دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ pX k = C2k0 0, 5 k . 0,5 20−k :‬ﻤﻊ) ( ) ( ) (‬ ‫}‪k ∈{0 , 1 , 2 ,...,20‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺭﺒﺢ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ 6‬ﻨﻘﻁ ‪.‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﻴﺭﺒﺢ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ 6‬ﻨﻘﻁ ﺨﻼل ‪ 20‬ﺭﻤﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻅﻬﺭ ‪ 12 : A‬ﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ‪ pX 12‬ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬‫‪pX‬‬ ‫(‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)12‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫!‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪( 0, 5 )20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫!‪8!.12‬‬ ‫‪pX (12)  0,009‬‬ ‫‪ -2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺭﺒﺢ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ 10‬ﻨﻘﻁ ‪:‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﻴﺭﺒﺢ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ 10‬ﻨﻘﻁ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻅﻬﺭ ‪ : A‬ﻓﻲ ﻜل ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ‬ ‫) ﺃﻱ ‪ 20‬ﻤﺭﺓ ( ﺨﻼل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻭ ‪ pX 20‬ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫(‬ ‫)‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪C 20‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪)5 20‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5)0‬‬ ‫‪= 1.(0,5)20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪pX ( 20)  0,000000953‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ‪: pk‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻫﻭ ‪0, 6‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻻ ﻴﺨﺘﺎﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻫﻭ ‪ 0, 4‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻭ ﻫﻲ ﻤﻜﺭﺭﺓ‬ ‫‪ 10‬ﻤﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p x‬ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﻟﻠﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 10‬ﻭ ‪0, 4‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ‪ k :‬ﺸﺨﺹ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 10‬ﺃﺸﺨﺎﺹ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﻡ ﺍﺴﺘﺠﻭﺍﺒﻬﻡ ﻴﺨﺘﺎﺭﻭﻥ ﺇﻨﺘﺎﺝ‬ ‫ﺍﻟﺤﻭﺍﺴﻴﺏ ﻟﺩﻯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪ pk = C1k0 .(0,4)k .(0,6)10−k‬ﺤﻴﺙ ‪k ∈{0 , 1 , 2 ,...,10} :‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭ ‪ 3‬ﺃﺸﺨﺎﺹ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﻡ ﺍﺴﺘﺠﻭﺍﺒﻬﻡ ﺍﻟﺤﻭﺍﺴﻴﺏ ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ ﻟﺩﻯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻫﻭ‬ ‫‪:‬‬

‫‪p3 = C130 .(0,4)3 .(0,6)7‬‬‫‪ p3 = 120 × 0,064 × 0,0279936‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪p3  0, 21 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫‪ – 1‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻔﺘﺭﻀﻪ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪{ }1 , 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫= ‪p1‬‬ ‫= ‪p2‬‬ ‫= ‪p3‬‬ ‫‪p4‬‬ ‫=‬ ‫= ‪p5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻹﻗﺒﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﺨﻼل ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻘﺘﺭﺤﻬﺎ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻫﻲ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ 1 , 2 , 3 , 4 , 5‬ﺒﺠﺩﻭل ﺃﻭ ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﻭ ﺫﻟﻙ} {‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 1‬ﻭ ‪. 5‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: d 2‬‬ ‫‪∑ ( )i=5‬‬ ‫= ‪d2‬‬ ‫‪fi − pi 2‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪p3‬‬ ‫=‬ ‫‪p4‬‬ ‫=‬ ‫‪p5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0, 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪210‬‬‫‪f1‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫=‬ ‫‪0, 22‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪f2‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫=‬ ‫‪0,12‬‬‫‪f3‬‬ ‫=‬ ‫‪200‬‬ ‫=‬ ‫‪0, 20‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪f4‬‬ ‫=‬ ‫‪190‬‬ ‫=‬ ‫‪0,19‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪f5‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫=‬ ‫‪0,18‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪d 2 = (0,22 − 0,20)2 + (0,21 − 0,20)2 + (0,20 − 0,20)2 :‬‬ ‫‪+ (0,19 − 0,20)2 + (0,18 − 0,20)2‬‬‫‪d 2 = (0,02)2 + (0,01)2 + 02 + (0,01)2 + (0,02)2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪d 2 = 0,001 :‬‬

‫‪ – 3‬ﻨﻌﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻥ ‪d 2 ≤ D9 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻱ ﺒﻤﺩﺓ ﺍﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) ∫[ ]p a ; b = λe−λtdt :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃ‪ ،‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻌﻴﺵ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﺍﻟﻤﻨﺸﻁﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 100‬ﻫﻭ ‪0, 048‬‬ ‫)‪p([0 ; 100]) = 0,048 ...(1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪( ) ∫[ ]p 0 ; 100 = λe−λtdt :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪([ ])p‬‬ ‫‪−e −λt‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪−e −100λ‬‬ ‫‪+e0‬‬ ‫‪0 ; 100‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬‫)‪( )p [0 ; 100] = 1 − e−100λ ...( 2‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻴﻨﺘﺞ ‪1 − e−100λ = 0, 048 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ e−100λ = 0,952 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪lne−100λ = ln0, 952 :‬‬‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪Ln0, 952‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪−100λ = Ln0,952 :‬‬ ‫‪−100‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪λ  0,00049 :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪( )f t = 0,00049e −0,00049t‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺘﻡ ﺍﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﻓﻲ ﺃﻗل ﻤﻥ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪180‬‬‫‪( ) ∫[ ]p 0 ; 180 = 0,00049e −0,00049tdt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪([ ])p 0 ; 180 = 1 − e −0,00049×180 = 1 − e −0,0882  0,084‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﺘﺭﻁ ﻓﻲ ﺃﻗل‬ ‫ﻤﻥ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﻫﻭ ‪p([180 ; + ∞[) = 1 − p([0 ; 180]) :‬‬ ‫‪= 1 − 0,084‬‬ ‫‪= 0,916‬‬ ‫‪ – 4‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻼﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﻭﻱ ‪:‬‬‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪0, 00049‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪E ( X )  2040 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻼﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﻭﻱ ﻫﻭ ‪. 2040‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﺔ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻻﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻼﻗﻲ‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻨﺘﻤﺎﺀ ﺃﺭﺒﻊ ﻨﻘﻁ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫‪ - 2‬ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻜﺱ‬‫‪ -3‬ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤﻥ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺘﻴﻥ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ‬ ‫‪ -4‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﺃﻭ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‬ ‫‪ -5‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ ﻤﺴﺘﻭ‬ ‫‪ -6‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ‪ ،‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪ ،‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ ﻤﺴﺘﻭ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ -1‬ﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺠﺢ ‪:‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪:‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﻭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ ABCD‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ ‪ I .‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AD‬ﻭ ‪ J‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪[ ] [ ]. BC‬‬‫‪ G‬ﻫﻲ ﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 1) ; (D ; 2‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ} {‬ ‫‪ J , I , G‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ J , I , G‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪AI‬‬ ‫‪GD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪JC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ G :‬ﻤﺭ‪G‬ﺠﺢ ﺍﻟﺠ‪JG‬ﻤﻠ‪J‬ﺔ‪{(A ; 2) ; (B ; 1J)J;JG(C ;JJ1JG) ; (DJJJ;G2)} J‬‬ ‫ﻭﻋﻠ‪G‬ﻴﻪ ‪ 2JJGG A +JJGG B J+JGGC + 2JGJG D =JJG0 :‬ﺇﺫ‪G‬ﻥ‪JJG JJG J:J‬‬‫‪( ) ( )2 GI + IA + GJ + JB + GJ + JC + 2 GI + ID = 0‬‬ ‫‪JJG JJG JJG JJG JJG JJG G‬‬‫‪( ) ( )4GI + 2GJ + 2 IA + ID + JB + JC = 0‬‬ ‫‪JJG JJG G‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ‪ AD‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪[ ]JJGIA +JJIGD =G 0 :‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ J‬ﻤﻨﺘ‪G‬ﺼﻑ ‪ BCJJG‬ﻭ‪G‬ﻋﻠ‪J‬ﻴ‪J‬ﻪ ‪]JJG (JJGJBG+ JC = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 4GI + 2GJ = 0 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪2GJ + GJ = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ G‬ﻫﻲ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪{ }(I ; 2) ; (J ; 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ G‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪( )I J‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ J , I , G‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ‪.‬‬

‫‪ -1‬ﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺠﺢ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪) : 1‬ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬‫ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ An , . . . , A2 , A1‬ﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ‪ αn , . . . , α2 , α1‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ JαJJ1G+ α2 +...+JJαJGn ≠ 0G‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪JG‬ﺔ‪J‬ﺍﻟ‪J‬ﻭﺤﻴﺩﺓ ‪ G‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪:‬‬ ‫‪. α1GA1+α2GA2 +...+ αnGAn = 0‬‬ ‫‪ G‬ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪{ }( A1 , α1 ) ; ( A2 , α2 ) ; . . . ; ( An , αn‬‬ ‫‪JJG JJG G‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ AB‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]IA + IB = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ I‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪{ }(A , 1) ; (B , 1‬‬‫‪JJJG JJJG JJJG G‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ G‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ A BC‬ﺃﻱ ‪GA + GB+GC = 0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ })‪{(A , 1) ; (B , 1) ; (C , 1‬‬‫ﻻ ﺘﻘﺒل ﻤﺭﺠﺤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪ α1 + α2 +...+ αn = 0 :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪{ }( A1, α1 ) , ( A2, α2 ) ,..., ( An , αn‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:1‬‬‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪{( ) ( ) ( )}A1, α1 , A2, α2 ,..., An, αn‬‬‫‪JJJJG JJJJG‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻪ‪JJG‬ﻤ‪J‬ﻥ‪J‬ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪JJJJ:G‬‬‫‪α1MA1+ α2MA2 + . . . +αn MAn = (α1+α2 +...+α) MG‬‬‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ H‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪{ }( A , α) ; ( B , β) ; (C , γ‬‬‫ﻭﻜﺎﻥ ‪ K‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪{ }(α + β ≠ 0) . ( A , α) ; (B , β‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ H‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪{ }(K , α + β) ; (C , γ‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬

( )G G G ‫ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬G ‫ ﻭﻜﺎﻥ‬O ; i , j , k ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ { }:‫ ( ﺒﺤﻴﺙ‬A1 , α1 ) ; ( A2 , α2 ) ; ( An , αn )An ( xn; yn ) ,..., A2 ( x2; y2 ) , A1 ( x1; y1 ) , G ( xG; yG )JJJG JJJG JJJG (1) ‫ﻨﺔ‬J‫ﺭﻫ‬J‫ﺒ‬J‫ﻤ‬G‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟ‬α1OA1 + α2OA2 +...+ αn OAn = (α1 +α2 +...+αn ) OG JJJG = JJJG JJ:J‫ﻪ‬G‫ ﻭﻤﻨ‬M = O ‫ﻀﻊ‬J‫ﻭ‬J‫ﺒ‬JG‫ﻭﻫﺫﺍ‬ OG α1OA1 + α2OA2 +...+ αn OAn α1 + α2 + . . . + αn  xG = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn  = α1 + α2 + . . . + αn  : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ α1y1 + α2y2 + . . . + αnyn  y G α1 + α2 + . . . + αn  : ‫ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺭﻜﺏ‬An ( Zn ) ; . . . ; A2 ( Z2 ) ; A1 ( Z1 ) ; G ( ZG ) : ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ( )ZG = α1Z1 + α2Z2 + . . . + αnZn : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ GG α1 + α2 + . . . + αn, B , A ‫ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬O ; i , j ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬: ‫ﻤﺜﺎل‬‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬Z3 = -3 + i , Z2 = -4i , Z1 = 2 + 3i :‫ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻭﺍﺤﻘﻬﺎ‬C{ }(A , 2) ; (B , -1) ; (C , 1) ‫ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬G ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ JJJG JJJG JJJG : ‫ﺍﻟﺤل‬ZG = 2Z1- Z2 +Z3 2:‫ﻪ‬G‫ﻭﻤﻨ‬AOJJ-GJGG=B2+OJJAJGG2C--OJ1J=BJG+0+1‫ﻕ‬OJ‫ﻘ‬J‫ﺤ‬CJ‫ﺘ‬GG ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ 2-1+1 :‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬

‫‪ZG‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ZG‬‬ ‫=‬ ‫‪2(2 + 3i) + 4i - 3 + i‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺘﺎﻥ ﻭ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪. α + β ≠ 0‬‬‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺭﺍﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A , α) ; (B , β‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻤﺴﺢ ‪ α‬و ‪ β‬ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ} {‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ \ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (AB‬ﻜﺎﻤﻼ‪.‬‬‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺭﺍﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A , α) ; (B , β‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻤﺴﺢ ‪ α‬و ‪ β‬ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ} {‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ \ ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪[ ]. AB‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻷﺨﺭﻴﺘﻴﻥ‪.‬‬‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ :3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ A,B,C‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺓ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻭ ﻟﻴﺴﺕ ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﻭ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﺜﻼﺙ‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺤﻴﺙ ‪. α + β + γ ≠ 0‬‬‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺭﺍﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (A , α) ; (B , β) ; (C , γ‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻤﺴﺢ ‪ α‬ﻭ ‪{ }β‬‬ ‫ﻭ ‪ γ‬ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ \ ﻫﻲ ﻜل ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ )‪(ABC‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺭﺍﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (A , α) ; (B , β) ; (C , γ‬ﻋﻨﺩﻤﺎ} {‬‫ﺘﻤﺴﺢ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ \ ﻭ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﻥ ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪:‬‬ ‫‪( )G G G‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎﻴﻠﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ‪o ; i ; j ; k‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬

‫)‪ (D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A α ; β ; γ‬ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ) ‪ . uG(a ; b ; c‬ﻟﺘﻜﻥ) (‬ ‫)‪ M(x ; y ; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (D‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﺤﻘﻘﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ‪M‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ t‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪x = at + α‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪y = bt + β‬‬ ‫‪z = ct + γ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (D‬‬‫ﺍﻟﻨ‪G‬ﻘﻁﺔ )‪ M(x ; yJJ;JJGz‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ t‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪AM = tu‬‬ ‫‪x = at + α‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ y = bt + β :‬ﻤﻥ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ ‫‪z = ct + γ‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ x = at + α‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ y = bt + β‬ﺘﺴﻤﻰ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل‬ ‫‪z = ct +γ‬‬‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ t‬ﻫﻭ ﻭﺴﻴﻁ‪.‬‬ ‫‪uG (a‬‬ ‫‪;b‬‬ ‫)‪; c‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A(α ; β ; γ‬ﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫‪A(-1‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫;‬ ‫)‪-4‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬‫ﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫)‪(D‬‬ ‫ﻭ;ﺴﻴ‪4‬ﻁ(ﻴﺎ‪uG‬ﻟﻠ‪.‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ‬ ‫; ‪-1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻘﻁﺔ )‪ M(JxJJ;JGy ; zG‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (D‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪t ∈ \ , AM = tu :‬‬

‫‪ x + 1 = 4t‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬‫‪ y - 3 = -t‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪z + 4 = 3t‬‬ ‫‪ x = 4t - 1‬‬ ‫‪ y = -t + 3‬ﺤﻴﺙ ‪ t :‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪z = 3t - 4‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫‪ x = -t + 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = 4t - 1‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻤﺜل ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(5 ; -1 ; 5‬ﻭ ﺸﻌﺎﻉ) (‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫;‬ ‫‪4‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪:‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪; vG‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪;b;c‬‬‫‪ A α1 ; β ; γ‬ﻭ) ( ) )( ( ) (‬‫‪A‬‬‫;‬‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟ‪a‬ﻤﺴﺘ‪G‬ﻭ‪u‬ﻯﻭ)‪ ′(P‬ﺍﻟ‪c‬ﻤ;ﺯﻭ‪′‬ﺩ ﺒ‪b‬ﻤﻌ;ﻠﻡ‪a′‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ‪ x ; y ; z‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪( ):‬‬ ‫‪x = at + a′t′ + α‬‬ ‫‪‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ t‬ﻭ ‪ t′‬ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪bt‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b′t′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪z = ct + c′t′ + γ‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M x ; y ; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ )‪ (P‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ) (‬

‫‪JJJJG G JG‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ t‬ﻭ ‪ t′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪AM = tu + t′u′ :‬‬ ‫‪x = at + a′t′ + α‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺸﻌﺎﻋﻴﻥ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪y = bt + b′t′ + β‬‬ ‫‪z = ct + c′t′ + γ‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪x = at + a′t′ + α‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ y = bt + b′t′ + β‬ﺘﺸﻜل ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫‪z‬‬‫‪uG (a‬‬ ‫‪ A‬ﻭ ﺸﻌﺎﻋﻲ‬ ‫‪= ct + c′t′ + γ‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪.‬‬‫ﻭ) (‬ ‫;‬ ‫‪b‬‬ ‫;‬ ‫)‪c‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫;‪α;β‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫ﺍﻟ;ﺫ‪′‬ﻱ‪b‬ﻴﺸ;ﻤ‪′‬ل ﺍ‪a‬ﻟﻨ(ﻘ‪vG‬ﻁﺔﻭ‬ ‫)‪(p‬‬ ‫‪ t′‬ﻭﺴﻴﻁﻴﻥ‬ ‫‪t‬ﻭ‬ ‫)‪c′‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‬ ‫‪A(1‬‬ ‫;‬ ‫‪-3‬‬ ‫;‬ ‫)‪4‬‬ ‫ﺍﻟ;ﻤﻌﻴ‪3‬ﻥ( ﺒ‪vG‬ﺎﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫ﻭ;ﺴﻴ‪2‬ﻁ(ﻴﺎ‪uG‬ﻟﻠﻤﻭﺴﺘ)ﻭ‪1‬ﻯ‬ ‫ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ‬ ‫;‪2‬‬ ‫; ‪-1‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪A ; uG ; vG‬‬ ‫‪vG‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪( ). (P‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺭﺘﺒﻁﻴﻥ ﺨﻁﻴﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (P‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﺤﻘﻘﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ‪ x ; y ; z‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪( ):‬‬ ‫‪ x = 2t + 3t′ + 1‬‬ ‫‪ x - 1 = 2t + 3t′‬‬‫‪ y = -t + 2t′ - 3‬ﻭﻴﺸﻜل ﺘﻤﺜﻴﻼ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪-t‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2t′‬‬ ‫‪z = 5t + t′ + 4‬‬ ‫‪z - 4 = 5t + t′‬‬ ‫ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P‬‬

‫‪ -3‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪:‬‬‫‪ . uG a ; b ; c‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ) ( ) (‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪ A α ; β ; γ‬ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫)‪ (P‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ a,b,c‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺠﻤﻴﻌﺎ ﻓﺈﻥ ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (D‬ﺇﺫﺍ ﺤﻘﻘﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-α‬‬ ‫=‬ ‫‪y-β‬‬ ‫=‬ ‫‪z-γ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x = at + α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪bt‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪β‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻭ‬ ‫‪z = ct + γ‬‬‫‪x -α‬‬ ‫=‬ ‫‪y-β‬‬ ‫=‬ ‫‪z-γ‬‬ ‫‪=t‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x - α = at‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪y - β = bt‬‬ ‫‪z - γ = ct‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫)‪(D‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺎ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-α‬‬ ‫=‬ ‫‪y-‬‬ ‫‪β‬‬ ‫=‬ ‫‪z-γ‬‬‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪uG a ; b ; c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ a‬ﻭ‪( ) ( )b‬‬ ‫ﻭ ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫‪;β;γ‬‬ ‫ﻭ‪ c‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺠﻤﻴﻌﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ a,b,c‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﻓﺈﻥ ﺒﺴﻁﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﺃﻴﻀﺎ‪.‬‬‫‪ A -1 , 3 , 4‬ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ) ( ) (‬ ‫)‪(D‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻴﺸﻤل‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻜﺘ‪2‬ﺏ; ﺘﻤﺜ‪3‬ﻴﻼ ‪G‬ﺩ‪u‬ﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺎ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‬ ‫;‬ ‫‪4‬‬‫‪x +1‬‬ ‫=‬ ‫‪y-3‬‬ ‫=‬ ‫‪z-4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -4‬ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﻭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺯﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﻥ )‪ (P‬و )‪ (P′‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪ (P) : ax + by + cz + d = 0‬ﻭ ‪(P′) : a′x +b′ y +c′ z+d′ = 0‬‬ ‫ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ )‪ (P‬و )‪ (P′‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻕ ‪ k‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ c′ = kc‬ﻭ ‪ b = kb′‬ﻭ ‪a′ = ka‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪nG (a;b;c‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭﺍﻓﻘﻁ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫و‪(P′)JG‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ‬ ‫ﻴﺘﻭﺍﺯﻯ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫)‪ n′(a′;b′;c′‬ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ ﺨﻁﻴﺎ‪JG G .‬‬ ‫ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. n′ = kn‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a′ = ka :‬ﻭ ‪ b′ = kb‬ﻭ ‪c′ = ka‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﻥ‬‫ﺨﻁﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪(P′) : 4x - 2y‬‬ ‫‪z nG=(20‬و‪+8)8‬‬ ‫)‪ (P‬ﻭ‬ ‫‪: 2x - y‬‬ ‫‪+ 4z -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫; ‪ n′(4 ; -2‬ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ‬ ‫; ‪; -1‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﻅﻤﻴﺎﻥ )‪4‬‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﻴﻬﻤﺎ‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ : 2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﻥ ‪(P) : x - y + 3z + 4 = 0 :‬‬ ‫‪nG′(3‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(P′‬‬ ‫‪:‬‬ ‫;‪n3Gx(1+‬‬ ‫‪y - 4 z+ 2 = 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻏﻴﺭ‬ ‫)‪; -4‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ )‪-1 ; 3‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ ﺨﻁﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺒل ﻟﻪ ﺘﻤﺜﻴل ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻜﻤﺎ ﺴﺒﻕ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ √ ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ × ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x = 0‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪y = 0‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (O ; k‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪z = α‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﻥ ﺍﻵﺘﻴﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪x = 2λ + 2 x = 2λ - 1‬‬ ‫‪y = λ‬‬ ‫‪; y = λ + 2‬‬‫‪.‬‬ ‫‪z = -λ‬‬ ‫‪z = -λ‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪. :‬‬ ‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫‪ (4‬ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ ax + by + cz + d = 0 :‬ﺤﻴﺙ ‪a,b,c,d‬‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭ‪. .‬‬ ‫‪ x = 2λ - 1‬‬ ‫‪ (5‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﺍﻵﺘﻲ ‪ y = u + 2 :‬ﻫﻭ ﻟﻤﺴﺘﻭ ‪.‬‬ ‫‪z = λ‬‬ ‫‪x - y + 4 = 0‬‬ ‫‪ (6‬ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺘﻤﺜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ‪. 2x + y - 4z + 5 = 0 :‬‬ ‫‪ (7‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x - y + 4 = 0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‪. .‬‬ ‫ﻤﺘ‪5‬ﺠﺎﻨ‪+‬ﺱ‪Gy‬ﺤﻴ‪-‬ﺙ‪x‬ﺸﻌ‪4JG‬ﺎ‪J‬ﻋﻫﻪ‪J‬ﻲﺍﻟﻨﻤﺎﻌﻅﺎﺩﻤﻟ‪G‬ﻲﺔ‪JJ‬ﻤ)‪J‬ﺴﺘ‪0‬ﻭ;ﻓﻲ‪1‬ﺍ‪-‬ﻟﻔ;ﻀﺎ‪4‬ﺀ( ﺍﻟ‪nG‬ﻤﻨﺴﻭﺏ‪.‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺩﻟﺔ‬ ‫‪(8‬‬ ‫ﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫‪ (9‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A,B,C‬ﺤﻴﺙ ‪ 2CA - 4CB = 0 :‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ‪. .‬‬‫‪ (10‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A ; 1) , (B ; -2) , (c ; 3‬ﻭﻜﺎﻨﺕ} {‬

‫‪ K‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (A ; 1) ; (B ; -2‬ﻓﺈﻥ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ} {‬ ‫})‪. . {(K ; -1) ; (C ; 3‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫= ‪CA‬‬ ‫‪CD‬‬‫ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ D‬ﻭ‪ A‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ‪ x - 1‬ﻭ‪ x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫= ‪. AM‬‬ ‫‪AB +‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ M . A‬ﻨﻘﻁﺔ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ M‬ﻤﺭﺠﺢ ﻟﻠﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ C , B‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ‪ α‬و ‪ β‬ﺤﻴﺙ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‪ .‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬ ‫‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪. (BC‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ )‪B(-2 ; 1 ; 4) , A(1 ; -3 ; 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(AB‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ )‪ (AB‬ﻫﻭ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬‫)‪A(-4 ; 2 ; 1) ,B(-1 ; 5 ; 1) ,C(-1 ; -2 ; 1) , D(0 ; 1 ; 3‬‬ ‫‪ -1‬ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A,B,C‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ؟‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A,B,C‬‬ ‫‪ -3‬ﻫل ‪ D‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ )‪ (ABC‬؟‬ ‫‪ -4‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (DAB‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬

‫‪x = λ + µ - 1‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻤﺴﺘﻭ )‪y = -2λ + µ : (P‬‬ ‫‪z = λ - 3µ + 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ )‪ (P′‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫)‪ A(-1 ; 2 ; 5‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ )‪. (P‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪L(1 ; -1 ; 3) , T(1 ; 2 ; -3) , S(-2 ; 1 ; 3‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ L‬ﻭﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (ST‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (ST‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻴﻥ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ )‪ (P‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(D‬‬ ‫‪x = λ′‬‬ ‫‪x = -1 + λ - µ‬‬‫‪(D) : y = -2λ′ + 1‬‬ ‫‪(P) : y = 2 - λ + µ‬‬ ‫‪z = -λ′‬‬ ‫‪z = λ - 2µ‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻭ )‪. (D‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬‫‪( )C(0‬‬‫‪,‬‬‫‪-1‬‬‫‪,‬‬‫)‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪B(-uG1(2,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; )‪, -1‬‬ ‫‪A(1 ,‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪1 , -1‬‬ ‫;‬ ‫)‪-1 ; 1‬‬ ‫; )‪D(-1 , 0 , 1‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ‪. uG‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬ ‫∆ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪ (1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ‬ ‫‪ (2‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ )‪. (BCD‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ∆ ﻭ )‪( ). (BCD‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬

‫)‪ (DG‬و‪ (DG′) G‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺎﻥ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﻤﺎ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﺎﻥ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫)‪(o ; i ; j ; k‬‬‫‪x = λ + 1‬‬ ‫‪ x = 3λ′ + 3‬‬‫‪(D) : y = 2λ - 2 (D′) : y = -λ′ - 5‬‬‫‪z = -λ + 3‬‬ ‫‪z = λ′ + 5‬‬‫‪ -1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (D‬و )‪ (D′‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ‪.‬‬‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل )‪ (D‬و )‪. (D′‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪ (D‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬‫‪x = t‬‬ ‫‪ x = -λ + 1‬‬‫‪( ∆ ) : y = t - 1 (D) : y = 2λ‬‬‫‪z = -t‬‬ ‫‪z = λ + 1‬‬ ‫‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ∆ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪( ). α‬‬‫‪ -1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (D‬و ∆ ﻻ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪( ).‬‬‫‪ -2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (D‬و ∆ ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ‪( ).‬‬‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ α‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ Pα‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪( )(D‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. A‬‬ ‫‪ -4‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ pα‬ﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ‪( )O‬‬‫‪ -5‬ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ pα‬ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ ABCDEFGH‬ﻤﻜﻌﺏ‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (P‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪2 x + 6y - z + 5 = 0 :‬‬‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ )‪ (AB‬ﻭ)‪ (AD‬ﻭ )‪(AE‬‬

‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (BCG‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (BCG‬ﻭ)‪. (P‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M(x ; y ; z‬ﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬و )‪(P′‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪(P′) : x + 2y - 3z = 0 , (p) : x - y + z - 4 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫)‪ (P‬ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪. −x + y + z - 4 = 0 :‬‬‫)‪ (P′‬ﻤﺴﺘﻭ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪. C(1 ; 1 ; 0) , B(0 ; 1 ; 1) , A(1 ; 0 ; 1‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ )‪. (P′‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬و )‪. (P′‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫‪. √ (5 . × (4 . × (3 . × (2 √ (1‬‬‫‪. √ (10 √ (9 √ (8 . × (7 √ (6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫‪JJJG JJJG G‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪: x‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪2CA + CD = 0 :‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪CD‬‬ ‫‪2‬‬‫ﻭﺒ‪G‬ﻤﺎ ﺃﻥ ‪JCJG‬ﻤ‪J‬ﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪G A‬ﻭ‪ JDJ‬ﺍ‪J‬ﻟﻤﺭﻓﻘﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ x – 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x . CA + (x - 1) CD = 0‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. x = 2 :‬‬ ‫‪x = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪JJJJG JJJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ‪ M‬ﻤﺭﺠﺢ ‪. C , B‬‬‫‪5AM = 2AB‬‬ ‫‪3AC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ AM‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪52JAJJGB‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪JJJJG JJJG J5JJAJGM − 2JJAJJBG − 3JJAJJGC = G0‬‬‫‪( ) ( )-5MA − 2 MB - MA - 3 MC − MA = 0‬‬‫‪JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG G‬‬‫‪-5MA − 2 MB + 2 MA - 3 MCJJJG+ 3MJJJAG = G0‬‬ ‫‪-2MB - 3MC = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪2MB + 3MC = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ M‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ‪ 2‬ﻭ ‪3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ α = 2‬ﻭ ‪.β = 3‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﻤﺭﺠﺢ ‪ B‬ﻭ‪ C‬ﻓﺈﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪. (BC‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ )‪M(x ; y ; z‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. AB (-3 ; 4 ; 2) : (AB‬‬‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ .‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪ (AB‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AM = λ AB :‬ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ‬ ‫‪­x -3λ  1‬‬ ‫‪­x - 1 -3λ‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ °®y  3 4λ :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪®°y 4λ - 3 :‬‬ ‫‪¯°z 2λ  2‬‬ ‫‪¯°z - 2 2λ‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ )‪ (AB‬ﻫﻭ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫)‪­x -3λ  1 . . . (1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪°®y 4λ - 3 . . . (2) :‬‬ ‫)‪¯°z 2λ  2 . . . (3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‪- 1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ y‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪3y = - 4( x - 1) - 9 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪- 1) - 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪-2‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪: (3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3y + 4x – 5 = 0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 3y = -2x + 8‬ﻭﻤﻨﻪ ‪3y + 2x – 8 = 0 :‬‬ ‫‪4x + 3y - 5 = 0‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪4 x + 3 y − 8 = 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 4x + 3y - 5= 0‬ﻭ ‪. 2x + 3y – 8 = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻟﻴﺱ‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺍﻟﻨ‪JG‬ﻘ‪J‬ﻁ‪JJJG : A ,B , CJ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AC (3 , -4 ; 0)JJ,JGABJJ(J3G ; 3 ; 0) :‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ AB‬ﻭ ‪ AC‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬‫ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﻓﻬﻤﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ A , B , C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ‪.‬‬‫‪( )JJJG JJJG‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪: (P‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A , B , C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻓﻲ ﺇﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﻓﻬﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﻠﻤﺎ ‪ A , AB , AC :‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬‫‪JJJJG JJJG JJJG‬‬ ‫)‪ (ABC‬ﺃﻱ )‪. (P‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ )‪ M(x ; y ; z‬ﻤﻥ )‪ (P‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪AM = λ AB + µAC :‬‬‫‪x = 3λ + 3µ- 4‬‬ ‫‪x + 4 = 3λ + 3µ‬‬‫‪‬‬ ‫‪y - 2 = 3λ - 4µ‬‬‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪3λ -‬‬ ‫‪4µ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪z - 1 = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪ z = 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻜﻭﻥ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪: (ABC‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪x = 3λ + 3µ - 4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪y = 3λ - 4µ + 2 :‬‬ ‫‪z = 1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (ABC‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺴﺘﺤﻴل ‪.‬‬ ‫‪0 = 3λ + 3µ - 4‬‬ ‫‪1 = 3λ - 4µ + 2‬‬ ‫‪3 = 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ D‬ﻟﻴﺴﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪. (ABC‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪JJJG JJJG . (DAB‬‬‫ﺒﻤﺎ‪G‬ﺃ‪J‬ﻥ‪ DJJ‬ﻻ ﺘ‪G‬ﻨ‪J‬ﺘﻤ‪JJ‬ﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (ABC‬ﻓﺈﻥ ‪ DA‬ﻭ ‪ DB‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪ D , DA , DB‬ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪( ). (DAB‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪GM‬ﻨ‪J‬ﻘ‪J‬ﻁ‪J‬ﺔ ﻤﻥ )‪JJ(DJGAB‬ﺤﻴﺙ )‪MJ(JxJ;JGy ; z‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪JJJG AM = αDAJJJG+ βDB :‬‬‫)‪DB(-1 ; 4 ; -2) , DA(-4 ; 1 ; -2‬‬‫‪ x = - 4α - β − 4‬‬ ‫‪ x + 4 = - 4α - β‬‬‫‪ y - 2 = α + 4β‬ﺇﺫﻥ ‪y = α + 4β + 2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪z = - 2α - 2β + 1‬‬ ‫‪z - 1 = - 2α - 2β‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪(DAB‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪: (p′‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ (p′‬ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪ (P‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (p′‬ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪ x = λ + µ + x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-2λ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪λ - 3µ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (p′‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪(p′‬‬ ‫‪x = λ + µ −1‬‬ ‫‪y = -2λ + µ + 2‬‬ ‫‪z = λ - 3µ + 5‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫‪ -1‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪: (P‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻫﻲ ‪. T , S , L‬‬ ‫)‪LT(0 ; 3 ; - 6) , LS(-3 ; 2 ; 0‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ LJJSJG‬ﻭ‪ LJTJG‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل‪( ).‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ L , LS , LT‬ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P‬‬ ‫ﻤ‪G‬ﻥ‪JJ‬ﺃ‪J‬ﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ‪JGM(x ; y ;JzJ)G‬ﻤ‪J‬ﻥ‪ (D)J‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪LM = αLS + βLT‬‬ ‫‪ x = - 3α + 1‬‬ ‫‪ x - 1 = - 3α‬‬ ‫‪y = 2α + 3β - 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ y + 1 = 2α + 3β :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪z = - 6β + 3‬‬ ‫‪z - 3 = - 6β‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ‪.‬‬ ‫)‪ x = - 3α + 1 . . . (1‬‬ ‫)‪y = 2α + 3β - 1 . . . (2‬‬ ‫)‪z = - 6β + 3 . . . (3‬‬‫‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺒﻘﻴﻤﺘﻴﻬﻤﺎ‬ ‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫‪.β‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪z‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ )‪: (3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪§1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫·‬ ‫‪3‬‬ ‫‪§1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫·‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪©¨ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪©¨ 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫¸‪¹‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪4x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6y +‬‬ ‫‪3z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ‪4x + 6y + 3z – 7 = 0 :‬‬

‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘ‪G‬ﻴ‪J‬ﻡ‪: (ST)J‬‬‫ﻟﺩﻴ‪G‬ﻨ‪J‬ﺎ‪ . ST (3JJ;JG1 ; -6)J‬ﻟﺘﻜﻥ )‪ M(x ; y ; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ )‪G(ST‬ﺃ‪J‬ﻱ‪J:J‬‬‫‪ SM = λST‬ﺤﻴﺙ‪SM (x + 2 , y - 1 , z - 3) :‬‬‫‪­x‬‬ ‫‪3λ  2‬‬ ‫‪ x + 2 = 3λ‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪°®y‬‬ ‫‪λ 1‬‬ ‫‪ y - 1 = λ‬ﺃﻱ‪:‬‬‫‪°¯z -6λ  3‬‬ ‫‪z - 3 = - 6λ‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(DT‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (D‬ﻭ ∆ ‪( ):‬‬‫‪λ′ = -1 + λ - µ‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪-2λ′ + 1 = 2 - λ + µ‬‬‫‪-λ′ = λ - 2µ‬‬‫‪(1) . . . λ′ - λ + µ + 1 = 0‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(2) . . . −2λ′ + λ - µ - 1 = 0 :‬‬‫‪(3) . . . -λ′ - λ + 2µ = 0‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ - λ′ = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪λ′ = 0‬‬ ‫‪-λ + µ + 1 = 0‬‬ ‫‪-λ + 2µ = 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻁﺭﺡ ﻨﺠﺩ ‪ −µ + 1 = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪µ = 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ λ = 2 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪z = 0 , y = 1 , x = 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﻫﻲ ‪I(0 ; 1 ; 0) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ‪( ):‬‬‫‪JJJJG G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ )‪ M(x ; y ; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪( )AM = λu :‬‬

‫‪ x = 2λ + 1‬‬ ‫‪ x - 1 = 2λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y - 1 = -λ‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-λ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪z + 1 = λ‬‬ ‫‪z = λ - 1‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆) (‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ )‪: (BCD‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪αx + βy + γz + δ = 0 :‬‬ ‫)‪-α + β -γ- δ = 0 . . . (1‬‬ ‫)‪-β + γ + δ = 0 . . . (2‬‬ ‫ﺒﻤﺎﺃﻥ ‪ B , C , D‬ﻨﻘﻁ ﻤﻨﻪ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫)‪-α + γ + δ = 0. . . (3‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (1‬ﻭ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ -α + 2δ = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪α = 2δ :‬‬ ‫ﺒﻁﺭﺡ )‪ (3‬ﻤﻥ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪ -β + α = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪β = α :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ β = 2δ :‬ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ‪-2δ + 2δ - γ + δ = 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪. γ = δ :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ‪2δx +2δy + δz + δ = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ δ(2x + 2y + z + 1) :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪2x + 2y +z + 1 = 0 :‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪. (BCD‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ∆ ﻭ )‪( ): (BCD‬‬ ‫‪ x = 2λ + 1‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪y = -λ + 1‬‬ ‫‪2x + 2y + z + 1 = 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪2(2λ + 1) + 2(-λ + 1) + λ - 1 + 1 = 0 :‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3λ + 4 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-5‬‬‫=‪z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪,y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪,x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬

‫‪J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫;‬ ‫‪7‬‬ ‫;‬ ‫‪-7 ‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ )‪ (D‬و )‪ (D′‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪ .‬ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬‫‪λ = 3λ′ + 2‬‬ ‫‪λ + 1 = 3λ′ + 3‬‬‫‪ 2λ - 2 = -λ′ - 5‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪6λ′ + 4 - 2 = -λ′ - 5 :‬‬‫‪-3λ′ - 2 + 3 = λ′ + 5‬‬ ‫‪-λ + 3 = λ′ + 5‬‬‫‪x = 0‬‬ ‫‪λ′ = -1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪λ = 3λ′ + 2‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = -4 :‬‬ ‫‪λ = -1‬‬ ‫‪7λ′ = -7‬‬‫‪z = 4‬‬ ‫‪-4λ′ = 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪ (D‬و )‪ (D′‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪w(0 ; -4 ; 4‬‬‫‪nG‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(D′‬‬ ‫);‪(α(D‬و‪nG‬‬ ‫)‪ (P‬ﻴﺸﻤل‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﻨﺎﻅﻤﻲ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫)‪β ; γ‬‬ ‫;‪vG‬و ‪vG(3(D;nG′-)1.‬‬ ‫ﺘ‪1‬ﻭ‪(nG‬ﺠﻴ‪uG‬ﻬوﻲ‪(=1D)0) ,‬‬ ‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺸﻌﺎﻋﻲ‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﻫﺎﺫﻴﻥ‬ ‫‪.;uG2‬‬ ‫;‬ ‫)‪-1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪0:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪4α + β = 0 :‬‬ ‫‪α + 2β - γ = 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3α - β + γ = 0 :‬‬‫ﺃﻱ‪ β = -4α :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪ α - 8α - γ = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪γ = -7α :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ α = 1‬ﻨﺠﺩ ‪γ = -7 , β = -4 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x - 4y - 7z + δ = 0 :‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ w‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻓﺈﻥ ‪0 + 16 - 28 + δ = 0 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ δ = 12 :‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻲ ‪x- 4y- 7z +12 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ -1‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (D‬و )∆( ﻻ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪.‬‬

‫)‪α = -λ + 1 . . . (1‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪α - 1 = 2λ . . . (2) :‬‬ ‫)‪-α = λ + 1 . . . (3‬‬‫=‪λ‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪-1 = 3λ + 1‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (2‬ﻭ )‪ (3‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪­°α‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ °®α‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﺘﻨﺎﻗﺽ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪¯°°α‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫=‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (D‬و )∆( ﻻ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪.‬‬‫ﻫﻭ )‪. vK(1;1; - 1‬‬ ‫‪2‬ﺸ‪uG‬ﻌ‪-‬ﺎ ﻨﻉﻭﺒﻴﺘﻥﻭ‪vG‬ﺃﺠﻴﻥﻟﻪﻴ ))ﺱ‪D‬ﻟ(‪D‬ﻬ(ﻤﻫﺎﻭﻨوﻔ))ﺱ‪ 1‬ﺍ∆;ﻟ(ﺤﺎ‪2‬ﻤﻤ;لﻥ‪1‬ﻤﻷ‪-‬ﻥﺴﺘ(ﺇﻭ‪K‬ﻴﺤ‪u‬ﻴﺩﺍﻥﺜﻭﻴﺎﻤﺸﺘﻌﺨﻬﺎﺘﻡﻠﻉﻔﻟﻴﻴﺘﻥﻭﺴﺠ‪:‬ﺕﻴﻪﻤﺘﻨﺎﺴ∆ﺒﺔ‬‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪(D‬‬‫ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ) (‬‫و )∆(‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (D‬و )∆( ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪: (pα‬‬‫‪ A‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ∆ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ α‬ﻭﻤﻨﻪ ‪( ). A(α ; α - 1 ; - α) :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫;)‪BuG((1-;10;;21‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻤﻥ )‪(D‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪B‬ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫)‪ (D‬ﻫﻭ‬ ‫ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ‪JG‬ﺃ‪J‬ﻥ‪ (pGα ) J‬ﻴﺸﻤل )‪ (D‬ﻭ )‪ (A‬ﻓﺈﻥ ) ‪ (pα‬ﻴﻘﺒل ﻜﻤﻌﻠﻡ‪JJJ:G‬‬‫‪ BA α - 1 ; α - 1 ; -α - 1 , B ; u ; BA‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ )‪ M(x ; y z‬‬ ‫‪JJJJG G JJJG‬‬ ‫ﻤﻥ ) ‪ (pα‬ﻓﺈﻥ ‪BM λ u  µ BA :‬‬

‫)‪(1) . . . ­x - 1 -λ  µ (α - 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(2) . . . ®°y - 0 2λ  µ (α - 1) :‬‬ ‫)‪(3) . . . °¯z - 1 λ - µ (α  1‬‬ ‫ﺒﻁﺭﺡ )‪ (2‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪x - 1 - y = - 3λ :‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﺠﻤﻊ )‪ (1‬ﻭ )‪ (3‬ﻨﺠﺩ ‪x - 1  z - 1 -2µ :‬‬ ‫‪ µ‬ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‪ z - 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪(α‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪6( x - 1) = 2( x - y - 1) - 3( x + z - 2) (α - 1‬‬‫)‪6x - 6 = 2x - 2y - 2 - 3(α - 1) x - 3(α - 1)z + 6(α - 1‬‬‫‪4x + (3) (α - 1)x + 2y + 3(α - 1)z + 2 - 6α + 6 - 6 = 0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(3α + 1) x + 2y + 3(α - 1)z + 2 - 6α = 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. (pα‬‬ ‫‪ -4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﺭ ) ‪ (pα‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 2 - 6α = 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪G‬‬‫‪ -5‬ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ (pα‬ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ) ‪ (O ; i‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪by + cz :‬‬ ‫‪+d=0‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪3α + 1 = 0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻼﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪x = 0‬‬ ‫‪x = 0‬‬ ‫‪x = λ‬‬‫‪(AE) : y = 0‬‬ ‫‪, (AD) : y = λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(AB) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z = λ‬‬ ‫‪z = 0‬‬ ‫‪z = 0‬‬

‫‪ (2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪: (BCG‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (BCG‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪B(1 ; 0 ; 0‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﻥ )‪BF(0 ; 0 ;1) , BC(0 ;1 ; 0‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ B , BCJJG, BF‬ﻤﻌ‪G‬ﻠ‪J‬ﻡ‪J‬ﻟ‪J‬ﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭ‪G‬ﻱ‪J‬ﻭ‪J‬ﻋ‪J‬ﻠﻴﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ  ‪ M x ; y ; z‬ﻤﻥ) (‬ ‫)‪BM = λBC + MBF : (BCG‬‬ ‫‪­x - 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪°‬‬ ‫®‬ ‫‪y‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (BCG‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪¯°z µ‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻭ )‪: (BCG‬‬ ‫‪­2x  6y - z  5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪°°x 1‬‬ ‫‪®°y λ‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪°¯z µ‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 2 + 6y – z + 5 = 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪K 6y – z + 7=0‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ) ‪. (O , i‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫)‪ x - y + z - 4 = 0 . . . (1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3z‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﺒﻁﺭﺡ )‪ (2‬ﻤﻥ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪-3y + 4z – 4 = 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(4z - 4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪4z‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ z-4‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪3x - 4z  4  3z - 12 0 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3x - z - 8 = 0 :‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪+8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+8‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ z = t‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪z = t‬‬ ‫‪z = z‬‬ ‫‪ ‬‬‫ﻭ ﺸﻌﺎﻉ‬ ‫‪I 8 ,‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪, 0‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻴﺸﻤل‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﻭﻓﻕ‬ ‫)‪(p′‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uG‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪4‬‬ ‫‪; 1 ‬‬ ‫ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪G‬ﻲ‪ J‬ﻟ‪J‬ﻠﻤ‪J‬ﺴﺘﻭﻱ )‪JJJG : (p′‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC(0‬‬ ‫;‬ ‫‪1 ; -1) , AB(-1‬‬ ‫;‬ ‫;‪1‬‬ ‫)‪0‬‬‫ﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺎﻤل ﻭﻤﻨﻪ ‪ A , AB , AC‬ﻤﻌﻠﻡ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪( )(p′‬‬‫‪JJJJG JJJG JJJG‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻨﻘﻁﺔ )‪ M(x ; y ; z‬ﻤﻥ )‪ (P′‬ﻓﺈﻥ ‪AM = αAB + βAC :‬‬ ‫‪x = -α+1‬‬ ‫‪x -1= -α‬‬ ‫‪y = α + β‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ y - 0 = α + β :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪z = - β + 1‬‬ ‫‪z - 1 = - β‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P′‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (P‬ﻭ )‪: (P′‬‬ ‫)‪- x + y + z - 4 = 0 . . . (1‬‬ ‫)‪ x = - α + 1 . . . (2‬‬ ‫)‪y = α + β . . . (3‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫)‪z = - β + 1 . . . (4‬‬

‫ﻨﻌﻭﺽ ﻜل ﻤﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ‪ z‬ﻤﻥ )‪ (2‬ﻭ )‪ (3‬ﻭ )‪ (4‬ﺒﻘﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻓﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪- (-α + 1) + (α + β) - β + 1 - 4 = 0‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 2α - 1 + β - β + 1 - 4 = 0 :‬ﺃﻱ‪2α − 4 = 0 :‬‬‫‪ x = -2 + 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ α = 2 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪y = 2 + β‬‬‫‪z = -β + 1‬‬‫‪x = o . β - 1‬‬ ‫‪ x = -1‬‬‫‪y = β + 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y = 2 + β :‬ﺃﻱ‬‫‪z = -β + 1‬‬ ‫‪z = -β + 1‬‬‫ﻭ)ﻫ‪1‬ﻲ‪-‬ﺍﻟﺘ;ﻤﺜﻴ‪1‬ل;ﺍﻟﻭ‪0‬ﺴ(ﻴﻁ‪uG‬ﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ C(-1 ; 2 ; 1‬ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ) (‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ (P) :‬و )‪ (P′‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭﻓﻕ ∆ ‪( ).‬‬

‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩ‬‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﺤﻠﻴل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ‬‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﺤﻠﻴل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‬‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻭﺍﻟﻘﺎﺴﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‬ ‫‪ -5‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ‬ ‫‪ -6‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ‬ ‫‪ -7‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ﻭﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ -I‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -II‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ ‪:‬‬ ‫‪ -III‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻠﻙ ﻓﻼﺡ ﻗﻁﻌﺔ ﺃﺭﻀﻴﺔ ﺃﺭﺍﺩ ﺒﻴﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻗﻁﻊ ﺃﺭﻀﻴﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ‪.‬‬‫ﻻﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺠﺯﺌﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻊ ﺫﺍﺕ ‪ 200m2‬ﺘﺘﺒﻘﻰ ﻟﺩﻴﻪ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺎﺤﺘﻬﺎ ‪ 150m2‬ﻭﺇﺫﺍ ﺠﺯﺌﻬﺎ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻊ ﺫﺍﺕ ‪ 250m2‬ﺘﺘﺒﻘﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺎﺤﺘﻬﺎ ‪ 200m2‬ﻭﺇﺫﺍ ﺠﺯﺌﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﻊ ﺫﺍﺕ‬ ‫‪ 300m2‬ﺘﺘﺒﻘﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺎﺤﺘﻬﺎ ‪. 250m2‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ S‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺕ ﺃﻥ ‪. 6000m2  S  5000m2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪S { 150>200@ :‬‬ ‫@‪S { 200>250‬‬ ‫@‪S { 250>300‬‬ ‫@‪­S  50 { 0>200‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪°®S  50 { 0>250@ :‬‬ ‫@‪¯°S  50 { 0>300‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ S  50‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ‪. 300 ، 250 ، 200‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ S  50‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ‪ µ‬ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪. 300 ، 250 ، 200‬‬ ‫‪PPCM 200;250;300 10 u PPCM 20;25;30‬‬ ‫‪10 u 5PPCM 4;5;6‬‬ ‫‪10 u 5 u 2 u 5 u 6 3000‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ µ 3000 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ S  50 :‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. 3000‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪S  50 3000k , k  `* :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ S 3000k  50 :‬ﺤﻴﺙ ‪k  `* :‬‬‫ﻟﻜﻥ ‪ 5000  S  6000 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪5000  3000k  50  6000 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪5050  3000k  6050 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪1,68  k  2,01 :‬‬ ‫‪5050‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‪6050‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪ k 2‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪S 3000 u 2  50 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪S 5950m2 :‬‬ ‫‪ -I‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ N‬ﺃﻨﻪ ﺃﻭﻟﻲ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻪ ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﻘﻁ ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﻷﻥ ﻟﻪ ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻫﻤﺎ ‪ 1‬ﻭ ‪. 2‬‬ ‫‪ 6‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻷﻥ ﻟﻪ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻗﺎﺴﻤﻴﻥ ﻭﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﻫﻲ ‪. 1،2،3،6 :‬‬ ‫‪ 1‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻷﻥ ﻟﻪ ﻗﺎﺴﻡ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ ﻫﻭ ‪. 1‬‬ ‫‪ 0‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻷﻨﻪ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫‪ 17‬ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﻷﻥ ﻟﻪ ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻫﻤﺎ ‪ 1‬ﻭ ‪. 17‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 1‬‬

‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ N‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ‪ N z 1 , N z 0‬ﻴﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ d‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ :‬‬ ‫‪. d2 d N‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ N‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ 1‬ﻭﻋﻥ ‪ 0‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ N‬ﻭﻋﻥ ‪1‬‬ ‫‪ .‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ d‬ﺃﺼﻐﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ‪.‬‬‫ﻜل ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ d‬ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ d‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ d‬ﺃﻱ‬ ‫ﻗﺎﺴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ d‬ﻤﺎﻋﺩﺍ ‪ 1‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ d‬ﺃﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪N dq :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ q‬ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭﻫﻭ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ 1‬ﻭﻋﻥ ‪. N‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ d d q :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ d 2 d dq :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪d 2 d N :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻭﻜﺎﻥ ﻻ ﻴﻘﺒل ﺃﻱ ﻗﺎﺴﻡ ﺃﻭﻟﻲ ‪ d‬ﺤﻴﺙ ‪ d 2 d N‬ﻓﺈﻥ ‪N‬‬ ‫ﺃﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 191‬ﺃﻭﻟﻲ ‪.‬‬‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 191‬ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪ d‬ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ‪ d 2‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪d 2 3 5 7 11 13 17‬‬‫‪d 2 4 9 25 49 121 169 289‬‬‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل ﻻ ﻴﻘﺒل‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪191‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 172 ! 191 :‬ﻭ ‪ 17‬ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ‪ 191‬ﻓﺈﻥ ‪ 191‬ﺃﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪d‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻲ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ N‬ﻜﻴﻔﻲ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ . N‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ N ! 1‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N ! N  N  1 N  2 . . . u 2 u 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ d‬ﺤﻴﺙ ‪ 1  d d N‬ﻴﻘﺴﻡ ! ‪N‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ‪ N ! 1‬ﻷﻥ ! ‪ N‬ﻭ ‪ N ! 1‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪   .‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N ! 1‬ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ . N‬‬ ‫) ﻷﻥ ‪ N ! 1‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪. ( N‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ N ! 1‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻘﺒل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ N‬ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ‪ .‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪. N‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻻ ﺘﻘﺒل ﻋﻨﺼﺭﺍ ﺃﻜﺒﺭ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ ‪:‬‬ ‫ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻭﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﻋﺩﺩ ﺁﺨﺭ ﻤﻔﻬﻭﻤﺎﻥ‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ‪ 20‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 9‬ﻟﻜﻥ ‪ 20‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ 9‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 3‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d‬ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻭﻜﺎﻥ ‪ N‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪d‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ d‬ﻭ ‪ N‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ d‬ﺃﻭﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ d‬ﻫﻲ ‪ 1‬ﻭ ‪ d‬ﻓﻘﻁ ‪.‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ N‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ d‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﺒﻴﻥ ‪ N‬ﻭ ‪ d‬ﻫﻭ ‪ . 1‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪ N‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ﻭ ﺃﻭﻟﻴﻴﻥ ﻫﻤﺎ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻜل ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻤﻊ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﺃﺼﻐﺭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ‪ d‬ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫‪ an , . . . ,a2 , a1‬ﻓﺈﻨﻪ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻤﻊ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻤﻊ‬ ‫ﺠﺩﺍﺀﻫﺎ ﺃﻱ ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ a1 × a2 × . . . × an‬ﻭﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ) (‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ‪ d‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ a1 × a2 × . . . × an‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻘﺴﻡ) (‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ‪. an , . . . ,a2 , a1‬‬ ‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ‪ d‬ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺃﺤﺩ ﻋﻭﺍﻤل‬

‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 4‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻴﻘﺒل ﺘﺤﻠﻴﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ N‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. N > 1‬‬ ‫‪ N‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻘﺒل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ d1‬ﺤﻴﺙ ‪N = d1 .q1 :‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q1‬ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ .‬ﺍﻨﺘﻬﻰ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ‪.‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q1‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻘﺒل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ d2‬ﺤﻴﺙ ‪q1 = d2 .q2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪N = d1d2q2 :‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q2‬ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ .‬ﺍﻨﺘﻬﻰ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﻭﻫﻜﺫﺍ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q2‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻨﺴﺘﻤﺭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ ﻋﺩﺩ ﻤﻨﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﻨﺼل ﺇﻟﻰ ﺤﺎﺼل ﺃﻭﻟﻲ ﻭﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻭﻀﻌﻨﺎ ‪ N‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل‬ ‫ﺃﻭﻟﻴﺔ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ N = d1 × d2 × . . . × d p :‬ﺤﻴﺙ ‪d1 < d2 < . . . < d p :‬‬‫ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﻭﺤﻴﺩ ‪ ،‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﺘﺤﻠﻴل ﺁﺨﺭ ‪N = k1 × k2 × . . . × ks :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪k1 < k2 < . . . < ks :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(1) . . . d1 × d2 × . . . × d p = k1 × k2 × . . . × ks :‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ d1‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ k 1 × k 2 × . . . × k s‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﻟﻜﻥ‬ ‫‪ k1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭﻫﺎ ﻭﻤﻨﻪ ‪k1 ≤ d1 :‬‬‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ k1‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ d1 × d2 × . . . × d p‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ k1‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﻟﻜﻥ‬ ‫‪ d1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭﻫﺎ ﻭﻤﻨﻪ ‪ d1 ≤ k1 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪d1 = k1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪d 2 ×d 3 × . . . ×d p = k 2 × k 3 × . . . × k s :‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ ‪ d2 = k2 :‬ﺜﻡ ‪ d3 = k3‬ﺜﻡ ‪ds = ks‬‬ ‫) ﺤﻴﺙ ‪ . ( S < P‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪k1 × k2 × . . . × ks × ds+1 × . . . × d p = k1 × k2 × . . . × ks‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﻨﺠﺩ ‪ ds+1 × . . . × d p = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﻭﺤﻴﺩ ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬

‫ﻓﻲ ﺘﺤﻠﻴل ‪ N‬ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﺒﻌﺩ ﺘﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ‬ ‫ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪a p1‬‬ ‫×‬ ‫‪a p2‬‬ ‫×‬ ‫‪...‬‬ ‫×‬ ‫‪a pq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ aq , . . . , a2 , a1 :‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ Pq , . . . , P2 , P1‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪7560 :‬‬ ‫‪7560‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪3780‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1890‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7560 = 23 × 33 × 5 × 7‬‬ ‫‪945‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪315‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪80000 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪80000 = 8 × 104 = 23 × ( 2 × 5)4‬‬ ‫‪= 23 × 24 × 54‬‬ ‫‪= 27 × 54‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 5‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪a P1‬‬ ‫×‬ ‫‪a P2‬‬ ‫×‬ ‫‪...‬‬ ‫×‬ ‫‪a Pq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬

‫ﻫﻭ ‪( ) ( )(1 + P1 )(1 + P2 ) × . . . × 1 + Pq−1 1 + Pq :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪a P1‬‬ ‫×‬ ‫‪a P2‬‬ ‫×‬ ‫‪...‬‬ ‫×‬ ‫‪a Pq‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪aα1‬‬ ‫×‬ ‫‪aα2‬‬ ‫×‬ ‫‪...‬‬ ‫‪× aqαq‬‬ ‫‪ N‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ 0 ≤ α1 ≤ P1 :‬ﻭ ‪ 0 ≤ α2 ≤ P2‬ﻭ ‪ ...‬ﻭ ‪0 ≤ αq ≤ Pq‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 1 + P1 :‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﺱ ‪( ). α1‬‬ ‫‪ 1 + P2‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﺱ ‪( ). α2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪ 1 + Pq‬ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﺱ ‪( ). αq‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ d‬ﻫﻭ ‪( )( ) ( ). 1 + P1 1 + P2 × . . . × 1 + Pq :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ . 180‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪180 = 18 × 10 = 32 × 2 × 10 = 22 × 32 × 5 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 180‬ﻫﻭ ‪(1 + 2)(1 + 2) (1 + 1) = 18 :‬‬ ‫* ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ : 180‬ﻜل ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 180‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪2α × 3β × 5γ‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ 0 ≤ α ≤ 2 :‬ﻭ ‪ 0 ≤ β ≤ 2‬ﻭ ‪0 ≤ γ ≤ 1‬‬‫ﻗﻴﻡ ‪ γ‬ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪180‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪β‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪α‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0=γ β =0‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪3 0=γ‬‬ ‫‪β =1‬‬ ‫‪α =0‬‬‫‪15‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪9 0=γ‬‬ ‫‪β =2‬‬‫‪45‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪2‬‬ ‫‪0=γ 0=β‬‬‫‪10‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪6 0=γ‬‬‫‪30 1 = γ 1 = β α = 1‬‬‫‪18‬‬ ‫‪0=γ 2=β‬‬‫‪90‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪4‬‬ ‫‪0=γ 0=β‬‬‫‪20‬‬ ‫‪1=γ‬‬‫‪12 0 = γ‬‬‫‪60 1 = γ 1 = β α = 2‬‬‫‪36‬‬ ‫‪0=γ 2=β‬‬‫‪180‬‬ ‫‪1=γ‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ‪ N p , . . . , N 2 , N1‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺘﺤﻠﻴﻼﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ N p , . . . , N 2 , N1 :‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺅﺨﺫ ﻜل ﻋﺎﻤل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﺒﺄﺼﻐﺭ ﺃﺱ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ‪PGCD(1000 ; 480 ; 250) :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪1000 = 103 = ( 2 × 5)3 = 23 × 53‬‬ ‫‪480 = 48 × 10 = 3 × 16 × 2 × 5‬‬ ‫‪= 3 × 24 × 2 × 5‬‬ ‫‪= 25 × 3 × 5‬‬ ‫‪250 = 25 × 10 = 52 × 2 × 5‬‬ ‫‪= 2 × 53‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪PGCD(1000 ; 480 ; 250) = 2 × 5 = 10 :‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ‪ N p , . . . , N 2 , N1‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻲ‬‫ﺘﺤﻠﻴﻼﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ N p , . . . , N 2 , N1 :‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺅﺨﺫ ﻜل ﻋﺎﻤل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻭﺒﺄﻜﺒﺭ ﺃﺱ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ )‪PPCM (1000 ; 480 ; 250‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪1000 = 23 × 53 ; 480 = 25 × 3 × 5 ; 250 = 2 × 53‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PPCM (1000 ; 480 ; 250) = 25 × 3 × 53 = 12000 :‬‬

‫‪ -II‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ ) : 1‬ﺘﻘﺒل ﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ( ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d‬ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α0‬ﻭ ‪ β0‬ﻴﺤﻘﻘﺎﻥ ‪α0a + β0b = d :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪PGCD( 24 ; 9) = 3 :‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α0‬ﻭ ‪ β0‬ﺒﺤﻴﺙ ‪24α0 + 9β0 = 3 :‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ α0 = −1‬ﻭ ‪ β0 = 3‬ﻴﺤﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ) ( )24 −1 + 9 3 = 3‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ ) 2‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ ( ‪:‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ β , α‬ﺤﻴﺙ ‪αa + β b = 1‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻥ‪( )PGCD a ; b = 1 :‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ 1‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪β‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪αa + β b = 1 :‬‬ ‫*ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ αa + β b = 1‬ﻭﻜﺎﻥ‬ ‫‪PGCD(a ; b) = d‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ d :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ d‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ αa‬ﻭ ‪β b‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ d :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ α a + β b‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ d :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪d = 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪b‬‬ ‫ﻭ ‪ c‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪. b.c‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪β‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪(1) . . . αa + β b = 1 :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ c‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α ′‬ﻭ ‪β ′‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ ‪(2) . . . α′a + β ′c = 1 :‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪(αa + β b)(α′a + β ′c) = 1 : (2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪αα ′a 2 + αβ ′ac + α ′β ab + ββ ′bc = 1 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪(αα′a + αβ ′c + a′βb )a + ( ββ ′)bc = 1 :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ αα′a + αβ ′c + a′βb = γ‬ﻭ ‪ββ ′ = δ‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪γ a + δ bc = 1 :‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺒﻴﺯﻭ ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ bc‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪bn , . . . , b2 , b1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ b1 × b2 × . . . × bn :‬ﻭ ﻴﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. n ≥ 2‬‬ ‫ﻭﺒﺼﻔﺔ ﺨﺎﺼﺔ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪b1 = b2 = . . . = bn = b :‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪. bn‬‬ ‫‪ -III‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻭ ‪ c‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ‪ bc‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻤﻊ ‪ b‬ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. c‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ bc‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪bc = a .q :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪β‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ ) α a + β b = 1 :‬ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺒﻴﺯﻭ ( ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻴﻬﺎ ﻓﻲ ‪ c‬ﻨﺠﺩ ‪αac + β bc = c :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ αac + β .aq = c :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a (αc + β q) = c :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ αc + β q = p :‬ﻨﺠﺩ ‪ a .p = c :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. c‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻗﺒل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ b‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬

‫‪ a1‬ﻭ ‪ a2‬ﻭﻜﺎﻥ ‪ a1‬ﻭ ‪ a2‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻥ ‪ b‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. a1 × a2‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a1‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ b‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ b = a1 .q :‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a2‬ﻴﻘﺴﻡ‬ ‫‪ b‬ﻓﺈﻥ ‪ a2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪a1 .q‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ a2‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ a1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ﻓﺈﻥ ‪ a2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪q‬‬ ‫ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ p‬ﺒﺤﻴﺙ ‪q = a2 .p :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ b = a1 .a2 .p :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a1 .a2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. b‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻗﺒل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ b‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫‪ an , . . . , a2 , a1‬ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ﻓﺈﻥ ‪ b‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ a1 × a2 × . . . × an‬ﻭﺘﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. n ≥ 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 396‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 2‬ﻭ ‪ 11‬ﺍﻷﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻭ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. 22‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. 5 x = 7 y :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 5 x = 7 y‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 5‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 7 y‬ﻭ ‪ 5‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 7‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ 5‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ y‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪y = 5k :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 5 x = 7 × 5k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 7k :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x = 7k :‬ﻭ ‪ y = 5k‬ﻤﻊ ] ∈ ‪k‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 3‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ‪ ] 2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1) . . . 5 x − 3 y = 2 :‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 1 ; 1‬ﺤل) (‬ ‫ﺨﺎﺹ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 5x − 3 y = 2 :‬ﻭ ‪5(1) − 3(1) = 2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪5x − 3 y = 5(1) − 3(1) :‬‬

‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪(1) . . . 5( x − 1) = 3( y − 1) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 5‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 3 y − 1‬ﻭ ‪ 5‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 3‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ) (‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ 5 :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ y − 1‬ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ y − 1 = 5k :‬ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪y = 5k + 1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (2‬ﻨﺠﺩ ‪( )5 x − 1 = 3 × 5k :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x − 1 = 3k :‬ﺃﻱ ‪x = 3k + 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﻠﻭل )‪ (1‬ﻫﻲ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪ x ; y‬ﺤﻴﺙ ‪( )x = 3k + 1 :‬‬ ‫ﻭ ‪ y = 5k + 1‬ﻤﻊ ] ∈ ‪. k‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﻘﺎﺴﻤﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ )‪PGCD( 200 ; 150 ; 40‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫)‪PGCD( 200 ; 150) = PGCD(10 × 20 ; 10 × 15‬‬ ‫)‪= 10 × PGCD( 20 ; 15‬‬ ‫)‪= 10 × 5 × PGCD(4 ; 3‬‬ ‫‪= 50 × 1 = 50‬‬ ‫)‪PGCD(40 ; 50) = 10PGCD(4 ; 5‬‬ ‫‪= 10 × 1 = 10‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PGCD( 200 ; 150 ; 40) = 10 :‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺇﺠﻤﺎﻟﻴﺎ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ an , . . . , a2 , a1‬ﺃﻨﻬﺎ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺇﺠﻤﺎﻟﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻗﺎﺴﻤﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪. 1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ )‪ PGCD (a ; b‬ﻭ )‪PPCM (a ; b‬‬

‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪.‬‬ ‫‪ δ‬ﻗﺎﺴﻤﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ‪.‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪ a = δ a′ :‬ﻭ ‪ b = δ × b′‬ﻭ ‪PGCD(a′ , b′) = 1‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻫﻭ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪β‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x = αa :‬ﻭ ‪x = β b‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = αδ a′ :‬ﻭ ‪x = β × δ b′‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ αδ a′ = β × δ b′ :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪αa′ = β b′ :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a′‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ β b′‬ﻭ ‪ a′‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ b′‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ a′‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ β‬ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪β = q × a′ :‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ x = β b = qa′b = qa′b′ × δ :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = (δ ab′) q :‬‬‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ µ = δ a′b′ :‬ﻓﺈﻥ ‪µ = δ a′b′ = ab′ = b × a′ :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻜل ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ µ‬ﻭﻜل ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ µ‬ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪. b‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻲ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪µ‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ µ :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ µ = δ a′b′ :‬ﻭ ‪µ × δ = δ a′ × δ b′‬‬‫‪µ = a×b‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪µ × δ = a × b :‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ δ = 1 :‬ﻓﺈﻥ ‪µ = a × b :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 1‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻤﻀﺎﻋﻔﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 2‬‬‫ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﻗﺎﺴﻤﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻭﻤﻀﺎﻋﻔﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 3‬‬ ‫‪ λ , b , a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪:‬‬‫)‪PPCM (λa ; λb) = λ × PPCM (a ; b‬‬

‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ PPCM (λa ; λb) × PGCD(λa ; λb) = (λa) .(λb) :‬ﻭﻤﻨﻪ‬‫‪PPCM (λa ; λb) × λ PGCD(a ; b) = λ (λab) :‬‬‫‪PPCM (λa ; λb) × PGCD(a ; b) = λ × ab‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪PPCM (λa‬‬ ‫;‬ ‫)‪λb‬‬ ‫=‬ ‫‪λa × b‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫; ‪PGCD(a‬‬‫‪PPCM ( λa‬‬ ‫;‬ ‫)‪λb‬‬ ‫=‬ ‫‪λ‬‬ ‫×‬ ‫)‪PPCM(a ; b‬‬ ‫×‬ ‫(‪PGCD‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪; b‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫(‪PGCD‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪; b‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪PPCM (λa ; λb) = λ PPCM (a ; b) :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪PPCM (100 ; 150) = 50PPCM ( 2 ; 3) = 50 × 2 × 3 = 300‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﻤﻀﺎﻋﻔﻬﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺍﺤﺴﺏ ‪PPCM (150 ; 200 ; 350) :‬‬ ‫* ﻨﺤﺴﺏ ﺃﻭﻻ ‪PPCM (150 ; 200) :‬‬ ‫)‪PPCM (150 ; 200) = PPCM (50 × 3 ; 50 × 4‬‬ ‫‪= 50 × PPCM ( 3 ; 4) = 50 × 3 × 4 = 600‬‬‫ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪PPCM (150 ; 200 ; 350) = PPCM (600 ; 350) :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PPCM (600 ; 350) = PPCM (50 × 12 ; 50 × 7) :‬‬

‫‪= 50 × PPCM (12 ; 7) = 50 × 12 × 7 = 4200‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪PPCM (150 ; 200 ; 350) = 4200 :‬‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﺤﻠل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‬‫‪A = 44 × 50 ; B = 80 × 77 ; C = 45 × 100‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﺎﺴﻤﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻭﻤﻀﺎﻋﻔﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺤﻴﺙ ‪α = 18459 :‬‬ ‫ﻭ ‪β = 3809‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫ﺃﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ PPCM (a ; b ) = 2226‬ﻭ ‪a + b = 148‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﺃﻭﺠﺩ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ‪. 8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 211‬‬ ‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ` ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. x2 − y2 = 211 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪µ − 18δ = 791 :‬‬ ‫ﻭﺤﻴﺙ ‪ δ = PGCD( x; y) :‬ﻭ ) ‪µ = PPCM ( x ; y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬

‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ )‪. PGCD(765;459;1683‬‬ ‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ] ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. 765 x + 459 y = 1683 :‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪( ). x + y < 10 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪ (1‬ﺤل ﻓﻲ ‪ ]2‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. 52 x − 44 y = 92 :‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪ . PGCD x ; y = δ‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪( ). δ‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪ x ; y‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪( ). δ = 23‬‬ ‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪ x ; y‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪( ). −10 < x < 40‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪ r , U0 (2‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ U0‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). r‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪ U0‬ﻭ ‪ r‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ U0‬ﻭ ‪ r‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ‪U02 =U10 −U1‬‬‫ﺏ‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ r = 1 , U 0 = 3‬ﻨﻀﻊ ‪Sn = U0 + U1 + ... + Un‬‬ ‫‪ - . Pn = U0 × U1 × ...× Un‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ Sn‬ﻭ ‪ Pn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ 2Pq = 2010 ! :‬ﺜﻡ ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪[ ] ( )3q ≡ 2 5 :‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]2S n + 2 = 3q 5 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ x′; y′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( )9 x′ − 14 y′ = 13 :‬‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 3;1‬ﺤل ﻟﻬﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. 45x − 28y = 130 :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x ; y‬ﺤل ﻟﻬﺎ ﻓﺈﻥ ‪ x ≡ 0 2‬ﻭ ‪[ ] [ ] ( )y ≡ 0 5‬‬ ‫‪ -‬ﺜﻡ ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ N (3‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻜﺘﺏ ‪ 2αα 3‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ 9‬ﻭ ﻴﻜﺘﺏ‬ ‫‪ 5ββ 6‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪ . 7‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 120‬‬‫‪ α (2‬ﻭ ‪ β‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ .‬ﻨﻀﻊ ‪ a = α + 4β‬ﻭ ‪b = 2α + 7β‬‬‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪. PGCD(α ; β ) = PGCD(a ; b‬‬‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻤﻥ ` ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪( ) {. PPCM x; y‬‬ ‫‪( x+4 y)(2 x+7 y)=5880‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ µ‬ﻫﻭ‬ ‫‪xy=7 µ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1) . . . 43x −13y = λ :‬ﺤﻴﺙ ‪ λ , y, x‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪ −3λ ; − 10λ‬ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪( ). (1‬‬ ‫ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪( ). x ; y‬‬ ‫‪ N (2‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻜﺘﺏ ‪ αβαβα :‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪6‬‬ ‫ﻭﻴﻜﺘﺏ ‪ β 0γγγ :‬ﻓﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺘﻌﺩﺍﺩ ﺃﺴﺎﺴﻪ ‪. 5‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﺘﺤﻘﻕ ‪. 43α − 13β = γ :‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪ γ‬ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ ‪ N‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪ x ; y‬ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬ ‫‪(1) . . . 5x − 3 y = 7‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ x ; y‬ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪( ). (1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟـ ‪( ). PGCD x ; y :‬‬‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪( ) ( )PGCD x ; y‬‬ ‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫‪ a (1‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻭ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a + b‬ﻭ ‪ a × b‬ﺯﻭﺠﻲ ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬