دروس مادة الرياضيات للفصل الاول تسيير و اقتصاد سنة ثالثة ثانوي

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺠـ(ﻫل ‪ g D g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺼﻔﺭ؟‬ ‫ﺒﻘﺭﺍﺀﺓ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻴﺘﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g D g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻜل ﻤﻥ ‪ g‬ﻭ ‪ g‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺼﻔﺭ ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g D g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ D‬ﻭ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ )‪ g(x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g D g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪. D‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺃﻥ ﺍﻻﺴﺘﻠﺯﺍﻡ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻟﻴﺱ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻫﺫﺍ ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ]‪ [-1 ;1‬ﻭ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ‪ k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [-1 ;1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪g(-x)= g(x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ §¨ ‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻭ‬ ‫‪g‬‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪/2‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪48‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪g‬‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪4 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪g‬‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫ §¨‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺯﻭﺠﻴﺔ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺒﻤﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪.‬‬ ‫¨§‪g‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪2 :‬‬ ‫[‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﻴﺎﻥ‬ ‫‪/3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ) [-1 ;1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ(‬ ‫]‪.[-1 ;1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺤﺘﻭﻱ‬ ‫[‬ ‫]‪3; 3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻭ‬ ‫‪44‬‬ ‫‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪ /4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ ، [-1 ;1‬ﻭ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫[‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺒﺘﻤﻴﻴﺯ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ‪ 0dxd+1‬ﻭ‪ -1dxd 0‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺤﻠﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪1 5 1 5‬‬ ‫‪2‬ﻭ ‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻴﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﻤﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪:‬‬ ‫‪.g‬‬ ‫ §¨‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫§¨‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪4 :‬‬ ‫‪49‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫[‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ¨§‪. g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭ‬ ‫¨§‪g‬‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‪ 0‬ﻟﻴﺱ ﻤﺤﺼﻭﺭﺍ ﺒﻴﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫ﻜﻼﻫﻤﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ g(x)=0‬ﻟﻬﺎ ﺤﻼﻥ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﺫﺍ ‪:‬‬‫ﻋﺩﻡ ﺘﻭﻓﺭ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻻ ﻴﺅﺩﻱ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻭﻻ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﺎ ﺃﻨﺠﺯ ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬ ‫ﺃﻨﻅﺭ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ -2‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪ -3‬ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ƒ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ‪.]-f ;-1[‰]-1 ;+1[‰]1 ;+f[ :‬‬ ‫‪ /2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫)‪lim g(x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪lim 2x‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪=+f‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ‪. lim g(x) f :‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪x !1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪x ! 1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫)‪lim (g(x)  2x 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ 3x‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪50‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻨﺠﺩ ‪. lim (g(x)  2x  1) 0 :‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ )‪ (V‬ﻟﻪ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f :‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪x!1 x!1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ x=1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪.(V‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f :‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x!1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ x=-1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪.(V‬‬‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim (g(x)  (2x  1)) 0‬ﻭ ‪. lim (g(x)  (2x  1)) 0‬‬‫‪xof‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=2x+1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻟـ)‪.(V‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.g‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ [‪.]-f ;-1[‰[+1 ;2[‰]2 ;+f‬‬ ‫‪ /2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪x 2 (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪lim g(x‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ ‪x(1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪= lim 3 u‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪51‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪lim g(x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x(1‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪= lim  3 u‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ ‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f :‬‬ ‫‪xo2‬‬ ‫‪xo2‬‬ ‫‪x2 x!2‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﻟـ )‪ (V‬ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬‫‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g(x) 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(V‬‬ ‫‪xof‬‬‫‪ x‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g(x) 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ‪ y=-3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫‪xof‬‬‫ﻫﻭ‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪x=3‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫)‪.(V‬‬ ‫‪xo2‬‬ ‫‪xo2‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x!2‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪.(V‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﻤﻥ ƒ ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x 4  81‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪x5  243‬‬ ‫‪xo3‬‬ ‫‪52‬‬

1 ‫اﻹرﺳﺎل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫ ﺛﺎﻧﻮي‬3lim x 4  81 lim ( x (x  3)(x3  3x 2  9x  27) 81) : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x5  243  3)(x 4  3x3 9 x2  27x xo3 xo3 lim x 4  81 lim x4 x3  3x 2  9x  27 : ‫ﺇﺫﻥ‬ x5  243  3x3  9x 2  27x  81 xo3 xo3  4 u 33 5u 34 4  15 lim 2x 2  11x 5 /2 x2  2x  15 xo5 lim 2x 2  11x  5 = lim (x  5)(2x 1) : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x 2  2x  15 (x  5)(x  3) xo5 xo5 lim 2x 1 x3 xo5 9 8 lim 2x  3  4x /3 xof 2x  5 lim 2x  3  4x lim  2 x  3  4 x =: ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2 x  5 xof 2x  5 xof lim  2x 2x xof 1 lim 2x2  4 x 1 /4 3x  1  2 xof lim 2x2  4x 1 = lim 2x2  4x 1 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 3x 1  2  3x 1 2 xof xof 53

1 ‫اﻹرﺳﺎل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫ ﺛﺎﻧﻮي‬3 lim 2x2  3x xof lim  2 x 3 xof lim 2x  3  f xof 7x 2  x /5  lim 2x  3  7x2 x = lim ¨©§¨ 2x  3  x 7 1 ¸¹·¸ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x xof xof lim x¨¨©§ 2  3  7  1 ¹¸·¸ x x xof  f lim 2x  x 2  3x /6  xof lim 2x  x2  3x f : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  xof lim 3x  1  9x 2  1 /7 xof :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ lim [(3x 1)  9x2 1][3x 1 9x2 1] lim 3x 1  9x 2  1xof 3x 1 9x2 1 xof lim 6x xof 3x 1 9x2 1 lim 6x 1 xof 1 x2 x(3 x  9  ) lim 6 1 xof 1 x2 3  x  9  54

1 ‫اﻹرﺳﺎل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫ ﺛﺎﻧﻮي‬3 1 lim x2  3  3x 1 /8 x 1 xo1 .‫ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺴﺎﺒﻌﺔ‬ lim x  2  3x2  5x  2 /9 xo2 2x2  3x 1  3 lim x  2  3x2  5x  2 = lim x  2  3x2  5x  2 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2x2  3x 1  3 2x2  3x 1 3 xo2 xo2 x!2 x!2 lim 3x 2  4x  4 2x2  3x  2 xo2 x!2 lim (x  2)(3x  2) (x  2)(2x  1) xo2 x!2 lim 3x  2 2x  1 xo2 x!2 8 5lim x  2  3x2  5x  2 = lim  x  2  3x2  5x  2 : ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 2x2  3x 1  3 xo2 2x2  3x 1 3xo2 x2 x2 lim 2 3x 2 6 x 1 x2  3x  xo2 x2 lim ( x 3x(x  2) 1)  2)(2x  xo2 x2 lim 2 3x 1 x xo2 x2 6 5 55

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x2  7x  6  4x  5‬‬ ‫‪/10‬‬ ‫‪xo1‬‬ ‫‪x  3  x2  7x  4‬‬ ‫ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ lim 5x2  x  sin(x) /11‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪1dsin(x)d1 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪5x2-x-1d5x2-x+sin(x)d5x2-x+1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻜﻥ ‪ lim 5x2  x  1 f‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ . lim 5x2  x  sin(x) f‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪. lim 3x  8  3sin(x)/12‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪3 sin( x‬‬ ‫‪/13‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪x>1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪-1dsin(x)d 1:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪-3d3sin(x)d 3 :‬‬ ‫)‪3 3sin(x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x 1d x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻭ ﻟﻜﻥ ‪0 :‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪3 sin( x‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ﻨﺠﺩ ‪0 :‬‬ ‫‪xof‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪/14‬‬ ‫ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪56‬‬

1 ‫اﻹرﺳﺎل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫ ﺛﺎﻧﻮي‬3 lim 2x  sin( x) /15 4x  cos(x) xof :‫ ﻋﻨﺩﺌﺫ‬xz0 ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ‬ lim 2x  sin( x) = lim x(2  sin( x) ) 4x  cos(x) x(4  x xof xof cos( x) ) x lim 2  sin( x) 4  xof x cos( x) x : ‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‬ lim cos( x) 0‫ﻭ‬ lim sin( x) 0 x x xof xof lim 2x  sin( x) 2 ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 4x  cos(x) 4 xof 1 2 57

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬‫‪ -‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃ َﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺃﻭ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﻭ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺭﺘﻴﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻌﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪ U n1 a.U n  b‬ﻭﺤﺴﺎﺏ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ x‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫‪ x‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪) :‬ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﻭﺘﺘﻤﻴﻤﺎﺕ(‬‫‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪.U n1 aU n  b :‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ x‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪1‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 1‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.‬‬‫ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ،‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪p(n‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪n‬‬ ‫‪« 03  13  23  33  ...  n3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪12‬‬ ‫»‬ ‫‪4‬‬‫) )‪ p(n‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪ » :‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﻜﻌﺒﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ، n‬ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫«‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫أ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﺎﻴﺎ )‪ ، p(7) ، p(6) ، p(5) ، p(1) ، p(0‬ﺜﻡ ﺘﺄﻜﺩ‬ ‫ﺃﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻀﺎﻴﺎ ﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ب‪ -‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺘﻴﻥ )‪، p(m‬‬‫)‪ p(m  1‬ﺜﻡ ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺘﻤﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ‬ ‫)‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫‪ -2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﺴﻤﻲ )‪ Q(n‬ﺍﻟﻘﺼﻴﺔ ‪ 8n  1 » :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪.« 7‬‬‫أ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﺎﻴﺎ )‪ Q(3) ، Q(1) ، Q(0‬ﺜﻡ ﻗل ﻋﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻭ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬‫ب‪ -‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ‪ :‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺘﻴﻥ )‪ Q(m‬ﻭ‬‫)‪ Q(m  1‬ﺜﻡ ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ Q(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ )‪ Q(m  1‬ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫◄ ﺍﻷﺠﻭﺒــﺔ ‪:‬‬ ‫‪.« 03‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.0 2.(0‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫»‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪p(0‬‬ ‫‪ -1‬ﺃ –‬ ‫‪4‬‬ ‫‪. « 03  13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.12.(1‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﻫﻲ ‪»:‬‬ ‫ﻭ )‪p(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪. « 03  13  23  33  43  53‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.52.(5‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫»‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪p(5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪.« 03  13  23  33  43  53  63‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪2.(6‬‬ ‫‬ ‫‪1) 2‬‬ ‫»‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪p(6‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬‫‪ « 255‬ﻭ )‪p(6‬‬ ‫‪ « 1‬ﻭ )‪ p(5‬ﻫﻲ » ‪255‬‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ‪:‬‬ ‫)‪ p(0‬ﻫﻲ » ‪ « 0 = 0‬ﻭ )‪ p(1‬ﻫﻲ » ‪1‬‬ ‫ﻫﻲ » ‪« 441 441‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﺎﻴﺎ )‪ ، p(5) ، p(1) ، p(0‬ﻭ )‪ p(6‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪03  13  23  33  ...  m3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m2 (m  1)2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺏ‪p(m) -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ p(m  1‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪03  13  23  33  ...  m3  (m  1)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪ (α)... 03  13  ...  m3‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪(β)... 03  13  ...  (m  1)3 (03  13  ...  m3 )  (m  1)3‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﻭﺘﺒﻘﻰ )‪(β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.m2‬‬ ‫‪.(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺒـ‬ ‫) ‪(03  13  ...  m3‬‬ ‫ﻤﻥ ﺼﻭﺍﺏ )‪ (α‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪:.‬‬‫‪03  13  23  33  ...  m3  (m  1)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪:‬‬‫‪03  13  23  33  ...  m3  (m  1)3‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¨§‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫©‬ ‫‪4‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪:.‬‬ ‫‪03  13  23  33  ...  m3  (m  1)3‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫©§¨¨‪ 1)2 .‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‬ ‫‪4m‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫¸‪¸·¹‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪:‬‬‫ﻭﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪03  13  23  33  ...  m3  (m  1)3‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.(m‬‬ ‫‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ p(m  1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، m‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺘﻤﺎ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺃ‪ Q(0) -‬ﻫﻲ ‪ 80  1 » :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ Q(1) ، « 7‬ﻫﻲ » ‪ 81  1‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ Q(3) « 7‬ﻫﻲ » ‪ 83  1‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.« 7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪ Q(0‬ﻫﻲ » ‪ 2‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 7‬ﻭ )‪ Q(1‬ﻫﻲ » ‪ 9‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪« 7‬‬‫ﻭ )‪ Q(3‬ﻫﻲ » ‪ 512‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 7‬ﻭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻀﺎﻴﺎ )‪ Q(0‬ﻭ )‪ Q(1‬ﻭ‬ ‫)‪ Q(3‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺏ‪ Q(m) -‬ﻫﻲ » ‪ 8m  1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 7‬ﻭ )‪ Q(m  1‬ﻫﻲ » ‪ 8m1  1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 7‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ Q(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻴﻜﻭﻥ ‪ 8m  1 7k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 8m1 8m u 8‬ﺃﻱ ‪. 8m1 8m  7 u 8m‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ 8m1  1 8m  7 u 8m  1‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ 8m1 8m  7 u 8m‬ﻭﻴﻜﻭﻥ‬‫‪ 8m1 7 u k  7 u 8m‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ 8m1 7 u k  8m‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ) ‪ (k u 8m‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ » ‪ 8m1  1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 7‬ﻭﺘﻜﻭﻥ )‪ Q(m  1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ : m‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ Q(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ )‪Q(m  1‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪ 1‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ )‪ p(n‬ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻓﻨﺎ » ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ « p‬ﻋﻠﻰ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ‪ » :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ‬ ‫ﺤﺘﻤﺎ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ )‪ « p(m  1‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ » ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ«‬ ‫‪4‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪ -‬ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪ 2‬ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ Q‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻤﻥ ﺨﻼل ﺠﻭﺍﺒﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ ، Q‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n0‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻭﻜﺎﻨﺕ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪: n0‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ E‬ﻗﻀﻴﺔ )‪ p(n‬ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻨﺎ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬‫‪ ، E‬ﻭﺇﺫﺍ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﺃﻨﻪ ‪ » :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ m‬ﻤﻥ ‪ E‬ﻓﺈﻥ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺤﺘﻤﺎ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺼﻭﺍﺏ )‪ « p(m  1‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ ، p‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، E‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﺴﺘﻌﻤل ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺘﻨﺎﻭﻟﻨﺎ » ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ «‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪.‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪  1 ;  f‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ> @‬ ‫‪f x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪ -1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪.U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪(U n‬‬ ‫‪ -2‬ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪ U n  2‬ﻭ ‪.U n t 1‬‬‫ﺠـ‪ -‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ U n‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ‬ ‫ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪...‬؟‬ ‫◄ ﺍﻷﺠﻭﺒــﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ f‬ﻫﻲ ‪ )  1 ;  f‬ﻤﻌﻁﻰ (> @‬ ‫‪5‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻭ‬ ‫‪lim§¨ x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪ lim f‬ﻭ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim¨§ x o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪0‬‬ ‫© ‪1‬‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪f‬‬ ‫© ‪f‬‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪ f c(x‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪@ >3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪fc‬‬ ‫‪(x 1)2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪1;  f‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ f c(x) ! 0 ،  1 ;  f‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺏ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ> @‬ ‫‪ 1 ;  f‬ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪@ >:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ‬ ‫)‪f c(x‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻐﲑﺍﺕ‬ ‫‪6‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ -2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ n  1 ;  f‬ﻭ )‪@ >.U n f (n‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ : N‬ﻜل ﻤﻥ ‪ n‬ﻭ )‪ (n  1‬ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪.  1‬‬‫ﻤﻨﻪ >‪ n  @1 ;  f‬ﻭ >‪ (n  1)  @1 ;  f‬ﻭ ‪ n  n  1‬ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ >‪@1 ;  f‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ f (n)  f (n  1‬ﻤﻨﻪ ‪. f (n 1)  f (n) ! 0‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ U n1  U n ! 0 ، N‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫!‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫©‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ ) U n  2 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪.(U n d 2‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ n t 0‬ﻭﻜل ﻤﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ 0‬ﻴﻨﺘﻤﻴﺎﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1 ;  f‬ﻭ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ> @‬ ‫>‪@1 ;  f‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ f (n) t f (0‬ﻭ ‪ ، f (0) 1‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪U n t 1 : N‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ U n  2 : N‬ﻭ ‪U n t 1‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ : f‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪...‬‬ ‫ﻗﻴﻡ )‪ f ( x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻤﻥ ‪. 2‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻓﺈ ّﻥ )‪ U n f (n‬ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﺘﻘﻭل ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U n‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ،‬ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻤﻥ ‪. 2‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻼﺤـﻅـﺔ ‪:‬‬‫• ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻜﻭﻥ ‪ » :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻓﺈ ّﻥ ‪ « U n t 1‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ » ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(U n‬‬ ‫ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻭﻴﺤ ّﺩﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪.«  1‬‬‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ ‪ » :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻓﺈ ّﻥ ‪ « U n d 2‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ » ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(U n‬‬ ‫ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭﻴﺤﺩﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪.« 2‬‬ ‫‪7‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫• ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ » ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ) ‪ (U n‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻤﻥ‬ ‫«‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ « 2‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ » ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ‪ « 2‬ﻭﻨﻜﺘﺏ » ‪2‬‬ ‫‪nof‬‬‫• ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺴﻠﻭﻙ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪ U n f (n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺴﻠﻭﻜﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪.U n1 aU n  b‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ a z 0 :‬ﻭ ‪ a z 1‬ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪.U n1 aU n  b ، N‬‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Wn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻫﻲ ﻜﺫﻟﻙ ﺘﺤﻘﻕ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪: N‬‬ ‫‪. Wn1 aWn  b‬‬‫‪ -1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ Vn U n  Wn : N‬ﻫﻲ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Wn‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ؟‬ ‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ) ‪ (U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪) b ، a ،U 0‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.( n‬‬ ‫◄ ﺍﻷﺠﻭﺒــﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ Vn U n  Wn : N‬ﻭ ‪. Vn1 U n1  Wn1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ Vn1 (aU n  b)  (aWn  b) :‬ﻭﻤﻨﻪ ) ‪. Vn1 a(U n  Wn‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ Vn1 aVn : N‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪a‬‬ ‫‪ -2‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ) ‪ (Wn‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪.Wn1  Wn 0 : N‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪. aWn  b  Wn 0 : N‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪.Wn (a  1) b : N‬‬ ‫‪8‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪Wn‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤ ّﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫) ‪(Wn‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫) ‪(Wn‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪1 a‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﻥ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ‪ 1‬ﻭ ‪: 2‬‬‫‪ Wn‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬ ‫) ‪(Wn‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪1 a‬‬ ‫‪. Wn1 aWn  b‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪(1) ... Vn U n  Wn : N‬‬‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ a‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ ، Vn‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ Vn V0  a n ٍ :‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫‪ V0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪: N‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ V0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪U 0  W0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. V0‬‬ ‫‪§¨U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪¸·.a n‬‬ ‫©‬ ‫‪1‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪.U0‬‬ ‫‪§©¨U0  1 ba ¸·¹.an‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫) ‪(U n‬‬ ‫ﻭﻤﻥ )‪ (1‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪1N a‬‬ ‫‪Vn Wn‬‬ ‫◄ ﺍﻟﻤﻼﺤـﻅـﺔ ‪:‬‬‫• ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ U n1 aU n  b :‬ﺘﺴﺘﻌﻤل‬‫ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻓﻲ ﺃﻭﻀﺎﻉ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻤﺜل ﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻟﺴﻜﺎﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺌﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻘﺭﺽ ﺃﻭ ﺍﻻﺴﺘﺜﻤﺎﺭ ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ ،‬ﻟﻘﺩ‬ ‫ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻜﻴﻑ ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ - I‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻫﻭ ﻨﻤﻁ ﻤﻥ ﺃﻨﻤﺎﻁ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺍﺏ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪، n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ‪. n0‬‬ ‫ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ )ﺒﺩﻴﻬﻴﺔ( ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n0‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ p‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. n0‬‬ ‫‪9‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻟﻜﻲ ﻨﺒﺭﻫﻥ –ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪ -‬ﻋﻠﻰ ﺃﻥ )‪ p(n‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪n t n0‬‬‫ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ‬ ‫)‪p(m‬‬ ‫‪ ،‬ﺼﻭﺍﺏ‬ ‫‪ ،‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ p(n0 ) -1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ) ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ (‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ‪m t n0‬‬ ‫)‪) p(m  1‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ (‬ ‫‪m+1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺸﺒﻴﻪ ﺒﺭﻫﺎﻨﺎ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺒﻌﻤﻠﻴﺔ ﺼﻌﻭﺩ ﺴﹼﻠﻡ ‪ ،‬ﺍﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﺃﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﺃﺘﺴﻠﻕ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻜﺎﻤﻼ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ‪ n0‬ﻴﻜﻔﻲ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻀﻤﻥ ﺼﻌﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ‪. n0‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﺩﺭﺠﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪. 2n t n  1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻟﻨﺴﻤﻲ )‪ p(n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪. 2n t n  1‬‬‫‪ -1‬ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ ‪ :‬ﻫﻨﺎ‪) n0 0‬ﻷﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻌﻨﻲ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪N‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪.( n t 0‬‬‫)‪ p(0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪ 20 t 0  1 :‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪1 t 1‬ﻭﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ )‪ ، (1‬ﻤﻨﻪ )‪p(0‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪:‬‬ ‫)ﻜﺫﻟﻙ ﻨﺄﺨﺫ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻜﻴﻔﻲ ‪ n‬ﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪(.‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻟﻨﺄﺨﺫ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻜﻴﻔﻲ ﻭﻟﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻨﻔﺭﺽ ‪ 2m t m  1‬ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‬ ‫)‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪. 2m1 t m  2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﺭﻀﺎ ‪2m t m  1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪) 2 u 2m t 2(m  1‬ﻷﻥ ‪( 2 ! 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪2m1 t 2m  2‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 2m  2 t m  2‬ﻷﻥ ) ‪ (2m  2)  (m  2) m‬ﻭ ‪( m t 0‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪2m1 t m  2 :‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻭﻥ‪ p(m  1) :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ )‪) p(m  1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( m‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ )‪.(2‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ p(0) :(1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ :(2‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ p(m) : N‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ‪ 2n t n  1‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫‪Å‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ :‬ﻟﻠﺒﺭﻫﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪ ،‬ﻨﺄﺨﺫ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﻜﻴﻔﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ n0‬ﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ – II‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪) :‬ﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﻭﺘﺘﻤﻴﻤﺎﺕ(‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎﺕ )ﺘﺫﻜﻴﺭ(‪:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ‪() .α‬‬ ‫)( ﺘﻘﺘﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ »ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ« ﻤﺜل ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﻤﻭل ﺒﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻱ‪.‬‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺤﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ U‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ ، D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻔﺭﻭﺽ ‪.α‬‬ ‫• ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﻋﻨﺼﺭ ‪ ، p‬ﻤﻥ ‪ ، D‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ U p‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﻤﺯ )‪.U ( p‬‬ ‫• ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪) U‬ﺃﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ U‬ﻓﻲ ﺤﺩ ﺫﺍﺘﻬﺎ ( ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪ (U n‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪(U n )nD‬‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ p‬ﻤﻥ ‪ ، D‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ U p‬ﻴﺼﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪ p‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(U n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ U α‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫• » ‪ ، U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ « n‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ﺃﻭ ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ (‪:‬‬‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﺎﻥ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ‪ – (U n‬ﺃﻭ ﻟﺘﻭﻟﻴﺩ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ – ﺒﻌﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪ :‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ :‬ﺍﻹﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻤﺤﻜﻡ ﻟﺤﺩ ﺃﻭ ﺤﺩﻴﻥ ﺃﻭ ﻋﺩﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻭ » ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‬‫« ﻭﻫﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻜل ﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﺎﻟﺭﺠﻭﻉ ﺇﻟﻰ ﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺴﺒﻘﺕ ﻤﻌﺭﻓﺘﻬﺎ ‪ .‬ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺭﺘﺎﺒﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪) :‬ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ )‪ (Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫)‪(Un‬‬ ‫)‪ (Un‬ﺜﺎﺒﺘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل )‪ (Un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ )‪ (Un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪U n1  U n 0‬‬‫‪Un1 Un  0 Un1 Un ! 0‬‬ ‫‪U n1  U n d 0‬‬ ‫‪U n1  U n t 0‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬‫• ﺍﻟﻘﻭل » ) ‪ (U n‬ﺭﺘﻴﺒﺔ « ﻴﻌﻨﻲ ‪ (U n ) » :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺃﻭ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺃﻭ ) ‪ (U n‬ﺜﺎﺒﺘﺔ «‬‫• ﺍﻟﻘﻭل » ) ‪ (U n‬ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ « ﻴﻌﻨﻲ ‪ (U n ) » :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ «‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ) ﺃﻭ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺭﺘﺎﺒﺔ ( ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻟﺤﻜﻡ‬‫ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺇﻥ ﻫﻲ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺃﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺃﻭ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﺭﺘﻴﺒﺔ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل‪.‬‬ ‫‪13‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪) :‬ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪: D‬‬‫ﻣﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺮﺍﻥ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﻣﻦ ‪. D‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ q t p‬ﻳﻜﻮﻥ ‪U q t U p‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ q t p‬ﻳﻜﻮﻥ ‪U q d U p‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ q ! p‬ﻳﻜﻮﻥ ‪U q ! U p‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﲤﺎﻣﺎ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ q ! p‬ﻳﻜﻮﻥ ‪U q  U p‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ (U n‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﲤﺎﻣﺎ‪.‬‬ ‫‪Uq Up‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ (U n‬ﺛﺎﺑﺘﺔ‪.‬‬ ‫ﺩ‪ -‬ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻭﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ » ﺍﻟﺩﺍﻟﻴﺔ « ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﺽ ‪.α‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪ U n f (n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ α ;f‬ﻭﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺭﺘﻴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺭﺘﺎﺒﺔ> >‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪.2‬‬ ‫• ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬ ‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻨﺄﺨﺫ ‪ n‬ﻜﻴﻔﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D‬ﻭﻨﻘﺎﺭﻥ ‪ U n‬ﻭ ‪ U n1‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ‬ ‫‪. U n1  U n‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪5n‬‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (U n )nt2‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪n 1 2‬‬ ‫‪ U n‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ‪ N *  1‬ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ) ‪ (U n‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪^ `.‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪، D‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪ 5n1‬‬ ‫‪n 1 2‬‬ ‫§¨‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫¸·‬ ‫‪2‬‬ ‫©§¨¨‬ ‫§¨‪5.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪¸·¸¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪5n‬‬ ‫©‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﺠﺫﺭﻴﻬﺎ‬ ‫ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺘﻌﻭﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫ﻭﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‬ ‫‪Un‬‬‫ﻭ ‪ nt2‬ﻭ‬ ‫‪5n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ )‪n( 5 1‬‬ ‫ﻭ ‪ 1‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪5‬‬ ‫‪5n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪n‬‬ ‫‪5 1! 0‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ n 5 1 t 2 5 1 :‬ﻤﻨﻪ ‪ n 5  2  5 t 5  2‬ﻭﻤﻨﻪ     ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪ 5n‬‬‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n‬‬‫ﺃﻥ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ‬ ‫‪!1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫!‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪nt2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ ‪5 1‬‬ ‫‪5!0‬‬ ‫‪ U n ! 0‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ U n1 ! U n‬ﻤﻨﻪ ‪U n1  U n ! 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬ ‫‪­°U 0 4‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ (U n )nN‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪¯®°U n1‬‬ ‫‪2U n  1‬‬ ‫‪n  N‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U 2 7 , U1 3 , U 0 4‬ﻴﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻨﻪ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ – ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ – ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ ) N‬ﺃﻱ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻭ ‪ ( n t 0‬ﻓﺈﻥ ‪ U n‬ﻭ ‪U n1‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ‪. U n1  U n :‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ N‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ p(n) :‬ﻫﻲ ٍ ‪. 0 d U n1  U n‬‬ ‫‪15‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ -1‬ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ‪:‬‬ ‫)‪ p(0‬ﻫﻲ ‪ 0 d U1  U 0‬ﻭﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪. 0 d 3  4‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻟﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻨﻔﺭﺽ ‪ 0 d U m1  U m‬ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ‬ ‫)‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ‪. 0 d U m2  U m1‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻓﺭﻀﺎ ‪0 d U m1  U m :‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪) 1 d 2U m1  1  2U m  1 :‬ﻴﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺘﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ﻓﻲ ‪ 2‬ﻭﺇﻀﺎﻓﺔ ‪ 1‬ﻗﺼﺩ ﺇﺒﺭﺍﺯ ‪( U n2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪1 d 2U m1  1  2U m  1‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 0 d U m2  U m1 :‬ﻭﺘﻜﻭﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬‫‪ n‬ﻓﻲ ‪: N‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺨﺎﺘﻤﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ p(0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫)‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﺇﺫﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ U n1  U n  0 ، N‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬‫• ﺍﻟﻘﻭل » ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ « ﻴﻌﻨﻲ » ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ « U n d M : D‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ M‬ﻴﺴﻤﻰ ﻋﻨﺼ ًﺭﺍ ﺤﺎ ًﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫) ‪. (U n‬‬‫• ﺍﻟﻘﻭل » ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل « ﻴﻌﻨﻲ » ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ « U n t m : D‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ m‬ﻴﺴﻤﻰ ﻋﻨﺼ ًﺭﺍ ﺤﺎ ًﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫) ‪. (U n‬‬ ‫‪16‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫• ﺍﻟﻘﻭل » ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ « ﻴﻌﻨﻲ » ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ‬‫ﺍﻷﺴﻔل « ﺃﻱ »ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ‪ m‬ﻭ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻤﻥ ‪: D‬‬ ‫‪.« m d U n d M‬‬‫‪ U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻷﻥ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 1‬ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪.2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ (U n )nN‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪cos n‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪.  1 d cos n d 1 : N‬‬‫‪ – III‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪.U n1 aU n  b :‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪) :‬ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻁ‪.‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل ‪ (U n ) » :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ « ﻴﻌﻨﻲ » ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ «U n1 U n  1 : D‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ r‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﻋﺩ ًﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭ ًﻀﺎ ‪.α‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﻤﻥ ‪U p U k  ( p  k )r : D‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ) U n Uα  (n  α )r : D‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ (‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻷﺨﺹ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪) α 0‬ﺃﻱ ‪ : ( D N‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪. U n U 0  n.r : N‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪) α 1‬ﺃﻱ * ‪ : ( D N‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ * ‪.U n U1  (n  1)r : N‬‬ ‫‪17‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪ p‬ﻭ ‪ k‬ﻤﻥ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪: k t p‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ‬‫‪) U p  U p1  ...  U k‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ 1)(U‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪Uk‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬‫‪U p2 ) U p  U p2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ(‪.‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ p‬ﻤﻥ ‪2U p1 : D‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ U p‬ﻭ ‪.( U p1‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪) :‬ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬‫ﺍﻟﻘﻭل » ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ « ﻴﻌﻨﻲ » ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ «U n1 q.U n : D‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ q‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﻋﺩ ًﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭ ًﻀﺎ ‪.α‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ q‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪U p1 ) U p2 uU p‬ﻭﺴﻁ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪p‬‬ ‫‪p 1‬‬ ‫‪ U p‬ﻭ ‪( U p2‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪: q z 0‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ p‬ﻭ ‪ k‬ﻤﻥ ‪. U p U k .q nk : D‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ) U n Uα .q nα : D‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ (‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻷﺨﺹ ‪:‬‬ ‫‪ :( D‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪U n U 0 .q n : N‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪) α 0‬ﺃﻱ ‪N‬‬‫‪ :( D‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ * ‪U n U1.q n1 : N‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪) α 1‬ﺃﻱ * ‪N‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪q z 1 :‬‬ ‫‪18‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﺍﻥ ‪ p‬ﻭ ‪ k‬ﻤﻥ ‪ D‬ﺒﺤﻴﺙ ‪: k t p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ qk‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪) U p  U p1  ...  U k‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ(‪.‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪U n1 aU n  b :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻤﻔﺭﻭﻀﻴﻥ ﻭﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪، D‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪. U n1 aU n  b : D‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : a 1‬ﺘﻜﻭﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. a‬‬‫•• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : a 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ، (U n‬ﻤﺎ ﻋﺎﺩﺍ ﺭﺒﻤﺎ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ ،‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. b‬‬‫••• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a z 0‬ﻭ ‪ : a z 1‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (Vn )nD‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫‪ Vn‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪. a‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1 a‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫• ﺒﺩﻴﻬﻲ‪.‬‬ ‫•• ﺒﺩﻴﻬﻲ‪.‬‬ ‫••• ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪.3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ (U n )nD‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  N‬‬ ‫‪¯®U‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪3U n  5‬‬‫‪ Vn‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﻲ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(Vn‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬‫‪) Vn‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫‪9 .3n‬‬ ‫‪ V0‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ V0‬ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ( ‪.‬‬ ‫‪19‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ Vn‬ﺘﻜﻭﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ U n‬ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪.3n‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ – IV‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪:‬‬‫• » ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ) ‪ « (U n‬ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺴﻠﻭﻙ ﺤﺩﻭﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪n‬‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﺃﻱ ﻟﻤﺎ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ )ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ( ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ....‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ‪.‬‬ ‫• ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪. D‬‬‫ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻭل ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫ﻴﻠﻲ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪ ) n‬ﻓﻲ ‪( D‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ‪ l‬ﺤﻴﺙ ‪ l‬ﻋﺩﺩ‬‫‪nof‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U n‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. l‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪) n‬ﻓﻲ ‪( D‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ∞ ‪.+‬‬‫‪nof‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U n‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ‬ ‫‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻭﺠﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻗﻴﻡ ‪) n‬ﻓﻲ ‪( D‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ ‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ∞ ‪.-‬‬‫‪nof‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U n‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠ ًﺩﺍ ﺠ ًﺩﺍ‬ ‫‪ ...‬ﻭﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺴﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫• ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫«‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل » ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ « ﻴﻌﻨﻲ » ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ l‬ﺒﺤﻴﺙ ‪l‬‬ ‫‪nof‬‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل » ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ « ﻴﻌﻨﻲ » ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪« (U n‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‪:‬‬ ‫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ q n‬ﺃﻴﻥ ‪ q‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻭ ‪ n‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ q‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎ ‪ .‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ ، q n‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪،‬‬ ‫ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪lim q n‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q  1‬ﻴﻜﻭﻥ‪f :‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim q n‬‬ ‫‪ q‬ﻴﻜﻭﻥ‪1 :‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪1‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim q n‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪  1  q  1‬ﻴﻜﻭﻥ‪0 :‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q d 1‬ﻓﺈﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪.U n q n :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‪5‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬ﺜﺎﺒﺕ ﻭ‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪!1‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ ‪f :‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪·¸ n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪ U n f (n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫‪ U n‬ﻓﺈﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪f (n‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞ ‪.+‬‬ ‫‪21‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪lim 1‬‬ ‫ﻷﻥ ‪0‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪f :‬‬‫‪nof n‬‬ ‫‪nof n‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ +‬ﺘﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﺠﺩﺍﺀ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ‪ ،‬ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﻟﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ ، +‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫• ﻟﺘﻜﻥ ‪ (U n )nN‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪:‬‬ ‫‪.U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¸ n‬‬ ‫ ‪n2‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫§¨ ‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫¨§ ‪lim‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ¸·¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪©nof‬‬ ‫ ‪n2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻷﻥ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪0‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬ﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭﺘﺘﻘﺎﺭﺏ ﻤﻥ ‪. 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪. Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪3n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫*‪(Vn ) nN‬‬ ‫• ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪n‬‬‫ﻷﻥ ‪ 3‬ﺜﺎﺒﺕ ﻭ‬ ‫‪lim 3n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim 2n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪0‬‬ ‫‪nof n‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪.3!1‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪22‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ﻴﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪λ‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪ l‬ﺃﻭ ‪  f‬ﺃﻭ ‪.  f‬‬ ‫‪ γ‬ﻴﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪lim f (x‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪γ‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪ lc‬ﺃﻭ ‪  f‬ﺃﻭ ‪.  f‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ *‪ (Vn )nN‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪. Vn‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ U n‬ﻭ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪x :‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ Vn‬ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ) ‪f (U n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪9‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭﺘﺘﻘﺎﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. 3‬‬ ‫ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ) ‪ (Wn ) ، (Vn ) ، (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n0‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪Un tVn ، n t n0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫• ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠـﻰ ‪:‬‬ ‫‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n0‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪Un tVn ، n t n0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪23‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫• ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼــﺭ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n0‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪Vn dUn dWn ، n t n0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪l‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫ﻭﻜﺎﻥ ‪l‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪l‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Wn ) ، (Vn ) ، (U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪sin 2n‬‬ ‫‪، Vn‬‬ ‫‪sin 5n  n ، U n‬‬ ‫‪cos 3n  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪  1 d cos x d 1‬ﻭ ‪ 1 d sin x d 1‬‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ cos n t 1 : N‬ﻤﻨﻪ ‪ cos 3n  n d n  1‬ﺃﻱ ‪U n t n  1‬‬ ‫‪(1)...‬‬‫ﺍﻷﺴﻔل‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ‬ ‫‪ ، (2)...‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪(2‬‬ ‫)‪lim (n  1‬‬ ‫ﻭ ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n o f‬‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ sin 5n d 1 : N‬ﻤﻨﻪ ‪ sin 5n  n d 1  n‬ﺃﻱ ‪Vn t 1  n‬‬ ‫‪(3)...‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫)‪ (4‬ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻤﻥ )‪(3‬‬ ‫‪، (4)...‬‬ ‫)‪lim (1  n‬‬ ‫ﻭ ‪f‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n o f‬‬‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪sin 2n‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ٍ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ 1 d sin 2n d 1 :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪n‬‬ ‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(6)...‬‬ ‫(‬ ‫ §¨ ‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (5)...‬ﻭ )‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪©n o f‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪nnof‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (5‬ﻭ )‪ (6‬ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺤﺼﺭ ‪0‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪24‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻭ ﺭﺘﻴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻓﺈﻥ‬ ‫) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻓﺈﻥ‬ ‫) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ . D‬ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪f (U n ) ، D‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻓﺈ ّﻥ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ‪ l‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫‪. f (l) l‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪°­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫®‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¯°U n1‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫‪.U n‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪: N‬‬ ‫‪ n‬ﻓﻲ‬ ‫‪ -2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬ﺒﺭﻫﻥ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪ ،‬ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻓﺈﻥ ‪.U n d 1 :‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭﺃﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪U n  1 2 : N‬‬‫‪ U n1  U n‬‬‫‪U‬‬‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪2U n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ U n1  U n t 0 :‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ n t 0 ، N‬ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪ ،‬ﻤﻨﻪ ‪U n t U 0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻟﻨﺴﻤﻲ )‪ p(n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪.U n d 1‬‬ ‫) ‪(α‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫)‪p(0‬‬ ‫• ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ‬ ‫‪2‬‬ ‫• ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﻟﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪U m d 1‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻘﺎﺭﻥ ‪ 1‬ﻭ ‪.U m1‬‬ ‫‪.U m1  1‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Um‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ )‪U m (U m  1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.(U m‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) ، U m‬ﻷﻥ‬ ‫‪!0‬‬ ‫‪) U m‬ﻓﺭﻀﺎ(‬ ‫‪1d 0‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻤﻨﻪ ‪ U m (U m  1) d 0‬ﻤﻨﻪ ‪ U m1  1 d 0‬ﻤﻨﻪ ‪ U m1 d 0‬ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪(β ) ...‬‬ ‫ﻤﻥ ) ‪ (α‬ﻭ ) ‪ (β‬ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ ‪(γ ) ... U n d 1 : N‬‬‫‪ -4‬ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪ (U n ) :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻤﺎ ﺍﻷﻋﻠﻰ ) ﻤﻥ ) ‪ ( (γ‬ﻤﻨﻪ ) ‪(U n‬‬ ‫ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ) ‪ U n1 f (U n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪f (x) x 2  x  1 :‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ l‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ l‬ﺘﺤﻘﻕ ‪ f (l) l‬ﺃﻱ ‪ l 2  l  1 l‬ﺃﻱ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (l  1)2‬ﺃﻱ ‪ l 1‬ﻤﻨﻪ ‪1‬‬ ‫‪ l 2  2l  1 l‬ﺃﻱ ‪l‬‬ ‫‪nof‬‬ ‫‪26‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ، n‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪. Sn 12  22  32  ...  n 2‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪. S6 ، S5 ، S3 ، S1‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ‪ ،‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﻜﻴﻔﻴﺎ ‪ :‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ Sm1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. Sm‬‬ ‫‪ .3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 1‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪. Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n.(n‬‬ ‫‬ ‫‪1).(2n‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫)‪. S n 0.1  1.2  2.3  ...  n(n  1‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪. S5 ، S2 ، S1 ، S0‬‬ ‫‪ .2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪. Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n.(n‬‬ ‫‬ ‫‪1).(n‬‬ ‫‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. S2007‬‬ ‫‪ – 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ ، n t 3‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪. S n (3  1).232  (4  1).2 42  (5  1).252  ...  (n  1).2n2‬‬ ‫‪ .1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 3‬ﻓﺈ ّﻥ ‪. Sn (n  2).2n1 :‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ Sn‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪S 6.2  9.22 12.23 15.24 18.25  21.26  24.27  27.28  30.29  33.210.‬‬ ‫‪ – 4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ،‬ﻨﻀﻊ ‪ A 9 n  1 :‬ﻭ ‪B 9 n  1‬‬ ‫‪27‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ p‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ » ‪ A‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ « 8‬ﻭ ‪ Q‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ » ‪ B‬ﻤﺼﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪« 8‬‬ ‫‪ .1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ Q‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ )‪ p(n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ .4‬ﻫل ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ )‪ p(n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬؟‬ ‫‪ – 5‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (13n  3n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.5‬‬‫‪ .2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 2‬ﻓﺈﻥ ‪ 23n1  4.6 2n3‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.7‬‬ ‫‪ a – 6‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪(a  1) n t n.a  1‬‬ ‫)ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺘﺤﺕ ﺍﺴﻡ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ (‬ ‫‪ – 7‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 2‬ﻓﺈﻥ ‪. 5n t 3n  4 n :‬‬ ‫‪ .2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 3‬ﻓﺈﻥ ‪. 4 n t (n  3) 2 :‬‬ ‫‪ – 8‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ ،‬ﻨﻀﻊ ‪n ! 1u 2 u 3 u ... u n‬‬ ‫‪ .1‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ (m  1) ! :‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ! ‪. m‬‬ ‫‪ .2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 1‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪1.1!2.2!3.3!...  n.m! (n  1)!1‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 1‬ﻓﺈﻥ ‪. n!t 2 n1 :‬‬ ‫) ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪n! 1u 2 u 3 u ... u n : n t 1 :‬‬ ‫‪28‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺍﺼﻁﻼﺤﺎ ‪0! 1 :‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ !‪ n‬ﻴﺴﻤﻰ » ﻋﺎﻤﻠﻲ ‪ « n‬ﻭ » ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ « ﻋﺎﻤﻠﻲ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫(‬‫‪ U n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫‪ (U n ) – 9‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪f (n‬‬ ‫‪.‬‬‫ﺃﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪، Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪، Un‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪، U n 2n2  4 .4 ، U n 2n  1‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪، Un‬‬ ‫‪2n 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪، Un‬‬ ‫‪3n  5‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪2n 1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪. U n n2  3n  9000‬‬‫‪ (U n ) – 10‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ )‪ U n f (n‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪U n1‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬‫‪ U n‬ﻭ * ‪ U n 2n.(0,99)n .2 ، D N‬ﻭ ‪ D‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪n  1 .1‬‬ ‫ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪n t 100‬‬‫) ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ U n‬ﻭ ‪. D N‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ U n‬ﻭ * ‪، D N‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪3n .4‬‬ ‫‪2n .3‬‬ ‫!‪ n‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.(8‬‬ ‫‪29‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪ – 11‬ﺍﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪ U n1  U n‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬‫‪.4‬‬ ‫‪،U n‬‬ ‫‪3n  n  1 .3 ، U n‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n 2  n .1‬‬ ‫‪2n  5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪®¯U‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪U n  2n  5‬‬ ‫‪ – 12‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻔﺭﻭﻀﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪. a t 0‬‬ ‫‪°­U 0 a‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪2U n  3 :‬‬ ‫‪®¯°U n1‬‬ ‫‪ .1‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ : a 0‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ : a 3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺜﺎﺒﺘﺔ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ : a 6,5‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ (U n ) – 13‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ .1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ‪ ،‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪Un n2  n 1 - 1‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪®¯U n1‬‬ ‫‪Un  n2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪4n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪n2‬‬‫‪ .2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ‪ ،‬ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪30‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 18‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪2n‬‬ ‫‪°­U 0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪¯®°U n1‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ ‪3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2n  4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺎ‬ ‫‪ – 14‬ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2n  3‬‬ ‫‪®¯U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (Vn‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪Vn U n1  U n :‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬‬‫‪ .2‬ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪ U n U 0  V0  V1  ...  Vn1‬ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪، n‬‬ ‫) ‪. (n  N‬‬‫‪ – 15‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ ، 14‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ﻜل‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .1‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪¯®U n1‬‬ ‫‪U n  3n‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪¯®U‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2.U n‬‬‫‪ – 16‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S n‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪Sn U 0  U1  ...  U n‬‬ ‫‪31‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (U n ) -1‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪¯®U n1‬‬ ‫‪Un  3n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪­U 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(U n‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪®¯U n1‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪2U n  1 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪­°U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (U n ) -3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪:‬‬ ‫®‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¯°U n1 4U n  7‬‬ ‫‪32‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫ﺘﻘﺎﺭﺏ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‬ ‫‪ – 17‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪3n2  5n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ¨§  ‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫·¸‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫©‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪،U n‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪،U n‬‬ ‫‪-2،U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪، Un‬‬ ‫‪2n 1‬‬ ‫‪-6 ،‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪6n  7 n -5 ،U n‬‬ ‫‪n5‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪3n  8‬‬ ‫‪n2 1‬‬‫‪،‬‬ ‫‪­®¯U3U0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2U n  5‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪5(3)n -8،U n‬‬ ‫‪2.3n  5.2n‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪7.4n  3.8n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪¯®U‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪5U n  3 -10‬‬‫‪ – 18‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ‪ ،‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻁ ) ‪ (ϕ‬ﺜﻡ ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪(ϕ‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dUn‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2n  1n‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪3n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3n2  2‬‬ ‫) ‪(ϕ‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2n 1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2n  1n‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1n  4‬‬ ‫ﻭ ‪(ϕ) :U n d n‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪ (U n ) -3‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ‪:‬‬ ‫‪¯®U‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪3U n  2n  2‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل‬ ‫‪°­°U 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (U n ) – 19‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫®‬ ‫‪2‬‬ ‫‪°°¯U n1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(U n‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪.U n ! 1‬‬ ‫‪33‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪.‬‬ ‫‪U n1  1‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ،‬ﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1‬ﻭ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻥ‬ ‫‪Un 1‬‬ ‫‪ .3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫‪ .4‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫‪ .5‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 2‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪.U n‬‬ ‫‪1d‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫‪¸· n‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪ .6‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬‫‪ – 20‬ﺘﻘﺒل ﺃﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ) ‪ (U n‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ N‬ﻭﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪°­°U 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫®‬ ‫‪3‬‬ ‫‪°U‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪7U n‬‬ ‫‪¯°‬‬ ‫‪24U n  5‬‬ ‫‪ .1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ ، U 3 ، U 2 ، U1‬ﻫل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (U n‬ﺭﺘﻴﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪.U n z 0‬‬ ‫‪: Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (Vn )nN‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ .3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪Un‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ Vn‬ﺜﻡ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪nof‬‬‫‪ – 21‬ﺘﻘﺒل ﺃﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ) ‪ (U n‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ N‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪­U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪°®¯U n1‬‬ ‫‪Un 2‬‬ ‫‪2U n  3‬‬ ‫‪ .1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪.U n z 1‬‬ ‫‪34‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪.Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (Vn )nN‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪1Un‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ) ‪ (Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ Vn‬ﺜﻡ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺭﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬ ‫ﺩ‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪. (U n‬‬‫‪ – 22‬ﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﺸﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﻜﺘﺒﺔ ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻓﻤﻜﻨﺘﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ ‪ 25 %‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻴﻠﻐﻭﻥ ﺍﻨﺨﺭﺍﻁﺎ ﺘﻬﻡ ﻭﻫﻨﺎﻙ ‪ 300‬ﻤﻨﺨﺭﻁﺎ ﺠﺩﻴ ًﺩﺍ‪.‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻋﺎﻡ ‪ 2000‬ﻜﺎﻥ ‪ 800‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪ U n‬ﺇﻟﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪. 2000  n‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﻭﺠﺩ ‪. U 2 ،U1‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪.U n1 (0,75)U n  300‬‬ ‫‪ .3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ .4‬ﻜﻡ ﺃﺼﺒﺢ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺨﺭﻁﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻋﺎﻡ ‪.2016‬‬‫‪ – 23‬ﻓﻲ ‪ 2005/01/01‬ﺃﻭﺩﻉ ﺸﺨﺹ ‪ A‬ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪ DA 25000‬ﻓﻲ ﻤﺼﺭﻑ ﻴﺘﻌﺎﻤل ﺒﻔﻭﺍﺌﺩ‬‫ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 2 %‬ﺴﻨﻭﻴﺎ ‪) ،‬ﻓﻭﺍﺌﺩ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 2 %‬ﺴﻨﻭﻴﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ﻜل ﺴﻨﺔ ﻴﻀﺎﻑ ﺇﻟﻰ‬‫ﺭﺼﻴﺩ ﺍﻟﺯﺒﻭﻥ ‪ 2 %‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﺫﻱ ﺒﻘﻲ ﻓﻲ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﺍﻟﻤﺼﺭﻑ ﻁﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ( ﻭﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ‬ ‫‪ 2006‬ﻴﺘﻠﺯﻡ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ‪ A‬ﺴﺤﺏ ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪ DA 2000‬ﻓﻲ ‪ 01/01‬ﻤﻥ ﻜل ﻋﺎﻡ‪.‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ U n‬ﺍﻟﺭﺼﻴﺩ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ ،‬ﻟﻠﺸﺨﺹ ‪ A‬ﻓﻲ ﺼﻨﺩﻭﻕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﺭﻑ ﻓﻲ ‪. 2005+ n /01/01‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪U1‬ﻭ ‪.U 2‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.U n1 (0,1)U n  2000 : n‬‬ ‫‪ .3‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪35‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ .4‬ﻜﻡ ﻴﺼﺒﺢ ﺭﺼﻴﺩ ﺍﻟﺸﺨﺹ ‪ ، A‬ﻓﻲ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﺍﻟﻤﺼﺭﻑ‪ ،‬ﻓﻲ ‪ 2014/01/01‬؟‬‫‪ – 24‬ﺘﻤﻜﻥ ﺸﺎﺭﻜﺔ ﻤﺎﻟﻴﺔ ﺯﺒﺎﺌﻨﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻗﺘﺭﺍﺽ ﻤﺒﻠﻐﺎ ﻗﺩﺭﻩ ‪ DA 300.000‬ﻭﻓﻕ ﺸﺭﻭﻁ ﺘﺴﺩﻴﺩ ﺍﻟﺩﻴﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ﻜل ﺸﻬﺭ ‪ ،‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺩﻴﻥ ﺍﻟﺯﺒﻭﻥ ﺒـ ‪ 1,5 %‬ﻤﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻬﺭ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺒﻭﻥ ﺃﻥ‬ ‫ﻴﺭﺠﻊ ‪ DA 15.000‬ﺸﻬﺭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﺎﺭﻜﺔ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻬﺭ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺃﻗل ﻤﻥ ‪ DA 15.000‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺒﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﺩﻓﻊ ) ﺭﻏﻡ ﺫﻟﻙ (‬ ‫‪. DA 15.000‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻟﻠﺘﺴﺩﻴﺩ ﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ‪n‬‬ ‫ﺸﻬ ًﺭﺍ‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈ ّﻥ ‪.U n1 1,015.U n  15000‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ .U 24 ، U 23 ، U 22‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﻤ ّﺩﺓ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺘﺴﺩﻴﺩ ﺍﻟﺩﻴﻥ ؟‬ ‫‪ – 25‬ﺍﻻﺸﺘﺭﺍﻙ ﺍﻟﺴﻨﻭﻱ ﻓﻲ ﻨﺎﺩﻱ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﺍﻵﻟﻲ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺜﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻫﻭ ‪. DA 10.000 :‬‬‫ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ ﻭﺍﺒﺘﺩﺍ ًﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺜﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ ﺍﻟﺴﻨﻭﻴﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5 %‬ﻤﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺜ ّﻡ ﺘﻁﺭﺡ ﻤﻨﻪ ‪. DA 50‬‬ ‫ﺃﺼﺒﺢ ﻫﺸﺎﻡ ﻤﺸﺎﺭﻜﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ ﺍﺒﺘﺩﺍ ًﺀﺍ ﻤﻥ ‪.2004/01/01‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ U n‬ﺇﻟﻰ ﺜﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ ﺍﻟﺴﻨﻭﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ‪،‬‬ ‫ﻟﻬﺸﺎﻡ ﻟﺴﻨﺔ ‪.2004+ n‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪.U n1 1,05.U n  50‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬‫‪ .3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ S n‬ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻟﻜﻠﻲ ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﺩﻓﻌﻪ ﻫﺸﺎﻡ‬ ‫ﻟﺘﻐﻁﻴﺔ ‪ n‬ﺴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ‪.‬‬ ‫‪36‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫‪ .4‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ S n‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫‪ /1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪. S6 ، S5 ، S3 ، S1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. S1 12 1 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. S3 12  22  32 14 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. S5 12  22 32  42 52 55 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪. S6 12  22 32  42 52  62 91 :‬‬ ‫‪ /2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ Sm1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ Sm‬ﺤﻴﺙ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﻜﻴﻔﻲ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Sm1 12  22  32  ...  m2  (m  1)2‬‬ ‫‪Sm  (m  1)2‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪ ،‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t1‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n(n‬‬ ‫‬ ‫‪1)(2n‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪6‬‬‫‪. Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n(n‬‬ ‫‬ ‫‪1)(2n‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻴﺔ‬ ‫)‪p(n‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1)(1‬‬ ‫‬ ‫‪1)(2‬‬ ‫‪u1‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﻘﺼﻴﺔ‬ ‫)‪p(1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﺼﻴﺔ ‪ S1 1 :‬ﻭﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ p(0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ‪ ،‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ )‪p(m  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪37‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫ﻟﻨﺄﺨﺫ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﺤﻴﺙ ‪ m t1‬ﻭﻟﻴﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ‬ ‫‪x‬‬‫‪ Sm‬ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m(m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(2m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪S m1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(m‬‬ ‫‬ ‫‪2)(2m‬‬ ‫‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪S m1 Sm  (m  1) 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m(m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(2m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﺽ(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(m(2m‬‬ ‫‬ ‫)‪1‬‬ ‫‬ ‫‪6(m‬‬ ‫‬ ‫))‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‪ 1)(2m2‬‬ ‫‬ ‫‪7m‬‬ ‫‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(m‬‬ ‫‬ ‫‪1)(m‬‬ ‫‬ ‫‪2)(2m‬‬ ‫‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺠﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺍﻟﻰ ﺠﻭﺍﺏ )‪) p(m  1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﺤﻴﺙ ‪( m t1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ N‬ﻭ ‪ p(n) ، n t1‬ﺤﻘﻴﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻨﻅﺭ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺤل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n t 3‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪S n (n  2).2 n1‬‬ ‫ﺍﺘﺒﻊ ﺼﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺤل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.1‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ S n‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪38‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬‫‪S 6.2  9.22  12.23  15.24  18.25  ...  33.210‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪S 3(2.2  3.22  4.23  ...  11.210‬‬‫‪> @S 3 (3  1).232  (4  1).242  (5  1).252  ...  (12  1).2122‬‬ ‫‪S 3 u S12‬‬ ‫‪S 3 u (12  2).2121‬‬ ‫‪S 3 u10 u 211‬‬ ‫‪S 61440‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ‪ ،‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ‪ A‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 8‬ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‬‫)‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ 9m1  1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ ‪ 8‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ﻭﻟﻴﻜﻥ‬ ‫‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ 9m  1 8k‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬‫‪) 9 m  1  1 9 m u 9  1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻔﺭﺽ(‬ ‫‪8u9m  9m 1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪9m1  1 8(9m  k ) :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k c‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. 9 m1  1 8k c :‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ ‪. k c 9 m  k :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ p(m  1) :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m  1‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ /4/3/2‬ﺍﺴﺘﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻷﻭل ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (13n  3n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.5‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ ، n t 1‬ﻟﻨﺴﻤﻲ )‪ p(n‬ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪ (13n  3n ) :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪) . 5‬ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺃﻥ ) ‪ (13n  3n‬ﻓﻌﻼ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ (‪.‬‬ ‫ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ ‪:‬‬ ‫‪39‬‬

‫اﻹرﺳﺎل ‪1‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﻴﻴﺮ و اﻗﺘﺼﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺛﺎﻧﻮي‬ ‫)‪ p(1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ) ‪ (131  31‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 5‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ‪ 10‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 5‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ p(1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪(1) ...‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﺄﺨﺫ ‪ m‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻜﻴﻔﻴﺎ ﺤﻴﺙ ‪ m t 1‬ﻭﻟﻨﻔﺭﺽ )‪ p(m‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ‬‫) ‪ (13m  3m‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 5‬ﺃﻱ ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ (13m  3m ) 5k‬ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ )‪ p(m  1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫) ‪ (13m1  3m1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.5‬‬‫‪13m1  3m1 13m u13  13m u 3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪13m u13  13 u 3m  13 u 3m  3m u 3‬‬ ‫)‪13(13m  3m )  3m (13  3‬‬ ‫‪13 u 5k  13m u10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k c‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪13m1  3m1 5k c‬‬ ‫‪k c 13k  2 u 3m‬‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺨﺫ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ p(m  1) :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺼﻭﺍﺏ )‪ p(m‬ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺼﻭﺍﺏ )‪. p(m  1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪.(2) ...‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻭﺴﺒﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻨﺠﺩ ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ n‬ﻓﻲ `‪، N  ^0‬‬ ‫)‪ p(n‬ﻗﻀﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ n t 2‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (23n1  4.62n3‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ‬ ‫‪.7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪ ، (σ  1) n t nσ  1‬ﺤﻴﺙ ‪ σ‬ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪40‬‬