دروس مادة الرياضيات للفصل الاول شعب علمية سنة ثانية ثانوي

‫‪ (1‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ‪ -5 ; 7‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x)= 0‬ﺜﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪[ ]. f ′(x) = 0‬‬ ‫‪ (2‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻓﻲ ‪ -5 ; 7‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f ( x) ≥ 0‬ﺜﻡ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ] [‬ ‫‪. f '( x) ≥ 0‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ُ f‬ﻤﺒ ِﺭﺯﺍ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪. f '(x‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪f (x) = (x - 2 ) x - 2‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪] [. 2 ; +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪(x - 2) x - 2 - 8‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺴﺏ )‪ f (6‬ﺜﻡ ٍﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪x -6‬‬ ‫‪x →6‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪-x2- 2x + 7‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 2x + 1‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬

‫‪ .‬ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2+ x - 6‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 3x‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)‪6 (x - 1‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 2x + 4‬‬ ‫ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 - 2x + 4‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. -π ; π‬‬‫‪ f : x a Sin x (1‬؛ ‪g : x a Cos x (2‬‬ ‫‪h : x a tan x (3‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒٍﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪Sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪2  :‬‬

‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ‪ . 0 ; 2π‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪[ ]. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬‫‪.‬‬ ‫‪f (x) = Cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪[ ]. −2π , 2π‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪f (x) = x - 1 + x :‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 21‬‬ ‫‪f (x) = x + 3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ٍﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 22‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟ ٍﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻓﺈﻥ‪ℜ‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟ ٍﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻓﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل‪ℜ‬‬ ‫ﻋﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 23‬‬ ‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ‪ 9‬ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﻟﻌﻼﻤﺔ × ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪lim f (x0 + h) - f (x) = 0‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪h →0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. . x0‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ P‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ) ‪ (C f‬ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ‪. . P‬‬

‫ﻓﺈﻥ ) ‪(C f‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f (x) - f (x0 ) = 0‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪x - x0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ‪I‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫‪ (5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻨﻬﺎ‬ ‫ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻴﺸﻤل ‪. x0‬‬ ‫‪ (6‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪. . I‬‬ ‫‪ (7‬ﻤﺸﺘﻕ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺜﻼﺜﺔ ﺩﻭﺍل ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل‪. .‬‬ ‫‪ (8‬ﺇﺫﺍ ِﺍﻨﻌﺩﻤﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ‬‫) ‪ f (x0‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. . f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 24‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1 ; 2‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪[ ]:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a , b , c :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪f (x) = a x + b +‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪. a , b , c‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ : 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (3) = 34‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪lim f (x) - f (3) = lim 4x2 + x - 5 - 34‬‬‫‪x →3‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪x -3‬‬

‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪4x2 + x - 39‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫)‪= lim (x - 3) (4x + 13‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪= lim (4x + 13) = 25‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 3‬ﺤﻴﺙ ‪. f ′(3) = 25 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f (x) = x4 ; x0 = 1 :‬‬‫‪lim f (x) - f (1) = lim x4 - 1‬‬‫‪x →1‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪x→1 x-1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪(x 2‬‬ ‫‪- 1) (x2‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫)‪= lim (x - 1) (x +1) (x2+ 1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪= lim (x + 1) (x2 + 1) = 4‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫ٍﺇﺫﻥ ‪ f‬ﺘﻘـﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﺤﻴﺙ ‪f ′(1) = 4 :‬‬ ‫‪f (x) = x3 + 1 ; x0 = -1‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x) - f (-1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3 + 1 - 0‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x+1‬‬‫‪x → -1‬‬ ‫‪x → -1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪(x + 1) (x2 - x + 1‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪x → -1‬‬ ‫‪= lim (x2 - x + 1) = 3‬‬ ‫‪x → -1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ -1‬ﺤﻴﺙ ‪. f ′(-1) = 3 :‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪; x0 = 3‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪(x) - f (3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 - 2x‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪x -3‬‬‫‪x →3‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫)‪-2 (x - 3‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x-3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x →3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= )‪f ′(3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ٍﺇﺫﻥ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 3‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ )‪: f ′(2‬‬ ‫ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ )‪ f ′(2‬ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﺃﻱ ∆ ‪( ):‬‬ ‫)‪3 - (-5‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫)‪f (2) - f (0‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-0‬‬ ‫ٍﺇﺫﻥ ‪f ′( 2 ) = 4 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∆ ﻋﻨﺩ ‪( )y – 3 = 4 (x – 2) : A‬‬ ‫ﺃﻱ ‪. y = 4 x – 5 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ (1‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪f ( - 4 ) = 8 : -4‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪(x) - f ( - 4‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪-x + 4 - 8‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪x+4‬‬‫‪x → -4‬‬ ‫‪x → -4‬‬ ‫‪= lim  -x + 4 - 8   -x + 4 + 8 ‬‬ ‫‪x → -4 ( x + 4)  -x + 4 + 8 ‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪(-x +4 ) − 8‬‬ ‫‪x → -4 (x + 4 )  -x + 4 + 8 ‬‬

= lim - (x +4 ) x → -4 (x + 4 )  -x + 4 + 8  = lim -1 = lim -1 x → -4 -x + 4 + 8 2x → -4 8 = -1 ( 8 ) = -2 2 2 8× 8 16 f ′(-4) = −2 : ‫ ﺤﻴﺙ‬-4 ‫ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬f ‫ﺇﺫﻥ‬ 8 y - y0 = f ′(4) × (x + 4) : ‫( ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬2 y- 8 = −2 (x + 4) : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 8 y= -2 x- 2 +2 2 : ‫ﺃﻱ‬ 8 2 y= -2 x+ 32 : ‫ٍﺇﺫﻥ‬ 8 2 . 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ f (1) = 4 : 1 ‫( ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬1lim f (x) - f (1) = lim -x2 + 5 - 4 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x →1 x -1 x →1 x -1 = lim -x2 + 1 = lim - (x2 - 1) x →1 x-1 x -1 x →1 = lim - (x - 1) (x + 1) x -1 x →1 = lim - ( x + 1) = - 2 x→1 . f ′(1) = -2 : ‫ٍﺇﺫﻥ‬

‫)‪y - f (1) = f ′(1)× (x - 1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ y - 4 = -2 (x - 1) :‬ﺇﺫﻥ ‪. y = -2x + 6 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ -5‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪g (-5) = 1 : g‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫)‪- g (-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-5 - x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪x‬‬‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪x → -5‬‬ ‫‪x +5‬‬‫‪x → -5‬‬ ‫‪x →-5‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪(x +‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪x → -5‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x → -5‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪y - g(-5) = g′(-5) × (x + 5) :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( x + 5‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪-2x +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪−2 x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ٍﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-4 × 5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-11‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-40 + 66‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪= -2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪26‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 20‬‬ ‫;‬ ‫‪26 ‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪11 ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (1) = 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪f ( x) - f (1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 1 - x‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x→1 x‬‬ ‫‪x-‬‬‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪(x -‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫‪x -1‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f ′(1) = 1 :‬ﻭﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x = 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪y = 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y = -x + 2 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪. A (1 ; 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. . 7‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ )‪: p (1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪p (1) = -4 (1)3 + 6 (1)2 - 2 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪p (x) = (x - 1) (a x2 + bx + c) :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪p (x) = ax3 + bx2 + cx - ax2 - bx - c :‬‬ ‫‪p (x) = ax3 + ( b- a )x2 + ( c - b ) x - c‬‬ ‫‪a = -4‬‬ ‫‪a = -4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪b = 2 :‬‬ ‫‪b - a = 6‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪c = 2‬‬ ‫‪c - b = 0‬‬ ‫‪c = 2‬‬ ‫) (‪p‬‬ ‫‪( -1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ – 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺴﻠﻭﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺒﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ – 4‬ﺘﻤﺜﻴل ﺩﻭﺍل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﺩﻭﺍل‬ ‫ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫‪ -‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪: x0‬‬ ‫‪ f‬ﺩﻭﺍل ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻴﺸﻤل ‪ x0‬ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺍﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﺍﻟﻰ ﻋﺩﺩ ‪ l‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ‪ x0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪l‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻘﺩﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺭﻴﺩ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﺘﺭﺏ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. x0‬‬ ‫ﺃﻭ ﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ )‪ f (x‬ﻭ ‪ l‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ‪ ε‬ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ x0‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﻤﻭﺠﺏ ‪ α‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻥ ‪ x - x0 < α :‬ﻜﺎﻨﺕ ‪f (x) - l < ε :‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f (x) = l :‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞ ‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞ ‪: -‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫‪[ [.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪0;+‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪X 10 102 104 105‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪(1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪10 102‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪105‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪0,04‬‬ ‫‪0,0004‬‬ ‫‪0,00004‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺍﻨﻪ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻓﺎﻥ )‪ f (x‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﻟﻤﺎ ‪ x → + ∞ :‬ﻓﺈﻥ ‪f (x) → 0 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﻋﻠﻰ ∞ ‪ 0 ; +‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪[ [:‬‬ ‫‪g (x) = x ; f ( x ) = x2‬‬ ‫‪ – 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪102 104 106 108‬‬‫)‪f (x‬‬‫)‪g (x‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪x 102 104 106 108‬‬ ‫‪f (x) 104 108 1012 1016‬‬ ‫‪g (x) 10 102 103 104‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻓﺈﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ g (x‬ﺘﺄﺨﺫﺍﻥ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺒل ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ‪.‬‬‫∞ ‪ f (x) → +‬ﻭﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﻭﻨﻘﻭل ‪:‬‬ ‫∞ ‪. g (x) → +‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x → + ∞ :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x → + ∞ :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬او ∞‪: −‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ∞‪[ [a ; +‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ )‪ f (x‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪ +‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f (x) = +∞ :‬‬ ‫∞‪x → +‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪lim x2 = +∞ :1‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪x = +‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ )‪ f (x‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﺼﻐﻴﺭﺓ‬‫ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻜﻭﻡ ‪ x‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f (x) = − ∞ :‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪lim (- x2 ) = -‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪lim (- x ) = -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪] ]−∞ ; b‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ )‪ f (x‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻜﻭﻡ ‪ x‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪lim f (x) = + ∞ :‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪lim x2 = + ∞ :‬‬ ‫∞‪x → -‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ )‪ f (x‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ‬‫ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ‪ x‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞ ‪lim f (x) = −‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪lim x3 = − ∞ :‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ l‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ﺜﺎﺒﺕ ‪ .‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ f‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ‪ l‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ∞‪) +‬ﺃﻭ ﻨﺤﻭ ∞‪ ( −‬ﺇﺫﺍ‬‫ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪ f (x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ l‬ﺒﺎﻟﻘﺩﺭ ﺍﻟﻜﺎﻓﻲ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ )ﺃﻭ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ( ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬‫‪ lim f (x) = l‬أو ‪lim f (x) = l‬‬‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → -‬‬

‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ‪ x0‬ﻴﻘﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ )ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ(‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0,01 0,001‬‬ ‫‪0,0001‬‬ ‫‪0,00001‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫‪ (3‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-0,01‬‬ ‫‪-0,001‬‬ ‫‪-0,0001‬‬ ‫‪-0,00001‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (4‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0,01 0,001 0,0001 0,00001‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪100000‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪-0,01 -0,001‬‬ ‫‪-0,0001‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﻜﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪-0,00001‬‬ ‫‪-100 -1000‬‬ ‫‪-10000‬‬ ‫‪-100000‬‬ ‫‪ (4‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻥ )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞ ‪f (x) = -‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻭ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫<‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻷﻓﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ lim f (x) = l :‬أو ‪lim f (x) = l‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = l :‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y = f :‬‬ ‫)‪ (x‬ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ‪:‬‬ ‫∞‪lim f (x) = -‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪x →a‬‬ ‫‪x →a‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ x = a :‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y = f (x) :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)*( ‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻨﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = f (x) :‬ﻋﻨﺩ) (‬ ‫∞‪ +‬ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪ −‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪ lim [ f (x) - (ax + b)]= 0‬ﺃﻭ ‪lim [ f (x)- (ax +b)]= 0‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ‪: 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D f = -∞ ; 0 ∪ 0 ; +∞ :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪] [ ] [:‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f(x)= lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫‪lim‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪= -‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f(x) = lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x →0‬‬‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪lim f (x) = 0‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪lim f (x) = 0‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y = 0 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪f (x) = +‬‬ ‫َﻭ‬ ‫∞‪lim f (x) = -‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫>‬ ‫<‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ x = 0 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬ ‫)*( ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) = x + 2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ - 1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ - 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪Df = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ (1‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ‪: D f‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪=-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → -‬‬‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪=+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪=-‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪=+‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‬ ‫‪ -‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫>‬ ‫<‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ x = 0‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻭﻋﻨﺩ ∞‪−‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫∞‪xx → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ f (x) -‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ f (x) - ( x + 2)‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫∞‪xx → -‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y = x + 2 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل‪.‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬ ‫)‪lim f ( x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫∞‪ −‬ﺃﻭ ‪ +∞ l‬ﺃﻭ ‪l‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪l′‬‬ ‫∞‪+∞ −‬‬ ‫‪x→ x0‬‬ ‫‪l′+l‬‬ ‫∞‪+∞ −‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫)‪lim f ( x‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪x→ x0‬‬‫)‪lim ( f + g)( x‬‬‫‪x→ x0‬‬‫)‪lim f ( x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l >0‬‬ ‫‪l <0‬‬ ‫‪l >0‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪:‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪l <0‬‬‫)‪lim f ( x‬‬ ‫‪l′‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ 0‬ﺃﻭ‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪lim( f + g)(x‬‬ ‫‪l′×l‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺃﻭ ∞‪−‬‬‫‪x→x0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻋﺩﻡ ∞‪+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﻠﻭﺏ ‪:‬‬‫) ‪lim g( x‬‬ ‫‪l ;l ≠0‬‬ ‫‪l =0‬‬ ‫∞‪ +‬ﺃﻭ ‪l = 0‬‬ ‫‪g(x) > 0‬‬ ‫∞‪g( x) < 0 −‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪l‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪−∞ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪‬‬‫‪x→ x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪:‬‬

x → -∞ ‫ ﺃﻭ‬x → +∞ : ‫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬-lim sin x = 1 ‫؛‬ lim cos x = cos x0 ‫؛‬ lim sin x = x0 xx →0 x → x0 x → x0 : ‫ ﺤﺎﻻﺕ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬-: ‫ ﻓﺈﻥ‬lim g (x) = -∞ ‫ َﻭ‬lim f (x) = +∞ : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬1 x → x0 x → x0 . ‫ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬lim (f + g) (x) x → x0 : ‫ﻤﺜﺎل‬ : ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻭﺘﺤﺴﺏ ﻫﻜﺫﺍ‬ lim (x2 - x + 3) x → +∞lim (x 2 - x + 3) = lim x  x - 1 + 3 = +∞  x x → +∞ x → +∞ lim g( x) = 0 : ‫ ﻭ ﻜﺎﻨﺕ‬lim f ( x) = 0 : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬2 x→ x0 x→ x0 . ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ lim  f  (x) : ‫ﻓﺈﻥ‬  g  x→ x0   : ‫ﻤﺜﺎل‬ . ‫ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ lim x2 - 4x + 3 x2 - 1 x→1lim x2 - 4x + 3 = lim (x - 1) (x - 3) : ‫ﺘﺤﺴﺏ ﻫﻜﺫﺍ‬ x2 -1 ( x-1) (x + 1)x →1 x →1 = lim x - 3 = -1 x→1 x +1 lim f(x) = -∞ ‫ ﺃﻭ‬lim f(x) = +∞ : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬3 x → x0 x → x0 lim g (x) = -∞ ‫ ﺃﻭ‬lim g (x) = +∞ ‫َﻭ‬ x → x0 x → x0

‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻫﻲ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻭ ﺘﺤﺴﺏ ﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2x + 3‬‬ ‫‪x → x0‬‬‫‪lim x2 = lim‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪= lim x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪x → +∞ 2 +‬‬‫‪x → +∞ 2 x + 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪ lim f(x) = +‬ﺃﻭ ∞‪lim f(x) = -‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫َﻭ ‪lim g (x) = 0‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ lim (f × g) (x) :‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ lim‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻭﺘﺤﺴﺏ ﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x. x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x. x‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x = lim 1 = 0‬‬ ‫‪xx → +∞ x‬‬ ‫∞‪xx → +‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺘﺒﻘﻰ ﺤﺎﻻﺕ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪:‬‬ ‫∞‪ x → +‬ﺃﻭ ∞‪x → -‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞‪) +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞‪ ( −‬ﻓﺈﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺩﻩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ‪.‬‬‫‪ (2‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞‪) +‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ∞‪ ( −‬ﻓﺈﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪- 5x + 4‬‬ ‫‪x -1‬‬‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ a , b , c‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫)‪x3 - 5x + 4 = (x - 1) (a x2 + b x + c‬‬ ‫)‪lim f (x‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x3 - 3x - 2‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪lim f (x) :‬‬ ‫‪x →2‬‬‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ f (2 + h) :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪h ≠ 0‬‬‫ﺍﺤﺴﺏ )‪ . lim f (2 + h‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫‪h →0‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ I = [-1 ; 1‬ﺤﻴﺙ ‪f (x) = x 2 + 1 :‬‬‫‪ 1‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻤﻥ ‪ I‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ f (x) - 1 < 10 - 8 :‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪ f (x‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ‪ x‬ﻨﺤﻭ ‪. 0‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ‪ I‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪x :‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺃﻨﺸﺊ ) ‪. (C f‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪(x - 1)2 . x‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫• ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪{ }I - 1‬‬‫• ﺒﻴﻥ ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ (C g‬ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻤﻥ ) ‪. (C f‬‬ ‫• ﻫل ﺘﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪. 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫= )‪{ }g (x‬‬‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ℜ -‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺜﻡ ﻋﻠل ﺫﻟﻙ‬ ‫‪ -2‬ﻫل ﺘﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x2 - 3x - 1‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x2 - x‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x + 2 (2‬‬ ‫‪x‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪x3 - 2x - 4‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x3 + 1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x2 + x - 6‬‬ ‫‪x+1‬‬‫‪x→2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪x - 2 (5‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫‪x2 - x‬‬‫‪f (x) = x ; x ≠ 0‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ )‪ f (x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫‪ -2‬ﻫل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( ). C f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ lim (-2x2 - x + 2) (1‬؛ ‪lim x3 - x (2‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → -‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x - 3‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x2 - 5x + 4‬‬ ‫‪-x + 4‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → -‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪5x + 4‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim x - 5 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪4 - x2‬‬ ‫‪x-1‬‬‫‪x →2‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫∞‪lim g (x) = -‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪f (x) = +‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬

lim ( f + g)(x) = 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x → +∞ lim g (x) = +∞ ‫ و‬lim f (x) = - ∞ : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬2 x →2 x →2 lim  f (x) = -1 : ‫ﻓﺈﻥ‬   x →2  g  lim g (x) = 0 ‫و‬ lim f (x) = 0 : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬3 x →3 x →3 lim (f + g) (x) = 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x →3lim [ f (x)]2 = +∞ ‫ ﻓ ﺈن‬lim f (x) = -∞ : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬4x → +∞ x → +∞lim  1  (x) = 0 : ‫ ﻓﺈﻥ‬lim f (x) = +∞ : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬5  f  x → x0x → x0   lim  1  (x) = 1 : ‫ ﻓﺈﻥ‬lim f (x) = l : ‫( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬6  f  l x → x0 x → x0   . ‫ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬l ‫ﺤﻴﺙ‬ : ‫ﻓﺈﻥ‬ lim g (x) =5 ‫َﻭ‬ lim f (x) = 3 : ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ (7 x→ 2 x →1 lim  f (x) = 3  g  5 x →1 . 11‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : −∞ ‫ ﺜﻡ ﻋﻨﺩ‬+∞ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻋﻨﺩ‬ f (x) = 5 - 2 (2 ‫؛‬ f (x) = -5x2 + 4x - 3 (1 xf (x) = (5x - 2) (x2 - 3) (4 ‫؛‬ f (x) = (3x - 1)3 (3

‫= )‪f (x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫؛ ‪(6‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪1 -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x3 - 3x‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫؛‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫؛‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪x3 - 1‬‬ ‫‪2) (x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪: x0‬‬ ‫‪x0 = 0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 1 - x -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x0 = 5‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x-5‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x0 = 5‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f (x) = x2 + 3x - 10‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪− x+5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2x+1‬‬ ‫‪x0 = 1‬‬ ‫‪f (x) = x‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪x0 = 6‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪( x - 6)2‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎﻴﻠﻲ ﻭﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ ﺜﻡ ﺃﺫﻜﺭ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3x - 1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2x - 1)2‬‬ ‫‪x-2‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪6x2 - 3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪f (x) = 2x - 3 +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x - 3x2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f (x) = 5‬‬‫‪f (x) = x -‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪(5‬‬‫‪f (x) = x2 + x x (8‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x+7 -3‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x) = 1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪ ( C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪(o ; i ; j‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻓﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫‪ (2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∆ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ A‬ﺫﺍﺕ) (‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‪ . 2‬ﺃﻨﺸﺊ ∆ ﻭ ) ‪( )( C f‬‬ ‫‪ (4‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪g (x) = a x2 + bx - 1 :‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻟـ ) ‪ ( C f‬ﻭ ) ‪ ( C g‬ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻤﺸﺘﺭﻜﺎ ﻋﻨﺩ ‪A‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ g‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‪.‬‬‫‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ‪ g‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ) ‪ ( C g‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( C f‬ﻭ‬ ‫) ‪. (Cg‬‬ ‫‪ (5‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪f (x) < g (x) :‬‬ ‫)*( ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ - 1‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪{ }:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪x2 + x - 1‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪rr‬‬‫) ‪ ( C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪(o ; i ; j‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ‬‫‪ - (2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ a ,b ,c‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ‬‫‪f‬‬ ‫‪(x) = a x + b +‬‬ ‫‪c‬‬ ‫}‪ ℜ - {1‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ y = ax + b‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺌل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻵﺨﺭ ‪.‬‬ ‫‪ ∆ (3‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )y = x + 2 :‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ Cf‬ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x‬ﻭ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ∆ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪( ) ( )x‬‬ ‫ﻨﺼﻊ ‪d (x) = f (x) – (x + 2) :‬‬ ‫• ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟـ )‪. d (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫َﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪d (x‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫•‬ ‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫• ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪ ( C f‬ﻭ ∆) (‬‫• ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ d (x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x ∈ ℜ - 1 :‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟـ ‪ Cf‬ﻭ} { ) (‬ ‫)∆(‬ ‫• ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x > n‬ﻓ ﺈن ‪ MN < 0,01 :‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪(x) = 1 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ∞‪] [. 0 ; +‬‬‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ∞‪ 0 ; +‬ﻓﺈﻥ ‪] [f (x) < 1 :‬‬‫‪ -3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ C f‬ﺤﻴﺙ ‪ M x ; f (x) :‬ﻭ ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ) ( ) (‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪N (x ; 1‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ MN‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. x‬‬‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x > a‬ﻓﺈﻥ ‪MN < 0,01 :‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x > b‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ MN < 10-n :‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪. 1‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺠﻌل )‪ 1 –f (x‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ o‬ﻭﺫﻟﻙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ y = 1 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟـ ‪( )C f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫‪x2- 3‬‬‫‪x2 + 2x‬‬‫= )‪] [f (x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫∞‪0 ; +‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ a , b , c‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ‬‫‪f (x) = a +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫[∞‪]0 ; +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 0 ; +‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ[ ]‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‪.‬‬‫‪ -3‬ﺃﺩﺭﺱ ﻭﻀﻌﻴﺔ ‪ C f‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻷﻓﻘﻲ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬

‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪f (x) = x2 - x :‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺘ‪r‬ﻬﺎ ﺜﻡ‪ r‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ )‪ . (o ; i , j‬ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﻭل ‪. 2cm‬‬‫‪ (2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ )‪ p (x‬ﺤﻴﺙ ‪p (x) = 2x 3 + 3x2 - 5 :‬‬‫ﺍﺤﺴﺏ )‪ p (1‬ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ )‪ p (x‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺎﻤﻠﻴﻥ ﺜﻡ ﺍﺩﺭﺱ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ‪.‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪x3 - x + 4‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x +1‬‬‫ﺃ‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ¡ - -1‬ﻓﺈﻥ ‪{ }:‬‬‫= )‪g′ (x‬‬ ‫)‪p (x‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪ (4‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋـﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪{ }: ¡ - -1‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻪ‪.‬‬ ‫‪f (x) = g (x) +‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x+1‬‬‫و )‪lim (f - g) (x‬‬ ‫)‪lim (f - g) (x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ‬‫∞‪x → -‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻭﻀﻌﻴﺔ ‪ Cf‬و ‪( ) ( )Cg‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ‪ Cg‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪( ).‬‬