دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﺘﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ‪ 6‬ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ ‪:‬‬‫)‪( N;R;R);( R;N;N);(R;N;R);(R;R;N );(N;N;R);(N;R;N‬‬‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72 + 120‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫‪576‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪720‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ B‬ﻓﺘﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﺭﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪( ) ( )R; R; R ; N;N;N :‬‬ ‫= )‪p( A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪120 + 24‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪144‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪720‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ V‬ﻟﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ J‬ﻟﻜﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻫﻭ ‪ 83 :‬ﺃﻱ ‪. 512‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻗﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﺙ ‪ C‬ﻫﻲ ‪:‬‬‫)‪(V;V;J );(V;J;V);(J;V;V);(V;J;J);(J;J;V);(J;V;J‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻀﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﺙ ﻫﻭ ‪3.52 × 3 + 3.51.32 = 360 :‬‬ ‫)‪p(C‬‬ ‫=‬ ‫‪360‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪512‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻗﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﺙ ‪ D‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪( V; V; V ) , ( J;J; J‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﻭﻗﻭﻉ ‪ C‬ﻫﻭ ‪53 + 33 = 152 :‬‬ ‫= )‪p(C‬‬ ‫‪152‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪512‬‬

‫‪– 2‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8V‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪5V‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪J‬‬‫•‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪V‬‬‫‪33‬‬ ‫‪3J‬‬‫‪88‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪V‬‬

‫(‪p‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬‫)‪p( A‬‬ ‫=‬ ‫‪3.52 × 3 +‬‬ ‫‪3.5.32‬‬ ‫‪=531620‬‬ ‫‪83‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪152‬‬ ‫‪512‬‬

‫ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻌﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1 -‬ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺘﻭﻅﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -2 -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫‪ -.3 -‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﻪ‬‫‪ -4 -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﺎﺱ ﺘﻼﺅﻡ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ‬ ‫ﻭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ﺜﻡ ﺭﻓﺽ ﺃﻭ ﻗﺒﻭل ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫‪ .-5 -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ ،‬ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻪ ﻭ ﺤل ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﻟﺘﻭﻅﻴﻔﻪ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ - I‬ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻌﺔ ‪:‬‬ ‫‪ - II‬ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﻘﻁﻊ ‪:‬‬ ‫‪ - III‬ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭ ل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﻭﻡ ﻻﻋﺏ ﺒﺈﻟﻘﺎﺀ ﺤﺠﺭﻨﺭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻑ ﻤﺭﺓ ﺤﻴﺙ ﺃﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﺭﺍﺒﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻅﻬﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﺃﻭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪. 4‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺭﻤﻲ ﻫﻲ ‪ 1‬ﺃﻭ‪ ، 4‬ﻭ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺭﻤﻲ ﻫﻲ ‪ 2‬ﺃﻭ ‪ 3‬ﺃﻭ ‪ 5‬ﺃﻭ ‪.6‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪X‬‬ ‫‪ (2‬ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪X‬‬ ‫‪ (3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪ E X‬ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ V X‬ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ) ( ) (‬ ‫‪σ X‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪( ). X‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ : X‬ﻗﻴﻡ ‪ X‬ﻫﻲ‪0 ، 1 :‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ pX‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻓﻴﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪( )pX‬‬‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ‪ 1‬ﺃﻭ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪= 6 = 3 :‬‬ ‫‪42‬‬‫‪( )pX‬‬‫‪0‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻅﻬﺭ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6 ، 5 ، 3 ، 2 :‬ﻫﻭ ‪= 6 = 3 :‬‬‫ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪X‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﻟﻴﻙ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪pX‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ ( 2‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬

1 PX X ‫ﻗﻴﻢ‬ 1 2 3 1 3 0 : σ ( X ) ‫ ﻭ‬V ( X) ‫ ﻭ‬E ( X ) ‫( ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ‬4E ( X ) = 1 × 1 + 0× 2 = 1 3 3 3V ( X) =  1 − 1 2 × 1 +  0 − 1 2 × 2  3  3  3  3 = 4 + 2 = 6 27 27 27 2 V ( X) = 9 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ σ(X)= V(X) = 2 = 2 :‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ 9 3 . σ(X)= 2 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 3

‫‪ - I‬ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻌﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻗﻴﻤﻪ ‪ x1 , x2 , ..., xn :‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ pX‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪pX‬‬ ‫) ‪( x1‬‬ ‫=‬ ‫‪pX‬‬ ‫) ‪( x2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪...‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫) ‪( xn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻤﻨﺘﻅﻡ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫‪x1 x2 … xn‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪pX‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪nn…n‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪PX‬‬‫‪1‬‬‫‪n‬‬ ‫ﻗﻴﻢ ‪X‬‬‫‪x1 x2‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭﺓ ﻨﺭﺩ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 4‬ﻭ ﺒﻜل‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪. 3‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪3 ، 4 :‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬‫‪ 6‬ﺃﻱ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ ﻫﻭ ‪ 6‬ﺃﻱ ‪ 2‬ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﻫﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫(‬ ‫)‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪pX‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻭ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪1 PX‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪ – 2‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ p‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺤﻴﺙ ‪. 0 < p < 1 :‬ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻤﺨﺭﺠﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻬﻤﺎ ‪ p‬ﻭ ‪1 − p‬‬‫ﻋل ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺘﺴﻤﻰ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ . p‬ﻭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻴﺄﺨﺫ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻨﺠﺎﺡ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺭﺴﻭﺒﻬﺎ ﻭ ﻨﺴﻤﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‬‫‪ p‬ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ‪ pX‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ p‬ﻭ ﻴﻌﺭﻑ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪pX p 1 − p‬‬

‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪1 PX‬‬‫‪1-p‬‬‫‪p‬‬ ‫‪01‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﻭﺩ ﻤﺯﻴﻔﺔ ﺘﺤﻤل ‪ A‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﻭ ‪ B‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﻋﻨﺩ ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪p( B) = 0, 3 :‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ‪:‬‬ ‫ﻴﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﺠﻪ ‪ B‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 1‬ﻭ ﺒﺎﻟﻭﺠﻪ ‪ A‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 0‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ pX‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﻨﺴﻤﻰ ‪ X‬ﻭ ‪ . pX‬ﻤﺜل ‪ pX‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ p B = 0, 3 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ p A = 1 − 0, 3 :‬ﻷﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ B‬ﻭ ‪( ) ( )A‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪X‬‬ ‫ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ pX‬ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0, 3 0,7‬‬ ‫‪ : X‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ 0, 3‬ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ‬ ‫‪ : pX‬ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪0, 3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1 PX‬‬‫‪0,7‬‬‫‪0,3‬‬ ‫‪01‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ p‬ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬‫‪E ( X ) = 1. p + 0.(1 − p) = p‬‬‫)‪V(X) = p(1− p)2 + (1− p)(0 − p)2 = p(1− p‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪( )E X = 0, 3 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪V ( X) = 0, 3 × 0,7 = 0,21 :‬‬ ‫‪ – 3‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ‪:‬‬‫ﻨﻜﺭﺭ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ n, p‬ﻤﺭﺓ ‪ n ≥ 1‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ) (‬ ‫ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ‪.‬‬‫ﻴﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ pX‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺠﺎﺤﺎﺕ ﺨﻼل ‪ n‬ﺘﺠﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( )pX k = Cnk . pk . 1 − p n−k :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪k ∈{0 , 1 ,..., n} :‬‬‫ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﺘﻌﻁﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ E X = np :‬ﻭ) (‬‫)‪ V( X) = np(1 − p‬ﻭ )‪σ ( X ) = V( X‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﻭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ A‬ﻓﻲ ﻭﺠﻪ ﻭ ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ B‬ﻓﻲ ﻭﺠﻪ ‪.‬‬‫ﻨﻘﺫﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ 8‬ﻤﺭﺍﺕ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻭ ﻨﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ B‬ﻴﻜﺴﺏ ﺼﺎﺤﺒﻪ‪100 Da‬‬

‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺠﺎﺤﺎﺕ‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜﺴﺏ ‪. 500 Da‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ) ‪σ ( X ) ، V ( X) ، E ( X‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜﺴﺏ ‪ 500‬ﺩﺝ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ 5 : B‬ﻤﺭﺍﺕ ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺠﻬﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ . 0, 5‬ﺇﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﻟﻠﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 8‬ﻭ ‪0, 5‬‬‫‪pX (5) = C85 .(0,5)5 .( )0,5 8−5‬‬‫=‬ ‫(‬ ‫‪8‬‬ ‫!‪8‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5)5‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5)3‬‬ ‫!‪− 5)!.5‬‬‫‪= 56.0,00390625 = 0,21875‬‬ ‫‪pX (5) = 0,21875‬‬‫‪E ( X ) = n. p = 8.0,5 = 4‬‬‫‪V ( X) = np(1 − p) = 8 × 0,5(1 − 0,5) = 4 × 0,5 = 2‬‬‫‪σ ( X ) = V ( X) = 2  1,44‬‬

‫‪ - II‬ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﻘﻁﻊ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﻭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ }‪ xi , ni i∈{1,...,k‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ‪( ). n‬‬ ‫‪ p‬ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ﻗﺎﺒل ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ‪ ،‬ﻨﻘﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ‬‫‪ i ∈ 1,..., k‬ﻤﻊ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪ pi‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻴﻬﺎ} {‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪n!‬‬ ‫‪fi‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ‪xi‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪xi‬‬‫ﻭ) (‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪, ni‬‬ ‫}‪i∈{1,...,k‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺘﻌﻤل ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬‫‪{ }i ∈ 1,...,k‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪pi‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻭ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ }‪( )fi i∈{1,...,k‬‬ ‫ﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪( )pi i∈{1,...,k} :‬‬ ‫‪f1 − p1 2 +‬‬ ‫‪f2 − p2 2 + ... +‬‬ ‫‪fk − pk 2‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )d 2‬‬‫=‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻴﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻭ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﺘﺒﺔ ﺭﻓﺽ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫ﺃﺼﻐﺭ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ‪ .‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺘﺒﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﻴﻌﻁﻰ ﺃﻭ ﻴﻌﻴﻥ ﻭ ﻴﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻜﺴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﺎﺩﺓ ﺘﻌﻴﻥ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﻨﺤﺎﻜﻲ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ‪ n‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻨﺤﺴﺏ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ‬‫ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ‪ d 2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ‪ ،‬ﻟﻜﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺘﺘﺄﺜﺭ ﺒﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﻨﻘﻭﻡ‬

‫ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻤﺅﺸﺭ ‪ d 2‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺅﺸﺭ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺒﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‪،‬‬ ‫ﻟﻬﺫﺍ ﻨﻘﻭﻡ ﻋﻤﻠﻴﺎ ﺒﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﺩﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪N‬‬ ‫ﻭ ﻨﺤﺴﺏ ‪ d 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺘﺤﺼل ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ d 2‬ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ N‬ﻨﻠﺨﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺸﻴﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻜﻌﻴﻨﺔ ‪ L‬ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪ D9‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﺒﻭل ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‬ ‫‪d2‬‬ ‫≤‬ ‫‪L‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻤﺭﻓﻭﺽ ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‬ ‫‪d2‬‬ ‫>‬ ‫‪L‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺇﻥ ﺭﻓﺽ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ‪ p‬ﻭ ﻓﻕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﺤﻤل ﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﺫﻟﻙ ﺃﻨﻨﺎ ﻗﺭﺭﻨﺎ ﺍﻟﻘﺒﻭل‬‫ﻗﻴﻡ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪L‬‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﻤﻥ ﻗﻴﻡ‬ ‫‪90 0 0‬‬ ‫ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ d 2‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪L‬‬ ‫ﻟﻬﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩ ﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺃﻨﻨﺎ ﺭﻓﻀﻨﺎﻩ ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪10 0 0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻓﻲ ﻭﺠﻪ ﻭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻵﺨﺭ ﺼﺭﺡ ﺼﺎﺤﺏ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺒﺄﻥ‬ ‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻭﺭﺓ ‪ ،‬ﻏﻴﺭ ﺃﻥ ﺼﺩﻴﻘﻪ ﻤﺤﻤﺩ ﺃﺭﺍﺩ ﺃﻥ ﻴﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻤﺫﺝ ﺘﺼﺭﻴﺢ ﺼﺎﺤﺏ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ؟‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻗﺘﺭﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪p‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃﻟﻘﻰ ﻤﺤﻤﺩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪ 200‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺠﻪ‬ ‫‪104 96‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫ﻭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‬ ‫ﺒﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ‬ ‫ﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫(‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺍﻗﺘﺭﺡ ﻤﻘﻴﺎﺴﺎ ) ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ‪.‬‬‫‪ – 4‬ﺘﻤﺕ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻤﺎ ﻗﺎﻡ ﺒﻪ ﻤﺤﻤﺩ ‪ 1000‬ﻤﺭﺓ ﻭ ﺘﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ‪ d 2‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻲ ‪ d 2‬ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪. 1000‬‬

‫ﻭﺘﻡ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪0,25 0,65‬‬‫‪0,15 0,45‬‬ ‫‪0,95‬‬‫‪ -‬ﺍﻗﺘﺭﺡ ﺒﻌﺩ ﻗﺭﺍﺀﺘﻙ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻋﺘﺒﺔ ﺘﺴﻤﺢ ﻟﻙ ﺒﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ‬ ‫؟‬ ‫ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻤﺫﺝ ﺘﺼﺭﻴﺢ ﺼﺎﺤﺏ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪xi ∈{1 ; 2} :‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪xi‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻗﺘﺭﺍﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ : p‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪( ( ) )= ENT ALEA ∗ 2 + 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﻋﺩﺩﺍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﺒﻴﻥ ‪ 1‬ﻭ ‪. 6‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪:‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ‪ :‬ﻨﻘﺘﺭﺡ ﻤﻘﻴﺎﺴﺎ ﻨﺭﻤﺯ ﺒﻪ‬ ‫‪obs‬‬‫ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪2 1‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ‪104 96‬‬‫‪104‬‬ ‫‪96‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪fi‬‬‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫ﻨﻘﻴﺱ ﺒﻪ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ‪:‬‬ ‫‪f1 − p1 2 +‬‬ ‫‪f2 − p2 2‬‬‫‪( ) ( )d 2‬‬‫=‬ ‫‪obs‬‬‫‪d2‬‬ ‫=‬ ‫‪( 0, 96‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0, 5 ) 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪( 1, 04‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0, 5 ) 2‬‬ ‫‪obs‬‬‫‪d2‬‬ ‫=‬ ‫‪( 0, 46 )2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪( 0, 54 )2‬‬ ‫=‬ ‫‪0, 2116‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0, 2916‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪= 0,5032‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﺭﺃ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل ‪Q1 = 0, 25‬‬

‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪Q3 = 0, 56 :‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﻘﺭﺃ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻷﻭل ‪D1 = 0,15 :‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪D9 = 0, 95 :‬‬ ‫ﺍﻗﺘﺭﺍﺡ ﻋﺘﺒﺔ ﺘﺴﻤﺢ ﻟﻨﺎ ﺒﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪10 0 0‬‬ ‫ﻤﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﻴﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 90 0 0‬ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0, 95‬‬ ‫‪ 10 0 0‬ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0, 95‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻟﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ 10 0 0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪ .‬ﺃﻱ‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺒﻘﺩﺭ ﻜﺎﻑ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ‪.‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﻨﻘﺒل ﺃﻥ‬ ‫‪obs‬‬‫) ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻴﻌﺒﺭ ﺒﺎﻟﻔﻌل ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺃﻱ ﻤﺘﻼﺌﻡ ﻤﻌﻬﺎ ‪ ،‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ‬‫ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻔﺔ ﻭ ﺘﺼﺭﻴﺢ ﺼﺎﺤﺒﻬﺎ ﺼﺤﻴﺢ ﺃﻭ ﻨﺭﻓﺽ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻭ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺠﺎﺯﻓﻨﺎ ‪( 10 0 0‬‬ ‫‪.‬‬‫‪p‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪< 0,96‬‬ ‫ﻓﻬﻭ ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪= 0,5032‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﻤﺘﻼﺌﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ‪ ،‬ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻭ ﻤﻘﺒﻭل ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺭﻓﻀﻪ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺠﺎﺯﻓﻨﺎ ﺒﺎﺭﺘﻜﺎﺏ ﺨﻁﺄ ﻤﺠﺎﺯﻓﺔ‬ ‫ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪. 10 0 0‬‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ ﻭ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺍﻟﻤﺄﺨﻭﺫﺓ ﻫﻨﺎﻙ ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻭﺭﺓ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺘﺼﺭﻴﺢ ﺼﺎﺤﺒﻬﺎ ﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬

‫‪ - III‬ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺒل ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻌﺩ ‪ ،‬ﻓﻬﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ‬‫ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻨﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻜﺄﺩﻟﺔ ‪،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻊ ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺴﻤﻲ‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ \" ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ \"‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \" ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل \" ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ α ; β‬ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻵﺘﻴﺔ] [‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ f (1‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]α ; β‬‬ ‫‪ f ( x ) ≥ 0 (2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ] ‪[α ; β‬‬ ‫‪β‬‬‫‪ ) f x dx = 1 (3‬ﺃﻱ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﺤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ) ( ∫‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ f‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪x = α :‬‬ ‫ﻭ ‪ x = β‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪. ( 1‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻜﺎﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪[ [α ; +‬‬‫‪x‬‬‫‪∫ ( )lim‬‬‫‪f‬‬‫‪t‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻴﻜﺘﺏ ‪dt = 1 :‬‬‫∞‪x →+‬‬‫‪α‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 3 x2 : f‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 1‬ﻫﻲ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 1‬ﻷﻥ] [ ] [‬ ‫‪ f :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]0 ; 1‬‬‫‪ f ( x ) ≥ 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ]‪[0 ; 1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪3 x2dx‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍ ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ \ ‪.‬ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ . I‬ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ pX‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻴﻘﺒل ‪ f‬ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻟﻪ‬ ‫‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻤﻥ \ ﻭ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪[ ]: I‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪pX ([a ; b]) = ∫ f ( x)dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪y= f(x‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ‪[ ]: 0 ; 1‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﻭ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ].‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺒل ‪ f‬ﻜﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ ،‬ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪. [0 ; 1‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ ،‬ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ X‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻴﻘﺒل ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻪ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ α ; β‬ﻤﻥ \ ‪ .‬ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪ E X‬ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ V X‬ﻭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ] [ ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪ σ X‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻜﺎﻵﺘﻲ ‪( ):‬‬ ‫‪pβ‬‬ ‫‪V( X) = ∫ ( x − E ( X ))2 f ( x)dx ، E ( X ) = ∫ xf ( x)dx‬‬ ‫‪αα‬‬

‫)‪σ ( X ) = V(X‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻜﺎﻟﻤﺠﺎل ∞‪ α ; +‬ﻤﺜﻼ ﻓﺈﻥ ‪[ [:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫∫‬ ‫‪tf‬‬ ‫‪(t‬‬ ‫)‬ ‫‪dt‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪))2‬‬ ‫)‪V(X‬‬ ‫=‬ ‫‪∫ (lim t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪E‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(t )dt‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪α‬‬‫ﻭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻋﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻓﺎﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻟﺘﺴﻬﻴل ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪X2‬‬‫‪( )V(X) = E‬‬‫‪−‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫‪)  2‬‬ ‫=‬ ‫‪β‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x)dx‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫‪)  2‬‬ ‫∫‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ – 5‬ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﻲ ‪:‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪ 0 ; +‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) [ [f x = λ .e−λ x :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ λ :‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ،‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪[ [0 ; +‬‬ ‫‪ f ( x) > 0‬ﻋﻠﻰ [∞ ‪[0 ; +‬‬‫‪∫ ∫( )x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪λ e − λ t dt‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪e−λx‬‬‫‪00‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∫ ( )lim f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪lim 1 −‬‬ ‫‪e−λx‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x→+∞ 0‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬

‫ﻴﺴﻤﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻪ ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫[∞ ‪[0 ; +‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ ، f x = λe−λ x :‬ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪( )λ‬‬ ‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪:11‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ F‬ﻓﻲ ﻭﺠﻪ ﻭﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ P‬ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻵﺨﺭ ‪ .‬ﻴﻘﻭﻡ ﻻﻋﺏ ﺒﺈﻟﻘﺎﺀ‬‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪ 10‬ﻤﺭﺍﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ .‬ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺭﺍﺒﺤﺎ ‪ 100‬ﺩﻴﻨﺎﺭﻜﻠﻤﺎ ﻅﻬﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ . F‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ‪ . F‬ﺇﻥ ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ‪ x‬ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ‪p‬‬ ‫ﻤﺜل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ‪px‬‬ ‫‪Sine qua non‬‬ ‫‪ 10‬ﻭ‪. 0, 5‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -2‬ﻨﻌﻁﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 10‬ﻟﻠﻭﺴﻴﻁ ‪n‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0,5‬ﻟﻠﻭﺴﻴﻁ ‪p‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ‪OK‬ﻓﻴﻅﻬﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0,0009765625‬‬ ‫‪0,3‬‬ ‫‪0,009765625‬‬ ‫‪0,25‬‬ ‫‪0,043945313‬‬ ‫‪0,1171875‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪0,20507813‬‬ ‫‪0,24609375‬‬ ‫‪0,15‬‬ ‫‪0,20507813‬‬ ‫‪0,1171875‬‬ ‫‪0,1‬‬ ‫‪0,043945313‬‬ ‫‪0,05‬‬ ‫‪0,009765625‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0,0009765625‬‬‫‪-2 -1‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x‬‬‫‪-0,05‬‬ ‫‪Loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,5‬‬ ‫‪Ρ(Χ ≈ 0) ≈ 0,0009765625‬‬ ‫‪-0,1‬‬ ‫‪Espérance = 5‬‬ ‫‪Écart type = 1,58113883008419‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ – 1‬ﻴﻘﻭﻡ ﻻﻋﺏ ﺒﺈﻟﻘﺎﺀ ﺤﺠﺭ ﻨﺭﺩ ‪ ،‬ﻭ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﺭﺍﺒﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭ ﻟﻠﻨﺭﺩ ﻫﻭ ‪. 6‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ ﻫﻲ ‪ 6‬ﻭ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺫﻟﻙ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪X‬‬ ‫‪ – 2‬ﻴﻘﻭﻡ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﺒﺈﻟﻘﺎﺀ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ Y‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ‪.‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﺒﺢ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻼﻋﺏ ‪.‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟـ ‪. Y‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﺜل ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫ﺕ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. Y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﻴﻘﻭﻡ ﻻﻋﺏ ﺒﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ‪ 8‬ﻤﺭﺍﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ 50‬ﺩﻴﻨﺎﺭﺍ ﻋﻥ ﻜل ﺭﻤﻴﺔ‬ ‫ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻭﺠﻪ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺼل ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻋﻠﻰ ‪ 100‬ﺩﻴﻨﺎﺭ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺼل ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻋﻠﻰ ‪ 300‬ﺩﻴﻨﺎﺭ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫‪ – 4‬ﻤﺜل ﺒﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻷﻋﻤﺩﺓ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. X‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺠﻤﻊ ﺍﻗﺘﺼﺎﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺓ ﻤﺤﻼﺕ ﺫﺍﺕ ﻁﺎﺒﻊ ﺘﺠﺎﺭﻱ ﻤﻥ ﺒﻴﻨﻬﻡ ﻤﻜﺘﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻭﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 10‬ﺯﻭﺍﺭ ﻟﻠﻤﺠﻤﻊ ﻫﻨﺎﻙ ﺸﺨﺹ ﻭﺍﺤﺩ ﻴﺯﻭﺭﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻷﻴﺎﻡ ﺇﻗﺒﺎل ‪ 100‬ﺸﺨﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻠﺯﻭﺍﺭ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻴﺯﻭﺭﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻤﺒﺩﺌﻪ ‪ 0‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻘﻔﺯ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺒﻭﺤﺩﺓ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ) ﺃﻱ ﺘﻘﻔﺯ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 1‬ﺃﻭ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ) ‪ ( -1‬ﻭ‬

‫ﻫﻜﺫﺍ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻗﻔﺯﺕ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﺼﺎﺭﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪2‬‬ ‫‪ .‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻘﻔﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻫﻭ ‪( )0 < p < 1 p‬‬ ‫ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻘﻔﺯ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪1 − p‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻜل ﻗﻔﺯﺓ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻥ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻭ ﺃﻥ ‪ M‬ﺘﻘﻔﺯ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ‬ ‫ﺒﻴﻥ ‪ n‬ﻗﻔﺯﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﺠﺯﺓ ﻤﻥ ﻗﺒل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. M‬‬‫‪ -3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻌﻭﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺓ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺃﻱ ﺍﻟﻘﻔﺯﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪.n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻭﻋﺎﺀ ﻋﻠﻰ ‪ 10‬ﻜﺭﺍﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ‪ 5‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ‪ ،‬ﻨﺴﺤﺏ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ‪.‬‬ ‫ﻨﻜﺭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻌﻴﺩ ﺍﻟﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻜل ﺴﺤﺏ ‪.‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﺤﺒﺎﺕ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ 4‬ﻤﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﻭﻥ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻟﻭﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺁﻟﺔ ﻹﻨﺘﺎﺝ ﻗﻁﻊ ﺍﻟﻐﻴﺎﺭ ﺘﻨﺘﺞ ‪ % 10‬ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪ ،‬ﺘﻡ ﺇﻨﺘﺎﺝ ‪ 10‬ﻗﻁﻊ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻵﻟﺔ ‪ .‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻵﻟﺔ ﺘﻨﺘﺞ ﻋﺩﺩﺍ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ﻗﻁﻊ ﺍﻟﻐﻴﺎﺭ ﻓﺈﻥ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﻗﻁﻊ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺘﻪ‬ ‫ﺒﺴﺤﺏ ‪ 10‬ﻗﻁﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻤﻊ ﺍﻹﻋﺎﺩﺓ ﻗﺒل ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻷﺤﺩﺍﺙ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻁﻌﺘﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺘﻴﻥ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻁﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜل ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺤﺼﺹ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﻓﻲ ﺩﺭﺱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺴﺄل ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻋﻥ ﺤﺠﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻤﺯﻭﺭﺍ ﺃﻡ ﻻ ﻓﺄﺠﺎﺏ ﻜل ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺒﺄﻨﻪ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻭﺭ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﻟﻠﻨﺭﺩ ‪.‬‬

‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻤﺫﺝ ﺇﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻗﺘﺭﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪. p‬‬‫‪ – 3‬ﻗﺎﻡ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺒﺈﻟﻘﺎﺀ ﺤﺠﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 500‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺃﺴﻔﻠﻪ ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻭﺠﻪ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70 100 90‬‬‫ﻭ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫( ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺍﻗﺘﺭﺡ ﻤﻘﻴﺎﺴﺎ ) ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ؟‬‫‪ -4‬ﺘﻤﺕ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻤﺎ ﻗﺎﻡ ﺒﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ 1000‬ﻤﺭﺓ ﻭ ﺘﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ‪ d 2‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪. 1000‬‬ ‫‪ -5‬ﻭ ﺇﻟﻴﻙ ﻤﻠﺨﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻭ ﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ‪.‬‬‫‪y‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5 6543211‬‬‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x‬‬

‫‪y‬‬‫‪3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x‬‬ ‫‪D1 Q1 Med‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫‪D9‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﻥ ﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﻥ ﻤﻀﺭﻭﺒﺔ ﻓﻲ ‪. 1000‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻗﺘﺭﺡ ﺒﻌﺩ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ) ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ‪،‬ﻭﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ (‬ ‫ﻋﺘﺒﺔ ﺘﺴﻤﺢ ﻟﻙ ﺒﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪ %10‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪( ) [ ]f‬‬‫‪x‬‬‫‪3‬‬‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪0;1‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 ; 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺇﻥ ﺘﺭﻜﻴﺯ ﻤﺤﻠﻭل ﻜﻴﻤﻴﺎﺌﻲ ﻓﻲ ﻤﺤﻠﻭل ﺤﻤﻀﻲ ﻴﺘﺭﺍﻭﺡ ﺒﻴﻥ‬ ‫‪ 0 mg / L‬ﻭ ‪.1 mg / L‬‬‫ﺍﻟﺠﻬﺎﺯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻴﺱ ﺘﺭﻜﻴﺯ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ﻏﻴﺭ ﻤﻀﺒﻭﻁ ﻓﻬﻭ ﻴﻌﻁﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪. 1‬‬‫ﺘﻤﺕ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﻋﻁﺎﻫﺎ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﻬﺎﺯ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0 ; 1‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺠﻬﺎﺯ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪0, 2mg / L‬‬ ‫ﻭ ‪. 0,6mg / L‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ‪ X‬ﺇﻟﻰ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﻨﻀﻊ ‪[ ]:‬‬‫‪ ، y = 6 X + 2‬ﻭ ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ‪ y‬ﻫﻭ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻋﺭﻑ ﻋﻠﻴﻪ ‪ X‬ﻭ ﻤﺭﻓﻕ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪p‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ ‪[ ]y‬‬

‫‪ – 2‬ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ y‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ . a ; b‬ﻋﻴﻥ ﻫﺫﻩ] [‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃﺤﺴﺏ ‪( )[ ]py 3 ; 4‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﺤﺴﺏ ) ‪ E (Y‬ﻭ )‪V ( Y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ‪ f‬ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ X‬ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪[1 ; 2‬‬‫‪ α ، f‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪( ).‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ Lnx‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ‪α :‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ E ( X ) :‬ﻭ )‪V ( X‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬‫ﻗﺎﻡ ﻜﻤﻴﺎﺌﻲ ﺒﻘﻴﺎﺱ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺘﻔﺎﻋل ﻜﻴﻤﻴﺎﺌﻲ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭ ﻜﺎﻟﻭﺭﻱ ‪ ، Kcal‬ﺜﻡ ﻟﺨﺹ‬ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺜﻡ ﻨﻤﺫﺝ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ 0 ; 1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪[ ]:‬‬‫‪‬‬ ‫‪f (t) =αt‬‬ ‫;‬ ‫‪t‬‬ ‫∈‬ ‫;‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪;1‬‬‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫;‬ ‫‪t‬‬ ‫∈‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ t ،‬ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﻋل‬ ‫ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 0,1Kcal :‬ﻭ ‪. 0,6Kcal‬‬‫‪ – 3‬ﻋﻴﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻔﺎﻋل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬

‫ﻨﺴﻤﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻤﻥ \ ﻜل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜﺜﺎﻓﺘﻪ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ] [‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪= b − a :‬‬ ‫‪[ ]( )f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a;b‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻤﺨﺘﺎﺭ ﺒﻌﻨﺎﻴﺔ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﻤﺤﻁﺔ ﻨﻘل ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭﻴﻥ ﺘﻘﻠﻊ ﺤﺎﻓﻠﺔ ﻟﻨﻘل ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭﻴﻥ ﻟﻭﻻﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻜل ‪ 140‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ‪ .‬ﻴﺼل ﺃﺤﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭﻴﻥ ﺼﺩﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻋﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻨﺘﻅﺎﺭ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ﻟﻜﻲ ﺘﻘﻠﻊ ﺃﻭل ﺤﺎﻓﻠﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﻻﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﺼﺩﻫﺎ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻋﻴﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻨﺘﻅﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﺇﻗﻼﻉ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻓﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻅﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﻓﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺘﺘﻌﺩﻯ ‪ 50‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫ﺘﻤﺕ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺩﺓ ﺼﻼﺤﻴﺔ ﺤﺎﺴﻭﺏ ﺒﺎﻷﺸﻬﺭ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺃﺴﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‬ ‫‪. 0,01‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺩﺓ ﺼﻼﺤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ‬ ‫‪ 50‬ﺸﻬﺭﺍ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺩﺓ ﺼﻼﺤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ‬ ‫‪ 50‬ﺸﻬﺭﺍ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫ﻜﻴﺱ ﺒﻪ ‪ 50‬ﻜﺭﻴﺔ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪. 50‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻜﺭﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ .‬ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻼﻋﺒﻴﻥ ﻴﺭﺒﺢ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﻜﻠﻤﺎ ﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. 5‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺒﺢ ﻭ ﺍﻟﺨﺴﺎﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻭﺴﻴﻁ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﺤﺴﺏ ) ‪σ ( X ) ، V ( X) ، E ( X‬‬‫ﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪B‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﺼﻨﻌﺕ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﻭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺤﻴﺙ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻭﺠﻬﻴﻥ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪A‬‬ ‫‪.‬‬

‫ﻴﻘﺫﻑ ﺃﺤﺩ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻓﻲ ﺤﺼﺔ ﺃﻋﻤﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻤﺭﺓ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ 0, 5‬ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻠﻤﺎ ﻅﻬﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪. A‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺠﺎﺤﺎﺕ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﺨﻼل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺤﺼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻨﻘﻁ ﺨﻼل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺤﺼل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻠﻰ ‪ 10‬ﻨﻘﻁ ﺨﻼل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬‫ﺘﻡ ﺍﺴﺘﺠﻭﺍﺏ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 10‬ﺃﺸﺨﺎﺹ ﻓﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭ ﺸﺨﺹ ﻤﺨﺘﺎﺭ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﻤﻨﺘﻭﺝ ﺸﺭﻜﺔ ﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺍﻟﺤﻭﺍﺴﻴﺏ‬‫ﻫﻭ ‪ 0, 6‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭﻭﻥ ﺤﻭﺍﺴﻴﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻡ‬ ‫ﺍﺴﺘﺠﻭﺍﺒﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل }‪k ∈{0 , 1 , 2 ,...,10‬‬ ‫ﺍﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ pk = p X = k‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪( )k‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﺨﺘﺎﺭ ‪ 3‬ﺃﺸﺨﺎﺹ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺤﻭﺍﺴﻴﺏ ﻟﺩﻯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﺭﺽ ﻓﻲ ﻤﻜﺘﺒﺔ ﻋﻤﻭﻤﻴﺔ ﺨﻼل ﺃﺴﺒﻭﻉ ‪:‬‬‫ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﺕ)‪(1‬‬ ‫ﺍﻷﺤﺩ)‪(2‬‬ ‫ﺍﻻﺜﻨﻴﻥ)‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺜﺎﺀ)‪(4‬‬ ‫ﺍﻷﺭﺒﻌﺎﺀ)‪(5‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ‬ ‫‪220‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪190‬‬ ‫‪180‬‬‫ﻴﺭﻴﺩ ﻤﺩﻴﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﺃﻥ ﻴﻌﺭﻑ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻗﺭﺽ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻤﺴﺘﻘﻼ ﻋﻥ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻘﺭﺽ ﻓﻴﻪ ﺨﻼل ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ‪.‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻘﺘﺭﺤﻪ ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﺘﺭﺤﻬﺎ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻭ ﻓﻕ ‪. p‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﻌﻴﺎﺭ ﻤﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ‪ d 2‬ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ‪ p‬ﻭ ﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻓﻲ ‪ 1000‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻭ ﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺫﺍﺕ ‪1000‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﺒﻌﺩ ﺤﺴﺎﺏ ‪ d 2‬ﻓﻲ ﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‬

‫ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪ d 2‬ﻫﻭ ‪ D9 = 0, 003‬ﻓﻬل ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻹﻗﺒﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﻭﻱ ﺍﻹﺸﻌﺎﻋﻲ‪ ،‬ﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﺴﻲ‬ ‫ﻭ ﺴﻴﻁﻪ ‪(λ > 0) λ‬‬ ‫ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻤﺕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻨﻭﻴﺔ ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻌﻴﺵ‬ ‫ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 100‬ﺴﻨﺔ ﻫﻭ ‪. 0, 048‬‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ λ‬ﻟﻠﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﺘﻨﺸﻁﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ﻓﻲ ﺃﻗل ﻤﻥ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻴﺘﻡ ﺍﻹﻨﺸﻁﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ‪ 180‬ﺴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻹﻨﺸﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻭﺍﺓ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭ ل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻤﺨﺭﺠﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\" A‬ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪\"6‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\" B‬ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺃﺤﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪\" 5،4،3،2،1‬‬‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪B‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(‪p‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‬ ‫ﻭﻴﻨﺘﺞ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪xi 1 0‬‬ ‫) ‪pX ( xi‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪ – 2‬ﺃ ( ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﺒﺢ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﺨﻼل ﺍﻟﺭﻤﻴﺎﺕ ﻫﻭ ‪ 0‬ﺃﻭ‬ ‫‪ 1‬ﺃﻭ ‪ 2‬ﺃﻭ ‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟـ‪ Y :‬ﻫﻲ ‪0،1،2،3 :‬‬ ‫ﺏ( ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﺒﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪p′‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

1 ‫ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ‬ 2‫ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ‬ 3‫ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺭﻤﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﺒﺢ ﻓﻴﻬﺎ‬ p1 ‫ﺍﻟﻼﻋﺏ‬ 1 3 p p′ 1 p 0 2 1 2 p p′ 0 1 0 1 2 p′ 0 1 p′ p p 1 1 0 1 p′ p′ p 0 0 p′ 0 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬py (0) = p 0 × p ′× p ′× p′ = p 0 × p ′3 =  1 0 ×  5 3 = 125  6   6  216 py (1) = 3. p. p′2 = 3 1 1 ×  5 2 = 75 6   6  216 py (2) = 3. p2 . p′ = 3 1 2 × 5 = 15 6  6 216

‫‪p‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪p‬‬ ‫‪3.p‬‬ ‫‪′0‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪216‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫‪yi 0 1 2 3‬‬‫) ‪py ( yi‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ‪:‬‬ ‫‪( )py‬‬‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫‪.q n− k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪py‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫=‬ ‫‪C30‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3−0‬‬ ‫=‬ ‫‪125‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪py‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3−1‬‬ ‫=‬ ‫‪75‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪py‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫=‬ ‫‪C32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3−2‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪py‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪C33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3−3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪216‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻟﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺨﺭﺠﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﻫﻤﺎ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺃﻭ ﺍﻟﻅﻬﺭ ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﺃﻤﺎﻡ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪p = 0,5 :‬‬ ‫‪( )p X‬‬‫‪k‬‬ ‫‪=C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8−k‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫)‬ ‫‪=C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪ – 1‬ﻟﻜﻲ ﻴﺘﺤﺼل ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻋﻠﻰ ‪ 100‬ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪k = 2 :‬‬

pX (2) =C 2 1 8 = 28 × 1 = 28 8  2  256 256 pX ( 2)  0,1094k = 6 : ‫ ﻤﺭﺍﺕ ﻭ ﻤﻨﻪ‬6 ‫ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ‬600 ‫ – ﻟﻜﻲ ﻴﺘﺤﺼل ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻋﻠﻰ‬2 pX (6) =C 6  1 6 . 1 8−6 8  2  2  pX (6) =C 6  1 8 = 28 8  2  256 pX (6)  0,1094 : X ‫ – ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ‬3  1  8 1  1  8 8  2  256  2  256pX ( 0 ) = C 0 = ، pX (1) = C 1 = 8 8pX (2) =C 2 1 8 = 28 ، pX (3) =C 3  1 8 = 56 8  2  256 8  2  256  1  8 70  1 8 56  2  256  2  256pX ( 4 ) = C 4 = ، pX ( 5 ) = C 5 = 8 8  1  8 28  1  8 8  2  256  2  256pX ( 6 ) = C 6 = ، pX ( 7 ) = C 7 = 8 8 pX (8) =C 8  1 8 = 1 8  2  256

‫‪k0 1 3 2 4 5 6 78‬‬‫‪pX‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪28 56 70 56 28‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪0,004 256 256 256 256 256 256 256 256‬‬‫‪( k ) 0,031 0,109 0,219 0,273 0,129 0,109 0,031 0,004‬‬ ‫‪ – 4‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺄﻋﻤﺩﺓ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪: X‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫‪ -‬ﻴﻤﻜﻥ ﺭﺒﻁ ﺯﻴﺎﺭﺓ ﻜل ﺸﺨﺹ ﻟﻠﻤﺠﻤﻊ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ) ﻓﻬﻭ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﺯﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻤﺜل‬ ‫ﻤﺨﺭﺝ ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻻ ﻴﺯﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻤﺜل ﻤﺨﺭﺝ ﺍﻟﻔﺸل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬‫‪ -‬ﺒﻤﺎ ﺃﻨﻪ ﻟﻭﺤﻅ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 10‬ﺯﻭﺍﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻡ ﻴﺯﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻫﻭ ‪p‬‬ ‫ﺃﻱ ‪p = 0,1 :‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬‫‪ -‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ‪ 0,1‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻔﺸل ﻓﻴﻬﺎ ) ﻋﺩﻡ ﺯﻴﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ( ﻫﻭ‬ ‫‪ 1 − p‬ﺃﻱ ‪0,9 :‬‬‫‪ -‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻭﺍﺭ ﻭﺼل ‪ 100‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺭﺒﻁ ﺫﻟﻙ ﺒﺘﻜﺭﺍﺭ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪: p‬‬ ‫‪ 100‬ﻤﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪.‬‬‫‪ -‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺯﻭﺍﺭ ‪ ،‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 100‬ﺯﺍﺌﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺴﻴﺯﻭﺭﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻜﺘﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪100‬‬ ‫ﻭ ‪0,1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻴﻨﺘﺞ ‪:‬‬‫}‪k ∈{0 ; 1 ; ...;100‬‬ ‫‪ p X‬ﻤﻊ) ( ) (‬ ‫‪C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪.P‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪100−k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1− P‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪0, 9 100−k :‬‬ ‫‪ p X‬ﻤﻊ ‪( ) ( ) ( ):‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0,1‬‬ ‫}‪k ∈{0 ; 1 ; ...;100‬‬‫ﻭ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻴﻡ ‪ k‬ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻨﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻠﺨﺼﻬﺎ ﺒﻌﺩ ﺤﺴﺎﺒﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬ ‫ﺍﻵﺘﻲ‪:‬‬‫‪k0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ... 100‬‬‫‪pX ( k ) (0, )9 100 100(0,1)1(0,9)99 4950(0,1)2(0,9)98 ... ( )0,1 100‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪:‬‬‫ﻜل ﻗﻔﺯﺓ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺘﻤﺜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺫﺍﺕ ﻤﺨﺭﺠﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻘﻔﺯ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻔﺯ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﺤﻴﻨﻤﺎ ﺘﻘﻔﺯ ‪ M‬ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 0‬ﺤﻴﻨﻤﺎ ﺘﻘﻔﺯ ‪ M‬ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ‪ ،‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ p‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻭﺴﻴﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ n‬ﻗﻔﺯﺓ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﺃﻱ ‪:‬‬‫; ‪k ∈{0‬‬ ‫;‪1‬‬ ‫}‪...;n‬‬ ‫ﻤﻊ‬ ‫‪pX‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪pk‬‬ ‫‪.(1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪)p n−k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﺠﺯﺓ ﻤﻥ ﻗﺒل ‪ : M‬ﻭ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪ .‬ﺤﻴﺙ ‪( )E X = np :‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻌﻭﺩ ‪ M‬ﺇﻟﻰ ‪: 0‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﺍﻟﻜﻠﻰ ﻫﻭ ‪ n‬ﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻫﻭ ‪ . X‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻔﺯﺍﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ‬ ‫‪n− X‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ X‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﻓﺎﺼﻠﺔ ‪ M‬ﺒﻌﺩ ﻗﻔﺯﺓ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ y = X − n − X :‬ﺇﺫﻥ ‪( )Y 2X  n :‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻫﻭ ‪( )py 0 :‬‬‫‪ p y‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ ‪( ) ( ).‬‬‫‪0‬‬‫=‬‫‪pX‬‬‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪n‬‬‫‪ p y‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﺯﻭﺠﻲ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.p‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− p‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪2 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪( )py‬‬‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪pX‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺭﺩﻱ ﻓﺈﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ 4‬ﻤﺭﺍﺕ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻋﺎﺀ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻫﻭ ‪ p1‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺤﺼل ﻓﻴﻬﺎ ﻋل ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﻭﻴﺘﻴﻥ‪ .‬ﺒﻤﺎ‬ ‫ﺃﻨﻨﺎ ﻨﻜﺭﺭ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ X‬ﻫﻲ ‪. 5,4, 3, 2,1,0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪p1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1− p1 1‬‬ ‫‪( )( )p X1‬‬‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪pX1‬‬ ‫(‬ ‫)‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1620‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16807‬‬ ‫‪pX1 (4)  0,096‬‬ ‫‪ – 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﻭﻥ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻋﺎﺀ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﻭﻥ ﻫﻭ ‪ p2‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪p1‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪45 + 10‬‬ ‫=‬ ‫‪55‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X 2‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺤﺼل ﺒﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻟﻠﻭﻥ ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X 2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪5,4, 3, 2,1,0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X 2‬ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪p2‬‬ ‫‪( ) ( )p X 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− p2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻟﻭﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ﻋﻨﺩ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻋﺎﺀ ﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻟﻭﻨﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ﻫﻭ ‪ p3‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪10 × 5‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X 3‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺤﺼل ﺒﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻟﻭﻨﻴﻥ‬‫ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ ‪ .‬ﺒﻤﺎ ﺃﻨﻨﺎ ﻜﺭﺭﻨﺎ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ X3‬ﻫﻲ‪5,4, 3, 2,1,0 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ X 3‬ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 5‬ﻭ ‪p3‬‬ ‫‪( ) ( )p X 3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.p‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1− p3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪10.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pX3‬‬ ‫(‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1210000‬‬ ‫‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪296‬‬ ‫‪4084101‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺼﻲ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺤﺼل ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻗﻁﻊ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻗﻴﻡ ‪ X‬ﻫﻲ ‪ 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪( ) ( )p X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪.p‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪10−k‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1− p‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ %10‬ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻓﺈﻥ ‪ %90‬ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ‬ ‫ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪p = 0,1 :‬‬ ‫‪p = 0,9‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪90‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻁﻌﺘﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺘﻴﻥ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪=C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪9)8‬‬ ‫‪. ( 0,1) 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪pX ( 2) = 45 × (0,9)8 × (0,1)2 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪px ( 2)  0,194 :‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻁﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪:‬‬

‫)‪pX ( X ≥ 9) = pX ( X = 9) + pX ( X = 10‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪9)9‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪0,1)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪)9 10‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪0,1)0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪= 10(0,9)9 × (0,1)1 + (0,9)10‬‬ ‫‪ 0,736‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻏﻴﺭ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪=C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. ( 0,1)10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪pX (0) = (0,1)10‬‬ ‫‪pX (0) = 1010‬‬ ‫‪ ( 4‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜل ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺼﺎﻟﺤﺔ ﻟﻼﺴﺘﻌﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪0, 9 10‬‬ ‫‪× (0,1)0‬‬ ‫‪( 0, 9 )10‬‬ ‫‪pX‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫‪=C‬‬ ‫‪( )10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪0, 349‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪pX (10) = (0,9)10‬‬ ‫‪pX (10)  0,349‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻤﺫﺝ‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻭﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﻜل ﻭﺠﻪ ﻫﻭ‬ ‫‪6‬‬‫}‪k ∈{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬ ‫‪ p‬ﺤﻴﺙ ‪( ):‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=k‬‬ ‫ﺇﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻫﻭ ‪= 6‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﻗﺘﺭﺍﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪p‬‬‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ = ENT ALEA ( )∗ 6+1‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻰ ﻋﺩﺩﺍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﺒﻴﻥ ‪ 1‬ﻭ ‪( )6‬‬

‫‪ -3‬ﺇﻗﺘﺭﺍﺡ ﻤﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻭﺠﻪ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪80 90 70 70 100 90‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪f i‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬‫‪d2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪abc‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬‫‪= (0,16 − 0,166)2 + (0,18 − 0,166)2 + 2(0,14 − 0,166)2‬‬ ‫‪+ (0,2 − 0,166)2 + (0,18 − 0,166)2‬‬‫‪= 36.10−6 + 196.10−6 + 1352.10−6 + 1156.10−6 + 196.10−6‬‬ ‫‪= 2936.10−6‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪= 0,002936‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪ -4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ‪ 1000‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻟﻘﻴﻡ ‪ d 2‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ‬‫[‪[ 0; 0, 001‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫‪5%‬‬‫[‪[0,001 ; 0,002‬‬ ‫‪30%‬‬‫[‪[0,002 ; 0,003‬‬ ‫‪25%‬‬‫[‪[ 0, 003; 0, 004‬‬ ‫‪10%‬‬‫[‪[ 0, 004; 0, 005‬‬ ‫‪8%‬‬‫[‪[ 0, 005; 0, 006‬‬ ‫‪6%‬‬‫[‪[ 0, 006; 0, 007‬‬ ‫‪5%‬‬‫[‪[ 0, 007; 0, 008‬‬ ‫‪4%‬‬‫[‪[ 0, 008; 0, 009‬‬ ‫‪3%‬‬‫[‪[ 0, 009; 0, 010‬‬ ‫‪2%‬‬‫[‪[ 0, 010; 0, 011‬‬ ‫‪1%‬‬‫[‪[ 0, 011; 0, 012‬‬ ‫‪1%‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) D1 = 0, 0011 :‬ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻷﻭل (‬ ‫‪ ) Q1 = 0,0016‬ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ﺍﻷﻭل(‬ ‫‪ ) Q3 = 0, 0046‬ﺍﻟﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ (‬ ‫‪ ) D9 = 0, 007‬ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ (‬ ‫‪ ) MED = 0,0026‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ (‬‫ﺇﻗﺘﺭﺍﺡ ﻋﺘﺒﺔ ﺘﺴﻤﺢ ﻟﻨﺎ ﺒﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪10%‬‬ ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻴﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 90%‬ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪( )D9 = 0,007 D9‬‬ ‫‪ 10%‬ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ‪ d 2‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪D9‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻟﺭﻓﺽ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﺒﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﺒﺎﻟﺨﻁﺄ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬

‫‪ 10%‬ﻫﻲ ‪. D9‬‬‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻑ‬ ‫ﺒﻘﺩﺭ‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺃﻱ ﻨﻘﺒل ﺃﻥ‬ ‫‪obs‬‬‫) ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ p‬ﻴﻌﺒﺭ ﺒﺎﻟﻔﻌل ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺃﻱ ﻤﺘﻼﺌﻡ ﻤﻌﻬﺎ ‪ ,‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺤﺠﺭ‬‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻴﻑ ﻭ ﺇﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ .‬ﺃﻭ ﻨﺭﻓﺽ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻭ ﻨﻜﻭﻥ ﺒﺫﻟﻙ ﻗﺩ ﺠﺎﺯﻓﻨﺎ ‪( 10%‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪< 0,007‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪= 0,002936‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪obs‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫<‬ ‫‪D9‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪obs‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻲ ‪ p‬ﻤﺘﻼﺌﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻭ ﻤﻘﺒﻭل ‪.‬‬‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺭﻓﻀﻪ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺠﺎﺯﻓﻨﺎ ﺒﺎﺭﺘﻜﺎﺏ ﺨﻁﺄ ﻤﺠﺎﺯﻓﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪. 10%‬‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ( ﺃﻥ ﺤﺠﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻴﺭ‬ ‫)‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻫﻨﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺄﺨﻭﺫﺓ‬ ‫ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ‬ ‫‪d2‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‬ ‫‪obs‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺯﻭﺭ ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺇﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ -1 :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ \ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫]‪[0 ; 1‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ 0 ; 1‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]:‬‬‫‪ f‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل) (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪[0 ; 1‬‬‫‪∫ ∫1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪0  4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪0‬‬‫‪f‬‬ ‫‪( x)dx‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺤﻘﻕ ﺸﺭﻭﻁ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. 0;1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻤﺕ ﺒﻭﺍﺴﻁﺘﻪ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻨﻅﻡ ﻋﻠﻰ ‪ 0;1‬ﻭ ﺒﻤﺎ] [‬ ‫ﺃﻥ ‪[0,2 ; 0,6] ⊂ [0;1] :‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪:‬‬ ‫‪0,6‬‬ ‫‪]x 0,6‬‬‫= ]‪( ) ∫px [0,2;0,6‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪1dx‬‬ ‫=‬ ‫[‬ ‫=‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ ‪[ ]: y‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 0 ≤ x ≤ 1 :‬ﺃﻱ‪ 0 ≤ 6 x ≤ 6 :‬ﺃﻱ‪2 ≤ 6 x + 2 ≤ 8 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ ‪ y‬ﻫﻭ ‪[ ]. 2 ; 8‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪y‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ y‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻓﺈﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ f y = α‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ y‬ﻤﻥ ‪ 2 ; 8‬ﻤﻊ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ) ( ] [‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ \ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪[ ]. 2 ; 8‬‬‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 2 ; 8‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﺤﺩ ‪ α‬ﻤﻭﺠﺏ ﺃﻱ ‪[ ]α ∈ \ +‬‬ ‫‪.‬‬‫‪8‬‬ ‫‪88‬‬‫‪2‬‬‫‪[ ] ∫ ∫ ( )α y‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪αdy = 1 :‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f y dy = 1 :‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ α‬ﻭ ﻫﻭ ﻤﻭﺠﺏ ‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪6α‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻫﻲ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ – 3‬ﺤﺴﺏ ‪( )[ ]py 3 ; 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪py ([3 ; 4]) = ∫ f ( y) dy :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( ) ∫py‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪[3 ; 4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪( )py‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪[3 ; 4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪= 6 :‬‬ ‫‪ – 4‬ﺤﺴﺎﺏ )‪ E ( y‬ﻭ )‪: V ( y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪yf ( y)dy‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y2 8 64 4 60‬‬‫= )‪∫ ∫E ( y‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ydy‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪E ( y) = 5 :‬‬‫‪V‬‬ ‫(‬ ‫)‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪y ) dy‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2dy‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(5)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫∫‬ ‫‪y ) ‬‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ y3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪83‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪504‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪28‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪V ( y) = 3 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪: α‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺤﻘﻕ ﺸﺭﻭﻁ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪. X‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∞ ‪ 0 ; +‬ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ[ ]‬

[ ]1 ; 2 ‫ﺩﻭﺍل ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ [ ]. α > 0 ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬1 ; 2 ‫ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬- x2 > 0 ‫ ﻭ‬x > 0 ‫ ﻭ‬Lnx > 0 : ‫ﻷﻥ‬ 2 1 Lnx 2 1 x x2 f x dx = 1 : ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬- 1 ∫ ∫ ( )α + dx =1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 2 1 2 Lnx x 1 x2 ... α 1 ∫ ∫( )1 dx + α dx = 1 : ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ∫α 2 1 dx = α [ Lnx ]2 = α Ln2 : ‫ﺤﻴﺙ‬ 1 x 1 ∫2 Lnx dx : ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ x2 1 ∫ ∫2Lnx dx = 2 1 Lnxdx : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x2 1 x2 1 : ‫ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‬2 g′ ( x ) .h( x ) dx =  g ( x ) h( x )  2 − 2 h′ ( x ) g ( x ) dx 1∫ ∫11 g ( x ) = − 1 : ‫ﻨﺠﺩ‬ g′( x) = 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ x x2 1 h( x) = Lnx :‫ﻨﺠﺩ‬ h′( x) = x : ‫ﻭﺒﻭﻀﻊ‬ 1∫ ∫2 1 2 2 1 x2 − x  1 x2 1 Lnx 1 Lnxdx = − − dx : ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ =  − 1 Lnx 2 −  1 2  x 1  x 1

= − 1 Lnx − 1 2 x x 1 =  − 1 Ln2 − 1  − ( 0 − 1) = − 1 Ln2 + 1  2 2  2 2 α Ln2 + α  − 1 Ln2 + 1  = 1 : ‫( ﺘﻜﺎﻓﺊ‬1) ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  2 2  α  1 + 1 Ln2  = 1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 1 α Ln2 + 1 α = 1 :‫ﺃﻱ‬  2 2  2 2 α = 2 : ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ α= 1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ Ln2 1 + 1 + 1 n2 2 2 : V (Y ) ‫ ﻭ‬E (Y ) ‫ – ﺤﺴﺎﺏ‬2E ( x) = 2 xf ( x ) dx = α 2 x + xLnxdx ∫ ∫ 1 1 ∫= α 2  1 + 1 Lnx dx 1  x= α  + ( L nx )2 2 = α  + (Ln2)2  − α  + (Ln1)2  x  2  1   2 1  2   2  = α  + ( Ln 2)2 −  2 1  2  E ( x ) = α  1 + ( Ln2)2    2

E ( x ) = 2 ×  1 + ( Ln2)2  = 2 +( Ln2)2 Ln2   1 + 2 1+ Ln2V ( X) = 2 x2 f ( x ) dx −  E ( X ) 2 ∫ 1V ( X) = α 2 ( x + Lnx ) dx −  E ( X ) 2 ∫ 1 = α 2 xdx + α 2 Lnxdx −  E ( X ) 2 ∫ ∫ 11 ∫2 xdx =  x2 2 = (2)2 − (1)2 = 3 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  2  2 1  1 2 2 2 ∫ Lnxdx : ‫ﻨﺤﺴﺏ ﺒﺎﻟﺘﺠﺯﺌﺔ‬ 12 g′( x).h( x)dx =  g ( x).h( x )  2 − 2 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 1∫ ∫ h′( x) g( x)dx11 g ( x ) = x ‫ ﻨﺠﺩ‬g′( x ) = 1 : ‫ﺒﻭﻀﻊ‬ h′( x) = 1 ‫ﻨﺠﺩ‬ h( x) = Lnx : ‫ﻭﺒﻭﻀﻊ‬ x 22 ]2 ∫ Lnxdx = [ xLnx 1 − ∫ 1.dx : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ 11 = [ xLnx − ]x 2 = ( 2Ln2 − 2) − (1Ln1 − 1) 1 = 2Ln2 − 1 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬

 2 ( Ln2) 2  2   V(X) 3 α α ( 2Ln2 1) + 2 = + − − (1 + Ln2)2 2 + ( Ln2 ) 2  2 (1 +  V ( X) = 1 α + 2α Ln2 − 2 Ln2)2 2 + ( Ln2 )2  2 (1 +  V ( X) = 1 + 4Ln2 − 1 + Ln2 1 + Ln2 Ln2)2 1 Ln2 ( 4Ln2)(1 + Ln2) 2 ( Ln2)2  2 (1 + Ln2)2  V ( X) + + − + =V ( X) = 1 + Ln2 + 4Ln2 + 4( Ln2)2 − 4 − 4( Ln2)2 − ( Ln2)4 (1 + Ln2)2 V(X) = −3 + 5Ln2 − ( Ln2)4 (1 + Ln2)2 . 12‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ . ‫ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬f ‫ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ‬α ‫ – ﺘﻌﻴﻴﻥ‬1 1 ; 1 ‫ﻭ‬ 0 ; 1 ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ f ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬  2 2  1 : 2 ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻨﺩ‬ 1 lim f (t) = limα (1 − t) = 2 α > 1 > 1 t 2 t 2 → →

‫‪( ) ( )lim f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪limα t‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫→‬‫‪[ ].‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0;1‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ α‬ﻤﻭﺠﺒﺎ] [‬‫‪1‬‬‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬‫‪ ∫ f ( t ) dt = 1‬ﻭ ﻫﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt = 1 :‬‬‫‪01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪∫ α .dt + ∫ (α − αt )dt = 1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪α t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ α‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪α‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬‫‪ – 2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﻋل ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ‪ 0,1kcal‬ﻭ‬ ‫‪ 0,6kcal‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪0,6 0,5 0,6‬‬‫‪pX ([0,1;0,6]) = ∫ f (t )dt = ∫ f (t ) + ∫ f (t )dt‬‬ ‫‪0,1 0,1 0,5‬‬ ‫‪0,5 0,6‬‬‫‪pX ([0,1;0,6]) = ∫ 4tdt + ∫ (4 − 4t )dt‬‬ ‫‪0 0,5‬‬ ‫‪= 2t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫=‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪5)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪6)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪0, 5 ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 0,5 + 2,4 − 0,72 − 2 + 0,5 = 0,65‬‬‫‪ – 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻔﺎﻋل ‪ ،‬ﻭ ﻫﻭ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪( ): E X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 21‬‬‫‪E ( X ) = ∫ t. f (t )dt = ∫ t. f (t )dt + ∫ t. f (t )dt‬‬ ‫‪0 01‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬‫‪E ( X ) = ∫ 4.t2dt + ∫ (4t − 4t2 ) dt‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫‪X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫‪ – 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ X‬ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻁﻲ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻨﺘﻅﺎﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ﻟﻜﻲ ﺘﺴﺘﻘﺒل ﺃﻭل ﺤﺎﻓﻠﺔ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ X‬ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭ ‪ ،‬ﻭ ﻗﻴﻤﻪ ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 140‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ α‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]0 ; 140‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻫﻲ‬ ‫‪140 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(t‬‬ ‫‪140‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪ 140‬‬ ‫‪= f (t )dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬‫‪( ) ∫ ∫pX‬‬ ‫]‪[0 ; α‬‬ ‫=‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪pX‬‬ ‫‪([0‬‬ ‫;‬ ‫‪α‬‬ ‫)]‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪ – 2‬ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻨﺘﻅﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﺇﻗﻼﻉ ﺍﻟﺤﺎﻓﻠﺔ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ‪( )E X :‬‬‫(‬‫‪∫ ∫E‬‬‫‪X‬‬‫)‬ ‫=‬ ‫‪140‬‬ ‫‪t.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪140‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tdt‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪280‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪E(X‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪(140)2‬‬ ‫=‬ ‫‪(140)2‬‬ ‫=‬ ‫‪140‬‬ ‫=‬ ‫‪70Min‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪280‬‬ ‫‪140 × 2‬‬ ‫‪ – 3‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻅﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺭ ﻓﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺘﺘﻌﺩﻯ ‪ 50‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻫﻭ‬ ‫)]‪pX ([50 ; 140‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪140 1 dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪50 140‬‬ ‫‪ 140‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫‪50‬‬‫‪( ) ∫ ∫[ ] ( )pX‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪50 ; 140‬‬ ‫‪t dt‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪140‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪90‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪( )pX‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪= 14 :‬‬ ‫]‪[50 ; 140‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬‫‪ – 1‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻤﺕ ﺒﻭﺍﺴﻁﺘﻪ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺼﻼﺤﻴﺔ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﻲ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺩﺓ ﺍﻟﺼﻼﺤﻴﺔ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪ 50‬ﺸﻬﺭﺍ ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪([ ])pX 0 ; 50 :‬‬ ‫‪50 50‬‬‫‪( ) ∫ ∫pX [0 ; 50] = f ( t ) dt = 0,01.e−0,01dt‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪−e −0,01t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫‪−e −0,01×50‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪e −0,01×0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 1 − 0,6  0,4‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺩﺓ ﺼﻼﺤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ ﺃﻜﺒﺭ ‪ 50‬ﺸﻬﺭﺍ ‪.‬‬

‫‪x‬‬‫‪([ [) ∫pX‬‬‫∞ ‪50 ; +‬‬ ‫‪= lim 0,01e−0,01tdt‬‬ ‫‪x→+∞ 50‬‬‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ − e −0 ,01t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−0,01‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪e−0,5 ‬‬ ‫‪50‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪= e−0,5 = 0,606‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﻟﺒﺭﻨﻭﻟﻲ ﻷﻨﻪ ﻓﻴﻬﺎ ﺭﺒﺢ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺔ ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 5‬ﻭﺨﺴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﻴﺔ ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻟﻴﺱ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. 5‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺭﺒﺢ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10‬ﻜﺭﻴﺎﺕ ﺘﺤﻤل ﺃﺭﻗﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 5‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ‪ 50‬ﻜﺭﻴﺔ‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪= 0,2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺨﺴﺎﺭﺓ ‪1 − p = 1 − 0, 2 = 0,8 :‬‬ ‫‪ ( 3‬ﻭﺴﻴﻁ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻫﻭ ‪0, 2‬‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪ (4‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫) ‪pX ( Xi‬‬ ‫‪0,2 0,8‬‬ ‫‪E ( X ) = 1× 0,2 = 0,2‬‬ ‫‪V ( X) = 0,2 × 0,8 = 1,6‬‬‫‪ σ X = V ( X) = 1,6‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ) ( ‪σ ( X )  1,26 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﻓﺈﻥ ‪ p A = p B = 0,5 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺘﺘﺒﻊ) ( ) (‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺤﺩ ﻟﻠﻭﺴﻴﻁﻴﻥ ‪ 0, 5 :‬ﻭ ‪. 20‬‬