دروس مادة الرياضيات للفصل الاول شعب علمية سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬‫• ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻭﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫• ﺍﻹﺸﺘﻘﺎﻗﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬـﺎﻴﺎﺕ‬

‫ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻟﺭﺴﻡ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺸﻔﻌﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ)ﺍﺨﺘﺼﺎﺭ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ‪،‬ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ(‬ ‫ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪ f‬ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ ،‬ﺠﺩﺍﺀ ‪ ،‬ﻤﺭﻜﺏ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺸﺎﻜل ﻭ ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫‪ - I‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﺒـ ‪ D f‬ﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻭ ﺒـ ‪ C f‬ﺇﻟﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺨﺘﺎﺭ‪( ).‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ – ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ‪ D f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪.‬‬‫ﻟﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ . D f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺭﻓﻕ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﺤﻴﺩ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ )‪ . f (x‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ )‪f (x‬‬ ‫ﺼﻭﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ . D‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫)‪ M x ; f ( x‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ‪ D‬ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻗﻭﻟﻨﺎ) (‬ ‫‪ M x ; y‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ \" ‪ \" f‬ﻴﻌﻨﻲ ‪َ x ∈ D :‬ﻭ )‪( ). y = f (x‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ‪ y = f (x) :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ‪.‬‬

‫‪ -3‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x1‬و ‪ x2‬ﻤﻥ ‪ x1 < x2 : I‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ) ‪ f (x1 ) < f (x2‬ﻭ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﻨﻌﺭﻑ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪: I‬‬‫) ‪f ( x2‬‬ ‫‪ x1 < x2‬ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ) ‪f (x1 ) > f (x2‬‬ ‫) ‪f ( x1‬‬‫) ‪f ( x1‬‬ ‫ﺃﻨﻬﺎ‬ ‫ﻨﻘﻭل‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪f ( x2‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫‪O x1‬‬ ‫‪O x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﺫﻜﻴﺭ ﺒﺎﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺭﺴﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﺭﺒﻊ \" ‪f : x a x2 :‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ −∞ ; 0‬ﻭﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪] [ ] [0 ; +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫<‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ 0 ≤ x1 < x2‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫≥‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫<‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪≤0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ‪.‬‬

‫‪y‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬‫‪-1‬‬ ‫‪f :xa‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻤﻘﻠﻭﺏ\" ‪:‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ −∞ ; 0‬ﻭ ﻋﻠﻰ ∞‪] [ ] [0 ; +‬‬‫‪11‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0 < x1 < x2 :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪x1 > x2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x1 < x2 < 0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪x1 > x2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ ‪:‬‬‫‪y‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪f :xa‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ \" ‪x :‬‬‫‪x1 < x2‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0 ; +‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0 ≤ x1 < x2 :‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬‫‪y‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ \" ‪f : x a cos x :‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﻭﺭﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﻫﺎ ‪ T = 2π :‬ﺃﻱ ‪cos( x + 2π) = cos x :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻔﻰ ﺩﺭﺍﺴﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻁﻭﻟﻪ ‪. 2π‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺩﻭﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪1‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﺠﻴﺏ \" ‪f : x a sin x :‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﻭﺭﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﻫﺎ ‪ T = 2π :‬ﺃﻱ ‪sin( x + 2π ) = sin x :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻔﻰ ﺩﺭﺍﺴﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻁﻭﻟﻪ ‪. 2π‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫ﺩﻭﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪1‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬‫‪-1‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ ) :‬ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ (‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ . −3 ; 4‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ) ‪ (C f‬ﻤﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‪[ ]:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺘﺠﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺃﻋﻁ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[-3 ; 4‬‬ ‫ﺏ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = 0 .‬؟‬ ‫ﺝ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ f (x) ≥ 0 ،‬؟‬ ‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f (x) = 3‬؟‬ ‫‪ -3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﻴﻔﻲ ‪.‬‬‫ﻨﺎﻗﺵ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ( x ) = m :‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬‫‪ -1‬ﺃ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ \"ﻴﻨﺯل\" ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪ .‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫\"ﻴﺼﻌﺩ\" ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ﻤﻨﻪ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬

‫‪x -3 0 3 4‬‬‫‪f 2,5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2 0‬‬‫ﺏ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( x ) = 0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ x = -2 :‬ﺃﻭ ‪ x = 2‬ﺃﻭ ‪x = 4‬‬ ‫ﺝ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ( x ) ≥ 0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x ∈ [-3 ; -2] U[2 ; 4] :‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = 3 :‬ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ m < -2 :‬ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ m = -2 :‬ﻴﻭﺠﺩ ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ -2 < m < 0 :‬ﻴﻭﺠﺩ ﺤﻼﻥ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 0 ≤ m ≤ 2,5 :‬ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2,5 < m < 4 :‬ﻴﻭﺠﺩ ﺤﻼﻥ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ m = 4 :‬ﻴﻭﺠﺩ ﺤل ﻭﺍﺤﺩ ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ m > 4 :‬ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ﺸﻔﻌﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ∈ Df :‬ﻓﺈﻥ ‪ - x ∈ Df :‬ﻭ )‪f (-x) = f (x‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ∈ Df :‬ﻓﺈﻥ ‪ - x ∈ Df :‬ﻭ )‪f (-x) = - f (x‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪O‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﺃﻭ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﻟﻰ ‪. ¡ + ∩ D f‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫)‪f(-x)1 f (x‬‬ ‫‪f ( x)1‬‬ ‫‪x‬‬‫‪-x 0 1 x‬‬ ‫‪-x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f (-x‬‬‫ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‬‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻷﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪: x ∈ ℜ‬‬ ‫‪cos (-x) = cos x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺠﻴﺏ ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻷﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪: x ∈ ℜ‬‬ ‫‪sin (-x) = - sin x‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ‪x = -x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x a x :‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪.‬‬‫‪ x a‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻷﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ [∞‪D = [0 ; +‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x > 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪ - x < 0 :‬ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪.D‬‬ ‫ﺃﻱ ﺸﺭﻁ ﺘﻨﺎﻅﺭ ‪ D‬ﻏﻴﺭ ﻤﺤﻘﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪َ f (x) = x2 + x‬ﻭ ‪g (x) = x x2 + 1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺸﻔﻌﻴﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪ f‬ﻭ‪.g‬‬

‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ . ℜ‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.x‬‬ ‫‪f (-x) = (-x)2 + (-x) = x2 - x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪َ f (-x) ≠ -f (x) :‬ﻭ )‪f (-x) ≠ f (x‬‬ ‫ﻤﺎﻋﺩﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. x = 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻴﺴﺕ ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﻟﻴﺴﺕ ﻓﺭﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫)‪g (-x) = -x (-x)2 + 1 = -x x2 + 1 = -g (x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ‪:‬‬ ‫* ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪P : x a an xn + an-1 xn−1 + ....a1 x + a0‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪. x‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪an , an-1 , . . . , a1 , a0 :‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ an ≠ 0‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺘﺴﻤﻲ ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪ an x1n‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺃﻋﻠﻰ ﺩﺭﺠﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪x a a x2 + b x + c‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a , b , c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭ ‪. a ≠ 0‬‬ ‫* ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻜﺜﻴﺭﻱ ﺤﺩﻭﺩ ‪:‬‬‫ﻴﺘﺴﺎﻭﻯ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﺤﺩﻭﺩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﻭ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻭﺤﻴﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪P (x) = 5x3 + 2x2 + 7x - 1 :‬‬ ‫‪Q (x) = a x3 + b x2 + c x + d‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ P = Q :‬ﻓﺈﻥ ‪a = 5 ; b = 2 ; c = 7 ; d = -1 :‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬ ‫ﺠﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ )‪ Q (x‬ﻴﺤﻘﻕ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: x‬‬

‫)‪x3 + 2x2 - 6x + 3 = (x - 1) Q (x‬‬ ‫ﺇﺭﺸﺎﺩ ‪ :‬ﺍﻜﺘﺏ )‪ Q(x‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪.‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺭ ﻭﺒﺴﻁ ﻭﺭﺘﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ )‪. (x – 1) Q (x‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫‪ -7‬ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪ (C f ) . O ; i , j‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = f (x) :‬ﻓﻲ) (‬ ‫‪rr‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ) ) ( ( ) ) ( ( ) (‬ ‫‪x0 ; y0‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪O ; i , j‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ‬ ‫‪rr‬‬‫‪x′ ; y′‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x ; y‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ O ; i , j‬ﻭ‬ ‫‪rr‬‬‫‪( )uuuur‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪. A;i,j‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ‪ uurOMuu=urxi +uuyujur :‬؛‪AM = x′ i + y′ j uu‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪OM = OA + AM :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪( )r r‬‬ ‫‪‬‬‫‪ . A ; i , j‬ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪:‬‬ ‫ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (C f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬ ‫)‪y′ = g (x′‬‬ ‫‪( )r‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ A ; i‬ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C f‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ g‬ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C f‬‬ ‫‪ -8‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ‪( )r r :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪. O ; i , j‬‬ ‫) ‪ (C f‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬؛ ∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )x = a :‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪: 1‬‬

‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = a‬ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل) (‬ ‫ﻜل ‪x ∈ D f : a - x ∈ D f , a + x ∈ D f :‬‬ ‫ﻭ )‪f (a + x) = f (a – x‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪: 2‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A (a ; b‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪:‬‬ ‫‪x ∈ Df : a - x ∈ Df , a + x ∈ Df‬‬ ‫ﻭ ‪f (a + x) + f (a – x) = 2b‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬ ‫‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a 3x2 + 5x - 1 :‬‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.f‬‬ ‫ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x + 1 :‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A (-1 ; 2‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ - II‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺘﺴﺎﻭﺕ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﻨﻜﺘﺏ ‪f = g :‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪f (x) = g (x) : D‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ )‪x a g (x) ; x a f (x‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ‬ ‫‪f+g‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫‪x ∈ D f ∩ Dg‬‬ ‫)‪x a f (x) + g(x‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻕ‬ ‫‪f-g‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ‬‫‪x ∈ D f ∩ Dg‬‬ ‫)‪x a f (x) − g(x‬‬ ‫ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪f.g‬‬‫‪x ∈ D f ∩ Dg‬‬ ‫)‪x a f ( x).g( x‬‬ ‫‪f‬‬‫‪x ∈ D f ∩ Dg‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫ﻭ ‪g(x) ≠ 0‬‬ ‫)‪g( x‬‬

‫‪ -3‬ﺘﺭﻜﻴﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ f :‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ .‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪ gof‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ))‪ g ( f ( x‬ﺃﻱ ‪:‬‬‫))‪( gof ) (x) = g ( f (x‬‬ ‫))‪x a f (x) a g ( f (x‬‬ ‫‪gof‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ f :x a x-2‬؛ ‪g:x a x‬‬ ‫‪( gof )(x) = g ( f (x)) = f (x) = x - 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ gof : x a x - 2 :‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [2 ; +‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ gof ( x‬ﻟﻬﺎ ﻤﻌﻨﻰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ∈ D f‬ﻭ ‪f (x) ∈ Dg‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ gof‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ x ∈ D f :‬ﻭ ‪f (x) ∈ Dg‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ fog‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪( )( fog)(x) = f g (x) :‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ‪fog ≠ gof :‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪:‬‬‫‪( fog)(x) = f ( g (x)) = g(x) - 2 = x - 2‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:‬‬‫= )‪f (x) = x2 + 1 ; g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ )‪ ( fog)(x‬ﺒﻌﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. gof‬‬‫‪ (2‬ﻨﻔﺱ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. fog‬‬

‫ﺍﻟﺤـل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ )‪: ( fog)(x‬‬ ‫‪َ f (x) = x2 + 1‬ﻭ ‪Df = ℜ‬‬ ‫َﻭ } ‪Dg = ℜ - {0‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬‫))‪x a f (x) a g ( f (x‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ )‪ g f (x‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪( )f (x) ≠ 0‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ )ﻷﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ x2 + 1 = 0 :‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤﻠﻭل (‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Dgof = ℜ :‬‬‫ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ g f (x‬ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒـ )‪ f (x‬ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ g (x‬ﻓﻨﺠﺩ ‪( ):‬‬‫= ))‪g ( f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ )‪: ( fog)(x‬‬ ‫‪Df‬‬ ‫} ‪= ℜ - {0‬‬ ‫;‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Df = ℜ ; f (x) = x 2 + 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ fog‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪{ }ℜ - 0‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x a g (x) a f ( g (x)) :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫‪f‬‬ ‫‪(g‬‬ ‫))‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫))‪f ( g (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪gof ≠ fog :‬‬

‫‪ - III‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ (f + g‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺘﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ (f + g‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫‪ - 2‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: λ. f‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ λ . I‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ > 0‬ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ λf‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ < 0‬ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ λf‬ﻟﻬﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻟﻠﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ = 0‬ﻓﺈﻥ ‪ λf‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f : x a x2 + 3 :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪[ [I = 0 ; +‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪5. f : x a 5 x2 + 15 :‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ‪ 5. f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺭﺘﻴﺒﺘﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ I .‬ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪. Df‬‬ ‫‪ J‬ﻤﺠﺎل ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪ . Dg‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ ، I‬ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫)‪ f ( x‬ﻤﻥ ‪. J‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ gof‬ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﻥ ﻟﻠﺘﻐﻴﺭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪gof‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ h‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪h (x) = 1 - x :‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. h‬‬ ‫‪ -2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪.‬‬ ‫ﺤـل ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻴﻥ ﺒـ ‪g (x) = x ; f (x) = 1 - x :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. h = gof :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ . ℜ‬ﻭﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ f (x) ≥ 0‬ﺤﺘﻰ ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬؛ ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪ 1 - x ≥ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. x ≤ 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻫﻲ ‪] ]. Dh = -∞ ; 1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 1‬ﻭ ∞ ‪[ [ ] ]. f (x) ∈ 0 ; +‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞ ‪ 0 ; +‬ﻭﻤﻨﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋل ﺍﻟﻤﺠﺎل[ [‬ ‫]‪. ]-∞ ; 1‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ‪ f – g :‬ﻭ ‪f . g‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f‬ﻭ‪. g‬‬ ‫‪ -4‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ . I‬ﻴﻤﻜﻥ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﻜﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﻭﺍل ﺭﺘﻴﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﻜﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﻜﻤﺭﻜﺏ ﻋﺩﺩ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪.‬‬‫‪ (4‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ f (b) – f (a) :‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a ≤ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺴﺘﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺩﺭﻭﺱ ﻻﺤﻘﺔ‪.‬‬‫‪( )r r‬‬ ‫‪ - IV‬ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﻭ ﺘﺤﻭﻴﻼﺕ ‪:‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻭ ) ‪ (C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ‪. O ; i , j‬‬ ‫‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ .‬ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬‫)‪ x a f (-x) ; x a f (x) ; x a - f (x‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‪.‬‬

‫• ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ‪:‬‬‫‪ -‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a -f (x‬ﻨﻅﻴﺭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a f (x‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬‫‪ -‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a f (-x‬ﻨﻅﻴﺭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a f (x‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬‫‪ x a‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a f (x‬ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪f (x‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ‪f (x) ≥ 0‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ x a f (x‬ﻨﻅﻴﺭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫)‪ x a f (x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ‪ f (x) ≤ 0‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪; f (x) ≥ 0‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪-f (x‬‬ ‫‪; f (x) ≤ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ﺍﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫)‪y= f(x+k‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C g‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ) (‬ ‫) ‪ (C f‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪. -ki‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (Ch‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = f ( xr) + k‬ﻫﻭ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ) (‬ ‫) ‪ (C f‬ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ ‪. kj‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪(Ch‬‬ ‫‪-ki‬‬ ‫‪kj‬‬‫) ‪(Cg‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪(C f‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪(C f‬‬

‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺭﻜﻴﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺸﻜل‬ ‫‪ℜ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪2x -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ‪ :‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f‬ﻜﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ‪ (f = goh) h‬ﺜﻡ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻤل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ℜ‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺸﻜل ‪f (x) = (x2 + 1)2 :‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ‪ h‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪f (x) = g ( h (x)) ; x ∈ D f‬‬ ‫ﻟﻬﺫﺍ ﻨﺠﺯﺃ ﺤﺴﺎﺏ )‪) f (x‬ﻤﻊ ﺍﻷﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻭﻟﻭﻴﺎﺕ ﻤﺭﺍﺤل ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ (‪ .‬ﻓﻨﺠﺩ ﻤﺭﺤﻠﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ 2 x - 1‬ﻴﻨﺠﺯ ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺤﻠﺘﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ ‪ * X = 2x – 1 :‬ﺤﺴﺎﺏ ‪. X‬‬ ‫‪ -‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ g‬ﻭ‪ h‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ f = goh‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻨﻌﺭﻑ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪h‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻁﺒﻕ ﻓﻲ ﺍﻷﻭل ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2 - x‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫= )‪{ }f (x‬‬ ‫‪ ℜ -‬ﺒـ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪rr‬‬ ‫ﻭ ) ‪ (C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ‪( )O ; i , j‬‬ ‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ‪ :‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ a , b , c‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫‪(x) = a x + b +‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل }‪: x ∈ ℜ -{2‬‬ ‫‪x -2‬‬‫ﺜﻡ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = ax + b :‬‬‫)‪ f (x‬ﻤﻌﻁﺎﺓ‬ ‫‪ ax + b +‬ﺇﻟﻰ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻷﻥ‬ ‫‪c‬‬ ‫ﺃ( ﻨﺤﻭل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫‪x-2‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﻨﻭﺤﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻤﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭﻨﺒﺴﻁ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻁ ‪.‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻫﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ a , b , c‬ﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x ≠ 2‬‬‫‪x2 - x = a x2 + ( b - 2a) x + c - 2b‬‬ ‫‪x-2 x-2‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺘﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭ ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻨﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﺴﻁﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺃﻱ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x ≠ 2‬ﻭ‬‫‪x2 - x = ax2 + (b - 2a) x + c - 2b‬‬ ‫‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺭﺠﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪. a , b , c‬‬‫ﺝ( ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ (C f‬ﻓﻭﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = a x + b‬‬ ‫ﺘﻘﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ )‪ f (x‬ﻭ ‪ a x + b‬ﻟﻬﺫﺍ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ‬ ‫)‪ h (x) = f (x) – (ax + h‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﺸﻜﻼﻥ ﻟـ )‪f (x‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ )‪h (x‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ h (x‬ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪x (x - 1‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x2 + x‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪x2 - 4‬‬ ‫‪3 + x2‬‬‫‪f (x) = x + 2 (8‬‬ ‫‪f (x) = 3 - x (7‬‬ ‫= )‪. f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+x-1‬‬ ‫;‬ ‫‪g (x) = 2x + 3 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f + g‬؟‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ )‪(f + g) (x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 2x + 3‬‬ ‫;‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ‪( gof )(x) ; ( fog)(x) :‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪:‬‬

‫‪gof ; fog ; g ; f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﺒﺴﻁ ﻭ ﺭﺘﺏ ﻭ ﺃﻋﻁ ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪:‬‬‫‪P (x) = x2 + 2x3 - x + x4‬‬‫) ‪Q (x) = x2 - x3 - 6x + (x2 + 2x3 + x4‬‬‫)‪R (x) = x2 + 2x3 + 4x3 + x4 - (x2 + 2x3 - x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺫﻜﺭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ U‬ﻋﻠﻰ ‪ ℜ‬ﺤﻴﺙ ‪U (x) = x2 :‬‬ ‫‪f : x a -5x2‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ g : x a x2 - 4‬؛‬ ‫‪h : x a 0,5 x 2 + 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ −5 ; 1‬ﺒﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪[ ]:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-5 -1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪u0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-3‬‬‫ﺝ( ‪h = 0,5.u + 25‬‬ ‫ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ‪ . f = −u‬ﺏ( ‪. g = 2.u‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 2π‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪[ ]:‬‬ ‫‪f (x) = sin x + x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻤﺠﺎل ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ -1 : f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ؟ ‪ -2‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﺤﻴﺙ ‪u (x) = 2x – 8 :‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ؟‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ؟‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪u :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬‫= )‪f(x‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪-2x 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪f (x) = -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-2x + 4‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻜﺘﺏ )‪ f (x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. B‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [2 ; +‬‬‫= )‪U (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ U :‬ﻭ‪ V‬ﺤﻴﺙ ‪; V (x) = 3x + 5 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ‪:‬‬‫)‪( VoU )(x) ; ( UoV )(x) ; ( UoU )(x) ; ( VoV )(x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫ﺃﺼﺤﻴﺢ ﺃﻡ ﺨﻁﺄ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪َ x a x2 + 1 :‬ﻭ ‪x a x2 - 1‬‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻋﻠﻰ ‪. ℜ‬‬ ‫‪ (2‬ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺘﺂﻟﻔﻴﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ x a‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ∞‪] [0 ; +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x 2‬‬

‫ﻴﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺒﺎﻻﻨﺴﺤﺎﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﺸﻌﺎﻋﻪ‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺫﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪4+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4x - 5‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪x - 3 :‬‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﻜﺴﺭ ‪x - 3‬‬ ‫‪ (6‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f 2‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.I‬‬ ‫‪ (7‬ﻟﺘﻜﻥ ‪َ f(x) = x :‬ﻭ ‪g(x) = x4 + x2 + 1‬‬ ‫ﻭ ‪ h(x) = x4 + x2 + 1‬ﺇﺫﻥ ‪h = gof :‬‬‫‪( )x4+ 6x3+ 7x2 - 6x + 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪ x2+ p x + q 2 :‬ﺜﻡ ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪( ):‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪(C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‬‫‪-2 -1 0‬‬ ‫ﻓﻲ) (‬‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2x - 1‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪O ; i , j‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪ -1‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺨﻤﻴﻥ ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ؟‬ ‫‪( )r r‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﺨﺘﺭ ﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻜﻤﺒﺩﺃ ﻟﻤﻌﻠﻡ ﺠﺩﻴﺩ ‪. A ; i , j‬‬

‫ﻭﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪.‬‬‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ‪ r‬ﺍﻟﻤﻌ‪r‬ﺎﺩﻻﺕ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪. A ; i , j‬‬ ‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺨﻤﻥ ﻫﻡ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬‫= )‪g (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َﻭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪1+x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪f (x) = 1 - x + x2 - x3 :‬‬ ‫ﺃ( ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺃﻭ ﻤﺠﺩﻭل ﺃﻋﻁ ﺠﺩﻭل ﻗﻴﻡ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x‬‬ ‫ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ‪ 0,1‬ﺇﻟﻰ ‪ . 0,01‬ﻭ ﻗﺎﺭﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ )‪d (x) = g (x) – f (x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ )‪ d (x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. x = 0,01 ،‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺸﺭﺡ ﻜﻴﻑ ﺘﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ d‬ﺃﻥ )‪ f (x‬ﻭ )‪ g (x‬ﻟﻬﻤﺎ ﻗﻴﻡ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪. 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪Exel‬‬‫ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ﺃﺩﻨﺎﻩ ﺘﻌﻁﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺔ ‪ . f‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪B1‬‬ ‫=‬‫=‬ ‫‪ -1‬ﻓﻲ ﺃﻱ ﺨﻠﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻤﺞ ﻗﺩ ﺘﻭﻗﻊ ﺤﺠﺯ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬؟‬ ‫‪ -2‬ﺃ( ﻤﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ h‬ﻭ ‪ g‬ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺒﺭﻤﺞ ﻟﺘﺸﻜﻴل ﺠﺩﻭﻟﻪ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻜﺘﺏ ‪ f‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺝ( ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ‪ h (x) :‬ﻭ )‪ g (x‬ﻭ )‪f (x‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻟـ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫ﺃ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ؟‬ ‫ﺏ( ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ x 2 - 1 :‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪. x‬‬ ‫‪g(x) = 1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺝ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬‫ﺩ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﻭﻀﻌﻴﺔ ) ‪ (C g‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺫﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = 1‬؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪f (x) = 2x3 - x 2 + 1 :‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪f ( 2x‬‬ ‫;‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫)‪f ( -x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠـــﻭل‬ . 1‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬Df = ℜ - {0 ; 1} (2 ‫ ؛‬Df = ℜ - {0} (1Df = ℜ - {-1 ; 0} (4 ‫؛‬ Df = ℜ (3Df = ℜ (6 ‫ ؛‬Df =ℜ - {-2 ; 2} (5Df = ]-∞ ; 3] (8 ‫ ؛‬Df = [-2 ; +∞[ (7 . Df = ]0 ; +∞[ (9 . 2‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬Df +g = ℜ - {0} ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬Df = Dg =ℜ - {0} (1 { }ℜ- 0 ‫ ﻤﻥ‬x ‫( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬f + g) (x) = 3x + 2 (2 . 3‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬( gof ) (x) = 1 3 ; ( fog) (x) = 2 +3 2x + xDfog = ℜ - {0} ; Dg = ℜ - {0} ; Df = ℜ Dgof =ℜ - − 3   2   p (x) = x4 + 2x3 + x2 − x . 4‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬q (x) = x4 + x3 + 2x2 - 6x : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ R (x) = x4 - x

‫ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﺫﻩ ﻫﻲ ‪.4 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪) u‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﺭﺒﻊ\"( ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ −∞ ; 0‬ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ] ]‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪[ [. 0 ; +‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ −∞ ; 0‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ] ]‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪[0 ; +‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ g‬ﻭ‪ h‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ −∞ ; 0‬ﻭﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [ ] ]0 ; +‬‬‫‪x -5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪1‬‬‫‪u0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪-u 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪23‬‬‫‪2u 0‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪h 26،5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a sin x‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 3π‬‬ ‫;‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫; ‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x :‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺘﻴﻥ ﻓﻬﻲ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪ u (x) = 0 (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x = 4‬‬ ‫‪ u (x) > 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x > 4‬‬ ‫‪ u (x) < 0‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x < 4‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ‪Du = ¡ :‬‬‫‪ x a‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 4‬ﻭ ∞‪] [ ] [4 ; +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ( 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪2x - 8‬‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 4‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪] [ ] [. 4 ; +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫‪(1‬‬‫‪−2x + 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2x + 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2x+4‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [2 ; +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬‫])‪(VoU ) ( x) = V [U (x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪x‬‬‫)‪(UoV )( x‬‬ ‫=‬ ‫‪U‬‬ ‫‪[V‬‬ ‫])‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3x +‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(VoV ) ( x) = 9 x + 20 ; (UoU ) ( x) = x :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ (1‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ ( 2 ،‬ﺨﻁﺄ ‪ ( 3 ،‬ﺨﻁﺄ ‪ ( 4 ،‬ﺨﻁﺄ‬ ‫‪ (5‬ﺼﺤﻴﺢ ‪ ( 6 ،‬ﺨﻁﺄ ‪ ( 7 ،‬ﺨﻁﺄ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﻟﻨﺘﺤﻘﻕ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: x‬‬‫‪( x2 + Px + q)2 = x4 + 6x2 + 7x2 - 6x + 1‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭ ﺍﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 2p = 6‬‬ ‫‪p + 2q = 7‬‬‫‪P=3‬‬ ‫;‬ ‫‪q = -1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﻼﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2pq‬‬ ‫‪= -6‬‬ ‫‪ q2 = 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﻰ ﻫﻭ ﻤﺭﺒﻊ ‪x2 + 3 x - 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪x = 1 (1‬‬ ‫‪ x = x′ + 1‬‬ ‫‪A (1 ; - 2) (2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y′‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫)‪y′ = x′2 = g( x′‬‬‫‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪ .‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = 1 :‬ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫ﺃ( ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ﺇﻜﺴﺎل ‪ \"Exel \" :‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫= )‪d (x‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫ﺏ( ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪1+x‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ )‪ d (x‬ﻤﻭﺠﺏ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪. O‬‬‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x = 10-2‬ﻓﺈﻥ )‪ d (x‬ﻗﺭﻴﺏ ﻤﻥ ‪10−8‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻔﺎﺭﻕ ﺒﻴﻥ )‪ g (x‬ﻭ )‪ f (x‬ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ‪ .‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﺇﺫﺍ‬‫ﻜﺎﻥ ‪ ) x = 10-n‬ﻤﻊ ‪ n‬ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ ( n ≥ 1 .‬ﻓﺈﻥ )‪ d (x‬ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺭﻴﺏ‬‫ﻤﻥ ‪ x = 10-4n‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪ . x = 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ‪ \" g‬ﻗﺭﻴﺒﺔ \" ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪ f‬ﻤﻊ )‪g (x) > f (x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫‪ -1‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ B1‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻤﺤﺘﻭﻯ ‪ A4‬ﻭ ﻤﺤﺘﻭﻯ ‪ A4‬ﻨﺘﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻤﻥ ‪ A2‬ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﺘﺤﺠﺯ ﻓﻲ ‪. A2‬‬‫‪h :x a‬‬ ‫‪ -2‬ﺃ( ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ‪ A2‬ﺇﻟﻰ ‪ A4‬ﻫﻲ ‪x 2 + 1 :‬‬ ‫) ‪ A2‬ﻴﻠﻌﺏ ﺩﻭﺭ ‪(x‬‬‫‪g :x a‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ‪ A4‬ﺇﻟﻰ ‪ B2‬ﻫﻲ ‪x :‬‬ ‫ﺏ( ‪f = goh‬‬

‫ﺝ( ‪h (x) = x2 + 1 ; g (x) = x‬‬ ‫‪f (x) = x2 + 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﺃ( ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ )‪ g (x‬ﺒﺸﺭﻁ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪ x2 - 1 ≠ 0‬ﺃﻱ ‪ x ≠ 1 :‬ﻭ ‪x ≠ -1‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ‪D = ]-∞ ; -1[ U ]-1 ; 1[ U ]1 ; + ∞[ :‬‬ ‫ﺏ( )‪x2 - 1 = (x - 1) (x + 1‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺠﺩﻭل ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻟﻠﺠﺩﺍﺀ ‪ (x – 1) (x + 1) :‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫‪x-1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬‫‪x+1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x2 - 1 < 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪] [x ∈ -1 ; 1‬‬‫‪ x2 - 1 > 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل [∞‪x ∈ ]-∞ ; -1[ U ]1 ; +‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪x2 - 1 + 2‬‬ ‫ﺝ( ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 -‬‬ ‫) ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺫﻟﻙ ﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ )‪( g (x‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ x 2 - 1 :‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻭﻕ ﺃﻭ ﺘﺤﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(d‬‬ ‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ∈ -1 ; 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪] [g (x) < 1‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ C :‬ﺘﻘﻊ ﺘﺤﺕ )‪ .(d‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ∞‪] [ ] [ ( )x ∈ -∞ ; -1 U 1 ; +‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ g (x) > 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ C‬ﺘﻘﻊ ﻓﻭﻕ )‪( ). (d‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ f (2x‬ﻴﻜﻔﻲ ﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ x‬ﺒـ ‪ 2x‬ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﻓﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪f (2x) = 2 (2x)3 - (2x)2 + 1 = 16 x3 - 4x2 + 1‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺠﺩﻴﺩﺓ ‪ g‬ﺤﻴﺙ )‪g (x) = f (2x‬‬‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﻤﺜل ‪+ 1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫ﻭ ﻜﺫﻟﻙ ‪f (-x) = 2 (-x)3 - (-x)2 + 1 :‬‬ ‫‪f (-x) = -2x3 - x2 + 1‬‬

‫ﺍﻟﺯﻭﺍﻴـﺎ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻭ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺯﻭﺍﻴﺎ ﻤﻭﺠﻬﺔ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ‬ ‫ﻤﺸﺎﻜل ﻭ ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫‪ .I‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪:‬‬ ‫َﻭ ﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻭﺠﻪ ‪ (C) .‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‪vr ur‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪. O‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬‫)‪N(s‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ OX‬ﻨﺼﻑ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ) [‬ ‫)‪M(t‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻰ ﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ur‬‬ ‫ﻭﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. M‬‬ ‫‪ OY‬ﻨﺼﻑ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ‬‫‪[ )A' O‬‬‫‪A‬‬‫'‪vr r vr(C) B‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫ﻫﻲ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‪v‬‬ ‫َﻭ‪ur‬‬ ‫‪.N‬‬ ‫ﻓ‪vr‬ﻲ‪,‬ﺍﻟﻨﻘ‪ur‬ﻁ(ﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪(C‬‬ ‫ﻭﻴﻘﻁﻊ‬ ‫ﻟﻠﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ )‬‫ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ) ‪ ( OM , ON‬ﻟﻨﺼﻔﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪َ OX‬ﻭ ‪[ ) [ ). OY‬‬ ‫‪ .II‬ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ‪:‬‬‫ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ) ‪ (ur , vr‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺎﺒﻘﺎ ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ s – t‬ﺤﻴﺙ ‪ s‬ﻭ‪ t‬ﻫﻤﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺎﻥ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ N‬ﻭ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ﻟﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪. (C‬‬‫ﻟ‪-‬ﻜلﺘﻌﻴﺯﻴﺍﻭﻥﻴ ﺃﺔﻗﻴﻤﺎﻭﺱﺠﻬﺯﺔﺍﻭﻴ)ﺔ‪vr‬ﻤ‪,‬ﻭﺠﻬ‪ur‬ﺔ(‪ :‬ﻤﺎﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻗﻴﺎﺱ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ α‬ﻫﻭ ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻗﻴﺎﺱ ﻓﺈﻥ ﺃﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺘﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ θ = α + 2kπ :‬ﺤﻴﺙ‪. k ∈ Z :‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪( )uuur uuur‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ‪:‬‬ ‫‪OA , OB‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ 2kπ‬‬ ‫‪; k∈Z‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪uuuur‬‬‫‪uuur‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ‪:‬‬ ‫‪OB‬‬‫‪,‬‬‫‪( )OB′‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪u-uur32π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2kπ‬‬ ‫‪; k∈Z‬‬ ‫‪uuuur‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( )OB′ , OB = -π + 2kπ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 3π ‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 ‬‬‫‪( )uuuur uuur‬‬ ‫=‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ 2kπ‬‬ ‫;‬ ‫∈‪k‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪OM , ON‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( )uuuur uuur‬‬ ‫=‬ ‫‪7π‬‬ ‫‪+ 2kπ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪OM , ON‬‬ ‫‪9π −π‬‬ ‫‪ (4‬ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪ 5‬ﻫﻤﺎ ﻗﻴﺴﺎﻥ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ؟‬ ‫‪9π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ -π ‬‬ ‫=‬ ‫‪9π + π‬‬ ‫=‬ ‫‪10π‬‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9π‬‬ ‫=‬ ‫‪−π‬‬ ‫‪+ 2π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9π −π‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪ 5‬ﻫﻤﺎ ﻗﻴﺴﺎﻥ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ‪.‬‬ ‫‪5π 3π‬‬ ‫‪ (5‬ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ 2‬ﻭ ‪ 3‬ﻫﻤﺎ ﻗﻴﺴﺎﻥ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ؟‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪10π − π‬‬ ‫=‬ ‫‪9π‬‬ ‫=‬ ‫‪3π‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5π π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 6 :‬ﻭ ‪ 3‬ﻫﻤﺎ ﻗﻴﺴﺎﻥ ﻟﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻭﺠﻬﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪:‬‬

‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻗﻴﺱ ﺭﺌﻴﺴﻲ ﻭﺤﻴﺩ ‪ θ‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪. ]−π ; π‬‬ ‫‪ θ‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ‪.‬‬ ‫‪( )uuur uuur‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ OA , OB‬ﻓﻲ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ 2 (1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ‬ ‫‪( )uuur uuur‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪OB , OA‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫‪ 2 (2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﺤﺩ ﺃﻗﻴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2007π‬‬ ‫‪Rd‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪2007π‬‬ ‫=‬ ‫‪(6‬‬ ‫×‬ ‫‪334 + 3) π‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪× 334π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ 334 π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻫﻭ ‪. 2‬‬ ‫‪1954π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Rad‬‬ ‫‪ (4‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪:‬‬‫‪1954π‬‬ ‫=‬ ‫‪(5‬‬ ‫×‬ ‫‪390‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+ 390π‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻘﻴﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻫﻭ ‪. 5‬‬‫‪(ur‬‬ ‫)‪vr‬‬ ‫‪(vr‬‬ ‫) ‪wr‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)ﻏﻴﺭ‪ wr‬ﻤ‪,‬ﻌﺩﻭ‪ur‬ﻤ(ﺔ‬ ‫ﺃﺸﻌﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻭ‬ ‫ﺜﻼﺜﺔ‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪wr-‬ﺨﻭ‪,‬ﺍ ‪vr‬ﺹ‬ ‫‪Z (1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ 2kπ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫∈‪; k‬‬

‫‪vr - vr‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟ)ﺯﺍ‪r‬ﻭ‪u‬ﻴﺘﺎ‪,‬ﻥ‪vr()ur=, -vr()vr‬ﻭ‪(vr , (urur) ,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﺍﻟﻫ))ﺯﺍﻤﺎ‪vrr‬ﻭ‪v‬ﻴﺘﺯ‪,,‬ﺎﺍﻥﻭﻴ‪rr‬ﺘ‪uu‬ﺎ)((ﻥ‪-vr‬ﻤﺘ‪,‬وﻌﺎ‪π‬ﻜ‪)ur‬ﺴ(ﺘ=‪vr‬ﺎ‪-‬ﻥو)‪vr(vr(,-u,urru)r.,‬ﻤﺘ‪-‬ﻘﺎ‪(+‬ﻴﺴﺘﺯﺎﺍ‪π‬ﻭﻥﻴﺘﺎ=ﻥ)ﻤﺘ‪ur‬ﻜﺎ‪,‬ﻤﻠﺘﺎ‪vr‬ﻥ‪.(-‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪ (5‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪uuur uuur uuur uuur uuur uuur :‬‬ ‫‪(AB , AC) + (BC , BA) + (CA , CB) = π + 2kπ ; k ∈ Z‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ (6‬ﺸﺭﻭﻁ ﻭﻗﻭﻉ ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪:‬‬ ‫‪ A , B , C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﺎﻁ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‬‫‪C AA‬‬ ‫‪BB‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬‫‪A‬‬ ‫‪(CuuCAur‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪uuur‬‬ ‫‪=Bπ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2kπ‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬ ‫)‪CB‬‬ ‫‪ (CA , CB) = 2kπ ; k ∈ Z‬أو‬ ‫‪BI‬‬ ‫‪ (7‬ﻤﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ OI‬ﻤﻨﺼﻑ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪[ )AOB‬‬ ‫‪( ) ( )A‬‬ ‫‪uuur uur‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪uur uuur‬‬ ‫‪OB , OI = OI , OA + 2kπ ; k ∈ Z‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ (8‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ ﻴﺤﺼﺭﺍﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ B , A‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ )‪(C) (C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪uuuur uuur‬‬ ‫‪( ) ( )uuur uuur‬‬ ‫‪OA , OB = 2 MA , MB + 2kπ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .III‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪( )r r‬‬ ‫)‪ (C‬ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ; i , j‬‬

: ‫( ﺒﺤﻴﺙ‬C) ‫ ﺘﻭﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻤﻥ‬، rθ ‫ﺎ‬u‫ﺴﻬ‬u‫ﻴ‬u‫ﻗ‬ur(ur , vr) ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻭﺠﻬﺔ‬ ( i , OM )= θr + 2kπ ; k∈Z r BM ( )O;i , j M (ur , vr) ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﺎﺼﻠﺔ‬ - sin θ cos r r θ :‫ﻫﻲ‬ = cos θ ( )O ; i , j ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬M ‫ ﺘﺭﺘﻴﺏ‬- O cos θ A uuuursin (ur , vrr) = sin θr :‫ﻫﻲ‬ OM = cos θ i + sinθ j :‫ﺇﺫﻥ‬ : k ‫ ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‬θ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ cos2 θ + sin2 θ = 1 (1 -1 ≤ cos θ ≤ 1 ‫ ﻭ‬-1 ≤ sin θ ≤ 1 (2 cos(θ + k.2π) = cos θ ‫ َﻭ‬sin(θ + k.2π) = sin θ (3 : ‫ ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻪ‬x ‫ﺠﻴﺏ ﻭ ﺠﻴﺏ ﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ cos (- x ) = cos x ; sin(- x ) = - sin x (1 cos( π - x ) = -cos x ; sin( π - x ) = sin x (2 cos( π + x ) = - cos x ; sin( π + x ) = - sin x (3 cos  π - x  = sin x ; sin  π - x  = cos x (4  2   2  cos  π + x  = - sin x ; sin  π + x  = cos x (5  2  2  : ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬cos  -π  ; sin 2π ; cos 5π ; cos 5π : ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬  3  3 4 6 : ‫ﺍﻟﺤل‬

* cos 5π = cos  π - π  = - cos π =- 3 6  6  6 2* cos 5π = cos  π + π  = - cos π =- 2 4  4  4 2* sin 2π = sin  π + π = cos π = 3 3  2 6  6 2* cos  -π  = cos π = 1  3   3  2 : ‫ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬.IV : ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬- : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬cos α = cos β : ‫( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬1 α = β + 2kπ   ‫أو‬ k∈Z α = -β + 2kπ : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬sin α = sin β : ‫( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬2 α = β + 2kπ   ‫أو‬ k∈Z α = π -β + 2kπ α = β + kπ ; k ∈ Z :‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬tan α = tan β : ‫( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬3 : ‫ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ℜ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺤل ﻓﻲ‬ 2cos x + 1 = 0 (1 sin  2x - π  = sin  x + π  (2  3  6  tan 3x = tan  x + π (3 3 

: ‫ﺍﻟﺤل‬ cos x = - 1 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬2 cos x + 1 = 0 : ‫( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬1 2 x = 2π + 2kπ  2π   = 3  3  x k∈Z :‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ cos x = cos : ‫ﺃﻱ‬ -2π 3 + 2kπ : ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ‬ S =  2π + 2kπ ; -2π + 2kπ ; k ∈ Z  3   3 ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ sin  2x - π  = sin  x + π  : ‫( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬2 3   6 2x - π =x+ π + 2k π 3 6 k ∈Z2x π  π - 3 = π -  x + 6  + 2k π  x = π + 2kπ  x = π + 2kπ  2  2  : ‫ﺃﻱ‬  : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 7π 2kπ  3 x 7π  x = 18 + 3 = 6 + 2kπ  : ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ‬ S = π + 2k π ; 7π + 2k π ; k ∈ Z  2 18 3 : ‫( ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬3

‫َﻭ ‪cos 3 x ≠ 0‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬‫‪3x‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+kπ‬‬ ‫;‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+kπ‬‬ ‫‪; k∈Z‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≠‪x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+kπ‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫≠‪x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(3π‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫;‬ ‫‪k∈Z‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ tan‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪tan ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k′‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫= ‪3x‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k′‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪k′π‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≠‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 3k′ ≠ 2k :‬ﺃﻱ ﻴﻜﻭﻥ ‪ k′‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ‪ 0 ; 2π‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺨﺔ ‪[ ]2 cos x - 1 < 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪= cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪5π ‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪5π ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 2‬‬ ‫‪[ ]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ‪ 0 ; π‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 0 ≤ x ≤ π :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪0 ≤ 2x ≤ 2π :‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫≤‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪2π -‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪≤y‬‬ ‫≤‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪=y‬‬ ‫ﻭ ﺒﻭﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪:‬‬‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫≤‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪11π‬‬ ‫< ‪ sin y‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫< ‪ sin y‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫≤‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫≤‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻭ ‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬‫‪2π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪-π‬‬‫‪3‬‬ ‫≤‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪6‬‬ ‫≤‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪≤ 2x‬‬ ‫≤‬ ‫‪2π‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫≤‪0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫≤‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

π5 ≤x ≤ π ‫ﺃﻭ‬ 0≤x ≤ π : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 12 4 S= 0 ; π U  5π ; π  : ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ‬ 4   12  : ‫ ﺩﺴﺎﺘﻴﺭ ﺍﻟﺘﺤﻭﻴل‬.V : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬b‫ ﻭ‬a ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ cos (a + b) = cos a .cos b - sin a .sin b (1 cos (a - b) = cos a .cos b + sin a .sin b (2 sin (a + b) = sin a .cos b + cos a .sin b (3 sin (a - b) = sin a .cos b - cos a .sin b (4 sin 5π ; Cos π ‫ ﺍﺤﺴﺏ‬: ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬ 12 12 : ‫ﺍﻟﺤل‬ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ π = π - π : ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 12 3 4cos  π  = cos  π - π  12   3 4  = cos π .cos π + sin π .sin π 3 4 3 4 = 1 . 2 + 3 . 2 2 2 2 2 . cos π = 2+ 6 12 4 : ‫ﺇﺫﻥ‬

: ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 5π = π + π : ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 12 4 6sin 5π = sin π + π 12  4 6  = sin π . cos π + sin π . cos π 4 6 6 4 = 2 . 3 + 1 . 2 2 2 2 2 . sin 5π = 2+ 6 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 12 4 : ‫( ﻨﺠﺩ‬2) ‫( ﻭ‬1) ‫ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ cos(a + b) + cos (a - b) = 2cos a .cos b (5 : ‫( ﻨﺠﺩ‬2) ‫( ﻭ‬1) ‫ﺒﻁﺭﺡ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ cos(a + b) -cos(a - b) = -2 sin a .sin b (6 : ‫( ﻨﺠﺩ‬4) ‫( ﻭ‬3) ‫ﺒﺠﻤﻊ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ‬ sin(a + b) + sin(a - b) = 2 sin a .cos b (7 : ‫( ﻨﺠﺩ‬3) ‫( ﻭ‬4) ‫ﺒﻁﺭﺡ‬ sin(a + b) - sin(a - b) = 2cos a .sin b (8 a= x+y ; b= x-y :‫ ؛ ﻨﺠﺩ‬a – b = y ‫ ﻭ‬a + b = x ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ 2 2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ cos x + cos y = 2 cos  x + y  . cos  x - y  (9  2   2  cos x - cos y = -2 sin  x + y  . sin  x - y  (10  2   2  sin x + sin y = 2 sin  x + y  . cos  x - y  (11 2  2 

sin x- sin y = 2 cos  x + y  . sin  x - y  (12  2  2 cos (2a) = cos2 a - sin2 a (13 : b = a ‫ﻭ ﺒﻭﻀﻊ‬ : ‫( ﻨﺠﺩ‬1) ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ cos2 a + sin2 a = 1 : ‫ﻟﻜﻥ‬sin2 a = 1 - cos2 a ‫ ﺃﻭ‬cos2 a = 1 - sin2 a : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ : ‫( ﻨﺠﺩ‬13) ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬cos (2a) = 1 - 2 sin2 a ‫ ﺃﻭ‬cos (2a) = 2cos2 a - 1 sin(2a) = 2 sin a . cos a (14 : ‫( ﻨﺠﺩ‬3) ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ : ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬cos x + cos  x - π = 2 : ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ℜ ‫( ﺤل ﻓﻲ‬1  2  2 : ‫ﺍﻟﺤل‬  π  x + x - π x - x + π  2  2 2cos x + cos x - = 2 cos . cos 2 2 = 2 cos  x - π  .cos π  4  4 = 2× 2 cos  x - π  2  4  = 2 cos  x - π  4  2 cos  x- π = 2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬  4  2 cos  x - π  = cos π : ‫ﺃﻱ‬ cos  x - π = 1 : ‫ﺃﻱ‬  4  3  4  2

x = 7π + 2kπ  x - π = π + 2kπ 12  4 3x k∈Z : ‫ﺃﻱ‬  :‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ -π  π -π = 12 + 2kπ  x - 4 = 3 + 2kπ : ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ‬ S =  7π + 2kπ , −π + 2kπ ; k ∈ Z  12 12  cos π ‫( ﺍﺤﺴﺏ‬2 12 cos  2 × π  =2 cos2  π  -1 : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬: ‫ﺍﻟﺤل‬  12   12  : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ cos  π = 2 cos 2  π  -1 : ‫ﺃﻱ‬  6   12   π  1 + 3 cos  π  +1  π   12  2 2  6   12 cos 2 = : ‫ﺃﻱ‬ = cos2 2cos2  π  = 8 +4 3 :‫ﺃﻱ‬ cos 2  π  = 2+ 3 :‫ﻭﻤﻨﻪ‬  12  16  12  4 2 2+2. 2 . 6 + 62 16 ( ) ( )cos2 π  = : ‫ﺇﺫﻥ‬  12  2+ 6 2 16 : ‫ﺃﻱ‬ ( )0 π π 2  π  = < 12 < 2 : ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ cos  12  . cos π = 2+ 6 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ cos π >0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ 12 4 12 a cos x + b sin x = c : ‫ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬- (*) a cos x + b sin x : ‫( ﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬1

a cos a + b sin x = a2 + b2 cos (x - θ) : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ cos θ = a : ‫ﺤﻴﺙ‬  a2 + b2  sin  θ = b a2 + b2 a2 + b2 cos (x - θ) = c : ‫( ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬2 . ‫ﻭﺘﺤل ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻋﺎﺩﻴﺔ‬ : ‫ﻤﺜﺎل‬ 3 cos x + sin x = 1 : ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ℜ ‫ﺤل ﻓﻲ‬ . ‫ﺜﻡ ﻤﺜل ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ : ‫ﺍﻟﺤل‬ 3 cos x + sin x : ‫( ﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬1( )3 cos x + sin x = 3 2 + (1)2 cos(x - θ) θ = π : ‫ﺃﻱ‬ cos θ = 3 : ‫ﺤﻴﺙ‬ 6  θ = 2  1  sin 2 3 cos x + sin x = 2cos  x - π : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬  6  2 cos  x - π  = 1 : ‫( ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬2  6 cos  x - π  = cos π : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ cos  x - π  = 1 : ‫ﺃﻱ‬  6  3  6  2

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2k π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2kπ‬‬‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬‫‪x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∈Z‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2k‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2kπ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-π‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: k = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻫﻤﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫‪M0‬‬ ‫‪ -π ‬‬ ‫;‬ ‫‪M1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ 6 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪M0‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴـﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ . 1‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ [ ]: ‫ ﺤﻴﺙ‬BC ‫ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬I . ‫ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻭ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‬ABCuur uuur uuur uuurAI , AB = α + 2kπ ; AB , AC π( ) ( )C = 2 + 2kπ α ∈ ℜ ; k ∈ Z : ‫ﺤﻴﺙ‬ uur uu: u‫ﺔ‬r‫ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴ‬u‫ﺍﻟ‬u‫ﺱ‬ur‫ ﺃﻗﻴﺎ‬u‫ﺏ‬u‫ﺴ‬ur‫ ﺍﺤ‬- AI , AC ; AB , BC ( ) ( )I ( )uur uuurAα B AI , BC A . 2‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ED .‫ ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ABC ‫ ﻤﺜﻠﺜﺎﻥ‬ACD ‫ ﻭ‬ABE ‫ﻗﺎﺌﻤﺎﻥ ﻭ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‬B uuur uuurC uuur uuur : ‫ ﻋﻴﻥ ﺃﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻵﺘﻴﺔ‬- uuur uuur( ) ( ) ( )AB , AC ; DC , DA ; EB , EAuuur uuur uuur uuur uuur uuur (1( ) ( ) ( )CB , CD ; AE , AB ; BC , BE uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur( ) ( ) ( ) ( )EA , ED ; EA , CB ; EC , BA ; EC , DB (2 . 3‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ AB = 2 Cm : ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﺤﻴﺙ‬ uuur uuur AB , AC 5π( )C = 6 + 2kπ ; k∈ZD AB

‫‪uuur uuur‬‬ ‫‪uuur uuur‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪uuur uuur :‬‬‫‪( ) ( ) ( )AC , CB ; CA , CB ; BC , BA‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪. BC , DB , DA , DC‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪.‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘـﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ‪( )uuuur uuuur :‬‬ ‫‪MB , MC = 0 + k (2π) ; k ∈ Z (1‬‬ ‫‪uuuur uuuur‬‬ ‫‪MC , MB‬‬ ‫‪u=uurπ2‬‬ ‫‪uuuur uuuur‬‬ ‫‪( )uuur‬‬ ‫)‪+ k (2π‬‬ ‫;‬ ‫‪k∈Z‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪( ) ( )AB , AM = AM , AC + k (2π) ; k ∈ Z (3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫ﻤﺜل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﻟﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ‪.‬‬‫‪- 5π‬‬ ‫;‬ ‫‪-13π‬‬ ‫;‬ ‫‪3π‬‬ ‫;‬ ‫‪15π‬‬ ‫;‬ ‫‪25π‬‬ ‫;‬ ‫‪21π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻟﻠﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺃﻗﻴﺎﺱ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ‪:‬‬‫‪344π‬‬ ‫; ‪; 99π ; 120π ; -13π‬‬ ‫‪2007π‬‬ ‫;‬ ‫‪177π‬‬ ‫;‬ ‫‪1830π‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻓ‪π‬ﻴﻤ‪0‬ﺎ ﻴ‪5‬ﻠ‪-‬ﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪α‬‬ ‫‪ tan α‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪; cos α ; sin α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪(3‬‬ ‫؛‬ ‫=‪α‬‬ ‫‪1427π‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫؛‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪2007π‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬