دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫‪9‬‬ ‫ﻓﺮد واﺣﺪ‬‫‪8‬‬‫‪7‬‬ ‫‪5, 9‬‬ ‫‪9, 12‬‬ ‫‪12, 18‬‬‫‪6‬‬‫‪5‬‬‫‪4‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪0, 5‬‬ ‫‪ /2‬ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ (x1,n1 ),(x2 ,n2 ),..........(xp ,np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬‫) ‪ x1, x2 ,........, xp‬ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﻭ ‪ n1,n2 ,......,np‬ﻫﻲ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ(‬‫ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪ni‬‬ ‫ﺃﻴﻥ‬ ‫‪fi‬‬ ‫=‬ ‫‪ni‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪fi‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪xi‬‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﺃﻥ‪ :‬ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ xi‬ﻭ ‪n = n1 + n2 + ...... + np‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪n1x1 + n2 x2 + ........... +‬‬ ‫‪n1 p‬‬ ‫‪xp‬‬ ‫‪n1 + n2 + ............. +‬‬ ‫‪np‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺥ‪x = f1x1, f2 x2 ,................., f p xp :1‬‬‫ﺥ‪ :2‬ﻫﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ α‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫‪ (x1 + α ,n1 ),(x2 + α ,n2 ),..............., xp + α ,np‬ﻫﻭ ) ‪( )(x + α‬‬

‫ﺥ‪ :3‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ‬‫ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ (β.x1,n1 ),(β.x2 ,n2 ),..............., β.xp ,np‬ﻫﻭ ‪( )β.x‬‬‫ﺥ‪ :4‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬‫) ‪ (x1, n1 ), (x2 , n2 ),..............., xp , np , (y1, m1 ), (y2 , m2 ),..............., (yR , mR‬ﻫ) (‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪n.x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪m.y‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪m‬‬‫ﺤﻴﺙ‪ x :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ‪( )(x1,n1 ),(x2 ,n2 ),..............., xp ,np‬‬‫‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ) ‪(y1,m1 ),(y2 ,m2 ),...............,(yR ,mR‬‬‫‪ n = n1 + n2 + ...... + np‬ﻭ ‪m = m1 + m2 + ...... + mp‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻗﺴﻡ ﺩﺭﺍﺴﻲ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ‪ 15‬ﺫﻜﻭﺭﺍ ﻭ‪ 25‬ﺇﻨﺎﺜﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‬ ‫ﻫﻭ ‪ 16‬ﺴﻨﺔ ﻭﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺍﻹﻨﺎﺙ ﻫﻭ ‪ 17‬ﺴﻨﺔ‪.‬‬‫‪15.16 + 25.17‬‬ ‫ﻫﻭ‪:‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻡ‬ ‫ﺘﻼﻤﻴﺫ‬ ‫ﺃﻋﻤﺎﺭ‬ ‫ﻤﻌﺩل‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪15 + 25‬‬ ‫ﺃﻱ ﻤﻌﺩل ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﻫﻭ‪ 16,625 :‬ﺴﻨﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺴﻼﺴل ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻫﻲ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺴﺠﻠﺕ ﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫اﻷﺳﻌﺎر‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺴﺠل ﺸﺨﺹ ﺍﻟﺴﻌﺭ –ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﻟﺩﻨﺎﻨﻴﺭ‪ -‬ﻟﻠﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻤﻨﺘﻭﺝ ﻤﺎ ﻭﻫﺫﺍ‬ ‫ﺨﻼل ‪ 12‬ﺸﻬﺭﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬ﺍﻟﺸﻬﺭ‬ ‫‪ 50 48 52 49 48 55 52 54 52 55 57 53‬ﺍﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪44‬‬ ‫اﻷﺷﻬﺮ ‪42‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬ ‫ﻭﻨ‬ ‫ﻻﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ‬

‫ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺘﻤﺘﺎﺯ ﺒﺘﺫﺒﺫﺒﺎﺕ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﻭﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻭﻫﺫﺍ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺤﻜﻡ ﻋﻠﻰ‬ ‫\"ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ\" ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ‪:‬‬‫ﻗﺼﺩ ﺇﺒﺭﺍﺯ ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﺍﻟﺘﺫﺒﺫﺒﺎﺕ ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﻠﺠﻭﺀ‬‫ﺇﻟﻰ \"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ\" ﻭ\"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ‬ ‫)‪ \" (2h +1‬ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪ x1, x2 ,........, xN‬ﻓﻲ ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ‪d1, d2,......, dN‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﺒﺤﻴﺙ‪2k +1 < N :‬‬‫ﺘﻤﻠﻴﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ )‪ (2k + 1‬ﻴﻌﻨﻲ‬‫ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫ﻨﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ﻟﻜل )‪ (2k + 1‬ﺃﻭﻗﺎﺕ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻘﻴﻡ ‪xi‬‬‫ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﻭﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ ﻴﺴﻤﻰ ﻭﺴﻁﺎ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ )‪(2k + 1‬‬ ‫)ﻭﺒﻌﺩ ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ‪ ،‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ(‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2k +1 = 3 ، k = 1‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ‪- 1,2,3 :‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻭﻭﺴﻴﻁﻬﺎ ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻭﻗﺎﺕ ‪ 1,2,3‬ﻫﻲ ﻋﻠﻰ‬‫‪50 + 48 + 52‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ‬ ‫‪50,48,52‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪-‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪50‬‬‫* ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2k + 1 = 5 ، k = 2‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻫﻲ‪- 1,2,3,4,5 :‬‬‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭﻭﺴﻴﻁﻬﺎ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻷﻭﻗﺎﺕ ‪ 1,2,3,4,5‬ﻫﻲ –ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ 50,48,52,48,48 -‬ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫‪50 + 48 + 52 + 49 + 48‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 5‬ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ ﺒﺎﻟﻭﻗﺕ ‪ 3‬ﻫﻭ ‪49,4‬‬‫* ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ \"ﺘﻤﻠﻴﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬ ‫)ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪\"(5‬‬ ‫ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬ﺍﻷﻭﻗﺎﺕ‬‫)ﺍﻷﺸﻬﺭ(‬ ‫‪ 50 48 52 49 48 55 52 54 52 55 57 53‬ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫)ﺍﻷﺴﻌﺎﺭ(‬ ‫‪50 49.6 49.6 50.6 51.6 53.6 52.6 53.6 54.6‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ‬‫ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ‬ ‫‪49.4 50.4 51.2 51.6 52.2 53.6‬‬ ‫‪54 54.2‬‬ ‫ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬‫ﺍﻷﻭﺴﺎﻁ‬‫ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﻤﻥ‬‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺜﻴل ﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪3‬‬

‫اﻷﺳﻌﺎر‬ ‫‪58‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪44‬‬ ‫اﻷﺷﻬﺮ ‪42‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺤﻜﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺴﻌﺭ‬ ‫ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻭﺝ ﻫﻭ \"ﺍﻹﺭﺘﻔﺎﻉ\"‬‫‪/4‬ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪ :‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ( )(x1,n1 ),(x2,n2 ),..............., xp ,np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ :‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪V‬‬ ‫‪n1 (x1‬‬ ‫‪x )²‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ n2 (x2 − x)² + .......... +‬‬ ‫‪np (xp‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x )²‬‬ ‫‪n1 + n2 + ............ + np‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪2,18,10,2,18 : A‬‬

‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪8,10,9,11,12 : B‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ xA‬ﻭ ‪ VA‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻭ ‪ xB‬ﻭ ‪ VB‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪B‬‬ ‫‪xA = 10‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫=‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 ×18‬‬ ‫‪+ 1.10‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪xB = 10‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫=‬ ‫‪1.8 +1.9 +1.10 +1.11+1.12‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2(2 −10)² +1(10 −10)² + 2(18 −10)²‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫‪= 51,2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(8 −10)²‬‬‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪VB‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(9 − 10)²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪− 10)²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(11 − 10)²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(12 − 10)²‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪VB = 2‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻴﻘﻴﺱ \"ﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\" ﺇﺫ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‬ ‫ﻜﺒﻴﺭﺍ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ \"ﻤﺸﺘﺘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\"‬ ‫ﻭﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ \"ﻤﺘﺭﻜﺯﺓ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ\"‬‫ﻫﻜﺫﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺃﻋﻼﻩ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ B‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﺍﻩ‬ ‫ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻤﺎ ﻴﻌﺒﺭ ﻤﻌﺩل ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﺍﻩ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ( )(x1,n1 ),(x2 ,n2 ),..............., xp ,np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻭ ‪- V‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ -‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﻬﺫﻩ‬‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﻀﻊ ‪ n = n1 + n2 + ...... + np‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬

‫ﻤﻨﻪ] [‬ ‫‪1‬‬‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺤﺴﺏ‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n1 (x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x )² + n2 (x2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x)² + .... + np (xp‬‬ ‫‪− x)²‬‬ ‫ﺒﻨﺸﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ‪:‬‬‫‪V‬ﻭﺒﺈ] [‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n1(x1²‬‬ ‫‪+ 2x1x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x²) +‬‬ ‫‪n2(x2 ²‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2 x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x²) + ....+ np (xp ²‬‬ ‫‪− 2xpx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x²‬‬ ‫ﻨﺠﺎﺯ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ )ﻤﺤﻜﻤﺔ(‪:‬‬‫‪V‬ﻭﺒﻤ] [‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(n1‬‬ ‫‪+n2‬‬ ‫‪+...+np(x)²‬‬ ‫‪−2x(n1x1‬‬ ‫‪+ n2 x2‬‬ ‫) ‪+..+ np xp‬‬ ‫‪+n1x1²‬‬ ‫‪+n2x2‬‬ ‫‪²‬‬ ‫‪+..+npxp‬‬ ‫‪²‬‬ ‫ﺍ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ n1 + n2 + ... + np = n‬ﻭ ‪n1x1 + n2 x2 + ... + np x p = nx‬‬ ‫‪[ ]V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n(x )² − 2x(n.x) + n.1 x1 ² + n2 x2 ² + ... + np x p ²‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪−(x )²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1x1 ²‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n2 x2 ² + ... +‬‬ ‫‪np xp ²‬‬ ‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺸﺭ ﻭﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ ( )(x1,n1 ),(x2 ,n2 ),..............., xp ,np‬ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ‬‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ V‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪n1x1 ² +‬‬ ‫‪n2 x2 ² + ... + n p x p ²‬‬ ‫ﻴﻌﻁﻰ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n = n1 + n2 + ...... + np‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻔﺎﺭﻁﺔ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ‪ -‬ﺃﻜﺜﺭ ﺒﺴﺎﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻷﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪ x‬ﻤﺴﺘﻌﻤل ﻤﺭﺓ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ‪.‬‬

‫ﻤﺜﻼ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻋﺩﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬‫‪VA‬‬ ‫‪= 51,2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫=‬ ‫‪2.2² + 1.10² + 2.18²‬‬ ‫‪− 10²‬‬ ‫‪5‬‬‫‪VB‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪VB‬‬ ‫=‬ ‫‪8²‬‬ ‫‪+ 9²‬‬ ‫‪+10² +11²‬‬ ‫‪+ 12²‬‬ ‫‪−10²‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ‬‫ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ r‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ r = v‬ﺤﻴﺙ ‪ v‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ –ﻤﺒﺭﻤﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻅﻴﻔﺔ ‪ (SD)stat‬ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪r‬‬‫‪ 2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻗﻴﻡ ﻤﺼﻨﻑ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‬‫ﺘﺴﺘﻌﻤل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﺘﺒﺩﻴل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻤﺜل ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪.‬‬ ‫‪ /5‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻲ‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل )ﺃﻭ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﺩﻨﻰ(‬‫ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Q1‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﺕ ﺠﻤﻴﻊ‬‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ Q1‬ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 25%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻗل‪ ،‬ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ‪Q1‬‬

‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ )ﺃﻭ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻋﻠﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪Q3‬‬‫ﻫﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 75%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‘‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [Q1,Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ) ‪ (Q1 − Q3‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪.‬‬‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﻭل )ﺃﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﺩﻨﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪D1‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ D1‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ ،10%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪D1‬‬‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪) :‬ﺃﻭ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺍﻷﻋﻠﻰ( ﻫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﺯﺓ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪D9‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺘﺒﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻓﺈﻥ ‪ D9‬ﻫﻭ ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ، 90%‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪D9‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [D1, D9‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (D9 − D1‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪.‬‬‫ﺏ‪-‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺎﺕ‪:‬‬‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﻴﻥ ‪ Q1‬ﻭ ‪ Q3‬ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻴﻥ ‪ D1‬ﻭ ‪ D9‬ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ‬‫ﺍﻟﻜﻠﻲ )ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺃﻓﺭﺍﺩﻫﺎ( ‪ N‬ﻨﺭﺘﺏ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﺘﻜﺘﺏ ﻋﺩﺩ‬‫ﻤﺭﺍﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﻫﺎ( ﺘﺼﺎﻋﺩﻴﺎ‪.‬‬‫ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪4‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3N‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪4‬‬‫‪N‬‬ ‫‪ Q1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪4‬‬‫‪3N‬‬ ‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪10‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫ﺫﺍﺕ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9N‬‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪D9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻟﻴﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫•‬ ‫‪10‬‬‫‪N‬‬ ‫‪ D1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪10‬‬‫‪9N‬‬ ‫‪ D9‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ‬‫‪10‬‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‪:‬‬‫‪2-2،5-4-5-6،75-8-9-9-11،5-11،5-12-13‬‬ ‫‪3N‬‬ ‫ﻭ‪= 9‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫‪N‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﻤﻨﻪ‪Q1 = 4 :‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 9‬ﻤﻨﻪ‪Q3 = 11,5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪8 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 25‬‬ ‫‪91‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪15 45 20 70 50 10 5 5 30 16 6 3 3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‬ ‫‪15 60 80 150 200 210 215 220 250 266 272 275 278‬‬‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ‪29,1‬‬ ‫‪3N‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ‪218,25‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ‪72,75‬‬ ‫‪291‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻫﻨﺎ‬‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9N‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ‪261,9‬‬ ‫‪10‬‬‫ﻤﻨﻪ‪ Q1 :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 73‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪80‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 60‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪Q1 = 12 :‬‬‫‪ Q3‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 219‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 220‬ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 215‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪Q3 = 17 :‬‬‫‪ D1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 30‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 60‬ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 15‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪D1 = 10 :‬‬‫‪ D9‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ‪ 262‬ﻭﻫﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 266‬ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟـ ‪ 250‬ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪D9 = 19 :‬‬

‫ﺝ‪ -‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ(‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ )ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ( ﻫﻭ ﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ‬‫ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻴﺴﻤﺢ ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻗﻴﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺤﻭل‬ ‫ﻭﺴﻴﻁﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺨﻤﺴﺔ ﻗﻴﻡ ﻭﻫﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ )ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( min x‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل ‪Q1‬‬‫ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ )ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ Q2‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬ ‫‪ med‬ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( me‬‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪Q3‬‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ )ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( Max x‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪،‬‬‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺴﻠﻡ ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺘﻤﺜﻴل ﻗﻁﻌﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ \"ﻤﺩﺭﺠﺔ\" )ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺃﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ( ﺒﺩﺍﻴﺘﻬﺎ‬‫ﺘﻤﺜل ‪ min x‬ﻭﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ ﺘﻤﺜل ‪ Max x‬ﺜﻡ ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل‪:‬‬ ‫‪ med ، Q1‬ﻭ ‪ Q3‬ﺜﻡ ﻨﻜﻤل ﺍﻟﺸﻜل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)*(‬ ‫‪min x‬‬ ‫ﺨﺎ‪1‬ﺭ‪Q‬ﺠﺔ‬ ‫\"ﺍ‪2‬ﻟﻌﻠ‪Q‬ﺒﺔ\" ‪ed‬ﻭﺍ‪m‬ﻟﻘﻁﻌﺘﺎﻥ‬ ‫‪Max x‬‬ ‫)*(‬‫ﺘﺴﻤﻴﺎﻥ \"ﺍﻟﺸﻨﺒﻴﻥ\"‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴل ﻴﺴﻤﻰ‬‫)‪ (Moustaches‬ﺃﻭ \"ﺍﻟﺭﺠﻠﻴﻥ\" )‪ (Pattes‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‪.‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪ 2‬ﻓﻘﺭﺓ )‪(5‬‬‫–ﺏ‪ -‬ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻫﻭ ‪ 291‬ﻭﻫﻭ ﻓﺭﺩﻱ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ med‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﻤﺭﺘﺒﺘﻬﺎ ‪ 145) 146‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻗﺒل ‪ med‬ﻭ‪ 145‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺒﻌﺩ ‪( med‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ med‬ﻀﻤﻥ ﺍﻟـ ‪ 150‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻟﻴﺱ ﻀﻤﻥ ﺍﻟـ ‪ 80‬ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻨﻪ‪ med = 13 :‬ﻭﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺴﻠﺴﻠﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪min x‬‬ ‫‪Q1 med‬‬ ‫‪Q2‬‬ ‫‪Max x‬‬‫‪8‬‬ ‫‪12 13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪26‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ -‬ﻋﻨﺩ ﺘﻤﺜﻴل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﻗﺩ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺘﺒﺩﻴل‬ ‫‪ min x‬ﺒـ ‪ D1‬ﻭ ‪ Max x‬ﺒـ ‪D9‬‬‫‪ -‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﻫﻭ ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﻴﻌﻜﺱ ﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ 50%‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ‬ ‫ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ ﻫﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ‬‫‪ -‬ﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﻟﻠﺘﺸﺘﺕ ﻫﻲ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺩﻯ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬‫ﻓﻲ ﺩﺍﺭ ﻟﻠﻌﺠﺯﺓ ﺃﺘﺘﻨﺎ ‪ 30‬ﻋﺠﻭﺯﺍ‪ ،‬ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻌﻤﺭ )ﺒﺴﻥ( ﻜل ﻓﺭﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﻓﺭﺍﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻷﻋﻤﺎﺭ ﺒﺎﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‪.‬‬‫‪12‬‬ ‫‪65-70‬‬ ‫‪70-75‬‬ ‫‪75-80‬‬ ‫‪80-85‬‬ ‫‪85-90‬‬‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60-65‬‬‫‪ 1‬ﺃ‪ -‬ﺍﺸﺭﺡ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﻋﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻹﻨﺸﺎﺀ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺩﺭﺝ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‪.‬‬‫ﺏ‪-‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ‬‫‪ 2‬ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺃﻜﺜﺭ‪ ،‬ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‪ ،‬ﻷﺠل ﺫﻟﻙ‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫[‪[60,70‬‬ ‫[‪[70,85‬‬ ‫[‪[85,90‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﺠﺯﺓ‬‫ﺏ‪-‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ S3, S2 , S1‬ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺍﻟﻤﻨﺸﺄﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ‬ ‫ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ [‪ [85,90[، [70,85[، [60,70‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ‪S3‬‬

‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ S1‬ﻭ ‪ S2‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ‪ S1 + S2 = 140 :‬ﻭ ‪S1 − S2 = 0‬‬‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻌﻠﻡ ﻜﺎﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ‬ ‫ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺅﺴﺴﺔ ﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ 30‬ﻓﺭﺩﺍ ﻤﻨﻬﻡ ‪ 10‬ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭ‪ 5‬ﺃﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭ‪ 8‬ﺇﺩﺍﺭﻴﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﺴﺄﻟﻨﺎﻫﻡ ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﻤﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺘﻠﻤﻴﺫ‪:‬‬ ‫‪3،6،1،0،4،0،4،0،12،5‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺃﺴﺘﺎﺫ‪:‬‬ ‫‪12،6،4،6،3‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻜل ﺇﺩﺍﺭﻱ‪2،6،0،4،3،4،10،1 :‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﺘﺒﺭﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬‫ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻷﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻹﺩﺍﺭﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻴﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻜﻠﻬﺎ )ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟـ ‪.(23‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻭ ‪ z‬ﻭ ‪ x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‬‫ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻷﺴﺎﺘﺫﺓ ﻭ ‪ z‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ‬‫ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺍﻹﺩﺍﺭﻴﻭﻥ ﻭ ‪ x‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﺃﻓﺭﺍﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )ﺃﻱ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺍﻟـ ‪.(23‬‬‫‪ 3‬ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺘﺤﻔﻴﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻁﺎﻟﻌﺔ ﺃﻜﺜﺭ‪ ،‬ﻷﺠل ﺫﻟﻙ ﺜﻡ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﻓﻲ‬ ‫ﻋﺩﺓ ﺃﺴﺎﻟﻴﺏ ﺘﺤﻔﻴﺯﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﺍﻷﺴﻠﻭﺏ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯﻱ ﺍﻷﻭل ﺠﻌل ﻜل ﻓﺭﺩ ﻴﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ ‪ 3‬ﻜﺘﺏ‬‫ﻟﻠﻤﻁﺎﻟﻌﺔ ﺴﻨﻭﻴﺎ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ :‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺩل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻫﺅﻻﺀ‬ ‫ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‬‫ﺏ‪-‬ﺍﻷﺴﻠﻭﺏ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯﻱ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺠﻌل ﻜل ﻓﺭﺩ ﻴﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﺔ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻤﺭﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪.‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺩل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﺎﻟﻌﻬﺎ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫ﻗﺴﻡ ﻨﻬﺎﺌﻲ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﺒﻨﺎﺕ ﻭ‪ 8‬ﺫﻜﻭﺭ‬‫ﺃﺠﺭﻴﻨﺎ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻐﻴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻔﻴﺯ‪ ،‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 20‬ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ‪11،17،15،11،07،11،20،14 :‬‬ ‫ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‪10،17،19،18،6،17،6،6 :‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﻭﺃﺤﺴﺏ ‪ y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ U x‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺕ ﺜﻡ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vy‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ ﺜﻡ ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬ ‫‪ 4‬ﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺘﺠﺎﺴﻨﺎ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺇﻨﺘﻬﺎﺀ ﺒﻁﻭﻟﺔ ﻜﺄﺱ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻟﻌﺎﻡ ‪ ،2006‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪7‬‬ ‫ﻓﺭﻕ ﺃﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﻭ‪ 7‬ﻓﺭﻕ ﻤﻥ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ )ﺃﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻴﺴﺕ ﺃﻭﺭﻭﺒﻴﺔ(‬‫ﻓﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺄﻫﻠﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺍﻟﺴﺒﻊ ﻭﻜﺫﺍ ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ‪11،10،2،9،9،8 :‬‬ ‫ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ‪4،3،2،10،7،1 :‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ ، x‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﻭﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪ ، y‬ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vx‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫‪Vx‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ Vy‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ ﺘﺄﻫل ﻓﺭﻕ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ‪Vy‬‬ ‫‪ 4‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺘﻌﻠﻴﻘﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬‫ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺯﺍﺌﺭﻴﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﻨﺎ ‪ 30‬ﻨﺎﺠﺤﺎ ﻓﻲ ﺒﻜﺎﻟﻭﺭﻴﺎ ‪ ،2006‬ﻭﻜﺎﻥ‬‫ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻌﻼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ‪ 20‬ﻓﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ‪ -‬ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺘﻨﺎﺯﻟﻴﺎ‪-‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪20 19 19 17 17 17 16 16 15 14 14 14 14 13 13 12 11 11 10‬‬ ‫‪10 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7‬‬ ‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل‪ ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻴﺎﺕ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪ ،‬ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ‪،‬‬ ‫ﺍﻹﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ‬ ‫‪ 3‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬‫‪ 4‬ﻨﻅﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭﻓﻕ ﻓﺌﺎﺕ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪0,25‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫ﺸﺨﺹ ﻤﺩﺨﻥ‪ ،‬ﺤﺎﻭﻟﻨﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﺠﺎﺌﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﺨﻨﻬﺎ ﺨﻼل ﻋﺸﺭﺓ ﺃﻴﺎﻡ‪،‬‬ ‫ﻓﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻠﺨﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬ﺍﻟﻴﻭﻡ‬ ‫‪ 20 22 16 24 30 18 24 20 32 25‬ﻋﺩﺩ‬‫ﺍﻟﺴﺠﺎﺌﺭ‬ ‫‪ 1‬ﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺒﻤﻀﻠﻊ ﺘﻜﺭﺍﺭﻱ‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪ -‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.3‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.5‬‬ ‫ﺝ‪ -‬ﻤﻠﺱ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻭﺴﺎﻁ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪.7‬‬

‫ﻭﻀﺢ ﺍﻟﺘﻤﻠﻴﺴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﻤﻠﺴﺔ ﺒﺎﻷﻭﺴﺎﻁ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ 3‬ﺜﻡ ﻗﺩﻡ ﺘﻌﻠﻴﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬‫ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﺩﺨﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺩﺭﺴﺔ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ ﻟﻺﺩﺍﺭﺓ‪ ،‬ﺒﻌﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﺃﺨﺫﺕ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺭﺸﺤﻴﻥ ﺒﻐﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺩﻻﺘﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻓﺸﻜﻠﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺩﻻﺕ‬ ‫‪7 7،5‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ‬ ‫‪10 14‬‬ ‫‪16‬ﻥ‪9 10 11 11،5 12 14 16 5‬‬ ‫‪5 13 20 11 5 14 2 7‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩﺓ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ‪ min x :‬ﺃﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ‪ max x ،‬ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﻴﺯﺓ‪،‬‬ ‫‪ Q1‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻷﻭل‪ Med ،‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ‪ Q3 ،‬ﺍﻟﺭﺒﻌﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ :8‬ﺍﻟﻤﺨﻁﻁ ﺒﺎﻟﻌﻠﺒﺔ –ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ -‬ﻴﻤﺜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻷﺠﻭﺭ ﺒﺎﻟﺩﻴﻨﺎﺭ ﺍﻟﺠﺯﺍﺌﺭﻱ‬ ‫‪22000‬‬ ‫ﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﺍﻁﻨﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪19000‬‬ ‫‪27000‬‬‫‪10000‬‬ ‫‪30000‬‬ ‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ‪Me,Q3,Q1, D9 , D1 :‬‬ ‫‪ 2‬ﻗﺩﻡ ﺘﻌﻠﻴﻕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪.‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻟﺤل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬

‫ﻤﻠﺤﻕ ﻟﻠﻭﺤﺩﺓ ‪ : 06‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪n‬‬ ‫‪ /3‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪) : 01‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ )ﺃﻭ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ﺃﻭ ﺤﺠﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ( ﻫﻭ‬ ‫ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ‬‫ﻤﻜﻌﺏ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺠﻪ ﻤﻥ ﺃﻭﺠﻬﻪ \"ﺭﻤﺯ\" ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﺘﻌﺒﺭ‪ -‬ﻓﻲ ﻏﺎﻟﺏ‬‫ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ‪ -‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﺍ ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻬﻭ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻨﺭﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﺯﻴﻑ )ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺯﻥ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺼﻨﻌﻪ ﺘﺭﺠﺢ‬ ‫ﻅﻬﻭﺭ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺭﻤﻴﻨﺎ‪ -‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪-4-5-4-1-2-4-3-4-5-6-4-5-6-6-3-1-2-4-2-6-4-4-2‬‬ ‫‪2-1‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭﻻ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎ ﻴﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﺘﺒﺭﺯ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻭﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﻭﺘﻭﺍﺘﺭﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫‪ 2‬ﺒﺩﻭﺭﻙ‪ ،‬ﺃﺭﻤﻲ‪ -‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﺜﻡ ﺃﺠﺏ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺃ‪ -‬ﻭﺏ‪ -‬ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬‫‪ 3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫)‪ (1‬ﻭﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ )‪(3‬‬ ‫ﺃﻨﺸﻲﺀ –ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‪ -‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫‪ 3 5 2 8 3 4‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍ‬‫ﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍ‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0,12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,08‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪0,32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪0,12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪0,16‬‬ ‫ﺕ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬

‫اﻟﺘﻮاﺗﺮات‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪:‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻢ ‪0‬‬ ‫‪123456‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪(3‬‬‫‪ 2‬ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺤﺼﻠﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ )ﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﻀﺭﻭﺭﻴﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻹﻁﻼﻕ!!!(‬‫‪-5-6-4-1-6-2-1-3-2-6-2-1-1-2-4-3-4-2-3-6-4-1-3‬‬ ‫‪5-6‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻘﻴﻡ‬‫‪ 5 5 4 4 2 5‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍ‬‫ﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍ‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪0,16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪0,16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0,08‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪0,2‬‬ ‫ﺕ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬

‫‪ 3‬ﺃ‪ -‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ‬ ‫‪1 2 3 45 6‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍ‬ ‫‪8 10 6 12 5 9‬‬‫ﺕ‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 16%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪20%‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪=12%‬‬ ‫‪1520 = 24%‬‬ ‫‪550=10%‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪= 18%‬‬ ‫ﺕ‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫* ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ )‪ (1‬ﺘﺴﻤﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻰ ﻨﺭﺩ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ\"‬‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ )‪ (2‬ﻫﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻤﺎ ﺴﻠﺴﻠﺔ‬‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ )‪ (3‬ﻓﻬﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅﻪ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‬‫ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻤﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﺇﻟﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﺃﺨﺭﻯ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﻴﻌﻜﺱ‬ ‫ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪) :2‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ(‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ‪ x‬ﻟﻺﻨﺎﺙ ﻭﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻤﺌﻭﻴﺔ ‪ y‬ﻟﻠﺫﻜﻭﺭ ﺍﻟﺨﺎﺼﺘﺎﻥ‬‫ﺒﺎﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ﻤﺎ ﻭﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥ ﻤﺎ‪ ،‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺫﻟﻙ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺃﻥ ﻨﻌﻤل ﺒﻌﻴﻥ ﺘﺘﻜﻭﻥ‬‫ﻤﻥ ‪ N‬ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻭﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺨﻁﻭﻁ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ ﻭﻨﺼﻁﻠﺢ‪:‬‬‫ﺭﻤﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﻤﺜل ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ‪ ،‬ﻅﻬﻭﺭ ﻭﺠﻪ ) ‪ (F‬ﻴﻤﺜل \"ﺍﻟﻤﻭﻟﻭﺩ ﺃﻨﺜﻰ\" ﻅﻬﻭﺭ ﻅﻬﺭ‬ ‫)‪ (P‬ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻤﻭﻟﻭﺩ ﺫﻜﺭ\"‬

‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻭﻗﻌﻬﺎ؟‬ ‫‪ 2‬ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ‪:‬‬‫‪P-F-F-F-F-P-P-F-F-F-F-F-F-P-F-F-F-F-P-P-F-F-P-P-P-F-P-‬‬‫‪P-P-F-P-P-F-P-F-P-F-P-P-P-P-F-F-F-P-F-P-F-F-P‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ N‬؟‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ P‬ﻭ‪ F‬ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‬‫ﺝ‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻭﻗﻌﺎﺕ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ‪ x‬ﻭ ‪y‬‬ ‫* ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﻫﻲ ﻨﻔﺱ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‪ :‬ﻨﺘﻭﻗﻊ ‪x = 50%‬‬ ‫ﻭ ‪y = 50%‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪N = 50 -‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ P‬ﻫﻭ ‪ 24‬ﻭﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ F‬ﻫﻭ ‪26‬‬‫‪52‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪26‬‬ ‫‪ F‬ﻫﻭ‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫‪48‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ P‬ﻫﻭ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫ﻤﻨﻪ‬‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬‫ﺝ‪ -‬ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻨﺘﻭﻗﻊ ‪ x = 52%‬ﻭ ‪y = 48%‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻭﻗﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪\" (1‬ﻗﺭﻴﺏ\" ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻭﻗﻊ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ‪.‬‬‫‪ 2‬ﻜﻭﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ‬‫\"ﺃﺨﺫ ﻤﻭﻟﻭﺩﺍ – ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺠﻨﺴﻪ ‪ -‬ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻭﺍﻟﻴﺩ\" ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻨﺎ ﻗﻤﻨﺎ‬‫\"ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ\" ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺃﺨﺫ ﻤﻭﻟﻭﺩ ‪ -‬ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺠﻨﺴﻪ\" ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ‬‫ﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻭﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺴﻨﺩ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪.‬‬

‫ﻤ‪3‬ﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻔﻭﺍﺌﺩ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺠﺘﻨﺎﺏ ﺍﻟﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﻹﻨﺠﺎﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻤﻥ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺍﻟﻜﻠﻔﺔ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﺜﺒﻴﺕ ﺃﻭ ﻨﻔﻲ ﺘﻭﻗﻌﺎﺕ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺒﺘﺨﻤﻴﻨﺎﺕ ﻭﺃﺨﺫ ﻤﻭﺍﻗﻑ ﻭﻗﺭﺍﺭﺍﺕ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻨﻅﺭﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟ ّﺩﺭﺱ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭﻟﻜﻥ ﻻ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ‬ ‫ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪: n‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﻘﺎﺱ ‪ n‬ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺎ‪ ،‬ﻜل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻴﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺈﻨﺠﺎﺯ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ‬‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‪ :‬ﻭﺠﻪ ﺃﻭ ﻅﻬﺭ )ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ ﻅﻬﺭ ﻴﺤﻤل ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ(‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪ :‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ 0‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﻭﺒـ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻅﻬﺭ‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪ 25‬ﻤﺭﺓ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪-0-1-0-0-1-1-1-0-0-1-1-0-1-0-1-1-1-1-0-0-0-1-0‬‬ ‫‪1-1‬‬

‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻫﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 25‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\"‬ ‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪ 0 1‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ 0,44 0,56‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫ﻷﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ 0‬ﻫﻭ ‪11‬‬‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ 0‬ﻫﻭ‬‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺘﻜﺭﺍﺭ ‪ 1‬ﻫﻭ ‪14‬‬‫‪14‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ‬ ‫‪14‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻭﺍﺘﺭ ‪ 1‬ﻫﻭ‬‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻤﻁﻠﻭﺒﺔ‬ ‫‪ /3‬ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻨﺠﺯ ﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ n‬ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻌﻴﺩ ﻨﻔﺱ‬‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ‪ -‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ‪ -‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻥ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪n‬‬‫ﺃﺨﺭﻯ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻟﻴﺱ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ،‬ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﺓ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﺤﺭﻭﻑ ‪a,b,c,d,e, f‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬‫ﺭﻤﻰ ﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ A‬ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cd‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬‫‪ 0,15 0,19 0,14 0,20 0,15 0,17‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬‫ﺜﻡ ﺭﻤﻰ ﺘﻠﻤﻴﺫ ‪ B‬ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 50‬ﻤﺭﺓ ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 50‬ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺘﻬﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪cd‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬‫‪ 0,26 0,12 0,15 0,136 0,05 0,284‬ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻴﻨﺘﻴﻥ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺜﺎل ﻋﻥ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ‬ ‫‪ /4‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬‬ ‫ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪ ،‬ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻭﺴﺎﺌل ﻟﻠﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫‪ -‬ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﺘﻤﺩ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫ﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻤﺜل‪ :‬ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ‪ ،‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺼﻨﺩﻭﻕ‪،‬‬ ‫ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺃﻭ ﻤﺠﺩﻭل‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ :‬ﻭﻻﺩﺓ ﺫﻜﺭ ﺃﻭ ﺃﻨﺜﻰ ﻓﻲ ‪ 15‬ﻋﺎﺌﻠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ‬ ‫ﺫﻜﺭ ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺤﻅﻭﻅ ﻭﻻﺩﺓ ﺃﻨﺜﻰ‬

‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﺫﻜﺭ ﺃﻭ ﺃﻨﺜﻰ )ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ !!(‬ ‫• ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺄﺨﺫ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻜﺴﻨﺩ ﻤﺎﺩﻱ )ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(2‬‬‫• ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺫﻟﻙ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺄﺨﺫ ﻜﺴﻨﺩ ﻤﺎﺩﻱ ﻨﺭﺩﺍ ﻤﺘﺯﻨﺎ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل‬ ‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪6،5،4،3،2،1‬‬‫ﺇﺫ‪ :‬ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻴﻤﺜل \"ﻭﻻﺩﺓ\"؟ ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﻴﻤﺜل \"ﺫﻜﺭ\"؟ ﻅﻬﻭﺭ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ ﻴﻤﺜل \"ﺃﻨﺜﻰ\" ﻭﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻨﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ 15‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫‪1-3-3-4-6-5-1-4-5-3-6-4-2-2-1‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﺍﻹﻨﺎﺙ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺌﻼﺕ‪ ،‬ﻫﻭ‬ ‫ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ ﻫﻭ‬ ‫• ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‪:‬‬‫‪ 1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺘﺎﻥ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ\" ﻭ\"ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ‬‫ﺸﻔﺎﻑ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺘﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﺍﻷﺨﺭﻯ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺘﺎﻥ ﻋﻨﺩ‬‫ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻭﻫﺫﺍ ﻷﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻟﻬﺎ ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ﻭﻫﺎﺘﺎﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﺎﻥ‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ ﺤﻅﻭﻅ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻅﻬﻭﺭ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺒﺼﻔﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﻨﺩﻨﺎ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪6‬‬‫ﻭﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ \"ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﻤﺘﺯﻥ ‪4‬‬ ‫ﻤﺭﺍﺕ\" ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ‪:‬‬‫\"ﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﺜﻡ ﺇﺭﺠﺎﻋﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ\" ﻭﺇﻋﺎﺩﺓ ﻫﺫﺍ ‪ 6‬ﻤﺭﺍﺕ‪.‬‬

‫• ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪ (Random‬ﻓﻲ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ‬‫ﻋﺸﺭﻴﺔ ‪)d‬ﺒ‪an‬ﺼ‪R‬ﻭﺭﺓ ﻋ ‪#‬ﺸﻭ‪n‬ﺍ‪a‬ﺌﻴ‪R‬ﺔ( ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل[‪.[0,1‬‬‫‪ -‬ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪،‬‬ ‫* ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪) Rand‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ( ﺜﻡ‬ ‫** ﻨﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ = ‪ 7‬ﻤﺭﺍﺕ‬‫‪ -‬ﺃﻏﻠﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺘﻌﻁﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺒـ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ‬ ‫ﺃﻜﺜﺭ ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ‪ .‬ﺒﺎﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪Rand xy 2‬‬ ‫ﺃﻭ ‪Rand xy 3‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ‪ 30‬ﻤﻼﺫﺍ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪Rand‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪) :‬ﻻ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺇﻻ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ(‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ( ‪Rand xy 2‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻀﻐﻁ ‪ 6‬ﻤﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ =‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل‪ ،‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪0,000324‬‬ ‫‪0,419904‬‬ ‫‪0,101124‬‬ ‫‪0,528529‬‬ ‫‪0,02856‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺼﻁﻠﺤﻨﺎ ﺃﻥ \"ﻓﺭﺩﻱ\" ﻴﻤﺜل \"ﺫﻜﺭ\" ﻭ \"ﺯﻭﺠﻲ\" ﻴﻤﺜل \"ﺃﻨﺜﻰ\" ﻭﺘﻤﻜﻥ ﻫﺫﻩ‬‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﺫﻜﻭﺭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻹﻨﺎﺙ‬ ‫ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻤﻥ‬‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0 ≤ a A‬ﻴﻜﻭﻥ ‪0 ≤ 6a < 6‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪1 ≤ 6a + 1 < 7 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‪Rand x 6 + 1 :‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻭﻟﻴﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ [1,7‬ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬‫)ﺃﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻗﺒل ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ( ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪ [1,6‬ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﻤﺜل ﻭﺠﻬﺎ ﻤﻥ ﺃﻭﺠﻪ ﻨﺭﺩ‪.‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ‬‫=‪ 5‬ﻤﺭﺍﺕ ﻴﻌﻁﻲ‬ ‫‪ Rand x 6 + 1‬ﺜﻡ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‬‫ﻭﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ‪ 6-3-2-3-2‬ﺘﻤﺜل ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 5‬ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ‬ ‫‪2 ← 2,104‬‬ ‫‪3 ← 3,904‬‬ ‫‪2 ← 2,824‬‬ ‫‪3 ← 3,79‬‬ ‫‪6 ← 6,028‬‬ ‫ﻨﺭﺩ\"‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺭﻤﻲ ‪ 15‬ﻤﺭﺓ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨﺔ ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.P‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺭﻤﻲ ‪ 60‬ﻤﺭﺓ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﻋﻁ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪.P‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﺒﻪ ‪ 4‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ‪ 6‬ﻜﺭﺍﺕ ﺴﻭﺩﺍﺀ ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺱ‪\":‬ﻨﺴﺤﺏ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ‪ ،‬ﻨﺴﺠل ﻟﻭﻨﻬﺎ ﺜﻡ ﻨﻌﻴﺩﻫﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺠﺯ ‪ 20‬ﻤﺭﺓ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ‬‫‪ 2‬ﻜﺭﺭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ 5 (1‬ﻤﺭﺍﺕ ﻭﺴﺠل ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻋﻴﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻓﻲ‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻤﻘﺎﺱ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪40‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪100‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ : 3‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﺃ‪[1,10] -‬؟‬ ‫ﺏ‪[2,4] -‬؟‬ ‫ﺝ‪ [8,17] -‬؟‬ ‫ﺩ‪ [3,12] -‬؟‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬‫ﻋﻠﺒﺔ ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ‪ ،‬ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ‬‫\"ﺤﻅ\"‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﻨﺠﺎﺡ\"‪ ،‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﺼﺤﺔ\" ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﺴﻌﺎﺩﺓ\" ﻭﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ \"ﻋﻤل\"‪.‬‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ .‬ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬‫ﺤﺸﺭﺓ ﺁﻟﻴﺔ ﻤﺒﺭﻤﺠﺔ –ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ -‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻘﻔﺯ ﺒﻨﺼﻑ ﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ‬‫ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺠﻨﻭﺏ‪ ،‬ﺸﻤﺎل‪ ،‬ﺸﺭﻕ‪ ،‬ﻏﺭﺏ ﻟﻌﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪) 0‬ﺍﻟﺸﻜل(‬ ‫ﻭﺘﺭﻜﻬﺎ ﺘﺅﺩﻱ ‪ 4‬ﻗﻔﺯﺍﺕ‪.‬‬ ‫ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﺨﺘﺎﺭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ‪0‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬ ‫‪ 2‬ﺃﻨﺠﺯ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﻭﺃﺭﺴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ‪.‬‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﺩﻭل ‪Excel‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 1‬‬‫ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺜﻼﺜﺔ ﻋﻴﻨﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ‪36‬‬ ‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪\"،‬ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪\"6‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻓﻲ ﺤﺩ ﺫﺍﺘﻬﺎ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪ :‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A2‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )‪ = ENT (ALEA()*6 +1‬ﺜﻡ‬‫ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ F2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪2‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪.7‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ :‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A9‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )‪ = ENT (ALEA()*6 +1‬ﺜﻡ‬‫ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A9‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ F9‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪9‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪.14‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪ :‬ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A16‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )‪ = ENT (ALEA()*6 +1‬ﺜﻡ‬‫ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A16‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ F16‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪16‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﻁﺭ ‪ .21‬ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬‫‪ /2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ )ﺃﻱ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل‬‫ﻤﻥ ‪ ( 6,5,4,3,2,1‬ﻓﻲ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻭﺇﻨﺸﺎﺀ ﻤﻀﻠﻌﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫ﻨﺒﺩﺃ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ 6,5,4,3,2,1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻼﻴﺎ ‪ G7 ,G6 ,G5 ,G4 ,G3,G2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬

‫• ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪:‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ H 2‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ ‪ = N.BSI ($A$2 : $F$7,G2 ) / 36‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ‬ ‫ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ H 2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. H7‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ H 2‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ ‪ = NB.SI ($A$9 : $F$14, G2 ) / 36‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ‬ ‫ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ H2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. H7‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫• ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪:‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ J2‬ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ ‪ = NB.SI ($A$16 : $F$21, G2 ) / 36‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ‬ ‫ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ J2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. J7‬‬ ‫ﻫﻜﺫﺍ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬

‫ﻓﺘﻅﻬﺭ \"ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ\" ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪A B C D EF‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪IJ‬‬‫ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪1‬‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ 3‬ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ 2‬ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ 1‬ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬‫‪25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6412‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.13888889‬‬ ‫‪0.08333333‬‬ ‫‪0.05555556‬‬‫‪34‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2332‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.19444444‬‬ ‫‪0.22222222‬‬ ‫‪0.19444444‬‬‫‪43‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3423‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.27777778‬‬ ‫‪0.16666667‬‬ ‫‪0.11111111‬‬‫‪56‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3144‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.22222222‬‬ ‫‪0.11111111‬‬ ‫‪0.22222222‬‬‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.08333333 0.22222222‬‬ ‫‪0.16666667‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪335‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.08333333 0.19444444‬‬ ‫‪0.25‬‬‫‪73‬‬ ‫‪4612‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2162‬‬‫‪94‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5211‬‬‫‪10 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4532‬‬‫‪11 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5232‬‬‫‪12 3‬‬ ‫‪5233‬‬‫‪13 6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪665‬‬‫‪14 3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6545‬‬‫‪16 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5364‬‬‫‪17 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1625‬‬‫‪18 2‬‬ ‫‪3561‬‬‫‪19 2‬‬ ‫‪5444‬‬‫‪20 6‬‬ ‫‪4622‬‬‫‪21 4‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻀﻠﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻠﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ‪:‬‬‫‪Insertion‬‬ ‫ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺨﻼﻴﺎ ﻤﻥ ‪ H2‬ﺇﻟﻰ ‪ J7‬ﺜﻡ ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬‫‪Graphique‬‬‫‪Courbes‬‬‫‪Suivant‬‬‫‪Terminer‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ‪ J , I, H‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﻀﻠﻌﺎﺕ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪ ،‬ﻨﻼﺤﻅ‬‫ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺨﺭﻯ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺫﻥ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪ ،‬ﻭﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺘﺠﺴﻴﺩ ﺫﻟﻙ ﺃﻜﺜﺭ ﺒﺎﻟﻨﻘﺭ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪F9‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 2‬‬‫ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ‪300‬‬‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ )‪ \" (P‬ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ‪ n = 1‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪n = 300‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ \"ﻅﻬﻭﺭ ﻅﻬﺭ\"‪:‬‬ ‫ﻨﺼﻁﻠﺢ ﺘﻤﺜﻴل \"ﻅﻬﺭ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻭ\"ﻭﺠﻪ\" ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪.2‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ ، A‬ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A2‬ﻨﺴﺠل ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ )ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪(300‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ B‬ﻨﺴﺠل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻜل ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ‪:‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )‪ = ENT (ALEA()* 2 +1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ B2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ B2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. B301‬‬‫• ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ C‬ﻨﺴﺠل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻅﻬﺭﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ \"ﻅﻬﺭ\" ﺃﻱ‬‫‪ 1‬ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )\"‪ = NB.SI (B$2 : B2;\"1‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ C2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ C2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. C301‬‬‫• ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ D‬ﻨﺴﺠل ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\" ﺃﻱ ‪ 1‬ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ ‪ = C2 / A2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ D2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪D2‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. D301‬‬

‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ \"ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ\" ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻅﻬﻭﺭ‪ 1‬ﺃﻭ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪2‬‬ ‫ﻅﻬﻭﺭ\"ﻅﻬﺭ\"ﺒﻌﺩ ﻅﻬﻭﺭ\"ﻅﻬﺭ\"ﺒﻌﺩ‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ ‪...‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ ‪...‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪00‬‬‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪00‬‬‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0.33333333‬‬‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 0.5‬‬‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 0.6‬‬‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 0.5‬‬‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0.42857143‬‬‫‪19‬‬ ‫‪2‬‬‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 0.5‬‬‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬‫‪22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 0.55555556‬‬‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 0.5‬‬‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬‫‪26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 0.54545455‬‬‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬‫‪28‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 0.5‬‬‫‪29‬‬ ‫‪2‬‬‫‪30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7 0.53846154‬‬‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7 0.5‬‬‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬‫‪34‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7 0.46666667‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 0.5‬‬ ‫‪8 0.47058824‬‬ ‫‪8 0.44444444‬‬ ‫‪8 0.42105263‬‬ ‫‪9 0.45‬‬ ‫‪9 0.42857143‬‬ ‫‪9 0.40909091‬‬ ‫‪10 0.43478261‬‬ ‫‪11 0.45833333‬‬ ‫‪11 0.44‬‬ ‫‪12 0.46153846‬‬ ‫‪12 0.44444444‬‬ ‫‪12 0.42857143‬‬ ‫‪12 0.4137931‬‬ ‫‪12 0.4‬‬ ‫‪12 0.38709677‬‬ ‫‪13 0.40625‬‬ ‫‪14 0.42424242‬‬ ‫‪14 0.41176471‬‬

35 1 15 0.4285714336 1 16 0.4444444437 1 17 0.4594594638 1 18 0.4736842139 1 19 0.4871794940 2 19 0.47541 2 19 0.4634146342 2 19 0.4523809543 1 20 0.4651162844 2 20 0.4545454545 1 21 0.4666666746 1 22 0.4782608747 2 22 0.4680851148 1 23 0.4791666749 1 24 0.4897959250 1 25 0.551 1 26 0.5098039252 2 26 0.553 2 26 0.4905660454 2 26 0.4814814855 2 26 0.4727272756 1 27 0.4821428657 2 27 0.4736842158 2 27 0.4655172459 2 27 0.4576271260 1 28 0.4666666761 1 29 0.4754098462 1 30 0.4838709763 2 30 0.4761904864 2 30 0.4687565 1 31 0.4769230866 1 32 0.4848484867 1 33 0.4925373168 1 34 0.569 1 35 0.5072463870 2 35 0.571 2 35 0.4929577572 2 35 0.4861111173 1 36 0.4931506874 1 37 0.5

75 2 37 0.4933333376 2 37 0.4868421177 2 37 0.4805194878 2 37 0.4743589779 1 38 0.4810126680 1 39 0.487581 1 40 0.4938271682 1 41 0.583 1 42 0.506024184 2 42 0.585 1 43 0.5058823586 2 43 0.587 1 44 0.5057471388 1 45 0.5113636489 1 46 0.5168539390 2 46 0.5111111191 1 47 0.5164835292 1 48 0.5217391393 2 48 0.5161290394 1 49 0.521276695 2 49 0.5157894796 2 49 0.5104166797 2 49 0.5051546498 2 49 0.599 1 50 0.50505051100 1 51 0.51101 1 52 0.51485149102 2 52 0.50980392103 2 52 0.50485437104 2 52 0.5105 2 52 0.4952381106 1 53 0.5107 1 54 0.5046729108 2 54 0.5109 1 55 0.50458716110 1 56 0.50909091111 1 57 0.51351351112 2 57 0.50892857113 2 57 0.50442478114 2 57 0.5

115 2 57 0.49565217116 1 58 0.5117 1 59 0.5042735118 2 59 0.5119 2 59 0.49579832120 1 60 0.5121 2 60 0.49586777122 1 61 0.5123 2 61 0.49593496124 1 62 0.5125 2 62 0.496126 2 62 0.49206349127 2 62 0.48818898128 1 63 0.4921875129 2 63 0.48837209130 1 64 0.49230769131 1 65 0.49618321132 1 66 0.5133 1 67 0.5037594134 2 67 0.5135 1 68 0.5037037136 1 69 0.50735294137 2 69 0.50364964138 2 69 0.5139 1 70 0.50359712140 2 70 0.5141 2 70 0.4964539142 1 71 0.5143 2 71 0.4965035144 1 72 0.5145 2 72 0.49655172146 2 72 0.49315068147 2 72 0.48979592148 1 73 0.49324324149 2 73 0.48993289150 1 74 0.49333333151 1 75 0.49668874152 2 75 0.49342105153 1 76 0.49673203154 2 76 0.49350649

155 2 76 0.49032258156 2 76 0.48717949157 2 76 0.48407643158 1 77 0.48734177159 1 78 0.49056604160 2 78 0.4875161 1 79 0.49068323162 1 80 0.49382716163 1 81 0.49693252164 1 82 0.5165 2 82 0.4969697166 2 82 0.4939759167 2 82 0.49101796168 1 83 0.49404762169 1 84 0.49704142170 1 85 0.5171 2 85 0.49707602172 2 85 0.49418605173 1 86 0.49710983174 2 86 0.49425287175 1 87 0.49714286176 2 87 0.49431818177 2 87 0.49152542178 1 88 0.49438202179 2 88 0.49162011180 1 89 0.49444444181 1 90 0.49723757182 1 91 0.5183 1 92 0.50273224184 2 92 0.5185 1 93 0.5027027186 1 94 0.50537634187 1 95 0.50802139188 1 96 0.5106383189 2 96 0.50793651190 1 97 0.51052632191 1 98 0.51308901192 1 99 0.515625193 2 99 0.51295337194 2 99 0.51030928

195 1 100 0.51282051196 1 101 0.51530612197 1 102 0.5177665198 2 102 0.51515152199 1 103 0.51758794200 1 104 0.52201 1 105 0.52238806202 1 106 0.52475248203 1 107 0.5270936204 2 107 0.5245098205 2 107 0.52195122206 1 108 0.52427184207 2 108 0.52173913208 2 108 0.51923077209 1 109 0.5215311210 2 109 0.51904762211 1 110 0.52132701212 1 111 0.52358491213 2 111 0.52112676214 1 112 0.52336449215 1 113 0.5255814216 1 114 0.52777778217 1 115 0.52995392218 2 115 0.52752294219 1 116 0.52968037220 1 117 0.53181818221 1 118 0.53393665222 1 119 0.53603604223 1 120 0.53811659224 1 121 0.54017857225 1 122 0.54222222226 1 123 0.54424779227 2 123 0.54185022228 1 124 0.54385965229 2 124 0.54148472230 2 124 0.53913043231 1 125 0.54112554232 2 125 0.5387931233 2 125 0.53648069234 2 125 0.53418803

235 1 126 0.53617021236 2 126 0.53389831237 2 126 0.53164557238 1 127 0.53361345239 2 127 0.53138075240 1 128 0.53333333241 2 128 0.53112033242 2 128 0.52892562243 1 129 0.5308642244 2 129 0.52868852245 1 130 0.53061224246 2 130 0.52845528247 2 130 0.52631579248 2 130 0.52419355249 2 130 0.52208835250 1 131 0.524251 1 132 0.52589641252 1 133 0.52777778253 2 133 0.5256917254 1 134 0.52755906255 2 134 0.5254902256 2 134 0.5234375257 1 135 0.52529183258 1 136 0.52713178259 2 136 0.52509653260 1 137 0.52692308261 2 137 0.52490421262 1 138 0.52671756263 1 139 0.52851711264 2 139 0.52651515265 1 140 0.52830189266 1 141 0.53007519267 1 142 0.53183521268 1 143 0.53358209269 2 143 0.53159851270 1 144 0.53333333271 2 144 0.53136531272 2 144 0.52941176273 2 144 0.52747253274 2 144 0.52554745

‫‪275 1‬‬ ‫‪145 0.52727273‬‬‫‪276 1‬‬ ‫‪146 0.52898551‬‬‫‪277 1‬‬ ‫‪147 0.53068592‬‬‫‪278 1‬‬ ‫‪148 0.5323741‬‬‫‪279 2‬‬ ‫‪148 0.53046595‬‬‫‪280 2‬‬ ‫‪148 0.52857143‬‬‫‪281 1‬‬ ‫‪149 0.53024911‬‬‫‪282 2‬‬ ‫‪149 0.52836879‬‬‫‪283 1‬‬ ‫‪150 0.53003534‬‬‫‪284 1‬‬ ‫‪151 0.53169014‬‬‫‪285 2‬‬ ‫‪151 0.52982456‬‬‫‪286 2‬‬ ‫‪151 0.52797203‬‬‫‪287 2‬‬ ‫‪151 0.5261324‬‬‫‪288 2‬‬ ‫‪151 0.52430556‬‬‫‪289 1‬‬ ‫‪152 0.52595156‬‬‫‪290 2‬‬ ‫‪152 0.52413793‬‬‫‪291 1‬‬ ‫‪153 0.5257732‬‬‫‪292 1‬‬ ‫‪154 0.52739726‬‬‫‪293 2‬‬ ‫‪154 0.52559727‬‬‫‪294 2‬‬ ‫‪154 0.52380952‬‬‫‪295 2‬‬ ‫‪154 0.5220339‬‬‫‪296 2‬‬ ‫‪154 0.52027027‬‬‫‪297 2‬‬ ‫‪154 0.51851852‬‬‫‪298 2‬‬ ‫‪154 0.51677852‬‬‫‪299 1‬‬ ‫‪155 0.51839465‬‬‫‪300 2‬‬ ‫‪155 0.51666667‬‬‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\" ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ( → ‪n‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‪:‬‬

‫‪Terminer‬‬ ‫ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺨﻼﻴﺎ ﻤﻥ ‪ D2‬ﺇﻟﻰ ‪ D301‬ﺜﻡ ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪Insertion‬‬ ‫‪Graphique‬‬ ‫‪Nuage de‬‬ ‫‪joints‬‬ ‫‪Suivant‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﺎﺱ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻓﺈﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\"‬‫ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ 0,5‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻤﺜل \"ﻤﻴﻭل ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻨﺤﻭ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﻋﻨﺩ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ‬ ‫ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ\"‬