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دروس مادة الرياضيات للفصل الاول جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

Published by DZteacher, 2015-08-23 15:49:42

Description: دروس مادة الرياضيات للفصل الاول جذع اداب و فلسفة سنة اولى ثانوي

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‫ﻤﺤﺘﻭﻴﺎﺕ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬‫• ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﻭ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ )ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪(N‬‬ ‫• ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫• ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﺍﺕ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ )‪(1‬‬ ‫• ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‬ ‫• ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪(1) R‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪(2) R‬‬ ‫• ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪R‬‬ ‫• ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫• ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺠﻤل ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻨﻁﻕ )‪(2‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋـﺎﺕ ﺍﻷﻋـﺩﺍﺩ ﺍﻟـﻤﺨـﺘﻠﻔـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻜﻡ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ N‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ‪ Z‬ﺇﻭ ﺇﻟﻰ ‪ D‬ﺃﻭ ﺇﻟﻰ ‪ Q‬ﺃﻭ‬ ‫ﺇﻟﻰ‪.R‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻓﻲ ‪ D‬ﻭﻓﻲ ‪Q‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫• ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﻭﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫• ‪.‬ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻟﺘﻨﻅﻴﻡ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻓﻲ ‪ D‬ﺃﻭ ﻓﻲ ‪Q‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪:‬‬ ‫• ‪ N‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺃﻱ‪:‬‬ ‫}‪N = {0, 1,2,….‬‬ ‫• ‪Z‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺃﻱ‪:‬‬ ‫}‪Z = {…,-2,-1,0,1,2,...‬‬‫‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺃﻱ ‪ D‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫‪a∈Z‬ﻭ‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪q‬‬ ‫•‬ ‫‪10 n‬‬‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ Q‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ ﺃﻱ ‪ Q‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ a∈Z‬ﻭ‪b∈N‬‬ ‫‪ R‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬

‫• ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﻭﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻹﺤﺘﻭﺍﻴﺎﺕ‪N ⊂ Z ⊂ D⊂Q⊂ R :‬‬‫‪ .2‬ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻋﻠﻰ \"ﺸﻜل ﻜﺴﺭﻱ\" ﺃﻭ ﻋﻠﻰ \"ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ\" ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﺩﺩ ﻤﻨﺘﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‪.‬‬‫‪73‬‬ ‫=‬ ‫‪146‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪73‬‬ ‫=‬ ‫‪2 × 73‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻷﻥ‬ ‫‪73‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫‪5‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2×5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻫﻭ ‪14.6‬‬ ‫‪73‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪= 4.666‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻋﺸﺭﻴﺎ ﻷﻥ‪.....‬‬ ‫‪44‬‬ ‫ﺒﻴﻨﻤﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ‪ Q‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﻤﺎﺀ‬

‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻟﺘﻨﻅﻴﻡ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻓﻲ ‪ D‬ﺃﻭ ﻓﻲ ‪: Q‬‬ ‫ﺇﻨﺘﺒﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ (x – y‬ﺘﻌﻨﻲ )‪ x‬ﻨﺎﻗﺹ‪ (y‬ﻭﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ (x : y‬ﺘﻌﻨﻲ )‪ x‬ﺘﻘﺴﻴﻡ‪(y‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪D, C, B, A :‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪[(0.7‬‬ ‫)‪+1‬‬ ‫)‪−(2−3.8)]×(0.5−3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪1 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1+‬‬‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫÷‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪: A‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻤﺎﺕ ﺜﻡ ﻨﺠﻤﻊ ﻭﻟﻜﻥ ﻫﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﻓﻀل ﺃﻥ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻫﻲ‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‬ ‫‪ A = 0.4 – 0.75 + 7 – 0.5‬ﺇﺫﻥ ‪A = 6.15‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪: B‬‬ ‫ﻫﻨﺎ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻜﻠﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﺇﺫﻥ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻤﺎﺕ ﺜﻡ ﻨﺠﻤﻊ‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪1×7×5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3×3×5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2×3×7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5×3×7‬‬ ‫‪3×7×5‬‬ ‫‪7×3×5‬‬ ‫‪5×3×7‬‬ ‫‪5×3×7‬‬ ‫=‬ ‫‪35 −‬‬ ‫‪45 − 42‬‬ ‫‪+ 105‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪53‬‬ ‫‪105‬‬

‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ : C‬ﺍﻷﻭﻟﻭﻴﺔ ﻹﻨﺠﺎﺯ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺩﺍﺨل ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ‬ ‫)‪C =[(1.7)−(−1.8)]×(−2.5‬‬ ‫)‪= (1.7+1.8)(−2.5‬‬ ‫)‪C = (3.5)x(− 2.5‬‬ ‫‪C = −8.75‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪: D‬‬ ‫ﻨﻅﺭﺍ ﻟﻁﻭل ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‪ ,‬ﻨﺠﺯﺀ ﺍﻟﻌﻤل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D1‬ﻭ‬ ‫ﻓﻨﺤﺴﺏ‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪D2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ D1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ‪D‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪: D1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫ﻭ ) ‪D 1 = 1 − (− 2‬‬ ‫‪D1 = 3‬‬ ‫• ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪: D2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 −‬ﻭ‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪1+‬‬

‫‪D2‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪D‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪D‬‬ ‫×‪= 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ D‬ﻤﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺘﻤﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺒﻭﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬‫‪5 − 0.7‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xN‬‬ ‫‪xZ‬‬ ‫‪xD‬‬ ‫‪xQ‬‬ ‫‪xR‬‬‫ﻤﺜﻼ ﻟﻘﺩ ﻭﻀﻌﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ ‪ x‬ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺨﺎﻨﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﺘﺤﺕ ‪ 1‬ﻷﻥ ‪ 1∈ N‬ﻭ ‪ 1∈ Z‬ﻭ ‪ 1∈ D‬ﻭ‬ ‫‪ 1∈ Q‬ﻭ ‪1∈R‬‬ ‫‪ c, b, a .2‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‬ ‫ﻫل ﻴﻤﻜﻥ ﺇﺨﺘﺯﺍل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ‪ C, B, A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ؟‬‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪5bc − 3ac‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪3ab +‬‬ ‫‪2b‬‬ ‫‪,A‬‬ ‫=‬ ‫‪a + 2c‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬‫‪ .3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ E, D, C, B, A‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ )ﺴﺘﻘﺩﻡ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻜﺴﺭﻱ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻺﺨﺘﺯﺍل(‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪23.8 × 2.5 + 0.5‬‬ ‫‪3.1×11.3 + 2.7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪5×212 +217‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪C= 232−1140+54−1140−1355−73‬‬

7 − 1  3 − 5  − 3 3 6  2  12 D =   2 −  5 1 × 10   + 3 3  3E = 2+ 1 + 1 1 1 2+ 1 6+ 1 2+ 2 6+ 6

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫‪5‬‬ ‫‪− 0.7‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺕ ‪: 01‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xN‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xZ‬‬ ‫‪xD‬‬ ‫‪xxx‬‬ ‫‪xQ‬‬ ‫‪xR‬‬ ‫‪xxxx‬‬‫‪xxxxx‬‬ ‫ﺕ ‪: 02‬‬ ‫‪ c,b,a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺒﺈﻤﻜﺎﻨﻨﺎ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﺍﺕ‪C, B, A :‬‬ ‫ﺃﻭﻻ‪ :‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪: A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+ 2c‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺒﺏ ﻓﻲ ﺃﻨﻨﺎ ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﻫﻭ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ‪+‬‬ ‫ﻟﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ‪ x‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ‪ +‬ﻟﺘﻤﻜﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل‬ ‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪ :‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪: B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪3ab +‬‬ ‫‪2b‬‬ ‫=‬ ‫‪b(3a +‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪= 3a + 2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪ :‬ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪: C‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ,‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻻﺨﺘﺯﺍل ﺃﻴﻀﺎ ﻭﻫﺫﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪5b‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪5bc − 3ac‬‬ ‫=‬ ‫)‪c(5b − 3a‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪: 03‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ E, D, C, B, A :‬ﻭﺴﻨﻘﺩﻡ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻜﺒﻴﺭ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒل ﻟﻼﺨﺘﺯﺍل‬

‫ﺃﻭﻻ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪23.8 × 2.5 + 0.5‬‬ ‫=‬ ‫‪59.5 + 0.5‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3.1×11.3 + 2.7‬‬ ‫‪35.03 + 2.7‬‬ ‫‪37.73‬‬ ‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪:‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪5 ×15 +‬‬ ‫‪217‬‬ ‫=‬ ‫×‪5‬‬ ‫‪21× 21 +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪× 31‬‬ ‫=‬ ‫‪7(5 × 21× 3 +‬‬ ‫)‪31‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪7×7‬‬ ‫‪7×7‬‬ ‫=‬ ‫‪315 +‬‬ ‫‪31‬‬ ‫=‬ ‫‪346‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺜﺎﻟﺜﺎ‪ :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪22‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(1104‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪73‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬‫=‬ ‫‪22‬‬ ‫×‬ ‫‪−14 +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪14‬‬ ‫×‬ ‫‪21 − 35 ×14‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪30‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫×‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪294‬‬ ‫‪− 490‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‪3× 5× 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪210‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫)‪53‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪286‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪210‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫)‪53‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪143‬‬ ‫=‬ ‫‪− 33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪420‬‬ ‫ﺭﺍﺒﻌﺎ‪:‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: D‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫×‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪13‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪(−‬‬ ‫=‬ ‫‪2−5‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻨﺼل‬ ‫‪D‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔﻭﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪(N‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩ‬ ‫‪ -‬ﺘﺤﻠﻴل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻭﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻨﻅﺭﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪.3‬‬‫• ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬ ‫•‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫•‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫•‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ P‬ﺃﻭﻟﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ P≠1‬ﻭ ‪ P‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 1‬ﻭﻋﻠﻰ ‪ P‬ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻴﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻗﺎﺴﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪ p‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪p2 ≤ a‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪: 3‬‬ ‫‪ .‬ﻗﺎﻋﺩﺓ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ‪ a > 3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﺘﺒﺘﻬﺎ ﺃﻗل‬ ‫ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ a‬ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﺃﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫‪ .‬ﺠﺩﻭل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ‪: 100‬‬ ‫– ‪2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16‬‬‫‪17 – 18 - 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 30‬‬‫– ‪– 31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43‬‬‫‪44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 50 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57‬‬‫– ‪– 58 – 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 - 67- 68 – 69 – 70‬‬‫‪71 – 72 - 73 – 74 - 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 80 – 81 – 82 – 83 – 84‬‬‫– ‪– 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97‬‬ ‫‪98 – 99 – 100‬‬

‫‪ 2‬ﺃﻭﻟﻲ ﻨﺸﻁﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 2‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ‪22‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﻭﻟﻲ ﻨﺸﻁﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 3‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ‪32‬‬ ‫‪ 5‬ﺃﻭﻟﻲ ﻨﺸﻁﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 5‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ‪52‬‬ ‫‪ 7‬ﺃﻭﻟﻲ ﻨﺸﻁﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ‪72‬‬‫ﻻ ﺩﺍﻋﻲ ﺃﻥ ﻨﻭﺍﺼل‪ ,‬ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺘﻲ ﺒﻌﺩ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 11‬ﻭ ‪ 100 < 112‬ﻤﻨﻪ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻤﺸﻁﺏ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 509‬ﺃﻭﻟﻲ ؟‬‫ﻟﻨﻘﺴﻡ ‪ 509‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺃﻥ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻟﺤﻜﻡ ‪ 509‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ‪.5‬‬ ‫‪509 = 7 x 72 + 5‬‬ ‫‪509 = 11 x 46 + 3‬‬ ‫‪509 = 17 x 29 + 16‬‬ ‫‪509 = 19 x 26 + 15‬‬ ‫‪509 = 23 x 22 + 3‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 232 > 509‬ﻤﻨﻪ‬‫‪ 509‬ﺃﻭﻟﻲ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻨﺘﺠﻨﺏ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ‪ ,‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺘﺘﺼﺎﻋﺩ ﻭﺤﻭﺍﺼل‬‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺎﺕ ﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺘﺤﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺼل ﺇﻟﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻗﺴﻤﺔ ﺤﺎﺼﻠﻬﺎ ﺃﻗل ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﻥ ﻗﺎﺴﻤﻬﺎ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2561‬ﺃﻭﻟﻲ ؟‬ ‫‪ 2560‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫‪2561 = 7 x 365 + 6‬‬ ‫‪2561 = 11 x 323 + 9‬‬ ‫‪2561 = 13 x 197 + 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ 2561‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 13‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬‫‪ 2561‬ﻟﻴﺱ ﺃﻭﻟﻴﺎ‬

‫‪ .‬ﺘﺤﻠﻴل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻠﻴﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺘﺤﻠﻴل ‪ 396‬ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‬‫‪396 2‬‬‫‪198 2‬‬‫‪99 3‬‬‫‪33 3‬‬‫‪11 11‬‬ ‫• ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ‪: 1‬‬ ‫‪ .1‬ﻨﺤﻠل ﻜﻼ ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‪.‬‬‫‪ .2‬ﻨﺤﺴﺏ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﻥ ﺤﻴﺙ ﻴﺅﺨﺫ ﻜل ﻋﺎﻤل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل‬ ‫ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻭﺒﺄﺼﻐﺭ ﺃﺱ‪.‬‬‫ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻼﻥ ﻻ ﻴﺤﺘﻭﻴﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪ :‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﻴﻥ ﻫﻭ ‪ 1‬ﻭﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻋﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺃﻨﻬﻤﺎ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫• ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ (a, b‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪720 = 24 x 32 x 5 :‬‬ ‫‪6300= 22 x 32 x 52 x 7‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﻴﻥ ‪ 720‬ﻭ ‪ 6300‬ﻫﻭ ‪22 x 32 x 5‬‬ ‫ﺃﻱ ‪180‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪) PGCD‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﻤﻭل ﺒﻪ(‪.‬‬

‫‪PGCD (720 ,6300) = 180‬‬‫ﺏ‪ .‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪6300 = 720 x 8 + 540 :‬‬ ‫‪720 = 540 x 1 + 180‬‬ ‫‪540 = 180 x 3 + 0‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪PGCD (720 ,6300‬‬ ‫‪ .1‬ﻗﻤﻨﺎ ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻷﻜﺒﺭﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺃﺼﻐﺭﻫﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻤﻭﺍﺼﻠﺔ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻗﺴﻤﺎﺕ ﺇﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺴﻭﻡ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻬﺎ‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻬﺎ‬ ‫ﻭﺘﻭﻗﻔﻨﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺒﺎﻕ ﻤﻌﺩﻭﻡ )ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻘﺴﻡ ﻋﻠﻴﻪ (‬‫ﻓﻌﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﻫﻭ ﺁﺨﺭ ﺒﺎﻕ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ )ﺃﻭ ﺁﺨﺭ ﻗﺎﺴﻡ( ﻤﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ )ﻗﻭﺍﺴﻡ(‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺠﺯﺓ‪.‬‬‫ﻭﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻫﻨﺎ ﺘﺴﻤﻰ \" ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل \" ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ \"‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻟﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ )‪ PGCD (1800 ,1712‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪PGCD (1800 ,1712) = 8‬‬‫ﺤﺎﺼل‬ ‫‪1 19‬‬ ‫‪25‬‬‫ﻤﻘﺴﻭﻡ‪-‬ﻗﺎﺴﻡ‬ ‫‪1800‬‬ ‫‪1712‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪8‬‬‫‪ 088 83240 8‬ﺒﺎﻗﻲ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺝ‪ .‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ‬ ‫ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪.‬‬

‫• ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪:‬‬‫ﺃ‪ .‬ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪:‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ‪:1‬‬ ‫•‬ ‫‪ .1‬ﻨﺤﻠل ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻨﺤﺴﺏ ﺠﺩﺍﺀ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻭﺨﺫ ﻜل ﻋﺎﻤل ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻭﺒﺄﻜﺒﺭ ﺃﺱ‪.‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ (a, b‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪.b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪792 = 23 x 32 x 11‬‬ ‫‪2100 = 22 x 3 x 52 x 7‬‬‫‪PPCM (792 ,2100) = 23 x 32 x 52 x 11‬‬ ‫‪= 138600‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪.‬‬

‫• ﺕﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪.1‬ﻗل )ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل( ﻋﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎ ‪:‬‬ ‫‪.1277 ,119 ,277 ,407 ,667 ,373‬‬ ‫‪ .2‬ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪16335 ,2730 ,1728 ,312 ,180‬‬ ‫‪ .3‬ﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ c, b,a‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‬ ‫‪a = 16x10x15x18‬‬ ‫‪b=8x36x20x18x4a5‬‬ ‫‪c =17x48x25x32x63‬‬ ‫‪ .4‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻤﺎﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ a = 630 .1‬ﻭ ‪b = 720‬‬ ‫‪ a = 810 .2‬ﻭ‪b = 590‬‬ ‫‪ a = 2730 .3‬ﻭ‪b = 2310‬‬ ‫‪ .5‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ a = 675 .1‬ﻭ ‪b = 1800‬‬ ‫‪ a = 640 .2‬ﻭ‪b = 910‬‬ ‫‪ a = 2910 .3‬ﻭ‪b = 3465‬‬‫‪ n .6‬ﻋﺩﺩ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻤﺘﺭﺸﺤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻤﺘﺤﺎﻥ‪ ,‬ﺒﺤﻴﺙ‪ n‬ﺃﻗل ﻤﻥ ‪ 700‬ﻭ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 600‬ﻴﺭﺍﺩ ﺘﻔﻭﻴﺞ‬‫ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻓﻠﻭﺤﻅ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺇﺫﺍ ﻜﻭﻨﺕ ﺃﻓﻭﺍﺝ ﺘﻀﻡ ‪ 20‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ﺃﻭ ﺃﻓﻭﺍﺝ ﺘﻀﻡ ‪ 24‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ﻓﻲ‬ ‫ﻜل ﻤﺭﺓ ﻴﺒﻘﻰ ‪ 9‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻏﻴﺭ ﻤﻔﻭﺠﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ؟‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬ ‫ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬‫• ‪ 373‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪23 ،19 ،17 ،13 ،11 ،7 ،3 ،2‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪ 373 < 232 :‬ﻭﻤﻨﻪ‪ 373 :‬ﺃﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫• ‪ 667‬ﻟﻴﺱ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻷﻥ‪29 × 23 = 667 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ 667‬ﻴﻘﺒل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻗﺎﺴﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬ ‫ﻟﻨﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪.‬‬ ‫• ‪5 × 32 × 22 = 180‬‬ ‫• ‪13× 3× 23 = 312‬‬ ‫• ‪33 × 26 = 1728‬‬ ‫• ‪13 × 7 × 5 × 3× 2 = 2730‬‬ ‫• ‪112 × 5 × 33 = 16335‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬ ‫ﻟﻨﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‬ ‫• ‪a = 26 × 33 × 52‬‬ ‫• ‪b = 211 × 34 × 52‬‬ ‫• ‪c = 29 × 33 × 52 × 7 ×17‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫‪ a = 630 .1‬ﻭ ‪b = 720‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 2 × 32 × 5 × 7 :‬ﻭ ‪b = 24 × 32 × 5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪P.G.C.D(a,b) = 2 × 32 × 5 = 90 :‬‬ ‫‪ a = 810 .2‬ﻭ ‪b = 590‬‬‫ﺤﺎﺼل‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ )‪ PGCD(810,590‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺇﻗﻠﻴﺩﺱ‬‫ﻤﻘﺴﻭﻡ‪-‬‬ ‫‪12127‬‬ ‫ﻗﺎﺴﻡ‬ ‫ﺒﺎﻗﻲ‬ ‫‪810‬‬ ‫‪590 220 150‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪150 70‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.3‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪PGCD(2730,2310) = 210‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 05‬‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫‪ a = 675 .1‬ﻭ ‪b = 1800‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 33 × 52 :‬ﻭ ‪b = 23 × 32 × 52‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PPCM (720,630) = 23 × 33 × 52 :‬‬ ‫‪= 5400‬‬ ‫‪ a =640 .2‬ﻭ ‪b = 910‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ b = 2 × 5 × 7 ×13 :‬ﻭ ‪b = 27 × 5‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪PPCM (640,910) = 27 × 5 × 7 ×13 :‬‬ ‫‪= 58240‬‬ ‫‪ a = 2910 .3‬ﻭ ‪b = 3465‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 2 × 3 × 5 × 97 :‬ﻭ ‪b = 32 × 5 × 7 ×11‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪PPCM (2910,3465) = 2 × 32 × 5 × 7 ×11 :‬‬ ‫‪= 672210 < 97‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 06‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪n‬‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﺇﺫﺍ ﻜﻭﻨﺎ ﺃﻓﻭﺍﺝ ﺘﻀﻡ ‪ 20‬ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﺒﻘﻰ ﻏﻴﺭ ﻤﻔﻭﺠﻴﻥ \"‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺼﻴﺎﻏﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬‫‪) n = a × 20 + 9‬ﺤﻴﺙ‪ a :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﻭﺍﺝ(‬‫ﻭﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \" ﺇﺫﺍ ﻜﻭﻨﺎ ﺃﻓﻭﺍﺠﺎ ﺘﻀﻡ ‪ 24‬ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﺒﻘﻰ ‪ 9‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻏﻴﺭ ﻤﻔﻭﺠﻴﻥ \"‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺼﻴﺎﻏﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ‪:‬‬‫)ﺤﻴﺙ ‪ b :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﻭﺍﺝ(‬ ‫‪n = b × 24 + 9‬‬‫‪n − 9 = a × 20‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﺼﺒﺢ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪n − 9 = b × 24 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ n − 9‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ ‪ 20‬ﻭﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ ‪ .24‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻓﻬﻭ ﺇﺫﻥ) (‬‫ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪PPCM (24,20) :‬‬‫ﺃﻱ‪ (n − 9) :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟـ‪120 :‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪n − 9 = 120 × k : k ∈ N :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪n = 120k + 9 :‬‬‫ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪600 ≤ n ≤ 700 :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ k = 5 :‬ﻭﻤﻨﻪ‪n = 609 :‬‬

‫ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭﺨﻭﺍﺼﻬﺎ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫• ﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺸﻬﻴﺭﺓ‬ ‫• ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻭﻯ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ *‪) R‬ﺃﻱ ‪ a ∈ R‬ﻭ ‪ ( a ≠ 0‬ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ﻓﻲ ‪ Z‬ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ‬ ‫•‬ ‫ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪a = a1‬‬ ‫‪ a0 =1‬ﻭ‬‫ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.n‬‬‫‪ An = axax…xa‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪n ≥ 2‬‬ ‫‪ N‬ﻋﺎﻤﻼ‬ ‫‪a −n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪0n = 0: n‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻭﻯ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻨﺴﺒﻴﻴﻥ ﻭ‪ p‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪ ap ×aq =ap+q‬ﻭ ‪ a×b p = ap ×bp‬ﻭ ‪( ) ( )ap q = apxq‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫=‬ ‫‪ap‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪bp‬‬‫‪ap‬‬ ‫‪= a p−q‬‬ ‫‪ a−p‬ﻭ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬‫‪aq‬‬ ‫‪an‬‬

: ‫• ﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺸﻬﻴﺭﺓ‬ b ‫ ﻭ‬a ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬(a+b) x(a-b)= a2-b2 (a-b)2=a2+ab+b2 (a+b)2=a2+ab + b2(a+-b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) \" ‫• ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ \" ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ‬ (a + b)3 = (a + b)2( a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a-b)3 = (a-b)2 (a-b) = (a2 - 2ab + b2)(a - b) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 -b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3 = a3 + b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3 : ‫• ﺃﻤﺜﻠﺔ‬ x ‫ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬:‫ﻟﻠﻨﺸﺭ‬ (x + 1)3 = x3 + 3x21 + 3x12 + 13 (x + 1)3 = x3 +3x2 + 3x + 1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3(2x)23 + 3.2x.32 - 33 = 23x3-3.2.x2.3+27.2x-27 (2x - 3)3 = 8x3 -36x2 -54x - 27

‫ﻟﻠﺘﺤﻠﻴل ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫‪X3 – 1 = x3 - 13‬‬ ‫)‪= (x - 1)(x2 + 1.x + 12‬‬ ‫)‪= (x - 1)(x2 + x + 1‬‬ ‫‪x3 + 8 = x3 + 23‬‬ ‫)‪= (x + 2)(x2 - 2x + 22‬‬ ‫)‪= (x + 2)(x2 - 2x + 4‬‬ ‫• ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪100 =1 :‬ﻭ ‪ 101=10‬ﻭ ‪ 102=100‬ﻭ‪103 = 1000‬‬ ‫ﻭ‪ 10 1-= 0.1‬ﻭ ‪10 2-= 0.01‬ﻭ ‪10 3 -= 0.001‬‬ ‫ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ‬‫ﻭ‪10-n = 0,00….01‬‬ ‫‪10n =100....0‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻫﻭ‪n‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺼﻔﺎﺭ ﻫﻭ‪n‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﺸﺭﺓ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﺒﺴﻴﻁ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ‬‫=‪A‬‬ ‫‪0 .000025 × 0 .0003‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ A‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪0 .00075‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪25×10−6 × 3×10−4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪75×10−5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪25 × 3 ×10 −10‬‬ ‫‪75 ×10 −5‬‬

‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪75 × 10 − 10‬‬ ‫‪75 × 10 − 5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪− 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪− 10‬‬ ‫)‪A =10−10−(−5‬‬ ‫‪A = 10 −5‬‬ ‫‪A = 0.00001‬‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻭﻯ‪:‬‬‫‪ 32‬ﺇﺫﻥ ‪325=3355.4432‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪5 = : 325‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪(23 -)3 = -12167 :‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪< (.) 23 > xy 3 = :(23-)3‬‬‫‪xy‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪:(25-173)-212‬‬ ‫‪ :(252-173)-212=-4729‬ﻨﺠﺩ‬‫‪< 25 xy 2-17 xy‬‬ ‫= ‪3> -21 xy 2‬‬

‫• ﺕﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(-8)-3 ,8-8 ,(-3)-8 ,3-8 ,(-8)3 ,(-3) 8 ,83 ,38‬‬ ‫‪ .2‬ﺒﺴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪C. B. A.‬‬ ‫)ﻓﻜﺭ ﻓﻲ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ(‬ ‫‪− 2112 × − 45 −7‬‬ ‫‪517 ×35−10‬‬ ‫= ‪( ) ( )B‬‬ ‫= ‪,A‬‬ ‫‪35 9 × 20 6‬‬ ‫‪14 9 × 25 8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪1059 ×(− 60)6‬‬ ‫‪(− 70)9 ×98‬‬ ‫‪0.1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 0 .02‬‬ ‫‪ .3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ C, B, A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪0 .01‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪, A = 1000 −4 × (0.001)5 ×100 −1‬‬ ‫× ‪2 × 0.5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪(2.7 )3‬‬ ‫‪× (0.15 )−4‬‬ ‫‪× 0.05‬‬ ‫‪810000‬‬ ‫‪ z, y, x .4‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪( ) ( ) ( ) ( )b‬‬‫=‬ ‫‪x7‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪(xy)3‬‬ ‫‪× ‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫× ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪,a‬‬ ‫‪xy 4 × xy−1 −2 × xyz 3‬‬ ‫‪x −5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z 4 −3‬‬ ‫‪x5 y7 z−1‬‬ ‫ﺒﺴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪,y=2 , x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ : 01‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‬ ‫‪، 38 = 6561 ، 83 = 512 ، (− 3)8 = 6561‬‬ ‫‪، (− )8 −3 = −0.001953125 ، (− 8)3 = −512 ، 58 = 0.00015241579003‬‬ ‫‪(− )3 −8 = 3−8‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ : 02‬ﺘﺒﺴﻴﻁ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪C, B, A‬‬ ‫‪( ( ) )A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪359‬‬ ‫×‬ ‫‪20 6‬‬ ‫‪(5 × 7)9 × 22 × 5‬‬ ‫‪59 × 79 × 212 × 56‬‬ ‫=‬ ‫‪149‬‬ ‫×‬ ‫‪258‬‬ ‫=‬ ‫‪(2 × 7)9 × 52 8‬‬ ‫=‬ ‫‪29 × 79 × 516‬‬ ‫‪:A‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪.1‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪212 × 515 × 79‬‬ ‫‪= 23 × 5−1‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 1.6‬‬ ‫‪29 × 516 × 79‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: B‬‬ ‫‪( )B‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪(− 21)12 × (− 45)−7‬‬ ‫‪(− 3× 7)12 × − 32 × 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪( )517 × 5 × 7 −10‬‬ ‫‪517 × 35−10‬‬ ‫=‬ ‫‪312 × 712 × 510 × 710‬‬ ‫‪512 × 314 × 57‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: C‬‬‫‪( ( ) )C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1059 × (− 60)6‬‬ ‫‪(3× 5 × 7)9 × 22 × 3× 5‬‬ ‫=‬ ‫‪(− 70)9 × 98‬‬ ‫=‬ ‫‪− (2 × 5 × 7)9 × 32 8‬‬‫=‬ ‫‪39‬‬ ‫‪× 59 × 79 × 212 × 36 × 56‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪23‬‬ ‫×‬ ‫‪56‬‬ ‫‪− 29 × 59 × 79 × 316‬‬ ‫‪3‬‬‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪125000‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ :03‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪C, B, A‬‬ ‫‪ .1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: B‬‬ ‫‪0.1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.1 +‬‬ ‫‪0.0005 −‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 × 0.5 × 0.01‬‬ ‫=‬ ‫‪0.0805‬‬ ‫=‬ ‫‪8.05 ×10−2‬‬ ‫‪= 8.05‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪1 × 10 −2‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪:A‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )( )A = 1000−4 × 0.001 5 ×100−1 = 103 −4 × 10−3 5 × 102 −1‬‬ ‫ﺃﻱ ‪A = 10 −12 × 10 −15 × 10 −2 = 10 −29‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪:C‬‬‫‪( ) ( ) ( )C‬‬ ‫× ‪−4‬‬‫=‬ ‫‪(2.7)3‬‬ ‫×‬ ‫‪(0.15)−4‬‬ ‫×‬ ‫)‪(0.05‬‬ ‫=‬ ‫‪27 ×10−1 3 × 15 ×10−2‬‬ ‫‪5 ×10−2‬‬ ‫‪81 × 10 4‬‬ ‫‪810000‬‬ ‫=‬ ‫‪273 ×10−3 ×15−4 ×108 × 5 ×10−2‬‬ ‫=‬ ‫‪34‬‬ ‫‪39 × 5 ×10−1‬‬ ‫‪81 × 10 4‬‬ ‫‪× 34 × 54 ×104‬‬ ‫=‬ ‫‪53‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0.0024‬‬ ‫‪×10‬‬ ‫ﺕ ‪: 04‬‬ ‫‪ Z, y, x‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‬ ‫‪ .1‬ﺘﺒﺴﻴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪x 4 y 4 x −2 y 2 x3 y 3 z 3‬‬ ‫‪a‬‬‫‪( )،‬‬ ‫=‬ ‫‪(xy)4‬‬ ‫×‬ ‫‪xy −1‬‬ ‫‪−2 × (xyz)3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x5 y 7 z −1‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪× y7‬‬ ‫‪× z −1‬‬ ‫‪= y2z4‬‬ ‫=‬ ‫‪x5 y9z3‬‬ ‫‪x5 y 7 z −1‬‬

b = x7 × 1 × (xy)3 ×  3−5  × 1 :‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x −5 x14 ( yz )−3 = x7 ×x5 × x3 × y3 ×z−5 × 1 × y3 ×z3 x14 = x15 × y6 × z3 = x× y6 x14 × z5 z2z = 1 ، y = 2 ، x = 1 :‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬b‫ﻭ‬ a ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ‬ .1 3 27 a= y2z4 ×  1  4 4  3  81 = 22 = : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x× y6 1 × 26 64 32 27 3 b = = 2 = : ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 1  3   

‫ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﻭﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ,‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪.‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻗﻭﻯ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ,‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ‪ a‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‪ ,‬ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪ ,‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﺒﻌﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.a‬‬ ‫‪a‬‬‫ﻭ ‪b≥0 a ≥ 0,‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ b2 =a‬ﻴﻌﻨﻲ ‪b = a‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪81 = 9 , 4 = 2 :‬‬ ‫‪(− 3)2 = 9 = 3‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ 9 ≠ −3‬ﺭﻏﻡ ﺃﻥ ‪( )9= −3 2‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‼!‪9‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‬

‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ‪a‬‬ ‫‪ a2 = a‬ﻭ ‪( )a 2 = a‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫)‪(a×b = a)×( b‬‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ‪:n‬‬ ‫‪( )an = a n‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪32 16× 2‬‬ ‫‪=( 16)× 2‬‬ ‫‪=4 2‬‬‫‪75‬‬ ‫=‬ ‫‪3× 25‬‬‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪= 3 × 25‬‬ ‫‪64‬‬‫‪= 3 × 25‬‬ ‫‪64‬‬‫=‬ ‫‪53‬‬ ‫‪8‬‬‫‪720 = 24 ×32 ×5‬‬‫‪= 24 × 32 × 5‬‬‫‪( )= 22 2 ×3× 5‬‬‫‪= 22 ×3× 5‬‬ ‫‪= 12 5‬‬ ‫‪16+ 9 = 4+3‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪16+ 9 = 25‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫ﻭﻟﻨﺎ ‪5 ≠ 7‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻭﺠﺒﻴﻥ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺫﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪.‬‬

‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ‪:‬‬‫ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬‫ﻗﺒل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺒﻌﺽ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‼ ﻭﻟﻜﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻟﻴﺱ ﻤﺭﺒﻊ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻓﺎﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺘﻌﻁﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. a‬‬‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ‪ 17424 = :‬ﻓﻨﺠﺩ‪17424‬‬‫‪17424 = 132‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪H, G,F,E, D, C, B, A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫= ‪,C‬‬ ‫‪0.27 × 0.3‬‬ ‫‪, B = 0.00012‬‬ ‫‪, A= 49×36×25‬‬ ‫‪14.4‬‬‫‪( ), E = 9 +18 5 2‬‬ ‫‪( ) ( ), D= 5+ 7 2 + 5− 7 2‬‬ ‫‪( ) ( )H = 2+ 2 − 2−‬‬ ‫‪( )2−2 2 2+‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,G‬‬ ‫=‬ ‫‪57× 79‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪35 5‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ a ∈R‬ﻭ ‪q ∈Q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .2‬ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪q‬‬ ‫‪19 5 + 1 − 17 5 2 3 + 2‬‬ ‫‪2 , 3 − 2 ,1+ 3 , 3 − 5‬‬ ‫‪ .3‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ a = 11+ 3 7‬ﻭ ‪b = 11−3 7‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ a2+b2‬ﻭ ‪a x b‬‬ ‫‪ .2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ (a+b)2‬ﻭ ‪(a - b)2‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ )‪ (a+b‬ﻭ )‪(a - b‬‬ ‫‪ (1.4‬ﺃﺤﺴﺏ ‪( )2 + 5 2‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ 9 + 4 5  ×  5 − 2  ×  5 + 2 ‬‬ ‫= ‪( ) ( )3 − 7 = 7 + 2‬‬ ‫‪7−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .5‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ‪7 + 1‬‬ ‫‪2 7 −2 33+ 7‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬ ‫ﺕ ‪ : 01‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪G, F, E, D, C, B, A :‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪B = 0.000121 = 10−6 ×121 :‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪( )= 10−3 2 × (11)2 = 10−3 ×11 = 0.011‬‬‫‪ .2‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪A = 49 × 36 × 25 = 72 × 62 × 52 = 72 × 62 × 52‬‬ ‫‪= 7 × 6× 5 = 210‬‬ ‫‪ .3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪C = 0.4 × 0.3 = 32 × 3×10−2 × 10−1 × 3 :‬‬ ‫‪14.4 10−1 ×122‬‬‫× ‪= 3×10−1 × 3 × 10−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪9 ×10−1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪×10‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= 0.075‬‬ ‫‪10−1 × 122‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .4‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪( ) ( )D = 5 + 7 2 + 5 − 7 2 :‬‬ ‫‪= 5 + 2 5 7 + 7 + 5 − 2 5 × 7 + 7 = 24‬‬ ‫‪.5‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪( )E = 9 +18 5 2 = 9 +18 5 :‬‬ ‫× ‪5 2 3 × 5 ×  7 2 4‬‬ ‫‪ 35 2 2 × 35‬‬‫= ‪( () () ) ( ) ( ) ( )F‬‬‫‪5‬‬‫‪7‬‬‫‪7‬‬‫‪9‬‬‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪ .6‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪35‬‬‫=‬ ‫‪53‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫×‬ ‫× ‪74‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫× ‪53 × 5 × 74‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪51 × 72‬‬ ‫=‬ ‫‪245‬‬ ‫‪352‬‬ ‫×‬ ‫‪35‬‬ ‫× ‪52 ×72 × 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪G = 2+ 2 − 2−‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪2−2 2 2+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= (2 +‬‬ ‫‪) (2 2 − 2 − 2 2)(2 −‬‬ ‫‪2)−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(2 − 2 2)(2 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 4+4 2+2−4+2 2+4 2−4− 5‬‬ ‫‪4+2 2−4 2−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= − 2 +10 2 − 5 = +1− 5 2 − 5 = 1− 5 2 − 5‬‬ ‫‪−2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺃﻱ ‪( )G = − 4 − 5 2 = − 2× 2 2 − 5 2 = −2 2 − 5‬‬ ‫‪22‬‬‫ﻭ ‪q∈Q‬‬ ‫‪a∈R‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺕ ‪ : 02‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪q‬‬‫‪( )( )3+‬‬‫‪2 3+‬‬‫‪( )( ) ( )3−‬‬‫‪5 3+‬‬‫‪2 = 3+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪9+3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ . 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪5 3−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪= 9+3‬‬ ‫‪5+3‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−1+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−1+ 5 = −17‬‬ ‫‪15 − 34‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪3−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪5 + 1 = 19‬‬ ‫‪10 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫ﺕ ‪ : 03‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a = 11+ 3 7 :‬ﻭ ‪b = 11− 3 7‬‬ ‫‪ .1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ a2 + b2‬ﻭ ‪a × b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪( ) ( )a2 + b2 = 11+ 3 7 + 11− 3 7 = 22 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪a × b = 11+ 3 7 × 11− 3 7 :‬‬

‫) ‪= (11+ 3 7 )(11− 3 7‬‬ ‫‪( )= 112 − 3 7 2‬‬ ‫‪= 121− 63‬‬ ‫‪= 58‬‬ ‫‪ .22‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪ (a + b)2‬ﻭ ‪(a − b)2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab :‬‬ ‫‪= 22 + 2 58‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab :‬‬ ‫‪= 22 − 2 58‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ )‪ (a + b‬ﻭ )‪(a − b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(a + b)2 = 22 + 2 58 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪a + b = 22 + 2 58 :‬‬ ‫ﻷﻥ ‪a + b ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪(a − b)2 = 22 − 2 58 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪a − b = 22 − 2 58 :‬‬ ‫ﻷﻥ‪a − b ≥ 0 :‬‬ ‫ﺕ ‪: 04‬‬ ‫‪ .1‬ﺤﺴﺎﺏ ‪( )2 + 5 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( ) ( )2 + 5 2 = 22 + 2× 2 5 + 5 2 :‬‬ ‫‪=9+4 5‬‬‫×‪9+4 5‬‬ ‫‪ .2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ 9 + 4 5  ×  5 − 2  ×  5 + 2  :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪( ) ( )( )5 − 2 × 5 + 2 = 2 + 5 2 × 5 − 2 5 + 2 :‬‬ ‫=) (‬‫‪2+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5−4‬‬ ‫×‬ ‫‪=2+ 5‬‬

‫ﺕ ‪ : 05‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬‫‪( ) ( )3− 7‬‬‫=‬ ‫‪7+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪7−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 +1‬‬‫‪2 7−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( ) ( )3− 7 = 7 + 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2 7 −2 33+ 5‬‬‫ﻷﻥ ‪3(3 − 7 )(3 + 7 ) = 2( 7 − 2)( )7 + 2 :‬‬‫‪( ) ( )7 + 2 = 7 + 2 × 3 −‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ‪7 :‬‬‫‪33+ 7 33+ 7 3−‬‬‫=‬ ‫‪7 −1‬‬ ‫=‬ ‫‪7 −1‬‬ ‫×‬ ‫‪7 +1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 +1‬‬ ‫‪7 +1‬‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ,‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ .‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪a:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a = a : a ≥ 0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪a = −a : a ≤ 0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ 129 = 129 :‬ﻷﻥ ‪129 ≥ 0‬‬ ‫)‪− 35 = −(− 35‬‬ ‫‪ = 35‬ﻷﻥ ‪0 ≥ −35‬‬ ‫• ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪a × b = a × b : b‬‬ ‫• ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪: a‬‬ ‫‪ a2 = a‬ﻭ ‪− a = a‬‬ ‫‪−a = a 2 = a2‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ,a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪b‬‬ ‫•‬‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ,a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ‪: n‬‬ ‫•‬ ‫‪an = a n‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫* ‪3×5 = 3 × 5‬‬ ‫‪= 3x5‬‬ ‫‪= 15‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫‪−3‬‬ ‫*‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫* ‪12+(−5) = 7‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫* ‪12 + − 5 = 12 + 5 = 17‬‬‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻤﺠﻤﻭﻉ )ﺃﻭ ﻓﺭﻕ( ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻻ ﺘﺴﺎﻭﻱ‪ ,‬ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‪ ,‬ﻤﺠﻤﻭﻉ )ﺃﻭ ﻓﺭﻕ( ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ‪,‬‬ ‫‪( )2 − 11 2 = 2 − 11‬‬‫ﻷﻥ ‪2 − 11 ≤ 0‬‬ ‫)‪(= − 2 − 11‬‬ ‫‪= −2 + 11‬‬

‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ C, B, A‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫=‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3 + 6−‬‬ ‫‪27 +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪1−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C = −x + x2 +2x +1‬‬ ‫)ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ(‬ ‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ D, C, B, A‬ﺤﻴﺙ‬‫‪, B = 1−2x + −1−2x +3‬‬ ‫‪, A = 2x +1 + 2x −1‬‬ ‫‪D = 2 − 3x − − 2 − 3x ، C = 3x+2 − 3x−2 +5‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‪ ,‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ A - B‬ﻭ ‪C+D‬‬ ‫‪ a .3‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺤﻴﺙ ‪a = 2 − 3 − 2 + 3 :‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪a‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪a2‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺒﺴﻁﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪a‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‪:‬‬‫ﺕ ‪ : 01‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ C, B, A :‬ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ‪:‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪2)+‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪48 − 8 + 3 − 30‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3 + 6−‬‬ ‫‪27 +‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪12 :‬‬ ‫‪2‬‬‫=) (‬‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3  + 6 −‬‬ ‫‪27 +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 +6−3‬‬ ‫‪3+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪C = − x + x2 + 2 x +1 :‬‬ ‫‪= − x + x 2 + 2 x +1‬‬

= − x + ( x +1)2 = − x + x +1 =1 : 02 ‫ﺕ‬ A − B ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ B = 1− 2x + −1− 2x + 3 ‫ ﻭ‬A = 2x +1 + 2x −1 :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ A − B = 2x +1 + 2x −1 − 1− 2x − −1− 2x − 3 :‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ = 2x +1 + 2x −1 − − (2x −1) − − (2x +1) − 3 = 2x +1 + 2x −1 − 2x −1 − 2x +1 −3 = 0−3 = −3 C + D ‫ﺤﺴﺎﺏ‬C + D = 3x + 2 − 3x − 2 + 5 + 2 − 3x − − 2 − 3x= 3x + 2 − 3x − 2 + 5 + − (3x − 2) − − (3x + 2) : ‫ﻟﺩ ﻴﻨﺎ‬= 3x + 2 − 3x − 2 + 5 + 3x − 2 − 3x + 2=5

‫ﺕ ‪: 03‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪a = 2 − 3 − 2 + 3 :‬‬ ‫‪ .1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:a‬‬ ‫‪ 2 − 3 − 2 + 3  2 − 3 + 2 + 3 ‬‬‫‪a =   ‬‬ ‫‪2− 3+ 2+ 3‬‬‫)‪= (2 − 3)− (2 + 3‬‬ ‫‪2− 3+ 2+ 3‬‬‫‪= −2 3‬‬ ‫‪2+ 3 + 2+ 3‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ − 2 3 ≤ 0 :‬ﻭ ‪2 + 3 + 2 + 3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a‬ﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫‪ .2‬ﺤﺴﺎﺏ ‪a2‬‬‫‪a2 =  2 − 3 − 2 + 3 2‬‬ ‫‪‬‬‫‪( ) ( )= 2 − 3 + 2 + 3 − 2 2 − 3 2 + 3‬‬‫)‪= 4 − 2 (2 − 3)(2 + 3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪=4−2 1‬‬‫‪=2‬‬ ‫‪ .3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺴﺒﻘﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪a‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a2 = 2 :‬ﻭ ‪ a‬ﺴﺎﻟﺏ ﻭﻋﻠﻴﻪ‪a = − 2 :‬‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻭ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺩﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ‪ ,‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬‫• ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺼﻴﻐﺔ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ‪ n‬ﺭﻗﻤﺎ ﻋﺸﺭﻴﺎ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ‪.‬‬ ‫• ﻤﺩﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫• ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺍﻟﺤﻠﻭل‬

‫• ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪A = a x 10n‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ‪1 ≤ a < 10‬ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻨﺴﺒﻲ ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ a x 10n‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.A‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪0.0000712=7.12 x 10-5, 3250=3.25 x 103:‬‬‫• ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﻤﺜﺎﻻﻥ‪) :‬ﺤﻴﺙ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺎﻥ ﺘﻤﺎ ﺒﺎﻟﺤﺎﺴﺒﺔ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0.666666‬‬ ‫‪....‬‬ ‫≤ ‪0 .6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪〈0 .7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻫﻲ ‪0.6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 10‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬‫ﻫﻲ ‪0.7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7 =2.6457.5...‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪2.64 ≤ 7〈2.65 :‬‬‫ﻫﻲ ‪2.64‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪100‬‬‫ﻫﻲ ‪2.65‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬ ‫‪100‬‬

‫ﺏ‪ .‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻨﺴﺒﻲ ﻭﺤﻴﺩ ‪ α‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫≤‬ ‫〈‪A‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪10 n‬‬ ‫‪10 n‬‬‫‪a +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ 10 n‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 10n‬ﺒﺎﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ A‬ﻭ ‪ 10 n‬ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ‪ 10 n‬ﺒﺎﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.A‬‬‫• ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺼﻴﻐﺔ ﻋﺩﺩ ﻋﺸﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ‪ n‬ﺭﻗﻤﺎ ﻋﺸﺭﻴﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ)‪:(Troncature‬‬‫ﺼﻔﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 35.672‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻋﺸﺭﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻫﻲ ‪) 35.67‬ﺇﺤﺘﻔﺘﻀﻨﺎ ﺒﺭﻗﻤﻴﻥ‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‪.‬‬ ‫•‬‫ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 512.325‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺭﻗﻡ ﻋﺸﺭﻱ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻫﻲ ‪) 512.3‬ﺍﺤﺘﻔﻀﻨﺎ ﺒﺭﻗﻡ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‪.‬‬ ‫•‬‫ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0.00357‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻫﻲ ‪) 0.003‬ﺍﺤﺘﻔﻀﻨﺎ‬ ‫•‬ ‫ﺒﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‬ ‫•‬‫ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3.00001‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻫﻲ ‪) 3‬ﺍﺤﺘﻔﻀﻨﺎ ﺒﺄﺭﺒﻌﺔ‬ ‫ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﻭ ‪.(3.0000=3‬‬


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