دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 84‬‬ ‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x + y = 84 :‬‬‫ﻭ ‪ µ = δ 2‬ﻭﺤﻴﺙ ‪ µ = PPCM ( x; y) :‬ﻭ )‪δ = PGCD( x; y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 993‬ﻭ ‪ 170‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (1) . . . 993 x − 170 y = 143 :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻭ ‪y‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺨﺎﺹ ‪ x0 ; y0‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( ). x0 + y0 = 6 :‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪( ). (1‬‬ ‫‪ (3‬ﺠﺩ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ a − 1‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 1986‬ﻭ ‪ 340‬ﻫﻭ ‪ 14‬ﻭ ‪ 300‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫ﺘﺤﻠﻴل ﻜل ﻤﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ C‬ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪A = 44 × 50 = 4 × 11× 5 × 10 = 22 × 11× 5 × 2 × 5‬‬ ‫‪A = 23 × 52 × 11‬‬ ‫‪B = 80 × 77 = 8 × 10 × 7 × 11 = 23 × 2 × 5 × 7 × 11‬‬ ‫‪B = 24 × 5 × 7 × 11‬‬ ‫‪C = 45 × 100 = 9 × 5 × 102 = 32 × 5 × ( 2 × 5)2‬‬ ‫‪= 32 × 5 × 22 × 52‬‬ ‫‪C = 22 × 32 × 53‬‬ ‫‪PGCD( A; B;C ) = 22 × 5 = 20‬‬ ‫‪PPCM ( A; B;C ) = 24 × 53 × 32 × 7 × 11‬‬ ‫‪= 1386000‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻌﻴﻥ ﺃﻭﻻ ‪PGCD (18459;3809) :‬‬ ‫‪3809 = 13 × 293‬‬ ‫‪18459 = 32 × 7 × 293‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PGCD(18459;3809) = 293 :‬‬ ‫) ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ ( ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻫﻲ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 293‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 293‬ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﻫﻲ ‪293 ، 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻫﻲ ‪. 293 ، 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪ a‬ﻭ ‪: b‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪PGCD(a;b) = δ :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = δ .a′ :‬ﻭ ‪ b = δ b′‬ﻤﻊ ‪ a′‬ﻭ ‪ b′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ δ × 2226 = a × b :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪δ × 2226 = δ a′ × δ b′ :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ a′b′ = 2226 :‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪a + b = 148 :‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ δ a′ + δ b′ = 148 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪δ (a′ + b′) = 148 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. 148‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪: 148‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪148 = 22 × 37 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 148‬ﻫﻲ ‪. 148 ، 74 ، 37 ، 4 ، 2 ، 1 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a′‬ﻭ ‪ b′‬ﻫﻤﺎ ﺤﻠﻴﻥ‬ ‫‪ a′b′ = 2226‬‬ ‫‪: δ = 1 (1‬‬ ‫‪a′ + b′ = 148‬‬‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. x2 − 148 x + 2226 = 0 :‬‬‫‪ ∆′ = 3250‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪∆′  57,008 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪.‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a′‬ﻭ ‪ b′‬ﻫﻤﺎ ﺤﻠﻴﻥ‬ ‫‪a′b′ = 1113‬‬ ‫‪: δ = 2 (2‬‬ ‫‪a′ + b′ = 74‬‬‫ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. x2 − 74 x + 1113 = 0 :‬‬ ‫‪ ∆′ = 256‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ‪.‬‬‫‪x2 = 37 + 16 = 53 ، x1 = 37 − 16 = 21‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺇﻤﺎ ‪ a′ = 21‬ﻭ ‪b′ = 53‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a = 2 × 21 = 42 :‬ﻭ ‪b = 2 × 53 = 106‬‬‫ﺃﻭ ‪ a′ = 53‬ﻭ ‪ b′ = 21‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ a = 106 :‬ﻭ ‪b = 42‬‬ ‫‪a′b′ = 556,5‬‬ ‫‪:δ =4‬‬ ‫‪(3‬‬‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b′‬‬ ‫=‬ ‫‪37‬‬ ‫‪a′b′  60,1‬‬ ‫‪: δ = 37‬‬ ‫‪(4‬‬‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a′‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b′‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a′b′  30,08‬‬ ‫‪:δ‬‬ ‫‪= 74‬‬ ‫‪(5‬‬‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a′ + b′ = 2‬‬ ‫‪a′b′  15,04‬‬ ‫‪: δ = 168 (6‬‬‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a′ + b′ = 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻟﻪ ‪ 8‬ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪ a1 × a23‬ﺃﻭ ‪. a17‬‬‫ﻭﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻓﺈﻥ ‪ a2 ، a1 :‬ﺘﻜﻭﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻱ ‪ 3 × 23 :‬ﺃﻭ ‪27‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﻫﻤﺎ ‪ 128 :‬ﺃﻭ ‪. 24‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﺩﺩ ﻟﻪ ‪ 8‬ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻫﻭ ‪ 3 × 23‬ﺃﻱ ‪. 24‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫‪ (1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 211‬‬‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ‪ a2‬ﻭ ‪ a2 209‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪4 a2 < 211‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪9 a2 < 211‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪25 a2 < 211‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪49 a2 < 211‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪121 a2 < 211‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪169 a2 < 211‬‬ ‫ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫‪289 a2 > 211‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 211‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺃﻱ ﻗﺎﺴﻡ ﺃﻭﻟﻰ ‪ a‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ a2 < 211‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 211‬ﺃﻭﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2 − y2 = 211 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪( x − y)( x + y) = 211 :‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x − y < x + y :‬ﻓﺈﻥ ‪ x − y = 1 :‬ﻭ ‪x + y = 211‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ 2 x = 212 :‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪x = 106 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ . y = 105 :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤل ﻫﻭ ‪( ). 106;105‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪: y‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x .y = δµ :‬ﻟﻜﻥ ‪ x = δ x ′ :‬ﻭ ‪ y = δ y′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x′‬ﻭ ‪y′‬‬ ‫ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ x′.δ y′ = δµ :‬ﺃﻱ ‪µ = δ x′.y′ :‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ µ − 18δ = 791 :‬ﻓﺈﻥ ‪δ x′y′ − 18δ = 791 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ δ x′y′ − 18 = 791 :‬ﺇﺫﻥ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( ). 791‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪791 = 7 × 113 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 791‬ﻫﻲ ‪. 791 ، 113 ، 7 ، 1 :‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ δ = 1‬ﻨﺠﺩ ‪ x′y′ − 18 = 791 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x′y′ = 809 :‬‬ ‫* ‪ y′ = 809 ، x′ = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 1 :‬ﻭ ‪y = 809‬‬ ‫* ‪ y′ = 1 ، x′ = 809‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 809 :‬ﻭ ‪y = 1‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ δ = 7‬ﻨﺠﺩ ‪ x′y′ − 18 = 113 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x′y′ = 131 :‬‬ ‫* ‪ y′ = 131 ، x′ = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 7 :‬ﻭ ‪y = 917‬‬ ‫* ‪ y′ = 1 ، x ′ = 131‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 917 :‬ﻭ ‪y = 7‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x′y′ − 18 = 7 : δ = 113‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x′y′ = 25 :‬‬ ‫* ‪ y′ = 25 ، x′ = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 113 :‬ﻭ ‪y = 2825‬‬ ‫* ‪ y′ = 1 ، x′ = 25‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 2825 :‬ﻭ ‪y = 113‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ x′y′ − 18 = 1 : δ = 791‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x′y′ = 19 :‬‬‫* ‪ y′ = 19 ، x′ = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 791 :‬ﻭ ‪y = 15029‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ )‪: PGCD(765;459;1683‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ ‪:‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ )‪: PGCD(765;459‬‬ ‫‪765 = 459 × 1 + 306‬‬ ‫‪459 = 306 × 1 + 153‬‬ ‫‪306 = 153 × 2 + 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪. PGCD(765;459) = 153 :‬‬ ‫* ﺤﺴﺎﺏ )‪: PGCD(153;1683‬‬ ‫‪1683 = 153 × 11 + 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PGCD(153;1683) = 153 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. PGCD(765;459;1683) = 153 :‬‬

‫‪ (2‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪765 x + 459 y = 1683 :‬‬ ‫ﺒﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ 153‬ﻨﺠﺩ ‪5 x + 3 y = 11 :‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 4;−3 :‬ﺤل ﺨﺎﺹ ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪5x + 3 y = 5× 4 + 3( −3) ( ):‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪5x − 5 × 4 = −3 y + 3( −3) :‬‬ ‫)‪5(x − 4) = 3(−y − 3‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 5 x − 4‬ﻭ ‪ 3‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 5‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x − 4‬ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪( )k‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ x − 4 = 3k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x = 3k + 4 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 5 × 3k = 3( − y − 3) :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ − y − 3 = 5k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪. y = −5k − 3‬ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ )‪ ( 3k + 4;−5k − 3‬ﻤﻊ ] ∈ ‪. k‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( )x + y < 10 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪3k + 4 + −5k − 3 < 10 :‬‬ ‫ﻨﺯﻴل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )P x = 3k + 4 + −5k − 3 :‬‬‫∞‪k −‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬‫‪3k + 4‬‬ ‫‪−3k − 4‬‬ ‫‪3k + 4‬‬ ‫‪3k + 4‬‬‫‪−5k − 3‬‬ ‫‪−5k − 3‬‬ ‫‪−5k − 3‬‬ ‫‪5k + 3‬‬‫)‪P ( x‬‬ ‫‪−8k − 7‬‬ ‫‪−2k + 1‬‬ ‫‪8k + 7‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪ : P x < 10‬ﻤﻊ ] ∈ ‪( )x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫; ∞‪−‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫>‬ ‫‪−17‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪−8k < 17‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪−8k − 7 < 10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪−17‬‬ ‫;‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ‬ ‫]∈‪k‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ k = −2 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪( x ; y) = ( −2;7) :‬‬ ‫]∈‪: k‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫;‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬‫‪k‬‬ ‫<‬ ‫‪−9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪−2k < 9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪−2k + 1 < 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ k = −1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪( x ; y) = (1;2) :‬‬ ‫]∈‪: k‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪; +∞ ‬‬ ‫ﻟﻤﺎ‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪k‬‬ ‫<‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪8k < 3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪8k + 7 < 10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫]∈‪k‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ k = 0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪. ( x ; y ) = (4;−3) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫‪ (1‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪52 x − 44 y = 92 :‬‬ ‫* ﻨﺤﺴﺏ )‪: PGCD(52;44;92‬‬ ‫‪52 = 2 2×13‬‬ ‫‪44 = 22 × 11‬‬ ‫‪92 = 22 × 23‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪PGCD(52;44;92) = 22 = 4 :‬‬ ‫ﻭﺒﻘﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻨﺠﺩ ‪13 x − 11 y = 23 :‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 6;5‬ﺤل ﺨﺎﺹ ﻭﻤﻨﻪ ‪13 x − 11 y = 13 × 6 − 11× 5 ( ):‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪13 x − 13 × 6 = 11 y − 11× 5 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪13( x − 6) = 11( y − 5) :‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 11‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 13 x − 6‬ﻭ ‪ 11‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 13‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 11‬ﻴﻘﺴﻡ ‪( )x − 6‬‬ ‫ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪x − 6 = 11k :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 11k + 6 :‬ﺇﺫﻥ ‪13 × 11k = 11( y − 5) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ y − 5 = 13k :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = 13k + 5‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪ (11k + 6;13k + 5) :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪k‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪: δ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x‬ﻭ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ y‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 13 x‬ﻭ ‪11 y‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 13 x − 11 y‬ﺇﺫﻥ ‪ δ‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. 23‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻗﻴﻡ ‪ δ‬ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻲ ‪ 1‬ﻭ ‪. 23‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( ): δ = 23‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x = 23 x′ :‬ﻭ ‪ y = 23 y′‬ﻭ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪13 × 23x′ − 11× 23 y′ = 23 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪13 x′ − 11 y′ = 1 :‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ )‪ (6;7‬ﺤل ﺨﺎﺹ ﻭﻤﻨﻪ ‪13x′ − 11y′ = 13× 6 − 11× 7 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪13x′ − 13× 6 = 11y′ − 11× 7 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪13( x′ − 6) = 11( y′ − 7) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 13‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 11 y′ −7‬ﻭ ‪ 13‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 11‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 13‬ﻴﻘﺴﻡ ‪( ) ( )y′ −7‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ y′ − 7 = 13α :‬ﺇﺫﻥ ‪y′ = 13α + 7 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 13( x′ − 6) = 11× 13α :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x′ − 6 = 11α :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x′ = 11α + 6 :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪x = 23(11α + 6) :‬‬ ‫‪x = 253α + 138‬‬ ‫)‪ y = 23(13α + 7‬ﻭﻤﻨﻪ ‪y = 299α + 161 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪ ( 253α + 138 ; 299α + 161) :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪. α‬‬ ‫‪ (4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪ x ; y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪( )−10 < x < 40 :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪−10 < 11k + 6 < 40 :‬‬ ‫‪−16 < 11k < 34‬‬‫ﺃﻱ ‪−1,45 < k < 3,09 :‬‬ ‫‪−16‬‬ ‫<‬ ‫‪k‬‬ ‫<‬ ‫‪34‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﻴﻡ ‪ k‬ﻫﻲ ‪ -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬‫)‪. (17;18) , (6;5) , (−5;−8) , (39;44) , ( 28;31‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫‪ (1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪: 5‬‬‫]‪30 ≡ 1[5] ; 31 ≡ 3[5] ; 3² ≡ 4[5] ; 33 ≡ 2[5] ; 34 ≡ 1[5‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 34P ≡ 1 5 :‬ﻭ ‪[ ] [ ] [ ] [ ]34P+3 ≡ 2 5 ; 34P+2 ≡ 4 5 ; 34P+1 ≡ 3 5‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪U10‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪ (2‬ﺃ( ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ U0‬ﻭ ‪: r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U1 = U0 + r :‬ﻭ ‪U10 = U0 + 10r‬‬‫‪( ) ( )U‬‬‫‪2‬‬‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪U0 + 10r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪U0 + r‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪9r‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U0 :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 9r‬ﻭ ‪ U0‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ r‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫‪ U0‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. 9‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U0‬ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻲ ‪. 9 ، 3 ، 1 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ‬ ‫‪r‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪1 = 9r : U0 = 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ 9 = 9r : U0 = 3‬ﻭﻤﻨﻪ ‪. r = 1 :‬‬ ‫* ﻟﻤﺎ ‪ 9² = 9r : U0 = 9‬ﻭﻤﻨﻪ ‪r = 9 :‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻷﻥ ‪ U0‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪. r‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ U0 = 3 :‬ﻭ ‪. r = 1‬‬ ‫ﺏ( ﺤﺴﺎﺏ ‪: Sn‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬‫‪( )Un = U0 + nr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪، U0 = 3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪U0 + Un‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Un = 3 + n :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ‪: Pn‬‬ ‫‪Pn = U0 × U1 + . . . × Un‬‬ ‫) ‪Pn = U0 × (U0 + r ) . . . × (U0 + nr‬‬ ‫)‪Pn = 3 × 4 × 5 × . . . × ( n + 3‬‬‫‪Pn‬‬ ‫=‬ ‫×‪1‬‬ ‫‪2×3×4×5× .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪×(n+‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫!)‪(n + 3‬‬ ‫‪1× 2‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ 2pq = ( 2010)! : q‬ﻭﻤﻨﻪ ‪(q + 3)! = 2010! :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ q + 3 = 2010 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. q = 2007 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪[ ]: 32007 ≡ 2 5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2007 = 4 × 581 + 3 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪[ ]. 32007 ≡ 2 5 :‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ n‬ﺒﺤﻴﺙ ‪[ ]2Sn + 2 ≡ 3q 5 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(n + 1)(6 + n ) + 2 ≡ 2[5] :‬‬ ‫]‪6n + n² + 6 + n + 2 ≡ 2[5‬‬ ‫]‪n² + 7n + 6 ≡ 0[5‬‬ ‫]‪n² + 2n + 1 ≡ 0[5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( n + 1)² ≡ 0[5] :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ n + 1 ≡ 0[5] :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪n ≡ −1[5] :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ n ≡ 4 5 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ α ∈ ` :‬ﻭ ‪[ ]. n = 5α + 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ )‪: ( x′; y′‬‬

‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪9 x′ − 14 y′ = 9 × 3 − 14 × 1 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪9x′ − 9 × 3 = 14 y′ − 14 × 1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪9( x′ − 3) = 14( y′ − 1) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 9‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 14 y′ − 1‬ﻭ ‪ 9‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 14‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 9‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ y′ − 1‬ﺃﻱ ‪( ):‬‬ ‫] ∈ ‪ y′ − 1 = 9k , k‬ﺇﺫﻥ ‪y′ = 9k + 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 9( x′ − 3) = 14 × 9k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x′ − 3 = 14k :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x′ = 14k + 3 :‬ﺇﺫﻥ ‪( x′; y′) = (14k + 3;9k + 1) :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪k ∈ ] :‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ‪ x ≡ 0[2] :‬ﻭ ]‪y ≡ 0[5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪45 x − 28 y = 130 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 45 x = 28 y + 130 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪45 x = 2(14 y + 65) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 45 x‬ﻭ ‪ 2‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 45‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫‪ 2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ . x‬ﺇﺫﻥ ‪[ ]x ≡ 0 2 :‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ 28 y = 130 − 45x :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪28 y = 5( 26 − 9x ) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 5‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 28 y‬ﻭ ‪ 5‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 28‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ ‪:‬‬ ‫‪ 5‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ . y‬ﺇﺫﻥ ‪[ ]. y ≡ 0 5 :‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x ≡ 0 2‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]x = 2 x′ :‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ y ≡ 0 5‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]y = 5 y′ :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪45 × 2 x′ − 28 × 25 y′ = 130 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 10(9 x′ − 7 y′) = 130 :‬ﺇﺫﻥ ‪9x′ − 7 y′ = 13 :‬‬ ‫ﻭﻗﺩ ﺴﺒﻕ ﺤﻠﻬﺎ ‪ x′ = 14k + 3 :‬ﻭ ‪y′ = 9k + 1‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ x = 2(14k + 3) :‬ﻭ )‪y = 5(9k + 1‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 28k + 6 :‬ﻭ ‪ y = 45k + 5‬ﻤﻊ ] ∈ ‪k‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪: β‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N = 3 × 90 + α × 91 + α × 9² + 2 × 93 :‬‬‫‪N = 3 + 9α + 81α + 1458‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪N = 1461 + 90α . . . (1) :‬‬‫ﻤﻊ ‪α ≤ 8‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N = 6 × 70 + β × 71 + β × 7² + 5 × 73 :‬‬‫‪N = 6 + 7β + 49β + 1715‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪N = 1721 + 56β . . . (2) :‬‬‫ﻤﻊ ‪β ≤ 6‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪1461 + 90α = 1721 + 56β : (2‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪90α − 56β = 260 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪45α − 28β = 130 :‬‬ ‫ﻭﺤﻠﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ‪:‬‬‫‪k ∈ ` , β = 45k + 5 , α = 28k + 6‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ α ≤ 8 :‬ﻭ ‪β ≤ 6‬‬‫ﻓﺈﻥ ‪ 28k + 6 ≤ 8 :‬ﻭ ‪45k + 5 ≤ 6‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 28k ≤ 2 :‬ﻭ ‪45k ≤ 1‬‬‫‪k‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪k‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪28‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ k = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪ α = 6 :‬ﻭ ‪β = 5‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ N = 1461 + 90 × 6 :‬ﺇﺫﻥ ‪N = 2001 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪11‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪120 = 12 × 10 = 22 × 3 × 2 × 5 :‬‬‫‪120 = 23 × 3 × 5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪ (2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪PGCD(α;β) = PGCD(a;b) :‬‬

‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ PGCD(α;β) = δ1 :‬ﻭ ‪PGCD(a;b) = δ2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ δ1 :‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ1 :‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ α + 4β‬ﻭ ‪2α + 7β‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ1‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ δ1‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. (1) . . . δ2‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ δ2 :‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2 :‬ﻴﻘﺴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ α + 4β‬ﻭ ‪. 2α + 7β‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ )‪ −2(α + 4β‬ﻭ ‪. 2α + 7β‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ −2α − 8β‬ﻭ ‪. 2α + 7β‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ )‪. ( 2α + 7β) + ( −2α − 8β‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ −β‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. β‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ )‪ −7(α + 4β‬ﻭ )‪4( 2α + 7β‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ −7α − 28β‬ﻭ ‪8α + 28β‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ )‪ (8α + 28β) + ( −7α − 28β‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. α‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. (2) . . . δ1‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪ δ1 : (2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ δ2‬ﻭ ‪ δ2‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ δ1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. δ1 = δ2 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪. PGCD(α;β) = PGCD(a;b) :‬‬‫‪(x + 4y )(2x + 7y ) = 580‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪: y‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪x × y = 7µ‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x × y = δ × µ :‬ﺤﻴﺙ ‪PGCD ( x ; y ) = δ :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ = 7 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 7 x′ :‬ﻭ ‪y = 7 y′‬‬ ‫ﻤﻊ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪(7 x′ + 4 × 7 y′)( 2 × 7 x′ + 7 × 7 y′) = 5880 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪7( x′ + 4 y′) × 7( 2x′ + 7 y′) = 5880 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪( x′ + 4 y′)( 2x′ + 7 y′) = 120 :‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻥ ‪ 2 x′ + 7 y′‬ﻭ ‪ x′ + 4 y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫‪.‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪PGCD( x′; y′) = PGCD( x′ + 4y′;2x′ + 7 y′) : 2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x′ + 4 y′ < 2 x′ + 7 y′ :‬‬ ‫* ‪ x′ + 4 y′ = 1‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 120‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ −2 x′ − 8 y′ = −2 :‬ﻭ ‪2 x′ + 7 y′ = 120‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ − y = 118 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + 4 y′ = 3‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 40‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ −2 x′ − 8 y′ = −6 :‬ﻭ ‪2 x′ + 7 y′ = 40‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ − y = 34 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + 4 y′ = 5‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 24‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ −2x′ − 8 y′ = −10 :‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 24‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ − y = 14 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + 4 y′ = 8‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 15‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ −2x′ − 8 y′ = −16 :‬ﻭ ‪2x′ + 7 y′ = 15‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ‪ − y = −1 :‬ﺃﻱ ‪y = 1 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x′ = 4 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 28 :‬ﻭ ‪y = 7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪12‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ −3λ ;−10λ :‬ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪( ): (1‬‬‫‪ 43( −3λ ) − 13( −10λ ) = −129λ + 130λ = λ‬ﻭﻤﻨﻪ ﻫﻭ ﺤل ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻜل ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪( )x ; y :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪43x − 13λ = 43( −3λ ) − 13( −10λ ) :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪43x − 43( −3λ ) = 13 y − 13( −10λ ) :‬‬ ‫) ‪43( x + 3λ ) = 13( y + 10λ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 13 :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 43 x + 3λ‬ﻭ ‪ 13‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪( )43‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 13 :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x + 3λ‬ﺇﺫﻥ ‪x + 3λ = 13k :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 13k − 3λ :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪43 × 13k = 13( y + 10λ ) :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ y + 10λ = 43k :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = 43k − 10λ :‬‬‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪k ∈ ] , (13k − 3λ ; 43k − 10λ ) :‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪43α − 13β = γ :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N = α × 60 + β × 61 + α × 62 + β × 63 + α × 64 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ 1 ≤ α ≤ 5 :‬ﻭ ‪0 ≤ β ≤ 5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪N = 1333α + 222β . . . (1) :‬‬‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪N = γ × 50 + γ × 51 + γ × 52 + 0 × 53 + β × 54 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪N = 625β + 31γ . . . (2) :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ 0 ≤ γ ≤ 4 :‬ﻭ ‪1 ≤ β ≤ 4‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ )‪1333α + 222β = 625β + 31γ : (2‬‬ ‫‪1333α − 403β = 31γ‬‬‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 31‬ﻨﺠﺩ ‪43α − 13β = γ :‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻭ ‪: γ‬‬ ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﺤﻠﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ α = 13k − 3γ‬ﻭ ‪β = 43k − 10γ‬‬‫‪ β = 43k‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α = 13k : γ = 0‬ﻭ‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α = 13k − 3 : γ = 1‬ﻭ ‪β = 43k − 10‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ‪. k‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α = 13k − 6 : γ = 2‬ﻭ ‪β = 43k − 20‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ‪. k‬‬ ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α = 13k − 9 : γ = 3‬ﻭ ‪β = 43k − 30‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ‪. k‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α = 13k − 12 : γ = 4‬ﻭ ‪β = 43k − 40‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ k = 1‬ﻓﻨﺠﺩ ‪ α = 1 :‬ﻭ ‪β = 3‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪N = 1333 × 1 + 222( 3) = N = 1999 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪13‬‬‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ‪( )5 x − 3 y = 7 : x ; y‬‬

‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 2;1‬ﺤل ﺨﺎﺹ ‪( ).‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 5 x − 3 y = 5 × 2 − 3 × 1 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪ 5x − 5 × 2 = 3 y − 3 × 1‬ﺇﺫﻥ ‪5( x − 2) = 3( y − 1) :‬‬ ‫‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 5 x − 2‬ﻭ ‪3‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 5‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ) (‬ ‫‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x − 2‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪x − 2 = 3α :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 3α + 2 :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪ α‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪5(3α) = 3( y − 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y − 1 = 5α :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪y = 5α + 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪ ( 3α + 2 ; 5α + 1) :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪α‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟـ ‪( ): PGCD x ; y‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ δ‬ﻫﻭ ‪ PGCD x ; y‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ δ :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x‬ﻭ ‪( )y‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 5x − 3y‬ﺇﺫﻥ ‪ δ :‬ﻴﻘﺴﻡ ‪7‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ δ‬ﻫﻲ ‪. 7 ، 1‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺒﺤﻴﺙ ‪δ = 7 :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x = 7 x′ :‬ﻭ ‪ y = 7 y′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ 5 x − 3 y = 7 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪5 × 7 x′ − 3 × 7 y′ = 7 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ 7(5 x′ − 3 y′) = 7 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪5 x′ − 3 y′ = 1 :‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 2;3‬ﺤل ﺨﺎﺹ ‪( ).‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪5 x′ − 3 y′ = 5 × 2 − 3 × 3 :‬‬ ‫‪5x′ − 5 × 2 = 3 y′ − 3 × 3‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪5( x′ − 2) = 3( y′ − 3) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 5 x′ − 2‬ﻭ ‪ 3‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 5‬ﻭﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﻏﻭﺹ) (‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ x′ − 2‬ﺇﺫﻥ ‪ x′ − 2 = 3k‬ﺃﻱ ‪k ∈ ] , x′ = 3k + 2‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 5×3k = 3( y′ − 3) :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ y′ − 3 = 5k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪y′ = 5k + 3 :‬‬

‫ﺇﺫﻥ ‪ x = 7( 3k + 2) :‬ﻭ )‪y = 7(5k + 3‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ x = 21k + 14 :‬ﻭ ‪ y = 35k + 21‬ﺤﻴﺙ ‪k ∈ ] :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪14‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺯﻭﺠﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻓﺭﺩﻱ ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻓﺭﺩﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎ ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﺯﻭﺠﻴﺎ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ﻓﺭﺩﻱ‬ ‫ﻭ ﺠﺩﺍﺅﻫﻤﺎ ﺯﻭﺠﻲ ‪.‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺎ ﻓﺭﺩﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﻤﺎ ﺯﻭﺠﻲ ﻭ ﺠﺩﺍﺅﻫﻤﺎ ﻓﺭﺩﻱ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪: 84‬‬ ‫‪ 84 = 22 × 3 × 7‬ﻭﻤﻨﻪ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 84‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 42 ، 28 ، 21 ، 14 ، 12 ، 7 ، 6 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ﺜﻡ ‪. 84‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪: y‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ x = δx′ :‬ﻭ ‪ y = δy′‬ﻤﻊ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬‫‪δ( x′ + y′) = 84‬‬ ‫‪µ = δx′y′‬‬‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪‬‬ ‫‪δ × x′y′ = δ2‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪( x ′ × y ′)( x ′ + y ′) = 84 :‬‬ ‫‪δ( x′ + y′) = 84‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x′y′ = δ‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x′ :‬ﻭ ‪ y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻥ ‪ x′ × y′‬ﻭ ‪ x′ + y′‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻤﻥ‬ ‫)‪. (1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. ( x′ × y′) × ( x′ + y′) = 84 :‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 1‬ﻭ ‪: x′ × y′ = 84‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ y ′, x ′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. t 2 − t + 84 = 0‬‬

‫‪ ∆ < 0‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 3‬ﻭ ‪ x′ × y′ = 28‬ﻨﺠﺩ ‪ y′, x′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪t 2 − 4t + 21 = 0‬‬ ‫‪ ∆′ < 0‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻭل ‪.‬‬‫* ‪ x′ + y′ = 7‬ﻭ ‪ x′ × y′ = 12‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x′‬ﻭ ‪ y′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪∆ = 1 ، t 2 − 7t + 12 = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ t1 = 3 :‬ﻭ ‪t2 = 4‬‬ ‫‪ x′ = 3‬ﻭ ‪ y′ = 4‬ﺃﻭ ‪ x′ = 4‬ﻭ ‪ y′ = 3‬ﻭ ‪δ = 12‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 36 :‬ﻭ ‪ y = 48‬ﺃﻭ ‪ x = 48‬ﻭ ‪. y = 36‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 12‬ﻭ ‪ x′ : x′ × y′ = 7‬ﻭ ‪ y′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪∆′ = 29 ، t 2 − 12t + 7 = 0‬‬ ‫‪ ∆′ = 29‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 21‬ﻭ ‪ x′ : x′y′ = 4‬ﻭ ‪ y′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪∆ = 425 ، t 2 − 21t + 4 = 0‬‬ ‫‪ ∆ = 425‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 28‬ﻭ ‪ x′ : x′y′ = 3‬ﻭ ‪ y′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪∆′ = 193 ، t 2 − 28t + 3 = 0‬‬ ‫‪ ∆ = 193‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫* ‪ x′ + y′ = 84‬ﻭ ‪ x′ : x′y′ = 1‬ﻭ ‪ y′‬ﺤﻠﻴﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪∆′ = 1763 ، t 2 − 84t + 1 = 0‬‬ ‫‪ ∆ = 1763‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﻠﻭل ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 36 :‬ﻭ ‪y = 48‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ x = 48‬ﻭ ‪. y = 36‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪15‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ 993‬ﻭ ‪ 170‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪993 = 170 × 5 + 143‬‬‫‪170 = 143 × 1 + 27‬‬‫‪143 = 27 × 5 + 8‬‬‫‪27 = 8 × 3 + 3‬‬‫‪8=3×2+2‬‬‫‪3=2×1+1‬‬‫‪2=1×1+0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪PGCD(993;170) = 1 :‬‬ ‫‪ (2‬ﺃ( ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺨﺎﺹ ‪:‬‬‫‪( ) y 0 = 6 − x0‬‬ ‫‪= 143‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪9x903+x0y−0‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪= 143‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪170y‬‬‫‪993x0 −170 6 − x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 11y603=x06=−1x1063 :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 1;5‬ﺤل ﺨﺎﺹ ‪( ).‬‬ ‫ﺏ( ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪993 x − 170 y = 993 × 1 − 170 × 5 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪993( x − 1) = 170( y − 5) :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 993‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ 170 y − 5‬ﻭ ‪ 993‬ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻊ ‪ 170‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 993‬ﻴﻘﺴﻡ ‪ y − 5‬ﻭﻋﻠﻴﻪ) (‬ ‫‪ y − 5 = 993k‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪y = 993k + 5‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 993( x − 1) = 170 × 993k :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪x − 1 = 170k :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪x = 170k + 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪ (170k + 1;993k + 5) :‬ﻤﻊ ] ∈ ‪. k‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: a‬‬‫]‪a ≡ 15[1986‬‬ ‫]‪ a − 1 ≡ 14[1986‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a − 1 ≡ 300[340] :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪a ≡ 301[340] :‬‬

‫‪a = 15 + 1986α‬‬ ‫‪a − 15 = 1986α‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ a − 301 = 340β :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a = 301 + 340β :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪15 + 1986α = 301 + 340β :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪1986α − 340β = 286 :‬‬‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻨﺠﺩ ‪993α − 170β = 143 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ )‪ α = 170k + 1 : (2‬ﻭ ‪β = 993k + 5‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a = 15 + 1986(170k + 1) :‬ﺃﻱ ‪a = 337620k + 2001 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻫﻲ ‪ 2001‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ k = 0‬ﺇﺫﻥ ‪. a = 2001‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻟﻠﺴﻁﻭﺡ ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻘﺎﻁﻊ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ‬ ‫‪ -4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺨﺭﻭﻁﻴﺔ‬ ‫‪ -5‬ﺘﻤﺜﻴل ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺠﺴﻡ ﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ -6‬ﺘﻤﺜﻴل ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺠﺴﻡ ﺯﺍﺌﺩﻱ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪– I‬ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – II‬ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ – III‬ﺍﻟﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O;i , j , k‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ s‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M x; y; z‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺤﻴﺙ ‪( ) ( )x 2 + z 2 = y 2 :‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )z = 1 :‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ s‬ﻭ ‪ p‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪( ) ( ) ( )C‬‬‫= )‪f (x‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪x2 + 1 :‬‬ ‫‪ C f‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪ A;i; j‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )( )A 0;0;1 :‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪ . C f‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﻨﺸﺎﺀ ‪( ) ( ). C‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ) ‪ : (C‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(C ) = ( s) ∩ ( p) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x2 + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫=‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬‫(‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪: f‬‬ ‫‪Df = ]−∞;+∞[ ، f ( x) = x2 + 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪f ′(x) = x‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f ′ x > 0 : x > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪ 0, +‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل) ( [ [‬ ‫‪ f ′ x < 0 : x < 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ) (‬ ‫@‪. @f;0‬‬

x −∞ 0 +∞ f ′(x) - + +∞ +∞ . f (x) 1 ( )lim f x x 1 + 1 1 = lim x2 x2 xx →+∞ = lim 1+ =1 x →+∞ x x →+∞  x2 + 1 − x   x2 + 1 + x     lim  f ( x) − x  = lim x2 + 1 + x x→+∞ x→+∞ = lim 1 = 0 x→+∞ x2 + 1 + x +∞ ‫ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ‬y = x ‫ﺇﺫﻥ‬( )lim f x −x 1 + 1 x = lim x2x →−∞ = −1 x →−∞ x  x2 + 1 + x   x2 + 1 − x     lim  f ( x) + x  = lim x2 + 1 − xx→−∞ x→−∞ = lim 1 = 0 x→−∞ x2 + 1 − x −∞ ‫ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ‬y = − x ‫ﺇﺫﻥ‬ : ‫ﺍﻟﺸﻜل‬

‫‪y‬‬ ‫)‪4 (Cf‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪(Cg‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪y2 = x2 + 1‬‬ ‫‪ y2 = x2 + 1‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( ):‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪z=1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫‪‬‬‫‪ y = − x2 + 1  y = x2 + 1‬‬‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭ‬‫‪‬‬ ‫‪z=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z=1‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ C‬ﻫﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻥ ‪ C f‬ﻭ ‪ C g‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( ) ( ):‬‬ ‫‪g( x) = − x2 + 1‬‬‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ C f :‬ﻭ ‪ Cg‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺍﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪( ) ( ) ( )A ; i‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( ) ( )(C ) = C f ∪ Cg :‬‬

‫)‪(D‬‬ ‫‪– I‬ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ‪:‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫) ‪ (C‬ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭ )‪( π‬‬ ‫ﻭ ‪ D‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻻ ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪( ) ( )π‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺘﻭﺍﺯﻱ ‪ D‬ﻭ ﺘﺴﺘﻨﺩ ﻋﻠﻰ ‪( ) ( )C‬‬ ‫ﺴﻁﺤﺎ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺎ ﺩﻟﻴﻠﻪ ‪ C‬ﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ) (‬ ‫ﻤﻭﻟﺩﺍﺘﻪ ﻤﻨﺤﻨﻰ ‪( ). C‬‬‫‪O’ M‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺤﻭﺭ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﻤﺭﻜﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭ ﻴﻌﺎﻤل‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺴﻁﺤﺎ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺎ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﻜل ﺴﻁﺢ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺩﻟﻴﻠﻪ ﻭ ﻤﻭﻟﺩﺍﺘﻪ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻫﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪.‬‬ ‫‪-‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O;i , j , k‬‬‫‪O‬‬ ‫‪ – 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻭ ‪( )O ; k‬‬ ‫’‪M‬‬ ‫‪ δ‬ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; k‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ) ( )α‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ M x; y; z :‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪( ) ( )M ′ x; y;o‬‬

‫ﻤﺴﻘﻁﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ O ; i , j‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ O′ 0 ; 0 , z‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪( )O ; k‬‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ‪ δ‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪( )O′M 2 = OM 2 = α2 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ O′M ( x; y;o) :‬ﺃﻱ ‪O′M 2 = x2 + y2 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x2 + y2 = α2 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; k‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ) (‬ ‫‪α‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; k‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 5‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ) ( ) (‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O;i , j , k‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪x2 + y2 = 25 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻭ ‪ O ; i‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ α‬ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪( ):‬‬ ‫‪y2 + z2 = α2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪. O;i , j , k‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ) (‬ ‫ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; i‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ). 1‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪. y2 + z2 = 1 :‬‬ ‫‪ – 3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻭ ‪( )O ; j‬‬ ‫ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ α‬ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ‬ ‫ﻫﻲ ‪x2 + z2 = α2 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬

‫ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ O ; j‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ‪ 2‬ﻓﻲ) (‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O;i , j , k‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪x2 + z2 = 4 :‬‬ ‫ﻤﻘﺎﻁﻊ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ δ‬ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ D‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ) ( )α‬‬ ‫ﻭ )‪ p‬ﻤﺴﺘﻭ( ﻴﻭﺍﺯﻱ )‪. ( D‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ D‬ﻭ ‪ p‬ﻫﻲ ‪( ) ( )d‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d > α‬ﻓﺈﻥ ‪ p :‬ﻻ ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪( ) ( ). δ‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d = α‬ﻓﺈﻥ ‪ p :‬ﻤﻤﺎﺱ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﻓﻲ ﺃﺤﺩ) ( ) (‬ ‫ﻤﻭﻟﺩﺍﺘﻬﺎ ∆ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ d < α‬ﻓﺈﻥ ‪ p :‬ﻴﻘﻁﻊ ‪ δ‬ﻭﻓﻕ ﻤﻭﻟﺩﻴﻥ ﻤﻥ) ( ) (‬ ‫ﻤﻭﻟﺩﺍﺘﻬﺎ ) ∆ ( ﻭ )‪. ( ∆′‬‬ ‫‪P PP‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫)‪ ( p‬ﻴﻘﻁﻊ )‪ p) (δ‬ﻴﻤﺱ( )‪ ( p) (δ‬ﻻ ﻴﻘﻁﻊ )‪(δ‬‬ ‫‪ δ (2‬ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪( ) ( )(D) D‬‬ ‫ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ α‬ﻭ ‪ p‬ﻤﺴﺘﻭ) (‬ ‫ﻴﻌﺎﻤﺩ )‪. ( D‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ p‬ﻴﻘﻁﻊ ‪ δ‬ﻭﻓﻕ ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪( ) ( )P‬‬ ‫ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ D‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪( ). α‬‬

‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ δ‬ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪ x2 + y2 = α2 :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O;i , j , k‬‬ ‫ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ z = λ : p‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪( ) ( ).‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪y2‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = λ : p‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫(‬ ‫)‪δ‬‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= α2 − λ2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=λ‬‬‫(‬ ‫‪δ‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ2 > α2 :‬ﻓﺈﻥ ‪( δ ) ∩ ( p) = ∅ :‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ 2 = α2 :‬ﻓﺈﻥ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﻫﻭ ﺃﺤﺩ) ( ) (‬ ‫ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ‪( ). δ‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ 2 < α2‬ﻓﺈﻥ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻲ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ) ( ) (‬‫ﻭﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪( ). δ‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ p‬ﻫﻲ ‪ x = λ :‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪+ y2‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=λ‬‬‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪= α2 −‬‬ ‫‪λ2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=λ‬‬ ‫‪‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ2 > α2‬ﻓﺈﻥ ‪( δ) ∩ ( p) = ∅ :‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ2 = α2‬ﻓﺈﻥ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭ ﻫﻭ ﺃﺤﺩ ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ‪( ) ( ) ( ). δ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ 2 < α2‬ﻓﺈﻥ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻲ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻫﻤﺎ ﻤﻥ ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪( ). δ‬‬ ‫‪ – II‬ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫‪ C‬ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ ω .‬ﻨﻘﻁﺔ ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ) (‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ .‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ‪ω‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻤل ‪ ω‬ﻭ ﺘﺴﺘﻨﺩ ﻋﻠﻰ ‪ C‬ﺴﻁﺤﺎ) (‬ ‫ﻤﺨﺭﻭﻁﻴﺎ ﺭﺃﺴﻪ ‪ ω‬ﻭ ﺩﻟﻴﻠﻪ ‪( )C‬‬ ‫ﻭ ﻜل ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ ω‬ﻭ ﻴﺴﺘﻨﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ C‬ﻫﻭ ﻤﻭﻟﺩ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ‪( )( C ) .‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻰ ﺴﻁﺤﺎ ﻤﺨﺭﻭﻁﻴﺎ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﻜل ﺴﻁﺢ ﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﺩﻟﻴﻠﻪ ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪( )C‬‬ ‫ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪ ω‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﻭﺭ ‪( ). C‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭ ﻫﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﻁﺢ ‪.‬‬‫‪ -‬ﻜل ﺍﻟﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ﺘﻌﻴﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺤﺎﺩﺓ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺔ ﻭ ﺘﺴﻤﻰ ﻜل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺭﺃﺱ ﻟﻠﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻤﻌﻴﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻡ ﺭﺃﺴﻪ ﻭ ﻤﺤﻭﺭﻩ‬ ‫ﻭ ﻗﻴﺱ ﻟﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O;i , j , k‬‬

‫‪(1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ‪ O‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪ θ‬ﻭﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ . O;k‬ﻟﺘﻜﻥ) (‬‫‪ M x; y; z‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ p 0;0;z‬ﻤﺴﻘﻁﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ‪( ) ( ) ( )O;k‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ) ‪k (0;0;1) ، OM ( x; y;z‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪OM .k = OM . k cos α :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪OM .k = z :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪OM . k .cos α = z :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x2 + y2 + z2 × 1× cos θ = z :‬‬‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺭﺒﻴﻊ ﻨﺠﺩ ‪( )x2 + y2 + z2 cos2 θ = z2 :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫=‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪cos2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬‫‪( )x 2 + y 2 + z 2 = z 2 1 + tan2 θ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x 2 + y 2 − z 2 tan2 θ = 0 :‬‬‫ﻭ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ O ; k‬ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪ O‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪ θ‬ﻭ ﻫﻲ) (‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪x 2 + y 2 − a 2z 2 = 0 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O;i , j , k‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺫﻱ) (‬‫‪( ). O ; k‬‬ ‫ﻭ ﻤﺤﻭﺭﻩ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ O‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ‬ ‫ﺭﺃﺴﻪ‬ ‫‪2‬‬‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2 tan2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x2 + y2 − z2 = 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ z2 = x2 + y2 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ‪.‬‬

‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪ O ; i‬ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪ 0‬ﻭ ﻨﺼﻑ) (‬ ‫ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪ : θ‬ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y2 + z2 − x2 tan2 θ = 0 :‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O ;i , j , k‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ) (‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ O;i‬ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪( )O‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪3‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪tan2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫) ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺭﺃﺱ ﻫﻲ ‪( 6‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﻠﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪ O ; j‬ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪( )O‬‬ ‫ﻭ ﻨﺼﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪ θ‬ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x2 + z2 − y2 tan2 θ = 0 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ . O;i , j , k‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ) (‬ ‫‪( )π‬‬ ‫‪O; j‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺤﻭﺭﻩ‬ ‫ﻭ ﺭﺃﺴﻪ ‪ O‬ﻭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﻫﻲ‪x 2 + z 2 − y 2 tan2 θ = 0 :‬‬‫‪. x2 + z2 − y2 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺨﺭﻭﻁﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O;i , j , k‬‬

‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ δ‬ﻗﻁﻊ ﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )x2 + y2 − a2z2 = 0 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ p . a ∈ * :‬ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ λ ∈ ، z = λ : p‬ﻓﺈﻥ ‪ p‬ﻴﻭﺍﺯﻱ) ( ) (‬‫‪ O; i , j‬ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻟـ‪ δ ∩ p :‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( ) ( ):‬‬‫‪x2 + y2 − a2λ2 = 0‬‬ ‫‪x2 + y2 − a2z2 = 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z=λ‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪x2 + y2 = 0 : λ = 0‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ ( x ; y;z) = (O;O;O) :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪(δ) ∩ ( p) = {O} :‬‬‫‪x 2 + y 2 = a 2λ2‬‬ ‫‪λ≠0‬‬‫‪ ‬ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪z =λ‬‬ ‫ﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪( ) ( ).‬‬‫‪ -2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ( )y = λ : p‬ﻓ ﺈن ‪ ( p ) :‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪( )O;i , k‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ δ ∩ p‬ﻴﻘﺒل ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a 2z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y =λ‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ = 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪( x − az )( x + az ) = 0 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ x − az = 0 :‬ﺃﻭ ‪x + az = 0‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ δ ∩ p‬ﻫﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪ x + az = 0  x − az = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫ﻭ ﻫﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ‪( ). δ‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ 0 :‬ﻓﺈﻥ ‪ x 2 − a 2z 2 = −λ 2‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪ O;i , k‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ δ ∩ p :‬ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ‪-3 .‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) ( ) ( ) (‬‫)‪ x = λ : ( p‬ﺃﻱ )‪ ( p‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪ O ; j , k‬ﻓﺈﻥ )‪ (δ) ∩ ( p‬ﺘﻘﺒل ﺘﻤﺜﻴﻼ) (‬ ‫‪ y2 − a2z2 = −λ2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=λ‬‬ ‫‪ y2 − a2z2 = 0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: λ = 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪( y − az)( y + az) = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪ y + az = 0  y − az = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺃﻭ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫ﻭ ﻫﻤﺎ ﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ δ ∩ p‬ﻫﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻭﻟﺩﺍﺕ ‪( ) ( ) ( )δ‬‬‫‪y2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a2z2‬‬ ‫=‬ ‫‪−λ2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ y2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫= ‪a2z2‬‬ ‫‪−λ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪λ z 0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻗﻁﻊ ﺯﺍﺌﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪( )O ; j , k‬‬

‫‪ – III‬ﺍﻟﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O ; i , j , k‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪z = x2 + y2 :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺠﺴﻡ ﻤﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫‪ p‬ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ Z‬ﻤﺠﺴﻡ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )z = x2 + y2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ z = λ‬ﻓﺈﻥ‪y 2 = λ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪=λ‬‬‫‪(p )∩(Z‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻫﻲ‪(:‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪)p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪{( p ) ∩ ( z ) = O } : λ = 0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪( p) ∩ ( z ) = ∅ : λ < 0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p ∩ z : λ > 0‬ﻫﻮ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ p‬ﻫﻲ ‪ y = λ :‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬

‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪= x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪λ‬‬‫) ‪ ( p) ∩ ( z‬ﻫﻮ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪Z‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪= y2 + λ2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=λ‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ) ( ) () (‬‫‪p‬‬ ‫∩‬ ‫‪z‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻫﻲ ‪x = λ :‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( p) ∩ ( z ) :‬ﻫﻮ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ – IV‬ﺍﻟﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩﻱ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ z = x. y :‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O ; i , j, k‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﻁﻊ ﻤﺠﺴﻡ ﺯﺍﺌﺩﻱ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O ; i , j , k‬‬ ‫‪ p‬ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺃﺤﺩﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‪( ).‬‬ ‫‪ H‬ﻤﺠﺴﻡ ﺯﺍﺌﺩﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( )z = x. y :‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ p‬ﻫﻲ ‪( )z = λ :‬‬ ‫‪(H‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫‪z = x.y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪z=λ‬‬

‫(∩)‪(H‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪x.‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ = 0‬ﻓﺈﻥ ‪ H ∩ p :‬ﻫﻭ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ λ ≠ 0‬ﻓﺈﻥ ‪ H ∩ p :‬ﻫﻮ ﻗﻄﻊ ﺯﺍﺋﺪ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ p‬ﻫﻲ ‪ y = λ :‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬‫(‬ ‫‪H‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪z = λx‬‬ ‫(‬ ‫‪H‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x.y = z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ H ∩ p :‬ﻫﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ 3‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ p‬ﻫﻲ ‪ x = λ :‬ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬‫‪(H‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫)‪p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪z = λy‬‬ ‫‪(H‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x .y = z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x =λ‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ H ∩ p :‬ﻫﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪( ) ( ).‬‬

‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺔ‪scientific workplace 3.0 :‬‬‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪z=x^2+y^2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻓﺘﺘﺤﻭل ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ‬‫‪ (2‬ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪z=x^2+y^2‬‬‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ ﻓﻨﺤﺼل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ‪:‬‬‫‪ (4‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺭ ﺍﻟﻤﺯﺩﻭﺝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ‬ ‫ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺇﻴﻘﻭﻨﺘﺎﻥ‬‫‪ (5‬ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﺎﻟﺘﺤﻜﻡ‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪...‬‬ ‫‪ (6‬ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﺘﺤﺭﻴﻙ‬‫ﺍﻟﺸﻜل ﻭﺭﺃﻴﺘﻪ ﻤﻥ ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻨﺸﺎﺀ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺩﻭﻥ ﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻟﻔﺄﺭﺓ ﻭ ﺘﺤﺭﻴﻜﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (7‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻋﻨﺩ ﺭﺅﻴﺘﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﻠﻰ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ OZ‬ﻴﻅﻬﺭ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫ﺿﻊ ﺍﻟﻌﻼﻣﺔ √ ﺃﻣﺎﻡ ﻛﻞ ﲨﻠﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻣﺔ × ﺃﻣﺎﻡ ﻛﻞ ﲨﻠﺔ ﺧﺎﻃﺌﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﻧﻴﺔ ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻣﻮﺍﺯﻳﺔ ﲤﺎﻣﺎ ﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﳉﻤﻠﺔ‬‫‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻫﻲ ﲤﺜﻴﻼ ﻻﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺩﻭﺭﺍﻧﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪z=1‬‬‫‪ -3‬ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻮ ﻗﺎﻃﻊ ﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﻭﻓﻖ ﺩﺍﺋﺮﺓ‪. . .‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﳌﺴﺎﻗﻂ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻂ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﻓﻖ ﻣﻨﺤﲎ ﻳﻮﺍﺯﻱ ﳏﻮﺭ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺗﺸﻜﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ‪. .‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 − y2 = 9‬ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﺳﻄﻮﺍﻧﺔ‬ ‫ﺩﻭﺭﺍﻧﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x − 4 x + 4 + z 2 = 9 :‬ﻫﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ) ( ) (‬ ‫ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺩﻭﺭﺍﻧﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪ -7‬ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﱐ ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬‫ﺘﺒﻌﺩ ﺒﻌﺩﺍ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﻋﻥ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺜﺎﺒﺕ ‪. .‬‬ ‫‪ -8‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 + y2 − 3z2 = 0 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫ﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪ -9‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 + y2 + 4z2 = 0 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫ﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ) (‬‫‪z2‬‬‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 + y2‬‬ ‫‪ -10‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪ -11‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x2 + y2 = 1 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺠﺴﻡ‬‫ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫‪ -12‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x .y = 5 :‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺠﺴﻡ‬

‫ﺯﺍﺌﺩﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪. .‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬‫ﺃﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺍﻟﱵ ﳏﻮﺭﻫﺎ ‪ O ; u‬ﻭ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ α‬ﰲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ‪( ):‬‬‫‪α = 5 ، u = j (2 ،‬‬ ‫‪α = 3 ، u = i (1‬‬ ‫=‪α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪u=k‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬‫‪ δ‬ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﳏﻮﺭﻫﺎ ‪ O ; i‬ﻭ ﺗﺸﻤﻞ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪( )( ) ( )ω −1 ; 0 ; 2‬‬‫‪ x = −1 + 2λ‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ) (‬‫‪ z = 2 − λ‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ). δ‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ δ‬ﻭ ∆) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A( −1 ; 2 ; 4‬ﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪u( −1 ; 0 ; 3‬‬‫‪ – 1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪( ) ( )O ; j‬‬ ‫ﻭ ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. A‬‬‫‪ -2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ π‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪ A‬ﻭ ‪ u‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ‪( ).‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ δ‬ﻭ ‪( ) ( ). π‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪5‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﳌﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ )‪ A( −2 ; 2 ; 1‬ﻭ )‪B ( 2 ; − 2 ; 3‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪ s‬ﺍﻟﺘﻲ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪[ ] ( )AB‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﱵ ﳏﻮﺭﻫﺎ ‪ o;k‬ﻭ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪( ) ( )5‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ s‬ﻭ ‪( ) ( ). δ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪6‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﳌﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪ R‬ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺃﺴﻪ ‪ 0‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪( ) ( )O ; u‬‬ ‫ﻭ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ u = i (1‬ﻭ )‪A( −2 ; 3 ; 1‬‬ ‫‪ u = j (2‬ﻭ )‪A(1 ; − 1 ; 1‬‬ ‫‪ u = k (3‬ﻭ )‪A(0 ; − 1 ; 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪7‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻣﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬‫‪ -1‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪ R‬ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺃﺴﻪ ‪ 0‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ O ; j‬ﻭ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ) ( ) (‬ ‫‪( )A 1 ; 1 ; 2‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; j‬ﻭ ﻨﺼﻑ) ( ) (‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 2‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ δ‬ﻭ ‪( ) ( ). R‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪8‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﳌﻨﺴﻮﺏ ﺇﱃ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪، C ( −1 ; 0 ; 1) ، B (0 ; 1 ; 1) ، A( −1 ; 1 ; 1‬‬ ‫)‪. D(2 ; 1 ; 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺃﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ‪( ). ABC‬‬‫‪ -2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ‪ R‬ﺍﻟﺫﻱ ﺭﺃﺴﻪ ‪ O‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ O ; k‬ﻭ) ( ) (‬ ‫ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪D‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ ABC‬ﻭ ‪( ) ( ). R‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪9‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O ; i , j , k‬‬ ‫‪ – 1‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪ s‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪( ) ( )A 0 ; 2 ; 0‬‬ ‫ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 1‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪( ) ( )O ; j‬‬ ‫ﻭ ﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻟﻜﺭﺓ ‪( )s‬‬‫‪ -3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ‪ R‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺤﻭﺭﻩ ‪ O ; j‬ﻭ ﻤﺤﻴﻁ ﺒﺎﻟﻜﺭﺓ ‪( ) ( ) ( ). s‬‬ ‫‪ – 4‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ δ‬ﻭ ‪( ) ( )R‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪10‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( ). O ; i , j , k‬‬‫‪π‬‬‫‪( ) ( ).‬‬‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ‬ ‫‪O;k‬‬ ‫ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺭﺃﺴﻪ ‪ 0‬ﻭﻤﺤﻭﺭﻩ‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ). R‬‬

‫‪ – 2‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ O ; k‬ﻭ ﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ) ( ) (‬ ‫)‪. A(3 ; 4 ; 5‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪ s‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪ 0‬ﻭ ﺘﺸﻤل ‪( ). A‬‬ ‫‪ -4‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ s‬ﻭ ‪( ) ( ). R‬‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬‫‪√ (4‬‬ ‫‪× (3‬‬ ‫‪× (2‬‬ ‫‪√ (1‬‬‫‪√ (8‬‬ ‫‪× (7‬‬ ‫‪√ (6‬‬ ‫‪× (5‬‬‫‪× (12‬‬ ‫‪× (11‬‬ ‫‪√ (10‬‬ ‫‪× (9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪:‬‬‫‪y2 + z2 = 9 : α = 3 ، u = i (1‬‬‫‪x2 + z2 = 5 : α = 5 ، u = j (2‬‬‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪u = k (35‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪: α=5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪3‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )y2 + z2 = α2 : δ‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ ω ∈ (δ‬ﻓﺈﻥ ‪(0)2 + ( 2)2 = α2 :‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ α2 = 4 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻫﻲ ‪y2 + z2 = 4 :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ∆ ﻭ ‪( ) ( ): δ‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪ y2 + z2 = 4‬‬ ‫‪ x‬‬‫‪λ2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ )2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻨﺠﺩ‬ ‫‪= −1 +‬‬ ‫‪2λ‬‬ ‫‪y=λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z = 2 − λ‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪λ2 + 4 − 4λ + λ2 = 4 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 2λ2 − 4λ = 0 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 2λ (λ − 2) = 0 :‬ﺇﻤﺎ ‪λ = 0 :‬‬ ‫ﺃﻭ ‪λ = 2 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‪( x ; y ; z ) = ( −1 ; 0 ; 2) :‬‬ ‫ﺃﻭ )‪( x ; y ; z) = (3 ; 2 ; 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪(δ) ∩ ( ∆ ) = {ω ; B} :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ ω( −1 ; 0 ; 2) :‬ﻭ )‪B ( 3 ; 2 ; 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪4‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ‪( )x2 + z2 = α2 : δ‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A∈ (δ) :‬ﻓﺈﻥ ‪( −1)2 + ( 4)2 = α2 :‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ α2 = 17 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ δ‬ﻫﻲ ‪( )x2 + z2 = 17 :‬‬‫‪ – 2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪( )− x + 0. y + 3z + c = 0 : π‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A ∈ π‬ﻓﺈﻥ ‪ 1  02  34  c ( )0 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 13 + c = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪C = −13 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ ( π‬ﻫﻲ ‪− x + 3z − 13 = 0 :‬‬‫‪(1) ...  x2 + z2 = 17‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻨﺤل‬ ‫)‪:(π‬‬ ‫)‪(δ‬ﻭ‬ ‫ﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬‫= ‪( 2) ...− x + 3z − 13‬‬ ‫ﻤﻥ )‪( 3) ...x = 3z − 13 : (2‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ )‪ (3‬ﻓﻲ )‪ (1‬ﻓﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪( 3z − 13)2 + z2 = 17‬‬