ­3.e­ 2n  : ‬‬ ‫‪=3.e­ 2n­2 (1­e2 )   ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ (1­e2 <  0) ‬ﻭ‪(3.e­ 2n­2  >0) ‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪Un+1­Un  <0:  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪ (Un) ‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪: (Un) ‬‬ ‫‪ (Un) ‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‪ r ‬ﺤﻴﺙ ‪r=e­ 2 ‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪  (Un) : ‬ﻫﻨﺩﺴﻴﻭ ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻴﺤﻘﻕ‪­1<r<1 ‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪ (Un)  : ‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ‪0.:  ‬‬ ‫‪ /3 ‬ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:(Vn) ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ‪ ‬ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Vn=ln(Un)  : ‬‬ ‫‪=ln(3.e­ 2n)   ‬‬ ‫‪=ln3.ln(e­ 2n ) ‬‬ ‫‪=ln3­2n ‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪Vn+1­Vn=(ln3­2n­2)­(ln3­2n) : ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪  (Vn) ‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r¢‬ﺤﻴﺙ‪r¢=­2 : ‬‬ ‫‪ ‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:n ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪S=V0+V1+…..+Vn : ‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪(V0  ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪V n ) ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪n + 1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫=‪( ) ‬‬ ‫‪ln(U   0‬‬ ‫‪) +‬‬ ‫‪ln 3 -‬‬ ‫‪2 n ‬‬ ‫‪= ( n + (1)  ln 3 - n  ) ‬‬‫‪ ‬ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪(Un) ‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ Pn ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:n ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪.N ‬‬ ‫ﻜﻠﻬﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Pn=u0´u1´……´un  :‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ln(Pn)=ln(u0´u1´……´un)  : ‬‬

‫‪=ln(u0)+ln(u1)+……+ln(un) ‬‬ ‫‪=v0+v1+……+vn ‬‬ ‫‪=Sn ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴ ‪ ‬ﻪ ‪ln(Pn)=Sn: ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪Pn=eS  n  :‬‬ ‫‪=e( n+1)(ln(3)­n) ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:16 ‬‬ ‫(‪f ‬‬ ‫‪x ) = ‬‬ ‫‪9 ln( x ) ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪: ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪/1 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:f‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻤﺜﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬ ‫‪x  ­¥ ‬‬ ‫‪0  e ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬‫‪f ¢(x) ‬‬ ‫‪f(x) ‬‬ ‫‪+ ­ ‬‬ ‫‪9 ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪­¥ 0 ‬‬ ‫‪f ¢( x ) =9. 1  -  ln( x ) ‬‬ ‫‪x 2 ‬‬‫‪ /2 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf) ‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‪  x=0 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪lim  f  = -¥.(Cf) ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪0+   ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=0 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪lim  f  = -¥ ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫‪. (Cf) ‬‬‫‪ /3 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪، (d) ‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨ ‪ ‬ﻲ)‪ (Cf‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻌﻪ ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪:‬‬‫‪ ‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ‪ (Cf) ‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻫﻲ‪ A ‬ﺤﻴﺙ‪A(1 ;0) ‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟـ‪ (d) ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒ ‪ ‬ـ‪:‬‬ ‫‪y=f ¢(1).(x­1)+f(1) ‬‬ ‫‪=9(x­1)+0 ‬‬ ‫‪=9x­9 ‬‬

‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ y)9x­9 ‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf) ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪. A ‬‬ ‫‪ /4 ‬ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ (d) ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪:(  Cf) ‬‬‫‪y ‬‬‫‪6 ‬‬‫)‪5  (d‬‬‫‪4 ‬‬ ‫®‬ ‫‪® ‬‬ ‫‪( Cf ) ‬‬‫‪3 ‬‬‫‪2 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪®j‬‬‫‪­1  0  ®i   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  x ‬‬ ‫‪­1 ‬‬‫‪­2 ‬‬‫‪­3 ‬‬‫‪­4 ‬‬‫‪­5 ‬‬‫‪­6 ‬‬ ‫‪/‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﺘﻭﻱ‪5 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf) ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪(D) x=e2    ، x=e ،y  =0 ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪9. ln( x ) dx ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= ò‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪1 (ln( x ))1 d ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= 9 ò‬‬ ‫‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪9 ëéê‬‬ ‫‪(ln‬‬ ‫‪( x)) 2 ‬‬ ‫‪ù‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪úû‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪= 9çæ  2 2  - 12   ÷ö‬‬ ‫‪è 2  2 ø‬‬ ‫‪= 27‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‪ :‬ﺃﻱ ‪ 27 ´1 ´1c  m2 ‬ﺃﻱ ‪27 cm2 ‬‬ ‫‪2  2 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:17 ‬‬ ‫‪f ( x ) = ln çæ‬‬ ‫‪x  ö‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪÷ f:‬‬ ‫‪è x + 1 ø‬‬ ‫‪ /1 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:f‬‬‫ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﻌﺘﺎﺩﺓ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪  f:‬‬‫‪x  ­¥ ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪0  +¥ ‬‬‫‪f ¢(x) ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ‬‬‫‪f (x)  +¥ ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ­¥ ‬‬‫‪ /2 ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟ ‪ ‬ـ)‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ (D) ‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪y =  1 x + 3  : ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪] - ¥; -1[  È]0  ; +  ¥[ ‬‬ ‫‪ X ‬ﺤل ﻟﻤﺴﺄﻟﺘﻨﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪f ¢(  x ) = 1  : ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨ ‪ ‬ﻲ‪x 2 +x­2=0 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪ (x=­2) : ‬ﺃﻭ‪. (x=1) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻫﻨﺎﻙ ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤ ‪ ‬ﻥ)‪  (Cf‬ﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ‪  A1 ‬ﻭ ‪  A2 ‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟ ‪ ‬ـ)‪  (Cf‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﻭﺍﺯ ‪ ‬ﻱ)‪  (D‬ﺃﻴﻥ‬ ‫‪ A1(1 ;­ln(2)) ‬ﻭ‪. A2(­2 ;ln(2) ‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ( D1) ‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟـ‪(  Cf) ‬ﻋﻨﺩ ‪ A1 ‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ‪(D2) ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪( D 1) : y = f ¢(1 ) ( x -1)  + f (1 )  ‬‬ ‫‪( D2 ) : y = f ¢( -2 ).( x + 2 ) + f ( -2 ) ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪( D1  ) : y‬‬ ‫=‬ ‫‪1 (x -‬‬ ‫‪1 ) +‬‬ ‫‪ln( 2 ) ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 .( x +‬‬ ‫=‪( D2 ) : y ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 ) +‬‬ ‫‪ln( 2)   ‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪: ‬‬ ‫=‪( D1  ) : y ‬‬ ‫‪1 x -‬‬ ‫‪1 -‬‬ ‫‪ln( 2)   ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫=‪( D 2 ) : y ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪. x + 1 +‬‬ ‫‪ln( 2)   ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪w 1 ‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪(- ;0 ) .(Cf) ‬‬ ‫‪/3 ‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ w‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‪ x ‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‪]­¥ ;­1[È]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪2æç  - 1 ö÷ - x.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫‪è 2 ø‬‬ ‫ﻷﻥ‪xÎ]­¥;­1[È]0;+¥[ : ‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪  ( x<­1) : ‬ﺃﻭ ‪( x>0) ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪ ( ­x>1) : ‬ﺃﻭ‪(–x<0) ‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ (­1­x>0) : ‬ﺃﻭ‪(­1­x<­1) ‬‬‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ æç 2æç  - 1 ÷ö - x > 0 ÷ö :‬ﺃﻭ ‪çæ 2çæ  - 1 ö÷ - x < -1÷ö ‬‬‫‪è è 2 ø‬‬ ‫‪ø è è 2 ø‬‬ ‫‪ø‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪]­¥ ;­1[È]0 ;+¥[ ‬‬‫‪f‬‬ ‫‪æç 2æç  -‬‬ ‫‪21  ö÷ø‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x ÷ö‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪f ( x ) ‬‬ ‫‪f ( -1 -‬‬ ‫‪x ) +‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫‪èè‬‬ ‫‪ø‬‬ ‫÷‪= ln çæ -1 - x ÷ö + ln çæ x  ö‬‬ ‫‪è - x  ø è x +1 ø‬‬ ‫‪= ln çæ x +1 .  x  ÷ö‬‬ ‫‪è x  x +1 ø‬‬ ‫‪= ln(1)  ‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪= 2( 0)  ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ w‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪.(C  f) ‬‬ ‫‪/4 ‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪.(Cf) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‪ y=0 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‪lim f  = 0  lim f  = 0 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪  : ‬ﻭ‬ ‫‪- ¥ + ¥‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟ ‪ ‬ـ)‪.(Cf‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‪ x=­1 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟـ‪lim  f  = +¥‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪( -1  )  -‬‬ ‫‪.(Cf) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‪ x=0 ‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟـ‪lim  f  = -¥‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪0 + ‬‬ ‫‪.(Cf) ‬‬ ‫* ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪.(C  f) ‬‬‫‪y ‬‬‫‪6 ‬‬‫‪5 ‬‬‫‪4 ‬‬‫‪3 ‬‬‫‪2 ‬‬‫‪1 ‬‬‫‪®j‬‬‫‪­9  ­8  ­7  ­6  ­5  ­4  ­3  ­2  ­1  0  i®  1  2  3  4  5  6  7  8 x ‬‬‫‪­1 ‬‬ ‫‪( Cf ) ‬‬‫‪­2 ‬‬‫‪­3 ‬‬‫‪­4 ‬‬‫‪­5 ‬‬‫‪­6 ‬‬ ‫‪/ 5 ‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‪ F ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ F ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻟ‪ ‬ﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]0 ;+¥[ ‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪F ¢(  x ) = 1.  ln( x ) + x.  1 -1.  ln( x +1)  - ( x +1) .  1  : ‬‬ ‫‪x  x +1 ‬‬ ‫‪= ln( x ) +1 - ln( x +1)  -1 ‬‬ ‫‪= ln( x ) - ln( x +1)  ‬‬

‫÷‪= ln æç x  ö‬‬ ‫‪è x +1 ø‬‬‫‪= f (x ) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ F ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ g/  6 ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g ( x ) = ln çæ x + 1 ö÷ :‬‬ ‫‪è x  ø‬‬ ‫‪ ‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cg) ‬ﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g ‬ﻫﻲ‪]­¥ ;­1[È]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪]­¥ ;­1[È]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪g (x ) = ln x + 1  : ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= - ln x ‬‬ ‫‪x + 1 ‬‬ ‫‪= - f (x ) ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪ (Cg) ‬ﻴﻨﺎﻅ ‪ ‬ﺭ)‪ (Cf‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪®j ( Cg ) ‬‬‫‪­9  ­8  ­7  ­6  ­5  ­4  ­3  ­2  ­1  0  ®i   1  2  3  4  5  6  7  8 x ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪( Cf ) ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪­4 ‬‬ ‫‪­5 ‬‬ ‫‪­6 ‬‬‫ﺏ( ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ‪ ،‬ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ (D) ‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ ‪ (Cf) ‬ﻭ‪(Cg)   ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ‪ x=1 ‬ﻭ‪x=2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ [1 ;2] ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪g(x)>f(x) : ‬‬

‫‪ ‬ﻭ ﻜل ﻤﻥ‪ f ‬ﻭ ‪ g ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎ ‪ ‬ل]‪ [1 ;2‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪A:‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪A = ò (g(x) ­ f (x))dx ‬‬ ‫‪1 ‬‬‫‪= ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪æ‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪çæ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 1 ÷ö‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ln æç‬‬ ‫÷‪x  ö‬‬ ‫‪ö÷ dx ‬‬ ‫‪ç‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪x  ø‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪x  + 1 ø‬‬ ‫‪ø‬‬ ‫‪ò‬‬ ‫‪è1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪= -2 ò f ( x ) dx ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪= -2[ x ln x - ( x +1)  ln( x +1) ]1 2  ‬‬‫‪= -2( 2 ln( 2)  - 3 ln( 3)  - 0 + 2 ln( 2) ) ‬‬ ‫‪= 6 ln( 3)  - 8 ln( 2)  ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﻲ‪ :‬‬ ‫‪( 6 ln( 3)  - 8 ln( 2 )) ´ 2 ´ 2 cm2 ‬‬ ‫ﺃﻱ ﻫﻲ‪24 ln( 3)  - 32 ln( 2 )  : ‬‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻫـ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ ﻟﻬﺎ‪.‬‬‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ ﻟﻬﺎ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻡ ﺩﻭﺍل ﺘﺩﺨل ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺘﺘﻀﻤﻥ ﻟﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﺎﺕ‪.‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺃﻭ ﺤﻭﺍﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺘﺩﺨل ﻓﻴﻬﺎ ‪exp(x)،lnx، xn :‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪expo u‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪expo u‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪ex‬‬‫‪lim x.ex = 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪lim x.ex = 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬‫‪ -‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺴﺩﻴﺩ ﺃﻭ ﺇﻴﺩﺍﻉ ﺘﺩﺨل ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﻴﺎﺕ‬

‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺎﻁ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‬ ‫‪ - 1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪ ،‬ﺍﺼﻁﻼﺡ‬ ‫‪ - 2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫‪ - 3‬ﺨﻭﺍﺹ ﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫‪ - 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ - 5‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪xleu(x‬‬ ‫‪ - 6‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫‪ - 7‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫‪ - 8‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻗﻭﻯ‬ ‫‪ - 9‬ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ - 10‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪a‬‬‫‪ – 11‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ – 12‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻨﺸﺎﻁ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‬ ‫ﻫﺩﻑ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫* ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫‪ -1-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺤﻴﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ ln‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪.2‬‬‫‪ -2-‬ﺃ( ﻨﻀﻊ [∞‪، ]0 ;+‬ﻋﻴﻥ )‪ ln(I‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ln‬‬‫ﺏ( ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‪،‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺤﻴﺩ ‪ b‬ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ln‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ a‬ﺜﻡ‬‫‪ -‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ )‪ (O; i; j‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫)‪ B(b ;0‬ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪. A(0 ;a‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪ b‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a=n‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬‫‪-1-‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 2‬ﻴﻌﻨﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(α)..... ln(x)=2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ ℜ*+‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ‪ ℜ*+‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪ (α‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln(x)=2.1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ln(x)=2ln(e‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ ) ln(x)=ln(e2‬ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( ln‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ (α) :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ) x=ex‬ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪(ln‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (α‬ﻫﻲ }‪{e2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﻭﺤﻴﺩ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 2‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ ‪. e2‬‬ ‫‪-2-‬ﺃ([∞‪I=]0 ;+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ln‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪]0 ;+‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ) ﺤﻭل ﺼﻭﺭﺓ ﻤﺠﺎل ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ(‬‫‪lim ln‬‬ ‫=‬ ‫‪ ln‬ﻭ ∞‪−‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫) ‪ ln(I‬ﻭ‬ ‫[‪=]lim ln;lim ln‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫∞‪0+ +‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫)[∞‪ ln(]0;+‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0;+‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪] − ∞;+‬‬ ‫ﺏ(ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ a :‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل )[∞‪ln(]0;+‬‬ ‫‪ ln‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪]0;+‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ln(x)=a‬‬ ‫‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0;+‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‪،‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ b‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل‪ ،‬ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺤﻴﺩ ‪ b‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ ln(b)=a‬ﺃﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. a‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (G‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ )‪ (O; i; j‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ln(b)=a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ C(b ;a‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (G‬ﻤﻨﻪ ‪ b‬ﻫﻭ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪(G‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ a‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل ‪.‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪A(0;a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬ ‫‪0 →i 1 2 3 B(b;0) 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(G‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ b‬ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ (β).....ln(b)=a‬ﺘﺼﺒﺢ ‪ ln(b)=n‬ﺃﻱ ‪ ln(b)=n.1‬ﺃﻱ )‪ln(b)=n.ln(e‬‬ ‫ﺃﻱ )‪. ln(b)=ln(en‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ a=n‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪b=en ،‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﻟﻘﺩ ﻋﻴﻨﺎ ﺩﺍﻟﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ‪ a‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ ‪. ln(b)=a‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻲ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ \"ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ\" ﺍﻟﺘﻲ ﺭﻤﺯﻫﺎ ‪. exp‬‬

‫ﻫﻜﺫﺍ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ exp(a) ،a‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ a‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. a‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ exp(a)>0: a‬ﻭ ])‪ ln[exp(a‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪: n‬‬ ‫‪. exp(n)=en‬‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(G‬‬‫‪a2‬‬ ‫)‪exp(a1‬‬ ‫)‪exp(a2‬‬ ‫‪x‬‬‫‪a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪0 i→ 1‬‬ ‫)‪ (G‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ )‪. (O; i; j‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪ ،‬ﺍﺼﻁﻼﺡ‬ ‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ‪ ،‬ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻫﻭ ﻤﺠﺎل –ﻤﻥ ‪-ℜ‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ exp‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫* ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻫﻲ ‪.ℜ‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، exp(x)،x‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، exp‬ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪y‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪.ln(y)=x‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺍﺼﻁﻼﺡ ﻟﻠﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ‪ ،‬ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ ،‬ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ :n‬ﺇﺼﻁﻼﺤﺎ‪ exp(n)=en ،‬ﻨﻤﺩﺩ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺡ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، x‬ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪ ex‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻷﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﻱ‪ :‬ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪exp(x)=ex : x‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ )ﻤﻘﺭﺒﺔ( ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪exp‬‬‫ﻓﻲ ﺃﻏﻠﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﺒﺎﻨﻴﺔ ‪،‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ )ﻤﻘﺭﺒﺔ(ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ )eα‬ﺤﻴﺙ ‪α‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ( ﺘﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻠﻤﺴﺘﺎﻥ ‪2ndF‬‬ ‫ﻭ ‪LN‬‬‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ e 17‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪2ndF‬‬ ‫= ) ) ‪LN ( √ ( 4 7‬‬ ‫ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ‪61,7507194 :‬‬

‫ﺨﻭﺍﺹ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫* ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ exp(x)، x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻨﻪ‪(1)..... ex>0 :‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ℜ‬ﻭ ‪ y‬ﻓﻲ *‪ y=exp(x):ℜ+‬ﻴﻌﻨﻲ )‪ x=ln(y‬ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪ y=ex‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪(2)...... x=ln(y‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ y‬ﺤﻴﺙ ‪ y=exp(x) :‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ ln(y)=x‬ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ ln(exp(x))=x‬ﺃﻱ ‪.(3)...ln(ex)=x‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ )‪ t=ln(x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ،‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ )‪ x=et ،(2‬ﻭ ﺒﻤﺎ‬ ‫ﺃﻥ )‪ t=ln(x‬ﻴﻜﻭﻥ )‪(4)...x=eln(x‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ eln(1) : (4‬ﻭ ‪ eln(e)=e‬ﺃﻱ ‪ e0=1‬ﻭ ‪(5)... e1=e‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ‪:‬‬ ‫‪(1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.ex>0: x‬‬‫‪(2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ (y=ex) :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ))‪. (x=ln(y‬‬ ‫‪(3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. ln(ex)=x : x‬‬ ‫‪(4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪. eln(x)=x:x‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ -‬ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1).... ex = 2‬ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪(2)... ex ≤ 7‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ‪ ،ℜ‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ ‪ .ℜ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫)‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ln(ex ) ≤ ln(7‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪:ℜ‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪x ≤ ln(7‬‬ ‫)‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ln(e x ) = ln( 2‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪x = ln( 2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻲ‬‫] )‪]− ∞; ln(7‬‬ ‫} )‪{ ln( 2‬‬

‫ﻫﻲ ‪ ℜ‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ex + 1‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ex : ℜ‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ *‪ ℜ+‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ ex‬ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ‪ ℜ‬ﻭ ‪ ex>0‬ﻤﻨﻪ ‪ex+1>1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪.ex+1≠0‬‬‫ﺃ( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪ g(x)=ln(2ex+3‬ﻫﻲ‪ ℜ‬ﻷﻥ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫‪ 2ex+3 ℜ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ) ﻭ ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﻟﻪ ﺼﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.(ln‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ﺠﺒﺭﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ ،b‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪:n‬‬ ‫‪)... ea+b=ea×eb(1‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )ea‬‬ ‫‪(5،‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= ena‬‬ ‫‪e(4، a−b‬‬ ‫=‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪(3، e−a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫= ‪e2a‬‬ ‫‪eb‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ ln‬ﻭ‪: exp‬‬‫‪(1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ (*)....ln(ea+b)=a+b :‬ﻭ )‪ ln(eb×ea)=ln(ea)+ln(eb‬ﻤﻨﻪ ‪.(•)....ln(eb×ea)=a+b :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺘﻴﻥ )*( ﻭ )•( ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻐﺫﻴﺔ )‪ln(ea+b)=ln(eb×ea‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪.ea+b=ea×eb‬‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫=‬ ‫‪−a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ⎟⎞‬ ‫) ‪− ln(ea‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ln(e-a)=-a :‬ﻭ‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎠‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎝‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪e−a = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎛⎜‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫=‬ ‫) ‪ln(e−a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎜⎜⎛⎝‪ln‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ⎠⎟⎟⎞‬ ‫‪a−b‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎜⎜⎛⎝‪ln‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫) ‪⎞⎠⎟⎟ = ln(ea ) − ln(eb‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ln(ea-b)=a-b‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪eb‬‬ ‫‪e. a−b‬‬ ‫=‬ ‫‪ea‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫⎜⎛⎝⎜‪ln‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⎟⎠⎞⎟‬ ‫=‬ ‫) ‪ln(ea−b‬‬ ‫‪eb‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ln(ena)=na :‬ﻭ )‪ ln[(ea)n]=n.ln(ea‬ﻤﻨﻪ ‪ ln[(ea)n]=na‬ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪ ln[(ea)n]=ln(ena‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪.(ea)n=ena‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎝⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎞⎟⎠‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎜⎛⎝‪ln‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎠⎟⎞‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln(e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫‪(5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫⎜⎜⎝⎛‪ln‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫=‬ ‫⎛⎝⎜‪ln‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ⎠⎞⎟‬ ‫⎛⎜⎜⎝‪ln‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪2‬‬‫= ‪e2a‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪e2 x+1 × e3 = e(2x+1)+3 ℜ‬‬ ‫‪= e2x+4‬‬ ‫(‪= e1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x+4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ، ℜ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪e2x+1 × e3 = ex+2 :‬‬ ‫‪-‬ﻟﻨﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ (1)..... 5e2x+9ex-2=0 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻲ ‪ℜ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‪: ℜ‬‬ ‫ƒ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪5(ex)2+9(ex)-2=0‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ (1) X=ex :‬ﺘﺼﺒﺢ ‪(2)....5X2+9X-2=0‬‬ ‫)‪ (2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻤﻴﺯﻫﺎ∆ ﺒﺤﻴﺙ ‪.∆=121‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻼ )‪ (2‬ﻤﺎ ‪ X1‬ﻭ ‪ X2‬ﺤﻴﺙ ‪ X1 = 5 :‬ﻭ ‪.X2=-2‬‬‫ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪ ،‬ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻭ ﻤﻥ‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ x‬ﻴﺤﻘﻕ ‪. ex = −2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ (1) :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎝‬ ‫‪5‬‬ ‫⎠‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪x = − ln(5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ ( 1‬ﻫﻲ })‪. {-ln(5‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻨﺤل‪ ،‬ﻓﻲ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪(2).... 5e2x-9ex-2≤0‬‬

‫ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ 9X2-9X-2‬ﻴﺤﻠل ﺇﻟﻰ )‪5(X-X1)(X-X2‬‬ ‫‪- 2 = 5⎜⎛ e x‬‬ ‫‪− 1 ⎟⎞ e x‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪5‬‬‫‪( )5e 2x‬‬ ‫‪- 9e x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪:ℜ‬‬‫ﻭ ﻟﻜﻲ ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ ،(2‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ 5e2x-9ex-2‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ‪ ℜ‬ﺃﻱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‬ ‫‪( )5⎜⎛ e x − 1 ⎟⎞ e x + 2‬‬ ‫⎠‪⎝ 5‬‬‫‪ ، e x‬ﻨﻘﺎﺭﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﻤﻊ ‪.0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ex>0 ،ℜ‬ﻤﻨﻪ ‪ 5(ex+2)>0‬ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪. x = − ln(5‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎞⎟ ‪ln(e x ) = ln⎜⎛ 1‬‬ ‫‪ e x‬ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e x‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪−1 =0‬‬ ‫⎠‪⎝5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪. x > − ln(5‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎞⎟ ‪ln(e x ) > ln⎜⎛ 1‬‬ ‫‪ ex‬ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e x‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫⎠‪⎝5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪. x < − ln(5‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎟⎞ ‪ln(e x ) < ln⎜⎛ 1‬‬ ‫‪ e x‬ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e x‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪−1 <0‬‬ ‫⎠‪⎝5‬‬ ‫<‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫)‪-ln(5‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪5(ex+2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫‪⎜⎛ ex‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫‪-+‬‬‫⎝‬ ‫‪5‬‬ ‫⎠‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪(5e2x-9ex-2‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (2‬ﻫﻲ ])‪]-∞ ;-ln(5‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫‪(2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ‪.‬‬‫* ﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ،xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻨﻘﺒل ﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﺸﻁﺭ ‪ (1‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻁﺭ‪:(2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪. exp(x)>0 ، ℜ‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪) lno u‬ﺃﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ])‪.(xlln[u(x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f(x)=ln(exp(x)) :‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪،ℜ‬‬‫‪.‬‬ ‫= )‪f ′(x‬‬ ‫)‪exp′( x‬‬ ‫ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f′′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪exp(x) :‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺎ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ f(x)=x، ℜ‬ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ℜ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪exp′( x‬‬ ‫‪=1،‬‬ ‫‪ℜ‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪f′′(x)=1‬‬ ‫)‪exp(x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪.exp′(x)=exp(x) :ℜ‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ ℜ‬ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‪ ، ℜ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. exp‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ exp′(x)=ex :ℜ‬ﻭ ‪ex>0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ exp′(x)>0 ℜ‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪.ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪. (ℜ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ( ℜ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪e x + 2x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2e x + 1‬‬‫‪ ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪ u‬ﻭ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= :‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ u(x)=ex+2x‬ﻭ ‪.v(x)=2ex+1‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪. u′(x)=ex+2 : ℜ‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ v‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪. v′(x)=2ex : ℜ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ v(x)≠0 ،ℜ‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫)‪v(x).u′(x) − u(x).v′(x‬‬ ‫‪(v( x)) 2‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪′(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2e x‬‬ ‫‪+ 1).(e x + 2) − (e x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x).2e x‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪(2e x + 1)2‬‬‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ) ﻤﻊ ﺍﻷﺨﺫ ﺒﺎﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ‪ ex.ex=(ex)2‬ﻤﻨﻪ ‪(ex.ex=e2x‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪. u′(x)=ex+2 : ℜ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪5e x − 4xe x +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2e x +1) 2‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪ ،ℜ+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g (x) = 3ex + x2 + 1 :‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0 ;+‬ﻤﻨﻪ ﻫﻲ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0 ;+‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫‪ G ( x ) = 3 e x +‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x3‬‬ ‫) ‪+ ln( x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫[∞‪]0 ;+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0 ;+‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪xleu(x‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f(x)=eu(x) :‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪:I‬‬ ‫)‪.f ′(x)=u′(x).eu(x‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭ ﻓﺭﻀﻴﺘﻪ ﺴﺎﺌﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻱ ‪f(x)=eu(x) ، I‬‬ ‫))‪=exp(u(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬‫)‪f (x) = (expo u)(x‬‬‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x0‬ﻤﻥ‬‫‪ ، I‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ )‪ u(x0‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ )‪ (expo u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ (expo u)′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪: I‬‬‫)‪(expo u)′ = exp′[u(x)]× u′(x‬‬ ‫)‪= exp[u(x)]× u′(x‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪f :I‬‬ ‫)‪′(x)=u′(x).eu(x‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ ] 0;+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = ln(x) + e 2x × e x × e x :‬‬ ‫‪2x+1+ x‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ [∞‪f (x) = ln(x) + e x :] 0;+‬‬‫ﻭ ﺒﻭﻀﻊ ‪ u(x) = 2x + 1 + x :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ [∞‪ ] 0;+‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪u′‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪u′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ [∞‪ ] 0;+‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻜﺫﻟﻙ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ] 0;+‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﻘﺔ ‪ f ′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ] 0;+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ ⎛⎜ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎟⎞e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬‫‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎠‪2 x‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ U‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ G(x)=eu(x) :‬ﻫﻲ‬‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ،I‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪g(x)=u′(x).eu(x) :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭ ﻓﺭﻀﻴﺘﻪ ﺴﺎﺌﺩﺓ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻑ‬ ‫‪.G′(x)=g(x)،I‬‬ ‫) ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل)‪( xleu(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ G‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ،g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫ﻤﺜﺎل‪:‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = (x + 1)e(x2 ) × e 2x :‬ﻻ ﻨﺤﺴﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺠﺩﺍﺀ ﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﻭﻴل ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪. f(x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪. f (x) = (x + 1)e(x2 +2x) ،ℜ‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u(x)=x2+2x :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ u′(x)=2x+2‬ﻤﻨﻪ )‪. u′(x)=2(x+1‬‬

‫= )‪f (x‬‬ ‫)‪1 u′(x).e u(x‬‬ ‫= )‪ (x + 1‬ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫)‪1 u′(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ xleu(x‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ)‪ xlu′(x).eu(x‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻭ‬‫‪ 2‬ﻋﺩﺩ ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‪.ℜ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪e u( x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ℜ‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫)‪ F (x‬ﻫﻲ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪e (x2 +2x‬‬ ‫‪ℜ‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬‫‪L‬ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f(x‬ﺘﺸﻤل \"ﻋﻨﺎﺼﺭ\" ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬‫)‪ ،eu(x‬ﻨﻌﻴﻥ )‪ u′(x‬ﻭ ﻨﺤﺎﻭل ﺇﺒﺭﺍﺯ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪ u′(x).eu(x‬ﻭ)ﺃﻭ( ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻗﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪lim ⎜⎛ x → exp( 0 + x ) − exp( 0) ⎟⎞ :‬‬ ‫⎠ ‪0⎝ x‬‬ ‫ﻭ ‪ exp′(x)=e0‬ﻤﻨﻪ ‪exp′(0)=1‬‬ ‫‪(1)..... li0m⎝⎜⎛⎜ x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎟⎞⎠‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ *‪( )ex = ex −1 × x +1 : ℜ‬‬ ‫‪x‬‬‫‪( ):‬‬‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫ﺤﻭل‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪(2)...‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪= 0 :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪(e‬‬ ‫‪x − 1)× x + 1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4x42 443‬‬ ‫⎟‬ ‫‪= 1× 0 +1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎟⎟⎠‬ ‫⎜⎝⎜‬ ‫‪( )(I)....‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪= 1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ex−a = ex‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‪،‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪،ℜ‬‬ ‫‪ea‬‬‫ﻤﻥ )‪( )(I‬‬‫‪lim x → ex‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ ex = ea × ex−a‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim(x → x − a) = 0‬ﻭ‪= 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪( )lim x → ex−a = 0‬‬‫‪a‬‬ ‫⎝⎜⎛⎜‪liam‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪→ e1a2.e3x−a‬‬ ‫⎟⎠⎟⎞‬ ‫=‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪×1‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( )(α) lim x → ex = ea :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [1 ;+‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ f(x)=ex-2x‬ﻭ ‪g(x)=ex-x2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪.[1 ;+‬‬ ‫‪-‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ [∞‪ f ′(x)=ex-2 [1 ;+‬ﻭ ‪ x≥1‬ﻤﻨﻪ ‪.ex≥e1‬‬ ‫)ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ exp‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﻤﻨﻪ ‪ ex-2≥e-2‬ﻭ ‪ e-2>0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪. f ′(x)>0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ [∞‪[1 ;+‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ x≥1 : [1 ;+‬ﻤﻨﻪ )‪ f(x)≥f(1‬ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ f(x)≥e-2‬ﻤﻨﻪ ‪.f(x)>0‬‬‫‪-‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ g′(x)=ex-2x : [1 ;+‬ﻤﻨﻪ )‪ g′(x)=f(x‬ﻤﻨﻪ ‪ g′(x)>0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪.[1 ;+‬‬‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ x≥1 ، [1 ;+‬ﻤﻨﻪ )‪ g(x)≥g(1‬ﻤﻨﻪ ‪g(x)≥e-1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ g(x)>0‬ﻤﻨﻪ ‪ex-x2>0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ [∞‪(•)..... ex>x2 : [1 ;+‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )(••) lim x → x2 = +∞ :‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫ﻤﻥ )•( ﻭ )••( ﻭ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫∞‪(β) lim(x → ex ) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ)•( ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ [∞‪(•••) ex > x [1 ;+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ∞‪(••••) lim(x → x) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬‫ﻭ ﻤﻥ )•••( ﻭ)••••( ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪(γ‬‬ ‫∞‪lim⎜⎛ x → ex ⎞⎟ = +‬‬ ‫⎠ ‪⎝+∞ x‬‬ ‫‪ex = 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪،ℜ‬‬ ‫‪e−x‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻨﻴﺎ‪ lim(x → −x) = +∞ :‬ﻭ ∞‪ lim x → ex = +‬ﻤﻨﻪ) (‬‫∞‪+∞ −‬‬ ‫‪lim⎛⎜ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫∞‪⎝−‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫⎠‬‫ﻋﻠﻴﻪ) (‬‫ﻭ‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪→ e−x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪(δ) lim(x → ex ) = 0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪xe x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪xex = x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ *‪: ℜ‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫⎠‪⎝−x‬‬‫⎛⎜⎜⎝ ∞‪( )li+m‬‬‫‪ex‬‬‫⎞⎟⎟⎠‬‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ lim x → −x‬ﻭ‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺎ ‪= +∞ :‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫→ ‪li−m∞ ⎝⎜⎛⎜ x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫⎟⎠⎞⎟‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪−x‬‬

‫)‪( )(ζ‬‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪−1‬‬ ‫⎞⎟‬‫‪lim x → xex‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫→ ‪l−im∞⎜⎜ x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫⎟‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫⎟‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫⎠⎟ ‪⎝⎜ − x‬‬ ‫‪xex‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( )lim x → ex = ea : a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪ex‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪l+im∞⎜⎝⎛⎜ x‬‬ ‫→‬ ‫‪ex‬‬ ‫⎞⎠⎟⎟‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪xe x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ex +5‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪2e x −1‬‬‫‪ Df‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪. 2ex-1≠0‬‬‫‪ln(e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ex‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2ex-1 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ x = − ln 2‬ﻤﻨﻪ }‪ Df=ℜ-{-ln2‬ﺃﻱ‬ ‫[∞‪]-∞ ;-ln2 ;[∪]-ln2 ;+‬‬‫) ‪ln(e x‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim( x‬‬ ‫→‬ ‫)‪ex‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪-‬ﻭ‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫∞‪−‬‬‫‪lim(x → ex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim( x‬‬ ‫→‬ ‫‪2e x‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫‪= 0-‬‬ ‫‪2‬‬‫‪−ln 2‬‬ ‫‪−ln 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫) ‪ln(ex‬‬ ‫>‬ ‫⎛⎜‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪ex‬‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪2ex-1‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2ex-1=0‬ﻴﻌﻨﻲ ‪ 2ex-1>0 ، x=-ln2‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪x > − ln 2‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ 2ex-1<0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x<-ln2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬ ‫‪x -∞ -ln2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2ex-1‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪−ln 2−‬‬ ‫∞‪lim f = +‬‬ ‫‪−ln 2+‬‬‫‪-‬ﻋﻨﺩ ∞‪ ،+‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ f‬ﻫﻲ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻫﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪ ،‬ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ) ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪، ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ(‪.‬‬ ‫‪(( ))f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ex 1+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪lim( x‬‬ ‫→‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫) ‪lim(x → ex‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ex‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪lim( x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)=(x+1).ex+2 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim(x → ex ) = +∞ :‬ﻭ ∞‪ lim(x → x +1) = +‬ﻤﻨﻪ‬ ‫∞‪+∞ +‬‬

‫∞‪. lim g = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪g(x)=xex+ex+2 :ℜ‬‬‫ﻭ ‪ lim(x → xex ) = 0 ، lim(x → ex ) = 0‬ﻤﻨﻪ ‪lim g = 2‬‬‫∞‪−∞ −‬‬ ‫∞‪−‬‬‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬‫‪ -‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭﻫﺎ‬‫∞‪x -‬‬ ‫ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺎﺘﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪ex‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlex‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪(ℜ‬‬‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim(x → ex ) = 0 :‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ) y=0‬ﺃﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل(‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (Cf‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪.-‬‬ ‫* ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ C(0 ;1‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (Cf‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ )‪ (d′‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ‪ C‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪ (d′) :y=exp′(0)(x-0)+exp(0‬ﺃﻱ ‪. (d′) :y=x+1‬‬ ‫* ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ D(1 ;e‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (Cf‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ )‪ (d″‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ‪ D‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫)‪ (d″) :y=exp′(1).(x-1)+exp(1‬ﺃﻱ‬ ‫‪y=e(x-1)+e‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ (d″) :y=e.x‬ﻤﻨﻪ )‪ (d″‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪.‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪3 ( Cf‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1C‬‬ ‫‪→j‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 x‬‬‫)'‪( d‬‬ ‫‪(d'') -1‬‬‫)‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ )‪(o;i; j‬‬‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻗﻭﻯ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪g(x) = xn.ex‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x) = ex‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻫﻭ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ ‪ lim f‬ﻭ ‪l im g‬‬ ‫∞‪−∞ +‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻫﻠﺔ ‪ ،‬ﺤﺎﻟﺘﺎ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻷﻥ ‪:‬‬

lim(x → ex ) = 0 ‫ﻭ‬ lim(x → ex ) = +∞ −∞ +∞+∞ ‫ ﻫﻲ‬lim(x → xn ) lim(x → xn ) = +∞ −∞ +∞n ‫ ﺤﺴﺏ ﺸﻔﻌﻴﺔ‬-∞ ‫ﺃﻭ‬ ( )x 1 x.n f (x) = enf (x) = e x ‫ﻤﻨﻪ‬ xn : ℜ* ‫ ﻓﻲ‬x ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬- xn‫ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺎﻟﺘﺤﻭﻴل‬lim⎜⎛ X → e X ⎟⎞ ‫ﻭ ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻗﺘﺭﺍﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻀﻊ‬ f (x) = ⎛⎜ x ⎟⎞n ‫ﻤﻨﻪ‬ ⎝+∞ X ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ex x f (x) = ⎛⎜ x ⎟⎞n ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ⎜ ⎟ ⎝ en ⎠ xn×n.‫ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ 1 ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ f (x) = ⎛⎜ x ⎟⎞n × ⎜⎛ 1 ⎞⎟ ‫ﻤﻨﻪ‬ nn ⎜ ⎟ ⎝ nn ⎠ ex x ⎝ n⎠‫ ﻤﻨﻪ‬lim⎜⎛ x → ex ⎟⎞ = +∞ lim⎛⎜ x → x ⎟⎞ = +∞ ‫ﻭ‬⎝+∞ x ⎠ ⎝+∞ n ⎠ li+m∞ ⎛⎜⎜ x → x ⎞⎟ = +∞ ⎟ en n ⎝ x⎠ lim f = +∞ ‫ﻤﻨﻪ‬ +∞

‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x .en‬‬ ‫‪1.x.n‬‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x.e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎟⎞n‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪:ℜ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠⎝‬‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎞⎟n‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛ ‪nn‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎟⎞n‬‬ ‫‪.n..e x‬‬ ‫‪..e x‬‬ ‫⎠ ‪⎝n ⎠ ⎝n‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ∞‪ lim⎜⎛ x → x ⎞⎟ = −‬ﻭ ‪( )lim x → xex = 0‬‬ ‫⎠ ‪−∞ −∞ ⎝ n‬‬ ‫‪lim⎜⎛ x‬‬ ‫→‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠ ‪−∞ ⎝ n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪lim g = 0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫‪lim(x → xn.ex ) = 0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪lim⎜⎛ x → ex ⎞⎟ = +‬‬ ‫⎠ ‪+∞ ⎝ xn‬‬ ‫ﺤﻭﺼﻠﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ‪،‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) xlxn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻗﻭﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ‪\"n‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪:+‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﺒﻘﻴﻡ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪:‬‬‫‪ xn‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ +‬ﻭ ‪ ex‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪.+‬ﻷﻭل‬ ‫‪ X‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﻭ )‪ ln(x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪-‬ﻷﻭل‬ ‫ﻭﻫﻠﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪ xn.ln(x‬ﻫﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﻭﻫﻠﺔ ‪ ،‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪. xn‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‪.‬‬

‫ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× ex‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‬ ‫و ﺑﻌﺪ إزاﻟﺔ ﺣﺎﻟﺔ ﻋﺪم اﻟﺘﻌﻴﻴﻦ‪ ،‬وﺟﺪﻧﺎ أن‬ ‫‪ xn‬ﻫﻲ‬ ‫)‪ xnln(x‬ﻳﺆول إﻟﻰ‪0‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫و‪ 0‬هﻮ ﻧﻬﺎﻳﺔ )‪(xlxn‬‬ ‫إذن ‪‘ xn‬ﻳﺘﻔﻮق’ ﻋﻠﻰ××)‪.ln(x‬‬‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‪ ،‬ﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ Xn‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞‪ +‬و )‪ ln(x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﻷول وهﻠﺔ ‪ ،‬ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪ xn‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫ﻭ ∞‪ +‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪. (x → ex‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫أي ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺠﺪاء‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪' ex‬ﻴﻔﻭﻕ' ﻋﻠﻰ ‪×× xn‬‬ ‫)‪ 1 .ln(x‬هﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻋﺪم اﻟﺘﻌﻴﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪:-‬‬‫‪ Xn‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞‪ -‬ﻥ ﺤﺴﺏ ﺸﻔﻌﻴﺔ‬ ‫و ﺑﻌﺪ إزاﻟﺔ ﺣﺎﻟﺔ ﻋﺪم اﻟﺘﻌﻴﻴﻦ وﺟﺪﻧﺎ أن‬ ‫‪ ،n‬ﻭ ‪ ex‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‪.0‬‬ ‫)‪ 1 .ln(x‬ﻳﺆول إﻟﻰ‪.0‬‬‫ﻷﻭل ﻭﻫﻠﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ xn.ex‬ﻫﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻟﺠﺰء‬ ‫‪⎜⎛ x‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫هﻮ‬ ‫‪0‬‬ ‫و‬‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‪ ،‬ﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ‪xn.ex‬‬ ‫⎝‬ ‫‪xn‬‬ ‫⎠‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.0‬‬ ‫‪ xn‬هﻨﺎ آﺬﻟﻚ ‪' xn‬ﻳﺘﻔﻮق' ﻋﻠﻰ )‪.×× ln(x‬‬ ‫ﻭ ‪ 0‬ﻫﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪. (xlex‬‬ ‫ﻫﻨﺎ ﻜﺫﻟﻙ ‪' ex‬ﻴﺘﻔﻭﻕ' ﻋﻠﻰ ‪.×× xn‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ ،‬ﺒﻌﻨﻰ‬ ‫ﺃﻤﺎﻡ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ :‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ ،‬ﺒﻤﻌﻨﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪ ex‬ﻭ ‪ xn‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪ lnx‬ﻭ ‪ xn‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫∞‪.+‬‬ ‫∞‪.+‬‬ ‫‪' ex‬ﻴﺘﻔﻭﻕ' ﻋﻠﻰ ‪xn‬‬ ‫‪' xn‬ﻴﺘﻔﻭﻕ' ﻋﻠﻰ )‪ln(x‬‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﺠﺩ ﻤﺜﻴﺭﺓ ﻟﻼﻫﺘﻤﺎﻡ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺠﻌﻠﻨﺎ ﻨﻜﺴﺏ\"ﺜﻘﺎﻓﺔ\" ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪lim(x → x5 − e2x+3‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻷﻭل ﻭﻫﻠﺔ‪ ،‬ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ)ﻷﻥ ∞‪lim(x → x5 ) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ∞‪( lim(x → −e2x+3 ) = −‬‬ ‫∞‪+‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ\"ﺘﺘﻔﻭﻕ\" ﻋﻠﻰ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ\"ﻗﻭﺓ\" ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﻓﻲ ﻤﺜﺎﻟﻨﺎ ﻫﺫﺍ‪ ،‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺯﺀ‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻫﻲ ∞‪.-‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻨﺨﻤﻥ ‪lim(x → x5 − e2x+3 ) = −∞ :‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﻭ ﻟﻨﺤﺎﻭل ﺇﺒﺭﺍﺯ‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪f (x) = x5 − e2x+3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ *‪. ℜ‬‬‫‪f (x) = x5 − ex.ex.e3‬‬ ‫=‬ ‫‪x5 ⎛⎜1 −‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫×‬ ‫‪ex‬‬ ‫×‬ ‫‪e3‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎝‬ ‫‪x5‬‬ ‫⎠‬ ‫ﻟﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞‪ x5 :+‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ ex‬ﻴﺅﻭل‬ ‫‪× e3‬‬ ‫∞‪+‬ﻭ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪x5‬‬‫)ﻷﻥ ‪ e3>0‬ﻭ ‪ ex‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪(+‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ∞‪-‬‬ ‫‪1 −‬ﻴﺅﻭل‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪× ex × e3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x5‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( )lim x → x5 − e2x+3 = −∞ :‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪، n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ln(an)=n.ln(a) :‬ﻤﻨﻪ‬ ‫))‪an=exp(n.ln(a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ an=enln(a‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﻤﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪aα=eαln(a) :α‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ‪ b‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ ،β‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪aα+β=aα×aβ(2‬‬ ‫‪ln(aα)=αln(a)(1‬‬‫‪aα −β‬‬ ‫=‬ ‫‪aα‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪a −α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪aβ‬‬ ‫‪aα‬‬‫‪(a.b)α=aα.bα(6‬‬ ‫‪(aα)β=aα.β(5‬‬ ‫‪⎛⎜ a ⎟⎞α‬‬ ‫=‬ ‫‪aα‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫⎠‪⎝b‬‬ ‫‪bα‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﺘﻡ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ ) aα=eαlna‬ﻤﻥ ﺃﺠل *‪a∈ℜ+‬‬ ‫ﻭ ‪ ( α∈ℜ‬ﻭ ﻋﻠﻰ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ln‬‬ ‫ﻭ ‪ exp‬ﺴﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺎﻟﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻌﺽ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ *‪ ℜ+‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪α‬ﻭ‪ β‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻗﻴﻘﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫)‪ ln(aα)=ln(eαlna‬ﻭ ‪ ln(ex)=x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ ln(aα)=αlna‬ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﺘﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪.(1‬‬ ‫‪ ) α β‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‪( )a = e‬‬ ‫) ‪β ln(aα‬‬ ‫) ﻤﻥ ‪= e((1‬‬ ‫) ‪β (α ln a‬‬ ‫‪= eαβ ln a‬‬

‫‪ ) = aαβ‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﺘﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪(5‬‬ ‫)‪ ) (ab)α = eα ln(ab‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‬ ‫) ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ‪(ln‬‬ ‫)‪= eαl (ln a+ln b‬‬ ‫‪= eα ln a+α ln b‬‬ ‫‪ ) = eα ln a × eα lnb‬ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ‪(exp‬‬ ‫‪ ) = aα × bα‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﺘﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪(6‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻨﻭﻋﺎ\"ﺠﺩﻴﺩ\" ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻲ *‪ ℜ+‬ﻭ ﺍﻷﺱ ﻓﻲ ‪ ℜ‬ﻭ ﻨﻼﺤﻅ‬‫ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬‫ﻤﺜﻼ‪:‬ﻟﻨﺤل ﻓﻲ ‪ℜ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1).... 10x=7‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪ (1) ، ℜ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ln(10x)=ln(7‬‬‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪x.ln(10)=ln(7‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪ln(7‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪ln(10‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪x=log(7‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻲ })‪{log(7‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪a‬‬ ‫‪ -‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a>0‬ﻭ ‪a≠1‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a>0‬ﻭ ‪a≠1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ a‬ﻫﻲ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪، xlax‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪.1‬‬ ‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ expa‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ expa‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪expa=ax‬‬ ‫ﺃﻱ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪expa(x)=exln(a) :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،u‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪u(x)=x.ln(a) :‬‬‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ u′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪ u′(x)=ln(a‬ﻤﻨﻪ ‪ expa‬ﻗﺎﺒﻠﺔ‬ ‫ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪exp′a‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ exp′a(x)=ln(a).exln(a) :‬ﺃﻱ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪exp′a(x)=ln(x) .ax‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ exln(a)>0 ،ℜ‬ﺃﻱ ‪ ax>0‬ﻤﻨﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ exp′a(x‬ﻫﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪.ln(a‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪.a≠1‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:0<a<1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:a>1‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ ln(a)<0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ ln(a)>0‬ﻤﻨﻪ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ xlax :‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ xlax :‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪α‬ﻭ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪α‬ﻭ‬ ‫‪.β‬‬ ‫‪.β‬‬‫‪ β=α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ=aα‬‬ ‫‪ β=α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ=aα‬‬‫‪ β>α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ<aα‬‬ ‫‪ β>α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ>aα‬‬‫‪ β≥α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ≤aα‬‬ ‫‪ β≥α‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪aβ≥aα‬‬

‫‪-‬ﺠـ ‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪،(xlax‬ﺤﻴﺙ ‪ a>0‬ﻭ ‪ ، a≠1‬ﻋﻨﺩ ∞‪ -‬ﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪-‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪a≠1 :‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ax=exln(a):ℜ‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:0<a<1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:a>1‬‬ ‫‪ln(a)<0‬‬ ‫‪ln(a)>0‬‬‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ x.lna ،+‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ -‬ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ x.lna ،+‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ ex.lna‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ ex.lna‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪.+‬‬‫ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ x.lna ،-‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ -‬ﻤﻨﻪ ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ x.lna ،-‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ ex.lna‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪.+‬‬ ‫‪ ex.lna‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪.0‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪lim(x → a x ) = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ∞‪lim(x → a x ) = +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬‫∞‪lim(x → ax ) = −‬‬ ‫‪lim(x → a x ) = 0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪-‬ﺩ‪ -‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، xlax‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a>0‬ﻭ ‪a≠1‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a>0‬ﻭ ‪ a≠1‬ﻓﻲ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ ،‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪، xlax :‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪،ℜ‬‬ ‫ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪:‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:a>1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪ax‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪xlax‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪( γa‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(γa‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ xlax‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ )‪(o;i; j‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪:1>a>0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪ax +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪xlax‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪( γ a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‬ ‫‪j‬‬‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫→‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(γa‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ xlax‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ )‪(o;i; j‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪exln(e)=ex ،ℜ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ) ‪ ( exp‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪e‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ،‬ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬ ‫ﺤل ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪،‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪.. (ex − 5)(3ex − 2) = 0 ،(2)......... e5x+3 = e 2e−2x+1 ،(1)...... 3x−2 = 17‬‬ ‫‪،(4)........ 9 log(x) = −3 ،(3)....‬‬ ‫)‪،(5)... 5log8 (x =) = 2 log2 (x‬‬ ‫‪،(6)... (log x)2 − ( 2 −1) log x = 2‬‬ ‫‪(7).......... e2 × 3x × 32x × 33x = 5x × 52x × 53x × 54x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬ ‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(4)..(lnx)2<2،(3)....e-2x+1>103،(2)....2-3e-x<0،(1)....2ex≥5‬‬ ‫‪،(7)...(0,5)x≤(0,5)3x+1،(6)...e2x-2ex+1≤0،(5)... (logx)2≥3‬‬ ‫‪.(8)...7.3x>6x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬ ‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(3)....10e x − 31e 2 + 15 = 0 ،(2)...5ex+10e-x-51=0،(1)....3e2x-28ex+9=0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺭ ﻭ ﺒﺴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ)‪ ،P(x‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، x‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫)‪P(x)=(x+1)(3x-2)(2x-3‬‬ ‫‪ -2-‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f(x)=6e3x-7e2x-7ex+6‬‬ ‫‪ -‬ﺃ‪ -‬ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪،ℜ‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x)=0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺏ ‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ‪.ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 05‬‬

‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪،(2)....3.49x-4.7x+1+9<0،(1)....5e2x+10≥51ex‬‬‫‪(4)... e3x-4e2x-ex+4≤0،(3)..... 6(0,25)x-13(0,5)x+6>0‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 06‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ′‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪ f (1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = x2 + 2x − 2ex :‬‬‫‪ f (2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 1 + 3x2.ex :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x) = 3x + 5‬‬ ‫‪ f (3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬‫‪ f (4‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (0,5x2 + 2x).ex :‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪ f (5‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+3‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪5e x‬‬ ‫‪ f (6‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−1‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2x +3‬‬ ‫‪ f (7‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪2ex − 4‬‬‫‪ f (8‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = ex + x2 + 5 :‬‬ ‫‪ f (9‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 3x2 + 5x −1 + e3x2+5x−1 :‬‬ ‫‪ f (10‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (5e2x + 3ex + 1)10 :‬‬‫‪ f (11‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (3x2 + 5x)(e2x − 3e−5x + 1) :‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 + 2x‬‬ ‫‪ f (12‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪e2x − 4‬‬

‫‪f (x) = ln x + 3 x‬‬ ‫‪ f (13‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ f (14‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = x2 + e x−1 :‬‬ ‫ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭ ﺘﻜﺎﻤﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 07‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫[‪I=]-∞ ;0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪ f (1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ f (2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = 2e0,5x + 7 x :‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫‪ f (3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = 5xex2 + 3e5x :‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬‫‪ f (4‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = (x2 + 2)ex3+3x :‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪I=]0 ;+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ f (5‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬‫‪ f (6‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = (e2x + 3)(e3x + e−x −1) :‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬‫‪I=ℜ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪+ 5e2x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪ f 7‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪e6x‬‬ ‫‪I=ℜ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ f (8‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪2ex +1‬‬‫[‪I=]-∞ ;0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 + e−x‬‬ ‫‪ f (9‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x3 − 3e−x‬‬‫‪ f (10‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ f (x) = ex.(e2x + 2ex + 1)10 :‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫‪I=ℜ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex +1‬‬ ‫‪ f (11‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪(ex + x)7‬‬