دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني شعب علمية سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫• ﺍﻟﻤﺘﺘـﺎﻟﻴـﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺩﺩﻴـﺔ‬ ‫• ﻤـﺭﺠــﺢ ﺍﻟـﻨـﻘـﻁ‬‫• ﺍﻟﺠــﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴـﻠـﻤـﻲ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴــﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺒﺎﻟﺩﻟﻴل ‪ -‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺍﻟﺩﺍﻟﻲ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ – ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ -‬ﺘﻭﻟﻴﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺃﻭ ﻤﺠﺩﻭل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (un‬ﻭ ﺍﻟﺤﺩ ‪un‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫‪ p‬ﻭ ﺤﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪ -‬اﻟﻤﺘﺒﺎﻋﺪة‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻗﺘﺭﺡ ﺍﻟﺨﻤﺱ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻤﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻜل ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺌﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ( ‪0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; . . .‬‬ ‫;‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪;...‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺟـ( ‪1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; . . .‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪) U1‬ﻨﻘﺭﺃ ‪ U‬ﺩﻟﻴل ‪ (1‬ﺃﻭ ‪ U‬ﻟـ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪.‬‬ ‫‪ U 2‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪ U 3‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪........‬ﺍﻟﺦ‪.......‬‬ ‫ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪......... U 3 = 5 ; U 2 = 3 ; U1 = 1‬ﺍﻟﺦ‪.......‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪U10 ;.....U5 ; U4 :‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﻌﺭﻑ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ ‪. V1 :‬‬ ‫ﻜل ﺤﺩ ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻗﺒﻠﻪ‪.‬‬ ‫= ‪V2‬‬ ‫ﺍﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫= ‪V3‬‬ ‫‪ V2‬ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ‪.......‬؛‬ ‫‪V4 , V5‬‬ ‫‪ V3‬ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ‪.......‬؛‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪, . . . , V10 :‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫‪-(1‬ﺃ( ‪0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18‬‬‫;‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬‫ﺟـ( ‪1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100‬‬ ‫‪u4 = 7 ; u5 =9 ; u6 =11 ; u7 =13‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪u8 =15 ; u9 =17 ; u10 =19‬‬

‫‪v2 = 6‬‬ ‫‪ v2 (3‬ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ‪ v1‬؛‬ ‫‪v3 = 12‬‬ ‫‪ v3‬ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ‪ v2‬؛‬‫‪v4 = 24 ; v5 =48 ; v6 =96 ; v7 =192‬‬‫‪v8 = 384 ; v9 =768 ; v10 =1536‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺇﺩﺨﺎل ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ؛ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪ U0‬ﺤﻴﺙ ‪U0 = - 12 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﺒﻴﻥ ﺤﺩﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻫﻭ ‪3,5 :‬‬‫ﺃﻱ ﻓﻤﺜﻼ ‪ U7 - U6 = 3,5 :‬ﺃﻭ ‪U 24 - U23 = 3,5‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ . U540 - U539 = 3,5‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ U1 - U0 :‬؟‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.5‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ‪. U1 = 5 :‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺒﻴﻥ ﺤﺩﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ‬‫‪U2 - U1 = .... ; U3 - U2 = ... ; U10 - U9 = ...‬‬ ‫ﻫل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺜﺎﺒﺕ ؟‬ ‫‪ - 2‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﺤﻴﺙ ‪U0 = 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺒﻴﻥ ﺤﺩﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻫﻭ ‪ 0,5 :‬ﺃﻱ ﺒﺘﻌﺒﻴﺭ ﺁﺨﺭ ‪:‬‬‫‪U6 - U5‬‬ ‫‪= 0,5‬‬ ‫;‬ ‫‪U16 - U15‬‬ ‫‪= 0,5‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪U5‬‬ ‫‪U15‬‬‫؟ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪. U1‬‬ ‫‪U1 - U0‬‬ ‫‪ .‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪U - U127 126‬‬ ‫‪= 0,5‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U 126‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﺤﻴﺙ ‪U0 = 2 :‬‬ ‫ﻜل ﺤﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻗﺒﻠﻪ ﻓﻲ ‪. 3‬‬‫‪U1 = 3 × U0 = 6 ; U2 = 3 × U1 = 18‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ‪:‬‬‫‪U1 - U0‬‬ ‫; ‪= ...‬‬ ‫‪U2 - U1‬‬ ‫; ‪= ...‬‬ ‫‪U9 - U8‬‬ ‫‪= ...‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪U8‬‬ ‫ﻫل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺜﺎﺒﺕ ؟‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ u1 − u0 = 3,5 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪u1 = −8,5 ; u2 = -5 ; u3 = -1,5 ; u4 = 2‬‬‫‪u5 = 5,5 ; u6 = 9 ; u7 = 12,5 ; u8 = 16 ; u9 = 19,5‬‬ ‫ﺏ( ‪u1 = 5 ; u2 = 10 ; u3 = 15 ; u4 = 20 ; u5 = 25‬‬ ‫‪u6 = 30 ; u7 = 35 ; u8 = 40 ; u9 = 45 ; u10 = 50‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪u2 − u1 = u3 − u2 = u4 − u3 = u5 − u4 = u6 − u5 :‬‬ ‫‪u7 − u6 = u8 − u7 = u9 − u8 = u10 − u9 = 5‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪:‬‬ ‫‪u1 − u0‬‬ ‫=‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺃ(‬ ‫‪u0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪u1 = 0,5u0 + u0 = 1,5u0 = 1,5 :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ ‪:‬‬‫‪u2 = 2,25 ; u3 = 3,375 ; u4 = 5,0625 ; u5 = 7,59375‬‬‫‪u6 = 11,390625 ; u7 = 17,0859375‬‬‫‪u8 = 25,62890625 ; u9 = 38,443359385‬‬

‫ﺏ( ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ ‪:‬‬‫‪u0 = 2 ; u1 = 6 ; u2 = 18 ; u3 = 54 ; u4 = 162 ; u5 = 486‬‬ ‫‪u6 = 1458 ; u7 = 4374 ; u8 = 13122 ; u9 = 39366‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩﺍﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ‪:‬‬‫‪u1 − u0‬‬ ‫=‬ ‫‪u2 − u1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪...‬‬ ‫‪u9 − u8‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪u1‬‬ ‫‪u8‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬ ‫‪ -I‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ‪ ¥‬ﻨﺤﻭ ¡‬ ‫¡ →‪U : ¥ ‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ U‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪n a Un‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ Un‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻨﻔﻀل ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺒﺎﻟﺩﻟﻴل ‪ Un‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺭﺃ ‪:‬‬ ‫\"‪ U‬ﺩﻟﻴل ‪ \"n‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺍﻟﺩﺍﻟﻲ )‪ U (n‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺭﺃ \" ‪ U‬ﻟـ ‪\" n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ . U‬ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﻜﺫﻟﻙ ‪ (Un )n∈¥‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪ U0‬؛‬ ‫ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ * ‪ (Un )n∈¥‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪. U1‬‬ ‫‪ -II‬ﻜﻴﻑ ﹸﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ) :‬ﺘﻭﻟﻴﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ (‬ ‫‪ -1‬ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪U10‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪(-1)n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫=‬ ‫‪81‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪3n + 1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 2‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪n‬‬‫‪ -‬ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪ Un = f (n) :‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ )ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a ; + ∞ :‬ﻤﻊ ‪ ( a > 0‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ )‪ f (n‬ﺍﻟﺘﻲ[ [‬‫ﺘﺄﺨﺫﻫﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ ،‬ﺘﻌﺭﻑ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪Un = f (n) :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Un = f (n) : n‬‬ ‫‪f : x → 2 x2 - 1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪U17 = 2 × 172 - 1 = 577 :‬‬ ‫‪Un+1 = 2 (n + 1)2 - 1 = 2n2 + 4n + 1‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪ U 0‬ﻭﻋﻼﻗﺔ )ﺘﺴﻤﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ( ﺘﺴﻤﺢ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﺃﻱ ﺤﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻗﺒﻠﻪ ‪ ،‬ﻨﻌﻴﻥ ﻋﻤﻭﻤﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬‫‪Un+1 = 3 Un - 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ U 0 = 5‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﺸﻴﺌﺎ ﻓﺸﻴﺌﺎ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪U1 = 3U0 - 2 = 13 ; U2 = 3U1 - 2 = 37‬‬ ‫‪U3 = 3U2 - 2 = 109 ,.....‬‬ ‫ﻫﻨﺎ ﻨﻌﺒﺭﻋﻥ ‪ Un+1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ Un‬ﺃﻱ ‪Un+1 = f (Un ) :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a 3 x − 2 :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ، I‬ﻓﺈﻥ )‪ f(x‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻜﺫﻟﻙ ‪ .‬ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ‪U 0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ U 0‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪،‬‬‫) ‪Un+1 = f (Un‬‬ ‫‪ -III‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫ ﻜﺎﻥ ‪ Un = f (n) :‬ﻓﺈﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﻫﻲ ﺘﺭﺍﻜﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻘﺭﺃ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪U0 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪U3 1‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪ - IV‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺍﺒﺘﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪ n ≥ n0‬ﻓﺈﻥ ‪Un+1 ≥ Un‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n ≥ n0‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪Un+1 ≤ Un‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪Un+1 = Un‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﺇﻤﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ﺇﻤﺎ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﺇﻤﺎ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻨﻘﻭل ﻋﻨﻬﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺭﺘﻴﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻤﻭﻤﺎ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪Un+1 − Un‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫) ‪ ( Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪Un = n 2 - n - 2 :‬‬‫‪Un+1 − Un = (n + 1)2 - (n + 1) - 2 - (n2 - n - 2) = 2n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪) Un+1 − Un > 0 :‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪.( n ≥ 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ ( Un ) :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪. U1‬‬

‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 1‬‬ ‫‪Un+1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ Un‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫*‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪2n‬‬ ‫) ‪ ( Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﻴﺙ‬ ‫‪3n‬‬‫‪2n‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪≠0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪U = 2n + 1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪U 3n + 1‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺃﻱ ‪Un + 1 < Un :‬‬ ‫‪Un + 1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( Un‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪Un = f (n) :‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ ( Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ Un = f (n) :‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪[ [. 0 ; +‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺈﻥ ) ‪ ( Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺈﻥ ) ‪ ( Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪3n - 1‬‬ ‫) ‪ ( Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪3x - 1‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x + 2 :‬‬‫‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ¡ - -2‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞ ‪ 0 ; +‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ} { [ [‬ ‫∞ ‪ 0 ; +‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪[ [x ≥ 0 : x‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪f ′( x) > 0 :‬‬ ‫)‪f ′( x‬‬ ‫=‬ ‫‪3 (x + 2) - (3x‬‬ ‫)‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪( x + 2)2‬‬ ‫‪+ 2)2‬‬ ‫‪(x‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞ ‪ 0 ; +‬؛ ﻟﻜﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪[ [: n‬‬ ‫)‪ Un = f (n‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ ( Un ) :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﺎﺌﻤﺔ ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺨﻤﺱ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺼﺔ ‪.‬‬ ‫… ; … ; … ; … ; ‪-3 ; -7 ; … ; -15 ; -19‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪1 ; 4 ; 9 ; ...; 25 ; ... ; 49 ; ...; ... ; 100 ; ... (2‬‬ ‫‪-3 ; 3 ; -3 ; 3 ; ... ; 3 ; ...; ... ; -3 ; ...; ... (3‬‬ ‫‪1 ; 1,05 ; 1,1 ; 1,15 ; … ; … ; … ; … ; 1,4‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪2187 ; 729 ; … ; 81 ; ... ; 9 ; 3 ; 1 ; ... ; ...‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪33 3‬‬ ‫‪2 ; 4 ; 8 ; ...; ...; ...; ...; ...‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﻤﺱ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ Un‬ﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪. U0‬‬‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫؛‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪ Un = n2 + 1 (1‬؛‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪ Un = n + 3 (4‬؛ ‪Un = n3 + n (5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﻋﺒﺭ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻋﻥ ‪ Un+1‬ﻭ ‪ Un+2‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫‪Un = n2 - n (2‬‬ ‫‪ Un = 3n - 1 (1‬؛‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪n-3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪4n2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Un n∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪( ):‬‬ ‫‪2n + 3‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺕ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﺒﺭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻋﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪.‬‬‫‪Un−1 ; U2n ; U2n−3 ; U2n - 3 ; Un+1 ; Un + 1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ Un n∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬ ‫‪ U0 = 2‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Un+1 = 3Un - 5 : n‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪U1 ; U2 ; . . . ; U8 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬ ‫؛ ‪Un = n2 (3‬‬ ‫= ‪Un‬‬ ‫‪ Un = n3 (1‬؛ ‪n (2‬‬‫‪.‬‬ ‫= ‪Un‬‬ ‫‪-3n + 1‬‬ ‫؛ ‪(5‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, n ≥ 1 (4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ‪ Un+1 - Un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( )Un‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫؛‬ ‫‪Un = n2 + n (1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪4n + 5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪Un = n2 + 3 (3‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫؛ ‪Un = (n + 4)2 (6‬‬ ‫‪Un = n3 (5‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪Un = 2n2 + 5n - 1‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ . 1‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ -3 ; -7 ; -11 ; -15 ; -19 ; -23 ; -27 ; -31 ; -35 (1 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 (2 -3 ; 3 ; -3 ; 3 ; -3 ; 3 ; -3 ; 3 ;-3 ; 3 ; -3 (3 1 ; 1,05 ; 1,1 ; 1,15 ; 1,2 ; 1,25 ; 1,30 ; 1,35 ; 1,4 (4 (5 11 2187 ; 729 ; 243 ; 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1 ; 3 ; 9 (633 3 3 3 3 3 32 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 . 2‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ U0 = 1‫ ؛‬U1 = 2‫ ؛‬U2 = 5 ‫ ؛‬U3 = 10 ‫ ؛‬U4 = 17 (1U0 1 ‫؛‬ U1 = 1 ‫؛‬ U2 = 1 ‫؛‬ U3 = 1 ‫ ؛‬U4 = 1 (2 =2 3 4 5 6U0 = 1‫؛‬ U1 = 1 ‫؛‬ U 2 = 1 ‫؛‬ U3 1 ‫؛‬ U4 = 1 (3 2 4 =8 16U0 = 3 ‫ ؛‬U1 = 2 ‫ ؛‬U2 = 5 ‫ ؛‬U3 = 6 ‫ ؛‬U4 = 7 (4 U0 = 0 ‫ ؛‬U1 = 2 ‫ ؛‬U2 = 10 ‫ ؛‬U3 = 30 ‫ ؛‬U4 = 68 (5 . 3‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ Un+1 = 3(n+1) -1 = 3n + 2 (1 Un+2 = 3(n+2) -1 = 3n + 5 Un+1 = (n + 1)2 - (n+1) = n2 + n (2 Un+2 = (n + 2)2 − (n + 2) = n2 + 3n + 2 Un+1 = 1 ; Un+2 = 1 (3 n+4 n+5 n-2 n-1 Un+1 = n+2 ; Un+2 = n+3 (4

. 4‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬U0 = 0 ; U1 = 4 ; U2 = 16 ; U3 = 4 (1 5 7 64 100 U4 = 11 ; U5 = 13Un−1 = 4(n - 1)2 = 4n2 − 8n + 4 (2 2(n − 1) + 2n + 1 3 U2n = 4(2n)2 3 = 16n2 2(2n) + 4n + 3U2n−3 = 4(2n − 3)2 3 = 16n2 − 48n + 36 2(2n − 3) + 4n − 3U2n -3= 16n2 -3= 16n2 - 12n - 9 4n + 3 4n + 3Un+1 = 4(n + 1)2 3 = 4n2 + 8n+4 2(n + 1) + 2n+5Un +1= 4n2 + 1 = 4n2 + 2n + 3 2n+3 2n +3 . 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬U1 = 3 × 2 − 5 = 1 ; U2 = 3 × 1 − 5 = − 2U3 =3 × ( − 2) − 5 = −11 ; U4 = 3 × (−11) − 5 = −38U5 = 3(-38) -5 = -119 ; U6 = 3 × (-119) -5 = -362U7 = 3 (-362) -5 = - 1091 ; U8 = 3 (-1051) -5 = -3278

. 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ y y (2 (13 Un = n 5 Un = n32 41 3 0 1 2 3 4 5 6 x 2 (4 1y Un = 1 n43 0 12 x (3 Un = n22y1 (54 U4n = −3n + 1 3 52 x0 1 2 3 2 1 0 1 2 3x 0 1 2 3x

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬‫‪Un+1 = (n +1 )2 +n + 1 = n2 +3n +2‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ Un+1 - Un = 2n +2 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪Un+1 - Un > 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬‫= ‪Un+1 - Un‬‬ ‫)‪(n+2)-(n+3‬‬ ‫‪= (n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪(n+3)(n+2‬‬ ‫‪3)(n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un+1 - Un < 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬‫)‪Un+1 - Un = (n +1 )2 +3 - (n2 +3‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ Un+1 - Un = 2n +1 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪Un+1 - Un > 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬‫‪Un+1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫)‪(4n+9‬‬ ‫‪(2n +‬‬ ‫‪1) - (2n+3) (4n +‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪( 2n +‬‬ ‫)‪3 ) ( 2n + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪-6‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪(2n + 3) (2n +‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un+1 - Un < 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪Un+1 − Un = (n + 1)3 - n3 = 3n2 + 3n + 1 (5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un+1 - Un > 0 :‬‬‫‪Un+1 − Un = (n + 5)2 − (n + 4)2 = 2n +9‬‬ ‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un+1 - Un > 0 :‬‬‫‪Un+1 − Un = 2(n +1)2 + 5(n + 1) − 1 − (2n2 + 5n − 1) (7‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un+1 - Un = 4n + 7 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪Un+1 - Un > 0 :‬‬

‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻭ‪ r‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ .‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ r‬ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Un+1 = Un + r : n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪0 , 1 , 2 , 3 , 4 , , ….. , :‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 0‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪.1‬‬ ‫‪0 , 2 , 4 , 6 , 8 , ......,‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 2‬‬‫‪1 , 3 , 5 , 7 , 9 , …..,‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 1‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:2‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪Un = 5n - 2 :‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ 5‬ﻷﻥ ‪:‬‬‫‪Un+1 = 5 (4 + 1) - 2‬‬ ‫‪= 5n + 5 - 2‬‬ ‫‪= 5n - 2 + 5‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. Un+1 = Un + 5 :‬‬‫* ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪ Un = -3n + 4 :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺱ )‪. (-3‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﺎﺩﺓ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ‬ ‫) ‪ (Un+1 - Un‬ﺜﺎﺒﺕ ﺃﻱ ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ‪. n‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. r‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r > 0‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r < 0‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0=r‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (Un‬ﺜﺎﺒﺘﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪Un = -3n + 4‬‬ ‫]‪Un+1 - Un = [-3 (n + 1) + 4] - [-3n + 4‬‬ ‫‪= -3n – 3 + 4 + 3n – 4‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Un+1 - Un = -3 :‬ﺇﺫﻥ ‪ (Un ) :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ . r‬ﻭ ‪ U0‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬‫‪U0 = U0 + 0r‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪U1 = U0 + r = U0 + 1r‬‬‫‪U2 = U1 + r = U0 + 1 . r +r = U0 + 2r‬‬‫‪U3 = U2 + r = U0 + 2r + r = U0 + 3r‬‬‫ﺍﻟﺦ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪Un = U0 + nr‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﺤﻴﺙ ‪ n ≥ m‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪Un = Um + (n - m) r‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪−1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 4‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫) ‪(Un‬‬‫‪2‬‬‫‪U4 = U0 + 4r = 4 - 2 = 2‬‬ ‫؛‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫;‬ ‫‪U0‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪ Un = an + b :‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪U0 = b :‬‬ ‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. r = a‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪ y = ax + b‬ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻭﺍﺼﻠﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5x‬‬ ‫ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻡ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪Excel‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺒﻌﺩﺓ ﻁﺭﻕ ‪ .‬ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻤﺜﻼ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﻟﺨﻤﺱ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪ 5‬ﻭ‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. 3‬‬ ‫ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A1‬ﺜﻡ‬ ‫)‪ 8 (= 5 + 3‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ‬

‫‪ A2‬ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﺨﺎﻨﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﺜﻡ ﻨﻀﻊ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﻔل ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ‪ ،‬ﻭﻨﺒﻘﻰ ﻀﺎﻏﻁﻴﻥ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺄﺭﺓ )ﺒﺎﻟﺯﺭ ﺍﻷﻴﺴﺭ( ﻭﻨﺠﺭﻱ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺯﻟﻕ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﻔل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ P‬ﺤﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ‪:‬‬ ‫ﻋﺎﺩﺓ ﻤﺎ ﻴﺭﺍﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪S = Um + Um + 1 + .... + Up‬‬ ‫‪P–m+1‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪S = 1 + 2 + 3 + …+ n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪) S = 1 + 2 + 3 + …+ (n-1) + n :‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺘﺼﺎﻋﺩﻱ(‬ ‫‪) S = n + (n – 1) + …+ 2 + 1‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺘﻨﺎﺯﻟﻲ(‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(n + 1‬‬ ‫)‪ 2S = n (n + 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ P‬ﺤﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻓﻲ ﻨﺼﻑ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪* S = U0 + U1 + U2 + .... + Un−1‬‬ ‫ﻭ ﺍﻷﺨﻴﺭ‪.‬‬ ‫ﺒﺘﻌﺒﻴﺭ ﺃﺨﺭ‪:‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(U0‬‬ ‫) ‪+ Un-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬‫‪* S = U1 + U2 + .... + Un‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(U1‬‬ ‫) ‪+ Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S = Um + Um + 1 + .... + Up‬‬‫)ﻋ ﺪد اﻟﺤ ﺪود( = ‪S‬‬ ‫×‬ ‫ﻴﺮ‬ ‫ﺪ اﻷﺧ‬ ‫ﺪ اﻷول ‪ +‬اﻟﺤ‬ ‫اﻟﺤ‬ ‫‪2‬‬

‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪p‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(Um‬‬ ‫) ‪+ Up‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ U0 = 2‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪r = 5‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ Sn = U3 +.....+ Un :‬و ‪ . Sn = 6456‬ﺠﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪Um +....+Up :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ P = n :‬ﻭ ‪m = 3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻭ ‪n – 3 + 1 = n – 2 :‬‬ ‫× )‪Sn = (n - 2‬‬ ‫‪U3 + Un‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ U3 = U0 + 3r :‬ﻭ ‪Un = U0 + nr‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ U3 = 17 :‬ﻭ ‪Un = 2 + 5n‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪19 ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪(n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5n‬‬ ‫‪+ 19 ‬‬ ‫=‬ ‫‪6456‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪Sn = 6456 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺃﻱ ‪(n - 2) (5n + 19) = 2 × 6456 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ Sn2 + 9n − 12950 = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪∆ = (509)2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪n = 50 :‬‬ ‫)ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺴﺎﻟﺏ ﻤﺭﻓﻭﺽ(‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ؛ ‪ q‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪ .‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.n‬‬ ‫‪Un+1 = q . Un‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪... :‬؛ ‪ 64‬؛ ‪ 32‬؛ ‪ 16‬؛ ‪ 8‬؛ ‪ 4‬؛ ‪ 2‬؛ ‪ 1‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 1‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪q = 2‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪ Un = (-1)n‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪1‬‬ ‫ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ )‪ (-1‬ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻫﻲ ‪... :‬؛ ‪ 1‬؛ ‪ -1‬؛ ‪ 1‬؛ ‪ -1‬؛ ‪1‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Un‬ﺤﻴﺙ ‪ Un = 2 × 3n‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬‫‪ q = 3‬ﻷﻥ ‪Un+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = 3 × Un :‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪(q ≠ 0) q‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪U0 = U0 = U0 . q0‬‬ ‫‪U0 = q . U0 = q1 . U0‬‬ ‫‪U2 = qU1 = q . U0 . q1 = U0q2‬‬ ‫‪U3 = qU2 = q . U0 . q2 = U0q3‬‬ ‫ﺍﻟﺦ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﻨﺕ ) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. q‬‬‫‪. Un = U0 . qn‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻷﻭل ‪ 3‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ‬ ‫) ‪(Un‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪U5‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺤل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪َ m‬ﻭ ‪. Un = Um . qn - m : n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬ ‫‪ (Un )n∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 8‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 1,5‬‬ ‫)‪(q = 1,5 ; U1 = 8‬‬

‫ﻓﻤﺜﻼ ‪U6 = U1 . q5 = 8(1,5)5 = 60,75 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪U10‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪ (Un )n≥3‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪; U7 = 16 :‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪U10‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫=‬ ‫‪U7‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪U‬‬ ‫× ‪= q3‬‬ ‫‪U7‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫= ‪q3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪U7‬‬ ‫= ‪U3‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫‪= 81‬‬ ‫ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ‪U7 = q4 × U3‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪= 81‬‬ ‫×‬ ‫‪ -2 n−3‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺘﺒﺘﻪ ‪ n‬ﻫﻭ ‪ 3  :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ p‬ﺤﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‪ 1‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 9‬‬ ‫‪S = 1 + q + q3 + ... + qn−1‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬ ‫‪q . S = q + q2 + ... + qn−1 + qn‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪q . S = S - 1 + qn‬‬ ‫‪(1 - q) S = 1 - qn‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪1 - qn‬‬ ‫‪1-q‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ q‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪. 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪qn−1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 - qn‬‬ ‫‪1-q‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ P‬ﻋﺩﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ a‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ .q‬ﺤﻴﺙ ‪q ≠ 1 :‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪S = a + aq + aq2 + ... + aqn−1 :‬‬‫) ‪S = a (1 + q + q2 + .... + qn−1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫× ‪S=a‬‬ ‫‪1 - qn‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1-q‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ P‬ﺤﺩﺍ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺎ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ a‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ )‪ (q ≠ 1‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫×‬ ‫‪1 - qn‬‬ ‫‪1-q‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:1‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (tn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ t0 = 12‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 10‬‬ ‫‪ (a‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ tn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ‪.‬‬ ‫‪ (b‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪tn = 12 × 10n : n‬‬‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ ﻫﻭ ‪t7 = 12 × 107 = 120 000 000 :‬‬‫‪S‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫‪ 1 - 1020‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪(1020‬‬ ‫)‪- 1‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪ 1 - 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻟﺴﻜﺎﻥ ﻤﺩﻴﻨﺔ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒـ ‪ 4%‬ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ c‬ﻟﺴﻜﺎﻥ ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻴﻨﻘﺹ ﺒـ ‪ 5%‬ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﺸﻬﺭ ﺠﺎﻨﻔﻲ ‪ 2000‬ﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺘﻴﻥ ﻫﻭ ‪ 50000 :‬ﻨﺴﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ‪ C1 ; b1‬ﺒﻌﺩ ﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ C2 ; b2‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﺒﻌﺩ ﺴﻨﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺘﻴﻥ ‪ Cn ; bn‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬

‫‪b1 = 50000 + 50000 × 0,04‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫)‪= 50000 × (1,04‬‬ ‫‪(1‬‬‫‪C1 = 50000 - 50000 × 0,05 = 50000 × 0,95‬‬‫‪b2 = b1 × 1,04 = 52000 × (1,04) = 54080‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪C2 = C1 × 0,95‬‬ ‫‪ * (3‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺩﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ bn+1 = 1,04 × bn :‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ bn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ) (‬ ‫ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 50000‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 1,04 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. bn = 50000 × (1,04)n :‬‬ ‫* ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺩﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Cn + 1 = 0,95 . Cn :‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Cn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ) (‬ ‫ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 50000‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 0,95‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. Cn = 50000 × (0,95)n :‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫‪ Un 1‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪( ):‬‬ ‫‪Un = -5n + 4‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬‫ﻟﻠﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪( )Un+1 − Un :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un+1 − Un = - 5 (n + 1) + 4 - (-5n + 4) :‬‬ ‫‪= -5n – 5 + 4 + 5n – 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un+1 − Un = -5 :‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ Un :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). -5‬‬

‫‪ 2‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻴﻥ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‬ ‫‪ Un n∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪ U15 = 49 :‬ﻭ ‪( )U8 = 7‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪U0‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ r‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ‪ U15‬ﻭ ‪ U8‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ U0‬ﻭ ‪r‬‬ ‫ﺘﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U8 = U0 + 8r = 7 :‬ﻭ ‪U15 = U0 + 15r = 49‬‬ ‫ﺃﻱ‪ 7r = 42 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. r = 6 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ U0 + 8r = 7 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ U0 + 48 = 7 :‬ﺃﻱ‪U0 = − 41 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un n∈¥‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 6‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( ). -41‬‬‫‪ 3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ Un 1∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒـ ‪( )Un = 3 × 5n :‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Un n∈nx‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻋﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ) (‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬‫‪Un+1‬‬‫‪( ).‬‬‫‪Un‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻥ ‪Un n∈nv‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:n‬‬ ‫‪Un+1‬‬ ‫=‬ ‫‪3 × 5n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪3 × 5n‬‬‫‪ . Un+1 = 5Un‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ Un n∈nx :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). 5‬‬ ‫‪ Un 4‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬ ‫‪ U6 = 12‬ﻭ ‪ . U4 = 3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪. U0‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ q‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ‪ U6‬ﻭ ‪ U4‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ U0‬ﻭ ‪ q‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U6 = U0q6 = 12 :‬؛ ‪U4 = U0q4 = 3‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪q2 = 4 :‬‬ ‫‪U6‬‬ ‫=‬ ‫‪U0q6‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫‪U0q4‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺃﻱ ‪ q = 2‬ﺃﻭ ‪ q = −2‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪. q = 2 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ U4 = U0q4 = 3 :‬ﺃﻱ ‪U0 × 16 = 3 :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. U0 = 0, 1875 :‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪16‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ Un :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 2‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( ). 0,1875‬‬‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )U0‬‬‫‪ U0 = -7 (1‬ﻭ ‪ . r = 3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U10‬ﻭ ‪U15‬‬‫‪U8‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪ U5‬ﻭ‬ ‫‪.‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪U0 = 0‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ .‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U12‬ﻭ ‪U17‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= ‪U0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫* ‪ Un n∈¥‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )U1‬‬ ‫‪ U1 = -3 (1‬ﻭ ‪ . r = 2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U10‬ﻭ ‪U15‬‬ ‫‪ U1 = 0 (2‬ﻭ ‪ . r = −0, 3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U5‬ﻭ ‪U8‬‬ ‫‪ U1 = 3, 2 (3‬ﻭ ‪ . r = 0, 5‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U11‬ﻭ ‪U20‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )Un = n - 2 2 + 4 − n2 :‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ).‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪4n2 − 16‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫=‬‫‪( )Un‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )r‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ r‬ﻭ ‪ U0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪U15‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫؛‬ ‫‪U14‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ U3 = 3 2 + 1 (2‬؛ ‪U5 = 1 + 2‬‬ ‫‪ U10 = − 43 (3‬؛ ‪U20 = − 112‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )r‬‬ ‫‪ U0 = 1‬؛ ‪r = 3‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪S5 = U0 + U1 + ....... + U4‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪S20 = U0 + U1 + ....... + U19‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﺤﻴﺙ ‪ U0 = −120 :‬؛ ‪( )r = 8‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S16 = U0 + U1 + ....... + U15‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S31 = U0 + U1 + ....... + U30‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬‫‪( )r‬‬‫‪1‬‬ ‫‪Un‬‬‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﺤﻴﺙ ‪ U6 = 5 :‬؛‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S = U6 + U7 + ... + U10‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪T = U11 + U12 + U13 + U14‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ‪:‬‬ ‫‪S1 = 1 + 2 + 3 + ...... + 25 (1‬‬ ‫‪S2 = 2 + 4 + 6 + ...... + 50 (2‬‬ ‫‪S3 = 3 + 6 + 9 + ...... + 75 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫‪101 + 102 + .... + 125 (1‬‬ ‫‪402 + 404 + .... + 450 (2‬‬ ‫‪1013 + 1016 + .... + 1085 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )U0‬‬‫‪ U0 = -1‬ﻭ ‪ . q = 3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U5‬ﻭ ‪U7‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬‫= ‪ . q‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U6‬ﻭ ‪U8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U0 = -80‬‬ ‫ﻭ‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪ . q = 5‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ U3‬ﻭ ‪U6‬‬ ‫= ‪ U0‬ﻭ‬ ‫‪125 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ) (‬ ‫ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪Un = -5n (2‬‬ ‫‪Un = 3n+1 (1‬‬ ‫‪Un = 3 × 4n (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ‪( ):‬‬‫‪Un+1 − Un = Un‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪Un+1 −‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﺤﻴﺙ ‪ U0 = 1 :‬ﻭ ‪( )q = 3‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪S6 = U0 + U1 + ...... + U5‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪S10 = U0 + U1 + ...... + U9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪U3 = 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S = U3 + U4 + .......+ U7 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪Y = U3 + U4 + .......+ U11 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪T = U8 + U9 + U10 + U11 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S1 = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 :‬‬‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪S2 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( ):‬‬‫‪Un+1‬‬ ‫=‬ ‫‪2Un +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ U0 = 7‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. U3 ، U2 ، U1‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( ):‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Vn = Un − 2 : n‬‬‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‪( ).‬‬

‫‪Un‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2 n‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﺒﺭ ﻋﻥ‬ ‫‪ 3 ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬‫ﻭﻀﻊ ﺸﺨﺹ ﻓﻲ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﺭ ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ‪ 200000 DA‬ﺒﻔﺎﺌﺩﺓ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ 7,25%‬ﻓﻲ ‪2006/12/01‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ‪ 2007/12/01‬؟‬‫‪ (2‬ﻨﻀﻊ ‪ U0 = 200000‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ Un‬ﻟﻠﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﺴﺒﻪ ﻓﻲ‬ ‫‪ /01/01‬ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ) ‪(2006+ n‬‬ ‫ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ Un+1‬ﻟﻠﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﻴﻜﺴﺒﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺃ( ﺠﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ‪ Un+1‬ﻭ ‪. Un‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ‪ un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫ﺝ( ﺍﺤﺴﺏ ‪. U12‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻭ ‪U15 = 38‬‬ ‫‪U10 = U0 + 10 r = 23 (1‬‬ ‫ﻭ ‪U8 = -4‬‬ ‫‪U5 = U0 + 5 r =- 2,5 (2‬‬ ‫ﻭ ‪U17 = -1‬‬ ‫‪U12 = U0 + 12 r = 0 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﻭ ‪U15 = 25‬‬ ‫‪U10 = U1 + 9r = 15 (1‬‬ ‫ﻭ ‪U8 = -2,1‬‬ ‫‪U5 = U1 + 4r = −1, 2 (2‬‬ ‫ﻭ ‪U20 = 12,7‬‬ ‫‪U11 = U1 + 10r = 8, 2 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪Un+1 − Un = −4‬‬

‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ‪( )- 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪Un+1 − Un = 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‬ ‫‪U15‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U14‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2r = U5 − U3 = −2 2 (2‬ﻭﻤﻨﻪ ‪r = − 2 :‬‬ ‫‪U0 = U3 − 3r = 6 2 + 1‬‬ ‫‪10r = U20 − U10 = -69 (3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ r = -6,9 :‬و ‪U0 = U10 − 10r = 26‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬‫× ‪S5 = 5‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪+ U4‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫×‬ ‫‪1+13‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U0 + U19‬‬ ‫‪1+58‬‬‫× ‪S20 = 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫× ‪= 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪590‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪U15 = U0 + 15r = −120 + 15 × 8 = 0 :‬‬ ‫= ‪S16‬‬ ‫× ‪16‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪+ U15‬‬ ‫=‬ ‫× ‪16‬‬ ‫‪-120 +0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪S16 = −960 :‬‬‫× ‪S31 = 31‬‬ ‫‪U0 + U30‬‬ ‫× ‪= 31‬‬ ‫‪-120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪120‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬

‫=‪S‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪U6‬‬ ‫‪+ U10‬‬ ‫=‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪5+6‬‬ ‫=‬ ‫‪27,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫× ‪T=4‬‬ ‫‪U11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪U14‬‬ ‫=‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪6,25+7‬‬ ‫=‬ ‫‪26,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫= ‪S1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫‪325‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S2 = 2S1 = 650 (2‬‬ ‫‪S3 = 3S1 = 975 (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪110‬‬ ‫‪+125‬‬ ‫=‬ ‫‪2825‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫× ‪25‬‬ ‫‪402‬‬ ‫‪+450‬‬ ‫=‬ ‫‪10650‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1013‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1085‬‬ ‫‪25‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪26225‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪U5 = U0 × q5 = -243‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪U7 = U0 × q7 = -2187‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪U6 = U0 × q6 = 1,25‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪U8 = U0 × q8 = 0,3125‬‬ ‫‪U3 = U0 × q3 = 1‬‬ ‫‪U6 = U0 × q6 = 125‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un+1 = 3n+2 = 3Un :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 3‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( ). U0 = 3 :‬‬ ‫‪Un+1 = -5n+1 = 5Un‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 5‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( ). U0 = −1 :‬‬ ‫‪Un+1 = 3 × 4n+1 = 4Un‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 4‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( ). U0 = 3 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Un+1 = 2Un : n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). 2‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un+1 = 1,5 Un :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 1, 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫= ‪S6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪36‬‬ ‫=‬ ‫‪364‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬‫= ‪S10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1 - 310‬‬ ‫‪= 29524‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫=‪S‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6,248‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫×‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6,2499968‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪T = Y - S = 0,0019968‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫‪S1 = 5‬‬ ‫×‬ ‫‪1 - 27‬‬ ‫‪635‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫= ‪1−2‬‬

‫‪S2 = 3‬‬ ‫×‬ ‫‪1 - 28‬‬ ‫‪765‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫= ‪1-2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫‪U1 = 4 ; U2 = 2,8 ; U3 = 2,32 (1‬‬ ‫= ‪Vn+1 = Un+1 − 2‬‬ ‫‪2Un − 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪( )2‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬‫‪V0 = U0 − 2 = 5‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 5‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫= ‪Vn‬‬ ‫‪5.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫‪Un = 5 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪2000 000 × 1,0725 = 214500 :‬‬‫; ‪U12‬‬ ‫ﻓﻲ ‪ 1996/01/01‬ﺴﻴﻜﺴﺏ ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪214500 DA‬‬ ‫‪ -2‬ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un+1 = 1,0725 × Un :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )1,0725‬‬ ‫ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪U0 = 200 000‬‬ ‫ﺏ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪Un = 200 000 × 1,0725n‬‬ ‫ﺝ( ‪ U12 = 200 000 × 1,072512‬ﻭﻤﻨﻪ‪463231 :‬‬

‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪ -‬اﻟﻤﺘﺒﺎﻋﺪة‬ ‫‪ -1‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ l‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻜل ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻴﺸﻤل ‪ l‬ﻴﺸﻤل ﺃﻴﻀﺎ ﻜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻴﻀﺎ ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ l‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫) ‪(un‬‬ ‫‪=l‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪( ).‬‬‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪; tn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪. 0‬‬ ‫‪ (3‬ﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ q‬ﺤﻴﺙ ‪ q < 1‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪. 0‬‬ ‫‪ (4‬ﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪ l‬؛ ‪ vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪( ) ( ). l ′‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ wn‬ﺤﻴﺙ ‪ wn = un + vn :‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪( )l + l ′‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Sn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ Sn = un × vn :‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪( )l × l ′‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ k × un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪ k × l‬ﺤﻴﺙ ‪( ). k ∈ ¡ :‬‬ ‫= ‪( )tn‬‬‫‪un‬‬ ‫‪tn‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ l ′ ≠ 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪vn‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪. l ′‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫= ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪0‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫;‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 2‬‬ ‫= ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪2‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫; ‪lim 4 = 0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪n→∞ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪un = f (n) :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [a ; +‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( )un = f (n) ; n ≥ a :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪ l‬ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪( )l‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪. ∞ +‬‬ ‫= ‪. un‬‬ ‫‪2n + 3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪n+5‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪( ):‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ un‬ﺒـ ‪ un = f (n) :‬ﺤﻴﺙ ‪ f :‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ) (‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪2x + 3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪x + 5 :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪lim f (x) = 2 :‬‬ ‫=‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ∞‪ +‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ∞‪[ [ ( )a ; +‬‬‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ﻜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻟـ ‪ n‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞→‪n‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ∞‪ −‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪] ] ( )−∞ ; a‬‬‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ﻜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻟـ ‪ n‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ un = n2 :‬ﻟﻬﺎ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪.‬‬ ‫)*( ‪ -4‬ﺤﺼﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ) :‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ – ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺩﻨﻰ (‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ‪ un ; vn ; wn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪( ) ( ) ( ).‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ vn ≤ un ≤ wn : n0‬ﻭﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ) ‪َ (vn‬ﻭ ) ‪ (wn‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺘﺎﻥ‬ ‫ﻨﺤﻭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪l ( ) l.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪n + (-1)n‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ‪:‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪) −1 ≤ (-1)n ≤ 1 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪n − 1 ≤ n + (-1)n ≤ n + 1 :‬‬ ‫‪n - 1 n + (-1)n n + 1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪2n ≤ 2n ≤ 2n :‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫≤‬ ‫‪un‬‬ ‫≤‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫‪ un ; vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ) ( ) (‬ ‫‪vn ≤ un : n0‬‬

‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪vn‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬‫‪lim‬‬ ‫= ‪vn‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪ -5‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪( )un = u0 . qn :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ −1 < q < 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪u0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪q = 1 :‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪q > 1 :‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q ≤ -1 :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻟﻬﺎ ﻨﻬﺎﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ -1 n‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫= ‪( )un‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪ .‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ؟) (‬ ‫‪ dn (2‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻑ ﺒـ ‪( )dn = un − un-1 :‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ d1 ; d2‬ﺜﻡ ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ dn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭ) (‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪ .‬ﻤﺎﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( ). un = f (n) :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x +1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪5x - 1‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪. +‬‬

‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). un‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ‪( ) ( ) ( )un n≥1 ; vn n≥1 ; wn n≥1‬‬‫= ‪un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪; wn = un × vn‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭ ﺤﺩﺩ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ‪.‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪3n - 2‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫= ‪( )un‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ‪ un+1 − un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( )un‬‬ ‫ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪.n‬‬ ‫‪un −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﺒﺭ ﻋﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤ ‪−2 ≤ un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪ -4‬ﺃ(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2(2n+1‬‬ ‫ﺏ( ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -5‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪ un‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ).‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )2‬‬ ‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫= ‪u0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪un‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ sn‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒـ ‪( ):‬‬ ‫‪sn = u0 + u1 + ...... + un‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 :‬‬ ‫ﺜﻡ ‪s1 ; s2 ; s3 ; s4 ; s5 :‬‬

‫‪1 ≤ sn ≤ 2‬‬ ‫‪ -2‬ﺃ( ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ‪ sn+1 − sn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫ﺏ( ﻋﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). sn‬‬ ‫‪ -3‬ﺃ( ﻋﺒﺭ ﻋﻥ ‪ sn‬ﺜﻡ ‪ sn − 2‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫ﺏ( ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪ -4‬ﻋﻴﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). sn‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﺨﺎﻁﺌﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒـ ‪( ):‬‬‫= ‪un‬‬ ‫‪4 + 3n‬‬ ‫‪1+n‬‬ ‫‪ un (2‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ) (‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ un (4‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ) ( ) (‬ ‫‪ un (3‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ؛‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﺨﺎﻁﺌﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒـ ‪( ):‬‬‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪2n + 1 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3n + 5‬‬ ‫‪ un (2‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫؛ ‪ un (4‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ) (‬ ‫‪ un (3‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﺨﺎﻁﺌﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪3x - 1‬‬ ‫¡ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( ). un = f (n) :‬‬

‫؛ ‪ un (2‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ‪( ).‬‬ ‫; ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪(1‬‬ ‫؛ ‪ un (4‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪( ).‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ) (‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪0‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻷﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. q < 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪ .‬ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﻫﻲ ‪( )3‬‬ ‫= ‪u2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪u1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪u0 = 4 (2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫= ‪d1 = u1 − u0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪d2 = u2 − u1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫‪dn‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1 n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫×‬ ‫‪ -1 n−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪( ).‬‬‫‪−1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ‪. 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬

‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ≠ 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5x ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1 = lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫∞‪x x→+‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫= )‪lim f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪:‬‬‫‪u1 = 1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪u2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪u3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪u4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫= ‪v1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫= ‪v2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫= ‪v3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫;‬ ‫= ‪v4‬‬ ‫‪5‬‬‫= ‪w1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪w2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪w3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫= ‪w4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪wn‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪. 0‬‬ ‫= ‪un+1 − un‬‬ ‫‪3n + 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3n − 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪2n + 3‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪= (2n +3)(2n +1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ un+1 − un > 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ un :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪( ).‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪4‬‬ ‫‪-7‬‬‫‪3‬‬ ‫‪un -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3n − 2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 2n + 1 ) × 2‬‬‫‪1‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ ) un ≥ u0‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺯﺍﻴﺩ ( ‪1 2 3 4 x‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪. un ≥ - 2 :‬‬‫ﻭ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪-2‬‬‫‪-3‬‬ ‫‪un −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫≤‪2‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪-4 n‬‬ ‫≤ ‪−2 ≤ un‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪un -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪( 2n + 1 ) × 2‬‬ ‫‪ – (4‬ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n + 1‬‬‫=‬‫‪( )un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺏ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪( )3‬‬ ‫‪un‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪. 2‬‬ ‫‪ (5‬ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:‬‬‫‪u1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪u2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪u3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪u4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪u5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪63‬‬‫‪s1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫‪s2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫;‬ ‫‪s3‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫;‬ ‫‪s4‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫;‬ ‫‪s5‬‬ ‫=‬ ‫‪32‬‬ ‫‪sn+1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪sn‬‬ ‫=‬ ‫‪un+1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 n+1‬‬ ‫‪ – (2‬ﺃ(‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ sn‬ﻤﺘـﺯﺍﻴﺩﺓ) (‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ 1 n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ – (3‬ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺏ( ‪ sn‬ﻤﺘـﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ‪( )S0 = 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Sn ≥ 1 : n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪Sn - 2 ≤ 0 : n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪1 ≤ Sn ≤ 2 : n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ (1 . 6‬ﺨﺎﻁﺊ ؛ ‪ ( 2‬ﺼﺤﻴﺢ ؛ ‪ (3‬ﺨﺎﻁﺊ ؛ ‪ (4‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ (1 . 7‬ﺼﺤﻴﺢ ؛ ‪ ( 2‬ﺨﺎﻁﺊ ؛ ‪ (3‬ﺼﺤﻴﺢ ؛ ‪ (4‬ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ (1 . 8‬ﺼﺤﻴﺢ ؛ ‪ ( 2‬ﺨﺎﻁﺊ ؛ ‪ (3‬ﺨﺎﻁﺊ ؛ ‪ (4‬ﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﺍﻟﻤﺭﺠﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫اﻟﻜﻔﺎءات اﻟﻤﺴﺘﻬﺪﻓﺔ‬ ‫‪ -1‬إﻧﺸﺎء ﻡﺮﺟﻊ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬إﻧﺸﺎء ﻡﺮﺟﻊ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ )ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺠﻤﻴﻊ( ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺴﺎب إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻤﺮﺟﻊ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺕﻮﻇﻴﻒ اﻟﻤﺮﺟﻊ ﻹﺛﺒﺎت إﺱﺘﻘﺎﻡﻴﺔ ﻧﻘﻂ أو ﺕﻼﻗﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬‫‪ -5‬ﺕﻮﻇﻴﻒ اﻟﻤﺮﺟﻊ ﻟﺪراﺱﺔ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ و ﺕﻌﻴﻴﻨﻬﺎ و إﻧﺸﺎﺋﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫اﻟﺪرس‬ ‫ﺕﻤـﺎریـﻦ و ﻡﺸﻜﻼت‬ ‫اﻟﺤﻠﻮل‬

‫اﻟﺪرس‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ ) : 1‬ﺘﻌﻠﻴﻡ ﻨﻘﻁﺔ ﺨﺎﺼﺔ ( ‪( )r r‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ ، O ; i , j‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫‪ A , B , C , D‬ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫;‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫; )‪; (1 ; 1‬‬ ‫; )‪(0 ; -2‬‬ ‫)‪(3 ; 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﺭﻓﻕ‪r‬ﺒ‪u‬ﻜ‪u‬ل‪ u‬ﻨ‪u‬ﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤ‪ur‬ﻥ‪u‬ﺍﻟ‪u‬ﻤ‪u‬ﺴﺘﻭﻱ ﺍ‪ur‬ﻟﻨ‪u‬ﻘ‪u‬ﻁﺔ‪ M′uu‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬‫‪ MM′ = MO + 2 MA‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ‪M′ = f (M) :‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B′,C′, D′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬‫)‪B′ = f (B) ; C′ = f (C) ; D′ = f (D‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ )‪. (BB′) ; (CC′) ; (DD′‬‬‫‪ (3‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ )‪ (BB′) ; (CC′) ; (DD′‬ﺘﻅﻬﺭ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﻘﺎﻁﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. I‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻗﺭﺃ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. I‬‬ ‫ﺏ( ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ I′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪uuu.uuIr′ = rf (I) :‬‬ ‫ﺝ( ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪. MM′ = 0 :‬‬‫‪uuur uuur uuur‬‬ ‫ﺤل ‪uuur uuur uuur :‬‬‫‪BB′ = BO + 2BA ; uCuCuur′ = CuuOur + 2CuuAur (1‬‬ ‫‪DD′ = DO + 2DA‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﺃﺩﻨﺎﻩ ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ﺃ( )‪uur uur I (2uu;r0‬‬ ‫ﺏ( ‪II′ = IO + 2IA‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪uur‬‬‫‪1‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪IA‬‬ ‫ﻭ ﻤﺭﻜﻴﺒﺘﺎ‬ ‫‪ −2‬‬ ‫‪ IO‬ﻫﻤﺎ‬ ‫ﻤﺭﻜﺒﺘﺎ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬‫‪uur‬‬ ‫=‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪ -2 + 2‬‬ ‫‪uur‬‬‫‪II′‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺭﻜﻴﺒﺘﺎ ‪ II′‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+0‬‬ ‫‪‬‬

uuuur . (2 ;uu0u)ur‫ ﻫﻤﺎ‬Ir′ ‫ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺘﺎﻥ ﻭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎ‬uIu′uu‫ﻭ‬urI ‫ﻁﺘﺎﻥ‬r‫ﺍﻟﻨﻘ‬uMuuOur + 2uMuuAur = 0uuu:r‫ﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬r‫ ﺇﺫﺍ ﻭﻓ‬MM′ = 0 (‫ﺝ‬MO + 2MA + 2OA = 0 uuuur : ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ OM uuur = 2 OA : ‫ﺃﻱ‬ 3 . I ‫ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬f (M) = M : ‫ ﺘﺤﻘﻕ‬M ‫ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻭ ﺤﻴﺩﺓ‬: ‫ﺇﺫﻥ‬y4 B'3 2 C A 6x 3 4D 5D' 1 I-2 -1 0 12 -1-2 B C' : 2‫ﻤﺜﺎل‬uuuuur u:uu‫ـ‬ur‫ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒ‬u‫ ﺍ‬uguu‫ﺔ‬r‫ﺃﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺩﺍﻟ‬MM′′ = MO - 2MA : ‫ ﺤﻴﺙ‬M′′ = g (M). (BB′′) ; (CC′′) ; (DD′′) ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﻼﻗﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬J ‫ﺘﺴﻤﻰ‬uuur uuur uuur uuuur uuur uuur : ‫ﺤل‬BB′ = BO - 2uBuuAur ; uuCurC′′ =uuCurO - 2CA (1 DD′′ = DO - 2DA : ‫( ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﺃﺩﻨﺎﻩ‬2 J (6 ; 0) (‫ ﺃ‬-3

‫‪ −6‬‬ ‫‪uur‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺒﺘﺎ‬ ‫‪uuur uur uur‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ‪‬‬ ‫‪JO‬‬ ‫‪JJ′′ = JO - 2JA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −3‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪uur‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺭﻜﺒﺘﺎ‬ ‫‪ −3‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‬ ‫‪uur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪JA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﺭﻜﺒﺘﺎ ‪JA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0  −6 - 2 (-3)‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u0ur- 2‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺭﻜﺒﺘﺎ ‪ JJ′′‬ﻫﻤﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫×‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uuur ur‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ JJ′′ = O :‬ﺃﻱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ J‬ﻭ ‪ J′′‬ﻤﻨﻁﺒﻘﺘﺎﻥ ﻭ )‪J′′ (6 ; 0‬‬ ‫‪uuuur uuuur r‬‬ ‫‪uuuuur ur‬‬ ‫ﺝ( ‪ MM′′ = O‬ﺇﺫ‪r‬ﺍ ﻭﻓﻘﻁ‪r‬ﺇ‪u‬ﺫﺍ‪MuOuuu-r 2MuAuuu=r 0 u: u‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓ‪r‬ﺊ ‪MO - 2MO - 2OAu=uu0ur uuur :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ -MO - 2OA = 0 :‬ﺇﺫﻥ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪ M‬ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫‪ . g (M) = M‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. J‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪AJ‬‬‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 D'2 3 D4 5 6 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2 B‬‬ ‫‪ - I‬ﺍﻷﺸﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪-3 :‬‬‫'‪B‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪-4 uuur uuur :‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺸﻌﺎﻋ‪ur‬ﻴ‪u‬ﻥ‪ ABuu=urCOu‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‪.‬‬ ‫ﺃﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪ AB :‬ﻭ ‪ CD‬ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭ‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪uuur uuur uur . AB = CD‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪AB = CDur= EF =....‬‬ ‫‪E‬‬‫‪AB‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ‪r‬ﻟ‪u‬ﻬﺫﺍ ﺍﻟﺸ‪r‬ﻌ‪u‬ﺎ‪u‬ﻉ‪u‬ﺒـ ‪U :‬‬ ‫• ‪ AB = O‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ‪A = B :‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪u:r‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ U‬ﺸ‪r‬ﻌ‪u‬ﺎﻉ ‪ .‬ﻤ‪ur‬ﻥ‪u‬ﺃ‪u‬ﺠل ﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪B‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪uAuuBr = O :‬‬ ‫• ﻁﻭﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‪ AuBuur‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪.AB‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪AB = AB :‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺸﻌﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺠﻤ‪r‬ﻊ‪u‬ﺸﻌﺎﻋﻴ‪ur‬ﻥ‪uuur ur u:u‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ur urABu=uurV ;uuAur B =uuUur‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪) U + V = AB + BC = AC :‬ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل(‬‫‪ur ur‬‬ ‫‪ (2‬ﺠﺩﺍﺀ ﺸﻌﺎﻉ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠ‪r‬ل ﻜل ﻋ‪r‬ﺩ‪u‬ﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ k′ ; k‬ﻭ‪r‬ﻤﻥ ﺃﺠل‪ur‬ﻜل ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪ V‬و ‪U‬‬ ‫ﺃ( ‪ ukrU = u0r‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ k =ur0 :‬ﺃ‪r‬ﻭ‪( )U = 0 u‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪U+V‬‬ ‫‪= kU + kV‬‬ ‫ﺏ(‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪ur ur‬‬ ‫‪( )(k +‬‬‫‪k′u)r‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫‪kU‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k′U‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫ﺝ(‬ ‫ﺩ( ‪k k′U = (k × k′) U‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪ ) : 1‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ( ‪ur‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ AuBuuCrD‬ﻤﺘﻭﺍﺯ‪r‬ﻱ‪u‬ﺃ‪u‬ﻀ‪u‬ﻼﻉ ‪ .‬ﺒ‪ur‬ﺴ‪u‬ﻁ‪u‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‪ uUuur‬ﺤﻴﺙ‪u:r‬‬‫‪U = CA + BD - 2DA + 4AB‬‬‫‪ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur‬‬ ‫ﺤل ‪:‬‬‫‪( ) ( )U = CB + BA + BA + AD - 2DA + 4AB‬‬