دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪ : 08‬ﺠﻤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ،‬ﺠﻤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺭﺠﻤﺔ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺒﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺘﺩﺨل ﻓﻴﻬﺎ ﺠﻤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭ ﺠﻤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺘﺭﻤﻴﺯ‬ ‫‪ /2‬ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫‪ /3‬ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪) ax + by + c > 0‬ﺃﻭ ‪( ax + by + c < 0‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺠﻤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ،‬ﺠﻤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬‫ﺠﻤل ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺙ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺤل ﺠﻤل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﺤﻭل \"ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ\"‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (d4 ),(d3 ),(d2 ),(d1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬‫‪ x +1 = 0 ، − 2x + 6 y − 8 = 0 ، x − 3y + 2 = 0 ، 2x + 5y −1 = 0‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪ - 1‬ﻫل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪ (d2 ),(d1‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ؟‬ ‫‪ -‬ﻫل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ) ‪ (d3 ),(d2‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ؟‬‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,0 ‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪A(−1,1‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻭ‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺃﻜﻤل ﺒـ \"ﻨﻌﻡ\" ﺃﻭ \"ﻻ\" ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ )ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ(‬‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬‫) ‪(d4 ) (d3 ) (d2 ) (d1‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪B‬‬‫‪ 3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ )‪ (d3 ) ، (d2 ) ، (d1‬ﻤﻊ‬‫ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ –ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ )‪، (d1‬‬ ‫) ‪(d4 ) ، (d3 ) ، (d2‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ‪ (d‬ﻭ)'‪ (d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬

‫‪(d ) = ux +ϑy + w = 0‬‬ ‫‪(d ') = u' x +ϑ' y + w'= 0‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ (d‬ﻭ)'‪ (d‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪u' x +ϑ' y = 0‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(d1 ): 2x + 5y −1 = 0 :‬‬ ‫‪(d2 ): x − 3y + 2 = 0‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ u = 2;ϑ = 5;u'= 1;ϑ'= −3‬ﻭ‪uϑ'−ϑu'= −11‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ)‪ (d1‬ﻭ ) ‪ (d2‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪(d2 ): x − 3y + 2 = 0 :‬‬ ‫‪(d3 ): −2x + 6 y − 8 = 0‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ u = 1;ϑ = −3;u'= −2;ϑ'= 6‬ﻭ ‪uϑ'−ϑu'= 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ (d2 ) :‬ﻭ) ‪ (d3‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺤﺘﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﺘﺼﺒﺢ \"ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ\"‬‫ﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒﻔﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭ ‪ y‬ﺒﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,0‬‬ ‫;‪‬‬ ‫)‪A(−1,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫• ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒـ ‪ -1‬ﻭ ‪ y‬ﺒـ ‪1‬‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (d1‬ﺘﺼﺒﺢ‪ 2(−1) + 5.1−1 = 0 :‬ﻭﻫﺫﺍ ﺨﻁﺄ‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (d2‬ﺘﺼﺒﺢ‪ −1− 3(1) + 2 = 0 :‬ﻭﻫﺫﺍ ﺨﻁﺄ‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (d3‬ﺘﺼﺒﺢ‪ − 2(−1) + 6.1− 8 = 0 :‬ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (d4‬ﺘﺼﺒﺢ‪ (−1) +1 = 0 :‬ﻫﺫﺍ ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﺒـ ‪0‬‬ ‫ﻭ‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒـ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ‬ ‫•‬ ‫‪2‬‬‫ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5.0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫) ‪(d1‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺨﻁﺄ‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3.0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫) ‪(d2‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺨﻁﺄ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6.0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫) ‪(d3‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺨﻁﺄ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫) ‪(d4‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫) ‪(d4 ) (d3 ) (d2 ) (d1‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻻ ﻻ ﻨﻌﻡ ﻨﻌﻡ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻨﻌﻡ ﻻ ﻻ ﻻ‬‫‪ 3‬ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ \"ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل\" ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ‬ ‫‪\"0‬‬ ‫ﻭ\"ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ\" ﻫﻲ \"ﻨﻘﻁﺔ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪\"0‬‬‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (d2‬ﻨﺠﺩ‪ :‬ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (d3‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫) ‪ (d1‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫‪− 2x −8 = 0‬‬ ‫‪x+2=0‬‬ ‫‪ y‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪2x −1 = 0 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪x = −4‬‬ ‫ﺃﻱ‪x = −2 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪6y −8 = 0‬‬ ‫‪−3y + 2 = 0‬‬ ‫‪ x‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪5y −1 = 0 0‬‬‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﻭﺤﺎﻤل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,0 ‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻴﻘﻁﻊ‬ ‫ﻤﻨﻪ) ‪(d1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬‫) ‪ (d2‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ D(−2,0‬ﻭﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫‪E‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬‫) ‪ (d3‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ F(−4,0‬ﻭﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬‫ﻟﻺﻨﺸﺎﺀ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ) ‪ (d4 ) ، (d3 ) ، (d2 ) ، (d1‬ﻫﻭ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ -1‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫)‪(d4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪(d1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(d3‬‬ ‫)‪(d2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﻤﻔﻬﻭﻡ \"ﻤﺤﺩﺩ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ\"‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻫﻲ‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(I‬‬ ‫‪)..........2x‬‬ ‫‪+y‬‬ ‫‪−2=0‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪y −3 = 0‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻤﻊ ‪ x‬ﻓﻲ ‪ R‬ﻭ ‪ y‬ﻓﻲ ‪) R‬ﻨﻘﻭل‪ :‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ‪ (x, y) :‬ﻓﻲ‬ ‫‪(R×R‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﻤﺭﺘﺒﺔ ) ‪ (α, β‬ﺤﻼ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬؟‬‫‪ 2‬ﺃ‪ -‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪ ،‬ﺃﻋﻁ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ‬ ‫\"ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ) ‪ (α, β‬ﻫﻲ ﺤل ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪\" (I‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‬‫ﺕ‪-‬ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ )‪– (2‬ﺏ‪ -‬ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻟﺫﻫﻨﻲ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪(I‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻫﻲ‪(I )..........2xx++yy−−23==00 :‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪ (1).......x + y − 2 = 0‬ﻭ ‪(2).......2x + y − 3 = 0‬‬‫‪ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ ، β‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬‫) ‪ (α, β‬ﺤﻼ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ‪ ،‬ﺃﻥ ﺘﺼﺒﺢ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪(2‬‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒـ ‪α‬ﻭ ‪ y‬ﺒـ ‪. β‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪ -‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫)‪ (1‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (∆1‬ﻭ)‪ (2‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(∆2‬‬‫ﻭ‪ (α, β )\" :‬ﺤل ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪ \" (I‬ﻴﻌﻨﻲ \"ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ M (α, β‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺸﺘﺭﻜﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ) ‪ (∆1‬ﻭ) ‪\" (∆2‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ –ﺃ‪ -‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 1×1− 2×1 = −1 :‬ﻭ ‪ −1 ≠ 0‬ﻤﻨﻪ ) ‪ (∆1‬ﻭ) ‪ (∆2‬ﻟﻴﺱ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻫﻤﺎ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‪.‬‬‫ﺠـ‪ -‬ﻷﻭل ﻨﻅﺭﺓ ﻨﺭﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (1,1‬ﺤل ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬ﺒﺎﻟﻔﻌل‪:‬‬ ‫‪ 1+1− 2 = 0‬ﻭ ‪2.1+1− 3 = 0‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ) ‪ (I‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ) ‪ (I‬ﻫﻲ })‪{(1,1‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺇﻋﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻠﻭﻀﻊ ﺍﻟﺴﺎﺌﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ '‪ a,b,c,a',b',c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‪ ،‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ‬‫ﺤل‬ ‫‪-R×R‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(I‬‬ ‫'‪)..........aax' x++bby‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪c‬‬ ‫=‬‫ﻭﺤﻴﺩ‪ ،‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ab'−ba'≠ 0‬ﻭ )'‪ (ab'−ba‬ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪(I‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 3‬ﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪2x + y −1 = 0‬‬

‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ )‪ (2x + y −1‬ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪(x, y‬‬ ‫ﺒﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻷﻭل‪.‬‬‫‪ A B C D E F‬ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫‪G HKL‬‬ ‫‪(2,−3) (1,1) (−4,6) (0,−1) (0,1) (−1,−1) (2,1) 12,−2 (−2,7) 12,0‬‬‫‪2x +‬‬‫‪y −1‬‬‫‪ 2‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻋﻠﻡ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﺃﻋﻼﻩ‬ ‫• ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ ‪ +‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪2x + y −1 > 0‬‬ ‫• ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ * ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪2x + y −1 < 0‬‬ ‫• ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ ‪ ‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪2x + y −1 = 0‬‬‫‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺜﻡ ﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ‬ ‫ﻹﺸﺎﺭﺓ ‪2x + y −1‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻴﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ A B C D E F G H K L‬ﺍﻟﻨﻘﻁ‬‫‪2x + y −1 0 2 3- 2- 0 4- 4 2- 2 0‬‬

‫‪ 2‬ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪y‬‬‫‪(D) 8‬‬ ‫‪K.‬‬ ‫‪7‬‬‫‪C.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 E .B . G‬‬ ‫‪L‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x‬‬ ‫‪F . -1 D‬‬ ‫‪-2 .H‬‬ ‫‪-3 A‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺸﻜل‪ ،‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ ‪ +‬ﺘﻘﻊ \"ﻓﻭﻕ )ﺘﻤﺎﻤﺎ(\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(D‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ * ﺘﻘﻊ \"ﺘﺤﺕ )ﺘﻤﺎﻤﺎ(\" ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(D‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ ‪ ‬ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ)‪(D‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻴﺤﺩﺩ ﻨﺼﻔﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻔﺘﻭﺤﻴﻥ‬ ‫ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪2x + y −1 > 0‬‬ ‫ﻭﺍﻵﺨﺭ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪2x + y −1 < 0‬‬

‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، R × R‬ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، R²‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (x, y‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، R × R × R‬ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، R3‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (x, y, z‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ‪ z‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ‬‫ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫'‪a, b, c, a', b', c‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪ax + by + c = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪a' x + b' y + c'= 0‬‬‫ﻭ)‪ (x, y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ R²‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‪ ،‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻡ( '‪ab'−ba‬‬ ‫ﻴﺴﻤﻰ ﻤﺤﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻴﻠﺯﻡ‬ ‫ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺤﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪(I‬‬ ‫‪).........32xx‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪2 y − 7 = 0....(1‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪y −1 = 0.....(2‬‬

‫‪(III‬‬ ‫‪).........9−x3−x‬‬ ‫= ‪3y −5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(‬ ‫‪II‬‬ ‫‪).........2xx++24y‬‬ ‫=‪y−6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪+ y −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−3 = 0‬‬‫ﺤﻴﺙ )‪ (x, y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪ ، R²‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ) ‪(III ),(II ),(I‬‬ ‫‪ax + by + c = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪a' x + b' y + c'= 0‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤل ﻫﻲ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫* ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ : (I‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪ a = 9,b = −3,c = −5,a'= −1,b'= 1,c'= −2‬ﻭ ‪ ab'−ba'= 6‬ﻤﻨﻪ ﻤﺤﺩﺩ‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (I‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪ (I‬ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤل‪،‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ y = 1− 2x....(2') :(2‬ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪:(1‬‬ ‫‪3x − 2(1− 2x) − 7 = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪7x −9 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)'‪(2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪,− 171‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫) ‪(I‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫** ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪: (II‬‬ ‫‪ a = 2,b = 4,c = −6,a'= 1,b'= 2,c'= −3‬ﻭ ‪ab'−ba' = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (II‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‬‫‪x+ y−3=0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭﻫﻲ‬ ‫‪2(x + y − 3) = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫) ‪(II‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪،‬‬ ‫‪x + y − 3 = 0‬‬

‫ﺃﻱ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ y = 3 − x‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (II‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ )‪ (x, y‬ﻋﻨﺎﺼﺭ ‪ R²‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪y = 3 − x‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (III‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‪ (x,3 − x) :‬ﺤﻴﺙ ‪ x‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (III‬ﻟﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﻻ ﻤﺘﻨﺎﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬ ‫*** ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪(III‬‬ ‫‪ a = 9,b = −3,c = −5,a'= −3,b'= 1,c'= −4‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ab'−ba' = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﻫﻲ‬ ‫‪3(3x − y) − 5 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫) ‪(III‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪−1(3x − y + 2) = 0‬‬ ‫‪3(3x − y) = 5‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻭﻫﻲ‬ ‫‪3(3x − y) − 5 = 0‬‬ ‫‪3x − y = −2‬‬ ‫‪3x − y + 2 = 0‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x − y = −2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﺃﻴﺔ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (x, y‬ﺘﺤﻘﻕ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x − y = −2‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ (III ) :‬ﻻ ﺘﻘﺒل ﺃﻱ ﺤل ﺇﺫﻥ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (III‬ﻫﻲ ‪Φ‬‬‫ﺠـ‪ -‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﺎﻥ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻ ﻟﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(S‬‬ ‫'‪).........aax' x++bby‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫)‪0...(1‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫'‪c‬‬ ‫)‪= 0...(2‬‬ ‫ﻓﻲ ‪ R²‬ﻭﺤﻴﺙ '‪ a,b,c,a',b',c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪: (S‬‬

‫‪ 1‬ﻨﺤﺴﺏ '‪ ، ab'−ba‬ﻤﺤﺩﺩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (S‬ﻗﺼﺩ ﺃﺨﺫ ﻓﻜﺭﺓ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺤﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪(S‬‬‫‪ 2‬ﻨﻌﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (S‬ﻭﻟﺫﻟﻙ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‪:‬‬‫ﻨﻌﻴﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪) x‬ﺃﻭ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ ( y‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ))‪ (1‬ﻭ)‪ ((2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺼﺒﺢ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ ﺜﻡ ﻨﺘﻤﻡ ﺍﻟﺤل‬‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ )ﺃﻭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻷﻤﺜﺎل ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺯﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ(‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ‪ α ≠ 0 :‬ﻓﺈﻥ‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ax + by + c = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫‪a' x + b' y + c' = 0‬‬ ‫‪ax + by + c = 0‬‬ ‫) ‪α (a' x + b' y + c'))+ β (ax + by + c) = 0....(II‬‬‫ﻭﺇﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﺤﻜﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺠﻌل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ (I‬ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭل‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ﺜﻡ ﻨﺘﻤﻡ ﺍﻟﺤل‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫‪R²‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪(*).......35xx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−3 = 0‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+1= 0‬‬‫ﻤﺤﺩﺩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )*( ﻫﻭ ‪ 3,8 − 5.7‬ﻭﻫﻭ ‪ -11‬ﻭ ‪ −11 ≠ 0‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )*( ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺤل ﻭﺤﻴﺩ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )*( ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻷﻤﺜﺎل‪.‬‬

‫\"ﻨﺘﺨﻠﺹ\"‬ ‫)ﻟﻜﻲ‬ ‫‪3x + 7 y − 3 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫)*(‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪3(5x + 8y +1) − 5(3x + 7 y − 3) = 0‬‬ ‫ﻤﻥ ‪( x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7.18‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3yx=+11781y − 3 = 0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬‫‪‬‬ ‫‪−1311 ,‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)*(‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‪،‬‬ ‫ﺇﻜﻤﺎل‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ‬‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ /3‬ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺙ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻥ‬ ‫)‪ax + by + cz + d = 0...(1‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ a' x + b' y + c' z + d '= 0...(2‬ﺤﻴﺙ‬ ‫)‪a'' x + b'' y + c'' z + d ''= 0...(3‬‬‫''‪ a,b,c,d,a',b',c',d',a'',b'',c'',d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭﺤﻴﺙ ﺍﻟﺜﻼﺜﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫)‪ (x, y, z‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R3‬‬‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺜﻼﺜﻴﺔ ﻤﺭﺘﺒﺔ ) ‪ (α, β ,γ‬ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺤﻼ ﻟﻠﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (S‬ﺇﺫﺍ‬‫ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻭﺽ ‪ x‬ﺒـ ‪ y ،α‬ﺒـ ‪ ، β‬ﻭ ‪ z‬ﺒـ ‪ γ‬ﺘﺼﺒﺢ )‪(1‬‬ ‫ﻭ)‪ (2‬ﻭ)‪ (3‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻁﺎﻟﺏ ﺒﺤل ﺠﻤﻠﺔ‪ ،‬ﻨﻁﺎﻟﺏ ﺒﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭﻟﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺏ‪-‬ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﺎﻥ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻻ ﻟﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺨﻁﻴﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪:‬‬ ‫)‪ax + by + cz + d = 0...(1‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪ (S).....a' x + b' y + c' z + d '= 0...(2) :‬ﺤﻴﺙ )‪ (x, y, z‬ﻫﻭ‬ ‫)‪a'' x + b'' y + c'' z + d ''= 0...(3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R3‬‬ ‫ﻭﺤﻴﺙ ''‪ a,b,c,d,a',b',c',d ',a'',b'',c'',d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﺎﻥ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﻤﺎﻻ ﻟﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪ (S‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ‪:‬‬‫ﻨﻌﻴﻥ ‪ z‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻭ ‪) y‬ﺃﻭ ‪ y‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻭ ‪ z‬ﺃﻭ ‪ x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ y‬ﻭ ‪( z‬‬‫ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ))‪ (1‬ﺃﻭ )‪ (2‬ﺃﻭ )‪ ((3‬ﺜﻡ ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺘﻴﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﻤل ﺍﻟﺤل‪.‬‬ ‫• ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ )ﺃﻭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻭﺤﻴﺩ ﺍﻷﻤﺜﺎل ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺯﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ(‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ‪ β ',α ', β ,α‬ﺒﺤﻴﺙ‪ α ≠ 0 :‬ﻭ ‪α ' ≠ 0‬‬ ‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪ a' x + b' y + c' z + d '= 0 :‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪a'' x + b'' y + c'' z + d ''= 0‬‬ ‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫) ‪α (a' x + b' y + c' z + d ')+ β (ax + by + cz + d ) = 0...(II‬‬ ‫) ‪α '(a'' x + b'' y + c'' z + d '') + β '(ax + by + cz + d ) = 0....(III‬‬‫ﻭﺍﻹﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺤﻜﻡ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ‪ β ',α ', β ,α‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺠﻌل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ‬ ‫) ‪ (II‬ﻭ) ‪ (III‬ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺜﻡ ﻨﻜﻤل ﺍﻟﺤل‪.‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫)‪2x − y + 3z +1 = 0......(1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪x − 5y + 2z + 5 = 0...(2) :‬‬ ‫)‪3x − 2 y + z −1 = 0....(3‬‬ ‫ﺤﻴﺙ )‪ (x, y, z‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪R3‬‬ ‫ﻟﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪ (S‬ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ‪:‬‬ ‫‪......‬ﻤﻥ )‪(1‬‬ ‫‪y = 2x + 3z +1‬‬ ‫)‪(S‬‬‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪(2‬‬‫ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )‪(3‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪x − 5(2x + 3z +1) + 2z + 5 = 0 :‬‬ ‫‪3x − 2(2x + 3z +1) + z −1 = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (S‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪(1')......‬‬ ‫‪y = 2x + 3z +1‬‬ ‫‪(2') .....‬‬ ‫‪− 9x −13z = 0‬‬ ‫‪(3') .....‬‬ ‫‪− x − 5z − 3 = 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (S‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪..... y = 2x + 3z +1‬ﻤﻥ )'‪(3‬‬ ‫‪ x = −5z − 3‬ﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )'‪(2‬‬ ‫‪− 9(−5z − 3) −13z = 0‬‬ ‫‪(1')...... y = 2x + 3z +1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ )‪ (S‬ﺘﻜﺎﻓﺊ‪(2'') ..... x = −5z − 3 :‬‬ ‫‪(3'') ..... 32z = −27‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻤﻥ )''‪(3‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ )''‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−5 −‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‪:‬‬ ‫)‪(S‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = 2x + 3z +1‬‬ ‫‪‬‬

z = − 27  32 x = 39 : ‫( ﺘﻜﺎﻓﺊ‬S) ‫ﻤﻨﻪ‬  32  y = 2 39  + 3 − 27  + 1   32   32  39 , 29 ,− 27  :‫ﻫﻲ‬ (S) ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ‬ 32 32 32  ‫( ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ‬S) ‫ﻟﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬ x −5y + 2z + 5 = 2x − y + 3z +1 = 0 ‫( ﺘﻜﺎﻓﺊ‬S) 3x − 2 y + z −1 = 0 x −5y + 2z + 5 = 0z ‫ ﻟﻜﻲ ﻨﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ‬2(2x − y + 3z +1) − 3(x − 5y + 2z + 5) = 0 ‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ 2(3x − 2 y + z −1) − (x − 5y + 2z + 5) = 0 x −5y + 2z + 5 = 0 x +13y −13 = 0 :‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ 5x + y − 7 = 0 x − 5y + 2z + 5 = 0...(α )y ‫ ﻟﻜﻲ ﻨﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ‬x +13y −13 = 0.....(β ) 13(5x + y − 7) − (x +13y −13) = 0......(γ ) :‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬ z = 5 y −x − 5 ..........(α ') = 2   13 − x  y 13 ......(β ') :‫ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ‬  39 x 32 = .....(γ ') y = 29 :‫ﻨﺠﺩ‬ (β ') ‫ﻓﻲ‬ 39 ‫ﺒـ‬ x ‫ﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ‬ 32 32

‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫)' ‪(α‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪29‬‬ ‫ﺒـ‬ ‫ﻭ‪y‬‬ ‫‪39‬‬ ‫ﺒـ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪(S‬‬ ‫ﺤﻠﻭل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪) ax + by + c > 0‬ﺃﻭ ‪( ax + by + c < 0‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ c,b,a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ a ≠ 0 :‬ﺃﻭ ‪ b = 0‬ﻓﺈﻥ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ ax + by + c > 0‬ﻫﻲ ﺃﺤﺩ ﻨﺼﻔﻲ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ax + by + c = 0‬‬‫ﻭﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ﺍﻵﺨﺭ ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬‫‪) ax + by + c < 0‬ﺤﺴﺎﺏ ‪ ax + by + c‬ﻤﻥ ﺃﺠل )‪ (x, y‬ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﻲ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻻ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﻨﺼﻔﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﻜﻁل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪:1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (E1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ‪2x +1 > 0‬‬ ‫) ‪ (E1‬ﻫﻭ ﺃﺤﺩ ﻨﺼﻔﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺤﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D1‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ 2x + 1 = 0‬ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪A(3,2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ 2.3 +1 = 6 :‬ﻤﻨﻪ‪2.3 +1 > 0 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪ (E1‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ) ‪(E1‬‬

‫‪2x+1<0‬‬ ‫ﻫﻭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D1‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x+1>0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 .A‬‬ ‫‪1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪( D 1 ) -6‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ (D2 ) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ y = 2 :‬ﻭ ) ‪ (E2‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪y < 2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y< 2‬‬

‫ﺍﻟﻤﺜﺎل‪: 3‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‪ (D3 ) ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪2x + y −1 = 0‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫)‪ B(−1,1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪2.(−1) +1−1 < 0 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ) ‪ (E3‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪M (x, y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ 2x + y −1 > 0‬ﻫﻲ ﻨﺼﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻔﺘﻭﺡ ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﺸﻤل ‪B‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(D3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬‫‪2x+y-1<0‬‬ ‫‪3 2x+y-1>0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.1‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(D3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺠﻤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‪ ،‬ﺠﻤل ﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، R²‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل‪ ،‬ﺤﻴﺙ )‪ (x, y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ ،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪،‬‬ ‫‪(2).......0x,225x++0,y5‬‬ ‫‪y=y‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪(1).......3−x5−y‬‬ ‫= ‪5y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫‪2 = 2x‬‬ ‫‪+ 3x‬‬ ‫=‬ ‫‪(3).......... 12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3x + 2 y = 7‬‬‫ﺠﻤل ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺨﻁﻴﺘﻴﻥ ﺫﺍﺕ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، R²‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل‪ ،‬ﺤﻴﺙ )‪ (x, y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ ،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪(2)....‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪7 ، (1).......2x²x+² −73yy² ²==3−89‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x + y = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(3).......‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2(x +‬‬ ‫)‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺠﻤﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺜﻼﺙ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬‫ﺤل‪ ،‬ﻓﻲ ‪ ، R3‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل‪ ،‬ﺤﻴﺙ )‪ (x, y, z‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪ ،‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x + y + z = −11‬‬ ‫‪x + y + z = 6‬‬ ‫‪، (2).....2x = y + z − 2 ، (1)......2x − 3y + 1 = 8‬‬ ‫‪2 y + z − 3x = 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x + 7 y = x + z‬‬ ‫‪(3).....5x + 8y = z‬‬ ‫‪13x +11y − z = 3z + x‬‬ ‫ﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬‫‪2x + y −1 = 0‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫)‪M (x, y‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫) ‪(E1‬‬ ‫ﺃﻨﺸﻲﺀ‬ ‫‪1‬‬‫‪x + y + 5 > 0‬‬‫‪x + y > 1‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﻋﻴﻥ‬ ‫‪2‬‬‫‪2x + 3y < 5‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ) ‪(0, I, J‬‬‫‪− 2 ≤ x ≤ 1‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ )‪ (E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪−1 ≤ y ≤ 2 :‬‬‫‪2x + y − 2 ≤ 0‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ )‪ (E‬ﻫﻲ ﻤﻀﻠﻊ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺭﺅﻭﺴﻪ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪ ،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤل ‪-‬ﺤﻴﺙ )‪ (x, y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ‪- R²‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪x ≥ 7‬‬ ‫‪x ≥ 0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪(1)......12≤x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬‫‪(3)......x − y ≥ −3‬‬ ‫‪، (2)......5yx≥+08y ≤ 40‬‬ ‫‪3x − 2 y ≤ 14‬‬ ‫‪x − y ≥ 13‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺤل ﺠﻤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻤﺤﻴﻁ ﻤﺴﺘﻁﻴل ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ ، 50cm‬ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ‪ 3cm‬ﺇﻟﻰ ﻋﺭﺽ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل‬‫ﻭﻁﺭﺤﻨﺎ ‪ 1cm‬ﻤﻥ ﻁﻭﻟﻪ ﻓﺈﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﺘﺯﺩﺍﺩ ﺒـ ‪. 32cm²‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻁﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻭﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺭﻀﻪ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ﻹﻗﺘﻨﺎﺀ ‪ 3‬ﻭﺭﺩﺍﺕ ﻭﺯﻨﺒﻘﺘﻴﻥ ﻭ‪ 5‬ﻗﺭﻨﻔﻼﺕ ﺩﻓﻊ ﻫﺸﺎﻡ ‪255DA‬‬‫ﻭﻹﻗﺘﻨﺎﺀ ﻭﺭﺩﺘﻴﻥ ﻭ‪ 3‬ﺯﻨﺎﺒﻕ ﻭﻗﺭﻨﻔﻠﺘﻴﻥ ﺩﻓﻊ ﻋﻤﺭ ‪185DA‬‬‫ﻭﻹﻗﺘﻨﺎﺀ ‪ 5‬ﻭﺭﺩﺕ ﻭ‪ 4‬ﺯﻨﺎﺒﻕ ﻭ‪ 3‬ﻗﺭﻨﻔﻼﺕ ﺩﻓﻊ ﻜﺭﻴﻡ ‪345DA‬‬‫ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻭﺭﺩﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻤﺎ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﻘﺭﻨﻔﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻭﻤﺎ ﻫﻭ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺯﻨﺒﻘﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﺴﺘﻤﺜﺎل‬‫ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻌﻤل ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﻭﻗﻁﻌﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪. B‬‬

‫ﺼﻨﻊ ﻗﻁﻌﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﺘﺘﻁﻠﺏ ‪ 50DA‬ﻟﻠﻤﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻭ ‪100DA‬‬‫ﻟﻠﻴﺩ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﺔ ﻭﺼﻨﻊ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ B‬ﻴﺘﻁﻠﺏ ‪ 75DA‬ﻟﻠﻤﺎﺩﺓ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‬ ‫ﻭ‪ 80DA‬ﻟﻠﻴﺩ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺼﻨﻊ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﻫﻲ ‪150DA‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺒﻴﻊ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ B‬ﻫﻲ ‪200DA‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ x‬ﻭ ‪ ، y‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ B‬ﺍﻟﻤﻨﺘﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫ﻤﻴﺯﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻤل ﺘﺸﺘﺭﻁ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫)‪ (1‬ﺍﻟﻤﺼﺎﺭﻴﻑ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻻ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ‪10000DA‬‬ ‫)‪ (2‬ﺍﻟﻤﺼﺎﺭﻴﻑ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻴﺩ ﺍﻟﻌﺎﻤﻠﺔ ﻻ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ‪6000DA‬‬ ‫‪ 1‬ﺘﺭﺠﻡ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ‪ x‬ﻭ ‪y‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ) ‪(0, I, J‬‬ ‫ﻤﺜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ M (x, y‬ﺒﺤﻴﺙ‪ (x, y) :‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪.(2‬‬‫‪ 3‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺒﻴﻊ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﺍﻟﻤﻌﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪. B‬‬‫‪ 4‬ﻋﻴﻥ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻴﻭﻤﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ‪ A‬ﻫﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ‬ ‫‪ B‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻔﺎﺌﺩﺓ ﺍﻟﻴﻭﻤﻴﺔ ﺍﺨﺒﺎﺭﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ : 09‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻹﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﻤﻼﺌﻡ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺇﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺇﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻤﻥ‪ :‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﻭﺇﺘﺤﺎﺩ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻭﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫‪ /2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫‪ /4‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻬﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ )‪(1‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﺘﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻭﺠﻬﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 1‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻗﺴﻡ –ﻭﻋﺩﺩﻫﻡ ‪ -40‬ﺭﻤﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪10‬‬‫ﻤﺭﺍﺕ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 400‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\"‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺒﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ P F‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ 223 177‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 2‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﻤﺠﺩﻭل ‪ Excel‬ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 10000‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫\"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ P F‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ 5022 4978‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 3‬ﻨﻅﺭﻴﺎ‪ ،‬ﻭﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ –ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ -‬ﺒﻜﻡ ﺘﻘﺩﺭ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ P‬؟‬

‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪0,5575‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪223‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪400‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ‪0,4425‬‬ ‫‪177‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪400‬‬ ‫‪0,5022‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪5022‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ‪0,4978‬‬ ‫‪4978‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪10000‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﺔ‬‫ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ﻤﻤﻜﻨﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻨﻅﺭﻴﺎ‪ :‬ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ \" P‬ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺤﻅﻴﻥ\"‬‫‪0,5‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪50%‬‬ ‫ﺒﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺘﻘﺩﺭ‬ ‫‪\"P‬‬ ‫ﺤﻅﻭﻅ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (3‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﺇﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ P‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\" 0,5‬‬‫ﻭﻨﻼﺤﻅ –ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ -(2‬ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬‫ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﻓﺈﻥ \"ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ \" P‬ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ‬ ‫\"ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ \" P‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻘﻭل ﺠﺩﺍ )!!(‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ )‪(2‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻟﺒﻴﺏ ﻭﺸﺭﻴﻑ ﻴﻠﻌﺒﻭﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪.6‬‬

‫ﻋﻨﺩ ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ‪ ، D1‬ﻻﺤﻅ ﻟﺒﻴﺏ ﻭﺸﺭﻴﻑ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍ ﻏﻴﺭ ﻋﺎﺩﻱ ﻟﻅﻬﻭﺭ‬‫ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻭﻗﺼﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻭﻀﻭﻉ‪ ،‬ﻗﺎﻡ ﻟﺒﻴﺏ‬‫ﺒﺠﻤﻊ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 1000‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪) \" D1‬ﻟﻘﺩ ﺴﺎﻋﺩﻩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺃﺼﺩﻗﺎﺀ ﻟﻪ( ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬‫‪ 150 135 145 130 140‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 6‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻫل ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺸﺭﻴﻑ ﻭﻟﺒﻴﺏ \"ﻤﺸﺭﻭﻋﺔ\"‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻜﻠﻲ( ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 1000‬ﻤﻨﻪ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪ 6‬ﻫﻭ‪1000-(150+135+145+130+140) :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 6‬ﻫﻭ ‪300‬‬ ‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫)ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻜﻠﻲ( ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪1‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪123456‬‬ ‫‪0,15 0,135 0,145 0,13 0,14 0,3‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺨﺫﻩ ﻟﺒﻴﺏ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D1‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬

‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻫﻲ ‪15%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪13,5%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻫﻲ ‪14,5%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 4‬ﻫﻲ ‪13%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻫﻲ ‪14%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻫﻲ ‪30%‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل‬ ‫ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺸﺭﻴﻑ ﻭﻟﺒﻴﺏ ﻤﺸﺭﻭﻋﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 4‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﻋﻠﻰ ‪ 12‬ﻜﺭﺓ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 12‬ﻻ ﻨﻔﺭﻕ‬‫ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ )ﻜل ﻜﺭﺓ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻜﺭﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ‬‫ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ( ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﺘﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺴﺤﺏ؟‬‫‪\" 2‬ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪A‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ\" ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫‪B‬‬

‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻟﻴﺱ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪C‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪F‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ‪A, B,C, D, F‬‬‫ﺏ‪-‬ﺃﻋﻁ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ‪ C, D, F‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪A‬‬ ‫ﻭ‪B‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ ،Ω 1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ )ﺃﻭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪. Ω = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} :‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪A = {3;6;9;12} -‬‬ ‫}‪B = {2;4;6;8;10;12‬‬ ‫}‪C = {1;2;4;5;7;8;10;11‬‬ ‫}‪D = {6;12‬‬ ‫}‪F = {2;3;4;6;8;9;10;12‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻜل ﻤﻥ ‪ A, B,C, D, F‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪Ω‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ C :‬ﻫﻲ ﻤﺘﻤﻤﺔ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ Ω‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪C = A :‬‬ ‫‪ D‬ﻫﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪D = A ∩ B :‬‬ ‫‪ F‬ﻫﻲ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪F = A ∪ B :‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫* ﻭﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ 3‬ﺴﺎﺌﺩ‪\" ،‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ\" ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪) A‬ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل‬‫ﺍﻟﻤﺜﺎل( ﻴﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ \"ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ\" ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ‬‫‪ \"3‬ﻭﻟﻐﻭﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻤﺜل \"ﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﻟﺫﺍ ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫** ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﺤﻅﻭﻅ ﺘﺤﻘﻴﻕ ﺤﺎﺩﺜﺔ‬‫ﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ \"ﺴﻠﻡ ﻟﻠﺘﻨﻘﻴﻁ\" ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﻭﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﻭﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺼﻁﻠﺢ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪ 12‬ﺤﻅﺎ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬‫‪ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12‬ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬‫ﻫﺫﺍ \"ﺍﻟﺴﻠﻡ\" ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻴﻠﺨﺹ‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬ ‫)ﺃﻭ‬ ‫‪111111111111‬‬‫ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12‬‬ ‫ﺃﻭ‬‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ(‬ ‫‪xi‬‬‫ﺍﻹﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪pi‬‬

‫ﻭﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻴﺴﻤﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪Ω‬‬‫)ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ pi‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪(1‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ ، p(A‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬‫ﻭﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩﺱ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 12‬ﺤﻅﺎ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬‫)‪p( A‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﺤﺩﺴﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ }‪ A = {3;6;9;12‬ﻭ ‪p( A) = p3 + p6 + p9 + p12‬‬‫*** ﻭﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺍﻟﻤﺒﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﻗﻊ \"ﻤﻴﺩﺍﻨﻲ\" ﻴﻀﻊ‬‫ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﻭﺍﻻﺼﻁﻼﺤﺎﺕ‪.‬‬

‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ )ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻻ‬‫ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ )ﺃﻭ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ( ﻜل ﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻀﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺤﺼﻠﻨﺎ‬‫ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Ω‬ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺠﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ‪.‬‬‫‪ /2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫} ‪Ω = {ω1,ω2 ,.......,ωn‬‬

‫ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻨﺎ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل‬ ‫ﻤﺨﺭﺝ ‪ ωi‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ‪) pi‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ‪ i = 1‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪( i = n‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ p1 + p2 + ...... + pn = 1 :‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، i‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ، n ≥ i ≥ 1 :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ pi‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ ωi‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﻜﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪. P(ωi‬‬ ‫ﻴﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺒﺠﺩﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪ ω1 ω2 .......... ωn‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ωi‬‬ ‫‪ p1 p2 .......... Pn‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪pi‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ \"ﺇﺭﻓﺎﻕ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‪-‬ﻤﻼﺌﻡ‪-‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ\"‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ ‪:‬‬‫‪ *1‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻭ‪ 6‬ﻜﺭﺍﺕ‬‫ﺼﻔﺭﺍﺀ ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ :‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﻠﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺍﻨﻨﺎ ﻨﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﻠﻭﻨﻬﺎ ﻓﺈﻨﻪ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫\"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ R‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫\"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ V‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫\"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ J‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬‫ﻤﻨﻪ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ ‪Ω = {R.V.J} :‬‬ ‫ﻭﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻫﻭ ‪13‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 6‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪:‬‬‫‪ R V‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫‪J‬‬‫) ‪(ωi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪( pi‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬‫‪ *2‬ﻨﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﻭﻨﻬﺘﻡ‬‫ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺭﻤﻲ ﻫﺫﻩ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪Ω = {1;2;3;4;5;6} :‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻓﺈﻥ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪ 1;2;3;4;5;6‬ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ‬‫ﻤﻥ ‪ 6‬ﺤﻅﻭﻅ ﻜﻲ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ) ‪(ωi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪( pi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ Ω = {ω1,ω21,........,ωn} :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪P‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪P(ω1) = p1, P(ω2 ) = p2 ,......, P(ωn ) = pn‬‬

‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺃﻨﻪ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪p1 = p2 = ...... = pn‬‬‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ‪ p1 = p2 = ...... = pn‬ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬ ‫‪ ω1,ω21,........,ωn‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ 3‬ﺴﺎﺌﺩ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ ‪p1 = p2 = ...... = pn = α‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪) p1 = p2 = ...... = pn = 1 :‬ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل(‬‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n.α = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪α + .... + α = 1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺒﺤﻴﺙ‪ Ω = {ω1,ω21,........,ωn} :‬ﻭﻜﺎﻥ‬ ‫‪ P‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪P(ω1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪P(ω2‬‬ ‫=‬ ‫‪......‬‬ ‫=‬ ‫) ‪P(ωn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪Ω‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪ *2‬ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﺃﻋﻼﻩ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل‬ ‫‪ *1‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻴﺱ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻻ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ ﻓﺈﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل‬‫ﻤﺨﺭﺝ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﻋﻠﻰ ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻋﻨﺩ‬‫ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ ،‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﻠﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻻ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻻ ﺘﺤﺩﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻻ ﺘﺤﺩﺩ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻠﻭﻨﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻨﻨﺠﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ ‪ 1000‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 315‬ﻤﺭﺓ ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ‪ 685‬ﻤﺭﺓ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ R V‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪0,315‬‬ ‫‪0,685‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ \"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬ ‫‪ V‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ \"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ\"‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪. Ω‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭﻜﺎﻥ ‪ ω‬ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ‪ ω ∈ A‬ﻨﻘﻭل \"ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ ω‬ﻴﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\" A‬‬ ‫ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻫﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻴﺤﻘﻘﻬﺎ ﻤﺨﺭﺝ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪ φ‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩﺍﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ‬ ‫‪ Ω‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻷﻜﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻌﻠﻘﺘﻴﻥ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪) A‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ ( A‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪. A‬‬‫ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﺃﻭ ‪. B‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A ∪ B‬ﺇﻟﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A ∪ B‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ‪ A‬ﺃﻭ ‪.\" B‬‬‫ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ ، B‬ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A ∩ B‬ﺇﻟﻰ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A ∩ B‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ‪ A‬ﺃﻭ ‪.\" B‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﺎﻥ )ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ( ﻴﻌﻨﻲ ‪A ∩ B = φ‬‬

‫‪Ω A A∩B‬‬ ‫‪Ω A A∪B Ω A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ΩA A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬‫ﺇﺘﺤﺎﺩ ‪ A ∩ B‬ﻫﻲ‬ ‫‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻫﻲ‬‫ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ )ﺃﻭ ﻭ ‪ B‬ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ )ﺃﻭ‬‫ﻏﻴﺭ ﻭ ‪ A ∪ B ) B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪A‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪( A‬‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻭ ‪A ∩ B ) B‬‬ ‫ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ(‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﺃﻭ ‪( B‬‬‫ﻭ‪(B‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﺫﻤﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺠﻬﺎ‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ ،‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ P(A‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪P(φ) = 0 : A = φ‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ }‪) P(A) = P(α ) : A = {α‬ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻤﺨﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ(‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪P( A) = P(α1) + P(α2 ) + ...... + P(αn ) A = {α1,α2 ,........αn } :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ α1,α21,.....,αn :‬ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ(‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﺍ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ‬‫ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ \" D‬ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ωi‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪12 34 56‬‬‫‪ 0,15 0,12 0,07 0,23 0,24 0,19‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪P(ωi‬‬‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﻭﺠﻪ ﻴﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ\"‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ A = {1;3;5} :‬ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫)‪P( A) = P(1) + P(3) + P(5‬‬ ‫‪= 0,15 + 0,07 + 0,24‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ‪0,46‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 46%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻅﻭﻅ ﻟﻜﻲ ﻴﻅﻬﺭ‬ ‫ﻭﺠﻪ ﻴﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ‪.‬‬‫ﺏ‪-‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫}‪Ω = {ω1,ω2 ,.......,ωn‬‬‫ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﻨﻤﺫﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﺩﺩ‬‫ﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻭ ‪ n‬ﻤﻨﻪ‪ -‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪ ((2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ‬ ‫‪P(ωi‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫‪n‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪A = {α1,α2 ,........αn} :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ‪ k‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫) ‪P( A) = P(α1) + P(α2 ) + ...... + P(αn‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪........‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ k‬ﺤﺩﺍ‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪k.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬‫** ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ A = φ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪0‬‬ ‫ﻭ ‪) P(A) = 0‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‬ ‫)‪(2‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫*** ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪A = {α} :‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪(3) 1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻭ)‪:(3‬‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬‫= )‪P(A‬‬ ‫‪:A‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫ﺘﻜﻥ‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﺫﻤﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬

‫= )‪P(A‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ : A‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫)ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ‬ ‫‪ A‬ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ(‬‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ‪ 35‬ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻨﻌﻡ ﻭ‪ 72‬ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺘﺤﻤل‬‫ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻜﻠﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻤﻠﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ \"ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻭ\"ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ\" ﻨﻨﻤﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ N‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪\" :‬ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ\"‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ‪ 72+35‬ﻭﻫﻭ ‪107‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ N‬ﻫﻭ ‪72‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪72‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪72‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪107‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ )ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ( ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﻤﺫﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪Ω‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) : B‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﻴﻥ )ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ(‪:‬‬ ‫)‪P( A ∪ B) = P( A) + P(B‬‬

‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪P(A) = 1− P(A) : A‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪0 ≤ P(A) ≤ 1 : A‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 40‬ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻜﺘﺒﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺇﻟﻰ ‪ 50‬ﻜﻠﻬﺎ‬‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ )ﻜل ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺘﺤﻤل ﻋﺩﺩﺍ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ‬‫ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ(‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺔ‪.‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ u‬ﺭﻗﻡ ﺁﺤﺎﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭ ‪ d‬ﺭﻗﻡ ﻋﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‬ ‫‪ A, B,C, D, E‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬‫‪ u ≤ 5 \" : C ،\" d ≤ 3 \" : B ،\" u ≤ 5 \" : A‬ﻭ ‪: E ،\" u > 5 \" : D ،\" d ≤ 3‬‬ ‫\" ‪ u ≤ 5‬ﺃﻭ ‪.\" d ≤ 3‬‬‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻫﻭ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪. A, B,C, D, E‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫}‪Ω = {11;12;13;........;47;48;49;50‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ \"ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺎﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻭﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻨﻨﻤﺫﺝ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬‫= ) ‪P(X‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻫﻭ ‪40‬‬

‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫}‪A = {11,12,13,14,15,20,21,22,23,24,25,30,31,32,33,34,35,40,41,42,43,44,45,50‬‬‫}‪B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30‬‬‫‪ C = A ∩ B‬ﻤﻨﻪ‪C = {11,12,13,14,15,20,21,22,23,24,25,30} :‬‬‫ﻭﻫﻜﺫﺍ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪24‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ B‬ﻫﻭ ‪20‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ C‬ﻫﻭ ‪12‬‬ ‫)‪P(C‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻭ‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪P(C‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ D = A :‬ﻤﻨﻪ‪P(D) = 1− P(A) :‬‬‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪P(D‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﺃﺨﻴﺭﺍ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ E = A ∪ B :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫)‪P(E) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+5−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪P(E‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫)‪P(E‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻬﺔ‬‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻫﻭ ﺇﻜﺘﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ \"ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ\" ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻨﻬﺠﻲ ﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺭﺍﺤل ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺃﻭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺃﺩﻭﺍﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬‫ﺴﻨﻭﻀﺢ ﻤﺒﺩﺃ \"ﺍﻟﻌﺩ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل \"ﺸﺠﺭﺓ\"‪ ،‬ﻭﻫﻭ ﻤﺒﺩﺃ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻀﺭﺏ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺃﻭل‪ :‬ﻟﻌﺒﺔ \"ﻨﻌﻡ ﺃﻭ ﻻ\"‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﻁﺭﺡ ‪ 3‬ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﺃﻥ ﻴﺠﻴﺏ ﺇﻤﺎ \"ﺒﻨﻌﻡ\"‬‫)‪ (0‬ﻭﺇﻤﺎ ﺒـ \"ﻻ\" )ﻻ( ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪ .‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﻫﻲ‬‫ﺇﺫﻥ ﺜﻼﺜﻴﺔ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (R1, R2 , R3‬ﺤﻴﺙ ‪ R1‬ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل‬ ‫ﺍﻷﻭل ﻭ ‪ R2‬ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭ ‪ R3‬ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﻘل ﺜﻡ ﺃﻜﻤل \"ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪N‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O R1‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O N • • R2‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪•R3‬‬‫‪O NO‬‬ ‫• • •‪N‬‬‫) ‪(0,0,0) (0,0, N‬‬ ‫ﺨﺎﺭﺝ‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺸﺭﺤﻨﺎ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﻠﺒﻌﺔ ﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻬل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﻴﻨﺕ‬‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﻭﺇﺠﺎﺒﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻓﻤﺎ ﻫﻭ‬

‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﺠﻴﺏ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺇﺜﻨﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﺭﻭﺤﺔ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺘﻜﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O R1‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O N • • R2‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪R3‬‬‫‪O NO‬‬ ‫• • •‪N‬‬ ‫•‬‫ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ) ‪(0, N,0) (0, N, N ) (N,0,0) (N,0, N ) (N, N,0) (N, N, N‬‬ ‫) ‪(0,0,0) (0,0, N‬‬‫‪ 2‬ﻜﻭﻥ \"ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻬل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﻭﻴﺠﻴﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ\" ﻴﻭﺤﻲ‬‫ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪X‬‬ ‫= ) ‪P(X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻫﻭ ‪ 2× 2× 2‬ﻭﻫﻭ ‪ 8‬ﻭﺇﺫﺍ‬‫ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻴﺏ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ\" ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬‫ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ A‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻓﻲ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ‪3‬‬

‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪8‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﺠﻴﺏ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻫﻭ‬‫‪8‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺜل‬ ‫\"ﺭﻤﻲ ‪ 3‬ﻗﻁﻊ ﻨﻘﺩﻴﺔ ‪\" D3, D2 , D1‬‬‫ﺤﻴﺙ ﻴﻌﻭﺽ ‪ R1‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪ R2 ،\" D1‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪ \" D2‬ﻭ ‪ R3‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪\" D3‬‬ ‫ﻭ‪ 0‬ﺒـ ‪ F‬ﻭ ‪ N‬ﺒـ ‪) P‬ﻤﺜﻼ(‬‫‪ 2‬ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل \"ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ\" ﻋﺎﺩﺓ‪\" ،‬ﻻ ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻷﻨﻬﺎ \"ﺘﻘﺭﺃ‬ ‫ﻀﻤﻨﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ\"‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺈﺭﺠﺎﻉ‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ‪ ،‬ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ‬‫‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪) 5‬ﻜل ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ‬‫ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ(‪\" ،‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ‪ ،‬ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﺴﺠل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﺜﻡ‬‫ﻨﻌﻴﺩﻫﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﻨﺨﻠﻁ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﻨﺴﺤﺏ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﺴﺠل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻤﺠل ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻷﻭل\" ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‪-‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺠل ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺤﺒﻴﻥ‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪.‬‬

‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪3‬؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎ ‪5‬ﺭﺝ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟ‪4‬ﻲ ‪:‬‬ ‫‪5...‬‬ ‫‪45 12 3‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻀﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫‪5× 5... 1 2 3‬‬ ‫‪24 25 31 32 33‬‬ ‫**‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻀﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪21 22 23‬‬ ‫*‬ ‫‪34 35 41 42 43‬‬ ‫‪44 45 51 52 53‬‬ ‫‪54 55‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫*‬ ‫**‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪11 12 13‬‬ ‫‪14 15‬‬ ‫*‬ ‫*‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ﻫﻭ‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5×5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫‪ 9‬ﻭﻋﺩﺩ‬ ‫‪25‬‬‫‪9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ‬‫‪25‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﺎﺩﺓ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﻨﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺎﺭﺠﺎﻉ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺩﻭﻥ ﺍﺭﺠﺎﻉ‬

‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻜﺭﺍﺕ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪) 6‬ﻜل ﻜﺭﺓ‬‫ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻜﺭﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ( ﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺃﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﺜﻡ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ‬‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل‬‫ﺍﻟﻤﺴﺠل ﺜﻡ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻻ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻤﺴﺠل‪.‬‬‫ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﻜل ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺇﺜﺭ ﺍﻟﺴﺤﺒﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺙ‪.‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻤﺨﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻭ ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﺸﻜل ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‬ ‫ﻤﺄﺨﻭﺫﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪{1;2;3;4;5;6;7‬‬‫ﻭﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺭﻗﻡ ﻤﺌﺎﺘﻬﺎ ‪ 1‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪1‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬‫‪6... 2‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪5‬‬‫‪6 × 5...3 4 5‬‬ ‫‪67 24 5‬‬ ‫‪67 23 5‬‬ ‫‪67 23 4‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪23 4‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪23 4‬‬ ‫‪56‬‬