دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫= )‪ f (x‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫‪e5x + 2x‬‬ ‫‪ f (12‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪e5x + 5x2 + 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 08‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f(x)=(x2-x+1).ex‬‬ ‫‪ -2 -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‪:‬‬‫ﺃ( ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، xl(x2+x)ex‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫ﺏ(ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ J‬ﺤﻴﺙ ‪∫J = (t 2 + t + 1)et .dt :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 09‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪+ 5ex +10‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﻭﺠﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ c،b،a‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪f (x) = aex‬‬ ‫‪+b+‬‬ ‫‪ce x‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪ ،x‬ﻓﻲ ‪:ℜ‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪ -2-‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ K‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ln 5‬‬ ‫‪K = ∫ ( f (x) − 5x)dx‬‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f‬ﻭ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬‫‪ f (x) = (3x2 − x + 7)ex‬ﻭ )‪ ، g(x) = (ax2 + bx + c‬ﺤﻴﺙ ‪ c،b،a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‪.‬‬ ‫‪ -1-‬ﺃﻭﺠﺩ ‪ c،b،a‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪ -2-‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ I‬ﺤﻴﺙ ‪∫I = f (x)dx :‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻤﺠﺎل ﺃﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ‬‫ﻤﺠﺎﻻﺕ‪ ،‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‪ ،‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﻜل ﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ f (1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 5ex + 3x2 + 2 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪xex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (2‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xe x‬‬ ‫‪ f 3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪ f (4‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 2x +1 − ex :‬‬ ‫‪ f (5‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (3x2 − 7)ex :‬‬ ‫‪ f (6‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 5x2 − 7x + 9 − ex :‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3ex + 2‬‬ ‫‪ f (7‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex −1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x4ex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f (8‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x8 +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2e x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪ f (9‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f (10‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 2x5 − e3x+2 + 1 :‬‬ ‫‪3x3‬‬ ‫‪+ 5x2‬‬ ‫‪+x−‬‬ ‫‪2e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪4e 2 x‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪ f (11‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f (12‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (x −1)e x−1 :‬‬ ‫‪ f (13‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = ex −1 :‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻗﺭﺍﺀﺍﺕ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 12‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ (Cf) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﻭ )‪ (Cg‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل‬‫ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪،(ℜ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ ، (O;i; j‬ﻭ )‪ (d‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cg‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪.0‬‬‫)‪(d‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪2 ( Cg‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫) ‪-2 ( Cf‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪ -1-‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ )‪ ، f(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ‪.ℜ‬‬ ‫‪-2-‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪.‬‬ ‫‪ -3-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ‪ f ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪(ax 2‬‬ ‫‪c)e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬‫‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪bx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ f′(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ b،a‬ﻭ ‪. x‬‬‫‪-‬ﺏ‪-‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ b،a‬ﻭ ‪ c‬ﺜﻡ ﺃﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f(x‬ﻭ‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪.x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ)‪ (Cf‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ) f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ (ℜ‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ‬‫ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ (O;i; j‬ﻭ )‪ (t‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ 2‬ﻭ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻊ ﻓﻴﻬﺎ )‪ (Cf‬ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪.‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ h‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪g(x)=ln(f(x)) :‬‬ ‫ﻭ )‪.h(x)=ef(x‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪( Cf‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪A‬‬‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0 →i 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(t‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻭ ﻤﻊ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻌﺎﻟﻴل‪ ،‬ﺃﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -1-‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ،g‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. h‬‬ ‫‪ -2-‬ﻋﻴﻥ )‪.g(2) ،h(2) ،h(1‬‬ ‫‪ -3-‬ﻋﻴﻥ )‪ h′(2‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻭ )‪ g′(2‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪.2‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 14‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f(x)=(x+2)e-x‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O;i; j‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫‪-2-‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫‪ -3-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪-4-‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ‪.0‬‬ ‫‪ -5-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﺜﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(Cf‬‬ ‫‪-6-‬ﺃ(ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ g(x)=(-x-3)e-x‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﺏ(ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻭ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪/16‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O;i; j‬‬‫ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2e −x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -1-‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪1− e−‬‬ ‫‪ -2-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪-3-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-4-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪ -5-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪. (Cf‬‬ ‫‪-6-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ،D‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0 ;+‬‬‫‪ -7-‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (σf‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪،x=ln2‬‬ ‫‪.y=1،x=ln8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = (x + 2)2 e− x :‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪. (O;i; j‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫‪-2-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪ -3-‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪.(Cf‬‬‫‪ -4-‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g (x) = (ax2 + bx + c)e−x‬ﺃﻴﻥ ‪ c،b،a‬ﺃﻋﺩﺍ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺃ‪-‬ﺃﻭﺠﺩ ‪ c،b،a‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬

‫‪-‬ﺏ‪ -‬ﺃﺤﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (Cf‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪،y=0‬‬ ‫‪.x=-2،x=0‬‬ ‫‪-5-‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪(1).....mex+x2+4x+4=0 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ ،‬ﻓﻲ‪ ، ℜ‬ﻭ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﺃ(ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. f(x)=m‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻟﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪.(1‬‬‫ﺠـ( ﻤﺎ ﻭ‪،‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ‪،m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(1‬؟ ﻭ ﻤﺎ ﻫﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻠﻭل ) ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ(؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪17‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪ex −1‬‬‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪(O;i; j‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ i = 2‬ﻭ ‪ ) j = 1‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪.(1cm‬‬ ‫‪-1-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫‪•-2-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬‫• ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 2x+1 y=-‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ∞‪-‬‬‫• ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=-2x‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ∞‪.+‬‬ ‫‪-3-‬ﺃﻨﺸﺊ )‪.(Cf‬‬‫‪-4-‬ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﺜﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 10-2‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻟﻠﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ ،A‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‬ ‫ﻟﻠﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪(D‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(Cf‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪. y=-2x+1 ، x=-ln16 ،x=-ln2‬‬‫)‪.(Cf‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫;‪ω⎜⎛ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ⎟⎞‬ ‫‪ω‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ‬ ‫‪-5-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [0 ;1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x) = 2x −1 :‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪(O;i; j‬‬

‫‪-1-‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺃﻨﺸﺊ )‪.(C‬‬ ‫‪ -2-‬ﺍﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (C‬ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ‪.‬‬ ‫‪ -3-‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ (C‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻭﺭﻨﺯ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺜﺭﻭﺍﺕ ﺒﻼﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﺍﻁﻨﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻼﺩ‪.‬‬ ‫ﺃ( ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺅﺸﺭ ﺠﻴﻨﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﺏ(ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﻌﻠﻴﻘﻙ ﺤﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 19‬‬‫ﻓﻲ ﻤﻴﺩﺍﻥ ﺍﻟﻘﺭﺽ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‪ T‬ﻨﺴﺒﺔ ﺴﻨﻭﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪ t‬ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺸﻬﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪:‬‬ ‫‪.(1+t)12=1+T‬‬‫⎛⎜‬ ‫‪7,1%‬‬ ‫=‬ ‫‪7,1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪7,1%‬‬ ‫ﻟﻨﺴﺒﺔ ﺴﻨﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺸﻬﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻠﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪-1-‬ﺃﻋﻁ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﺭﻴﺔ‬‫⎝‬ ‫‪100‬‬ ‫⎠‬‫‪ -2-‬ﺍﻗﺘﺭﺽ ﺸﺨﺹ ﻤﻥ ﻤﺼﺭﻑ‪ ،‬ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪ 500000DA‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﺭﻑ ﻴﺘﻌﺎﻤل ﺒﻨﺴﺒﺔ ﺴﻨﻭﻴﺔ‬ ‫ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ 6%‬ﻭ ﺃﻥ ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺴﺩﻴﺩ ﻫﻲ ﺴﻨﺘﻴﻥ‬ ‫ﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺩﻴﺩ ﻴﺘﻡ ﺸﻬﺭﻴﺎ ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‪ ،‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻓﻌﻪ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺸﻬﺭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺼﺭﻑ؟‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، ℜ‬ﻟﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪(1)...... 2e3x−2 = 17 /1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻓﻲ ‪.ℜ‬‬ ‫‪e3x−2‬‬ ‫=‬ ‫‪17‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪{ }2‬‬‫‪+‬‬‫‪1‬‬‫‪ln‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4)........ 9 log(x) = −3 /4‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻓﻲ *‪.ℜ+‬‬ ‫)‪log(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪x = 10−3‬‬ ‫‪{ }10−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (4‬ﻫﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(5)... 5log8 (x =) = 2 log2 (x) /5‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻓﻲ *‪.ℜ+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (5‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪ln(8‬‬ ‫)‪ln(2‬‬

‫‪5‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪3ln(2‬‬ ‫)‪ln(2‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ln(x) = 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x = 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (5‬ﻫﻲ ‪{ }1‬‬‫* ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (6‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻭﻀﻊ )‪ y=log(x‬ﻭ ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(4‬‬ ‫* ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (7‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪e2 × 36x = 510x :‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪e × e = e2 6xln3‬‬ ‫‪10 x ln 5‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻋﻠﻰ [∞‪]0 ;+‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( ) ( )ln e2 × e6xln3 = ln e10xln5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، ℜ‬ﻟﻜل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪(1)....2ex≥5/1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫≥‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ(‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪5‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫⎜⎛‪[ln‬‬ ‫‪5‬‬ ‫[∞‪⎟⎞;+‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪(1‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪(3).... e-2x+1>103/3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ) − 2x + 1 > ln103‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ln‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ(‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪− 2x > −1+ 3ln10‬‬‫)ﺤﺴﺏ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4)..... (lnx)2<2 /4‬‬

‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ *‪.ℜ+‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) ln(x) < 2‬ﻁﺭﻓﺎ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ(‬‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ ) − 2 < ln(x) < 2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪) e− 2 < x < e 2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪(ℜ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪ (4‬ﻫﻲ [ ‪]e− 2 ; e 2‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (5‬ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ℜ‬ﻭ ‪ a‬ﻤﻥ ‪ ℜ+‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ x ≥ a‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ (x ≤ −a‬ﺃﻭ )‪(x ≥ a‬‬ ‫‪(6)......e2x-2ex+1≤0 /6‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ *‪ℜ+‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (6‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪(ex − 1)2 ≤ 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ex −1 ≤ 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ex −1 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x = 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪ (6‬ﻫﻲ ‪{ }0‬‬ ‫‪(7)...(0,5)x≤(0,5)3x+1 /7‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (7‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪) 1 ≤ (0,5)2x+1‬ﻷﻥ ‪((0,5)x>0‬‬ ‫)‪e ≤ e(2 x+1)ln(0,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ‬ ‫‪(2x +1) ln(0,5) ≤ 1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪(2x + 1)(− ln 2) ≤ 1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ‬ ‫)‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬

‫‪[−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[∞‪;+‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ)‪(7‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ )‪ ، (8‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭل ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪.(7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، ℜ‬ﻟﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪(1)....3e2x-28ex+9=0/1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ)‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪3(ex )2 − 28ex + 9 = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪3y 2 − 28 y + 9 = 0‬‬ ‫‪y = ex‬‬ ‫‪y>0‬‬ ‫⎟⎞ ‪⎛⎜ y = 1‬‬ ‫)‪ (y = 9‬ﺃﻭ‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫‪y = ex‬‬ ‫‪y>0‬‬ ‫‪( )⎜⎛ex‬‬‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪ex‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ))‪ (x = ln(9‬ﺃﻭ ))‪(x = − ln(3‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻲ )‪{ }− ln(3);ln(9‬‬ ‫‪(2)...5ex+10e-x-51=0 /2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( )ex 5ex +10e−x − 51 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪5e2x − 51ex + 10 = 0‬‬

‫ﺜﻡ ﺒﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(3)....10ex − 31e2 +15 = 0 /3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻭﻀﻊ ‪ e 2 = y‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺠﺩ‪y2=ex :‬‬ ‫ﺜﻡ ﺒﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪.(1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫‪/1‬ﻨﺸﺭ ﻭ ﺘﺒﺴﻴﻁ )‪: P(x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ℜ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪P(x)=(x+1)(3x-2)(2x-3):‬‬ ‫)‪=(x+1)(6x2-13x+6‬‬ ‫‪=6x3-7x2-7x+6‬‬ ‫‪ /2‬ﺃ( ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f(x)=0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ f(x)=0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪6(ex)3-7(ex)2-7ex+6= 0‬‬ ‫‪6y3-7y2-7y+6=0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪y=ex‬‬ ‫‪y>0‬‬ ‫‪( y + 1)(3y − 2)(2 y − 3) = 0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪y = ex‬‬ ‫‪y>0‬‬‫‪(y‬‬ ‫=‬ ‫)‪−1‬‬ ‫⎜⎛ ﺃﻭ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫⎜⎛ ﺃﻭ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬‫‪y = ex‬‬‫‪y>0‬‬ ‫‪⎛⎜ ex‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪ ⎜⎛ ex‬ﺃﻭ‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫⎝‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬‫⎞⎟⎞⎟ ‪⎜⎛ x = ln⎜⎛ 2‬‬ ‫⎜⎛ ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫⎜⎛‪ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎟⎞ ⎟⎞‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬‫⎠⎠‪⎝ ⎝ 3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎠‬

‫‪⎨⎧ln‬‬ ‫‪2 ; ln‬‬ ‫⎫‪3‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪f(x)=0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻭﻋﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫⎩‬ ‫‪3‬‬ ‫⎬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎭‬ ‫ﺏ( ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f(x‬ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻡ ‪: x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪f(x)=(ex+1)(3ex-2)(2ex-3) (1‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ ، f(x‬ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪+‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪ex+1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‪3ex-2 :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪2ex-3 :‬‬ ‫‪- ++‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪f(x):‬‬ ‫‪- -+‬‬ ‫‪+ -+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ)‪ (3‬ﻭ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ )‪.(4‬‬ ‫*ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (2‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪3.72x-28.7x+9<0‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻀﻊ ‪7x=y‬‬ ‫*ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (3‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪6(0,5)2x-13(0,5)x+6>0‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻀﻊ ‪(0,5)x=y‬‬ ‫* ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ)‪ : (4‬ﻨﻀﻊ ‪ y=ex‬ﻭ ﻴﺤﻠل ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ )‪ P(y‬ﺇﻟﻰ‬ ‫)‪P(y)=(y-1)(y2-3y-4‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪P(y)=y3-4y2-y+4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:6‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ f ′‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 1 + 3x 2 .e x /2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ƒ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ }‪ℜ-{0‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ D‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

f ′(x) = − 1 + 6x − ex 2 −ex x2 + 3x =− 1 + 3x(2 + x)e x x2 f (x) = 3x + 5 /3 ex ℜ ‫ ﻫﻲ‬f ‫ƒ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬ ′( x) = 3.e x − ex (3x + 5) = − 3x − 2 ( )f ex 2 ex f ( x) = 3e x +2 /5 ex +3 D={x,x∈ :ex+3≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬ 3.e x (e x + 3) − e x (3e x + 2) ex (3e x + −3e x − 2) (e x + 3) 2 (e x + 3) 2f ′( x) = = 11e x = (e x + 3) 2 ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ f (x) = 2x + 3 /7 2e x − 4 D={x,x∈ℜ :2ex-4≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ={x,x∈ℜ :x≠ln(2)} =ℜ-{ln(2)} :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬ ( ( ) ) ( )( )f 2 2e x − 4 − 2e x 2x + 3 − 2e x − 4xe x − 8 2e x − 4 2 = 4 ex −2 2 ′( x) =

′( x) = (1 + 2x)e x −4 ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 2 ex −2 2( )f f (x) = ex + x2 + 5 /8 D={x,x∈ℜ :ex+5≥0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =ℜ :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬ f ′(x) = ex + 2x 2 ex + x2 +5f (x) = (5e2x + 3ex + 1)10 /10 ℜ ‫ ﻫﻲ‬f ‫ƒ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬( ) ( )f ′(x) = 10 5e2x + 3ex +1 9. 10e2x + 3exf ′(x) = 10ex (10ex + 3)(5e2x + 3ex +1)9 f (x) = x2 + 2x /12 e2x − 4D={x,x∈ℜ :e2x-4≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬={x,x∈ℜ :2x≠ln4}=ℜ -{ln(2)}:‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬( ) ( )f ′(x) =(2x + 2) e2x − 4 − 2e2x x2 + 2x (e2x − 4)2f (x) = ln x + 3 x /13 D={x,x∈ℜ (x<0) ‫(ﻭ‬x≥0)}: ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]0 ;+∞[ :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬D ‫ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‬x ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ‬f ′(x) = 1 + ln(3) e x.ln(3) x 2x

‫ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ‬ ‫‪= 1 + ln(3) 3 x‬‬ ‫‪x 2x‬‬‫)‪3 = ex x.ln(3‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪f (x) = x2 + e x−1 /14‬‬ ‫}‪D={x,x∈ℜ :x-1≠0‬‬ ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫}‪=ℜ-{1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ D‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪− 1) 2‬‬ ‫‪e x−1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ Fλ‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺤﻴﺙ ﺜﺎﺒﺕ ‪ λ‬ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫[‪I=]-∞ ;0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x) = ex +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 5x +1/1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪Fλ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.I‬‬ ‫‪ f (x) = 2e0,5x + 7 x /2‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.0,5.e 0 , 5 x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7x‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪= 4.0,5.e0,5x + 7x‬‬ ‫‪Fλ (x) = 4.e0,5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ f (x) = 5xex2 + 3e5x /3‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪xe‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.e5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫= )‪Fλ (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪e5x‬‬ ‫‪+λ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ f (x) = (x2 + 2)ex3+3x /4‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e x3+3x‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪Fλ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e x3 +3 x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪I=]0 ;+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪/5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪( )f (x) = − − e−x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎜⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫⎝‬ ‫‪x2‬‬ ‫⎠‬ ‫‪ex‬‬‫‪Fλ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−e−x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ex‬‬‫‪ f (x) = (e2x + 3)(e3x + e−x −1) /6‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪f (x) = e5x + ex + e2x + 3e3x + 3e−x + 3‬‬

‫=) ( ) (‬‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5e5 x‬‬ ‫‪+ ex + 3e3x − 3 − e−x‬‬ ‫‪+3‬‬‫‪Fλ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e5x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪e3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3e − x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪I=ℜ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪+ 5e2x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪e6x‬‬ ‫‪/7‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪( )f (x) = e−6x 3ex + 5e2x +1‬‬ ‫‪= 3e−5x + 5e−4x + e−6x‬‬ ‫=) ( ) ( ) (‬‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪− 5e−5x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪− 4e−4x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪− 6e−6x‬‬‫‪Fλ‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪e −5 x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪e −4 x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e −6 x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪I=ℜ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪2ex +1 /8‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2e x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2ex +1‬‬‫‪ ) Fλ‬ﻷﻥ ‪(2ex+1>0‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln(2e x‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫[‪I=]-∞ ;0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 + e−x‬‬ ‫‪/9‬‬ ‫‪x3 − 3e−x‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3e− x‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3e−x‬‬‫‪ ) Fλ‬ﻷﻥ‪( x3-3e-x<0‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln(−‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3e−x‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬‫‪ f (x) = ex.(e2x + 2ex +1)10 /10‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪( )f (x) = ex ex +1 10‬‬ ‫‪( )Fλ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ex +1 11 + λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ /11‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻔﺭﻉ)‪(10‬‬ ‫= )‪ f (x‬ﻭ ‪I=ℜ‬‬ ‫‪e5x + 2x‬‬ ‫‪e5x + 5x2 + 2 /12‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ I‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5e5x +10x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪e5x + 5x2 + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5e5x +10x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪e5x + 5x2 + 2‬‬‫‪Fλ‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪e5x + 5x2 + 2 + λ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫‪/1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:f ′‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﻷﻨﻬﺎ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻜﻼﻫﻤﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ℜ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪f ′(x) = (2x −1)ex + (x2 − x +1)ex‬‬

‫‪= (x2 + x)ex‬‬‫‪/2‬ﺃ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ ، xl(x2+x)ex‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪0‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ xl(x2+x)ex‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ƒ ﻨﺤﺴﺏ ‪ G‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ ℜ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪G(x) = ∫ (t 2 + t)etdt + 2‬‬ ‫‪0‬‬‫‪) = [(t 2 − t + 1)et ]0x + 2‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺤل ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪((1‬‬ ‫‪= (x2 − x +1)ex +1‬‬ ‫‪ln 2‬‬‫ﺏ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ J‬ﺤﻴﺙ ‪∫J = (t 2 + t + 1)et .dt :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪.ℜ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∫G(x) = (t 2 + t)et dt + 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪G(ln(2)) = ∫ (t 2 + t)etdt + 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪( )= (ln(2))2 − ln(2) +1 eln2 +1‬‬ ‫‪= 2(ln 2)2 − 2 ln 2 + 3‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬‬ ‫‪ln 2 ln 2‬‬ ‫‪J = ∫ (t 2 + t)et .dt + ∫ etdt‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪= G(ln 2) − 2 + ∫ etdt‬‬ ‫‪0‬‬‫=‬ ‫‪2(ln‬‬ ‫‪2)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪[et‬‬ ‫‪]ln 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 2(ln 2)2 − 2 ln 2 + 2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪+ 5ex +10‬‬ ‫‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ‪ ،ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪ /1‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ c،b،a‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‪ x‬ﻓﻲ‪:ℜ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ae x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ce x‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ،ℜ‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ c،b،a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‪.‬‬‫‪( )( )aex‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ce x‬‬ ‫=‬ ‫‪aex + b ex + 2‬‬ ‫‪+ cex‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪ae x‬‬ ‫‪+ (2a + b + c)ex‬‬ ‫‪+ 2b‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ae x‬‬ ‫‪+b+‬‬ ‫‪ce x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺤل‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪a=3‬‬ ‫‪2a+b+c=5‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪2b=10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ (a=3‬ﻭ )‪ (b=5‬ﻭ )‪. (c=-6‬‬ ‫‪ln 5‬‬ ‫‪ /2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ K‬ﺤﻴﺙ‪∫K = ( f (x) − 5)dx :‬‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺴﺅﺍل)‪:(1‬‬ ‫‪f (x) = 3e x + 5 − 6e x‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) − 5‬‬ ‫=‬ ‫‪3e x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6e x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ex +2‬‬‫‪K‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 5‬‬ ‫‪(3e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6e x‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫=‬ ‫‪[3e x‬‬ ‫‪− 6 ln(e x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)]llnn‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫‪ex +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪K = (3 × 5 − 6 ln(7)) − (3 × 3 − 6 ln(5)) :‬‬‫)‪= 6 − 6(ln 7 − ln 5‬‬‫⎟⎞ ‪= 6⎛⎜1 − ln 7‬‬ ‫⎠‪⎝ 5‬‬ ‫⎟⎞ ‪= 6⎜⎛ ln e − ln 7‬‬ ‫⎠‪⎝ 5‬‬ ‫‪= 6 ln 5e‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬ ‫‪ /1‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪ c،b،a‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪ℜ‬‬‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ‪ ℜ‬ﻷﻨﻬﺎ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻜﻠﺘﺎﻫﻤﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪g(x) = (2ax + b)ex + (ax + bx + c)ex‬‬ ‫‪= (ax 2 + (2a + b)x + b + c)e x‬‬‫‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪g′(x)=f(x) :‬‬ ‫‪a=3‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪2a+b=-1‬‬ ‫‪b+c=7‬‬ ‫و هﺬا ﻳﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪a=3‬‬ ‫‪b=-7‬‬ ‫‪c=14‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪ g‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪:‬‬ ‫)‪(a=3‬و)‪ (b=-7‬و )‪.(c=14‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪ /2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻀﺒﻭﻁﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ‪ I‬ﺤﻴﺙ ‪∫I = f (x)dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ‪ ℜ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬‫‪∫I = f (x)dx = [g(x)]0−1 = [(3x2 − 7x +14)e x ]0−1‬‬ ‫‪0‬‬

‫أي أن ‪I = 24e −1 − (14 ×1) = 24e −1 − 14 :‬‬ ‫‪24 − 14e‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪e‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪:11‬‬‫ﺗﻌﻴﻴﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪،f‬ﺛﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت ﻋﻨﺪ آﻠﺤﺪ ﻣﻦ ﺣﺪود ﻣﺠﺎﻻت اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫‪:D‬‬ ‫‪f (x) = 5e x + 3x 2 + 2 /1‬‬‫‪5ex → 0‬‬ ‫ƒ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪D=ℜ =]-∞ ;+∞[:‬‬‫∞‪(3x2 + 2) → +‬‬ ‫ƒ و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim f (x) = +∞ :‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻷﻧﻪ ﻟﻤﺎ ﻳﻜﻮن ‪ x → −∞ :‬ﻳﻜﻮن ‪:‬‬‫∞‪5ex → +‬‬ ‫ƒ و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim f (x) = +∞ :‬‬‫∞‪(3x2 + 2) → +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﻷﻧﻪ ﻟﻤﺎ ﻳﻜﻮن ‪ x → +∞ :‬ﻳﻜﻮن ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪xe x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ƒ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪D={x ;x∈ℜ :x2≠0}:‬‬ ‫[∞‪=]-∞ ;0[∪]0 ;+‬‬ ‫ƒ و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪lim f (x) = 0 :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ lim xex‬ﻭ‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lim f (x) = +∞ :‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ lim xex‬ﻭ‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫ƒ‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪xe‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xe x‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪x −1‬‬

D={x ;x∈ℜ :x-1≠0}: ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]-∞ ;1[∪]1 ;+∞[ lim f (x) = +∞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→+∞ lim xex = +∞ ‫ﻭ‬ lim 2x +1 = 2 :‫ﻷﻥ‬ x −1 x→+∞ x→+∞ lim f (x) = 2 : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ lim xex = 0 ‫ ﻭ‬lim 2x +1 = 2 :‫ﻷﻥ‬ x→−∞ x −1 x→−∞ lim f (x) = −∞ ‫ﻭ‬ lim f (x) = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ x→1 x→1 x<1 x>1lim 2x +1 = −∞ ‫ﻭ‬ lim 2x +1 = +∞ ‫ﻭ‬ lim xe x =1 :‫ﻷﻥ‬ x −1 x −1 x→1 x→1 x→1 x<1 x>1 f (x) = 2x +1− ex /4 D=]-∞ ;+∞[: ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ lim f (x) = −∞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ex → 0 : ‫ ﻴﻜﻭﻥ‬x → −∞ : ‫ﻷﻨﻪ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬(2x +1) → −∞ 1 xl→im+∞⎛⎝⎜⎜ x ex ⎞⎟⎠ ⎟⎞⎟⎠lim f (x) = x⎛⎜ 2 + − x = −∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ ⎝x→+∞ 1 →0 : ‫ ﻳﻜﻮن‬x → +∞ : ‫ﻷﻧﻪ ﻟﻤﺎ ﻳﻜﻮن‬ x f (x) = (3x2 − 7)ex /5 ex → +∞ x D=]-∞ ;+∞[: ‫ƒ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ (3x2 − 7) → +∞ lim f (x) = +∞ : ‫ƒ و ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ex → +∞ x→+∞ : ‫ ﻳﻜﻮن‬x → +∞ : ‫ﻷﻧﻪ ﻟﻤﺎ ﻳﻜﻮن‬

lim f (x) = x→lim−∞⎜⎛⎝⎜ 3x2 − 7 .x 2e x ⎟⎠⎞⎟ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ x→−∞ x2 = 3×1 =0 f (x) = 5x 2 − 7x + 9 − e x /6 D=]-∞ ;+∞[: ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ lim f (x) = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ x→−∞(5x2 − 7x + 9) → +∞ : ‫ ﻴﻜﻭﻥ‬x → −∞ : ‫ﻷﻨﻪ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬ex → 0 ⎡ ⎜⎛⎝⎜ 7 9 ex ⎠⎞⎟⎟⎥⎤⎦ x→lim−∞⎢⎣ x x2 x2 lim f (x) = x 2 5 − + − : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒx→−∞ = −∞ f (x) = 3e x +2 /7 ex −1 D={x ,x∈ℜ :ex-1≠0}: ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;0[∪]0 ;+∞[ lim f (x) = −2 : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ ex → 0 : ‫ ﻴﻜﻭﻥ‬x → −∞ : ‫ﻷﻨﻪ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬ lim f (x) = −∞ ‫ﻭ‬ lim f (x) = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ x→0 x→0 x<0 x>0 ( )lim ( )x→+∞ f (x) = lim e x 3 + 2e −x : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→+∞ ex 1− e−x = lim 3 + 2e −x x→+∞ 1− e−x =3

lim e−x = 0 ‫ﻷن‬ x→+∞ f (x) = 3x 4 e x + 2 /8 x8 + 6 D={x ,x∈ℜ :x8+6≠0}: ‫ƒ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ =]- ∞;+∞[ lim f (x) = 0 : ‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ƒ x→−∞3x4ex → 0 : ‫ ﻳﻜﻮن‬x → −∞ : ‫ﻷﻧﻪ ﻟﻤﺎ ﻳﻜﻮن‬(x8 + 6) → +∞ 3. ex 2 x4 + x8 lim f (x) = lim 6 : ‫ƒ و ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ x→+∞ x→+∞ 1+ x8 = +∞ lim ex = +∞ ‫ﻷﻥ‬ x→+∞ x4 f (x) = 2e x − x3 /9 ex −2 D={x ,x∈ℜ :ex-2≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;ln2[∪]ln2 ;+∞[lim f (x) = −∞ ‫ﻭ‬ lim f (x) = +∞ : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ƒx→ln 2 x→ln 2x<ln 2 x>ln 2( lim ex = 0 ‫ )ﻷﻥ‬lim f (x) = −∞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ x→−∞ ( )lim ( )x→+∞ f (x) = lim ex 2 − x3e−x : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ex 1 − 2e−x x→+∞ = lim 2 + (−x)3e−x 1− 2e−x x→+∞ =2

f (x) = 2x5 − e3x+2 + 1 /10 D={x ,x∈ℜ :e3x+2+1≥0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;+∞[ ( lim e3x+2 = 0 ‫ )ﻷﻥ‬lim f (x) = −∞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ x→−∞( ( ))lim f (x) = lim 2x5 − e e + e2x x+2 −2 x : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x→+∞ x→+∞ ( )= lim 2x5 − ex e + ex+2 −2x x→+∞ ( )= lim ex 2x5e−x − e + ex+2 −2x x→+∞ ( )= lim ex − 2(−x)5 e−x − ex+2 + e−x x→+∞ = −∞ f (x) = 3x3 + 5x2 +x− 2e x /11 x2 + 4e 2 x D={x ,x∈ℜ :x2+4e2x ≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;+∞[ x 3 ⎜⎝⎜⎛ 3 + 5 + 1 2e x ⎠⎟⎟⎞ x x2 − x3 lim f (x) = lim : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ƒx→−∞ x→−∞ x 2 ⎜⎛⎝⎜1 + e2x ⎟⎟⎠⎞ x2 4 x⎜⎝⎛⎜ 3 + 51 2 ex ⎠⎟⎞⎟ x + x2 − x3 = lim x→−∞ e2x x2 1 + 4. = −∞( )lim( )x→+∞f (x) = lim ex 3x 3e −x + 5x 2 e −x + xe −x −2 : ‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ x→+∞ e x x 2e −x + 4e x

= lim 3x 3e − x + 5x 2 e −x + xe −x − 2 x→+∞ x 2e −x + 4e x =0 x f (x) = (x −1)e x−1 /12 D={x ,x∈ℜ :x-1 ≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;1[∪]1 ;+∞[ lim f (x) = −∞ ‫ ﻭ‬lim f (x) = +∞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞ x→+∞ x lim f (x) = lim x. e x−1 : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ xx→1 x→1 x>1 x>1 x −1 = +∞ x ‫ ﻫﻭ‬y ‫ ) ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬lim e y = +∞ ‫ﻷﻥ‬ ( x −1 yy→+∞ lim f (x) = 0 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ƒ x→1 x<1 ( x ‫ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻫﻭ‬y) lim e y =+ ‫ﻷﻥ‬ x −1 y→−∞ f (x) = ex −1 /13 x D={x ,x∈ℜ :x ≠0} : ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ =]- ∞;0[∪]0 ;+∞[ lim f (x) = lim⎜⎛ ex − 1 ⎟⎞ : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→+∞ ⎝ xx→+∞ x ⎠ = +∞ lim f (x) = 0 : ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x→−∞

‫‪lim f (x) = lim ex − e0‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪xx→0‬‬ ‫)‪= exp′(0‬‬ ‫)‪(exp′(x)=ex‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12‬‬ ‫‪ /1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ )‪ ، f(x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﺒﺩﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻭ ﻜﺄﻥ ‪:‬‬ ‫‪g(x)=f(x)+3‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (Cg‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪3 j‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻅﻠل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A = ∫ (g(x) − f (x))dx‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪A = ∫ 3xdx = [3x]1−1 :‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪A=6‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ b،a‬ﻭ ‪ c‬ﺜﻭﺍﺒﺕ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪= (ax2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪bx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c)e−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫‪f/3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﺃ( ﺤﺴﺎﺏ )‪ f ′(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ b،a‬ﻭ ‪x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ℜ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪(2ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b)e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(ax2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪bx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c)⎛⎜ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎟⎞‬ ‫‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫=‬ ‫⎛⎜‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ax 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bx‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⎟⎞e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬

‫‪⎡⎢⎣−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ax 2‬‬ ‫‪(2a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b)x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c⎦⎥e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻭ ﻟﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (0) = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪C=1 :‬‬‫= )‪f ′(x‬‬ ‫‪⎡⎣⎢−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎥⎦e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬‫ﺏ( ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ،‬ﻨﻌﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺜﻡ ﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ f(x‬ﻭ )‪ g(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ‬ ‫‪.x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﺩﻴﻨﺎ‪ f(1)=0 :‬ﻭ ‪f(-1)=0‬‬ ‫‪⎧⎪(a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)e−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎨‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫⎪⎩‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪− b +1)e2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬‫‪a = −1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪a +b+1= 0‬‬‫‪b=0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪a − b +1 = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻓﻲ‪ ℜ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(−x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)e−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(−x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)e−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﻭ ﻤﻊ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻌﺎﻟﻴل‪،‬ﻨﺠﻴﺏ ﻋﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫‪/1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪Dg‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ Dh‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.h‬‬ ‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‪ ℜ‬ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‪.ℜ‬‬‫ƒ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ]‪ ]-∞ ;1‬ﻭ ‪. f(1)=0‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﺃﺠل‪ x‬ﻤﻥ [∞‪[1;+‬‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ})‪(f(x)>0‬ﻭ )‪Dy={x,x∈ℜ (x∈Df‬‬ ‫[∞‪=]1 ;+‬‬‫} )‪Dy={x,x∈ℜ (x∈Df‬‬ ‫‪=ℜ‬‬ ‫‪ /2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ )‪g(2)،h(2)،h(1‬‬ ‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪h(1)=ef (1)=e0=1 :‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪h(2)=ef (2)=e3 :‬‬‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g(2)=ln(f(2))=ln(3) :‬‬‫‪ /3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ )‪ h′(2‬ﻭ )‪g′(2‬‬‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f′ :‬ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)‪ (t‬ﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ)‪ (t‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ )‪ A1(2 ;3‬ﻭ )‪ A2(-1 ;0‬ﻭ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬‫‪f ′(2) = f (2) − f (−1) = 3 − 0 = 1‬‬‫)‪2 − (−1‬‬ ‫‪2 +1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪f ′(2)=1‬‬‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ ℜ‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ h‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ x‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪h′(x)=f ′(x).ef(x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪h′(2)=f ′(2).ef(2‬‬ ‫‪=1×e3‬‬ ‫‪=e3‬‬‫ƒ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ [∞‪ ]1 ;+‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ g‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫)‪g′(x) = f ′(x‬‬ ‫)‪f (x‬‬‫)‪g′(2) = f ′(2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪f (2‬‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:16‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪/1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺭﻭﺭ ﺒﺎﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-∞ -2‬‬ ‫∞‪0+‬‬‫‪f ′(x) - + -‬‬‫∞‪f′(x) +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ℜ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ′(x)=-x(x+2)e-x :‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ‪:‬‬‫ƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim f (x) = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=0‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪lim f (x) = lim (x + 2)2 e−x :‬‬ ‫∞‪xx→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻑ ﺠﻭﺍﺭ)‪ (∞-‬ﻓﺭﻉ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻤﻨﺤﺎﻩ ﻫﻭ ﻤﻨﺤﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪ /3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(Cf‬‬ ‫‪10y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬‫)‪(Cf‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪ /4‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ g(x) = (ax2 + bx + c)e− x‬ﺤﻴﺙ ‪ c،b،a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻔﺭﻭﻀﺔ‪.‬‬ ‫ﺃ(ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪ c،b،a‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.ℜ‬‬‫ƒ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻷﻨﻬﺎ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻜﻠﺘﺎﻫﻤﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬‬ ‫ƒ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.ℜ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪g′(x) = (2ax + b)e−x − (ax2 + bx + c)e−x :‬‬ ‫‪= [−ax2 + (2a − b)x + b − c]e−x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪ ℜ‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪g′(x)=f(x) :‬‬ ‫‪-a=1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪2a-b=4‬‬ ‫‪b-c=4‬‬ ‫‪a=-1‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪b=-6‬‬ ‫‪c=-10‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ g‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺴﺄﻟﺘﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪g(x) = (−x2 − 6x −10)e−x‬‬‫ﺏ(ﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫‪:x=-2،x=0،y=0‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪0‬‬‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫∫‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x)dx‬‬ ‫‪=[(− x 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪10)e‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪]0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪A=-10+2e2 :‬‬‫‪/5‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪، (1).....mex+x2+4x+4=0‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ،ℜ‬ﻭ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻤﻌﻠﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﺃ(ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪(1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪: f(x)=m‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ℜ.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪e-x(-mex+x2+4x+4)=0‬‬

‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪–m+(x2+x4+x) e-x=0‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪m= (x2+x4+x) e-x‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪f(x)=m‬‬ ‫ﺏ(ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪(1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆(ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=m‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻫﻭ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)∆(‬‫ﺠـ( ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‪ ،‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ، m‬ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻭ ﻜﺫﺍ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻭﺠﻭﺩﻫﺎ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ﻭ ﻜﺫﺍ ﻤﻥ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ ، m<0‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪(1‬ﻟﻴﺴﺕ ﻟﻬﺎ ﺤﻠﻭل ﻓﻲ ‪.ℜ‬‬‫*ﻟﻤﺎ ‪ ، 0<m<4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﻠﻭل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤﻤﻜﻥ ﺤﺘﻰ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﻤﻨﻬﺎ ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫*ﻟﻤﺎ ‪ ،m=4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺤﻼﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫*ﻟﻤﺎ ‪ ، m>4‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ)‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ ، m=0‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:17‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪=1− 2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪ex −1‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:f‬‬‫ﺒﺄﺘﺒﺎﻉ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫)‪-∞ -ln(2‬‬ ‫∞‪0 ln(2) +‬‬‫)‪f ′ (x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+-‬‬‫∞‪f (x) +‬‬ ‫)‪+∞ -1-2ln(2‬‬ ‫)‪2+2ln(2‬‬ ‫∞‪-∞ -‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ℜ-{0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2e2x + 5ex‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(ex −1)2‬‬

‫‪ •/2‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x<0 x>0‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ x=0‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ ، (Cf‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫•ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=-2x+1‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ‪.∞-‬‬ ‫(‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪− (−2x‬‬ ‫= ))‪+1‬‬ ‫‪lim⎜⎛ −‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞⎟‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫∞‪⎝x→−‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫⎠‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=-2x+1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫‪(Cf).‬‬ ‫ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 1‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ∞ ‪.+‬‬ ‫= ))‪lim ( f (x) − (−2x‬‬ ‫‪x→lim+∞⎜⎝⎛⎜1 −‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎠⎟⎞⎟‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪=0‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪y=-2x‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪/3‬ﺇﻨﺸﺎﺀ )‪:(Cf‬‬ ‫‪8y‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0 i→ 1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬