دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث للشعب الادبية سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬ ‫ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪.‬‬‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪EXCEL‬‬ ‫ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺍﻹﺤــﺼــﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﻨﻅﻤﺔ ﻓﻲ ﻓﺌﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺍﻷﻁﻭﺍل ﺒﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻠﻤﺒﺱ ﺒﺎﻟﻭﺴﺎﺌﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻭﺘﺭﺠﻤﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻴﻥ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﻟﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻭﺘﺭﺠﻤﺘﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﺨﻁﻁﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻟﺴﻼﺴل ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫‪ /1 -‬ﺴﻼﺴل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪ /2 -‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪:‬‬ ‫‪ /3 -‬ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ‪:‬‬‫‪ /4 -‬ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ :‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪:‬‬ ‫‪ /5 -‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‪ ،‬ﻟﻌﻤﺎل ﻤﺅﺴﺴﺔ‪ .‬‬‫‪16‬‬ ‫‪25-30‬‬ ‫‪30-35‬‬ ‫‪35-40‬‬ ‫‪40-45‬‬ ‫‪45-50‬‬ ‫‪50-55‬‬ ‫‪55-60‬‬‫‪14‬‬‫‪12‬‬‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪a‬‬‫‪ 1‬ﺇﺸﺭﺡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‬‫ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ‬ ‫>‪>20,25‬‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻗﺼﺩ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻐﻴﺭ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫أ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ b‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫>‪>25,35> >35,45> >45;60‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪b‬‬‫ب‪ -‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ‬‫ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ \"ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺔ ‪ 20,25‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪> >.4‬‬

‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪\" ،‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫\"ﻤﺒﻨﻲ\" ﻋﻠﻰ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a‬ﻫﻭ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬‬ ‫>‪ >20,25> >25,30> >30,35> >35,40‬ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪4 13 12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫>‪>40,45‬‬ ‫>‪>45,50> >50,55> >55,60‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﻟﺭﺍﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ 2‬ﺃ ‪-‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻨﻅﻴﻡ \"ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ\" ﻭﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ b‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬‬‫>‪ >20,25> >25,35> >35,45> >45;60‬ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪4 25 14 7‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ Q4 , Q3 , Q2 , Q1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﻤﻨﺸﺌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ‬ ‫أ‪-‬‬ ‫>‪ >45,60> ، >35,45> ، >25,30> ، >20,25‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪ h4 , h3 , h2 , h1‬ﺍﻹﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻠﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ‬‫‪ R4 , R3 , R2 , R1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ‪- R3 , R2 , R2 , R1‬ﻤﻘﺩﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ‬‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ -‬ﻫﻲ ‪h4 60  45 , h3 45  35 , h2 35  25 , h125  20‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ ﻤﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪،‬‬ ‫ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬‫ ‪h4 25  20 h3 35  25 h2 45  35 h160  45‬‬‫‪4 25 14 7‬‬ ‫‪( h1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)ﻷﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻴﺄﺨﺫ‪:‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪10h2‬‬ ‫‪10h3‬‬ ‫‪15h41‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪h2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪h2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪، h3‬‬ ‫‪7 ، h4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‪3 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬‫‪30‬‬ ‫ﻓﺮدان‬‫‪25‬‬‫‪20‬‬ ‫‪25-35‬‬ ‫‪35-45‬‬ ‫‪45-60‬‬‫‪15‬‬‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻕ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺇﺫﺍ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ‪:‬‬‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R1‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،2‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R2‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،12,5‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R3‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ، 7‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ R4‬ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪4 :‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺒـ ‪ C4 , C3 , C2 , C1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻭﺒـ ‪ A1, A 2 , A 3 , A 4‬ﺇﻟﻰ ﺃﻁﻭﺍل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺒـ ‪ n4 , n3 , n2 , n1‬ﺇﻟﻰ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ C1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺫﺍﺕ‬‫ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ hi‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ‪ Ci‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ‬ ‫‪hi‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪:‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﻤﻥ ‪ 30‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‪ 18 :‬ﺒﻨﺘﺎ ﻭ‪ 12‬ﻭﻟﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﻋﻼﻤﺔ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪6-7-7-8-8-8-9-9-9-10-10-11-11-11-13-13-14-16 :‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ‪.5-8-13-11-11-11-15-12-12-14-14-15 :‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﺍﻭل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﺒﺭﺯ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ ﻭﺍﺤﺩ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭ ‪ y‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭ ‪ x‬ﻤﻌﺩل ﺍﻟﻘﺴﻡ‪.‬‬‫‪ 3‬ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺃﻥ ﻴﻀﻴﻑ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻓﻜﻡ ﻴﺼﺒﺢ ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪.‬‬‫‪ 4‬ﺇﺫﺍ ﻗﺭﺭ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺃﻥ ﻴﻀﺭﺏ ﻓﻲ ‪ 1,25‬ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻓﻜﻡ ﻴﺼﺒﺢ ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻷﻭﻻﺩ ؟‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 6‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ‪xi‬‬ ‫‪7 8 9 10 11 13 14 16‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪23323211‬‬‫ ‪ni‬‬‫‪ 1 2 3 3 2 3 2 1 1‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪ fi‬‬ ‫‪18 18 18 18 18 18 18 18 18‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪5 8 11 12 13 14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪113212‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪113212‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 12 12 12 12 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ‪:‬‬ ‫‪-‬‬‫‪ 5 6 7 8‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬‫‪ 1 1 2 4‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30 30 30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ 11 12 13 14 15 16‬ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬

‫‪ 6 2 3 3 2 1‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪ 6 2 3 3 2 1‬ﺍﻟﺘﻭﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪30 30 30 30 30 30‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫‪x n1x1  n2 x2  ...........  n p x p‬‬ ‫‪n1  n2  .........  nk‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.6  2.7  3.8  3.9  2.10  3.11  2.13  1.14  1.16‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪1 233 23 211‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪) x 10 :‬ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺒﺎﻵﻟﺔ(‬ ‫ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻨﺠﺩ‪ y 11,75 :‬ﻭ ‪x 10,7‬‬‫‪ 3‬ﺇﺫﺍ ﺃﻀﺎﻑ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪x‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫)‪1.(62)2.(72)3.(82)3.(92)2.(102)3.(112)2.(132)1.(142)1.(162‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫'‪x‬‬ ‫)‪1.62.73.83.92.103.112.131.141.162(123323211‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ x' x  2‬ﺃﻱ‪x' 12 :‬‬‫‪ 4‬ﺇﺫﺍ ﻀﺭﺏ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﻋﻼﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻓﻲ ‪ 1,25‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ﻭﻟﻴﻜﻥ '‪y‬‬‫'‪ y‬ﺃ‬ ‫)‪1(1,25.5) 1.(1,25u8) 3(1,25.11) 2(1,25u12) 1(1,25u13) 2(1,25u14) 2(1,25u15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫§¨‪1,25‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‬ ‫‪3.11‬‬ ‫‬ ‫ ‪2.12‬‬ ‫‪1.13‬‬ ‫‬ ‫‪2.14‬‬ ‫‬ ‫‪2.15‬‬ ‫¸·‬ ‫ﻱ‪:‬‬ ‫©‬ ‫‪18‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﺃﻱ‪ y' 1,25 u y :‬ﺃﻱ‪y' 14,6875 :‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ‪ ،10‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ‪18‬‬ ‫ﻤﻌﺩل ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻻﺩ ‪ 11،75‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻭﻻﺩ ‪12‬‬ ‫ﻤﻌﺩل ﺍﻟﻘﺴﻡ ‪ 10،7‬ﻋﺩﺩ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ‪12+18‬‬

‫‪10,7‬‬ ‫‪12.11,75  18.10‬‬ ‫ﻭﻨﻼﺤﻅ‪:‬‬ ‫‪12  18‬‬ ‫‪ 2‬ﻤﻥ ﺨﻼل )‪ (3‬ﻭ)‪(4‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺃﻀﻔﻨﺎ ‪ 2‬ﺇﻟﻰ ﻜل ﻋﻼﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺩل \"ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ\" ﻫﻭ )\"ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ\" ‪(2+‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﻜل ﻋﻼﻤﺔ ﻓﻲ ‪ 1،25‬ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻤﻌﺩل \"ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻓﻲ\" ‪1،25‬‬ ‫‪ 3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.6  2.7  3.8  3.9  2.10  3.11  2.13  1.14  1.16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﺃﻱ‪x 118.6128.7138.8138.9128.10138.11128.13118.14118.16 :‬‬ ‫)ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ( ‪x f1.x1  f 2 .x2  ........  f p .x p‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﺒﺭﺯ ﺨﻭﺍﺹ ﻟﻠﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :3‬ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫‪ x‬ﺸﻜل ﻤﺸﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺩﺭﺴﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻓﺭﻴﻘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺜﻡ ﻗﺎﻡ ﺒﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﺎﻤﺎﺕ‪ -‬ﺒﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ‪-‬‬ ‫ﻹﺭﻀﺎﺀ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻘﻴﻥ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪165-167-168-171-174-175 : A‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪168-169-169-170-171-173 : B‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻘﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻘﺎﻤﺎﺕ‬ ‫ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪. B‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ Vx‬ﻭ ‪ Vy‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪Vx‬‬ ‫‪1(165 x)²1(167 x)²1(168 x)²1(171x)²1(174 x)²1(175x)²‬‬ ‫‪6‬‬‫‪Vy‬‬ ‫‪1(168 y)²  2(169 y)² 1(170 y)² 1(171 y)² 1(173 y)²‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ؟‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ )ﺃﻭ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ( ﻨﺠﺩ‪ y 170 :‬ﻭ ‪x 170‬‬ ‫‪ Vx‬ﺇﺫﻥ‪ Vy | 2,67 :‬ﻭ ‪Vx | 13,33‬‬ ‫‪40‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Vy‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ Vx‬ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ \"ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ )ﺍﻟﻔﻭﺍﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﻭ ‪\"( x‬‬ ‫‪ Vy‬ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ \"ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ )ﺍﻟﻔﻭﺍﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ B‬ﻭ ‪\"( y‬‬‫ﻭﻤﻥ ﻜﻭﻥ ‪ Vx‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ Vy‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺘﺸﺘﺕ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ‬‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺘﺸﺘﺕ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ B‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪B‬‬ ‫ﺃﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﻨﺴﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ ، A‬ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﺎﻤﺔ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ Vx‬ﻴﺴﻤﻰ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ A‬ﻭ ‪ Vx‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ‬‫ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪ ، A‬ﻭ ‪ Vy‬ﻭ ‪ Vy‬ﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﺎﻤﺎﺕ‬ ‫ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :4‬ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﺴﺠﻠﺕ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻟـ ‪ 35‬ﺸﺨﺼﺎ ﻴﺘﺎﺒﻌﻭﻥ ﻨﻭﻋﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﻭﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‪-‬‬ ‫ﻤﺭﺘﺒﺔ ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ‪ -‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪10 11 11 11 12 12 13 13 14 14‬‬ ‫‪32 32 35 36 37 38 38 38 40 41‬‬ ‫‪17 17 20 23 24 25 27 6‬‬ ‫‪42 46 46 46 47 50 50‬‬ ‫ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ‪ 4‬ﻓﺌﺎﺕ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﺭ ‪ me‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \" ‪ me‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪ 50%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\" me‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﺭ ‪ Q1‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \" ‪ Q1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪ ، 25%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻗل ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪\" Q1‬‬‫ﻭﺍﻟﻌﻤﺭ ‪ Q3‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻘﻕ \" ‪ Q3‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻋﻤﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻋﻤﺎﺭ ‪ 75%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻗل ﻤﻥ ﺃﻭ‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪\" Q3‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ me‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻫﻭ ‪35‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ me‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﺘﺒﺘﻬﺎ ‪ 18‬ﻤﻨﻪ‪me 30 :‬‬‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪35‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪75‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 35‬ﻫﻭ‬ ‫ﻭ ‪75%‬‬ ‫‪8,75‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪35 u‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ 35‬ﻫﻭ‬ ‫‪25%‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪26,25‬‬

‫ﻤﻨﻪ ‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 9‬ﻤﻨﻪ‪Q1 14 :‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 27‬ﻤﻨﻪ‪) Q3 40 :‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ(‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻟﻸﺴﺌﻠﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺘﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪ me‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,5u 35‬‬ ‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25 u 35‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,75u 35‬‬‫‪ 2‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻨﻅﻴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ >‪ >10,14>,>14,30>,>30,40>,>40,50‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25‬‬‫‪10 14‬‬ ‫‪30 40‬‬‫‪ Q1‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ﻟﺴﻠﺴﺔ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﻭ ‪ Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ /1‬ﺴﻼﺴل ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺘﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ \"ﻤﺩﺭﺝ\" ﻴﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ‬ ‫ﻤﺼﻨﻔﺔ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ ‪C1,C2 ,.......,C p‬‬‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ ،‬ﻨﺤﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ )ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل(‬‫ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺜﻡ ﻨﻨﺸﻲﺀ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﻤﺘﻼﺼﻘﺔ ‪ R1R2 ,......, Rp‬ﻗﻭﺍﻋﺩﻫﺎ ﺍﻟﺴﻔﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ‪ C1,C2 ,.......,C p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﺒﺤﻴﺙ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ‪ R1R2 ,......, Rp‬ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔ‬‫ﻤﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ‪ C1,C2 ,.......,C p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ .‬ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ‪ R1R2 ,......, Rp‬ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫\"ﻤﺩﺭﺝ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ\"‬ ‫ب‪ -‬ﻁﺭﻴﻘﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﺤﻴﺙ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻤﺼﻨﻔﺔ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬‫‪ C1,C2 ,.......,C p‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ n1, n2 ,......., np‬ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪C1,C2 ,.......,C p‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A1, A 2 ,......., A p‬ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ‪ C1,C2 ,.......,C p‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﻌﺘﻤﺩ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ A1 A 2 ....... A p‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪\" :‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺸﻲﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ ‪ Ci‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ ، ni‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻔﺌﺔ ‪ C1‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ‪.‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪ :‬ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻓﺌﺔ‪ ،‬ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ Ck‬ﻟﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ‪) A k‬ﻤﻥ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻁﻭﺍل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ(‬‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺅﺨﺫ ‪\" hi‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺍﻟﻤﻨﺸﻲﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻔﺌﺔ‬‫‪) hi‬ﺤﻴﺙ ‪ A i‬ﻁﻭل ‪ Ci‬ﻭ ‪ni‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪Ak‬‬ ‫‪ Ci‬ﻭﻓﻕ \"ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ ( Ci‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﻔﺌﺔ ‪. Ci‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:1‬‬‫ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪ ،‬ﻗﺒل ﺍﻟﺸﺭﻭﻉ ﻓﻲ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪ ،‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻭﺤﺩﺓ ﻁﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ‬ ‫ﻭﻭﺤﺩﺓ ﻁﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:2‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪...‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻊ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺒﺎﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪.‬‬ ‫ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻤﺜل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻼﻤﺎﺕ ‪ 24‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‬ ‫>‪>0,5> >5,9> >9,12> >12,18‬‬ ‫‪ 5 8 7 4‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬‫‪ A 3‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺫﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭل ﻫﻲ ‪ C3‬ﺤﻴﺙ ‪ 9,12‬ﻭﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ A 3‬ﺒﺤﻴﺙ‪> >12  9 :‬‬ ‫‪A3 3‬‬‫ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪hi‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( Ci‬‬ ‫>‪>0,5‬‬ ‫>‪>5,9‬‬ ‫>‪>9,12‬‬ ‫>‪>12,18‬‬ ‫‪ 5  0 5 9  5 4 12  9 3 18 12 6‬ﻁﻭل‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( A i‬‬

‫ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬‫ﺍﻟﻔﺌﺔ) ‪( ni‬‬ ‫‪5u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫) ‪( hi‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ‬‫‪9‬‬ ‫ﻓﺮد واﺣﺪ‬‫‪8‬‬‫‪7‬‬ ‫‪5, 9‬‬ ‫‪9, 12‬‬ ‫‪12, 18‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪0, 5‬‬ ‫‪ /2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ x1, n1 ,x2 , n2 ,..........(x p , np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬‫) ‪ x1, x2 ,........, x p‬ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻭ ‪ n1, n2 ,......, np‬ﻫﻲ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ(‬‫‪ fi‬ﺃﻴﻥ ‪ ni‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪xi‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﺃﻥ‪ :‬ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻗﻴﻤﺔ ‪ xi‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪fi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭ ‪n n1  n2  ......  np‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪x n1x1  n2 x2  ...........  n1p x p‬‬ ‫‪n1  n2  .............  np‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺥ‪x f1x1, f2 x2 ,................., f p xp :1‬‬‫ﺥ‪ :2‬ﻫﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ α‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫‪ x1  α , n1 ,x2  α , n2 ,..............., xp  α , np‬ﻫﻭ ‪ x  α‬‬‫ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫ﺥ‪ :3‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ β.x1, n1 ,β.x2 , n2 ,..............., β.xp , np‬ﻫﻭ ‪ β.x‬‬‫ﺥ‪ :4‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫ ‪ x1, n1 , x2 , n2 ,..., x p , np , y1, m1 , y2 , m2 ,...., yR , mR‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n.x  m.y‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪nm‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ x :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ‪ x1, n1 ,x2 , n2 ,..............., xp , np‬‬ ‫‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ‪y1, m1 ,y2 , m2 ,...............,yR , mR‬‬ ‫‪ n n1  n2  ......  np‬ﻭ ‪m m1  m2  ......  mp‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ‪ 15‬ﺫﻜﻭﺭﺍ ﻭ‪ 25‬ﺇﻨﺎﺜﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ ﻫﻭ ‪ 16‬ﺴﻨﺔ ﻭﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ‬ ‫ﺍﻹﻨﺎﺙ ﻫﻭ ‪ 17‬ﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪15.16  25.17‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻫﻭ‪15  25 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻫﻭ‪ 16,625 :‬ﺴﻨﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻫﻲ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺴﺠﻠﺕ ﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﺴﺠل ﺸﺨﺹ ﺍﻟﺴﻌﺭ –ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ -‬ﻟﻠﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﻤﺎ ﻭﻫﺫﺍ ﺨﻼل ‪ 12‬ﺸﻬﺭﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‬ ‫ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﺸﻬﺭ‬

‫اﻷﺳﻌﺎر‬ ‫‪ 50 48 52 49 48 55‬ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫‪ 7 8 9 10 11 12‬ﺍﻟﺸﻬﺭ‬ ‫‪ 52 54 52 55 57 53‬ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫اﻷﺷﻬﺮ ‪40‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬ ‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺘﻤﺘﺎﺯ ﺒﺘﺫﺒﺫﺒﺎﺕ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﻭﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻭﻫﺫﺍ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺤﻜﻡ ﻋﻠﻰ \"ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ\" ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ‪:‬‬‫ﻗﺼﺩ ﺇﺒﺭﺍﺯ ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﺍﻟﺘﺫﺒﺫﺒﺎﺕ ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﻠﺠﻭﺀ ﺇﻟﻰ \"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ\"‬ ‫ﻭ\"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ \" 2h 1‬ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ x1, x2 ,........, xN‬ﻓﻲ ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ‪ d1, d2 ,......, d N‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺒﺤﻴﺙ‪2k 1  N :‬‬‫ﺘﻤﻠﻴﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 2k  1‬ﻴﻌﻨﻲ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‬‫ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬ﻨﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻟﻜل ‪ 2k  1‬ﺃﻭﻗﺎﺕ ‬‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪ xi‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﻭﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﻴﺴﻤﻰ ﻭﺴﻁﺎ‬ ‫ﻤﺘﺤﺭﻜﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪2k  1‬‬ ‫)ﻭﺒﻌﺩ ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ(‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2k 1 3 ، k 1‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ‪- 1,2,3 :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪،‬‬‫ﻭﻭﺴﻴﻁﻬﺎ ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻭﻗﺎﺕ ‪ 1,2,3‬ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ 50,48,52 -‬ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫‪50  48  52‬‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻫﻭ‪3 :‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪50‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2k  1 5 ، k 2‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ‪- 1,2,3,4,5 :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬‫ﻭﻭﺴﻴﻁﻬﺎ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻭﻗﺎﺕ ‪ 1,2,3,4,5‬ﻫﻲ –ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪50,48,52,48,48 -‬‬ ‫‪50  48  52  49  48‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻫﻭ‪5 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 5‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ‪ 3‬ﻫﻭ ‪49,4‬‬‫‪ x‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ \"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪) 3‬ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪\"(5‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ )ﺍﻷﺸﻬﺭ(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ )ﺍﻷﺴﻌﺎﺭ(‬ ‫‪50‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪3456‬‬ ‫‪50‬‬‫ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬ ‫‪52 49 48 55‬‬ ‫‪49. 49. 50. 51.‬‬ ‫ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪6666‬‬ ‫‪ 7 8‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ )ﺍﻷﺸﻬﺭ(‬ ‫‪53.6‬‬ ‫‪49. 50. 51. 51.‬‬ ‫‪ 52 54‬ﺍﻟﻘﻴﻡ )ﺍﻷﺴﻌﺎﺭ(‬ ‫‪54‬‬ ‫‪4426‬‬‫‪ 53.6 52.6‬ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ‬ ‫‪10 11 12‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬ ‫‪55 57 53‬‬‫‪ 52.2 53.6‬ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪54.6 55‬‬ ‫‪54.2‬‬‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬

‫اﻷﺳﻌﺎر‬ ‫‪58‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪44‬‬ ‫اﻷﺷﻬﺮ ‪42‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬‫ﺍﻟ‬‫ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺤﻜﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺴﻌﺭ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻫﻭ \"ﺍﻹﺭﺘﻔﺎﻉ\"‬‫‪ /4‬ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ :‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ x1, n1 ,x2 , n2 ,..............., xp , np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ :‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ V‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪V n1x1  x ²  n2 (x2  x)²  ..........  np (xp  x)²‬‬ ‫‪n1  n2  ............  np‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪2,18,10,2,18 : A‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪8,10,9,11,12 : B‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ xA‬ﻭ ‪ VA‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪A‬‬ ‫ﻭ ‪ xB‬ﻭ ‪ VB‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪B‬‬ ‫‪ xA‬ﻤﻨﻪ‪xA 10 :‬‬ ‫‪2u 2  2u18 1.10‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪5 :‬‬

‫‪xB‬‬ ‫‪ xB‬ﻤﻨﻪ‪10 :‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‬ ‫‪1.9‬‬ ‫‪ 1.10‬‬ ‫‬ ‫ ‪1.11‬‬ ‫‪1.12‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪10 ²‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫‪ VA‬ﻤﻨﻪ‪51,2 :‬‬ ‫‪ 1(10‬‬ ‫‪10)²‬‬ ‫‬ ‫‪2(18‬‬ ‫‪10)²‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10 ²‬‬‫‪VB‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪(9‬‬ ‫‬ ‫‪10)²‬‬ ‫‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪ 10)²‬‬ ‫‬ ‫‪(11‬‬ ‫‬ ‫‪10)²‬‬ ‫‬ ‫‪(12‬‬ ‫‬ ‫‪10)²‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪VB 2 :‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻴﻘﻴﺱ \"ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\" ﺇﺫ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ \"ﻤﺸﺘﺘﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\"‬ ‫ﻭﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ \"ﻤﺘﺭﻜﺯﺓ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\"‬‫ﻫﻜﺫﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺃﻋﻼﻩ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ B‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﺍﻩ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻤﺎ ﻴﻌﺒﺭ ﻤﻌﺩل‬ ‫ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﺍﻩ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺨﺎﺼﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ x1, n1 ,x2 , n2 ,..............., x p , np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻭ ‪- V‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ -‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﻀﻊ‬‫‪ n n1  n2  ......  np‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪> @V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n1 x1‬‬ ‫‬ ‫‪x ²  n2 (x2‬‬ ‫‪ x)²  ....  np (xp‬‬ ‫‬ ‫‪x )²‬‬ ‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻨﻪ ﺒﻨﺸﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ‪:‬‬‫‪V‬ﻭﺒ@ >‬‫‪1‬‬‫‪n‬‬ ‫‪n1x1²‬‬ ‫‪ 2x1x‬‬ ‫‬ ‫‪x²  n2(x2²‬‬ ‫‬ ‫‪x2 x‬‬ ‫‬ ‫‪x²) .... np(xp ²  2xpx‬‬ ‫‬ ‫)‪x²‬‬ ‫ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ )ﻤﺤﻜﻤﺔ(‪:‬‬‫‪V‬ﻭﺒﻤﺎ@ >‬‫‪1‬‬ ‫‪x ²‬‬ ‫‪²‬‬‫‪n‬‬ ‫‪(n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪...np‬‬ ‫‪2x(n1x1‬‬ ‫‪n2x2‬‬ ‫‪..npxp‬‬ ‫)‬ ‫‪n1x1²‬‬ ‫‪n2x2‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪..npxp‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ n1  n2  ...  np n‬ﻭ ‪n1x1  n2 x2  ...  np x p nx‬‬ ‫‪> @V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nx ²  2x(n.x)  n.1 x1 ²  n2 x2 ²  ...  n p x p ²‬‬ ‫‪ V‬ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ²‬‬ ‫‬ ‫‪n1x1 ²‬‬ ‫‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‬ ‫‪np‬‬ ‫‪xp‬‬ ‫‪²‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺭ‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ‬ ‫‪n‬‬

‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ x1, n1 ,x2 , n2 ,..............., x p , np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‬‫‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ V‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻴﻌﻁﻰ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬‫‪n‬‬ ‫‪ V‬ﺤﻴﺙ‪n1  n2  ......  np :‬‬ ‫‪n1x1 ²  n2 x2 ²  ...  n p x p ²‬‬ ‫‪n‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻔﺎﺭﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ‪ -‬ﺃﻜﺜﺭ ﺒﺴﺎﻁﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻷﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ x‬ﻤﺴﺘﻌﻤل ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻋﺩﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫‪ VA‬ﻤﻨﻪ‪51,2 :‬‬ ‫‪2.2²‬‬ ‫‪ 1.10²‬‬ ‫‬ ‫‪2.18²‬‬ ‫‪ 10²‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪VB‬‬ ‫‪ VB‬ﻤﻨﻪ‪2 :‬‬ ‫‪8²‬‬ ‫‬ ‫‪9²‬‬ ‫‬ ‫‪10²‬‬ ‫‬ ‫‪11²‬‬ ‫‬ ‫‪12²‬‬ ‫‬ ‫‪10²‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫أ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪r‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ r v‬ﺤﻴﺙ ‪ v‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﻤﺒﺭﻤﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻅﻴﻔﺔ ‪ SD stat‬ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪r‬‬‫‪ 2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻗﻴﻡ ﻤﺼﻨﻑ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﺘﺒﺩﻴل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻤﺜل ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪.‬‬

‫‪ /5‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‪،‬‬‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل )ﺃﻭ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﺩﻨﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Q1‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﺕ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ Q1‬ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 25%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪Q1‬‬‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ )ﺃﻭ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻋﻠﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Q3‬ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 75%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ‘‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ Q1,Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ) ‪ (Q1  Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪> @.‬‬‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﻭل )ﺃﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﺩﻨﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ D1‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ‬‫ﻜﺘﺒﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ D1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪ ،10%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪D1‬‬‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪) :‬ﺃﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﻋﻠﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ D9‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ‬‫ﻜﺘﺒﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ D9‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 90%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪D9‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ D1, D9‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (D9  D1‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪> @.‬‬ ‫ب‪ -‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ‪:‬‬‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﻴﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪ Q3‬ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻴﻥ ‪ D1‬ﻭ ‪ D9‬ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﺍﻟﻜﻠﻲ )ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺃﻓﺭﺍﺩﻫﺎ(‬ ‫‪N‬‬‫ﻨﺭﺘﺏ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺘﺏ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﻫﺎ( ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪N‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 4‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬‫‪N‬‬ ‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬‫‪4‬‬‫‪3N‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 4‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬

‫‪N‬‬ ‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪4‬‬‫‪3N‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 10‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9N‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪D9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 10‬ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬‫‪N‬‬ ‫‪ D1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪10‬‬‫‪9N‬‬ ‫‪ D9‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪10‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‪:‬‬‫‪2-2،5-4-5-6،75-8-9-9-11،5-11،5-12-13‬‬‫‪3N‬‬ ‫ﻭ‪9‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ N‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻫﻭ ‪ 12‬ﻭ ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﻤﻨﻪ‪Q1 4 :‬‬‫ﻭﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 9‬ﻤﻨﻪ‪Q3 11,5 :‬‬

‫‪ 2‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪8 10 12 13 14 15 16‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪15 45 20 70 50 10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬ ‫‪15 60 80 150 200 210 215‬‬ ‫‪17 18 19 20 22 25 26‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪5 30‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 13‬‬ ‫‪220 250 266 272 275 278 91‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬‫‪N‬‬ ‫ﻭ ‪29,1‬‬ ‫‪3N‬‬ ‫ﻭ ‪218,25‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻫﻨﺎ ‪ N‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻫﻭ ‪ 291‬ﻭ ‪72,75‬‬‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9N‬‬ ‫ﻭ ‪261,9‬‬ ‫‪10‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ Q1 :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 73‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 80‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟـ ‪ 60‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪Q1 12 :‬‬‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 219‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 220‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟـ ‪ 215‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪Q3 17 :‬‬‫‪ D1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 30‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 60‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ‬ ‫‪ 15‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪D1 10 :‬‬‫‪ D9‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 262‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 266‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟـ ‪ 250‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪D9 19 :‬‬ ‫ﺝ‪ -‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ(‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ( ﻫﻭ ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﻴﺴﻤﺢ ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻗﻴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺤﻭل ﻭﺴﻴﻁﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺨﻤﺴﺔ ﻗﻴﻡ ﻭﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ )ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( min x‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ‪Q1‬‬

‫ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ )ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Q2‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ med‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( me‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪Q3‬‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ )ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( Max x‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪،‬‬‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺴﻠﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺘﻤﺜﻴل ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ \"ﻤﺩﺭﺠﺔ\" )ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺃﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ( ﺒﺩﺍﻴﺘﻬﺎ ﺘﻤﺜل ‪ min x‬ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﺘﻤﺜل‬‫‪ Max x‬ﺜﻡ ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل‪ med ، Q1 :‬ﻭ ‪ Q3‬ﺜﻡ ﻨﻜﻤل ﺍﻟﺸﻜل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)*(‬ ‫‪min x‬‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪med Q2‬‬ ‫‪Max x‬‬‫)*( ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻴﺴﻤﻰ \"ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ\" ﻭﺍﻟﻘﻁﻌﺘﺎﻥ ﺨﺎﺭﺠﺔ ﺘﺴﻤﻴﺎﻥ \"ﺍﻟﺸﻨﺒﻴﻥ\" )‪ (Moustaches‬ﺃﻭ \"ﺍﻟﺭﺠﻠﻴﻥ\"‬ ‫)‪ (Pattes‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪ 2‬ﻓﻘﺭﺓ )‪– (5‬ﺏ‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻫﻭ ‪ 291‬ﻭﻫﻭ‬‫ﻓﺭﺩﻱ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ med‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﺘﺒﺘﻬﺎ ‪ 145) 146‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻗﺒل ‪ med‬ﻭ‪145‬‬‫ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺒﻌﺩ ‪ ( med‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ med‬ﻀﻤﻥ ﺍﻟـ ‪ 150‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟـ ‪80‬‬ ‫ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪ med 13 :‬ﻭﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪min x‬‬ ‫‪Q1 med‬‬ ‫‪Q2‬‬ ‫‪Max x‬‬‫‪8‬‬ ‫‪1213‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪26‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻗﺩ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺘﺒﺩﻴل ‪ min x‬ﺒـ ‪D1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻭ ‪ Max x‬ﺒـ ‪D9‬‬‫‪ -‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﻫﻭ ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﻴﻌﻜﺱ ﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ 50%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪.‬‬ ‫ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ‬‫ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﻫﻲ‪:‬ﺍﻟﻤﺩﻯ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﻓﻲ ﺩﺍﺭ ﻟﻠﻌﺠﺯﺓ ﺃﺘﺘﻨﺎ ‪ 30‬ﻋﺠﻭﺯﺍ‪ ،‬ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻌﻤﺭ )ﺒﺴﻥ( ﻜل ﻓﺭﺩ ﻤﻥ ﺃﻓﺭﺍﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‪.‬‬‫‪12‬‬ ‫‪65-70‬‬ ‫‪70-75‬‬ ‫‪75-80‬‬ ‫‪80-85‬‬ ‫‪85-90‬‬‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60-65‬‬ ‫أ‪ -‬ﺍﺸﺭﺡ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻹﻨﺸﺎﺀ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺃﻜﺜﺭ‪ ،‬ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻷﺠل ﺫﻟﻙ‬

‫أ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫>‪>60,70‬‬ ‫>‪>70,85‬‬ ‫>‪>85,90‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﺠﺯﺓ‬‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ S3 , S2 , S1‬ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﻤﻨﺸﺄﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ‬ ‫>‪ >85,90>، >70,85>، >60,70‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪S3‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ S1‬ﻭ ‪ S2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ‪ S1  S2 140 :‬ﻭ ‪S1  S2 0‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻌﻠﻡ ﻜﺎﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺅﺴﺴﺔ ﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ 30‬ﻓﺭﺩﺍ ﻤﻨﻬﻡ ‪ 10‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭ‪ 5‬ﺃﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭ‪ 8‬ﺇﺩﺍﺭﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺴﺄﻟﻨﺎﻫﻡ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﻤﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺘﻠﻤﻴﺫ‪:‬‬ ‫‪3،6،1،0،4،0،4،0،12،5‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺃﺴﺘﺎﺫ‪:‬‬ ‫‪12،6،4،6،3‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺇﺩﺍﺭﻱ‪:‬‬ ‫‪4،10،1،2،6،0،4،3‬‬ ‫ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﺘﺒﺭﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ‬‫ﺍﻷﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻹﺩﺍﺭﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻴﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻜﻠﻬﺎ )ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟـ ‪.(23‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ‪ z‬ﻭ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ‬‫ﺍﻷﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭ ‪ z‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻹﺩﺍﺭﻴﻭﻥ ﻭ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺃﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )ﺃﻱ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟـ ‪.(23‬‬‫ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺘﺤﻔﻴﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻁﺎﻟﻌﺔ ﺃﻜﺜﺭ‪ ،‬ﻷﺠل ﺫﻟﻙ ﺜﻡ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﻓﻲ ﻋﺩﺓ ﺃﺴﺎﻟﻴﺏ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﺤﻔﻴﺯﻴﺔ‪.‬‬‫أ‪ -‬ﺍﻷﺴﻠﻭﺏ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯﻱ ﺍﻷﻭل ﺠﻌل ﻜل ﻓﺭﺩ ﻴﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ ‪ 3‬ﻜﺘﺏ ﻟﻠﻤﻁﺎﻟﻌﺔ ﺴﻨﻭﻴﺎ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪ :‬ﻤﺎ‬ ‫ﻫﻭ ﻤﻌﺩل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬

‫ب‪ -‬ﺍﻷﺴﻠﻭﺏ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯﻱ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺠﻌل ﻜل ﻓﺭﺩ ﻴﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻓﻲ‬‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻤﺭﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪.‬‬‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺩل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﻗﺴﻡ ﻨﻬﺎﺌﻲ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﺒﻨﺎﺕ ﻭ‪ 8‬ﺫﻜﻭﺭ‬‫ﺃﺠﺭﻴﻨﺎ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻐﻴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯ‪ ،‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪07،11،20،14،11،17،15،11 :‬‬‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‪6،17،6،6،10،17،19،18 :‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭﺃﺤﺴﺏ ‪ y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‬ ‫‪1‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ U x‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﺜﻡ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‪.‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vy‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ ﺜﻡ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﺴﻨﺎ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺘﻬﺎﺀ ﺒﻁﻭﻟﺔ ﻜﺄﺱ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻟﻌﺎﻡ ‪ ،2006‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ 7‬ﻓﺭﻕ ﺃﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﻭ‪ 7‬ﻓﺭﻕ ﻤﻥ‬‫ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ )ﺃﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻴﺴﺕ ﺃﻭﺭﻭﺒﻴﺔ(‬‫ﻓﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﻫﻠﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺍﻟﺴﺒﻊ ﻭﻜﺫﺍ ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ‪11،10،2،9،9،8 :‬‬‫ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‪4،3،2،10،7،1 :‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ ، x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﻭﺃﺤﺴﺏ ‪ ، y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫‪1‬‬‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‪.‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vx‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ‪Vx‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vy‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ‪Vy‬‬ ‫‪3‬‬‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﻌﻠﻴﻘﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺯﺍﺌﺭﻴﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ 30‬ﻨﺎﺠﺤﺎ ﻓﻲ ﺒﻜﺎﻟﻭﺭﻴﺎ ‪ ،2006‬ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‪ -‬ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺘﻨﺎﺯﻟﻴﺎ‪ -‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪20 19 19 17 17 17 16 16 15 14‬‬ ‫‪14 14 14 13 13 12 11 11 10 10‬‬ ‫‪10 10 9 9 9 8 8 8 7 7‬‬ ‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ‪ :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ 4‬ﻨﻅﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ﺸﺨﺹ ﻤﺩﺨﻥ‪ ،‬ﺤﺎﻭﻟﻨﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﺠﺎﺌﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﺨﻨﻬﺎ ﺨﻼل ﻋﺸﺭﺓ ﺃﻴﺎﻡ‪ ،‬ﻓﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬ﺍﻟﻴﻭﻡ‬‫‪ 20 22 16 24 30 18 24 20 32 25‬ﻋﺩﺩ‬‫ﺍﻟﺴﺠﺎﺌﺭ‬ ‫ﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺒﻤﻀﻠﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬أ‪ -‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.3‬‬ ‫ب‪ -‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.5‬‬ ‫ج‪ -‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.7‬‬ ‫ﻭﻀﺢ ﺍﻟﺘﻤﻠﻴﺴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬‫‪ 3‬ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﺜﻡ ﻗﺩﻡ ﺘﻌﻠﻴﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﺩﺨﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺩﺭﺴﺔ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ﻟﻺﺩﺍﺭﺓ‪ ،‬ﺒﻌﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﺕ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺸﺤﻴﻥ ﺒﻐﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺩﻻﺘﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻓﺸﻜﻠﻬﺎ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ 7 7.5 9 10 11 11.5 12 14 16 16.5‬ﺍﻟﻤﻌﺩﻻﺕ‬‫‪ 10 14 5 13 20 11 5 14 2‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪7‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‪.‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ‪ min x :‬ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ‪ max x ،‬ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ‪ Q1 ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻷﻭل‪ Med ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ Q3 ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ –ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ -‬ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﺎﻟﺩﻴﻨﺎﺭ ﺍﻟﺠﺯﺍﺌﺭﻱ ﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﺍﻁﻨﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪22000‬‬ ‫‪27000‬‬ ‫‪19000‬‬ ‫‪30000‬‬‫‪10000‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ‪Me,Q3 ,Q1, D9 , D1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﺩﻡ ﺘﻌﻠﻴﻕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬

‫ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ - -‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪: n‬‬ ‫‪ /3‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪:‬‬‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪ ،‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻭﺴﺎﺌل ﻟﻠﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪) : 01‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ )ﺃﻭ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ﺃﻭ ﺤﺠﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ( ﻫﻭ‬ ‫ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ‬‫ﻤﻜﻌﺏ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺠﻪ ﻤﻥ ﺃﻭﺠﻬﻪ \"ﺭﻤﺯ\" ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﺘﻌﺒﺭ‪ -‬ﻓﻲ ﻏﺎﻟﺏ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ‪ -‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﺍ ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻬﻭ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻨﺭﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﺯﻴﻑ )ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺯﻥ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺼﻨﻌﻪ ﺘﺭﺠﺢ ﻅﻬﻭﺭ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻷﻭﺠﻪ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺭﻤﻴﻨﺎ‪ -‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪2-1-4-5-4-1-2-4-3-4-5-6-4-5-6-6-3-1-2-4-2-6-4-4-2‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﺘﺒﺭﺯ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﻭﺘﻭﺍﺘﺭﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫‪ 2‬ﺒﺩﻭﺭﻙ‪ ،‬ﺃﺭﻤﻲ‪ -‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﺜﻡ ﺃﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺃ‪ -‬ﻭﺏ‪ -‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫‪ 3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻭﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ )‪(3‬‬ ‫ﺃﻨﺸﻲﺀ –ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ -‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x 1‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪3 0,12‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5 0,2‬‬ ‫‪2 0,08‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪56‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0,32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0,12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0,16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪:‬‬‫اﻟﺘﻮاﺗﺮات‬ ‫‪0,8‬‬ ‫‪0,6‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻢ‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪456‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪123‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(3‬‬ ‫‪2‬ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺤﺼﻠﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ )ﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﻀﺭﻭﺭﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﻼﻕ!!!(‬ ‫‪5-6-5-6-4-1-6-2-1-3-2-6-2-1-1-2-4-3-4-2-3-6-4-1-3‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3‬ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 5‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪5 0,2 4‬‬ ‫‪0,16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪56‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪25‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0,16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0,08‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪ 3‬ﺃ‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪23‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10 6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12%‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪56‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪59‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪24%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10%‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪18%‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫* ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ )‪ (1‬ﺘﺴﻤﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻰ ﻨﺭﺩ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ\" ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ‬‫)‪ (2‬ﻫﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻤﺎ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ )‪ (3‬ﻓﻬﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫ﻭﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅﻪ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻤﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﺇﻟﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﺃﺨﺭﻯ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﻴﻌﻜﺱ‬ ‫ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪) 2‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ(‪:‬‬

‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ‪ x‬ﻟﻺﻨﺎﺙ ﻭﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ‪ y‬ﻟﻠﺫﻜﻭﺭ ﺍﻟﺨﺎﺼﺘﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ﻤﺎ ﻭﻓﻲ‬‫ﻤﻜﺎﻥ ﻤﺎ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺫﻟﻙ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺃﻥ ﻨﻌﻤل ﺒﻌﻴﻥ ﺘﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ‪ N‬ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ‬ ‫ﻭﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺨﻁﻭﻁ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ ﻭﻨﺼﻁﻠﺢ‪:‬‬‫ﺭﻤﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﻤﺜل ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ‪ ،‬ﻅﻬﻭﺭ ﻭﺠﻪ ‪ F‬ﻴﻤﺜل \"ﺍﻟﻤﻭﻟﻭﺩ ﺃﻨﺜﻰ\" ﻅﻬﻭﺭ ﻅﻬﺭ ‪ P‬ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻤﻭﻟﻭﺩ  ‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻭﻗﻌﻬﺎ؟‬ ‫ﺫﻜﺭ\"‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪P-F-F-F-F-P-P-F-F-F-F-F-F-P-F-F-F-F-P-P-F-F-P-P-P-F-‬‬ ‫‪P-P-P-F-P-P-F-P-F-P-F-P-P-P-P-F-F-F-P-F-P-F-F-P‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ N‬؟‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ P‬ﻭ‪ F‬ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﺝ‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻭﻗﻌﺎﺕ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ‪ x‬ﻭ ‪y‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‪ :‬ﻨﺘﻭﻗﻊ ‪x 50%‬‬ ‫ﻭ ‪y 50%‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪N 50 -‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ P‬ﻫﻭ ‪ 24‬ﻭﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ F‬ﻫﻭ ‪26‬‬‫‪52‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪26‬‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ F‬ﻫﻭ‬ ‫‪48‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪24‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ P‬ﻫﻭ‬‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬‫ﺝ‪ -‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻨﺘﻭﻗﻊ ‪ x 52%‬ﻭ ‪y 48%‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﻗﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪\" (1‬ﻗﺭﻴﺏ\" ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻭﻗﻊ ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻜﻭﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ \"ﺃﺨﺫ ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ –ﻗﺼﺩ‬‫ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺠﻨﺴﻪ‪ -‬ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻭﺍﻟﻴﺩ\" ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻨﺎ ﻗﻤﻨﺎ \"ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ\" ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺃﺨﺫ ﻤﻭﻟﻭﺩ‪ -‬ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ‬‫ﺒﺠﻨﺴﻪ\" ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻭﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺴﻨﺩ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻔﻭﺍﺌﺩ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺠﺘﻨﺎﺏ ﺍﻟﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﻹﻨﺠﺎﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻤﻥ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺘﺜﺒﻴﺕ ﺃﻭ ﻨﻔﻲ ﺘﻭﻗﻌﺎﺕ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪-‬‬‫ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺒﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ﻭﺃﺨﺫ ﻤﻭﺍﻗﻑ ﻭﻗﺭﺍﺭﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻨﻅﺭﻴﺔ‪.‬‬‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭﻟﻜﻥ ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ‬ ‫ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪: n‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪ n‬ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺎ‪ ،‬ﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻴﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺈﻨﺠﺎﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‪ :‬ﻭﺠﻪ ﺃﻭ ﻅﻬﺭ )ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ ﻅﻬﺭ ﻴﺤﻤل ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ(‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪ :‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ 0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﻭﺒـ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻅﻬﺭ‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪:‬‬‫‪-1-0-0-1-1-1-0-0-1-1-0-1-0-1-1-1-1-0-0-0-1-0‬‬ ‫‪1-1-0‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻫﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\"‬ ‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪ 0 1‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬

‫‪ 0,44 0,56‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬‫ﻷﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ 0‬ﻫﻭ ‪11‬‬‫‪11‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ 0‬ﻫﻭ‬‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ 1‬ﻫﻭ ‪14‬‬‫‪14‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪14‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ 1‬ﻫﻭ‬‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻤﻁﻠﻭﺒﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻨﺠﺯ ﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ n‬ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻴﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ‬‫ﺃﺨﺭﻯ‪ -‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ‪ -‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻥ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ n‬ﺃﺨﺭﻯ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻟﻴﺱ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ،‬ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﺓ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻭﻑ ‪a,b,c, d ,e, f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫‪-‬‬‫ﺭﻤﻰ ﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ A‬ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ef‬‬‫‪ 0,15 0,19 0,14 0,20 0,15 0,17‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬‫ﺜﻡ ﺭﻤﻰ ﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ B‬ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cd‬‬ ‫‪ef‬‬‫‪ 0,26 0,12 0,15 0,136 0,05 0,284‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻴﻨﺘﻴﻥ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫ﻤﺜﺎل ﻋﻥ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪ ،‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻭﺴﺎﺌل ﻟﻠﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫‪ -‬ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﺘﻤﺩ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻤﺜل‪ :‬ﺭﻤﻲ‬‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ‪ ،‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺼﻨﺩﻭﻕ‪ ،‬ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﻤﺠﺩﻭل‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ :‬ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﺃﻭ ﺃﻨﺜﻰ ﻓﻲ ‪ 15‬ﻋﺎﺌﻠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ‬ ‫ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﺫﻜﺭ ﺃﻭ ﺃﻨﺜﻰ )ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ !!(‬ ‫‪x‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺄﺨﺫ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻜﺴﻨﺩ ﻤﺎﺩﻱ)ﺃﻨﻅﺭﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(2‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺄﺨﺫ ﻜﺴﻨﺩ ﻤﺎﺩﻱ ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6،5،4،3،2،1‬‬‫ﺇﺫ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻴﻤﺜل \"ﻭﻻﺩﺓ\"؟ ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﻴﻤﺜل \"ﺫﻜﺭ\"؟ ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ ﻴﻤﺜل \"ﺃﻨﺜﻰ\" ﻭﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻨﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 15‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫‪1-3-3-4-6-5-1-4-5-3-6-4-2-2-1‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﺍﻹﻨﺎﺙ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺌﻼﺕ‪ ،‬ﻫﻭ‬ ‫ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ ﻫﻭ‬ ‫‪ x‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺘﺎﻥ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ\" ﻭ\"ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ‬‫ﻜﺭﺘﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﺍﻷﺨﺭﻯ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻭﻫﺫﺍ ﻷﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ﻭﻫﺎﺘﺎﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﺎﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﺤﻅﻭﻅ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻅﻬﻭﺭ‪.‬‬

‫‪ 2‬ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪:‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﻨﺩﻨﺎ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﻭﻻ‬‫ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ \"ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﻤﺘﺯﻥ ‪ 4‬ﻤﺭﺍﺕ\" ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻤﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ‪:‬‬‫\"ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﺜﻡ ﺇﺭﺠﺎﻋﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ\" ﻭﺇﻋﺎﺩﺓ ﻫﺫﺍ ‪ 6‬ﻤﺭﺍﺕ‪.‬‬‫‪ x‬ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‪:‬‬‫‪Rand‬ﺃﻭ ‪ (Random)Ran #‬ﻓﻲ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬‫)ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ( ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪> >. 0,1‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪،‬‬‫)ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ( ﺜﻡ‬ ‫* ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬‫** ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ 7‬ﻤﺭﺍﺕ‬‫‪ -‬ﺃﻏﻠﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺘﻌﻁﻲ ﺃ‪d‬ﻋ‪n‬ﺩ‪a‬ﺍﺩ‪R‬ﺍ ﺒـ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ‬ ‫ﺃﻜﺜﺭ ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ‪ .‬ﺒﺎﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ =‬ ‫ﺃﻭ‬‫‪Rand xy 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ‪ 30‬ﻤﻼﺫﺍ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻠﻤ ‪3‬ﺴﺔ ‪Rand xy‬‬‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪) :‬ﻻ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺇﻻ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‬‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ( ‪Rand‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻀﻐﻁ ‪ 6‬ﻤﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬‫‪Rand xy 2‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫=‬ ‫‪0,000324‬‬ ‫‪0,419904‬‬ ‫‪0,101124‬‬ ‫‪0,528529‬‬ ‫‪0,02856‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺼﻁﻠﺤﻨﺎ ﺃﻥ \"ﻓﺭﺩﻱ\" ﻴﻤﺜل \"ﺫﻜﺭ\" ﻭ \"ﺯﻭﺠﻲ\" ﻴﻤﺜل \"ﺃﻨﺜﻰ\" ﻭﺘﻤﻜﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻤﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫§¨‬ ‫‪12‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‬ ‫§¨‬ ‫‪18‬‬ ‫¸·‬ ‫ﺍﻹﻨﺎﺙ‬ ‫©‬ ‫‪30‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪30‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0dad1‬ﻴﻜﻭﻥ ‪0 d 6a  6‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪1 d 6a  1  7 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‪Rand x 6 + 1 :‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1,7‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ )ﺃﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻗﺒل ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ( ﻫﻭ> >‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 1,6‬ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﻤﺜل ﻭﺠﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﻭﺠﻪ ﻨﺭﺩ‪> @.‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‬‫‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﻴﻌﻁﻲ‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‬ ‫‪= Rand x 6 +‬‬ ‫‪2 m 2,104‬‬‫ﻭﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‪ 6-3-2-3-2‬ﺘﻤﺜل ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 5‬ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫‪13 m 3,904‬‬ ‫‪2 m 2,824‬‬ ‫‪3 m 3,79‬‬ ‫‪6 m 6,028‬‬ ‫\"ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ\"‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫‪ 1‬ﺃﺭﻤﻲ ‪ 15‬ﻤﺭﺓ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.P‬‬‫ﺃﺭﻤﻲ ‪ 60‬ﻤﺭﺓ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﺒﻪ ‪ 4‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ‪ 6‬ﻜﺭﺍﺕ ﺴﻭﺩﺍﺀ ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪\":‬ﻨﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺔ‬‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ‪ ،‬ﻨﺴﺠل ﻟﻭﻨﻬﺎ ﺜﻡ ﻨﻌﻴﺩﻫﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺠﺯ ‪ 20‬ﻤﺭﺓ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ‬‫‪ 2‬ﻜﺭﺭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ 5 (1‬ﻤﺭﺍﺕ ﻭﺴﺠل ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ‬‫ﻋﻴﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻓﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫أ‪ -‬ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻤﻘﺎﺱ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪40‬‬ ‫ب‪ -‬ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪100‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺃ‪ >1,10@ -‬؟‬ ‫ﺏ‪ >2,4@ -‬؟‬ ‫ﺝ‪ >8,17@ -‬؟‬ ‫ﺩ‪ >3,12@ -‬؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻋﻠﺒﺔ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ‪ ،‬ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﺤﻅ\"‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ‬‫\"ﻨﺠﺎﺡ\"‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﺼﺤﺔ\" ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﺴﻌﺎﺩﺓ\" ﻭﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﻋﻤل\"‪.‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ .‬ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺤﺸﺭﺓ ﺁﻟﻴﺔ ﻤﺒﺭﻤﺠﺔ –ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻘﻔﺯ ﺒﻨﺼﻑ ﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺠﻨﻭﺏ‪ ،‬ﺸﻤﺎل‪،‬‬ ‫ﺸﺭﻕ‪ ،‬ﻏﺭﺏ ﻟﻌﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪) 0‬ﺍﻟﺸﻜل(‬ ‫ﻭﺘﺭﻜﻬﺎ ﺘﺅﺩﻱ ‪ 4‬ﻗﻔﺯﺍﺕ‪.‬‬ ‫ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﺨﺘﺎﺭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬‫‪0‬‬ ‫ﺃﻨﺠﺯ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﺃﺭﺴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ‪.‬‬

‫ﺍﻻﺤـﺘـﻤــﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺭﻓﻕ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﻤﻨﺘﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺤﺩﻭﺙ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫‪ -‬ﺒﻨﺎﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺠﺤﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺃﺸﺠﺎﺭ ﺍﻟﻤﺭﺠﺤﺔ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻭ ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭ ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻟﺘﺒﻴﺎﻥ ﺘﻼﺌﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪-I‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ II‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪ ،‬ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪:‬‬‫‪ III‬ﺍﻷﻤل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫‪-I‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ x‬ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻌﺭﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭ ﻟﻜﻥ ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ‬ ‫ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪.‬‬‫‪ x‬ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ) ﺃﻭ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ( ﻜل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ‪،‬ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪.:‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪.:‬‬ ‫‪ : -‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ :‬ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻷﻜﻴﺩﺓ‪.‬‬‫‪ ‡ -‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ :‬ﺇﺫﻥ ‡ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻭ ﻫﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ Z‬ﻤﺨﺭ ًﺠﺎ‪ ،‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ \"‪ \" ZA‬ﻨﻘﻭل ‪:‬‬ ‫\" ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ Z‬ﻴﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪.\"A‬‬‫‪-‬ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ) ﺃﻭ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺃﻭ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺃﻭﻟﻴﺔ( ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻴﺤﻘﻘﻬﺎ ﻤﺨﺭﺝ ﻭﺍﺤﺩ ﻭ ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ B،A‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‪:‬‬‫ﻭ ﻫﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﻤﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺸﻜل‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬‫ﻤﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫ﻻ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫‪ ) A‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(A‬‬‫ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‬ ‫\" ‪A‬ﻭ ‪\"B‬‬ ‫‪$ˆ%‬‬ ‫‪B‬‬‫ﺘﺤﻘﻕ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫\"‪ A‬ﺃﻭ‪\" B‬‬ ‫‪$‰%‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪. B‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل »‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ « ﻴﻌﻨﻲ ‡ ‪$ˆ%‬‬‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻭ‬ ‫ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ\"‬

‫‪ x‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪ An .................. A2،A1‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫‪.A1‰ A2‰…….An=: x‬‬‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺩﺭﺱ ‪،‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﺨﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﺨﻭﺍﺼﻬﺎ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪: ^ Z1 ;Z2 ;…… ;Zn}:‬‬‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‪ p‬ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻴﻌﻨﻲ ﺇﺭﻓﺎﻕ ﺒﻜل ﻤﺨﺭﺝ ‪ Zi‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ‪) pi‬ﻭ ﻫﺫﺍ ﻤﻥ ‪i=1‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪ .(i=n‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪. p1+p2+………..pn=1‬ﻭ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ i‬ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪ ، ntit1‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ‪ pi‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ Zi‬ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪.p( Zi‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ‪.‬‬ ‫» ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ « A‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ)‪ p(A‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌ ّﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ }‪ A={a1 ;a2 ;…..ak‬ﺤﻴﺙ ‪ ak........، a2، a1‬ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫)‪P(A)=p(a1)+p(a2)+…….+p(ak‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪p({a})=p(a) : a‬‬ ‫‪.p(‡)=0 -‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ ) ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ(‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ‪ p‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪::‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪. 1 t p(A)t 0 :A‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪.p( A ) =1-p(A): A‬‬ ‫‪. p(:)=1 x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪A‬ﻭ‪.p(A‰B)=p(A)+p(B)-p(AˆB) : B‬‬

‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ ‪. p(A‰B)=p(A)+p(B) :‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ Am......، A2، A1‬ﺤﻭﺍﺩﺙ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ ‪:‬‬ ‫)‪p(A1‰A2‰……‰Am)=p(A1)+p(A2)+……+p(Am‬‬ ‫ﺩ‪-‬ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ }‪.: {Z1 ; Z2 ,…… ;Zn‬‬ ‫‪ x‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻌ ّﺭﻑ ﺒـ‪ :‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ i‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. nt i t 1‬‬ ‫‪1‬‬‫)‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ(‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫=)‪p(Zi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈ ّﻥ‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ‪.(:‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ ‪. :‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﻭل ﺃ ّﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪: A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫= )‪p(A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫=)‪p(A‬‬ ‫ﻴﻘﺎل ﻜﺫﻟﻙ ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫‪ II‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﺔ ‪ ،‬ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺘﻤﺭﻴﻥ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ‪:‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻓﺭﻴﻕ ﻁﺒﻲ ﻤﻥ ‪ 240‬ﺸﺨﺼﺎ ﻴﻨﻘﺴﻤﻭﻥ ﺇﻟﻰ ﻓﺌﺘﻴﻥ ‪ :‬ﺃﻁﺒﺎﺀ ﻭ ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ ‪ ،‬ﻭ ﻓﻲ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﻬﺘﻡ‬ ‫ﺒﻌﻨﺎﺼﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ‪.‬‬ ‫‪ %60‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﻨﺴﺎﺀ ﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻭ ‪ %12,5‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ‪.‬‬

‫‪ -1‬ﺃﻜﻤل \" ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ -‬ﺤﻴﺙ ‪ F‬ﻴﻤﺜل ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪ H ،‬ﻴﻤﺜل ﺭﺠل ‪ I ،‬ﻴﻤﺜل ﻤﻤﺭﺽ)ﺓ( ‪ M ،‬ﻴﻤﺜل‬ ‫ﻁﺒﻴﺏ)ﺓ( ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﺩﺍﺨل ﺍﻹﻁﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺭﻏﺔ‪.‬‬‫‪12,5%‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪M‬‬‫‪H‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪75%‬‬ ‫‪60%‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ؟ ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ؟‬ ‫‪-3‬ﻴﺭﺍﺩ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ ،‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻟﺸﺨﺹ ﻜﻲ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﻤﻬﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(F‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺍﻤﺭﺃﺓ ؟‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ p(FˆI‬ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ ؟‬ ‫‪-4‬ﻴﺭﺍﺩ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ‪ ،‬ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻻﻤﺭﺃﺓ ﻜﻲ ﺘﻘﻭﻡ ﺒﻤﻬﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل )‪ PF(I‬ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻹﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ ؟‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ %60 -1-‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﻨﺴﺎﺀ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ %40‬ﻤﻥ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ ﺭﺠﺎل‬ ‫) ﻷﻥ ‪.( 100%-60%=40%‬‬ ‫‪ 75%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻤﻨﻪ ‪ 25%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻁﺒﻴﺒﺎﺕ ) ﻷﻥ‬ ‫‪.( 100%-75%=25%‬‬‫‪ 12,5%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﻤﻤﺭﻀﻭﻥ ﻤﻨﻪ ‪ 87,5%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠﺎل ﺃﻁﺒﺎﺀ ) ﻷﻥ‬ ‫‪( 100%-12,5%=87,5%‬ﻭ ﻴﻜﻤل \" ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬

‫‪12,5%‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬‫‪40%‬‬ ‫‪87,5%‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪75%‬‬‫‪60%‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪25% M‬‬ ‫‪ -2-‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ ‪ 60%‬ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﺸﺨﺎﺹ‪.‬‬ ‫ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ ‪.144‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻋﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ ‪ 75%‬ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ‪.‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪144‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪75‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻤﺭﻀﺎﺕ ﻫﻭ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪.108‬‬‫‪ \" -3-‬ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ\" ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ ‪.240‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \" F‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ﻫﻭ‪.144‬‬ ‫ﺃﻱ ‪. p(F)=0,6‬‬ ‫=)‪p(F‬‬ ‫‪144‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪240‬‬‫‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ )‪ \" (FˆI‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﻫﻭ ‪.108‬‬ ‫)‪. p(FˆI‬‬ ‫‪=0,45‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫=)‪p(FˆI‬‬ ‫‪108‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪240‬‬‫‪ -4-‬ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ ‪ 144‬ﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ\" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﻫﻭ‬ ‫‪.108‬‬

‫)‪. pF(I‬‬ ‫‪=0,45‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫=)‪pF(I‬‬ ‫‪108‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪240‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ \" -1-‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ\" ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻴﺴﻤﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ\" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﺃﻭ\" ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ\" ﺃﻭ \" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ\"‬ ‫ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁﺎﺕ‬‫) ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺤﻭﺍﺩﺙ ﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ( ﻴﺨﻀﻊ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺴﺘﺸﺭﺡ ﻓﻲ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺩﺭﺱ‪.‬‬‫‪ -2-‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ p(F)=0,6 :‬ﻭ ‪ p(FˆI)=0,45‬ﻭ ‪. pF(I)=0,75‬‬ ‫)‪p(F ˆ I‬‬ ‫=)‪pF(I‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ )‪p(F‬‬‫)‪ pF(I‬ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﻀﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪.‬‬ ‫‪(2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺸﺎﻤﻠﺔ ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ p‬ﻭ ﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪. p(A)z0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬‫ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \" B‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ B‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ\" ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪pA(B‬‬ ‫)‪p(A ˆ B‬‬‫= )‪pA(B‬‬ ‫)‪p(B‬‬ ‫) ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪( p(B/A‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ )‪ pA(B‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻ ﺸﺭﻁﻴﺎ ﻭ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﺘﺤﻘﻕ ‪ B‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﺘﺄﻜﺩﻴﻥ ﺃﻥ ‪ A‬ﻤﺤﻘﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ) ﺃﻭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺭﺠﺤﺔ(‪.‬‬ ‫ﺃ‪-‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﺜﺎل ‪:‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﺹ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ‬‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ \" ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ – ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ﻟﺸﺨﺹ\" ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﺨﻁﻁ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪0,125‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬‫‪0,4‬‬ ‫‪0,875‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0,75‬‬‫‪0,6‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪0,25‬‬ ‫‪M‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪1‬‬‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﻴﺴﻤﻰ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ) ﺃﻭ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺃﻭ ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ( ﻭ ﻫﻭ ﻴﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻜل ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺘﺴﻤﻰ ﻏﺼﻨﺎ‪.‬‬ ‫* ﺭﺴﻡ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :1‬ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺇﻤﺎ ﺭﺠﻼ )‪ (H‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﺍﻤﺭﺃﺓ )‪. (F‬‬‫ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ H‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ F‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺫﻴﻥ ﺍﻟﻐﺼﻨﻴﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪) x‬ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ x‬ﺠﺫﺭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ( ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪:2‬‬ ‫‪-‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠﻼ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺭﺠل ﻫﻭ ﺇﻤﺎ ﻤﻤﺭﺽ )‪(I‬‬‫ﻭ ﺇﻤﺎ ﻁﺒﻴﺏ )‪ (M‬ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺭﺠل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻫﻭ ﻤﻤﺭﺽ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ I‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ‬ ‫ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪.F‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺭﺠل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻫﻭ ﻁﺒﻴﺏ \" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ M‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪.F‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﻫﻲ ﻤﻤﺭﻀﺔ )‪ (I‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﻁﺒﻴﺒﺔ )‪. (M‬‬ ‫ﻭ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﻤﺭﻀﺔ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ I‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪. F‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻻﻤﺭﺃﺓ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﺒﺔ\" ﺒﺎﻟﺤﺭﻑ ‪ M‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﺼﻥ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ‪. F‬‬

‫*ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻏﺼﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,6‬ﻭ )‪.0,6 = p(F‬‬ ‫ﻟﻘﺩ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪F‬‬‫ﺤﻴﺙ )‪ p(F‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\" ‪.‬‬‫ﻭ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ H‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,4‬ﻭ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ‪ 0.4‬ﻫﻭ )‪p(H‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪ p(H‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل\"‪.‬‬ ‫‪-‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬‫ﻟﻘﺩ ﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ F I‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0,75‬ﻭ )‪0,75= PF(I‬‬‫ﺤﻴﺙ )‪ pF(I‬ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﺽ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ\"‪.‬‬‫ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪ F M‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0,25‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪.pF(M)=0,25‬‬‫‪ H‬ﺍﻟﻌﺩﺩ‪0,125‬ﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ‪. pH(I)=0,125‬ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪M‬‬ ‫ﻭﺃﺭﻓﻘﻨﺎ ﺒﺎﻟﻐﺼﻥ ‪I‬‬ ‫‪ H‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0,875‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ‬ ‫‪.pH(M) =0,875‬‬‫ﺤﻴﺙ)‪ pF(M‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻁﺒﻴﺒﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻤﺭﺃﺓ ‪.‬‬‫)‪ pH(I‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻤﻤﺭﻀﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل ‪.‬‬‫)‪ pH(M‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﻁﺒﻴﺒﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠل ‪.‬‬‫‪ H‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ) ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل(‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺠﺯﺀ‪I :‬‬‫ˆ ‪p(H‬‬ ‫)‪I‬‬ ‫)‪p(H‬‬ ‫‪=0,125‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪pH(I)=0,125‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪p(H)=0,4‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪p(HˆI)=0,125‬‬ ‫)‪p(H ˆ I‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫)‪0,4‬‬‫ﺇﺫﻥ )‪ \" p(HˆI‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺭﺠﻼ ﻭ ﻤﻤﺭﻀﺎ\" ﻫﻭ ‪.0,05‬‬‫ﻓﻲ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﻐﺼﻥ ﻴﺴﻤﻰ ﻭﺯﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻐﺼﻥ ﻭ ﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﺘﺄﺘﻲ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ \" ﺸﺠﺭﺓ‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﺃﻭ \" ﺸﺠﺭﺓ ﻤﺭﺠﺤﺔ\" ‪.‬‬

‫ﺏ‪-‬ﻭﺼﻑ ﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺇﻨﺸﺎﺌﻬﺎ‪:‬‬‫ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﻲ ﻤﺨﻁﻁ ﻤﻭﺠﻪ ﻭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻴﻤ ﱢﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ‬‫ﻭﻀﻌﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻴﺩﺍﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ ‪ .‬ﻣﺴﺎﺭ‬ ‫ﻭﺼﻑ ﻭ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺄ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭ ﺘﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ﺠﺫﺭ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺴﻤﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺼل ﺒﻴﻥ ﻏﺼﻨﻴﻥ ﻋﻘﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻏﺼﺎﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻏﺼﻦ‬ ‫‪ -‬ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﻭﺍﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﻘﺩﺘﻴﻥ ﺘﺴﻤﻰ ﺃﻏﺼﺎﻥ ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ‪.‬‬‫ﺛﺎﻧﻮﻱ ﺟﺬﺭ‬ ‫‪ -‬ﻜل ﻁﺭﻴﻕ ﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﻭ ﻋﻘﺩﺓ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺴﺎﺭﺍ‪.‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﺼﺎﺩﺭ ‪_A1_A2_..........._An‬‬‫ﻋﻘﺪﺓ ﻏﺼﻦ‬ ‫ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪.A1ˆ A2ˆ………ˆAn.‬‬‫ﺍﺑﺘﺪﺍﺋﻲ‬ ‫ƒ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -1-‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺘﺸﻜل ﺘﺠﺯﺌﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﺎﻤﻠﺔ‪.:‬‬ ‫‪ -2-‬ﻭﺯﻥ ﻏﺼﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ‪.‬‬‫‪ -3-‬ﻭﺯﻥ ﻏﺼﻥ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺸﺭﻁﻲ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺘﺼل ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃﻩ ﻤﺤﻘﻕ‪.‬‬ ‫‪ -4-‬ﻭﺯﻥ ) ﺃﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل( ﻤﺴﺎﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺠﺩﺍﺀ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‪.‬‬ ‫‪ -5-‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻌﺩﺓ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ƒ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ‪.1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﺍﻷﻏﺼﺎﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻘﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.1‬‬

‫ﻤﺜﺎل ﺘﻁﺒﻴﻘﻲ‪:‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺜﺔ ﻜﺭﺍﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ﻜﺭﺘﻴﻥ ﺴﻭﺩﻭﺘﻴﻥ‪.‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ‪3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭ ﻫﺫﺍ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫) ﺤﻴﺙ ‪ B‬ﻴﻌﻴﻥ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ‪ N‬ﻴﻌﻨﻲ ﺴﻭﺩﺍﺀ(‪.‬‬ ‫‪1/3 B‬‬ ‫‪2/4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2/3 N‬‬ ‫‪B N 2/3 B‬‬ ‫‪3/5 2/4 1/3 N‬‬ ‫‪2/3 B‬‬ ‫‪2/5‬‬ ‫‪3/4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪3/3 B‬‬ ‫ƒ‬ ‫‪1/4 N‬‬ ‫‪0/3 N‬‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ ‪.(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺒﻴﻀﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻜﻲ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ƒ‬ ‫‪5‬‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﻜﺭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺴﻭﺩﻭﺘﻴﻥ ﻫﻭ‬ ‫ﻭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ‬ ‫ƒ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ ‪ 4‬ﻭﺼﻑ * (‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺴﻭﺩﺍﺀ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫*‬ ‫ﻭﺼﻑ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺩﺓ‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﻴﻀﻭﺘﺎﻥ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﻭ‬ ‫ƒ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻫﻭ‬‫‪3‬‬ ‫‪(5‬ﻭ ﻫﻭ‬ ‫) ﻗﺎﻋﺩﺓ‬ ‫§¨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫¨§‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¹‬‬