دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ ،‬ﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ‪ ،‬ﻜل‬ ‫ﻤﺠﺎل ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻫﻭ ﻤﺠﺎل ‪ -‬ﻤﻥ ‪ -‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل‪Â.‬‬‫\"ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ‪ ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ﻫﻲ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ§‬ ‫‪]  0 ;+¥[ ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‪ 0 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‪ 1 ‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬ ‫§ ‪ ‬ﺭﻤﺯ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ﻫﻭ‪. ln ‬‬ ‫ﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ ln ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ‪  ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪  ln¢‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫=‪ln ¢( x ) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ ‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 1 ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻫﻲ‪)  0 ‬ﺃﻱ‪( ln(1)=0 ‬‬‫ﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺃﻭ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ) ﻓﻲ ﺒﻌﺽ‬ ‫‪LN ‬‬ ‫* ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ )ﻤﻘﺭﺒﺔ(‪ ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ﻫﻲ ‪.( ln ‬‬ ‫‪ln(2 + 3 ) ‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ‪ ‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ‪ ،‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪1 + ln( 7 ) ‬‬ ‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫) ‪ln  (  2  + Ö  3 ‬‬ ‫= ‪¸  (  1  +  ln  7  ) ‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‪0,447046186 : ‬‬ ‫*ﺘﻤﺭﻴﻥ‪:‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ‪ ‬‬

‫ﻨﺹ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:‬‬‫‪f ( x ) = ‬‬ ‫‪ln( x 2 - 5 x + 4 ) ‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Df‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬ ‫‪x + 2 ‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ Df: ‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪: ‬‬‫‪ (1 ) ‬ﻫﻭ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻭﺍﻟﻜﺎﻓﻲ ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ‪Â‬‬ ‫‪(1 ).....  x2   ­5x+4>0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺍ ﻓﻲ )‪ln(x2 ­  5x+4‬‬ ‫‪ ‬ﻭ‬ ‫‪(2) ...........x  +2¹0 ‬‬ ‫ﻟﻨﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، ‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‪. x2   ­5x+4>0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺘﻜﻥ‪ T(x) ‬ﺜﻼﺜﻲ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ x ‬ﺤﻴ ‪ ‬ﺙ‪T(x)=x 2­  5x+4 :‬‬‫‪ D‬ﻤﻤﻴﺯ )‪ D=9 T(x‬ﺤﻼ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ T(x)=0 ‬ﻫﻤﺎ‪ 1 ‬ﻭ‪ 4 ‬ﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻟﻜﺜﻴﺭ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﺩﻭ‪ ‬ﺩ)‪ T(x‬ﻫﻭ‪ 1 ‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ‪. T(x) ‬‬ ‫‪ ‬ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ‪ x ‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪­¥  1              4 ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭ‪ ‬ﺓ)‪T(x‬‬ ‫‪+  ­ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪ x ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪( 1 ) ‬ﻫﻲ‪]­¥ ;1[È]4 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺸﺭﻁ‪ (2 ) ‬ﻫﻭ‪x¹­2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ [‪D f=]­¥   ;2[È] 2 ;1[ È] 4 ;+¥   ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬‫‪ ‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪  :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  ln ‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪]  0 ;+¥[ ‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ‬‫‪ ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] 0 ;+¥[ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪  ln¢‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ln ¢( x ) = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬‫‪1‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪> 0 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪، ]0 ;+¥[ ‬‬‫‪x ‬‬ ‫‪ ln¢(x)>0  ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪]0 ;+ ¥ ‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ‪:‬‬‫‪ ‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫\"ﺘﺤﺎﻓﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ a ‬ﻭ‪:  b ‬‬ ‫‪ a<b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ln(a)<ln(b) ‬‬ ‫‪ a=b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ln(a)=ln(b) ‬‬ ‫‪ a£b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ln(a)£ln(b) ‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻷﺨﺹ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ x ‬ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤ‪ ‬ﺎ‪:‬‬ ‫‪ 1<x ‬ﻴﻜﺘﺎﻓﺊ‪ln(1)<ln(x) ‬‬ ‫‪ 1=x ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ ln(1)=ln(x) ‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ln(1)=0 ‬‬ ‫‪ x<1 ‬ﻴﻜﺎﻓ ‪ ‬ﺊ)‪ln(x)<ln(1‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ x ‬ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪: ‬‬ ‫‪ ln(x)>0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x>1 ‬‬ ‫‪ ln(x)<0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x<1 ‬‬ ‫‪ ln(x)=0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x=1‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،Â‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠ ‪ ‬ﺤﺔ‪ (a).....ln(x+5)<ln(2) ‬ﺤﻴﺙ ‪x ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪. ‬‬‫‪ D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ (a‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘ‪ ‬ﻴﻘﻴﺔ‪ x ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪x>­5 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪:D ‬‬ ‫)‪ (a‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪ ) (x+5)<2 ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪( ]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x<­3 ‬‬ ‫‪­ 5 ‬‬ ‫‪­ 3 ‬‬‫‪ ‬ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪D‬‬ ‫‪ ‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ D ‬ﻭ ﻻ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ )‪(a‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ) ‪ ( a‬ﻫﻲ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] ­ 5 ;­ 3  [ ‬‬‫‪i‬ﻟﻜﻲ ﻨﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ﺃﻭ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ( –ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌ‪ ‬ﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D ‬ﻟﻴﺴﺕ ‪Â‬‬ ‫ﻜﺎﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻨﻌﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪ D ‬ﺜﻡ ﻨﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ(‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪. D ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪xgln[u(x)] ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ I ‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ u ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.I ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ (1  : ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ u ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪. I ‬‬ ‫‪ (2 ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.u(x)>0، I   ‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪:‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f(x)=ln[u(x)] ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪f ¢‬‬ ‫‪.‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‪ ‬ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪f ¢  (x) = u ¢(x)  :I  ‬‬ ‫‪u(x) ‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭ ﻓﺭﻀﻴﺎﺘﻪ ﺴﺎﺌﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ‪f(x)=ln[u(x)] : I ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪f(x)=(lno u)(x):  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ‪ u ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪.I ‬‬‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪  x0 ‬ﻤﻥ ‪  u(x0)>0  ، I ‬ﻤﻨﻪ ‪  ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪  ) u(x0) ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ‬ ‫ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ (‬‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪  (lnou) ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ (lnou)¢‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪x   ‬ﻓﻲ‪(lnou)¢ (x) =ln¢(u(x))´u¢(x) : I ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪ln ¢( x ) = 1  ،] 0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪: I ‬‬ ‫‪(ln o u ) ¢(x) = 1  ´ u ¢(x) ‬‬ ‫‪u(x) ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺫﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪f ¢ (x) = u ¢(x)  : I ‬‬ ‫‪u(x) ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬‫‪ f(x)=ln(x 3+  x2 +  3x) ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪ f(x)=ln[u(x)] :]0 ;+¥[ ‬ﺤﻴﺙ‪u(x)=x3 +  x2 +  3x:  ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ u ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪ u(x)>0 ]0 ;+¥[ ‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ‬‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟ‪ ‬ﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎل ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪: ]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪f ¢ (x) = u ¢(x) ‬‬ ‫‪u(x) ‬‬‫=‪f ¢(x) ‬‬ ‫‪3x 2 + 2 x + 3 ‬‬ ‫ﺃﻱ‪: ‬‬ ‫‪x 3  + x 2  + 3 x ‬‬

‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ I ‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ‪ u ‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.I ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ u( 1    : ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪. I ‬‬ ‫‪ (2 ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ‪u(x)>0 : I ‬‬‫ﻓﺈﻥ‪: ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  G ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  I ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪G(x)=ln[u(x)] ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪،‬‬‫)‪g (x‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪u ¢(x) ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪g ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪،  I ‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬ ‫‪u(x) ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻭ ﻓﺭﻀﻴﺎﺘﻪ ﺴﺎﺌﺩﺓ ‪ ،‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  G ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪  x ‬ﻓﻲ ‪  .G¢(x)=g(x)  : I ‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ G ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ g ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.I ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫· ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]1 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 1  : ‬‬ ‫‪x ln( x ) ‬‬‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ln(x)>0 : ]1 ;+¥[ ‬ﻭ ‪ln ¢(x) = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ‪f (x) = 1 .  1 ‬‬ ‫‪x ln( x ) ‬‬ ‫‪æ 1 ö‬‬ ‫÷‪ç‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ‪  f (x) = è x ø‬ﻤﻨﻪ ‪f (x) = ln   ¢( x) ‬‬ ‫‪ln( x ) ‬‬ ‫‪ln( x ) ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪  F ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪  ]1 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ ln[ln(x)] ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.]1 ;+¥[ ‬‬ ‫· ‪ ‬ﻟﺘﻜﻥ‪ g ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]  ­¥ ;­2[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪x2 - x - 4 ‬‬ ‫‪g(x) =  x 2  - 4 ‬‬

‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]­¥ ;­2[ ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪: ‬‬‫‪g(x) = 1 -‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪g(x) = ‬‬ ‫‪( x 2 -‬‬ ‫‪4 ) -‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x 2 -‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪- 4 ‬‬ ‫‪4 ‬‬‫‪ ‬ﺒﻭﻀﻊ‪ u(x)=x2 ­  4 ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ u¢(x)=2x : ‬ﻤﻨﻪ‪x = 1 u¢( x )  : ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ÷÷‪g(x) = 1 - 12  èæçç uu ¢ (( x x ) )  öø‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ، u(x)>0 ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ﺍ‪ ‬ﻟﻤﺠﺎل‪. ]­¥ ;­2[ ‬‬‫· ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ xgln[u(x)] ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ‪ ، ]­¥ ;­2[ ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x ® u ¢( x ) ‬‬ ‫‪u ( x ) ‬‬‫· ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ xgx ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ، xg1 ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪]­¥ ;­2[ ‬ﻤﻨﻪ ‪ ،‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪.‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،  G ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ، ]­¥ ;­2[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘ‪ ‬ﻭﺭ ‪G(x) = x - 1 ln( x 2 - 4)   ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ g ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.]­¥ ;­2[ ‬‬‫‪i ‬ﻋﻨﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﺔ ﺩﺍﻟﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪: I ‬‬ ‫ﻨﺤﺎﻭل ﺇﺒﺭﺍﺯ ﺤﻭﺍﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪·:‬‬‫ﺤﻴﺙ‪ ، u(x)>0 : ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ‪.I ‬‬ ‫‪u¢( x ) ‬‬ ‫‪- ‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪u ( x ) ‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪،u  (x)>0 : ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ‪.I ‬‬ ‫‪u¢( x ) ‬‬ ‫‪- ‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪u ( x ) ‬‬ ‫‪u ¢(x ) ‬‬‫‪ ‬ﺤﻴﺙ ‪ n ‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ ‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ‪ 1 ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ‪( ) u ( x ) :  I ‬‬‫‪ -‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪n ‬‬ ‫‪u(x)¹0‬‬‫‪ -‬ﺜﻡ ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: ‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ln ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪   a ‬ﻭ‪ b‬ﻴﻜﻭ ‪ ‬ﻥ‪:‬‬‫‪ln(a.b)=ln(a)+ln(b) ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪   a ‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ d ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬ ‫‪D(x)=ln(abx)­ln(bx) ‬‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ‪ ‬ﻭ ﺒﺎﻷﺨﺹ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪  xŠln[u(x)] ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ d ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ‬‫‪ ‬ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  ]0 ;+¥[ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪  d¢‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪  x ‬ﻓﻲ ‪]0 ;+¥[ ‬‬‫=‪d¢(x) ‬‬ ‫‪ab  -‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪: ‬‬ ‫‪abx  bx ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪  x ‬ﻓﻲ ‪  ]0 ;+¥[ ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ ،  d¢(x)=0 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  d ‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬‫‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻤﻨﻪ‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪   x1 ‬ﻭ‪ x2‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪d(x1)=d(x2) ]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻷﺨﺹ‪d (1 )  = d çæ 1 ÷ö :‬‬ ‫‪è b ø‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ln( ab ) - ln( b ) = ln çæ ab.  1 ö÷ - ln æçb.  1 ÷ö‬‬ ‫‪è b ø è b ø‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ ln(ab)­ln(b)=ln(a)­ln(1) : ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ln(1)=0:  ‬ﻤﻨﻪ‪: ‬‬ ‫‪Ln(ab)­ln(b)=ln(a) ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ln(ab)=ln(a)+ln(b) : ‬‬

‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ﻟﻠﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ‪ ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪: ln ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ a ‬ﻭ‪ b ‬ﻴﻜﻭﻥ‪: ‬‬ ‫‪ln æç a ö÷ = ln( a ) - ln( b ) ‬‬ ‫‪è b ø‬‬ ‫‪ln çæ 1 ö÷ = - ln( a ) ‬‬ ‫‪èaø‬‬ ‫‪( ) ln  a = 1 ln( a ) ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻘﺩ ﺘﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﻤﻥ ﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻨﺸﺎ ‪ ‬ﻁ‪1‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ a ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩ‪ ‬ﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪ n ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ln(an  )=n.ln(a) : ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ a ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫§ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ln(a0 )  =ln(1) : ‬ﻤﻨﻪ‪ ln(a0 )  =0 ‬ﻤﻨﻪ‪(1 ).. ln(a0 )  =0.ln(a) : ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪m ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ ln(a m)  =m.ln(a) ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ln(am  +1 )=ln(a m´a) ‬‬ ‫‪=ln(am  )  +ln(a) ‬‬ ‫‪=m.ln(a)+ln(a) ‬‬ ‫‪=(m+1).ln(a) ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ m ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎ ‪ ‬ﻥ‪ ln(am  )  =m.ln(a) :‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪(2 ).... ln(a m+1 )=(m+1).ln(a) ‬‬‫ﻤﻥ ‪ (1 ) ‬ﻭ ‪  (2 ) ‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪ ln(an   )=n.ln(a) ‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ )ﺃﻱ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﻭﺠﺏ‪. (I) .....n    ( ‬‬ ‫§ ‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ‪ n ‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﻭﺠﺏ‪ p ‬ﺒﺤﻴﺙ‪n=­p  : ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ )‪ln(an )  =ln(a­ p ‬‬

‫‪= ln æç‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫÷‪ö‬‬ ‫‪a p ‬‬ ‫‪ø‬‬ ‫‪è‬‬‫‪ ‬ﻷﻥ‪ p ‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﻭﺠﺏ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ‬ ‫‪= -ln(a p ) ‬‬ ‫‪ ‬ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪(I) ‬‬ ‫‪=­p.ln(a) ‬‬ ‫)‪=n.ln(a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪ ln(an )  =n.ln(a) ‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺴﺎﻟﺏ ‪. (II). .. n ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ‪  (I) ‬ﻭ ‪  (II) ‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪  ln(an )  =n.ln(a) ‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ n ‬ﻭ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪ ‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪. a ‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪: ‬‬‫‪ ln(6)=ln(2´3) ‬ﻤﻨﻪ )‪ln(6)=ln(2)+ln(3‬‬‫‪ln(2,5)=ln(5)­ln(2) ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ln( 2, 5  )  = ln æç‬‬ ‫÷‪52  öø‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪ ln(243)=ln(7 3 ) ‬ﻤﻨﻪ‪ln(243)=3.ln(7) ‬‬‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ n ‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ 2 n>  1000 : ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ln(2n )  >ln(1000) ‬‬‫‪)   ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‪.(]0 ;+¥[ ‬‬‫ﻤﻨﻪ‪  2n >  1000:  ‬ﻴﻜﺎﻓ ‪ ‬ﺊ)‪n.ln(2)>ln(1000‬‬‫‪  n > ‬ﻤﻨ‪ ‬ﻪ‪( ln(2)>0‬‬ ‫‪ln(1000)   ‬‬ ‫‪ ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪2>1  ) ‬‬ ‫‪ln(2   ) ‬‬‫‪. ln(1000 ) ‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ‪ :‬ﻨﺠﺩ ‪= 9 , 96578. . ‬‬ ‫‪ln(2   ) ‬‬ ‫‪7  8  9  10 ‬‬ ‫‪ln(1000 ) ‬‬ ‫‪ln( 2 ) ‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ n ‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ‪ 2 n>  1000 ‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪. n³10 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪e ‬‬ ‫‪ ‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻨﺠﺩ‪  ln(2)=0,693…. ‬ﻭ‪ln(3)=1,098… ‬‬‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ‪  ln(2)£1£ln(3) ‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  ln ‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪) [2 ;3] ‬ﻷﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.(Â+*   ‬‬ ‫ﻭ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪) [2 ;3] ‬ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪. (Â+*   ‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻐﻠﻕ‪ ،‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ‬‫‪ ‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪  [2 ;3] ‬ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻭﺤﻴﺩ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ e ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪  ln(e)=1  : ‬ﻭ ﻟﻨﺎ ‪  e¹3 ‬ﻭ ‪  e¹2 ‬ﻷﻥ‬ ‫‪ ln(3)¹1 ‬ﻭ‪. ln(2)¹1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻡ ﻋﻠﻰ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ‪.Â+*   ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x>e : ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ ln(x)>ln(e) ‬ﻤﻨﻪ‪ ln(x)>1 ‬ﻤﻨﻪ‪ln(x)¹1 : ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ 0<x<e : ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ ln(x)<ln(e) ‬ﻤﻨﻪ‪ ln(x)<1 ‬ﻤﻨﻪ‪ln(x)¹1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ‪ ، Â+*   ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ x¹e ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ln(x)¹1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ‪ e ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﺘﺴﺎﻭﻱ‪.1 ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻭ ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ \"ﻭﺤﻴﺩ\" ‪ ‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‪  e ‬ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ln ‬‬ ‫‪ ‬ﺘﺴﺎﻭﻱ‪ ) 1 ‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ e ‬ﻤﻌﺭﻑ ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪( ln(e)=1 ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ ‬ﻭ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﺨﺭﻯ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺄﻟﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ ) e ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒ ‪ ‬ـ‪2 :‬‬ ‫§ ﻤﺜل ﻤﺎ ﺁﻟﻔﻨﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪  p‬ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ eÎÂ+*   ‬ﻭ ‪(ln(1)=1 ‬‬‫§ ‪ ‬ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 10 ­5 ‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ‪ e ‬ﻫﻲ ‪2,71828 ‬‬‫§ ‪ ‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ‪ e ‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬‫‪2ndF  ln  1  = ‬‬‫ﻭ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻘﻭﺓ ﻤﻥ‪ ‬ﺍﻟﺸﻜل ‪: en  ‬‬‫= ‪2ndF  ln  n ‬‬

‫‪ ‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺤﻭل ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﺩﺩ‪: e ‬‬ ‫§ ‪ ‬ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ‪ ln(e2  )=2.ln(e) ‬ﻤﻨﻪ‪ln(e2 )  =2,1 ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ln(e2 )  =2:  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ‪،‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ln(e2 )  =n.ln(e) ، nÎZ ‬‬ ‫‪=n.1 ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪ln(en  )=n  : ‬‬‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‪ln ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫§ ‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‪:‬‬ ‫‪Â+++ ‬‬ ‫‪ ln x + 3  > 4 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪( )  ( ) ln x + 3  > 4 . 1 ‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪( ) ln  x + 3  > 4 . ln( e ) ‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪( ) ln  x + 3  > ln( e 4 ) ‬‬ ‫‪ ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪(  x + 3)  > e 4 ‬‬‫‪ ‬ﻷﻥ ‪  x ‬ﻭ‪(e4  ­3) ‬ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ‬ ‫‪ ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x  > e 4 - 3 ‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪( ) x >  e 4  - 3 2 ‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬‫‪lim  ln( x ) = +¥‬‬‫‪x ® +¥‬‬‫‪lim ln( x ) = -¥‬‬ ‫‪ lim ln = -¥‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪lim ln = +¥‬‬ ‫‪0 + ‬‬‫‪x ®0 ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫‪x >0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪a ‬‬ ‫‪  lim ln = ln( a ) ‬ﺃﻱ ‪lim ln( x ) = ln( a ) ‬‬ ‫‪x®a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]2 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫÷‪f ( x ) = ln æç x -1  ö‬‬ ‫‪è 2 x - 4 ø‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ) x - 1  ÷ö = 1  : ‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻋﻨﺩ ‪limæç x ®¥( +‬‬ ‫‪+ ¥ è 2 x - 4 ø 2 ‬‬ ‫ﻭ ‪ ) lim ln = ln æç 1 ÷ö‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪( ln ‬‬ ‫‪1  è 2 ø‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ‪lim  f  = ln æç 1 ö÷ :‬‬ ‫‪+ ¥ è 2 ø‬‬ ‫ﺃﻱ‪lim f  = - ln( 2)   : ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫‪ ‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬‫* ‪ ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺎﺘﻬﺎ ﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭﻫﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬‫‪x  ­¥  0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬ ‫‪+¥ ‬‬‫‪ln(x) ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬ ‫‪­¥ ‬‬‫* ﻟﻴﻜﻥ‪ (C)  ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻓﻲ ﺍ‪ ‬ﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪. (O   ; i ;  j ) ‬‬‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ) x=0 ‬ﺃﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ( ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪lim ln  = -¥‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪0 + ‬‬ ‫ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪.(C)  ‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ A(1 ;0) ‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪  (C)  ‬ﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ‪ (t) ‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪  (C)  ‬ﻋﻨﺩ ‪  A ‬ﻫﻲ‪y=ln¢(1).(x­ ‬‬ ‫‪ 1)+ln(1) ‬ﻭ‪ ‬ﻟﻨﺎ‪ ln(1)=0 ‬ﻭ ‪ln ¢(1  )  = 1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ‪(t) :y=x­1 ‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ B(e ;1) ‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪  (C)  ‬ﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ‪ (t) ‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ (C)  ‬ﻋﻨﺩ ‪ B ‬ﻫﻲ‪y=ln¢(e).(x­ : ‬‬ ‫‪ e)+ln(e) ‬ﻭ ﻟﻨﺎ‪  ln ¢( e ) = 1  : ‬ﻭ‪.ln(e)=1 ‬‬ ‫‪e ‬‬

‫ﻭ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻭ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪(T ) : y = 1 x  : ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ (T) ‬ﻴ ‪ ‬ﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ O ‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪3y  ‬‬ ‫‪2  ( t ) ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪j® ( C ) ‬‬ ‫‪A ‬‬‫‪­2 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪0  i®  1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪6  x ‬‬ ‫‪( T ) ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل \"ﻗﻭﻯ\"‬ ‫§ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺴﺄﻟﺔ ‪:‬‬‫ﻓﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻴﻔﻜﺭﻨﺎ ﺒﻔﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \"ﺠﺫﺭ‪ln   ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ‪ x ‬ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ‪x - ln( x ) .‬‬ ‫ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ\" ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﻟﺫﺍ ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻔﺭﻕ‪ ‬‬‫ﻟﺫﺍ ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  d‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ [e2  ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬ ‫‪ ) x  - ln( x ) ‬ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺘﻡ ﻗﺼﺩ ﺘﺒﺴﻴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ(‪d ( x) =.‬‬‫‪  d‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[e2  ;+¥[ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ d¢‬ﻤﻌﺭﻓ‪ ‬ﺔ ﻋﻠﻰ ‪ [e2  ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪: ‬‬ ‫‪d ¢(x ) = 1  - 1 ‬‬ ‫‪2  x  x ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤ ‪ ‬ﻥ[‪[e2  ;+¥‬ﻟﺩﻴﻨ‪ ‬ﺎ‪d ¢(x ) = x - 2  :‬‬ ‫‪2 x ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪  x ³ e  : ‬ﻤﻨﻪ ‪  x - 2 ³ e - 2 ‬ﻭ ‪e - 2 > 0 ‬‬

‫‪  x - 2 > 0 ‬ﻭ ‪ 2x > 0 ‬ﻤﻨﻪ ‪ d¢(x)>0 ‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ d‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪ ‬ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.[e2  ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ‪ ، [e2  ;+¥[ ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x ³ e 2 ‬ﻤﻨﻪ ‪d(x) ³ d (e2 ) ‬‬‫ﻭﻟﻨﺎ‪ d (e  2 ) = e 2  - ln( e 2 )  : ‬ﻤﻨﻪ‪ d (e  2 ) = e - 2 ‬ﻭ ‪ e - 2 > 0 ‬ﻤﻨﻪ ‪ d ( e2 ) > 0 ‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪d (x) > 0 ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x ‬ﻤﻥ ‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ [e2  ;+¥[ ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪)  x - ln( x ) > 0  : ‬ﺃﻱ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪( x > ln( x ) ‬‬ ‫§ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ‪ x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪: [e2  ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ) ln( x) <  x ‬ﻤﻤﺎ ﺴﺒ ‪ ‬ﻕ(‬ ‫‪ x ³ e 2 ‬ﻤﻨﻪ ‪  ln( x ) ³ 2 ‬ﻤﻨﻪ ‪  ln( x ) > 0 ‬ﻭ ‪x > 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤ‪ ‬ﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ‪ x ‬ﻓﻲ‪: [e2  ;+¥[ ‬‬‫‪0 < ln( x) < x ‬‬ ‫‪0 < ln( x) < x ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪: ‬‬ ‫‪x  x ‬‬‫‪ 0 < ln( x ) < 1 ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨ‪ ‬ﺎ‪ limæç x ® 1 ö÷ = 0  :‬ﻭ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪: ‬‬‫‪+ ¥ è x ø‬‬ ‫‪x  x ‬‬‫‪ lim x ® 0  = 0 ‬ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ‪( ) limæç x ® ln( x ) ÷ö = 0  : ‬‬‫‪+ ¥ è x  ø‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫§ ‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ‪  x ‬ﻓﻲ‪ ]0 ;+¥[ ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ln çæ 1 ö÷ = - ln( x )  : ‬ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪èxø‬‬ ‫‪ ln( x ) = - ln æç 1 ÷ö‬ﻤﻨﻪ ‪x.  ln( x ) = -x.  ln çæ 1 ö÷ :‬‬ ‫‪è x ø è x ø‬‬ ‫=‪( ) x. ln( x ) ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪x ‬‬

limçæ‫ﻤﻨﻪ ﺯ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل‬ x ® ln( x ) ö = 0  ‫ﻭ‬ lim æç x ® 1 ö÷ = +¥ : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ÷+ ¥ è x  ø è0 +  x ø( )  ( ) lim 0 +  æ  ln  1  ÷ö = 0  : ‫ ﻤﻨﻪ‬l0im + ççç x ® x  ÷÷x ® x.  ln( x )  = 0  : ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ 1  è x  ø n³2 : ‫ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺤﻴﺙ‬n ‫ﺃﺠل‬ ‫§ ﻤﻥ‬ln( x )  1  - ln( x )  :  ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ Â+*    ‫ ﻓﻲ‬x ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬  x n  = x n -1 x ( )lim çæ x ®1  ö÷x n -1  ø+ ¥ è lim  x ® x n -1  = +¥ ‫ ﻤﻨﻪ‬n - 1 ³ 1 : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ + ¥limæç x ® lnx( n x  ) ø÷ö = 0  ‫ﻤﻨﻪ‬  limçæ x ® ln( x ) ö÷ = 0  ‫ﻭ‬ + ¥ è + ¥ è x  ø ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬Â+*    ‫ ﻓﻲ‬x ‫ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ x n. ln( x ) = x n -1 ´ ( x.  ln( x )) ( ) ‫ﻤﻨﻪ‬  lim (x ® x.  ln( x ) ) = 0  ‫ ﻭ‬lim  x ® x n -1  = 0  ‫( ﻤﻨﻪ‬n - 1)  ³ 1  ‫ﻭ‬  0+  0+  lim ( x ® x n . ln( x )) = 0  0+  ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ :  ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬lim (x ® x.  ln( x ) ) = 0  limçæ x ® ln( x ) ö÷ = 0  0+  + ¥ è x  ø ( lim x.  ln( x ) = 0  ln( x )  lim = 0  ‫ﺃﻱ‬ ) x ® 0 x ® +¥ x  x >0  :  n³2 ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ n ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ lim ( x ® x n . ln( x )) = 0  limçæ x ® lnx(  nx   ) ÷øö = 0  0+  + ¥ è( lim x n . ln( x ) = 0  lim ln( x )  = 0  ‫ﺃﻱ‬ ) x ®0  x >0  x ® +¥ x n 

‫ﺘﻔﺴﻴﺭ ﻟﻠﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‪.‬‬‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬‫\"ﺘﺄﺜﺭﺕ\" ‪ ‬ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤل ‪x n ‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‪ x ‬ﺇﻟﻰ ‪ ln(x) : +¥ ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ +¥‬ﻭ ‪  x n ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‪0 ‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ x n  . ln( x ) ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪  0 ‬ﺇﺫﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪x n  . ln( x ) ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻕ ﺒـ ‪ xn   ‬ﻭ \"ﻫﻤﺸﺕ\"‪ ‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤل‪. ln(x) ‬‬ ‫‪ -‬ﻜﺫﻟﻙ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‪ x ‬ﺇﻟﻰ‪ 0 ‬ﺒﻘﻴﻡ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ln(x) ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪-¥‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ‪ xn   ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ‪.0 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‪  x n . ln( x ) ‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ ،  0 ‬ﻫﻨﺎ ﻜﺫﻟﻙ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‪\" x n . ln( x ) ‬ﺘﺄﺜﺭﺕ ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤل ﺤﻴﺙ‪ ‬‬ ‫‪ x n ‬ﻭ \"ﻫﻤﺸﺕ\"‪ ‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤل‪. ln(x) ‬‬‫‪  ) n ‬ﺤﻴﺙ ‪ x ‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ(‪x  . ln( x ) ‬‬ ‫‪-‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻨﻘﻭل‪ \":‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‪ ‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪ x ‬ﺇﻟﻰ‪ xn    : 0 ‬ﻴﺘﻔﻭﻕ ﻋﻠﻰ‪.\" ln(x) ‬‬ ‫‪ln( x) ‬‬ ‫)‪ ‬ﺤﻴﺙ ‪ n ‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ(‪x ‬‬ ‫\"‪ ‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪n ‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪ x ‬ﺇﻟﻰ ‪ x n  :+¥ ‬ﻴﺘﻔﻭﻕ ﻋﻠﻰ‪.\" ln(x) ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪]0 ;+¥[ ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f(x)=x 2­  ln(x) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ lim ( x ® x 2 ) = 0  : ‬ﻭ ‪lim ( x ® - ln( x )) = +¥‬‬ ‫‪0 +  0+ ‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪lim  f  = +¥ :‬‬ ‫‪0 + ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lim ( x ® x 2 ) = +¥ :‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫ﻭ ‪lim ( x ® - ln( x )) = -¥‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫ﺇﺯﺍﻟﺔ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪f ( x ) = x 2 çæ1 -‬‬ ‫‪ln( x ) ö‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ‪: *+   ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫÷‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪ø‬‬

‫‪lim çæ‬‬ ‫®‪x ‬‬ ‫÷‪lnx(  2x ) öø‬‬ ‫=‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ‬ ‫®‪lim ( x ‬‬ ‫=‪x 2 ) ‬‬ ‫‪+¥‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪+ ¥ è‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪lim  f  = +¥ :‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ log ‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫‪log(  x ) = ln( x ) ‬‬ ‫‪ln( 10 ) ‬‬ ‫‪-‬ﺏ‪-‬ﺨﻭﺍﺹ ﺠﺒﺭﻴﺔ ‪) ‬ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘ ‪ ‬ﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪( log ‬‬ ‫‪  Log(1)=0 ‬ﻭ ‪log(10)=1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ a ‬ﻭ‪ b ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ ‬ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪: n ‬‬ ‫‪log çæè 1a ÷øö = - log( a ) ، log(a´b)=log(a)+log(b) ‬‬ ‫‪log( a n) = n log( a )  ، log çæ a ÷ö = - log( a ) - log( b)  ‬‬ ‫‪è b ø‬‬ ‫‪log(  a ) = 1 . log( a ) ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻤﺜ ‪ ‬ﻼ‪log(1000)=log(10 3 ) :‬‬ ‫‪=3.log(10) ‬‬ ‫‪= 3´1 ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪log(1000)=3:  ‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺘﺎﻥ ‪:‬‬‫§ ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪  log ‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻓﻲ ﻤﺨﺘﻠﻑ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻨﻅﺭﺍ ﻷﻫﻤﻴﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 10 ‬ﻭ ﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪. log(10 n)  =n  ، n ‬‬ ‫§ ‪ ‬ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ log ‬ﻤﻥ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻡ ) ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ( ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ‪:‬‬‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ‪ ) :‬ﺘﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ log ‬ﻭ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪( ln ‬‬ ‫‪Â.‬‬ ‫‪* ‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪log ‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪+ ‬‬‫‪lim ( x ® log( x )) = -¥ lim ( x ® log( x )) = +¥‬‬ ‫‪0 +  + ¥‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ log ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ) ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ( ﻋﻠﻰ ‪Â+*   ‬‬‫=‪lo g ¢( x) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ log¢‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠ ‪ ‬ﻰ ‪Â+* ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪: ‬‬ ‫‪x.  ln(1  0 ) ‬‬ ‫‪Â.‬‬ ‫‪* ‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫·‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪log ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫·‪ ‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ a ‬ﻭ‪: b ‬‬ ‫‪  a<b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪log(a)<log(b) ‬‬ ‫‪  a£b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪log(a)£log(b) ‬‬ ‫‪  a=b ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪log(a)=log(b‬‬ ‫·ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌ ‪ ‬ﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪x ‬‬ ‫‪ x=1 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪log(x)=0 ‬‬ ‫‪ x<1 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪log(x)<0 ‬‬ ‫‪ x>1 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪log(x)>0 ‬‬ ‫‪x  ­¥ ‬‬ ‫‪-‬ﺩ‪ -‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ log ‬ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪: ‬‬‫)‪log(x‬‬ ‫‪0  +¥ ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬ ‫‪­¥ ‬‬

‫‪log   y ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪( C ) ‬‬ ‫®‬ ‫‪j‬‬ ‫‪® ‬‬‫‪­2 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪0  i‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪6  x ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪ ( C ) ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪Log ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‪ ‬ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( O ; i;  j ) ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪a ‬‬ ‫‪ ‬ﺤﻴﺙ‪ a ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ﺒﺤﻴﺙ‪ a>0 ‬ﻭ‪a¹0 ‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ a ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ‪ a>1 ‬ﻭ‪. a¹0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‪ a ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪loga ‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ :‬‬ ‫=‪log a ( x ) ‬‬ ‫‪ln( x ) ‬‬ ‫‪ln( a ) ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺘﺎﻥ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‪ e ‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ log ‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‪.10 ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ a ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a>0 ‬ﻭ‪ ، a¹1 ‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻡ )ﻤﻘﺭﺒﺔ(‬ ‫‪ ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ loga  ‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ‪ ،‬ﻨﺴﺘ ‪ ‬ﻌﻤل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga  ‬ﻭ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪LN ‬‬ ‫‪log3(5)=1,4649735….‬‬ ‫ﻓﻨﺠﺩ ‪: ‬‬ ‫=‪log3 ( 5)  ‬‬ ‫‪ln( 5)  ‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ln( 3)  :‬‬

‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ ﺠﺒﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ ‬ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻭ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪.(ln ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ a ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪    a>0 : ‬ﻭ‪. a¹1‬‬ ‫‪  loga(1)=0 ‬ﻭ‪loga(a)=1 ‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤ ‪ ‬ﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪    x ‬ﻭ‪ y‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‪. n ‬‬‫‪log a ( x.  y ) = log a ( x ) + log a ( y ) ‬‬ ‫‪log a çèæç 1x  ÷÷øö = - log a ( x ) ‬‬ ‫‪log a‬‬ ‫÷‪çæ x ö‬‬ ‫=‬ ‫‪log a ( x ) -‬‬ ‫‪log a ( y ) ‬‬ ‫÷‪çè y ø‬‬ ‫‪log a ( x n) = n.  log a ( x ) ‬‬ ‫‪log a ( x n) = n.  log a ( x ) ‬‬ ‫‪log a (  x ) = 12  . log a ( x ) ‬‬ ‫‪-‬ﺠـ‪-‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬‫)ﺘﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ‪ ‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻭﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪(ln ‬‬ ‫*‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ a ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪ a>0 : ‬ﻭ‪a¹1 ‬‬‫‪ ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫* ‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ) Â+*   ‬ﻤﻨﻪ ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪  (Â+*   ‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬‫=‪log   ¢a ( x ) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪loga¢‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ Â+*   ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪x.  ln( x ) ‬‬‫** ‪ ‬ﻭ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﺎﺌﺩ ‪ ،‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‪ x ‬ﻓﻲ ‪ ، Â‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻫﻲ‪log   ¢a ( x ) ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ ln(a) ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ ln(a)>0 ‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪a>1 : ‬‬‫‪ ‬ﻭ ‪  ln(a)<0 ‬ﻟﻤﺎ ‪ 1>a>0 ‬ﺇﺫﻥ ﺇ‪ ‬ﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  a>1 ‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪  Â+*   ‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪ 0<a<1 ‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.Â+*   ‬‬

‫**‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ a ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ﺒﺤﻴﺙ‪ a>0 ‬ﻭ‪، a¹1 ‬‬ ‫‪log a ( x ) = ln(1  x ) ´ ln( x ) ‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim (x ® ln( x ) ) = +¥ :‬ﻭ ‪lim (x ® ln( x ) ) = -¥‬‬‫‪0 + ‬‬‫‪( )lim ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫®‪x ‬‬ ‫‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪+¥‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ a>0 ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ ln(a)>0 ‬ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪-¥‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪0+   ‬‬‫‪( )lim ‬‬ ‫‪+ ¥‬‬‫®‪x ‬‬ ‫‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪-¥‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ 0<a<1 ‬ﻴﻜﻭﻥ‪ ln(a)<0 ‬ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪+¥‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪0 + ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ a ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪ a>0 ‬ﻭ‪. a¹1 ‬‬

‫‪ ‬ﻓﻴﺎﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪0<a<1‬‬‫‪a>1‬‬ ‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪-¥‬‬ ‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪+¥‬‬ ‫‪0 + ‬‬ ‫‪0+   ‬‬‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪+¥‬‬ ‫ﻭ‬ ‫®‪lim (x ‬‬ ‫)‪log a ( x ) ‬‬ ‫=‬ ‫‪-¥‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫‪+ ¥‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.Â+*   ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍ‪ ‬ﻟﺔ ‪ loga ‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.Â+*   ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ‪x ‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ‪x ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ‪ y ‬ﻤ ‪ ‬ﻥ ‪. Â+* ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ‪ y ‬ﻤ ‪ ‬ﻥ ‪.  Â+* ‬‬ ‫‪ x=y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)=loga(x) ‬‬ ‫‪ x=y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)=loga(x) ‬‬ ‫‪ x<y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)<loga  (y) ‬‬ ‫‪ x<y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)>loga  (y) ‬‬ ‫‪ x£y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)£loga(y) ‬‬ ‫‪ x£y ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪loga(x)³loga(y) ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ‪Â+*   ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ‪Â+*   ‬‬ ‫‪ loga(x)=0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x=1 ‬‬ ‫‪ loga(x)=0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x=1 ‬‬ ‫‪ loga(x)>0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x>1 ‬‬ ‫‪ loga(x)>0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x<1 ‬‬ ‫‪ loga(x)<0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x<1 ‬‬ ‫‪ loga(x)<0 ‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‪x>1 ‬‬ ‫‪-‬ﺩ ‪- ‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‪: ‬‬ ‫‪ a ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ﺒﺤﻴﺙ‪ a>0:  ‬ﻭ‪a¹1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪0<a<1 ‬‬ ‫‪x  ­¥ ‬‬ ‫‪0                  +¥ ‬‬ ‫‪Loga(x) ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬ ‫‪­¥ ‬‬ ‫‪log  y ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ a ‬ﻓﻲ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪2  0<a<1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪®j‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪0  i®  1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪6  x ‬‬ ‫‪( Ca ) ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬

‫‪ ‬ﺸﻜل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Ca) ‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، loga ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ، 0<a<1 ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( o , i ,  j ) ‬‬ ‫‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪a>1   ‬‬ ‫‪x  ­¥  0                  +¥ ‬‬ ‫‪Loga(x) ‬‬ ‫‪+¥‬‬ ‫‪­¥  ­¥ ‬‬ ‫‪ ‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ loga ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟ ‪ ‬ﺔ‪a>1‬‬ ‫‪3y  ‬‬ ‫‪2 ‬‬‫‪­2 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪i®  1 ‬‬ ‫‪( Ca ) ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪®j‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪­1 ‬‬ ‫‪­2 ‬‬ ‫‪­3 ‬‬ ‫‪ ‬ﺸﻜل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Ca) ‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، loga ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ، a>1 ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪( o , i ,  j ) ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺩﻗﻴﻘﻴﺔ ﻟﻤﻌﻨﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﻤﺯﻭ‪ loga  ، log  ، ln : ‬ﻀﺭﻭﺭﻴﺔ ‪.‬ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬ﻤﺜل ﻤﺎ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺩﻭﺍل ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻤﺜل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ، sin ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ، cos ‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ‪ loga(x) ، ln(x) ‬ﻴﻜﺘﺏ‬ ‫‪ ‬ﻜﺫﻟﻙ‪ loga(x) ،l n x ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺨﻁﺭ ﺍﻻﻟﺘﺒﺎﺱ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﺼﻭﺭ‪ 2 ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﺘﻜﺘﺏ‪ ln(2) ‬ﻭ ﺘﻜﺘﺏ ﻜﺫﻟﻙ‪: ln2 ‬‬ ‫‪ ‬ﺼﻭﺭﺓ ‪ (5 + 3 ) ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪ log ‬ﺘﻜﺘﺏ ‪log 5 + 3 ‬‬ ‫‪ ‬ﻷﻥ ‪ log 5 + 3 ‬ﻫﻲ )‪ ‬ﺼﻭﺭﺓ‪ 5 ‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‪.  3  + (l og ‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ‬ ‫ﺘﺤﻭﻴل ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 01 ‬‬ ‫‪-  1-   ‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ‪ ln(3) ‬ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ E ،D   ، C،  B،  A : ‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬‫‪، D = ln(9  3 ) ، C = 14 ln( 9 ) ، B = ln èççæ 217  ÷÷öø ، A = ln(81)  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪E = ln çæçè‬‬ ‫÷‪3  ö‬‬ ‫÷‪243 ø‬‬ ‫‪ -2-   ‬ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺃﺒﺴﻁ ﺸﻜل ﻤﻤﻜﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ‪ ،H ، G ، F : ‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬‫‪K ‬‬ ‫‪= ln çæèç‬‬ ‫‪e  e - e ÷ö‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪= e ‬‬ ‫‪e ، G = ln æçç‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪÷÷øö‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪= ln( e 7 ) ‬‬ ‫÷‪e - e  ø‬‬ ‫‪e1 0 ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 02 ‬‬ ‫‪-  1-   ‬ﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪   X ‬ﻭ‪ Y‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬ ‫‪ Y = 7 ln( 2 ) (1   ‬ﻭ ‪. X  = 3ln( 5)  ‬‬ ‫‪ Y = ln(0, 3  5)   ( 2 ‬ﻭ ‪. X  = ln(35)  - ln(1  00)  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪= 12 ln( 5)  ‬‬ ‫‪ Y ‬ﻭ‬ ‫‪= 1 ln( 9)  ‬‬ ‫‪( 3 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ -2-   ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ x ‬ﻴﻜﻭﻥ‪: ‬‬ ‫‪ln( x 4 + 12)  - ln( x 2  + 5)  < 1 + ln( x 2  +1)  ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 03 ‬‬‫‪ ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f¢‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬ ‫‪ f (1 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = 3 x 2  + x + ln( x )  : ‬‬ ‫‪ f (2 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = x + ( x 2  + 2 x ) ln( x )  : ‬‬

‫‪ f (3 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) =  ln 2 ´ ln( x )  : ‬‬ ‫‪x . ln 3 ‬‬‫‪ f (4 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = 2 x + 1 + ln( 3 x 3 - 4 x - 8)   : ‬‬‫‪ f (5 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = ln( x - x 2 ) - ln( -2 x + 1)   : ‬‬ ‫‪ f (6 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f ( x ) = ln çæ 3 - 2 x  ö÷ :‬‬ ‫‪è 5 x + 10 ø‬‬ ‫‪( ( )) x ‬‬‫(‪f ‬‬ ‫‪x ) ‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ f (7 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ln  - 5 x + 1  2  :‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ f (8 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = 5 - 2 ln( x )  : ‬‬ ‫‪1 + ln( x ) ‬‬ ‫‪ f (9 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x ) = ( x - 1) .(ln( x 2  -1) ) 2  : ‬‬‫‪ f (10 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪[( ) ] f (x ) = ( x - 3) . ln  x 2  - 4 x + 3 2  :‬‬ ‫‪ f (11 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪[ ( )] f (x ) = ln ln  2 x + 3  :‬‬ ‫‪ f (12 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) =  ln( - x )  : ‬‬ ‫‪ln(  x 2 - 3 ) ‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪ ،‬ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪ ،‬ﺠﻤل‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 04 ‬‬‫ﺤل ‪ ،‬ﻓﻲ ‪،Â‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ * ‪- ‬ﺤﻴﺙ‪ x ‬ﻫﻭﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ -‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(1) .............. ln( 4 x - 1)  = ln( x 2 + x + 1)   § ‬‬ ‫‪(2) ..... ln( x + 2)  + ln( 3 x - 5)  = ln( x 2 + 5)   § ‬‬ ‫‪lnæç(3 ).........................  x - 4  ÷ö = 0  § ‬‬ ‫‪è 2 x + 3 ø‬‬ ‫=‪ln((4 )....................  - 2 x + 7 ) ‬‬ ‫‪ln( 2 ) ‬‬ ‫‪§ ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ln((5) .........................  5 x +  3 ) = 3  § ‬‬ ‫‪(6 )........ ln( 4 x 2 - x 3 ) = ln( 4 - x ) + 2 ln 3  § ‬‬ ‫§ ‪( ) (7) .................. 2 ln( x )  2 + 5 ln( x ) = 3 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 05 ‬‬‫‪ ‬ﺤل ‪ ،‬ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ (x ;y) ‬ﻫﻭ‬‫‪I…. ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭ ‪ ‬ل‪:‬‬ ‫‪x - y = 24‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ln( x ) + ln( y ) = 0 ‬‬ ‫‪3ln( x ) + 2 ln( y ) = 3 ‬‬‫‪II…  5 ln( x ) + 4 ln( y ) = 7 ‬‬ ‫‪ln( xy ) = 2 ‬‬‫‪III...  ln( x ) ´ ln( y ) = -15 ‬‬ ‫‪ln( x ) + ln( y ) = 2 + ln 2 ‬‬ ‫‪IV.. ‬‬ ‫‪x + y = 3e   ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺭﻴﻥ‪: 06 ‬‬ ‫ﺤل ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،Â‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ‪- ‬ﺤﻴﺙ‪ x ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ -‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪(1) .................. ln(3 x + 1)  < 2  § ‬‬ ‫‪(2) .................. (3 x + 5 ) ³ ln( 9 x + 2 )  § ‬‬ ‫‪ln((3 )...............  x + 2)   - ln( x - 3)  ³ 1  § ‬‬ ‫§ ‪( ) (4 )...................  ln x  2 - 4 ln( x ) < 5 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 07 ‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﻭﺩﻋﻨﺎ ﻤﺒﻠﻐ‪ ‬ﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪  80000DA ‬ﻓﻲ ﻤﺸﺭﻭﻉ ﻴﻀﻤﻥ ﻟﻪ ﺃﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺎل ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺴﻨﻭﻴﺎ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪ ) %5 ‬ﺍﻟﻔﻭﺍﺌﺩ ﻤﺭﻜﺒﺔ(‪ ‬ﺒﻌﺩﻜﻡ ﺴﻨﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻴﺼﺒﺢ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺎل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ‪ 15000DA ‬؟‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 08 ‬‬‫‪ ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪  D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪  f ‬ﺜﻡ ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ ،  f(x) ‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪  x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪) D ‬‬ ‫ﺘﻠﺨﺹ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺇﺸﺎﺭﺓ ( ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ :‬‬ ‫‪ f (1 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = -4 x 2 ln( x + 3)   : ‬‬ ‫‪ f (2 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = ln( x ) ´ (1   - ln( x ))  : ‬‬ ‫‪ln( 5 - x ) ‬‬ ‫‪ f (3 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) =  x 2 - 1  : ‬‬ ‫‪ f (4 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = 1 - (ln( x )) 2  : ‬‬ ‫ﺩﻭﺍل ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻭ ﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 09 ‬‬‫‪ ‬ﻋﻴﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ f ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ I ‬ﻓﻴﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬‫‪ f (1 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f ( x ) = 5 x 3 + 3 x + 1 + 1  : ‬ﻭ‪I=]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x ‬‬‫‪  f ( x ) = ‬ﻭ‪I=]­1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x 2 + x + 3 ‬‬ ‫‪ f (2 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪x + 1 ‬‬‫‪  f (x ) = 1 -‬ﻭ‪I=]­¥ ;0[ ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ f (3 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪x  x ‬‬ ‫‪3 x ‬‬ ‫‪ f (4 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f ( x ) =  2 x 2 + 1  : ‬ﻭ‪I= ‬‬ ‫‪x 2 + 2 x + 2 ‬‬‫‪ f (5 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f ( x ) =  x 3  + 3 x 2  + 6 x + 2  : ‬ﻭ‪I=[0 ;+¥[ ‬‬‫=‪  f ( x ) ‬ﻭ‪I=]­¥ ;0[ ‬‬ ‫‪1  2  3 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x 2  +‬‬ ‫‪ f (6 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x 3 ‬‬‫‪f ( x ) = ‬‬ ‫‪5 x 2‬‬ ‫‪5 x + 1 ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5 x ‬‬ ‫‪+ 2 x +‬‬ ‫‪20 ‬‬ ‫‪ f (7 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪x 2  + 3 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ‪I= ‬‬ ‫‪ln x  3 ‬‬ ‫‪ f (8 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫=‪  f (x ) ‬ﻭ [‪( ) I=]0 ;+¥‬‬ ‫‪x ‬‬

‫‪ f (9 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f ( x ) = 1  : ‬ﻭ‪I=]1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x.   ln( x ) ‬‬‫‪ f (10 ‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪  f ( x ) = 1  : ‬ﻭ‪I=]1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x.  ln( x ) ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 10 ‬‬ ‫‪6 x 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5 x ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f ( x ) = ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪ D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -2-   ‬ﺃﻭﺠﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪ c،  b، a   ‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‪ x ‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪ D ‬ﻴﻜﻭﻥ‪: ‬‬ ‫‪f (x ) = ax + b + c ‬‬ ‫‪2 x + 1 ‬‬‫‪- ]­¥ ;  [ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3-   ‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:  11 ‬‬ ‫‪/11 ‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪: ‬‬‫‪1  x ‬‬ ‫‪e 2  x 2  + x + 1 ‬‬ ‫‪e 1 ‬‬‫‪ò òI3  =  0  x 2  + 1d  x ، I 2  =  e‬‬ ‫‪dx ، I 1 ‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪òx 3 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 12 ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬ ‫‪f ( x ) = x ln( x ) - x ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -2-   ‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪. ]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 13 ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﺔ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]­1 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪: ‬‬‫‪f (x ) = ( x + 1) . ln( x + 1)  - ( x + 2 ). ln( x + 2 ) ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬

:‫ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬g ‫ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬، ]­1 ;+¥[ ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬، ‫ﻋﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ -2-    g ( x ) =  x 3  + lnæ ç x + 2 ÷ö è x + 1 ø : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ : 14 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬   : ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ lim çæ x ® ln æç x + 3 ö÷ ÷ö (2  lim æç x ® ln çæ 2 x + 1 ÷ö ÷ö (1  è(- 3 )- è x + 1 ø ø - ¥ è è x - 2  ø ø ( ) lim  x ® ln( 3 x 3 + x 2  + 1)   (4  lim æç x ® lnæç  x + 3 ö÷ ÷ö (3  è(-1  ) + è x + 1 ø ø + ¥ ( ) lim  x ® x 3  + x ln (- x ) (5  lim (x ® x + ln (x - 5) ) (6  - ¥ 5+  æ ( ) li+m ¥ èçç  x ® (l5 n x( x + +83)   )5   ö÷ø÷ (8  lim  x ® x 2  + ( 4 x + 2)  3 . ln( 2 x + 1)   (7  + 1 -  2  æ ln( 3 x 2  + 2 x + 1)   ÷ø÷ö (10  æ ln( x 2  +1 1)  ÷öø÷ (9 li+m ¥  ççè x  ® ln( 2 x 2  + x + 4 )  li-m¥   çèç x ® x + lim çæ x ®  ln( x + 1)  ÷ö (12  lim æç x ® ln( x + 2 ) - ln 2 ÷ö (11  0  è x  ø 0  è x  ø æ x  ®  ln( x 2  + 1)  - ln  2 ö÷÷ø (14  lim æç x ®  ln( x - 2 ) ÷ö (13 lim1   èçç x  - 1  3  è x - 3  ø lim çæ x  ® 1  + ln(  x  + 1 ) ÷ö (15  è- 1 + x  + 1  ø ( ) . lim  x ® ( x 2 + 7 ) - ln( x 2  + x + 3)   (16  + ¥

‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 15 ‬‬‫‪  n  nΠ N ‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪  U0=3 ‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪  n ‬ﻓﻲ‪(U ) ‬‬ ‫‪.ln(Un+1)=­2+ln(Un) ،  N ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ Un+1 ‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪، Un ‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ n ‬ﻜﻴﻔﻲ ﻓﻲ‪، N ‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪ (Un) ‬؟‬ ‫‪-  2-   ‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪ (Un) ‬ﺜﻡ ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭﻫﺎ‬ ‫ﻭ ﺘﻘﺎﺭﺒﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -3-   ‬ﻟﺘﻜﻥ‪ (Vn) ‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪. Vn=ln(Un) ، n ‬‬ ‫ﺃ(‪ ‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪(Vn) ‬؟‬ ‫ﺏ(ﺃﺤﺴﺏ‪ ،‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌ‪ ‬ﻲ‪، n ‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn ‬ﺤﻴﺙ ‪Sn=V0+…+Vn ‬‬ ‫ﺝ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ Pn ‬ﺤﻴﺙ ‪Pn=u0´…´un ‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺎﺕ ﺩﻭﺍل‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 16 ‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ (Cf ) ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ‬ ‫=‪f ( x ) ‬‬ ‫‪9 ln( x ) ‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪: ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‪ ) (O   ; i;  j ) ‬ﻭﺤ‪ ‬ﺩ ﺍﻟﻁﻭل‪(1cm ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪.(Cf ) ‬‬ ‫‪ -3-   ‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪ (d) ‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf ) ‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻌﻪ ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬ ‫‪ -4-   ‬ﺃﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪(d) ‬ﺜﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪.(Cf ) ‬‬‫‪ -5-   ‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟ‪ ‬ﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ (D) ‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪(Cf ) ‬ﻭ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪x=e2  ، x=e ،y  =0 ‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 17 ‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ‬ ‫‪f ( x ) = ln æç‬‬ ‫‪x  ö‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪÷ f:‬‬ ‫‪è x + 1 ø‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ)‪ ‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل‪.(2cm ‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2-   ‬ﻋﻴﻥ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. y =  x + 3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪w 1 ‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪(- ;0)   (Cf) ‬‬ ‫‪ -3-   ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ w‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪2 ‬‬‫‪-4-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf) ‬ﺜﻡ ﺃﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪.(Cf) ‬‬‫‪ -5-   ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ F ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋ‪ ‬ﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]0 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭ ‪ ‬ﺭ‪:‬‬‫‪ F (x ) = x + ln( x ) - ( x + 1)  ln( x + 1)  ‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺠﺎل‪. ]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ -6-   ‬ﻟﺘﻜﻥ‪ g ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g ( x ) = ln æç x + 1 ö÷ :‬‬ ‫‪è x  ø‬‬‫‪-‬ﺃ ‪- ‬ﺒﺩﻭﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،  g ‬ﺃﻨﺸﺊ‪  (Cg) ‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪. ( O ; i;  j ) ‬‬‫‪-‬ﺏ‪-‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ‪ ،‬ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ ‪ (Cf) ‬ﻭ‪(Cg)   ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ‪ x=1 ‬ﻭ‪. x=2 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 18 ‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ ]­2 ;+¥[ ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f ( x ) = x +1 - ln çæ x + 3 ÷ö :‬‬ ‫‪è x + 2 ø‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ‪ (Cf) ‬ﺍﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪(O   ; i ;  j ) .‬‬ ‫‪ -1-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -2-   ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ ، f(x)=0 ‬ﺤﻴﺙ ‪ x ‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ ، ]­2 ;+¥[ ‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ‪ a‬ﻭ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل ‪ a‬ﻴﺤﻘﻕ ‪: ‬‬ ‫‪. ­0,5<a<­0,25 ‬‬

‫‪ -3-   ‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf) ‬ﻟﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻤﺎﺌل ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪. (D‬‬ ‫‪-4-   ‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪ (Cf ) ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪.(D‬‬ ‫‪ -5-   ‬ﺃﺭﺴﻡ‪ (Cf) ‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ ﻟﻪ‪.‬‬‫‪-  6-   ‬ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺴﻭﻕ‪ x  ،‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻌﻁﺎﺓ‪ V(x)  ،‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‬‫ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﻴﻥ ) ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ( ﻭ ‪ D(x) ‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ ) ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ(‪.‬‬‫‪ ‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭ ﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻥ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪  0<x<3 ‬ﻭ)‪  V(x)=f(x‬ﻭ­‪D(x)=x+1‬‬ ‫‪.ln(x) ‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴ ‪ ‬ﻥ‪1:‬‬ ‫‪/1 ‬ﺇﻋﻁﺎ‪ ‬ﺀ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ‪:ln(3) ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪A=ln(81)=ln(3 4 )=4ln(3) : ‬‬ ‫=‪B ‬‬ ‫‪ln çæ‬‬ ‫÷‪1  ö‬‬ ‫=‬ ‫‪ln æç‬‬ ‫‪1  ö‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪-ln(3 3 ) : ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪27 ø‬‬ ‫‪è‬‬ ‫÷‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪ø‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ‪.B=­3ln(3) ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) C = 1 ln(9) = 1 ln 3 2 = 1 ln(3)  :‬‬ ‫‪4  4 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D = ln(9  3 )) ln( 9)  + ln(  3 ) = ln( 9 ) + ln( 3 2 )  : ‬‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪D = ln(3 2 ) + 1 ln( 3)   : ‬‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻭ ﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪= 5 ln( 3)  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) E = ln æçèç 2433  ÷ø÷ö = ln  3  - ln( 3 5 )  :‬‬ ‫‪= 1 ln 3 - 5 ln( 3)  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪= - 9 ln( 3)  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪/‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺃﺒﺴﻁ ﺸﻜل‪2 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪F = ln(e 7 ) = 7 ln( e ) = 7 ´1 = 7  : ‬‬‫‪G = ln çæ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫÷‪ö‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ln e1 0 ‬‬ ‫=‬ ‫=‪-10 ln e ‬‬ ‫‪-10 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪è‬‬ ‫‪e1 0‬‬ ‫‪ø‬‬

‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) H = ln e  e  = ln( e ) + ln(  e ) = 1 - 1 ln e  :‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‪H = 1  : ‬‬ ‫‪2 ‬‬‫‪( ) K = ln e e - e = ln  e e -‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪e - e ‬‬ ‫‪e - e ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( ) K = ln  e  = 1  :‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2: ‬‬‫‪ /1 ‬ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪ X ; Y ‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎ ‪ ‬ﺓ‪:‬‬ ‫‪ X=3ln(5)(  1 ‬ﻭ‪.Y=7ln(2) ‬‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪X­Y=3ln(5)­7ln(2))ln(5 3 )­ln(27 )   : ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪X  - Y  = ln 125  : ‬‬ ‫‪128 ‬‬ ‫ﻭ ﻟﻜﻥ‪0 < 125 < 1 : ‬‬ ‫‪128 ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪lnæç125 ö÷ < 0  : ‬‬ ‫‪è 128 ø‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪X  - Y < 0‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. X < Y ‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺘﻴﻥ‪ .‬‬ ‫‪ /2 ‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ x ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪: ‬‬‫‪ln(x 4+  12)­ln(x2 +  5)w1+ln(x2 +  1)…………(I) ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ‪.‬‬‫<‪ln x4 + 12 ‬‬ ‫‪ln e +‬‬ ‫‪ln( x 2 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)  ‬‬ ‫ﺃﻥ ‪: ‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪(I) ‬‬ ‫‪x 2  + 5 ‬‬

‫<‪ln x 4 + 12 ‬‬ ‫‪ln( e ( x 2 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1) ) ‬‬ ‫ﺃﻥ ‪: ‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x 2  + 5 ‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫<‪x 4 + 12 ‬‬ ‫‪e ( x 2 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺃﻥ‪1)  \" ‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻭ‬ ‫[‪]0,+¥‬‬ ‫‪x 2  + 5 ‬‬‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ ) x 4 + 12 < e ( x 2  + 1) ( x 2  + 5)   : ‬ﻷ ‪ ‬ﻥ‪(x2 +  5>0 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪( e - 1)  x 4 + 6e  x 2  + (5  e   -12 ) > 0  : ‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ ( e - 1)  x 4 > 0 : ‬ﻭ ‪  6 ex 2 > 0 ‬ﻭ ‪5e - 12 > 0 ‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪( e - 1)  x 4 + 6 ex 2  + ( 5e   -12 ) > 0  : ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺠﻤﻠﺔ‪ (I) ‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪. x ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3 ‬‬‫‪ ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪ D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ¢‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ f ‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬ ‫‪f(x)=3x2 +  x+ln(x)/ 1 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D=]0 ;+¥[ : ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‪ x ‬ﻤ ‪ ‬ﻥ‪ D‬ﻟﺩﻴﻨ‪ ‬ﺎ‪:‬‬ ‫‪f ¢ (x ) = 6 x +1 + 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪= 6 x 2 + x +1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪f ( x ) = x + ( x 2  + 2 x ) ln( x )  /2   ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ (x>0)} ‬ﻭ‪D={x,xÎÂ : (x³0) ‬‬ ‫‪=]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪: ‬‬‫‪f ¢(  x ) = 1  + ( 2 x + 2 ) ln( x ) + ( x 2 + 2 x ) 1‬‬ ‫‪2  x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪=  1 + ( 2 x + 2 ) ln( x ) + x + 2 ‬‬ ‫‪2  x ‬‬

f ( x ) = ln(2   ). ln( x )  / 3  x.  ln(3  )   D={x,xÎÂ : (x¹0) ‫ﻭ‬ (x>0)} ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  =]0 ;+¥[  :  ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬ x ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬  1 .x   -1 . ln( x ) f ¢(   x )  = ln(2  )   x  .  x 2  ln(3  )   = ln( 2)  . 1- ln( x)  ln(3  )   x 2  = log 3 ( 2 ). 1 . lxn (2  x)  f ( x ) = 2 x + 1 + ln(3   x 2 - 4 x - 8 ) / 4  D={x,xÎÂ : 3x2 ­  4x­8>0 } ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  ] - ¥; 4 - 2  7 [ È] 4 + 2  7 ; +¥[  3  3  :  ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬ x ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬  f ¢ ( x ) = 2 + 6 x - 4  3 x 2 - 4 x - 8  = 6 x 2 - 2 x - 20  3 x 2  - 4 x - 8 f ( x ) = ln( x - x 2 ) - ln( -2 x +1)  /5    D={x,xÎÂ : (x­x2 >  0) ‫ﻭ‬ (­2x+1>0)} ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  =]0;  1 [ 2  :  ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬ x ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬  f ¢( x ) = 1 - 2 x  - - 2  x - x 2 1 - 2 x 

f ¢( x ) = (1 - 2 x )2 + 2( x - )x 2  :‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ (x - x 2 )(1 - 2 x )  =  2 x 2 + 2 x +1  (x - x 2 )(1 - 2 x )  f ( x ) = ln æç 3 - 2 x  ö÷ /6  è 5 x +10 øD = {x , x Î R : ( 5 x +10 ¹ 0 )   çæ 3 - 2 x  > 0 ö÷ } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ è 5 x +10  ø=] - 2;  3 [ 2  : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬ x ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ f (x ) = - ln(5  )  + ln çæ 3 - 2 x ÷ö = - ln(5  )  + ln( 3 - 2 x ) - ln( x + 2 )  è x + 2  øf ¢(  x ) = - 2  - 1  : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 3 - 2 x  x + 2 = (3 - -7 2 )  2 x )(x +f ( x ) =  x  + (ln( -5 x + 1) ) 2 /7    x 2  + 1 {D =  x , x Î R : ( x 2 +1 ¹ 0)    (- 5 x +1 > 0 ) } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬=] - ¥; 1 [ 5  : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬ x ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ 

f ¢(   x ) = x 2 +1 - 2 x 2  + 2.   - 5  . ln( -5 x +1)   - 5 x +1  ( ) x 2  +1 2  =  1 - x 2 - 10 ln( -5 x + 1)   - 5 x +1  ( ) x 2  +1 2  f ( x ) = 5 - 2 ln( x )  /8    1 + ln( x ) D = {x , x Î R : ( x > 0 )   (1 + ln( x ) ¹ 0 ) } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ = ]0;  1[ È] 1 ;+  ¥[  e  e  : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬x   ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬  2 (1 + ln( x ) )- 1 (5 - 2 ln( x ) ) f ¢( x ) = x  x  (1 + ln( x ) )2   = 1 + ln( x) - 5 + 2 ln( x )  x (1 + ln( x ) )2   =  - 4 + 3 ln( x)  x (1 + ln( x ) )2   f ( x ) = (x - 1) .( ln (x 2  - )) 1 2  /9  {D =  x , x Î R : ( x 2 -1 > 0 )  } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =] - ¥;-  1[  È]1 ; +  ¥[  : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬x   ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ f ¢(  x ) = 1 .( ln (x 2 -1) )2  + (x -1) .2  .   2 x  (. ln  x 2  -1)   x 2  -1  = ln (x2 -1)  + 4 x (x -1) ln (x 2  -1)   x 2  -1 

= ln (x 2 -1)  + (4 x ln  x 2  -1)   X  + 1  [ ] ( )f (x ) = (x - 3 ). ln  x 2  - 4 x + 3 2  /10  {D =  x , x Î R : x 2 - 4 x + 3 ¹ 0 )  } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ = R - { 1;3    }  : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬D ‫ﻤﻥ‬x   ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ f ¢ ( x ) = 1 . ln( x 2  - 4 x + 3)  + ( x - (2 x 2  - 4 x + 3 )(2 x - 4 ) 3) .  ( ) x 2  - 4 x + 3 2  = ln( x2 - 4 x + 3)  + 4(  x - 3) (x - 2 )  x 2  - 4 x + 3  = ln( x 2 - 4 x + 3)  + 4(  x - 2 )  x -1  f (x ) = ln[ln( 2 x + 3) ] /1  1  D = {x , x Î R : ( 2 x + 3 > 0 )   (ln( 2 x + 3)  > 0 )  } : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ D = íìx , x Î R : ( x > - 3 )   ( 2 x + 3 > 1)   } î 2  =] -1; +  ¥[  :  D ‫ﻤﻥ‬x   ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ‬  2  f ¢(  x ) = 2 x + 3  ln( 2 x + 3)   = (2 x + 2 3)   3)  ) ln( 2 x +

‫‪f ( x ) =  ln( -x )  /12 ‬‬ ‫‪ln(  x 2 - 3 ) ‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪D = { x , x Î R : ( -x > 0)    ( x 2 - 3 > 0 )   (ln(  x 2  - 3 ) ¹ 0  } ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪D = { x , x Î R : ( x < 0)    ( x 2 > 3)    ( x 2  - 3 ¹ 1)   }  :‬‬‫‪=] - ¥; -2[  È] - 2; -  3[  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪: ‬‬‫‪f ( x ) = 2.   ln( -x ) ‬‬ ‫‪ln( x 2 - 3)  ‬‬‫‪1 ln( x 2  - 3)  - 2 x  ln( -x ) ‬‬‫‪f ¢(  x ) = x ‬‬ ‫‪x 2  - 3 ‬‬ ‫‪(ln( x 2  - 3) ) 2 ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪: ‬‬‫‪( ) ( )=  x 2  - 3 ln  x 2  - 3  - 2 x 2 ln( -x ) ‬‬ ‫‪( ) x  x 2  - 3 (ln( x 2  - 3) ) 2 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:4 ‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪،‬ﻓﻲ ‪ ،‬ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪Â:‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﺴﻤﻲ‪ D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪: ‬‬ ‫‪ln( 4 x - 1)  = ln( x 2 + x + 1)  ..............( 1 )  /1 ‬‬‫ﺃ ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪D = { x / x Î R : ( 4 x -1 > 0)   ( x 2 + x +1 > 0)   } :‬‬ ‫‪=] 1 ;+¥[ ‬‬ ‫ﺏ ( ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‪ ‬ﻋﺩﺩ‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪4x­1=x 2+  x+1 ‬‬ ‫‪(1)  ‬‬‫‪ ‬ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ ‬ﻋﻠﻰ [‪]0 ;+¥‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x 2­  3x+2=0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪ (x=1) ‬ﺃﻭ‪(x=2) ‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ (1 ) ‬ﻫﻲ‪. {1 ;2} ‬‬ ‫* ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﻴﺘﻡ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺩﻻﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪  (2)  ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln[(x+2)(3x­5)]=ln(x2 +  5) ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪  (4)  ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln(-2   x + 7 ) = ln  2 ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ (5)  ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( ) ln(5   x + 3 ) = ln  e 3 ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x ‬ﻤﻥ‪ D ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪  (6 ) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln( 4 x2  - x 3 ) = ln 4 - x ‬‬ ‫‪3 2 ‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ (7)  ‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻭﻀﻊ‪ ln(x)=y ‬ﺤﻴﺙ‪. x>0 ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5 ‬‬‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ ،‬ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪ ،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪ .‬‬ ‫‪x - y = 24‬‬ ‫‪I….  5 ‬‬ ‫‪ln( x ) + ln( y ) = 0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻭ‪ y ‬ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ ‪.Â‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪  (I) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x - y = 24‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ln( xy ) = 0 ‬‬ ‫‪( x > 0 )   ( y > 0 ) ‬‬

‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x = y + 24‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪y = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪( x > 0 )   ( y > 0)  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x = 1 + 24 ‬‬ ‫‪x  5 ‬‬ ‫‪y = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪( x > 0)    ( y > 0)  ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪5 x 2 - 24 x - 5 = 0 ‬‬ ‫‪y = 1 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪( x > 0)    ( y > 0 ) ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪(x = 5)    ( y = 1 ) ‬‬ ‫‪5 ‬‬‫* ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﻴﺘﻡ ﺤل ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x>0 ‬ﻭ‪ y>0 ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪: ‬‬ ‫‪  (II) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬‫ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﺠﻬﻭل ﻤﺴﺎﻋﺩ‬ ‫‪3 x¢ + 2 y ¢ = 3 ‬‬ ‫‪5 x ¢ + 4 y ¢ = 7 ‬‬ ‫‪x ¢ = ln( x )   y ¢ = ln( y ) ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x>0 ‬ﻭ ‪ y>0 ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬

‫‪  (III) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ln(x ) + ln( y ) = 2 ‬‬ ‫‪ln( x ) ´ ln( y ) = -15 ‬‬‫‪2+ln2=lne2   +ln e ‬‬ ‫ﻭ ﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻥ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪=ln(2e2   ) ‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x>0 ‬ﻭ‪ y>0 ‬ﻴﻜﻭﻥ ‪: ‬‬ ‫‪  (IV) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x. y = 2. e   x ‬‬ ‫‪x + y = 3e   ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6 ‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ ،‬ﻓﻲ‪ ،Â‬ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎ‪ ‬ﺓ‪:‬‬ ‫‪ln(3 x + 1)  < 2  ..................(1   )  /1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.Â‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪  (1)   ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ln( 3 x + 1)  < ln( e 2 ) ‬‬ ‫‪3 x +1 > 0 ‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪3 x + 1 < e 2‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ ‬ﻋﻠﻰ [‪]0 ;+¥‬‬ ‫‪x > - 1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪x < e 2 -1 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪x > - 1 ‬‬ ‫‪3 ‬‬

‫‪- 1‬‬ ‫<‬ ‫<‪x ‬‬ ‫‪e x ‬‬ ‫‪-1 ‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓ ‪ ‬ﺊ‪:‬‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3  3 ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ‪ (1 ) ‬ﻫ ‪ ‬ﻲ‪:‬‬ ‫‪] - 1 ; e x  -1 [ ‬‬ ‫‪3  3 ‬‬ ‫‪(3 x + 5)   ³ ln( 9 x + 2 )  ..................( 2)  / 2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.Â‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪  (2 ) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬‫‪ ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪3x + 5 ³ 9 x + 2 ‬‬ ‫‪ ‬ﻋﻠﻰ [‪]0 ;+¥‬‬ ‫‪3 x + 5 > 0 ‬‬ ‫‪9 x + 2 > 0 ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪ (2)  ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x  £  1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪x  > - 5 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪x  > - 2 ‬‬ ‫‪9 ‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤ ‪ ‬ﺔ)‪ (2 ‬ﻩ‪- 2 < x £ 1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪9  2 ‬‬ ‫ﻱ‪] - 2 ; 1 ] : ‬‬ ‫‪9  2 ‬‬ ‫‪( ( )) ln  x  2 - 4 ln( x ) < 5  ...................(4)  / 4 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪Â+*   ‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪ (4 ) ‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( ( )) ln  x  2 - 4 ln( x ) - 5 < 0 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‪(ln( x ) + 1) (ln( x ) - 5)  < 0 ‬‬‫‪ ‬ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ (ln( x ) + 1) (ln( x ) - 5)  ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟ‪ ‬ﺘﺎﻟﻲ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ‪ x ‬ﻤﻥ‬ ‫‪Â+*   ‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪­¥  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e5   +¥ ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ln(x)+1 ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ln(x)­5 ‬‬ ‫‪+‬‬‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪(ln(x)+1)(ln(x)­5) ‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪-- +‬‬ ‫‪+- +‬‬ ‫‪] 1 ; e [   5 ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ n ‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ Un ‬ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺎل ﺒﻌﺩ‪ n ‬ﺴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻹﻴﺩﺍﻉ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪Un +1    = U n  + 1050   U n ‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪= 100 U n ‬‬ ‫‪105 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ (Un) ‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪100 ‬‬ ‫‪æç‬‬ ‫‪110005  ö÷ø‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪= U 0 ‬‬ ‫´‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪= 80000 ´ æç105 ö÷n ‬‬ ‫‪è 100 ø‬‬ ‫‪ n ‬ﺤل ﻟﻤﺴﺄﻟﺘﻨﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪: ‬‬ ‫‪U n ³ 150000 ‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪: ‬‬ ‫‪80000 ´ çæ105 ÷ön ³ 150000 ‬‬ ‫‪è 100 ø‬‬

‫‪æç 105 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪³‬‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪ö‬‬ ‫÷‬ ‫‪è 100  ø 8 ‬‬‫‪ln æç 105 ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪³‬‬ ‫÷‪ln æç 15  ö‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪ n ‬ﺤل ﻟﻤﺴﺄﻟﺘﻨﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ö‬‬ ‫÷‬‫‪è 100  ø‬‬ ‫‪è 8  ø‬‬ ‫‪105 ‬‬ ‫‪n  ³ ‬‬ ‫‪ln æç‬‬ ‫÷‪185  øö‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪ ln ‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ln > 0 ‬‬ ‫‪è‬‬ ‫‪100 ‬‬ ‫‪ln çæ 105 ÷ö‬‬ ‫‪è 100 ø‬‬ ‫‪ln æç 15 ÷ö‬‬ ‫ﻭ ﻟﻜﻥ‪è 8  ø » 12 , 88  : ‬‬ ‫‪ln æç 105  ÷ö‬‬ ‫‪è 100 ø‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﻌﺩ‪ 12 ‬ﺴﻨﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻴﺼﺒﺢ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺎل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ‪. 150000DA ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8 ‬‬‫‪ ‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪، D ‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ ،  f(x) ‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪  x ‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D ‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.f(x)=­4x 2l  n(x+3) /1 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D={x,xÎÂ :x+3>0} : ‬‬ ‫‪=]­3 ;+¥[ ‬‬‫‪x  ­¥  ­3 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ D ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪­2  0  +¥ ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪­4x 2 ‬‬ ‫‪- ­  ­ ‬‬‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ln(x+3) ‬‬ ‫‪- +  + ‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f(x) ‬‬ ‫‪+ --‬‬ ‫‪f(x)=ln(x).(1­ln(x)) /2 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D={x,xÎÂ :(x>0)} : ‬‬ ‫‪=]0 ;+¥[ ‬‬

‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ D ‬ﻋﻨﺩﺌ ‪ ‬ﺫ‪:‬‬‫‪x ‬‬ ‫‪­¥  0 ‬‬ ‫‪1  e  +¥ ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ln(x) ‬‬ ‫‪- +  + ‬‬‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪1­ln(x) ‬‬ ‫‪+  + ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f(x) ‬‬ ‫‪­  +  ­ ‬‬ ‫‪x  ­¥­ 1 ‬‬ ‫‪f ( x ) =  ln( 5 - x )  /3   ‬‬ ‫‪x 2 - 1 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ (x 2 ­1¹0)}:  ‬ﻭ‪D={x,xÎÂ :(5­x>0) ‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪D=]­¥ ;­1[ È]­1 ;1[È]1 ;5[: ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ D ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪4  5 ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ln(5­x) ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪x2  ­  1 ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f(x) ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪f ( x ) = 1 - (ln( x )) 2 / 4 ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪D={x,xÎÂ :x>0} : ‬‬ ‫‪=]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ D ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(x)=(1­ln(x))(1+ln(x)) :‬‬

‫‪x  ­¥ ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬‫ﺇﺸ‪ ‬ﺎﺭﺓ‪1­ln(x) ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪+¥ ‬‬‫‪ ‬ﺇﺸﺎﺭﺓ‪1+ln(x) ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f(x) ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪­ ‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9 ‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪ I ‬ﻓﻴﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﺴﻤﻲ‪ F ‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪:I   ‬‬ ‫‪  f ( x ) = 5 x 3 + 3 x + 1 + 1  /1   ‬ﻭ‪I=]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤ‪ ‬ﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪.  I ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪ ) F ( x ) = 5 x 4  + 3 x 2  + x + ln( x ) ‬ﻷﻥ‪( x>0 ‬‬ ‫‪4  2 ‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪  f ( x ) = ‬ﻭ‪I=]­1 ;+¥[ ‬‬ ‫‪x 2 + x + 3 ‬‬‫‪/ 2 ‬‬ ‫‪x + 1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪f (x ) = x ( x +1)  + 3 = x + 3 ´ 1 ‬‬ ‫‪x + 1 ‬‬ ‫‪x + 1 ‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ) F ( x ) = 1 x 2 + 3 ln( x + 1)  ‬ﻷﻥ‪(x  +1>0 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪5  3 ‬‬ ‫‪  f (x ) = 1 - + / 3 ‬ﻭ‪I=]­¥ ;0[ ‬‬ ‫‪x  x ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪f ( x ) = 1 + 10 .  -1  - 3.  - 1 ‬‬ ‫‪2  - x  - x ‬‬

‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ) F ( x ) = x +10  - x - 3 ln( - x ) ‬ﻷﻥ‪( ­x>0 ‬‬ ‫‪3 x ‬‬ ‫‪I=Â‬‬ ‫‪ ‬ﻭ‬ ‫‪f ( x ) = ‬‬ ‫‪/ 4 ‬‬ ‫‪2 x 2‬‬ ‫‪+ 1 ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬ ‫‪f ( x ) = 3 - 4 x ‬‬ ‫‪4  2 x 2 +1 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪)  F ( x ) = 3 ln( 2 x 2 + 1)  ‬ﻷﻥ‪(2  x2 +  1>0 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ /5 ‬ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺭﺍﺒﻌ ‪ ‬ﺔ‪.‬‬ ‫‪ /6 ‬ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜ ‪ ‬ﺔ‪.‬‬‫‪  f ( x ) = ‬ﻭ ‪I=Â‬‬ ‫‪5 x + 1 ‬‬ ‫‪5 x ‬‬ ‫‪- /7   ‬‬ ‫‪5 x 2 + 2 x + 20  x 2  + 3 ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪: ‬‬‫‪1  10 x + 2 ‬‬ ‫‪2 x ‬‬‫‪f ( x ) =  . ‬‬ ‫‪- 5 . ‬‬‫‪2  5 x 2 + 2 x + 20  2  x 2  + 3 ‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪F ( x ) = 1 ln( 5 x 2 + 2 x + 20 ) - 5  x 2  + 3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫)‪ ‬ﻷﻥ‪.( 5x2 +  +2x+20>0 ‬‬ ‫=‪  f (x ) ‬ﻭ‪( ) I=]0 ;+¥[ ‬‬ ‫‪ln x  3 ‬‬ ‫‪/8 ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪. I ‬‬‫‪ ‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  f ‬ﻣﻦ ‪ ‬ﺍﻟﺸ‪ ‬ﻜﻞ‬ ‫‪ ‬ﻟﻴﻜﻥ‪ x ‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ I ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫*‪g 1.  gn  :nÎN ‬‬ ‫‪f ( x ) = 1 (ln( x ) )3  ‬‬ ‫‪x ‬‬