دروس مادة الرياضيات للفصل الاول تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻟﻨﺤﺴﺏ )‪ p(n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪. (σ  1)n t nσ  1 :‬‬ ‫ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ ‪:‬‬ ‫)‪ p(0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪(σ  1)0 t 0 u σ  1 :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪1 t 1 :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ p(0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.(1) ...‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺄﺨﺫ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻭﻟﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪(σ  1)m t mσ  1‬‬ ‫‪(σ  1)m t mσ  1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﺭﻀﺎ ‪:‬‬ ‫‪(σ  1)  (σ  1)m t (σ  1)  mσ  1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪(σ  1)m1 t σ 2m  σ  mσ  1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪(σ  1)m1 t (m  1)σ  1  σ 2m‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪) (m  1)σ  1  σ 2m t (m  1)σ  1‬ﻷﻥ ‪(σ 2m t 0 :‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪(σ  1)m1 t (m  1)σ  1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ )‪. p(m  1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.(2).... .‬‬‫ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ ‪ :‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻨﺠﺩ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪، N‬‬ ‫)‪ p(n‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 2‬ﻓﺈﻥ ‪5n t 3n  4 n :‬‬‫ﺍﺘﺒﻊ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺤل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻭ ‪n t 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪5 u 3n  5 u 4n (2  3) u 3n  (1  4) u 4n‬‬ ‫‪3n1  4 n1  2 u 3n  4 n‬‬ ‫‪41‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺍﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 3‬ﻓﺈﻥ ‪4n t (n  3) 2‬‬‫ﺍﺘﺒﻊ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺤل ) ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ ( 6‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻭ ‪n t 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4(n  3) 2 4n 2  24n  36‬‬ ‫‪n 2  8n  16  3n 2  16n  20‬‬ ‫‪(n  4) 2  3n 2  16n  20.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 8‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ )ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ (1‬ﻭﻤﻥ )ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.(6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 9‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪U n 2n  1 /3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪U n 2n 2  4 /4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪3n  5‬‬ ‫‪/5‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪(U n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫)ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ ‪2n  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/6‬‬ ‫‪2n  1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪U n n 2  3n  9000 /7‬‬ ‫‪42‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫) ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻔﺼﻴﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ(‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬‫‪:‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‬ ‫ﻤﺎ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪Un‬‬ ‫* ‪. D N‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ * ‪N‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪3 n 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n  2 :‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪3 n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n2‬‬‫‪U n1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪©¨¨§ 3.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ 1¸¹¸·.¨¨§©3.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫¸‪ 1·¸¹‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪8n  1‬‬ ‫‪n  2§©¨¨3‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫¸‪ 1¸·¹‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪43‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪U n1‬‬ ‫! ‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫)ﻷﻥ ‪(U n ! 0‬‬ ‫‪U n1 ! U n‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ U n‬ﻭ * ‪N‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ * ‪N‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2 n1‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫!‪n  1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪2 n1‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪1n‬‬ ‫!‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪ ) U n1 t U n‬ﻷﻥ ‪(U n ! 0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 13‬‬ ‫) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪½U n n2  n 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n t 0‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪n 2 t 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪n 2  n t 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪n 2  n  1 t 1 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪U n t 1 :‬‬ ‫‪44‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪.1‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫½‬ ‫‪®¯U n1‬‬ ‫‪Un  n2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪U n1  U n n 2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪U n1  U n t 0 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪U n1 t U 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪U n t 6 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ )‪. (6‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ ‪4.n  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫½‬ ‫‪n2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫ﻭ ‪4.n  1 ! 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4.n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪!1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪U n ! 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪.1‬‬‫‪ /2‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻟﻺﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺇﺫ ﻴﻜﻔﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫‪ α‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N‬ﻓﺈﻥ ‪.U n d α :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 14‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ‪.‬‬ ‫‪Vn1  Vn‬‬ ‫‪U n2  U n1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪(U n1  2n  2  3)  U n1‬‬ ‫)‪U n1  2n  2  3  (U n  2n  3‬‬ ‫‪45‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪U n1  U n  2‬‬ ‫‪Vn  2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﺤﻴﺙ ‪. r 2‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪U n U 0  V0  V1  ...  Vn1‬‬ ‫‪ Vn‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪U n1  U n :‬‬ ‫‪­V0 U 1  U 0‬‬ ‫‪°°®°VV12‬‬ ‫‪U2 U1‬‬ ‫‪U3 U2‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪°¯Vn1 U n  U n1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻁﺭﻑ ﻟﻁﺭﻑ ﻭﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪V0  V1  ...  Vn1 U n  U 0‬‬ ‫‪U n U 0  V0  V1  ...  Vn1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫½ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫• ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪: n z 0‬‬‫‪U n U 0  V0  V1  ...  Vn1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ(‬‫‪U0‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(V0‬‬ ‫) ‪ Vn1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(U 1‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪ V0‬‬ ‫‬ ‫‪(n‬‬ ‫)‪ 1)r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(2U 1‬‬ ‫‬ ‫‪2U 0‬‬ ‫‬ ‫‪(n‬‬ ‫)‪ 1)r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(2(U 0‬‬ ‫‬ ‫)‪3‬‬ ‫‬ ‫‪2.U 0‬‬ ‫‬ ‫‪(n‬‬ ‫)‪ 1)r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‬ ‫‪(n‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫)‪u 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪46‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(2n‬‬ ‫‬ ‫)‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n.(n  4)  1‬‬ ‫‪U 0 1 0.(0  4)  1‬‬ ‫• ﻭﻟﻜﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪.U n n.(n  4)  1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 15‬‬ ‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ ‪ S n‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪S n U 0  U1  ...  U n‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (U n ) /1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪¯®U n1‬‬ ‫‪3.U n  52‬‬‫ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪َ σ‬ﻭ ‪5‬‬ ‫‪3) Vn‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﺒـ‪:‬‬ ‫‪1σ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ – ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺱ – ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻫﻭ ‪ σ‬ﺃﻱ ‪. 3‬‬ ‫‪Vn V0  σ n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪(U 0‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪u 3n‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ /3/2‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 16‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪47‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ َﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪3‬‬ ‫§¨ ‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪.2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪3.n 2  5.n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪: N‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim 3.n2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪nnof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim 3.n‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪U n 6n  7 n /5‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪7‬‬ ‫©¨§¨‪n.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫·¸‪ 1¸¹‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪7‬‬ ‫¨©§¨‪n.‬‬ ‫¨§‬ ‫‪6‬‬ ‫‪¸· n‬‬ ‫‪ 1¸·¸¹‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪48‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ ‪°­ 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ٍ‪1‬‬ ‫§¨ ‪lim‬‬ ‫‪6‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫®‬ ‫‪7‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬‫(‬ ‫)ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪َ lim 7n‬ﻭ‬ ‫ﻷﻥ ‪f :‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪¯°7 ! 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2.3n  5.2n‬‬ ‫‪/7‬‬ ‫‪7.4n  3.8n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫¨¨©§‪3n.‬‬ ‫¨§‪5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¸·¸¹‬‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪Un‬‬ ‫§¨©¨‬ ‫¨§‪7.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫¸‪ 3¸·¹‬‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫§¨‪5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫¨§‬ ‫‪3‬‬ ‫‪·¸ n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫©‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫§¨‪7.‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫©‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫َﻭ‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪0‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪0‬‬ ‫َﻭ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪0 :‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ (U n ) :‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺼﻔﺭ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 17‬‬‫ﺜﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﺭﺒﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪0 dUn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2.n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ ، U n‬ﻟﻨﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ‬ ‫‪2.n   1n‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪3.n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3.n 2  2‬‬ ‫½ ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2.n   1n  2.n  1‬‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3.n 2  2‬‬ ‫‪49‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ 1n  1‬‬ ‫‪3.n 2  2‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ :‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ ﻨﺠﺩ ‪(1) n  1 0 :‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ n‬ﻓﺭﺩﻱ ﻨﺠﺩ ‪(1)n  1 2 :‬‬‫‪.(1)...‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2.n  1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪2.n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3.n 2  2‬‬ ‫‪3.n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪. U n 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n z 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪َ 2n t 2‬ﻭ `‪(1)n  ^1;1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪.(2) ... U n t 0 :‬‬ ‫‪.0 dUn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2.n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪3.n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3n 2‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim 2‬‬ ‫‪nof 3n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺼﻔﺭ ‪.‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺏ ‪.‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺏ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 18‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪U n ! 1‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫‪U n1  1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪َ 1‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻴﻥ‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻙ‬ ‫‪U n1  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(U‬‬ ‫ )‪n  1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪50‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪n t 1 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪U n1  1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪ /3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ * ‪N‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺅﺍل‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪U n1  1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪) U n1  1 d U n  1 :‬ﻷﻥ ‪ U n1 ! 1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪.(1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪U n1 d U n :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ (U n ) :‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ )ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪(3‬‬ ‫ﻭ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺒـ ‪) 1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪(1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪1 d‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪nt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺃﻨﻪ‬ ‫‪ /5‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪.‬‬ ‫‪ /6‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ * ‪N‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ‪َ 1‬ﻭ ‪( 5‬‬ ‫‪0 Un‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪1Un‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪1dUn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪51‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫§¨ ‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫(‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ َﻭ‬ ‫)ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪0 :‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻨﺤﻭ ‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪) :19‬ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ(‬ ‫• ﻟﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) ‪ (Vn‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪Vn1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24.U n‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪7.U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Vn1‬‬ ‫‪10.U n  5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7.U n‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺃﻱ ‪U n :‬‬ ‫‪Vn1‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫¨¨©§‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫¸¸‪ 2·¹‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.V‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ §¨‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫) ‪(Vn‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫• ‪ V1‬ﺜﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫¨§‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫¸·‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫½‬ ‫¨§©¨‬ ‫‪1‬‬ ‫ §©¨‪ 2·¸¸¹.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ¨§‬ ‫‪5‬‬ ‫‪·¸ n‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫½ ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪52‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪Vn  2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ §¨‬ ‫‪5‬‬ ‫‪¸· n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫• ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ¨§ ‪lim‬‬ ‫‪5‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫(‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)ﻷﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪0 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪2 :‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪) :20‬ﺍﻟﻔﻜﺭﺓ(‬ ‫• ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪Vn1  Vn‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1  U n1  1  U n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Un 2‬‬ ‫‪1Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2.U n  3‬‬ ‫‪2.U n  3‬‬ ‫‬ ‫‪U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2.U n  2‬‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪.2‬‬ ‫• ) ‪ (Vn‬ﻡ ) ‪ (U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫‪53‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫½ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Vn V0  n u 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2.n‬‬ ‫‪1U0‬‬ ‫‪2.n  1‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫½ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1Un‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪Vn  Vn .U n 1 :‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪Vn 1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪2.n‬‬ ‫‪2.n  1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 21‬‬ ‫‪ /1‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪َ U1‬ﻭ ‪:U 2‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‬ ‫‪25‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‬ ‫‪25‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪ 300‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪uU1‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪975‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪(0,75) u U n  300‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪75‬‬ ‫‪uUn‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪54‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ ‪§¨1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪·¸.U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫©‬ ‫‪100‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪.U n‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪(0,75).U n  300‬‬ ‫‪ /3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪َ σ‬ﻭ ‪( b 300‬‬ ‫‪0,75 ) Vn‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪300‬‬ ‫‪U n  1200‬‬ ‫‪1σ‬‬ ‫‪0,25‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 0,75‬‬ ‫‪Vn V0 u 0,75n‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪U 0  1200u 0,75n‬‬ ‫‪800  1200u 0,75n‬‬ ‫‪ 400u 0,75n‬‬ ‫‪U n Vn  1200‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ 400u 0,75n  1200‬‬ ‫‪ /4‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻋﺎﻡ ‪.2016 :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻫﻭ ‪ U16‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪U16 400.(0,75)16  1200‬‬ ‫‪ 1196‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟـ ‪.U16‬‬ ‫‪55‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺘﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ )‪ (g of‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ ، I‬ﻭ‪ g‬ﻗﺎﺒﻠﺔ‬ ‫ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪f (I‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫‪- -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﺤﻘﻕ ﺸﺭﻁﺎ ﻤﻌﻴﻨﺎ ﻭﺘﻔﺴﻴﺭ ﺫﻟﻙ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ x‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ x‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪1‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻻﻭل‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻻﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﻭ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫)‪v(x‬‬ ‫‪3x  8‬‬ ‫‪ u(x) =5x +2‬ﻭ‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫‪/1‬ﻋﻴﻥ ’‪u‬ﻭ ’‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺘﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ‪ v‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪/2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ vou‬ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪v’ou‬‬ ‫‪/3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪vou‬‬ ‫ﺍﻻﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬‫‪/1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ’‪ u‬ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪u’ ( x) =5 : R‬‬‫‪f‬‬ ‫‪ @- f :‬ﻭ >‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫¾¿½ ‪ ­¯®12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ‬ ‫‪@:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫’‪v‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪+‬ﻭ‬ ‫)‪v ' (x‬‬ ‫‪3.(2x 1)  (3x  8)2‬‬ ‫‪(2x 1)2‬‬ ‫)‪v ' (x‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‬ ‫®­¯‬ ‫‪1‬‬ ‫¾½¿‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪(2x 1)2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¾¿½ ‪  ­¯®12‬ﻭﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪ Du/2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ u‬ﻫﻲ ‪ R‬ﻭ‪ Dv‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ v‬ﻫﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ’‪v‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ v o u‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻻﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Du‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ )‪(u‬‬‫ )‪ ( 5X+2‬ﺃﻱ‬ ‫‬ ‫­®‬ ‫‪1‬‬ ‫½¾‬ ‫‪ Dv‬ﻭﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻻﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫)‪u(x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺍﻟﻰ‬ ‫¯‬ ‫‪2‬‬ ‫¿‬ ‫‪2‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪X‬‬ ‫≠‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫≠‪5X+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ v o u‬ﻫﻲ ¿½¾ ‪ ¯­®103‬‬ ‫ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ v’ou‬ﻫﻲ‬ ‫‬ ‫¯­®‬ ‫‪3‬‬ ‫½¾¿‬ ‫‪10‬‬ ‫‬ ‫­‬ ‫‪3‬‬ ‫½‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﺠل‬ ‫ﻭﻤﻥ‬ ‫¯®‬ ‫‪10‬‬ ‫¾¿‬ ‫]) ‪(v’ ou) (x) = v’( u(x) ) (vou)(x) = v[u(x‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3u(x)  8‬‬ ‫‪= (2u(x) 1)2‬‬ ‫‪2u(x) 1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪= >25x  21@2‬‬ ‫‪3(5x  2)  8‬‬ ‫‪2(5x  2) 1‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪v o u‬ﻭ ‪ v’ou‬ﻫﻤﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ½¾¿ ‪ ®­¯103‬‬ ‫)‪(v'ou)(x‬‬ ‫‪13‬‬ ‫)‪ (vou)(x‬ﻭ‬ ‫‪15x  2‬‬ ‫‪(10x  3)2‬‬ ‫‪10x  3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (vou‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ +‬ﻭ ‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ’)‪( vou‬ﺒﺤﻴﺙ‪> >@:‬‬ ‫∞‬ ‫‪ @- ∞ :‬ﻭ‬ ‫)‪(vou )' ( x‬‬ ‫‪15x3  (2)x10‬‬ ‫‪(10x  3)2‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪:‬‬ ‫‬ ‫‪­ 3‬‬ ‫½‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪®¯10‬‬ ‫¾¿‬ ‫)‪(vou )' ( x‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪(10x  3)2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ¾½¿‪ ®­¯103‬‬ ‫‪(vou’) (x) =5x(v’ou) (x) :‬‬ ‫ﺃﻱ‪(vou)'(x) >v'ou(x)@x>u'(x)@:‬‬ ‫)‪>v' ou (u ' )@( x‬‬ ‫)ﺤﺴﺏ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ(‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ )’‪ (vou’) x(u‬ﻭ )’‪ (vou‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬‫)’‪(vou‬ﻭ )‪(v’ou‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )’‪ (vou‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )’‪ (v’ou) x(u‬ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫)’‪(vou)’ =[ (v’ou)] x (u‬‬ ‫)’‪ x(u‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬‫ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ‪ :‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺍﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻭﻨﺭﻤﺯ ﺍﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f=g‬ﺍﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺍﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ f/1‬ﻭ‪ g‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D‬‬ ‫‪ / 2‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ X‬ﻓﻲ ‪f(x)=g(x) :D‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ )‪.(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﺴﺅﺍل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→j‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 A' B2' 3 4 5 6 7 8 9 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪ ( d ) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f(x) = 2x+3:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O, i , j‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ﻫﻲ ‪.(1cm‬‬ ‫‪x2²‬‬ ‫‪x1²‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻥ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ x1‬ﻭ ‪x2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﻥ ) ‪ ( d‬ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ ﻓﺎﺼﻠﺘﺎﻫﻤﺎ ‪ x1‬ﻭ ‪ x2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﺘﻜﻥ '‪A‬ﻭ '‪B‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﻘﻁﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﻥ ﻟﻠﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪A‬ﻭ ‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻟﻠﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O, i , j‬‬‫'‪ AB B'A‬ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ G‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺭﻑ ﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‬ ‫‪> @ > @δ x2 2  3x2  x12  3x1‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ‪ :‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺸﺒﻪ ﻤﻨﺤﺭﻑ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪δ‬‬ ‫'‪( AA'BB')  A' B‬‬ ‫‪) x‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ( ﻤﻨﻪ‬ ‫)ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻁﻭﻟﻲ ﺍﻟﻔﺎﻋﺩﺘﻴﻥ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻷﻁﻭﺍل '‪A'B' , BB', AA‬‬‫) ‪ A  (d‬ﻭﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ‪ B  (d ) : x 1‬ﻭﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ B‬ﻫﻲ ‪ x2‬ﻤﻨﻪ ﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ A‬ﻫﻭ )‪f(x1‬‬ ‫ﻭﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ B‬ﻫﻭ )‪. f (x2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ A( x1, 2x1+3‬ﻭ )‪ B(x2; 2x2+3‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ )‪B’(x2;0), A'(x1;0‬‬‫ﻭﺤﺴﻴﺏ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‪.‬‬ ‫‪A A' x1  x1 2  >0  2x1  3@2‬‬ ‫‪B B' x2  x2 2  >0  2x2  3@2‬‬ ‫‪A ' B' x2  x1 2  0  02‬‬ ‫‪2x1  3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2x1  3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪A A' 2x1  3‬‬ ‫‪2x2  3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2x2  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪B B' 2x2  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ A ' B' x2  x1‬ﻷﻥ ‪ x2 ² x1‬ﻤﻨﻪ ‪x2  x1 x2  x1‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪>2x1  3  2x2  3@xx2‬‬ ‫‪ x1‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ δ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻨﺠﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‬ ‫‪2 x2‬‬ ‫‬ ‫‪6 x 2‬‬ ‫‬ ‫ ‪x1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪> @ > @δ x2 2  3x2  x12  3x1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ F‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪F(x)=x2+3x‬‬ ‫ﻟﻘﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ )‪G= F(x2) –F(x1‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ \" ‪ F‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ R‬ﻭﺃﻥ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪\" F‬‬ ‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ \"F‬ﻨﻘﻭل \"‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ل‪. \"f‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪ :‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ )‪.(2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪7 (H) ( P‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪j→ ( C‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 →i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪ (P) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪ (G): f‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O, i , j‬‬‫ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺇﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻭﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ‪ g ، f‬ﻭ‪ h‬ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺘﻔﺴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. u‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬ ‫)‪ (P‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﺭﺒﻊ\" ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f(x)=x2‬‬ ‫)‪ (C‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (P‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪  4 j‬ﻤﻨﻪ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x) = x 2 – 4‬‬ ‫)‪ ( H‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ )‪ (P‬ﺒﺎﻹﻨﺴﺠﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪ 2 j‬ﻤﻨﻪ ‪ h‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪g(x)=x2+2‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ \" ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪...‬ﻫﻲ‬‫ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ\" ﻭ '‪ h' ،'g: f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ‪ h ،g: f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f'(x) =2x, g'(x) = 2u, h(x)=2x‬‬ ‫‪7‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻤﻨﻪ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ h ،g، f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪U(x)=2x :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺩﺍﻟﺔ \" ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ\" ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻟﻴﺴﺕ ﻭﺤﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬‫ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻫﻭ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻤﺠﺎﻻ ﻤﻔﺘﻭﺤﺎ ﻏﻴﺭ ﺨﺎل‪.‬‬ ‫‪ I‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ‬ ‫‪ (1‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ ﺇﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪Df‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻴﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲƒ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x0‬‬ ‫ )‪ h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪(x0‬‬ ‫‪ Df‬ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﺎﻻ ﻴﺸﻤل‪ x0‬ﻭ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫‪lim‬‬ ‫ )‪f (x0  h‬‬ ‫) ‪f (x0‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ ، x0‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ho0‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x0‬ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪f ‘ (x0‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‪ : x0‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬‫) ‪ (O, i , j‬ﻴﻘﺒل ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ))‪ M0(x0 ;f(x0‬ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ) ‪f ‘(x 0‬ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪Y = f ‘(x0) (x-x0 ) + f(x0‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻟﻺﺸﺘﻨﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻟﻺﺸﺘﻨﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪8‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﺎﺕ ﺍﻟﺭﻤﺯ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ '‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ Df‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ '‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل \"‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ \" I‬ﻴﻌﻨﻲ\"‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪\" I.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ '‪ D‬ﻏﻴﺭ ﺨﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‘ '‪ f‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‘ '‪ f‬ﻫﻲ '‪D‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ '‪ D‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‘ '‪ f‬ﻫﻲ) ‪ f ’(x0‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‪ :‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬‫ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ’ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﻰ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪f' ‘ (x) =0‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪f(x) =k‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫‪f' (x) =1‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪f' (x) =a‬‬ ‫‪f(x) =x‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪f(x) =ax+b‬‬‫‪f' (u) =2x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺨﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬‫‪f' (u) =3x2‬‬ ‫ƒ‬ ‫ƒ‬ ‫ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ‬‫)‪f '(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x)=x2‬‬ ‫‪ x2‬‬ ‫> ‪ @∞ ،0‬ﻭﻋﻠﻰ‬ ‫‪f(x)=x3‬‬ ‫> ‪@∞ ،0‬‬‫‪f '(x) 1‬‬ ‫> ‪@∞ ،0‬‬ ‫‪f (x) 1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x) x‬‬‫‪f (x) nxn1‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪F(x)= x n‬‬‫)‪f '(x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫>‪ @ f;0‬ﻭﻋﻠﻰ >‪@0;f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x n 1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪9‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪ :‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺜﻼﺒﺘﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫ﺍﻟﺩﻭﺍل )‪ (k u); (u+v); (u+v‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫)‪(ku)' (x) =(ku') (x‬‬ ‫)‪(uv)' (x) =(uv'+vu') (x‬‬ ‫)‪(u+v)'(x)=(u'+v')(x‬‬ ‫‪U1‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ v(x) ≠0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ‪ I‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ V‬ﻭ ‪ V‬ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ I‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫¨§‬ ‫‪u‬‬ ‫'·¸‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫§¨‬ ‫‪v.u‬‬ ‫'‪'u.v‬‬ ‫‪·¸x‬‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫('·¸‬ ‫)‪x‬‬ ‫¨§‬ ‫‬ ‫'‪v‬‬ ‫‪¸·x‬‬ ‫©‬ ‫‪v‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪v2‬‬ ‫©‬ ‫‪v‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪v‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺇﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ƒ‬‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻔﺔ )ﺤﺎﺼل ﻗﻴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ( ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺇﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‪f'(x)=0 I‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ f'(x) t0‬ﻭﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺃﻱ ﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪ I‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ )‪f'(x‬‬ ‫‪. =0.J‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ‪ f'(x) d0 I‬ﻭﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺃﻱ ﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪ I‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ‪. f'(x) =0.J‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ f'(x) >0.I‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ f'(x) <0.I‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪ I‬ﻭﻜﺎﻥ )‪ f'(x‬ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻟﺘﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻓﺈﻥ )‪ f(x0‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻤﺤﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ a‬ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪f(a)+h.f'(a‬ﻫﻭ ﺃﺤﺴﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺘﺂﻟﻔﻲ ل )‪ f(a+h‬ﻋﻨﺩﻩ‪.‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻗﻴﻡ ‪ h‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ )‪ f(a+h‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ )‪ f(a)+h.f'(a‬ﺃﻭ ‪ h# 0‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫)‪. f(a+h) # f(a)+h.f'(a‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻭﺍﻹﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪) x0‬ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﻟﻴﺱ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺼﺤﻴﺤﺎ(‪.‬‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ Du‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ Dv‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬‫‪ u‬ﻭ‪ v‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ )ﺃﻭ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( v‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭ ﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ vou‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ vou‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Du‬ﺒﺤﻴﺙ ‪u(x) Du‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (v ou‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ] )‪(vou)(x) =v[ u(x‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) 2x -1‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻭﻤﻬﻤﺎ‬ ‫‪ª1‬‬ ‫¬«‪;fª‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫‪¬« 2‬‬‫)‪ f(x) = v(2x-1‬ﺤﻴﺙ ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﺫﺭ ﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ u‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ª‬‬ ‫‪1‬‬ ‫«‪;f¬ª‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪x‬‬ ‫¬«‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪u(x)=2x-1‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ))‪f(x)=v(u(x‬‬ ‫ﺃﻱ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ)‪f(x)= (vou) (x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ vou‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ u‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x o 2x  1‬ﻭ ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x o x‬‬ ‫‪11‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x0‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪ v‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪u(x0‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ )‪ (vou‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ')‪ (vou‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ‪(vou)'(x) =v'[ u(x)] .u'(x) :I‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x0‬ﻤﻥ‬ ‫‪u(x0)>0:I‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪f (x) u(x‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ f(x)= v(u(x)) :‬ﺤﻴﺙ ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬‫‪ v(x) x‬ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪ f(x)=(vou)(x‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ v‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪. a‬‬ ‫)‪ v'(a‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x0‬ﻓﻲ ‪ u(x0)>o I‬ﻓﺈﻨﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ‪2a‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ x0‬ﻤﻥ‪ v، I‬ﻗﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ u (x0‬ﻭ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪.(2)...‬‬‫ﻤﻥ )‪(1‬ﻭ)‪ (2‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (vou‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪(vou)(x)= v'(u(x))x u'(u): I‬‬ ‫ﻭﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪f‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪1 .u'(x‬‬ ‫ﻓﻲ ‪: I‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪x‬‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ '‪f‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻗﺩ ﺒﺭﻫﻨﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪u(x)>0 I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ )‪ f (x) u(x‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪I‬‬ ‫)‪u' ( x‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪f'(x) = 2 u(x) : I‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪x2  x  1‬‬ ‫ﻟﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ u‬ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪u(u)= x2+x+1‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ƒ ﻷﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ( ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ u‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ u'(x)=2x+1‬ﻭ‬‫' ﻤﻤﻴﺯ )‪ u(u‬ﻫﻭ ‪ -3‬ﻤﻨﻪ '>‪ 0‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺤﺩ )‪ u(x‬ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻫﻭ ‪ 1‬ﻭﻫﻭ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ ‪ u(x) > o:‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ƒ ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ '‪f‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫=)‪f'(x‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2 x2  x 1‬‬ ‫)‪u' ( x‬‬ ‫)‪2 u(x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪nt 2‬‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f (x)= (u(x)) n‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ f(x)=v(u(x)):I‬ﺤﻴﺙ ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪ v(x) =xn :‬ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ)‪f(x)=(vou)(x‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ ‪ v‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ƒ ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ v‬ﺒﺤﻴﺙ‪v'(u)= nx n-1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‪ x0‬ﻓﻲ ‪ v I‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻨﺩ )‪u(x0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪(vou‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ')‪ (vou‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪(vou)'(u) =v'(u(x))x u'(u) : I‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ 'f‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪f'(x) = n(u(x))n. u'(x):I‬‬ ‫‪13‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪ nt 2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f(x)=(u(x))n‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪ f‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪. f ‘(u) =n (u(x))n-1 u' (x): I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f(x)=(7x3+8 x2+x+1)10‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻗﺎ ﻋﻠﻰ ƒ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫ﻭ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f(x)= (u(x))10‬ﺤﻴﺙ ‪ u‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪u(x)= 7x3+8x2+x+1‬‬‫'‪f '(x) =10.(u(x))9 .u‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪.‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﺃﻱ )‪f ‘(x)= 10 (7x3+8x2+x+1).(21x2+16x+1‬‬ ‫ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻌﺔ ﻟﻠﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺘﺒﺭﻫﻥ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ u‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻭﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻓﻲ ‪u (u)z 0 :I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪u(x) n‬‬‫)‪ f ' (x‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ’ ‬ ‫)‪f ' (x‬‬ ‫)‪- n u ' (x‬‬ ‫‪ f‬ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪: I‬‬ ‫‪u(x)n1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪3x  1 19‬‬ ‫∞‪@-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‰‬ ‫@‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‬ ‫‪ Df‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ f‬ﻫﻲ >‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻺﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ Df‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻟﻨﺎ‬ ‫‪14‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪ 57‬‬ ‫‪3x  1 120‬‬ ‫‪ (4‬ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﻹﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﺘﺭﻤﻴﺯ‪ -‬ﺇﺼﻁﻼﺡ‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ C(x‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ CT (x‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﻜﻤﻴﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ x‬ﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ x C(x‬ﺘﺴﻤﻰ \" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻠﻔﺔ ﺇﺠﻤﺎﻟﻴﺔ\"‪.‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ CM (x‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﺃﻨﺘﺠﺕ ‪ x‬ﻭﺤﺩﺓ ﻫﻜﺫﺍ‬ ‫)‪CM (x‬‬ ‫)‪C(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x CM (x‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻠﻔﺔ ﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‪.‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ Cm(x‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻬﺎﻤﺸﻴﺔ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ )‪ (x+1‬ﻭ )‪ Cm(x‬ﻫﻲ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ‬ ‫ﻹﻨﺘﺎﺝ ﻭﺤﺩﺓ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺘﺎﺝ ‪x‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺎ ‪Cm(x) = C(x+1) – C(x) :‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ \" x Cm (x) :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻠﻔﺔ ﻫﺎﻤﺸﻴﺔ \"‬‫ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ‪ :‬ﺒﻤﺄﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻹﻗﺘﺼﺎﺩ ﻴﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺘﺄﺨﺫ \" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻜﻠﻔﺔ ﻫﺎﻤﺸﻴﺔ \" ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \" ﻜﻠﻔﺔ ﺇﺠﻤﺎﻟﻴﺔ \" ﺃﻱ )‪Cm(x) = C’(x‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻥ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ﻫﻲ )‪c(o‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺒﺤﻴﺙ )‪ cM(x0‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ \" ﻜﻠﻔﺔ ﻤﺘﻭﺴﻁﺔ\" ﻓﺈﻥ‪Cm (x0) =CM (x0):‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺃﺼﻐﺭﻴﺔ ﺘﺄﺨﺫ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪0‬‬ ‫)‪ CM (x0‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ CM‬ﻴﻜﻭﻥ ‪CM'(x0) =0‬‬ ‫)‪CM '(x‬‬ ‫)‪x.C'(x)  C(x‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ ‪x2‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ CM '(x0) =0‬ﺴﺘﻠﺯﻡ ‪x0 C' (x0)- C(x0) =0‬‬ ‫‪15‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫) ‪C(x0‬‬ ‫) ‪C ' (x0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪CM(x0) = Cm(x0‬‬ ‫‪ II‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻴﻠﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ I‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‪F'( x)=f(x) :I‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ F(x)=x3‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ƒ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ƒ‬‫ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f(x)=3x2‬ﻷﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ƒ ﻭﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ‪F’( x)=f(x) :‬‬ ‫ﻜﺎﻥ ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺃﺨﺫ ‪ F‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ F(x)=x3+2‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪F(x)=x3-7‬‬ ‫ﺃﻭ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ F(x)=x3 + k‬ﺃﻴﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬ ‫ﻨﻜﺭﺭ ﺇﺫﻥ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺩﺍﻟﺔ‪ \" f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ\" ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻟﻴﺴﺕ ﻭﺤﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻴﻠﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ G (x) = F(x)+k‬ﺃﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬‫‪x‬ﻓﻲ ‪F'(x)=f(x) : I‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ F‬ﻫﻲ ‪ I‬ﻭ‪ F‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭﻤﻬﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ I‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪: I‬‬ ‫‪ G‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻴﻌﻨﻲ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫‪16‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪ G’(x) = f(x‬ﻭ )‪ G’(x) = F ‘(x‬ﻤﻨﻪ ‪( G’ – F ‘) (x) = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪(G-F)’(x) = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ G-F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪I‬‬ ‫‪G(x) –F(x) =k‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ F‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ ‫)‪ f (x‬ﻭ ‪F (x) x. x2  3‬‬ ‫‪2x2  3‬‬ ‫‪X2 3‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ f‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ƒ‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰƒ‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ H‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ƒ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪H (1) =-2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ F‬ﻭ‪ f‬ﻫﻲƒ‬‫‪ -1‬ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰƒ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫)‪F ' (x‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲƒ‪F'(x) =f(x):‬‬ ‫‪1. x2  3  x. 2x‬‬ ‫‪2 x2  3‬‬ ‫)‪F ' (x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x2  3 x2  3  x2‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪x2  3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻔﻌل ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ƒ )‪F'(x) =f(x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺍﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ƒ‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ x x x2  3  k‬ﺃﻴﻥ ‪k‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬ ‫‪ H‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪H (x) x x2  3  k‬‬‫‪H (1) 1 12  3  k‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻭ ‪ H (1) = -2‬ﻤﻨﻪ‪.‬‬ ‫‪17‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2+k=-2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪K=-4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ H :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪H (1) = -2‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪H (x) x x2  3  4‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺍﻟﺸﺭﻁ ‪ H (1) = -2‬ﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ‪ k‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪H‬‬ ‫ﻭﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ y0‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺘﻭﺠﺩ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ H‬ﺘﺤﻘﻕ‪H(x0)=y0‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‪ :‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺩﻭﺍﻟﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪ F‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ I‬ﻭﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﻗﻴﻤﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪k.‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‪I‬‬ ‫ﻓﺎﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻻﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺍﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪F‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ƒ‬ ‫ƒ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻗﺔ ﺒﺩﺴﺘﻭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪f (x) =0‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪F(x) =k‬‬ ‫‪f(x) =1‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪f(x) =a‬‬ ‫‪F(x) =x +k‬‬ ‫ﺍﻱ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ƒ‬ ‫‪F(x) = ax +k‬‬ ‫‪f(x)= x‬‬ ‫)‪F(u‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2+K‬‬ ‫‪f(x)= x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F(x) = 1 x3+K‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ƒ‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‪f(x) = xn‬‬ ‫‬ ‫ﺍﻴﻥ ‪n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫> ‪ @-v.0‬ﺍﻭ‬ ‫‪n‬‬ ‫> ‪@0.+v‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪n t1‬‬ ‫)‪F(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫> ‪ @-v.0‬ﺍﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫> ‪@0.+v‬‬ ‫‪f(x) = x2‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫> ‪@0.+v‬‬ ‫‪ 1)xn1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) = xn‬‬ ‫‪F(x) 2 x  k‬‬ ‫ﺍﻴﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪n t2‬‬ ‫‪f (x) 1‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺃﻋﻼﻩ ﻤﺴﺘﻨﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺒﺎﻟﻔﻌل ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻨﺎ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺃﻥ ‪f‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. F‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ h,g,f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫= )‪H(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,g(x)= x10‬‬ ‫‪,f(x) =3‬‬ ‫‪x9‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪ x 3x  k‬ﺃﻴﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ƒ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬‫‪ x‬ﺃﻴﻥ ‪k‬ﻋﺩﺩ‬ ‫‪x11‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x10 1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‪10‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻋﻠﻰ ‪@ >-v.0‬‬‫ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 1)x91‬‬ ‫‪@ >(9‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‪-v.0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪.‬‬ ‫‪19‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ x‬ﺃﻴﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪8x8‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﺴﺘﻨﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ(‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‪ F‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻨﺕ‪ G‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (F+G‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )‪ (f+g‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ F‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪I‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ a F‬ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ a f‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ h,g,f‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ‬‫)‪h(x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫)‪, g(x‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f(x)=4x5‬‬ ‫‪3 x  2x3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x7‬‬‫‪+2x3+5x-1‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ƒ ﻭﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰƒ ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻭ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻲ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ƒ‬‫‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ *ƒ ﻭﻤﻨﻪ ‪ g‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﺍﻻ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ*ƒ ‪ .‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻭ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫)‪G(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻲ ƒ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6x6‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ *ƒ‬ ‫‪20‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻓﺈﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‪:‬‬‫‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺠﺎﻻ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪I‬‬ ‫‪ I‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻬﻤﺎﺘﻜﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ I‬ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪F(x) 2 u(x‬‬ ‫‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ’‪ u‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫)‪f (x) u'(x‬‬ ‫)‪u(x‬‬‫)‪F ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.u‬‬ ‫(‬ ‫‪x)n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ’‪ u‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪n‬‬ ‫‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫)‪f (x) u(x)n.u'(x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ’‪ u‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪n‬‬‫)‪F ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪u'(x‬‬ ‫‪n>1‬‬ ‫‪n 1.u(x)n1‬‬ ‫‪u(x)n‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f,g h‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺎﺘﻴﺭ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪  f (x) x2  x  1 . 2x3  3x2  6x  1 20 g(x‬‬ ‫‪2x  3 ,‬‬ ‫‪x2  3x  10‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪5x2  10x 13‬‬ ‫)‪ h(x‬‬ ‫*( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ƒ‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ u(x)= 2x3+3x2+6x+1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪u’(x)=6x2+6x+6‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪u‬‬ ‫‪x)20‬‬ ‫'‪.u‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪u’(x) = 6 (x2+x+1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻨﺎ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪126‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪2x3  3x‬‬ ‫‪6x  1 21‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ƒ ‪.‬‬ ‫‪21‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫*( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ‬ ‫)ﻷﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻟﻨﺎ ‪(('=-31 )x2+3x+10>0 :‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪u'(x‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u(x) = x2+3x+10‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ u’(x)=2x+3‬ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻨﺎ‬ ‫)‪G(x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ƒ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪2 x2  3x  10 :‬‬‫ﻤﻨﻪ )‪u’(x)=10(x-1‬‬ ‫ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ƒ ‪.‬‬ ‫*( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 5x2-10x=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪5x (x-2)=0‬‬ ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ x=0‬ﺃﻭ ‪x=2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻫﻲ }‪R – {0 ;2‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ u(x) = 5x2-10x :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪u’(x) = 10x-10 :‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫)‪1 u'(x‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪10 u(x)13‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻨﺎ‬ ‫)‪H (x‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ H‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ }‪ R-{0 ;2‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪120. 5x2  10x 12‬‬ ‫‪ III‬ﺘﺘﻤﺎﺕ ﺤﻭل ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫*(ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺎﻴﻠﻲ ‪f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻭ ‪ I‬ﻤﺠﺎل ﻭ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f+g‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ‬ ‫‪ G‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ x‬ﺠﺩﺍﻉ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫‪22‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪k.f‬‬ ‫ﻭ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪k>0‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪k>0‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪gof‬‬ ‫ﻭ ﻭﺠﺩ ﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻴﺤﺘﻭﻱ)‪f(I‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪01‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ ‫)‪v(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, u(x) x2  12‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫()‪(uov‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫‪(vou)(-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (vou‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪ (vou)(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (uov‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪ (uov)(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪02‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪f (x) 2x  8 ; g(x) - 3x 2  2x  1‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (gof‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪ (gof)(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪23‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (fog‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪ (fog)(x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪03‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1 x4‬‬ ‫‬ ‫‪x3‬‬ ‫‬ ‫‪3 x2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪; f(x)= -3x2-5x+7 (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x  7‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫)‪; f (x‬‬ ‫‪ 5x4  2x2  8‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‪ 2x  4‬‬ ‫‪7x2  x  3 5 (6‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x2  5x  2‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪x2  5x  6 (8‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x4  x2  1 12 (7‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3x2  2‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫‪x 13 (10‬‬ ‫‪ f (x) 3x2  2x 2x3  8x (11‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 04‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f (x) 3x2  7x  3‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O , i , j‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (T‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ل ) ‪ ( C‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. 2‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪ ( C‬ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻪ ﻋﻨﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = -3x+2‬‬ ‫‪ (3‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ل) ‪ ( C‬ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ o‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 05‬‬‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪I = IR‬‬ ‫)‪F ( x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ x2  2x 1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪x4  2x2 1‬‬ ‫‪I‬‬ ‫>‪@0;f‬‬ ‫)‪F(x‬‬ ‫‪2x x‬‬ ‫‪f(x) x (2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪24‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫>‪@ f;0‬‬ ‫)‪F(x‬‬ ‫‪2x - x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪3x 3  6x‬‬ ‫‪3x 2  2‬‬ ‫‪3x2  2 2.  x‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 06‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ a , b , c‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ F‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺩﻭﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ F(x) ax 2  bx  c . x2  1‬و ‪ f (x) x3‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪ a , b , c‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 07‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪I R, f (x) 3x  7(2; I R, f (x) 2(1‬‬‫‪I‬‬ ‫)‪R, f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪5x‬‬ ‫‬ ‫;‪2(3‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)‪R, f (x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪I‬‬ ‫)‪@ f;0>, f (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪1(6; I‬‬ ‫)‪@0;f>, f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪x(5‬‬ ‫‪2x4‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪x9‬‬‫‪I‬‬ ‫)‪@0;f>, f (x‬‬ ‫‪5x5‬‬ ‫‪ 3x4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫;‪(8‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)‪R, f (x‬‬ ‫‪18x  5 10 (7‬‬ ‫‪2x3‬‬ ‫‪2x‬‬‫‪ I‬‬‫»‪¼º‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¬ª«,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‪f‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‬ ‫‪26‬‬ ‫‪(10; I‬‬ ‫)‪R, f (x‬‬ ‫‪4x  2. x2 x  2 4 (9‬‬ ‫‪ 3 (12; I‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪I @1;f>, f (x‬‬ ‫)‪R, f (x‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(11‬‬ ‫ ‪3x2  6x‬‬ ‫)‪I R, f (x‬‬ ‫)‪x 2 (13; I R, f (x‬‬ ‫‪2x3  x (14‬‬ ‫‪3x2  4‬‬ ‫‪5 x4  x2 1‬‬ ‫)‪I @ f;0>, f (x‬‬ ‫‪ 3 (15‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x2.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 08‬‬ ‫‪25‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪x 2  10x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‪2:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪(1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﻥ ‪ a,b‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪D‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪@ >1;f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 09‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪F (α ) β :‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪2 2;α‬‬ ‫‪3; I‬‬ ‫)‪@ f;0>; f (x‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪β 0;α 1; IR, f (x‬‬ ‫‪ x (2‬‬ ‫‪x2  3 x2  3 1‬‬ ‫‪x3  2x2  x  5‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪5,α‬‬ ‫)‪2; f (x‬‬ ‫‪x  12‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 10‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2  3x  2‬‬‫) ‪ ( C‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(O,i , j‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪ (2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ ( C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪. 4‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y=1‬‬ ‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻰ ) ‪ ( C‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 11‬‬ ‫‪26‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ )‪ ( C1) , ( C2) ,( C3‬؛ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺜل ل ‘ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ‪ F‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ ، R‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫) ‪(O,i , j‬‬‫ﺤﺩﺩ ﻤﻌﻠﻼ ﻋﻠﻰ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ‪،‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‘ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫‪(1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪F‬‬ ‫‪(2‬‬‫ﺇﺸﺭﺡ ﻜﻴﻑ ﻜﻴﻑ ﻴﻨﺸﺄ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪ ( E‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ G‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪، f‬ﻋﻠﻰ ‪، R‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ G(0)=-4‬ﺜﻡ ﺃﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( E‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪( C1) ( C3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i→ 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬‫) ‪( C2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪27‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:1‬‬ ‫‪ u /1‬ﻭ ‪ Q‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫)‪.ν (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪u(x‬‬ ‫‪x2 12‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪ν‬‬ ‫( ‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ν‬‬ ‫( ‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ν‬‬ ‫( ‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪=ν‬‬ ‫‪(u‬‬ ‫(‬ ‫)) ‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=ν‬‬ ‫(‬ ‫‪25‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 19‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ν‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪u(ν‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫))‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫(‪u‬‬ ‫‪49‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ν‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 37‬‬ ‫‪/2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ν µ‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ )‪µ (x‬‬ ‫¾ ﻟﺘﻜﻥ ‪ D1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ν µ‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ :‬‬ ‫}‪D={x,xƒ :P(x) DQ‬‬ ‫}‪={x,xƒ : x2+12z3‬‬ ‫} ‪={x,xƒ : x2z9‬‬ ‫ƒ=‬ ‫¾ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ƒ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫))‪ν u(x) ν (u(x‬‬ ‫‪28‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u(x)  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2  9‬‬ ‫‪ /3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ µ ν‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ )‪ µ ν (x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪.x‬‬ ‫¾ ﻟﺘﻜﻥ ‪ D2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ µ ν‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ :‬‬ ‫})ƒ)‪ Q(x‬ﻭ)‪D2={x,xƒ (xDv‬‬ ‫¾‬ ‫})‪={x,xƒ : (x-3z0‬‬ ‫}‪= ƒ -{3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭ }‪ ƒ -{3‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫))‪µ ν (x) µ(ν (x‬‬ ‫‪(ν (x))2  12‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪(x  3)2‬‬ ‫‪12x 2  72x  112‬‬ ‫‪(x  3)2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫‪ (g‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. x‬‬ ‫‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪ g(x) 2x  8‬ﻭ ‪. g(x) 3x2  2x  1‬‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (g g‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ )‪g)(x‬‬ ‫¾ ﻟﺘﻜﻥ ‪ D1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g g‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫})‪ (g (x)Dg‬ﻭ)‪D1={x,xƒ (xDg‬‬ ‫})ƒ)‪(g (x‬ﻭ)‪={x,xƒ : (xt-4‬‬ ‫[‪= [-4 ;+f‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ [‪ [-4 ;+f‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫))‪(g g)(x) g(g(x‬‬ ‫‪3(g(x))2  2(g(x))  1‬‬ ‫‪29‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪3(2x  8)  2 2x  8  1‬‬ ‫‪ (g‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. x‬‬ ‫‪2 2x  8  6x  23‬‬ ‫‪/2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ (g g‬ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ )‪g)(x‬‬ ‫¾ ﻟﺘﻜﻥ ‪ D2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g g‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫})‪ (g (x)Dg‬ﻭ)‪D2={x,xƒ (xDg‬‬‫}‪={x,xƒ : g(x)t-4‬‬ ‫})‪={x,xƒ : -3x2+2x+1t-4‬‬ ‫})‪={x,xƒ : -3x2+2x+5t0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫] ‪=[-1 ; 3‬‬ ‫; ‪ [-1‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﺍ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫))‪(g g)(x) g(g(x‬‬ ‫‪2g(x)  8‬‬ ‫‪ 6x 2  4x  10‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﺜﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ gc‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪g(x) 3x2  5x  7 /1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥƒ ‪:‬‬ ‫‪gc(x) 6x  5‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪/4‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫ƒ‬ ‫{‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ}‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ƒ‬ ‫{‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫)‪3(2x  1)  2(3x  7‬‬ ‫‪ 17‬‬ ‫‪(2x  1)2‬‬ ‫‪(2x  1)2‬‬ ‫‪30‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‬ ‫ ‪2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪/5‬‬ ‫‪3x2‬‬ ‫‪ 5x‬‬ ‫‬‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺃﺠل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫ƒ‬ ‫‪-{2‬‬ ‫;‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ}‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫)‪ 2(3x2  5x  2)  (6x  5)(x  4‬‬ ‫‪(3x2  5x  2)2‬‬ ‫‪6x2  10x  4  12x2  34x  20‬‬ ‫‪(3x2  5x  2) 2‬‬ ‫‪6x2  24x  24‬‬ ‫‪(3x2  5x  2) 2‬‬ ‫‪g(x) (7x2  x  3)5 /7‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ƒ‪:‬‬ ‫‪gc(x) 5(14x  1)(7x2  x  3)4‬‬ ‫‪(70x  5)(7x2  x  3)4‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪(x4‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1)12‬‬ ‫‪/8‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ƒ‪:‬‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫‪ 12(4x3  2x)(x4  x2  1)11‬‬ ‫‪(x4  x2  1)24‬‬ ‫)‪ 24(2x2  x‬‬ ‫‪(x4  x2  1)13‬‬ ‫)‪ 24x(2x  1‬‬ ‫‪(x4  x2  1)13‬‬ ‫‪g(x) x2  5x  6 /10‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ [‪ ]-f ;-6[‰[1 ;+f‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ‪]-f ;-‬‬ ‫[‪ 6[‰[1 ;+f‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪31‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪gc(x) 2x  5‬‬ ‫‪2 x2  5x  6‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪3x2  2‬‬ ‫‪/11‬‬ ‫‪2x 1‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪x‬‬ ‫ƒ‬ ‫{‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻲ}‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ƒ‬ ‫{‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫‪3x (2x  1)  2 x2  2‬‬ ‫‪3x2  2‬‬ ‫‪(2x  1)2‬‬ ‫)‪3x(2x  1)  2(3x2  2‬‬ ‫‪(2x  1)2 3x2  2‬‬ ‫‪ 3x  4‬‬ ‫‪(2x 1)2 3x2  2‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪(x  1)3 /12‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ}‪ ƒ -{1‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪x‬‬ ‫}‪ ƒ -{1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫‪4x3 (x  1)3  3(x  1)2 x4‬‬ ‫‪(x  1)6‬‬ ‫)‪x3 (x  1)2 (4(x  1)  3x‬‬ ‫‪(x  1)6‬‬ ‫)‪x3 (x  4‬‬ ‫‪(x  1)4‬‬ ‫‪g(x) (2x  1)7 5x2  3 /14‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ƒ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ ƒ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪32‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪g c( x‬‬ ‫‪7(2x  1)6 2 5x2  3  (2x  1)7 5‬‬ ‫‪5x2  3‬‬ ‫‪14(2x  1)6 (5x2  3)  5(5x  1)7‬‬ ‫‪5x2  3‬‬ ‫)‪> @(2x  1)6 14(5x2  3)  5(2x  1‬‬ ‫‪5x2  3‬‬ ‫)‪(2x 1)6 (70x2 10x  47‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫‪5x2  3‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪3x2  7x  3‬‬ ‫)‪. g(x‬‬ ‫‪/1‬ﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻋﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (T‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (V‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪.2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﺎﻫﺎ )‪.(x,y‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (T‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫)‪y gc(2)(x  2)  g(2‬‬ ‫‪5(x  2)  1‬‬ ‫‪5x  9‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ y 5x  9‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ )‪. (T‬‬‫‪/2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ)‪ (V‬ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪(V‬ﻋﻨﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫‪ y 3x  2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﺤﻴﺙ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﺎﻫﺎ )‪ (x0,y0‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪gc(x0 ) 3‬‬ ‫‪6x0  7 3‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪6x0 4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪3( 2)2‬‬ ‫‬ ‫(‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪14‬‬ ‫‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ /3‬ﻫل ﺘﻭﺠﺩ ﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (V‬ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ 0‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ؟‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M0‬ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ ،(V‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ )‪ (t‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟـ )‪ (V‬ﻋﻨﺩ ‪ ، M0‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫) ‪ y gc(x0 )(x  x0 )  g(x0‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺎﺱ)‪. (t‬‬ ‫ﺤﻴﻨﺌﺫ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )‪ (t‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪0 gc(x0 )(0  x0 )  g(x0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪(6x0  7)(x0 )  3x02  7x0  3 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ‪ 3x02  3 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ (x0 1) :‬ﺃﻭ )‪(x0 1‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ)‪ (V‬ﻋﻨﺩ ﻜﻠﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ ، 0‬ﻨﺴﻤﻴﻬﻤﺎ )‪ (tA‬ﻭ‬ ‫)‪. (tB‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪(tA ) : y gc(1)(x  1)  g(1) :‬‬ ‫)‪(tB ) : y gc(1)(x  1)  g(1‬‬ ‫‪(tA ) : y (1)(x  1)  1‬‬ ‫‪(tB ) : y (13)(x  1)  13‬‬ ‫‪(tA ) : y x‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪(tB ) : y 13x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ F (x‬ﻭ ƒ=‪.I‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪ g(x‬ﻭ‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫¾ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ƒ ) ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ( ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪34‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪F c(x‬‬ ‫¾ ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥƒ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪1(x2  1)  2x(x  1‬‬ ‫‪(x2  1)2‬‬ ‫‪ x2  2x 1‬‬ ‫‪x4  2x2 1‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎلƒ ‪.‬‬ ‫)‪ F (x‬ﻭ [‪I=]-f ;0‬‬ ‫‪2x  x‬‬ ‫)‪ g(x‬ﻭ‬ ‫‪3x3  6x‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3x2  2‬‬ ‫‪(3x2  2)2  x‬‬ ‫¾ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ[‪ ) ]-f ;0‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ (‪.‬‬ ‫¾ ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻤﻥ[‪ ]-f ;0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫)‪2( x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)(3x 2‬‬ ‫‬ ‫)‪2‬‬ ‫‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬‫)‪F c(x‬‬ ‫‪(3x2  2)2‬‬ ‫)‪(2x  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(3x2  2)  12x‬‬ ‫‪(3x2  2)2‬‬ ‫‪ 3x(3x2  2)  12x3‬‬ ‫‪(3x2  2)2  x‬‬ ‫‪3x3  6x‬‬ ‫‪(3x2  2)  x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[‪. ]-f ;0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪ c، b، a‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﻋﻠﻰƒ ‪.‬‬ ‫¾ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ F‬ﻗﺎﻟﺒﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰƒ ) ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ(‪.‬‬ ‫¾ ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ƒ‪.‬‬ ‫‪35‬‬